Funzioni (parte II).

Funzioni (parte II).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Matematica
21 ottobre 2014
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
1/ 55
Funzioni trigonometriche.
Si supponga
I
Ω sia il disco di raggio 1 centrato nell’origine (disco unitario);
I
siano A = (1, 0), B = (0, 1);
I
sia P un punto sulla circonferenza, e si supponga che l’angolo
AÔP misuri x radianti (orientato antiorario!);
I
sia Q la proiezione di P sull’asse delle ascisse;
I
sia T il punto sulla retta r contenente O e P la cui proiezione
sull’asse dell’ascisse sia A.
Allora
I
l’ascissa di Q si denota cos (x) (coseno di x);
I
l’ordinata di P si denota sen(x) (seno di x);
I
l’ordinata di T si denota tg(x) (tangente di x);
Si noti che talvolta si usa sin(x) e tan(x) invece di sen(x) e tg(x) .
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
2/ 55
Funzioni trigonometriche.
Figura : Funzioni trigonometriche sul cerchio unitario.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
3/ 55
Funzioni trigonometriche.
Poichè i triangoli OPQ e OAT sono simili, sia ha che
tg (x) =
sen(x)
,
cos(x)
Si definisce poi cotangente la funzione
ctg (x) =
cos(x)
.
sen(x)
Inoltre è facile osservare che
I cos (0) = 1, sin (0) = 0;
I cos (2π) = 1, sin (2π) = 0;
I dal teorema di Pitagora, essendo il disco unitario,
sin2 (x) + cos2 (x) = 1, ∀x ∈ [0, 2π)
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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(1)
Funzioni trigonometriche.
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : La funzione sin (x).
La funzione sin (x)
I è periodica con periodo 2π;
I è dispari:sin (−x) = − sin (x)
I ha dominio R ma immagine Im(sen(x))=[-1,1], (quindi
| sin (x)| ≤ 1);
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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Funzioni trigonometriche.
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : La funzione cos(x).
La funzione cos(x)
I è periodica con periodo 2π;
I è pari: cos (−x) = cos (x);
I ha dominio R ma immagine Im(cos (x)) = [−1, 1] (quindi
| cos (x)| ≤ 1);
I vale sin(x) = cos(x − π )
2
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
6/ 55
Funzioni trigonometriche.
1500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : La funzione tan(x).
La funzione tan(x)
I è periodica con periodo π;
I è dispari: tan(−x) = −tan(x) ;
I non è definita nei punti xk = kπ con k ∈ Z;
I ha dominio R\{x : x = kπ, k ∈ Z} e immagine
Im(tan (x)) = R.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
7/ 55
Funzioni trigonometriche: esercizio.
Esercizio
Qual’è il periodo di f (x) = sin (3x)?
Da f (x + T ) = f (x) abbiamo per y = 3x
f (x + T ) = sin(3(x + T )) = sin(3x + 3T ) = sin(y + 3T )
f (x) = sin (3x) = sin (y ).
(2)
(3)
Il più piccolo T̂ per cui sin(y + T̂ ) = sin(y ) è T̂ = 2π, per cui il
più piccolo T per cui
f (x + T ) = sin(y + 3T ) = sin (y ) = f (x)
è 3T = T̂ = 2π da cui
T = 2π/3.
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Introduzione.
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Funzioni iperboliche.
Definizione
Si definisce seno iperbolico la quantità
Sh(x) = sinh (x) :=
e x − e −x
.
2
Definizione
Si definisce coseno iperbolico la quantità
Ch(x) = cosh (x) :=
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
e x + e −x
.
2
Introduzione.
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Funzioni iperboliche.
Definizione
Si definisce tangente iperbolica la quantità
Th(x) = tanh (x) :=
e x − e −x
sinh(x)
= x
.
cosh(x)
e + e −x
I
A volte sinh (x) si denota senh(x);
I
A volte tanh (x) si denota tgh(x);
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Introduzione.
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Funzioni iperboliche: sinh.
30
20
10
0
−10
−20
−30
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura : La funzione sinh(x) in [−4, 4].
La funzione sinh(x)
I
è dispari: sinh(−x) = − sinh(x) (verificarlo) ;
I
ha dominio R e immagine Im(sinh (x)) = R;
I
è strettamente crescente.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
11/ 55
Funzioni iperboliche: cosh.
30
25
20
15
10
5
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura : La funzione cosh(x) in [−4, 4].
La funzione cosh(x)
I è pari: cosh(−x) = cosh(x) (verificarlo) ;
I ha dominio R e immagine Im(cosh (x)) = [1, +∞) (cioè
cosh(x) ≥ 1);
I è strettamente decrescente per x ≤ 0 e strettamente crescente
per x ≥ 0;
I similmente alla (1) vale cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
12/ 55
Funzioni iperboliche: tanh.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura : La funzione tanh(x) in [−10, 10].
La funzione tanh(x)
I è pari: tanh(−x) = − tanh(x) (verificarlo) ;
I ha dominio R e immagine Im(tanh (x)) = (−1, 1) (cioè
tanh(x) è limitata);
I è strettamente crescente.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
13/ 55
Operazioni sui grafici.
Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual’è il grafico di
y = f (x) + a?
Risposta: Si trasla verticalmente di a il grafico di f (x).
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figura : Grafico di y = x + 1 (rosso), y = x (nero) e y = x − 1 (verde).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
14/ 55
Operazioni sui grafici.
Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual’è il grafico di
y = f (x + a)?
Risposta: Si trasla orizzontalmente di −a il grafico di f (x).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : Grafico di y = sin (x + 1) (rosso), y = sin (x) (nero) e
y = sin (x − 1) (verde).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
15/ 55
Operazioni sui grafici.
Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual’è il grafico di
y = −f (x)?
Risposta: Si simmetrizza il grafico di f (x) rispetto l’asse x.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = − sin (x) (rosso).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
16/ 55
Operazioni sui grafici.
Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual’è il grafico di
y = k · f (x)?
Risposta: Si stira o si contrae di un fattore k il grafico di f (x)
(rispetto l’asse x).
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = 2 sin (x) (rosso) e
y = 0.5 · sin (x) (verde).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
17/ 55
Operazioni sui grafici.
Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual’è il grafico di
y = f (kx)?
Risposta: Si stira o si contrae di un fattore 1/k il grafico di f (x)
(rispetto l’asse y).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (2x) (rosso) e
y = sin (0.5x) (verde).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
18/ 55
Operazioni sui grafici.
Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual’è il grafico di
y = |f (x)|?
Risposta: Se f (x) ≥ 0 non si fa niente, altrimenti lo si riflette
sull’asse x.
1
0.5
0
−0.5
−1
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
1
0.5
0
−0.5
−1
−8
Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = | sin (x)| (rosso).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
19/ 55
Operazioni sui grafici.
Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual’è il grafico di
y = f (|x|)?
Risposta: Si riflette il grafico della parte in cui x ≥ 0 rispetto
l’asse y.
1
0.5
0
−0.5
−1
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
1
0.5
0
−0.5
−1
−8
Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (|x|) (rosso).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
20/ 55
Funzioni composte.
Definizione
Sia f : E → R, g : F → R tale che Im(f ) ⊆ F . La funzione
h = g ◦ f tale che
h(x) = (g ◦ f )(x) = g (f (x))
si chiama funzione composta.
Figura : Esempio di funzione composta. In giallo, l’insieme Im(f ) ⊆ F .
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
21/ 55
Funzioni composte.
Nota.
Si noti che:
I
E’ fondamentale che Im(f ) ⊆ F ;
I
In generale f ◦ g 6= g ◦ f ;
I
Si possono comporre più funzioni
((f ◦ g ) ◦ τ ) (x) = f (g (τ (x))) = f ◦ (g ◦ τ )
(verificarlo!).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
22/ 55
Funzioni composte: generalizzazione.
La definizione, più generale consiste in
Nota.
Siano X , Y , V , W insiemi. Siano f : X → Y , g : V → W tali che
Im(f ) ∩ V 6= ∅. Sia
X0 := {x ∈ X : f (x) ∈ V }.
Allora per ogni x ∈ X0 si può definire la funzione h = g ◦ f tale che
h(x) = (g ◦ f )(x) = g (f (x)).
Tale h si chiama funzione composta.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
23/ 55
Funzioni composte: esempio 1.
Esempio
Siano
f (x) = x 2 + 1, g (x) =
I
√
x
Si vede che
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) =
p
x2 + 1
Si osservi che da Im(f ) = [1, +∞), Dom(g ) = [0, +∞), la
composta è ben definita e da Dom(f ) = R, (g ◦ f ) : R → R.
I
Si vede che
√
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = ( x)2 + 1 = |x| + 1.
Osserviamo che Dom(g ) = R+ = [0, +∞) e in R+ si ha che
|x| + 1 = x + 1. Inoltre essendo Im(g ) = [0, +∞) e
Dom(f ) = R, la composta è ben definita. Quindi
(f ◦ g ) : R+ → R e f ◦ g 6= g ◦ f .
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
24/ 55
Funzioni composte: esempio 2.
Esempio
Siano
f (x) = −x 2 , g (x) =
I
√
4
x
Si vede che
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) =
p
4
−x 2
Si osservi che da Im(f ) = (−∞, 0], Dom(g ) = [0, +∞), la
composta non è ben definita. L’unico punto in cui la funzione
è ben definita è x = 0 e la composta vale 0.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
25/ 55
Funzioni composte: esempio 2.
I
Si vede che
√
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = −( 4 x)2 .
Osserviamo che Dom(g ) = R+ = [0, +∞),
Im(g ) = [0, ∞) = R+ , Dom(f ) = R+ e quindi da
Im(g ) ⊆ Dom(f ) la composta è ben definita.
Da Im(f ) = (−∞, 0] = R− abbiamo f ◦ g : R+ → R− .
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
26/ 55
Funzioni composte: esempio 3.
Esempio
Siano
f (x) =
g (x) =
I
x 2, x > 1
−x, x ≤ 1
Calcoliamo (f ◦ g )(x) = f (g (x)).
I
I
I
1, x ≥ 0
3, x < 0
Supponiamo x ≤ 1. Allora g (x) = −x ed è g (x) ≥ 0 per
x ≤ 0 altrimenti, per x ∈ (0, 1], si ha che g (x) < 0. Se x ≤ 0
abbiamo f (g (x)) = 1 mentre per x ∈ (0, 1] si ha f (g (x)) = 3.
Supponiamo x > 1. Allora g (x) = x 2 > 1 > 0 e quindi
f (g (x)) = 1.
Studiare per casa (g ◦ f )(x) = g (f (x)).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
27/ 55
Funzioni composte: monotonia.
Teorema
Sia Im(f ) ⊆ Dom(g ).
I
Se f crescente, g crescente allora g ◦ f è crescente.
I
Se f crescente, g decrescente allora g ◦ f è decrescente.
I
Se f decrescente, g decrescente allora g ◦ f è crescente.
Dimostrazione.
Dimostriamo il primo asserto. Se x1 > x2 , essendo f crescente,
f (x1 ) > f (x2 ). Siano y1 = f (x1 ) e y2 = f (x2 ). Allora essendo g
crescente
g ◦ f (x1 ). = g (f (x1 )) = g (y1 ) > g (y2 ) = g (f (x2 )) = g ◦ f (x2 ).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
28/ 55
Funzioni composte: monotonia, esempio 1.
Esempio
Si consideri F (x) = log(sinh(x 3 )). Posto h(x) = log (x),
g (x) = sinh(x), f (x) = x 3 , si vede subito che f , g , h sono funzioni
crescenti e che F (x) = (h ◦ (g ◦ f )) = h(g (f (x)). Inoltre
I
G := g ◦ f è crescente perchè composizione di funzioni
crescenti;
I
F = h ◦ (g ◦ f ) = h ◦ G , dove è definita, è crescente perchè
composizione di funzioni crescenti.
I
Essendo x 3 dispari, sinh dispari, G (x) = sinh (x 3 ) è dispari
essendo
G (−x) = sinh ((−x)3 ) = sinh (−(x 3 )) = − sinh (x 3 ) = −G (x)
Essendo G (x) ≥ 0 per x ≥ 0 ne consegue, dalla disparità che
G (x) ≤ 0 per x ≤ 0 e che quindi log(sinh(x 3 )) è definita
esclusivamente per x > 0.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
29/ 55
Funzioni composte: monotonia, esempio 2.
Esempio
Si consideri F (x) =
1
log (x) .
Posto g (x) = x1 , f (x) = log (x), si vede subito che g è una
funzione decrescente in (−∞, 0) e (0, +∞) ed f crescente in
(0, +∞), e che F (x) = (g ◦ f ) = g (f (x)).
Quindi F è una funzione decrescente in (0, 1) e (1, +∞).
Possiamo dire che F è decrescente in R+ \{0, 1}? Qualche
problema tra immagini e domini?
Nota.
Nell’esempio bisogna aver cura dei domini. Infatti Im(f ) = R+ che
non contenuto in Dom(g ) = R\0. Ma se restringiamo il dominio di
f a R+ \1 allora Im(f ) = R\0 = Dom(g ).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
30/ 55
Funzioni composte: monotonia, esempio 2.
100
0
−100
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
50
0
−50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
200
0
−200
0
4
x 10
2
0
−2
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
Figura : Dall’alto in basso: 1/x, log(x), 1/ log(x) e zoom di 1/ log(x).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
31/ 55
Funzioni invertibili e inverse.
Definizione
Una funzione f : D → f (D) è invertibile in D se e solo se per ogni
y ∈ f (D) esiste uno e uno solo x ∈ D tale che f (x) = y .
Definizione
Sia la funzione f : D → f (D) invertibile in D.
La funzione f −1 : f (D) → D che associa ad ogni y ∈ f (D)
l’elemento x ∈ D tale che f (x) = y si chiama funzione inversa di f.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
32/ 55
Funzioni invertibili e inverse.
Figura : Dall’alto in basso: una funzione non invertibile e una invertibile.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
33/ 55
Funzioni invertibili.
Definizione
La funzione Id : D → D tale che Id(x) = x si chiama funzione
identica.
Nota.
I
Se la funzione f : D → f (D) è invertibile allora
f −1 ◦ f (x) = f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ D
e quindi f −1 ◦ f = Id.
I
Se la funzione f : D → f (D) è invertibile allora
f ◦ f −1 (y ) = f (f −1 (y )) = y , ∀y ∈ f (D).
Successivamente questa proprietà tornerà utile in varie circostanze.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
34/ 55
Funzioni invertibili.
I
Sia D ⊆ R un dominio simmetrico e f : D → R una funzione
pari. Allora f non è invertibile.
Se è pari infatti f (x) = f (−x) ed essendo il dominio
simmetrico x, −x ∈ D.
I
Sia f : R → R una funzione periodica. Allora f non è
invertibile.
Se è periodica di periodo T infatti f (x + T ) = f (x).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
35/ 55
Funzioni iniettive e suriettive.
Definizione
Una funzione f : D → E è iniettiva in D se e solo se per ogni
x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2 si ha che f (x1 ) 6= f (x2 )
Nota.
I
La definizione di funzione iniettiva è equivalente a dire che se
x1 , x2 ∈ D, f (x1 ) = f (x2 ) allora x1 = x2 .
I
La definizione di funzione iniettiva è equivalente a dire che per
ogni y ∈ f (D) esiste un unico x ∈ D tale che f (x) = y .
I
Una funzione invertibile deve essere iniettiva.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
36/ 55
Funzioni iniettive e suriettive.
Nota.
Una funzione f : D → E è suriettiva se e solo se per ogni y ∈ E
esiste x ∈ D tale che f (x) = y . Una funzione f : D → E si dice
biettiva se e solo se iniettiva e suriettiva.
Nota.
Sia E = f (D). Allora f : D → E è sicuramente suriettiva perchè ,
per definizione di immagine, per ogni y ∈ f (D) esiste x ∈ D tale
che y = f (x). Quindi una funzione f : D → f (D) è biettiva se e
solo se iniettiva.
Se E non coincide con f (D) quest’ultima affermazione non è vera.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
37/ 55
Funzioni iniettive: esempi.
Esempio
La funzione f (x) = x 2 non è iniettiva in R. Infatti
f (−1) = f (1) = 1.
Esempio
La funzione f (x) = x 3 è iniettiva in R. Infatti se f (x1 ) = f (x2 )
allora x13 = x23 e i cubi di due numeri sono uguali se e solo se i
numeri coincidono.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
38/ 55
Funzioni invertibili: le funzioni monotone.
Teorema
Sia f : D ⊂ R → R strettamente monotona. Allora f è invertibile
in D.
Dimostrazione.
Sia f : D ⊂ R → R strettamente crescente e quindi
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
Dimostriamo che è iniettiva, cioè x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). Visto
che x1 , x2 sono arbitrari e distinti, possiamo supporre x1 < x2 . Ma
allora essendo crescente f (x1 ) < f (x2 ) e di conseguenza
f (x1 ) 6= f (x2 ).
La dimostrazione del caso in cui f è strettamente decrescente è
analoga (per casa).
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
39/ 55
Funzioni invertibili: le funzioni monotone.
Teorema
Sia f : D ⊂ R → R è strettamente monotona allora f −1 è
strettamente monotona.
Nota.
Se f : D ⊂ R → R è invertibile, allora non è detto che f sia
strettamente monotona.
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura : Una funzione invertibile e non monotona.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
40/ 55
Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 1.
Esempio
Sia a > 1. La funzione f (x) = ax è tale che f : R → (0, +∞). E’
strettamente monotona e invertibile perchè se ax1 = ax2 allora
x1 = x2 . L’inversa f −1 : (0, +∞) → R è per definizione
f −1 (y ) = loga (y ).
1200
1000
800
600
400
200
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura : La funzione f (x) = 2x .
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
41/ 55
Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 2.
Esempio
La funzione f (x) = x 3 è tale che f : R → R. E’ strettamente
crescente e invertibile perchè se x13 = x23 allora x1 = x2 . L’inversa
f −1 : (0, +∞) → R è per definizione
f −1 (y ) =
√
3
y.
1000
800
600
400
200
0
−200
−400
−600
−800
−1000
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura : La funzione f (x) = x 3 in [−10, 10].
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
42/ 55
Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 3.
Esempio
La funzione f (x) = x 2 è
I
I
non è invertibile se f : R → R (funzione pari!);
√
è invertibile se f : R+ → R+ ed è f −1 (y ) = y .
1000
800
600
400
200
0
−200
−400
−600
−800
−1000
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura : La funzione f (x) = x 3 in [−10, 10].
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
43/ 55
Funzioni invertibili: il suo grafico.
Nota.
Osserviamo che
(x0 , y0 ) ∈ graf(f ) ⇔ f (x0 ) = y0 .
Di conseguenza
(y0 , x0 ) ∈ graf(f −1 ) ⇔ f −1 (y0 ) = x0 .
Questo comporta che i grafici delle due funzioni sono simmetrici
rispetto alle bisettrici del primo e terzo quadrante.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
44/ 55
Funzioni invertibili: il suo grafico.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura : La funzione f (x) = e x in [0.05, 2] (nero), f −1 (y ) = loge (y )
(rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
45/ 55
Funzioni invertibili: il suo grafico.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura : La funzione f (x) = x 3 in [−1, 1] (nero), f −1 (y ) =
In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
46/ 55
√
3
y (rosso).
Funzioni invertibili: il suo grafico.
La funzione f : [0, 1] → [0, 1] con f (x) = x 2 è invertibile e la sua
√
inversa è f −1 (y ) = y .
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura : La funzione f (x) = x 2 in [0, 1] (nero), f −1 (y ) =
blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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√
y (rosso). In
Funzioni trigonometriche e le loro inverse.
La funzione f (x) = sin (x), se considerata come f : R → R non è
invertibile (in quanto periodica).
I
I
I
I
I
I
Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicità )
[−π/2, π/2], cioè come f : [−π/2, π/2] → [−1, 1], essendo
strettamente crescente e Im(f ) = [−1, 1], risulta invertibile.
La sua inversa si chiama arcoseno ed è denotata con arcsin(x)
(talvolta arcsen(x)).
Per definizione di inversa, si ha che
f −1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2].
Per definizione, per x ∈ [−π/2, +π/2], arcsin (sin (x)) = x.
Per definizione, per y ∈ [−1, 1], sin (arcsin (y )) = y .
Si mostra che
arcsin(−x) = − arcsin(x)
cioè che arcsin è una funzione dispari.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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Funzioni trigonometriche e le loro inverse.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [−π/2, π/2] (nero),
f −1 (y ) = arcsin y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo
quadrante.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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Funzioni trigonometriche e le loro inverse.
Nota.
Cosa succede se invece di prendere quale intervallo di periodicità
[−π/2, π/2] considero un altro intervallo in cui sin (x) è monotona?
Supponiamo si consideri f (x) = sin (x) come funzione
f : [π/2, 3π/2] → [−1, 1]. Sicuramente f è invertibile, ma il valore
dell’inversa sarà in [π/2, 3π/2] e non in [−π/2, π/2].
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [π/2, 3π/2] (nero), f −1 (y ) (rosso).
Paola Mannucci
Sommariva
Introduzione.
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In blue la bisettrice
dele Alvise
primo
e del terzo
quadrante.
Funzioni trigonometriche e le loro inverse.
La funzione f (x) = cos (x), se considerata come f : R → R non è
invertibile (in quanto periodica).
I
Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicità ) [0, π],
ciè come f : [0, π] → [−1, 1], essendo strettamente
decrescente e Im(f ) = [−1, 1], risulta invertibile.
I
La sua inversa si chiama arco coseno ed è denotata con
arccos(x) (talvolta acos(x)).
I
Per definizione di inversa, si ha che f −1 : [−1, 1] → [0, π].
I
Per definizione, per x ∈ [0, π], arccos (cos (x)) = x.
I
Per definizione, per y ∈ [−1, 1], cos (arccos (y )) = y .
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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Funzioni trigonometriche e le loro inverse.
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura : La funzione f (x) = cos (x) in [0, π] (nero), f −1 (y ) = arccos y
(rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
52/ 55
Funzioni trigonometriche e le loro inverse.
La funzione f (x) = tan (x), se considerata come f : R → R non è
invertibile (in quanto periodica).
I
Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicità )
[−π/2, +π/2], ciè come f : [−π/2, +π/2] → R, essendo
strettamente decrescente e Im(f ) = R, risulta invertibile.
I
La sua inversa si chiama arco tangente ed è denotata con
arctan(x) (talvolta atan(x)).
I
Per definizione di inversa, si ha che f −1 : R → [−π/2, +π/2].
I
Per definizione, per x ∈ [−π/2, +π/2], arctan (tan (x)) = x.
I
Per definizione, per y ∈ R, tan (arctan (y )) = y .
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
53/ 55
Funzioni trigonometriche e le loro inverse.
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura : La funzione arctan (y ) in [−10, 10]
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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Funzioni trigonometriche e le loro inverse: esercizio.
Esercizio
Dire per quali valori di x è definita
f (x) = arccos (x 3 − 8).
La funzione è definita per
|x 3 − 8| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x 3 − 8 ≤ 1.
Con facili conti si ottiene che devono valere entrambe le
3
x ≤9
x3 ≥ 7
e quindi dalla monotonicità stretta di x 3 , per
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
√
3
7≤x ≤
55/ 55
√
3
9.
Esercizio 1 sui domini di una funzione
Esercizio
Calcolare il dominio di f (x) = cosh(log |x 2 − 1|).
Essendo R il dominio naturale di cosh, basta sia definita
log |x 2 − 1| e quindi che sia |x 2 − 1| > 0. Essendo |a| = 0 se e solo
se a = 0, basta x 2 − 1 6= 0, cioè x 6= ±1.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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Esercizio 2 sui domini di una funzione
Esercizio
Calcolare il dominio di f (x) = arcsin(e
|x+2|
x
).
La funzione arcsin è definita per argomenti y tale che |y | ≤ 1. Di
conseguenza bisogna richiedere che
|x+2|
|e x | ≤ 1
ed essendo l’esponenziale di un numero sempre positivo, basta
|x+2|
e x ≤ 1.
Essendo il logaritmo una funzione crescente, ciò è vero se e solo se
|x+2|
log(e x ) ≤ log (1) = 0
|x+2|
cioè x ≤ 0. Essendo |x + 2| ≥ 0, ciò è possibile se x 6= 0 e
|x + 2| = 0, cioè x = 2 oppure x < 0.
Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione.
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