I numeri di Fibonacci
Scritto da Maria Rispoli
Sabato 08 Gennaio 2011 17:44 - Ultimo aggiornamento Domenica 13 Marzo 2011 20:24
I numeri di Fibonacci sono una sequenza matematica, i cui elementi e i cui rapporti si
riscontrano in una straordinaria varietà di fenomeni naturali e artistici.
Alla sequenza:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
fu dato il nome del suo scopritore duecentesco, Leonardo Pisano, detto Fibonacci. In una
sezione del suo famoso trattato, Liber Abaci, questi poneva un problema matematico:
“Se una coppia di conigli rimane isolata, quanti conigli nasceranno nel corso di un anno,
ammesso che ogni mese una coppia di conigli ne produca un’altra coppia, e che i conigli
incomincino a partorire due mesi dopo la propria nascita?”.
Nello schema che segue viene visualizzato graficamente il calcolo che si effettua per giungere
alla soluzione del problema.
Mesi
Conigli
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Coppie
0
1
1
1
2
+
2
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3
2
+
3
4
3
+2
5
5
5
+3
8
6
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8
+5
13
7
13
+8
21
8
21
+13
34
9
34
+21
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55
10
55
+34
89
11
89
+55
114
12
114
+89
233
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Alla fine del decimo mese abbiamo 89 coppie di conigli mentre alla fine dell’anno 233.
Per arrivare alla soluzione, possiamo preparare tre liste.
Su una segneremo il numero totale delle coppie di conigli alla fine di ogni mese, su un’altra il
numero delle coppie feconde, e sulla terza il numero delle coppie immature.
Le tre liste risultano identiche (ove si eccettui il fatto che la lista delle coppie immature
incomincia con 0, e alla lista di tutte le coppie manca il primo numero di tutta la sequenza, cioè
1). La lista di tutte le coppie per ogni singolo mese si presenta così:
1, 2, 3, 5, 8, 13,21,34, 55, 89, 144, 233 e 377.
L’ultima cifra della lista dà la soluzione del problema: nel corso di dodici mesi nasceranno 376
coppie (dobbiamo sottrarre da 377 la prima coppia, che era già nata).
L’intera sequenza di Fibonacci deriva dalla lista delle coppie mature: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ecc.
La regola di formazione dei numeri di Fibonacci con questo problema è:
“Ogni numero si ottiene eseguendo l’addizione dei due numeri che lo precedono nella
sequenza” .
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Dunque la successione numerica dei numeri di Fibonacci ha la proprietà matematica che ogni
elemento (a partire dal secondo) è uguale alla somma dei due precedenti.
Usando questa formula è possibile estendere la sequenza all’infinito:
F i b n = F i b n-1 + Fi b n-2
dove:
F i b 0 = Fi b 1 = 1
Guardiamo la sequenza dei primi dieci numeri di Fibonacci:
Elenchiamo alcune proprietà che ha questa sequenza:
1. Il quadrato di ogni numero di Fibonacci differisce di uno dal prodotto dei due numeri
di fianco ad esso. La differenza è, alternativamente, più o meno, via via che la serie
continua.
Il quadrato del quinto numero di Fibonacci è 25, che differisce di +1 dal prodotto del quarto e
del sesto numero, che è 3*8=24.
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Il quadrato del sesto numero, 64, invece, differisce di -1 da 13*5=65.
2. Sommando i primi n numeri di Fibonacci ed aggiungendo 1, il risultato è sempre
uguale al numero (
n+2) di Fibonacci, ovvero al numero due volte
dopo l’ultimo addizionato.
Ad esempio, sommando i primi cinque numeri di Fibonacci si ottiene 12, che è uguale al settimo
numero di Fibonacci 13 meno 1.
3. Se invece di sommare tutti i numeri se ne somma uno sì ed uno no, il risultato è
sempre uguale al numero successivo all’ultimo addizionato.
Quindi sommando uno ogni due numeri di Fibonacci, si ha che considerando i primi 9 numeri si
ottiene:
1+2+5+13+34 = 55,
il decimo numero.
4. Se si somma il quadrato dell’ennesimo numero con il quadrato del suo successivo si
ottiene il (2n+1)-esimo numero della sequenza.
Il quarto numero è 3, il quinto 5. La somma dei due quadrati è 3*3 + 5*5 = 9 + 25 = 34, ovvero il
nono numero.
5. Ogni terzo numero di Fibonacci F(3n) è divisibile per 2, ogni quarto numero F(4n) è
divisibile per 3, ogni quinto numero
F(5n)
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è divisibile per 5, ogni sesto per 8, e così via, essendo i divisori i numeri della sequenza
di Fibonacci.
6. Per quattro numeri di Fibonacci consecutivi qualsiasi, chiamati A, B, C, D, è sempre
valida la seguente relazione:
C
2
-B
2
=A*D
.
Prendendo i numeri di Fibonacci dal quarto al settimo abbiamo: A=3, B=5, C=8, D=13. Come
scritto nella formula:
64 - 25 = 3 * 13 = 39.
A parte il caso banale dello zero e dell’uno, l’unico numero di Fibonacci quadrato perfetto è F(1
2), che è proprio 12*12=144. L’unico cubo è
F
(6) = 8.
La sequenza ha un’altra proprietà matematica interessante, che si può notare calcolando il
rapporto di ogni elemento con quello precedente.
Partendo dai primi due elementi, il rapporto è 1/1, o semplicemente 1; il secondo rapporto è 2/1,
o 2; il terzo è 3/2, o 1,5; il quarto è 5/3 o circa 1,67; il quinto è 8/5, o 1,6; gli altri sono 1,625,
circa 1,615, circa 1,619, circa 1,618:
1:1=1
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2:1=2
3:2=1,5
5:3=1,6666666……
8:5=1,6
13:8=1,625
21:13=1,615384615……
34:21=1.619047619……
55:34=1,617647059……
89:55=1,618181818……
Osserviamo ancora che tutti questi numeri vanno su e giù. Il secondo numero è più grande del
primo, il terzo più piccolo del secondo, il quarto di nuovo un po’ più grande e così via. Sempre
su e giù. E quanto più si va avanti, tanto meno oscillano. Quanto più sono grandi, tanto più il
rapporto fra i numeri di Fibonacci tende a stabilizzarsi verso un numero mediano [1] .
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Nel settecento si scoprì che questi rapporti convergono su un numero irrazionale detto phi, i cui
primi termini sono 1,618034 (più precisamente, phi, è 1/2 della radice quadrata di 5 più 1/2).
Osserviamo che questo valore è pari ad una frazione continua:
Questo significa che ogni numero di Fibonacci è circa 1,618034 volte più grande del numero
che lo precede.
[1] H. M. Enzensberger, Il Mago dei numeri, Milano Mondadori
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