UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
Registro dell'insegnamento
Anno accademico 2012/2013
Prof. ROBERTA FABBRI
Settore inquadramento MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Facoltà INGEGNERIA
Insegnamento ANALISI MATEMATICA
Moduli
Settore insegnamento MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Corsi di studio
INGEGNERIA INFORMATICA
N.B.- Ai sensi dell' art.2 della Legge 1-5-1941. n. 615, i direttori degli istituti e dei laboratori nei
quali si eseguono esperimenti sugli animali dovranno allegare al presente registro delle lezioni
anche il registro contenente i dati relativi agli esperimenti di cui sopra.
Anno accademico: 2012/2013
n.: 1
Tipologia: lezione
Data: 17/09/2012
Totale ore: 2
Argomento: Presentazione del Corso di Laurea in Ingegneria Informatica tenuta dal Presidente di
corso di Laurea Prof. A. Fantechi. Introduzione al corso. I numeri reali. Operazioni di somma e di
addizione definite in R e loro proprieta'. La relazione di minore e uguale definita tra coppie di numeri
reali. R e' un insieme totalmente ordinato.
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n.: 2
Tipologia: lezione
Data: 18/09/2012
Totale ore: 2
Argomento: Assioma di continuita' per i numeri reali, prime osservazioni. Proposizione: Non esiste
alcun numero razionale il cui quadrato sia 2.(dim per assurdo) Insiemi numerici limitati, limitati
superiormente (inferiormente). Maggiorante e minorante di un insieme (di numeri reali). Minimo e
massimo di un insieme (di numeri reali). Esempi. Definizione di estremo superiore e di estremo
inferiore. L'assioma di continuita' dei reali. Proprieta' caratteristiche dell'estremo superiore.
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n.: 3
Tipologia: lezione
Data: 19/09/2012
Totale ore: 1
Argomento: Interpretazione geometrica assioma di continuita': retta reale. Definizione assiomatica
di R. Valore assoluto di un numero reale. Interpretazione del valore assoluto come distanza euclidea
in R. Intervalli limitati di R, intervalli aperti e chiusi. Intervalli illimitati di R: semirette.
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n.: 4
Tipologia: lezione
Data: 24/09/2012
Totale ore: 2
Argomento: Sintassi. Il linguaggio matematico. Uso dell'"o" (oppure) in matematica e nella lingua
italiana. Utilizzo dell' "e" in matematica e nella lingua italiana. Articoli: articolo determinativo
"il","lo","la" e articolo indeterminativo "un", "uno", "una". I quantificatori "per ogni" (quantificatore
universale) e "esiste" (quantificatore esistenziale). Costanti. Variabili. Esempi. Teoria ingenua degli
insiemi. Parole chiave linguaggio degli insiemi: inseme, elemento, appartenenza. L' operazione di
inclusione tra insiemi (e relative proprieta'). Uguaglianza tra insiemi. Come si definisce un insieme.
Insieme delle parti. Insieme vuoto.
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Anno accademico: 2012/2013
n.: 5
Tipologia: lezione
Data: 25/09/2012
Totale ore: 2
Argomento: Operazioni sugli insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare, prodotto
cartesiano. Operazioni tra insiemi e operazioni logiche. Formule di de Morgan.
Logica elementare. Proposizioni e predicati. Negazione e quantificatori. I connettivi logici.
Negazione "non", congiunzione "e" , disgiunzione "o", implicazione logica, equivalenza. Tabelle di
verita' relative alle operazioni coi connettivi logici.
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n.: 6
Tipologia: lezione
Data: 26/09/2012
Totale ore: 1
Argomento: L'implicazione logica. Oservazioni sulla tabella di verita' corrispondente.
Legge delle controinverse. Assiomi, definizioni, teoremi e dimostrazioni.
Dimostrazione diretta. Dimostrazioni indirette.
La dimostrazione per assurdo. Metodo del controesempio per dimostrare la falsita' di una
implicazione universale. Esercizi sulla logica elementare. Negazioni di frasi.
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n.: 7
Tipologia: lezione
Data: 01/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esempio di dimostrazione di tipo diretto. Teorema: Per ogni numero naturale n, se n e'
dispari allora n^2 e' dispari.
Esempi ed esercizi.
Riferimento cartesiano nel piano: legame tra algebra e geometria. Relazioni tra due insiemi.
Relazioni tra grandezze reali. Grafico di una relazione come sottoinsieme del piano R^2.
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n.: 8
Tipologia: lezione
Data: 02/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Prodotto scalare e perpendicolarita' tra vettori del piano cartesiano.
Radice n-esima aritmetica di un numero reale positivo.
Radice quadrata (aritmetica) di un numero reale non negativo.
Formula risolutiva delle equazioni di II grado attraverso la radice quadrata aritmetica.
Potenze ad esponente razionale.
Relazioni e funzioni tra due insiemi. Funzioni da R a R. Dominio e codominio. Grafico di una
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Anno accademico: 2012/2013
funzione.
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n.: 9
Tipologia: lezione
Data: 03/10/2012
Totale ore: 1
Argomento: Immagine di una funzione Funzioni suriettive, iniettive e biettive. Distinzione tra
relazione e funzione tra due insiemi mediante il grafico associato ad esse. Esempi di funzioni reali di
una variabile: funzioni lineari,funzioni potenza su tutto R. Funzione valore assoluto, funzione segno
di x, funzione parte intera di x definite su tutto R. Funzioni simmetriche (pari e dispari). Esempi.
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n.: 10
Tipologia: lezione
Data: 08/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Operazioni sulle funzioni. Composizione tra funzioni. L'operazione di composizione non
e' commutativa. Esempi. Funzione inversa. Composizione di funzioni iniettive. Invertibilita' della
funzione composta. Invertibilita' della funzione potenza: caso esponente pari ed esponente dispari.
Grafico di una funzione(invertibile) e grafico della sua inversa: simmetria dei due grafici rispetto alla
bisettrice del I e III quadrante. Funzioni limitate superiormente, inferiormente e funzioni
limitate.Esempi ed esercizi sulla determinazione del campo di esistenza, del grafico e dell'immagine
per alcune funzioni reali.
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n.: 11
Tipologia: lezione
Data: 09/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Funzioni monotone. Monotonia ed invertibilita'. Funzioni periodiche. Esempi. Richiami
sulle funzioni trigonometriche. Esercizi vari sulle funzioni trigonometriche (determinazione campo di
esistenza, disequazioni). Determinazione del campo di esistenza e dell'immagine per alcune
funzioni reali di una variabile ed esercizi sulla determinazione della funzione inversa per funzioni
reali.
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n.: 12
Tipologia: lezione
Data: 10/10/2012
Totale ore: 1
Pagina 4
Anno accademico: 2012/2013
Argomento: Continuita' ed evoluzione continua. Funzione continua in un punto e su un intervallo.
Algebra delle funzioni continue (somma, prodotto e rapporto di funzioni continue). Composizione di
funzioni continue. Le potenze, i polinomi e le funzioni razionali sono continue in tutti i punti del loro
dominio. Concetto di intorno in R. Intorno di un punto x_0 in R. Intorni aperti di centro x_0 e raggio
r>0. Intorni in R*. Intorni di +\infty e di -\infty: semirette. Definzione topologica di limite in R*
(mediante il concetto di intorno): prime osservazioni.
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n.: 13
Tipologia: lezione
Data: 15/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Definizione di limite mediante intorni. Operazione di limite e' in R*. Limite finito, infinito,
al finito e all'infinito. Relazione tra limite e continuita'. Proprieta' del passaggio al limite: unicita' del
limite, localizzazione, giunzione e restrizione.
Dal limite alla funzione. Limitatezza e teorema della permamenza del segno (dim). Permanenza del
segno per funzioni continue.
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n.: 14
Tipologia: lezione
Data: 16/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Il calcolo dei limiti. Algebra dei limiti. Aritmetizzazione parziale di infinito. Forme
indeterminate.
Studio del rapporto f(x)/g(x) quando x--> 0 dove f(x)-->a (a diverso da 0) e g(x)--> 0 per x --->0.
Criterio del confronto (Teorema dei carabinieri). Esempi.
Cambiamento di variabile. Limiti di polinomi. Limiti di funzioni razionali. Esempi. Limiti di funzioni
monotone.
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n.: 15
Tipologia: lezione
Data: 17/10/2012
Totale ore: 1
Argomento: Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone (dim). Esempi ed esercizi sul
calcolo dei limiti. Esercizi vari sulla continuita'.
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n.: 16
Tipologia: lezione
Data: 22/10/2012
Totale ore: 2
Pagina 5
Anno accademico: 2012/2013
Argomento: Proprieta' globali delle funzioni continue o monotone su un intervallo. Funzioni continue
su un intervallo. Teorema degli zeri (di Bolzano). Prime osservazioni. Dimostrazione del teorema
degli zeri. Conseguenze del teorema degli zeri, prime osservazioni.
Conseguenze del Teorema degli zeri. Esistenza della radice n-esima di un numero positivo.
Immagine continua di un intervallo. Continuita' ed invertibilita'.
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n.: 17
Tipologia: lezione
Data: 23/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Teorema: Una funzione continua su un intervallo I (limitato o non limitato) e' invertibile
su tale intervallo se e soltanto se e' strettamente monotona. In tal caso la sua inversa e' ancora
strettamente monotona e continua (dim).
Una funzione continua e invertibile su I ha inversa continua (sul suo dominio). Esempi di funzioni
continue: funzioni trigonometriche e loro inverse (nei rispettivi domini). Asintoti. Asintoto orizzontale.
Corrispondenza tra asintoti orizzontali e limiti finiti all'infinito. Asintoto obliquo. Asintoto verticale.
Corripondenza tra asintoti verticali e limiti infiniti al finito. Esempi ed esercizi.
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n.: 18
Tipologia: lezione
Data: 24/10/2012
Totale ore: 1
Argomento: Esercizi vari di calcolo di limiti. Esercizi sulla determinazione di asintoti per alcune
funzioni. Studio del grafico qualitativo per alcune funzioni. Studio della continuta' per alcune funzioni
sul loro dominio di definizione. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Prime osservazioni.
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n.: 19
Tipologia: lezione
Data: 29/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: La nozione di derivata. Tasso di variazione istantanea di una funzione in un punto.
Definizione di derivata in un punto di una funzione reale definita su un intervallo. Rapporto
incrementale. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico in un punto
asegnato.
Legame tra derivabilita' e continuita'. Proposizione: Le funzioni derivabili sono continue (dim).
Esempi di funzioni derivabili e non sul loro dominio. Punti di non derivabilita': punti angolosi, punti a
tangente verticale, punti di cuspide. Esempi. Il calcolo delle derivate. Algebra delle derivate (somma
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Anno accademico: 2012/2013
algebrica, prodotto, quoziente di funzioni derivabili). Derivata della funzione costante, derivata della
funzione potenza (intera). Derivata dei polinomi.
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n.: 20
Tipologia: lezione
Data: 30/10/2012
Totale ore: 2
Argomento: Derivata di funzione composta: regola della catena.
Derivata della funzione inversa. Teorema di derivazione della funzione inversa. Significato
geometrico del teorema di derivazione della funzione inversa. Derivata di alcune funzioni elementari:
derivata funzioni trigonometrice e loro inverse, derivata del logaritmo e dell'esponeniale. Tabella di
derivate delle funzioni elementari. Esercizi sulla derivabilita'. Derivabilita' di valore assoluto di f(x).
Osservazioni sul teorema di derivazione della funzione inversa: calcolo della derivata di funzione
inversa in un punto anche senza conoscere esplicitamente tale funzione. Esempi.
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n.: 21
Tipologia: lezione
Data: 31/10/2012
Totale ore: 1
Argomento: Studio della continuita' e derivabilita' per alcune funzioni. Equazione della retta
tangente al grafico di una funzione in un punto assegnato. Esempi ed esercizi.
Derivate successive. C^n(I, R). C^infty(I,R). Derivate sucecssive della funzione inversa.
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n.: 22
Tipologia: lezione
Data: 05/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Applicazioni del calcolo differenziale. Massimi e minimi relativi (o locali) e assoluti (o
globali) per funzioni reali definite su intervalli. Condizione necessaria ma non sufficiente per la
ricerca di punti di estremo (min o max) per una funzione reale: Teorema di Fermat (dim). Punti
stazionari o critici per una funzione. Esistenza di punti di massimo e minimo assoluti: il Teorema di
Weierstrass e prime osservazioni.
Dimostrazione del Teorema di Weierstass. Corollario: Sia f:[a,b]--> R continua. Allora l'immagine
f([a,b]) e' il compatto [min f(x), max f(x] dove si intende che il min e il max di f(x) sono determinati
quando x appartiene ad [a, b].
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Anno accademico: 2012/2013
n.: 23
Tipologia: lezione
Data: 06/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Teorema di Lagrange (del valor medio). Prime osservazioni. Interpretazione
geometrica del teorema del valor medio. Dimostrazione del Teorema di Lagrange. Teorema di Rolle
(dim) e sua interpretazione geometrica. Teorema di Cauchy. Conseguenze del Teorema di
Lagrange. Crescenza e decrescenza di una funzione. Applicazione del Teorema di Lagrange: Test
di monotonia per uan funzione derivabile su un intervallo reale. Applicazioni del Teorema di
Lagrange: Una funzione derivabile su un intervallo con derivata nulla su tale intervallo e' ivi costante.
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n.: 24
Tipologia: lezione
Data: 07/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esercizi vari sulla continuita' e sulla derivabilita'.
Nota: sostituito da: Prof.ssa Francesca Lascialfari (ausilio didattico)
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n.: 25
Tipologia: lezione
Data: 12/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Calcolo dei limiti: limiti notevoli (utilizzando il calcolo differenziale), I teoremi di de
l'Hopital. Calcolo di limiti per forme indeterminate del tipo 0/0 o infty/infty. Osservazioni
sull'applicazione dei teoremi di de l'Hopital. Calcolo di limiti mediante il teorema di de l'Hopital
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n.: 26
Tipologia: lezione
Data: 13/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Limite della derivata e derivabilita' (ulteriore applicazione del Teorema di
Lagrange)(dim). Esempi ed esercizi sui limiti. Limiti notevoli con l'utilizzo del teorema di de l'Hopital.
Confronto tra funzione esponenziale e funzione potenza e tra funzione potenza (positiva) e potenza
della funzione logaritmo.
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n.: 27
Tipologia: lezione
Data: 14/11/2012
Totale ore: 1
Pagina 8
Anno accademico: 2012/2013
Argomento: Teorema degli zeri su tutta l'asse reale. Derivata seconda, convessita' e concavita' di
una funzione. Definizione di insieme piano convesso. Definizione di funzione convessa (concava) su
un intervallo (anche illimitato). Significato geometrico della definzione. Definizioni equivalenti della
convessita': concetto di epigrafo in R^2 e nozione di concavita' verso l'alto (o il basso). Teoremi di
caratterizzazione delle funzioni convesse.
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n.: 28
Tipologia: lezione
Data: 19/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esempi di funzioni concave e convesse:funzione potenza reale,funzioni esponenziali e
logaritmiche. Punto di flesso. Significato geometrico del punto di flesso (punto di cambio di
concavita'). Teorema: Sia x_0 punto di flesso per la f: I --> R. Se esiste f ''(x_0) allora f
''(x_0)=0.(C.N. ma non sufficiente). Esempio: funzione f(x)= x^4 su tutto R.
Studio del grafico di una funzione. Esempi.
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n.: 29
Tipologia: lezione
Data: 21/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Introduzione, calcolo dell'area di una
figura piana a contorno curvilineo. Il metodo di esaustione di Archimede. Cenni storici. La nozione di
integrale di Riemann. Integrale superiore e integrale inferiore con le somme di Riemann. Definzione
di funzione integrabile secondo Riemann sull'intervallo [a, b].
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n.: 30
Tipologia: lezione
Data: 23/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: (Recupero della lezione di lunedi' 26 novembre).
Proprieta' delle funzioni integrabili secondo Riemann. Proprieta' dell'integrale. Integrale orientato.
Classi di funzioni integrabili. Integrabilita' delle funzioni costanti a tratti. Integrabilita' delle funzioni
monotone limitate.(dim) Integrabilita' delle funzioni continue su [a,b]. Integrabilita' delle funzioni
limitate e con un numero finito di discontinuita'. Funzione integrale di una funzione integrabile su [a,
b]. Lipschitzianita' della funzione intergrale.
Definizione di lipschitzianita' per una funzione reale definita su un intervallo [a, b].
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Anno accademico: 2012/2013
n.: 31
Tipologia: lezione
Data: 27/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esercizi vari sul calcolo di massimi e minimi per funzioni reali. Esercizi sullo studio di
funzioni ed esercizi vari sui limiti.
Nota: sostituito da: Dott.ssa Francesca Lascialfari (ausilio didattico)
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n.: 32
Tipologia: lezione
Data: 28/11/2012
Totale ore: 1
Argomento: Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). Conseguenze del Teorema
fondamentale del calcolo integrale. Media integrale di una funzione integrabile su [a, b]. Teorema
della media integrale(dim). Primitive. La funzione integrale di una funzione continua su [a,b] e' una
primitiva della funzione.
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n.: 33
Tipologia: lezione
Data: 30/11/2012
Totale ore: 2
Argomento: (Lezione di recupero della lezione del 20 novembre 2012).
Integrale indefinito. Insieme di tutte le primitive di una funzione. Applicazioni delle funzioni integrali:
spazio percorso da una particella all'istante t , particella che si muove con velocita' variabile v(t)
lungo una traiettoria fissata e' la fuunzione integrale della velocita'. Conseguenze del Teorema
fondamentale del calcolo: la funzione integrale ha sempre un grado di regolarita' in piu' rispetto alla
funzione integranda.
Studio di funzioni integrali anche senza conoscerne esplicitamente l'espressione analitica: esempi.
Aree di figure piane.
Definzione di sottografico per funzione f:[a, b]--> R continua e con f(x)> = 0 (funzione non negativa).
Definizione di misura o area del sottografico per funzione non negativa.
Area con segno (quando f:[a, b]--> R e' continua ma non positiva).
Esercizio di calcolo di area di figura piana.
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n.: 34
Tipologia: lezione
Data: 03/12/2012
Totale ore: 2
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Anno accademico: 2012/2013
Argomento: Definizione di log x e di exp x e delle funzioni trigonometriche mediante il calcolo
integrale. Il numero di Nepero e. Funzione esponenziale. Esponenziale e logaritmo con base a>0.
Potenze ad esponente reale.
Applicazione delle funzioni esponenziali. L'equazione del decadimento o della crescita. Soluzione e
unicita'della stessa.
Firma .........................................................................................
n.: 35
Tipologia: lezione
Data: 04/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Funzioni trigonometriche definite attraverso il caolcolo integrale. Funzione
arcotangente di x. Funzione arcotangente di x definita come opportuna funzione integrale. Funzione
tangente di x (definita a partire dalla funzione inversa arcotangente). Le funzioni seno e coseno di x.
Funzioni trigonometriche e moto armonico. Equazione dell'oscillatore armonico. Tabella di primitive
fondamentali.
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n.: 36
Tipologia: lezione
Data: 05/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Metodi di integrazione. Integrazione per scomposizione. Integrazione per sostituzione.
Integrazione per parti. Integrazione delle funzioni razionali. Esempi ed esercizi. Integrazione delle
funzioni trigonometriche. Integrazione di funzioni irrazionali. Esempi ed esercizi.
Firma .........................................................................................
n.: 37
Tipologia: lezione
Data: 10/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esercizi vari sul calcolo integrale.
Nota: sostituito da: Dott.ssa Francesca Lascialfari (ausilio didattico)
Firma .........................................................................................
n.: 38
Tipologia: lezione
Data: 11/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Calcolo approssimato di pi greco. Formula di Taylor con resto integrale. Formula di
Taylor con resto secondo Lagrange (dim). Calcolo del numero di Nepero e con la precisione
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Anno accademico: 2012/2013
desiderata mediante la Formula di Taylor. Dimostrazione dell'irrazionalita' di e attraverso la Formula
di Taylor.
Firma .........................................................................................
n.: 39
Tipologia: lezione
Data: 12/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Formula di Taylor con resto secondo Peano (dim). Informazione di tipo dinamico sul
resto. Le notazioni di Landau: o piccolo e O grande. Funzioni asintotiche. Legame tra asintotico e opiccolo. Limiti notevoli e sviluppi corrispondenti. Osservazioni sulla Formula di Taylor con resto
secondo Peano. Algebra degli o-piccoli. Il calcolo degli sviluppi.
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n.: 40
Tipologia: lezione
Data: 17/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Sviluppi di Taylor centrati in zero per alcuen funzioni elementari.Sviluppo di e^x, di sin
x, di cos x, di log(1+ x), di (1+ x)^\alpha con x > -1 e \alpha reale. Calcolo di limiti con la formual di
Taylor. Esercizi vari sugli sviluppi di Taylor per alcune funzioni.
Equazioni differenziali ordinarie. Definzioni. Equazioni lineari del I ordine. Determinazione
dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare del primo ordine come somma
dell'integrale generale dell'omogenea associata e di un integrale particolare dell'equazione datavalido per eq. di ordine n qualsiasi- (dim). Determinazione dell'integrale generale dell'equazione
omogenea associata.
Determinazione dell'integrale partcolare dell'equazione non omogenea: metodo di variazione della
costante.
Firma .........................................................................................
n.: 41
Tipologia: lezione
Data: 18/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Condizione inziale. Problema di Cauchy. Teorema (soluzione problema di Cauchy per
un'equazione lineare del I ordine). Esempi. Esercizi sulla determinazione della soluzione per
problemi di Cauchy (del I ordine e lineari).
Equazioni differenziali ordinarie lineari del II ordine (forma generale). Equazioni differenziali lineari
del II ordine a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Determinazione dell'integrale generale
dell'omogenea associata. Determinazione dell'integrale particolare della non omogenea: metodo
della somiglianza e metodo di variazione delle costanti. Esempi.
Firma .........................................................................................
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Anno accademico: 2012/2013
n.: 42
Tipologia: lezione
Data: 19/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esercizi vari sull'applicazione della formula di Taylor.
Nota: sostituito da: Dott.ssa Francesca Lascialfari (ausilio didattico)
Firma .........................................................................................
n.: 43
Tipologia: lezione
Data: 20/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esercizi vari sulle equazioni differenziali lineari del II ordine.
Soluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari del II ordine. Studio di
un'equazione di grado 4 con informazioni sul numero delle soluzioni (in R) ed il loro segno.
Firma .........................................................................................
n.: 44
Tipologia: esercitazione
Data: 21/12/2012
Totale ore: 2
Argomento: Esercitazione scritta.
Prova di autovalutazione.
Firma .........................................................................................
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Anno accademico: 2012/2013
RIEPILOGO
lezione
................................................... n. ore
77
esercitazione
................................................... n. ore
2
laboratorio
................................................... n. ore
0
seminario
................................................... n. ore
0
TOTALE
79
FIRMA DEL DOCENTE
Visto: IL PRESIDE DELLA FACOLTÀ
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