Le Cicloidi a Centro in Astronomia

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M.V.
LE CICLOIDI A CENTRO IN ASTRONOMIA
Ricordiamo l’Equazione Parametrica di una ellisse (semplificata, su
piano e di riferimento cartesiano ortogonale XOY) rispettivamente in
forma generale e in forma lineare:
 OA cos β = q cos α

OA = q cos α cos β + m sin β sin α

 OA sin β = m sin α
( OA distanza dei punti dell’Ellisse dal proprio centro; q>m semi
assi; β angolo del vettore OA ; α parametro, valore dell’angolo di
una circonferenza di riferimento)
Riprendendo una nota di F.Zagar nella sua opera «ASTRONOMIA SFERICA
E TEORICA», in cui accenna al problema che qui esaminiamo ma senza
approfondirlo e considerando solo il caso di più circonferenze,
ottenendo per le prime due una figura simile a quella di Figura A e
chiamando il primo circolo “deferente” e gli altri epicicli.
Noi ispirandoci alle curve cicloidi indichiamo come cicloidi a
centro quelle cicloidi che anzichè avere archi per contatto hanno il
centro di una sul perimetro dell’ altra avendo stabilito il rapporto
anziché sugli archi soltanto sui rispettivi angoli.
Poiché l’Eq. Parametrica, sia nel caso delle cicloidi semplici che
delle cicloidi a centro mi permette facilmente di sostituire al
valore dei raggi di circonferenza(con i quali si esprimono nella
letteratura classica le cicloidi) il valore delle distanze OA di
Ellisse indicata sopra, mostriamo la curva relativa ad una cicloide
a centro Ellittica, quando siano posti in relazione tra loro gli
angoli relativi alle due Ellissi.
L’Ellisse nella sua forma Parametrica, indicata nella nota di
geometria, è determinata da due angoli (β e α) e quindi i rapporti
tra due eventuali ellisse che si muovono secondo detto sopra,
β
possono essere: uno tra gli angoli Beta nel tipo Caso 1] 0 = PR
β1
α0
l’altra tra gli angoli Alfa nel tipo Caso 2]
= PR .
α1
Ora poiché gli archi di ellisse tramite l’integrale ellittico di
seconda specie che li calcola, è funzione dell’angolo α e quindi ad
un costante rapporto tra gli angoli alfa delle due ellissi vi è un
costante rapporto tra i relativi archi, ne tracciamo la cicloide in
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Figura B, usando il rapporto del caso 2], osservando che per valori
dei semiassi di ellissi vicini tra loro (eccentricità tendente a
zero) la Figura B tende ad assumere l’aspetto di Figura A.
Nell’esempio di Figura A e B le circonferenze e le ellissi hanno
raggio e semiasse maggiore uguali ed uguale valore PR, il cui valore
determina il numero delle spire o periodi delle cicloidi.
Un eclatante caso è il moto della Luna rispetto al centro-ellisse
della Terra: in questo caso il periodo PR, che ci interessa, è dato
dal rapporto dei periodi di rivoluzione di entrambi, tenendo
presente che:
(αT * Periodo Rivoluzione Terra) = (αL * Per. Rivoluz. Luna) = 2π per
cui:
α L P.R.Terra
365,24
=
= PR in numeri
= 13,421911
α T P.R.Luna
27,21222 (P.R.Draconitico)
Indichiamo l’Eq. Parametrica in forma lineare della curva ottenuta
in Figura 1:
OL = (q T cos α + q L cos(αPR )) cos β + (m T sin α + m L sin (αPR )) sin β
essendo OL la distanza della cicloide dal centro-ellisse della
Terra, PR il numero delle spire ricavato, gli α i valori parametrici
da zero a 360 e q T > m T con q L > m L semiassi rispettivamente della
Terra (ellisse grande o deferente) e della Luna (ellisse piccola o
primo degli epicicli) e dove i raggi della figura la dividono in
ciascun periodo o mese Draconitico (avendo scelto il P.R.
Draconitico).
La curva cicloide a centro indicata è
data supponendo le due rivoluzioni
senza l’aggiunta di nessuna
variabile, neanche quella semplice
della non complanarità delle
rivoluzioni. Quest’ultimo caso non
altera in nessun modo la generalità
delle curve cicloidi a centro in
quanto la proiezione di una ellisse
su un altro piano di angolo ε dove è
descritta la cicloide a centro, è
data dall’ Eq. Parametrica generale
(rifacendoci a ciò che è stato
indicato nelle note di geometria ed
indicando OM come proiezione di OA
sul piano sviluppo) secondo una nuova
ellisse:
 OM cos β' = OA cos β = q cos α


 OM sin β' = OA sin β cos ε = (m sin α) cos ε
tenendo solo presente (come ci indica la espressione) che per q<m e
q
cos ε = , OA è la distanza dei punti di una Ellisse ma OM diventa
m
raggio di una circonferenza.
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Noi possiamo con lo stesso sistema tracciare il moto di un punto
anche rispetto a tre epicicli (ellissi) o ad un qualunque numero
essi. Infatti applicando alla Eq. Parametrica la semplice regola
parallelogramma si può ricavare la curva ottenuta da tre ellissi
quando sia noto PR tra gli angoli parametrici α delle rispettive
ellissi (cioè tra la prima e la seconda (PR12) e tra la seconda e
terza ellisse (PR23), che in Astronomia abbiamo visto essere dati
rispettivi Periodi di Rivoluzione) si ottiene una curva del tipo
Figura C (per ellissi complanari).
di
del
la
dai
Tale curva è ottenuta con valori a fantasia di PR solo dimostrativi
dell’esempio, ma possono essere mirati.
Ora, se prendiamo in esame la curva Figura D delle orbite descritte
dal centro del Sole, ricavata per punti osservati dal 1945 al 2001,
rispetto al Baricentro del sistema Solare e al moto di questo nello
spazio (dunque a tre Ellissi), ci si accorge che la curva Figura C
da noi indicata è del tutto simile, e che quindi le orbite descritte
dal sole sono curve di una cicloide a centro, e non generiche
«spirali», come i signori astronomi,le definiscono.
BIBLIOGRAFIA:
Zagar F.«ASTRONOMIA SFERICA E TEORICA» -Zanichelli EDITORE-Bologna