Analisi matematica 1

Università degli Studi di Pisa
Dipartimento di Matematica
Anno 2015/2016
Appunti del corso di
Analisi matematica 1
Frutto della rielaborazione delle lezioni tenute dai professori
Vladimir Georgiev
Nicola Visciglia
2
Indice
1 Prime definizioni e cenni di teoria degli insiemi
1.1 Nozioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Concetti introduttivi . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Operazioni tra insiemi . . . . . . . . . . .
1.2 Applicazioni e relazioni . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definizioni e prime proprietà . . . . . . . .
1.2.2 Operazioni interne . . . . . . . . . . . . .
1.3 Strutture algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Gli assiomi ZFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Riassunto degli assiomi ZFC . . . . . . . .
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2 L’insieme N
2.1 Gli assiomi di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Costruzione assiomatica . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Derivazione dalla ZFC . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Unicità e indipendenza degli assiomi di Peano
2.2 Operazioni e ordinamento nell’insieme N . . . . . . .
2.2.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Numeri positivi e ordinamento . . . . . . . . .
2.2.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Funzione fattoriale . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Successioni in N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Insiemi finiti, infiniti, numerabili ed equipotenti . . .
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3 Insiemi Z,Q,R
3.1 L’insieme Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Costruzione come passaggio al quoziente . . . .
3.1.2 Ordinamento in Z e operazioni . . . . . . . . .
3.2 L’insieme Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Costruzione come passaggio al quoziente . . . .
3.2.2 Successioni in Q . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Numerabilità di Q . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 L’insieme R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Costruzione di Cantor . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Assioma di Dedekind (assioma di continuità o di
3.3.3 Non numerabilità di R . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Binomio di Newton e disuguaglianze . . . . . . . . . .
3.4.1 Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . .
3
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completezza)
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4
INDICE
3.4.2
Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Funzioni elementari reali
4.1 Proprietà di base . . . . . . .
4.1.1 Funzioni potenza . . .
4.1.2 Funzioni esponenziali .
4.1.3 Funzioni logaritmiche .
4.1.4 Funzioni goniometriche
4.1.5 Funzioni iperboliche .
4.1.6 Funzioni inverse . . . .
4.2 Appendice: leggi delle funzioni
5 Limiti
5.1 Limiti
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.1.5
5.1.6
5.2 Limiti
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
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trigonometriche
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di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primi teoremi e proprietà . . . . . . . . . .
Limite inferiore e superiore per successioni .
Criteri di convergenza per successioni . . . .
Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . .
Studio di successioni definite per ricorrenza .
di funzioni reali . . . . . . . . . . . . . . . .
Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoremi sui limiti di funzioni . . . . . . . .
Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . .
Limite superiore ed inferiore di funzioni reali
6 Cenni di topologia in R
6.1 Aperti e spazi metrici . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Parte interna, chiusura, frontiera di un insieme
6.3 Connessi e compatti . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Compattezza in R . . . . . . . . . . . .
6.4 Topologia in R . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Continuità
7.1 Continuità delle funzioni reali . . . . . .
7.2 Proprietà delle funzioni continue . . . . .
7.3 Classificazione dei punti di discontinuità
7.4 Semicontinuità . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Teoremi sulle funzioni continue . . . . .
7.6 Continuità uniforme . . . . . . . . . . .
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8 Derivabilità
8.1 Simboli di Landau . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 o piccolo . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Equivalenza asintotica e O grande . . .
8.1.3 Relazioni o piccolo-O grande . . . . . .
8.2 Derivata di una funzione . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Definizioni e interpretazione geometrica
8.2.2 Proprietà delle funzioni derivabili . . .
8.3 Teoremi sulle funzioni derivabili . . . . . . . .
8.3.1 Teoremi di Fermat e Rolle . . . . . . .
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5
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145
145
147
147
10 I numeri complessi
10.1 Introduzione e prime definizioni . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Potenza di un numero complesso in coordinate
10.2 Teorema fondamentale dell’algebra . . . . . . . . . .
10.3 Convergenza e norme nel campo complesso . . . . . .
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polari
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11 Serie numeriche
11.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Serie geometriche e telescopiche . . . . . . . . . .
11.2.1 Serie geometriche . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Serie telescopiche . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Serie a termini di segno costante . . . . . .
11.3.2 Serie a termini di segno qualunque . . . .
11.4 Serie armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Studio della serie dei reciproci dei primi .
11.5.2 Formule chiuse per somme di seno e coseno
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173
175
8.4
8.3.2 Teorema di Lagrange e suoi corollari
8.3.3 Teoremi di Cauchy e de l’Hôpital . .
8.3.4 Funzione inversa e differenziabilità .
Teorema di Taylor con resto di Peano . . . .
8.4.1 Principali sviluppi di Taylor . . . . .
9 Proprietà e studio di funzioni reali
9.1 Concavità e convessità . . . . . . . . . .
9.1.1 Prime definizioni e proprietà . . .
9.1.2 Media pesata e funzioni convesse
9.1.3 Esercizi sulle funzioni convesse . .
9.2 Studio di funzione . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Ricerca del dominio . . . . . . . .
9.2.2 Ricerca di simmetrie . . . . . . .
9.2.3 Limiti alla frontiera del dominio .
9.2.4 Intersezioni con gli assi . . . . . .
9.2.5 Segno della funzione . . . . . . .
9.2.6 Monotonia della funzione . . . . .
9.2.7 Concavità e/o convessità . . . . .
9.2.8 Realizzazione del grafico . . . . .
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12 Teoria dell’integrazione secondo Riemann
177
12.1 Integrali indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.1.2 Proprietà dell’integrale indefinito e regola dell’integrazione per parti 178
12.1.3 Cambiamento di variabili (integrali per sostituzione) . . . . . . . . 181
12.1.4 Integrazione delle funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.1.5 Sostituzioni razionalizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.2 Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
12.2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
12.2.2 Proprietà delle funzioni Riemann-integrabili . . . . . . . . . . . . . 194
12.2.3 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . 199
6
INDICE
12.2.4 Introduzione alla misura di Peano-Jordan .
12.3 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Integrali impropri per funzioni illimitate .
12.3.2 Integrali impropri su semirette . . . . . . .
12.4 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Funzione Gamma di Eulero . . . . . . . .
12.4.2 Prodotto di Wallis . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . .
12.4.4 Ulteriore caratterizzazione del fattoriale .
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13 Cenni di equazioni differenziali
13.1 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . .
13.1.2 Equazioni lineari del primo ordine . . . . . .
13.2 Equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti
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14 Successioni e serie di funzioni
14.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3 Passaggio al limite sotto segno di derivata ed integrale . . .
14.2 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.2 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3 Integrazione per serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.4 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.5 Appendice: ulteriore caratterizzazione del numero di Nepero
Indice analitico
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246
Prefazione
Questi appunti raccolgono il materiale del corso di Analisi Matematica 1 tenuto presso
l’Università di Pisa durante l’A.A. 2015/2016. Non hanno la pretesa di sostituire un libro
di testo, imprescindibile per uno studio accurato e puntuale delle tematiche trattate, ma
nascono per essere un valido supporto allo studio individuale e compendio della teoria
svolta a lezione.
Teniamo a specificare (forse per giustificare l’inevitabile presenza di errori, forse per
rendere il lettore partecipe del nostro progetto) che il lavoro è stato realizzato in poco più
di un mese, cui ha seguito una lunghissima fase di correzione.
Queste dispense sono frutto del lavoro congiunto di molti studenti che, durante l’anno
accademico, hanno seguito le lezioni tenute dai professori Vladimir Georgiev, titolare del
corso di Analisi, e Nicola Visciglia che ringraziamo per la disponibilità nel pubblicare il
contenuto delle loro lezioni. In ogni caso, questi appunti ne rappresentano una libera
rielaborazione, alla quale non hanno preso parte i docenti.
Nell’intento di rendere il lavoro il più omogeneo possibile, abbiamo liberamente attinto da moltissime fonti, talvolta integrando gli appunti delle lezioni tenute in classe.
Ringraziamo il prof. Massimo Gobbino per gli Stampati integrali delle lezioni messi a
disposizione degli studenti sul proprio sito. Questo materiale è stato un supporto imprescindibile con cui confrontarsi e un’utile fonte da cui attingere per l’approfondimento di
determinati argomenti.
Abbiamo arricchito la trattazione degli argomenti con lo svolgimento di molti esercizi
di difficoltà varia, mostrando l’applicazione degli strumenti teorici sviluppati. Infatti, per
uno studio puntuale e approfondito della materia, è indispensabile acquisire padronanza
della teoria e praticità nella risoluzione degli esercizi. Gli esempi svolti sono alcuni dei
tanti esercizi messi a disposizione per gli studenti del corso dal prof. Georgiev, integrati
con gli esempi svolti a lezione dal prof. Visciglia. Alcuni esercizi provengono anche
dagli Stampati citati in precedenza. Lo studente volenteroso può facilmente cercare in
rete esercizi applicativi di ogni genere. Per uno studio più approfondito, consigliamo
caldamente di consultare il testo Problemi scelti di Analisi Matematica di Acerbi, Modica,
Spagnolo.
Ci auguriamo che questo lavoro impegnativo sia d’aiuto a molti studenti, avvicinandoli alle sottili questioni della matematica. Da ciò, scaturisce l’unanime scelta di rendere pubbliche queste dispense. Invitiamo ogni lettore a segnalare errori, sviste, capitoli
eventualmente poco chiari al seguente indirizzo e-mail: [email protected]
La realizzazione di queste dispense è dovuta al lavoro dei seguenti studenti (molti
dei quali hanno imparato i rudimenti del LATEXper l’occasione), che hanno partecipato a
vario titolo: Giorgio Micali, Vincenzo Mariani, Andrea Nari, Mattia Pirani, Stefano Sicilia, Marilena Pandolfi, Lorenzo Nuti, Simone Brutti, Domenico Mergoni, Marco Inversi,
Pierfrancesco Beneventano, Filippo Testa, Alberto Perrella, Mattia Puddu.
Questa lunga lista sia da incitamento per tutti gli studenti a collaborare nello studio
universitario, per renderlo più proficuo e approfondito. Ringraziamo Giorgio, Vincenzo,
Marco, Andrea, Mattia e Stefano per il lavoro di redazione complessivo. Buono studio.
7
8
INDICE
Capitolo 1
Prime definizioni e cenni di teoria
degli insiemi
1.1
Nozioni di base
1.1.1
Concetti introduttivi
Insieme ed elemento La teoria degli insiemi è la disciplina su cui si basa l’intera
costruzione matematica. In particolare, la matematica si fonda su due concetti primi,
ovvero privi di una definizione rigorosa: insieme ed elemento. Intuitivamente si può
definire un insieme come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri), contenuti
in esso. Un insieme può essere a sua volta un elemento di un altro insieme che lo contiene.
Un gruppo di insiemi si chiama famiglia di insiemi. A livello di notazione, indicheremo
con una lettera maiuscola un insieme, con una lettera minuscola un elemento.
Appartenenza ad un insieme e proprietà di un elemento
Definizione 1.1.1 (Appartenenza). Se un elemento x è contenuto in un insieme A, allora
si dice che x appartiene a A, e si scrive:
x
∈A
| {z }
x è un elemento di A
Definizione 1.1.2 (Proprietà). Una proprietà P è una caratteristica che un elemento
può avere o non avere. Una proprietà P si codifica in una formula P (x), che produce
come risultato vero o falso nel caso in cui x soddisfi o meno la suddetta proprietà (si dice
che per x vale o non vale la proprietà P (x)).
Descrizione di insiemi Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
• Per elencazione o estensione: sono elencati tutti gli elementi, che per convenzione si
scrivono tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:
F = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
(questa definizione si utilizza solo per gli insiemi finiti).
Per descrivere insiemi infiniti si possono usare i puntini di sospensione:
1 1 1 1
P = {1, , , , , . . . }
2 3 4 5
9
10
CAPITOLO 1. PRIME DEFINIZIONI E CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
• Per caratteristica o in compressione: gli elementi dell’insieme sono indicati grazie
alla proprietà che soddisfano (o meno) per appartenere a quell’insieme: ad esempio,
l’insieme F si può indicare come:
F = {n ∈ N | n divide 28}
Definizione 1.1.3 (Cardinalità). Si dice cardinalità di un insieme A il numero dei suoi
elementi e si indica #A.
1.1.2
Operazioni tra insiemi
Definizione 1.1.4 (Intersezione). Dati due insiemi A e B, si definisce intersezione tra
A e B (si scrive A ∩ B) l’insieme D che contiene tutti e soli gli elementi contenuti sia in
A che in B, cioè:
∀A(∀B(∃D : x ∈ D ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B))
Definizione 1.1.5 (Insiemi disgiunti). Due insiemi A e B si dicono disgiunti se
A∩B =∅
Definizione 1.1.6 (Differenza). Dati due insiemi A e B, si definisce differenza tra A e
B (si scrive A r B) l’insieme D che contiene tutti e soli gli elementi contenuti in A, ma
non in B, cioè:
∀A(∀B(∃D : x ∈ D ⇔ x ∈ A ∧ x ∈
/ B))
Definizione 1.1.7 (Complementare). Dato un insieme A 6= ∅ si definisce complementare
−
di A (si scrive A) l’insieme D che contiene tutti e soli gli elementi non contenuti in A
cioè:
∀A 6= ∅(∃D : x ∈ D ⇔ x ∈
/ A)
Definizione 1.1.8 (Prodotto cartesiano). Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto
cartesiano tra A e B (si scrive A × B) l’insieme D che contiene tutte e sole le coppie
ordinate formate da un elemento di A e uno di B, cioè:
∀A(∀B(∃D : x ∈ D ⇔ x = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}))
Definizione 1.1.9 (Partizione). Dato un insieme A ed una famiglia di insiemi J1 , J2 , ..Jn ⊆
A, questi si dicono partizione di A se:
• ∀x ∈ A, ∃i | x ∈ Ji
• ∀j, k ∈ [1, . . . , n], j 6= k ⇒ Jj ∩ Jk = ∅
Osservazione 1.1.10. Tutte le operazioni suddette acquisiranno una solida base teorica
dopo aver enunciato gli assiomi su cui si fonda la teoria degli insiemi.
1.2
1.2.1
Applicazioni e relazioni
Definizioni e prime proprietà
Applicazioni
Definizione 1.2.1 (Applicazione). Siano A, B insiemi, si dice applicazione (o funzione)
una terna A, B, φ tale che:
11
1.2. APPLICAZIONI E RELAZIONI
• A è un insieme chiamato dominio;
• B è un insieme chiamato codominio;
• φ è una legge che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B.
∀a ∈ A si denota con φ(a) l’immagine di a, cioè l’elemento che φ associa ad a.
Definizione 1.2.2 (Immagine). Sia φ : A −→ B una applicazione e sia C ⊆ A; si
definisce
φ(C) = {y ∈ B | ∃x ∈ C : y = φ(x)}
Si scrive Imφ = φ(A).
Definizione 1.2.3 (Surgettività). Sia φ : A −→ B un’applicazione; φ si dice surgettiva
(o suriettiva) se
∀y ∈ B, ∃x ∈ A | φ(x) = y ⇐⇒ Im(A) = B
Definizione 1.2.4 (Iniettività). Sia φ : A −→ B un’applicazione; φ si dice iniettiva se
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ φ(x) 6= φ(y)
ovvero se la funzione associa elementi distinti del dominio ad elementi distinti del codominio.
Analogamente, φ è iniettiva se
∀x, y ∈ A φ(x) = φ(y) ⇒ x = y
Definizione 1.2.5 (Bigettività). Sia φ : A −→ B un’applicazione; φ si dice bigettiva (o
biiettiva) se è sia iniettiva che surgettiva:
∀b ∈ B ∃!a ∈ A | φ(a) = b
Definizione 1.2.6 (Controimmagine). Sia φ : A −→ B un’applicazione e W ⊆ B; si
denota con φ−1 (W ) = {x ∈ A | φ(x) ∈ W } la controimmagine di W .
Esempio 1.2.7. Sia φ : N −→ N definita come segue:
∀n ∈ N, φ(n) = 2n + 1
Esaminiamo questa applicazione:
• N è il dominio e il codominio della funzione;
• Imφ = {x ∈ N | ∃y ∈ N : f (y) = x}
• La funzione non è surgettiva; infatti Imφ
N
• La funzione è iniettiva; infatti f (x) = f (y) ⇒ 2x + 1 = 2y + 1 ⇒ 2x = 2y ⇒ x = y
Definizione 1.2.8 (Restrizione). Sia φ : A −→ B un’applicazione e C ⊆ A; si indica con
φ|C l’applicazione φ|C : C −→ B definita come segue:
∀c ∈ C φ|C (c) = φ(c)
Definizione 1.2.9 (Funzione identità). Sia A un insieme; si denota con idA l’applicazione
φ : A −→ A definita come segue:
∀a ∈ A, φ(a) = a
12
CAPITOLO 1. PRIME DEFINIZIONI E CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Definizione 1.2.10 (Uguaglianza di applicazioni). Siano φ : A −→ B, ψ : A −→ B
applicazioni. Allora
φ = ψ ⇔ ∀a ∈ A, ψ(a) = φ(a)
Definizione 1.2.11 (Funzione inversa). Sia φ : A −→ B un’applicazione bigettiva.
Definiamo la funzione inversa
φ−1 : B −→ A
che associa ad ogni elemento b ∈ B la sua controimmagine tramite φ.
Definizione 1.2.12 (Composizione di applicazioni). Siano A, B, C insiemi; siano φ :
A −→ B, ψ : B −→ C applicazioni. Si definisce composizione di φ e ψ l’applicazione
ψ ◦ φ : A −→ C definita come segue:
∀a ∈ A ψ ◦ φ(a) = ψ(φ(a))
Relazioni
Definizione 1.2.13 (Relazione). Sia E un insieme non vuoto; si dice relazione su E un
sottoinsieme R di E × E. Se (a, b) ∈ R scriviamo a ∼ b e diciamo che a è in relazione
con b.
Definizione 1.2.14 (Relazione di equivalenza). Sia R una relazione su E; R si dice
relazione di equivalenza se valgono le seguenti proprietà:
• Riflessiva: ∀x ∈ E, x ∼ x
• Simmetrica: ∀x, y ∈ E, x ∼ y ⇒ y ∼ x
• Transitiva: ∀x, y, z ∈ E, x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x ∼ z
Definizione 1.2.15 (Classe di equivalenza). Sia R una relazione di equivalenza su E.
[x] è detta classe di equivalenza di x:
∀x ∈ E, [x] = {y ∈ E | y ∼ x}
Gli elementi di una classe di equivalenza si dicono rappresentanti della classe suddetta.
Definizione 1.2.16 (Insieme quoziente). L’insieme delle classi rispetto a un relazione di
equivalenza ∼ su E si chiama insieme quoziente di E per la relazione ∼ (si scrive E/∼ ).
Teorema 1.2.17. Sia R una relazione di equivalenza su E; allora le classi di equivalenza
formano una partizione di E.
Dimostrazione. Verifichiamo che le classi di equivalenza soddisfano le seguenti proprietà:
• ∀x ∈ E, x ∼ x ⇒ x ∈ [x]
• ∀x, y ∈ E x y ⇒ [x] ∩ [y] = ∅ ⇔ ∀x, y ∈ E, x ∈ [y] ⇒ [y] = [x]
Per riflessività di R, ogni elemento è in relazione con se stesso:
∀x ∈ E, x ∈ [x]
Proviamo che [x] ⊆ [y] (l’altra inclusione è analoga).
∀z ∈ [x], z ∼ x ∧ x ∼ y ⇒ z ∼ y ⇒ z ∈ [y]
1.2. APPLICAZIONI E RELAZIONI
13
Definizione 1.2.18 (Relazione d’ordine). Sia R una relazione su E; R si dice relazione
d’ordine se valgono le seguenti proprietà:
• Riflessiva: ∀x ∈ E, x ∼ x
• Antisimmetrica: ∀x, y ∈ E, x ∼ y ∧ y ∼ x ⇒ x = y
• Transitiva: ∀x, y, z ∈ E, x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x ∼ z
Una relazione d’ordine si dice totale se
∀x, y ∈ E, x ∼ y ∨ y ∼ x
1.2.2
Operazioni interne
Definizione 1.2.19 (Operazione binaria). Si definisce legge di composizione interna su
un insieme A, e si indica con ∗, un’applicazione che associa ad ogni coppia ordinata di
elementi (a, b) ∈ A × A, un unico elemento di A chiamato composizione di a, b:
∗ : A × A −→ A
(a, b) −→ (a ∗ b)
Per denotare le leggi di composizione utilizzeremo prevalentemente i simboli: +, ·, ◦.
• La legge indicata con il simbolo + si dice additiva e la composizione a+b è chiamata
addizione o somma di a e b;
• La legge indicata con il simbolo · si dice moltiplicativa e la composizone a · b è
chiamata moltiplicazione di a e b;
• La legge indicata con il simbolo ◦ si dice compositiva e la composizione a ◦ b è
chiamata composisizione di a e b.
Definizione 1.2.20 (Elemento neutro). Siano (A, ∗) un insieme e una composizione
interna per quell’insieme. Un elemento e ∈ A è chiamato elemento neutro per la legge ∗
se:
∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a
Definizione 1.2.21 (Elemento inverso). Siano (A, ∗) un insieme e una composizione
interna per quell’insieme. Sia a ∈ A; l’elemento b ∈ A è chiamato inverso di a rispetto
alla legge ∗ se
a∗b=b∗a=e
In tal caso, si dice inverso destro e inverso sinistro.
Definizione 1.2.22 (Proprietà associativa). Siano (A, ∗) un insieme e una composizione
interna per quell’insieme. ∗ gode della proprietà associativa se
∀a, b, c ∈ A, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
Definizione 1.2.23 (Proprietà commutativa). Siano (A, ∗) un insieme e una composizione interna per quell’insieme. ∗ si dice commutativa se
∀a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a
14
CAPITOLO 1. PRIME DEFINIZIONI E CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Definizione 1.2.24 (Proprietà distributiva). Siano (A, ∗, ) un insieme e due composizioni interne per quell’insieme. gode della proprietà distributiva rispetto a ∗ se
∀a, b, c ∈ A, d (b ∗ c) = (a b) ∗ (a c)
Osservazione 1.2.25. Sia A un insieme non vuoto di elementi. Si consideri la composizione di n elementi a1 ∗ · · · ∗ an di A. Se la legge di composizione è additiva, si
scrive:
n
X
ai
i=1
Se è moltiplicativa si scrive:
n
Y
ai
i=1
Se a1 = · · · = an si scrive:
na =
n
X
ai
an =
i=1
1.3
n
Y
ai
i=1
Strutture algebriche
Definizione 1.3.1 (Gruppo). Sia A un insieme e ∗ un’operazione definita su A. La
coppia (A, ∗) si dice gruppo se valgono le seguenti proprietà:
- Proprietà associativa: ∀a, b, c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
- Esistenza del neutro: ∃e ∈ A | ∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a
- Esistenza dell’inverso: ∀a ∈ A, ∃b ∈ A | a ∗ b = b ∗ a = e
Inoltre, se ∀a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a il gruppo si dice commutativo o abeliano.
Proposizione 1.3.2 (Proprietà dei gruppi). Sia (A, ∗) un gruppo.
1. ∃! e ∈ A | ∀a, b ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a
2. ∀a ∈ A, ∃! b ∈ A | a ∗ b = b ∗ a = e
3. ∀a, b, c ∈ A, a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c
Dimostrazione.
1. Siano e, e0 due elementi neutri di A. Possiamo scrivere:
e = e ∗ e0 = e0
2. Siano b, b0 due elementi inversi di a ∈ A. Possiamo scrivere:
b = e ∗ b = (b0 ∗ a) ∗ b = b0 ∗ (a ∗ b) = b0 ∗ e = b0
3. Sia a−1 l’inverso di a. Possiamo scrivere:
a ∗ b = a ∗ c ⇔ a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) ⇔ (a−1 ∗ a) ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ c ⇔ b = c
Definizione 1.3.3 (Anello). Sia A un insieme sul quale siano definite due operazioni
+, ∗. La terna (A, +, ∗) si dice anello se:
1.4. GLI ASSIOMI ZFC
15
• (A, +) è un gruppo abeliano
• ∀a, b, c ∈ A, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
• ∃e ∈ A | ∀a ∈ A, a ∗ 1 = 1 ∗ a = a
• ∀a, b, c ∈ A, [(a + b) ∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c)] ∧ [a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c)]
Se vale anche la proprietà commutativa per il prodotto, l’anello si dice commutativo.
Definizione 1.3.4 (Campo). Sia (A, +, ∗) un anello; allora (A, +, ∗) si dice campo se:
• (A, +, ∗) è un anello commutativo
• ∀a ∈ A, a 6= 0, ∃b ∈ A | a ∗ b = b ∗ a = 1
Osservazione 1.3.5. Denotiamo il neutro additivo con 0, il neutro moltiplicativo con 1,
l’inverso additivo di a con −a (opposto di a), l’inverso moltiplicativo di a con a−1 .
Definizione 1.3.6 (Spazio vettoriale). Sia K un campo e V 6= ∅ un insieme sul quale
sia definita un’operazione di somma; sia inoltre definita un’applicazione (detta prodotto
per scalari, che non è una operazione) · : K × V −→ V . Un K-spazio vettoriale è una
quaterna del tipo (V, +, ·, K) con le seguenti proprietà:
• (V, +) gruppo abeliano
• ∀α, β ∈ K, ∀a ∈ V, (αβ) · a = α(β · a)
• ∀α, β ∈ K, ∀a ∈ V, (α + β) · a = α · a + β · a
• ∀α ∈ K, ∀a, b ∈ V, α · (a + b) = α · a + α · b
• ∀a ∈ V, (1) · a = a
Ogni elemento di uno spazio vettoriale si dice vettore.
1.4
Gli assiomi ZFC
Quella di Zermel-Fraenkel (abbreviata in ZF) è la teoria assiomatica più nota e studiata.
Posta nella sua forma finale da Skolem, si completa con l’assioma della scelta: il sistema
risultante è detto Zermelo-Fraenkel-Choice (abbreviato in ZFC). Gli assiomi non sono
riportati nella loro forma classica: abbiamo cercato di distinguere gli elementi (indicati
con lettere ultime lettere minuscole) dagli insiemi (indicati con le prime lettere maiuscole)
per non creare ambiguità, sebbene alcune entità siano contemporaneamente trattate come
insiemi e come elementi.
Assiomi introduttivi
Assioma 1 (Assioma di estensionalità). Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli
elementi, cioè:
A = B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Se due insiemi non sono uguali, si dice che A è diverso da B e si indica A 6= B.
Definizione 1.4.1. Dati due insiemi A e B, si dice che A è contenuto in B oppure che
A è sottoinsieme di B (e B contiene A) se ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B, e si indica con i simboli
A ⊆ B (e B ⊇ A)
16
CAPITOLO 1. PRIME DEFINIZIONI E CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Proposizione 1.4.2. Dati due insiemi A e B, A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Dimostrazione.
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇐⇒ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x ∈ B ⇒ x ∈ A) ⇐⇒
⇐⇒ (x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇐⇒ (A = B)
Questo criterio si utilizza operativamente per dimostrare l’uguaglianza tra due insiemi.
Assioma 2 (Assioma dell’insieme vuoto). Esiste un insieme privo di elementi (che
indicheremo con ∅), cioè :
∃A(∀x(¬(x ∈ A))) oppure
∃∅ | ∀x(x ∈
/ ∅)
L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme, incluso se stesso.
Assioma 3 (Assioma della coppia). Se A e B sono insiemi, allora esiste un insieme C
contenente A e B come soli suoi elementi, cioè :
∀A∀B(∃C(∀x(x ∈ C ⇐⇒ (x = A ∨ x = B))))
Chiamiamo C coppia di A e B e indichiamo C = {A, B}. L’insieme {A, A} è indicato
con {A} ed è chiamato singleton di A.
Osservazione 1.4.3. ∅ =
6 {∅}, perchè ∅ non contiene elementi, mentre ∅ ∈ {∅} per
definizione.
Assiomi riguardanti le operazioni tra gli insiemi
Assioma 4 (Assioma dell’insieme somma (o dell’unione)). Per ogni insieme A esiste un
insieme B che, dato un generico elemento x, x appartiene a B se e solo se esiste un
insieme D tale che x appartiene all’insieme D, elemento di A, cioè:
∀A(∃B(∀x(x ∈ B ⇐⇒ (∃D : x ∈ D ∧ D ∈ A))))
Esempio 1.4.4. Sia A = {3, {4, {5, 6}}, {{1, 2}, 7}, {8}, 9} ⇒ B = {{1, 2}, 4, {5, 6}, 7, 8}
L’insieme B non contiene gli elementi 3, 9 perchè non sono contenuti in alcun sottoinsieme di A.
L’insieme B non contiene gli elementi 1, 2 bensì l’elemento {1, 2}.
Definizione 1.4.5 (Insieme unione). Dati due insiemi A e B, esiste un insieme D (applicando gli assiomi Z3 e Z4) che contiene tutti e soli gli elementi di A e di B, detto
insieme unione di A e B (D = A ∪ B), cioè:
∀A(∀B(∃D : x ∈ D ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B))
Assioma 5 (Assioma dell’infinito). Esiste un insieme ω tale che ∅ ∈ ω e se x appartiene
ad ω, anche x ∪ {x} ∈ ω, cioè:
∃ω(∅ ∈ ω ∧ (∀x(x ∈ ω =⇒ x ∪ {x} ∈ ω)))
Questo assioma consente di costruire formalmente l’insieme dei numeri naturali.
Assioma 6 (Assioma dell’insieme potenza). Per ogni insieme A esiste un insieme B,
detto insieme delle parti di A (si indica con P (A) oppure con 2A ) tale che i suoi elementi
sono tutti e soli i sottoinsiemi di A, cioè:
∀A(∃B(∀C(C ∈ B ⇐⇒ (∀x(x ∈ C ⇒ x ∈ A)))))
Esempio 1.4.6. Se A = {a, b, c}, allora il suo insieme delle parti è costituito da:
P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
17
1.4. GLI ASSIOMI ZFC
Assiomi riguardanti la struttura logica degli insiemi
Assioma 7 (Assioma di regolarità). Ogni insieme non vuoto A contiene almeno un
elemento x tale che A e x sono disgiunti, cioè:
∀A(¬(A = ∅) ⇒ ∃x(x ∈ A ∧ ¬∃C(C ∈ x ∧ C ∈ y)))
In modo equivalente si può dire che ogni insieme non vuoto A contiene almeno un elemento
x tale che x non è un insieme oppure x ed A non hanno alcun elemento in comune. In
questo caso, si considera x contemporaneamente insieme ed elemento di un insieme che
lo contiene.
Assioma 8 (Assioma di separazione (o assioma sottoinsieme)). Sia P (x) una proprietà.
Allora per ogni insieme A esiste un suo sottoinsieme B contenente tutti e soli gli elementi
y ∈ A per cui vale P (y), cioè:
∀A(∃B(∀y(y ∈ B ⇐⇒ y ∈ A ∧ P (y))))
Un tale insieme è indicato con B = {x ∈ A | P (x)}.
Osservazione 1.4.7. Osserviamo che l’assioma di separazione permette di creare soltanto
sottoinsiemi di un insieme A già dato.
Proposizione 1.4.8. Non esiste un insieme che contiene tutti gli insiemi, cioè
@V = {∀x(x ∈ V )}
Dimostrazione. Procediamo per assurdo (anche in questo caso, l’entità x è contemporaneamente un insieme ed un elemento).
Dato un insieme universale U , definiamo R = {x ∈ U | x ∈
/ x}. Per cui R ∈ R se e solo
se R ∈ U e R ∈
/ R. Poichè U è universale, R ∈ U . Ne segue che se R ∈ U . Allora
R∈R⇔R∈
/R
che è assurdo.
Assioma 9 (Assioma di rimpiazzamento). Sia P (x, y) una proprietà tale che ad ogni x
corrisponde un solo y tale che P (x, y) è vera. Allora, dato un insieme A esiste un insieme
D contenente tutte e soli gli elementi corrispondenti agli elementi di A che rendono vera
P (x, y), cioè:
∀x(∃y(P (x, y)) ∧ (P (x, y) ∧ P (x, t) ⇒ y = t)) ⇒
⇒ ∀A(∃D(∀y(y ∈ D ⇐⇒ ∃x(x ∈ A ∧ P (x, y)))))
Paradosso di Russell L’assioma di regolarità permette di risolvere il paradosso di
Russell.
Proposizione 1.4.9. Nessun insieme può contenere se stesso, cioè
∀A(¬(A ∈ A))
Dimostrazione. Procediamo per assurdo. Sia A un insieme tale che A ∈ A. Per l’assioma
della coppia, costruiamo B = {A}. Applicando l’assioma di regolarità all’insieme B,
osserviamo che l’unico elemento di B, cioè A, deve essere disgiunto da B. Ma B ∩ A = A,
assurdo.
18
CAPITOLO 1. PRIME DEFINIZIONI E CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
L’assioma della scelta Riportiamo di seguito la formulazione classica dell’assioma
della scelta.
Assioma 10. (Assioma della scelta) Data un famiglia I di insiemi non vuoti AJ esiste
una funzione f , detta funzione di scelta, che associa ad ogni J ∈ I un suo elemento, cioè
:
Y
I = {AJ | J ∈ I ∧ J 6= ∅} =⇒
AJ 6= ∅
J∈I
Questo assioma è molto diverso dai precedenti, perchè non descrive la stuttura e il
rapporto degli insiemi, ma la possibilità di creare una particolare funzione tra insiemi. Più
semplicemente, dice che partendo da un gruppo di insiemi è sempre possibile associare ad
ognuno di essi un suo elemento.
1.4.1
Complementi
Riportiamo due importantissimi teoremi di teoria degli insiemi. Ci limiteremo a fornire
una descrizione qualitativa delle dimostrazioni, senza addentrarci in tutti i dettagli.
Teorema 1.4.10 (Teorema di Cantor). Dato un insieme di qualsiasi cardinalità, esiste
sempre un insieme di cardinalità maggiore.
Dimostrazione. Basta verificare che, dato un insieme A, l’insieme delle parti di A ha
sempre cardinalità maggiore di quella di A.
Il teorema di Cantor è ovvio per l’insieme vuoto e per insiemi di cardinalità finita. Sia
A = {a1 , . . . an } un insieme finito; si consideri l’insieme A0 = {∅, a1 , . . . , an } ⊆ P (A).
#A0 = (#A) + 1 ∧ #A0 ≤ P (A) =⇒ #A < #P (A)
Per insiemi infiniti invece si consideri f una generica funzione da un insieme infinito A
nell’insieme delle parti di A. Per provare il teorema si deve mostrare che f è necessariamente non suriettiva: quindi, è sufficiente individuare un elemento di P (A) che non è
nell’immagine di f . Questo elemento è:
B = {x ∈ A | x 6∈ f (x)} ∈ P (A)
(considerando contemporaneamente x come elemento di A e del suo insieme delle parti).
Per dimostrare che B non è nell’immagine di f , supponiamo per assurdo che lo sia. Vale:
∃y ∈ A | f (y) = B
Consideriamo i due casi possibili: y 6∈ B oppure y ∈ B.
Se y 6∈ B = f (y) allora per la definizione di B, si ha y ∈ B, assurdo.
Se y ∈ B = f (y) allora per la definizione di B, si ha y 6∈ B, assurdo.
In entrambi i casi si ottiene una contraddizione.
Teorema 1.4.11 (Teorema di Cantor-Bernstein). Dati due insiemi A, B se esistono due
funzioni iniettive f : A → B, g : B → A, allora esiste una funzione biiettiva h : A → B.
Dimostrazione. Innanzitutto osserviamo che f è l’unica funzione che sappiamo definire
in A r g(B r f (A)); l’unica funzione che sappiamo definire in B r f (A r g(B)) è g, che
corrisponde a g −1 sull’immagine:
g(B r f (A r g(B))) = g(B) r g(f (A r g(B)))
19
1.4. GLI ASSIOMI ZFC
La funzione h è costruita dividendo l’insieme A in sottoinsiemi:
A r g(B),
g(B) r g(f (A)),
g(f (A)) r g(f (g(B))), . . .
in cui quali h deve valere f o g −1 in modo alterno. Per una definizione più semplice, consideriamo i concetti di precedente e di primo tra i precedenti (introducendo un particolare
ordinamento parziale):
• Un elemento x ∈ A ha un precedente y ∈ B se x = g(y);
• Un elemento y ∈ B ha un precedente z ∈ A se y = f (z);
Per l’iniettività delle due funzioni, se esiste, ogni precedente è unico; si può cercare
di risalire la catena dei precedenti (x, y, z, ...) per trovarne il primo. È ora possibile
suddividere A come segue:
• AA è l’insieme degli elementi di A che hanno un primo precedente in A;
• AB è l’insieme degli elementi di A che hanno un primo precedente in B;
• AC è l’insieme degli elementi di A che non hanno un primo precedente, cioè per i
quali la catena dei precedenti non termina.
Questa suddivisione permette di definire una bigezione tra A e B.


f (x)

se x ∈ AA
h(x) = g (x) se x ∈ AB



f (x)
se x ∈ AC
−1
(Si può indifferentemente scegliere di definire h = g −1 in AC ).
1.4.2
Riassunto degli assiomi ZFC
Riassumiamo gli assiomi della teoria ZFC in notazione standard:
• Assioma di estensionalità: ∀A∀B(A = B ⇐⇒ ∀C(C ∈ A ⇐⇒ C ∈ B))
• Assioma dell’insieme vuoto: ∃A(∀B(¬(B ∈ A)))
• Assioma della coppia: ∀A∀B(∃C(∀D(D ∈ C ⇐⇒ (D = A ∨ D = B))))
• Assioma dell’unione: ∀A(∃B(∀C(C ∈ B ⇐⇒ (∃D : C ∈ D ∨ D ∈ A))))
• Assioma dell’infinito: ∃A(∅ ∈ A ∧ (∀B(B ∈ A =⇒ B ∪ {B} ∈ A)))
• Assioma dell’insieme potenza: ∀A(∃B(∀C ∈ B ⇐⇒ (∀D(D ∈ C =⇒ D ∈ A))))
• Assioma di regolarità: ∀A(¬(A = ∅) =⇒ (∃B(B ∈ A ∧ ¬∃C(C ∈ A ∧ C ∈ B))))
• Assioma di separazione: ∀A(∃B(∀C(C ∈ B ⇐⇒ (C ∈ A ∧ P (C)))))
• Assioma di rimpiazzamento: (∀X, ∃!Y : P (X; Y )) ⇒ ∀A, ∃B, ∀C : C ∈ B ⇔
⇔ ∃D : D ∈ A ∧ P (D, C)
• Assioma della scelta: ∀E(∀F ⊆ E(∅ ∈
/ F (∃φ : F → E(∀X ∈ F ⇒ φ(X) ∈ X))))
Ed ora ne forniamo una brevissima spiegazione:
20
CAPITOLO 1. PRIME DEFINIZIONI E CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
• Assioma di estensionalità: Due insiemi sono uguali se e solo se contengono gli
stessi elementi.
• Assioma dell’insieme vuoto: Esiste un insieme che non contiene alcun elemento,
indicato con ∅ e chiamato insieme vuoto.
• Assioma della coppia: Per ogni coppia di insiemi, esiste un altro insieme che ha
come suoi elementi proprio questi due insiemi.
• Assioma dell’unione: Dato un insieme A esiste un insieme B che contiene tutti e
soli gli elementi di tutti i sottoinsiemi di A.
• Assioma dell’infinito: Esiste un insieme ω che contiene l’insieme vuoto e per
ogni suo elemento, contiene anche l’elemento unito al suo singleton: questo assioma
permette di costruire la teoria dei numeri su base insiemistica.
• Assioma dell’insieme potenza: Esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli
i sottoinsiemi di un insieme A dato. Un tale insieme si chiama insieme delle parti
di A (P (A)).
• Assioma di regolarità: Ogni insieme non vuoto A contiene almeno un elemento
B tale che A e B sono disgiunti.
• Assioma di separazione: Si può sempre costruire un insieme che contiene tutti e
soli gli elementi di un insieme che verificano proprietà
• Assioma di rimpiazzamento: Se, dato un generico insieme X, esiste un unico
insieme Y tale che una proprietà P (X, Y ) sia vera, allora, dato un generico insieme
A, esiste un insieme B tale che, dato un generico insieme C, questo è un elemento
di B se e solo se esiste un insieme D tale che D è un elemento di A e P (D, C) è
vera.
• Assioma della scelta: Per ogni famiglia di insiemi non vuoti esiste una funzione
che associa ad ogni insieme un suo elemento.
Capitolo 2
L’insieme N
2.1
Gli assiomi di Peano
2.1.1
Costruzione assiomatica
Definiamo l’insieme dei numeri naturali N mediante gli assiomi di Peano.
Assioma 1. 0 è un numero naturale:
0∈N
Assioma 2. Esiste una funzione S tale che se n è un numero naturale anche il suo
successore S(n) è un numero naturale:
∃S : N −→ N =⇒ (n ∈ N ⇒ S(n) ∈ N)
Assioma 3. Se due numeri naturali hanno lo stesso successore, allora sono uguali:
∀m, n ∈ N S(n) = S(m) ⇒ n = m
Quindi, la funzione S è iniettiva.
Assioma 4. 0 è l’unico numero naturale che non è successore di alcun numero naturale:
@u ∈ N | S(u) = 0 ∧ ∀n ∈ N, n 6= 0 ∃p | S(p) = n
Assioma 5 (Principio di induzione). Ogni sottoinsieme dei numeri naturali che contiene
0 ed il successore di ogni proprio elemento coincide con l’insieme dei numeri naturali:
∀U (0 ∈ U ∧ n ∈ U ⇒ S(n) ∈ U ) =⇒ U = N
2.1.2
Derivazione dalla ZFC
La definizione assiomatica dell’insieme N è coerente con la teoria ZFC; infatti, l’insieme ω
costruito con l’assioma Z5, dotato della funzione S(x) = x ∪ {x} ponendo 0 = ∅, rispetta
gli assiomi di Peano.
Teorema 2.1.1. L’insieme ω, detto insieme di Von Neumann, rispetta gli assiomi di
Peano.
21
22
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
Dimostrazione. Utilizziamo la seguente associazione bigettiva tra i numeri naturali e gli
elementi di ω:
0=∅
1 = S(0) = S(∅) = ∅ ∪ {∅} = 0 ∪ {0} = {0}
2 = S(1) = S({∅}) = {∅} ∪ {{∅}} = 1 ∪ {1} = {0, 1}...
Abbiamo costruito in questo modo l’insieme N dei numeri naturali.
Procediamo con la dimostrazione degli assiomi:
P1) Deriva dalla costruzione dell’insieme ω di Von Neumann che è per definizione l’intersezione degli insiemi contenenti zero e chiusi rispetto alla successione. Quindi
0 ∈ N per come è stato definito N a partire dalla famiglia degli insiemi infiniti.
P2) Segue dalla definizione di N come l’intersezione delle famiglie contenenti zero e chiuse
rispetto alla successione. Per come è stato definito S all’interno dell’insieme di Von
Neumann e per la caratteristica di ω secondo la quale x ∈ ω ⇒ x∪{x} ∈ ω, l’insieme
N è chiuso rispetto alla successione.
P5) Sia X ⊆ ω un insieme contenente 0 e chiuso per successione. Si è costruito ω in
modo tale che esso sia l’intersezione di tutti gli insiemi di tale forma (e sia quindi il
più piccolo di questi rispetto all’inclusione); allora X = ω. Questo è il principio di
induzione: si conosce la validità della doppia inclusione dei due insiemi poiché, per
definizione, X ⊆ ω, e poiché, per ogni X contenente zero e chiuso per successione,
ω ⊆ X allora X = ω = N
P4) Questo assioma può essere riscritto definendo la proprietà:
P (x) : x 6= 0 ⇒ ∃y ∈ N | x = S(y)
Procediamo per induzione. Sia
U = {x ∈ N | x 6= 0 ⇒ ∃y ∈ N | x = S(y)}
Passo base. Per x = 0 l’implicazione è vera, poiché dal falso (x 6= 0 ∧ x = 0) si può
dedurre ogni cosa; dunque, 0 ∈ U .
Passo induttivo. Se z ∈ U allora vale P (z), quindi di certo vale anche per P (S(z)),
perché z è proprio l’elemento di cui S(z) è successore. Quindi
z ∈ U ⇒ S(z) ∈ U =⇒ U = N ⇔ U = ω
P3) Dimostriamo prima il seguente lemma.
Lemma 2.1.2. Dato S(x) = x ∪ {x},
S
(S(x)) = x
Dimostrazione. Procediamo per induzione su x ∈ ω. Sia
n
U = x∈ω|
[
(S(x)) = x
o
Sia P (x) l’enunciato della tesi e definiamo
U {x ∈ ω | P (x) è vera}
Passo base. Per x = ∅
[
(S(∅)) =
[
(∅ ∪ {∅}) = ∅
23
2.1. GLI ASSIOMI DI PEANO
Dunque, ∅ ∈ U .
Passo induttivo. Se y ∈ U , allora P (y) è vera. Sia x = S(y):
[
(S(x)) =
[
(x ∪ {x}) =
[ x ∪
[
Per ipotesi induttiva la tesi vale per y e quindi
S
che {x} = x. Quindi si trova che:
[
S
{x} =
S
[
S(y) ∪
[
{x}
S(y) = y; inoltre, è sempre vero
(S(x)) = y ∪ x = y ∪ S(y) = y ∪ (y ∪ {y}) = (y ∪ {y}) = S(y) = x
è una sorta di applicazione predecessore, che associa S(x) a x se x 6= 0. Allora
x ∈ U ⇒ S(x) ∈ U =⇒ U = N ⇔ U = ω
Dimostriamo adesso il terzo assioma di Peano:
∀m, n ∈ N, S(n) = S(m) ⇒ n = m
Sappiamo che
∀n, m ∈ N, S(n) = S(m) ⇒
2.1.3
[
(S(n)) =
[
(S(m)) ⇒ n = m
Unicità e indipendenza degli assiomi di Peano
Definizione 2.1.3 (Terna di Peano). Si definisce terna di Peano il sistema (X, x0 , S),
dove X é un insieme, x0 ∈ X e S : X → X (nell’insieme N è la funzione successore).
Definizione 2.1.4 (Isomorfismo di insiemi). Siano A e B due insiemi dotati di funzioni
interne, rispettivamente ϕ1 e ϕ2 . Definiamo Ψ : A → B isomorfismo una funzione
biunivoca tale che
∀a ∈ A, Ψ(ϕ1 (a)) = ϕ2 (Ψ(a))
Se tale funzione esiste, i due insiemi si dicono isomorfi.
Unicità
Teorema 2.1.5 (Unicità a meno di isomorfismi delle terne di Peano). (X, x0 , S) è un
sistema di Peano se e solo se è isomorfo a (N, 0, SN ) nel senso stabilito, dove SN denota
la funzione successore.
Dimostrazione. Non entreremo in tutti i dettagli della dimostrazione.
⇐)
Denotato con Ψ l’isomorfismo tra le due strutture, se gli assiomi sono verificati in N, lo
sono anche in X via Ψ.
⇒)
Costruiamo esplicitamente un isomorfismo Ψ : X → N che verifichi le seguenti proprietà:
Ψ(x0 ) = 0 e ∀a ∈ X, Ψ(a) = n ⇒ Ψ(S(a)) = SN (Ψ(a)) = SN (n)
24
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
Dimostriamo che Ψ è un isomorfismo.
Ψ è iniettiva perchè Ψ(x) = 0 ⇔ x = x0 oppure ∃a ∈ X tale che x = S(a); allora,
Ψ(x) = Ψ(S(a)) = SN (Ψ(a)) = 0
Tuttavia, questo è assurdo perchè 0 non è successore di alcun elemento di N. Pertanto,
Ψ(x) = 0 ⇔ x = x0 . Essendo le funzioni S e SN iniettive e utilizzando il principio di
induzione, vale:
Ψ(x1 ) = a ⇔ x1 = S(x) con x ∈ X a = SN (n) n ∈ N
Dunque, vale la relazione
Ψ(S(x)) = SN (Ψ(x)) = SN (n) = a
Ψ è suriettiva perchè
∀n ∈ N ∃an ∈ X | Ψ(an ) = n
Quest’asserzione si prova per induzione. Sia P (n) l’enunciato della tesi e sia
U = {n ∈ N | P (n) è vero}
0 ∈ U, essendo Ψ(x0 ) = 0. Supponiamo n ∈ N; allora
∃an ∈ X | Ψ(an ) = n
S(an ) ∈ X per il secondo assioma; allora
Ψ(S(an )) = SN (Ψ(an )) = SN (n) ⇒ SN (n) ∈ U
Per il principio di induzione, vale U = N.
Indipendenza Gli assiomi di Peano sono indipendenti, ovvero nessuno di questi può
esser dimostrato a partire dagli altri. Infatti, è possibile costruire sistemi che rispettano
quattro degli assiomi, pur essendo evidentemente non isomorfi a N.
• Negando il primo assioma, consideriamo X = ∅ che rispetta banalmente tutti gli
altri assiomi perchè non contiene elementi.
• Negando il secondo assioma, consideriamo X = {0, 1, 2, 3}, con x0 = 0 e S : X → N
tale che S(n) = SN (n). Si osserva che S(3) = 4 ∈
/ X, sebbene X rispetti gli altri
assiomi.
• Negando il terzo assioma, si può prendere X = {0, 1}, con x0 = 0 e S : X → X tale
che S(n) = max{n, 1}; risulta che S(0) = S(1) = 1, mentre gli altri assiomi sono
rispettati.
• Negando il quarto assioma, consideriamo X = Z5 (classi di resto modulo 5), con
x0 = 0 e S : X → X tale che S(n) = SN (n) (5). Infatti, vale che S(4) = 5 ≡ 0 (5),
mentre gli altri assiomi rimangono verificati.
• Negando il quinto assioma, si nega equivalentemente il principio del minimo (preciseremo in seguito questa eqivalenza); consideriamo X = Q+ ∪ {0}, dove l’insieme
A = { n1 | n ∈ N}. Prendendo x0 = 0 e S : X → X tale che S(a) = a + 1 ∀a ∈ X, è
garantita la validità degli altri assiomi.
25
2.2. OPERAZIONI E ORDINAMENTO NELL’INSIEME N
2.2
Operazioni e ordinamento nell’insieme N
Premettiamo che, essendo il principio di induzione l’unico potente strumento dimostrativo
di cui l’insieme N è dotato, ne faremo larghissimo uso.
Non essendoci ambiguità, denoteremo la funzione successore con S; HP denota l’ipotesi
induttiva dell’enunciato in esame.
Osservazione 2.2.1. Vale la seguente decomposizione:
N = {0} ∪ SN (N)
2.2.1
Addizione
Definizione 2.2.2 (Somma). La funzione somma
mente come segue:
L
: N × N → N è definita induttiva-
• m + 0 = m, ∀m ∈ N (proprietà 1)
• m + S(n) = S(m + n), ∀m, n ∈ N (proprietà 2)
Dimostriamo le usuali proprietà della somma, mostrando che derivano in maniera
rigorosa dagli assiomi e dalle definizioni poste.
Abbiamo indicato ogni volta il riferimento alla proprietà utilizzata o all’ipotesi induttiva.
Proprietà associativa ∀a, b, c ∈ N, (a + b) + c = a + (b + c)
Dimostrazione. Procediamo per induzione su c. Sia P (c) l’enunciato della tesi e sia
U = {n ∈ N | P (c) è vero}
0 ∈ U, perchè
a + (b + 0) = a + b = (a + b) + 0
1
1
Supponiamo che c ∈ U, allora ∀a, b ∈ N, (a + b) + c = a + (b + c).
a + (b + S(c)) = a + S(b + c) = S(a + (b + c)) = S((a + b) + c) = (a + b) + S(c)
2
2
HP
2
⇒ S(c) ∈ U ⇒ U = N
Proprietà commutativa ∀a, b ∈ N a + b = b + a
Proviamo in via preliminare il seguente fatto.
Lemma 2.2.3. ∀m, n ∈ N S(m) + n = S(m + n)
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Sia P (n) l’enunciato della tesi e
U = {n ∈ N | P (n) è vero}
0 ∈ U, perchè
S(m) + 0 = S(m) = S(m + 0)
1
1
26
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
Supponiamo che n ∈ U, allora ∀m ∈ N S(m) + n = S(m + n).
S(m) + S(n) = S(S(m) + n) = S(S(m + n)) = S(m + S(n))
2
2
HP
⇒ S(n) ∈ U ⇒ U = N
Allora vale:
∀m, n ∈ N S(m) + n = S(m + n) = m + S(n)
2
Denotiamo tale risultato con L.
Dimostrazione. Dimostriamo la proprietà commutativa procedendo per induzione su b.
Sia P (b) l’enunciato della tesi e sia
U = {b ∈ N | P (b) è vero}
0 ∈ U , perchè
∀a ∈ N 0 + a = a + 0 ⇔ S(0 + a) = S(a + 0) = S(a + 0)
L
Supponiamo b ∈ U, allora ∀a ∈ N a + b = b + a.
a + S(b) = S(a + b) = S(b + a) = S(b) + a ⇒ S(b) ∈ U ⇒ U = N
2
HP
L
Esistenza dell’elemento neutro ∃0 ∈ N | ∀a ∈ N a + 0 = 0 + a = a
Dimostrazione. Segue banalmente dalla definizione della somma e dalla proprietà commutativa appena dimostrata.
Legge di cancellazione ∀a, b, c ∈ N a + b = a + c ⇒ b = c
Dimostrazione. Procediamo per induzione su a. Sia P (a) l’enunciato della tesi e sia
U = {a ∈ N | P (a) è vero}
0 ∈ U, perchè 0 + b = 0 + c ⇒ b = c.
Supponiamo a ∈ U, allora ∀a, b, c ∈ N a + b = a + c ⇒ b = c.
Applicando la funzione successore a entrambi i membri e utilizzando le proprietà dimostrate, si ottiene S(a) + c = S(a) + b.
S(a) + c = S(a + c) = S(a + b) = S(a) + b
In particolare, vale
S(a + b) = S(a + c)
Per iniettività di S, vale
S(b) = S(c) ⇒ b = c ⇒ S(a) ∈ U ⇒ U = N
2.2. OPERAZIONI E ORDINAMENTO NELL’INSIEME N
2.2.2
27
Numeri positivi e ordinamento
Mediante la funzione somma, è possibile stabilire nell’insieme N una relazione d’ordine
coerente con l’operazione.
Definizione 2.2.4 (Numero positivo). Un numero naturale n si dice positivo se è diverso
da 0; useremo la notazione n > 0.
In particolare, ricordando la decomposizione di N in {0} ∪ S(N), si ha:
n 6= 0 ⇔ ∃a ∈ N | n = S(a)
Definizione 2.2.5 (Maggiore o minore). Un numero naturale a è maggiore di un numero
naturale b e si denota con a > b se ∃c ∈ N, c 6= 0 tale che a = b + c. In tal caso, si dice
anche che b è minore di a e si denota con b < a.
Se non si impone la condizione c > 0, si dice che a è maggiore o uguale rispetto a b
(a ≥ b) e che b è minore o uguale rispetto ad a (b ≤ a).
Principio di tricotomia Se a, b ∈ N, allora una e una sola delle tre proprietà è
verificata:
• a = b (proprietà A)
• a > b (proprietà B)
• a < b (proprietà C)
Dimostrazione. Proviamo che se due delle suddette proprietà fossero contemporaneamente
verificate, si avrebbe un assurdo.
• Siano A e B vere; allora a + 0 = b e a + c = b, c > 0 ⇒ a = a + c; allora c = 0 e
c > 0. Assurdo.
• Siano A e C vere; allora a = b e a = b + c, c > 0 ⇒ b = b + c; allora c = 0 e c > 0.
Assurdo.
• Siano B e C vere; allora a = b + c, c > 0 e a + d = b, d > 0 ⇒ b + c + d = b; allora
c + d = 0 ⇒ c = d = 0, ma c > 0 e d > 0. Assurdo.
Proviamo che ∀(a; b) ∈ N × N una delle tre condizioni è verificata.
Procediamo per induzione su b. Sia P (b) l’enunciato e sia
U = {b ∈ N | P (b) è vero}
0 ∈ U: infatti, se a = 0 ⇒ a = b = 0; se a 6= 0 ⇒ a = b + a = 0 + a ⇒ a > b.
Supponiamo b ∈ U. Si hanno le seguenti possibilità:
• b = a ⇒ S(b) = S(a) = a + S(0) ⇒ S(b) > a, perchè S(0) > 0;
• b > a ⇔ ∃c ∈ N tale che
b = a + c, c > 0 ⇒ S(b) = S(a) + c = a + S(c), S(c) > 0 ⇒ S(b) > a
• b < a ⇔ ∃c ∈ N tale che a = b + c, c > 0. Allora
c = S(0) ⇒ a = b + S(0) = S(b) + 0 ⇒ S(b) = a
oppure c > S(0) ovvero
∃d ∈ N, d > 0 | a = b + S(0) + d ⇒ a = S(b) + 0 + d, d > 0 ⇒ S(b) < a
28
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
Dunque S(b) ∈ U ⇒ U = N.
Dimostrato il principio di tricotomia, si può affermare che l’insieme N ammette una
relazione d’ordine coerente con l’operazione di somma.
La relazione A ⊂ N × N (a ∼ b ⇔ a ≥ b) è una relazione d’oridinamento perchè gode
delle seguenti proprietà:
• riflessiva: ∀a ∈ N, a = a ⇒ a ≥ a ⇔ a ∼ a
• antisimmetrica: ∀a, b ∈ N, a ≥ b ∧ a ≤ b ⇔ ∃c, d ∈ N tali che
a=b+d∧b=a+c⇒a=a+c+d⇒c+d=0⇒
⇒c=d=0⇒a=b⇒a∼b∧b∼a
• transitiva: ∀a, b, c ∈ N, a ∼ b ∧ b ∼ c ⇔ ∃d, e ∈ N tali che
a = b + d ∧ b = c + e ⇒ a = c + (d + e) ⇒ a ≥ c ⇔ a ∼ c
Si può dimostrare in maniera analoga che ≤ è una relazione di ordinamento, mentre
= è una relazione di equivalenza.
A questo punto, possiamo introdurre l’usuale notazione dei numeri naturali: 1 = S(0),
2 = S(1), 3 = S(2), . . . (in questo si nasconde il procedimento induttivo).
Con la notazione introdotta, si può ridefinire la funzione successore come segue:
∀n ∈ N, S(n) = n + 1
Lemma 2.2.6. ∀a, b ∈ N, a < b ⇒ a + 1 ≤ b
Dimostrazione. a < b ⇔ ∃c ∈ N tale che a + c = b, c > 0.
∃d ∈ N | c = S(d) > S(0) ⇒ a + S(d) = b = S(a) + d ⇒ a + 1 ≤ b
Definizione 2.2.7 (Maggiorante, minorante, massimo, minimo). a ∈ N si dice minorante
(maggiorante) di X se ∀x ∈ X, a ≤ (≥)x; se a ∈ X, a si dice minimo (massimo) di X.
Assioma del buon ordinamento Ogni sottoinsieme non vuoto di N ammette un
minimo.
Proposizione 2.2.8. L’assioma del buon ordinamento vale se e soltanto se vale il principio di induzione.
Dimostrazione. ⇒)
Sia S un sottoinsieme di N in cui vale il principio di induzione. Quindi, 0 ∈ S e se
n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S. Sia T il complementare di S. Dimostriamo che T = ∅.
Supponiamo per assurdo che T non sia vuoto. Chiaramente 0 ∈
/ T poichè appartiene al
suo complementare. Poichè vale l’assioma del buon ordinamento e T non è vuoto, T deve
avere un minimo che chiameremo m. Allora m − 1 ∈ S; per il principio di induzione,
m ∈ S. Questo è assurdo poichè m dovrebbe appartenere a due insiemi disgiunti. Quindi
T = ∅.
29
2.2. OPERAZIONI E ORDINAMENTO NELL’INSIEME N
⇐)
Sia A un sottoinsieme di N, supponiamo per assurdo che l’assioma del buon ordinamento
sia falso, cioè che A sia non vuoto e non abbia minimo.
Sia P (n) la seguente proposizione:
∀t ∈ N | t ≤ n, t ∈
/A
Sia
S = {n ∈ N | P (n) è vera}
Chiaramente S ∩ A = ∅. 0 ∈
/ A, altrimenti avrebbe un minimo, quindi P (0) é vera e
0 ∈ S.
Osserviamo ora che se
n∈S ⇒n+1∈S
Infatti se n ∈ S allora P (n) è vera, quindi
∀t ≤ n, t ∈ S
Quindi n + 1 ∈
/ S ⇒ n + 1 ∈ A; allora n + 1 sarebbe il suo minimo, assurdo. Quindi
S = N e A = ∅, assurdo.
2.2.3
Moltiplicazione
Definizione 2.2.9 (Moltiplicazione). La funzione moltiplicazione
definita induttivamente come segue:
N
: N×N → N è
• m × 0 = 0, ∀m ∈ N (proprietà 1)
• m × S(n) = (m × n) + m, ∀m, n ∈ N (proprietà 2)
Dimostriamo le usuali proprietà della moltiplicazione.
Esistenza dell’elemento assorbente ∀a ∈ N 0 × a = a × 0 = 0
Dimostrazione. Procediamo per induzione su a. Sia P (a) l’enunciato e sia
U = {a ∈ N | P (a) è vero}
0 ∈ U, perchè
0×0=0
1
Supponiamo a ∈ U. Allora S(a) × 0 = 0.
1
0 × S(a) = (a × 0) + 0 = 0 + 0 = 0 ⇒ S(a) ∈ U ⇒ U = N
2
HP
30
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
Proprietà distributiva ∀a, b, c ∈ N a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Dimostrazione. Procediamo per induzione su c. Sia P (c) l’enunciato e sia
U = {c ∈ N | P (c) è vero}
0 ∈ U, perchè
a × (b + 0) = a × b = (a × b) + (a × 0)
1
Supponiamo che c ∈ U.
a × (b + S(c)) = a × (S(b + c)) = (a × (b + c)) + a =
2
HP
(a × b) + (a × c) + a = (a × b) + (a × S(c))
2
⇒ S(c) ∈ U ⇒ U = N
Proprietà associativa ∀a, b, c ∈ N (a × b) × c = a × (b × c)
Dimostrazione. Procediamo per induzione su c. Sia P (c) l’enunciato e sia
U = {c ∈ N | P (c) è vero}
0 ∈ U, perchè
a × (b × 0) = a × 0 = 0 = (a × b) × 0
1
Supponiamo c ∈ U.
1
1
a × (b × S(c)) = a × ((b × c) + b)
2
=
D+HP
((a × b) × c) + (a × b) = (a × b) × S(c) ⇒ S(c) ∈ U ⇒ U = N
2
Nel passaggio denotato con D+HP si utilizzano l’ipotesi induttiva e la proprietà distributiva.
Proprietà commutativa ∀a, b ∈ N, a × b = b × a
Proviamo in via preliminare il seguente fatto:
Lemma 2.2.10. ∀a, b ∈ N S(a) × b = (a × b) + b = b × S(a)
2
Dimostrazione. Procediamo per induzione su b. Sia P (b) l’enunciato e sia
U = {b ∈ N | P (b) è vero}
0 ∈ U, perchè
S(a) × 0 = 0 = 0 + 0 = (a × 0) + 0
1
1
Supponiamo b ∈ U.
S(a) × S(b) = S(a) + (S(a) × b) = S(a) + (a × b) + b =
2
HP
(a × b) + a + S(b) = (a × S(b)) + S(b)
2
⇒ S(b) ∈ U ⇒ U = N
2.2. OPERAZIONI E ORDINAMENTO NELL’INSIEME N
31
Denotiamo tale risultato con L.
Dimostriamo la proprietà commutativa, procedendo per induzione su b.
Dimostrazione. Sia P (b) l’enunciato e sia
U = {b ∈ N | P (b) è vero}
0 ∈ U, perchè a × 0 = 0 × a = 0.
Supponiamo b ∈ U.
a × S(b) = (a × b) + a = (b × a) + a = S(b) × a
2
HP
L
⇒ S(b) ∈ U ⇒ U = N
Esistenza dell’elemento neutro ∀a ∈ N 1 × a = a × 1 = a
Dimostrazione.
1 × a = a × 1 = a × S(0) = (a × 0) + a = 0 + a = a
2
1
Legge di annullamento del prodotto ∀a, b ∈ N a × b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
Dimostrazione. Se a = 0, ∀b ∈ N 0 × b = 0.
Sia a 6= 0. Se fosse b 6= 0
∃d ∈ N | b = S(d)
Tuttavia
a × b = a × S(d) = (a × d) + a
Assurdo.
Legge di cancellazione ∀a ∈ N, a > 0 ∀b, c ∈ N a × b = a × c ⇒ b = c
Dimostrazione. Procediamo per assurdo: senza perdita di generalità, possiamo supporre
b > c ⇔ ∃d ∈ N | b = c + d
Allora
a × b = a × (c + d) = (a × c) + (a × d)
Inoltre,
a × b = a × c ⇒ 0 = a × d, con a 6= 0 ∧ d 6= 0
Assurdo.
32
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
2.2.4
Potenza
Definizione 2.2.11 (Potenza naturale). ∀n, a ∈ N a > 0 la funzione potenza ϕ : N×N →
N é definita induttivamente come segue:
• ϕ(a, 0) = 1
• ϕ(a, n + 1) = a × ϕ(a, n) = an+1
Osserviamo che ∀n ∈ N, n > 0, 0n = 0, mentre l’espressione 00 non è definita.
Proposizione 2.2.12 (Proprietà delle potenze). ∀a, b, c ∈ N, a 6= 0 ∨ (b 6= 0 ∧ c 6= 0) la
funzione potenza gode delle seguenti proprietà.
• ab × ac = ab+c ;
• (ab )c = ab×c ;
• ba × ca = (b × c)a .
Dimostrazione. Le verifiche consistono semplicemente nell’applicazione delle definizioni.
Proposizione 2.2.13 (Cardinalità dell’insieme delle parti). Se S è un insieme finito con
#S = n elementi, allora l’insieme delle parti di S, P (S), contiene 2n elementi.
Dimostrazione. Per induzione su n. Sia
U = {n ∈ N | ∀S #S = n ⇒ #P (S) = 2n }
Passo base. Se n = 0 necessariamente S ≡ ∅. Allora:
P (S) = {∅} ⇒ #P (S) = 20 = 1 ⇒ 0 ∈ U
Passo induttivo. Sia n > 0, e supponiamo la tesi vera per n − 1.
#S = n > 0 ⇒ S 6= ∅ ⇔ ∃x0 ∈ S
Un qualunque sottoinsieme di S può contenerlo o meno:
• I sottoinsiemi che non contengono x0 , sono sottoinsiemi di S r {x0 }; poiché #S r
{x0 } = n − 1, tali sottoinsiemi sono 2n−1 per ipotesi induttiva.
• I sottoinsiemi che contengono x0 , sono sottoinsiemi del tipo X ∪ {x0 }; con X
sottoinsieme di S r {x0 }; quindi anche tali sottoinsiemi sono 2n−1 per ipotesi
induttiva.
Allora
2.2.5
#P (S) = 2n−1 + 2n−1 = 2 · 2n−1 = 2n
Funzione fattoriale
Definizione 2.2.14 (Fattoriale). ∀n ∈ N sia ! : N → N definita induttivamente come
segue:
• 0! = 1
• (n + 1)! = (n + 1) × n!
Definiremo in seguito alcune proprietà della funzione fattoriale.
33
2.3. SUCCESSIONI IN N
2.3
Successioni in N
Definizione 2.3.1 (Successione). Sia A un insieme. Si definisce successione una qualsiasi
funzione ϕ : A → N. Se A = N, ϕ si dice successione in N.
Denoteremo ϕ(n) = an .
Una successione può essere definita analiticamente, indicando ∀n ∈ N ϕ(n) = an ,
oppure ricorsivamente, definendo a0 = k, k ∈ A e an+1 = g(an ), con g : A → N.
La definizione analitica consente di calcolare immediatamente l’ennesimo termine della
successione, mentre quella ricorsiva richiede la conoscenza di tutti gli n − 1 precedenti.
Proposizione 2.3.2 (Formula analitica per successioni linerari definite per ricorrenza).
Data una successione in N definita per ricorrenza come

a
0
=λ
= c · an + µ
λ∈N
c, µ ∈ N, c 6= 0
an+1
presentiamo un metodo per fornirne una descrizione analitica.
Consideriamo la successione {pn }n∈N :

p
=0
pn+1 = c · pn + 1 c ∈ N, c 6= 0
0
Dimostriamo che l’ennesimo termine della successione vale



p0
=0


pn+1
=
n
X
ci
i=0
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Sia P (n) l’enunciato e sia
U = {n ∈ N | P (n) è vero}
0 ∈ U, perchè p0 = 0 per definizione.
1 ∈ U, perchè p1 = 0 · c + 1 = c0 .
Supponiamo n + 1 ∈ U.
pn+2 = c · pn+1 + 1 = c ·
HP
n
X
ci + 1 =
i=0
n+1
X
ci
i=0
⇒n+2∈U⇒U=N
Consideriamo la successione {dn }n∈N :

d
=0
dn+1 = µ · pn+1 = c · µ · pn + µ c, µ ∈ N, c, µ 6= 0
0
Per quanto detto, vale:



d0
=0


dn+1
=µ·
n
X
i=1
ci
34
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
Ritorniamo alla successione precedente:

a
0
=λ
λ∈N
= c · an + µ c, µ ∈ N, c 6= 0
an+1
Dimostriamo che vale
an = dn + λ · cn ∀n ∈ N
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Sia P (n) l’enunciato e sia
U = {n ∈ N | P (n) è vero}
0 ∈ U, perchè
a0 = λ · 1 + 0 = λ · c 0 + d 0
Supponiamo n + 1 ∈ U. Allora
an+2 = an+1 · c + µ = c · (dn+1 + λ · cn+1 ) + µ =
HP
µ·
n+1
X
c + λ · cn+2 + µ = µ ·
i
i=1
n+1
X
ci + λ · cn+2 = µ · dn+2 + λ · cn+2
i=0
⇒n+2∈U⇒U=N
2.4
Insiemi finiti, infiniti, numerabili ed equipotenti
Definizione 2.4.1 (Insieme limitato). A ⊂ N si dice inferiormente (superiormente)
limitato se ammette un minorante (maggiorante).
Definizione 2.4.2. A ⊂ N si dice finito se ∃n ∈ N tale che, detto
Bn = {m ∈ N | m > 0 ∧ m ≤ n}
esiste una funzione biettiva
Ψ : Bn → A
La funzione Ψ indicizza gli elementi di A.
Proposizione 2.4.3. Se N fosse finito, sarebbe superiormente limitato.
Dimostrazione. Procediamo per induzione sulla cardinalità n di N. Sia P (n) l’enunciato
e sia
U = {n ∈ N | P (n) è vero}
Se N fosse finito, ∃n ∈ N tale che esisterebbe una biezione
Ψ : Bn → N
1 ∈ U, perchè basta prendere come maggiorante Ψ(1) = M .
Supponiamo che n ∈ U. Sia
Ψ : Bn → N biettiva ⇔ ∃M ∈ N | ∀k ∈ Bn M ≥ Ψ(k)
2.4. INSIEMI FINITI, INFINITI, NUMERABILI ED EQUIPOTENTI
35
Allora, definiamo
Φ : Bn+1 → N biettiva, tale che ∀k ∈ Bn Φ(k) = Ψ(k)
Per ipotesi induttiva,
∃M | ∀k ∈ Bn M ≥ Ψ(k)
Allora N = max{M, Φ(n + 1)}. N è il maggiorante cercato, pertanto
n + 1 ∈ U ⇒ U = N r {0}
Proposizione 2.4.4. L’insieme N non è finito (si dice che è infinito).
Dimostrazione. Se N fosse limitato, ammetterebbe un maggiorante M . Tuttavia, per il
secondo assioma di Peano, S(M ) ∈ N e S(M ) > M . Assurdo.
Definizione 2.4.5 (Insieme numerabile). Un insieme A si dice numerabile se esiste una
funzione biettiva Ψ : A → N.
Proposizione 2.4.6. Se A è numerabile, A × A è numerabile.
Dimostrazione. A è numerabile se e solo se esiste una biezione Ψ : A → N.
Allora, Φ : A × A → N × N è tale che
∀(a; b) ∈ A × A Φ(a; b) = (Ψ(a); Ψ(b))
Φ è evidentemente biettiva.
Allora
A × A è numerabile ⇔ N × N è numerabile
Consideriamo 2N = {2n | n ∈ N}. La funzione Υ : N → 2N tale che ∀n ∈ N Υ(n) = 2n è
evidentemente biettiva.
Consideriamo la funzione H : N × N → 2N tale che
∀(a; b) ∈ N × N H(a; b) = (a + b)(a + b + 1) + 2a
Si verifica in maniera non banale che la funzione è biettiva (non svolgeremo tale verifica).
Per composizione di funzioni biettive, si ottiene la tesi.
36
CAPITOLO 2. L’INSIEME N
Capitolo 3
Insiemi Z,Q,R
3.1
L’insieme Z
3.1.1
Costruzione come passaggio al quoziente
Possiamo definire l’insieme Z dei numeri interi come insieme quoziente di N rispetto a una
certa relazione di equivalenza. Consideriamo il prodotto cartesiano N × N e la seguente
relazione ∼:
∀a, b, a0 , b0 ∈ N (a, b) ∼ (a0 , b0 ) ⇐⇒ a + b0 = a0 + b
Proposizione 3.1.1. La relazione sopra definita è una relazione di equivalenza.
Dimostrazione.
• ∼ rispetta la riflessività:
∀a, b ∈ N a + b = a + b =⇒ (a, b) ∼ (a, b)
• ∼ rispetta la simmetria:
∀a, b, a0 , b0 ∈ N (a, b) ∼ (a0 , b0 ) =⇒ a0 + b = a + b0 =⇒ (a0 , b0 ) ∼ (a, b)
• ∼ rispetta la transitività:
∀a, b, a0 , b0 a00 , b00 ∈ N :
(a, b) ∼ (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 ) ∼ (a00 , b00 ) ⇒
⇒ a + b0 = a0 + b ∧ a0 + b00 = a00 + b0
sommando membro a membro si ottiene
a + b0 + a0 + b00 = a0 + b + a00 + b0
per la legge di cancellazione in N, si ottiene
a + b00 = a00 + b =⇒ (a, b) ∼ (a00 , b00 )
Definizione 3.1.2 (Insieme Z). Si definisce Z l’insieme quoziente di N×N con la relazione
∼ e si scrive
Z = (N × N)/∼
37
38
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Si dimostra facilmente l’esistenza di una bigezione tra N e il sottoinsieme di Z costituito
dagli elementi del tipo [(a, 0)]∼ (utile esercizio). Quindi ha senso dire che i numeri naturali
sono un sottoinsieme dei numeri interi. Introduciamo una nuova notazione: al posto della
classe di equivalenza [(a, b)]∼ , utilizziamo la scrittura (a − b), interpretata come l’unica
soluzione della seguente equazione:
b+x=a
Proposizione 3.1.3 (Decomposizione di Z). Vale la seguente relazione:
Z = {(a − 0) | a ∈ N, a 6= 0} ∪ {(0 − 0)} ∪ {(0 − a) | a ∈ N, a 6= 0} =
= Z+ ∪ {0} ∪ Z−
Dimostrazione. Per la proprietà di tricotomia, vale una e una sola delle seguenti relazioni
tra a e b, con (a, b) ∈ N:
• a=b
In questo caso vale
[(a, b)]∼ = [(0, 0)]∼ ⇔ (a − b) = (0 − 0)
• ∃k ∈ N r {0} | a = b + k
Allora, si ha
[(a, b)]∼ = [(k, 0)]∼ ⇔ (a − b) = (k − 0) ⇒ (a − b) ∈ Z+
• ∃k ∈ N r {0} | b = a + k
Allora, si ha
[(a, b)]∼ = [(0, k)]∼ ⇔ (a − b) = (0 − k) ⇒ (a − b) ∈ Z−
Possiamo denotare i numeri interi nella maniera più usuale in quanto per ogni classe
di equivalenza [(a, b)]∼ esiste un solo rappresentante del tipo (a0 , b0 ) con a0 = 0 oppure
b0 = 0 (utile esercizio). Definiamo ∀a ∈ N:
• +a = [(a, 0)]∼
• −a = [(0, a)]∼
• 0 = −0 = [0, 0]∼
3.1.2
Ordinamento in Z e operazioni
Ordinamento
Definizione 3.1.4 (Maggiore o minore). Dati due numeri a, b ∈ Z, si dice che a > b, se
esiste c ∈ N r {0} tale che
a=b+c
Proposizione 3.1.5 (Tricotomia). È possibile estendere la proprietà di tricotomia all’insieme dei numeri interi. Infatti ∀a, b ∈ Z una e una sola di queste relazioni è
vera:
39
3.1. L’INSIEME Z
• a=b
• ∃k ∈ N, k 6= 0 | a = b + k
• ∃k ∈ N, k 6= 0 | b = a + k
Dimostrazione. Poniamo k = a − b. Per la proposizione precedente
k ∈ Z+ ∨ k = 0 ∨ k ∈ Z−
• Se k = 0, si ha che a − b = 0 ⇒ a = b;
• Se k ∈ Z+ , si ha che a − b = k ⇒ a = b + k ⇒ a > b;
• Se k ∈ Z− , si ha che a − b = k ⇒ b = a + k ⇒ a < b, essendo k < 0.
Proposizione 3.1.6. ∀a, b, c ∈ Z se a < b si ha a + c < b + c
Dimostrazione. Si tratta di una semplice verifica, infatti
a < b ⇔ ∃k ∈ N, k 6= 0 | a + k = b ⇒ a + k + c = b + c ⇒ a + c < b + c
Proposizione 3.1.7. ∀a, b, c ∈ Z, se a < b e b < c allora a < c
Dimostrazione. Anche questa è una semplice verifica:
a < b ⇔ ∃k1 ∈ N, k1 6= 0 : a + k1 = b
b < c ⇔ ∃k2 ∈ N, k2 6= 0 : b + k2 = c
Chiamando k = k1 + k2 , k > 0 otteniamo, per le relazioni precedenti:
a+k =c⇔a<c
Esempio 3.1.8. Verificare le seguenti proprietà:
• ∀a, b ∈ Z, a ≤ b ∨ a ≥ b (dicotomia)
• ∀a, b ∈ Z, a ≤ b ∧ b ≤ c =⇒ a ≤ c
• ∀a, b ∈ Z, a ≤ b ∧ b ≤ a =⇒ a = b
• ∀a, b ∈ Z, a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c ∀c ∈ Z
• ∀a, b ∈ Z, a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 =⇒ a + b ≥ 0
Le verifiche sono immediate.
40
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Operazioni di somma e prodotto
Definizione 3.1.9 (Somma e prodotto). L’insieme Z è dotato delle operazioni di somma
e prodotto definite nel seguente modo:
• ∀(a, b), (a0 , b0 ) ∈ Z
(a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 ) (somma)
• ∀(a, b), (a0 , b0 ) ∈ Z
(a, b) · (a0 , b0 ) = (aa0 + bb0 , ab0 + ba0 ) (prodotto)
Osservazione 3.1.10. Precisiamo che, definita un’operazione in un insieme quoziente,
è opportuno verificare che la definizione è ben posta, cioè che il risultato non dipende dal
rappresentate scelto per la classe di equivalenza. Tale verifica è lasciata al lettore.
Osservazione 3.1.11. Si verifica che (Z, +, ·) è un anello commutativo.
Valore assoluto
Definizione 3.1.12 (Valore assoluto). Dato un numero a ∈ Z, si denota con |a| il valore
assoluto di a:
• |a| = a se a ≥ 0
• |a| = −a se a < 0
Vale la relazione:
|a| = max{a, −a}
la cui verifica è immediata.
Proposizione 3.1.13 (Proprietà del valore assoluto). Il valore assoluto presenta le seguenti proprietà:
• ∀a ∈ Z |a| ≥ 0
• ∀a ∈ Z |a| = 0 ⇐⇒ a = 0
• ∀a ∈ Z |ab| = |a||b|
• ∀a ∈ Z | − a| = |a|
• ∀a, b ∈ Z |a + b| ≤ |a| + |b| (disuguaglianza triangolare)
• ∀a, b ∈ Z |a − b| ≥ |a| − |b|
• ∀a, b ∈ Z |a − b| = 0 ⇐⇒ a = b
• ∀a, b ∈ Z |a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b
• ∀a, b ∈ Z |a| ≥ b ⇐⇒ a ≤ −b ∨ a ≥ b
La verifiche sono immediate.
41
3.2. L’INSIEME Q
Elevamento a potenza
Definizione 3.1.14 (Potenza intera). Dato un numero a ∈ Z e un numero b ∈ N, si
denota con ab il risultato della seguente composizione definita per ricorrenza:
• a0 = 1
• ∀k
0≤k<b
ak+1 = ak · a
Proposizione 3.1.15 (Proprietà delle potenze). Per le potenze valgono le seguenti proprietà:
• ∀k, h ∈ N a ∈ Z ak · ah = ak+h
• ∀k, h ∈ N a ∈ Z (ak )h = ak·h
• ∀k ∈ N
∀a, b ∈ Z
ak · bk = (a · b)k
• ∀k ∈ N
∀a, b ∈ Z
a ≥ b ≥ 0 =⇒ ak ≥ bk ≥ 0
• ∀k ∈ N
∀a, b ∈ Z
a > b ≥ 0 =⇒ ak > bk ≥ 0
• ∀k ∈ N
∀a ∈ Z |ak | = |a|k
Dimostrazione. Dimostriamo per induzione la prima proprietà.
Senza perdita di generalità, possiamo fissare k e procedere per induzione su h.
Passo base.
h = 0 ⇒ ak = ak+0 ⇐⇒ ak = ak · a0 = ak · 1
Passo induttivo. Supponiamo che:
ak · ah−1 = ak+h−1
quindi vale che
ak · ah−1 · a = ak+h
Dimostriamo la quarta proprietà (supponendo a 6= 0 ∨ b 6= 0, caso in cui è banale).
Passo base. k = 1.
a ≥ b ≥ 0 ⇒ a1 ≥ b 1 ≥ 0
Per ipotesi induttiva, si ha
dunque, vale
a ≥ b ≥ 0 ⇒ ak−1 ≥ bk−1
ak = ak−1 a ≥ ak−1 b ≥ bk−1 b = bk ≥ 0
dove la prima disuguaglianza è vera per ipotesi, mentre la seconda per ipotesi induttiva.
3.2
3.2.1
L’insieme Q
Costruzione come passaggio al quoziente
Introduciamo l’insieme Q in maniera analoga all’insieme Z. Consideriamo il prodotto
cartesiano Z × (Z r {0}), e la seguente relazione ∼:
∀a, b, a0 , b0 ∈ Z b, b0 6= 0 (a, b) ∼ (a0 , b0 ) ⇐⇒ ba0 = b0 a
42
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Proposizione 3.2.1. La relazione data è una relazione di equivalenza.
Dimostrazione.
• Rispetta la riflessività
∀a, b ∈ Z (a, b) ∼ (a, b) ⇔ ab = ba
• Rispetta la simmetria
∀a, b, a0 , b0 ∈ Z b, b0 6= 0 (a, b) ∼ (a0 , b0 ) =⇒ (a0 , b0 ) ∼ (a, b)
infatti:
(a, b) ∼ (a0 , b0 ) =⇒ ba0 = b0 a =⇒ (a0 , b0 ) ∼ (a, b)
• Rispetta la transitività
∀a, b, a0 , b0 , a00 , b00 ∈ Z b, b0 , b00 6= 0 (a, b) ∼ (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 ) ∼ (a00 , b00 ) ⇒
⇒ (a, b) ∼ (a00 , b00 )
infatti
(a, b) ∼ (a0 , b0 ) =⇒ ba0 = b0 a
(a0 , b0 ) ∼ (a00 , b00 ) =⇒ b0 a00 = a0 b00
Moltiplicando membro a membro si ottiene:
ba0 b0 a00 = b0 ab00 a0 =⇒ a0 b0 (ba00 − b00 a) = 0
Per ipotesi b0 6= 0; se a0 = 0 allora si ha che 0 = ba0 = b0 a, quindi a = 0 e anche
0 = b00 a0 = b0 a00 =⇒ a00 = 0; quindi vale
ab00 = 0 = a00 b ⇒ (a, b) ∼ (a00 , b00 )
Se a0 6= 0, allora deve valere che
ba00 − b00 a = 0 ⇒ ba00 = b00 a ⇒ (a, b) ∼ (a00 , b00 )
Definizione 3.2.2 (Insieme Q). Si definisce Q come l’insieme quoziente di Z × (Z r {0})
con la relazione ∼ e si scrive:
Q = Z × (Z r {0})/∼
Operazioni
Definizione 3.2.3 (Somma e prodotto). L’insieme Q dei numeri razionali è dotato di
operazioni di somma e di prodotto definiti nel modo seguente:
• ∀(a, b), (a0 , b0 ) ∈ Q, (a, b) + (a0 , b0 ) = (ab0 + ba0 , bb0 ) (somma)
• ∀(a, b), (a0 , b0 ) ∈ Q, (a, b) · (a0 , b0 ) = (aa0 , bb0 ) (prodotto)
La verifica che le operazoni siano ben definite è lasciata al lettore.
Osservazione 3.2.4. Si verifica che (Q, +, ·) è un campo.
43
3.2. L’INSIEME Q
Ordinamento
Osservazione 3.2.5. Si può dimostrare che ogni classe di equivalenza [(a, b)]∼ contiene
un elemento (a0 , b0 ), con a0 e b0 primi tra loro, eccetto quando a0 = 0, e tutti i numeri della
forma (ka0 , kb0 ) con k intero. Utilizzeremo la notazione ab per indicare (a, b).
0
Definizione 3.2.6 (Minore). Dati ab , ab0 ∈ Q, definiamo
a
b
≤
a0
b0
se e solo se
(bb0 > 0 ∧ ab0 ≤ a0 b) ∨ (bb0 < 0 ∧ ab0 ≥ a0 b)
0
Definizione 3.2.7 (Maggiore). Dati ab , ab0 ∈ Q, definiamo
a
b
<
a0
b0
se e solo se
(bb0 > 0 ∧ ab0 < a0 b) ∨ (bb0 < 0 ∧ ab0 > ab)
Proposizione 3.2.8 (Tricotomia). Possiamo estendere la proprietà di tricotomia all’insieme Q. Infatti ∀a, b ∈ Q una e una sola delle seguenti relazioni vale:
• a=b
• ∃k ∈ Q, k > 0 | a = b + k
• ∃k ∈ Q, k > 0 | b = a + k
Dimostrazione. Poniamo k = a − b. Osserviamo che
k =0∨k >0∨k <0
Infatti
Sappiamo che
k ∈ Q ⇒ ∃c, d ∈ Z | k =
c
d
c = 0 ∨ c ∈ Z+ ∨ c ∈ Z−
d ∈ Z+ ∨ d ∈ Z−
da cui abbiamo k = 0 ∨ k > 0 ∨ k < 0.
Allora
k=0⇒a=b
k >0⇒a=b+k
k < 0, ponendo k 0 = −k, ⇒ b = a + k 0
Proposizione 3.2.9. Valgono le seguenti proprietà:
• ∀a, b, c ∈ Q
a < b ⇐⇒ a + c < b + c
• ∀a, b, c ∈ Q
a < b ∧ b < c =⇒ a < c
• ∀a, b ∈ Q
• ∀a, b, c ∈ Q
a ≤ b ∨ b ≤ a (dicotomia)
a ≤ b ∧ b ≤ c =⇒ a ≤ c
• ∀a, b ∈ Q
a ≤ b ∧ b ≤ a =⇒ a = b
• ∀a, b ∈ Q
a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 =⇒ a + b ≥ 0
Dimostrazione. Le verifiche sono immediate.
44
3.2.2
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Successioni in Q
Definizioni introduttive
Definizione 3.2.10 (Successione limitata). Una successione di elementi {un }n∈N in A si
dice limitata se
∃M ∈ A : |un | < M ∀n ∈ N
Definizione 3.2.11 (Operazioni). Definiamo somma, differenza e prodotto di successioni.
Siano {an }n∈N , {bn }n∈N , {cn }n∈N successioni di elementi in Q, allora:
{cn }n∈N = {an }n∈N + {bn }n∈N ⇔ cn = an + bn ∀n ∈ N
{cn }n∈N = {an }n∈N − {bn }n∈N ⇔ cn = an − bn ∀n ∈ N
{cn }n∈N = {an }n∈N · {bn }n∈N ⇔ cn = an · bn ∀n ∈ N
Definizione 3.2.12 (Sottosuccessione). Sia {an }n∈N una successione; si dice sottosuccessione di {an }n∈N (o estratta) una successione {cn }n∈N ottenuta da una successione di
numeri naturali {bk }k∈N tale che
k1 > k2 ⇔ bk1 > bk2
se
c k = ab k
∀n ∈ N
Definizione 3.2.13 (Successione infinitesima). Una successione {an }n∈N a valori in Q
si dice infinitesima se vale:
∀ε > 0, ε ∈ Q ∃n0 ∈ N : |an | < ε ∀n ≥ n0
Definizione 3.2.14 (Successione di Cauchy). Una successione {an }n∈N a valori in Q si
dice di Cauchy se vale:
∀ε > 0, ε ∈ Q ∃n0 ∈ N : |an − am | < ε ∀n, m ≥ n0
ossia se, preso ε piccolo a piacere, il valore assoluto della differenza tra due termini della
successioni, scelti dopo un certo n0 , è sempre minore di ε.
Proprietà delle successioni infinitesime in Q
Lemma 3.2.15. Ogni successione infinitesima è limitata.
Dimostrazione. Sia {an }n∈N una successione infinitesima, per definizione
∀ε ∈ Q, ∃n0 ∈ N | ∀n > n0 , |an | < ε
Scelto ε = 1, il numero di elementi in valore assoluto maggiori di 1 è finito, quindi ha
un massimo, che chiamiamo M ; se fosse |an | < 1 ∀n ∈ N scegliamo M = 1. Dunque,
abbiamo che
|an | < M ∀n ∈ N
da cui segue che {an }n∈N è limitata.
Lemma 3.2.16. Somma, differenza e prodotto di successioni infinitesime sono successioni
infinitesime.
45
3.2. L’INSIEME Q
Dimostrazione. Siano {an }n∈N e {bn }n∈N successioni infinitesime.
• Sia {cn }n∈N = {an }n∈N + {bn }n∈N . Per definizione si ha
ε
ε
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 |an | <
∀ε > 0, ∃m0 ∈ N | ∀n ≥ m0 |bn | <
2
2
Per la disuguaglianza triangolare, si ha che
|cn | = |an + bn | ≤ |an | + |bn | < ε ∀n ≥ max{n0 , m0 }
Dunque {cn }n∈N è infinitesima.
• Per la differenza si procede in maniera del tutto analoga.
• Sia {en }n∈N = {an }n∈N · {bn }n∈N . Sia M un maggiorante della successione {|bn |}n∈N ,
che esiste in quanto la successione è infinitesima. Inoltre, essendo {an }n∈N infinitesima, si ha:
ε
∀ε ∈ Q ∃n0 ∈ N | ∀n > n0 , |an | <
M
Dunque abbiamo
ε
=ε
|en | = |an · bn | ≤ |an |· |bn | = M · |bn | ≤ M ·
M
Dunque la successione {en }n∈N è infinitesima.
Per questa dimostrazione, è sufficiente che la successione {|an |}n∈N sia limitata: la
tesi è vera anche in questo caso.
Lemma 3.2.17. Ogni successione infinitesima è una successione di Cauchy.
Dimostrazione. Sia {an }n∈N una successione infinitesima. Per definizione si ha che
ε
∀ε > 0 ε ∈ Q ∃n0 ∈ N | ∀n > n0 |an | <
2
Dunque, per n, m > n0 si ha:
ε ε
|am − an | ≤ |am | + |an | < + = ε
2 2
Quindi {an }n∈N è una successione di Cauchy.
Osservazione 3.2.18. Sia {an }n∈N una successione di Cauchy; in generale, {an }n∈N non
è infinitesima: basta considerare la successione che vale costantemente 1.
Lemma 3.2.19 (Confronto assoluto). Se una successione di numeri razionali {an }n∈N è
infinitesima, allora anche la successione dei valori assoluti è infinitesima.
Dimostrazione. Per definizione
∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃n0 | ∀n > n0 |an | < ε
Essendo ||an || = |an | si ha la tesi.
Lemma 3.2.20 (Principio del confronto). Se {an }n∈N è una successione di numeri razionali tale che
|an | < bn ∀n ∈ N
con {bn }n∈N infinitesima, allora anche {an }n∈N è infinitesima.
Dimostrazione. Per definizione
∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃n0 | ∀n > n0 |bn | < ε
Dunque abbiamo
|an | ≤ bn ≤ |bn | < ε ∀n > n0
Quindi {an }n∈N è una successione infinitesima.
46
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Esempi di successioni infinitesime
• an =
Sia
1
n
∀n ∈ N è una successione infinitesima.
ε > 0, ε ∈ Q ⇒ ∃m, k ∈ N r {0} | ε =
La successione è decrescente, infatti:
1
1
1
−
=
> 0 ∀n ∈ N
n n+1
n(n + 1)
Dunque,
∀M ∈ N
Allora, ∀ε ∈ Q, si ha:
1
= aM > an
M
m
k
∀n > M
m
1
≥ = ak > an = |an | ∀n > k
k
k
Quindi la successione è infinitesima.
ε=
• an = 21n è una successione infinitesima.
Per induzione si dimostra facilmente che
1
1
1
2n − n
an < ∀n ∈ N ⇔ − n =
n
n 2
n· 2n
Si conclude per confronto.
3.2.3
Numerabilità di Q
Proposizione 3.2.21 (Numerabilità di Q+ ). L’insieme Q+ dei numeri razionali positivi
è numerabile.
Dimostrazione. Tutti i razionali positivi si possono scrivere nella forma
N r {0}. Quindi possiamo creare la seguente tabella:
1
1
2
1
3
1
4
1
...
1
2
2
2
3
2
4
2
...
1
3
2
3
3
3
4
3
...
1
4
2
4
3
4
4
4
...
:
:
:
:
a
b
con a, b ∈
Si procede con la seguente regola: data la i-esima riga e j-esima colonna, nell’intersezione
tra le due è posto ji . Per costruire una funzione biunivoca con i numeri naturali si può
procedere per diagonali con il seguente metodo: dato il numero ji , se i 6= 1 allora l’elemento
1
successivo è j+1
, se i = 1 allora l’elemento successivo è j+i
. Quindi otteniamo una lista
i−1
così fatta:
1 1 2 1 2 3
, , , , , ···
1 2 1 3 2 1
Se da questa lista cancelliamo le frazioni non ridotte ai minimi termini, abbiamo una
successione di tutti i numeri razionali. Infine, basta mettere in relazione il primo elemento
della lista con 1, il secondo con 2 e così via, per creare una relazione biettiva con l’insieme
dei naturali (la suddetta costruzione è anche nota come serpentone).
Corollario 3.2.22. L’insieme Q è numerabile.
Dimostrazione. Basta ripetere la costruzione illustrata in Q− creando una biezione tra
Q− × Q+ e N × N, che è numerabile.
47
3.3. L’INSIEME R
3.3
L’insieme R
3.3.1
Costruzione di Cantor
Consigliamo di avere una certa familiarità con il concetto di limite che introdurremo nei
prossimi capitoli.
La costruzione di Cantor dei numeri reali si fonda sull’idea di rappresentare ogni
numero reale come limite di una successione di Cauchy di numeri razionali.
Sia C l’insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali e sia ∼ una relazione
così definita:
{un }n∈N , {vn }n∈N ∈ C {un }n∈N ∼ {vn }n∈N ⇐⇒
⇐⇒ ∀ε ∈ Q ∃N ∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ N
|un − vn | ≤ ε
Proposizione 3.3.1. La relazione ∼ è una relazione di equivalenza.
Dimostrazione.
• Se un = vn ∀n ∈ N, si ha che |un − vn | = 0 < ε ∀ε ∈ Q
• Se ∃ε ∈ Q tale che |un − vn | < ε ∀n > N ∈ N, allora per le proprietà del valore
assoluto:
|vn − un | = |un − vn | < ε ∀n > N ∈ N
• Siano {un }n∈N , {vn }n∈N , {wn }n∈N ∈ C e sia {un }n∈N ∼ {vn }n∈N e {vn }n∈N , {wn }n∈N
cioè ∀ε ∈ Q ∃N ∈ N tale che
|un − vn | <
ε
ε
∧ |vn − wn | <
2
2
∀n > N
con queste ipotesi possiamo affermare:
|un − wn | = |un − vn + vn − wn | ≤ |un − vn | + |vn − wn | < ε
Definizione 3.3.2 (Insieme R). Definiamo l’insieme R dei numeri reali come l’insieme
quoziente di C rispetto alla relazione di equivalenza ∼, ovvero:
R = C/∼
Definizione 3.3.3. Dati a, b ∈ R, diciamo che a ≤ b se esistono due successioni di
Cauchy {un }n∈N , {vn }n∈N che tendono ad a e b tali che un ≤ vn ∀n ∈ N.
Operazioni
Definizione 3.3.4 (Somma e prodotto). Date {un }n∈N , {vn }n∈N due successioni di Cauchy, la somma e il prodotto di successioni a valori razionali, definiscono le operazioni di
somma e prodotto tra numeri reali.
Osservazione 3.3.5. La verifica che tali operazioni siano ben definite è lasciata al lettore.
Osservazione 3.3.6. Si verifica che (R, +, ·) è un campo.
Proposizione 3.3.7. Sia c ∈ R, allora vale che
c > 0 ⇐⇒ ∃q ∈ Q | c ≥ q > 0
48
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Dimostrazione. ⇐)
Ovvia.
⇒)
Consideriamo 2c ; per costruzione, esiste {un }n∈N successione di Cauchy di numeri razionali
che definisce 2c . Allora:
∀ε > 0 ∃N ∈ N | ∀n ∈ N, n ≥ N,
un
c
− ≤ ε
2
In particolare:
c
c
3
⇒ ≤ un ≤ c ∀n ≥ N
4
4
4
Essendo la successione a termini razionali, abbiamo la tesi.
ε=
Proposizione 3.3.8. ∀a, b ∈ R vale una e una sola delle seguenti proprietà:
• a=b
• ∃k ∈ R
k > 0 tale che a = b + k
• ∃k ∈ R
k > 0 tale che b = a + k
• ∀a, b, c ∈ R a < b ⇐⇒ a + c < b + c
• ∀a, b, c ∈ R a < b ∧ b < c =⇒ a < c
• ∀a, b ∈ R a ≤ b ∨ b ≤ a (dicotomia)
• ∀a, b ∈ R a ≤ b ∧ b ≤ a =⇒ a = b
• ∀a, b, c ∈ R a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c
Dimostrazione. La dimostrazione consiste in semplici verifiche.
Proposizione 3.3.9 (Densità dei numeri razionali in R). Dati a, b ∈ R, con a < b,
esiste c ∈ Q tale che a < c < b.
Dimostrazione. Se a = 0 (se b = 0, analogo), per la proposizione precedente ∃q ∈ Q | 0 <
q ≤ b. Basta scegliere c = 2q , infatti 0 < c = 2q < b.
Se a 6= 0 ∧ b 6= 0, sia
b−a
ε∈R|0<ε<
⇒a+ε<b−ε
2
Per la costruzione di Cantor dei numeri reali:
∃q1 , q2 ∈ Q | a − ε < q1 < a + ε < b − ε < q2 < b + ε
Ponendo c =
q1 +q2
,
2
si osserva banalmente che a < c < b.
Potenza reale
Osservazione 3.3.10. Possiamo ripetere la definizione di valore assoluto data per Z in
R, in cui valgono le stesse proprietà. Anche la definizione e le proprietà delle potenze
introdotte per Z valgono in R, scegliendo come base un numero reale e come esponente un
intero.
Definizione 3.3.11 (Radice
n-esima). Siano x, y ∈ R, x, y > 0 e sia n ∈ N, n > 1;
√
n
diciamo allora che y = x (radice n-esima di x) se y n = x.
49
3.3. L’INSIEME R
Proposizione 3.3.12 (Proprietà della radice n-esima). Valgono le seguenti proprietà:
√
√
• ∀x1 , x2 ∈ R+ ∀n ∈ N r {0} x1 < x2 =⇒ n x1 < n x2
√
√
• ∀x ∈ R+ x > 1 ∀k1 , k2 ∈ N r {0} k1 < k2 =⇒ k1 x > k2 x
√
√
• ∀x ∈ R+ x < 1 ∀k1 , k2 ∈ N r {0} k1 < k2 =⇒ k1 x < k2 x
√ √
√
• ∀x1 , x2 ∈ R+ ∀n ∈ N r {0} n x1 n x2 = n x1 x2
• ∀x ∈ R+
q
∀n, m ∈ N r {0}
n
√
m
x=
√
n·m
x
Definizione 3.3.13 (Potenza a esponente reale). Siano x, y ∈ R. Consideriamo {an }n∈N
e {bn }n∈N due successioni razionali che tendono a y rispettivamente crescendo e decrescendo. Allora costruiamo le successioni {αn }n∈N e {βn }n∈N tali che ∀n ∈ N
αn = xan
βn = xbn
Le due successioni sono ben definite, perchè potenze razionali di numeri reali. Allora
definiamo xy l’elemento a cui tendono le due successioni.
Osservazione 3.3.14. Si verifica che l’operazione è ben definita, cioè il risultato non
dipende dal rappresentante scelte per la classe di equivalenza.
Parte intera
Proposizione 3.3.15. Per ogni a reale positivo, esiste un unico n naturale tale che
n ≤ a < n + 1.
Dimostrazione. Definiamo
U = {n ∈ N | n ≤ a}
U è superiormente limitato, dunque ha un massimo, diciamo M . Per proprietà di massimo,
si ha:
M +1>M ⇒M +1∈
/ U ⇒M ≤a<M +1
Del resto, se un intero con le proprietà cercate esiste, è evidentemente il massimo dell’insieme U definito in precedenza, Questo prova l’esistenza e l’unicità, per caratterizzazione
di massimo.
Definizione 3.3.16 (Parte intera). ∀a ∈ R definiamo la parte intera di a ([a]), come
quell’unico naturale tale che n ≤ a < n + 1. L’esercizio precedente assicura che la
definizione è ben posta.
Esercizi
Esempio 3.3.17.
Verificare che
√
Supponiamo 7 ∈ Q. Allora
√
7 non è razionale.
∃a, b ∈ N r {0} |
√
7=
a
b
Supponiamo che a, b siano coprimi. Allora si ha 7b2 = a2 . Si osserva che a, b hanno
la stessa parità: tuttavia, se fossero entrambi pari non sarebbero coprimi; allora sono
entrambi dispari. Poniamo a = 2c + 1, b = 2d + 1, con c, d ∈ N.
7(2d + 1)2 = (2c + 1)2 ⇔ 14d2 + 14d + 3 = 2c2 + 2c
Questo è assurdo perchè la quantità a destra dell’uguale è pari, quella a sinistra è dispari.
50
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Esempio 3.3.18. Sia {an }n∈N una successione di numeri naturali tali che
∀n ∈ N an ∈ {0, 1, 2}
Si consideri ora la successione bn =
n
X
ai
i=0
e si verifichi che bn+1 − bn ≤
3i
2
.
3n+1
Per definizione, si ha:
bn+1 − bn =
n+1
X
i=0
n
ai X
ai
an+1
2
−
= n+1 ≤ n+1
i
i
3
3
3
i=0 3
Esempio 3.3.19. Verificare l’identità
an+1 − 1
a =
a−1
i=0
n
X
i
∀a ∈ R r {1}
∀n ∈ N r {0}
Procediamo per induzione su n.
Passo base. Per n = 0 la tesi è ovvia.
Passo induttivo. Supponiamo la tesi vera per n e dimostriamo che vale per n + 1.
a
n+1
− 1 = aa − a + a − 1 = a(a − 1) + (a − 1) = a (a + 1)
n
n
HP
"
= (a − 1)
!
n
X
n−1
X
!
a
i
+ (a − 1) =
i=0
#
a + 1 = (a − 1)
i
i=1
n
X
ai
i=0
Esempio 3.3.20. Sia {an }n∈N una successione di numeri razionali non negativi tali che
an ≤
Si consideri la successione bn =
c
qn
n
X
∀n ∈ N q ∈ Q
q>1
ai e si verifichi che è di Cauchy.
i=0
Per definizione, si ha:
bn ≤
n
X
c
n
i=0 q
Verifichiamo che è una successione di Cauchy. Sia n > m:
bn − bm =
n
X
i=m+1
ai ≤
c
1
=c
n
i=m+1 q
i=m+1 q
n
X
n
X
!n
=
c
q m+1
n−m−1
X
i=0
=
c
q m+1
1− 1−
1−
1
q
1
q
n−m
Scelti n, m abbastanza grandi, si ha che
1
1−
q
!n−m
≤
1
n
come si può facilmente verificare per induzione. Allora, possiamo concludere che l’ultima
quantità è infinitesima e per confronto la successione di partenza è di Cauchy.
51
3.3. L’INSIEME R
3.3.2
Assioma di Dedekind (assioma di continuità o di completezza)
Definizione 3.3.21 (Estremo superiore e inferiore). Sia X un insieme totalmente ordinato, sia E un sottoinsieme di X e y un elemento di X. Diciamo che y è estremo superiore
(inferiore) di E, denotandolo con sup E (inf E), se rispetta le seguenti proprietà:
• y è maggiorante (minorante) di E
• @δ ∈ X | δ è un maggiorante (minorante) di E e δ < (>)y
L’insieme dei numeri reali si può costruire formalmente tramite l’assioma di Dedekind,
di cui riportiamo una formulazione equivalente.
Sia S un insieme non vuoto e limitato di R. Allora:
∃!a ∈ R | a è l’estremo superiore di S
Proposizione 3.3.22. La costruzione di R secondo Cantor implica l’assioma di Dedekind.
Dimostrazione. Sia S un insieme non vuoto e superiormente limitato di R e sia u ∈ Q un
suo maggiorante. Allora
∃l0 ∈ Q | ∃s ∈ S : l0 < s
Calcoliamo
u0 =
l0 + u
2
u1 =
l0 + u0
2
Se u0 è maggiorante di S, definiamo
Se u0 non è maggiorante di S, definiamo
u1 =
u0 + u
2
Iteriamo questa costruzione, adottando la seguente notazione:

u
k
uk
è maggiorante di S ⇒
lk = lk−1 , uk = uk
lk + uk
⇒ uk+1 =
2
non è maggiorante di S ⇒ lk = uk , uk = uk−1
La successione {uk }k∈N è decrescente e i suoi elementi sono maggioranti dell’insieme S; la
successione {lk }k∈N è crescente e i suoi elementi sono tali che
∀k ∈ N ∃s ∈ S | lk < s
Inoltre, si verifica per induzione che
uk − lk =
u0 − l0
2k
che è una successione infinitesima. Per la costruzione di Cantor
∃a ∈ R | {un }n∈N ∼ {ln }n∈N : [{un }n∈N ]∼ = [{ln }n∈N ]∼ = a
Dunque, il numero reale a è l’estremo superiore cercato.
Osservazione 3.3.23. In maniera del tutto analoga, si dimostra l’esistenza e l’unicità
dell’estremo inferiore di un sottoinsieme non vuoto e inferiormente limitato di R.
52
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
3.3.3
Non numerabilità di R
Teorema 3.3.24. L’insieme R non è numerabile.
Dimostrazione. Utilizzeremo il celebre argomento diagonale di Cantor. Per dimostrare
che R non è numerabile, è sufficiente provare che l’intervallo [0, 1] non lo è.
Supponiamo per assurdo che l’intervallo [0, 1] sia numerabile. Allora gli elementi di [0, 1]
possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo a
una successione di numeri reali {r1 , r2 , r3 , ...} che esaurisce tutti i numeri reali compresi
tra 0 e 1. Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e
visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita:
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
= 0, 5105110...
= 0, 4132043...
= 0, 8245026...
= 0, 2330126...
= 0, 4107246...
= 0, 9937838...
= 0, 0105135...
...
In realtà ci sono numeri che hanno più di una rappresentazione decimale: quelli che
terminano con una sequenza infinita di 9 o di 0 ne hanno due, in tal caso conveniamo di
prendere la rappresentazione che termina con 0.
Esaminiamo le cifre sulla diagonale della matrice, cioè sulla successione il cui k-esimo
elemento è la k-esima cifra decimale di rk . Questa successione di cifre, interpretata come
espansione decimale, definisce un numero reale. Nell’esempio è 0, 5140235....
Consideriamo un altro numero reale x nell’intervallo studiato che abbia invece tutte le
cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale. Allora x è tale che:
• Se la k-esima cifra decimale di rk è 5 allora la k-esima cifra di x è 4
• Se la k-esima cifra di rk non è 5 allora la k-esima cifra decimale di x è 5
Nell’esempio otteniamo:
x = 0, 4555554...
All’inizio dell’argomento avevamo supposto che la nostra lista r1 , r2 , r3 , ... enumerasse tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere rn = x per qualche n e poiché
x non ha dei 9 tra le cifre decimali la sua rappresentazione è unica. Tale rappresentazione
dovrà quindi essere quella presente nella riga n-esima della tabella. Tuttavia, emerge una
contraddizione: sia l’n-esima cifra decimale di rn = x. Può essere 4 o 5. Per come è
definito x la cifra a deve essere 4 se e solo se è uguale a 5 e 5 se e solo se è diversa da 5.
Questo è impossibile e ne segue che l’ipotesi di partenza è falsa e cioè [0, 1] non è
numerabile.
3.4
3.4.1
Binomio di Newton e disuguaglianze
Teorema del binomio
Osservazione 3.4.1. La scrittura
n
k
!
si chiama coefficiente binomiale e vale:
n
n!
=
k
(n − k)! · k!
53
3.4. BINOMIO DI NEWTON E DISUGUAGLIANZE
Il binomiale gode della seguente proprietà, la cui verifica può essere facilmente svolta per
induzione:
!
!
!
n+1
n
n
=
+
k
k
k−1
Proposizione 3.4.2 (Binomio di Newton). Vale la seguente relazione ∀x, y ∈ R, ∀n ∈ N:
(x + y) =
n
n
X
!
n k n−k
x y
k
k=0
Dimostrazione. Procediamo per induzione sul grado n.
Passo base. Per n = 0 e per n = 1 la relazione è banalmente vera.
Passo induttivo. Supponiamo che sia vero per n e dimostriamo la tesi per n + 1.
(x + y)n+1 = (x + y)(x + y)n = (x + y)
n
X
!
n k n−k
x y
=
k
k=0
=
n
X
n
n k+1 n−k X
n k n−k+1
x y
+
x y
=
k
k=0 k
!
k=0
=x
n+1
+y
n+1
+
n
X
n
X
n
n k n−k+1
k n−k+1
x y
+
x y
= xn+1 + y n+1 +
k−1
k=1 k
!
k=1
+
n
X
k=1
3.4.2
!
!
X n+1
n + 1 k n−k+1 n+1
xk y n−k+1
x y
=
k
k
k=0
!
!
Disuguaglianze
Proposizione 3.4.3 (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Date le due n-uple reali (a1 , a2 , ..., an )
e (b1 , b2 , ..., bn ), vale la sequente disugualianza:
n
X
n
X
!
ai
2
!
bi
2
≥
i=1
i=1
n
X
!2
ai b i
i=1
Dimostrazione. Si consideri il polinomio p(x) = (a1 + b1 x)2 + ... + (an + bn x)2 , che ha al
piú una radice, poichè si annulla se e soltanto se
x=−
a1
a2
an
= − = ... = −
b1
b2
bn
Svolgendo i quadrati si ottiene che
p(x) =
n
X
n
X
!
bi
2
x +2
2
i=1
!
ai b i x +
i=1
n
X
ai 2
i=1
Per quanto detto in precedenza, il discriminante del polinomio deve essere minore o uguale
a 0, ovvero:
!
!
!
n
X
i=1
da cui si ha la tesi.
2
ai b i
−
n
X
i=1
ai
2
n
X
i=1
bi 2 ≤ 0
54
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Proposizione 3.4.4 (Disuguaglianza di riarrangiamento). Date le due n-uple reali (a1 , a2 , ..., an )
e (b1 , b2 , ..., bn ) tali che a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an e b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn , si ha la seguente relazione
(S(n) è il gruppo delle permutazioni):
n
X
∀σ ∈ S(n)
ai b i ≥
i=1
n
X
ai bσ(i) ≥
i=1
n
X
ai bn−i+1
i=1
Dimostrazione. Dimostriamo la seconda parte della disuguaglianza, supponendo che la
prima sia vera.
Prendiamo la seguente n-upla di numeri reali, ordinata in maniera crescente, (−an , ..., −a1 ).
Applicando la prima relazione si ottiene:
n
X
(−ai bσ(i) ) ≤
i=1
n
X
(−ai bn−i+1 )
i=1
da cui segue le tesi cambiando i segni.
Dimostriamo la prima disuguaglianza per assurdo.
Supponiamo che la prima relazione sia falsa. Allora
∃σ ∈ S(n) |
n
X
ai b i <
i=1
n
X
ai bσ(i)
i=1
Consideriamo l’insieme delle permutazioni che massimizzano la precedente espressione
(ovvero che rendano
n
X
ai bσ(i) massima) e, tra queste, chiamiamo σ la permutazione con
i=1
il maggior numero di punti fissi. Per quanto supposto, σ non è l’identità. Quindi
∃j ∈ {1, 2, ..., n} | σ(j) 6= j e ∀i ∈ {1, 2, ..., j − 1} σ(i) = i
Quindi si ha:
Allora
σ(j) > j e ∃k ∈ {j + 1, ..., n} | σ(k) = j
0 ≤ (bσ(j) − bj )(ak − aj ) ⇒ bσ(j) aj + bj ak ≤ bj aj + bσ(j) ak
Prendiamo la seguente permutazione:
∀i ∈ {1, 2, ..., j}
τ (i) = σ(j) i = k


σ(i) i ∈ {j + 1, ..., n}, i 6= k



i
che si ottiene da σ scambiando il valore σ(j) con σ(k). τ ha un ulteriore punto fisso,
perchè abbiamo imposto τ (k) = σ(j) = k e continua a massimizzare l’espressione. Infatti,
si ha:
n
n
X
ai bτ (i) >
i=1
poichè
X
ai bσ(i)
i=1
bσ(j) aj + bσ(k) ak ≤ bj aj + bτ (k) ak
Dunque si ha l’assurdo.
Proposizione 3.4.5 (Disuguaglianza di Chebyschev). Date le due n-uple reali (a1 , a2 , ..., an )
e (b1 , b2 , ..., bn ) tali che 0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an e 0 ≤ b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn , si ha la seguente
relazione:
!
!
!
n
X
i=1
ai
n
X
i=1
bi ≤ n
n
X
i=1
ai b i
55
3.4. BINOMIO DI NEWTON E DISUGUAGLIANZE
Dimostrazione. Vale la seguente relazione:
n X
n
X
(aj − ak )(bj − bk ) ≥ 0
j=1 k=1
perchè le due n-uple sono ordinate, dunque le differenze sono concordi. Sviluppando, si
ha:
n n
n n
0≤
XX
(aj − ak )(bj − bk ) =
j=1 k=1
= 2n
n
X
XX
(aj bj − ak bj − aj bk + ak bk ) =
j=1 k=1
(aj bj ) −
j=1
n X
n
X
(ak bj + aj bk ) = 2n
j=1 k=1
n
X

n
X
(aj bj ) − 2 
j=1
j=1

bj 
n
X
!
ak
k=1
da cui la tesi.
Proposizione 3.4.6 (Disuguaglianza di Bernoulli). La seguente relazione vale ∀x ∈
R, x ≥ −1 e ∀n ∈ N r {0}:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n.
Passo base. Se n = 1 la relazione è banalmente vera.
Passo induttivo. Supponiamo che la disuguaglianza sia vera per n e verifichiamo che vale
per n + 1:
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) = 1 + x + nx + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x
Proposizione 3.4.7 (Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica). Data
una n-upla (a1 , a2 , ..., an ) di numeri reali non negativi, vale la seguente relazione:
n
1X
ai ≥
n k=1
n
Y
!1
n
ai
k=1
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n.
Passo base. Per n = 1 la relazione è banalmente vera.
Passo induttivo. Supponiamo che la relazione sia vera per n − 1, proviamo che vale anche
per n.
Sia Gn la media geometrica di n termini e Mn la media aritmetica degli stessi n termini.
Per ipotesi induttiva, vale:
Gn−1 =
n−1
Y
1
! n−1
ai
≤
k=1
Quindi abbiamo:
Mn =
X
1 n−1
ak = Mn−1
n − 1 k=1
n−1
an
an − Mn−1
Mn−1 +
= Mn−1 +
n
n
n
Da cui segue:
Mn
Mn−1
!n
an − Mn−1
= 1+
Mn−1 n
!n
≥1+n
an − Mn−1
an
=
Mn−1 n
Mn−1
applicando la disuguaglianza di Bernoulli. Questo conclude la dimostrazione, perchè:
(Mn ) ≥ an (Mn−1 )
n
n−1
≥ an (Gn−1 )
n−1
=
n
Y
k=1
ak
56
CAPITOLO 3. INSIEMI Z,Q,R
Capitolo 4
Funzioni elementari reali
4.1
Proprietà di base
Definizione 4.1.1. Chiamiamo funzioni reali a variabili reali le applicazioni del tipo:
f :D→R
D⊂R
Osservazione 4.1.2. Studieremo le funzioni reali in una sola variabile.
Definizione 4.1.3 (Funzione pari e dispari). Sia f : D → R. f si dice pari se:
∀x ∈ D f (x) = f (−x)
f si dice dispari se:
∀x ∈ D f (x) = −f (−x)
Osservazione 4.1.4. Una funzione è pari se e solo se il suo grafico è simmetrico rispetto
all’asse x; è dispari se e solo se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.
Osservazione 4.1.5. Non è detto che una funzione sia necessariamente pari o dispari.
4.1.1
Funzioni potenza
Sono funzioni del tipo
y = Axm
A, m ∈ R
Per analizzarne le proprietà bisogna condiderare i parametri m ed A.
• Se m è un intero positivo, la funzione è definita in R e passa per l’origine degli
assi. Se m è pari, la funzione è pari (il grafico della funzione è simmetrico rispetto
all’asse y); se m è dispari, la funzione è dispari (il grafico della funzione è simmetrico
rispetto all’origine). Inoltre, in base al segno di A si ha che
1. Se A > 0 e m è pari la funzione è sempre positiva. Inoltre la funzione decresce
nell’intervallo (−∞, 0] e cresce nell’intervallo (0, +∞).
2. Se A > 0 e m è dispari la funzione è negativa in (−∞, 0) e positiva in (0, +∞).
Inoltre la funzione cresce in tutto il suo dominio.
3. Se A < 0 e m è pari la funzione è sempre negativa. Inoltre la funzione cresce
nell’intervallo (−∞, 0] e decresce nell’intervallo (0, +∞).
4. Se A < 0 e m è dispari la funzione è positiva in (−∞, 0) e negativa in (0, ∞).
Inoltre la funzione decresce in tutto il suo dominio.
57
58
CAPITOLO 4. FUNZIONI ELEMENTARI REALI
• Se m è un intero negativo, la funzione è definita in R r {0}. Se mè pari, la funzione
è pari; se m è dispari, la funzione è dispari. Inoltre, in base al segno di A si ha che
1. Se A > 0 e m è pari la funzione è sempre positiva. Inoltre la funzione cresce
nell’intervallo (−∞, 0) e decresce nell’intervallo (0, +∞).
2. Se A > 0 e m è dispari la funzione è negativa in (−∞, 0) e positiva in (0, +∞).
Inoltre la funzione decresce in tutto il suo dominio.
3. Se A < 0 e m è pari la funzione è sempre negativa. Inoltre la funzione decresce
nell’intervallo (−∞, 0) e cresce nell’intervallo (0, +∞).
4. Se A < 0 e m è dispari la funzione è positiva in (−∞, 0) e negativa in (0, +∞).
Inoltre la funzione cresce in tutto il suo dominio.
• Se m è un numero razionale, ovvero esistono due numeri interi p, q, con q > 0 e
M CD(p, q) = 1, si presentano i seguenti casi (con A > 0):
1. Se q è pari e p > 0, la funzione è definita in [0, +∞) e passa per il punto (0, 0).
Inoltre è positiva e crescentre in tutto il suo dominio.
2. Se q è pari e p < 0, la funzione è definita in (0, +∞), è positiva e decrescente
in tutto il suo dominio.
3. Se q è dispari, con p > 0 e pari, la funzione è definita in R, è positiva in
tutto il dominio a meno del punto x = 0, in cui si annulla, ed è simmetrica
rispetto all’asse y. Inoltre la funzione decresce nell’intervallo (−∞, 0] e cresce
nell’intervallo (0, +∞).
4. Se q è dispari, con p > 0 e dispari, la funzione è definita in R, è negativa
nell’intervallo (−∞, 0), positiva in (0, +∞) e si annulla nel punto x = 0. Inoltre è simmetrica rispetto all’origine, cresce nell’intervallo (−∞, 0] e decresce
nell’intervallo (0, +∞).
5. Se q è dispari e p < 0 e pari, la funzione è definita in R r {0}, è sempre
positiva ed è pari. Inoltre la funzione cresce nell’intervallo (−∞, 0) e decresce
nell’intervallo (0, +∞).
6. Se q è dispari, con p < 0 e dispari, la funzione è definita in R r {0}, è negativa nell’intervallo (−∞, 0) e positiva in (0, +∞). Inoltre è dispari, decresce in
(−∞, 0) e cresce in (0, +∞).
• Se m è un numero reale non razionale, si presentano due casi:
1. Se m > 0 la funzione è definita in [0, +∞), è sempre positiva, a meno del punto
x = 0, dove si annulla, e cresce su tutto il suo dominio.
2. Se m < 0 la funzione è definita in (0, +∞), è sempre positiva, e decresce in
tutto il suo dominio.
4.1.2
Funzioni esponenziali
Sono funzioni del tipo
y = ax , a > 0, a 6= 1
Sono funzioni definite in R, sempre positive e tali che ∀a ∈ R+ , a 6= 1, y(0) = 1. Inoltre:
1. Se a < 1 la funzione decresce in tutto il dominio.
2. Se a > 1 la funzione cresce in tutto il dominio.
59
4.1. PROPRIETÀ DI BASE
4.1.3
Funzioni logaritmiche
Sono funzioni del tipo
y = loga (x)
con a > 0, a 6= 1. Sono le inverse delle funzioni esponenziali. Sono definite in (0, +∞) e
tali che ∀a ∈ R+ , a 6= 1, y(1) = 0. Inoltre:
1. Se a < 1, la funzione decresce in tutto il suo dominio. Inoltre è positiva in (0, 1) e
negativa in (1, +∞).
2. Se a > 1, la funzione cresce in tutto il suo dominio. Inoltre è negativa in (0, 1) e
positiva in (1, +∞).
4.1.4
Funzioni goniometriche
[ la sua ampiezza in radianti si definisce consiDefinizione 4.1.6. Dato un angolo AOB,
derando una circonferenza di raggio r centrata nel vertice O e indicando con l la lunghezza
dell’arco AB di circonferenza intercettato dall’angolo. Allora la misura x dell’angolo in
radianti è data dal rapporto tra la lunghezza dell’arco l ed il raggio del cerchio r, ovvero:
x = rl .
Osservazione 4.1.7. Si può facilmente dimostrare che 360ř = 2π, quindi conoscendo
il valore dell’angolo α in gradi, si può risalire alla sua misura in radianti attraverso la
formula:
αř : αr = 180 : π
Le principali funzioni goniometriche sono
y = sin x y = cos x y = tan x =
sin x
cos x
Le funzioni seno e coseno sono definite in R e assumono tutti i valori [−1, 1]. Sono
funzioni periodiche, di periodo 2π, pertanto basta studiarne le proprietà nell’intervallo
[−π, π].
Considerata la circonferenza goniometrica di centro l’origine e raggio 1, l’ascissa e l’ordinata del punto di intersezione di una retta passante per l’origine e la circonferenza sono
rispettivamente il coseno e il seno dell’angolo x che la retta stessa forma con la semiretta
positiva dell’asse x (assumendo positivo il verso antiorario per la misurazione degli angoli).
• La funzione sin(α) è definita come la proiezione con segno sull’asse y del raggio che
forma con l’asse x un angolo di α radianti. Si annulla per x = kπ ∀k ∈ Z; è
simmetrica rispetto all’origine, è negativa in (−π, 0) e positiva in (0, π). Inoltre la
funzione decresce negli intervalli [−π, − π2 ] e [ π2 , π] e cresce nell’intervallo (− π2 , π2 ).
• La funzione cos(α) è definita come la proiezione con segno sull’asse x del raggio che
forma con l’asse x un angolo di α radianti. Si annulla in x = π2 + kπ ∀k ∈ Z; è
simmetrica rispetto all’asse y è negativa in [−π, − π2 ) e ( π2 , π] ed è positiva in (− π2 , π2 ).
Inoltre la funzione cresce nell’intervallo [−π, 0] e [ π2 , π], decresce nell’intervallo (0, π).
Proposizione 4.1.8 (Relazione fondamentale della goniometria). Si verifica immediatamente che cos2 x + sin2 x = 1 ∀x ∈ R
Dimostrazione. È sufficiente utilizzare la definizione data di seno e coseno.
60
CAPITOLO 4. FUNZIONI ELEMENTARI REALI
n
o
La funzione tangente è una funzione goniometrica definita in R r π2 + kπ , ∀k ∈ Z.
La tangente dell’angolo α è dal punto di vista geometrico la proiezione con segno sulla
retta y = 1 del raggio che forma con l’asse x un angolo di α radianti. E’ una funzione di
periodo π pertanto basta studiarne le proprietà nell’intervallo (− π2 , π2 ) In tale intervallo
la funzione è sempre crescente, è negativa sull’intervallo (− π2 , 0) e positiva sull’intervallo
(0, π2 ), si annulla nel punto x = 0.
1
= cos(x)
.
É definita anche la funzione cot(x) = tan(x)
sin(x)
4.1.5
Funzioni iperboliche
Le funzioni iperboliche sono definite in R tramite la funzione esponenziale ex nel seguente
modo:
ex − e−x
sinh(x) =
2
x
e + e−x
cosh(x) =
2
sinh(x)
ex − e−x
tanh(x) =
= x
cosh(x)
e + e−x
Proposizione 4.1.9 (Relazione fondamentale della goniometria iperbolica). Si verifica
immediatamente che
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
• La funzione seno iperbolico è crescente in tutto il suo dominio, è negativa nell’intervallo (−∞, 0) e positiva nell’intervallo (0, +∞), si annulla nel punto x = 0. Inoltre,
è simmetrica rispetto all’origine.
• La funzione coseno iperbolico è decrescente nell’intervallo (−∞, 0) e crescente nell’intervallo (0, +∞); è sempre positiva ed è simmetrica rispetto all’asse y. Si ha
inoltre cosh(0) = 1.
• La funzione tangente iperbolica é crescente in tutto il suo dominio, è negativa nell’intervallo (−∞, 0) e positiva sull’intervallo (0, +∞), si annulla nel punto x = 0.
Inoltre, è simmetrica rispetto all’origine.
4.1.6
Funzioni inverse
Oltre a queste funzioni elementari, sono definite in opportuni intervalli del dominio le loro
funzioni inverse, che si indicano con il prefisso arc:
y = arcsin(x),
y = arccos(x),
y = arcsinh(x),
4.2
y = arctan(x),
y = arccosh(x),
y = arccot(x)
y = arctanh(x)
Appendice: leggi delle funzioni trigonometriche
Enunceremo (senza dimostrazione), le seguenti formule trigonometriche:
cos(π − α) = − cos α
sin(π − α) = sin α
cos(π + α) = − cos α
sin(π + α) = − sin α
tan(π − α) = − tan α
tan(π + α) = tan α
4.2. APPENDICE: LEGGI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
cos(2π − α) = cos α
sin(2π − α) = − sin α
tan(2π − α) = − tan α
cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α
π
π
π
cos
− α = sin α sin
− α = cos α tan
− α = cot α
2
2
2
π
π
π
+ α = − sin α sin
+ α = cos α tan
+ α = − cot α
cos
2
2
2
Formule di addizione e di sottrazione
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
cot(α + β) =
cot α cot β − 1
cot α + cot β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
cot(α − β) =
cot α cot β + 1
cot β − cot α
Formule di duplicazione, di linearità e di bisezione
sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1
2 tan α
1 − tan2 α
1 + cos(2α)
cos2 α =
2
1 − cos(2α)
sin2 α =
2
sin2 α
1 − cos(2α)
tan2 α =
=
2
cos α
1 + cos(2α)
tan(2α) =
s
α
1 + cos α
cos
=±
2
2
s
α
1 − cos α
sin
=±
2
2
α
1 − cos α
tan
=±
2
1 + cos α
s
Formule parametriche Sia t = tan
cos α =
1 − t2
1 + t2
α
2
con α 6= π + 2kπ
sin α =
2t
1 + t2
tan α =
2t
1 − t2
61
62
CAPITOLO 4. FUNZIONI ELEMENTARI REALI
Formule di prostaferesi e di Werner
sin p + sin q = 2 sin
cos p + cos q = 2 cos
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
cos
2
2
sin p − sin q = 2 cos
cos p − cos q = −2 sin
p+q
p−q
sin
2
2
p+q
p−q
sin
2
2
1
1
[sin(α + β) + sin(α − β)] cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)]
2
2
1
1
sin α sin β = − [cos(α + β) − cos(α − β)] cos α sin β = [sin(α + β) − sin(α − β)]
2
2
Formule dell’angolo aggiunto

√


a2 + b 2
A
=


b
a sin x + b cos x = A sin(x + φ) ⇔ cos φ = √a2a+b2 ⇔ tan φ =

a


sin φ = √ b
a2 +b2
sin α cos β =
Arcotangente

 π se x > 0
1
= 2π
arctan(x) + arctan
−
x
se x < 0
2
Capitolo 5
Limiti
Significato dei termini definitivamente e frequentemente Sia P (n) una certa
proprietà. Diciamo che P (n) è vera definitivamente se
∃n0 ∈ N | ∀n > n0 P (n) è vera
Questa nozione si amplia naturalmente a predicati riguardanti i numeri reali.
Diciamo che P (n) è frequentemente vera se è vera per una famiglia infinita di indici:
∀n ∈ N, ∃m ∈ N, m > n | P (m) è vera
Prime definizioni
Definizione 5.0.1. Sia x0 ∈ R e δ ∈ R+ . Si dice intorno di x0 di raggio δ l’insieme
I(x0 , δ) = (x0 − δ, x0 + δ)
Si definisce intorno destro l’insieme
I(x+
0 , δ) = (x0 , x0 + δ)
Si definisce intorno sinistro l’insieme
I(x−
0 , δ) = (x0 − δ, x0 )
Definizione 5.0.2. Dato l’insieme A ⊆ R e x0 ∈ R, si dice che x0 è punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno I di x0 esiste almeno un elemento x diverso da
x0 ed appartenente ad A, ovvero:
∀I(x0 ) ∃x ∈ A | x ∈ I(x0 ), x 6= x0
Generalizzeremo le due definizioni date per spazi metrici nei prossimi capitoli.
5.1
5.1.1
Limiti di successioni
Definizioni
Definizione 5.1.1. Sia {an }n∈N una successione. Si dice che l è il limite finito della
successione {an }n∈N se
∀ε > 0, ε ∈ R, ∃N ∈ N | |an − l| < ε ∀n > N
63
64
CAPITOLO 5. LIMITI
Scriveremo:
lim an = l
n→∞
oppure
an → l
In questo caso si dice che la successione converge a l. Se l = 0, diciamo che la successione
{an }n∈N è infinitesima.
Definizione 5.1.2. Sia {an }n∈N una successione. Si dice che an tende a +∞ se
∀M ∈ R ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , an ≥ M
In questo caso si dice che la successione diverge a +∞.
Definizione 5.1.3. Sia {an }n∈N una successione. Si dice che an tende a −∞ se
∀M ∈ R ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , an ≤ M
In questo caso si dice che la successione diverge a −∞.
Definizione 5.1.4. Una successione il cui comportamento non rientra definitivamente
nei tre casi precedenti si dice indeterminata, ovvero non ammette limite.
Osservazione 5.1.5. Con la notazione data, le suddette definizioni si rendono come
segue:
an → l ∈ R ⇔ ∀ε > 0, ε ∈ R, |an − l| < ε definitivamente
an → +∞ ⇔ ∀M ∈ R, an ≥ M definitivamente
an → −∞ ⇔ ∀M ∈ R, an ≤ M definitivamente
Riassumendo, ci sono 4 possibilità per le successioni:
- il limite l esiste ed è finito (la successione converge a l);
- il limite è +∞ (la successione diverge a +∞);
- il limite è −∞ (la successione diverge a −∞);
- il limite non esiste (la successione non ammette limite).
Definizione 5.1.6. Sia {an }n∈N una successione. Si dice che an tende a l dall’alto se
∀ε > 0 l ≤ an ≤ l + ε definitivamente
e si scrive an → l+ .
Definizione 5.1.7. Sia {an }n∈N una successione. Si dice che an tende a l dal basso se
∀ε > 0 l − ε ≤ an ≤ l definitivamente
e si scrive an → l− .
Osservazione 5.1.8. Per le definizioni date, è immediato osservare che il comportamento
al limite di una successione non dipende dai dalla natura dei primi n termini.
65
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
Esempio 5.1.9.
• an = n2
lim an = +∞
n→∞
Infatti, ∀n ∈ N, si ha n ≤ n2 . Allora, concludiamo osservando che la definizione di
limite è verificata.
• an = 835 − n3
lim an = −∞
n→∞
Infatti, se n > 10, si ha 835 − n3 < n e si conclude osservando che la definizione di
limite è verificata.
• an =
1
n4
lim an = 0+
n→∞
La successione è infinitesima, perchè vale la seguente disuguaglianza:
∀n ∈ N 0 <
1
1
<
4
n
n
Si conclude applicando il criterio di confronto per successioni infinitesime.
• an = (−1)n
lim an non esiste
n→∞
Infatti, si ha:

1
an = 
−1
n pari
n dispari
Allora, la successione non assume nessuno dei comportamenti enunciati.
5.1.2
Primi teoremi e proprietà
Teorema 5.1.10. Sia {an }n∈N una successione convergente a l ∈ R. Allora {an }n∈N è
limitata, ovvero
∃A, B ∈ R | ∀n ∈ N A ≤ an ≤ B
Dimostrazione. Per definizione di limite
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N | l − ε ≤ an ≤ l + ε ∀n ≥ n0
Scelto ε = 1, basta porre
B = max{a0 , a1 , . . . , an0 −1 , l + 1}
A = min{a0 , a1 , . . . , an0 −1 , l − 1}
e si trova la tesi, perche i due insiemi sono finiti.
Esempio 5.1.11. In generale, è falso il vicerversa: la successione an = (−1)n è limitata,
ma non ha limite.
Teorema 5.1.12 (Unicità del limite). Sia {an }n∈N una successione. Se an → l ∈ R,
allora tale limite è unico.
66
CAPITOLO 5. LIMITI
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo an → l1 e an → l2 con l1 < l2 . Poniamo ε =
l2 −l1
. Per definizione di limite si ha:
2
|an − l2 | < ε definitivamente
|an − l1 | < ε
Utilizzando la disuguaglianza triangolare, si ha:
|l1 − l2 | = |(l1 − an ) + (an − l2 )| ≤ |an − l1 | + |an − l2 | < 2ε = l2 − l1 ≤ |l2 − l1 |
Da cui si giunge a
|l2 − l1 | < |l2 − l1 |
che è assurdo.
Teorema 5.1.13 (Permanenza del segno). Sia {an }n∈N una successione. Se an → +∞
o an → l > 0, allora
∃N ∈ N | an > 0 ∀n > N
Dimostrazione. Se an → +∞, per definizione
∀M > 0, an ≥ M > 0 definitivamente
Se an → l > 0, per definizione
∀ε > 0 |an − l| < ε definitivamente
In particolare, an ≥ l − ε. Ponendo ε =
an ≥
l
2
si ha
l
> 0 definitivamente
2
Teorema 5.1.14 (Assoluta convergenza). Sia {an }n∈N successione convergente a un limite (finito o infinito) l. Allora la successione dei valori assoluti {|an |}n∈N converge a
|l|.
Dimostrazione. Si vuole dimostrare che
lim |an | = |l|
n→+∞
Per la disuguaglianza triangolare inversa:
||an | − |l|| ≤ |an − l|
Per ipotesi
Dunque
∀ε > 0 |an − l| ≤ ε definitivamente
||an | − |l|| ≤ ε definitivamente
.
Teorema 5.1.15 (Limite di successioni monotone). Sia {an }n∈N successione monotona.
Allora ammette limite, finito o infinito. Il limite è dato dall’estremo superiore (crescente)
o inferiore (decrescente). Dunque tale limite è finito se la successione è limitata.
{an }n∈N crescente ⇒ lim an = sup{an }
n→+∞
N
{an }n∈N decrescente ⇒ lim an = inf {an }
n→+∞
N
67
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
Dimostrazione. Supponiamo {an }n∈N crescente (la dimostrazione è analoga se è decrescente).
Se la successione è illimitata, allora
∀M > 0 ∃n ∈ N | an > M
Per monotonia, si ha che questa proprietà è definitivamente vera; allora, è verificata la
definizione di limite:
lim an = +∞
n→+∞
Se la successione è limitata, sia l = sup{an }. Per definizione di estremo superiore, si ha:
N
∀ε > 0 ∃N ∈ N | aN > l − ε
Per monotonia, si ha che questa proprietà è definitivamente vera; allora, è verificata la
definizione di limite:
lim an = l
n→+∞
Teorema 5.1.16 (Somma e prodotto di successioni). Se {an }n∈N e {bn }n∈N sono successioni convergenti con an → l1 ∈ R e bn → l2 ∈ R, allora:
1. ∀c ∈ R
2.
3.
4.
lim c · an = c · l1
n→+∞
lim (an ± bn ) = l1 ± l2
n→+∞
lim (an · bn ) = l1 · l2
n→+∞
lim
n→+∞
l1
an
=
se bn 6= 0 ∀n e l2 6= 0
bn
l2
1. Si riconduce alla 3) considerando una successione costante.
Dimostrazione.
2. Per la disuguaglianza triangolare, è definitivamente vero che
∀ε > 0, |an − l1 + bn − l2 | ≤ |an − l1 | + |bn − l2 | <
ε ε
+ =ε
2 2
Per la sottrazione si procede in maniera analoga.
3. {an }n∈N è limitata, dunque ∃M > 0 | |an | ≤ M ∀n ∈ N. Allora
|an · bn − l1 · l2 | = |an · bn − an · l2 + an · l2 − l1 · l2 | =
= |an · (bn − l2 ) + l2 · (an − l1 )| ≤ |an ||bn − l2 | + |l2 ||an − l1 |
Posto N = max(M, |l2 | + 1) allora:
|an ||bn − l2 | + |l2 ||an − l1 | ≤ N · |bn − l2 | + N · |an − l1 | = N (|bn − l2 | + |an − l1 |)
Dato che {an }n∈N e {bn }n∈N sono convergenti
∀ε > 0 |an − l1 | <
ε
2N
|bn − l2 | <
ε
definitivamente
2N
Infine, si ha:
|an · bn − l1 · l2 | < N (|an − l1 | + |bn − l2 |) < N (
ε
ε
+
)=ε
2N
2N
68
CAPITOLO 5. LIMITI
4. Dimostriamo che
1
1
→
bn
l2
e concludiamo applicando il punto 3).
Per definizione
∀ε > 0 |an − l1 | < ε definitivamente
Per 0 < ε <
|l1 |
2
si ha:
|l1 | = |−an + l1 + an | ≤ |l1 − an | + |an | < ε + |an | <
Da cui |an | >
|l1 |
.
2
Passando ai reciproci si ha
1
|an |
<
2
.
|l1 |
|l1 |
+ |an |
2
Infine, si ha:
1 l1 − an |l1 − an | 1
1
2ε
=
− = ·
<
l1 · an an l1
|l1 |
|an |
|l1 |2
Teorema 5.1.17 (Teorema del confronto). Siano {an }n∈N e {bn }n∈N successioni, con
an < bn ∀n ∈ N. Allora an → +∞ ⇒ bn → +∞ e bn → −∞ ⇒ an → −∞
Dimostrazione. Se an → +∞ allora ∀M > 0 an > M definitivamente. Dunque bn > an >
M definitivamente.
In modo del tutto analogo si verifica la seconda parte della tesi.
Teorema 5.1.18 (Teorema dei carabinieri). Siano {an }n∈N , {bn }n∈N e {cn }n∈N tre successioni tali che an ≤ bn ≤ cn ∀n ∈ N. Se an → l e cn → l, allora bn → l.
Dimostrazione. Per definizione ∀ε > 0 è definitivamente vero che
l − ε ≤ an ≤ l + ε l − ε ≤ c n ≤ l + ε
Allora
l − ε ≤ an ≤ b n ≤ c n ≤ l + ε ⇒ b n → l
Teorema 5.1.19 (Teorema di Bolzano-Weierstrass). Sia {xn }n∈N una successione di
numeri reali limitata. Allora esiste una sottosuccessione {xnk }k∈N convergente.
Dimostrazione. Per ipotesi esistono a0 e b0 tali che a0 ≤ xn ≤ b0 ∀n ∈ N. Si consideri ora
l’intervallo I0 = [a0 , b0 ]. Tutti i termini della successione appertengono a tale intervallo,
0
. Dividiamo l’intervallo in due sottoinin cui possiamo definire il punto medio c0 = a0 +b
2
tervalli [a0 , c0 ] e [c0 , b0 ].
Uno dei due intervalli contiene infiniti termini della successione {xn }n∈N . Senza perdita
di generalità, supponiamo che [a0 , c0 ] contenga infiniti termini della successione {xn }n∈N .
Poniamo a1 = a0 e b1 = c0 .
Denominiamo il nuovo intervallo I1 = [a1 , b1 ], di ampiezza:
b 1 − a1 = c 0 − a0 =
b 0 + a0
b 0 − a0
− a0 =
2
2
Si itera il processo, ottenendo il sottoinsieme I2 = [a2 , b2 ], dove a2 = a1 , b2 = c1 e c1 é il
suo punto medio (oppure a2 = c1 e b2 = b1 , dipende dal sottoinsieme che contiene infiniti
termini della successione). I2 ha ampiezza:
b 2 − a2 = c 1 − a1 =
a1 + b 1
b 1 − a1
b 0 − a0
− a1 =
=
2
2
22
69
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
Generalizziamo il processo: nell’intervallo Ik = [ak , bk ], si costruisce il punto medio ck =
ak +bk
. Si prende in considerazione un sottoinsieme di Ik tra [ak , ck ] e [ck , bk ] che contiene
2
infiniti termini della successione. Supponendo [ak , ck ] l’intervallo in questione, poniamo
ak+1 = ak , bk+1 = ck e Ik+1 = [ak+1 , bk+1 ].
L’ampiezza di Ik+1 é
b 0 − a0
bk+1 + ak+1 = k+1
2
Procedendo in questo modo si ottengono:
• Una sequenza di intervalli Ik = [ak , bk ] con Ik+1 ⊆ Ik ∀n ∈ N
• Due sottosuccessioni di numeri reali {ak }k∈N e {bk }k∈N tali che
ak ≤ ak+1 ≤ bk+1 ≤ bk ∀n ∈ N
Si osserva che le due sottosuccessioni sono limitate e monotone, dunque convergenti.
Poniamo
lim ak = a e lim bk = b
k→+∞
Consideriamo la differenza bk − ak =
k→+∞
b0 −a0
.
2k
Passando al limite, otteniamo:
lim (bk − ak ) = lim
k→+∞
k→+∞
b 0 − a0
2k
da cui b − a = 0 e dunque b = a.
Scegliamo un termine della successione {xn }n∈N appartenente all’intervallo I0 che denotiamo con xn0 . Ripetiamo tale scelta per I1 scegliendo xn1 ; iteriamo il processo scegliendo
termini dagli intervalli in modo che al passo k-esimo otteniamo xnk ∈ Ik . Abbiamo
estratto una sottosuccessione (xnk )k∈N tale che:
∀k ∈ N ak ≤ xnk ≤ bk
Per il teorema dei carabinieri si ha che xnk → a. Dunque {xnk }k∈N è la sottosuccessione
cercata.
Osservazione 5.1.20. Per le definizioni poste, abbiamo provato che ogni sottoinsieme
della retta reale del tipo [a, b] ammette un punto di accumulazione.
Osservazione 5.1.21. Il teorema di Bolzano-Weierstrass non fornisce un algoritmo generale per trovare la sottosuccessione che non è necessariamente unica. Sia an = (−1)n .
Si ha a2n = 1 è convergente a 1 e a2n+1 = −1 è convergente a −1.
Osservazione 5.1.22. La limitatezza della successione è una condizione necessaria e non
sufficiente per la convergenza della successione. Sia {an }n∈N definita come segue:
an =

n
1
n
n pari
n dispari
Da an si può estrarre la sottosuccessione bn = a2n+1 =
1
2n+1
che converge.
Teorema 5.1.23 (Condizione necessaria e sufficiente di esistenza del limite). Sia {an }n∈N
una successione. an → l se e solo se ogni sottosuccessione convergente ha come limite l.
70
CAPITOLO 5. LIMITI
Dimostrazione. ⇒)
an → l ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N | ∀n ≥ N0 |an − l| < ε
Poiché nk ≥ k, allora
k ≥ N0 ⇒ |ank − l| ≤ ε ⇒ ank → l
⇐)
Per assurdo, supponiamo an 9 l. Allora
∃ε0 > 0 | ∀k ∈ N ∃nk ≥ k | |ank − l| ≥ ε0
Per il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste una sottosuccessione di {ank }k∈N convergente.
Chiamiamo b tale limite.
Allora per la disequazione precedente, si ha |b − l| ≥ ε0 . Questo è assurdo poichè ogni
sottosuccessione di an convergente ha come limite l per ipotesi. Dunque an → l.
Corollario 5.1.24. Se una successione ammette due sottosuccessioni con limiti distinti,
allora non ha limite (è indeterminata).
Dimostrazione. Segue dal risultato precedente.
Teorema 5.1.25 (Condizione necessaria e sufficiente di convergenza). Sia {an }n∈N una
successione. La successione ha limite finito l se e solo se è di Cauchy.
Dimostrazione. ⇒)
Per ipotesi, an → l. Allora
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N | ∀n > n0 |an − l| <
ε
⇒
2
|an − am | = |an − l + l − am | ≤ |an − l| + |am − l| <
ε ε
+
2 2
ovvero la successione è di Cauchy.
⇐)
Se {an }n∈N è una successione di Cauchy, è limitata, ovvero
∃R ∈ R | ∀n ∈ N, |an | < R
Possiamo applicare il teorema di Bolzano-Weierstrass nell’intervallo [−R, R], estraendo
una sottosuccessione {ank }k∈N convergente ad l. Allora è definitivamente vero che
∀ε > 0 |ank − l| < ε
{an }n∈N è una successione di Cauchy: allora è definitivamente vero che
∀ε > 0 |an − am | < ε
In conclusione, è definitivamente vero che
∀ε > 0 |an − l| = |an − ank + ank − l| < |an − ank | + |ank − l| < 2ε
ovvero an → l.
71
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
5.1.3
Limite inferiore e superiore per successioni
Definizioni
Definizione 5.1.26 (Limite superiore). Sia {an }n∈N una successione di numeri reali.
• Se {an }n∈N non è limitata superiormente, si pone
lim sup an = +∞
n→+∞
• Se {an }n∈N è limitata superiormente, si considera la successione di numeri reali
bk = sup {an | n ≥ k}
∀k ∈ N
Si pone
lim sup an = lim bk
k→+∞
n→+∞
Osservazione 5.1.27. La successione {bk }k∈N è debolmente decrescente: vale bk+1 ≤ bk
in quanto, l’insieme di cui bk è l’estremo superiore contiene quello di cui bk+1 è l’estremo
superiore. Allora ammette limite e vale:
lim sup an = lim bk = inf bk
k→+∞
n→+∞
k≥0
Definizione 5.1.28 (Limite inferiore). Sia {an }n∈N una successione di numeri reali.
• Se {an }n∈N non è limitata inferiormente si pone
lim inf an = −∞
n→+∞
• Se {an }n∈N è limitata inferiormente si considera la successione di numeri reali
ck = inf {an | n ≥ k}
∀k ∈ N
Si pone
lim inf an = lim ck
n→+∞
k→+∞
Osservazione 5.1.29. Come osservato in precedenza, la successione {ck }k∈N debolmente
crescente. Quindi:
lim inf an = lim ck = sup ck
n→+∞
k→+∞
k≥0
Osservazione 5.1.30. Per le definizioni poste, il limite inferiore e il limite superiore di
una successione esistono sempre perchè definiti come limiti di successioni monotone.
Esempio 5.1.31. Sia an = (−1)n . Calcolare lim sup an e lim inf an .
Iniziamo calcolando lim sup. Dobbiamo costruire la successione {bk }k∈N . Per definizione,
bk = sup{an | ∀n > k}. Calcoliamo il valore di bk :

k
k
= 2m + 1
= 2m
bk = sup{−1, 1, −1, 1, −1, 1 . . . } = 1
bk = sup{1, −1, 1, −1, 1, −1 . . . } = 1
In conclusione, la successione {bk }k∈N è costante ed il suo limite è 1.
In modo analogo si procede per calcolare lim inf an . Quindi
lim sup an = 1
n→+∞
lim inf an = −1
to+∞
72
CAPITOLO 5. LIMITI
Caratterizzazione di liminf e limsup
Proposizione 5.1.32. Per ogni succesione {an }n∈N reale, si ha:
lim inf an ≤ lim sup an
n→+∞
n→+∞
Dimostrazione. Per definizione, per calcolare lim sup e lim inf si considerano ∀k ∈ N,
estremo superiore e inferiore dello stesso insieme {an | n ≥ k} e vale sempre inf ≤ sup.
Indicando con {ck }k∈N la successione degli inf e con {bk }k∈N la successione dei sup, vale
∀k ∈ N ck ≤ bk .
Passando al limite:
lim ck ≤ lim bk ⇒ lim inf an ≤ lim sup an
k→+∞
n→+∞
k→+∞
n→+∞
Proposizione 5.1.33. Siano {an }n∈N e {bn }n∈N due successioni tali che an ≤ bn ∀n ∈ N.
Allora
lim inf an ≤ lim inf bn lim sup an ≤ lim sup bn
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Dimostrazione. Siano
cak = sup {an | n ≥ k}
dak = inf {an | n ≥ k}
cbk = sup {bn | n ≥ k}
dbk = sup {bn | n ≥ k}
Per ipotesi, si ha:
∀k ∈ N, cak ≤ cbk
dak ≤ dbk
Passando ai limiti, si ottiene:
lim cak ≤ lim cbk ⇔ lim sup an ≤ lim sup bn
k→+∞
k→+∞
n→+∞
n→+∞
lim dak ≤ lim dbk ⇔ lim inf an ≤ lim inf bn
k→+∞
n→+∞
k→+∞
n→+∞
Proposizione 5.1.34 (Caratterizzazione di limsup). Sia {an }n∈N una successione reale.
Allora:
1. lim sup an = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃n ∈ N
n→+∞
an ≥ M
2. lim sup an = −∞ ⇐⇒ lim an = −∞
n→+∞
n→+∞
3. lim sup an = l ∈ R ⇐⇒ ∀ε > 0 an ≤ l + ε definitivamente e an ≥ l − ε frequenten→+∞
mente.
Dimostrazione.
1. Ovvio, per definizione di lim sup.
2. lim sup an = −∞ equivale a dire che se bk = sup {an | n ≥ k}, si ha
n→+∞
lim bk = −∞
k→+∞
Allora
∀M < 0 ∃k0 ∈ N | bk0 ≤ M ⇐⇒ sup {an | n ≥ k0 } ≤ M ⇐⇒
∀n > k0 , an ≤ M ⇐⇒ lim an = −∞
n→+∞
73
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
3. Sia bk = sup {an | n ≥ k}.
lim sup an = l ⇔ lim bk = l ⇔ ∀ε > 0 ∃k0 ∈ N | ∀k > k0 |bk − l| ≤ ε
k→+∞
Allora
∃n0 | sup {an | n ≥ k} ≤ l + ε ∀n ≥ n0 ⇒
∀n > n0 an < bn0 < l + ε
Inoltre:
sup {an | n ≥ k} ≥ l − ε ⇒ ∃m0 | am0 ≥ l − ε
In caso contrario, risulterebbe an ≤ l − ε definitivamente, cioè bk ≤ l − ε definitivamente, che è assurdo.
Proposizione 5.1.35 (Caratterizzazione di liminf). Sia {an }n∈N una successione reale.
Allora:
1. lim inf an = −∞ ⇔ ∀M > 0 ∃n ∈ N | an ≤ M
n→+∞
2. lim inf an = +∞ ⇔ lim an = +∞
n→+∞
n→+∞
3. lim inf an = l ∈ R ⇔ ∀ε > 0 an ≥ l − ε definitivamente e an ≤ l + ε frequentemente.
n→+∞
Dimostrazione. Le verifiche sono del tutto analoghe a quelle appena svolte.
Teorema 5.1.36. Data la successione {an }n∈N , si ha:
lim inf an = lim sup an = l
n→+∞
⇐⇒
n→+∞
lim ak = l
n→+∞
Dimostrazione. Se l = ±∞ la tesi è ovvia per la proposizione precedente.
Supponiamo l ∈ R.
=⇒) Siano
bk = sup{an | n > k} ck = inf{an | n > k}
Per ipotesi, abbiamo:
lim sup an = lim bk = l
n→∞
k→∞
lim
inf an = lim ck = l
n→∞
k→∞
Per definizione di limite di successione, vale:
∀2ε > 0 ∃n1 ∈ N | ∀N1 > n1
∀ε > 0 ∃n2 ∈ N | ∀N2 > n2
l − 2ε ≤ bN1 ≤ l + 2ε
l − ε ≤ cN 2 ≤ l + ε
Scelto n = max(n1 , n2 ), sottraendo le disuguaglianze membro a membro, si ha:
∀N > n
− ε ≤ bN − cN ≤ ε ⇔ lim (bn − an ) = 0
n→∞
{bn }n∈N e {cn }n∈N sono successioni di sup ed inf di uno stesso insieme {an | n > k}. Dato
che la loro differenza tende a 0, allora questo implica che an → l, essendo ∀n ∈ N cn <
an < bn .
⇐=) Per definizione di limite, si ha:
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N | ∀N > n0 l − ε ≤ aN ≤ l + ε
74
CAPITOLO 5. LIMITI
Siano
bn0 = sup{an | n > n0 } cn0 = inf{an | n > n0 }
Allora vale
l − ε ≤ aN ≤ · · · ≤ bn0 < l + ε l − ε < cn0 ≤ · · · ≤ aN ≤ l + ε
Proposizione 5.1.37. Siano {an }n∈N e {bn }n∈N due successioni e λ ∈ R.
lim inf an + lim inf bn ≤ lim inf (an + bn ) ≤ lim sup (an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Inoltre:
• λ>0
lim sup (λan ) = λ lim sup an
n→+∞
n→+∞
lim inf (λan ) = λ lim inf an
n→+∞
• λ<0
n→+∞
lim sup (λan ) = λ lim inf an
n→+∞
n→+∞
lim inf (λan ) = λ lim sup an
n→+∞
n→+∞
In particolare:
lim sup (−an ) = − lim inf an
n→+∞
n→+∞
lim inf (−an ) = − lim sup an
n→+∞
n→+∞
Dimostrazione. Le verifiche comportano esclusivamente l’applicazione delle definizioni.
5.1.4
Criteri di convergenza per successioni
Proposizione 5.1.38 (Criterio della radice). Sia {an }n∈N una successione definitivamente positiva. Allora:
√
lim inf( n an ) > 1 ⇒ an → +∞
√
lim sup( n an ) < 1 ⇒ an → 0
√
Dimostrazione. Sia lim inf( n an ) = L > 1, allora definitivamente
√
n
1+L
1+L
an ≥
⇒ an ≥
2
2
n
Dunque si ha la tesi per confronto.
√
Sia lim sup( n an ) = L < 1, allora definitivamente
0≤
√
n
1+L
1+L
an ≤
⇒ 0 ≤ an ≤
2
2
Dunque si ha la tesi per confronto.
n
75
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
Proposizione 5.1.39 (Criterio del rapporto). Sia {an }n∈N una successione definitivamente positiva. Allora:
an+1
lim inf
> 1 ⇒ an → +∞
an
an+1
lim sup
< 1 ⇒ an → 0
an
an+1
Dimostrazione. Sia lim inf
= L > 1; allora definitivamente
an
1+L
1+L
an+1
≥
⇒ an+1 ≥
· an
an
2
2
Allora, si ha:
L+1 n
· a1
an+1 ≥
2
come si verifica
facilmente
per induzione. Passando al limite, si ha la tesi per confronto.
an+1
Sia lim sup
= L < 1; allora definitivamente
an
1+L
1+L
an+1
≤
⇒ an+1 ≤
· an
an
2
2
Allora, si ha:
L+1 n
· a1
an+1 <
2
come si verifica facilmente per induzione. Passando al limite, si ha la tesi per confronto.
Proposizione 5.1.40 (Criterio rapporto-radice). Sia {an }n∈N una successione definitivamente positiva. Allora:
lim inf
an+1
an
√
√
an+1
≤ lim inf ( n an ) ≤ lim sup ( n an ) ≤ lim sup
an
Dimostrazione. Dimostriamo la disuguaglianza di destra (per quella di sinistra si procede
in modo analogo).
Supponiamo
an+1
=L∈R
lim sup
an
In modo analogo, si procede se L = 0 oppure L = +∞. Fissato ε > 0
∃n0 ∈ N |
an+1
≤ L + ε ∀n ≥ n0
an
Dunque
an ≤ (L + ε)
n−n0
an0 ⇒
√
n
an ≤
q
n
(L +
s
ε)n−n0 a
n0
= (L + ε) n
an0
(L + ε)n0
√
⇒ lim sup( n an ) ≤ L + ε
Corollario 5.1.41. Sia {an }n∈N una successione definitivamente positiva. Allora:
lim
an+1
an
√
= L ⇒ lim( n an ) = L
76
CAPITOLO 5. LIMITI
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal risultato precedente.
Osservazione 5.1.42. Se il limite del rapporto o il limite della radice n-esima valgono 1
non si può concludere nulla dall’applicazione dei criteri enunciati. In particolare, l’ultimo
teorema afferma che il criterio della radice rappresenta una stima migliore rispetto a quello
del rapporto.
5.1.5
Limiti notevoli
Proposizione 5.1.43. Sia {xn }n∈N una successione. Valogono le seguenti relazioni, di
verifica immediata:
m
1. xn → x ⇒ xm
n → x
Questa relazione vale:
• ∀m ∈ N
• ∀m ∈ Z, x 6= 0
• ∀m ∈ Q, x > 0, xn > 0 ∀n ∈ N
• se m ∈ R e xn > 0 ∀n ∈ N e xn → x 6= 0
2. ∀a > 0, xn → 0 ⇒ axn → 1.


0




+∞
3. q n = 

1




non ha limite
|q| < 1
q>1
q=1
q < −1
Proposizione 5.1.44. Valgono le seguenti relazioni:

h i
ar


sgn
(−1)r−k ∞

bk

ar n r + · · · + a1 n + a0
lim
= ab r

k
n→±∞ bk nk + . . . b1 n + b0


0
r>k
r=k
r<k
Dimostrazione. Basta effettuare il seguente raccoglimento:
lim
n→±∞
nr ar + · · · +
ar n + · · · + a1 n + a0
= lim
n→±∞ nk b + · · · +
bk nk + . . . b1 n + b0
k
r
a1
nr−1
b1
nk−1
+
+
a0
nr
b0
bk
Si conclude applicando i risultati dimostrati.
Numero di Nepero
1 n
1 n+1
e βn = 1 +
convergono allo
n
n
stesso limite. Tale limite è detto numero di Nepero ed indicato con e = 2, 718 . . ., di cui
dimostreremo in seguito l’irrazionalità.
Teorema 5.1.45. Le successioni αn =
1+
Dimostrazione. Dimostriamo che {αn }n∈N è crescente. Infatti vale la disequazione:
1
1+
n
n
1
≤ 1+
n+1
n+1
77
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
Riscrivendo si ha:
(n + 1)n
(n + 2)n+1
nn+1 · (n + 2)n+1
> (n + 1)n · n ⇔
<
⇔
n+1
n
n+1
n
(n + 1)
(n + 1)
nn+1 · (n + 2)n+1
nn+1 · (n + 2)n+1
n
⇔
>
n
⇔
>
2n+1
2(n+1)
(n + 1)
(n + 1)
n+1
⇔
⇔
n · (n + 2)
(n + 1)2
!n+1
n2 + 2n + 1
1
−
(n + 1)2
(n + 1)2
n+1−1
⇔
>
n+1
1
⇔ 1−
(n + 1)2
!n+1
>1−
!n+1
>1−
1
⇔
n+1
1
n+1
1
Usando la disequazione di Bernoulli e ponendo θ = − (n+1)
2 (si ha θ > −1), si ottiene:
1
1−
(n + 1)2
!n+1
= (1 + θ)n+1 ≥ 1 + (n + 1) θ = 1 −
1
n+1
e dunque {αn }n∈N è crescente.
In modo analogo, si dimostra che {βn }n∈N è decrescente.
Mostriamo che {αn }n∈N limitata e ∀n ∈ N 2 ≤ αn ≤ 3. Dalla disuguaglianza di Bernoulli,
ponendo x = n1 si ha:
1
∀n ∈ N ∀x > −1 (1 + x) ≥ 1 + nx ⇒ αn = 1 +
n
n
n
≥1+n·
1
=1+1=2
n
Usando l’espansione del binomio di Newton, si ha:
1
αn = 1 +
n
n
=
n
X
k=0
1
n
! k
n
k
=
n 1
n 1
n 1
n 1
=1+
+
+
+ ··· +
=
2
3
1 n
2 n
3 n
n nn
!
=1+n·
≤1+1+
!
!
!
1 n(n − 1) 1
n(n − 1)(n − 2) 1
n! 1
+
· 2+
· 3 + ··· +
·
≤
n
2!
n
3!
n
n! nn
1
1
1
1 1
1
+ + ··· +
≤ 1 + 1 + + + · · · + n−1 ≤ 1 + 2 = 3
2! 3!
n!
2 4 {z
2 }
|
≤2, come si prova per induzione
1
Denotiamo lim αn = 1 +
n→+∞
n
1
lim βn = 1 +
n→+∞
n
n
n+1
= e. Inoltre:
= lim
n→+∞
1
1+
n
n
· lim
n→+∞
1
1+
=e·1=e
n
Quindi le successioni {αn }n∈N e {βn }n∈N tendono entrambe ad e.
78
CAPITOLO 5. LIMITI
Relazioni tra ordini di infinito
Proposizione 5.1.46. Sia n ∈ N valgono definitivamente le seguenti disuguaglianze:
1. Siano a, b reali positivi, allora si ha che nb > lna n definitivamente;
2. Siano a, b reali positivi, ∀a > 1 si ha che an > nb definitivamente;
3. Sia a reale, tale che a > 1, allora si ha che an < n! definitivamente;
4. Si ha che nn > n! definitivamente;
5. Sia a reale, tale che a > 1, allora si ha che nn < an definitivamente.
2
Dimostrazione.
1. Si osserva che dimostrare questa relazione è equivalente a dimostrare
lna n
=0
n→+∞ nb
lim
Tramite la sostituzione ln n = t, si ottiene:
lna n
ta
=
nb
(eb )t
Si conclude sfruttando la disugualianza 2) riadattata per i numeri reali (che è analoga
per gli interi positivi).
2. Si osserva che dimostrare questa relazione è equivalente a dimostrare che
nb
=0
n→+∞ an
lim
Applichiamo il criterio del rapporto, chiamando αn =
nb
:
an
1
αn+1
(n + 1)b an
1
=
=
1+
n+1
b
αn
a
n
a
n
Passando al limite, si ha:
lim
n→+∞
b
1
αn+1
= <1
αn
a
Quindi {αn }n∈N è infinitesima.
3. Si osserva che dimostrare questa relazione è equivalente a dimostare che
an
=0
n→+∞ n!
lim
Applichiamo il criterio del rapporto, chiamando αn =
an
:
n!
αn+1
an+1 n!
a
=
=
n
αn
(n + 1)! a
n+1
Passando al limite, si ha:
αn+1
=0<1
n→+∞ αn
lim
Quindi {an }n∈N è infinitesima.
79
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
4. Si osserva che dimostrare questa relazione è equivalente a dimostare che
lim
n→+∞
n!
=0
nn
Applichiamo il criterio del rapporto, chiamando αn =
n!
:
nn
αn+1
(n + 1)! nn
1
=
=
1
−
αn
(n + 1)n+1 n!
n+1
Passando al limite, si ha:
n
αn+1
1
= <1
n→+∞ αn
e
lim
Quindi {αn }n∈N è infinitesima.
5. Si osserva che dimostrare questa relazione è equivalente a dimostrare che
nn
lim
2 = 0
n→+∞ an
Applichiamo il criterio del rapporto, chiamando αn =
αn+1
(n + 1)n+1 an
1
1
=
= 2n+1 1 +
2
(n+1)
n
αn
a
n
a
n
2
n
nn
:
an2
n+1
1
(n + 1) = a 2 n+1 1 +
(a )
n
n
Infine, si osserva che
lim
n→+∞
1+
1
n
n
=e
n+1
=0
n→+∞ (a2 )n+1
lim
Dunque, si ha la tesi.
Osservazione 5.1.47. Le proprietà 1), 2) e 5) possono essere estese ad x ∈ R. La
dimostrazione è analoga a quella data per n ∈ N.
Successioni di seni e coseni
Teorema 5.1.48. Sia an = sin n. La successione {an }n∈N è indeterminata.
Dimostrazione. Per ogni k ∈ N, possiamo trovare nk1 , nk2 ∈ N tali che
π
≤ n1k ≤ 2kπ +
6
7
2kπ + π ≤ n2k ≤ 2kπ +
6
2kπ +
Infatti, si ha:
5
π
6
11
π
6
5
π
11
7
π− >2
π− π>2
6
6
6
6
Abbiamo costruito le successioni {n1k }k∈N , {n2k }k∈N di numeri naturali tali che
sin n1k ≥
1
2
sin n2k ≤ −
1
2
Allora la successione sin n è indeterminata perchè è frequentemente maggiore di
frequentemente minore di − 12 .
1
2
e
Osservazione 5.1.49. In maniera del tutto analoga, si prova che la successione cos n è
indeterminata.
80
5.1.6
CAPITOLO 5. LIMITI
Studio di successioni definite per ricorrenza
Esempio 5.1.50 (Successione di Newton-Raphson). Studiare il comportamento della
seguente successione:

x = 1
0
xn+1 = xn + 1
2
xn
Vale la seguente relazione
2xn xn+1 = x2n + 2
Supponiamo che esista finito il limite l di tale successione; passando al limite nella
relazione precedente, si ha:
√
2l2 = l2 + 2 ⇔ l = ± 2
Per √
induzione si verifica immediatamente che la successione è a termini positivi; dunque
l = 2. Bisogna verificare che tale limite esiste finito. Dimostriamo per induzione che
x2n ≥ 2 ∀n ∈ N.
Passo base.
3
9
x1 = ⇒ x21 =
2
4
2
Passo induttivo. Supponiamo xn ≤ 2.
x2n+1 =
x2n
1
4
1
+ 2 +1≥ + 2 +1≥2
4
xn
4 xn
Dimostriamo che {xn }n∈N è decrescente.
xn+1 ≤ xn ⇔
xn
1
≥ xn ⇔ x2n ≥ 2
+
2
xn
Avendo provato l’ultima disuguaglianza, concludiamo che la succcessione
√ è decrescente,
dunque ammette limite. Essendo limitata, il limite è finito e vale l = 2 come calcolato
in precedenza.
Esempio 5.1.51. Studiare il comportamento della seguente successione:

y
=3
yn+1 = 1 +
0
yn
4
+
1
yn
+1
Ragionando come in precedenza, si ha:
4yn+1 yn = 4yn + yn2 + 4
Passando al limite, supponendo che esista finito, si ha:
3l2 − 4l − 4 = 0 ⇒ l = 2 ∨ l = −
2
3
Essendo la successione sempre positiva, se esiste, l = 2. Verifichiamo che la successione
è decrescente, ragionando come in precedenza:
yn+1 ≤ yn ⇔ yn ≥ 2
Verifichiamo per induzione l’ultima relazione.
Passo base.
3 1
y1 = 1 + + > 2
4 3
81
5.1. LIMITI DI SUCCESSIONI
Passo induttivo. Supponendo yn ≤ 2, si ha:
yn+1 = 1 +
1
yn
1
yn
+
≤2⇔
+
≤ 1 ⇔ (yn − 2)2 ≤ 0
yn
4
yn
4
La successione è monotona e limitata, quindi converge a l = 2.
Esempio 5.1.52. Studiare il comportamento della seguente successione al variare di a ∈
[0, 1]:

x = a
1
xn+1 = 1 + xn − x2
n
Se la successione ammette limite l finito, si ha l2 = 1, ovvero l = ±1.
Se a = 0 oppure a = 1, la successione vale 1 in maniera stazionaria. Sia 0 < a < 1.
Allora
x2 = 1 + a − a2 > 1 x3 = 1 + x2 − x22 < 1
Per induzione, si prova facilmente che
x2n > 1 x2n+1 < 1
Consideriamo la sottosuccessione

x
= 1 + a − a2
x2n+2 = 1 − x4 − x2n + 2x3
2n
2n
2
Dimostriamo che è decrescente:
x2n+2 ≤ x2n ⇔ (x22n − 1)(x2n − 1)2 ≥ 0
Questa disuguaglianza è vera perchè x2n ≥ 1. La sottosuccessione è decrescente e inferiormente limitata, allora ammette limite l1 = 1.
In maniera del tutto analoga, si prova che la sottosuccessione dispari è monotona crescente e limitata, allora converge a l2 = 1. Dunque, la successione converge oscillando a
l = 1.
Esempio 5.1.53. Consideriamo la seguente successione definita per ricorrenza:

a
1
=ε>0
= ak + a3k
ak+1
Dimostrare che la successione non è limitata.
{ak }k∈N è monotona crescente; dunque, se è limitata ammette limite finito l. Passando
al limite nella relazione di ricorrenza, si ha:
l = l3 + l ⇔ l = 0
Tuttavia, la successione è definitivamente maggiore di ε, dunque non è infinitesima.
Esempio 5.1.54. Studiare la seguente successione definita per ricorrenza al variare di
a ∈ [0, 2]:

x = a
1
x
n+1
=
q
xn (2 − xn )
82
CAPITOLO 5. LIMITI
Come in precedenza, se esiste finito il limite l della successione, si ha:
l=
q
l(2 − l) ⇔ l = 0 ∨ l = 1
Osserviamo che la successione è ben definita e superiormente limitata, ovvero:
∀n ∈ N 0 ≤ xn ≤ 2
Se a = 0 oppure a = 2 la successione vale 0 in maniera stazionaria. Se a = 1 la
successione vale 1 in maniera stazionaria.√
Supponiamo a ∈ (0, 1). Vale x1 = a < 2a − a2 = x2 Supponendo 0 < xn < 1, vale
xn+1 < xn . Dunque, la successione è monotona crescente e limitata: allora tende ad
l = 1.
Se 1 < a < 2, si verifica in maniera analoga che la successione è monotona decrescente.
Inoltre la successione è definitivamente minore di 1. Infatti
q
xn (2 − xn ) < 1 ⇔ (xn − 1)2 > 0
Questa disequazione è sempre vera, allora il limite non può essere 1. Dunque vale l = 0.
5.2
Limiti di funzioni reali
Denotiamo con I(x0 , δ) l’intorno di x0 avente raggio δ.
5.2.1
Definizioni
Definizione 5.2.1 (Limite finito per x che tende a un valore finito). Sia f : A → R e x0
un punto di accumulazione per l’insieme A. Diciamo che l 6= (±∞) è il limite per x che
tende a x0 , e scriveremo
lim f (x) = l ∈ R
x→x0
se
∀ε > 0
∃δ > 0 | |f (x) − l| < ε ⇔ l − ε < f (x) < l + ε ∀x ∈ A ∩ I(x0 , δ) r {x0 }
Definizione 5.2.2 (Limite sinistro e destro). Sia f : A → R e x0 un punto di accumulazione per l’insieme A. Diciamo che l− 6= (±∞) (oppure l+ 6= (±∞)) è il limite per x che
tende a x0 da sinistra (da destra), e scriveremo
lim− f (x) = l− ∈ R ( lim+ f (x) = l+ ∈ R)
x→x0
x→x0
se
∀ε > 0 ∃δ > 0 | |f (x) − l| < ε ∀x ∈ A ∩ [x0 − δ, x0 )
(x ∈ A ∩ (x0 , x0 + δ])
Osservazione 5.2.3. È fondamentale precisare che la scelta di δ dipende da ε.
Definizione 5.2.4 (Limite infinito per x che tende a un valore finito). Sia f : A −→ R
una funzione ed x0 un punto di accumulazione per l’insieme A. Diciamo che il limite per
x che tende a x0 è +∞ (−∞), e scriveremo
lim f (x) = +∞ ( lim f (x) = −∞)
x→x0
x→x0
se
∀M ∈ R+ ∃δ > 0 | f (x) > M
(f (x) < −M ) ∀x ∈ A ∩ I(x0 , δ)
83
5.2. LIMITI DI FUNZIONI REALI
Osservazione 5.2.5. In maniera del tutto analoga, si definiscono limite destro e sinistro
per x → x0 .
Definizione 5.2.6 (Limite finito per x che tende a infinito). Sia f : A ⊂ R −→ R.
Diciamo che la funzione tende ad un valore finito l per x che tende a +∞ (x → −∞) e
scriveremo
lim f (x) = l ∈ R
x→±∞
se
∀ε > 0 ∃k ∈ R | |f (x) − l| ≤ ε ∀x ≥ k
(≤ k)
Definizione 5.2.7 (Limite infinito per x che tende a infinito). Sia f : A −→ R. Diciamo
che la funzione tende ad un valore infinito per x che tende a +∞ (x → −∞) e scriveremo
lim f (x) = +∞ (−∞)
x→±∞
se
∀M > 0
(< 0) ∃k ∈ R | f (x) > M
(< M )
∀x ≥ k(≤ k)
Osservazione 5.2.8. Ci sono solo 4 possibilità per i limiti di funzioni, così come per i
limiti di successioni:
• il limite esiste finito;
• il limite è +∞;
• il limite è −∞;
• il limite non esiste.
5.2.2
Teoremi sui limiti di funzioni
Valgono i seguenti teoremi, le cui dimostrazioni non sono riportate perchè del tutto
analoghe a quelle viste per i limiti di successioni.
Teorema 5.2.9 (Teorema dell’unicità del limite). Se esiste
lim f (x) = l
x→x0
dove l, x0 ∈ R oppure valgono ±∞, allora l è unico.
Teorema 5.2.10 (Teorema di permanenza del segno). Se lim f (x) 6= 0, allora esiste
x→+∞
un intorno di x0 (finito o infinito), tale che la funzione assume in tale intorno lo stesso
segno del suo limite.
Teorema 5.2.11 (Teorema del confronto o dei carabinieri). Date f, g, h definite in un
insieme comune A tali che ∀x ∈ A h (x) ≤ f (x) ≤ g (x), se
lim h (x) = lim g (x) = l,
x→x0
x→x0
x0 , l ∈ R oppure ± ∞
allora
lim f (x) = l
x→x0
84
CAPITOLO 5. LIMITI
Teorema 5.2.12 (Teorema del confronto a due). Date f, g funzioni definite in un insieme
comune A tali che f (x) ≤ g (x) definitivamente, allora ∀x0 ∈ R oppure ±∞, si ha:
lim f (x) = +∞ =⇒ x→x
lim g (x) = +∞
x→x0
0
lim g (x) = −∞ =⇒ lim f (x) = −∞
x→x0
x→x0
Teorema 5.2.13. Per le operazioni algebriche, valgono gli stessi risultati visti per i limiti
di successioni.
Teorema 5.2.14 (Teorema inverso modificato della permanenza del segno). Sia f : A ⊂
R → R. Sia x0 punto di accumulazione per A. Supponiamo che esista lim f (x) = l. Se
x→x0
∃I(x0 , δ) | ∀x ∈ I(x0 , δ) ∩ A, f (x) ≥ 0
allora l ≥ 0
(≤ 0)
(≤ 0).
Dimostrazione. Procediamo per assurdo. Supponiamo
∃I(x0 , δ) | ∀x ∈ I(x0 , δ) ∩ A, f (x) ≥ 0, con l < 0
Per il teorema della permanenza del segno, si ha:
∃J(x0 , λ) | ∀x ∈ J(x0 , λ) ∩ A, f (x) < 0
Allora
∀x ∈ I(x0 , δ) ∩ J(x0 , λ), f (x) ≥ 0 ∧ f (x) < 0
Dunque si ha l’assurdo.
Osservazione 5.2.15. Questo teorema è fondamentale perchè consente il passaggio al
limite in tutte le disuguaglianze.
Teorema 5.2.16 (Limite di funzioni monotone). Sia f : A −→ R monotona crescente
(decrescente). Allora
lim f (x) =
x→x0
sup
f (x)
A∩I(x0 ,δ)
( lim f (x) =
x→x0
inf
A∩I(x0 ,δ)
f (x))
e
lim f (x) = sup f (x)
x→∞
A
(x→∞
lim f (x) = inf f (x))
A
Dimostrazione. Supponiamo f crescente (se fosse decrescente, procederemmo in maniera
analoga).
Allora
sup f (x) = l ∈ R oppure sup f (x) = +∞
A∩I(x0 ,δ)
A∩I(x0 ,δ)
Iniziamo con il primo caso. Dimostriamo che l è il limite, cioè che
∀ε > 0 ∃δε | ∀x ∈ I(x0 , δε ) : l − ε ≤ f (x) ≤ l + ε
Per ipotesi, l =
verificata.
sup (f ), quindi la seconda parte della disuguaglianza (f (x) ≤ l + ε) è
A∩I(x0 ,δ)
85
5.2. LIMITI DI FUNZIONI REALI
Per la prima parte della disuguaglianza, utilizziamo l’ipotesi di monotonia della funzione.
Per definizione di estremo superiore, si ha:
∀ε > 0 ∃x ∈ I(x0 , δ) | l − ε ≤ f (x)
Inoltre, per monotonia, si ha:
∀x1 > x, x1 ∈ A ∩ I(x0 , δ) f (x) ≤ f (x1 ) ≤ l
Dimostriamo il secondo caso. Per definizione:
sup
f (x) = +∞ ⇔ ∀M ∈ R ∃x ∈ A ∩ I(x0 , δ) | f (x) > M
A∩I(x0 ,δ)
Si conclude utilizzando l’ipotesi di monotonia della funzione come nel caso precedente.
Teorema 5.2.17. Sia f : A ⊂ R −→ R una funzione reale ed x0 ∈ A. Se esistono il
limite destro e il limite sinistro di f per x → x0 , allora
lim f (x) = l ∈ R ⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) = l
x→x0
x→x0
x→x0
Dimostrazione. =⇒)
lim f (x) = l ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 | ∀x ∈ A r {x0 } ∧ |x − x0 | ≤ δ : |f (x) − l| < ε
x→x0
Allora, per definizione:
lim f (x) = l
x→x−
0
lim f (x) = l
x→x+
0
⇐=)
lim f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃δ ∈ R | |f (x) − l| < ε ∀x ∈ A ∩ (x0 , x0 + δ]
x→x+
0
lim f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃δ ∈ R | |f (x) − l| < ε ∀x ∈ A ∩ [x0 − δ, x0 )
x→x−
0
Allora f (x) si mantiene in un intorno di l con x ∈ I(x0 , δ). Dunque
|f (x) − l| < ε ∀x ∈ A ∧ x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ)
ovvero
lim f (x) = l
x→x0
Teorema 5.2.18 (Criterio funzioni successioni). Sia f : R → R. Consideriamo la
successione an = f (n) ∀n ∈ N. Allora, se esiste
lim f (x) = l
x→+∞
vale
l = lim an
n→+∞
Inoltre, se f è monotona, si ha:
lim an = lim f (x)
n→+∞
x→+∞
86
CAPITOLO 5. LIMITI
Dimostrazione. Supponiamo
lim f (x) = l ∈ R
x→+∞
(il caso l = ±∞ è analogo). Dunque è definitivamente vero che
∀ε > 0 l − ε < f (x) < l + ε ⇒ l − ε < f (n) < ł + ε
Questo dimostra la prima parte della tesi.
Supponiamo f monotona crescente (se fosse decrescente procederemmo in maniera analoga). Supponiamo anche
lim an = l ∈ R
n→+∞
(il caso l = ±∞ è analogo). Allora è definitivamente vero che
∀ε > 0 l − ε < f (n) < l + ε
Essendo n ≤ x < n + 1 per un certo n ∈ N, per monotonia, si ha definitivamente che
l − ε < f (n) ≤ f (x) < f (n + 1) < l + ε
Allora
lim f (x) = l
x→+∞
5.2.3
Limiti notevoli
Proposizione 5.2.19. Dimostrare che
sin x
=1
x→0 x
lim
Dimostrazione. La funzione f (x) = sinx x è definita in R r {0} = Df . x = 0 è un punto
di accumulazione per Df . Quindi ha senso studiare il limite della funzione per x → 0.
Inoltre, la funzione è pari, dunque è sufficiente studiare solo il limite destro. È noto che,
per osservazioni geometriche, si ha:
π
∀x ∈ 0,
2
sin x ≤ x ≤ tan x
e per i valori indicati di x, si ha sinx > 0. Allora dividiamo per sin x:
1≤
x
1
sin x
≤
⇒ cos x ≤
≤1
sin x
cos x
x
Si ha lim cos x = 1. Per il teorema dei carabinieri, si ha:
x→0
lim+
x→0
sin x
=1
x
Esempio 5.2.20. Calcolare il seguente limite:
1 − cos x
1
=
2
x→0
x
2
Sfruttando il risultato precedente, valgono le seguenti uguaglianze:
lim
1 − cos x
(1 − cos x)(1 + cos x)
sin2 x
1
=
lim
=
lim
=
2
2
2
x→0
x→0
x→0 x (1 + cos x)
x
x (1 + cos x)
2
lim
87
5.2. LIMITI DI FUNZIONI REALI
Esempio 5.2.21. Verificare che
arcsin x
=1
x→0
x
Basta effettuare la sostituzione x = sin y e si ottiene il primo limite notevole dimostrato.
lim
Esempio 5.2.22. Verificare che
arctan x
=1
x→0
x
Basta effettuare la sostituzione x = tan y e si ottiene il primo limite notevole dimostrato.
lim
Proposizione 5.2.23. Dimostrare che
1 x
lim 1 +
=e
x→+∞
x
Dimostrazione. Valgono le seguenti disuguaglianze:
∀x ∈ R+
1
1+
[x] + 1
![x]
1
≤ 1+
x
x
1
≤ 1+
[x]
![x]+1
dove [x] denota la parte intera di x. Sapendo che
1 n
lim 1 +
=e
n→+∞
n
si conclude applicando il criterio del confronto. Sfruttando questo risultato, si verifica
facilmente che
1 x
lim 1 +
=e
x→−∞
x
Esempio 5.2.24. Verificare che
ln(1 + x)
=1
x→0
x
lim
Si ha:
1
ln(1 + x)
= lim ln(1 + x) x
x→0
x→0
x
1
Effettuando il cambio di variabile y = x , vale:
lim
1
lim ln 1 +
y→0
y
!y
= ln e = 1
In maniera del tutto analoga, si dimostra che
lim
x→0
loga (1 + x)
= loga e
x
Esempio 5.2.25. Verificare che
ex − 1
=1
x→0
x
Poniamo eh − 1 = t; allora h = ln(t + 1). Dunque abbiamo
lim
t
1
1
= lim
=1
1 =
t→0 ln(t + 1)
t→0 ln(1 + t) t
ln e
lim
In maniera del tutto analoga, si dimostra che
ax − 1
lim
= ln a
x→0
x
88
CAPITOLO 5. LIMITI
Esempio 5.2.26. Verificare che
lim+
x→0
1
= +∞
x
lim−
x→0
1
= −∞
x
Calcoliamo il limite destro (per quello sinistro si procede nello stesso modo).
Preso M > 0 bisogna scegliere δM tale che f (x) > M ∀x ∈ I(0, δ). Basta prendere δ =
e si ottiene la tesi.
1
M
Esempio 5.2.27. Riprendendo l’esempio precedente, si ha
1
=0
x→±∞ x
lim
Scelto ε > 0 si ha
1
1
< ε =⇒ |x| >
x
ε
In maniera del tutto analoga, si prova lo stesso risultato per f (x) =
−ε <
1
,
xα
con α > 0.
Esempio 5.2.28. Calcolare
lim x2
x→±∞
La funzione è pari, quindi studiamo il limite per x → +∞.
Notiamo che la funzione è monotona crescente in [0, +∞). Infatti
∀h > 0 x < x + h =⇒ x2 < (x + h)2 = x2 + 2hx + h2
Allora per il teorema precedente
lim x2 = sup x2 = +∞
x→+∞
[0,+∞)
Proposizione 5.2.29. Possiamo generalizzare il risultato precedente considerando il limite per x → ±∞ di ogni polinomio.
Sia P ∈ R[x]; allora
P (x) =
n
X
an 6= 0
ak x k
k=0
Calcolare il limite
lim P (x)
x→±∞
Dimostrazione.
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = xn an +
Passando al limite, si ha:
an−1
a0
+ ··· + n
x
x
lim P (x) = an lim xn
x→±∞
x→±∞
Proposizione 5.2.30. Valgono le seguenti relazioni:

h i
ar


(−1)r−k ∞
sgn

bk

ar x r + · · · + a1 x + a0
lim
= ab r

k
x→±∞ bk xk + . . . b1 x + b0


0
r>k
r=k
r<k
89
5.2. LIMITI DI FUNZIONI REALI
Dimostrazione. Basta effettuare il seguente raccoglimento:
lim
x→±∞
x r ar + · · · +
ar x + · · · + a1 x + a0
= lim
x→±∞ xk b + · · · +
bk xk + . . . b1 x + b0
k
r
a1
xr−1
b1
xk−1
+
+
a0
xr
b0
bk
Si conclude applicando i risultati dimostrati.
Proposizione 5.2.31. Valgono le seguenti relazioni:

h i
ar


(−1)r−k ∞
sgn

bk

ar xr + · · · + ar+j xr+j
lim
= ab r

k
x→0 bk xk + . . . bk+p xk+p



0
r<k
r=k
r>k
con ar e br diversi da 0.
Dimostrazione. La dimostrazione è del tutto analoga a quella svolta in precedenza.
5.2.4
Limite superiore ed inferiore di funzioni reali
Definizione 5.2.32 (Limite superiore per dominio limitato). Sia D ⊆ R e f : D → R;
sia x0 punto di accumulazione per D. Poniamo Ar = D ∩ (x0 − r, x0 + r).
• Se sup(f ) = +∞ ∀r > 0, allora diciamo che
Ar
lim sup f (x) = +∞
x→x0
• Se ∃r0 > 0 | ∀r < r0 sup(f ) < +∞, posto g(r) = sup(f ), diciamo che
Ar
Ar
lim sup f (x) = lim+ g (r)
r→0
x→x0
Osservazione 5.2.33. Se 0 < r1 < r2 , allora risulta g (r1 ) ≥ g (r2 ), per cui g (r), essendo
monotona, ha limite
(
)
lim sup f (x) = inf sup(f )
r>0
x→x0
Ar
Definizione 5.2.34 (Limite inferiore per dominio limitato). Sia D ⊆ R e f : D → R;
sia x0 punto di accumulazione per D; poniamo Ar = D ∩ (x0 − r, x0 + r).
• Se inf (f ) = −∞ ∀r > 0, allora poniamo
Ar
lim
inf f (x) = −∞
x→x
0
• Se ∃r0 > 0 | ∀r < r0 inf (f ) > −∞, posto g(r) = inf (f ), poniamo
Ar
Ar
lim
inf f (x) = lim+ g (r)
x→x
r→0
0
Osservazione 5.2.35. Se 0 < r1 < r2 , allora risulta g (r1 ) ≤ g (r2 ), per cui g (r), essendo
monotona, ha limite
(
)
lim
inf f (x) = inf sup(f )
x→x
0
r>0
Ar
90
CAPITOLO 5. LIMITI
Definizione 5.2.36 (Limite inferiore e superiore per dominio illimitato). Sia D ⊆ R e
f : D → R una funzione con illimitato. Allora posto D(a) = sup(f ) e d(a) = inf (f )
x>a
x>a
definiamo
lim sup f (x) = lim D(a)
x→∞
a→∞
lim inf f (x) = lim d(a)
x→∞
a→∞
Esempio 5.2.37. Sia f (x) = sin x. Allora:
lim inf sin x = lim inf {f (x) | x > A} = −1
x→+∞
A→+∞
lim sup sin x = lim sup {f (x) | x > A} = 1
x→+∞
A→+∞
Esempio 5.2.38. Sia
x+2
x−3
La funzione presenta un asintoto verticale in x = 3.
Allora
lim inf f (x) = −∞
f (x) =
x→3
lim sup f (x) = +∞
x→3
È un esempio di funzione che non ammette limite per x → 3, essendo il limite destro
diverso da quello sinistro; tuttavia, come dimostrato, lim inf e lim sup esistono.
Capitolo 6
Cenni di topologia in R
6.1
Aperti e spazi metrici
Definizione 6.1.1 (Metrica (o distanza)). Sia E insieme, si dice metrica (o distanza) su
un insieme E una funzione
d : E × E → [0, +∞)
tale che:
1. ∀x, y ∈ E d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. ∀x, y ∈ E d(x, y) = d(y, x)
3. ∀x, y, z ∈ E d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (disuguaglianza triangolare)
Definizione 6.1.2 (Spazio metrico). Se E è un insieme su cui è definita una distanza si
dice che (E, d) è uno spazio metrico.
Esempio 6.1.3. Consideriamo Rn come R-spazio vettoriale e hi il prodotto scalare standard su Rn tale che
∀X = (x1 , · · · xn ) Y = (y1 , · · · yn ) ∈ Rn , hX, Y i =
n
X
xi y i
i=1
La funzione kk : Rn → R tale che:
∀X ∈ Rn kXk =
q
hX, Xi
si chiama norma e la funzione
d : Rn × Rn → R+
0 | d(x, y) = kx − yk
è una distanza (definita euclidea). Le verifiche sono banali. Inoltre, si verifica facilmente
che:
∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn |λ| (d(x, y)) = d(λx, λy)
dove con |λ| si intende il valore assoluto di λ in R.
Dimostrazione.
d(λx, λy) = kλx − λyk =
=
q
hλ(x − y), λ(x − y)i =
q
q
hλx − λy, λx − λyi =
λ2 hx − y, x − yi = |λ| d(x, y)
91
92
CAPITOLO 6. CENNI DI TOPOLOGIA IN R
Osservazione 6.1.4. In R, il valore assoluto è una distanza.
Definizione 6.1.5 (Palla aperta). Sia (E, d) uno spazio metrico, si dice palla aperta di
centro x0 ∈ E e raggio r ∈ R+ l’insieme
B(x0 , r) = Br (x0 ) = {x ∈ E | d(x, x0 ) < r}
Osservazione 6.1.6. Sia E = R2 , si verifica che le funzioni
d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | , d∞ = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |}
sono distanze su R2 considerato come R-spazio vettoriale.
Definizione 6.1.7 (Aperto). Un insieme A ⊂ E si dice aperto se
∀x ∈ A, ∃r > 0 | Br (x) ⊂ A
Osservazione 6.1.8. Valgono le seguenti proprietà:
• L’intersezione di una famiglia finita di aperti è aperta.
• L’unione di una famiglia di insiemi aperti è aperta.
• ∀n ≥ 1 Rn e ∅ sono aperti.
Definizione 6.1.9 (Chiuso). Sia (E, d) uno spazio metrico. Sia A ⊂ E; denotiamo con
CE (A) il complementare di A rispetto ad E. Se CE (A) è aperto, A si dice chiuso.
Osservazione 6.1.10. Valgono le seguenti proprietà:
• L’intersezione di una famiglia di insiemi chiusi è chiusa.
• L’unione di una famiglia finita di insiemi chiusi è chiusa.
• ∀n ≥ 1 Rn e ∅ sono chiusi (complementari di aperti).
Definizione 6.1.11 (Topologia). Sia T un insieme; si dice topologia su T una collezione
τ di sottoinsiemi di T con le seguenti proprietà:
1. ∅, T ∈ τ ;
2. ∀A, B ∈ τ, A ∩ B ∈ τ
!
3. ∀α ∈ τ,
[
A ∈ τ ; l’unione degli elementi di un sottinsieme di τ è un elemento
A∈α
di τ .
Se τ è una topologia su T i suoi elementi si dicono aperti e (T, τ ) si dice spazio topologico.
Definizione 6.1.12 (Spazio di Haussdorff). Sia (T, τ ) uno spazio topologico, supponiamo
che valga la seguente proprietà: presi comunque due elementi di T distinti questi sono
contenuti in due aperti disgiunti (T, τ ) si dice spazio topologico di Haussdorff.
6.2. PARTE INTERNA, CHIUSURA, FRONTIERA DI UN INSIEME
6.2
93
Parte interna, chiusura, frontiera di un insieme
Definizione 6.2.1 (Punto interno). Sia (E, d) uno spazio metrico, sia A ⊂ (E, d). x0 ∈ E
si dice punto interno di A se ∃r > 0 | Br (x0 ) ⊂ A.
Definizione 6.2.2 (Parte interna). L’insieme dei punti interni di A ⊂ (E, d) si dice parte
interna di A e si indica con Å.
Proposizione 6.2.3. Å è il più grande aperto contenuto in A (rispetto all’inclusione).
Dimostrazione.
• Å è aperto: per definizione di punto interno e di aperto.
• Å è l’unione degli aperti di A:
⊂)
Ovvia.
⊃)
∀B aperto ∀x0 ∈ B, ∀r > 0 | Br (x0 ) ⊂ B, Br (x0 ) ⊂ A perchè B ⊂ A. Allora,
x0 ∈ Å per definizione.
Definizione 6.2.4 (Chiusura). Sia A ⊂ E; indicheremo con Ā il più piccolo chiuso
(rispetto all’inclusione) contenente A.
Definizione 6.2.5. Si definisce frontiera di A ⊂ E l’insieme
∂A = Ā r Å = Ā ∩ E r A
In maniera equivalente, si definisce frontiera di A ⊂ E l’insieme dei punti x ∈ E così
definito:
∂A = {x ∈ E | ∀r > 0, ∃y1 ∈ Br (x) ∩ A, ∃y2 ∈ Br (x) ∩ CE (A)}
Esempio 6.2.6. Sia A ⊂ Rn . Allora
∂A = Ā r Å = Ā ∩ Rn r A
cioè la frontiera della palla aperta (e della palla chiusa) è la sfera di Rn .
Sr (x0 ) = {x ∈ Rn | (x, x0 ) = r}
Esempio 6.2.7. Per la definizione data dei numeri reali, si verifica facilmente che R è
la frontiera di Q. In generale, si verifica (non lo faremo) che ∂Qn = Rn .
Definizione 6.2.8 (Insieme denso). Un insieme D ⊂ E si dice denso in E se D̄ = E.
In maniera equivalente:
• CE (D̊) = ∅
• ∀x ∈ E ∃ {an }n∈N ⊂ D |
lim an = x
n→+∞
• ∀C ⊂ E aperto A ∩ C 6= ∅
Definizione 6.2.9 (Punto di chiusura (o aderente)). Sia A ⊂ E, a ∈ E. Allora a si dice
punto di chiusura per A se
∀r > 0 Br (a) ∩ A 6= ∅
94
CAPITOLO 6. CENNI DI TOPOLOGIA IN R
Osservazione 6.2.10. a punto di chiusura se e solo se a ∈ Ā
Definizione 6.2.11 (Punto di accumulazione). x0 ∈ E è un punto di accumulazione di
A ⊂ E se e solo se
∀r > 0, A ∩ (Br (x0 ) r {x0 }) 6= ∅
Proposizione 6.2.12. Sia (E, d) = (R, ||). Sia x ∈ R, A ⊂ R; x è punto di accumulazione per A se e solo se esiste una successione {an }n∈N tale che
∀n ∈ N an ∈ A, an 6= x
lim an = x
n→+∞
Dimostrazione. =⇒ )
Prendiamo r = n1 nella definizione di punto di accumulazione.
Allora
1
∀n B 1 (x) r {x} ∩ A 6= ∅ ⇔ ∃an 6= x, an ∈ A | |an − x| <
n
n
La scelta degli an definisce una successione che tende ad x.
⇐= )
Per definizione di limite, si ha:
∀r > 0 ∃N ∈ N | ∀n ≥ N, an ∈ Br (x)
Inoltre, ∀n ∈ N an 6= x. Allora:
∀r > 0 ∃N ∈ N | ∀n ≥ N an ∈ Br (x) r {x}
Proposizione 6.2.13. Sia A ⊂ (E, d). a è punto di chiusura di A se e solo se d(a, A) = 0,
dove
d(a, A) = inf {d(a, b) | b ∈ A}
Dimostrazione. =⇒ )
La tesi è equivalente a mostrare che
∀ε > 0 ∃b ∈ A | d(a, b) < ε
Per definizione di chiusura sappiamo che
∀r > 0 Br (a) ∩ A 6= ∅
Scelto r = ε, per definizione di inf, si ha che
∃bε ∈ Bε (a) ∩ A | d(a, bε ) < ε
perché bε ∈ Bε (a) ∩ A; quindi si ha la tesi.
⇐= )
Basta invertire r con ε.
Definizione 6.2.14 (Insieme derivato). Sia A ⊂ E, l’insieme dei punti di accumulazione
di A è detto insieme derivato di A e si denota con D(E).
Definizione 6.2.15 (Intorno). Sia x ∈ E; si dice intorno di x un qualunque insieme
U ⊂ E | ∃r > 0 | Br (x) ⊂ U
Indicheremo con Ix l’insieme degli intorni di un punto x.
Definizione 6.2.16 (Punto isolato). Sia A ⊂ E; x ∈ E si dice punto isolato di A se
∃U ∈ Ix | U ∩ A r {x} = ∅
Osservazione 6.2.17. Ogni punto di E è di accumulazione o isolato perchè vale la
seguente decomposizione:
Ē = E ∪ D(E)
95
6.3. CONNESSI E COMPATTI
6.3
Connessi e compatti
Definizione 6.3.1 (Connessione). Uno spazio topologico X si dice connesso se non può
essere ottenuto come unione di due aperti non vuoti e disgiunti.
Proposizione 6.3.2. Sia E ⊆ R tale che E 6= ∅ e limitato superiormente. Sia y = sup E.
Allora y ∈ E. In particolare, se E è chiuso, y ∈ E.
Dimostrazione. Se y ∈ E, allora
sup E ∈ E ⇒ sup E ∈ E
In questo primo caso la conclusione è ovvia.
Se y ∈
/ E, allora
∀h > 0 ∃x ∈ E | y − h < x < y
per definizione di estremo superiore. Allora y ∈ E.
Proposizione 6.3.3. Consideriamo (R, ||). Un sottoinsieme S ⊂ R è connesso se e solo
se è un intervallo.
Dimostrazione. ⇒)
Supponiamo per assurdo che S non sia un intervallo. Allora
∃z ∈ R r S | ∀x, y ∈ S, x < z < y : S ⊂ (−∞, z) ∪ (z, +∞)
Allora, abbiamo due aperti disgiunti di R che ricoprono S e ciascuno ha intersezione non
vuota con S, contrario alla definizione di connesso.
⇐)
Dimostriamo che se S è un intervallo, allora è connesso. Supponiamo per assurdo che
S non sia connesso. Allora esistono A, B ⊆ S non vuoti, aperti e disgiunti tali che
A ∪ B = S. Siano x ∈ A, y ∈ B; supponiamo senza perdita di generalità x < y.
Definiamo z = sup(A ∩ [x, y]). Allora per la proposizione precedente, si ha:
z ∈ A ∩ [x, y] ⇒ z ∈ A ∩ [x, y] ⇒ z ∈ A ∩ [x, y] ⇒ z ∈ A ∧ z ∈ [x, y]
da cui si ha che
z ∈ [x, y] ⇒ x 6 z 6 y ⇒ z ∈ S
poiché x, y ∈ S ed S è un intervallo per ipotesi.
Inoltre z ∈ A ⇒ z ∈
/ B poiché A e B sono aperti disgiunti. Ma allora z ∈
/ Aez ∈
/ B
dunque z ∈
/ E = A ∪ B ed è assurdo.
Definizione 6.3.4 (Ricoprimento). Sia X un insieme, F una famiglia di insiemi tali che
X⊂
[
S
S∈F
F è detto ricoprimento di X.
Definizione 6.3.5 (Compatto). Sia X uno spazio topologico di Haussdorff, K ⊂ X si
dice compatto se da ogni ricoprimento di aperti si può estrarre un sottoricoprimento finito
di K.
96
CAPITOLO 6. CENNI DI TOPOLOGIA IN R
6.3.1
Compattezza in R
La definizione di compattezza per un sottoinsieme di R può essere data in 3 modi (che
dimostreremo essere equivalenti):
1. compattezza per ricoprimenti (insiemistica);
2. compattezza per successioni;
3. compatto come insieme limitato e chiuso.
Definizione 6.3.6 (Compattezza per successioni). Un sottoinsieme A ⊂ R si dice compatto per successioni se ogni successione a valori in A ammette una sottosuccessione che
converge ad un elemento di A.
Teorema 6.3.7 (Lemma raggio magico o Lebesgue’s number lemma). Sia A un insieme
compatto per successioni. Sia {Ui }i∈I un ricoprimento aperto di A. Allora esiste r0 > 0
con queste proprietà:
∀x ∈ A, ∃i ∈ I | (B(x, r0 ) ∩ A) ⊂ Ui
Dimostrazione. Procediamo per assurdo:
∀r > 0 ∃x ∈ A | ∀i ∈ I (x − r, x + r) ∩ A 6⊂ Ui
Consideriamo k ∈ N e prendiamo r = k1 ; cerchiamo un punto xk ∈ A tale che
1
1
xk − , xk +
∩ A 6⊂ Ui
k
k
∀i ∈ I
In questo modo, abbiamo costruito la successione {xk }k∈N . Per definizione di compattezza
per successioni, {xk }k∈N ammette una sottosuccessione che converge a un elemento di A.
Sia x∞ tale limite. x∞ ∈ Ui∞ con un certo i∞ . Allora
∃r∞ raggio | (x∞ − r∞ , x∞ + r∞ ) ∩ A ⊂ Ui∞
Se {xkn }n∈N è la sottosuccessione in esame, è definitivamente contenuta in
r∞
r∞
, x∞ +
x∞ −
2
2
Quindi abbiamo garantito un raggio minimo uguale a
non rispetti tale ipotesi.
r∞
,
2
contro il fatto che il raggio
Osservazione 6.3.8. È ovvio che
∀x ∈ A ∃r > 0 ∃i ∈ I | B(x, r) ∩ A ⊆ Ui
Tuttavia, abbiamo dimostrato che questa proprietà vale con un raggio universale.
1
kn
97
6.3. CONNESSI E COMPATTI
Teorema di Heine-Borel
Teorema 6.3.9 (Teorema di Heine-Borel). A ⊆ R è compatto per ricoprimenti se e solo
se A è chiuso e limitato.
Dividiamo la dimostrazione del teorema in passi.
Lemma 6.3.10 (Passo 1). Un insieme A ⊂ R è compatto per successioni se e solo se è
chiuso e limitato.
Dimostrazione. ⇐) Segue dal teorema di Bolzano-Weierstrass. In particolare, vale che
ogni insieme compatto ammette un punto di accumulazione.
⇒) Supponiamo per assurdo che A non sia chiuso e limitato.
• Se A non è limitato (supponiamo superiormente), vale che sup A = +∞. Allora
∃{an }n∈N ∈ A |
lim an = +∞
n→+∞
per definizione di estremo superiore. Allora ogni sua sottosuccessione diverge a +∞,
sebbene A sia compatto per successioni. Assurdo.
• Se A non è chiuso allora ∃x0 ∈ R tale che x0 ∈ Ā r A. Allora esiste una successione
{an }n∈N convergente a x0 ∈
/ A. Come osservato in precedenza, ogni sottosuccessione
di {an }n∈N converge a x0 , sebbene A sia compatto per successioni. Assurdo
Lemma 6.3.11 (Passo 2). Sia A ⊂ R compatto per ricoprimenti; allora A è chiuso e
limitato.
Dimostrazione. Per ipotesi A è compatto per ricoprimenti. Sia
Un = (−n, n) ∩ A, n ∈ N ⇒
[
Ui = A
i∈I
Un è aperto in A, poiché è intersezione di A con un intervallo aperto di R. Per definizione
di compattezza per ricoprimenti, è sufficiente un numero finito di aperti Ui per ricoprire
A. Allora
∃n0 ∈ N | A ⊂ (−n0 , n0 )
Dunque A è limitato.
Sia x0 ∈ Ā. Consideriamo





1
1
, x0 +
n
n}
{z
U n = A ∩  R r x0 −
|




aperto in R =⇒ Un è aperto in A
Supponiamo che x0 ∈
/ A; allora A 6= Ā. Gli aperti Un ricoprono A: per ogni punto esiste
almeno un aperto che lo contenga. Per ipotesi, è sufficiente un numero finito di aperti per
ricoprire A, allora
1
1
∃n0 ∈ N | A ⊂ R r x0 − , x0 +
n
n
1
Prendendo un raggio 0 < r < n , si trova un intervallo centrato in x0 che non contiene
punti di A, ovvero x0 6∈ Ā. Assurdo. Allora
x0 ∈ A, ∀x0 ∈ Ā =⇒ Ā = A =⇒ A è chiuso
98
CAPITOLO 6. CENNI DI TOPOLOGIA IN R
Lemma 6.3.12 (Passo 3). Sia A ⊂ R chiuso e limitato. Allora A è compatto per
ricoprimenti.
Dimostrazione. Per il passo 1, A è chiuso e limitato se e solo se è compatto per successioni. Consideriamo un ricoprimento aperto Ui di A; il lemma del raggio magico assicura
l’esistenza di r con le proprietà date. Per ipotesi, A è limitato, dunque può essere ricoperto con un numero finito di intervalli di ampiezza r, cioè esiste un numero finito di punti
{a1 , . . . , am } tale che
A ⊂ (a1 − r, a1 + r) ∪ · · · ∪ (am − r, am + r)
Per il lemma del raggio magico, ciascuno di questi aperti è contenuto in un certo Ui ; allora
si ha la tesi, ovvero
A ⊂ Ui ∪ . . . Uim
Osservazione 6.3.13. Per completare la dimostrazione del teorema, abbiamo provato
l’equivalenza delle tre definizioni di compattezza in R.
Proposizione 6.3.14. Sia A ⊂ R e x0 ∈ Ā r A. Allora esiste una successione {an }n∈N
di elementi di A che converge a x0 .
Dimostrazione. Poiché x0 ∈ Ā, si ha:
∀ε > 0 ∃a ∈ A | x0 − ε ≤ a ≤ x0 + ε
Scegliendo ε =
1
k
si trova ak ∈ A:
x0 −
1
1
≤ ak ≤ x 0 +
k
k
Costruita la successione {ak }k∈N come mostrato, si ha che converge a x0 per il teorema
dei carabinieri.
6.4
Topologia in R
Definizione 6.4.1 (Insieme reale esteso). Si dice insieme reale esteso
R̄ = {−∞, +∞} ∪ R
Osservazione 6.4.2. La relazione d’ordine si estende a R̄ come segue:
∀x ∈ R − ∞ < x, x < +∞
Le operazioni si estendono come segue:
∀x ∈ R x + ∞ = +∞, x − ∞ = −∞
∀x ∈ R, x 6= 0 (x)(∓∞) = (∓∞)(sgn(x))
In tutti gli altri casi il risultato è indeterminato.
Proposizione 6.4.3. R̄ è compatto.
Dimostrazione. Basta considerare che ogni successione di punti in R̄ ammette una sottosuccessione convergente ad un punto in R̄ (le successioni convergenti, quelle divergenti e
quelle oscillanti).
Capitolo 7
Continuità
7.1
Continuità delle funzioni reali
Definizione 7.1.1 (Continuità attraverso il limite di una funzione). Una funzione f :
D → R si definisce continua nel punto x0 ∈ D ⊆ R se
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Tale definizione ha senso solo se x0 è un punto di accumulazione per il dominio della
funzione. Presentiamo un’estensione di tale definizione.
Definizione 7.1.2 (Continuità attraverso i parametri epsilon-delta). Una funzione f :
D → R si definisce continua nel punto x0 ∈ D ⊆ R se e solo se per ogni ε > 0 esiste
δ > 0 tale che per ogni x ∈ D che dista da x0 meno di δ si ha che f (x) dista da f (x0 )
meno di ε. In simboli:
∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀x ∈ D
(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε)
Osservazione 7.1.3. È fondamentale osservare che in questa definizione di continuità la
scelta di δ dipende dalla scelta di ε.
La seconda definizione estende la prima perchè ha senso anche nel caso di punti isolati
del dominio, in cui una funzione risulta continua. Presentiamone una forma equivalente.
Definizione 7.1.4 (Continuità attraverso gli intorni). Una funzione f : D → R è continua in x0 ∈ D ⊆ R se e solo se per ogni intorno V di f (x0 ) esiste un intorno U di x0
tale che f (U ∩ D) ⊆ V
Osservazione 7.1.5. La definizione epsilon-delta può essere estesa a funzioni tra spazi
metrici in generale, sostituendo i valori assoluti con la distanza.
Definizione 7.1.6. Se f : D → Y è continua in ogni punto di D si dice che f è continua.
Denoteremo con C(D, Y ) = {f : D → Y | f è continua in D}. Se il codominio delle
funzioni è R, si è soliti indicare C(D, R) con la notazione C(D).
7.2
Proprietà delle funzioni continue
Teorema 7.2.1 (Permanenza del segno). Sia D ⊆ R e f : D → R; se f è continua in
x0 ∈ D e f (x0 ) > 0, allora esiste un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U ∩ D f (x) > 0.
99
100
CAPITOLO 7. CONTINUITÀ
Dimostrazione. Per ipotesi, f è continua in x0 e f (x0 ) > 0. Allora
∃ε ∈ (0, f (x0 )), ∃δ > 0 | f ((x0 − δ, x0 + δ) ∩ D) ⊆ (f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε)
Scelto U = (x0 − δ, x0 + δ), sia ha:
∀x ∈ U ∩ D f (x) > f (x0 ) − ε > 0
Corollario 7.2.2. Sia D ⊆ R e f : D → R; se f è continua in x0 ∈ D e f (x0 ) < 0,
allora esiste un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U ∩ D f (x) < 0.
Proposizione 7.2.3 (Operazioni tra funzioni continue). Siano A, B ⊆ R, f : A →
R, f ∈ C(A) e g : B → R, g ∈ C(B); sia c ∈ R. Allora:
1. (g ◦ f ) ∈ C(A ∩ f −1 (B)), la composizione di funzioni continue è una funzione
continua.
2. ∀c ∈ R (cf ) ∈ C(A), il prodotto di una funzione continua per uno scalare è una
funzione continua.
3. (f +g) e (f −g) ⊂ C(A∩B), la somma algebrica di funzioni continue è una funzione
continua.
4. (f · g) ∈ C(A ∩ B), il prodotto di funzioni continue è una funzione continua.
5. (f /g) ∈ C(A ∩ B r {g −1 (0)}) il rapporto di funzioni continue è una funzione
continua.
Dimostrazione.
1. Sia p ∈ A. Essendo g continua, per ogni intorno V di g(f (p)) esiste
un intorno H di f (p) tale che g(H ∩ B) ⊆ V .
g ∈ C(B) ⇒ ∀ε > 0 ∃γ > 0 tale che
g((f (p) − γ, f (p) + γ) ∩ B) ⊆ (g(f (p)) − ε, g(f (p)) + ε)
Per continuità di f , esiste un intorno U di p tale che f (U ∩ A) ⊆ H e quindi
f (U ∩ A ∩ f −1 (B)) ⊆ H ∩ B.
f ∈ C(A) ⇒ ∀γ > 0 ∃δ > 0 : f ((p − δ, p + δ) ∩ A) ⊆ (f (p) − γ, f (p) + γ) ⇒
⇒ f ((p − δ, p + δ) ∩ A ∩ f −1 (B)) ⊆ (f (p) − γ, f (p) + γ) ∩ B
Sotto queste premesse, si ha:
∀ε > 0 ∃δ > 0 | (g ◦f )((p−δ, p+δ)∩(A∩f −1 (B))) ⊆ ((g ◦f )(p)−ε, (g ◦f )(p)+ε) ⇒
⇒ g ◦ f ∈ C(A ∩ f −1 (B))
quindi g ◦ f è continua.
2. Per definizione di continuità di f , si ha:
∀p ∈ A ∀ε > 0 ∃δε > 0 | f ((p − δε , p + δε ) ∩ A) ⊆ (f (p) − ε, f (p) + ε) ⇒
⇒ (cf )((p − δε/c , p + δε/c ) ∩ A) ⊆ ((cf )(p) − ε, (cf )(p) + ε) ⇒
⇒ (cf ) ∈ C(A)
101
7.2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI CONTINUE
3. Per definizione di continuità di f e di g, si ha:
∀p ∈ A ∩ B ∀ε > 0
ε
ε
∃δ1 > 0 | f ((p − δ1 , p + δ1 ) ∩ A) ⊆ f (p) − , f (p) +
2
2
ε
ε
∃δ2 > 0 | g((p − δ2 , p + δ2 ) ∩ B) ⊆ g(p) − , g(p) +
2
2
Passando alla somma, si ha:
(f + g)((p − δ1 , p + δ1 ) ∩ (p − δ2 , p + δ2 ) ∩ A ∩ B) =
= (f + g)((p − min({δ1 , δ2 }), p + min({δ1 , δ2 })) ∩ (A ∩ B)) ⊆
⊆ ((f + g)(p) − ε, (f + g)(p) + ε) ⇒ f + g ∈ C(A ∩ B)
Per il punto 2) −g ∈ C(B) ⇒ (f + (−g)) ∈ C(A ∩ B).
4. Basta scrivere
1
(f + g)2 = f 2 + g 2 + 2f g ⇒ f · g = [(f + g)2 − f 2 − g 2 ]
2
Poichè f e g sono continue, applicando i punti 1), 2) e 3) si ha che la funzione a
secondo membro è continua, per cui lo è anche f · g.
5. Dimostriamo che la funzione f (x) =
1
x
è continua nel suo dominio; equivalentemente
lim |f (x + δ) − f (x)| = 0
δ→0
δ 1 δ
−
≤
2
=
x x x+δ
x(x + δ)
1
Passando al limite per δ → 0, si ha che y =
1) e 4) si ottiene la tesi.
1
x
è continua; allora applicando i punti
Teorema 7.2.4. Sia f : D → R. f è continua se e solo se per ogni X2 aperto di Im(f ),
f −1 (X2 ) è aperto in D.
Dimostrazione. Sia A = Im(f ).
⇐)
x0 ∈ D ⇒ f (x0 ) ∈ A. Sia X2 un intorno di f (x0 ) tale che X2 ⊂ A. Allora
∃ε > 0 | Iε = (f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε) ⊂ X2
Dunque
f −1 (Iε ) ⊂ f −1 (X2 ) = X1 aperto
Sia x0 ∈ X1 aperto. Allora
∃δ > 0 | (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ f −1 (Iε ) ⊂ X1
Allora
∀y ∈ (x0 − δ, x0 + δ) f (y) ∈ Iε
Dunque f è continua.
⇒)
Per ipotesi, f è continua:
∀ε > 0 ∃δ > 0 | |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
Sia X ⊂ A aperto. Essendo la proprietà enunciata vera per ogni x ∈ D, passando
all’unione degli intorni ottenuti, si ottiene che f −1 (X) è aperto.
102
CAPITOLO 7. CONTINUITÀ
Teorema 7.2.5. Sia f : D → R continua e sia X ⊂ D compatto; allora f (X) è compatto.
Dimostrazione. Sia X ⊂ D compatto; per ogni ricoprimento aperto F di f (X), si ha:
!
f (X) ⊆
[
E⇒X⊆f
−1
(f (X)) ⊆ f
−1
E∈F
[
E =
E∈F
[
f −1 (E)
E∈F
Essendo f continua, per il teorema precedente, vale:
∀E ∈ F f −1 (E) è aperto in D
Quindi
{f −1 (E) | E ∈ F }
è un ricoprimento aperto di X. Per compattezza di X, esiste un sottoricoprimento aperto
finito di X, che denotiamo con J. Allora
!
f (X) = f
[
E∈J
f
−1
(E) ⊂
[
f (f −1 (E)) ⊂
E∈J
[
E
E∈J
Avendo ricoperto f (X) con un numero finito di aperti, ne abbiamo provato la compattezza.
Teorema 7.2.6. Sia f : D → R continua e sia I ⊂ D connesso; allora f (I) è connesso.
Dimostrazione. Se f (I) non connesso ∃V1 , V2 aperti non vuoti e disgiunti tali che
f (I) ⊂ V1 ∪ V2
Allora, si ha:
f −1 (f (I)) ⊂ f −1 (V1 ) ∪ f −1 (V2 )
Essendo f continua, f −1 (V1 ) e f −1 (V2 ) sono aperti disgiunti perchè f (f −1 (Vi )) ⊂ Vi .
Considerando che I ⊂ f −1 (f (I)), si ha che I non è connesso. Assurdo.
7.3
Classificazione dei punti di discontinuità
+
Denotiamo con f (x−
0 ) = lim− f (x) e con f (x0 ) = lim+ f (x).
x→x0
x→x0
Definizione 7.3.1. Se f non è continua in x0 , si dice discontinua in x0 .
Definizione 7.3.2 (Discontinuità di prima specie (o salto)). Sia f : I → J, x0 ∈ I punto
di accumulazione di I. x0 è un punto di discontinuità di prima specie per f se e solo se
+
+
−
∃f (x−
0 ) ∈ R ∧ ∃f (x0 ) ∈ R ∧ f (x0 ) 6= f (x0 )
−
In tal caso, la differenza |f (x+
0 ) − f (x0 )| si dice salto.
Definizione 7.3.3 (Discontinuità di seconda specie (o essenziale)). Sia f : I → J, x0 ∈ I
punto di accumulazione di I. x0 è un punto di discontinuità di seconda specie per f se e
solo se
+
−
+
@f (x−
0 ) ∨ @f (x0 ) ∨ f (x0 ) = ±∞ ∨ f (x0 ) = ±∞
Definizione 7.3.4 (Discontinuità di terza specie (o eliminabile)). Sia f : I → J, x0 ∈ I
punto di accumulazione di I. x0 è un punto di discontinuità di terza specie per f se e
solo se
−
+
+
∃f (x−
0 ) ∈ R ∧ ∃f (x0 ) ∈ R ∧ f (x0 ) = f (x0 ) 6= f (x0 )
7.3. CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI DISCONTINUITÀ
103
Caratterizzazione dei punti di discontinuità per funzioni monotone
Lemma 7.3.5. Sia f : (a, b) → R monotona; allora f ha limite destro e sinistro in ogni
punto del suo dominio.
Dimostrazione. Supponiamo f crescente. Sia X ∈ (a, b). Siano {xn }n∈N , {yn }n∈N successioni crescenti tali che:
∀n ∈ N xn , yn < X
lim xn = n→∞
lim yn = X
n→∞
Allora, le successioni {f (xn )}n∈N , {f (yn )}n∈N sono crescenti e tali che:
∀n ∈ N f (xn ), f (yn ) < f (X)
lim f (xn ) = h ≤ f (X)
n→∞
lim f (yn ) = k ≤ f (X)
n→∞
Deve valere h = k, infatti:
∃{pn }n∈N | (∀n ∈ N, xpn > yn ⇒ f (xpn ) ≥ f (yn )) ⇒ h ≥ k
∃{qn }n∈N | (∀n ∈ N, yqn > xn ⇒ f (yqn ) ≥ f (xn )) ⇒ k ≥ h
Avendo provato che per tutte le successioni {xn }n∈N crescenti e tendenti a X, {f (xn )}n∈N
hanno tutte lo stesso limite, allora f (X − ) esiste; in maniera analoga, si prova l’esistenza
di f (X + ).
Lemma 7.3.6. Sia f : [a, b] → R monotona; sia x0 un punto di discontinuità per f .
Allora x0 è un punto di discontinuità di prima specie.
Dimostrazione. Per il lemma precedente, si ha:
∀X ∈ (a, b) ∃f (X − ) ∃f (X + )
Inoltre
f (a) ≤ f (X − ) ≤ f (X + ) ≤ f (b) ⇒ f (X − ), f (X + ) ∈ R
+
Se f (X − ) = f (X + ), f è continua in X, quindi se f discontinua in x0 , si ha f (x−
0 ) 6= f (x0 )
e x0 è una discontinuità di prima specie per f .
Teorema 7.3.7. Sia (a, b) ⊂ A un qualsiasi aperto di R. Sia f : A → R monotona;
allora f ha al più un’infinità numerabile di punti di discontinuità in (a, b).
Dimostrazione. Sia x0 un punto di discontinuità. Supponiamo f crescente. Per mo−
notonia della funzione, vale f (x+
0 ) − f (x0 ) > 0. Scegliamo un razionale q0 nell’aperto
+
(f (x−
0 ), f (x0 )). Inoltre, gli aperti sull’asse y associati ad ogni punto di discontinuità sono
a due a due disgiunti per monotonia della funzione; allora, è possibile identificare ciascun punto di discontinuità con un razionale scelto come indicato nell’aperto associato.
Abbiamo creato una funzione iniettiva per costruzione con un sottoinsieme di Q, che è
numerabile.
Osservazione 7.3.8. Sia l’insieme A un intervallo, diciamo [a, b]; supponiamo f crescente e fissiamo n ∈ N r {0} e definiamo
Dn = x ∈ [a, b] | f (x+ ) − f (x− ) >
Allora la somma dei salti vale al più f (b) − f (a), ovvero:
|Dn |
≤ f (b) − f (a)
n
Dunque Dn ha cardinalità finita.
1
n
104
CAPITOLO 7. CONTINUITÀ
7.4
Semicontinuità
Definizione 7.4.1 (Semicontinuità inferiore). Sia f : I → R; f si dice semicontinua
inferiormente in X ∈ I se
∀ε > 0 ∃Uε intorno di X | ∀t ∈ Uε f (t) > f (X) − ε
Definizione 7.4.2 (Semicontinuità superiore). Sia f : I → R; f si dice semicontinua
superiormente in X ∈ I se
∀ε > 0 ∃Uε intorno di X | ∀t ∈ Uε f (t) < f (X) + ε
Esempio 7.4.3 (La funzione di Dirichlet). Sia f : [0, 1] → R tale che

1
f (x) = 
x ∈ Q ∩ [0, 1]
0 x ∈ [0, 1] r Q
Si verifica applicando le definizioni date che f è semicontinua inferiormente in [0, 1] r Q
e semicontinua superiormente in Q ∩ [0, 1].
Osservazione 7.4.4. Dalle definizioni, segue ovviamente che una funzione è continua se
e solo se è semicontinua superiormente e inferiormente.
Definizione 7.4.5 (Funzione indicatrice). Sia A ⊂ R. Sia 1A : R → R tale che:

1
1A (x) = 
x∈A
0 x∈RrA
1A si dice funzione indicatrice di A.
Proposizione 7.4.6. La funzione indicatrice di un insieme aperto è semicontinua inferiormente, quella di un insieme chiuso è semicontinua superiormente.
Dimostrazione. Sia A ⊆ R.
Se A è aperto
Dunque:
∀p ∈ A ∃δ | (p − δ, p + δ) ⊆ A
∀ε > 0, ∀x ∈ (p − δ, p + δ) : f (x) = 1 = f (p) > f (p) − ε
Inoltre
∀p ∈ R r A, ∀ε > 0, ∀δ > 0, ∀x ∈ (p − δ, p + δ) : f (x) ≥ 0 = f (p) > f (p) − ε
quindi 1A è semicontinua inferiormente.
Se A è chiuso, R r A è aperto. Dunque:
∀p ∈ R r A ∃δ > 0 | (p − δ, p + δ) ⊂ R r A
Allora, si ha:
∀ε > 0, ∀x ∈ (p − δ, p + δ) : f (x) = 0 = f (p) < f (p) + ε
Preso, invece, p ∈ A, si ha:
∀ε > 0, ∀δ > 0 | ∀x ∈ (p − δ; p + δ) : f (x) ≤ 1 = f (p) < f (p) + ε
7.5. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
7.5
105
Teoremi sulle funzioni continue
Teorema 7.5.1 (Teorema di Bolzano o dell’esistenza degli zeri). Sia f : [a, b] → R una
funzione continua. Supponiamo che f (a) e f (b) abbiano segno opposto, ovvero
f (b) · f (a) < 0
Allora esiste un punto x0 ∈ [a, b] tale che f (x0 ) = 0.
Dimostrazione. Senza perdita di generalità poniamo f (a) < 0 < f (b). Procediamo per
assurdo.
Supponiamo ∀x ∈ [a, b] f (x) 6= 0. Definiamo
E = {x ∈ [a, b] | f (x) < 0}
L’insieme E è non vuoto, perché a ∈ E; inoltre E è superiormente limitato da b. Per
l’assioma di completezza dei reali ∃x0 ∈ [a, b] | x0 = sup(E) ≤ b. L’estremo superiore è
caratterizzato dalle seguenti proprietà:
1. x0 è un maggiorante di E;
2. se y0 < x0 allora y0 non è un maggiorante di E.
Abbiamo supposto per assurdo f (x0 ) 6= 0.
• Se f (x0 ) < 0, allora x0 < b e per il teorema di permanenza del segno sulle funzioni
continue
∃δ > 0 | ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) ⊆ [a, b] : f (x) < 0
assurdo perché in contrasto con la prima proprietà dell’estremo superiore.
• Se f (x0 ) > 0, allora x0 > a e per il teorema di permanenza del segno sulle funzioni
continue,
∃δ > 0 | ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) ⊆ [a, b] : f (x) > 0
assurdo perchè in contrasto con la seconda proprietà dell’estremo superiore.
Teorema 7.5.2 (Teorema di Darboux o dei valori intermedi). Sia f : I → R, f ∈ C(I)
e [a, b] ⊆ I. Allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b).
Dimostrazione. [a, b] è connesso; allora f ([a, b]) è connesso e, essendo contenuto in R, è
un intervallo. Supponendo f (a) ≤ f (b), si ha:
{f (a), f (b)} ⊆ f ([a, b]) ⇒ [f (a), f (b)] ⊆ f ([a, b])
Osservazione 7.5.3. Dimostrato il teorema dei valori intermedi, si ha che, se f (a) <
0 < f (b), la funzione ristretta ad [a, b] assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b).
Questa è una dimostrazione alternativa del teorema di esistenza degli zeri.
Teorema 7.5.4 (Teorema di Weierstrass). Sia f : K → R, con K compatto e f ∈ C(K).
Allora f ammette massimo e minimo.
106
CAPITOLO 7. CONTINUITÀ
Dimostrazione. Se K è compatto e f continua, si ha che f (K) è compatto, dunque l’estremo superiore e inferiore in f (K) sono massimo e minimo, per proprietà di compattezza.
Allora la funzione ammette un massimo e un minimo in K.
Proposizione 7.5.5 (Criterio di continuità per le funzioni monotone). Sia f : [a, b] → R
una funzione monotona (supponiamo crescente); allora f ∈ C([a, b]) se e solo se f ([a, b])
è un intervallo.
Dimostrazione. ⇒)
Se f ∈ C([a, b]) e [a, b] connesso, allora f ([a, b]) è connesso; dunque f ([a, b]) è un intervallo.
⇐)
Dimostriamo la contronominale. Se f non è continua in [a, b], esiste p ∈ [a, b] punto di
discontinuità. Per la caratterizzazione data, p è un punto di discontinuità di prima specie
e vale f (p− ) < f (p+ ), per la monotonia della funzione. Allora
∃h ∈ (f (p− ), f (p+ )) r {f (p)} ⇔ f (a) < h < f (b) ∧ h ∈
/ f ([a, b])
Dunque f ([a, b]) non è un intervallo.
Proposizione 7.5.6 (Invertibilità delle funzioni monotone). Sia I ⊂ R un intervallo;
sia f : I → R una funzione continua e strettamente monotona (supponiamo crescente).
Allora f è invertibile e la funzione inversa è continua.
Dimostrazione. Se f strettamente crescente, allora f è iniettiva e f ([a, b]) = [f (a), f (b)].
Allora, possiamo definire:
f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b] | ∀f −1 (p) ∈ [f (a), f (b)] : f (f −1 (p)) = p
f −1 è monotona; per il criterio precedente, si ha:
f −1 ([f (a), f (b)]) = [a, b] ⇒ f −1 ∈ C([f (a), f (b)])
In maniera analoga, si dimostra il caso in cui f strettamente decrescente.
7.6
Continuità uniforme
Definizione 7.6.1 (Continuità uniforme). Sia I ⊆ R e f : I → R. f si dice uniformemente continua in I se
∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀p ∈ I, ∀q ∈ I, |p − q| < δ : |f (p) − f (q)| < ε
Osservazione 7.6.2. La differenza tra continuità e continuità uniforme sta nel fatto che
δ dipende soltanto dalla scelta di ε, non dai punti p e q.
Teorema 7.6.3 (Teorema di Heine-Cantor). Sia I ⊆ R, I compatto e f : I → R continua
in I; allora f uniformemente continua in I.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo f non uniformemente continua in I, ossia:
∃ε0 > 0 | ∀δ > 0, ∃pδ ∈ I, ∃qδ ∈ I : |pδ − qδ | < δ ∧ |f (pδ ) − f (qδ )| ≥ ε0
Definiamo le successioni {an }n∈N e {bn }n∈N :
∀n ∈ N r {0}, an = p 1 , bn = q 1
n
n
107
7.6. CONTINUITÀ UNIFORME
Essendo I compatto in R, è compatto per successioni, quindi esiste una sottosuccessione
{ajn }n∈N convergente ad un punto p ∈ I. Per ipotesi, si ha:
∀n ∈ N, |ajn − bjn | = |p 1 − q 1 | <
jn
⇒ bjn
1
1
∈ ajn − , ajn +
jn
jn
jn
1
⇒
jn
!
⇒ lim bjn = lim ajn = p
n→∞
n→∞
Utilizzando la disuguaglianza triangolare, la continuità di f e la negazione della tesi, si
ha:
ε0 ≤ lim |f (ajn ) − f (bjn )| ≤ lim (|f (ajn ) − f (p)| + |f (bjn ) − f (p)|) = 0
n→∞
n→∞
che è assurdo.
Proposizione 7.6.4 (Proprietà delle funzioni uniformemente continue). L’insieme delle
funzioni uniformemente continue su I è chiuso per somma, moltiplicazione per scalari e
composizione.
1. f : I → R, g : I → R uniformemente continue in I, allora f + g uniformemente
continua su I;
2. f : I → R uniformemente continua in I, λ ∈ R, allora λf uniformemente continua
su I;
3. f : J → R, g : I → R uniformemente continue in J e I rispettivamente e f (J) ⊂ I,
allora g ◦ f è uniformemente continua in J.
Dimostrazione.
1. Essendo f, g uniformemente continue:
∀ε > 0 ∃δf,ε > 0, ∃δg,ε > 0 | ∀p ∈ I, ∀q ∈ I
|p − q| < δf,ε ⇒ |f (p) − f (q)| < ε ∧ |p − q| < δg,ε ⇒ |g(p) − g(q)| < ε
Definiamo
δε = min{δf, 2ε , δg, 2ε }
Allora, si ha:
∀p ∈ I, ∀q ∈ I, |p − q| < δε ⇒
|(f +g)(p)−(f +g)(q)| = |f (p)−f (q)+g(p)−g(q)| ≤ |f (p)−f (q)|+|g(p)−g(q)| < ε
Quindi f + g è uniformemente continua in I.
2. Per definizione di uniforme continuità, si ha:
∀ε > 0, ∃δε > 0 | ∀p ∈ I, ∀q ∈ I, |p − q| < δ : |f (p) − f (q)| < ε
Se λ 6= 0:
ε ⇒
∀p ∈ I, ∀q ∈ I, |p − q| < δ |λ|
⇒ |(λf )(p) − (λf )(q)| = |λ(f (p) − f (q))| = |λ| · |f (p) − f (q)| < |λ|
Se λ = 0, λf è la funzione nulla che è uniformemente continua in I.
ε
=ε
|λ|
108
CAPITOLO 7. CONTINUITÀ
3. Per definizione di uniforme continuità di f e g, si ha:
∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀p ∈ I, q ∈ I, |p − q| < δ : |g(p) − g(q)| < ε
∀δ > 0 ∃σ > 0 | ∀x ∈ J, y ∈ I, |x − y| < σ : |f (x) − f (y)| < δ
Allora:
∀ε > 0 ∃σ > 0 | ∀x ∈ J, y ∈ J, |x − y| < σ : |g(f (x)) − g(f (y))| < ε
Allora g ◦ f è uniformemente continua in J.
Capitolo 8
Derivabilità
8.1
8.1.1
Simboli di Landau
o piccolo
Definizione 8.1.1 (o piccolo). Supponiamo di avere due funzioni f : D → R e g : D → R.
Sia x0 un punto di accumulazione per f e g. Supponiamo inoltre ∀x ∈ D r{x0 } g(x) 6= 0.
Si dice che f è o piccolo di g per x → x0 (in simboli f (x) = o(g(x))) se:
lim
x→x0
f (x)
=0
g(x)
Esempio 8.1.2. Si ha che x3 = o(x2 ), poichè
x3
= lim x = 0
x→0
x→0 x2
lim
In generale:
xa = o(xb ) ⇔ a > b
Esempio 8.1.3. Si ha che arctan2 (x) = o(x) per x → 0, poichè
arctan2 (x)
arctan2 (x)
= lim
x=0
lim
x→0
x→0
x
x2
Definizione 8.1.4 (Definizione alternativa). Si dice che f è o piccolo di g per x → x0 se
esiste una funzione ω : D → R tale che:
∀x ∈ D
f (x) = g(x)ω(x)
lim ω(x) = 0
x→x0
Osservazione 8.1.5. Nel primo esempio abbiamo verificato che x3 = o(x2 ). Possiamo
utilizzare la definizione alternativa:
x3 = x2 · x
Proposizione 8.1.6 (Proprietà algebriche di o piccolo). Siano f1 , f2 : D → R due
funzioni con la proprietà che f1 (x) = o(g(x)), f2 (x) = o(g(x)) per x → x0 . Allora:
1. f1 (x) ± f2 (x) = o(g(x))
2. Se a ∈ R, af1 (x) = o(g(x))
109
110
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
3. f1 (x) · f2 (x) = o(g 2 (x))
4. Sia f (x) una generica funzione, allora f (x)f1 (x) = o(f (x)g(x))
5. (Proprietà transitiva di o piccolo) o(o(g(x))) ⊆ o(g(x))
6. Se vale anche che |f2 (x)| ≥ |f1 (x)| allora si ha che o(f1 (x)) ⊆ o(f2 (x))
7. Sia f (x) una funzione tale che lim f (x) = C 6= 0, allora o(f (x)g(x)) = o(g(x))
x→x0
Dimostrazione. Sono tutte semplici verifiche svolte utilizzando la definizione alternativa.
Per ipotesi:
∃ω1 , ω2 : D → R | f1 (x) = g(x)ω1 (x) ∧ f2 (x) = g(x)ω2 (x)
1. f1 (x) ± f2 (x) = g(x)[ω1 (x) ± ω2 (x)], dove la funzione ω1 (x) ± ω2 (x) tende a 0 per
x → x0 .
2. af1 (x) = ag(x)ω1 (x) = g(x) · (aω1 (x)), dove aω1 (x) tende a a · 0 = 0 per x → x0 .
3. f1 (x)f2 (x) = g 2 (x)(ω1 (x)ω2 (x)) dove ω1 (x)ω2 (x) tende a 0 · 0 = 0 per x → x0 .
4. f (x)f1 (x) = f (x)w1 (x)g(x) = (f (x)g(x))w1 (x) = o(f (x)g(x))
5. Sia h(x) una funzione tale che h(x) = o(o(g(x))) e sia H(x) una funzione tale che
H(x) = o(g(x)), allora vale ovviamente che h(x) = o(H(x)), da cui segue
h(x)
= o(1)
H(x)
H(x)
= o(1)
g(x)
Moltiplicando membro a membro si ottiene
h(x)
= o(1)o(1) = o(1) ⇒ h(x) = o(g(x))
g(x)
concludendo la dimostrazione.
6. Sia h(x) una funzione tale h(x) = o(f1 (x)). Segue che
|h(x)|
= o(1)
|f1 (x)|
Per ipotesi, si ha:
o(1) =
|h(x)|
|h(x)|
≥
|f1 (x)|
|f2 (x)|
Applicando il principio del confronto si ottiene che h(x) = o(f2 (x)) concludendo la
dimostrazione.
7. In un intorno di x0 vale f (x) = C + o(1). Quindi l’ipotesi C 6= 0 implica l’esistenza
di δ > 0 tale che
|C|
|x − x0 | < δ ⇒
≤ |f (x)| ≤ 2|C|
2
Moltiplicando per |g(x)|. si ottiene che
|C||g(x)|
≤ |f (x)||g(x)| ≤ 2|C||g(x)|
2
111
8.1. SIMBOLI DI LANDAU
Sfruttando il risultato di un punto precedente e usando la seguente disuguaglianza
|f (x)||g(x)| ≤ 2|C||g(x)|
si ottiene che o(f (x)g(x)) ⊆ o(g(x)). Procedento in maniera analoga con la disuguaglianza
|C||g(x)|
≤ |f (x)||g(x)|
2
si ottiene l’altra inclusione, dimostrando la tesi.
Osservazione 8.1.7. In generale, non possiamo dire niente su
g(x)ω1 (x)
f1 (x)
=
f2 (x)
g(x)ω2 (x)
Esempio 8.1.8. Supponiamo di avere f (x) = o(x2 ) per x → 0, cosa si può dire di xf 2 (x)?
Per ipotesi f (x) = x2 ω(x) con ω(x) → 0 per x → 0; allora
xf 2 (x) = x · x4 · ω 2 (x) = x5 · ω 2 (x)
lim ω 2 (x) = 0
x→0
Dunque è xf 2 (x) è o(x5 ).
Esempio 8.1.9. Sia f (x) = o(x2 ) per x → 0. Cosa si può dire di arctan(f (x))?
arctan(f (x)) = arctan(x2 ω(x)) = x2 ω(x)
Inoltre
arctan(x2 ω(x)
x2 ω(x)
arctan(x2 ω(x))
=1
x→0
x2 ω(x)
lim ω(x) = 0 e lim
x→0
Allora
arctan(f (x)) = o(x2 )
8.1.2
Equivalenza asintotica e O grande
Definizione 8.1.10 (Equivalenza asintotica). Si dice che due funzioni f (x) e g(x) sono
asintoticamente equivalenti (in simboli f ∼ g) se vale
f (x) = g(x)ω(x) e lim ω(x) = 1
x→x0
Definizione 8.1.11 (O grande). Date due funzioni f (x) e g(x), si dice che f (x) è
O grande di g(x) (in simboli f = O(g)) se vale
f (x) = g(x)ω(x) e ω(x) è limitata in un intorno di x0
Oppure, equivalentemente, se lim sup |ω(x)| ∈ R.
x→x0
Osservazione 8.1.12 (Definizioni alternative). Se, per x → x0 , ha senso dividere per
g(x), otteniamo le equivalenti, e spesso più utili, definizioni di equivalenza asintotica (1)
e O grande (2).
(1) f (x) ∼ g(x) ⇔ lim
x→x0
f (x)
= 1.
g(x)
112
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
(2) f (x) = O(g(x)) ⇔ lim
x→x0
f (x)
= M ∈ R r {0}.
g(x)
Esempio 8.1.13.
sin(x)
x
Scegliendo ω(x) = sinx x , per x → 0 abbiamo che ω(x) → 1; allora sin(x) = O(x), anzi
sin(x) ∼ x.
In generale notiamo che, f (x) ∼ g(x) ⇒ f (x) = O(g(x)), ma non viceversa.
sin(x) = x ·
Proposizione 8.1.14 (Proprietà algebriche di O grande). Siano f1 , f2 : D → R due
funzioni con la proprietà che f1 (x) = O(g(x)), f2 (x) = O(g(x)) per x → x0 . Allora:
1. f1 (x) ± f2 (x) = O(g(x))
2. Se a ∈ R, af1 (x) = O(g(x))
3. f1 (x) · f2 (x) = O(g 2 (x))
4. Sia f (x) una generica funzione, allora f (x)f1 (x) = O(f (x)g(x))
5. O(O(g(x))) ⊆ O(g(x))
6. Se vale anche che |f2 (x)| ≥ |f1 (x)| allora si ha che O(f1 (x)) ⊆ O(f2 (x))
7. Sia f (x) una funzione tale che x→x
lim f (x) = C 6= 0, allora O(f (x)g(x)) = O(g(x))
0
Dimostrazione. Le verifiche sono analoghe a quelle gia’ fatte per o piccolo
8.1.3
Relazioni o piccolo-O grande
Proposizione 8.1.15. Date f (x) e g(x) funzioni reali, allora per x → 0 si ha:
• f (x) = O(xk ) e g(x) = o(xh ) ⇒ f (x)g(x) = o(xh+k ).
• g(x) = o(xk ) e f (x) = O(x) ⇒ f (g(x)) = o(xk ).
• f (x) = o(xk ) e g(x) = O(x) ⇒ f (g(x)) = o(xk ).
Dimostrazione.
• Per ipotesi, abbiamo:
f (x) = xk ω1 (x) e g(x) = xh ω2 (x)
lim ω1 (x) = M ∈ R r {0} e lim ω2 (x) = 0
x→x0
Allora:
x→x0
f (x)g(x) = xh+k ω1 (x)ω2 (x)
ω1 è limitata e ω2 (x) → 0. Allora si ha la tesi.
• Per ipotesi, abbiamo:
g(x) = xk ω1 (x) e f (x) = xω2 (x)
lim ω1 (x) = M ∈ R r {0} e lim ω2 (x) = 0
x→x0
Allora:
x→x0
g(f (x)) = (f (x))k ω1 (f (x)) = xk · (ω2 (x))k · ω1 (xω2 (x))
Per x → 0, (ω2 (x))k → 0 e ω1 (xω2 (x)) → 0, da cui la tesi.
• Analoga alla 2).
113
8.2. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
8.2
8.2.1
Derivata di una funzione
Definizioni e interpretazione geometrica
Definizione 8.2.1 (Rapporto incrementale). Data f (x) una funzione reale, si dice rapporto incrementale la funzione Υ definita da:
Υ(x0 ) =
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h
h ∈ [−δ, +δ] r {0}
Osservazione 8.2.2 (Interpretazione geometrica del rapporto incrementale). Geometricamente il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta passante per i
punti
(x0 , f (x0 )) (x0 + h, f (x0 + h))
Definizione 8.2.3 (Derivata in x0 ). Si dice che f (x) è derivabile in x0 se esiste, finito,
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
lim
Tale limite è detto derivata di f in x0 . Utilizzeremo le seguenti notazioni:
f 0 (x0 )
df
(x0 )
dx
f˙(x0 )
Definizione 8.2.4 (Derivabilità). Una funzione f : D −→ R si dice derivabile in D se
ogni punto del dominio è interno a D ed derivabile in ogni punto di D. In tal caso si
indica con f 0 (x) la funzione derivata.
Osservazione 8.2.5 (Interpretazione geometrica della derivata). Per h che tende a 0, la
retta secante approssima la tangente al grafico di f in x0 . Tale retta ha equazione:
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
f 0 (x0 ) rappresenta il coefficiente angolare come detto in precedenza.
Definizione 8.2.6 (Derivata destra e sinistra). Per la definizione data di derivata, si
definisce derivata destra (sinistra) il limite destro (sinistro) del rapporto incrementale.
Osservazione 8.2.7. Una funzione è derivabile in x0 se e solo se esiste, finito, il limite
del rapporto incrementale, quindi il limite destro coincide con quello sinistro.
Definizione 8.2.8 (Differenziabilità). Si dice che f (x) è differenziabile in x0 se
∃α ∈ R | f (x0 + h) = f (x0 ) + αh + o(h) per h → 0
Lemma 8.2.9 (Unicità della costante di differenziabilità). Se f (x) è differenziabile in
x0 , allora
∃!α | f (x0 + h) = f (x0 ) + αh + o(h)
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano α1 , α2 che verificano la condizione
data; allora, per h → 0 abbiamo:
f (x0 + h) = f (x0 ) + α1 h + o(h)
f (x0 + h) = f (x0 ) + α2 h + o(h)
Per riduzione si ha:
(α1 − α2 )h = o(h) ⇔ α1 − α2 = 0
114
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
Teorema 8.2.10 (Equivalenza di derivabilità e differenziabilità per funzioni reali). Sia
f : D −→ R una funzione. f è differenziabile in x0 se e solo se è derivabile in x0 .
Dimostrazione. ⇐)
Equivalentemente mostriamo che f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h + o(h).
Si verifica che:
f (x0 + h) − f (x0 )
− f 0 (x0 ) = 0 ⇔
lim
h→0
h
⇔ f (x0 + h) − f (x0 ) − f 0 (x0 )h = o(h)
da cui si ottiene la tesi.
⇒)
Per ipotesi vale che f (x0 + h) = f (x0 ) + αh + o(h), allora:
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) + αh + o(h) − f (x0 )
= lim
=α
h→0
h→0
h
h
lim
Dunque f 0 (x0 ) esiste e vale α.
Teorema 8.2.11. Sia f : D → R derivabile. Allora f è continua.
Dimostrazione. Sia x0 ∈ D. Allora esiste
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
h→0
h
lim
Moltiplicando per h, si ha:
lim f (x0 + h) − f (x0 ) = lim f 0 (x0 ) · h = 0
h→0
h→0
Allora f è continua in x0 . Essendo vero ∀x ∈ D, si ha che f è continua in tutto il suo
dominio.
Definizione 8.2.12 (Derivata seconda). Sia f : D → R una funzione derivabile. Se
esiste finito
f 0 (x0 + h) − f 0 (x0 )
lim
h→0
h
diciamo che f è derivabile due volte in x0 e la funzione f 00 (x0 ) è detta derivata seconda
in x0 .
Osservazione 8.2.13 (Derivata n-esima). In maniera analoga, si definisce la derivata
n-esima di una funzione, come derivata della funzione derivata di ordine n − 1.
Definizione 8.2.14 (Funzione di classe C n ). Una funzione f : D → R derivabile n volte
in D con derivata n-esima continua, si dice di classe C n (D).
Tabella delle derivate delle funzioni elementari
• ∀n ∈ R, (xn )0 = nxn−1
• (ex )0 = ex
• (ax )0 = ax log a
• (sin x)0 = cos x
• (cos x)0 = − sin x
115
8.2. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
• (k)0 = 0, k ∈ R
• (log x)0 =
1
x
• (arcsin x)0 =
√ 1
1−x2
• (arccos x)0 =
√ −1
1−x2
• (arctan x)0 =
1
1+x2
Dimostrazione. Le verifiche sono utili esercizi. Ne svogliamo alcune.
• (log x)0 =
1
x
log(x0 + h) − log(x0 )
1
x0 + h
lim
= lim log
h→0
h→0 h
h
x0
= lim
log 1 +
h
x0
h
x
x0 0
h→0
= lim ln e
h→0
!
=
1
1
=
x0
x0
• (sin x)0 = cos x
sin(x0 + h) − sin(x0 )
sin x0 cos h + cos x0 sin h − sin x0
= lim
=
h→0
h→0
h
h
lim
= lim sin(x0 )
h→0
• (ax )0 = ax log a
8.2.2
cos(h) − 1
sin(h)
h + cos(x0 )
= cos x0
2
h
h
ax (ah − 1)
ax+h − ax
= lim
= ax log a
lim
h→0
h→0
h
h
Proprietà delle funzioni derivabili
Proposizione 8.2.15 (Algebra delle derivate). Siano f, g funzioni derivabili in x0 ; allora
si ha:
1. f + g è derivabile in x0 e
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 )
2. f · g è derivabile in x0 e
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 )
3. Se f (x0 ) 6= 0,
1
f
è derivabile in x0 e si ha:
1
f
4. Se g(x0 ) 6= 0,
f
g
!0
(x0 ) = −
f 0 (x0 )
f 2 (x0 )
è derivabile in x0 e si ha:
f
g
!0
(x0 ) =
f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 )
g 2 (x0 )
116
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
1. Segue dalla proprietà di somma di limiti.
Dimostrazione.
2. Ricordando che x − x0 = h, abbiamo:
lim
x→x0
f (x)g(x) − f (x0 )g(x) f (x0 )g(x) − f (x0 )g(x0 )
+
x − x0
x − x0
= lim
x→x0
= lim
x→x0
(f g)(x) − (f g)(x0 )
=
x − x0
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
g(x)
+ f (x0 )
x − x0
x − x0
!
=
!
= g(x0 )f 0 (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
3. Per definizione:
lim
1
f (x)
1
f (x0 )
x − x0
x→x0
4. Si osservi che
−
f
g
=f·
1
g
= lim
x→x0
1
f (x0 ) − f (x)
·
f (x)f (x0 )
x − x0
!
=−
f 0 (x0 )
f 2 (x0 )
e si applichino i due risultati appena dimostrati.
Proposizione 8.2.16 (Derivata della funzione composta). Siano f e g funzioni derivabili
in x0 . Allora g ◦ f è derivabile in x0 e risulta che:
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
Dimostrazione. Per definizione:
g(f (x + h)) − g(f (x)) f (x + h) − f (x)
g(f (x + h)) − g(f (x))
= lim
·
=
h→0
h→0
h
f (x + h) − f (x)
h
lim
g(f (x + h)) − g(f (x))
f (x + h) − f (x)
· lim
=
h→0
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= lim
g(y + k) − g(y)
f (x + h) − f (x)
· lim
=
k→0
h→0
y+k−y
h
= lim
g(y + k) − g(y)
f (x + h) − f (x)
lim
== g 0 (y) · f 0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x)
k→0
h→0
k
h
= lim
Esempio 8.2.17. Calcoliamo la derivata di f (x) =
f 0 (x) =
8.3
8.3.1
sin(log(x))
.
x
Per le regole esposte, si ha:
cos(log x)
cos(log x) − sin(log x)
· x − sin(log x)
x
x2
Teoremi sulle funzioni derivabili
Teoremi di Fermat e Rolle
Teorema 8.3.1 (Teorema di Fermat). Sia f : D → R. Se x0 è punto di massimo o di
minimo per f e f è derivabile in x0 , allora f 0 (x0 ) = 0.
117
8.3. TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
Dimostrazione. Essendo f (x) derivabile in x0 , si ha che:
lim f 0 (x) = lim+ f 0 (x)
x→x−
0
x→x0
Supponiamo che x0 sia un punto di massimo (il caso x0 minimo è analogo). Allora, dato
l’incremento h:
f (x0 + h) − f (x0 ) ≤ 0
Dividiamo per h:
1) se h > 0,
f (x0 +h)−f (x0 )
h
≤ 0.
2) se h < 0,
f (x0 +h)−f (x0 )
h
≥ 0.
Passando al limite per h → 0, otteniamo che f+0 (x0 ) ≤ 0 e f−0 (x0 ) ≥ 0; per ipotesi i due
limiti coincidono perchè f è derivabile in x0 :
f+0 (x0 ) = 0 = f−0 (x0 ) ⇔ f 0 (x0 ) = 0
Teorema 8.3.2 (Teorema di Rolle). Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile
in (a, b). Se vale che f (a) = f (b) allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a, b) tale che
f 0 (x0 ) = 0.
Dimostrazione. Per il teorema di Weierstrass, f (x) assume in [a, b] un massimo M e un
minimo m assoluti. Allora abbiamo due casi:
1°) M = m, allora la funzione è costante e dunque f 0 (x) = 0, ∀x ∈ (a, b).
2°) m < M , allora
f (a) = f (b) ⇒ ∃x0 ∈ (a, b) | f (x0 ) = M oppure f (x0 ) = m
Dunque x0 è punto estremante per f (x) e f è derivabile in x0 . Allora f 0 (x0 ) = 0
per il teorema di Fermat.
8.3.2
Teorema di Lagrange e suoi corollari
Teorema 8.3.3 (Teorema di Lagrange). Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile
in (a, b); allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a, b) tale che
f 0 (x0 ) =
f (b) − f (a)
b−a
Dimostrazione. Sia h(x) = f (x) − kx, con k ∈ R. Questa funzione è continua e derivabile
perchè somma di funzioni che lo sono. Vogliamo che h verifichi le ipotesi del teorema di
Rolle, quindi determiniamo k affinché h(a) = h(b):
f (a) − ka = f (b) − kb ⇔ k =
Dunque
h(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
b−a
f (b) − f (a)
x
b−a
118
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
Per il teorema di Rolle, possiamo affermare che ∃x0 ∈ [a, b] | h0 (x0 ) = 0.
h0 (x) = f 0 (x) −
Se h0 (x0 ) = 0, otteniamo
f 0 (x0 ) =
f (b) − f (a)
b−a
f (b) − f (a)
b−a
Esempio 8.3.4. Sia f (x) = log2 (x) e sia [a, b] = [1, 4]. Siamo nelle ipotesi del teorema
di Lagrange e abbiamo:
log2 (4) − log2 (1) =
Allora
x0 =
1
(4 − 1)
x0 log 2
3
2 log 2
è il punto cercato.
Dal teorema di Lagrange si ricavano corollari molto importanti, che legano la monotonia di una funzione al segno della sua derivata.
Corollario 8.3.5 (Derivata nulla ⇒ funzione costante). Sia f : [a, b] → R una funzione
continua in [a, b] e derivabile in (a, b); sia f 0 la derivata di f e sia f 0 (x) = 0 ∀x ∈ (a, b);
allora f è costante in tale intervallo, cioè:
f (x) = k
∀x ∈ R
Dimostrazione. Siano, α, β ∈ [a, b]. Possiamo applicare il teorema di Lagrange alla
funzione definita nell’intervallo [α, β]:
∃c ∈ (α, β) |
f (β) − f (α)
= f 0 (c)
β−α
Per ipotesi, f 0 (x) = 0 ∀x ∈ (a, b); allora:
f (β) − f (α)
= 0 ⇔ f (β) = f (α)
β−α
Corollario 8.3.6 (Derivata non negativa ⇒ funzione debolmente crescente). Sia f :
[a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b); sia f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).
Allora la funzione è debolmente crescente nell’intervallo [a, b].
Dimostrazione. Siano α, β ∈ [a, b], α < β. Per ipotesi, la funzione è derivabile in (a, b),
allora possiamo applicare il teorema di Lagrange alla funzione definita nell’intervallo [α, β]:
∃c ∈ (α, β) |
f (β) − f (α)
= f 0 (c)
β−α
Per ipotesi, f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b); allora:
f (β) − f (α)
≥0
β−α
Poichè α < β, deve valere f (α) ≤ f (β).
8.3. TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
119
Corollario 8.3.7 (Derivata positiva ⇒ funzione strettamente crescente). Sia f : [a, b] →
R una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b); sia f 0 (x) > 0 ∀x ∈ [a, b]. Allora la
funzione è strettamente crescente.
Dimostrazione. Siano α, β ∈ [a, b], α < β. Per ipotesi, la funzione è derivabile in (a, b);
possiamo applicare il teorema di Lagrange alla funzione definita nell’intervallo [α, β]:
∃c ∈ (α, β) |
f (β) − f (α)
= f 0 (c)
β−α
Poichè f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (a, b), si ha:
f (β) − f (α)
>0
β−α
Poichè α < β, deve valere f (α) < f (β). Possiamo concludere che la funzione è
monotona crescente.
Corollario 8.3.8 (Derivata non positiva ⇒ funzione deblomente decrescente). Sia f :
[a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b); sia f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b).
Allora la funzione è debolmente decrescente nell’intervallo [a, b].
Corollario 8.3.9 (Derivata negativa ⇒ funzione strettamente decrescente). Sia f :
[a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b); sia f 0 (x) < 0 ∀x ∈ [a, b].
Allora la funzione è strettamente decrescente nell’intervallo [a, b].
Dimostrazione. Le dimostrazioni sono del tutto analoghe a quelle appena svolte.
Lipschitzianità di una funzione
Definizione 8.3.10 (Funzione lipschitziana). Sia f : D → R una funzione. f si dice
lipschitziana se
|f (x1 ) − f (x2 )|
∃L ∈ R | ∀x1 , x2 ∈ D :
<L
|x1 − x2 |
In maniera equivalente:
∃L ∈ R | ∀x1 , x2 ∈ D : |f (x1 ) − f (x2 )| < L|x1 − x2 |
Il minimo L per cui vale la suddetta relazione si chiama costante di Lipschitz.
Proposizione 8.3.11 (Derivata limitata ⇒ funzione lipschitziana). Se f : [a, b] → R
è una funzione continua e derivabile nell’intervallo [a, b] e esiste k > 0 tale che ∀x ∈
[a, b] |f 0 (x)| ≤ k, si ha che f è lipschitziana in [a, b].
Dimostrazione. Siano α, β ∈ [a, b], con α < β. Possiamo applicare il teorema di Lagrange
alla funzione definita nell’intervallo [α, β].
∃c ∈ (α, β) |
f (β) − f (α)
= f 0 (c)
β−α
Per la limitatezza della derivata, si ha:
f (β) − f (α) β−α ≤k
Essendo vero per ogni α, β ∈ [a, b], si ha che la funzione è lipschitziana.
120
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
Teorema 8.3.12 (Lipschitzianità ⇒ uniforme continuità). Sia f : A → R una funzione
lipschitziana. Allora f è uniformemente continua in A.
Dimostrazione. Per ipotesi di lipschitzianità, ∃L ∈ R | ∀x1 , x2 ∈ A : |f (x1 ) − f (x2 )| <
L|x1 − x2 |.
Sia ε > 0; fissiamo δ = Lε . Allora ∀x1 , x2 ∈ A, |x1 − x2 | < δ, si ha:
|f (x1 ) − f (x2 )| < L|x1 − x2 | < Lδ = ε
Dunque f è uniformemente continua.
8.3.3
Teoremi di Cauchy e de l’Hôpital
Teorema 8.3.13 (Teorema di Cauchy). Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue in
[a, b] e derivabili in (a, b). Allora esiste almeno un punto x0 in (a, b) tale che
[f (b) − f (a)]g 0 (x0 ) = f 0 (x0 )[g(b) − g(a)]
Dimostrazione. Definiamo la funzione ausiliaria
h(x) = [f (b) − f (a)]g(x) − [g(b) − g(a)]f (x)
che rispetta le ipotesi del teorema. Inoltre si verifica facilmente che h(a) = h(b), dunque
la funzione h(x) rispetta le ipotesi del teorema di Rolle. Allora
∃x0 ∈ (a, b) | h0 (x0 ) = 0
Inoltre, si ha:
h0 (x) = [f (b) − f (a)]g 0 (x) − [g(b) − g(a)]f 0 (x)
Valutando in x0 , si ha:
h0 (x0 ) = 0 = [f (b) − f (a)]g 0 (x0 ) − [g(b) − g(a)]f 0 (x0 )
Teorema 8.3.14 (Teorema di de l’Hôpital). (forma indeterminata 00 )
Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue; sia x0 ∈ (a, b) | x→x
lim f (x) = x→x
lim g(x) = 0.
0
0
Si supponga che:
• f e g sono derivabili in (a, b) r {x0 };
• ∀x ∈ (a, b) r {x0 }
g 0 (x) 6= 0;
• esiste il limite
lim
x→x
0
Allora si ha:
lim
x→x0
f 0 (x)
=l
g 0 (x)
f (x)
=l
g(x)
8.3. TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
121
Dimostrazione. Per ipotesi, vale:
∀x ∈ (a, b) r {x0 } g 0 (x) 6= 0 e g(x0 ) = 0
Allora non esiste un altro punto
y0 ∈ (a, b) r {x0 } | g(y0 ) = 0
Quindi g(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) r {x0 }. Infatti, se
∃x1 ∈ (a, b) r {x0 } | g(x1 ) = 0
la funzione g rispetterebbe le ipotesi del teorema di Rolle in (x0 , x1 ); allora, esisterebbe
un punto estremante in cui la funzione è derivabile
l ∈ (x0 , x1 ) | g 0 (l) = 0
contrariamente alle ipotesi del teorema.
Consideriamo una successione {xn }n∈N con xn 6= x0 ∀n ∈ N che converge a x0 ; fissato n,
per il teorema di Cauchy esiste zn ∈ [xn , x0 ] (supponendo x0 > xn ∀n ∈ N) tale che
f (xn ) − f (x0 )
f 0 (zn )
f (xn )
=
= 0
g(xn )
g(xn ) − g(x0 )
g (zn )
Consideriamo, quindi, la successione {zn }n∈N . Poichè ∀n ∈ N, 0 ≤ |zn − x0 | ≤ |xn − x0 |,
per il teorema dei carabinieri la successione {zn }n∈N converge a x0 . Per la terza ipotesi
risulta:
f 0 (zn )
f (xn )
= lim 0
lim
n→∞ g (z )
n→∞ g(x )
n
n
Poichè la successione {xn }n∈N è stata presa in modo arbitrario, si ottiene la tesi:
lim
x→x0
f (x)
=l
g(x)
)
Teorema 8.3.15 (Teorema di de l’Hôpital). (forma indeterminata ∞
∞
Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue, e sia x0 ∈ (a, b) | lim f (x) = lim g(x) =
x→x0
x→x0
±∞. Si supponga che:
• f e g sono derivabili in (a, b) r {x0 };
• g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) r {x0 };
• esiste il limite
lim
x→x
0
Allora si ha che
lim
x→x0
f 0 (x)
=l
g 0 (x)
f (x)
=l
g(x)
122
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
Dimostrazione. Si considera per semplicità solo il caso in cui l è finito (la dimostrazione
è analoga per l = ±∞).
Fissato (h, k) intorno di l si scelgono h0 e k 0 tali che h < h0 < l < k 0 < k. Per la seconda
ipotesi si ha:
f 0 (z)
0
< k 0 ∀z ∈ (x0 , x0 + δ)
∃δ > 0 | h < 0
g (z)
Fissato η = x0 + 2δ , prendiamo x ∈ (x0 , η). Per il teorema di Cauchy
∃z ∈ (x, η) |
f (x) − f (η)
f 0 (z)
= 0
g(x) − g(η)
g (z)
Poichè z ∈ (x0 , x0 + δ), abbiamo
f (η)
f (x) 1 − f (x)
f (x) − f (η)
0
0
<k ⇒h <
·
< k0
h <
g(η)
g(x) − g(η)
g(x) 1 − g(x)
0
Posto
β(x) =
si puó riscrivere
1−
1−
f (η)
f (x)
g(η)
g(x)
f (x)
k0
h0
<
<
β(x)
g(x)
β(x)
Utilizzando l’ipotesi che i limiti siano infiniti si ha
lim β(x) =
x→x0
1−0
=1
1−0
e da ció si deduce che in un intorno destro (x0 , x0 + σ) con σ < δ
h0
>h e
β(x)
e dunque
h<
k0
<k
β(x)
f (x)
<k
g(x)
Il risultato è valido ∀x ∈ (x0 , x0 + σ); poichè l’intorno (h, k) è stato scelto in modo
arbitrario, si ottiene
f (x)
lim
=l
x→x0 g(x)
Osservazione 8.3.16. Questo teorema non può essere ridotto a quello precedente scrivendo
1
f (x)
g(x)
= 1
g(x)
f (x)
Infatti, applicando il teorema di de l’Hôpital si ottiene
f 2 (x) g 0 (x)
·
x→0 g 2 (x) f 0 (x)
lim
e non il limite del rapporto delle derivate cercato.
123
8.3. TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
Esempio 8.3.17. Calcolare
limπ
x→ 2
1 − sin x
0
=
cos x
0
Non
h i abbiamo problemi di derivabilità e il limite si presenta nella
forma
indeterminata
0
π 2π
0
. Affinché g (x) = − sin x 6= 0 ∀x ∈ (a, b), scegliamo (a, b) = 2 , 3 . Applichiamo il
0
teorema di de l’Hôpital:
limπ
x→ 2
1 − sin x
− cos x
= limπ
=0
x→ 2 − sin x
cos x
Esempio 8.3.18. Calcolare
lim x log x
x→0+
Non abbiamo problemi di derivabilità e il limite si presenta nella forma indeterminata
(0 · (−∞)); tuttavia, può essere riscritto nella forma:
lim+
x→0
log x
1
x
=
1
x
− x12
=0
Esempio 8.3.19. Calcolare
ex − cos x
2xe2x + sin x
lim
= lim
x→0 sin x tan x
x→0 cos x tan x + sin x(1 + tan2 x)
2
Riscrivendo invece il limite nella forma equivalente:
ex − 1 1 − cos x
x2
·
+
lim
x→0 sin x tan x
x2
x2
2
!
=
3
2
8.3.20. Se, dopo aver applicato il teorema, il limite è ancora nella forma
, si può reiterare il processo verificando la validità delle ipotesi.
hOsservazione
i h i
0
0
o
8.3.4
∞
∞
Funzione inversa e differenziabilità
Teorema 8.3.21 (Derivata della funzione inversa). Sia I ⊆ R un intervallo aperto e
x0 ∈ I. Se F : I → R è una funzione di classe C 1 tale che F 0 (x0 ) 6= 0, allora esiste un
intorno U ⊆ I di x0 tale che la restrizione di F ad U
F : U → F (U)
è invertibile ed esiste G : F (U) → U tale che
G(F (x)) = x
F (G(y)) = y
∀x ∈ U
∀y ∈ F (U)
Inoltre G è derivabile e ∀y ∈ F (U) si ha:
1
d
G(y) = 0
dy
F (G(y))
Dimostrazione. Per ipotesi F 0 (x0 ) 6= 0, dunque per la continuità della funzione F 0 deve
esistere un intorno U di x0 tale che
F 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ U
Si hanno allora due casi:
124
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
• F 0 (x0 ) > 0 Per il teorema di permanenza del segno allora
F 0 (x) > 0 ∀x ∈ U
• F 0 (x0 ) < 0 Per il teorema di permanenza del segno allora
F 0 (x) < 0 ∀x ∈ U
La funzione F è continua e monotona strettamente crescente nel primo caso, o continua
e monotona strettamente decrescente nel secondo; in entrambi i casi ammette un’inversa
G.
Fissiamo x1 ∈ U e sia F (x1 ) = y1 , basta allora dimostrare che
lim
y→y1
1
F −1 (y) − F −1 (y1 )
= 0
y − y1
F (x1 )
Tale risultato è immediato operando un cambiamento di variabile; infatti, essendo y1 =
F (x1 ) e ponendo y = F (x), dunque x1 = F −1 (y1 ), x = F −1 (y):
lim
y→y1
x − x1
F −1 (y) − F −1 (y1 )
= lim
=
x→x
1 F (x) − F (x1 )
y − y1
1
1
= 0
F (x) − F (x1 )
F (x1 )
lim
x→x1
x − x1
Esempio 8.3.22. La funzione y = log x è invertibile e la sua inversa è y = ex .
Sia x = ey , (y = log x); applicando il teorema precedente, si ricava
d
log x =
dx
1
d y
e
dy
=
1
1
=
y
e
x
Esempio 8.3.23. La funzione y = arcsin x è invertibile e la sua inversa è y = sin x.
Sia x = sin y, (y = arcsin x); applicando il teorema precedente, si ricava
d
arcsin x =
dx
d
dy
1
1
1
1
=
=√
=
cos y
cos(arcsin(x))
sin y
1 − x2
In maniera del tutto analoga, si calcolano le derivate delle funzioni goniometriche inverse.
8.4
Teorema di Taylor con resto di Peano
Teorema 8.4.1. Sia (a, b) ⊆ R un intervallo aperto, sia f : (a, b) → R, sia n ∈ N+ , sia
x0 ∈ (a, b). Supponiamo che:
• f sia derivabile n − 1 volte in (a, b);
• f sia derivabile n volte in x0 .
Allora esiste un unico polinomio Pn (x), detto polinomio di Taylor, tale che
f (x) = Pn (x) + Rn (x)
n
X
f (n) (x0 )
(x − x0 )i
n
Pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + . . . +
(x − x0 ) =
f (i) (x0 )
n!
i!
i=0
0
con f (0) (x) = f (x), ∀x ∈ R e f (i) (x0 ) che indica la derivata i-esima. Rn (x) è tale che
lim
x→x0
Rn (x)
=0
(x − x0 )n
125
8.4. TEOREMA DI TAYLOR CON RESTO DI PEANO
Osservazione 8.4.2. Rn (x) si puó esprimere in diversi modi:
• resto di Peano
• resto di Lagrange
• resto di Cauchy
• resto integrale
Tratteremo soltanto i primi due casi.
Osservazione 8.4.3. Non è restrittivo supporre x0 = 0; se x0 6= 0, si effettua la
sostituzione t = x − x0 . Per le definizioni date, vale che Rn (x) = o(xn ).
Lemma 8.4.4 (Unicità del polinomio di Taylor). Se Pn (x) esiste, allora è unico.
Dimostrazione. Ammettiamo che esistano Pn (x) e Qn (x) polinomi di Taylor per f (x) :
(a, b) → R. Allora f (x) = Pn (x) + o(xn ) = Qn (x) + o(xn ).
Pn (x) − Qn (x)
=0
x→0
xn
Pn (x) − Qn (x) = o(xn ) ⇔ lim
Per definizione,
deg(Pn (x) − Qn (x)) ≤ n
Il limite è zero se e solo se
Pn (x) − Qn (x) = 0 ⇔ Pn (x) = Qn (x)
Proposizione 8.4.5 (Comportamento delle funzioni polinomiali composte e di o piccolo).
Siano:
P (x) = Pn (x) + o(xn ) = Pn (x) + xn ω1 (x) per x → 0
g(x) = Qn (x) + o(xn ) = Qn (x) + xn ω2 (x) per x → 0
Supponiamo, inoltre:
lim g(x) = 0
x→0
Allora
P (g(x)) = Pn (Qn (x)) + o(xn )
Dimostrazione. Dall’ipotesi
lim g(x) = 0
x→0
si deduce immediatamente che Qn (x) non ha il termine noto. Allora si può raccogliere x
in Qn (x).
P (g(x)) = Pn (g(x)) + [g(x)]n ω1 (g(x)]) =
Pn (Qn (x) + xn ω2 (x)) + [Qn (x) + xn ω2 (x)]n ω1 (g(x))
Scrivendo per esteso le Pn (x), applicando il teorema del binomio e ricordando che Qn (x)
non ha termine noto, si ha:
Pn (Qn (x) + xn ω2 (x)) = Pn (Qn (x)) + ω3 (x)xn con lim ω3 (x) = 0
x→0
Invece, in [Qn (x) + x ω2 (x)] si può raccogliere x . Allora:
n
n
n
[Qn (x) + xn ω2 (x)]n ω1 (g(x)) = xn ω3 (x) = o(xn ) ⇒
⇒ P (g(x)) = Pn (Qn (x)) + o(xn ) + o(xn )
126
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
Dimostrazione dell’esistenza del polinomio di Taylor con resto di Peano
Teorema 8.4.6 (Polinomio di Taylor con resto di Peano). Sia r ∈ R+ e sia
f : (−r, r) → R
Sia n ∈ N, supponiamo che:
• f sia derivabile n − 1 volte in (−r, r)
• f sia derivabile n volte in 0
Allora esiste un unico polinomio Pn (x) tale che
f (x) = Pn (x − x0 ) + o((x − x0 )n ) per x → x0
Ovvero
f (x) =
f (k) (x0 )
(x − x0 )k + o((x − x0 )n )
k!
k=1
n
X
Dove con f (k) (x0 ) si indica la derivata k−esima in x0
Svolgeremo la dimostrazione procedendo per passi. Per quando osservato, non è
restrittivo supporre x0 = 0.
Lemma 8.4.7 (Passo 1). Consideriamo un monomio
g(x) = ak xk con ak 6= 0, k ∈ N
Allora:
g (i) (0) =

0
se i 6= k
se i = k
k!ak
Dimostrazione. La dimostrazione consiste in una banale induzione. Se
i ≤ k, g (i) (x) = k · · · (k − i + 1)xk−i ak
Se
i > k, g (i) (x) = 0
Valutando in x = 0 si ha la tesi.
Lemma 8.4.8 (Passo 2). Consideriamo il polinomio
P (x) =
n
X
ak x k
k=0
Allora:

i! · a
P (i) (0) = 
i
0
se i ≤ n
se i > n
Dimostrazione. Applicando il passo 1 ai singoli monomi, si ottiene
P (i) (x) =
n
X
[ak xk ](i) =
k=0
Valutando in x = 0, si ha la tesi
n
X
k!
ak xk−i
(k
−
i)!
k=i
127
8.4. TEOREMA DI TAYLOR CON RESTO DI PEANO
Lemma 8.4.9 (Passo 3). Sia f (x) una funzione che rispetta le ipotesi del teorema, e sia
ϕ(x) = f (x) −
f (k) (0) k
x
k!
k=0
n
X
Allora
ϕ(i) (0) = 0, per i = 0, 1, ..., n
Dimostrazione. Con semplici passaggi algebrici si ottiene che
ϕ (0) = f (0) −
(i)
(i)
n
X
k=0
"
f (k) (0) k
x
k!
#(i)
= f (i) (0) −
f (i) (0)
i! = 0
i!
dove il passaggio contrassegnato da = deriva dal Passo 2.
Lemma 8.4.10 (Passo finale). Sia ϕ : (−r, r) → R una funzione tale che:
• sia derivabile n − 1 volte in (−r, r)
• sia derivabile n volte in 0
• ϕ(0) = ϕ(1) (0) = ... = ϕ(n) (0) = 0
Allora:
ϕ(x) = o(xn ) con x → 0
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che
ϕ(x)
=0
x→0 xn
lim
Utilizzando il teorema di de l’Hôpital, si ottiene:
ϕ(x)
ϕ(1) (x)
ϕ(n−1) (x)
=
lim
=
·
·
·
=
lim
x→0 xn
x→0 nxn−1
x→0
n!x
lim
Per concludere, utilizziamo la definizione di derivata (n − 1)-esima in x = 0 nel passaggio
contrassegnato con = :
ϕ(n−1) (x)
1
ϕ(n−1) (x) − ϕ(n−1) (0)
=
lim
= ϕ(n) (0) = 0
x→0
n!x
n! x→0
x
lim
Dimostrazione dell’esistenza del polinomio di Taylor con resto di Lagrange
Teorema 8.4.11 (Taylor con resto di Lagrange). Sia r ∈ R+ e sia ϕ : (−r, r) → R. Sia
n ∈ N, supponiamo che:
• f sia derivabile n − 1 volte in (−r, r)
• ϕ(0) = ϕ(1) (0) = · · · = ϕ(n) (0) = 0
Allora esiste c ∈ (0, x) tale che
ϕ(x) =
f (n+1) (c) n+1
x
(n + 1)!
128
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
Dimostrazione. Svolgiamo la dimostrazione facendo riferimento al precedente teorema e
sfruttandone i risultati ottenuti.
Sia ϕ : (−r, r) → R una funzione che rispetta le ipotesi del teorema. Vogliamo provare
che
ϕ(n+1) (c) n+1
x
∀x ∈ (−r, r), ∃c ∈ (0, x) | ϕ(x) =
(n + 1)!
Dimostrato questo, possiamo concludere sfruttando il teorema precedente.
Abbiamo
ϕ(x)
ϕ(1) (c1 )
ϕ(1) (c1 ) − ϕ(1) (0)
ϕ(x) − ϕ(0)
=
=
=
=
xn+1
xn+1 − 0n+1
(n + 1)cn1
(n + 1)(cn1 − 0n )
ϕ(2) (c2 )
ϕ(n−1) (cn−1 )
=
·
·
·
=
(n + 1)!
(n + 1)nc2n−1
Nei passaggi denotati con = abbiamo applicato il teorema di Cauchy. A questo punto
si itera questo procedimento fino ad ottenere la tesi.
=
Osservazione 8.4.12. Scegliendo come funzione ϕ quella definita nel passo 3 della dimostrazione dell’esistenza del polinomio di Taylor con resto di Peano, si ha un’espressione
più precisa di tale resto. Il risultato appena ottenuto è una generalizzazione del teorema
di Lagrange.
Proposizione 8.4.13 (Operazioni con i polinomi di Taylor).
Dimostrazione.
• Se f (x) = Pn (x) + o(xn ), g(x) = Qn (x) + o(xn ) allora:
f (x) ± g(x) = Pn (x) ± Qn (x) + o(xn )
Infatti,
f (x) = Pn (x) + xn ω1 (x)
g(x) = Qn (x) + xn ω2 (x)
per definizione di o piccolo.
Quindi, si ha:
f (x) ± g(x) = Pn (x) ± Qn (x) + xn (ω1 (x) ± ω2 (x))
ω1 (x) e ω2 (x) tendono a 0 per x → 0. Allora si ha la tesi.
• Sia α ∈ R:
αf (x) = αPn (x) + αo(xn ) = αPn (x) + o(xn )
Dunque, si ha la tesi.
• Se f (x) = Pn (x) + o(xn ), g(x) = Qn (x) + o(xn ) allora:
f (x)g(x) = Pn (x)Qn (x) + o(xn )
Infatti:
f (x) = Pn (x) + xn ω1 (x)
g(x) = Qn (x) + xn ω2 (x)
f (x)g(x) = Pn (x)Qn (x) + xn (Pn (x)ω2 (x) + Qn (x)ω1 (x) + ω1 (x)ω2 (x)xn )
=
{z
xn ω3 (x)
=
|
o(xn )
}
8.4. TEOREMA DI TAYLOR CON RESTO DI PEANO
8.4.1
Principali sviluppi di Taylor
xn
x2
+ ··· +
+ o(xn )
2!
n!
xn
x2 x3
log(1 + x) = x −
+
− · · · + (−1)n−1 + o(xn )
2
3
n
(2n+1)
x3 x5
n x
sin(x) = x −
+
− · · · + (−1)
+ o(x2n+1 )
3!
5!
(2n + 1)!
2n
x
x2
cos(x) = 1 −
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 )
2
(2n)!
x3 2x5
+
+ o(x6 )
tan(x) = x +
3
15
x3 3x5
(2n − 1)!!x2n+1
arcsin(x) = x +
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
6
40
(2n)!!(2n + 1)
x3
(2n − 1)!!x2n+1
π
− ··· −
+ o(x2n+2 )
arccos(x) = − x −
2
6
(2n)!!(2n + 1)
x 3 x5
x2n+1
arctan(x) = x −
+
− · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3
5
(2n + 1)
x2n+1
x3
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
sinh(x) = x +
3!
(2n + 1)!
x2 x4
x2n
cosh(x) = 1 +
+
+ ··· +
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
α(α − 1) 2
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx +
x + ··· +
x + o(xn )
2
n!
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn )
1−x
ex = 1 + x +
129
130
CAPITOLO 8. DERIVABILITÀ
Capitolo 9
Proprietà e studio di funzioni reali
9.1
9.1.1
Concavità e convessità
Prime definizioni e proprietà
Definizione 9.1.1 (Insieme convesso). Un sottoinsieme C di Rn si dice convesso se, per
ogni coppia P e Q di punti di C il segmento congiungente P e Q è contenuto in C.
Esempio 9.1.2. I sottoinsiemi convessi (non vuoti) della retta reale sono la retta reale,
le semirette, gli intervalli e i punti singoli; ovvero, al variare di a, b ∈ R:
(−∞, +∞)
[a, +∞), (a, +∞), (−∞, a], (−∞, a)
[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), {a}
Definizione 9.1.3 (Funzione convessa). Sia I un sottoinsieme convesso della retta reale.
Una funzione f : I → R si dice convessa se
∀x, y ∈ I λ ∈ [0, 1] f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
In particolare, f si dice strettamente convessa se, nella disuguaglianza precedente, vale
l’uguaglianza se e solo se x = y, λ = 0 o λ = 1.
Definizione 9.1.4 (Rapporto incrementale). Sia I un intervallo e siano x e y due punti
distinti in tale intervallo. Si definisce rapporto incrementale la seguente funzione di due
variabili:
Υ:I→R
f (x) − f (y)
Υ(x, y) =
x−y
La definizione data è equivalente a quella enunciata nel capitolo precedente.
Osservazione 9.1.5. Consideriamo una funzione f convessa definita in un intervallo I.
Allora per ogni coppia di punti (α; β), α < β ∈ I, si può considerare la retta secante al
grafico di f nei punti di ascisse α e β, che ha equazione:
rα,β (x) = f (α) + Υ(β, α)(x − α)
Siano ora y, t punti dell’intervallo I tali che y < t. Allora è possibile esprimere ogni
x ∈ [y, t] come combinazione lineare di y e t nel seguente modo:
x = λt + µy, con λ =
x−y
t−y
131
µ=1−λ=
t−x
t−y
132
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
Dalle ultime relazioni, si ricava che:
f (λt + (1 − λ)y) ≤ λf (t) + (1 − λ)f (y) ⇔
⇔ f (x) ≤ λf (t) + (1 − λ)f (y) =
f (t) − f (y)
(x − y) = ry,t (x)
t−y
L’interpretazione geometrica della disequazione appena ottenuta è molto importante e
costituisce una definizione alternativa di convessità.
= f (y) + λ(f (t) − f (y)) = f (y) +
Definizione 9.1.6 (Definizione alternativa). Sia I un sottoinsieme convesso della retta
reale. Una funzione f : I → R si dice convessa se ∀α, β ∈ I, con α < β, si ha:
f (x) ≤ rα,β (x), ∀x ∈ [α, β]
ovvero se la retta secante al grafico di f (x) nei punti di ascisse α e β sta sopra il grafico di
f (x) per ogni intervallo [α, β] ⊆ I. Analogamente, se la disuguaglianza è stretta si parla
di funzione strettamente convessa.
Esempio 9.1.7. Consideriamo la seguente funzione:
Lemma 9.1.8 (Lemma dei tre rapporti incrementali). Sia A ⊂ R un insieme convesso
e sia f : A → R una funzione convessa. Siano a, b, c ∈ A; possiamo supporre a < b < c.
Allora:
f (b) − f (a)
f (c) − f (a)
f (c) − f (b)
≤
≤
b−a
c−a
c−b
Dimostrazione. Per l’osservazione precedente, possiamo scrivere
b = λa + (1 − λ)c, con λ =
Allora vale:
c−b
∈ (0, 1)
c−a
f (b) = f (λa + (1 − λ)c) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (c)
per definizione di convessità.
• Sottraendo nella disuguaglianza di partenza f (c) a entrambi i membri, si ha:
f (b) − f (c) ≤ λ(f (a) − f (c)) =
c−b
(f (a) − f (c))
c−a
Dividendo per c − b > 0 e cambiando i segni, si ottiene:
f (c) − f (a)
f (c) − f (b)
≤
c−a
c−b
133
9.1. CONCAVITÀ E CONVESSITÀ
• Sottraendo nella disuguaglianza di partenza f (a) a entrambi i membri, si ha:
f (b) − f (a) ≤ (1 − λ)(f (c) − f (a)) =
b−a
(f (c) − f (a))
c−a
Dividendo per b − a > 0, ottiene:
f (b) − f (a)
f (c) − f (a)
≤
b−a
c−a
Osservazione 9.1.9. Con la notazione data, possiamo enunciare il lemma dicendo che:
∀a, b, c ∈ A, a < b < c,
Υ(a, b) ≤ Υ(a, c) ≤ Υ(b, c)
In maniera più precisa, possiamo dire che
• fissato y, la funzione x → Υ(x, y) è debolmente crescente;
• fissato x, la funzione y → Υ(x, y) è debolmente crescente.
Lemma 9.1.10. Sia f : [a, b] → R una funzione di una sola variabile x convessa e
derivabile in [a, b]. Allora per ogni a1 < b1 , a1 , b1 ∈ [a, b] esistono due costanti C1 e C2
dipendenti da a1 e b1 tali che
∀x, y ∈ [a1 , b1 ], y > x
C1 ≤ Υ(x, y) ≤ C2
Dimostrazione. Applichiamo il lemma dei tre rapporti a particolari terne di punti. Sia
y ∈ (a1 , b1 ); si ha:
∀x ∈ (a1 , y), Υ(a1 , x) ≤ Υ(a1 , y) ≤ Υ(x, y)
Sia x ∈ (a1 , b1 ); si ha:
∀y ∈ (x, b1 ), Υ(x, y) ≤ Υ(x, b1 ) ≤ Υ(y, b1 )
Allora, vale:
Υ(a1 , x) ≤ Υ(x, y) ≤ Υ(y, b1 )
Se scegliamo a2 ∈ (a, a1 ) e b2 ∈ (b1 , b), abbiamo:
Υ(a2 , a1 ) ≤ Υ(a2 , x) ≤ Υ(a1 , x)
Υ(y, b1 ) ≤ Υ(y, b2 ) ≤ Υ(b1 , b2 )
Infine, abbiamo:
Υ(a2 , a1 ) ≤ Υ(x, y) ≤ Υ(b1 , b2 )
con Υ(a2 , a1 ) e Υ(b1 , b2 ) costanti che dipendono da a1 e b1 .
Teorema 9.1.11. Sia f : (a, b) → R una funzione in una sola variabile convessa. Allora
per ogni x0 ∈ (a, b) esistono
f−0 (x0 ) = lim−
f (x) − f (x0 )
x − x0
f+0 (x0 ) = lim+
f (x) − f (x0 )
x − x0
x7→x0
x7→x0
Inoltre, vale:
f−0 (x0 ) ≤ f+0 (x0 )
134
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
Dimostrazione. Abbiamo osservato che, fissato x0 , le funzioni Υ(x, x0 ) e Υ(x0 , x) sono
debolmente crescenti. Tali funzioni sono anche limitate, dunque ammettono limite finito.
Questo prova l’esistenza della derivata destra e sinistra in x0 . Se le due derivate coincidono, concludiamo che la funzione è derivabile in x0 .
Applicando il lemma dei tre rapporti ai punti x0 , x0 + h e x0 − h, con h > 0, si ha:
Υ(x0 − h, x0 ) ≤ Υ(x0 , x0 + h)
Passando al limite, si ha la tesi:
f−0 (x0 ) ≤ f+0 (x0 )
Corollario 9.1.12 (Convessità e funzione continua). Sia f : (a, b) → R una funzione in
una sola variabile convessa. Allora f è continua in (a, b).
Dimostrazione. Sia x0 ∈ (a, b). Consideriamo
f (x) − f (x0 ) =
f (x) − f (x0 )
(x − x0 )
x − x0
Passando al limite, si ha:
lim f (x) − f (x0 ) = lim±
x−→x0
x→x0
f (x) − f (x0 )
(x − x0 ) = f±0 (x0 ) · 0
x − x0
Considerando che f−0 (x0 ) e f+0 (x0 ) esistono finiti, si ha la tesi:
lim f (x) − f (x0 ) = 0
x−→x0
Teorema 9.1.13 (Derivata seconda e convessità). Sia f : A → R derivabile due volte in
un intorno di c ∈ A, con f 00 continua in c. Se f 00 (c) < 0 la funzione è concava in c. Se
f 00 (c) > 0 la funzione è convessa in c.
Dimostrazione. Consideriamo il caso f 00 (c) > 0. Dobbiamo dimostrare che
∃I(c, δ) | ∀x ∈ I(c, δ) f (x) − f 0 (c)(x − c) − f (c) > 0
Sia
Y (x) = f (x) − f 0 (c)(x − c) − f (c)
Allora Y (c) = 0. Inoltre, la funzione Y è derivabile due volte perchè combinazione lineare
di funzioni che lo sono. Dunque:
Y 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (c) ⇒ Y 0 (c) = 0
Y 00 (x) = f 00 (x) ⇒ Y 00 (c) = f 00 (c) > 0
Essendo Y 00 (x) = f 00 (x) continua in c, si ha:
lim Y 00 (x) = Y 00 (c) > 0
x→c
Per il teorema della permanenza del segno
∃I(c, δ) | ∀x ∈ I(c, δ) Y 00 (x) > 0
135
9.1. CONCAVITÀ E CONVESSITÀ
Allora, la funzione Y 0 (x) è crescente in I(c, δ). Dunque, preso x ∈ I(c, δ):
x < c ⇒ Y 0 (x) < Y 0 (c) = 0
x > c ⇒ Y 0 (x) > Y 0 (c) = 0
Allora, possiamo affermare che la funzione Y (x) presenta un estremante nel punto c,
precisamente un minimo.
Si ha:
∀x ∈ I(c, δ) Y (x) > Y (c) = 0
Dunque, abbiamo la tesi.
9.1.2
Media pesata e funzioni convesse
Definizione 9.1.14 (Media pesata). Sia I un intervallo e sia f : I → R una funzione
convessa. Sia α = (x1 , x2 , ..., xn ) una n-upla di punti di I e sia β = (µ1 , µ2 , ..., µn ) una
n-upla di numeri reali tali che
n
X
µi = 1 µi ∈ [0; 1] ∀i
i=1
Si definisce media pesata associata a α e β
mα,β =
n
X
µ i xi
i=1
Proposizione 9.1.15 (Disuguaglianza di Jensen). Sia I un intervallo e sia f : I →
R una funzione convessa. Sia α = (x1 , x2 , ..., xn ) una n-upla punti di I e sia β =
(µ1 , µ2 , ..., µn ) una n-upla numeri reali tali che
n
X
µi = 1 µi ∈ [0; 1] ∀i.
i=1
Allora:
f
n
X
!
µ i xi ≤
n
X
µi f (xi )
i=1
i=1
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n a partire da n = 2.
Passo base. È immediato dalla definizione di convessità.
Passo induttivo. Per ipotesi induttiva, per ogni n-upla (µ1 , µ2 , ..., µn ) di numeri reali che
verificano le condizioni date vale la disequazione
f
n
X
!
µ i xi ≤
i=1
n
X
µi f (xi )
i=1
Consideriamo una generica (n + 1)-upla (λ1 , λ2 , ..., λn+1 ) che verifica le condizioni date.
Poniamo
n
λ=
X
µ = λn+1
λi
i=1
Notiamo che λ e µ rispettano le condizioni date.
f
n+1
X
i=1
!
λ i xi
n
X
λi
xi
= f µxn+1 + λ
i=1 λ
n
X
!
n
X
λi
≤ µf (xn+1 ) + λf
xi
HP
i=1 λ
!
≤
HP
n
n+1
X
X
λi
≤ µf (xn+1 ) + λ
f (xi ) = µf (xn+1 ) +
λi f (xi ) =
λi f (xi ),
i=1 λ
i=1
i=1
da cui la tesi.
!
136
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
9.1.3
Esercizi sulle funzioni convesse
Proposizione 9.1.16. Se la funzione f (x) in I è convessa, allora
∀x, y ∈ I
x+y
f
2
!
≤
f (x) + f (y)
2
Dimostrazione. Poiché f (x) è convessa, vale la prima relazione data. Scegliendo λ = 12 ,
si ottiene immediatamente la tesi.
Proposizione 9.1.17. Se la funzione f (x) in I è continua e
∀x, y ∈ I
x+y
f
2
!
≤
f (x) + f (y)
2
allora è convessa.
Dimostrazione. Dimostriamo per induzione che per ogni numero naturale n si ha
x1 + ... + xn
f
n
!
≤
f (x1 ) + ...f (xn )
n
Passo base. Per n = 2, la proposizione è vera.
Passo induttivo. Supponiamo che la tesi sia vera fino a un certo intero positivo n − 1.
Allora sicuramente esiste k ∈ N tale che
2k−1 ≤ n − 1 < 2k
In particolare, per ipotesi induttiva, la tesi è vera per 2k−1 . Allora vale anche per 2k ,
perchè:
x1 + ... + x2k
f
2k
!
1 x1 + ... + x2k−1 1 x2k−1 +1 + ... + x2k
=f
+
2
2k−1
2
2k−1
1 x1 + ... + x2k−1
≤ f
2
2k−1
!
1 x k−1 + ... + x2k
+ f 2 +1 k−1
2
2
!
≤
!
≤
HP
1 f (x1 ) + ... + f (x2k−1 ) 1 f (x2k−1 +1 ) + ... + f (x2k )
f (x1 ) + ...f (x2k )
+
=
k−1
k−1
2
2
2
2
2k
Allora, ponendo
x1 + ... + xn
x̄ =
n
si ha
≤
x1 + ... + xn + (2k − n)x̄
f (x̄) = f
2k
f (x1 ) + ... + f (xn ) + (2k − n)f (x̄)
2k
!
≤
da cui riordinando si ricava
n
n
x1 + ... + xn
f
(x̄)
=
f
2k
2k
n
x1 + ... + xn
⇒f
n
!
!
≤
≤
f (x1 ) + ... + f (xn )
⇒
2k
f (x1 ) + ... + f (xn )
n
137
9.1. CONCAVITÀ E CONVESSITÀ
Proposizione 9.1.18 (Disuguaglianza di Young). Dimostrare che
ap b q
+
p
q
ab ≤
per ogni a, b > 0 e per ogni p, q tali che
1
p
+
= 1.
1
q
Dimostrazione. Consideriamo la funzione y = − log(x). La sua derivata seconda è y =
che è sempre positiva, dunque la funzione − log(x) è convessa e vale
1
,
x2
− log(tx + (1 − t)y) ≤ −t log(x) − (1 − t) log(y), t ∈ [0, 1]
Scegliendo t = p1 , x = ap , y = bq , si ottiene immediatamente
ap b q
log
+
p
q
1
1
log(ap ) log(bq )
+
= log(ap p bq q ) ⇒
p
q
!
≥
ap b q
⇒
+ ≥ ab
p
q
Proposizione 9.1.19 (Disuguaglianza di Hölder). Siano (x1 . . . xn ) e (y1 . . . yn ) due nuple di numeri reali; supponiamo p1 + 1q = 1. Allora
n
X
n
X
|xi yi | ≤
i=1
!1
|xpi |
n
X
p
·
i=1
!1
q
|yiq |
i=1
Dimostrazione. Poniamo
ai =
|xi |
n
X
!1
|yi |
bi =
n
X
p
p
|xi |
i=1
Allora, dobbiamo provare che
!1
q
q
|yi |
i=1
n
X
|ai bi | ≤ 1
i=1
Per la concavità della funzione logaritmo, si ha:
1
1
1
1 p
ln |ai bi | = ln |api | + ln |bqi | ≤ ln
|ai | + |bqi |
p
q
p
q
!
Per monotonia della funzione logaritmo, si ha:
1
1
|ai bi | ≤ |api | + |bqi |
p
q
Passando alla sommatoria, abbiamo:
n
X
|ai bi | ≤
i=1
n
n
X
X
1 p
1
1
|xpi |
|yiq |
1
!
! =
|ai | + |bqi | =
+
n
n
X
X
p
q
p
q
i=1 p
i=0 q
|xi |
|yi |
n
X
!
i=1
i=1
1
=
p·
n
X
i=1
n
X
|xpi | i=1
1
|xpi | +
q·
n
X
i=1
n
X
|yiq | i=1
i=1
|yiq | =
1 1
+ =1
p q
138
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
Proposizione 9.1.20 (Disuguaglianza di Minkowski). Sia (a1 , . . . an ) e (b1 , . . . bn ) due
n-uple di numeri reali positivi non tutti nulli. Sia p ≥ 1 Allora vale la seguente disuguaglianza:
!1
n
X
n
X
p
p
(ai + bi )
p
≤
!1
p
+
ai
i=1
n
X
p
!1
p
bi
i=1
i=1
Dimostrazione.
n
X
n
X
(aj + bj )p =
j=1
Poniamo
S1 =
aj (aj + bj )p−1 +
j=1
n
X
n
X
bj (aj + bj )p−1
j=1
aj (aj + bj )p−1
S2 =
j=1
n
X
bj (aj + bj )p−1
j=1
Sia
1
p−1
1 1
+ =1⇒ =
p q
q
p
Per la disuguaglianza di Hölder vale:

S1 ≤ 
n
X
1
1
p
n
X
(aj + bj )(p−1)q  ·  apj 

q
j=1

S2 ≤ 
n
X
j=1
1
1
p
n
X
p


q
(aj + bj )(p−1)q  ·
bj
j=1
j=1
Allora, si ha:

S1 ≤ 
n
X
 p−1
p
(aj + bj )p 
1
p
n
X
·  ap 

j
j=1

S2 ≤ 
n
X
j=1
 p−1
p
(aj + bj )p 
1
p
n
X
p

b
·

j
j=1
j=1
Infine, abbiamo:

S1 + S2 ≤ 
n
X
 p−1
p
(aj + bj )p 

1
p
n
X p 
·
aj
j=1
1 
p
n
X
p 

+
bj 
j=1

j=1
Dunque
n
X

(aj + bj )p ≤ 
j=1
n
X
 p−1
p
(aj + bj )p 

1
p
n
X

p
·
aj
j=1

⇒
n
X
(aj + bj )p  · 
da cui si ha la tesi.
+
j=1
 
j=1

n
X
 1−p
p
(aj + bj )p 
j=1
≤
n
X
1 
p
p 
bj 
⇒
j=1

1
p
n
X

p
aj

j=1
1 
p
n
X
p 

+
bj 

j=1
139
9.1. CONCAVITÀ E CONVESSITÀ
Esempio 9.1.21. Sia I = {(a, b, c) | a, b, c ∈ (0, 1], a + b + c = 1}. Calcolare
1
inf 1 +
I
a
!
1
1+
b
!
1
1+
c
!
!
Dimostrazione. La funzione f (x) = log 1 +
= log(x + 1) − log(x) ha derivata seconda
1
x
y = x22x+1
, che è positiva nell’intervallo [0, 1]: pertanto in questo intervallo la funzione
(x+1)2
è convessa e vale la disuguaglianza di Jensen con tre termini:
f (αa + βb + γc) ≤ αf (a) + βf (b) + γf (c) ⇒
1
⇒ log 1 +
αa + βb + γc
!
1
1
1
≤ α log 1 +
+ β log 1 +
+ γ log 1 +
a
b
c
!
1
= log 1 +
a
!α
1
1+
b
1
1
1+
≤ 1+
αa + βb + γc
a
Ponendo α = β = γ =
1
3
!β
!α
!
1
1+
c
1
1+
b
!
=
!γ
⇒
!β
1
1+
c
!γ
e elevando al cubo
3
1+
a+b+c
!3
1
= 4 = 64 ≤ 1 +
a
3
!
1
1+
b
!
1
1+
c
!
Esempio 9.1.22. Siano a, b, c gli angoli di un triangolo. Allora valgono le seguenti
disequazioni:
√
3 3
sin a + sin b + sin c ≤
2
s
√
√
√
3
sin a + sin b + sin c ≤ 3 4
4
√
3 3
sin a sin b sin c ≤
8
Dimostrazione. a + b + c = π. Consideriamo rispettivamente le tre funzioni nell’intervallo
[0, π]
√
√
f (x) = − sin x
g(x) = − sin x
h(x) = − log sin x
aventi rispettivamente derivate seconde
f 00 (x) = sin x
g 00 (x) =
3 − cos(2x)
√
8 sin3 x
h00 (x) =
1
2 sin2 x
Nell’intervallo considerato tutte le funzioni sono ben definite e le tre derivate seconde sono
sempre positive, ovvero le tre funzioni f (x), g(x), h(x) sono convesse in [0, π]. Allora si
può applicare la disuguaglianza di Jensen con tre termini e ricavare:
f (αa + βb + γc) ≤ αf (a) + βf (b) + γf (c) ⇒
sin(αa + βb + γc) ≥ α sin a + β sin b + γ sin c
140
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
Ponendo α = β = γ =
1
3
si ottiene
a+b+c
sin
3
!
√
π
1
3
= sin =
≥ (sin a + sin b + sin c)
3
2
3
da cui si ottiene subito la prima disuguaglianza.
Per la seconda, invece:
g(αa + βb + γc) ≤ αg(a) + βg(b) + γg(c) ⇒
q
√
√
√
sin(αa + βb + γc) ≥ α sin a + β sin b + γ sin c
Ponendo α = β = γ =
v
u
u
tsin
1
3
si ottiene
a+b+c
3
!
=
r
π
sin =
3
s√
√
√
1 √
3
≥ ( sin a + sin b + sin c)
2
3
da cui si ottiene subito la seconda disuguaglianza.
Infine, per la terza, abbiamo:
h(αa + βb + γc) ≤ αh(a) + βh(b) + γh(c) ⇒
log
q
√
√
√
sin(αa + βb + γc) ≥ α log sin a + β log sin b + γ log sin c =
q
√
√
α
= log sin a sinβ b sinγ c ⇒
q
q
√
√
⇒ sin(αa + βb + γc) ≥ sinα a sinβ b sinγ c
Ponendo α = β = γ =
1
3
e elevando alla sesta si ottiene
sin a sin b sin c ≤
9.2
a+b+c
sin
3
! !3
=
π
sin
3
√
!3
=
√
27
3 3
=
8
8
Studio di funzione
Svolgere uno studio di funzione significa applicare tutti gli strumenti teorici sviluppati
per tracciare un grafico qualitativamente corretto di una funzione. I passaggi essenziali
sono:
1. Ricerca del dominio
2. Ricerca di simmetrie
3. Limiti alla frontiera del dominio
4. Punti particolari della funzione
5. Segno della funzione
6. Monotonia della funzione
7. Concavità e convessità
141
9.2. STUDIO DI FUNZIONE
8. Realizzazione del grafico
Analizzeremo questi punti studiando in particolare le funzioni:
y = a(x) =
2x2
x+1
y = b(x) = arccos
9.2.1
2x
+1
x2
Ricerca del dominio
Per determinare il dominio di definizione (si può studiare la funzione anche in un sottoinsieme del dominio), si possono tenere in considerazione le seguenti indicazioni:
• Le quantità presenti nei denominatori devono essere imposte diverse da 0;
• Se compaiono funzioni del tipo f (x)g(x) , dove g(x) è una funzione non costante,
bisogna imporre f (x) > 0;
• Se compaiono funzioni del tipo f (x)k , dove k ∈ R r Q, bisogna imporre f (x) ≥ 0;
• Se compaiono funzioni del tipo
bisogna imporre f (x)m ≥ 0;
q
2n
m
f (x)m = f (x) 2n , con m ∈ Z e n ∈ N r {0},
• Se compaiono funzioni del tipo logf (x) g(x), bisogna imporre f (x) > 0 e g(x) > 0.
• In presenza di altre funzioni particolari, come le funzioni goniometriche, bisogna
tenere conto dei loro insiemi di definizione.
Infine, si mettono a sistema tutte le condizioni ricavate.
Ricerca del dominio (1) La funzione a(x) è composizione delle seguenti funzioni:
m(x)
n(x)
a(x) =
m(x) = 2x2
n(x) = x + 1
n(x) 6= 0, è l’unica condizione da imporre. Poiché
x + 1 6= 0 ⇔ x 6= −1,
la funzione a(x) è definita in
(−∞, −1) ∪ (−1, ∞)
Ricerca del dominio (2) La funzione b(x) è composizione delle seguenti funzioni:
b(x) = arccos g(x)
g(x) =
h(x)
k(x)
h(x) = 2x k(x) = x2 + 1
142
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
La funzione arcocoseno è definita in [−1, 1] ⇔ −1 ≤ g(x) ≤ 1 Inoltre, deve valere
k(x) 6= 0. Bisogna risolvere il sistema:
≤1
≥ −1
x + 1 6= 0

2x


 x2 +1
2x
x2 +1


 2
,
Poiché ogni numero reale è soluzione di questo sistema, segue che la funzione b(x) è definita
in R.
9.2.2
Ricerca di simmetrie
In presenza di funzioni simmetriche, lo studio è facilitato perchè bisogna portarlo avanti
soltanto in una parte del dominio. Le principali simmetrie sono quella rispetto all’asse y
(funzioni pari) e rispetto all’origine degli assi (funzioni dispari). Per capire se una funzione
è pari o dispari basta verificare rispettivamente che
f (x) = f (−x) oppure f (x) = −f (−x)
Più in generale, si può verificare se è presente una simmetria rispetto a una qualsiasi retta
verticale x = h, h 6= 0, cioè verificare se
f (h + x) = f (h − x)
In generale, la ricerca di simmetrie rispetto a particolari punti o rette può essere difficile
da osservare.
Ricerca di simmetrie (1) Si verifica immediatamente che
a(x) 6= −a(−x)
a(x) 6= a(−x),
dunque la funzione non è nè pari nè dispari. Questo si poteva osservare anche studiando
il dominio della funzione, nel quale non ci sono condizioni di simmetria rispetto all’origine
o rispetto all’asse y (non essendo definita in -1, non dovrebbe esserlo neppure in 1).
Ricerca di simmetrie (2) Si verifica immediatamente che
b(x) 6= −b(−x)
b(x) 6= b(−x),
dunque la funzione non è nè pari nè dispari.
9.2.3
Limiti alla frontiera del dominio
Bisogna studiare il comportamento di una funzione alla frontiera del dominio per determinare possibili discontinuità (nei punti interni al dominio la funzione è continua perchè composizione di funzioni continue) e per determinare eventuali asintoti orizzontali,
verticali o obliqui.
143
9.2. STUDIO DI FUNZIONE
• Se una funzione f è definita su un intorno destro di un punto x0 non appartenente
al suo dominio si studia il limite
lim f (x)
x→x+
0
• Se una funzione f è definita su un intorno sinistro di un punto x0 non appartenente
al suo dominio si studia il limite
lim f (x)
x→x−
0
1. Se la funzione considerata è definita in un intorno di +∞ si studia il limite:
lim f (x)
x→+∞
2. Se la funzione considerata è definita in un intorno di −∞ si studia il limite:
lim f (x)
x→−∞
Se tali limiti esistono finiti, abbiamo determinato degli asintoti orizzontali (destro e
sinistro), cioè rette della forma
y = lim f (x) e y = lim f (x)
x→+∞
x→−∞
Supponiamo che lim f (x) = +∞. Abbiamo escluso la possibilità di un asintoto orizx→+∞
zontale destro, ma non quella di asintono obliquo, cioè di una retta della forma y = mx+q.
Proposizione 9.2.1. Si pone il problema di determinare m e q.
Dimostrazione. Supponiamo di essere nelle ipotesi suddette.
f (x) ha come asintoto obliquo la retta y = mx + q se e solo se è verificata la sequente
condizione:
lim |f (x) − mx − q| = 0 ⇔ lim
x→+∞
x→+∞
f (x)
q
f (x)
− m − = 0 ⇔ m = lim
x→+∞
x
x
x
In altri termini, stiamo studiando l’equivalenza asintotica della funzione con una retta,
cioè una funzione polinomiale lineare. Per determinare q, consideriamo
lim f (x) − mx = q
x→+∞
L’asintoto obliquo esiste se e solo se q ed m sono entrambi finiti.
Limiti alla frontiera del dominio (1) Osservando il dominio della funzione a(x),
bisogna calcolare i seguenti limiti:
lim a(x) = +∞
x→−1+
lim a(x) = −∞,
x→−1−
144
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
Dunque x = −1 è asintoto verticale per la funzione a(x).
Bisogna anche calcolare:
lim a(x) = +∞
x→+∞
lim a(x) = −∞,
x→−∞
che escludono la presenza di asintoti orizzontali, ma non di asintoti obliqui. Calcoliamo
infine:
a(x)
=2
lim
x→+∞ x
a(x)
lim
=2
x→−∞ x
lim a(x) − 2x = −2
x→+∞
lim a(x) − 2x = −2,
x→−∞
Allora, la retta y = 2x − 2 è asintoto obliquo destro e sinitro per la funzione a(x).
Limiti alla frontiera del dominio (2) Osservando il dominio della funzione b(x), non
si possono avere punti di discontinuità o asintoti verticali, ma solo asintoti orizzontali e/o
obliqui. Calcoliamo i limiti:
π
lim b(x) =
x→+∞
2
π
lim b(x) = ,
x→−∞
2
π
Allora, la retta y = 2 è asintoto orizzontale destro e sinistro per la funzione b(x).
9.2.4
Intersezioni con gli assi
Determiniamo le intersezioni con gli assi:
• Se 0 appartiene al dominio di definizione, si calcola il punto (0, f (0)), ovvero l’intersezione con l’asse y;
• Si cercano i punti della forma (x0 , 0), ovvero le intersezioni del grafico della funzione
con l’asse x. Si determinano calcolando le radici dell’equazione
f (x) = 0
Intersezioni con gli assi (1) Si trova subito che (0, a(0)) = (0, 0) è l’intersezione
del grafico di a(x) con l’asse y (e in questo caso anche con l’asse x). Inoltre risolvendo
l’equazione
a(x) = 0 ⇔ x = 0
si trova che non ci sono altre intersezioni con l’asse x.
Intersezioni con gli assi (2) Si trova subito che (0, b(0)) = (0, π2 ) è l’intersezione del
grafico di b(x) con l’asse y. Inoltre, risolvendo l’equazione
b(x) = 0 ⇔ x = 1
si trova che l’intersezione con l’asse x è (1, 0).
145
9.2. STUDIO DI FUNZIONE
9.2.5
Segno della funzione
Si studiano gli intervalli in cui la funzione sta sopra e quelli in cui sta sotto l’asse x
risolvendo la disequazione
f (x) > 0
(i primi si ottengono direttamente, i secondi per esclusione dai primi). Può essere utile, per
controllare di aver proceduto nella maniera corretta, verificare se il segno della funzione
è compatibile con i limiti svolti precedente: ad esempio, se una funzione f (x) è definita
in un intorno di +∞ e possiede un asintoto orizzontale
y = a, a > 0
oppure tende a +∞ e dallo studio del segno si ha che definitivamente f (x) < 0, abbiamo
chiaramente trovato un assurdo.
Segno della funzione (1)
a(x) > 0 ⇔ x > −1 ∧ x 6= 0
Allora:
a(x) < 0 ⇔ x < −1.
Questi risultati sono compatibili con i limiti calcolati in precedenza.
Segno della funzione (2)
b(x) > 0 ⇔ x 6= 1 ⇔ b(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
9.2.6
Monotonia della funzione
Utilizziamo il calcolo differenziale per determinare gli intervalli di monotonia della funzione.
• Si calcola la derivata della funzione in esame e se ne determina il dominio.
• Si trovano i punti del dominio della funzione che non appartengono al dominio della
funzione derivata, che sono i candidati punti di non derivabilità della funzione. Se
x0 è uno di questi punti:
– Se f (x) è definita su un intorno destro di x0 , si studia il limite
lim+ f 0 (x)
x→x0
– Se f (x) è definita su un intorno sinistro di x0 si studia il limite
lim f 0 (x)
x→x−
0
Se la funzione è definita soltanto in un intorno destro (o sinistro) di x0 e vale
lim = ±∞
x→x+
0
si ha una cuspide.
Se ha senso calcolare entrambi i limiti e sono finiti ma diversi tra loro, si ha un punto
146
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
angoloso (è il caso della funzione valore assoluto, per esempio, o più in generale di
funzioni definite a tratti).
Se sono entrambi infiniti e di segno opposto, o uno è infinito e l’altro è finito, si ha
ancora una cuspide.
Se sono entrambi infiniti e con lo stesso segno, si ha un flesso a tangente verticale.
• Si studiano gli zeri e il segno della derivata prima. Se f è definita in x0 e f 0 (x0 ) = 0:
– Se f 0 (x) < 0 in un intorno sinistro di x0 e f 0 (x) > 0 in un intorno destro di x0 ,
o se f (x) è definita in un intorno destro di x0 e f 0 (x) > 0 in un intorno destro
di x0 (o viceversa), x0 è un punto di minimo locale.
– Se f 0 (x) > 0 in un intorno sinistro di x0 e f 0 (x) < 0 in un intorno destro di x0 ,
o se f (x) è definita in un intorno destro di x0 e f 0 (x) < 0 in un intorno destro
di x0 (o viceversa), x0 è un punto di massimo locale.
Monotonia della funzione (1) Si trova che
a0 (x) =
2x2 + 4x
(x + 1)2
Poiché il dominio di f coincide con quello di f 0 , possiamo studiare gli intervalli di
monotonia:
a0 (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −2
a0 (x) > 0 ⇔ x > 0 ∨ x < −2
Allora:
a0 (x) < 0 ⇔ −2 < x < −1 ∨ −1 < x < 0,
x0 = 0 è punto di minimo locale e x1 = −2 è punto di massimo locale.
Monotonia della funzione (2) Si trova che
2|x2 − 1|
⇒
(x2 + 1)(x2 − 1)
b0 (x) =
b0 (x) =

 2
x2 +1
 −2
x2 +1
se x ≥ 1 ∨ x ≤ −1
se − 1 < x < 1
I possibili punti di non derivabilità sono x0 = −1 e x1 = 1. Calcoliamo i limiti:
lim b0 (x) = 1
x→−1−
lim b0 (x) = −1
x→−1+
lim− b0 (x) = −1
x→1
lim+ b0 (x) = 1,
x→1
Abbiamo punti angolosi in x0 = −1 e x1 = 1.
Per lo studio della monotonia conviene procedere a tratti:

b0 (x)
b0 (x)
> 0 se x ≥ 1 ∨ x ≤ −1
< 0 se − 1 < x < 1
da cui si ricava che x0 = −1 è un punto di massimo locale (e in questo caso anche assoluto)
e che x1 = 1 è un punto di minimo locale (e in questo caso anche assoluto).
147
9.2. STUDIO DI FUNZIONE
9.2.7
Concavità e/o convessità
• Si calcola la derivata seconda della funzione in esame.
• Si determina il dominio della derivata seconda e lo si interseca con il dominio della
funzione e con quello della derivata prima.
• Si studiano gli zeri e il segno della derivata seconda. Sfruttando i risultati sulla
convessità,
– una funzione derivabile due volte è convessa in un intervallo I se e solo se
∀x ∈ I f 00 (x) > 0;
– una funzione derivabile due volte è concava in un intervallo I se e solo se
∀x ∈ If 00 (x) < 0.
Se la funzione è derivabile in x0 e f 00 (x0 ) = 0:
– se f 00 (x) < 0 in un intorno sinistro di x0 e f 00 (x) > 0 in un intorno destro di
x0 , si ha un punto di flesso ascendente;
– se f 00 (x) > 0 in un intorno sinistro di x0 e f 00 (x) < 0 in un intorno destro di
x0 , si ha un punto di flesso discendente.
Concavità e/o convessità (1) Si trova che
a00 (x) =
4
(x + 1)3
I domini della funzione, della sua derivata prima e della derivata seconda coincidono.

a00 (x)
a00 (x)
> 0 ⇔ x > −1
< 0 ⇔ x < −1
,
dunque la funzione a è convessa per x > −1 ed è concava per x < −1.
Concavità e/o convessità (2) Conviene studiare la funzione a tratti. Si trova che
b00 (x) =

−
4x
se x ≥ 1 ∨
(x2 +1)2
 4x
se − 1 < x <
(x2 +1)2
x ≤ −1
1
.
Dunque b00 (x) = 0 ⇔ x = 0; inoltre

b00 (x)
b00 (x)
> 0 ⇔ x < −1 ∨ 0 < x < 1
< 0 ⇔ −1 < x < 0 ∨ x > 1,
La funzione è convessa negli intervalli (−∞, −1) e (0, 1), è concava negli intervalli (−1, 0)
e (1, +∞) e presenta un punto di flesso ascendente in x0 .
9.2.8
Realizzazione del grafico
Consigliamo di riportare sul piano cartesiano le informazioni dedotte ad ogni passaggio
volta per volta, per avere un riscontro visivo dello studio in corso e per accertarsi che
non ci siano incongruenze. Ad esempio, si possono cancellare le parti di piano in cui la
funzione non è presente, dopo averne studiato il segno, indicarne l’andamento dopo aver
studiato la monotonia, evidenziare il comportamento agli estremi del dominio, punti di
massimo, di minimo e di flesso.
148
CAPITOLO 9. PROPRIETÀ E STUDIO DI FUNZIONI REALI
Realizzazione del grafico (1) Riportando le informazioni ricavate, il grafico della
funzione a(x) è:
Realizzazione del grafico (2) Riportando le informazioni ricavate, il grafico della
funzione b(x) è:
Capitolo 10
I numeri complessi
10.1
Introduzione e prime definizioni
Definizione 10.1.1 (Insieme C). L’insieme dei numeri complessi è definito come
C=R×R
con due operazioni:
• somma: ∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ C (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 ; y1 + y2 )
• prodotto: ∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ C (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ; x1 y2 + x2 y2 )
Proposizione 10.1.2. L’insieme C con l’operazione di somma è un gruppo commutativo.
Dimostrazione. La verifica delle proprietà si può svolgere applicando le definizioni delle
operazioni in R.
• Il gruppo (C, +) ha come elemento neutro 0 = (0; 0)
• ∀ z = (x; y) ∈ C, −z = (−x; −y). La definizione è coerente con le proprietà delle
operazioni in R.
• ∀ a, b, c ∈ C vale (a + b) + c = a + (b + c), cioè l’associatività della somma.
• ∀ a, b ∈ C vale a + b = b + a, cioè la commutatività della somma.
Proposizione 10.1.3. L’insieme C dotato delle operazioni di somma e prodotto è un
anello commutativo.
Dimostrazione. Queste proprietà discendono direttamente da quelle delle operazioni in
R.
• ∀a, b, c ∈ C vale (a · b) · c = a · (b · c), cioè l’associatività del prodotto.
• ∀a, b, c ∈ C vale (a + b) · c = a · c + b · c e anche c · (a + b) = c · a + c · b, cioè la
distributività del prodotto rispetto alla somma.
• L’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione è 1 = (1; 0).
• ∀a, b ∈ C vale a · b = b · a, cioè la commutatività del prodotto.
149
150
CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
Proposizione 10.1.4. L’insieme C è un campo.
Dimostrazione. Bisogna verificare che
∀a ∈ C, a 6= 0, ∃b ∈ C | a · b = 1
Se a 6= 0, allora a = (x; y) con x 6= 0 ∨ y 6= 0 ⇒ x2 + y 2 6= 0 (questa relazione vale in R).
| {z }
∈R
Allora
b=
x
y
;
−
x2 + y 2 x2 + y 2
!
è l’inverso moltiplicativo di a = (x; y).
La verifica è banale:
ab =
x2
y2
xy
xy
+
; 2
− 2
2
2
2
2
2
x +y
x +y x +y
x + y2
!
= (1; 0)
Si noti che b è inverso moltiplicativo sia destro che sinistro.
Definizione 10.1.5 (Coniugato). Se z = (x; y) ∈ C, definiamo z = (x; −y).
Proposizione 10.1.6 (Proprietà del coniugio). Valgono le seguenti proprietà:
• zz = x2 + y 2
• (x; 0) =
z+z
2
• (0; y) =
z−z
2
• ∀α = (α; 0) ∈ C, ∀z = (x; y) ∈ C, vale αz = (αx; αy)
Dimostrazione. I punti 2,3, 4 sono ovvi. Vediamo il punto 1.
zz = (x, y) · (x; −y) = (x2 + y 2 ; xy − xy) = (x2 + y 2 ; 0)
che è un numero reale.
Definizione 10.1.7 (Unità immaginaria, parte reale, parte immaginaria). Definiamo
unità immaginaria i = (0; 1). Definiamo la parte reale di z = (x; y) ∈ C e la denotiamo
come <z = x ∈ R. Definiamo la parte immaginaria di z = (x; y) ∈ C e la denotiamo
come =z = y ∈ R.
√
Definizione 10.1.8 (Norma). Definiamo norma di z: ||z|| = x2 + y 2 . In particolare si
ha ||z||2 = zz.
Proposizione 10.1.9. L’unità immaginaria i genera un sottogruppo ciclico di C di ordine
4.
Dimostrazione. Si verifica che, per come è stata definita la moltiplicazione, vale:
(dunque i =
√
i2 = −1;
i3 = −i;
i4 = 1
−1, espressione che in R non ha significato). Allora abbiamo che


1



i
im = 

−1




−i
se
se
se
se
m≡0
m≡1
m≡2
m≡3
(mod
(mod
(mod
(mod
4)
4)
4)
4)
151
10.1. INTRODUZIONE E PRIME DEFINIZIONI
Figura 10.1: Esempio di un elemento di C nel piano complesso
Sfruttando le definizioni poste, possiamo stabilire la seguente identità:
z = (x; y) ⇔ z = x + iy
e inoltre vale che
<z =
Allora l’insieme
z+z
,
2
=z =
z−z
2i
C = R × R = {(x; y) | x ∈ R, y ∈ R} = {x + iy | x ∈ R, y ∈ R}
Per le definizioni delle operazioni date, vale:
∀z1 ; z2 ∈ C z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2
• z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
• z1 · z2 = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 )
• z = z + iy ⇒ z = x − iy
w
Rinominiamo la norma di z ∈ C. Diciamo che |z|2 = x2 +y 2 . Se w ∈ Cr{0}, w1 = |w|
2.
2
2
Si ricordi che se w 6= 0 allora w = x + iy ⇒ x 6= 0 ∨ y 6= 0 ⇒ x + y 6= 0. Riscrivendo la
relazione ricavata sopra in termini di norma e unità immaginaria, si ha
(x + iy) ·
x − iy
x − iy
1
w
= 1 ⇒ (x + iy)−1 = 2
⇒ =
2
2
2
x +y
x +y
w
|w|2
Pertanto ogni numero complesso è completamente individuato da due coordinate, cioè
da una coppia di numeri reali (x; y) ∈ R, dunque può essere rappresentato nel piano, come
in figura.
D’altra parte, ogni punto del piano (cioè ogni numero complesso) è completamente
individuato dalla sua norma (che chiameremo ρ) e dall’angolo θ (come in immagine)
formato tra la semiretta passante per l’origine e per il punto (x, y) e dal semiasse positivo
delle x. Vale l’equivalenza (x, y) = (ρcosθ, ρsinθ). Si noti che θ è definito a meno di un
multiplo intero di 2π. Dunque x + iy = ρ(cosθ, sinθ). È utile denotare cosθ + isinθ = eiθ .
Ogni numero complesso si esprime come segue:
x + iy = ρeiθ con ρ =
q
x2 + y 2
152
CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
Allora
ρ ≥ 0,
∀z = x + iy ∈ C;
z = 0 ⇔ ρ = 0 ⇔ x2 + y 2 = 0 ⇔ x = y = 0
Esempio 10.1.10. Provare che ∀z, w ∈ C
|zw| = |z||w|
Siano z = x1 + iy1 , w = x2 + iy2 ⇒ |z| =
q
x21 + y12 , |w| =
q
x22 + y22 .
zw = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) ⇒
|zw| =
q
(x1 x2 − y1 y2 )2 + (x1 y2 + x2 y1 )2 =
q
q
x21 x22 + y12 y22 + x21 y22 + x22 y12 =
q
x21 + y12 x22 + y22 = |z||w|
Esempio 10.1.11. Calcolare
i−3
(1 − i)(i − 2)
3i − 2
+
+
i−2
1 − 2i
(2i + 1)2
1
w
Sapendo che ∀w ∈ C r {0}
=
w̄
,
w2
allora:
(3i − 2)(i + 2) (i − 3)(1 + 2i) (1 − i)(i − 2)(−3 − 4i)
+
+
= 1 − 2i
5
5
25
Esempio 10.1.12. Dati z = a + ib w = c + id ∈ C, con w 6= 0, calcolare <
ac + bd
bc − ad
z
(a + ib)(c − id)
=
+
i
⇒
<
c2 + d 2
c2 + d 2
c2 + d2
w
=
ac + bd
z
,
=
c2 + d2
w
=
z
w
e=
bc − ad
c2 + d 2
Esempio 10.1.13. Verificare la disuguaglianza triangolare
∀z, w ∈ C |z + w| = |z| + |w|
Siano z = a + ib w = c + id ∈ C ⇒ z + w = (a + c) + i(b + d). Allora
|z + w| =
q
(a + c)2 + (b + d)2 ≤
√
a2 + b 2 +
√
c2 + d2
Verifichiamo che la disuguaglianza è vera.
|z + w| =
q
(a + c)2 + (b + d)2 ≤
√
a2 + b 2 +
√
c2 + d2 ⇔
q
a2 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ⇔
a2 c2 + 2abcd + b2 c2 ≤ a2 c2 + b2 c2 + a2 d2 + c2 d2 ⇔ (ad − cd) ≥ 0
che è un’identità nota.
z
w
.
10.1. INTRODUZIONE E PRIME DEFINIZIONI
10.1.1
153
Potenza di un numero complesso in coordinate polari
Proposizione 10.1.14 (Potenza naturale di un numero complesso). Sia
z = ρeiθ ∈ C ⇒ ∀n ∈ N z n = ρn eiθn
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n ∈ N, prendendo ρ = 1 per semplicità,
z n = eiθn .
Il passo base è ovviamente vero: per n = 1 si ha
eiθ = cos θ + i sin θ
Supponiamo che la tesi sia vera per n = k e dimostriamo che lo è per n = k + 1.
ei(k+1)θ = eikθ eiθ = (cos(kθ) + i sin(kθ))(cos θ + i sin θ)) =
= (cos θ cos(kθ) − sin θ sin(kθ)) + i(cos θ sin(kθ) + sin θ cos(kθ)) =
= cos(k + 1)θ + i sin(k + 1)θ = ei(k+1)θ
Proposizione 10.1.15 (Potenza intera di un numero complesso). Generalizziamo il
risultato trovato a potenze intere.
Dimostrazione. Per n = 0 la relazione è ancora vera: 1 = e0 = cos 0 + i sin 0.
Per n < 0, prendiamo m = −n ⇒ m > 0. Allora:
e−(m)iθ = (cos θ + i sin θ)−m =
=
1
=
(cos θ + i sin θ)m
1
= cos(mθ) − i sin(mθ) =
(cos(mθ) + i sin(mθ))
= cos(−mθ) + i sin(−mθ) = e−mθi = enθi
Osservazione 10.1.16 (Potenza razionale di un numero complesso). Questo risultato
può essere generalizzato a potenze razionali:
∀p ∈ Q (eiθ )p = epθi
Precisiamo che nell’espressione eiθ la fase di θ è definita a meno di un multiplo intero di
2π ⇔ z = eiθ = ei(θ+2kπ) . Dunque
z p = (ei(θ+2kπ) )p = ei(pθ+2pkπ)
Questo significa che l’elevamento a potenza modifica anche la periodicità del numero complesso.
√
Esempio 10.1.17. Dato z = 1+i2 3 , calcolare z n , ∀n ∈ N.
√ !
π
π
1
3
π
π
z=
+i
= cos + i sin = ei( 3 +2kπ) ⇒ z n = ei(n 3 +2kπ)
2
2
3
3
Se n ∈ N, si può dire che la periodicità di z non è modificata.
π
z n = ei 3 n
154
CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
Esempio 10.1.18. Provare che valgono le seguenti relazioni: zw = z · w e z + w = z + w
∀z, w ∈ C
z = a + ib ∨ w = c + id ⇒ zw = (ac − bd) − i(ad + bc) = (a − bi)(c − di) = z · w
z + w = (a + c) − (c + d)i = (a − ib) + (c − id) = z + w
Dunque l’applicazione di coniugio rispetta somma e prodotti.
Esempio 10.1.19. Semplificare l’espressione
z3 − 1 z3 − 1
+
z−1
z−1
z3 − 1 z3 − 1
z3 − 1 z3 − 1
+
=
+
= z2 + z + 1 + z2 + z + 1 = z2 + z2 + z + z + 2
z−1
z−1
z−1
z−1
Se z = x + iy, si ha:
x2 − y 2 + 2ixy + x2 − y 2 − 2ixy + x + iy + x − iy + 2 = 2x2 − 2y 2 + 2x + 2
Esempio 10.1.20. Calcolare z 4 +
1
,
z4
1
z+
z
2
sapendo che z +
= 1 = z2 + 2 +
1
z
= 1.
1
⇒
z2
1
1 2
1
1
2
=
−1
⇒
z
+
= 1 = z 4 + 2 + 4 ⇒ z 4 + 4 = −1
2
2
z
z
z
z
Esempio 10.1.21. Provare che ogni numero complesso z ha esattamente n radici distinte.
Sia z = ρei(θ+2kπ) in rappresentazione polare. Possiamo supporre ρ 6= 0 perchè z 6= 0.
Allora
1
√
θ
π
1
1
n
z = ei(θ+2kπ) n · ρ n = ei( n +2k n ) · ρ n
z2 +
Detto nθ = ϕ, si osserva che il numero complesso risultante è definito a meno di un
2kπ
multiplo intero di 2π
. Dunque se 0 < k < n − 1, ei(ϕ+ n ) descrive tutte le radici n-esime
n
di z. Del resto, se w è una radice n-esima di z, è ovviamente della forma trovata. Dunque
z ha esattamente n radici distinte.
Esempio 10.1.22. Calcolare:
•
√
6
con θ =
π
12
π
i = ei( 2 +2kπ)
1
6
= ei( 12 +2k 6 ) = cos θ + i sin θ
π
π
+ k π3 , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
•
q√
5
3+i=
con θ =
π
30
•
√
5
s√
2
5
+ 25 kπ e k = 0, 1, 2, 3, 4.
√
3
con θ =
π
12
π
1
√
√
√
π
2
3 1
5
5
5
+ i = 2 ei( 6 +2kπ) 5 = 2ei( 30 + 5 kπ) = 2 (cos θ + i sin θ)
2
2
π
1
√
√
√
i
1
3
6
6
3 + 3i = 3 2 3 √ + √ = 18 ei( 4 +2kπ) 3 ‘ =
2
2
√
√
π
2
6
6
= 18ei( 12 + 3 kπ) = 18 (cos θ + i sin θ)
+ 23 kπ e k = 0, 1, 2.
s
155
10.1. INTRODUZIONE E PRIME DEFINIZIONI
Esempio 10.1.23. Risolvere le seguenti equazioni.
• zn = z
z = 0 é soluzione, dunque possiamo dividere per z, ricordando di conteggiarla come
soluzione.
Ora si ha che z n−1 = 1. Le soluzioni sono le radici n − 1-esime dell’unità, cioè
2kπ
e k = 0, ..., n − 2 ∨ z = 0
w = cosθ + isinθ, con θ = n−1
• z̄ 3 z 4 = −2z 2
Chiaramente z = 0 è soluzione. Dunque, dividendo per z si ha: z̄ 3 z 2 = −2. Sapendo
che z z̄ = |z|2 , abbiamo che z̄|z|4 = −2. Ponendo z = ρeiθ si ha che ρe−iθ ρ4 = 2eiπ .
Quindi:
√
=2⇒ρ= 52
−θ = π + 2kπ ⇒ θ = −π + 2kπ = π + 2kπ

ρ 5
√
z = − 5 2 ∨ z = 0 sono le soluzione cercate.
• Trovare tutti i numeri complessi tali che z n = z̄
z = 0 è soluzione. Sia z = ρeiθ e sostituiamo: ρn einθ =ρe−iθ . Quindi si ha:

ρn
=ρ
(n + 1)θ
= 2kπ
2kπ
Da cui segue che z = 0 ∨ z = ei n+1 per k = 1, ..., n
• Rappresentare graficamente il seguente sottoinsieme.
H = {z ∈ C | |z − 1| = |z + 1|}
Sia z = a + ib e poniamo |a + ib + 1| = |a + ib − 1|, svolgendo i conti si ottiene che
a = 0, quindi l’insieme delle soluzioni é l’asse immaginario.
• Siano z1 , ..., zn le radici n-esime di 1. Calcolare z1 + · · · + zn e z1 · · · zn .
2jπ
∀j = 0, ..., n − 1 zj = ei n . Dunque
n−1
Y
i
i 2jπ
n
e
=e
n−1
X
j=0
2jπ
n
i 2π
n
n−1
X
=e
j=0
j
= ei(n−1)π
j=0
Sapendo che i numeri complessi sono definiti a meno di un multiplo intero di 2π,
allora il risultato è 1 se n è dispari, −1 se n è pari.
Per il secondo punto, può essere funzionale rappresentare graficamente tali radici
come i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nella circonferenza di raggio
1. Si osserva che se z è radice dell’unità, anche z̄ lo è. La risposta cercata è
2π
cos
j
j=0
n−1
X
!
156
10.2
CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
Teorema fondamentale dell’algebra
Teorema 10.2.1 (Teorema fondamentale dell’algebra). Sia P (z) ∈ C[z]. Allora
∃z0 ∈ C | P (z0 ) = 0
cioè, ogni polinomio a coefficienti complessi ammette almeno una radice complessa.
Consideriamo in via preliminare i seguenti lemmi.
Lemma 10.2.2 (Teorema di Weierstrass generalizzato). Se f ∈ C(R, R) (R non è
compatto!) e lim f (x) = +∞, allora
x→±∞
∃x ∈ R | f (x) = min(f )
K
Dimostrazione. Basta considerare che
lim f (x) = +∞ ⇔ ∃x0 ∈ R+ | f (x) > f (0) ∀x ∈ (−∞, x0 ) ∪ (x0 , +∞)
x→±∞
Dunque, possiamo ricercare il minimo nell’intervallo [−x0 , x0 ], in cui vale il teorema di
Weierstrass.
Osservazione 10.2.3. Tale risultato vale in tutti gli spazi metrici, sostituendo al posto
del valore assoluto la funzione distanza. In particolare, vale anche in C, considerato come
spazio metrico con la norma usuale.
Lemma 10.2.4. Sia P (z) ∈ C[z]; si consideri la funzione
| ∗ | : C −→ R
z → |P (z)| =
n
X
i
a
z
i i=0
Allora
lim |P (z)| = +∞
|z|→∞
Dimostrazione. z = ρeiα
P (z) = a0 + a1 ρeiα + a2 ρ2 e2iα + · · · + an−1 ρn−1 e(n−1)iα + an ρn eniα
P (z) = ρ e
n (nα)i
Passando al limite
an−1 i(α−1)
a0
an +
e
+ · · · + n ei(α−n)
ρ
ρ
!
lim |P (z)| = +∞
|z|→∞
Dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra. Ammettendo che la norma sia continua e i polinomi a coefficienti in C siano funzioni continue (non svolgeremo queste verifiche), la funzione definita nel lemma precedente è continua perchè composizione di funzioni
continue. Dunque, vale il teorema di Weierstrass generalizzato:
∃z0 ∈ C | P (z0 ) = min |P (z)|
C
157
10.2. TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA
Dimostreremo che P (z0 ) = 0.
In particolare, proviamo che
∀z ∈ C, |P (z)| > 0 =⇒ ∃h ∈ C | |P (z + h)| < |P (z)|
Quindi, scelto proprio z0 per cui la funzione assume il minimo, non può esistere un altro
punto per cui il valore della funzione sia minore, per definizione di minimo. Concludiamo
che deve valere |P (z0 )| = 0.
Scriviamo:
!
n
n
i
X
X
X
i i−j j
i
P (z + h) =
ai (z + h) =
ai
h z
i=0
i=0
j=0 j
i
X
j=0
i−1
X
i i−j j
i i−j j
i
h z =z +
h z = z i + qi (h)
j
j=0 j
!
!
Sostituendo nell’espressione precedente si ha:
n
X
i=0
ai
i
X
j=0
n
n
X
i i−j j X
h z =
ai (z i + qi (h)) =
ai z i + q(h) = P (z) + q(h)
j
i=0
i=0
!
con q(h) ∈ C[h]. Valutando l’espressione in h = 0, si ha:
P (z) = P (z) + q(0) =⇒ q(0) = 0
Quindi q(h) non ha termine noto.
Mostriamo che per una scelta opportuna di h e per z = z0 si ha:
|P (z0 + h)| < |P (z0 )| = r
Sia P (z0 ) = reiα , h = teiµ ; inoltre:
q(h) =
n
X
n
X
bj hj = bj0 hj0 +
j=j0
bj hj
j=j0 +1
dove bj0 è il primo coefficiente diverso da 0 (non possono essere tutti nulli per le ipotesi del
teorema). Inoltre, dato che i bj sono coefficienti complessi, possiamo scrivere bj0 = seiφ e
sostuiamo come segue:
|P (z0 + h)| = |P (z0 ) + q(h)| = |reiα + q(teiµ )| =
iα
re
=
=
iα
re
=
j0 ij0 µ
iµ j + bj0 t e
+
bj (te ) j=j0 +1
n
X
iφ j0 ij0 µ
iµ j + se t e
+
bj (te ) j=j0 +1
iα
re
n
X
=
=
iµ j j0 i(j0 µ+φ)
+
bj (te ) + st e
j=j0 +1
n
X
Queste uguaglianze valgono per ogni h complesso. Scegliamo h in modo che
ei(j0 µ+φ) = −eiα
158
Allora:
CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
iα
re
j0 iα
iµ j − st e +
bj (te ) j=j0 +1
N
X
N
X
iα
iµ j e (r − stj0 ) +
bj (te ) j=j0 +1
=
Applicando la disuguaglianza triangolare si ha
N
X
iα
iµ j e (r − stj0 ) +
bj (te ) j=j0 +1
≤ eiα (r − stj0 ) +
N
X
|bj (teiµ )j |
j=j0 +1
Bisogna soltanto provare che:
N
X
|eiα (r − stj0 )| +
|bj (teiµ )j | < r = |P (z0 )|
j=j0 +1
Si ha:
|eiα (r − stj0 )| = r − stj0
Infine, abbiamo:
N
X
r − stj0 +
|bj (teiµ )j | < r
j=j0 +1
N
X
−st +
j0
|bj (teiµ )j | < 0
j=j0 +1

N
X
tj0 −s +

|bj tj−j0 eiµj | < 0
j=j0 +1
tj0 è positivo e s è fissato; invece, preso t << 1, si ha:
lim
t→0
N
X
|bj tj−j0 eiµj |) = 0
j=j0 +1
Questo prova la disuguaglianza.
Corollario 10.2.5. Sia P (z) ∈ C[z], deg(P ) = n; P (z) si fattorizza completamente come
prodotto di n fattori lineari, cioè
P (z) =
n
Y
ai (z − zi )
i=1
con zi non tutti necessariamente distinti.
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Passo base. Per n = 0, il polinomio è
costante, per n = 1 è già lineare.
Passo induttivo. Se P (z) =
teorema di Ruffini, abbiamo:
n
X
ai zi , per il teorema fondamentale dell’algebra e per il
i=0
P (z) = (z − z0 )q(z)
dove q(z) ∈ C[z] e deg(q) = n − 1. Per ipotesi induttiva q(z) si fattorizza completamente,
quindi anche P (z).
10.3. CONVERGENZA E NORME NEL CAMPO COMPLESSO
10.3
159
Convergenza e norme nel campo complesso
Definizione 10.3.1 (Norma). Sia V uno spazio vettoriale reale e Ω : V → R una funzione
che rispetta le seguenti proprietà:
• ∀v ∈ V Ω(v) ≥ 0 e vale l’uguaglianza se e solo se v = 0;
• ∀λ ∈ V ∀v ∈ V Ω(λv) = |λ|Ω(v);
• ∀v, w ∈ V Ω(v + w) ≤ Ω(v) + Ω(w).
Ω è detta norma e (V, Ω) è detto spazio normato.
Osservazione 10.3.2. Abbiamo dato in precedenza la definizione di distanza e spazio
metrico.
Si verifica facilmente che uno spazio normato è anche uno spazio metrico perchè la
funzione norma induce una distanza. Basta considerare
d:V ×V →R
(x, y) → Ω(x − y)
e svolgere le semplici verifiche che assicurano che la funzione d sia una distanza.
Osservazione 10.3.3. Nel campo complesso, la funzione usualmente chiamata norma
rispetta le proprietà di questa classe di funzioni. In generale, tutte le funzioni del tipo
Ω:C→R
a + ib →
√
p
ap + b p
rispettano le proprietà della norma (sono dette norme p-esime). Le verifiche possono
essere svolte utilizzando le disuguaglianza di Hölder e Minkowsky nella forma data nei
capitoli precedenti. Ciascuna di queste norme induce una distanza.
Esempio 10.3.4. Mostriamo un esempio di distanza che non è indotta da alcuna norma.
Consideriamo in R la funzione d data da
d(x, y) = | arctan x − arctan y| ∀x, y ∈ R
La funzione d è una distanza perchè verifica le seguenti proprietà:
1. ∀x, y ∈ R d(x, y) ≥ 0
2. d(x, y) = 0 ⇔ arctan x = arctan y ⇔ x = y
3. ∀x, y ∈ R d(x, y) = d(y, x)
4. ∀x, y, z ∈ R si ha:
d(x, y) = | arctan x − arctan y| = | arctan x − arctan z + arctan z − arctan y| ≤
≤ | arctan x − arctan z| + | arctan z − arctan y| = d(x, z) + d(y, z)
160
CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
In generale, si ha
Basta prendere x = z =
dell’arcotangente:
√
3
3
d(x + z, y + z) 6= d(x, y)
√
e y = 3 e applicare le formule di somma e sottrazione
π
d(x, y) = arctan
6
√ !
2 3
= d(x + z, y + z)
6 arctan
=
11
Dunque la funzione d non è invariante per traslazione; invece, ogni distanza indotta da
una norma rispetta questa proprietà.
In maniera del tutto analoga, si prova che la funzione
d:C×C→R
(a + ib, c + id) → | arctan a − arctan c| + | arctan b − arctan d|
è una distanza in C. Si verifica che la funzione d non è invariante per traslazione, dunque
non è indotta da una norma. Prendendo X = Z = 1 + i e Y = 2 + i, si ha:
d(X + Z, Y + Z) = arctan
1
1
6= arctan
= d(X, Y )
6
3
Osservazione 10.3.5 (Convergenza e divergenza). Le nozioni di convergenza e divergenza per successioni e funzioni valgono in generale in qualsiasi spazio metrico, sostituendo
il valore assoluto con la distanza definita. In particolare, ha senso definirle nel campo
complesso su cui è definita l’usuale distanza.
Capitolo 11
Serie numeriche
11.1
Definizioni
Definizione 11.1.1 (Somme parziali e serie). Data la successione {an }n∈N , la successione
Sn definita come
Sn =
n
X
ai
i=0
si chiama successione delle somme parziali. Si pone:
∞
X
ai = lim Sn
n→+∞
i=0
Definizione 11.1.2 (Convergenza). Sia an una successione. Diciamo che la serie
+∞
X
an
n=0
converge se
∃l ∈ R, l 6= ±∞ | lim Sn = l
n→+∞
Se l = ±∞ allora la serie si dice divergente. Se il limite non esiste la serie si dice
indeterminata.
Definizione 11.1.3. Una serie si dice non convergente se è divergente oppure indeterminata.
Proposizione 11.1.4. Siano an e bn due successioni, λ e µ due costanti reali. Allora:
∞
X
(λan + µbn ) = λ
n=0
∞
X
an + µ
n=0
∞
X
bn
n=0
Dimostrazione. Basta considerare la serie come limite della successione delle somme parziali.
Osservazione 11.1.5. Siano {an }n∈N e {bn }n∈N due successioni. In generale
∞
X
n=0
an · bn 6=
∞
X
an ·
n=0
∞
X
bn
n=0
Basta considerare an = 1, 0, 1, 0, 1... e bn = 0, 1, 0, 1, 0... per trovare un controesempio.
Osservazione 11.1.6. Come osservato per le successioni, il comportamento di una serie
non dipende dalla natura dei primi n termini della successione che stiamo sommando,
ovvero
+∞
X
an converge ⇔
n=1
+∞
X
n=k
161
an converge
162
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
Chiaramente, il valore a cui la serie converge è differente. In generale, però, non calcoleremo il valore a cui la serie converge (può essere un compito estremamente complesso),
ma saremo interessati a studiarne il comportamento che assume definitivamente. Inoltre,
avendo definito la serie come limite della successione delle somme parziali, si possono
applicare tutti i criteri enunciati per studiare la convergenza delle successioni.
11.2
Serie geometriche e telescopiche
11.2.1
Serie geometriche
Definizione 11.2.1 (Serie geometriche). Le serie del tipo
∞
X
qk
q∈R
k=0
sono dette serie geometriche.
Proposizione 11.2.2 (Convergenza per le serie geometriche). Sia
geometrica. La serie converge se e solo se q ∈ (−1, 1) al valore
∞
X
q k q ∈ R una serie
k=0
1
.
1−q
Dimostrazione. Calcoliamo la successione Sn delle somme parziali:
Sn = 1 + q 1 + q 2 + · · · + q n
qSn = q + q 2 + q 3 + · · · + q n+1
Sottraiamo membro a membro:
Sn − 1 − qSn = −q n+1
Quindi
(1 − q)Sn = 1 − q n+1 =⇒ Sn =
1 − q n+1
1−q
Studiamo la serie associata calcolando lim Sn :
n→+∞
• Se q = 1 allora si ha Sn = n + 1.
• Se q > 1 la successione ha termini maggiori rispetto al caso precedente, quindi
diverge.
• Se q ∈ (−1, 1) possiamo scrivere q = ± d1 , d > 1; allora sostituendo si ha:
Sn =
1−
n+1
1
d
1−q
⇒
+∞
X
n=0
an = lim Sn =
n→∞
1
1−q
• Se q < −1, S2n → +∞ e S2n+1 → −∞, quindi la serie è indeterminata.
• Se q = −1, S2n → 1 e S2n+1 → 0, quindi la serie è indeterminata.
Esempio 11.2.3. La serie di Zenone
1+
converge a
1
1− 21
=2
∞
X
1 1 1
1
+ + + ··· =
2 4 8
n=0 2
n
163
11.3. CRITERI DI CONVERGENZA
11.2.2
Serie telescopiche
Definizione 11.2.4 (Serie telescopiche). Le serie della forma
∞
X
(an+1 − an )
n=0
sono dette serie telescopiche.
Proposizione 11.2.5 (Convergenza per serie telescopiche). Sia {an }n∈N una successione.
Consideriamo S(an ) la serie telescopica associata. Vale:
S(an ) = lim an − a0
n→+∞
Dimostrazione. Scriviamo la successione delle somme parziali:
N
X
(an+1 − an ) = (a1 − a0 ) + (a2 − a1 ) + · · · + (aN − aN −1 ) = aN − a0
n=0
Passando al limite, si ha:
lim
N →∞
N
X
(an+1 − an ) = lim aN − a0
N →∞
n=0
Esempio 11.2.6. Studiare la convergenza della serie
∞
X
1
1
1
=−
−
=−
n
n=1 n(n + 1)
n=1 n + 1
∞
X
1 1
−
= −(0 − 1) = 1
n→+∞ n
1
lim
Esempio 11.2.7. Studiare la convergenza della serie
1
1
−
α
(n + 1)α
n=1 n
∞
X
Consideriamo la successione an =
successione {an }n∈N . Allora vale:
∞
X
n=1
1
.
nα
La serie in esame è la telescopica associata alla
1
n→+∞ nα
= lim a1 − an = 1 − lim
n→+∞
Dunque, la serie converge se e solo se
lim
n→+∞
11.3
1
< +∞ ⇔ α > 0
nα
Criteri di convergenza
Proposizione 11.3.1 (Condizione necessaria per la convergenza delle serie). Sia {an }n∈N
una successione. Se
+∞
X
n=0
an converge, allora lim an = 0.
n→+∞
164
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
Dimostrazione. Consideriamo la successione delle somme parziali, cioè SN =
an . Per
n=0
ipotesi esiste il limite l di Sn , ovvero:
∀ε > 0 ∃n0 |
N
X
N
X
aN
− l
n=0
<
ε
2
<
ε
2
∀N > n0
Allora, scelto N > n0 , vale
N +1
X
aN
n=0
− l
Applicando la disuguaglianza triangolare si ha:
N +1
X
an
−
n=0
Esempio 11.3.2. La serie
∞
X
N
X
n=0
an n sin
n=0
< ε ⇒ |aN +1 | < ε ⇒ an → 0
1
n
lim
non converge, perchè
sin
n→+∞
1
n
1
n
=1
Proposizione 11.3.3 (Criterio di Cauchy per serie numeriche).
+∞
X
an è convergente se
n=0
e solo se vale definitivamente in n ed m che
∀ε >
m
X
ak 0
k=n+1 = Sm − Sn < ε
Dimostrazione. Basta applicare il risultato visto per successioni alla successione delle
somme parziali.
Esempio 11.3.4. Dimostriamo che la serie
1
non converge.
n=1 n
∞
X
Infatti, vale la seguente disuguaglianza:
X1
1 n−1
1
1
1
1
1
1
−
= +
+ ··· +
≥
+ ··· +
=
n n+1
2n
2n
2n
2
i=1 i
i=1 i
2n
X
Essendo questo risultato vero per ogni n ∈ N, la successione delle somme parziali non è
una successione di Cauchy, dunque la serie non converge.
11.3.1
Serie a termini di segno costante
Osservazione 11.3.5. Supporremo che le serie in esame siano a termini positivi. I
seguenti criteri valgono anche per serie a termini negativi.
Proposizione 11.3.6 (Criterio del confronto). Siano
0 ≤ an ≤ bn definitivamente. Allora:
• Se
P
bn è convergente ⇒
P
an è convergente.
P
bn e
P
an due serie tali che
165
11.3. CRITERI DI CONVERGENZA
• Se
P
an è divergente ⇒
Dimostrazione. Sia
n
X
P
bn è divergente.
an = Sna ≥ 0 e
i=0
n
X
bn = Snb ≥ 0. Allora:
i=0
0 ≤ n→∞
lim Sna ≤ n→∞
lim Snb
La tesi segue per teoremi di confronto sui limiti.
Esempio 11.3.7. La serie
1
n=0 n!
∞
X
converge per confronto con la serie Zenone. Infatti:
∀n > 3 2n < n! ⇒ ∀n > 3
1
1
>
n
2
n!
Proposizione 11.3.8 (Criterio del confronto asintotico). Siano {an }n∈N , {bn }n∈N due
successioni definitivamente positive con bn > 0. Se
an
= l ∈ R r {0}
n→∞ b
n
lim
allora:
∞
X
an < +∞
n=0
n=0
∞
X
∞
X
bn < +∞ =⇒
∞
X
bn = +∞ =⇒
an = +∞
n=0
n=0
Dimostrazione. Per definizione di limite, si ha:
l
an
≤
≤l+1
2
bn
Allora:
l
bn ≤ an ≤ (l + 1)bn
2
Applicando il criterio del confronto si ottiene la tesi.
Esempio 11.3.9. La serie
1
converge per confronto asintotico con la serie di Zenone.
n
n=0 e
∞
X
Esempio 11.3.10. Studiare la convergenza della serie
2n + n3
n
2
n=1 3 + n
+∞
X
Applichiamo il criterio del confronto asintotico:
2n + n3 3n
2n + n3
2
lim n
·
=
1
⇒
∼
n
2
n→+∞ 3 + n2 2n
3 +n
3
n
Concludiamo che la serie di partenza converge perchè abbiamo dimostrato che la serie
geometrica di ragione 32 converge.
166
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
Esempio 11.3.11. Studiare la convergenza della serie
1
e− 1+
n
∞ X
n=1
Poichè la successione 1 +
termini positivi.
1
n
1
e− 1+
n
n
n
n converge ad e crescendo, la successione in esame è a
=e−e
1
n ln(1+ n
)
=e 1−e
1
n ln(1+ n
)−1
Utilizziamo gli sviluppi di Taylor per applicare il criterio del confronto asintotico:
1
n ln(1+ n
)−1
1−e
1
1
1
− 2
∼ 1 − 1 + n ln 1 +
−1 ∼1−n
n
n 2n
∼
1
2n
Passando alle serie, si ha:
1
e− 1+
n
∞ X
n=1
n <∞⇔
∞
X
e
<∞
n=1 2n
La serie al secondo membro diverge; questo prova la divergenza della serie di partenza.
√
Proposizione 11.3.12 (Criterio della radice). Sia an ≥ 0 definitivamente. Se lim n an =
n→+∞
l ∈ [0, +∞) allora:
• l > 1 =⇒
P
an diverge.
• l < 1 =⇒
P
an converge.
Dimostrazione. Supponiamo l > 1. Allora si ha:
√
n
an > l − ε > 1 definitivamente
Allora
an > (l − ε)n > 1
Essendo violata la condizione necessaria, la serie in esame non converge.
Supponiamo l < 1. Allora si ha:
√
n
Allora
an ≤
1+l
2
Esempio 11.3.13. La serie
an <
!n
⇒
1+l
definitivamente
2
+∞
X
n=0
diverge perchè
lim
n=0
1+l
2
1
1
cos
+
n
4
∞ X
n=0
an ≤
+∞
X
n→+∞
n
√
5
n
an = > 1
4
!n
=
1
1 − 1+l
2
167
11.3. CRITERI DI CONVERGENZA
Esempio 11.3.14. Studiare la convergenza della seguente serie al variare di a, b ∈ R+ ,
c∈R
!n+c
+∞
X
b
n
a 1+
n
n=1
Applichiamo il criterio della radice n-esima:
lim
n→+∞
v
u
u
n
t
an
b
1+
n
!n+c
= a lim
n→+∞
b
1+
n
! n+c
n
=a
Dunque, se 0 < a < 1 la serie converge. Se a = 1 la serie non converge perchè si ha:
b
1+
n
lim
n→+∞
!n+c
= eb > 0
Manca la condizione necessaria.
Esempio 11.3.15. Studiare la convergenza della serie
1
∞
X
n=1
√
3
(−1n )
n+n
Separando il contributo dei termini di indice pari e di indice dispari, abbiamo:
∞
X
1
n=1
3(−1n )
√
n+n
=
∞
X
1
k=1
32k+
√
2k
√
3 2k+1
+
2k+1
k=1 3
∞
X
La prima serie converge per confronto con la serie geometrica di ragione 91 ; infatti, si ha:
1
√
32k+ 2k
<
1
32k
Per lo studio della seconda serie, applichiamo il criterio della radice:
s √
lim
k→+∞
k
√
2k+1
k
3
3
1
= lim
= <1
2k+1
2k+1
k→+∞
3
9
3 k
2k+1
Questo prova la convergenza della seconda serie. Dunque, si ha la convergenza della serie
di partenza, perchè somma di due serie convergenti.
Osservazione 11.3.16. Se la radice n-esima tende a 1 non si può concludere nulla sul
carattere della serie.
Proposizione 11.3.17 (Criterio del rapporto). Sia {an }n∈N una successione a termini
definitivamente positivi. Supponiamo
lim
n→+∞
Allora:
• l > 1 =⇒
P
an diverge.
• l < 1 =⇒
P
an converge.
an+1
= l ∈ [0, +∞)
an
168
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
Dimostrazione. Se l > 1, vale
an+1
an
> l − ε > 1 definitivamente. Allora:
an+1 > (l − ε)an > · · · > (l − ε)n+1 a0
Nel passaggio alla serie, si ha:
+∞
X
an > a0
n=0
+∞
X
(l − ε)n+1
n=0
che diverge perchè, data l’arbitrarietà di ε, è una serie geometrica di ragione q > 1.
Se l < 1, abbiamo:
an+1
∀ε > 0 ∃n0 | − l < ε ∀n > n0
an
Allora
l−ε<
an+1
< ε + l =⇒ (l − ε)an < an+1 < (ε + l)an
an
In particolare, considerando solo la disuguaglianza destra, si ha:
an < (ε + l)an−1
an−1 < (ε + l)an−2
...
Concatenando queste disuguaglianze, si ha:
an < (ε + l)an−1 < (ε + l)2 an−2 < · · · < (ε + l)n a0
cioè an < (ε + l)n a0 . Utilizzando il teorema del confronto
+∞
X
an < a0
n=0
+∞
X
(ε + l)n
n=0
Data l’arbitrarietà di ε, la serie al secondo membro è una geometrica di q < 1. Questo
dimostra la convergenza della serie di partenza.
Esempio 11.3.18. Studiare la convergenza della serie
∞
X
n!
n
n=1 n
Applichiamo il criterio del rapporto:
(n + 1)! nn
n
·
=
lim
n→+∞ (n + 1)n+1
n→+∞ n + 1
n!
lim
n
=
1
<1
e
Questa stima prova la convergenza della serie.
Osservazione 11.3.19. Se il limite del rapporto vale 1 non si può concludere nulla sul
carattere della serie.
Proposizione 11.3.20 (Criterio di condensazione di Cauchy). Se la successione {an }n∈N
è a termini positivi, decrescente ed infinitesima, allora:
∞
X
n=0
an converge ⇔
∞
X
n=0
2n a2n converge
169
11.3. CRITERI DI CONVERGENZA
Dimostrazione. ⇐=)
Supponiamo che la serie
∞
X
2n a2n converga.
n=0
a0 +
∞
X
an = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + . . .
| {z }
n=1
|
≤a2 +a2 =2a2
{z
}
≤a4 +a4 +a4 +a4 =4a4
per monotonia di {an }n∈N , raggruppando i termini della serie a gruppi di 2n . Quindi si
ha
∞
X
∞
X
an ≤
n=0
2n a2n
n=0
La seconda serie converge per ipotesi. Si ha la tesi per confronto.
=⇒)
Supponiamo che
∞
X
an converga. Procediamo in maniera analoga:
n=0
∞
X
n=0
2n a2n = a1 + a2 + a2 + a4 + a4 + a4 + a4 + a8 · · · + · · ·
| {z }
|
≤a1 +a1 =2a1
Quindi si ha
∞
X
{z
}
≤a2 +a2 +a3 +a3
∞
X
2n a2n ≤ 2
|
{z
}
≤a4 +a4 +···
an
n=0
n=0
La seconda serie converge per ipotesi. Si ha la tesi per confronto.
Proposizione 11.3.21. Se una serie a termini positivi converge, allora la serie dei
quadrati converge.
Dimostrazione.
• Primo metodo. Per ipotesi
∞
X
an converge, quindi an → 0. Allora
n=1
∃n0 | ∀n > n0 : |an | < 1. Quindi si ha definitivamente a2n < an e dunque:
∞
X
a2n <
n=1
∞
X
an < +∞
n=1
• Secondo metodo. Dimostriamo che
N
X
n=1
a2n ≤
N
X
!2
an
n=1
Procediamo per induzione:
- Passo base. N = 2
a21 + a22 ≤ (a1 + a2 )2 = a21 + 2a1 a2 + a22
- Passo induttivo. Assunto che
a21 + · · · + a2N ≤ (a1 + · · · + aN )2
170
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
mostriamo che
a21 + · · · + a2N + a2N +1 ≤ (a1 + · · · + aN + aN +1 )2
Infatti aggiungiamo ad entrambi i membri a2N +1
a21 + · · · + a2N + a2N +1 ≤ (a1 + · · · + aN )2 + a2N +1
per il passo base, maggioriamo il secondo membro:
(a1 + · · · + aN )2 + a2N +1 ≤ (a1 + · · · + aN + aN +1 )2
quindi
11.3.2
a21 + · · · + a2N + a2N +1 ≤ (a1 + · · · + aN + aN +1 )2
Serie a termini di segno qualunque
Proposizione 11.3.22 (Assoluta convergenza). Sia {an }n∈N una successione.
∞
X
|an | < +∞ ⇒
∞
X
an < +∞
n=0
n=0
Dimostrazione. Sia
∞
X
|an | = l. Poiche |a| = max{a, −a}, si ha:
n=0
+∞
X
−|an | = −
+∞
X
|an | ≤
an ≤
n=0
n=0
n=0
+∞
X
+∞
X
|an | ⇒ −l ≤
+∞
X
an ≤ l
n=0
n=0
La serie converge per confronto.
∞
X
Esempio 11.3.23. La serie
sin(n)
n=0
∞ X
1
sin(n) 2n n=0
1
converge per assoluta convergenza:
2n
=
∞
X
| sin(n)|
n=0
∞
X
1
1
≤
2n n=0 2n
Proposizione 11.3.24 (Criterio di Abel-Dirichlet). Si consideri una serie del tipo
∞
X
k=m
e si supponga che:
• Ak =
k
X
ai sia limitata
i=m
• bk debolmente decrescente e tale che bk → 0
Allora
∞
X
ak bk converge.
k=m
Dimostrazione.
∞
X
k=m
ak bk = lim
n→+∞
n
X
k=m
ak bk = lim
n→+∞
n
X
k=m
bk (Ak − Ak−1 ) =
ak b k
171
11.3. CRITERI DI CONVERGENZA
"
= lim
n→+∞
bn An − bm Am−1 −
n−1
X
#
Ak (bk+1 − bk )
k=m
dove l’ultimo passaggio segue dal riordinamento dei termini. Si ha che
lim bn An = 0
n→+∞
essendo {bn }n∈N infinitesima e {An }n∈N limitata. Poniamo bm Am−1 = h e ∀n ∈ N An < M ,
abbiamo:
"
lim bn An − h −
n→∞
n−1
X
#
Ak (bk+1 − bk ) ≤ −h −
k=m
≤ −h − M
∞
X
∞
X
M (bk+1 − bk ) ≤
k=m
(bk+1 − bk ) = −h + M
k=m
∞
X
(bk − bk+1 )
k=m
Nell’ultimo membro a destra si ha una serie telescopica che converge (dato che {bn }n∈N è
infinitesima); dunque si ha la tesi.
Esempio 11.3.25. La serie
1
sin n
ln n
n=1
∞
X
converge per il criterio di Abel-Dirichlet. Infatti,
k
X
sin n è limitata per ogni k (si veda-
n=1
no le formule dimostrate in appendice al capitolo) e la successione an =
decrescendo perchè la funzione logaritmo tende a +∞ crescendo.
√
Esempio 11.3.26. Sia x ∈ [0, 2π]. Studiare la convergenza della serie
1
ln n
tende a 0
√
(8 + x n) sin(nx2 )
n+3
n=1
+∞
X
Applichiamo il criterio di Abel-Dirichlet. Siano
√
8+x n
bn =
an = sin(nx2 )
n+3
Per le formule chiuse dimostrate in appendice al capitolo, si ha che
Ak =
k
X
sin(nx2 )
n=1
è limitata. Per poter applicare il criterio, dobbiamo provare che {bn }n∈N tende a 0 decrescendo.
È immediato verificare che
√
8+x n
lim
=0
n→+∞ n + 3
Infine, consideriamo la successione come la restrizione ad N di una funzione definita in
R, per poter applicare gli strumenti del calcolo differenziale. Per dimostrare la monotonia
in n, possiamo derivare la funzione
√
8+x n
b(n) =
n+3
172
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
rispetto ad n. Si ha:
√
3x − 16 n − xn
√
b (n) =
2 n(n + 3)2
0
n∈R
Dunque, per ogni x ∈ [0, 2π] è definitivamente vero che b(n) < 0. Allora anche la successione è definitivamente decrescente in n ∈ N. Concludiamo che la serie converge per il
criterio di Abel-Dirichlet.
Corollario 11.3.27 (Criterio di Leibnitz). Sia
∞
X
(−1)n+1 an Se lim an = 0 e {an }n∈N
n=1
n→+∞
decrescente. Allora la serie è convergente.
Dimostrazione. Basta applicare il criterio di Abel-Dirichlet.
Osservazione 11.3.28. Presenteremo un’altra dimostrazione di tale criterio nella trattazione sulle serie di funzioni.
Esempio 11.3.29. La serie
∞
X
(−1)n
n=0
Esempio 11.3.30. La serie
11.4
1
converge per il criterio di Leibnitz.
n
(−1)n n
converge per il criterio di Leibnitz.
2
n=0 1 + n
∞
X
Serie armoniche
Definizione 11.4.1 (Serie armoniche). La serie
le serie del tipo
1
è chiamata serie armonica, mentre
k=1 k
∞
X
1
sono dette serie armoniche generalizzate.
α
k=1 k
∞
X
Proposizione 11.4.2 (Convergenza delle serie armoniche). Sia
1
una serie armoα
n=1 n
∞
X
nica generalizzata. Allora si ha:
• convergenza per α > 1
• divergenza per α ≤ 1
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema utilizzando il criterio di condensazione di Cauchy.
Infatti si ha:
∞
∞
X
X
1
< +∞ ⇐⇒
2n a2n < +∞
α
n=1 n
n=1
∞
X
n=1
2n a2n =
∞ X
2n
(1−α) n
=
2
nα
n=1 2
n=1
∞
X
che converge se e solo se 2(1−α) < 1 ⇔ α > 1.
Corollario 11.4.3. La serie
• diverge per α ≤ 1
• converge per α > 1
1
α
n=2 n · ln (n)
∞
X
173
11.5. APPENDICE
Dimostrazione. Utilizzando il teorema di condensazione di Cauchy, la serie converge se e
solo se converge la serie
∞
1 X
1
1
2 n α n =
⇔α>1
α
2 ln (2 )
ln(2) n=1 nα
n=1
∞
X
n
Esempio 11.4.4. Studiare la convergenza della serie
1
n=1 ln(n!)
∞
X
Vale definitivamente che
n! < nn ⇒ ln(n!) < ln(nn ) = n ln n ⇒
1
1
>
ln(n!)
n ln n
Queste stime mostrano che la serie di partenza diverge per il risultato appena dimostrato.
Esempio 11.4.5. Studiare la convergenza della serie
√
∞
X
cos n + n
n
n=1
Si considerino le seguenti stime:
cos n +
n
√
n
√
n−1
1
≥
∼√
n
n
Questo prova la divergenza della serie di partenza.
Proposizione 11.4.6. Sia {an }n∈N una successione a termini positivi. Allora
+∞
X
an < +∞ ⇒
n=1
+∞
X
n=1
√
an
< +∞
n
Dimostrazione. Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, si ha:
v
v
!
u +∞ ! u +∞
√
u
u X 1
X
an t
≤
an · t
2
n
n=1
n=1
n=1 n
+∞
X
Per ipotesi,
+∞
X
n=1
an < +∞ e
1
< +∞ (converge a π6 , risultato non dimostrato).
2
n
n=1
+∞
X
11.5
Appendice
11.5.1
Studio della serie dei reciproci dei primi
Lemma 11.5.1. ∀x ∈ [0, 12 ] si ha
1
≤ e2x
1−x
174
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
Dimostrazione.
1
∀x ∈ 0,
1 − x > 0 ⇒ 1 ≤ e2x (1 − x)
2
Sapendo che ex ≥ 1 + x ⇒ e2x ≥ 1 + 2x, allora
(1 − x)(1 + 2x) ≥ 1 ⇒ x(1 − 2x) ≥ 0
h
i
Questa è una disequazione polinomiale di secondo grado verificata ∀x ∈ 0, 12 .
Proposizione 11.5.2 (Divergenza della serie dei reciproci dei primi). La serie
X
n∈P
1
n
dove P = {n ∈ N | n è un numero primo}, diverge a +∞.
Dimostrazione. Si fissi N ∈ N e si consideri l’insieme
Pi = {p1 , . . . , pn0 | pi primo e pi ≤ N }
Preso n ≤ N , si ha
n = pα1 1 · · · pαn0n0 =
n0
Y
αi
pi
i=1
da cui si ha
1
1
= n0
Y
n
pαi i
i=1
Si consideri adesso la somma dei reciproci di tutti i naturali minori di N . Allora vale
1
1
1
1
1
1
1
≤ 1 + 1 + 2 + ··· + k + ··· ··· 1 + 1 + 2 + ··· + k + ···
p 1 p1
p1
pn0 pn0
pn 0
n=1 n
N
X
!
!
(infatti, svolgendo tutti i prodotti del secondo membro ci sono tutti i termini possibili
della sommatoria del primo membro, più altri addendi). Ciascun fattore del secondo
membro è una serie geometrica di ragione p1j , con pj ≥ 2 e 0 < p1j < 1, di cui sappiamo
calcolare il valore:
∞
X
1
1
=
k
1 − p1j
k=0 pj
Riscriviamo la disuguaglianza:






1  1   1 
1

≤
···
=
1
1
1 − p1
1 − pn
n=0 n
i=1 1 −
N
X
n0
Y
1
pi
0
Abbiamo detto che ∀j < N vale 0 <
lemma precedente con x = p1j si ha
1
pj

1
1

≤
n=0 n
i=1 1 −
N
X
n0
Y
< 1. In effetti, vale

1
pi

≤e
2
p1
···e
2
pn0
1
pj
2
=e
<
1
2

Usando il risultato del
1
i=1 pi
n0
X
1
; se
i=1 pi
convergesse, allora convergerebbe anche la serie al primo membro, che è la serie armonica.
Ma questo è impossibile in quanto sappiamo che questa diverge.
Si osservi che all’esponente di e c’è la successione delle somme parziali della serie
∞
X
175
11.5. APPENDICE
11.5.2
Formule chiuse per somme di seno e coseno
Proposizione 11.5.3 (Sommatorie di seno e coseno). Valgono le seguenti identità ∀n ∈ N
e ∀x ∈ R con x 6= 2kπ ∀k ∈ Z:
n
X
sin
cos(kx) =
k=1
n
X
sin(kx) =
cos
n+
1
2
x
2 sin 2
x
2
x
− cos
2 sin
k=1
1
2
−
n+
1
2
x
x
2
Dimostrazione. Entrambe le dimostrazioni verranno svolte per induzione, sfruttando alcune delle formule di Werner e prostaferesi. Dimostriamo la prima identità.
Passo base. Dimostriamo che per n = 1 la relazione è soddisfatta:
sin
3
x
2
− sin
x
2
=
2 sin
2 cos(x) · sin
x
2
x
2
=
2 sin
x
2
1
X
cos(kx)
k=1
Passo induttivo. Supponiamo che la relazione sia valida per n − 1 e dimostriamo che vale
anche per n:
n
X
cos(kx) = cos(nx) +
k=1
n−1
X
sin
cos(kx) = cos(nx) +
k=1
=
2 sin
x
2
2 sin
=
· cos(nx) + sin
sin nx +
x
2
+ sin
n−
1
2
x
x
2
x
−
1
=
2
1
=
2
−
− nx + sin nx −
2 sin
1
2
2 sin x2
n−
x
2
x
2
−
x
2
1
2
Da cui segue la tesi.
Dimostriamo la seconda identità. Passo base. Dimostriamo che per n = 1 la relazione è
soddisfatta:
cos
x
2
− cos
2 sin
n+
1
2
x
x
2
=
2 cos(x) · cos
2 sin
x
2
x
2
=
1
X
sin(kx)
k=1
Passo induttivo. Supponiamo che la relazione sia valida per n − 1 e dimostriamo che vale
anche per n:
n
X
sin(kx) = sin(nx) +
k=1
=
=
Da cui segue la tesi.
x
2
sin(kx) =
k=1
2 sin(nx) · sin
cos nx −
n−1
X
x
2
+ cos
x
2
x
2 sin 2
− cos nx +
x
2
2 sin
− cos
+ cos
x
2
x
2
n−
− cos
1
2
x
n−
=
1
2
x
176
CAPITOLO 11. SERIE NUMERICHE
Osservazione 11.5.4. Calcolati esplicitamenti i valori delle somme parziali di seno e
coseno, è chiaro che le serie associate sono indeterminate, perchè i limiti delle successioni
delle somme parziali non esistono.
Esempio 11.5.5. Studiare la convergenza della serie al variare di x ∈ R:
∞
X
(sin n + cos n)xn
n=1
Consideriamo che sin n + cos n =
√
2 sin n +
∞
X
π
4
. Allora studiamo
π n
sin n +
x
4
n=1
Applichiamo il criterio del confronto assoluto e studiamo
∞ X
sin n +
n=1
π n
|x|
4 Se |x| < 1 la serie converge per il criterio di Abel-Dirichlet: infatti, la somma dei seni è
limitata e la successione |x|n tende a 0 decrescendo.
Se |x| > 1, la successione
π n
an = sin n +
x
4
non ha limite, dunque manca la condizione necessaria.
Se x = 1, la serie è indeterminata. Se x = −1, si ha:
lim (−1)n sin n +
n→+∞
π
4
non esiste
Dunque la serie non converge.
Esempio 11.5.6. Studiare la convergenza della serie al variare di α ∈ R+ :
cos(3n)
α
n=2 (ln n)
∞
X
Se α = 0, la serie è indeterminata. Se α > 0 la serie converge per il criterio di AbelDirichlet: le somme dei coseni sono limitate e la successione xn = (ln1n)α tende a 0
decrescendo.
Capitolo 12
Teoria dell’integrazione secondo
Riemann
12.1
Integrali indefiniti
12.1.1
Definizioni
Definizione 12.1.1 (Primitiva). Sia I ⊆ R un intervallo. Data f : I −→ R si definisce
primitiva di f (si indica genericamente con F ) una funzione F : I −→ R tale che
F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ I
Osservazione 12.1.2. Se una primitiva di f esiste, allora ne esistono infinte. Sia f :
I −→ R una funzione dotata di primitiva F in I e sia c ∈ R. Consideriamo la funzione
F (x) + c; si ha
(F (x) + c)0 = F 0 (x) + c0 = F 0 (x) + 0 = f (x)
∀x ∈ I
Definizione 12.1.3 (Differenziale di una funzione reale in una variabile). Il differenziale
di una funzione reale in una sola variabile x è una funzione di due variabili x e h tale
che:
df (x, h) = f 0 (x)h
Osservazione 12.1.4. Precisiamo che questa non è la definizione più generale di differenziale per funzioni definite tra spazi metrici qualsiasi. Tuttavia, è la riduzione di tale
definizione per funzioni reali in una variabile è sufficiente per la trattazione che intendiamo
affrontare.
Osservazione 12.1.5. Per la definizione data, se f : D → R è una funzione di una
variabile e x0 ∈ D un punto in cui f è derivabile, il differenziale rappresenta l’incremento
della variabile indipendente sulla retta tangente alla funzione nel punto di ascissa x0 .
Definizione 12.1.6 (Integrale indefinito di una funzione). Sia f : I −→ R. L’insieme di
tutte le primitive di f è indicato con il simbolo
Z
f (x)dx = {F : I −→ R | F sia derivabile in I e F 0 (x) = f (x)
e si chiama integrale indefinito di f (funzione integranda).
Osservazione 12.1.7. Per quanto detto in precedenza, si ha che
F (x) ∈
Z
f (x)dx ⇒ F (x) + c ∈
Z
f (x)dx
dunque {F0 + c | F0 è primitiva di f , ∀c ∈ R} ⊆ f (x)dx.
R
177
∀c ∈ R
∀x ∈ I}
178
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Lemma 12.1.8. Dimostriamo l’inclusione insiemistica mancante.
Dimostrazione. Consideriamo F0 , F1 ∈ f (x)dx | F0 6= F1 e F00 = F10 = f . Abbiamo:
R
(F0 − F1 )0 = F00 − F10 = 0 ⇒ F0 − F1 = c ∈ R
per una delle conseguenze del teorema di Lagrange. Allora F0 = F1 + c. Dunque
{F0 + c | F0 è primitiva di f , c ∈ R} ⊇
Z
f (x)dx
Z
f (x)dx
La doppia inclusione prova l’uguaglianza:
{F0 + c | F0 è primitiva di f , c ∈ R} =
Osservazione 12.1.9. Per l’integrazione di funzioni elementari basta leggere la tabella
di derivazione da destra a sinistra. Ad esempio:
Z
d a
xa+1
x = axa−1 =⇒ xa dx =
+ c, a 6= −1
dx
a+1
Definizione 12.1.10 (Somma di insiemi). Dati due insiemi A, B, definiamo l’operazione
insiemistica di somma come
A + B = {a + b | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Osservazione 12.1.11. Possiamo definire operazioni come f (x)dx ± g(x)dx.
Scriveremo spesso, con abuso di notazione (ma in modo più conciso),
R
Z
R
f (x)dx = F (x) + c
al posto di
Z
12.1.2
f (x)dx = {F : I −→ R | F 0 = f }
Proprietà dell’integrale indefinito e regola dell’integrazione per parti
Proposizione
12.1.12
(Linearità e integrazione per parti). Siano f, g : I −→ R e siano
R
R
F ∈ f (x)dx, G ∈ g(x)dx. Allora:
- somma di due integrali
F +G∈
Z
(f (x) + g(x))dx ⇒
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx =
Z
(f (x) + g(x))dx
- moltiplicazione per un reale. Sia λ ∈ R
λF ∈
Z
λf (x)dx ⇒ λ
Z
f (x)dx =
Z
λf (x)dx
- Integrazione per parti. Se f, g sono derivabili vale la seguete formula:
Z
(f (x)g(x))dx = f (x)g(x) −
0
Z
(f (x)g 0 (x))dx
179
12.1. INTEGRALI INDEFINITI
Dimostrazione. Procediamo ordinatamente con la dimostrazione dei tre punti della proposizione enunciata.
- (F (x) + G(x))0 = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x) per la linearità dell’operazione di
derivazione.
- ∀λ ∈ R (λF (x))0 = λF 0 (x) = λf (x) per la linearità dell’operazione di derivazione.
- Per le regole di derivazione (f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x). Allora
g(x)f (x) ∈
Z
(f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x))dx
che equivale alla tesi.
Osservazione 12.1.13. La formula di integrazione per parti è utile quando la funzione
integranda non è la derivata di una funzione elementare. Dal momento che l’operazione
del calcolo di una primitiva non può essere svolta in maniera algoritmica, talvolta si riconosce nella funzione integranda (se espressa come prodotto di due funzioni) la primitiva
di una funzione e si intuisce che derivando l’altra il calcolo potrebbe semplificarsi.
Proposizione 12.1.14. Con la formula di integrazione per parti si calcolano tutti gli
integrali del tipo seguente. Siano p(x) ∈ R[x] e α, β ∈ R.
1.
R
p(x)eαx dx
2.
R
p(x) sin(x)dx
3.
R
p(x) cos(x)dx
4.
R αx
e sin(βx)dx
Non forniremo una dimostrazione formale di questa proposizione, ma ci limiteremo a
mostrare degli esempi che renderanno chiaro il processo generale.
Esempio 12.1.15.
Z
x2 ex dx = ex x2 −
Z
ex 2xdx = ex x2 − 2 xex −
Z
ex dx = ex (x2 − 2x + 2)
Osservazione 12.1.16. Questo esempio mostra che, sfruttando il fatto che ex = (ex )0 ad
ogni passaggio di integrazione per parti si abbassa di 1 il grado del polinomio per cui è
moltiplicato ex . La dimostrazione rigorosa di questo fatto può essere svolta per induzione
sul grado di p(x) e ricalca l’esempio appena svolto.
Esempio 12.1.17. Avendo provato che
Z
ex P (x)dx = q(x)ex + c
con P (x) e q(x) polinomi dello stesso grado, indichiamo un altro metodo per procedere.
Calcoliamo
Z
ex (5x2 + x − 3)dx
Cerchiamo primitive della forma G(x) = ex (Ax2 + Bx + C) + c1 . Sapendo che G0 (x) =
ex (5x2 + x − 3), si ha:
G0 (x) = ex (Ax2 +Bx+C)+ex (2Ax+B) = ex (Ax2 +x(B +2A)+C +B) = ex (5x2 +x−3)
180
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Da cui si giunge alla conclusione risolvendo un semplice sistema lineare

A=5


B + 2A = 1 ⇒ 


C + B = −3




A=5
B = 1 − 10 = −9
C = −B − 3 = 6




pertanto G(x) = ex (5x2 − 9x + 6) + c1 .
Esempio 12.1.18.
Z
Z
e sin xdx = e sin x −
x
x
e cos xdx = e sin x − e cos x −
x
x
x
Z
e (− sin x)dx ⇒
x
ex (sin x − cos x)
2
Osservazione 12.1.19. Si noti che derivando due volte sin x si ottiene ancora la stessa
funzione col segno cambiato (in questo caso particolare i segni sono fondamentali per
poter isolare il termine che stiamo cercando); dunque si calcola indirettamente il suddetto
integrale. Per
Z
ex cos xdx
2
Z
e sin xdx = e (sin x − cos x) ⇒
x
x
Z
ex sin xdx =
si procede in maniera assolutamente analoga al caso precedente.
Esempio 12.1.20.
Z
x2 sin xdx = x2 (− cos x) +
= x (− cos x) − 2 x(sin x) −
2
Z
Z
2x cos xdx =
sin xdx = (2 − x2 ) cos x + 2x sin x + c
Esempio 12.1.21.
Z
cos2 xdx =
Z
cos
| {z x} dx = cos x sin x −
| {z x} cos
Z
sin x(− sin x)dx =
g
f0
Z
1
sin(2x) + sin2 xdx =
2
Z
Z
1
sin(2x)
2
= sin(2x) + x − cos xdx ⇒ 2 cos2 xdx =
+x
2
2
Z
sin(2x) x
+ +c
⇒ cos2 xdx =
4
2
= sin x cos x +
Z
sin2 xdx =
Osservazione 12.1.22. Un trucco frequente è quello di considerare f 2 (x) = f (x)f (x)
in modo da poter applicare la regola di integrazione per parti, considerando f (x) come
integranda e come funzione da derivare.
Nell’esempio precedente, avremmo anche potuto considerare cos2 x = cos 2x+1
, che è un’in2
tegrale immediato.
Esempio 12.1.23.
Z
e2x cos xdx = e2x sin x −
= e sin x−2 e (− cos x) −
2x
2x
Z
Z
2e2x sin xdx =
2e (− cos x) dx = e sin x+2e cos x−4
2x
Si conclude come negli esempi precedenti.
2x
2x
Z
2e2x cos xdx
181
12.1. INTEGRALI INDEFINITI
Osservazione 12.1.24. Le primitive di funzioni del tipo f (x) = eαx sin(βx) si calcolano
in maniera del tutto analoga.
Esempio 12.1.25.
Z
1 · ln xdx =
1
x · dx = x ln x − x = x(ln x − 1) + c
x
Z
x ln x −
ln xdx =
Z
Esempio 12.1.26.
Z
arctan xdx =
Z
1 · arctan xdx = x arctan x −
= x arctan x −
Z
x
dx =
1 + x2
1
ln(1 + x2 ) + c
2
Osservazione 12.1.27. I suddetti esempi, per quanto immediati, presentano alcune delle
più frequenti tecniche utilizzate per il calcolo delle primitive, utilizzando il metodo di integrazione per parti. Precisiamo fin da subito che il calcolo delle primitive può nascondere
complicazioni notevolissime, dal momento che non esiste un metodo algoritmico per svolgerlo. Non potendo trattare per intero la sterminata casistica delle funzioni, ci limiteremo
a offrire una panoramica delle tecniche più usate e note. È stato dimostrato inoltre che per
determinate funzioni non è possibile esprimere la primitiva come combinazione di funzioni
elementari (espressione che sarebbe opportuno definire con attenzione se ci inoltrassimo
in questo percorso); ne citiamo alcuni esempi senza la relativa dimostrazione.
Z
12.1.3
−x2
e
dx
Z
sin x dx
2
Z
Z
Z
1
sin x
dx
dx
xx dx
x
ln x
Cambiamento di variabili (integrali per sostituzione)
Teorema 12.1.28 (Formula di cambiamento di variabili). Siano I, J due intervalli reali.
Siano f : J −→ R e g : I −→ J due funzioni. Allora posto y = g(x),
Z
f (g(x))g 0 (x)dx =
Si usa anche la notazione
Z
Z
f (g(x))d(g(x)) =
Z
f (y)dy
f (y)dy|y=g(x)
Dimostrazione. Poichè (g(f (x)))0 = g 0 (f (x))f 0 (x), si ha la tesi passando all’integrale.
Esempio 12.1.29. a 6= 0
Z
f (ax + b)dx =
1Z
1Z
1Z
f (ax + b)ad(x) =
f (ax + b)d(ax) =
f (ax + b)d(ax + b)
a
a
a
Esempio 12.1.30.
sin x
dx
cos x
Poniamo y = cos x. Allora dy = − sin xdx. Infine, si ha:
Z
−
se x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z
Z
tan xdx =
Z
1
1
dy = − ln |y| + c = ln
+c
y
| cos x|
182
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Esempio 12.1.31.
Z
ln4 x
dx
x
Poniamo y = ln x ⇒ dy = x1 dx. Infine, si ha:
Z
Z
1
1
1
ln4 x · dx = y 4 dy = y 5 + c = ln5 x + c
x
5
5
Esempio 12.1.32. Integrazione di una semicirconferenza.
Z
√
1 − x2 dx
Poniamo x = sin y ⇒ dx = cos ydy. Abbiamo:
Z
√
1 − x2 dx =
Z q
1 − sin2 y cos ydy =
Z
cos2 ydy =
y 1
1
1
+ cos y sin y = arcsin x + x cos(arcsin x) + c =
2 2
2
2
√
1
1
= arcsin x + x 1 − x2 + c
2
2
q
√
essendo cos(arcsin x) = 1 − sin2 (arcsin x) = 1 − x2 .
=
Osservazione 12.1.33. Nell’esempio precedente, abbiamo operato senza considerare gli
intervalli di definizione delle funzioni e il loro segni. Per ovviare a queste gravi mancanze, bisogna verificare che il risultato sia corretto, calcolando la derivata della funzione
ottenuta. In generale, è buona pratica svolgere questa verifica.
Esempio 12.1.34. Integrazione di potenze di sin x e cos x.
Z
cosk xdx =
= sin x cosk−1 x −
Z
Z
cos x · cosk−1 xdx =
sin x · (k − 1) cosk−2 x · (− sin x)dx =
= sin x cosk−1 x + (k − 1)
= sin x cos
k−1
x + (k − 1)
Z
Z
cosk−2 x(1 − cos2 x)dx =
cos
k−2
xdx − (k − 1)
Z
cosk xdx
Infine, si ha:
k
Z
cosk xdx = sin x cosk−1 x + (k − 1)
Z
cosk−2 xdx
A questo punto, si itera ricorsivamente il processo.
Esempio 12.1.35. Se k è dispari, si può procedere come segue:
Z
cos7 xdx =
Z
cos x · cos6 xdx =
Z
cos x(1 − sin2 x)3 dx =
Ponendo y = sin x, abbiamo:
Z
3
1
3
1
(1 − y 2 )3 dy = y − y 3 + y 5 − y 7 = sin x − sin3 x + sin5 x − sin7 x + c
5
7
5
7
183
12.1. INTEGRALI INDEFINITI
12.1.4
Integrazione delle funzioni razionali
Calcoleremo integrali di tipo
Z
riconducendoci a calcolare
Z
Consideriamo i seguenti casi:
P (x)
dx
Q(x)
mx + n
dx
ax2 + bx + c
- Se m = 0 e ∆ < 0 scriviamo il trinomio di secondo grado come una somma di
quadrati.
!2
√
b
∆
2
−
ax + bx + c =
ax + √
2 a
4a
n Z
1
√
√
2
a
ax + 2√b a −
∆
4a
d
√
b
ax + √
2 a
!
Esempio 12.1.36. (∆ < 0)
Z
Z
1
1
1
dx = d x+
2
2
x +x+1
2
x + 12 + 34
Ponendo y = x + 12 , si ha:
Z
2
2
1
2y
2x + 1
√
√
√
√
dy
=
+
k
=
+k
arctg
arctg
3
y2 + 4
3
3
3
3
!
!
- Se m = 0 e ∆ > 0 decomponiamo la frazione nella somma di due frazione aventi
denominatore di primo grado, come mostrato nell’esempio seguente:
Esempio 12.1.37. (∆ > 0)
Z
Z
2
dx =
(x + 1)(x − 1)
1
1
+
dx = ln |x − 1| − ln|x + 1| + c
x−1 x+1
- Se m 6= 0 bisogna ottenere al numeratore la derivata del denominatore.
Z
Z
mx + n
dx
=
ax2 + bx + c
m
(2ax
2a
+ b) + n −
ax2 + b + c
mb
2a
dx =
!
m
mb Z
1
2
ln|ax + bx + c| + n −
dx
2
2a
2a
ax + bx + c
Esempio 12.1.38.
Z
2x + 5
2x − 12 + 17
dx
=
dx =
2
x − 12x + 4
x2 − 12x + 4
Z
Z
1
1
2
=
d(x
−
12x
+
4)
+
17
dx =
x2 − 12x + 4
x2 − 12x + 4
Z
1
2
√
√ dx =
= ln |x − 12x + 4| + 17
(x − (6 + 4 2))(x − (6 − 4 2))
Z
1
1
17 Z
2
√ −
√
dx =
= ln |x − 12x + 4| + √
8 2
x − (6 + 4 2) x − (6 − 4 2)
√
√
17
= ln |x2 − 12x + 4| + √ (ln |x − (6 + 4 2)| − ln |x − (6 − 4 2)|) + c
8 2
!
184
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Integrali di tipo generico
Z
N (x)
dx
D(x)
Se deg(N (x)) ≥ deg(D(x)), allora possiamo effettuare la divisione euclidea tra N (x) e
D(x).
R(x)
N (x)
= Q(x) +
D(x)
D(x)
quindi
Z
Z
Z
N (x)
R(x)
dx = Q(x)dx +
dx
D(x)
D(x)
Dunque, possiamo limitarci a studiare solo il caso di integrali di tipo
Z
M (x)
dx con deg(N (x)) < deg(D(x))
D(x)
Presentiamo due metodi operativi per calcolare la primitiva di questo tipo di funzioni; è
necessario, però, conoscere la fattorizzazione di D(x).
Metoto dei coefficienti indeterminati Dato
Z
N (x)
dx
D(x)
sia D(x) = a(x − α1 )β1 · · · (x − αn )βn dove gli αi ∈ C. Dato che le radici complesse di un
polinomio a coefficienti reali sono sempre in numero pari (perché se α è radice, anche α
lo è) scriviamo il polinomio come
D(x) = a(x − α1 )β1 · · · (x − αi )βi (x2 + a1 x + b1 )βi+1 · · · (x2 + an x + bn )βi+1
dove gli αi ∈ R ed i trinomi hanno sono irriducibili.
Abbiamo:
A1
Aβ1
M (x)
K1
Kβi
=
+ ··· +
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
β
D(x)
(x − α1 )
(x − α1 ) 1
x − αi
(x − αi )βi
··· +
M1 x + N1
Mβ x + Nβi
Mβ + Nβn
+ ··· + 2 i
+ ··· + 2 n
β
i
+ a1 x + b 1
(x + a1 x + b1 )
(x + an x + bx )βn
x2
Calcolando il minimo comune multiplo e applicando il principio di identità dei polinomi, è
possibile determinare i coefficienti tramite la risoluzione di un sistema lineare di equazioni.
Trovati i coefficienti siamo in uno dei casi precedenti.
Esempio 12.1.39.
x3 + 2x
x3 + 2x
=
=
x4 − 1
(x + 1)(x − 1)(x2 + 1)
=
A
B
Cx + D
+
+ 2
=
x+1 x−1
x +1
A(x − 1)(x2 + 1) + B(x + 1)(x2 + 1) + (Cx + D)(x2 − 1)
x4 − 1
Si conclude svolgendo i calcoli e applicando il principio di identità dei polinomi.
=
185
12.1. INTEGRALI INDEFINITI
Esempio 12.1.40. Presentiamo un trucco per il calcolo rapido dei coefficienti, riprendendo l’esempio precedente. Abbiamo:
A(x − 1)(x2 + 1) + B(x + 1)(x2 + 1) + (Cx + D)(x2 − 1) = x3 + 2x
L’espressione deve essere un’identità, quindi è vera ∀x ∈ R.
Se valutiamo in x = 1, abbiamo immediatamente 4B = 3; se valutiamo in x = −1,
abbiamo immediatamente −4A = −3.
Infine, valutiamo in x = i e x = −i, ottenendo il sistema:

i
= −2(Ci + D)
= −2(−Ci + D)
−i
da cui, immediatamente, D = 0 e C = − 12 .
Metodo di Ostrograndskij - Hermite Dato
Z
N (x)
dx
D(x)
in assenza di termini con molteplicità nella fattorizzazione del denominatore, si procede
come nel caso precedente. Altrimenti, si decompone la frazione nella somma di
P1 (x)
d P2 (x)
e
Q1 (x) dx Q2 (x)
con Q1 (x) avente tutti i fattori di Q(x) con molteplicità 1 e Q2 (x) avente tutti i fattori
di Q(x) con molteplicità diminuita di 1. I polinomi P1 (x) e P2 (x) sono a coefficienti
incogniti, da determinare come descritto in precedenza.
Esempio 12.1.41.
A
B
Cx + D
d Ex3 + F x2 + Gx + H
x3
=
+
+
+
(x − 1)3 (x + 2)(x2 + 1)2
x−1 x+2
x2 + 1
dx (x − 1)2 (x2 + 1)
Determinati i coefficienti (compito generalmente molto laborioso), il passaggio all’integrale
è immediato, perchè bisogna integrare una funzione derivata.
Osservazione 12.1.42. Questi metodi algoritmici, per quanto laboriosi e complessi dal
punto di vista del calcolo, consentono di integrare qualsiasi funzione razionale.
12.1.5
Sostituzioni razionalizzanti
Osservazione 12.1.43. Si denota con Raz() una funzione razionale aventi gli argomenti
più disparati.
Integrali del tipo
R
Raz(ex )dx Si utilizza la sostuzione y = ex .
Esempio 12.1.44.
Z
Z
Z
1
ex
1
dx
=
dx
=
dy
2x
x
2x
2
e +1
e (e + 1)
y(y + 1)
che è una funzione razionale di cui si può calcolare una primitiva.
186
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Integrali del tipo
R
Raz(x,
√
ax + b) Si utilizza la sostituzione
x=
y2 − b
a
Esempio 12.1.45.
√
ax + b = y, da cui:
2y
dy
a
dx =
x+3
√
dx
x+2
Z
Ponendo y =
√
x, si ha:
2
Z
Z
x+3 √ 1
(y 2 + 3)y
√
dy
x √ dx = 2
x+2
2 x
y+2
che è una funzione razionale facilmente integrabile.
Osservazione 12.1.46. Questa sostituzione è funzionale perchè il quadrato della nuova
variabile dipende linearmente da x che, quindi, può essere facilmente ricavata.
Per la
√
n
stessa ragione, si opera la stessa sostituzione nelle funzioni del tipo Raz(x, ax + b), con
n ∈ N.
Esempio 12.1.47.
Z
Ponendo
√
6
x = y, si ha:
Z
√
x+x−1
√
dx
3
x+2
y3 + y6 − 1 5
6y dy
y2 + 2
che si integra come descritto in precedenza.
Osservazione 12.1.48. In generale, quindi, se sono presenti radici con indici diversi,
basta considerare il minimo comune multiplo degli indici, purchè l’argomento di tali radici
sia il medesimo.
Integrali del tipo
R
Raz(x,
q
m
ax+b
)
cx+d
Si utilizza la sostituzione
q
m
ax+b
cx+d
Esempio 12.1.49.
Z s
x+3
dx
x−2
Con la sostituzione indicata, si ha:
x+3
3 + 2y 2
= y2 ⇒ x = 2
x−2
y −1
⇒ dx =
3 + 2y 2
y2 − 1
!0
dy
Infine, si ha:
Z
3 + 2y 2
y
y2 − 1
da cui si conclude facilmente.
!0
3 + 2y 2
dy = y
y2 − 1
!
−
Z
3 + 2y 2
dy
y2 − 1
= y.
187
12.1. INTEGRALI INDEFINITI
Integrali del tipo
R
Raz(x,
√
√
ax2 + bx + c)dx
ax2 + bx + c =
√
s
b
c
a ±x2 + x +
a
a
quindi possiamo supporre a = 1 oppure a = −1.
- a = 1. Allora si pone
√
x 2 + b0 x + c 0 = x + t
da cui
x2 b0 x + c0 = x2 + 2xt + t2 =⇒ c0 − t2 = x(2t − b0 ) =⇒ x =
Esempio 12.1.50.
Z
c0 − t2
2t − b0
√
x2 + 3x + 2dx
Con la sostituzione indicata, si ha:
√
x2 + 3x + 2 = x + t ⇒ x2 + 3x + 2 = x2 + 2xt + t2 ⇒ x =
⇒
Z
t2 − 2
+t
3 − 2t
!
t2 − 2
3 − 2t
t2 − 2
3 − 2t
!0
dt
da cui si conclude facilmente.
Osservazione 12.1.51. Notiamo che la sostituzione è funzionale perchè l’espressione è lineare in x.
Esempio 12.1.52. Riprendiamo l’esempio precedente mostrando un’altra sostituzione possibile.
√
x2 + 3x + 2 = t(x + 2) ⇒ (x + 1)(x + 2) = t2 (x + 2)2
Semplificando e riordinando, si ha:
x=
2t2 − 1
1 − t2
Infine, abbiamo:
Z
2t2 − 1
t
+ 2)
1 − t2
!
2t2 − 1
1 − t2
!0
dt
da cui si conclude facilmente.
Osservazione 12.1.53. Questo esempio mostra che la sostituzione indicata funziona anche se a = −1, purchè il trinomio abbia radici. Del resto, se fosse a < 1 e
∆ < 0, l’argomento sarebbe negativo in tutto R, dunque la funzione non definita.
- a = −1 Si opera come indicato nell’ultimo esempio.
188
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Integrali di Cebyschev
Z
xm (a + bxn )p dx
con m, n, p ∈ Q Distinguiamo tre casi:
- se p ∈ Z, allora è un polinomio;
- se
m+1
n
∈ Z, si usa la sostituzione a + bxn = tq dove q è il denominatore di p;
- se
m+1
n
+ p ∈ Z, si sostituisce ax−n + b = tq .
Integrali del tipo
R
p1
pn
R(x, ( ax+b
) q1 , · · · , ( ax+b
) qn )dx Si usa la sostituzione
cx+d
cx+d
tmcm(q1 ,··· ,qn ) =
ax + b
cx + d
Osservazione 12.1.54. La sostituzione indicata è funzionale perchè l’espressione risultante è lineare in x, pur essendo alquanto difficile da manipolare.
Esempio 12.1.55.
Z s
3
Ponendo t6 =
x+1
,
x+2
x+1
x+2
s
x+2
dx
x+1
si ha:
x=
6t5
2t6 − 1
⇒
dx
=
dt
1 − t6
(1 − t6 )2
Quindi, ci riconduciamo a risolvere:
Z
t4
dt
(1 − t6 )2
Z
√
Esempio 12.1.56.
Ponendo
√
1
dx
1 + x2
1 + x2 = x + t, si ha:
x=
Allora, si ha:
−t2 − 1
1 − t2
⇒ dx =
dt
2t
2t2
Z
1
2t −t2 − 1
1
dt
=
− dt = ln + c =
2
2
1+t
2t
t
t
√
1
ln √
+ c = ln | 1 + x2 + x| + c
1 + x2 − x Z
Esempio 12.1.57.
1
Z
q
(1 + x2 )3
dx
Intendiamo sfruttare il risultato appena dimostrato.
Z
1 + x2 − x2
q
(1 + x2 )3
dx =
Z
Z
1
x2
q
√
dx
−
dx =
1 + x2
(1 + x2 )3
189
12.1. INTEGRALI INDEFINITI
Z
1
1
x
1
1Z
1Z
2
q
√
=
d(x + 1) =
xd((x2 + 1)− 2 ) =
dx −
dx +
2
2
2
2
1+x
1+x
(x2 + 1)3
Z
Z
Z
1
1
x
1
1
1
1
1
x
√
√
= √
dx + √ 2
−
dx =
dx + √ 2
=
2
2
2
2 x +1 2
2
2 x +1
1+x
x +1
1+x
√
x
1
1
= √ 2
+ ln | 1 + x2 + x| + c
2 x +1 2
Z
√
Integrali del tipo Raz(sin x, cos x) Si utilizzano le formule parametriche che esprimono sin e cos in funzione di t = tan x2 .
R
Esempio 12.1.58.
sin x + 2 cos x
dx
cos3 x + 4 sin x
Z
Con la sostituzione indicata, si ha:
sin x =
2t
1 + t2
cos x =
1 − t2
1 + t2
dx =
2
dt
1 + t2
Infine, si ha:
2t
1+t2
Z
1−t2
1+t2
2
1−t
+ 2 1+t
2
3
2t
+ 4 1+t
2
2
dt
1 + t2
che è una funzione razionale in t.
Esempio 12.1.59. Si osserva che
ln x − 1
x
dx =
+c
2
ln x
ln x
Si tratta di un esempio in cui non ci sono sostituzioni efficaci.
Z
Esempio 12.1.60.
Z
(1 + ln x)x2x dx
Poniamo x ln x = t ⇒ dt = (ln x + 1)dx. Allora, si ha:
Z
1
e2t dt = e2 t + c =
2
2x
1
x
= e2x ln x + c =
+c
2
2
(ln x + 1)e2x ln x dx =
Esempio 12.1.61.
Z
Poniamo
√
tan x = t ⇒ dx =
2t
dt.
1+t4
√
Z
tan xdx
Allora, si ha:
Z
2t2
dt
1 + t4
da cui si conclude facilmente.
Esempio 12.1.62.
Z
ln x ·
P (x)
dx
Q(x)
con P (x) e Q(x) funzioni polinomiali. Sia G(x) una primitiva di
parti:
Z
Z
P (x)
1
ln x ·
dx = ln x · G(x) −
· G(x)dx
Q(x)
x
Essendo x1 G(x) una funzione razionale, si conclude facilmente.
P (x)
.
Q(x)
Integriamo per
190
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
12.2
Integrali definiti
12.2.1
Definizioni
Definizione 12.2.1 (Partizione e raffinamento). Dato un intervallo chiuso [a, b] ⊂ R,
supposto di dividerlo in n parti considerando dei punti di suddivisione x1 , . . . , xn tali che
a = x0 < x1 < · · · < xn < b = xn+1
(con la convenzione di chiamare a = x0 , b = xn+1 ) l’insieme
P = {x0 , . . . , xn+1 }
è chiamato partizione di [a, b]. Ogni partizione P 0 tale che P ⊂ P 0 è detta raffinamento
di P .
Definizione 12.2.2 (Somme superiori e inferiori). Data una funzione f : [a, b] −→ R
limitata e una partizione P di [a, b] definiamo somma superiore (inferiore) associata ad
f eP
S(f, P ) =
n
X
(xi+1 − xi ) sup f
[xi ,xi+1 ]
i=0
s(f, P ) =
n
X
(xi+1 − xi ) inf f
[xi ,xi+1 ]
i=0
Lemma 12.2.3. Siano P1 una partizione e P2 un raffinamento di P1 . Allora si ha
S(P2 , f ) ≤ S(P1 , f ) e s(P2 , f ) ≥ s(P1 , f )
Dimostrazione. Mostriamo soltanto una delle due implicazioni perchè l’altra è analoga.
Se dimostriamo il lemma per due partizioni tali che una abbia soltanto un elemento in più
rispetto all’altra, allora si può iterare il risultato per due partizioni che si differenziano
per più elementi. Consideriamo il caso P2 = P1 ∪ {y}. La somma superiore è uguale su
ogni intervallo eccetto nell’i-esimo in cui xi < y < xi+1 :
S(P1 , f ) =
i−1
X
(xj+1 − xj ) sup f + (xi+1 − xi ) sup f +
j=0
S(P2 , f ) =
i−1
X
[xj ,xj+1 ]
[xi ,xi+1 ]
n
X
(xj+1 − xj ) sup f
[xj ,xj+1 ]
j=i+1
(xj+1 −xj ) sup f +(y−xi ) sup f +(xi+1 −y) sup f +
[xj ,xj+1 ]
j=0
[xi ,y]
[y,xi+1 ]
n
X
(xj+1 −xj ) sup f
j=i+1
[xj ,xj+1 ]
ora basta provare che
(xi+1 − xi ) sup f ≥ (y − xi ) sup f + (xi+1 − y) sup f
[xi ,xi+1 ]
[xi ,y]
[y,xi+1 ]
Questo è vero perché il sup su un insieme è sempre minore o uguale del sup su un insieme
che lo contiene.
Proposizione 12.2.4. Siano P1 , P2 partizioni di [a, b]; si ha che
S(P1 , f ) ≥ s(P2 , f )
191
12.2. INTEGRALI DEFINITI
Dimostrazione. Considerando P1 ∪ P2 si ha
S(P1 ∪ P2 , f ) ≤ S(P1 , f )
s(P1 ∪ P2 , f ) ≥ s(P2 , f )
per il lemma dimostrato. Inoltre, si ha:
S(P1 ∪ P2 , f ) ≥ s(P1 ∪ P2 , f )
Da ciò segue che
S(P1 , f ) ≥ s(P2 , f )
Definizione 12.2.5 (Riemann-integrabilità). Data una funzione f limitata e definita su
un compatto [a, b], diremo che è integrabile secondo Riemann se, chiamati
I(f ) = {s(P, f ) | P è partizione di [a, b]}
I(f ) = {S(P, f ) | P è partizione di [a, b]}
integrale inferiore e superiore di f , si ha
sup I(f ) = inf I(f ) =
Il valore
Z b
a
Z b
a
f (x)dx
f (x)dx
si dice integrale definito di f tra gli estremi di integrazione [a, b].
Interpretazione geometrica dell’integrale definito secondo Riemann
(12.1)
Esempio 12.2.6. Sia f la funzione di Dirichlet; mostriamo che non è Riemann-integrabile.
f (x) =

0
1
∀x ∈ [0, 1] r Q
∀x ∈ [0, 1] ∩ Q
Calcoliamo esplicitamente le somme superiori ed inferiori su una generica partizione
S(P, f ) =
n
X
(xi+1 − xi ) sup f
i=0
[xi ,xi+1 ]
192
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Ma il sup vale esattamente 1 comunque si raffini la partizione, per densità dei numeri
razionali.
S(P, f ) =
n
X
(xi+1 − xi ) = 1
i=0
L’ inf vale esattamente 0 comunque si raffini la partizione, per densità dei numeri irrazionali.
s(P, f ) =
n
X
(xi+1 − xi ) · 0 = 0
i=0
Quindi qualunque sia la partizione, la somma superiore ed inferiore sono sempre costanti
e diverse fra loro. La funzione non è integrabile secondo Riemann.
Proposizione 12.2.7. Una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo se ∀ε > 0
∃P di [a, b] tale che S(P, f ) − s(P, f ) < ε.
Dimostrazione. ⇐=)
Supposto vero che ∀ε > 0 ∃P di [a, b] tale che S(P, f ) − s(P, f ) < ε si deve avere
S(Pε , f ) < s(Pε , f ) + ε =⇒ inf S(P, f ) ≤ S(Pε , f ) < s(Pε , f ) + ε ≤ sup s(P, f ) + ε
P
P
ε può essere arbitrariamente piccolo quindi segue che
inf S(P, f ) ≤ sup s(P, f )
P
P
Dalla proposizione precedente sappiamo che vale l’altra disuguaglianza. Quindi
inf S(P, f ) = sup s(P, f )
P
P
ed f è integrabile secondo Riemann.
=⇒)
Poiché la funzione è per ipotesi integrabile si ha
sup I(f ) = inf I(f ) =
Z b
a
f (x)dx
e quindi
∃P1 , P2 | S(P1 , f ) ≤
Z b
a
f (x)dx +
ε
2
e
s(P2 , f ) ≥
Z b
a
Considerando il raffinamento P1 ∪ P2 si ha allora
S(P1 ∪ P2 , f ) ≤ S(P1 , f ) ≤
s(P1 ∪ P2 , f ) ≥ s(P2 , f ) ≥
Z b
a
Z b
a
f (x)dx +
ε
2
f (x)dx −
ε
2
da cui si ha
S(P1 ∪ P2 , f ) − s(P1 ∪ P2 , f ) < ε
f (x)dx −
ε
2
193
12.2. INTEGRALI DEFINITI
Interpretazione geometrica della proposizione La funzione è integrabile se e solo
se la somma delle aree evidenziate può essere resa arbitrariamente piccola.
(12.2)
Teorema 12.2.8 (Integrabilità delle funzioni continue). Sia f : [a, b] −→ R una funzione
continua. Allora la funzione è integrabile secondo Riemann.
Dimostrazione. Per la proposizione appena provata, basta dimostrare che
∀ε > 0 ∃P | S(P, f ) − s(P, f ) < ε
Riscriviamo esplicitamente le somme superiori e inferiori associate ad una certa partizione
P.
S(P, f ) − s(P, f ) =
n
X
(xi+1 − xi )( sup f − inf f ) =
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
i=0
n
X
(xi+1 − xi )(f (ξi ) − f (ηi ))
i=0
L’ultima uguaglianza è vera per la continuità di f : per il teorema di Weierstrass ∃ξi , ηi |
sup(f ) = f (ξi ) e inf(f ) = f (ηi ). Per il teorema di Heine-Cantor, una funzione continua su
un insieme compatto è uniformemente continua, cioè ∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che ∀x, y ∈ [a, b]
con |x − y| < δ si ha
|f (x) − f (y)| < ε
Scelto ε0 =
ε
,
b−a
n
X
prendendo una partizione abbastanza raffinata, si ha:
(xi+1 − xi )(f (ξi ) − f (ηi )) ≤ ε
0
i=0
n
X
(xi+1 − xi ) = ε0 (b − a) = ε
i=0
Osservazione 12.2.9. Indicheremo con R([a, b]) l’insieme delle funzioni Riemann integrabili in [a, b] ⊂ R.
Definizione 12.2.10. Sia f ∈ R([a, b]) con a < b. Poniamo per definizione
Z a
b
f (x)dx = −
Z b
a
f (x)dx
Osservazione 12.2.11. Per la definizione data, l’integrale definito esprime il valore di
un’area con segno. Inoltre
Z a
f (x)dx = 0
a
∀c ∈ [a, b]
Z b
a
f (x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
c
f (x)dx
194
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
12.2.2
Proprietà delle funzioni Riemann-integrabili
Teorema 12.2.12 (Linearità dell’integrale definito). R([a, b]) è un R-spazio vettoriale
con le operazioni di somma e prodotto per scalare. Inoltre, valgono le seguenti relazioni:
∀f, g ∈ R([a, b])
Z b
a
(f + g)(x)dx =
Z b
∀λ ∈ R
a
Z b
a
λf (x)dx = λ
f (x)dx +
Z b
a
Z b
g(x)dx
a
f (x)dx
Dimostrazione. Proviamo che R([a, b]) è uno spazio vettoriale.
La funzione identicamente nulla è continua, quindi Riemann-integrabile.
∀f, g ∈ R([a, b]) si ha per definizione che ∀ε > 0 ∃P1 , P2 tali che
S(P1 , f ) − s(P1 , f ) < ε
S(P2 , g) − s(P2 , g) < ε
Considerando la partizione P = P1 ∪ P2 si ha:
S(P, f ) − s(P, f ) < S(P1 , f ) − s(P1 , f ) < ε
S(P, g) − s(P, g) < S(P2 , g) − s(P2 , g) < ε
per quanto dimostrato in precedenza. Inoltre, per la caratterizzazione di sup e inf, sup(f +
g) ≤ sup f + sup g e inf(f + g) ≥ inf f + inf g. Allora:
S(P, f + g) =
n
X
(xi+1 − xi )( sup (f + g)) ≤
[xi ,xi+1 ]
i=0
≤
n
X
(xi+1 − xi )( sup f ) +
[xi ,xi+1 ]
i=0
cioè
n
X
(xi+1 − xi )( sup g) = S(P, f ) + S(P, g)
[xi ,xi+1 ]
i=0
S(P, f + g) ≤ S(P, f ) + S(P, g)
ed allo stesso modo
s(P, f + g) ≥ s(P, f ) + s(P, g)
Moltiplicando quest’ultima disuguaglianza per −1 e sommando membro a membro otteniamo
S(P, f + g) − s(P, f + g) ≤ (S(P, f ) − s(P, f )) + (S(P, g) − s(P, g)) < ε + ε = 2ε
Questo dimostra che R([a, b]) è chiuso per somma.
Dimostriamo adesso che vale la moltiplicazione per scalari reali, servendoci di alcuni
risultati noti:
• ∀λ > 0 inf(λf ) = λ inf f e sup(λf ) = λ sup f
• ∀λ < 0 inf(λf ) = λ sup f e sup(λf ) = λ inf f
Quindi distingueremo due casi.
Per λ > 0 vale f ∈ R([a, b]) ⇔ ∀ε > 0 ∃P tale che
S(P, f ) − s(P, f ) =
n
X
(xi+1 − xi )( sup f − inf f ) < ε
i=0
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
195
12.2. INTEGRALI DEFINITI
e quindi moltplicando per λ ambo i membri e scegliendo ε0 =
S(P, λf ) − s(P, λf ) =
ε
λ
otteniamo
n
X
(xi+1 − xi )( sup (λf ) − inf (λf )) < ε
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
i=0
Per λ < 0 si procede in maniera analoga.
ε
Per ipotesi, ∀ |λ|
> 0 ∃P tale che
S(P, f ) − s(P, f ) =
n
X
ε
|λ|
(xi+1 − xi )( sup f − inf f ) <
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
i=0
Considerando il comportamento di sup e inf, si ha
sup(λf ) − inf(λf ) = λ(inf f − sup f )
e quindi
S(P, λf )) − s(P, λf ) = λ(s(P, f ) − S(P, f )) < ε
Proviamo adesso la seconda parte del teorema, cioè la linearità.
Z b
Z b
ε
ε
∀ε > 0, ∃P | S(P, f ) ≥
f (x)dx + ∧ S(P, g) ≥
g(x)dx +
2
2
a
a
Per definizione, le partizioni possono essere diverse, ma possiamo considerare la stessa a
meno di effettuare un raffinamento.
Quindi
Z b
a
(f (x) + g(x))dx ≤ S(P, f + g) ≤ S(P, f ) + S(P, g) ≤
Z b
a
f (x)dx +
Z b
a
g(x)dx + ε
In modo analogo si dimostra che
Z b
a
(f (x) + g(x))dx ≥ s(P, f + g) ≥ s(P, f ) + s(P, g) ≥
Z b
a
f (x)dx +
Z b
g(x)dx − ε
a
Questo dimostra l’uguaglianza. Per il prodotto per scalari si procede in maniera analoga.
Proposizione 12.2.13. Sia f ∈ R([a, b]).
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒
Z b
a
f (x)dx ≥ 0
Dimostrazione. Per definizione di integrale definito, si ha
Z b
a
Si ha:
f (x)dx = inf I(f )
inf I(f ) ≥ s({a, b}), f ) = (b − a) inf f ≥ 0
[a,b]
Proposizione 12.2.14. f, g ∈ R([a, b]).
f (x) ≥ g(x) ∀x ∈ [a, b] =⇒
Z b
a
f (x)dx ≥
Z b
a
g(x)dx
196
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Dimostrazione. Basta applicare la proposizione precedente alla funzione f (x) − g(x) ≥
0.
Osservazione 12.2.15. In generale se f ∈ R([a, b]) e f ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]
Z b
a
f (x)dx = 0 ; f = 0
Dimostreremo che l’implicazione è vera se e solo se la funzione è continua.
Esempio 12.2.16.
f (x) = x{ 1 }
2
1
2
f è la funzione caratteristica di
cioè la funzione

0
x ∈ [a, b] r { 12 }
f (x) = 
1 x = 12
e supponiamo f definita in [0, 1]. Pur non essendo la funzione identicamente nulla,
Z 1
0
f (x)dx = 0. Infatti dividiamo l’intervallo [0, 1] in 4 parti con la partizione
P = 0,
1
1
− ε, + ε, 1
2
2
e S(P, f ) = 2ε , s(P, f ) = 0. Dato che ε è arbitrario
Z 1
0
f (x)dx = 0
Proposizione 12.2.17 (Integrale di funzioni pari e dispari). Sia f : [−a, a] → R una
funzione Riemann-integrabile. Se f è pari
Z a
−a
Se f è dispari
f (x)dx = 2
Z a
−a
Z a
0
f (x)dx
f (x)dx = 0
Dimostrazione. Per le proprietà dell’integrale definito, si ha:
Z a
−a
Se f è pari si ha che
f (x)dx =
Z 0
−a
f (x)dx +
Z a
0
f (x)dx
∀x ∈ [−a, a] f (x) = f (−x)
Allora, operando un cambiamento di variabile, si ha che
Z 0
−a
f (x)dx =
Z 0
a
f (x)d(−x) = −
Z 0
a
f (x)dx =
Allora si ha la prima parte della tesi.
Per la seconda è sufficiente osservare che, se f è dispari, si ha:
∀x ∈ [−a, a] f (x) = −f (−x)
In maniera analoga, si prova la seconda parte della tesi.
Z a
0
f (x)dx
197
12.2. INTEGRALI DEFINITI
Proposizione 12.2.18. Sia f ∈ C([a, b]) e f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b].
Z b
a
f (x)dx = 0 =⇒ f = 0
Dimostrazione. Ricordiamo che una funzione continua definita in un compatto è Riemannintegrabile. Procediamo per assurdo. Se esistesse c ∈ [a, b] | f (c) > 0 allora
∃ε0 | f (x) ≥
f (c)
∀x ∈ (c − εo , c + ε0 )
2
Integrando questa espressione, si ha per i teoremi precedenti:
Z c+ε0
c−ε0
f (x)dx ≥
Z c+ε0
c−ε0
f (c)
f (c)
dx =
2ε0 > 0
2
2
assurdo.
Teorema 12.2.19. Sia f ∈ R([a, b]) e ϕ ∈ C(R). Allora ϕ ◦ f ∈ R([a, b]).
Dimostrazione. ∀ε > 0 si vuole cercare una partizione P di [a, b] tale che
S(P, ϕ ◦ f ) − s(P, ϕ ◦ f ) < ε
Equivalentemente, vogliamo provare che
∀ε > 0 ∃P = {a = x0 , x1 . . . , xn = b} |
n−1
X
(xi+1 − xi )( sup (ϕ ◦ f ) −
[xi ,xi+1 ]
i=0
inf (ϕ ◦ f )) < ε
[xi ,xi+1 ]
Poichè f è limitata e [a, b] è un compatto, esiste un compatto C ⊇ Im(f ).
Dunque ϕ|C è uniformemente continua per il teorema di Heine-Cantor, ovvero
∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀y1 , y2 ∈ C, |y1 − y2 | < δ : |ϕ(y1 ) − ϕ(y2 )| < ε
Inoltre,
∀n ∈ N ∃Pn | S(Pn , f ) − s(Pn , f ) <
Sia
1
n
Pn = {a = xn0 , xn1 . . . , xni = b}
Definiamo
In = {xnj | sup f −
n
[xn
j ,xj+1 ]
Allora
inf
n
[xn
j ,xj+1 ]
f < δ}

X

(xnj+1 − xnj )  sup (ϕ ◦ f ) −
n
[xn
j ,xj+1 ]
xn
j ∈In
inf (ϕ ◦ f ) < ε(b − a)
n
[xn
j ,xj+1 ]
Stimiamo

X

(xnj+1 − xnj )  sup (ϕ ◦ f ) −
n
[xn
j ,xj+1 ]
xn
/ n
j ∈I
inf (ϕ ◦ f ) ≤
n n
[xj ,xj+1 ]
X
(xnj+1 − xnj )(2 max |ϕ|)
xn
j ∈Pn rIn
Per uniforme continuità di ϕ,
δ
X
xn
j ∈Pn rIn
(xnj+1 − xnj ) ≤
X
xn
j ∈Pn rIn
(xnj+1 − xnj )( sup f −
n
[xn
j ,xj+1 ]
inf
n
[xn
j ,xj+1 ]
f) ⇒
198
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
(xnj+1 − xnj ) <
X
⇒
xn
j ∈Pn rIn
0
− xnj 0 ) < ε (δ è fissato)
(xnj+1
X
∀n > n0
1
nδ
xn
j ∈Pn rIn0
Quindi si ha la tesi.
Osservazione 12.2.20. Per la dimostrazione del teorema è sufficiente che ϕ sia continua
in Im(f ).
Esempio 12.2.21.
f ∈ R([a, b]) ⇒ |f | ∈ R([a, b]) ∧ f 2 ∈ R([a, b])
Corollario 12.2.22. f, g ∈ R([a, b]) ⇒ f · g ∈ R([a, b])
Dimostrazione. Basta scrivere
(f + g)2 − f 2 − g 2
2
f ·g =
Teorema 12.2.23 (Teorema della media integrale). Sia f ∈ R([a, b]). Vale che
Z b
a
f (x)dx
b−a
∈ [inf f, sup f ]
[a,b]
[a,b]
Dimostrazione.
(b − a) inf f ≤
[a,b]
Z b
a
f (x)dx ≤
n
X
(xi+1 − xi )( inf (f )) ≤
[xi ,xi+1 ]
i=0
Z b
a
f (x)dx
n
X
(xi+1 − xi )( sup (f )) ≤ (b − a) sup f
[xi ,xi+1 ]
i=0
quindi
(b − a) inf f ≤
[a,b]
Z b
a
[a,b]
f (x)dx ≤ (b − a) sup f
[a,b]
dividendo per b − a
Z b
inf f ≤
[a,b]
a
f (x)dx
b−a
Z b
≤ sup f =⇒
[a,b]
a
f (x)dx
b−a
∈ [inf f, sup f ]
[a,b]
[a,b]
Corollario 12.2.24. Se f ∈ C([a, b]), allora ∃ c ∈ [a, b] tale che
Z b
a
f (x)dx
b−a
= f (c)
Dimostrazione. Segue dal teorema precedente, considerando che una funzione continua in
un compatto assume tutti i valori compresi tra il suo estremo superiore e inferiore.
199
12.2. INTEGRALI DEFINITI
12.2.3
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Definizione 12.2.25 (Funzione integrale). Sia f ∈ R([a, b]) ed x ∈ [a, b]. La funzione
F (x) =
Z x
a
f (t)dt
si chiama funzione integrale di f .
Osservazione 12.2.26. La funzione integrale è ben definita perchè abbiamo dimostrato
che si può calcolare l’integrale in un sottoinsieme dell’intervallo.
Teorema 12.2.27 (Teorema fondamentale del calcolo
integrale). Sia f ∈ R([a, b]) ed
Z x
x ∈ [a, b]. Allora per la funzione integrale F (x) =
f (t)dt valgono:
a
- F ∈ C([a, b])
- se f ∈ C([a, b]) =⇒ F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ [a, b].
Dimostrazione. Dimostriamo il primo punto. Bisogna verificare che la funzione F è
continua in [a, b], ovvero che
∀x0 ∈ [a, b], x→x
lim F (x) − F (x0 ) = 0
0
Per definizione di F , si ha:
F (x) − F (x0 ) =
Z x
a
f (t)dt −
Z x0
a
f (t) =
Z x
x0
f (t)dt
Nel passaggio al limite, abbiamo:
lim F (x) − F (x0 ) = lim
x→x0
Z x
x→x0
x0
f (t)dt
Il limite dato vale 0 per confronto: sapendo che
(x − x0 ) inf f (x) ≤
[x0 ,x]
Z x
x0
f (t)dt ≤ (x − x0 ) sup f (x)
[x0 ,x]
si ha che il limite sinistro vale 0 perchè la funzione è limitata. Analogamente, si prova
che il limite destro vale 0.
Per il secondo punto, impostiamo il rapporto incrementale:
Z x+h
F (x + h) − F (x)
= lim
h→0
h→0
h
lim
a
f (t)dt −
h
Z x
a
f (t)dt
Z x+h
= lim
h→0
Essendo f continua, per il teorema della media integrale si ha
Z x+h
lim
h→0
Quindi
x
f (t)dt
h
= lim f (ξ) ξ ∈ [x, x + h]
h→0
lim f (ξ) = f (x) ⇒ F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ [a, b]
h→0
x
f (t)dt
h
200
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Corollario 12.2.28 (Formula per il calcolo di un integrale definito). Sia f ∈ R([a, b]).
Se è nota una primitiva G di f , si ha
Z d
c
f (t)dt = G(d) − G(c)
Dimostrazione. Abbiamo appena dimostrato che la funzione integrale F è una primitiva
di f . Quindi F 0 (x) − G0 (x) = (F − G)0 (x) = 0 ∀x ∈ [a, b]. Per il criterio della derivata
nulla, essendo F e G continue, la funzione F − G è costante.
F (x) − G(x) = k
Valutiamo in c ed in d:
∀x ∈ [a, b]
F (d) − G(d) = k
F (c) − G(c) = k
e sottraiamo membro a membro
F (d) − F (c) = G(d) − G(c)
Z d
c
f (t)dt = G(d) − G(c)
Osservazione 12.2.29. Il corollario è lo strumento che si usa operativamente per il calcolo degli integrali definiti. Si cerca una primitiva dell’integranda e si calcola la differenza
della funzione valutata negli estremi di integrazione. Se non si può operativamente calcolare la primitiva, bisogna accontentarsi di approssimazioni, stimando dall’alto e dal basso
le somme superiori ed inferiori con delle disuguaglianze.
Osservazione 12.2.30. Ricordiamo che il teorema fondamentale del calcolo integrale dimostra che la funzione integrale è continua ed è una primitiva della funzione integranda.
Per poter applicare il corollario è necessario che G sia una primitiva su tutto l’intervallo. Può accadere che, data f continua, non tutte le primitive siano definite in tutto
l’intervallo.
Esempio 12.2.31. Calcolare:
1
2 dx
0 1 + sin x
Le primitiva della funzione in esame sono nella forma

√

√1 arctan( 2 tan(x)) + c

 2
Z π
G(x) =

+c
2 2

√


 √1 arctan( 2 tan(x)) + √π
h
x ∈ 0, π2
x=
π
√
2
2
+c
x∈
π
2
i
π
,1
2
Nel calcolo di questa primitiva, si può operare utilizzando le formule parametriche, come
descritto nel capitolo precedente per l’integrazione delle funzioni razionali si seno e coseno.
In primo luogo, si trova la funzione
√
1
H(x) = √ arctan( 2 tan(x)) + c
2
che non è una primitiva della funzione in esame per i seguenti motivi. Dal suo studio, si
verifica facilmente che in x = π2 H(x) presenta un discontinuità di prima specie, dunque
201
12.2. INTEGRALI DEFINITI
non è derivabile in tale punto. Tuttavia, dallo studio della funzione derivata, si verifica
che
1
H 0 (x) =
1 + sin2 x
è continua in x = π2 , ovvero
lim H 0 (x) = lim
H 0 (x)
π+
x→ π2 −
x→ 2
Studiamo i seguenti limiti:
π
= √ +c
2 2
2
π


H(x) = − √ + c

 lim
+
2 2
x→( π2 )


lim H(x)


x→( π )−
Per quanto detto, possiamo considerare la funzione G(x) definita a tratti come indicato e
costruita a partire da H(x) con l’intento di rendere la funzione continua e derivabile in
[0, π].
Dopo aver svolto queste imprescindibili considerazioni, possiamo applicare il corollario per
il calcolo dell’integrale definito.
Z π
0
π
1
√
2 dx = G(π) − G(0) =
1 + sin x
2
Osservazione 12.2.32. Se nell’esempio precedente avessimo utilizzato la funzione H(x)
per il calcolo dell’integrale definito, avremmo commesso un grave errore concettuale e
avremmo ottenuto un risultato assurdo, perchè G(π) − G(0) = 0. Infatti, la funzione
integranda è sempre positiva e, per quanto dimostrato, dovrebbe valere
Z π
0
1
dx > 0
1 + sin2 x
Osservazione 12.2.33 (Formula di cambiamento di variabile per integrali definiti).
Supponiamo di voler calcolare
Z
b
a
φ(f (x))f 0 (x)dx
Procediamo per sostituzione, ponendo y = f (x). Dobbiamo modificare gli estremi di
integrazione come segue:
Z f (b)
φ(y)dy
f (a)
In alternativa, si può calcolare la primitiva esprimendola in funzione di x. In tal caso,
non è necessario modificare gli estremi di integrazione.
Esempio 12.2.34.
Z √e2 −1
0
Poniamo t = ln(1 + x2 ). Allora:
t(0) = 0
Allora, si ha:
Z 2
0
q
5
x
ln(1 + x2 )
1 + x2
dx
2x
dt =
dx
1 + x2
√
t( e2 − 1) = ln(e2 − 1 + 1) = 2
√
5
t
5 6 2
5 6
dt =
t5 = 25
2
12 0 12
202
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Osservazione 12.2.35 (Formula di integrazione per parti per integrali definiti). Per il
calcolo di primitive tramite integrazione per parti, si opera come segue:
Z b
a
f (x)G(x)dx = [F (x)G(x)]ba −
Z b
a
F (x)g(x)dx
dove F è una primitiva di f e g è la derivata di G.
12.2.4
Introduzione alla misura di Peano-Jordan
Definizione 12.2.36 (Insieme di misura nulla). Un insieme A ⊂ R si dice di misura
nulla se, ∀ε > 0 esiste una famiglia {xn }n∈N di punti reali ed una successione {rn }n∈N di
raggi, (ovvero esiste una famiglia al più numerabile di intervalli In (xn , rn )) tali che
- A⊂
[
In
n∈N
-
∞
X
rn < ε
n=1
cioè, esiste un ricoprimento dell’insieme A con palle la cui serie dei raggi è infinitesima.
Proposizione 12.2.37. Ogni insieme finito A = {x1 , . . . , xn } ⊂ R ha misura nulla.
ε
Dimostrazione. Infatti se per ogni punto xi ∈ A scegliamo l’intorno Ii xi , 2n
- il primo punto è banalmente vero;
-
n
X
ε
ε
= <ε
2
k=1 2n
Proposizione 12.2.38. Ogni insieme numerabile ha misura nulla.
Dimostrazione. Se A = {x1 , . . . , xn , . . . } si può scegliere In xn , 2·3ε n .
- il primo punto è banalmente vero;
-
ε
3ε
=
<ε
n
4
n=1 2 · 3
∞
X
Esempio 12.2.39. L’insieme Q ha misura nulla perchè è numerabile.
Esempio 12.2.40. Ogni intervallo [a, b] non ha misura nulla. Basta osservare che la
serie dei raggi vale al minimo b − a.
Esempio 12.2.41 (Insieme di Cantor). L’insieme di Cantor è definito induttivamente
come segue: si considera l’intervallo [0, 1], si divide in 3 parti e si rimuove l’intervallo
aperto centrale ottenendo
1
2
0,
∪ ,1
3
3
Ripetiamo il processo per i nuovi intervalli ottenendo
1
2 1
2 7
8
0,
∪ ,
∪ ,
∪ ,1
9
9 3
3 9
9
203
12.2. INTEGRALI DEFINITI
Iteriamo il processo per i nuovi intervalli definiti.
Indicando con An l’insieme così costruito al passo n, l’insieme di Cantor si definisce come
∞
\
C=
An
n=1
1
All’n-esimo passo, sono stati rimossi 2n segmenti ciascuno di lunghezza 3n+1
(verifica
banale per induzione), con la convenzione che al passo 0 il segmento sia già diviso in 3
parti. La lunghezza dei segmenti rimanenti è:
1−
n
2i
1X
2i
=
1
−
i+1
3 i=0 3i
i=0 3
n
X
Scelto ε > 0, vale definitivamente:
1−
2i
< 1 − (1 − ε) = ε
i+1
i=0 3
n
X
dove l’ultimo passaggio segue dal fatto si tratta una serie geometrica di ragione 23 . Quindi
l’insieme ha misura nulla.
Possiamo inoltre dimostrare che l’insieme di Cantor ha la cardinalità del continuo, indicando una corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme [0, 1] ⊂ R.
h
i
i h
Sia x ∈ C. Al passo n = 0, si può trovare solo in un intervallo tra 0, 13 e 23 , 1 , in quanto
disgiunti. Se si trova nel primo, associamo a x la stringa
(1). Supponiamo
h
i (0), altrimenti
h
i
1
2 1
x nel primo intervallo: per n = 1, x si trova in 0, 9 oppure 9 , 3 . Nel primo caso la
stringa associata ad x diventa (00), nel secondo (01). Iterando il processo, si osserva che
ad ogni elemento x dell’insieme di Cantor è associata in maniera biunivoca una stringa
di 0 e 1 che, pensata come numero reale in binario, fornisce un numero tra [0, 1].
Proposizione 12.2.42. Data una famiglia numerabile di insiemi di misura nulla = =
{Aj | j ∈ N}, la loro unione
∞
[
Aj
j=1
ha misura nulla.
Dimostrazione. Fissato j, esistono per definizione, una successione di raggi e di punti, che
indichiamo con {xjn }n∈N , {rnj }n∈N , tali che
Aj ⊂
[
I(xjn , rnj )
n
e
∞
X
rnj <
n=1
Allora:
∞
[
Aj ⊂
j=1
∞ X
∞
X
j=1 n=1
∞ [
∞
[
ε
2j
I(xjn , rnj )
j=1 n=1
rnj
<
∞
X
ε
=ε
j
j=1 2
Questo conclude la dimostrazione del teorema.
204
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Definizione 12.2.43 (Oscillazione di una funzione). Data una funzione f : D → R,
definiamo oscillazione di f nell’intervallo [a, b] ⊂ D
osc(f ) = sup f − inf f
[a,b]
[a,b]
[a,b]
Osservazione 12.2.44. f è continua in un punto x0 ∈ D se e solo se
lim
osc
ε→0 [x0 −ε,x0 +ε]
(f ) = 0
Definizione 12.2.45. Data una funzione f : [a, b] → R e l’insieme
D(f ) = {x ∈ [a, b] | x è un punto di discontinuità}
definiamo
1
D (f ) = x ∈ [a, b] | ∀ε > 0 osc (f ) ≥
[x−ε,x+ε]
n
(
)
n
Osservazione 12.2.46. Definire Dn (f ) significa considerare tutti i punti del dominio per
cui in ogni loro intorno l’oscillazione della funzione è sufficientemente grande. Allora
D(f ) =
∞
[
Dn (f )
n=1
L’insieme dei punti di discontinuità di una funzione è dato dall’unione di tutti gli insiemi
Dn (f ). Dimostreremo che ciascuno di questi insiemi ha misura nulla.
Teorema 12.2.47 (Teorema di Vitali-Lebesgue). Una funzione f limitata e definita in un
compatto [a, b] è Riemann-integrabile se e solo se l’insieme dei suoi punti di discontinuità
ha misura nulla.
Dimostrazione. =⇒)
Dobbiamo mostrare che f ∈ R([a, b]) =⇒ D(f ) =
provare che l’insieme ∀n ∈ N Dn (f ) ha misura nulla.
Per ipotesi, f è Riemann-integrabile; allora si ha:
∞
[
Dn (f ) ha misura nulla. Basta
n=1
∀ε > 0 ∃P = {xε0 , · · · , xεn | xεi < xεi+1 }
tale che
(xεi+1 − xεi ) εosc
(f ) < ε
ε
X
[xi ,xi+1 ]
Sia n fissato; consideriamo l’insieme
J = {j | (xεj , xεj+1 ) ∩ Dn (f ) 6= ∅}
Si ha:
ε>
X
j∈J
(xj+1 − xj ) osc (f ) >
[xj ,xj+1 ]
X
1X ε
(xj+1 − xεj ) =⇒
(xεj+1 − xεj ) < εn
n j∈J
j∈J
Dunque, abbiamo ricoperto Dn (f ) con una famiglia di intorni ottenuti scegliendo alcuni
intervalli definiti dalla partizione. Per l’arbitrarietà di ε, si ha che Dn (f ) ha misura nulla.
⇐=)
Intendiamo definire una partizione tale che gli intervalli in cui si sono discontinuità siano
205
12.2. INTEGRALI DEFINITI
abbastanza piccoli e negli intervalli in cui non ci sono discontinuità la funzione compie
un’oscillazione che possiamo rendere abbastanza piccola.
Per definizione ∀ε > 0 ∃Ij , j ∈ N tale che
∞
[
D(f ) =
Ij
j=1
∞
X
l(Ij ) < ε
j=1
dove l(Ij ) indica la lunghezza dell’intervallo j-esimo.
∀x ∈
/ D(f ), ∃I(x, rx ) | osc (f ) < ε
I(x,rx )
cioè, per ogni punto di continuità, esiste un intorno di x in cui l’oscillazione della funzione
è arbitrariamente piccola. Vale:
[a, b] ⊂
∞
[
j=1
I(x, rx )
[
Ij ∪
x∈D(f
/
)
Possiamo supporre che l’unione che compare a destra sia di un numero finito di insiemi:
se non lo fosse, potremmo estrarre un sottoricoprimento finito (perchè [a, b] è compatto)
tale che:
[a, b] ⊂ Ij(1) ∪ · · · ∪ Ij(k) ∪ I(x1 , rx1 ) ∪ · · · ∪ I(xi , rxi )
Definiamo la partizione
Pε = {x1 , . . . , xp }
tale che l’i-esimo elemento è l’estremo destro dell’i-esimo intervallo del sottoricoprimento
introdotto in precedenza. Allora si ha:
S(Pε , f ) − s(Pε , f ) =
k
X
l(In ) · osc(f ) +
In
n=1
X
l(I(xi , rxi )) · osc (f )
I(xi ,rxi )
I(xi ,rxi )
La prima sommatoria vale al più 2 sup(f ) · (osc(f )); la seconda vale al più ε(b − a). Quindi
In
si ha:
k
X
n=1
l(In ) · osc(f ) +
In
X
In
l(I(xi , rxi )) · osc (f ) ≤ 2ε sup |f | + ε(b − a)
I(xi ,rxi )
I(xi ,rxi )
e dall’arbitrarietà di ε segue la tesi.
La funzione di Thomae (funzione popcorn)
Definizione 12.2.48 (Funzione di Thomae). Sia f : R → R.
f (x) =

1
q
0
x ∈ Q, x =
x∈RrQ
p
q
ai minimi termini
Proposizione 12.2.49 (Discontinuità della funzione di Thomae). La funzione di Thomae
è discontinua in Q e continua in R r Q.
206
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Dimostrazione. Sia x0 ∈ Q. Dimostriamo che lim f (x) non esiste. Infatti, si ha:
x→x0
∀ε > 0 ∃p ∈ Q ∃r ∈ R r Q | p, r ∈ (x0 − ε, x0 + ε)
Se ε ∈ Q, basta prendere
p = x0 +
ε
2
ε
r = x0 + √
2
r = x0 +
ε
2
p = x0 +
Se ε ∈ R r Q, basta prendere
n
1
2n
o
dove n = min k ∈ N | 21k < ε .
Sia x0 ∈ R r Q. Dimostriamo che lim f (x) = 0. La tesi equivale al seguente enunciato:
x→x0
∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀x : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
Fissato ε > 0, scegliamo δ come segue:
1
δ = min{|x − x0 | | f (x) ≥ ε}
2
Dunque, preso y ∈ (x0 − δ, x0 + δ), si ha:
|f (y) − f (x0 )| = f (y) < ε
Se, infatti, fosse f (y) > ε, si avrebbe δ > |x0 − y|: questo è assurdo perchè δ è stato
caratterizzato come minimo.
Proposizione 12.2.50 (Integrabilità della funzione di Thomae). La funzione di Thomae
è Riemann-integrabile in [0, 1] e il suo integrale vale 0.
Dimostrazione. Sia ε > 0. Sia
S = {x ∈ [0, 1] ∩ Q | f (x) > ε}
L’insieme S è finito, perchè
x ∈ [0, 1] ∩ Q ⇒ ∃p, q ∈ N coprimi | x =
1
p
⇒ f (x) =
q
q
Allora
1
1
>ε⇔q<
q
ε
Questo prova che per q è possibile un numeo finito di scelte; essendo p e q coprimi, con
p
< 1, deve valere p < q: allora, per ogni q, le scelte possibili per p sono in numero finito.
q
Questi argomenti provano che S ha cardinalità finita.
Sia S = {xε1 , . . . xεn }. Prendiamo la partizione Pε ; definiamo
x∈S⇔
δ=
Allora abbiamo:
1
min{|xεi − xεi+1 |, xε1 , 1 − xεn }
2n
Pε = {0, xε1 − δ, xε1 + δ, . . . , xεn − δ, xεn + δ}
Con questa costruzione, si può rendere la differenza tra somme superiori e inferiori minore
di ε.
Osservazione 12.2.51. La funzione in esame è anche nota come funzione di Dirichlet
modificata, pur essendo profondamente diversa per la caratterizzazione fornita dei punti
di discontinuità. Per dimostrare la Riemann-integrabilità, si può applicare il teorema
di Vitali-Lebesgue: infatti il suo insieme dei punti di discontinuità è [0, 1] ∩ Q che è
numerabile, dunque ha misura nulla.
207
12.3. INTEGRALI IMPROPRI
12.3
Integrali impropri
12.3.1
Integrali impropri per funzioni illimitate
Definizione 12.3.1 (Integrabilità in senso generalizzato). Sia f : (a, b] −→ R tale che
∀ε > 0 sup (f ) = +∞ e f ∈ R([a + ε, b]). Se esiste finito il limite
(a,a+ε)
lim
Z b
ε→0+
a+ε
f (x)dx = l < ∞
diciamo che la funzione è Riemann-integrabile in senso generalizzato.
Esempio 12.3.2. Calcoliamo l’integrale definito
Z 1
0
ln xdx
Notiamo che la funzione ln x è definita in (0, +∞). Per definizione, lo studio dell’integrale
si riduce allo studio di
Z 1
lim+
ln xdx
ε→0
ε
Calcoliamo una primitiva F (x) di f (x) = ln x.
F (x) = x(ln x − 1)
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale,
Z 1
ε
f (x)dx = [x(ln x − 1)]1ε = 1 ln 1 − 1 + ε − ε ln ε
Passando al limite:
lim 0 − 1 + ε − ε ln ε = −1
ε→0+
Esempio 12.3.3. Studiare, al variare del parametro α ∈ R, il seguente integrale
Z 1
0
1
dx
xα
Consideriamo due casi possibili per α.
- α < 0.
Scriviamo α = −y con y > 0. La funzione integranda risulta limitata e integrabile
secondo Riemann.
"
#1
Z 1
1
1
y
y+1
x
=
x dx =
y+1
y+1
0
0
- α > 0.
1
1
lim
x dx = lim
x1−α =
ε→0 ε
ε→0 1 − α
ε
1
1 1−α
= lim
−
ε
ε→0 1 − α
1−α
Se α = 1 il denominatore non è definito: tratteremo questo caso a parte. Per α > 1,
Z 1
y
1
ε1−α = −∞
ε→0 1 − α
lim
208
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
quindi l’integrale non converge.
Se 0 < α < 1, allora
1
1
1 1−α
−
ε
=
ε→0 1 − α
1−α
1−α
quindi l’integrale converge.
lim
- α=1
lim
1
= lim[ln x]1ε = +∞
x ε→0
Z 1
ε→0 ε
Proposizione 12.3.4 (Criterio di confronto per integrali). Siano f, g : (a, b] −→ R tali
che ∀x ∈ (a, b] 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Supponiamo, inoltre, ∀ε > 0 f, g ∈ R([a + ε, b]) e
sup f = +∞. Se g è integrabile in senso generalizzato, anche f è integrabile in senso
[a,a+ε]
generalizzato. Se f non è integrabile in senso generalizzato, anche g non è integrabile in
senso generalizzato.
Dimostrazione. Per ipotesi sappiamo che
∀ε > 0,
Consideriamo la funzione:
Z b
f (x)dx ≤
a+ε
Z b
g(x)dx
a+ε
Γf : (0, b − a] −→ R
Γf (ε) =
Z b
a+ε
f (x)dx
La funzione Γf è una monotòna decrescente e limitata. Le funzioni monotòne ammettono
sempre limite e, data la limitatezza di Γf , si ha:
lim Γf (ε) = lim
ε→0
Z b
ε→0 a+ε
f (x)dx ∈ [0, +∞)
Quindi, detti l0 = lim Γf (ε) e l = lim Γg (ε), si ha:
ε→0
ε→0
Z b
a+ε
f (x)dx ≤
Z b
a+ε
g(x)dx =⇒ 0 ≤ l0 ≤ l
In maniera del tutto analoga, si prova la seconda parte dell’enunciato.
Esempio 12.3.5. Studiare la convergenza dell’integrale:
Z 1
0
ln x sin x
√
dx
x3
Invece di calcolare la primitiva di questa funzione, conviene utilizzare stime opportune
con altre funzioni il cui comportamento è noto. Per applicare il criterio del confronto è
necessario che per l’integranda f valga f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (0, 1). In questo caso, f (x) <
0 ∀x ∈ (0, 1). Essendo interessati alla convergenza, studiamo
−
Z 1
0
Allora:
ln x sin x
√
dx
x3
1
Z 1
Z 1
Z 1
ln x sin x
x ln x
ln x
Cx− 4
√
√ dx = −
√ dx ≤ −
√
−
dx ≤ −
x
x
0
0
0
0
x3
x3
che si dimostra essere convergente. Per confronto, si ha anche la convergenza dell’integrale
di partenza.
Z 1
209
12.3. INTEGRALI IMPROPRI
Proposizione 12.3.6 (Criterio del confronto assoluto). ∀ε > 0 f ∈ R([a+ε, b]), sup |f | =
(a,a+ε)
+∞. Supponiamo |f | integrabile in senso generalizzato in (a, b].
integrabile in senso generalizzato in (a, b].
Allora anche f è
Dimostrazione. Scriviamo f come somma di funzioni:
f = f+ − f−
|f | + f
|f | − f
f− =
⇒ ∀x ∈ (a, b], 0 ≤ f− (x) ≤ f+ (x) ≤ |f (x)|
2
2
con f+ , f− due funzioni positive e Riemann-integrabili in senso generalizzato. Allora:
f+ =
lim
Z b
ε→0 a+ε
Z b
f (x)dx = lim
ε→0
a+ε
f+ (x)dx −
!
Z b
a+ε
f− (x)dx ≤ lim
Z b
ε→0 a+ε
|f (x)|dx
Esempio 12.3.7. Riprendiamo l’esempio precedente e utilizziamo il criterio di convergenza assoluta.
Z 1
ln x sin x
√
dx
0
x3
Passando al valore assoluto
Z 1
0
Z 1
Z 1
| ln x||x|
ln x sin x
| ln x|| sin x|
√
√
√
dx ≤
dx
dx ≤
0
0
x3
| x3 |
| x3 |
e sappiamo che l’ultimo integrale converge.
Osservazione 12.3.8. Data una funzione f : (a, b) −→ R tale che
sup (f ) = ±∞, sup f = ±∞
(a,a+ε)
(b−ε,b)
Vogliamo studiare
Z b
a
f (x)dx
Consideriamo un punto x0 ∈ (a, b) in cui la funzione è definita e scriviamo (a, b) =
(a, x0 ] ∪ [x0 , b); per l’addività nell’intervallo di integrazione
Z b
a
f (x)dx =
Z x0
a
f (x)dx +
Z b
x0
f (x)dx
Per la Riemann-integrabilità in senso generalizzato, studiamo separatamente i due integrali e concludiamo che la funzione è Riemann-integrabile in senso generalizzato in (a, b)
se e solo se lo è in ciascuno dei sottointervalli.
Esempio 12.3.9. Calcolare
1
Z 1
0
q
x(1 − x)
dx
Calcoliamo una primitiva di f .
1
Z
q
x(1 − x)
dx =
Z
1
1
x− 2 (1 − x)− 2 dx
210
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Utilizziamo il cambio di variabile t2 = x−1 − 1. Ricaviamo
dx = −
2t
dt
(1 + t2 )2
e sostituendo nell’integrale di partenza
1
Z
q
x(1 − x)
dx = −2
Z
t
Z
(1 + t2 )2
q
1
(1+t2 )
1−
1
(1+t2 )
dt
= −2
Z
1
dt
1 + t2

s
1
1

− 1
dt
=
−2arctg(t)
=
−2arctg
1 + t2
x
Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale, tenendo conto che la primitiva
non è definita in x = 0
lim
Z 1
ε→0 ε

1
s

s

1
1
q
dx = lim −2 arctan 
− 1 + 2 arctan 
− 1 =
ε→0
1
ε
x(1 − x)
s

1
= lim 2 arctan 
− 1
ε→0
ε
Ricordiamo la relazione:
π
1
∀x ∈ R arctan(x) = − arctan
2
x
Quindi
s




π
1 
1
=π
− 1 = 2  − lim arctan  q
lim 2 arctan 
1
ε→0
ε
2 ε→0
−1
ε
Proposizione 12.3.10 (Criterio del confronto asintotico). Siano f, g : (a, b] −→ R, con
f (x) ≥ 0, g(x) > 0 ∀x ∈ (a, b]. Se
lim
x→a
Allora
lim
Z b
ε→0 a+ε
f (x)
= l ∈ R r {0}
g(x)
f (x)dx < +∞ ⇐⇒ lim
Z b
ε→0 a+ε
g(x)dx < +∞
Dimostrazione. Per ipotesi
f (x)
= l ∈ R r {0}
g(x)
Per definizione di limite ∃ δ0 > 0 tale che
lim
x→a
l
f (x)
≤
≤ 2l ∀x ∈ (a, δ0 )
2
g(x)
Dato che per ipotesi g(x) > 0, moltiplicando la disuguaglianza precedente, si ha:
l
0 ≤ g(x) ≤ f (x) ≤ 2lg(x)
2
Per il criterio del confronto, se l’integrale di g converge, anche l’integrale di f converge
(per via della disuguaglianza f (x) ≤ 2lg(x)). Se converge l’integrale di f , allora converge
anche quello di g (per la disuguaglianza 2l g(x) ≤ f (x)).
211
12.3. INTEGRALI IMPROPRI
Osservazione 12.3.11. Abbiamo appena dimostrato che f e g hanno lo stesso comportamento: non è detto che l’integrale converga allo stesso limite.
Esempio 12.3.12. Studiare la convergenza dell’integrale
π
2
Z
0
ln(sin x)dx
La primitiva della funzione non si può esprimere in termini di funzioni elementari. Notiamo che la funzione non è limitata in 0. Ricordiamo che in un intorno di 0, sin x = x+o(x),
quindi applichiamo il confronto asintotico con ln x. Applichiamo prima il criterio di
assoluta convergenza, perchè ∀x ∈ (0, π2 ) ln(sin x) ≤ 0s. Quindi studiamo
lim
x→0
Quindi
Z
0
π
2
| ln(sin x)|
= 1 ∈ (0, +∞)
| ln x|
| ln(sin x)|dx < ∞ ⇔
Z
π
2
0
| ln x|dx < ∞
Sappiamo che il secondo integrale è convergente, quindi anche quello iniziale converge.
12.3.2
Integrali impropri su semirette
Definizione 12.3.13 (Integrabilità in senso generalizzato su semirette). Sia f : [a, +∞) −→
R e f ∈ R([a, b]) ∀b > a. Diremo che f è integrabile in senso generalizzato sulla semiretta
[a, +∞) se esiste finito il limite
lim
Z b
b→+∞ a
f (x)dx
Osservazione 12.3.14. Tutti i criteri studiati per gli integrali impropri su funzioni
illimitate valgono per quelli su semirette.
Esempio 12.3.15. Studiare il seguente integrale improprio:
Z +∞
0
e dx = lim
−x
Z R
R→+∞ 0
−R
e−x dx = lim [−e−x ]R
)=1
0 = lim (1 − e
R→+∞
R→+∞
Esempio 12.3.16 (Integrale di Gauss). Studiare il seguente integrale improprio:
Z +∞
2
e−x dx
−∞
La funzione f (x) = e
è pari; dunque possiamo limitarci a studiare 0+∞ f (x)dx. Vale la
2
disuguaglianza e−x < e−x definitivamente. Dunque, per confronto, si ha la convergenza
dell’integrale suddetto.
−x2
R
Esempio 12.3.17. Studiare il seguente integrale improprio:
Z +∞
1
Z R
1
1
=
lim
a>0
xa R→+∞ 1 xa
Se a = 1, abbiamo:
lim ln x = +∞
R→+∞
Se a 6= 1, abbiamo:
"
lim
R→+∞
x−a+1
1−a
#R
1
(R−a+1 − 1)
R→+∞ 1 − a
= lim
1
Dunque, l’integrale converge se e solo se a > 1.
212
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Esempio 12.3.18. Studiare il seguente integrale improprio:
Z +∞ −x2
e
sin x
x2
0
dx
L’integrale presenta due problemi, quindi dividiamo l’intervallo. Si ha:
Z 1 −x
Z +∞ −x
sin x
sin x
sin x
e
e
dx =
dx +
dx
2
2
x
x
x2
0
1
Z +∞ −x2
e
0
2
2
Il secondo integrale converge per confronto con e−x ; per lo studio del primo integrale, si
può applicare il confronto asintotico con g(x) = x1 .
e−x sin x
lim
x=1
x→0
x2
2
Dunque, il primo integrale diverge.
Esempio 12.3.19. Studiare il seguente integrale improprio:
Z +∞
0
sin x
dx
x
La funzione ha limite finito per x che tende a 0, dunque non presenta problemi di Riemannintegrabilità. Studiamo
Z +∞
Z R
sin x
sin x
dx = lim
dx
R→+∞ 1
x
x
1
Applichiamo la regola di integrazione per parti:
Z R
1
Z R
sin x
cos x
cos x
dx == +
dx −
2
x
x
x
1
R
1
iR
h
Passando al limite, cosx x
è un valore finito, quindi non influisce sulla convergenza
1
dell’integrale di partenza. Inoltre, vale:
0≤
1
| cos x|
≤ 2
2
x
x
1
<∞
x2
0
Si conclude per confronto che l’integrale di partenza converge.
Z +∞
Esempio 12.3.20. Studiare il seguente integrale improprio:
Z +∞
1
Poniamo x2 = y. Allora x =
Z R
1
√
y e dx =
1
√
dy.
2 y
Si ha:
√
sin y ln y
1Z R
ln y
dy =
sin y √ dy =
√
2 y
4 1
y
1
ln y
− cos y √
=
4
y
"
sin(x2 ) ln xdx
#R
1
1Z R
1 − ln y
cos y
+
dy =
3
4 1
y2
!
213
12.4. APPENDICE
ln y
1
− cos y √
=
4
y
"
#R
1
1 Z R cos y
1 Z R cos y ln y
+
dy + +
dy
3
4 1 y 32
4 1
y2
Nel passaggio al limite:
ln y
− cos y √
y
"
lim
R→+∞
#R
ln R
= lim − cos R √ = 0
R→+∞
R
1
cos y
Z R
lim
3
R→+∞ 1
per confronto assoluto con g(x) =
y2
1
3
y2
Z R
lim
cos y ln y
3
R→+∞ 1
per confronto assoluto con g(x) =
dy < +∞
C
y2
dy < +∞
. Concludiamo che l’integrale di partenza converge.
5
y4
12.4
Appendice
12.4.1
Funzione Gamma di Eulero
Esempio 12.4.1. L’integrale
Z +∞
xs−1 e−x dx
0
è ben definito per ogni s ∈ (0, +∞). Allora, definiamo la funzione
Γ(s) =
Z +∞
xs−1 e−x dx
0
chiamata funzione Gamma di Eulero. Verifichiamo che ∀s ∈ (0, +∞), Γ(s + 1) = sΓ(s).
Γ(s + 1) =
Consideriamo
Z R
Z +∞
xs e−x dx
0
xs e−x dx e applichiamo la regola di integrazione per parti.
0
Z R
0
x e dx =
s −x
h
iR
−xs e−x
0
+
Z R
sxs−1 e−x dx
0
Nel passaggio al limite, si ha:
lim
Z R
R→+∞ 0
xs e−x dx = lim −Rs e−R + s lim xs−1 e−x dx
R→+∞
R→+∞
da cui
Γ(s + 1) = lim
Z R
R→+∞ 0
xs e−x dx = s lim xs−1 e−x dx = sΓ(s)
R→+∞
Osservazione 12.4.2. La funzione Gamma è un’estensione ai reali della funzione fattoriale definita in N.
214
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Esempio 12.4.3. Verificare la seguente relazione:
Z +∞
0
Z R
xe
−x3
0
"
x2 −x3
e
dx =
2
#R
−
Z R
0
0
"
=
2
1
3
xe−x dx = Γ
3
3
"
x2
x2 −x3
3
(−3x2 )e−x dx =
e
2
2
x2 −x3
e
2
#R
#R
+
0
1 Z R 2 −x3 3
x e dx =
2 0
1 Z R 3 3 −x3 3
(x ) 2 e dx
2 0
+
0
Nel passaggio al limite, si ha:
Z +∞
xe
−x3
0
1 Z +∞ 3 3 −x3 3
dx =
(x ) 2 e dx
2 0
Dunque:
Z +∞
xe
−x3
0
12.4.2
2
1
dx = Γ
3
3
Prodotto di Wallis
Proposizione 12.4.4. Vale la seguente uguaglianza:
2k · 2k
π
=
n→+∞
2
k=1 (2k + 1) · (2k − 1)
lim
n
Y
Dimostrazione. Definiamo
Wn =
2k · 2k
k=1 (2k + 1) · (2k − 1)
n
Y
Consideriamo il seguente integrale:
In =
Z π
sinn xdx
0
e dimostriamo che
n−1
In−2
n
Applichiamo la regola di integrazione per parti.
In =
In =
Z π
0
sinn xdx =
= In−2 −
Z π
0
sinn−2 x(1 − cos2 x)dx = In−2 −
1
sinn−1 x cos x
n−1
π
0
−
Z π
0
Z π
0
(sinn−2 x cos x) cos xdx =
1
sinn−1 x sin xdx =
n−1
1
In
n−1
Riordinando i termini, si trova la suddetta relazione.
Definiamo
I2n+1
Rn =
I2n
Per la relazione data, vale:
= In−2 +
Rn =
2n
I
2n+1 2n−1
2n−1
I
2n 2n−2
=
2n · 2n
Rn−1
(2n − 1) · (2n + 1)
215
12.4. APPENDICE
Per induzione, si verifica facilmente che
Rn = R0
2k · 2k
= R0 · Wn−1
k=1 (2k − 1) · (2k + 1)
n−1
Y
Per costruzione, si ha:
Z π
R0 =
I1
=
I0
0Z
sin xdx
π
0
1dx
=
2
π
Si ha:
2
Wn−1
π
Basta dimostrare che Rn tende ad 1. Si osserva facilmente che
Rn =
∀x ∈ [0, π] sina x ≥ sina+1 x
Allora
2n
2n
I2n ≤
I2n−1 = I2n+1 ≤ I2n
2n + 1
2n + 1
Dividendo per I2n , si ha:
2n
I2n+1
= Rn ≤ 1
≤
2n + 1
I2n
Passando al limite, si ha la tesi per confronto.
12.4.3
Formula di Stirling
Proposizione 12.4.5. Vale la seguente relazione:
√
n! ∼
Dimostrazione. Definiamo
Si ha:
2πn
n
n
e
n
√
n
1
Sn = 2πn
e
n!
(n + 1)n+1
en n!
Sn+1 q
1
√
= 2π(n + 1)
=
Sn
en+1
(n + 1)! nn 2πn
1
1
1+
=
e
n
n+ 1
2
Per induzione, si ottiene
n−1
Y 1
Sk+1
1
Sn = S1
= S1
1+
k
k=1 Sk
k=1 e
n−1
Y
k+ 1
2
Passando ai logaritmi, si ha:
ln Sn = ln S1 +
n−1
X k=1
1
1
ln 1 +
−1
k+
2
k
Passando al limite, si ha:
ln S∞ = ln S1 +
∞ X
k=1
1
1
k+
ln 1 +
−1
2
k
216
CAPITOLO 12. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN
Dimostriamo che vale la convergenza della serie
1
1
k+
ln 1 +
−1
2
k
∞ X
k=1
Consideriamo il k-esimo termine della successione e scriviamone il polinomio di Taylor
con resto di Peano:
1
1
k+
ln 1 +
−1=
2
k
1
1
1
1
1
1
1
− 2 + 3 +o 4 −1=
+
o(
)
k+
2
k 2k
3k
k
12k 2
k2
Questo implica la convergenza della serie. Allora
ln S∞ ∈ R+ ⇒ S∞ ∈ R+
Utilizziamo la relazione del prodotto di Wallis.
Wn =
2k · 2k
2 · 2 · 4 · 4 · · · (2n) · (2n)
=
=
1 · 3 · 3 · · · (2n − 1) · (2n + 1)
k=1 (2k − 1) · (2k + 1)
n
Y
42n (n!)4
[(2n)!]2 (2n + 1)
dove l’ultima uguaglianza deriva dall’aver moltiplicato numeratore e denominatore per il
numeratore. Quindi, si ha:
q
4n (n!)2
q
Wn =
[(2n)!] 2n + 1)
=
Sapendo che
n! =
si ha:
q
Wn =
1
S2n
√
22n S12 2πn
n
2π2n
2n
e
n
1√
2πn
Sn
e
n
2n
n
e
2n √
2n + 1
=
S2n √
n
2π q
2
Sn
2n(2n + 1)
Passando al limite, si ha:
√
π
1 2π
=
⇒ S∞ = 1
2
S∞ 2
Segue la tesi per definizione di equivalenza asintotica.
r
12.4.4
Ulteriore caratterizzazione del fattoriale
Proposizione 12.4.6. Vale la seguente uguaglianza:
1
dx = n!
x
0
Dimostrazione. Procediamo per induzione. Passo base. n = 0
Z 1
ln
n
Z 1
1
dx =
1dx = 1 = 0!
x
0
0
Passo induttivo. Applichiamo la regola dell’integrazione per parti.
Z 1
Z 1
0
ln
n
1
1
dx = x lnn
x
x
ln0
1
−
0
Per ipotesi induttiva, si ha la tesi.
Z 1
0
x
2
Z 1
1
1
n−1 1
− 2 n ln
dx = n
lnn−1
dx
x
x
x
0
Capitolo 13
Cenni di equazioni differenziali
Definizione 13.0.7 (Equazioni differenziali). Sia y : I −→ C. Un’equazione del tipo
y (n) = f (x, y, y 0 , y 00 , · · · , y (n−1) ) = 0
dove la funzione y(x) è una funzione incognita e y i (x) la sua derivata i-esima, si dice
equazione differenziale di ordine n. Una soluzione dell’equazione (detta integrale generale)
è una funzione g(x) : I −→ R tale che
∀x ∈ I g (n) = f (x, g, g 0 , g 00 , · · · , g (n−1) ) = 0
13.1
Equazioni lineari
Definizione 13.1.1 (Equazioni lineari). Le equazioni della forma
y (n) = a0 (x)y + a1 (x)y 0 + a2 (x)y 00 + · · · + an−1 (x)y (n−1) + f (x)
si dicono equazioni differenziali lineari di ordine n. L’equazione
y (n) = a0 (x)y + a1 (x)y 0 + a2 (x)y 00 + · · · + an−1 (x)y (n−1)
è detta equazione omogenea associata. Le funzioni a0 (x), . . . , an−1 (x) sono dette coefficienti dell’equazione.
Valgono i seguenti teoremi, di cui presentiamo soltanto l’enunciato, senza dimostrazione.
Teorema 13.1.2. Sia data l’equazione omogenea
y (n) = a0 (x)y + a1 (x)y 0 + a2 (x)y 00 + · · · + an−1 (x)y (n−1)
• Se i coefficienti a0 (x), . . . , an−1 (x) sono funzioni continue, l’equazione ammette sempre soluzione.
• L’insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale reale di dimensione n.
Corollario 13.1.3. Se y1 (x) ed y2 (x) sono soluzioni dell’equazione generale, la loro differenza è soluzione dell’equazione omogenea associata. Inoltre l’insieme delle soluzioni
dell’equazione generale è un sottospazio affine dello spazio delle soluzioni definite su I e
di giacitura V .
217
218
CAPITOLO 13. CENNI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Definizione 13.1.4 (Problema di Cauchy). Se all’equazione lineare generale vengono
aggiunte delle condizioni del tipo



y (n) = a0 (x)y





y(x0 ) = y0



+ a1 (x)y 0 + a2 (x)y 00 + · · · + an−1 (x)y (n−1) + f (x)
y 0 (x0 ) = y1


.


..




 (n−1)
y
(x0 ) = yn−1
con x0 ∈ I, la ricerca delle soluzioni di tale sistema è detto problema di Cauchy.
13.1.1
Equazioni a variabili separabili
Proposizione 13.1.5. Un’equazione del tipo
u0 (t) = g(u)f (t)
si dice equazione lineare omogenea. Mostriamo una strategia risolutiva.
Dimostrazione.
du
du
= g(u)f (t) ⇔
= f (t)dt
dt
g(u)
Applichiamo l’integrale ad entrambi i membri e otteniamo:
Z
Z
du
= f (t)dt
g(u)
Detta F (t) una primitiva di f (t) e G(U ) una primitiva di
1
,
g(u)
si ha:
G(u) = F (t) + c
Esempio 13.1.6. Risolvere le seguenti equazioni differenziali a variabili separabili.
•
y0 = y2 ⇒
Z
dy
dy
dy Z
= y 2 ⇒ 2 = dx ⇒
= dx
dx
y
y2
1
1
⇒− =x+c⇒y =−
y
x+c
•
Z
dy
1
dy
= sin y ⇒
= dx ⇒
dy = x + c
dx
sin y
sin y
y
⇒ ln tan
= x + c ⇒ y = 2 arctan(kex )
2
y 0 = sin y ⇒
•
y 0 = 2y + 3 ⇒
Z
dy
dy
1
= 2y + 3 ⇒
= dx ⇒
dy = x + c
dx
2y + 3
2y + 3
⇒
1
3
ln(2y + 3) = x + c ⇒ y = ke2x −
2
2
219
13.1. EQUAZIONI LINEARI
13.1.2
Equazioni lineari del primo ordine
Equazioni lineari omogenee
Proposizione 13.1.7. Un’equazione del tipo
y 0 = a(x)y
si dice equazione lineare omogenea. Presentiamone una strategia risolutiva.
Dimostrazione.
dy
dy
= a(x)y ⇔
= a(x)dx
dx
y
Applichiamo l’integrale a entrambi i membri e otteniamo:
Z
Z
1
dy = a(x)dx ⇔ ln y = A(x) + c ⇔ y = eA(x)+c = keA(x)
y
con A(x) primitiva di a(x) e k costante reale.
Esempio 13.1.8. Risolvere le seguenti equazioni differenziali lineari omogenee.
•
xy + (x + 1)2 y 0 = 0 ⇔ y 0 = −
x
y
(x + 1)2
Abbiamo studiato che la soluzione è del tipo
y = keA(x)
con A(x) primitiva di a(x). Si calcola
Z
1
x
dx = ln(x + 1) +
2
(x + 1)
x+1
Dunque, si ha:
−1 −
y = keln(x+1)
•
y
ln(y +
q
y2
0
√
1+
x2
=
q
√
+ 1) = ln(x +
1
x+1
=
1 + y2 ⇔ √
1+
x2 )
1
k − x+1
e
x+1
dy
dx
=√
2
1+y
1 + x2
+c⇔y+
q
y 2 + 1 = c(x +
√
x2 + 1)
Equazioni lineari non omogenee
Proposizione 13.1.9. Un’equazione del tipo
y 0 = a(x)y + b(x)
dove a(x), b(x) sono funzioni reali e y : I = [a, b] −→ R si dice equazione lineare non
omogenea. Le sue uniche e sole soluzioni sono funzioni della forma
y(x) = Ke
A(x)
con A(x) primitiva di a(x).
+e
−A(x)
Z
b(x)eA(x) dx
220
CAPITOLO 13. CENNI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Dimostrazione. Sia A(x) una primitiva di a(x). Sappiamo che lo spazio delle soluzioni di
un’equazione non omogenea è un sottospazio affine di giacitura coincidente con lo spazio
delle soluzioni dell’equazione omogenea associata. Dunque, le soluzioni cercate, sono del
tipo
y = KeA(x) + T (x)
con T (x) da determinare. Sia
y 0 = a(x)y + b(x)
Moltiplichiamo entrambi i membri per e−A(x)
e−A(x) y 0 = a(x)e−A(x) y + b(x)e−A(x) ⇒ e−A(x) y 0 − a(x)e−A(x) y = b(x)e−A(x)
Il primo membro è la derivata di ye−A(x) . Quindi
ye−A(x)
0
= b(x)e−A(x) =⇒ ye−A(x) =
Z
b(x)e−A(x) dx + K
Infine, ricaviamo l’espressione dell’integrale generale
y(x) = Ke
A(x)
+e
A(x)
Z
b(x)e−A(x) dx
Esempio 13.1.10. Risolvere la seguente equazione differenziale lineare non omogenea.
y 0 = y + sin t
Siano a(t) = 1 e b(t) = sin t; allora A(t) = t. Abbiamo verificato che la soluzione è del
tipo
y = keA(t) + eA(t)
Z
b(t)e−A(t) dt = ket + et
Z
1
sin te−t dt = ket − (sin t + cos t)
2
Esempio 13.1.11. Risolvere il seguente problema di Cauchy

y 0
+ y tan x = sin 2x
=2
y(0)
nell’intervallo I = − π2 , π2 .
Detto a(x) = tan x, cerchiamo una primitiva di a(x).
Z
tan xdx = − ln | cos x| = A(x)
e quindi moltiplichiamo i due membri per eA(x)
(eA(x) y)0 = eA(x) sin 2x
integriamo entrambi i lati e moltiplichiamo per e−A(x) ottenendo
y(x) = Ke−A(x) + e−A(x)
Z
Osserviamo che
eA(x) = e− ln | cos x| =
eA(x) sin 2xdx
1
| cos x|
13.2. EQUAZIONI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI
221
e−A(x) = eln | cos x| = | cos x|
che sostituito sopra
y(x) = K| cos x| + | cos x|
Z
1
sin 2xdx
| cos x|
Tenendo conto del valore assoluto, si ha:
π π
cos x ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ − ,
2 2
che è proprio l’intervallo su vengono richieste le soluzioni. Possiamo scrivere
Z
1
sin 2xdx
y(x) = K cos x + cos x
cos x
e ora basta risolvere l’integrale. Sapendo che sin 2x = 2 sin x cos x
Z
Z
1
sin 2xdx = 2 sin xdx = −2 cos x
cos x
e quindi l’integrale generale è
y(x) = K cos x − 2 cos2 x
Troviamo ora una soluzione particolare
y(0) = K − 2 = 2 =⇒ K = 4
π π
y(x) = 4 cos x − 2 cos x ∀x ∈ − ,
2 2
2
13.2
Equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti
Valgono le seguenti relazioni, che non dimostreremo.
Sia data un’equazione lineare omogenea a coefficienti costanti, del tipo
y 00 + ay 0 + by = 0
Si consideri l’equazione caratteristica associata
k 2 + ak + b = 0
• Se ∆ > 0, le soluzioni sono del tipo
y = c1 ek1 x + c2 ek2 x
con k1 e k2 soluzioni dell’equazione caratteristica; c1 e c2 sono costanti reali da
determinare.
• Se ∆ = 0, le soluzioni sono del tipo
y = ek1 x (c1 + c2 x)
con k1 soluzione dell’equazione caratteristica; c1 e c2 sono costanti reali da determinare.
• Se ∆ < 0, le soluzioni sono del tipo
y = eαx (c1 sin(βx) + c2 cos(βx))
con k1,2 = α + βi soluzioni complesse dell’equazione caratteristica; c1 e c2 sono
costanti reali da determinare.
222
CAPITOLO 13. CENNI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Capitolo 14
Successioni e serie di funzioni
14.1
Successioni di funzioni
14.1.1
Definizioni
Definizione 14.1.1 (Successione di funzioni). Sia {fn }n∈N un insieme numerabile i cui
elementi sono funzioni fn : A −→ R. {fn }n∈N si dice successione di funzioni.
Osservazione 14.1.2. Data una successione di funzioni {fn }n∈N definite in A ⊂ R,
fissato x0 ∈ A, la successione {fn (x0 )}n∈N è una successione numerica, per cui valgono
tutti i criteri dimostrati nei capitoli precedenti.
Definizione 14.1.3 (Convergenza puntuale). Data una successione di funzioni reali
{fn }n∈N , diciamo che converge puntualmente ad una funzione f se
∀x ∈ A
lim fn (x) = f (x)
n→∞
cioè, fissato x0 nel dominio, la successione numerica fn (x0 ) tende a f (x0 ) (punto per
punto).
In forma del tutto equivalente, fn converge puntualmente a f se
∀ε > 0 ∀x ∈ A ∃n(ε,x) : |fN (x) − f (x)| < ε ∀N > n
Osservazione 14.1.4. È fondamentale osservare che il naturale n introdotto nell’ultima
definizione dipende da ε e dal valore di x0 scelto.
Definizione 14.1.5 (Convergenza uniforme). Sia {fn }n∈N una successione di funzioni
reali definite in A ⊆ R. La successione converge uniformemente ad una funzione f se
lim (sup |fn (x) − f (x)|) = 0
n→∞
A
Il valore supA |fn − f | è detto norma della funzione fn − f .
In forma del tutto equivalente, fn converge uniformemente a f se
∀ε > 0 ∃n(ε) : sup |fN (x) − f (x)| < ε ∀N > n
A
Osservazione 14.1.6. In generale, vale:
lim sup |fn − f | =
6 sup | n→∞
lim (fn − f )|
n→∞ A
A
Osservazione 14.1.7. È fondamentale osservare che il naturale n introdotto nell’ultima
definizione dipende da ε ma non da x ∈ A. Questa è la differenza tra le definizioni di
convergenza puntuale e uniforme, rendendo l’ultima una nozione molto più forte.
Osservazione 14.1.8. Se una successione di funzioni ammette un limite uniforme, allora
la funzione a cui converge uniformemente è anche il limite puntuale.
223
224
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
14.1.2
Criteri di convergenza
Esempio 14.1.9. Studiare la convergenza della successione
fn (x) = xn
∀n ∈ N
fn (0) = 0
x ∈ [0, 1] n > 1
fn (1) = 1. Sia x ∈ (0, 1). Possiamo scrivere x =
1
y
con y > 1.
1
=0
n→∞ y n
lim fn (x) = lim
n→∞
Si ha:

0
lim fn (x) = f (x) = 
n→+∞
x ∈ [0, 1)
1 x=1
cioè fn (x) converge puntualmente alla funzione caratteristica di 1.
Studiamo la convergenza uniforme. Consideriamo la differenza

0
|fn (x) − f (x)| = 
x=1
x ∈ [0, 1)
xn
sup |fn (x) − f (x)| = 1 ⇒ n→∞
lim sup |fn (x) − f (x)| = 1
[0,1]
[0,1]
Quindi la successione non converge uniformemente in [0, 1].
Osservazione 14.1.10. In intervalli del tipo [0, 1 − δ] δ > 0 si ha convergenza uniforme:
sup |fn (x) − f (x)| = (1 − δ)n → 0, per n → +∞
[0,1−δ]
Esempio 14.1.11. Studiare la convergenza della successione di funzioni:
sin x
fn (x) =
x
n
x ∈ R r {0}
Per la convergenza puntuale, osserviamo che ∀x ∈ R r {0}, | sin x| < |x|, dunque
| sin x|
|x|
lim
n→+∞
!n
=0
Dunque la successione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla.
Per la convergenza uniforme, calcoliamo:
sin x
sup
x
x6=0
Infatti, lim
x→0
n
=1
sin x
= 1. Dunque, non la successione non converge uniformemente in Rr{0}
x
Osservazione 14.1.12. In intervalli del tipo B = (−∞, −δ] ∪ [δ, +∞) δ > 0 si ha
convergenza uniforme:
sup |fn (x) − f (x)| = (1 − γ)n , con 0 < γ < 1
B
Infine:
lim (1 − γ)n = 0
n→+∞
225
14.1. SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Esempio 14.1.13. Studiare la convergenza della successione di funzioni:
xn
fn (x) =
x ∈ [0, +∞)
1 + n 2 x2
Studiamo la convergenza puntuale. Ad x fissato, la successione tende alla funzione identicamente nulla.
Studiamo la convergenza uniforme. Ad n fissato, vale:
fn (0) = 0
lim fn (x) = 0
x→∞
Inoltre, ∀n ∈ N, fn ∈ C([0, +∞)). Per dimostrare l’esistenza del massimo non possiamo applicare il teorema di Weierstrass perchè l’intervallo considerato è illiminato. Tuttavia, dallo studio del limite a +∞ in x, si può dedurre questa informazione.
Calcoliamo il massimo con la derivata:
fn0 (x) =
1
n(1 + n2 x2 ) − 2n2 x(nx)
=0⇔x=
2
2
2
(1 + n x )
n
Quindi
1
1
=
[0,+∞)
n
2
La successione non converge uniformemente.
max fn (x) = fn
∀n ∈ N r 0
Osservazione 14.1.14. Come negli esempi precedenti, la successione converge uniformemente in intervalli del tipo [δ, +∞) ∀δ > 0.
Esempio 14.1.15. Studiare la convergenza della successione di funzioni:
x
fn (x) = e − 1 +
n
x
n
x ∈ [0, +∞)
La funzione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla. Infatti, fissato x
positivo, si ha:
x n
lim 1 +
= ex
n→+∞
n
Studiamo la convergenza uniforme in [0, +∞). Dobbiamo verificare se
lim
sup |fn (x)| = 0
n→+∞ [0,+∞)
226
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Fissato n, si ha:
sup |fn (x)| = +∞
[0,+∞)
Infatti, fn è differenza tra un funzione esponenziale ed un polinomio. La successione dei
sup non tende a 0 e quindi non si ha convergenza uniforme in [0, +∞).
Studiamo la convergenza uniforme negli intervelli del tipo [0, M ] M > 0. Notiamo che
fn è monotona crescente ∀n ∈ N. Infatti, calcolando la derivata prima, si ha:
x
x n−1
≥ ex − 1 +
=e − 1+
n
n
dove il secondo passaggio segue dal fatto che
fn0 (x)
x
x
1+
n
n
x
> 1+
n
n
>0
n−1
Per monotonia e continuità, il massimo della funzione, coincide con il punto di ascissa
M , quindi
M n
M
=0
lim fn (M ) = lim e − 1 +
n→+∞
n→+∞
n
Dunque, la successione converge uniformemente.
exp(x)-(1- x)
exp(x)-(1-x/2)**2
exp(x) - (1-x/3)**3
exp(x) - (1-x/4)**4
exp(x) -(1-x/5)**5
exp(x)- (1- x/18 )**18
exp(x)- (1- x/134)**134
Teorema 14.1.16 (Continuità del limite uniforme). Sia {fn }n∈N una successione di funzioni definite fn : A ⊂ R → R. Supponiamo fn → f uniformemente e ∀n ∈ N fn ∈
C 0 (A, R). Allora f ∈ C 0 (A, R)
Dimostrazione. Dobbiamo verificare che ∀x0 ∈ A, presa una successione xn di punti in A
tali che xn → x0 , allora f (xn ) → f (x0 ). La tesi è equivalente al seguente enunciato:
∀ε > 0 ∃n0 (ε) : |f (xn ) − f (x0 )| < ε ∀n > n0 (ε)
Riscriviamo la disuguaglianza:
|f (xn ) − f (x0 )| = |f (xn ) − fm (xn ) + fm (xn ) − fm (x0 ) + fm (x0 ) − f (x0 )| ≤
≤ |f (xn ) − fm (xn )| + |fm (xn ) − fm (x0 )| + |fm (x0 ) − f (x0 )|
227
14.1. SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Dove i passaggi seguono dalla disuguaglianza triangolare. Vale definitivamente che:
ε
3
sup |fm (x) − f (x)| <
A
per convergenza uniforme. Inoltre:
∃N ∈ N :
|fm (xn ) − fm (x0 )| <
ε
3
∀n > N
perché la funzione fm è continua. Allora
|f (xn ) − f (x0 )| <
ε ε ε
+ + = ε definitivamente
3 3 3
Teorema 14.1.17 (Lemma di Dini). Sia {fn }n∈N una successione decrescente di funzioni
continue e definite nello stesso insieme A compatto, cioè tali che fn+1 (x) ≤ fn (x) ∀x ∈
A ∀n ∈ N. Supponiamo che lim fn (x) = f (x) ∈ C(A). Allora fn → f uniformemente.
n→+∞
Dimostrazione. Chiamiamo gn = fn −f ; gn è continua perchè somma di funzioni continue.
Inoltre gn tende alla funzione identicamente nulla decrescendo. Vogliamo dimostrare che,
per definizione di uniforme convergenza:
lim gn (x) = 0
n→+∞
=⇒
lim sup |gn | = 0
n→+∞ A
Dimostriamo la contronominale. Supponiamo che lim sup |gn | =
6 0. Allora,
n→+∞ A
sup |gn (x)| ≥ 2ε > 0
A
Le funzioni gn sono continue e definite in un compatto, dunque l’estremo superiore è
un massimo ed esiste una successione reale {xn }n∈N che lo approssima. Inoltre, vale
definitivamente
gn (xn ) ≥ ε
Concludiamo che gn (x) 9 0.
Esempio 14.1.18. Studiare la convergenza della successione di funzioni:
fn (x) =

0
arctg(x − n)
x<n
x≥n
Allora si ha fn (x) → 0 puntualmente, ma non in maniera uniforme perchè
sup fn (x) =
R
π
2
Osservazione 14.1.19. Nell’esempio precedente, non vale il lemma di Dini perché R
non è compatto. In intervalli del tipo [−M, M ] M > 0, si può applicare il lemma di Dini,
quindi si ha convergenza uniforme.
Teorema 14.1.20 (Criterio di Cauchy per successioni di funzioni). Sia {fn }n∈N una
successione di funzioni definite in un insieme comune A. Si ha
fn (x) converge uniformemente ⇔
⇔ ∀ε > 0 ∃nε ∈ N | sup |fn (x) − fm (x)| < ε ∀m, n > nε
A
228
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Dimostrazione. =⇒)
fn → f uniformemente. Allora per ipotesi
∀ε > 0 ∃nε ∈ N | sup |fn (x) − f (x)| <
A
Per cui
ε
2
∧
sup |fm (x) − f (x)| <
A
ε
2
sup |fn (x) − fm (x)| = sup |fn (x) − f (x) + f (x) − fm (x)| ≤
A
A
≤ sup |fn (x) − f (x)| + sup |fm (x) − f (x)| ≤
A
A
ε ε
+ =ε
2 2
⇐=)
Innanzitutto osserviamo che la funzione converge puntualmente. Infatti, ad x fissato,
la successione di funzioni diventa una successione numerica. Quindi
|fn (x) − fm (x)| ≤ sup |fn (x) − fm (x)| < ε
|
{z
}
A
successione numerica
che converge perché è una successione di Cauchy. Chiamiamo f il limite puntuale e
dimostriamo che questo limite è anche uniforme. Fissato x, per m → +∞, si ha:
|fn (x) − f (x)| < ε ∀n > nε
come successione numerica. Essendo vero ∀x ∈ A, si ha:
sup |fn (x) − f (x)| < ε
A
Proposizione 14.1.21. Sia g : [0, +∞) → R con lim g(x) = 0 e g non identicamente
x→+∞
nulla. Possiamo generare la successione di funzioni fn (x) = g(nx). Allora, ∀δ > 0,
fn → 0 uniformemente in [δ, +∞) e non converge uniformemente in [0, +∞)
Dimostrazione.
fn (x) → f (x) =

g(0)
0
x=0
x>0
puntualmente. Se g(0) 6= 0 possiamo concludere fn → 0 uniformemente in [δ, +∞) δ > 0
e non converge uniformemente in [0, +∞) perchè f ∈
/ C([0, +∞)).
Se g(0) = 0, per ipotesi si ha che
sup |fn (x)| = sup |g(x)| =
6 0
[0,+∞)
[0,+∞)
perchè g non è identicamente nulla. Dunque, nell’intervallo [0, +∞) non c’è convergenza
uniforme. Fissato δ > 0,
lim
sup |fn (x)| = 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃nε | sup |fn (x)| < ε ∀n > nε
n→+∞ [δ,+∞)
[δ,+∞)
Per ipotesi, ∀ε > 0 ∃R > 0 tale che |g(x)| < ε se x > R. Allora
∀x ∈ [δ, +∞) nε x > R ⇒ ∀x ∈ [δ, +∞) |g(nε x)| < ε ⇒
⇒ ∀x ∈ [δ, +∞) ∀n > nε |fn (x)| < ε
229
14.1. SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Proposizione 14.1.22. Se una successione di funzioni {fn }n∈N continue in [a, b] converge
uniformemente in (a, b) a f , allora converge uniformemente in [a, b] a f .
Dimostrazione. Per ipotesi, sup |fn (x) − fm (x)| < ε definitivamente. Per continuità di fn
(a,b)
si ha:
sup |fn (x) − fm (x)| = sup |fn (x) − fm (x)| < ε
[a,b]
14.1.3
(a,b)
Passaggio al limite sotto segno di derivata ed integrale
Sia {fn }n∈N una successione di funzioni per cui fn → f . Il problema di verificare la
validità dei risultati
Z b
Z b
lim
fn (x)dx =
f (x)dx
n→+∞ a
a
lim (fn0 (x)) = f 0 (x)
n→+∞
è chiamato passaggio al limite sotto segno di integrale e di derivata e si può risolvere
soltanto ammettendo certe ipotesi sul tipo di convergenza di fn → f . I seguenti esempi
mostrano che non è sufficiente che fn converga ad f uniformemente.
Esempio 14.1.23. La successione di funzioni
s
fn (x) =
x2 +
1
n
x ∈ [−M, M ] M > 0
converge puntualmente alla funzione f (x) = |x|. Si verifica che la convergenza è anche
uniforme. Infatti
s
sup x2
[−M,M ] +
1
n
− |x|
=
sup q
[−M,M ] n
x2
1
+
1
+ |x| n
1
=√
n
1
lim √ = 0
n
Ma la funzione limite f (x) = |x| non è derivabile nel punto x = 0.
n→+∞
Esempio 14.1.24. Sia {fn }n∈N la successione di funzioni definita da
fn (x) =

n2 x
1
x
0 ≤ x ≤ n1
1
<x≤1
n
Ad n fissato, la funzione fn (x) è continua ed ha come limite puntuale
f (x) =

0
x=0
0<x≤1
1
x
Tuttavia, si ha:
Z 1
0
fn (x)dx =
Z
0
1
n
n xdx +
2
Z 1
1
n
1
dx
x
è un valore finito; invece, per la funzione limite vale:
Z 1
0
f (x)dx = lim+
z→0
Z 1
z
1
dx
x
Dunque f non è integrabile neppure in senso generalizzato.
230
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Teorema 14.1.25 (Passaggio al limite sotto il segno di integrale). Sia {fn }n∈N una
successione di funzioni definite in un intervallo chiuso fn : [a, b] → R tali che ∀n ∈
N fn ∈ R([a, b]). Supponiamo fn → f uniformemente; allora f ∈ R([a, b]), inoltre:
Z b
lim
n→∞ a
fn (x)dx =
Z b
a
f (x)dx
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che
∀ε > 0 ∃Pε | S(Pε , f ) − s(Pε , f ) < ε
Allora, per ipotesi di uniforme convergenza
∃n0 ∈ N | sup |fn0 − f | <
[a,b]
ε
3
Inoltre fn0 ∈ R([a, b]), cioè:
ε
3
∃Pε | S(Pε , fn0 ) − s(Pε , fn0 ) <
Stimiamo la differenza
n−1
X
S(Pε , f ) − s(Pε , f ) =
(xi+1 − xi )( sup (f ) − inf (f )) =
=
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
i=0
n−1
X
(xi+1 − xi )( sup (f − fn0 + fn0 ) − inf (f − fn0 + fn0 ))
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
i=0
Per le proprietà di sup ed inf rispetto alla somma di due funzioni, l’espressione in esame
è minore o uguale di
n−1
X
(xi+1 − xi ) sup (f (x) − fn0 (x)) +
[xi ,xi+1 ]
i=0
−
(xi+1 − xi ) sup fn0 (x)−
[xi ,xi+1 ]
i=0
n−1
X
(xi+1 − xi ) inf (f (x) − fn0 (x)) −
[xi ,xi+1 ]
i=0
=
n−1
X
n−1
X
(xi+1 − xi ) inf fn0 =
[xi ,xi+1 ]
i=0
n−1
X
[(xi+1 − xi )( sup (f (x) − fn0 (x)) − inf (f (x) − fn0 (x))) +
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
i=0
|
{z
somme superiori meno inferiori≤ 3ε (b−a) per convergenza uniforme
}
+ (xi+1 − xi )( sup fn0 (x) − inf fn0 (x))] ≤
[xi ,xi+1 ]
[xi ,xi+1 ]
|
{z
}
≤(b−a) 3ε +(b−a) 3ε perchè fn0 ∈R([a,b])
ε
ε
≤ (b − a) + 2(b − a) = ε(b − a)
3
3
Dunque la funzione f è integrabile, per cui
Z
Z b
b
fn (x)dx −
f (x)dx
a
a
=
Z
b
(fn (x) − f (x))dx
a
≤
Z b
a
|fn (x) − f (x)|dx
Ma fn → f uniformemente e quindi per ipotesi ∀ε > 0 ∃nε tale che
ε
sup |fn (x) − f (x)| <
b−a
[a,b]
e quindi
Z b
a
| fn (x) − f (x) | dx ≤
Z b
a
ε
=ε
b−a
231
14.2. SERIE DI FUNZIONI
Teorema 14.1.26 (Passaggio al limite sotto il segno di derivata). Sia {fn }n∈N una successione di funzioni definite in intervallo chiuso fn : [a, b] → R tali che ∀n ∈ N fn ∈
C 1 ([a, b]). Supponiamo che fn → f puntualmente e fn0 → g uniformemente; allora
f ∈ C 1 ([a, b]) e f 0 = g.
Dimostrazione. Per ipotesi, ∀x, y ∈ [a, b] fn (y) → f (y) e fn (x) → f (x). Consideriamo la
differenza fn (y) − fn (x), che per il teorema fondamentale del calcolo integrale è
Z y
fn (y) − fn (x) =
x
fn0 (t)dt
Si può applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale:
f (y) − f (x) =
Z y
g(t)dt
x
Scegliendo y = x + h ed impostando il rapporto incrementale si ha:
Z x+h
f (x + h) − f (x)
=
h
g(t)dt
x
h
e, per il teorema della media integrale, si ha:
Z x+h
g(t)dt
x
h
= g(ξ) x ≤ ξ ≤ x + h
perchè fn0 è una successioni di funzioni continue che converge uniformemente a g, dunque
g è continua.
Passando al limite per h → 0 si ottiene la tesi, cioè
f 0 (x) = g(x) ⇒ f ∈ C 1 ([a, b])
14.2
Serie di funzioni
14.2.1
Definizioni
Definizione 14.2.1 (Serie di funzioni). Data una successione di funzioni {fn }n∈N si
definisce la successione delle somme parziali come
Sn (f ) =
n
X
fk (x)
k=0
L’espressione formale
∞
X
fn (x)
n=0
è detta serie di funzioni
Osservazione 14.2.2. Le definizioni di convergenza e divergenza sono del tutto analoghe
a quelle date per le serie numeriche.
Osservazione 14.2.3. Fissato x, la serie di funzioni
+∞
X
fn (x) diventa una serie nume-
n=0
rica, per la quale valgono tutti i criteri visti nei capitoli precedenti.
232
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Definizione 14.2.4 (Convergenza puntuale). Data una successioni di funzioni {fn }n∈N
definite in uno stesso insieme A, diciamo che la serie associata
∞
X
fn (x)
n=0
converge puntualmente in A se, ∀x0 ∈ A, converge la serie numerica
∞
X
fn (x0 )
n=0
Definizione 14.2.5 (Convergenza uniforme). Data una successioni di funzioni {fn }n∈N
definite in uno stesso insieme A, diciamo che la serie associata
∞
X
fn (x)
n=0
converge uniformemente se la successione delle somme parziali converge uniformemente
ad una funzione g, ovvero
lim sup |Sn (f ) − g| = 0
n→+∞ A
14.2.2
Criteri di convergenza
Teorema 14.2.6 (Condizione necessaria). Supponiamo che si abbia convergenza uniforme
in A della serie di funzioni
+∞
X
fn (x)
n=0
Allora, si ha:
lim sup |fn (x)| = 0
n→+∞ A
Dimostrazione. Sia SN (f ) =
convergenza uniforme, si ha:
N
X
fn (x). Sia g(x) il limite uniforme della serie. Per
n=0
lim sup |SN (f (x)) − g(x)| = 0 ⇔
n→+∞ A
⇔ ∀ε > 0 ∃N0 | sup |SN (f (x)) − g(x)| <
A
ε
∀N > N0
2
Verifichiamo che |fN (x)| = |SN f (x) − SN −1 f (x)| < ε:
|fN (x)| = |SN f (x) − SN −1 f (x)| = |SN f (x) − g(x) + g(x) − SN −1 f (x)| ≤
≤ |SN f (x) − g(x)| + |g(x) − SN −1 f (x)|
Passando ai sup, si ha:
sup |fN (x)| ≤
A
ε ε
+ =ε
2 2
Osservazione 14.2.7. Essendo le somme parziali particolari successioni di funzioni, per
stabilirne il comportamento al limite (cioè il carattere della serie), valgono tutti i criteri
studiati nei capitoli precedenti.
233
14.2. SERIE DI FUNZIONI
Esempio 14.2.8. Studiare in [0, +∞) la converenza della serie:
+∞
X
sin
n=1
x
n2
Fissato x,
+∞
X
sin
n=1
x
n2
+∞
X 1
|x|
=
|x|
2
2
n=1 n
n=1 n
+∞
X
≤
che è convergente, quindi la serie converge puntualmente. La serie non converge uniformemente in [0, +∞) perchè per x0 = π2 n2 si ha:
x0
sin 2
n
= 1 ⇒ lim
sup
n→+∞ [0,+∞)
x sin
n2 =1
Teorema 14.2.9 (Condizione sufficiente o convergenza totale). Sia {fn }n∈N una successione di funzioni definite in un insieme comune A. Supponiamo che
∞
X
sup |fn (x)| < +∞
n=0 A
Allora la serie di funzioni
∞
X
fn (x)
n=0
converge uniformemente in A.
Dimostrazione. Osserviamo che la serie ammette un limite puntuale; infatti, fissato x ∈ A,
si ha:
∞
∞
∞
X
fn (x) ≤
|fn (x)| ≤
X
n=0
n=0
X
sup |fn (x)| < +∞
n=0 A
Sia g(x) il limite puntuale. Bisogna dimostrare che
N
!
X
lim sup fn (x) − g(x)
N →+∞ A
=0
n=0
Calcoliamo:
N
X
g(x) −
fn (x)
=
n=0
≤
∞
N
X
X
fn (x)
fn (x) −
∞
X
=
n=0
n=0
|fn (x)| ≤
n=N +1
∞
X
X
∞
fn (x)
n=N +1
≤
sup |fn (x)|
n=N +1 A
Essendo la serie dei sup convergente, per il teorema di Cauchy sulle serie numeriche, si
ha:
∞
∀ε > 0 ∃N0 |
X
n=N0
sup |fn (x)| < ε
A
Quindi, scelto N + 1 > N0 , si ha
∞
X
sup |fn (x)| < ε
n=N +1 A
Da cui segue
N
!
X
sup fn (x) − g(x)
A
n=0
<ε
234
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Osservazione 14.2.10. Nell’esempio precedente, con le disuguaglianze applicate si dimostra che la serie converge uniformemente nei compatti (applicando il criterio appena
dimostrato) e non converge uniformemente in [0, +∞).
Con argomenti assolutamente analoghi, si prova lo stesso risultato per le serie del tipo
+∞
X
sin
n=1
x
nα
α>1
Esempio 14.2.11. Studiare la convergenza della serie:
1
2
n=1 n + x
∞
X
∀x ∈ R
Studiamo innanzittuto la convergenza puntuale. Fissato x, il termine generale della serie
è sempre strettamente maggiore di 0 e quindi possiamo applicare il criterio del confronto
asintotico.
∞
∞
X
X
1
1
< +∞
<
+∞
⇔
2
n=1 n
n=1 n + x
Non si ha converenza puntuale, quindi neppure convergenza uniforme.
Esempio 14.2.12. Studiare la convergenza della serie:
∞
X
n=1
n2
1
+ x2
∀x ∈ R
Studiamo la convergenza puntuale. Fissato x ∈ R, utilizzando il criterio del confronto, si
ha
∞
∞
X
X
1
1
< +∞
< +∞
2
2
2
n=1 n + x
n=1 n
Studiamo la convergenza uniforme. Verifichiamo la condizione sufficiente. Ad n fissato,
l’espressione di fn (x) si massimizza quando il denominare è minimo, cioè ad x = 0. Per
cui si ha
1
sup fn (x) = 2
n
R
La serie dei sup è un’armonica generalizzata, di cui abbiamo dimostrato la convergenza,
quindi la serie converge uniformemente.
Esempio 14.2.13. Studiare la convergenza della serie
∞
X
enx
n=1
n
∀x ∈ R
Fissato x, studiamo la convergenza puntuale. Il termine generale della serie è positivo,
quindi possiamo applicare il criterio della radice n-esima.
s
lim
n→+∞
n
enx
ex
√
= lim n = ex < 1
n→+∞
n
n
⇐⇒
x<0
La serie converge puntualmente se e solo se x < 0. Studiamo il caso x = 0; si ha:
1
= +∞
n=1 n
∞
X
235
14.2. SERIE DI FUNZIONI
Studiamo la convergenza uniforme in intervalli del tipo (−∞, −ε] con ε > 0. Le funzioni
fn sono tutte monotone crescenti, quindi l’estremo superiore è un massimo ed è raggiunto
nel secondo estremo.
e−εn
sup fn (x) =
n
(−∞,−ε]
La serie
∞
X
e−εn
< +∞
n
n=0
Allora si ha convergenza uniforme.
Esempio 14.2.14. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:
+∞
X
ln(2 + n2 x) sin(nx2 )
q
3
n=1
x ∈ [0, M ]
(n + 3x)4
Per la convergenza puntuale, applichiamo il criterio di convergenza assoluta e consideriamo le seguenti stime, che valgono definitivamente:
ln(2 + n2 x) sin(nx2 ) q
3
(n + 3x)4
≤
ln(2 + n2 x) q
3
(n + 3x)4 √
5
≤ q
3
n
(n + 3x)4
∼
1
17
n 15
Per confronto con l’armonica generalizzata di esponente 17
, si ha la convergenza puntuale
15
della serie di partenza.
Per la convergenza uniforme, consideriamo le seguenti stime:
ln(2 + n2 x) sin(nx2 ) q
sup 3
4
[0,M ] (n + 3x)
≤
ln(2 + n2 x) sup q
[0,M ] 3 (n + 3x)4 ln(2 + n2 x)
√
3
n4
[0,M ]
≤ sup
La funzione
ln(2 + n2 x)
√
3
n4
è continua e monotona crescente; inoltre [0, M ] è un compatto. Allora l’estremo superiore
è un massimo, raggiunto in M . Infine, si ha:
ln(2 + n2 M )
√
< +∞
3
n4
n=1
+∞
X
che permette di concludere per condizione sufficiente.
Esempio 14.2.15. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:
+∞
X
n=1
1
+x
n2
−n
x ∈ [0, +∞)
Ad x fissato, applichiamo il criterio della radice n-esima:
s
lim sup
n→+∞
n
1
+x
n2
−n
= lim sup
n→+∞
1
<1⇔x>1
x
1
+x
n2
−1
=
1
x
236
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Del resto, se x = 1, la successione
lim
n→+∞
1
+1
n2
−n
1
n2
+1
−n
= lim
n→+∞
non è infinitesima:
1
+1
n2
n2 !− n1
s
= lim
n
n→+∞
1
=1
e
Allora ha senso studiare la convergenza uniforme in A = (1 + δ, +∞). Ad n fissato, si ha:
1
sup 2 + x
n
A
−n
n2
= sup
n2 x + 1
A
!−n
La funzione è monotona decrescente e l’intervallo inferiormente limitato; allora l’estremo
superiore è raggiunto in 1 + δ.
+∞
X
n2
n2 (1 + δ) + 1)
n=1
!n
< +∞
come calcolato in precedenza.
Esempio 14.2.16. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:
+∞
X
x −x2 n
e
n=0 n
x∈R
Studiamo la convergenza puntuale. Sia fn (x) = nx e−x n . Ad x fissato, calcoliamo
2
s
lim sup
q
n
n→+∞
|fn (x)| = lim sup
n→+∞
s
2
e−x lim sup
n→+∞
n
n
|x| −x2 n
e
=
n
|x|
2
= e−x < 1 ∀x ∈ R r {0}
n
Inoltre, se x = 0, la successione numerica {fn (0)}n∈N è nulla. Dunque, la serie data
converge puntualmente in R. Per lo studio della convergenza uniforme applichiamo la
condizione sufficiente. ∀n ∈ N fn è una funzione continua, allora sup |(fn )| = max |(fn )|;
R
possiamo calcolarlo studiando la derivata prima.
fn0 (x) =
1 −nx2
e
(1 − 2nx2 )
n
Dallo studio dei segni e considerando che fn è una funzione dispari, si ha:
max |(fn )| = fn
R
Allora
1
√
2n
!
1
1
= √ e− 2
n 2n
1
1
√ e− 2 < +∞
n=0 n 2n
+∞
X
Dunque, la serie data converge uniformemente in R.
Esempio 14.2.17. Studiare la derivabilità della funzione
G(x) =
1 −x2 n
e
2
n=0 n
+∞
X
R
237
14.2. SERIE DI FUNZIONI
nel punto x = 0.
Studiamo la convergenza puntuale della serie. Ad x fissato, si ha:
X 1
1 −x2 n +∞
2
e−x n
e
≤
2
n=0 n
n=0 n
+∞
X
di cui abbiamo studiato la convergenza puntuale nell’esempio precedente.
2
Detta fn (x) = n12 e−x n , consideriamo la successione delle somme parziali
SN (f ) =
0
SN
(f )
1 −x2 n
=
e
2
n=0 n
N
X
!0
=
N X
n=0
1 −x2 n
e
2
n=0 n
N
X
1 −x2 n
e
n2
0
=
N
X
N
X
−2x −x2 n
x −x2 n
e
= −2
e
n=0 n
n=0 n
di cui abbiamo studiato la convergenza uniforme nell’esempio precedente.
Possiamo applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata alla successione delle somme parziali:
1 −x2 n
G (x) =
e
2
n=0 n
0
+∞
X
!0
=
+∞
X
1 −x2 n
e
n2
n=0
0
=
+∞
X
−2x −x2 n
e
n=0 n
Allora, si ottiene che G(x) è derivabile in R e G0 (0) = 0.
Teorema 14.2.18 (Criterio di Leibnitz). Sia {fn }n∈N una successione di funzioni definite
in un insieme comune A. Sia
∞
X
(−1)n fn (x)
n=0
la serie di funzioni associata. Se
lim fn (x) = 0 decrescendo, allora
n→+∞
∞
X
(−1)n fn (x)
n=0
converge uniformemente in A se e solo se la successione {fn }n∈N converge uniformemente.
Dimostrazione. Sia SN f (x) =
N
X
(−1)n fn (x) la successione delle somme parziali ad x
n=0
fissato. Consideriamo la sottosuccessione data dagli indici dispari
S2k+1 f (x) =
2k+1
X
(−1)n fn (x)
n=0
Mostriamo che è una sottosuccessione monotona crescente. Infatti
S2k+3 f (x) =
2k+3
X
(−1)n fn (x) = S2k+1 f (x) + f2k+2 (x) − f2k+3 (x)
n=0
|
{z
}
≥0 per monotonia di fn
Allora, si ha S2k+3 f (x) ≥ S2k+1 f (x). Questo dimostra anche che è sempre positiva.
In modo analogo, si dimostra la sottosuccessione di S2k+2 f (x) pari è monotona decrescente
e sempre negativa. Poiché ad x fissato queste sono successioni numeriche, le due sottosuccessioni ammettono sempre limite perché sono monotone. Indichiamo con L2k+1 (x) e
L2k (x) questi limiti. Si ha:
S2k+1 f (x) − S2k f (x) = f2k+1 (x)
238
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Passando al limite, si ha:
lim S2k+1 f (x) − S2k f (x) = lim f2k+1 (x) = 0 ⇒ L2k+1 (x) − L2k (x) = 0
k→+∞
k→+∞
Essendo i due limiti uguali e le sottosuccessioni tali da comprendere tutti i termini della
successione di partenza, si ha che:
lim Sn f (x) = L2k+1 (x) = L2k (x)
n→+∞
Per la convergenza uniforme, consideriamo
+∞
X
(−1)n fn (x) −
n=1
N
X
+∞
X
(−1)n fn (x) =
n=1
(−1)n fn (x) < fN (x)
n=N +1
L’ultima disuguaglianza si verifica per induzione. Dunque, passando ai sup e calcolando
+∞
X
lim sup (−1)n fn (x)
N →+∞ A n=N +1
≤ lim sup fN (x)
N →+∞ A
se la successione di funzioni converge uniformemente, si ha la convergenza per la serie
associata; se la serie converge uniformemente, per condizione necessaria, la successione
dei sup è infinitesima.
Osservazione 14.2.19. Questa dimostrazione può essere facilmente adattata per provare il criterio di Leibnitz per serie numeriche che, invece, abbiamo presentato come una
conseguenza del criterio di Abel-Dirichlet per serie numeriche.
Esempio 14.2.20. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:
(−1)n − x2
e ln n
n
n=2
+∞
X
x∈R
Sia
1 − x2
e ln n
n
Si osserva che ∀n ∈ N, si ha che fn è pari e positiva in tutto il suo dominio: dunque
possiamo studiarla in [0, +∞). Dimostriamo che sono verificate le ipotesi del criterio di
Leibnitz: dobbiamo provare che la successione di funzioni {fn (x)}n∈N converge uniformemente alla funzione nulla decrescendo in n.
Sia x ∈ R+ fissato:
1 x2
1
=0
lim e− ln n ≤ lim
n→+∞ n
n→+∞ n
Essendo fn continua ∀n ∈ N, il suo estremo superiore è un massimo, che possiamo
determinare mediante lo studio della derivata.
fn (x) =
fn0 (x) =
−2x − x2
e ln n
n ln n
fn0 (x) = 0 ⇔ x = 0
Poichè fn (0) = n1 , si ha che
lim fn (0) = 0
n→+∞
239
14.2. SERIE DI FUNZIONI
Questo prova la convergenza uniforme della successione di funzioni. Verifichiamo la monotonia in n. Vogliamo dimostrare che ∀x ∈ R+ è definitivamente vero che fn+1 ≤ fn ,
ovvero
x2
1
1
2
1 − ln(n+1)
1 x2
n
e
≤ e− ln n ⇔
≤ e−x ( ln n − ln(n+1) ) ⇔
n+1
n
n+1
!
1
n
1
1
−x2 ( ln1n − ln(n+1)
ln( n+1
2
)
)
⇔e
⇔ ln n − ln(n + 1) ≤ −x
−
⇔
≤e
ln n ln(n + 1)
⇔ ln(n + 1) − ln n ≥ x
2
1
1
−
ln n ln(n + 1)
!
⇔ (ln n)(ln(n + 1)) ≥ x2
L’ultima disuguaglianza è definitivamente vera perchè in questo studio abbiamo operato
con x fissato in R+ . La serie converge uniformemente per il criterio di Leibnitz.
14.2.3
Integrazione per serie
Teorema 14.2.21 (Integrazione per serie). Sia fn : [a, b] → R una successione di funzioni
e ∀n ∈ N fn ∈ R([a, b]). Supponiamo che
+∞
X
fn (x)
n=k
converga uniformemente. Allora:
Z b
+∞
X
a
n=k
|
+∞
X
!
fn (x)dx
n=k | a
{z
}
serie numerica
fn (x) dx =
{z
Z b
}
limite uniforme
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal teorema di passaggio al limite sotto il segno
di integrale per successioni di funzioni applicato alla successione delle sommme parziali
Sn (f ).
Esempio 14.2.22. Calcolare la somma della serie:
+∞
X
1
n=0
8n (3n
+ 1)
Consideriamo la successione fn (x) = x3n definita in (−1 + δ, 1 − δ) e la serie associata:
+∞
X
x3n
n=0
Nell’intervallo considerato, si verifica facilmente che la serie converge uniformemente e
si ha:
+∞
X
1
x3n =
1 − x3
n=0
Inoltre, vale la seguente uguaglianza:
Z
0
Allora
1
2
"
x3n+1
x dx =
3n + 1
#1
2
3n
=
0
1
1
n
2 8 (3n + 1)
Z
1
2
=
2
x3n dx
n
8 (3n + 1)
0
1
240
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Passando alla serie, si ha:
+∞
XZ 2
1
=2
x3n dx
n
n=0 8 (3n + 1)
n=0 0
+∞
X
1
Avendo dimostrato la convergenza uniforme della serie, si può applicare il teorema di
integrazione per serie:
!
+∞
X
Z
1
2
n=0 0
x dx =
+∞
X
1
2
Z
3n
0
x3n dx
n=0
Per quanto detto, si ha:
Z
1
2
=2
n
0
n=0 8 (3n + 1)
+∞
X
+∞
X
1
!
x
3n
dx = 2
n=0
Z
0
1
2
1
dx =
1 − x3
1
1
2
1
1
= 2 − ln |x − 1| + ln |x2 + x + 1| + √ arctan √ x + √
3
6
3
3
3
√ !
2
1
3
= ln 7 + √ arctan
3
5
3
applicando le proprietà dei logaritmi e dell’arcotangente.
"
Esempio 14.2.23. Calcolare
!# 1
2
=
0
sin x
dx
x
0
Poiché non è possibile esprimere una primitiva di questa funzione in termini di funzioni
elementari, scriviamo la funzione integranda come una serie di funzioni che converge uniformemente ed utilizziamo il teorema precedente per calcolare il valore di questo integrale
come serie numerica.
Scrivendo il polinomio di Taylor con il resto di Lagrange di f (x) = sin x, si ha:
Z
∃ξ ∈ R | f (x) =
π
2
(−1)n x2n+1 f (2N +2) (ξ)x2N +2
+
(2N + 2)!
n=0 (2n + 1)!
N
X
Dimostriamo che si ha convergenza unifome della serie
(−1)n x2n+1
n=0 (2n + 1)!
+∞
X
Infatti
sup
[0, π2 ]
f (2N +2) (ξ)x2N +2 (−1)n x2n+1 = sup ≤
(2n
+
1)!
(2N
+
2)!
π n=0
0,
[ ]
N
X
f (x) −
2
1
→0 n→∞
(2N + 2)! 2
Quindi sin x è il limite uniforme della serie data.
In maniera del tutto analoga si prova la seguente uguaglianza mediante la convergenza
uniforme; allora, si ha:
X (−1)n x2n
sin x +∞
=
x
n=0 (2n + 1)!
Per il teorema di integrazione per serie, vale:
2N +2
π
≤
Z
0
π
2
Z π +∞
+∞
n 2n
X Z π2 (−1)n x2n
sin x
2 X (−1) x
dx =
dx =
dx =
x
0 n=0 (2n + 1)!
n=0 0 (2n + 1)!
=
+∞
X
(−1)
n=0
n
2n+1
π
2
1
((2n + 1)2 (2n)!)
241
14.2. SERIE DI FUNZIONI
14.2.4
Serie di potenze
Definizione 14.2.24 (Serie di potenze). La serie
∞
X
ai (x − x0 )i
i=0
si definisce serie di potenze centrata in x0 .
Osservazione 14.2.25. Possiamo supporre la serie centrata in x0 = 0 con la sostituzione
y = x − x0 .
Teorema 14.2.26 (Convergenza delle serie di potenze). Sia
∞
X
ai xi una serie di potenze.
i=0
Sia
lim sup
q
n
n→+∞
|an | = L ∈ [0, +∞]
Allora si ha convergenza puntuale se e solo se x ∈ − L1 , L1 e si ha convergenza uniforme
in intervalli del tipo − L1 + ε, L1 − ε . L è detto raggio di convergenza.
Dimostrazione. Ad x fissato, la serie di potenze diventa una serie numerica e quindi
possiamo applicare il criterio della radice
lim sup
n→∞
q
n
|an xn | = |x| lim sup
q
n
n→∞
e quindi se
|x| lim sup
n→∞
q
n
|an | < 1 ⇐⇒ |x| <
|an |
1
lim sup
n→∞
q
n
|an |
=
1
L
la serie converge puntualmente. In modo analogo, si dimostra che se |x| > L1 , la serie
non converge puntualmente.
Dimostriamo adesso la seconda parte
del teorema.
Provare che la serie converge unifor
memente negli intervalli del tipo − L1 + ε, L1 − ε è equivalente a dimostrare che converge
1
uniformemente per i valori di x tali che, fissato δ > 0 |x| < L+δ
.
Chiamiamo I l’insieme dei reali che soddisfano la disuguaglianza precedente e consideriamo
n
+∞
+∞
X
X
1
n
sup(|an ||x| ) =
|an |
L+δ
n=0 I
n=0
Applicando il criterio della radice
q
n
lim sup
n→∞
|an |
L+δ
=
L
<1
L+δ
Dunque, la serie di potenze converge uniformemente.
Osservazione 14.2.27. Non si può determinare a priori il comportamento della serie
sugli estremi dell’intervallo. Infatti può convergere in entrambi gli estremi, divergere in
entrambi o convergere in uno e divergere in l’altro.
Esempio 14.2.28.
1 n
x
2
n=1 n
+∞
X
s
lim sup
n→+∞
Per x = 1 e per x = −1, la serie data converge.
n
1
=1
n2
242
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Esempio 14.2.29.
1 n
x
n=1 n
+∞
X
s
lim sup
n
n→+∞
1
=1
n
Per x = 1 la serie data non converge, mentre per x = −1, la serie data converge.
Esempio 14.2.30.
+∞
X
nxn
lim sup
n→+∞
n=1
√
n
n=1
Per x = 1 e per x = −1, la serie data non converge.
Esempio 14.2.31. Studiare la convergenza della serie:
+∞
X
e−nx xn
n
n=1 (x + 3)
x ∈ [0, +∞)
La serie si presenta nella forma
+∞
X
n=1
e−x x
(x + 3)
!n
Allora, possiamo studiarla come una serie di potenze con base
pata, si ha che la serie converge uniformemente se e solo se
e−x x
.
x+3
Per la teoria svilup-
e−x x
≤1+δ
x+3
−1 + δ ≤
Se x ∈ [0, +∞), si ha che la base è sempre positiva. Inoltre, x < x + 3: possiamo
concludere che, scelto δ abbastanza piccolo, si ha che
∀x ∈ [0, +∞) 0 ≤
e−x x
≤1+δ
x+3
Questo prova la convergenza uniforme in tutto l’intervallo considerato.
Teorema 14.2.32 (Derivazione per serie di potenze). Sia f (x) =
∞
X
an xn una serie di
n=0
potenze con raggio di convergenza R > 0. Allora la serie
g(x) =
+∞
X
nan xn−1
n=1
ha lo stesso raggio di convergenza e f 0 = g
Dimostrazione. Ad x fissato, applichiamo il criterio della radice:
q
q
√
n
lim sup n|an | = lim sup n |an | · lim sup n n = R
n→+∞
n→+∞
n→+∞
|
{z
=1
}
Questo dimostra la prima parte del teorema.
Per la seconda parte, basta considerare la successione delle somme parziali
fn (x) =
N
X
an x n
n=0
e applicare il teorema di passaggio al limite sotto segno di derivata. Iterando l’applicazione
del suddetto teorema, si ottiene lo stesso risultato per ogni derivata k-esima.
243
14.2. SERIE DI FUNZIONI
Lemma 14.2.33 (Lemma di sommazione parziale di Abel). Siano {βp }p∈N e {γp }p∈N due
successioni; sia
p
X
bp =
cp =
βj
j=1
p
X
γj
j=1
Poniamo b0 = c0 = 0. Allora
p
X
bk γk = bp cp −
k=1
p
X
βk ck−1
k=1
Dimostrazione.
bk ck − bk−1 ck−1 = bk ck − bk ck−1 + bk ck−1 − bk−1 ck−1 =
= bk (ck − ck−1 ) + ck−1 (bk − bk−1 ) = bk γk + ck−1 βk
Poichè la somma
p
X
bk ck − bk−1 ck−1
k=1
è telescopica e b0 = c0 = 0 per definizione, si ha
bp c p =
p
X
(bk γk + βk ck−1 )
k=1
da cui segue la tesi.
Osservazione 14.2.34. Il risultato appena dimostrato corrisponde alla formula di integrazione per parti dimostrata per il calcolo degli integrali definiti. Al posto delle funzioni
ci sono successioni, al posto delle primitive ci sono le somme parziali.
Teorema 14.2.35 (Criterio di Abel per la convergenza negli estremi). Sia
∞
X
an x n
n=0
una serie di potenze con raggio di convergenza R ∈ (0, ∞). Se la serie converge per y con
|y| = R allora converge uniformemente in tutto l’intervallo chiuso [0, y].
Dimostrazione. Dimostreremo il caso y = R (se y = −R, si procede in maniera analoga).
Poichè la serie converge in y, le somme parziali
Sn (y) =
n
X
aj y j
j=1
sono successioni di Cauchy, ovvero
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N | ∀n > n0 , p > 0 : |Sn+p (y) − Sn (y)| =
n+p
X
j
aj y j=n+1
<ε
Vogliamo dimostrare che la successione Sn (x) è di Cauchy uniformemente in x ∈ [0, y].
n+p
X
n+p
X
x
|Sn+p (x) − Sn (x)| =
aj x =
aj y ·
y
j=n+1
j=n+1
j
j
!j
=
p
X
k=1
an+k y
n+k
x
·
y
!n+k
244
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
ponendo k = j − n. Applichiamo il lemma precedente, con bk =
Si osservi allora che
!n+k
!n+k−1
x
x
βk = bk − bk+1 =
−
y
y
mentre
γk =
k
X
k
X
cm =
m=1
n+k
x
y
e ck = an+k y n+k .
an+m y n+m = Sn+k (y) − Sn (y)
m=1
Per la disuguaglianza triangolare, portando un termine fuori dal simbolo di sommatoria,
si ottiene
x
y
|Sn+p (x)−Sn (x)| ≤
!n+p
·|Sn+p (y)−Sn (y)|+ |Sn+k−1 (y)−Sn (y)|·
k=1
p
X
x
y
!n+k
x
−
y
!n+k−1 Scegliendo n > n0 e p > 0, si ottiene
p X
ε 1 +
k=1 
|Sn+p (x) − Sn (x)| ≤
maggiorando
x
y
x
y
!n+k
x
−
y
!n+k−1 

con 1 nel primo addendo. Poichè
x
y
!n+k
x
−
y
!n+k−1 x
=−
y
!n+k
x
+
y
!n+k−1
la somma diventa telescopica e vale
x
y
!n
x
−
y
!n+p
≤2
da cui |Sn+p (x) − Sn (x)| ≤ 3ε uniformemente in x ∈ [0, y].
14.2.5
Appendice: ulteriore caratterizzazione del numero di Nepero
Abbiamo definito il numero di Nepero
e = lim
n→+∞
1+
1
n
n
Proposizione 14.2.36. Dimostriamo che vale la seguente uguaglianza
1
=e
n=1 n!
+∞
X
Osservazione 14.2.37. Nella seguente dimostrazione utilizzeremo esclusivamente la definizione di e data in precedenza.
Dimostrazione. Sia
e = lim
n→+∞
Definiamo la funzione
1
1+
n
f (x) = ex
n
∈R
245
14.2. SERIE DI FUNZIONI
Dimostriamo che tale funzione è derivabile, utilizzando la definizione di derivata.
ex+h − ex
eh − 1
= ex lim
h→0
h→0
h
h
(ex )0 = lim
Per la definizione data di e, vale e > 2, dunque la funzione logaritmo in base e è ben
definita. Poniamo eh − 1 = t; allora h = ln(t + 1). Dunque abbiamo
1
t
1
= lim
=1
1 =
t→0 ln(1 + t) t
t→0 ln(t + 1)
ln e
lim
Dunque
(ex )0 = ex
Definiamo la successione di funzioni con dominio [−C, C], scelto C > 1:
fn (x) =
xn
n!
Consideriamo la successione delle somme parziali associata, ovvero:
Sn (x) =
n
X
xi
i=0
i!
Dimostriamo che la serie converge uniformemente ad ex , cioè:
lim
sup |ex − Sn (x)| = 0
n→+∞ [−C,C]
Calcolata la derivata di ex , possiamo scrivere il suo polinomio di Taylor con resto di
Lagrange, supponendo ex definita in [−C, C]. Allora:
∃ξ ∈ [−C, C] | ∀x ∈ [−C, C] : ex =
Allora
sup |e − Sn (x)| =
x
[−C,C]
eξ
1 n
x +
(n + 1)!
i=0 n!
n
X
eξ sup [−C,C] (n + 1)! =
eC
(n + 1)!
per monotonia della funzione f (x). Passando al limite, si ha:
eC
=0
n→+∞ (n + 1)!
lim
Dunque, si ha convergenza uniforme per la serie associata, ovvero
∀x ∈ [−C, C]
1 n
x = ex
n!
n=0
+∞
X
Valutando l’espressione in 1, si ha la tesi:
e=
1
n=1 n!
+∞
X
Proposizione 14.2.38 (Irrazionalità del numero di Nepero). Il numero di Nepero è
irrazionale.
246
CAPITOLO 14. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Dimostrazione. Supponiamo e ∈ Q, ovvero
∃a, b ∈ N | e =
a
b
Non è restrittivo supporre a, b coprimi.
Utilizziamo la caratterizzazione di e appena data:
e=
a
1
=
b
n=0 n!
+∞
X
Moltiplicando per b!, si ha:
e · b! =
Inoltre, vale:
+∞
X
b!
= a · (b − 1)! ∈ N
n=0 n!
+∞
+∞
X b!
X b!
b!
=Q+
⇒
∈N
n=0 n!
n=b+1 n!
n=b+1 n!
+∞
X
perchè Q ∈ N. Per trovare l’assurdo, dimostriamo che
+∞
X
b!
<1
n=b+1 n!
Infatti, si ha:
1
1
1
b!
=
+
+
+ ··· ≤
b + 1 (b + 1)(b + 2) (b + 1)(b + 2)(b + 3)
n=b+1 n!
+∞
X
≤
+∞
X
1
1
1
1
+
+
+
·
·
·
=
=
2
3
n
b + 1 (b + 1)
(b + 1)
n=1 (b + 1)
=
+∞
X
1
1
1
1
1
·
=
·
1 =
n
b + 1 n=0 (b + 1)
b + 1 1 − b+1
b
1
<1⇔b>1
b
Considerando che 2 < e < 3, allora e ∈
/ N, dunque b > 1.
Indice analitico
O grande, 89
N, 19
R, 123
o-piccolo, 88
Disuguaglianza di Jensen, 101
Disuguaglianza di Young, 102
Disuguaglianza triangolare, 117
divergente, 135
aperto, 118
applicazione, 12
asintoto, 110
equazione lineare, 195
equazioni differenziali, 195
Equivalenza asintotica, 89
Bolzano, teorema di, 78
Bolzano-Weierstrass, teorema di, 121
Fermat, teorema di, 86
funzione, 12
funzione analitica, 187
funzione continua, 70
funzione convessa, 97
funzione esponenziale, 56
funzione logaritmica, 57
funzioni goniometriche, 57
funzioni iperboliche, 58
Cauchy per successioni di funzioni, 182
Cauchy, teorema di, 85
chiuso, 118
chiusura, 119
compatto, 121
compatto per successioni, 122
confronto asintotico per integrali, 173
confronto per integrali, 171
Coniugato, 126
continuità uniforme, 79
convergente, 135
convergenza puntuale, 177
convergenza uniforme, 177
coordinate polari, 128
criterio del confronto, 136
criterio dell’integrale, 140
criterio di Abel, 139
criterio di Abel - Dirichlet, 142
criterio di Alambert, 139
criterio di Cauchy, 138
criterio di condensazione di Cauchy, 140
Haussdorff, spazio di, 118
Heine-Cantor,teorema di , 79
insieme convesso, 97
insieme denso, 119
insieme di Cantor, 123, 167
integrale indefinito, 151
integrali impropri, 170
integranda, funzione, 151
intorno, 120
Lagrange, teorema di, 85
Leibnitz per serie numeriche, 143
lemma di Dini, 182
limite di funzione, 59
limite inferiore, 65
De l’Hôpital, teorema di, 86
limite sinistro/destro, 59
Degenerazioni algebriche con le derivate, 83
limite superiore, 64
Derivata, 81
limsup di funzioni, 69
Derivata di funzione inversa, 84
derivato, 120
mappa, 12
derivazione per serie di potenze, 193
metrica, 117
Differenziale, 81
misura, 123
differenziale, 153
misura nulla, 166
discontinuità, 75
norma di un complesso, 126
distanza, 117
247
248
Operazione binaria, 8
oscillazione di una funzione, 168
palla, 117
parte interna, 119
partizione, 157
passaggio al limite sotto segno di derivata,
integrale, 183
Peano, 19
permanenza del segno, 72
potenza, 55
problema di Cauchy, 197
punto aderente, 119
punto di accummulazione, 120
punto di chiusura, 119
Punto interno, 81
punto interno, 119
punto isolato, 120
Rapporto incrementale, 81
ricoprimento, 121
Rolle, teorema di, 84
semicontinuità, 77
serie, 135
serie armoniche, 141
serie di funzioni, 187
serie di potenze, 192
serie geometriche, 137
serie telescopiche, 137
Simboli di Landau, 88
sistemi di equazioni lineari, 199
somme parziali, 135
somme superiori ed inferiori, 157
spazio connesso, 120
spazio metrico, 117
succesione, 64
Taylor con resto di Lagrange, 94
Taylor con resto di Peano, 90
teorema di integrazione per serie, 190
teorema fondamentale del calcolo integrale,
165
topologia, 118
unità immaginaria, 126
Valori intermedi, teorema dei, 78
Vitali Lebesgue, teorema di , 168
Weierstrass, teorema di, 78
wronskiana, 197
ZFC, 9
INDICE ANALITICO
Bibliografia
[1] MASSIMO GOBBINO, Corso di Analisi Matematica 1, Stampato integrale
delle lezioni , Volume 1 A.A 2014/2015
[2] VLADIMIR SIMEONOV GUEORGUIEVDispense del corso di Analisi
Matematica 1 - A.A 2015/2016
[3] MAURO SASSETTI CALCOLO, Teoria ed esercizi parte seconda
CALCOLO INTEGRALE
[4] TOM.M APOSTOL CALCOLO, VOLUME PRIMO, ANALISI 1
[5] ACERBI EMILIO, BUTTAZZO GIUSEPE Primo corso di analisi
matematica
[6] E.Acerbi - L.Modica-S.Spagnolo Problemi scelti di analisi matematica I
[7] E.Acerbi - L.Modica-S.Spagnolo Problemi scelti di analisi matematica II
[8] Nicola Visciglia appunti del corso di analisi 1
[9] E.M PATTERSON TOPOLOGIA
[10] Enrico Giusti Analisi matematica 2
[11] Boris Demidovic Esercizi e problemi di analisi matematica
[12] Walter Rudin Principles of mathematical analysis
249