MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a.a. 2010-2011
Complementi ed esercitazioni 3
1. Le origini antropologiche degli oggetti della matematica.
Il testo seguente è tratto da Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici,
Torino, Bollati Boringhieri, 1999, 25-27.
«Per condurre una retta tra due punti, l’agrimensore li segnerà con due picchetti,
annoderà una corda a uno di essi, e la fisserà all’altro dopo averla tirata. Da queste
operazioni il geometra trarrà due definizioni e un postulato: tra due punti, che ne
rappresentano gli estremi, si può sempre tracciare una retta, che giace
uniformemente tra di essi.
Allo stesso modo, l’ingegnere traccerà un cerchio con un dato centro e con un
intervallo fissato prima tirando una retta tra il centro e il punto che misura
l’intervallo, e poi, scalzato il picchetto da questo punto, lo farà ruotare descrivendo
una circonferenza. Di qui la definizione di cerchio e il postulato relativo.
Possiamo allora avanzare un’ipotesi: che gli oggetti matematici provengano
non dall’astrazione da oggetti reali, da cui descriverebbero i tratti caratteristici, ma
da un processo di oggettualizzazione delle procedure. Essi non derivano da una realtà
esterna, indipendente dall’uomo, di cui rappresenterebbero l’essenza depurata delle
impurità materiali, ma formalizzano l’operare umano. Si tratta sempre, e non
potrebbe essere altrimenti, di un processo di astrazione, un cristallizzare in pochi
tratti invariabili la varietà infinita delle operazioni infinitamente compiute; ma
l’astrazione avviene non a partire dai dati della realtà, ma dalle operazionei della
tecnica; la matematica non è figlia della natura, ma dell’arte.
In questa formalizzazione, le definizioni e i postulati svolgono un’opera di
traduzione dai procedimenti empirici della prassi alle figure e alle operazioni astratte
della geometria. […]
Nello stesso meccanismo potrebbero rientrare i numeri, non astrazioni da
oggetti che non esistono (meno che mai astrazioni da altre astrazioni, come la
numerosità, o l’equipotenza, come fino a qualche anno fa sembravano suggerire i
programmi delle scuole elementari), ma oggettualizzazioni dell’attività del contare
(qui il condizionale è d’obbligo: data l’assoluta mancanza di documenti [...]»
2. Sistemi di numerazione posizionali e teorema di rappresentazione
I sistemi di numerazione basati sul principio posizionale adoperano una
decomposizione del numero che usa l’addizione, la moltiplicazione, e le potenze
successive della base. Iniziamo a raggruppare per la potenza maggiore possibile della
base, e poi raggruppiamo per le potenze successive.
Un teorema della matematica afferma che, scelta una base a piacere, ogni numero
intero può essere decomposto in questo modo (aggiungendo cifre raggiungiamo ogni
numero naturale) e che le cifre di tale decomposizione sono uniche.
TEOREMA (RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NATURALI) Sia b un numero naturale
maggiore di 1. Ogni numero naturale n può essere rappresentato in modo unico nella
forma
n = ak " b k + ak#1 " b k#1 + ...+ a3 " b 3 + a2 " b 2 + a1 " b1 + ao
con k un numero naturale, a0, a1, a2, ..., ak numeri naturali minori di b e ak " 0
!
Si osservi che k + 1 è il numero delle cifre o posizioni che permettono di scrivere il
numero; ognuna delle
della base scelta.
! cifre usate, indicate con ai , è un numero minore
!
Così, fissata
una base, il teorema afferma che ogni numero naturale (ma in realtà tutti
!
i numeri interi, positivi e negativi) può
! essere rappresentato o decomposto in questo
modo e che tale rappresentazione è unica (non è possibile rappresentare lo stesso numero
accostando un diverso gruppo di cifre). Quindi, la rappresentazione posizionale dei
numeri non è ambigua, a differenza di ciò che succede con la rappresentazione con
parole o con la scrittura alfabetica di altri concetti astratti). Questa affermazione ci può
sembrare scontata, ma lo è soltanto perché essa è strettamente legata alla nostra intima
consapevolezza delle regolarità dei numeri naturali.
Esercizio 1. Scrivere tutti i numeri a una, due, tre cifre nel sistema posizionale decimale;
scrivere tutti i numeri a una, due, tre cifre nel sistema posizionale in base 6.
Esercizio 2. Nel sistema posizionale sessagesimale babilonese, quante posizioni servono
a rappresentare il numero 13? E il numero 143? Quanti simboli sono adoperati in
ognuna delle posizioni?
Esercizio 3. La ricerca di k e delle cifre ai . Scriva 143 in base 3. Dobbiamo quindi
ricercare i gruppi di 3, di 9, di 27, di 81. Quante sono le posizioni o cifre che servono a
decomporre questo numero? Scrivere la decomposizione del numero ad ogni tappa della
ricerca delle cifre. Notare che si tratta
! di una serie di divisioni.
Esercizio 4. Scrivere 143 in base 7 e in base 2.
Il teorema di rappresentazione può essere dimostrato, e lo faremo nel seguito del
corso, sulla base delle proprietà dei numeri naturali che studieremo nelle prossime
lezioni: il principio di induzione e il teorema di esistenza e unicità di quoziente e resto
nella divisione con resto.
La rappresentazione dei numeri grazie al sistema di numerazione posizionale
decimale è il fondamento degli algoritmi in colonna delle “quattro operazioni” della
scuola primaria: infatti, questi algoritmi sono costituiti da istruzioni da eseguire sulle cifre
che rappresentano due o più numeri, istruzioni che includono la collocazione o
allineamento di tali cifre per non perdere l’informazione sulla posizione. Tali algoritmi
possono essere applicati ai numeri scritti anche in basi diverse da dieci.
Esercizio 5 Siano a e b due numeri naturali che si scrivono nel modo seguente in base
quattro (adoperando le quattro cifre 0, 1, 2, 3):
a = 1014
b = 234
a) Scriva a e b in altri due modi: prima in un sistema di numerazione
posizionale diverso
e poi usando un sistema di numerazione additivo.
!
b) Esprima il numero naturale 3" a # b nel sistema di numerazione decimale
posizionale.
c) La proprietà associativa della moltiplicazione si applica ai numeri naturali
scritti in base quattro? !
Giustifichi la sua risposta.
Esercizio 6 La rappresentazione dei numeri naturali nei sistemi di numerazione additivi e
posizionali: definizioni, aspetti storici e implicazioni didattiche.
3 Problemi con la divisione. I sistema dei numeri della matematica e la scrittura posizionale dei numeri
Discutere i problemi seguenti
1) Dobbiamo distribuire 27 biscotti a 5 bambini. Quanti per uno?
2) Dobbiamo spezzare un nastro che misura 27 cm in 5 parti uguali. Quanto è lungo
ogni pezzo?
3) Cinque tecnici devono sorvegliare una macchina in riparazione per un totale di 27
ore. Quale è la durata del turno di sorveglianza di ogni tecnico.
