campo magnetico
Introduzione
F i s i c a
s p e r i m e n t a l e
I I
Si era detto:
La forza elettrica è descritta dalla legge di Coulomb
Tuttavia:
La verifica sperimentale era fatta in condizioni statiche
La legge di Coulomb varrà pure
se le cariche sono in moto?
Possiamo mettere in
evidenza anche eventuali
piccole deviazioni
studiando le interazioni
tra fili percorsi da
corrente.
F = qE + f ( q, v )
Le interazioni puramente
Coulombiane si elideranno
vicendevolmente.
Resteranno non
compensate eventuali
dipendenze della forza
dalla velocità dei portatori
Due fili percorsi da corrente in
senso concorde si attraggono
I
I
Se le forze non dipendessero dalla velocità dei
portatori i fili non dovrebbero attrarsi
I
I
I
I
&
Si cercherà di descrivere questi fenomeni attraverso
l’introduzione di un nuovo “campo”
Il “Campo Magnetico”
Lavori di Ampere
Doveva misurare forze tra correnti, ma:
Non aveva a disposizione generatori di corrente affidabili
Non aveva a disposizione misuratori di corrente affidabili
Le misure erano influenzate dalla presenza della Terra
Non aveva a disposizione generatori di corrente affidabili
Non aveva a disposizione misuratori di corrente affidabili
La stessa corrente circolava sia nel circuito che produceva il
campo che in quello che ne subiva la presenza
Misure di zero
Le misure sono influenzate dalla presenza della Terra
Circuiti elettrici configurati opportunamente in modo tale che
gli effetti della presenza della Terra si annullino
automaticamente
Bilancia di Ampere
Uso di considerazioni di simmetria
Uso del principio di additività
Due prime conseguenze dell’additività delle forze:
DL
Se le forze sono additive esse debbono
essere proporzionali al valore della
corrente
I
I
DS
DS
DL
Se le forze sono additive esse
debbono essere proporzionali alla
lunghezza del tratto di filo
I
DL
I
DS
Dalla additività delle forze discende la possibilità di definire
l’unità di misura delle correnti e quindi anche quella della carica
elettrica
Due fili siano percorsi dalla stessa
corrente. Essa è unitaria se i fili, posti
I
parallelamente l’uno all’altro ad un metro
I
di distanza, di attraggono, o si
respingono, con una forza pari a 2 10-7 N
per unità di lunghezza
L’unità di misura prende il nome di “Ampere”
Il Coulomb è quindi la carica che attraversa in un secondo la
sezione di un conduttore interessato al passaggio di corrente del
valore di un Ampere
La forza che agisce su di un filo può avere varie direzioni.
La direzione dovrà sottostare ad una legge generale?
Avvolgimento di filo
Asse di rotazione
I
I
Archetto libero di
ruotare attorno ad un
asse verticale
Pozzetti di mercurio
Dato sperimentale:
L’archetto non ruota mai, qualunque siano le posizioni dei
pozzetti e la posizione della matassa, solo se il suo centro è
posto sull’asse di rotazione
M ext =
Se non ruota:
∫
dM ext = 0
archetto
se questo avviene indipendentemente dalle
posizioni dei pozzetti e dell’avvolgimento:
DL
D&R
O
C
Archetto visto dall’alto
D&T
dM ext = 0
Una componente di forza agente sul
singolo “dl” diretta come il “dl” stesso
darebbe luogo ad un momento di forze
indipendentemente dal fatto che “c” ed
“o” coincidano
Il dato sperimentale attesta quindi che la forza non ha
componente parallela al “dl”
Quindi la forza è perpendicolare:
dF ⋅ dl = 0
Introduciamo il concetto di campo
L’elemento di filo “dl” percorso da corrente interagisce con lo
spazio in cui è posto. Le proprietà fisiche dello spazio sono
descritte tramite una grandezza vettoriale: il Campo Magnetico
Nel punto considerato avremo
quindi due grandezze vettoriali:
dl
B
Anche se per adesso non conosciamo la direzione del
campo, i due vettori identificano un piano nello spazio
La forza potrà essere scomposta in due direzioni tra
loro ortogonali
1) lungo la normale al piano
2) lungo la direzione nel piano normale al filo
n = vers dl × B
(
N
D&
M
DL
"
m = vers dl × n
(
Lineare nella corrente
Lineare nel modulo del “dl”
dF = i ⋅ dl ⋅ B ⋅ ⎡⎣α (θ ) n + β (θ ) m ⎤⎦
Lineare nel modulo del campo
Con α e β funzioni incognite dell’angolo tra il
vettore “dl” ed il vettore “B”
)
)
Solo l’esperienza potrà determinare le due funzioni α e β
I
I
I
I
La bilancia di Ampere non ruota
la cosa non sorprende data la
simmetria del circuito
Se modifichiamo la bilancia, sostituendo un suo tratto
verticale con un filo finemente pieghettato, si perde la
simmetria.
Ci aspetteremo quindi che, chiudendo il circuito, la
bilancia ruoti!
È molto più lungo dell’altro, quindi ci
attenderemmo una forza maggiore e quindi
un momento di forza netto
L’esperienza dice
che anche adesso
la bilancia non
ruota
DL DL
Q
DL I
I
I
La matematica ci dice:
dl = dl1 + dl2
Q
Q
I
"
L’esperienza ci dice:
dF = dF1 + dF2
dF = i ⋅ dl ⋅ B ⋅ ⎡⎣α (θ ) n + β (θ ) m ⎤⎦
L’unico modo per cui possono valere entrambe è che:
α (θ ) ∝ sin (θ )
β (θ ) = 0
Scegliendo 1 come costante
moltiplicativa, scriveremo quindi:
dF = i ⋅ d l × B
La scelta del valore 1 per la costante implica la scelta
dell’unità di misura del campo magnetico
L’unità di misura prende
il nome di “Tesla”
[F]
[B] =
= K g A −1s −2
[i] ⋅[l]
Siamo a metà strada
Occorre determinare la relazione esistente tra correnti e campi
da esse generati
Principio si additività
Campo proporzionale al valore delle corrente
Campo proporzionale al valore dell’elemento di filo
Uso di misure di zero
I
I
I
I
I
I
I
I
In entrambi i casi la bilancia di Ampere non ruota
Un elemento di circuito come questo, percorso da corrente
non è in grado di generare forze su circuiti adiacenti
Queste esperienze si possono interpretare solo ammettendo che
Z
D"
Q
I
DL
R
dB = i dl ⋅ f (θ , r ) ⋅ vers(dl × r )
Y
X
Resta da determinare la dipendenza funzionale da r e da θ
Esperienza di Biot
I
Filo complanare ai due tratti verticali del doppio quadro
B
B
B
,
B
,
2
2
6ISTADALLALTO
Asse di rotazione
I
Il doppio quadro non ruota solo se vale:
R1 L1
=
R2 L2
Asse di rotazione
Per avere equilibrio:
M ext = 0
Che, essendo uguali i bracci, conduce a
e quindi a:
F1 = F2
L1 ⋅ B ( r1 ) = L2 ⋅ B ( r2 )
campo generato dal filo rettilineo
L’esperienza dice che questa relazione vale se
Per cui:
R1 L1
=
R2 L2
R1 ⋅ B ( r1 ) = R2 ⋅ B ( r2 )
In altri termini:
il prodotto del modulo del campo magnetico generato da un filo
infinito per la distanza dal filo è una costante
Per quanto si è visto:
dB = i dl ⋅ f (θ , r ) ⋅ vers(dl × r )
+∞
i
B(R) = i ∫ f (θ , r ) ⋅ vers(dl × r ) ⋅ dl = K ⋅
R
−∞
ove:
Z
2
R = r ⋅ sin(θ )
Quanto scritto ci permette di
esplicitare la funzione “f”
Q
DL
R
D"
Y
X
I
Si era già visto un caso in cui un integrale lungo un filo dava
luogo ad un risultato del tipo “1/R”
DL Campo elettrico di un filo
uniformemente carico
DQ
D%
Q
DL
DQ D%
D% T
E =
ove:
sin (θ ) dl
1
1 2λ
λ∫ 2 2 =
4πε 0 −∞ R + l
4πε 0 R
+∞
R +l = r
2
2
2
Si può vedere che questa è l’unica possibilità
Nel caso elettrostatico, la funzione seno derivava dal dover
considerare la componente orizzontale del campo dovuto al
singolo “dl”
Nel caso attuale, tutti i “dB” sono tra loro paralleli, quindi:
La funzione seno fa parte integrante dell’espressione del “dB”
dB = i dl ⋅ f (θ , r ) ⋅ vers(dl × r )
con:
sin (θ )
f (θ , r ) = K
r2
sin (θ )
2
f
θ
,
r
dl
=
K
dl
=
K
∫−∞ ( )
∫−∞ r 2
R
+∞
+∞
Ma allora la “f” può essere inglobata nel prodotto
vettoriale
dl × r
dB = K i
r3
Quindi:
Resta da determinare il valore della costante moltiplicativa
Si era detto:
I
I
Dalla:
Due fili siano percorsi dalla stessa corrente. Essa è unitaria se i fili,
posti parallelamente l’uno all’altro ad un metro di distanza, di
attraggono, o si respingono, con una forza pari a 2 10-7 N per unità di
lunghezza
2K i
F = i l B(r) = i l
r
Quindi:
segue:
−7 dl × r
dB = 10 i
3
r
−7
10 = K
Si sono trovate due costanti:
Elettrostatica
1
9 ⋅10 9
4πε 0
Magnetostatica
10 −7
Esiste tra di esse una relazione?
2K i
F = i l B(r) = i l
r
Se si raddoppiasse il valore dell’unità
di misura della corrente elettrica, per
ottenere lo stesso numero per la forza
occorrerebbe scegliere un valore
numerico per la costante
magnetostatica quatto volte superiore
Ma, raddoppiando l’unità di misura della corrente si raddoppia
anche quella della carica elettrica
Fe =
1 q1q2
er
2
4πε 0 r
Occorrerà quindi scegliere per la costante elettrostatica un
valore quattro volte superiore
I valori delle due costanti dipendono allo stesso
modo dalla scelta dell’unità di misura della corrente
Si scrive quindi:
1
K=
β
4πε 0
Quali saranno le dimensioni di β ?
1
2
1 q2
1 i 2t 2
2
F = i l B(r) = i l
β
F=
=
2
4πε 0 r
4πε 0 r
4πε 0 r 2
⎡ t2 ⎤
[ β ] = ⎢ r2 ⎥
⎣ ⎦
⎡2 1
1 ⎤ ⎡ 1 i 2t 2 ⎤
β ⎥=⎢
⎢i l
2 ⎥
⎣ 4πε 0 r ⎦ ⎣ 4πε 0 r ⎦
Per ricordarsi questo, si scrive:
1
β= 2
c
1
K=
4πε 0 c 2
Inverso del quadrato di una velocità
1
dl × r
dB =
i
2
4πε 0 c
r3
Legge di Biot-Savart
Per un filo rettilineo infinito:
Quanto vale c?
9 ⋅10 9
10
c2
−7
da cui
1
2i
B(R) =
⋅
2
4πε 0 c R
c 3 ⋅10 8 m / s
Riassumendo:
dF = i ⋅ dl × B
1
dl × r
dB =
i
2
4πε 0 c
r3
Queste due leggi non hanno tuttavia significato fisico!
Esistono i circuiti, non i “dl” percorsi da corrente!
Oltre i circuiti esistono le singole cariche ed esse possono
essere in moto
Possiamo dare ad esse significato fisico solo se riusciamo,
attraverso il principio di sovrapposizione ad esprimerle in
termini delle cariche in moto interne all’elemento di filo
i ⋅ dl = J ⋅ S ⋅ dl = J ⋅ S ⋅ dl = nqv ⋅ dV = qv ⋅ dN
ora:
sezione del filo
numero di particelle contenute nell’elemento di filo
dF = i ⋅ dl × B = qv × B ⋅ dN
dB =
1 qv × r
⋅ dN
2
3
4πε 0 c
r
Forza magnetica agente su di una particella in moto
Forza di Lorentz
F = qv × B
Campo magnetico generato da una particella in moto
B=
1 qv × r
4πε 0 c 2 r 3
Come si misura il valore del campo magnetico?
Effetto Hall
I portatori di carica saranno soggetti ad
una forza
1
F = qv × B =
*
n
J×B
"
6
L
per cui tenderanno a spostarsi verso uno
dei lati stretti verticali della sbarretta
Nel caso rappresentato verso il lato posteriore , ove è presente il contatto “2”
Notare: indipendentemente dal loro segno!
La migrazione di carica genererà un campo elettrico nel
materiale
La migrazione cesserà quando:
1
qE = − J × B
n
Tra i punti”1” e “2” si avrà quindi
una d.d.p. misurata dallo strumento
*
1
V2 − V1 = − ∫ E ⋅ dl =
J ⋅ B⋅l
nq
1
2
"
6
L
La differenza di potenziale:
sarà positiva se i portatori di carica sono positivi
sarà negativa se essi sono di segno negativo
Dalla misura della d.d.p.:
V2 − V1 ) nq
(
note le caratteristiche del materiale si
B=
J
l
risale al valore del campo magnetico
noto il campo si estraggono
J ⋅l
nq =
B
informazioni sul materiale
(V2 − V1 )
