EQUAZIONI ALGEBRICHE IN UN CORPO FINITO RISOLUBILI PER

G. MiGNOSi (Palermo - Italia)
EQUAZIONI ALGEBRICHE IN UN CORPO FINITO
RISOLUBILI PER RADICALI
In un lavoro precedente (l) del quale è apparso un breve sunto nel « Bollettino deiru. M. I. » del 15 giugno 1928 (VI), Anno VII, N. 3 (pp. 149-150), l'A.
ha dimostrato che la risoluzione di una equazione cubica in un corpo finito r
(il cui ordine è sempre una potenza N=pm di un numero primo p) può sempre
ridursi alla risoluzione di equazioni binomie, salvo, ove occorra, un prolungamento di r, trasportando alle equazioni cubiche in r qualcuno dei procedimenti
«lassici relattivi alle equazioni algebriche di 3° grado nel corpo complesso. In
quella occasione egli ha soltanto notato che la risolubilità per equazioni binomie
di una equazione algebrica qualunque in T è legata intimamente alla risolubilità per radicali dell'equazione stessa interpretata nel corpo complesso, così
che il risultato ottenuto in quel lavoro s'inquadra in un fatto assai più generale,
e, cioè, che : « Affinchè una equazione algebrica qualunque in un corpo
finito r sia risolubile per radicali in T è necessario e sufficiente che
esista una interpretazione
dell'equazione nel corpo complesso K risolubile
per radicali ».
Lo scopo della nuova Memoria dell'A. è appunto la dimostrazione di questo
importante teorema, il quale riconducendo la questione della risolubilità per
radicali in T all'analoga relativa a K, permette di utilizzare direttamente per i
corpi finiti i classici risultati italiani sulla risoluzione algebrica delle equazioni.
1. - La Memoria si compone di 4 capitoli. Nel primo di essi è risoluta la
questione esistenziale della radice nm& di un numero a (non nullo) di un corpo
finito r e in ordine a ciò è stabilita la seguente proposizione:
I). Se Tè un corpo numerico d'ordine N = p m (pprimo) ed n un numero
intero positivo qualunque non divisibile per p, l'equazione binomia in x:
xn=a
in r, ammette
sempre,
qualunque
sia a, n soluzioni
distinte
in un
corpo
(1) G. MIGNOSI, Risoluzione apiristica della equazione generale cubica in un corpo
numerico [Rend. Cire. Mat. di Palermo, t. 58, a. 19291Atti del Congresso.
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COMUNICAZIONI
finito r ^ derivato da r mediante un polinomio irriducibile in JT, di un
certo grado h, le quali sono in astratto unicamente determinate da P ed a.
P 0 S t 0
*
Ti, UT
*
\
ò=D(N-l,n),
delle dette soluzioni soltanto ò, o nessuna, appartengono a T secondo che sia
o non sia soddisfatta la condizione:
a
ò
=1.
In particolare r conterrà sempre e soltanto ô radici nme dell'unità. Se co è
una di esse che sia primitiva, denotanto con *ya la classe delle dette soluzioni
e con |/a una di esse, si avrà, come nel corpo complesso:
n
n
*fä=cortfä,
(r=0,1,
2,....
n-l).
In rih\ quindi, ogni radicale d'indice n sopra un numero a di r, ha n determinazioni distinte e ogni espressione radico-razionale sopra numeri di r ha sempre
significato in JT o in un prolungamento JH"> di F (il corpo relativo all'espressione) con tante determinazioni generalmente distinte quanto è il prodotto degli
indici dei radicali che vi figurano.
2. - Nel secondo Capitolo è data la forma apiristica delle determinazioni di
*|/a fondandosi sulla nozione fondamentale di sistema completo di grado ò di
numeri di JP (cioè di un sistema r&(&=l, 2,...., - —j di numeri di JT, le cui potenze ó me siano tutte e sole le potenze <5me di P) e sul teorema di CIPOLLA
relativo alle congruenze binomie (mod. p), esteso dallo SCORZA ai corpi finiti,
per mezzo della proposizione generale seguente :
II). Se r è un corpo d'ordine N = p m (p primo), a un numero
qualunque (non nullo) di r ed n un intero positivo non divisibile per p, le
n
n determinazioni
sioni apiristiche:
(1)
n
h
di *|/a nel corpo jH > relativo a *fä, ammettono
le espres-
A 1
( i . - ^ 1 , r=0,1,...., n - l )
fc-aT^AfW,
i,0
dove co è una radice n ma primitiva
dell'unità,
appartenente
a
r^,
A^=-n^rfm™'"
t
(2)
h,l
ed rh
( k = l , 2,...., k) un sistema
completo
di grado
n di numeri
di
r^\
3. - Nel capitolo terzo, esaminati successivamente i casi particolari dei radicali quadratici e cubici, si passa alla costruzione effettiva dei sistemi completi
G. MiGNOSi: Equazioni
algebriche
in un corpo finito
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r(fc/l) di grado n di f W per mezzo di quelli rjc, di egual grado n, di T e con
l'uso delle (1) e (2) se ne deducono le espressioni apiristiche delle determinazioni di *fa in jfW mediante le rk di JT.
Pel caso generale si suppone per semplicità che n (non divisibile per p) sia
un divisore di N— 1 e che il polinomio irriducibile in r secondo cui JTW è
derivato da F abbia la forma binomia xn—v (quindi v non potenza nma in JH).
Si perviene così alla seguente proposizione:
III). Se r è un corpo d'ordine
N = p m (p primo), n un divisore di
n
N — 1 , non divisibile per p, ed x —v un binomio irriducibile in F, le determin
nazioni di "fa, con a numero qualunque (non nullo) di JT esistono
nel corpo T^ derivato da r mediante xn — v, e sono date dalle
finali :
(3)
*fa=cor{o0A(a)xn
+ oìA(ap)zn~i + .... +Gn-iA(avn-1)],
(r=0,1,....,
dove co è una radice primitiva
n ma dell'unità,
appartenente
ficienti o\ e i polinomi A(a) sono definiti ponendo :
y,o
sempre
formule
n-l)
a F; i coef-
t,o
ed
N-i
n
Ai=-n^rr\
4,1
essendo r k f k = l , 2,....,
) wn sistema completo di grado n di numeri di r.
Il secondo membro della (3) può essere ordinato secondo le potenze di a,
e si ottiene l'altra forma :
(3')
:
fe=£
^AtPiMa*,
i polinomi in x, Pi(x), essendo definiti da :
n-l
Pi(x) = ^Àvsix'~n,
(i=0,1,....,
iV-2).
5,0
La (3'), confrontata con l'altra :
*=ì-l
(4)
r
*fä=co ^?iAiai,
2,0
valevole nel caso in cui a sia potenza nma in F (a
\a
n
==1),
1 ) , indica bene le modin
ficazioni da apportare ai polinomi (4) per ottenere le determinazioni di *^a nel
caso in a sia un numero qualunque (non nullo) di r.
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COMUNICAZIONI
Le (3) ammettono pure una forma ridotta assai semplice, che permette di
controllare indirettamente e in modo facile l'esattezza delle (3).
Basta osservare che esiste uno ed un solo valore i0 dell' indice i per cui av^ è
potenza nma in F. Allora si ha:
OL=
e per ^ 4 ^ 0
T.I
;
Gi = Q,
e quindi:
(3")
D'altra parte, essendo
Ìa=-x'y'lK)A(va%
N—l
(av''*)~n = 1 ,
la (4) è applicabile al numero av*0 e si ha :
An(avi,)) = avio,
e poi appunto :
--—-A(av')\
=a.
4. - Dopo le questioni riguardanti il significato e la costruzione delle espressioni apiristiche dei radicali in F, con l'ultimo capitolo è compiuta la ricerca
delle equazioni algebriche risolubili per radicali in F.
La teoria generale dei corpi finiti (magistralmente esposta dallo SCORZA)
consente di ricondurre il problema alle equazioni algebriche nel corpo complesso K.
Si dimostra, anzitutto, come sia possibile interpretare nel corpo K il corpo
finito F :
Il corpo F d'ordine N=pm (p primo) contiene un corpo C d'ordine p (il
sottocorpo fondamentale
di r) isomorfo alla classe:
degl'interi relativi ordinari r contradistinti dalla relazione di congruenza (mod. p).
È pure noto che ogni corpo finito F d'ordine N=pm (p primo) è isomorfo
ad un corpo algebrico [ C, P] derivato da C mediante un polinomio P(x) in C
di grado m, irriducibile in C, ossia alla classe dei polinomi Pi(x), di grado
m — 1, al massimo, in x, a coefficienti arbitrari in C, i quali polinomi siano
contradistinti dalla relazione di congruenza (mod P(r)). In tale corpo [C, P\x
è uno zero di P(x).
Ciò posto, fissato un particolare sistema completo d'interi relativi incongrui
<mod.^), ad esempio:
R o
^
0
, !, 2,...., p-1],
si sostituiscano i cofficienti di P(x) coi corrispondenti numeri di RQ, e si denoti
con 0 uno zero del polinomio P0(x) così ottenuto.
G. MiGNOSi : Equazioni
algebriche
in un corpo finito
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Si sostituiscano, poi, i coefficienti dei polinomi Pi(x) con elementi qualunque
della classe E, e si cambi in essi x in 0.
Si ottiene allora una classe infinita R(6) di numeri complessi (algebrici).
Se gli elementi di R(Q) si contradistinguono mediante la relazione di congruenza a doppio modulo (mod. p, PQ(B)), mentre gli elementi di F formano
un corpo finito rispetto all' eguaglianza in F, i corrispondenti elementi di R(6)
formano un corpo finito isomorfo a F rispetto alla relazione di congruenza
(mod. p, P0(6)).
Assunti, ad arbitrio, N=pm elementi di R(6), incongrui (mod. p, P0(6)), si
ottiene un sistema R'(B) di numeri complessi (algebrici) al quale appartiene uno
ed un solo numero / che sia corrispondente di un elemento dato y di F nelT isomorfismo tra F ed R(0).
Il sistema R'(B) si dirà una interpretazione di F nel corpo complesso K,
e si conchiude, intanto, che:
IV). Ogni corpo finito F ammette infinite interpretazioni^f(6),
R"(6),...nel corpo complesso K.
Data, poi, una equazione algebrica:
(5)
f(x) = aö + aLx + a2x2 + .... + ahx'l=0
nel corpo F, si potrà supporre che F sia prolungato così che le espressioni
radieo-razionali che occorre considerare abbiano significato in F.
Si sostituiscano i coefficienti at della (5) coi numeri complessi a/ che corrispondono alle ai nell'interpretazione di F in K. Allora alla equazione in F corrisponderà in R(0) la congruenza condizionale in x:
f'(x) = a0f + a/x + a/x2 + .... + an'xa =_ 0
(mod. p,
P0(0)).
Or bene, l'equazione in x nel corpo complesso K:
(5')
f(x) = a0f + aL'x + a2'x2 + .... + an'xn = 0
si dirà Y interpretazione in iT della (5), corrispondente all'interpretazione R'(0)
di F in K, e, naturalmente, esisteranno infinite interpretazioni della (5) in K.
Dopo ciò, non presenta difficoltà la dimostrazione della prop, fondamentale:
V). Affinchè una equazione algebrica (5) nel corpo finito F sia risolubile per radicali in F, è necessario e sufficiente che esista una interpretazione dell'equazione
(5) nel corpo complesso K, risolubile per radicali
in K.
Ne segue subito che le equazioni algebriche dei primi quattro gradi in F
sono sempre risolubili in F o in un conveniente prolungamento di F, con le
medesime espressioni radicali relative alle equazioni algebriche ordinarie in K.
La forma apiristica delle formule di risoluzione si potrà poi dedurre applicando le formule (3) o (3') o (3") precedenti.
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COMUNICAZIONI
Osservando, poi, che se la (5) è l'equazione generale di grado n in F, essa
ammette una sola interpretazione in K, si potrà anche estendere alle equazioni
nei corpi finiti il teorema di RUFFINI, e concludere che anche pei corpi finiti
sono risolubili per radicali le sole equazioni generali dei primi quattro gradi.
Infine, supponendo, particolarmente che F si riduca al suo sottocorpo fondamentale C(N=pm, m = l) o se si vuole alla classe R degl'interi relativi contradistinti daUa relazione di congruenza (mod. p), si può ritenere compiuta con le
note formule classiche, la risoluzione apiristica delle congruenze condizionali di
3° e 4° grado.