FORMULARIO

FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
1
Propagazione in mezzi omogenei
Soluzione di onda piana nel DT
e(r, t) = e+ (r · k̂ − vt) ,
h(r, t) = 1 k̂ × e+ (r · k̂ − vt) ,
ζ
con k̂ versore di propagazione dell’onda e
1
µ
,
v=√ .
ζ=
ε
εµ
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
Mezzo dielettrico
E’ detto mezzo dielettrico un mezzo per cui µ µ0 e σ/ωε << 1.
Nel caso in cui oltre alla conducibilità σ siano presenti perdite di isteresi dielettrica, cioè
ε = ε1 − jε2 , si ha
tan(γ)
√
k ω ε 1 µ0 1 − j
,
2
tan(γ)
µ0
ζ
1+j
,
ε1
2
dove γ è definito angolo di perdita
tan(γ) =
Per il vuoto ε0 = 8.854185 10−12 F/m e µ0 = 4π 10−7 H/m, da cui
1
µ0
120π 377 Ω ,
v=√
= c 300 106 m/s .
ζ0 =
ε0
ε0 µ0
Soluzione di onda piana nel DF
r, ω) = E
+ (ω) exp(−jk · r) ,
E(
r, ω) ,
r, ω) = 1 k × E(
H(
ζ
+ = 0 ,
k̂ · E
dove k̂ è il versore di propagazione dell’onda e k = k k̂ con
√
k = ω εµ = β − jα ,
Plasma ad un solo costituente, freddo e privo di collisioni
εeq = ε0 1 −
ωp2
ω2
,
σ + ωε2
.
ωε1
Mezzo conduttore
E’ detto mezzo conduttore un mezzo per cui σ/ωε >> 1.
ωµc σ
,
k (1 − j)
2
ωµc
,
ζ (1 + j)
2σ
da cui, definendo δ = 2/ωµc σ profondità di penetrazione,
k
1−j
,
δ
ζ
1−j
.
σδ
k · k = ω 2 εµ = k 2 .
Lunghezza d’onda λ = 2π/β. Velocità di fase vf = ω/β. Velocità di gruppo vg = ∂ω/∂β.
ωp2 =
Condizioni al contorno
mezzo reale
p.e.c
p.m.c.
1 = n
2 n
×E
×E
1 = 0
n
×E
1 = −Jms
n
×E
1 = Js
n
×H
1 = 0
n
×H
1 = ρs
n
·D
1 = 0
n
·D
1 = 0
n
·B
1 = ρms
n
·B
S
N q2
ε0 m
,
S
1 = n
2 n
×H
×H
S
con N numero di elettroni per unità di volume. Nel caso della ionosfera, essendo la carica
dell’elettrone q = −1.602 10−9 C e la massa dell’elettrone m = 9.10956 10−31 Kg, si ha
√
ωp
fp =
8.98 N .
2π
Velocità di fase vf = c/ 1 − ωp2 /ω 2 . Velocità di gruppo vg = c2 /vf .
2
1 = n
2 n
·D
·D
S
1 = n
2 n
·B
·B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
3
Polarizzazione di un’onda piana
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
Riflessione e rifrazione di un’onda piana alla superficie di discontinuità fra due mezzi
e(z, t)|z=0 = ex x̂ + ey ŷ = ax cos(ωt + δx )x̂ + ay cos(ωt + δy )ŷ .
• Polarizzazione lineare: ax , ay qualunque, δ = δy − δx = 0 oppure δ = δy − δx = π.
Polarizzazione Parallela
Angolo che il vettore campo elettrico forma con l’asse x al variare del tempo
α = arctan(ey /ex ) = arctan(ay /ax ) = cost .
• Polarizzazione circolare: a = b, δ = δy − δx = ±π/2.
δ = δy − δx = +π/2 polarizzazione circolare sinistrorsa (LHCP);
δ = δy − δx = −π/2 polarizzazione circolare destrorsa (RHCP).
Angolo che il vettore campo elettrico forma con l’asse x al variare del tempo
α = arctan(ey /ex ) = ∓ωt .
• Polarizzazione ellittica: ax , ay arbitrari, δ = δy − δx arbitrario.
0 < δ = δy − δx < π
Polarizzazione parallela: geometria del problema.
polarizzazione sinistrorsa (LH);
−π < δ = δy − δx < 0 polarizzazione destrorsa (RH).
• Campo incidente
Angolo che il vettore campo elettrico forma con l’asse x al variare del tempo:
a cos(ωt + δ ) y
y
α = arctan(ey /ex ) = arctan
.
ax cos(ωt + δx )
Angolo di orientazione ψ (angolo compreso tra l’asse x e il semiasse maggiore)
2ax ay
tan(2ψ) = 2
cos(δ) .
ax − a2y
Semiasse maggiore a e minore b dell’ellisse
ax ay | sin(δ)|
a= ,
a2x sin(ψ)2 + a2y cos(ψ)2 − ax ay sin(2ψ) cos(δ)
+(1) e−jk1 îk1 ·r ,
i = E
E
i = 1 îk1 × E
i ,
H
ζ1
con r = xx̂ + y ŷ + z ẑ e
+(1) = E+(1) (cos θ1 ŷ + sin θ1 ẑ) ,
E
Quindi
i = E+(1) (cos θ1 ŷ + sin θ1 ẑ)e−jk1 sin θ1 y ejk1 cos θ1 z ,
E
(1)
i = E+ x̂e−jk1 sin θ1 y ejk1 cos θ1 z .
H
ζ1
x'
y
e
a
b ! <
Angolo di eccentricità γ
• Campo riflesso
x
r = E
−(1) e−jk1 îk1 ·r ,
E
r = 1 îk × E
r ,
H
ζ1 1
b
tan(γ) = ± ,
a
dove
(1)
E+ ∈ C
îk1 = sin θ1 ŷ − cos θ1 ẑ .
ax ay | sin(δ)|
.
b= a2x cos(ψ)2 + a2y sin(ψ)2 + ax ay sin(2ψ) cos(δ)
y'
con
2ax ay
sin(2γ) = 2
sin(δ) ,
ax + a2y
π
π
− ≤γ≤ .
4
4
4
−(1) = E−(1) (cos θ1 ŷ − sin θ1 ẑ) ,
E
îk1 = sin θ1 ŷ + cos θ1 ẑ .
(1)
E− ∈ C
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
Quindi
5
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
6
Polarizzazione perpendicolare
r
E =
(1)
E− (cos θ1 ŷ − sin θ1 ẑ)e−jk1 sin θ1 y e−jk1 cos θ1 z
(1)
E−
−jk1 sin θ1 y −jk1 cos θ1 z
r =−
H
ζ1
x̂e
e
,
.
• Campo trasmesso
t = E
+(2) e−jk2 îk2 ·r ,
E
t = 1 îk2 × E
t ,
H
ζ2
Polarizzazione perpendicolare: geometria del problema.
con
+(2) = E+(2) (cos θ2 ŷ + sin θ2 ẑ) ,
E
(2)
E+ ∈ C ,
îk2 = sin θ1 ŷ − cos θ1 ẑ .
Coefficiente di riflessione perpendicolare
Γ⊥ =
Quindi
t = E+(2) (cos θ2 ŷ + sin θ2 ẑ)e−jk2 sin θ2 y ejk2 cos θ2 z ,
E
Coefficiente di trasmissione perpendicolare
(2)
t = E+ x̂e−jk2 sin θ2 y ejk2 cos θ2 z .
H
ζ2
Coefficiente di riflessione parallela
Γ =
(1)
E cos θ1
E r · ŷ
ζ2 cos θ2 − ζ1 cos θ1
= −(1)
=
.
i
ζ2 cos θ2 + ζ1 cos θ1
E+ cos θ1
E · ŷ
Coefficiente di trasmissione parallela
τ =
(2)
t · ŷ
E cos θ2
E
2ζ2 cos θ2
= −(1)
=
,
i
ζ2 cos θ2 + ζ1 cos θ1
E+ cos θ1
E · ŷ
da cui risulta τ = 1 + Γ . Per il riferimento assunto in figura risulta
(1)
(1)
E− = E+ Γ ,
(2)
(1) cos θ1
E+ = E+ τ .
cos θ2
(1)
E
E r · x̂
ζ2 cos θ1 − ζ1 cos θ2
= −(1) =
.
i
ζ2 cos θ1 + ζ1 cos θ2
E+
E · x̂
τ⊥ =
(2)
t · x̂
E
E
2ζ2 cos θ1
= +(1) =
.
i
ζ2 cos θ1 + ζ1 cos θ2
E+
E · x̂
Analogamente al caso di polarizzazione parallela vale la relazione τ⊥ = 1 + Γ⊥ e per il
riferimento assunto in figura risulta
(1)
(1)
E− = E+ Γ⊥ ,
(2)
E+
(1)
= E+ τ ⊥ .
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
7
Energia di un campo elettromagnetico
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
8
Linee di Trasmissione
Teorema di Poynting nel DT
Iu
I(z')
∂ d ∂b
+h·
dS +
σ|e|2 dV = −
e · j0 dV .
s · n
dV +
e ·
∂t
∂t
S
V
V
V
Z0
dove s = e × h.
V(z')
Zu
Vu
Z(z')
Teorema di Poynting nel DF
2
2
2
µ2 |H|
σ|E|
ε2 |E|
r · n
+
dV +
dV =
dS + ω
S
2
2
2
S
V
V
· J0 dV ,
=−
E
z
0
Linea chiusa su un generico carico Zu .
V (z) = V+ exp(jkz) + V− exp(−jkz) ,
V−
V+
exp(jkz) −
exp(−jkz) ,
I(z) =
Z0
Z0
V
2 ε1 |E|
2
µ1 |H|
j · n
· J0 dV .
−
dS + 2ω
E
S
dV = −
4
4
S
V
V
z'
dove
j = (E
×H
∗ )/2.
=S
r + j S
dove S
k=ω
Vettore di Poynting associato ad un’onda piana omogenea che si propaga in direzione k̂
Leq = L − jR/ω ,
Leq Ceq = β − jα ∈ C ,
Z0 =
Leq
∈ C,
Ceq
Ceq = C − jG/ω .
2
= 1 |E| k̂ .
S
2 ζ∗
Analisi di una linea di trasmissione chiusa su un generico carico
1
Vu + Z0 Iu ,
2
1
Vu − Z0 Iu ,
V− =
2
V (z) = Vu cos(kz) + jZ0 Iu sin(kz) ,
Vu
I(z) = Iu cos(kz) + j sin(kz) ,
Z0
Zu + jZ0 tan(kz)
.
Z(z) = Z0
Z0 + jZu tan(kz)
V+ =
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
9
Coefficiente di riflessione di tensione Γ(z) (di corrente ΓI (z))
Γ(z) = −ΓI (z) =
V−
V− exp(−jkz)
=
exp(−j2kz) ,
V+ exp(jkz)
V+
V−
Γ(0) =
,
V+
Γ(z) = Γ(0) exp(−j2kz) ,
V (z) = V+ exp(jkz) 1 + Γ(z) ,
V+
exp(jkz) 1 − Γ(z) ,
I(z) =
Z0
1 + Γ(z)
,
Z(z) = Z0
1 − Γ(z)
Z(z) − Z0
Γ(z) =
.
Z(z) + Z0
1 |V+ |2 exp(−2Im{k}z) 1
1 − |Γ(z)|2 + [Γ(z) − Γ∗ (z)] .
P (z) = V (z)I ∗ (z) =
2
2
Z0∗
Per una linea priva di perdite (R = G = 0 ⇒ k = β ∈ R, Z0 = R0 ∈ R)
Pa =
Potenza reattiva
1 |V+ | 1 − |Γ(z)|2 .
2 R0
Potenza progressiva Zu = R0
Pp =
Pj =
Nel caso in cui Zu = R0 e Zg = R0 si ottiene
2
Pmax =
1 |Vg |
.
8 R0
1 |V+ |2
[Γ(z) − Γ∗ (z)] .
2 R0
Potenza disponibile Zin = Zg∗
1 |Vg |2
R0 .
2 |R0 + Zg |2
Pd =
Linee con perdite
Ipotesi di linea con piccole perdite
R ωL ,
G ωC ,
k = β − jα ,
dove
√
β ω LC ,
1 R
R G
1√
+
=
LC
+ R0 G ,
α
2
L C
2 R0
con R0 = L/C si è indicata l’impedenza caratteristica che la linea presenterebbe in
assenza di perdite,
1 G
R
L
1+j
−
= R0 + jX0 .
Z0 C
2 ωC ωL
Potenza complessa fluente attraverso una generica sezione trasversa
2
10
arrestando lo sviluppo di Taylor al primo ordine
Potenza in una linea di trasmissione
Potenza attiva
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
1 |Vg |2
.
8 {Zg }
Considerando nello sviluppo di Taylor anche il termini quadratici:
√
R 2
1 G
−
,
β ω LC 1 +
2 2ωC 2ωL
R G
1 R
1√
+
LC
+ R0 G ,
=
α
2
L C
2 R0
R2
1 G
R
3G2
RG
L
1+ 2 2 − 2 2 + 2
+j
−
R0 .
Z0 C
8ω L
8ω C
4ω LC
2 ωC ωL
Effetto della rugosità
2
α = αs 1 + arctan 1.4 ∆2 /δ 2
,
π
dove αs è la costante di attenuazione valutata nel caso di conduttori perfettamente lisci,
∆ è la rugosità superficiale media e δ la profondità di penetrazione del conduttore.
Condizione di Heaviside
G
R
=
,
ωL
ωC
Z0 =
L
= R 0 ∈ R+ ,
C
√
β = ω LC ,
α = R/R0 > 0 .
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
Comportamento di una linea per particolari valori del carico
11
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
Rapporto d’onda stazionaria
Le linee sono supposte prive di perdite (R = G = 0) per cui
k = β ∈ R+ ,
Z0 = R0 ∈ R+ .
Linea chiusa sulla propria impedenza caratteristica
Linea chiusa su un carico Zu = R0
V+ = Vu ,
V− = 0 ,
Γ(z) = 0 ,
V (z) = Vu exp(jβz) = |Vu | exp(jφu ) exp(jβz) ,
|Vu |
Vu
exp(jβz) =
exp(jφu ) exp(jβz) ,
I(z) =
R0
R0
Z(z) = R0 .
(ROS) =
|V (z)|max
1 + |Γ(z)|
,
=
|V (z)|min
1 − |Γ(z)|
|Γ(z)| = |Γ(0)| =
(ROS) − 1
,
(ROS) + 1
1 + |Γ(0)|
= R0 (ROS) ,
1 − |Γ(0)|
R0
1 − |Γ(0)|
=
.
= R0
1 + |Γ(0)|
(ROS)
|Z(z)|max = R0
|Z(z)|min
Analogia onda piana/linea di trasmissione
Incidenza ortogonale
Linea chiusa in corto circuito
Linea chiusa su un carico ai capi del quale la tensione risulta nulla (Vu = 0)
1
V− = −V+ ,
V+ = Iu R0 ,
2
Γ(z) = − exp(−j2βz) ,
V (z) = 2jV+ sin(βz) = jIu R0 sin(βz) ,
V+
cos(βz) = Iu cos(βz) ,
I(z) = 2
R0
Z(z) = jR0 tan(βz) .
mezzo 1
mezzo 2
z
Linea chiusa in circuito aperto
Linea chiusa su un carico su cui scorre una corrente nulla (Iu = 0)
1
V− = V+ ,
V+ = Vu ,
2
Γ(z) = exp(−j2βz) ,
V (z) = 2V+ cos(βz) = Vu cos(βz) ,
Vu
V+
sin(βz) = j
sin(βz) ,
I(z) = 2j
R0
R0
Z(z) = −jR0 cot(βz) .
z
Equivalenza onda piana/linea di trasmissione: incidenza ortogonale.
Ex,y ↔ V ,
Hy,x ↔ I ,
µ ↔ Leq ,
ε ↔ Ceq ,
Mezzo 2 conduttore elettrico perfetto ↔ corto circuito
1 (z)
= 0 ↔ V1 (z)|z=0 = 0 .
n
×E
z=0
Mezzo 2 conduttore magnetico perfetto ↔ circuito aperto
1 (z)
= 0 ↔ I1 (z)|z=0 = 0 .
n
×H
z=0
12
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
13
Polarizzazione perpendicolare (caso T Ez )
FONDAMENTI DI ELETTROMAGNETISMO – FORMULARIO
Polarizzazione parallela (caso T Mz )
z
(1)
z
E_
^
(1)
k1
(1)
E_
E_
^
k'1
(1)
H_
^
(1)
k1
θ1
H_
θ1
1
^
k'1
(1)
E_
y
2
^
k'2
y
2
E_
(2)
1
^
k'2
(2)
E_
14
(2)
H_
(2)
H_
^
k2
θ2
^
θ2 k2
Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale: polarizzazione perpendicolare (caso T Ez ).
Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale: polarizzazione parallela
(caso T Mz ).
Equivalenza per il generico n–esimo semispazio
Equivalenza per il generico n–esimo semispazio
(n)
V+
(n)
V−
≡
(n)
E+
(n)
E−
,
≡
,
kyn = kn sin θn ,
kzn = kn cos θn ,
ζn
ωµn
Zn =
=
.
cos θn
kzn
Vn (z) =
In (z) =
exp(jkzn z) +
(n)
V+
Zn
(n)
Componenti del campo totale nel generico n–esimo semispazio:
Hxn (y, z) = exp(−jkyn y) In (z) ,
Eyn (y, z) = exp(−jkyn y) Vn (z) ,
Ezn (y, z) = exp(−jkyn y)ζn sin θn In (z) ,
dove
(n)
V+
(n)
kyn = kn sin θn ,
kzn
Zn = ζn cos θn =
.
ωεn
Exn (y, z) = exp(−jkyn y) Vn (z) ,
Hyn (y, z) = − exp(−jkyn y) In (z) ,
sin θn
Vn (z) ,
Hzn (y, z) = − exp(−jkyn y)
ζn
(n)
V− ≡ E− cos θn ,
kzn = kn cos θn ,
Componenti del campo totale nel generico n–esimo semispazio:
dove
(n)
V+ ≡ E+ cos θn ,
(n)
V−
exp(jkzn z) −
exp(−jkzn z) ,
(n)
V−
Zn
exp(−jkzn z) .
(n)
(n)
Vn (z) = V+ exp(jkzn z) + V− exp(−jkzn z) ,
(n)
(n)
V+
V−
exp(jkzn z) −
exp(−jkzn z) .
In (z) =
Zn
Zn