Diagrammi di Bode

Diagrammi di Bode
Mattia Natali
20 giugno 2011
Indice
1 Equazioni componenti elettronici
1
2 Funzione di trasferimento
2.1 Guadagno d’anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3 Diagramma di Bode
3.1 Rappresentazione Poli e Zeri .
3.1.1 Costante . . . . . . . . .
3.1.2 Polo Reale . . . . . . . . .
3.1.3 Zero reale . . . . . . . . .
3.1.4 Polo nell’origine . . . . .
3.1.5 Zero nell’origine . . . . .
3.1.6 Poli complessi coniugati
3.1.7 Zeri complessi coniugati
3.2 Considerazioni utili . . . . . . .
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
1
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Equazioni componenti elettronici
Componente
Resistore
Condensatore
Induttore
Dominio del Tempo
v (t) = R · i (t)
dv (t)
i (t) = C
dt
di (t)
v (t) = L
dt
Dominio della Frequenza
V (s) = R · I (s)
I (s) = s · C · V (s)
V (t) = s · L · I (s)
Impedenza Simbolica
Z (s) = R
1
Z (s) =
s·C
Z (s) = s · L
Tabella 1: componenti elettronici nei vari domini
L’impedenza simbolica Z (s) è definita come il rapporto tra V (s) e I (s) che sono le trasformate di Laplace della tensione e della corrente (vedi colonna “Dominio della Frequenza”). Quindi:
V (s)
.
Z (s) =
I (s)
Ricordiamo che s = jω.
2
Funzione di trasferimento
Per ricavare la funzione di trasferimento di un circuito si deve:
1
Diagrammi di Bode
Elettronica
Mattia Natali
• Sostituire ogni componente (R, L, C) del circuito con la corrispondente impedenza simbolica Z (s);
• Risolvere la rete così ricavata applicando Kirchhoff come se fosse una normale rete resistiva;
• Ricavare l’uscita Y (s) in funzione dell’ingresso X (s) e delle impedenze simboliche Z (s);
• Calcolare la funzione di trasferimento H (s) come il rapporto tra l’uscita Y (s) e l’ingresso
X (s):
Y (s)
H (s) =
X (s)
I valori che annullano il numeratore vengono chiamati zeri, mentre quelli che annullano il
denominatore poli. Il semiasse immaginario di H (s) descrive il comportamento della frequenza
del circuito. Possiamo inoltre notare che la parte immaginaria è simmetrica rispetto all’asse
reale, ossia Im (s) < 0 = Im (s) > 0 quindi è sufficiente studiare il semiasse positivo.
2.1
Guadagno d’anello
Per calcolare il Gloop :
1. Spegnere i generatori forzanti (se è un generatore di tensione cortocircuitate, se è di
corrente ponete un circuito aperto).
2. Interrompere idealmente l’anello di reazione in un punto a scelta.
3. Ricostruite l’impedenza vista dal circuito prima e dopo del taglio, un consiglio è di tagliare
all’uscita dell’amplificatore operazionale così da non dover ricostruire nessuna impedenza.
4. Applicare un segnale di corrente o di tensione nel punto dov’è avvenuto il taglio e valutare
la tensione o la corrente al capo opposto del taglio.
5. Una volta calcolato Gloop possiamo calcolare il guadagno reale in questo modo:
−Gloop
Greale = Gid ·
1 − Gloop
3
Diagramma di Bode
È un grafico bi-logaritmico: sulle ascisse abbiamo la pulsazione ω oppure la frequenza f = ω/2π,
l’asse delle ordinate è rappresentato in decibel (dB) ossia
Gdb = 20 log10 (G)
Solitamente i diagrammi di Bode sono due: uno rappresenta il modulo della funzione di traferimento |H (s)| mentre il secondo la fase ∠H (s).
Il diagramma è particolarmente utile per rappresentare il comportamento del circuito in
base alla pulsazione o frequenza del segnale.
2
Diagrammi di Bode
3.1
Elettronica
Mattia Natali
Rappresentazione Poli e Zeri
In questa parte vengono trattate le rappresentazioni dei vari poli e zeri in modo asintotico,
in pratica con linee spezzate nel diagramma di Bode: è una rappresentazione approssimata
soprattutto vicino ai poli e zeri. Ricordo inoltre che ciò che ho scritto valgono per gli esempi
a cui si riferiscono, quindi, per esempio nel polo reale, quando dico che il diagramma di Bode
inizia a 0dB non è detto che debba iniziare sempre a 0dB.
3.1.1
Costante
H (jω) = K
• Modulo: |H (jω)| = K (linea costante nel tempo).
∠ |H (jω)| = 0
con K > 0
• Fase:
in altre parole se K < 0 abbiamo uno sfasa∠ |H (jω)| = −π oppure π con K < 0
mento di π, possiamo decidere ad arbitrio se π oppure −π.
3.1.2
Polo Reale
Abbiamo come esempio:
H (s) =
1
−→ H (jω) =
1 + ωs0
1
1+
jω
ω0
• Modulo: il diagramma di Bode rimane a 0dB fino alla frequenza ω = ω0 e poi diminuisce
con pendenza di −20dB/decade.
• Fase: seguire l’asintoto a bassa frequenza fino alla frequenza corrispondente a un decimo
di ω0 ossia fino ad una decade prima di ω0 , poi scendere linearmente fino ad incontrare l’asintoto ad alta frequenza che si trova a dieci volte ω0 , ossia una decade dopo. Il contributo
complessivo di un polo è −90°. Se abbiamo disegnato correttamente il grafico dobbiamo
avere in ω = ω0 una fase ∠H (jω) = − π4 → −45°.
3.1.3
Zero reale
Consideriamo:
H (s) = 1 +
s
jω
−→ H (jω) = 1 +
ω0
ω0
• Modulo: il diagramma di Bode rimane a 0dB fino alla frequenza ω = ω0 e poi aumenta con
pendenza di +20dB/decade.
• Fase: seguire l’asintoto a bassa frequenza fino alla frequenza corrispondente a un decimo
di ω0 ossia fino ad una decade prima di ω0 , poi salire linearmente fino ad incontrare l’asintoto ad alta frequenza che si trova a dieci volte ω0 , ossia una decade dopo. Il contributo
complessivo di un polo è +90°. Se abbiamo disegnato correttamente il grafico dobbiamo
avere in ω = ω0 una fase ∠H (jω) = + π4 → +45°.
3
Diagrammi di Bode
3.1.4
Elettronica
Mattia Natali
Polo nell’origine
Consideriamo:
H (s) =
1
1
−→ H (jω) =
s
jω
• Modulo: come modulo abbiamo |H (jω)| = ω1 quindi questa funzione è rappresentata da
una linea retta con pendenza −20dB/decade che passa per 0dB in ω = 1rad/s.
1
• Fase: abbiamo che ∠H (jω) = ∠ jω
= ∠ −j ω1 = − π2 , quindi un polo nell’origine introduce
uno sfasamento di − π2 → −90° costante, partendo dall’origine delle frequenze (ossia dalla
continua).
3.1.5
Zero nell’origine
Consideriamo:
H (s) = s −→ H (jω) = jω
• Modulo: come modulo abbiamo |H (jω)| = ω quindi questa funzione è rappresentata da
una linea retta con pendenza +20dB/decade che passa per 0dB in ω = 1rad/s.
• Fase: abbiamo che ∠H (jω) = ∠ (jω) = + π2 , quindi uno zero nell’origine introduce uno
sfasamento di + π2 → +90° costante, partendo dall’origine delle frequenze (ossia dalla
continua).
3.1.6
Poli complessi coniugati
Prendiamo come esempio:
H (s) =
ω02
=
s2 + 2ξω0 s + ω02
1
s
ω0
2
+ 2ξ
s
ω0
con 0 < ξ < 1
+1
• Modulo: il diagramma di Bode rimane a 0dB
p fino alla frequenza ω = ω0 , poi diminuidB/decade. In ω = ω
sce con pendenza
di
−40
1 − 2ξ 2 c’è un picco di ampiezza |H (jωr )| =
0
p
√
−20 log 2ξ 1 − ξ 2 se 0 < ξ < 1/ 2 = 0, 707.
• Fase: a basse frequenze (ω ω0 ) abbiamo ∠H (jω) ≈ −arctan (0) = 0rad quindi avremo uno
sfasamento costante a 0rad → 0°. Ad alte frequenze (ω ω0 ) abbiamo uno sfasamento
di −π → −180°. A ω = ω0 abbiamo uno sfasamento di − π2 → −90°. Più ξ è piccolo, più la
transizione tra 0rad → −πrad è verticale.
3.1.7
Zeri complessi coniugati
È identico a quello che ho scritto per i poli complessi coniugati, basta sostituire i meno con i
più.
3.2
Considerazioni utili
• f1 A1 = f2 A2 il prodotto guadagno, banda è costante.
4