V ITI INFORMATICA
CORSO DI SISTEMI
a.s. 2012/13
MODULO 2
Rappresentazioni grafiche: Bode e Nyquist
U.D.2.5:
o Diagrammi di Nyquist: regole di tracciamento;
U.D.2.3:
o Stabilità di un sistema reazionato;
U.D.2.4:
o Criterio di Bode;
o Esercizi risolti;
Obiettivi del modulo: Saper analizzare la stabilità di un circuito attraverso il criterio di Nyquist.
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MODULO 02 – Rappresentazioni grafiche: Bode e Nyquist
U. D. 2.5: Diagramma di Nyquist, regole di tracciamento; U.D. 2.6: Stabilità di un sistema reazionato;
U.D. 2.7: Criterio di Bode
SOMMARIO
SOMMARIO ........................................................................................................................ 2
1.
DIAGRAMMI POLARI DI NYQUIST ........................................................................... 3
1.1.
Definizione ............................................................................................................. 3
1.2.
Regole di tracciamento........................................................................................... 4
1.3.
Esempio sul calcolo dei limiti .................................................................................. 5
1.4.
ESERCIZIO 5.1 ...................................................................................................... 7
Svolgimento ..................................................................................................................... 7
1.5.
ESERCIZIO 5.2 ...................................................................................................... 8
Svolgimento ..................................................................................................................... 8
1.6.
ESERCIZIO 5.3 ...................................................................................................... 9
Svolgimento ..................................................................................................................... 9
I CASO: K0>0
.................................................................................. 9
II CASO: K0>0
........................................................................... 10
III CASO: K0>0
.............................................................................. 11
1.7.
ESERCIZIO 5.4 .................................................................................................... 12
Svolgimento ................................................................................................................... 12
1.8.
ESERCIZIO 5.5 .................................................................................................... 14
Svolgimento ................................................................................................................... 14
I CASO: K0>0
.......................................................................... 14
II CASO: K0>0
......................................................................... 15
2.
Esempi .................................................................................................................... 16
3.
Analisi della stabilità di un Sistema .......................................................................... 19
1.1.
Definizione di stabilità........................................................................................... 19
1.2.
Sistemi a catena chiusa (o reazionati) .................................................................. 22
1.3.
Guadagno d’anello ............................................................................................... 24
1.4.
Disturbi ................................................................................................................. 25
1.5.
Criteri di stabilità: criterio di Nyquist ...................................................................... 26
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U. D. 2.5: Diagramma di Nyquist, regole di tracciamento; U.D. 2.6: Stabilità di un sistema reazionato;
U.D. 2.7: Criterio di Bode
1. DIAGRAMMI POLARI DI NYQUIST
1.1.
Definizione
Il diagramma polare di una funzione complessa F(s), definito anche come diagramma di
Nyquist, si disegna rappresentando la sua parte immaginaria e reale al variare della pulsazione ω.
In particolare, ponendo s=jω, la F(s) diventerà una funzione complessa con parte reale e
immaginaria dipendente da ω.
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U. D. 2.5: Diagramma di Nyquist, regole di tracciamento; U.D. 2.6: Stabilità di un sistema reazionato;
U.D. 2.7: Criterio di Bode
1.2.
Regole di tracciamento
Per tracciare il suddetto diagramma occorre procedere con i seguenti passi.
1. calcolo dei seguenti limiti:
(Si veda esempio sul calcolo dei limiti)
2. disegnare gli zeri e i poli sul grafico σ/ω (detto anche piano delle radici):
Nel diagramma, i poli vengono indicati con una x, mente gli zeri con una o.
ω
3. tracciare il grafico qualitativo nel piano Re{ F (j ω)}/ Im { F (j ω)} al variare di ω,
tenendo conto che:
a) i poli negativi (p<0) fanno ruotare la curva in senso orario
b) i poli positivi (p>0) fanno ruotare la curva in senso antiorario
c) gli zeri negativi (z<0) fanno ruotare la curva in senso antiorario
d) gli zeri positivi (z>0) fanno ruotare la curva in senso orario
e) l’ordine con cui gli zeri e i polo si trovano sul piano σ/ω
4. orientare la curva con delle frecce da ω0+ a ω+∞
5. completare il diagramma disegnando la curva simmetrica di quella tracciata rispetto
all’asse orizzontale, orientandola da ω-∞ a ω 0- in modo da completare la
curva precedente.
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U. D. 2.5: Diagramma di Nyquist, regole di tracciamento; U.D. 2.6: Stabilità di un sistema reazionato;
U.D. 2.7: Criterio di Bode
1.3.
Esempio sul calcolo dei limiti
1. determinare la costante (K), gli zeri (Z) e i poli (P) e calcolare KF e la sua fase:
K = 10
p = -100 ω = 100 rad/sec
Kst = K(-Z)/(-P) = 10/100 = 1/10 >0
< KF =
0°
2. sostituire s = j ω nella F(s):
F(j ω) = 10 / (j ω +100)
3. calcolare i limiti del modulo, sostituendo ad ω i rispettivi punti:
4. calcolare i limiti della fase rispettando queste regole:
A) Per il calcolo del primo limite occorre tenere conto solo dei contributi di KF e di
eventuali zeri o poli all’origine. In particolare:
a)
b)
c) calcolo del limite del nostro esempio:
B) Per il calcolo del secondo limite, occorre tenere conto sia del risultato del primo
limite, sia dei contributi di fase dei vari zeri e poli, secondo queste regole:
a)
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b)
c) calcolo del limite del nostro esempio:
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1.4.
ESERCIZIO 5.1
Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento:
Con: K0, τ1, τ2 >0
Svolgimento
I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0+, risultano:
Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a
, risultano:
Dati tali risultati, scaturisce il seguente diagramma di Nyqyust, nel quale viene riportato in
rosso il grafico con
ed in blu la parte di grafico dovuta ad
Generalmente viene disegnato solamente l’andamento qualitativo dovuto ad
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1.5.
ESERCIZIO 5.2
Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento:
Con: K0, τ1, τ2, τ3 >0
Svolgimento
I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0+, risultano:
Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a
, risultano:
Rispetto all’esercizio 5.1, si può notare che l’aggiunta di un polo ha avuto l’effetto di far
ruotare il diagramma in senso orario.
L’aggiunga di uno zero avrebbe avuto l’effetto opposto.
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1.6.
ESERCIZIO 5.3
Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento:
Svolgimento
Analizziamo i vari casi:
I CASO:
K0>0
I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0+, risultano:
Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a
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, risultano:
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II CASO:
K0>0
In questo caso lo zero fa sentire prima il suo effetto, per cui, anche se la fase finale tende
comunque a 180° come nel caso precedente, il diagramma finale risulta essere il seguente:
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III CASO:
K0>0
Questa volta lo zero farà sentire da subito il suo effetto, per cui il diagramma prima tenderà
a 90°, ma in seguito l’azione dei tre poli lo porterà a -180°, come mostra il seguente diagramma:
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U.D. 2.7: Criterio di Bode
1.7.
ESERCIZIO 5.4
Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento:
Svolgimento
I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0+, risultano:
Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a
, risultano:
Dal risultato di tali limiti, si ha il seguente diagramma di Nyquist:
Le intersezioni con gli assi si determinano imponendo le seguenti condizioni:
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Analogamente si determina l’intersezione con l’asse reale:
Per determinare l’asintoto verticale, bisogna invece calcolare il seguente limite:
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1.8.
ESERCIZIO 5.5
Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento:
Svolgimento
Analizziamo i diversi casi:
I CASO:
K0>0
I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0+, risultano:
Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a
, risultano:
Dal risultato di tali limiti, si ha il seguente diagramma di Nyquist:
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II CASO:
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K0>0
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2. Esempi
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z1
p1
σ
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jω
p2
p1
z1
σ
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3. Analisi della stabilità di un Sistema
STABILE
1.1.
INSTABILE
Definizione di stabilità
Un sistema si dice stabile se ad un ingresso x(t) limitato, corrisponde un segnale di
uscita y(t) pure limitato.
x
y
(t)
SISTEMA
(t)
t
t
Studiare la stabilità di un sistema, significa quindi analizzare come reagisce il sistema
quando in ingresso sono presenti disturbi o rumori esterni, facendone variare le caratteristiche
della grandezza di uscita.
In genere un sistema, quando è sottoposto ad opportuni ingressi, tende a stabilizzarsi,
dopo un certo tempo che chiameremo transitorio, ad un valore ben preciso e costante, che
chiameremo valore di regime.
Se per diverse cause (rumori o disturbi), gli ingressi subiscono variazioni, il sistema reagirà
modificando la sua uscita, in modo da trovare un nuovo equilibrio.
In particolare:
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se la variazione, che è presente durante il transitorio, tende comunque a cessare, per cui
l’uscita si porterà nuovamente al suo valore di regime iniziale, allora il sistema si dirà stabile;
se invece la variazione tende a crescere, il sistema si dirà instabile e l’uscita tenderà a
crescere di ampiezza finché sarà limitata dalle non linearità del sistema stesso.
Nel caso di sistemi elettronici, la stabilità dipende dalla funzione di trasferimento che
modellizza il sistema stesso, e in particolare dai suoi poli (cioè i valori che annullano il
denominatore).
In particolare, data una funzione di trasferimento del tipo :
Con:
z = zero della funzione di trasferimento;
p1 e p2 = poli della funzione di trasferimento.
Diremo che:
1. il sistema è instabile quando la sua F(s) presenta almeno un polo positivo
(p>0):
Esempio:
dove: il polo p=+10
a cui corrisponderà un segnale di uscita che tende a crescere esponenzialmente di
ampiezza.
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y
(t)
t
2. il sistema è debolmente stabile se la sua F(s) presenta almeno un polo
all’origine, e tutti gli altri negativi :
Esempio:
dove:
il polo p1=0;
il polo p2=-100<0
in questo caso il sistema, per quanto riguarda il polo nullo, si trova in una situazione
piuttosto critica, perché basterebbe una piccola perturbazione esterna affinché l’uscita aumenti in
modo esponenziale, rendendo instabile il sistema.
y
(t)
t
3. il sistema è stabile se la sua F(s) presenta tutti i poli con parte reale negativa:
Esempio:
dove:
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il polo p1=-10 (<0);
il polo p2=-100 (<0)
in questo caso, anche se in ingresso al sistema si dovesse presentare una perturbazione
esterna, l’uscita, dopo una debole variazione, tenderà ad assestarsi al valore di regime iniziale.
y
(t)
t
1.2.
Sistemi a catena chiusa (o reazionati)
In genere, soprattutto nel campo dell’Elettronica, nasce la necessità di avere dispositivi
molto stabili, nonostante eventuali variazioni degli ingressi (innalzamenti bruschi di tensione o
altro). Per tale motivo si ricorre all’introduzione di opportune reti di reazione negativa che
stabilizzano il sistema stesso e lo proteggono da disturbi esterni: si parla in questi casi di sistemi
reazionati.
Precisiamo che si definisce sistema a catena aperta quello formato da due o più blocchi in
cascata, come mostrato in figura:
Blocco A
Blocco B
X
Si definisce sistema a catena chiusa (o reazionato) quello in cui una parte del segnale di
uscita viene riportata in ingresso mediante un’opportuna rete di reazione, come mostrato in figura:
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G(s) funzione di trasferimento del blocco diretto
In cui:
H(s) funzione di trasferimento del blocco di reazione
In genere per lo studio dei sistemi reazionati, si definiscono due funzioni di trasferimento :
la funzione di trasferimento a catena aperta, ottenuta dallo schema precedente
togliendo la reazione e ponendo il blocco di reazione in cascata al blocco diretto,
come mostrato in figura:
X
H(s)
G(s)
Y
da cui, si ricava:
la funzione di trasferimento a catena chiusa, riferita allo schema generale prima
disegnato, che, con opportuni passaggi matematici, risulta essere:
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Guadagno d’anello
1.3.
La F(s) = G(s) H(s) viene anche chiamata funzione guadagno d’anello, perché rappresenta
il guadagno del sistema a catena chiusa quando non viene applicato nessun segnale di ingresso.
Essa risulta fondamentale per lo studio di un sistema reazionato, perché dal suo segno si
stabilisce il tipo di reazione che si sta utilizzando.
Più precisamente:
se F(s) > 0 si ha un reazione negativa, poiché parte del segnale di uscita viene
prelevato e sfasato di 180° rispetto al segnale di ingresso; come conseguenza, si
avrà che il guadagno complessivo a catena chiusa risulterà più piccolo rispetto al
singolo guadagno del blocco diretto:
W(s) < G(s)
se F(s) < 0 si ha una reazione positiva, poiché parte del segnale di uscita viene
prelevato e riportato in fase con il segnale di ingresso; in tal caso si avrà l’effetto
contrario, e cioè:
W(s) > G(s)
In genere, la reazione positiva viene usata per quelle applicazioni in cui si vuole rendere
instabile un sistema elettronico: è il caso degli oscillatori e dei generatori di segnali periodici.
Invece, la reazione negativa viene utilizzata quasi sempre in quei casi in cui si vuole
stabilizzare dispositivi in modo da renderli immuni dalla presenza di perturbazioni esterne
indesiderate (ad es. negli amplificatori,…).
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1.4.
Disturbi
Si definisce disturbo qualunque segnale esterno indesiderato che interagisce col sistema
in un punto qualunque dello schema a blocchi.
In particolare, facendo riferimento alla seguente figura:
Si può affermare che:
1. per quanto riguarda il disturbo D1 presente in ingresso, risulta quello più pericoloso,
perché si somma sin dall’inizio al segnale utile che ci interessa e con esso
amplificato; per tale motivo, se il segnale di ingresso non ha un’ampiezza molto più
grande del disturbo stesso, in uscita rischia di ‘annegare’ nel rumore: è necessario
allora porre in ingresso un opportuno filtro che tagli i segnali indesiderati e permetta
il passaggio solo di quelli utili, ottenendo così in uscita un rapporto segnale/rumore
molto alto (S/N +∞).
2. per quanto riguarda invece il disturbo D2 presente nella fase intermedia della
catena, può considerarsi trascurabile, in quanto, per effetto della reazione, verrà
quasi totalmente attenuato rispetto al segnale utile.
In conclusione, sono più pericolosi i disturbi in ingresso rispetto a quelli intermedi, perché
vengono maggiormente amplificati e quindi presenti ancora nel segnale di uscita, anche se
attenuati per effetto della reazione negativa.
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1.5.
Criteri di stabilità: criterio di Nyquist
Per studiare la stabilità di un sistema reazionato, esistono diversi metodi sia matematici sia
grafici, ma quello più usato, senza dubbio, risulta il Criterio di Nyquist.
Per applicare il criterio di Nyquist occorre tracciare nel piano complesso il diagramma
polare di W(s), tenendo presente che la parte di diagramma relativa alle pulsazioni negative (da
a 0), è speculare rispetto all’asse reale al diagramma tracciato per ω che va da 0 a
, che
solitamente si traccia come modello grafico di una F.d.T. Il diagramma polare così costruito, con la
prosecuzione matematica nel campo delle pulsazioni negative, prende il nome di diagramma
polare completo.
Il criterio di Nyquist (generalizzato), per un sistema come quello in figura,
in cui:
(Funzione di trasferimento a catena chiusa)
(Funzione di trasferimento a catena aperta, o ‘Guadagno
d’anello)
afferma che: “un sistema è stabile se il diagramma polare completo della F.d.T. di
anello W(s) compie intorno al punto di coordinate (-1,j0) (detto punto critico), mentre la
pulsazione va da
tante rotazioni complete in senso antiorario quanti sono i poli a
parte reale positiva della funzione W(s)”
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U.D. 2.7: Criterio di Bode
Se dovesse sorgere qualche dubbio nel valutare se un diagramma ruota o meno intorno al
punto critico, si prenda in considerazione il vettore che, con origine nel punto critico, descrive con
la sua punta il diagramma al variare di ω, che va da
a
; in ogni angolo giro descritto nel
movimento corrispondente ad una rotazione completa in un verso o nell’altro.
In definitiva, semplificando, si può dire che: il criterio di Nyquist afferma che se disegnando il
grafico della F(s) nel digramma polare di Nyquist, si ottiene che la curva:
non circonda il punto (-1, j0), il sistema risulta stabile;
passa per il punto (-1, j0), il sistema risulta debolmente stabile;
circonda il punto (-1, j0), il sistema risulta instabile.
Quello appena esposto prende il nome di criterio di Bode:
Un sistema di controllo in retroazione, avente funzione d’anello aperto stabile (P=0),
è a sua volta stabile se e solo se il diagramma di NUquist della funzione d’anello aperto non
compie giri attorno al punto (-1,0).
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