Esempio: Trovare le intersezioni tra la retta di equazione x − y = 5 e la parabola di equazione
y = −x 2 + 2x − 3 .
1. Scrivo il sistema formato dalle due equazioni
x − y = 5
2
y = −x + 2x − 3
2. Imposto la risoluzione del sistema. In questo caso scelgo il metodo di sostituzione e sostituisco nella
prima equazione la y già esplicitata della seconda.
Svolgo i calcoli indicati.
x − (− x 2 + 2 x − 3) = 5
y = − x 2 + 2 x − 3
x + x 2 − 2x + 3 − 5 = 0
...
x 2 − x − 2 = 0
...
3. Ora considero l’equazione ottenuta x 2 − x − 2 = 0 e calcolo il discriminante
(dell’equazione, non della parabola!)
∆ = b 2 − 4ac = (−1) 2 − 4(1)(−2) = 1 + 8 = 9
Il discriminante è positivo, significa che troverò due soluzioni distinte, quindi procedo.
4. Risolvo l’equazione x 2 − x − 2 = 0
x1, 2 =
− b ± ∆ − (−1) ± 9 1 ± 3
=
=
2a
2(1)
2
da cui x1 =
1+ 3
1− 3
= 2 e x2 =
= −1
2
2
5. Completo la risoluzione del sistema sostituendo nell’altra equazione i due valori di x trovati.
x1 = 2
2
2
y1 = − x + 2 x − 3 = −(2) + 2(2) − 3 = −3
e
x 2 = −1
2
2
y 2 = − x + 2 x − 3 = −(−1) + 2(−1) − 3 = −6
Quindi la retta e la parabola si intersecano nei due punti: A(2 ; −3) e B(−1 ; −6).
Verifico graficamente le soluzioni trovate disegnando i grafici della retta e della parabola nello stesso
piano cartesiano e controllando che le due linee si incontrino nei punti calcolati.
Puoi effettuare la verifica, sia del grafico che del calcolo, con GeoGebra in questo modo.
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Avvia il programma.
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Scrivi nel campo di inserimento l’equazione della retta x − y = 5 e premi invio.
L’equazione sarà inserita della finestra di algebra e la retta verrà disegnata nel foglio di disegno .
(visualizzare la griglia può aiutare a controllare il proprio grafico)
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Allo stesso modo, scrivi nel campo di inserimento l’equazione della parabola y = − x ^ 2 + 2 x − 3 e
premi invio.
Apparirà anche il grafico della parabola e la sua equazione nella finestra di algebra.
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Ora, per visualizzare i punti di intersezione e le loro coordinate, puoi utilizzare due metodi.
Si può utilizzare lo strumento “intersezione di due oggetti”: sceglilo dalla barra degli strumenti
poi col mouse seleziona il grafico della retta poi il grafico della parabola.
Oppure si può scrivere nella riga di inserimento il comando: “Intersezione[a,c]“ e premere invio.
In questo caso fai attenzione: “a” e “c” dovrebbero essere i nomi che GeoGebra ha dato alla retta e
alla parabola (controlla nella finestra di algebra vicino alle equazioni).
Se così non fosse, metti i nomi giusti!
In entrambi i casi sul grafico verranno evidenziati i punti di intersezione e nella finestra di algebra
compariranno le loro coordinate.
