MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a.a. 2009-2010
Complementi ed esercitazioni 3
Sistemi di numerazione e proprietà dei numeri naturali
1. Rappresentazione simbolica dei numeri e decomposizione aritmetica
Ogni sistema di rappresentazione simbolica dei numeri naturali – come ogni sistema di
parole-numero (i numerali) – presuppone la consapevolezza di alcune proprietà o regolarità dei
numeri naturali. Tali sistemi si basano su una decomposizione del numero usando alcuni numeri
privilegiati (ad esempio l’unità, dieci, sessanta, le potenze di dieci) e l’addizione oppure l’addizione
e la moltiplicazione.
ESERCIZI
1) In una tavoletta sumerica risalente al 2850 a.C. ca. sono indicati le seguenti quantità (con in
calce, forse, una firma): quindici sacchi d’orzo, trenta sacchi di grano, sessanta sacchi di ?,
quaranta sacchi di ?, quindici volatili, centoquarantacinque sacchi vari, quindici volatili.
Rappresentare le quantità usando il sistema di numerazione dei sumeri e indicare attraverso
un’espressione aritmetica la decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi
numeri.
Aiuto. Per rappresentare i numeri, bisogna prima chiedersi quale è il simbolo che rappresenta il numero maggiore
che possiamo adoperare, e poi “raggruppare”. Ad esempio, per rappresentare il numero centoquarantacinque
iniziamo da raggruppare per sessanta, poi per dieci, poi per uno (non possiamo raggruppare per seicento).
2) Rappresentare il numero 2360 usando il sistema di numerazione sumerico e indicare
attraverso una espressione aritmetica la decomposizione usata. In una tavoletta sumerica
risalente al 2650 a.C. si trova registrata il numero 2360 usando una decomposizione basata
anche sulla sottrazione 2400 – 40. Provi a scrivere in questo modo il numero usando sempre
i simboli numerici dei sumeri e scriva l’espressione aritmetica della decomposizione usata.
Confronti il numero di simboli utilizzati nelle due rappresentazioni dello stesso numero.
3) In una tavoletta sumerica risalente al 2650 a.C. e relativa a una ripartizione di orzo è
indicato il numero 164.571 di uomini. Rappresenti questa quantità usando il sistema di
numerazione dei sumeri e indichi attraverso un’espressione aritmetica la decomposizione
usata. Questa tavoletta è riprodotta in una delle lezioni del materiale didattico, dove può
verificare la rappresentazione trovata.
4) Rappresenti centosessantatre, duecentosettantacinque, duemiladue usando il sistema di
numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione aritmetica la
decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi numeri. Quanti simboli ha
utilizzato per ognuno di questi numeri.
5) Nella testa della mazza del re Narmer (3050 a.C. ca.) è rappresentato un bottino ricavato dal
sovrano: 400.000 bovini, 1422.000 ovini e 120.000 prigionieri. Rappresenti queste quantità
1
usando il sistema di numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione
aritmetica la decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi numeri.
6) Sul monumento alla vittoria del re Khasekhemi (2750 a.C. ca.) il numero dei ribelli del
Basso Egitto che sono “sotto la pianta del re” è 47.208. Rappresenti tale numero usando il
sistema di numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione aritmetica
la decomposizione usata per rappresentarlo.
7) Scriva un’espressione aritmetica che indichi la decomposizione usata per rappresentare con i
simboli maya le quantità di giorni dell’esercizio 17 (di Letture ed esercitazioni 2).
2. Sistemi di numerazione posizionali e teorema di rappresentazione
I sistemi di numerazione basata sul principio posizionale adoperano una decomposizione del
numero che usa l’addizione, la moltiplicazione, e le potenze della base. Iniziamo a raggruppare per
la potenza maggiore possibile della base, e poi raggruppiamo per le potenze successive. Lo
sfruttamento sistematico di tale decomposizione rende evidente la consapevolezza raggiunta delle
proprietà dei numeri naturali.
Infatti, fissata una base, una proposizione o teorema della matematica afferma che ogni
numero naturale (ossia gli interi positivi) può essere rappresentato o decomposto in questo modo e
che tale rappresentazione è unica (non è possibile rappresentare lo stesso numero accostando un
diverso gruppo di cifre). Quindi, la rappresentazione posizionale dei numeri non è ambigua, a
differenza di ciò che succede con la rappresentazione con parole o con la scrittura alfabetica di altri
concetti astratti). Questa affermazione ci può sembrare scontata, ma lo è soltanto perché essa è
strettamente legata alla nostra intima consapevolezza delle regolarità dei numeri naturali.
Scriviamo di seguito l’enunciato della proposizione, notando la precisione del linguaggio
matematico nello esprimere un’affermazione che può sembrare “scontata”. Si osservi che k è il
numero delle cifre che permettono di scrivere il numero; ognuna delle cifre usate, indicate con ai ,
rappresenta un numero minore della base scelta.
PROPOSIZIONE (RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NATURALI) Sia b un numero naturale maggiore di 1.
!
Ogni numero naturale n può essere rappresentato in modo unico nella forma
n = ak " b k + ak#1 " b k#1 + ...+ a3 " b 3 + a2 " b 2 + a1 " b1 + ao
con k un numero naturale, a0 , a1, a2 , ..., ak numeri naturali minori di b e ak " 0
! affermazione matematica può essere dimostrata, sulla base delle proprietà dei numeri
Questa
naturali che studieremo nelle prossime lezioni (il principio di induzione e la proposizione
!
!
dell’esistenza e unicità
di quoziente e resto nella divisione con resto).
La rappresentazione dei numeri grazie al sistema di numerazione posizionale decimale è il
fondamento degli algoritmi in colonna delle “quattro operazioni” della scuola primaria: infatti,
questi algoritmi sono costituiti da istruzioni da eseguire sulle cifre che rappresentano due o più
numeri, istruzioni che includono la collocazione o allineamento di tali cifre per non perdere
l’informazione sulla posizione.
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Parole-numero: esercizi sulla legge di formazione dei numerali
8. Sostituisca le nove cifre del sistema di numerazione posizionale decimale con le prime nove
lettere dell’alfabeto e lo zero con la lettera j. Provi a scrivere i numeri da dieci fino a centouno
adoperando questi nuovi simboli. Scriva anche centoventicinque.
9. Rappresenti i numerali cardinali italiani a partire dai quali si formano tutti i numerali cardinali
con le lettere dell’alfabeto (rispettando l’ordine) e provi a scrivere i numerali cardinali da dieci fino
a centouno adoperando questi nuovi simboli. Scriva anche centoventicinque.
10. Rappresenti i numerali cardinali inglesi a partire dai quali si formano tutti i numerali cardinali
con le lettere dell’alfabeto (rispettando l’ordine) e provi a scrivere i numerali cardinali da dieci fino
a centouno adoperando questi nuovi simboli. Scriva anche centoventicinque.
11. Ricordi i numerali cardinali cinesi a partire dai quali si formano tutti i numerali cardinali e li
rappresenti con le lettere dell’alfabeto (rispettando l’ordine).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
10000
yi
er
san
si
wu
liu
qi
ba
jiu
shi
bai
qian
wan
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
Provi a scrivere i numerali cardinali da dieci fino a centouno adoperando questi nuovi simboli.
(Ricordi che cento si dice yi bai, mille si dice yi qian). Scriva anche centoventicinque.
12) Provi a ripetere l’esercizio in altre lingue da lei conosciute (spagnolo, francese, tedesco….)
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Le cifre indiane in Europa
Nella biblioteca del monastero di El Escorial, in Spagna, si conserva un manoscritto scritto in
latino, il Codex Vigilanus, risalente all’anno 976, che è il documento europeo più antico nel quale si
ritrovano le cifre da 1 a 9 di origine indiana che erano adoperate correntemente anche nelle terre
dell’Islam.
Il monaco Vigila (da cui il nome del manoscritto) scrive:
“E sempre a proposito delle cifre dell’aritmetica, è necessario sapere che gli indiani possiedono un’intelligenza
straordinariamente sottile, e che gli altri concetti cedono loro il passo per quanto riguarda l’aritmetica, la
geometria e le altre discipline liberali. Questo si rende evidente del modo migliore nelle nove cifre tramite le
quali esprimono ogni grado di qualsiasi livello.”
Si attribuisce a un monaco benedettino, Gerberto di Aurillac, che diventò papa con il nome di
Silvestro II nell’anno 999, l’introduzione in Europa di questi simboli. Tuttavia, in Europa i simboli
numerici adoperati correntemente erano quelli in uso nell’Impero Romano, e per eseguire le
operazioni si adoperava l’abaco.
In un manoscritto di matematica risalente all’XI secolo si trovano lo zero e le nove cifre con
una parola latina per indicare ognuno dei numeri rappresentati: ad esempio le parole per quattro e
per otto sono deformazioni della corrispondente parola in arabo.
A partire dal XIII secolo, grazie all’opera di Leonardo Pisano (detto Fibonacci) – il quale
soggiornando da ragazzo nel NordAfrica aveva studiato il sistema di numerazione di origine indiana
– si diffuse in Italia e poi in tutta Europa l’uso di tale sistema per rappresentare i numeri e per
eseguire le operazioni.
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