Esercizi 11-12_1

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA
MATEMATICA – VECCHIO ORDINAMENTO DI
SFP
Ana Millán Gasca
a.a. 2011-2012
Esercitazioni e complementi 1
1) Riassuma in tre frasi la lezione svolta
nella prima ora del corso.
2) Esercitazione sulla conferenza del prof.
Franzini:
a) Proporre un titolo per la
conferenza
b) Costruire uno schema dei
contenuti della conferenza
c) Scrivere un riassunto della
conferenza in 2000 caratteri
circa.
Tema I – I sistemi di numerazione
Rappresentazione simbolica dei numeri e decomposizione
aritmetica
Ogni sistema di rappresentazione
simbolica dei numeri naturali si basa su una
decomposizione del numero usando alcuni
numeri privilegiati (ad esempio l’unità, dieci,
sessanta, le potenze di dieci) e l’addizione,
oppure l’addizione e la moltiplicazione. Sui
sistemi di numerazione e la matematica antica:
Lezioni di matematica e didattica della matematica,
lezione 2 e All’inizio fu lo scriba, capitolo 1.
Nella lezione abbiamo citato:
GIUSTI Enrico 1999, Ipotesi sulla natura
degli oggetti matematici, Torino, Bollati Boringhieri.
È molto utile per seguire questo corso leggere i
seguenti capitoli di questo libro: capitolo 1, 2, 3
e 6 e le relative appendici 3 e 8.
CASSIRER, Ernst, Filosofia delle forme
simboliche, varie edizioni italiane con La Nuova
Italia (ed. originale tedesca 1923)
Altri testi
Due libretti brevi, semplici e interessanti
LIVERANI, Mario 1998 Uruk, la prima
città, Laterza, Roma-Bari
Wilma DI PALMA e altri 1987 L’alba dei
numeri, Edizioni Dedalo, Bari (un libretto
semplice e interessante, lo trovate sia nella
Biblioteca delle Torri (Scientifica), sia in quella
di Scienze della Formazione
E tre libri per bambini illustrati
Raffaella PETTI, 2008, Uri il piccolo
sumero e Ahmose e i 999999 lapislazzuli, Pisa, Il
Giardino di Archimede (Biblioteca di Scienze
della Formazione)
Denise SCHMANDT BESSERAT 1999, The
history of counting, Morrow Junior Books, New
York (Biblioteca delle Torri).
ESERCIZI
1) Considerare il numero centoquarantatre.
(a) Scrivere questo numero in inglese, in cinese (usando la traslitterazione pinyin) e in un’altra
lingua a scelta.
(b) Scrivere le rappresentazioni simboliche di questo numero nel attuale sistema di
numerazione, nel sistema di numerazione romano, nel sistema di numerazione egizio, nel
sistema di numerazione sumero e in quello erudito babilonese.
Per ogni rappresentazione, scriva la decomposizione del numero soggiacente usando
un’espressione aritmetica.
I segni della numerazione scritta sumera. Per rappresentare i numeri, bisogna dapprima chiedersi quale è il simbolo
che rappresenta il numero maggiore che possiamo adoperare, e poi “raggruppare”. Ad esempio, per rappresentare
il numero centoquarantatre iniziamo da raggruppare per sessanta, poi per dieci, poi per uno (non possiamo
raggruppare per seicento).
I segni della scrittura delle parole numerali cinesi
N.B. “ershi” significa “venti”. Ricordare che “cento” si dice “yi bai,” “mille” si dice “yi qian”.
2) Rappresentare il numero 2360 usando il sistema di numerazione sumerico e indicare attraverso
una espressione aritmetica la decomposizione usata. In una tavoletta sumerica risalente al 2650
a.C. si trova registrata il numero 2360 usando una decomposizione basata anche sulla
sottrazione 2400 – 40. Provi a scrivere in questo modo il numero usando sempre i simboli
numerici dei sumeri e scriva l’espressione aritmetica della decomposizione usata. Confronti il
numero di simboli utilizzati nelle due rappresentazioni dello stesso numero.
3) Considerare il numero 1532. Lo rappresenti usando l’abaco scolastico. Che significa questa
rappresentazione? Rappresentarlo simbolicamente usando altri sistemi di numerazione e
indicando la decomposizione usata.
4) Rappresentare in forma posizionale decimale il seguente numero:
4⋅
È un numero naturale?
1
1
1
+ 3⋅
+ 4⋅
1000
100
10
2
5) Scrivere in forma posizionale decimale e in forma posizionale sessagesimale gli inversi dei
numeri naturali: disporre il tutto in una tabella (N. B. L’inverso di 3 si scrive in notazione
frazionaria
1
).
3
6) Rappresentare con il sistema sessagesimale erudito babilonese mille, diecimila, un milione.
Indicare la decomposizione corrispondente per il tramite di un’espressione aritmetica.
7) In una tavoletta sumerica risalente al 2850 a.C. ca. sono indicati le seguenti quantità (con in
calce, forse, una firma): quindici sacchi d’orzo, trenta sacchi di grano, sessanta sacchi di [parola
illeggibile], quaranta sacchi di [parola illeggibile], quindici volatili, centoquarantacinque sacchi
vari, quindici volatili. Rappresentare le quantità usando il sistema di numerazione dei Sumeri e
indicare attraverso un’espressione aritmetica la decomposizione usata per rappresentare ognuno
di questi numeri.
8) In una tavoletta sumerica risalente al 2650 a.C. e relativa a una ripartizione di orzo è indicato il
numero 164.571 di uomini. Rappresenti questa quantità usando il sistema di numerazione dei
sumeri e indichi attraverso un’espressione aritmetica la decomposizione usata. Questa tavoletta
è riprodotta in una delle lezioni del materiale didattico, dove può verificare la rappresentazione
trovata.
9) Rappresenti centosessantatre, duecentosettantacinque, duemiladue usando il sistema di
numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione aritmetica la
decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi numeri. Quanti simboli ha utilizzato
per ognuno di questi numeri?
10) Nella testa della mazza del re Narmer (3050 a.C. ca.) è rappresentato un bottino ricavato dal
sovrano: 400.000 bovini, 1422.000 ovini e 120.000 prigionieri. Rappresenti queste quantità
usando il sistema di numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione
aritmetica la decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi numeri.
11) Sul monumento alla vittoria del re Khasekhemi (2750 a.C. ca.) il numero dei ribelli del Basso
Egitto che sono “sotto la pianta del re” è 47.208. Rappresenti tale numero usando il sistema di
numerazione geroglifico degli Egizi e indichi, attraverso un’espressione aritmetica, la
decomposizione usata per rappresentarlo.
12) Considerare i numeri naturali seguenti:
n = CXX
m = VIII
Scrivere n ed m in base 7, usando il sistema di numerazione egizio antico e il sistema di
numerazione posizionale babilonese. Indicare in ognuno dei sistemi di numerazione la
decomposizione del numero che è stata adoperata.
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Le cifre indiane in Europa
Nella biblioteca del monastero di El Escorial, in Spagna, si conserva un manoscritto scritto in latino, il
Codex Vigilanus, risalente all’anno 976, che è il documento europeo più antico nel quale si ritrovano le
cifre da 1 a 9 di origine indiana che erano adoperate correntemente anche nelle terre dell’Islam.
Il monaco Vigila (da cui il nome del manoscritto) scrive:
“E sempre a proposito delle cifre dell’aritmetica, è necessario sapere che gli indiani possiedono un’intelligenza
straordinariamente sottile, e che gli altri concetti cedono loro il passo per quanto riguarda l’aritmetica, la geometria e
le altre discipline liberali. Questo si rende evidente del modo migliore nelle nove cifre tramite le quali esprimono ogni
grado di qualsiasi livello.”
Si attribuisce a un monaco benedettino, Gerberto di Aurillac, che diventò papa con il nome di
Silvestro II nell’anno 999, l’introduzione in Europa di questi simboli. Tuttavia, in Europa i simboli
numerici adoperati correntemente erano quelli in uso nell’Impero Romano, e per eseguire le operazioni
si adoperava l’abaco.
In un manoscritto di matematica risalente all’XI secolo si trovano lo zero e le nove cifre con una
parola latina per indicare ognuno dei numeri rappresentati: ad esempio le parole per quattro e per otto
sono deformazioni della corrispondente parola in arabo.
A partire dal XIII secolo, grazie all’opera di Leonardo Pisano (detto Fibonacci) – il quale soggiornando
da ragazzo nel NordAfrica aveva studiato il sistema di numerazione di origine indiana – si diffuse in
Italia e poi in tutta Europa l’uso di tale sistema per rappresentare i numeri e per eseguire le operazioni.
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