DIARIO DEL CORSO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA
UNITÀ (PER INFORMATICA)
DOCENTE: SANDRO MATTAREI
Prima settimana. Lezione di lunedı́ 20 febbraio 2006 (due ore)
Insiemi, operazioni con essi, funzioni. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione
composta. La composizione è associativa. Inverse destre e sinistre. Una funzione
ha un’inversa sinistra (risp. destra) se e solo se essa è iniettiva (risp. suriettiva).
Lezione di mercoledı́ 22 febbraio 2006 (due ore)
I numeri naturali. Gli assiomi di Peano. Il primo principio di induzione. Esempi.
Definizioni ricorsive, e il teorema di ricorsione (senza dimostrazione).
Le operazioni sui numeri naturali, ed il loro ordinamento. Relazioni d’ordine
parziale e totale in generale. Altri esempi (la relazione ⊆ con gli insiemi, la
relazione di divisibilità nei naturali).
Seconda settimana. Lezione di lunedı́ 27 febbraio 2006 (due ore)
L’assioma di buon ordinamento. Il secondo principio di induzione. Definizioni
ricorsive piú generali. Esempio: i numeri di Fibonacci.
La divisione con resto nei numeri naturali.
Esercitazione di mercoledı́ 1 marzo 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Esercizi sul (primo) principio di induzione. Esercizi sulle funzioni, iniettività e
suriettività. Esercizi sugli insiemi.
Terza settimana. Lezione di lunedı́ 6 marzo 2006 (due ore)
Cardinalità degli insiemi finiti. Cardinalità del prodotto cartesiano di due insiemi finiti. Esempi di ordine lessicografico. Numero di funzioni tra due insiemi
finiti (disposizioni con ripetizione).
Lezione di mercoledı́ 8 marzo 2006 (due ore)
Cardinalità dell’insieme delle parti di un insieme finito. Numero di funzioni
iniettive tra due insiemi finito (in particolare, numero delle permutazioni di un
insieme finito). Il lemma dei cassetti.
La divisione con resto nei numeri naturali (con una nuova dimostrazione).
Date: A. A. 2005/06
(50 ore complessive di corso, di cui 34 di lezione tenute da Sandro Mattarei e 16 di esercitazione
tenute da Serena Cicalò).
1
2
DOCENTE: SANDRO MATTAREI
Quarta settimana. Lezione di lunedı́ 13 marzo 2006 (due ore)
La divisione con resto negli interi.
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo come calcolati a scuola (cioè
usando la fattorizzazione unica). La relazione (a, b) · [a, b] = a · b ottenuta in quel
modo.
Stima del numero di divisioni (e quindi del tempo) sufficienti per fattorizzare
un intero grande, o scoprire che è primo, dividendolo per 2, 3, ecc. Il Teorema dei
numeri primi (enunciato informalmente).
L’algoritmo di Euclide su esempi.
Esercitazione di mercoledı́ 15 marzo 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Un altro esercizio sull’induzione.
Esercizi sulla cardinalità di insiemi finiti.
Esercizi sulla controimmagine (di insiemi rispetto ad una funzione).
Quinta settimana. Lezione di lunedı́ 20 marzo 2006 (due ore)
Divisibilità negli interi. Definizione di massimo comun divisore. Giustificazione
teorica dell’algoritmo di Euclide.
L’algoritmo di Euclide esteso, su esempi.
Lezione di mercoledı́ 22 marzo 2006 (due ore)
Variante dell’algoritmo di Euclide esteso, su esempi.
Due numeri di Fibonacci consecutivi sono primi fra loro.
Lemma importante: se a | bc e (a, b) = 1, allora a | c.
Numeri primi. Ogni numero primo p soddisfa: se p | ab, allora p | a o p | b;
viceversa, se un intero p soddisfa questa proprietà allora p è primo.
Un paio di altri lemmi sul massimo comun divisore.
Sesta settimana. Lezione di lunedı́ 27 marzo 2006 (due ore)
Utilizzazione dell’algoritmo di Euclide per scrivere un numero razionale in forma
di frazione continua. Estensione ai numeri reali.
Introduzione ai polinomi. Grado di un polinomio. Il grado di un prodotto è la
somma dei gradi dei fattori.
Esercitazione di mercoledı́ 29 marzo 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Divisibilità fra polinomi. Elementi invertibili negli interi e nei polinomi.
La divisione con resto nei polinomi. L’algoritmo di Euclide esteso con i polinomi.
Applicazione alla razionalizzazione di denominatori, con esempi.
DIARIO DEL CORSO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA UNITÀ
3
Settima settimana. Lezione di lunedı́ 3 aprile 2006 (due ore)
Minimo comune multiplo. La relazione (a, b) · [a, b] = a · b.
Stima del numero di passi sufficiente a completare l’algoritmo di Euclide.
Risoluzione di sistemi di congruenze (con interi e polinomi).
Esercitazione di mercoledı́ 5 aprile 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Applicazione dell’algoritmo di Euclide esteso all’integrazione di funzioni razionali (cioè la cosiddetta decomposizione in fratti semplici di funzioni razionali).
Quando l’equazione ax + by = c ha soluzioni (x, y) ∈ Z × Z; come calcolarle.
Relativi esercizi.
Esercizi sulla risoluzione di sistemi di congruenze negli interi.
Ottava settimana. Lezione di mercoledı́ 19 aprile 2006 (due ore)
Relazioni di equivalenza, partizioni ed insieme quoziente.
Esempi di insieme quoziente: gli interi modulo n; gli interi costruiti a partire
dai naturali; i razionali costruiti a partire dagli interi.
Operazioni su un insieme quoziente. Buona definizione.
Nona settimana. Lezione di mercoledı́ 26 aprile 2006 (due ore)
Altro esempio di insieme quoziente: costruzione dei numeri complessi come
classi di congruenza di R[x] modulo x2 + 1.
Le operazioni in Z/nZ, con esempi ed osservazioni.
Prova del nove e criterio di divisibilità per nove.
Decima settimana. Lezione di mercoledı́ 3 maggio 2006 (due ore)
Altri criteri di divisibilità (per 11, 7, 37, 25, ecc.). Collegamento con la periodicità dell’espansione decimale di numeri razionali.
Esistenza e calcolo di inversi modulo n.
Undicesima settimana. Lezione di lunedı́ 8 maggio 2006 (due ore)
Funzione di Eulero ϕ(n): definizione; calcolo di ϕ(p) e ϕ(pα ) con p primo (dimostrazioni ed esempi); moltiplicatività: ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) se (n, m) = 1 (senza
dimostrazione); calcolo di ϕ(n) in generale. Esempi.
Il Piccolo Teorema di Fermat (enunciato, verifica per p = 2, 3, 5).
Esercitazione di mercoledı́ 10 maggio 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Numero di sottoinsiemi dicardinalità
di un insieme
con
kn−1
k elementi. Proprietà
n
n
dei coefficienti binomiali: nk = n−1
+
;
=
. Teorema del binomio
k
k−1
k
n−k
P n i n−i
n
(di Newton): (a + b) = i i a b .
4
DOCENTE: SANDRO MATTAREI
Dodicesima settimana. Lezione di lunedı́ 15 maggio 2006 (due ore)
Osservazione sui coefficienti binomiali: se p è primo allora kp è multiplo di p
per 0 < k < p. Dimostrazione usando la formula esplicita per kp , e dimostrazione
combinatoria.
Dimostrazione per induzione del Piccolo Teorema di Fermat. Dimostrazione
combinatoria del Piccolo Teorema di Fermat (contando le collane...).
Lezione di mercoledı́ 17 maggio 2006 (due ore)
Il Teorema di Eulero-Fermat. Dimostrazione nei casi speciali n = p e n = pq,
dove p e q sono primi distinti.
Cenni alla crittografia a chiave segreta ed alla crittografia a chiave pubblica. Il
metodo RSA di crittografia a chiave pubblica. (Dimostrazione della correttezza
solo per (P, ϕ(n)) = 1.)
Tredicesima settimana. Esercitazione di lunedı́ 22 maggio 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Definizione di grafo ed esempi: grafi completi, cammini, cicli. Isomorfismo di
grafi. Sottografi e sottografi indotti.
Esercitazione di mercoledı́ 24 maggio 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Score di un grafo. Relazione fra gradi dei vertici e numero totale di lati. Teorema
dello score (senza dimostrazione). Grafi connessi, 2-connessi e Hamiltoniani.
Quattordicesima settimana. Lezione di lunedı́ 29 maggio 2006 (due
ore)
Scrittura posizionale di numeri interi. Algoritmi per convertire un numero
(intero positivo) da una base generica b a base 10 e viceversa.
Algritmo per il calcolo efficiente di potenze modulo n (“eleva al quadrato e
moltiplica”).
Esercitazione di mercoledı́ 30 maggio 2006
(due ore, fatte da Serena Cicalò)
Risoluzione di congruenze della forma ax ≡ b mod n.
Esercizi sulle congruenze.
Esercizi sul calcolo combinatorio.
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento, via Sommarive
14, 38050 Povo (Trento)
E-mail address: [email protected]
