Cenni sul minimo e massimo limite di funzioni
Sia f una funzione reale definita in un sottoinsieme X di R e sia c un
punto di accumulazione per X. Vogliamo introdurre il concetto di minimo e
massimo limite di f al tendere di x a c. In modo analogo lo stesso concetto
potrà essere introdotto quando x tende a +∞ o a −∞.
DEFINIZIONE 1.
a) se esiste γ > 0 tale che f è limitata inferiormente in ]c − γ, c + γ[, si
pone
lim inf f (x) = sup inf{f (x) : x ∈ X, x 6= c, |x − c| < δ}
x→c
δ>0
b) in caso contrario, si pone
lim inf f (x) = −∞
x→c
OSSERVAZIONE 1.- Posto, per ogni δ > 0, l(δ) = inf{f (x) : x ∈ X, x 6=
c, |x − c| < δ}, notiamo che, se δ1 < δ2 , si ha l(δ1 ) ≥ l(δ2 ), quindi si ha
lim inf x→c f (x) = limδ→0+ l(δ).
DEFINIZIONE 2.
a) se esiste γ > 0 tale che f limitata superiormente in ]c − γ, c + γ[, si
pone
lim sup f (x) = inf sup{f (x) : x ∈ X, x 6= c, |x − c| < δ}
x→c
δ>0
b) in caso contrario, si pone
lim sup f (x) = +∞
x→c
OSSERVAZIONE 2.- Posto, per ogni δ > 0, L(δ) = sup{f (x) : x ∈
X, x 6= c, |x − c| < δ}, notiamo che, se δ1 < δ2 , si ha L(δ1 ) ≤ L(δ2 ), quindi si
ha lim supx→c f (x) = limδ→0+ L(δ).
Valgono le seguenti proprietà caratteristiche, che si dimostrano come
quelle analoghe per le successioni.
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TEOREMA 1.- a) Condizioni necessarie e sufficienti affinchè il numero
reale l sia il limite minimo della funzione f al tendere di x a c sono:
1) per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, se x ∈ X, x 6= c e |x − c| < δ, si
ha f (x) > l − ε
2) per ogni ε > 0 e per ogni δ > 0 esiste x ∈ X, con x 6= c e |x − c| < δ,
tale che f (x) < l + ε
b) Condizioni necessarie e sufficienti affinchè il numero reale l sia il limite
massimo della funzione f al tendere di x a c sono:
1) per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, se x ∈ X, x 6= c e |x − c| < δ, si
ha f (x) < l + ε
2) per ogni ε > 0 e per ogni δ > 0 esiste x ∈ X, con x 6= c e |x − c| < δ,
tale che f (x) > l − ε
Anche il seguente teorema si dimostra come quello analogo sulle successioni.
TEOREMA 2.- Condizione necessaria e sufficiente affinchè f sia regolare al tendere di x a c è che lim inf x→c f (x) = lim supx→c f (x). Quando la
condizione è verificata, si ha limx→c f (x) = lim inf x→c f (x) = lim supx→c f (x)
Il seguente risultato mette in relazione la semicontinuità inferiore e superiore di f in c con i limiti minimo e massimo di f per x → c.
TEOREMA 3.- a) Condizione necessaria e sufficiente affinchè f sia semicontinua inferiormente in c è che f (c) ≤ lim inf x→c f (x)
b) Condizione necessaria e sufficiente affinchè f sia semicontinua superiormente in c è che f (c) ≥ lim supx→c f (x)
DIMOSTRAZIONE. a) Supponiamo che f sia semicontinua inferiormente
in c. Ne segue che, se |x−c| è minore di un opportuno δ, si ha f (x) > f (c)−1,
dunque f è limitata inferiormente in un intorno di c e il limite minimo è un
numero. Dalla 1) del Teorema 1, segue che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale
che f (c) − ε ≤ inf{f (x) : x ∈ X, x 6= c, |x − c| < δ}. Dall’arbitrarietà di ε
segue che f (c) ≤ lim inf x→c f (x). Viceversa, se vale la suddetta condizione,
fissato ε > 0 si ha f (c) − ε < f (c) ≤ lim inf x→c f (x); dalla Definizione 1 segue
allora, per la seconda proprietà dell’estremo superiore, che esiste δ > 0 tale
che f (c) − ε < inf{f (x) : x ∈ X, x 6= c, |x − c| < δ} da cui segue che f è
semicontinua inferiormente in c.
b) la dimostrazione è analoga.
Il seguente risultato caratterizza il limite minimo mediante le successioni.
Si può enunciare un risultato analogo per il limite massimo.
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TEOREMA 4.- Condizione sufficiente affinchè lim inf x→c f (x) = l è che
per ogni successione {xn } ⊆ X \ {c}, con xn → c, si abbia lim inf f (xn ) = l
DIMOSTRAZIONE. Basta provare che valgono le 1) e 2) del Teorema 1.
1) Ragionando per assurdo, supponiamo che esista ε > 0 tale che, per
ogni n ∈ N, esiste xn ∈ X \ {c} tale che |xn − c| < n1 e f (xn ) ≤ l − ε. La
successione {xn } tende a c dunque, per ipotesi, il suo limite minimo è l, ma
viene contraddetta la prima proprietà del limite minimo per le successioni.
2) Fissati ε e δ, e scelta ad arbitrio una successione {xn } come nell’enunciato, esiste α ∈ N tale che |xn − c| < δ per n > α; l’elemento x che prova la
tesi sarà un qualunque xn con n > α.
OSSERVAZIONE 1.- La condizione espressa dal Teorema 4 non è necessaria, basta considerare la funzione definita in ]0, 1] ponendo f (x) = x1 se x = n1 ,
n ∈ N; f (x) = 0 altrove in ]0, 1]. Evidentemente si ha lim inf x→0 f (x) = 0,
ma, posto xn = n1 , si ha lim inf f (xn ) = +∞. Si può far vedere che in
genere, se xn → c, si ha lim inf x→c f (x) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim sup f (xn ) ≤
lim supx→c f (x).
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