Calcolo differenziale per funzioni in piu` variabili

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Matematica
14 dicembre 2014
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Calcolo differenziale per funzioni in più variabili.
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Rapporto incrementale e derivata direzionale
Definizione
Siano f : X ⊆ Rn → R, x ∈ X , v ∈ Rn , con kvk = 1. La quantità
f (x + tv) − f (x)
, t ∈ R\0
t
si chiama rapporto incrementale nella direzione v di f in x.
Definizione
Siano f : X ⊆ Rn → R, x ∈ X , v ∈ Rn , con kvk = 1. Se la
funzione
φv (t) = f (x + tv)
è definita in un intorno di t = 0 ed è derivabile in t = 0 allora
f (x + tv) − f (x)
t→0
t
Dv f (x) := φ0v (0) = lim
si dice derivata nella direzione v di f in x.
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Derivata direzionale destra e sinistra
Analogamente si definiscono le derivate direzionali sinistre e destre.
Definizione
Siano f : X ⊆ Rn → R, x ∈ X , v ∈ Rn , con kvk = 1. Se la funzione
φv (t) = f (x + tv)
è definita in un intorno di t = 0 ed è derivabile in t = 0 allora
Dv± f (x) := lim
t→0±
f (x + tv) − f (x)
t
si dice rispettivamente derivata destra (sinistra) nella direzione v di f in x.
Nota.
Si osservi che
I nel caso n = 1, v = 1, la derivata direzionale coincide con la usuale
derivata f 0 ;
I poichè le derivate direzionali sono state definite come derivate di una
unica variabile, la t, si possono usare i metodi precedente introdotti per
calcolarle.
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Derivata direzionali: esempio
Esempio
√
√
Calcolare la derivata di f (x, y ) = e 2x+4y , lungo la direzione v = ( 2/2, 2/2),
nel punto x = (0, 0).
Svolgimento.
Dalla definizione,
Dv f (x)
:=
=
=
lim
t→0
lim
√
√
f ((0, 0) + t( 2/2, 2/2)) − f (0, 0)
f (x + tv) − f (x)
= lim
t→0
t
t
√
f(
t→0
lim
t→0
e3
2t
,
2
√
2t
)
2
√
− f (0, 0)
t
= lim
√
− 1 (H)
3 2·e
= lim
t→0
t
1
√
2t
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t→0
√
3 2t
e 2·
2t/2+4·
√
2t/2
−1
t
√
=3 2
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Gradiente
Definizione
L’insieme {ek }k=1,...,n , dove
k
z }| {
ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
si chiama base canonica di Rn .
Definizione
Ogni elemento x ∈ Rn si scrive per certi x1 , . . . , xn ∈ R come x =
Pn
k=1
xk ek .
Definizione
Siano f : X ⊆ Rn → R, x ∈ X , {ek }k=1,...,n la base canonica di Rn . Se esiste la
derivata nella direzione ek di f in x, tale derivata si dice derivata parziale
rispetto a xk di f in x e si denota con
∂f
Dek f (x), fxk (x),
(x), Dxk f (x), ∂xk f (x), Dk f (x).
∂xk
Se esistono tutte le fx1 (x), . . . , fxn (x), la funzione si dice derivabile in x e il
vettore le cui componenti sono le derivate parziali di f in x si dice gradiente di
f in x e si indica con ∇f (x) = grad f (x) = (fx1 (x), . . . , fxn (x)).
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Caso n = 2
Esempio
Nel caso n = 2, si ha e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) e per x = (x, y ) abbiamo
fx (x, y ) = lim
t→0
f (x, y + t) − f (x, y )
f (x + t, y ) − f (x, y )
, fy (x, y ) = lim
,
t→0
t
t
che coincidono con le classiche derivate per le funzioni di una variabile
x → f (x, y ), y → f (x, y ) rispettivamente.
Nota.
Dal punto di vista pratico, per calcolare le derivate parziali rispetto una
variabile, si ritiene l’altra come essere una costante, e si procede come per le
derivate in R. Cosı̀ se f (x, y ) = 3x + 4y ricaviamo
I fx (x, y ) = Dx (3x + 4y ) = 3Dx (x) + 4Dx (y ) = 3 · 1 + 4 · 0 = 3;
I fy (x, y ) = Dy (3x + 4y ) = 3Dy (x) + 4Dy (y ) = 3 · 0 + 4 · 1 = 4.
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Caso n = 2
Esempio
Sia
f (x, y ) = x 2 − 3x + 4xy + 5.
Allora
fx (x, y )
=
Dx (x 2 − 3x + 4xy + 5) = 2x − 3 + 4y ;
fy (x, y )
=
Dy (x 2 − 3x + 4xy + 5) = 4x.
Esempio
Sia
f (x, y ) = sin(4x + y ).
Allora
fx (x, y )
=
Dx sin(4x + y ) = Dx (4x + y ) · cos(4x + 1) = 4 · cos(4x + 1);
fy (x, y )
=
Dx sin(4x + y ) = Dy (4x + y ) · cos(4x + 1) = cos(4x + 1).
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Derivabilità
Teorema
Siano f , g : X → R derivabile in x0 ∈ X . Allora è derivabile in x0 ∈ X
I la funzione h = αf + βg per qualche α, β, ed è
∇(αf + βg )(x0 ) = α∇f (x0 ) + β∇g (x0 );
I la funzione f · g , ed è
∇ f · g (x0 ) = g (x0 )∇ f (x0 ) + f (x0 )∇ g (x0 );
I il quoziente f /g nei punti x ∈ X in cui g (x) 6= 0 ed è
∇
g (x0 )∇ f (x0 ) − f (x0 )∇ g (x0 )
f
(x0 ) =
.
g
(g (x0 ))2
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Derivabilità
Teorema (Regola della catena)
Siano X ⊆ Rn , I ⊆ R aperti, e supponiamo che sia
I g : X → R derivabile in x0 ∈ X ;
I f : I → R derivabile in g (x0 ) ∈ I .
Allora f ◦ g è derivabile in x0 ∈ X ed è ∇(f ◦ g )(x0 ) = f 0 (g (x0 ))∇g (x0 ).
Esempio
Sia F (x, y ) = sin(2x + 4y ).
Da Fx (x, y ) = 2 cos(2x + 4y ), Fy (x, y ) = 4 cos(2x + 4y ), abbiamo
∇F (x, y ) = (2 cos(2x + 4y ), 4 cos(2x + 4y )).
Dalla regola della catena, per
g (x, y ) = 2x + 4y , f (t) = sin(t), ∇g (x, y ) = (2, 4), f 0 (t) = cos(t)
ricaviamo similmente, visto che α · (x, y ) = (α · x, α · y ),
∇F (x, y )
=
f 0 (g (x, y ))∇g (x, y ) = sin(2x + 4y ) · (2, 4)
=
(2 cos(2x + 4y ), 4 cos(2x + 4y )).
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Caso n = 2
Nel caso X intervallo aperto, se la funzione è derivabile in x0 allora è continua
in x0 . Ci chiediamo se f è derivabile in x0 ∈ Rn allora f è continua in x0 ? La
risposta è negativa.
Esempio
Sia
f (x, y ) =
0, se x · y = 0
1, altrimenti.
Osserviamo che
I la funzione non è continua in (0, 0), visto che lim(x,y )→(0,0) f (x, y ) non
esiste in quanto
I
I
lungo la retta y = 0 si ha f (x, y ) = 0 e quindi
limx→0 f (x, y ) = limx→0 f (x, 0) = 0;
lungo la retta y = x si ha f (x, x) = 1 per x 6= 0 e quindi
limx→0 f (x, y ) = limx→0 f (x, x) = 1;
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Caso n = 2
I per quanto riguarda la derivata parziale in x
fx (0, 0) = lim
t→0
f (t, 0) − f (0, 0)
0
= lim = 0,
t→0 t
t
I per quanto riguarda la derivata parziale in y
fy (0, 0) = lim
t→0
f (0, t) − f (0, 0)
0
= lim = 0.
t→0 t
t
Riassumendo le derivate parziali in (0, 0) esistono e quindi la funzione è
derivabile (ma non continua!).
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Calcolo differenziale per funzioni in più variabili
Esempio
Determinare le derivate parziali della funzione f (x, y , z) = 3x + 5y sin(z).
Svolgimento.
Si vede facilmente che
I fx (x, y , z) = fx (3x) + fx (5y sin(z)) = 3fx (x) + 0 = 3;
I fy (x, y , z) = fy (3x) + fy (5y sin(z)) = 0 + 5 sin(z) · fy (y ) = 5 sin(z);
I fz (x, y , z) = fz (3x) + fz (5y sin(z)) = 0 + 5y · fz (sin(z)) = 5y cos(z).
Esercizio
Determinare le derivate parziali delle seguenti funzioni
I f (x, y ) =
I f (x, y , z)
x
;
x 2 +y 2 +1
y
= zx ;
I f (x, y , z) = arctan (xyz 2 );
I f (x, y , z) = cosh (x − yz);
I f (x, y , z) = y sin (zy ).
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Differenziabilità
Nel caso di un intervallo aperto X ⊆ R, una funzione f : X → R è derivabile in
x0 ∈ X con derivata m = f 0 (x0 ) se e solo se
f (x) = f (x0 ) + m · (x − x0 ) + o(x − x0 ).
Generalizziamo queste idee al caso in cui sia X ⊆ Rn aperto.
Definizione
Sia X ⊆ Rn aperto e f : X → R. La funzione f si dice differenziabile in x0 ∈ X
se esiste a ∈ Rn tale che
f (x) = f (x0 ) + (a, x − x0 ) + o(kx − x0 kRn )
per x → x0 , dove (·, ·) è il prodotto scalare di Rn .
Nota.
Ricordiamo che se x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ), allora
(x, y ) = x1 · y1 + x2 · y2 + . . . + xn · yn .
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Differenziabilità
Nota.
I concetti di differenziabilità e derivabilità coincidono se n = 1. Non sono invece
equivalenti nel caso n > 1 in cui la nozione di differenziabilità è più forte.
Teorema
Sia X ⊆ Rn aperto e f : X → R. Se la funzione f è differenziabile in x0 ∈ X ,
allora
I f è continua in x0 ;
I esistono le derivate parziali di f in x0 e
f (x) = f (x0 ) + (∇f (x0 ), x − x0 ) + o(kx − x0 kRn ).
I per ogni vettore v tale che kvkRn = 1, esiste la derivata direzionale
Dv f (x0 ) ed è
Dv f (x0 ) = (∇f (x0 ), v).
Teorema
Sia X ⊆ Rn aperto e f : X → R. Se la funzione f ammette derivate parziali
continue in un intorno di x0 ∈ X allora f è differenziabile in x0 .
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Differenziabilità
Nota.
Si osservi che una funzione derivabile in X ⊆ Rn non è necessariamente
continua, mentre una funzione differenziabile lo è.
Nota.
Si supponga che f abbia derivate in ogni direzione v (con kvk = 1).
Se f non è differenziabile, non si può dire che per ogni vettore v tale che
kvkRn = 1, sia
Dv f (x0 ) = (∇f (x0 ), v).
Nota.
Sia f : X ⊆ R2 → R. Il grafico di
f (x) = f (x0 ) + (∇f (x0 ), x − x0 ) = f (x0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
rappresenta il piano tangente al grafico di f in (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Il piano
tangente ha equazione z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
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Piano tangente
Esempio
Calcolare il piano tangente alla funzione f (x, y ) = 3x 2 + 4xy + 5y , nel punto
(3, 1).
Svolgimento.
Osserviamo che
fx (x, y ) = 6x + 4y , fy (x, y ) = 4x + 5.
Le due funzioni fx , fy sono polinomi in due variabili e quindi continue in R2 . Di
conseguenza f è differenziabile in (3, 1) in quanto possiede derivate parziali
continue in un intorno del punto (3, 1).
Di conseguenza esiste il piano tangente e da
I f (3, 1) = 3 · 32 + 4 · 3 · 1 + 5 · 1 = 27 + 12 + 5 = 44
I fx (3, 1) = 6 · 3 + 4 · 1 = 22;
I fy (3, 1) = 4 · 3 + 5 = 17;
ricaviamo che il piano tangente verifica
3
1
z}|{
z}|{
z = 44+22(x − x0 )+17(y − y0 ) = 22x +17y +44−66−17 = 22x +17y −39.
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Differenziabilità
Teorema
Siano f , g : X → R differenziabili in x0 ∈ X . Allora è differenziabile in x0 ∈ X
I la funzione h = αf + βg per qualche α, β, ed è
∇(αf + βg )(x0 ) = α∇f (x0 ) + β∇g (x0 );
I la funzione f · g , ed è
∇ f · g (x0 ) = g (x0 )∇ f (x0 ) + f (x0 )∇ g (x0 );
I il quoziente f /g nei punti x ∈ X in cui g (x) 6= 0 ed è
∇
g (x0 )∇ f (x0 ) − f (x0 )∇ g (x0 )
f
(x0 ) =
.
g
(g (x0 ))2
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Differenziabilità
Teorema
Siano X ⊆ Rn , I ⊆ R aperti, e supponiamo che
I g : X → R differenziabile in x0 ∈ X ;
I f : I → R differenziabile in g (x0 ) ∈ I .
Allora la funzione f ◦ g è differenziabile in x0 ∈ X ed è
∇(f ◦ g )(x0 ) = f 0 (g (x0 ))∇g (x0 ).
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Teorema del differenziale totale
Teorema (del differenziale totale)
Sia X ⊆ Rn aperto, x ∈ X . Se
I esiste un intorno U di x nel quale f è derivabile;
I se le derivate parziali fx1 , . . . , fxn sono continue nel punto x;
allora f è differenziabile in x.
Definizione
Siano X ⊆ Rn aperto, f : X → R ed E ⊆ X . La f si dice
I derivabile in E se è derivabile in ogni x ∈ E .
I differenziabile in E se è differenziabile in ogni x ∈ E .
Definizione
Siano X ⊆ Rn aperto, f : X → R ed E ⊆ X . Se f è derivabile in E e se le n
derivate parziali fxk con k = 1, . . . , n sono continue in E , allora f si dice di
classe C 1 in E e si scrive f ∈ C 1 (E ).
Corollario
Siano X ⊆ Rn aperto, f : X → R. Se f ∈ C 1 (X ) allora f è differenziabile in X .
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Derivate di ordine superiore
Definizione
Siano
I f : X → R, con X ⊆ Rn aperto;
I v, w ∈ Rn , tali che kvkRn = kwkRn = 1.
Allora
2
Dw,
v := Dw (Dv f (x))
cioè
2
Dw,
v = lim
t→0
Dv f (x + tv) − Dv f (x)
.
t
Definizione
Sia f : X → R, con X ⊆ Rn aperto. Sia {ej }j=1,...,n la base canonica di Rn .
Allora De2j ek è la derivata parziale del secondo ordine (lungo le direzioni ej , ek ).
Tale quantità a volte si indica con
fxj ,xk (x),
∂ 2 f (x)
, Dxj ,xk f (x).
∂xj ∂xk
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Derivate di ordine superiore: esempio
Esempio
2
Si calcolino le derivate del secondo ordine di f (x, y ) = 3e xy + x sin(y − 3).
Svolgimento.
Osserviamo che
2
2
2
2
I Dx f (x, y ) = Dx (3e xy + x sin(y − 3)) = 3y 2 e xy + sin(y − 3);
I Dy f (x, y ) = Dy (3e xy + x sin(y − 3)) = 6xye xy + x cos(y − 3).
Le derivate parziali sono continue nell’intorno di un punto qualsiasi, e la
funzione è derivabile ovunque. Le suddette derivate sono differenziabili, in
quanto combinazione o composizione di funzioni differenziabili. Possiamo
calcolare le derivate successive.
2
2
I Dx,x f (x, y ) = Dx (3y 2 e xy + sin(y − 3)) = 3y 4 e xy ;
2
2
I Dy ,x f (x, y ) = Dy (3y 2 e xy + sin(y − 3)) = (6y + 6xy 3 )e xy + cos(y − 3);
2
2
2
2
I Dx,y f (x, y ) = Dx (6xye xy + x cos(y − 3)) = (6y + 6xy 3 )e xy + cos(y − 3).
I Dy ,y f (x, y ) = Dy (6xye xy +x cos(y −3)) = (6x +12x 2 y 3 )e xy −x sin(y −3).
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Derivate di ordine superiore: Teorema di Schwarz
Definizione
Una funzione f : X → R, con X ⊆ Rn aperto, x ∈ X , si dice due volte
differenziabile in x, se
I è differenziabile in un intorno di x,
I le derivate parziali fxk , k = 1, . . . , n, sono differenziabili in x.
Teorema (di Schwarz)
Siano
I f : X → R, con X ⊆ Rn aperto;
I x ∈ X;
I f differenziabile due volte in x.
Allora fxi ,xj (x) = fxj ,xi (x). per ogni i 6= j.
Teorema (di Schwarz, variante)
Se le due derivate miste fxi ,xj , fxj ,xi , i 6= j esistono in un intorno di x0 e sono
continue in x0 allora in tale punto esse coincidono.
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Derivate di ordine superiore: matrice hessiana
Definizione
Sia
I f : X → R, con X ⊆ R2 aperto;
I x ∈ X;
I f possieda tutte le derivate parziali in x.
La tabella
Hf (x) =
fx1 ,x1 (x)
fx2 ,x1 (x)
fx1 ,x2 (x)
fx2 ,x2 (x)
si chiama matrice Hessiana di f in x.
Nota.
Se le due derivate miste fxi ,xj , fxj ,xi , i 6= j esistono in un intorno di x0 e sono
continue in x0 allora i termini misti fxi ,xj , fxj ,xi coincidono.
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Derivate di ordine superiore: matrice hessiana
Esempio
Si calcoli la matrice hessiana di
f (x, y ) = x · sin(x + 2y ).
Svolgimento.
Abbiamo facilmente
I fx (x, y ) = sin(x + 2y ) + x cos(x + 2y );
I fy (x, y ) = 2x cos(x + 2y );
da cui
I fx,x (x, y ) = 2 cos(x + 2y ) − x sin(x + 2y );
I fx,y (x, y ) = 2 cos(x + 2y ) − 2x sin(x + 2y );
I fy ,x (x, y ) = 2 cos(x + 2y ) − 2x sin(x + 2y );
I fy ,y (x, y ) = −4x sin(x + 2y ).
Notiamo che le derivate seconde miste fx,y (x, y ), fy ,x (x, y ) coincidono come
asserito dal teorema di Schwarz.
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Derivate di ordine superiore: matrice hessiana
Svolgimento.
Da
I fx,x (x, y ) = 2 cos(x + 2y ) − x sin(x + 2y );
I fx,y (x, y ) = 2 cos(x + 2y ) − 2x sin(x + 2y );
I fy ,x (x, y ) = 2 cos(x + 2y ) − 2x sin(x + 2y );
I fy ,y (x, y ) = −4x sin(x + 2y ).
abbiamo che
I fx,x (0, 0) = 2 cos(0) − 0 · sin(0) = 2;
I fx,y (0, 0) = 2 cos(0) − 2 · 0 · sin(0) = 2;
I fy ,x (0, 0) = 2 cos(0) − 2 · 0 · sin(0) = 2;
I fy ,y (0, 0) = −4 · 0 · sin(0) = 0,
e quindi
Hf (0, 0) =
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2
2
2
0
.
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