I numeri di Fibonacci
e
la Sezione Aurea
Ottavio Caligaris
17 Febbraio 2014
1 / 34
Leonardo da Pisa detto Fibonacci
cioè
figlio di Bonaccio
17 Febbraio 2014
2 / 34
Nacque a Pisa attorno al 1170
Morì a Pisa attorno al 1250
Fu educato in Nord Africa da precettori mussulmani
Ebbe modo di conoscere ed apprezzare il sistema di
numerazione indo-arabica che introdusse per primo in Europa.
Le sue opere maggiori sono
Liber Abaci (1202)
Practica Geometriae (1220)
Liber Quadratorum (1225)
17 Febbraio 2014
3 / 34
Quante coppie di conigli verranno
prodotte in un anno a partire da
un’unica coppia, se ogni mese
ciascuna coppia genera una nuova
coppia che diventa produttiva a partire
dal suo secondo mese di vita?
( Liber Abaci 1202 )
17 Febbraio 2014
4 / 34
17 Febbraio 2014
5 / 34
Il numero cn di conigli al mese n è dato da
n
cn
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
8
21
9
34
10
55
11
89
12
144
17 Febbraio 2014
6 / 34
La successione cn fu chiamata successione di Fibonacci da
François Édouard Anatole
Lucas
nato ad Amiens il 4 Aprile 1842
morto a Parigi il 3 Ottobre 1891
La successione di Fibonacci è identificata da
8
>
< c1 = 1
c2 = 1
>
:
cn+1 = cn + cn`1
n–2
(1)
17 Febbraio 2014
7 / 34
La successione di Fibonacci può essere espressa mediante la
p !n
p !n !
1
1+ 5
1` 5
cn = p
`
2
2
5
dove
p
1+ 5
2
è il Rapporto Aureo e si indica solitamente con la lettera ’
oppure con la lettera fi
p
1+ 5
’=
2
Il Rapporto aureo risolve il problema di dividere un segmento in
due parti di cui la maggiore è media proporzionale tra la minore
ed l’intero segmento
17 Febbraio 2014
8 / 34
La Sezione Aurea
Problema: Dividere il segmento AB in due parti AT e TB delle
quali una sia media proporzionale tra l’altra ed il segmento intero.
A
T
B
Deve essere
AB
TB
=
TB
AT
AT + TB
TB
=
TB
AT
AT
TB
+1=
TB
AT
17 Febbraio 2014
9 / 34
Se chiamiamo
’=
TB
AT
avremo
’=1+
1
’
da cui
(
p
1:618033987::::
1˚ 5
’=
=
`0:618033987::::
2
e
p
1+ 5
’=
= 1:618033987
2
17 Febbraio 2014
10 / 34
Se consideriamo la successione
Rn =
cn
cn`1
dei rapporti tra due numeri di Fibonacci successivi, possiamo
osservare che il suo andamento è del tipo
e si vede che tende a ’.
R2n & ’
R2n+1 % ’
17 Febbraio 2014
11 / 34
Costruzione Geometrica della sezione aurea
2β = 90 − α
90 − α − β = β
a+b = a
a
b
γ
β
a=1
a
a
a+b=ϕ
2α
α
2β
2β
b
a
γ
β
b
17 Febbraio 2014
12 / 34
I semi del girasole sono disposti secondo uno schema che rispetta
proporzioni indicate dalla successione di Fibonacci.
È possibile identificare spirali orarie e spirali antiorarie disegnate
dalla disposizione dei semi.
17 Febbraio 2014
13 / 34
Il numero di spirali orarie ed antiorarie sono coppie di numeri di
Fibonacci successivi.
Si osservano 34 e 55 ma anche 89 e 144 spirali
Nel 1951 The Scientific Monthly pubblicò la notizia
dell’osservazione di un girasole con 144 e 233 spirali.
17 Febbraio 2014
14 / 34
Si possono trovare coppie di numeri di Fibonacci successivi in
molti altri casi
Echinacea
17 Febbraio 2014
15 / 34
Pigna
17 Febbraio 2014
16 / 34
Broccolo Romanesco
17 Febbraio 2014
17 / 34
Nelle piante le foglie sono disposte lungo il fusto secondo una
spirale.
Sia T il numero di giri che bisogna fare attorno al fusto di una
pianta per trovare due foglie sovrapposte
ed il numero di foglie N che si incontrano lungo il cammino.
I numeri N e T sono numeri della successione di Fibonacci.
17 Febbraio 2014
18 / 34
ad esempio
N
T
1
2
1
3
2
5
3
8
5
13
T il numero di giri bisogna fare
attorno al fusto di una pianta per
trovare due foglie sovrapposte
N numero di foglie che si
incontrano prima di trovare due
foglie sovrapposte
17 Febbraio 2014
19 / 34
Qualche proprietà della successione di
Fibonacci
La successione di Fibonacci è caratterizzata dalla relazione di
ricorrenza
cn+1 = cn + cn`1
Dividendo per cn si ricava
cn`1
cn+1
=1+
cn
cn
Posto
Rn+1 =
cn+1
cn
Rn =
cn
cn`1
si ha
Rn+1 = 1 +
1
Rn
17 Febbraio 2014
20 / 34
Per n abbastanza grande
Rn ! ’
e
’=1+
1
’
da cui
’2 = ’ + 1
’2 ` ’ ` 1 = 0
p
1˚ 5
’=
2
e
p
1+ 5
’=
= 1:618033987:::: > 1
2
17 Febbraio 2014
21 / 34
Altre proprietà della successione di Fibonacci.
n
X
ck = c1 + c2 + c3 + : : : cn = cn+2 ` 1
k=1
n
X
c2k`1 = c2n
k=1
n
X
ck2 = cn cn+1
k=1
cn`1 cn+1 ` cn2 = (`1)n
17 Febbraio 2014
22 / 34
L’ultima uguaglianza
cn`1 cn+1 ` cn2 = (`1)n
consente di costruire un puzzle che si puó scomporre e ricomporre
perdendo o guadagnando una unità di area come mostra la
seguente figura
17 Febbraio 2014
23 / 34
La sezione aurea compare spesso nelle opere d’arte.
17 Febbraio 2014
24 / 34
17 Febbraio 2014
25 / 34
17 Febbraio 2014
26 / 34
17 Febbraio 2014
27 / 34
Il corpo umano presenta proporzioni auree.
17 Febbraio 2014
28 / 34
La spirale logaritmica
ha evidenti connessioni con la sezione aurea.
E compare molto spesso in natura.
17 Febbraio 2014
29 / 34
Ad esempio nel Nautilus.
17 Febbraio 2014
30 / 34
Nautilus è un genere di molluschi cefalopodi tetrabranchiati, considerato estinto in seguito ai ritrovamenti
fossili risalenti al Paleozoico, che è stato osservato per la prima volta in vita solamente nel 1829, pertanto è
classificato come fossile vivente, per quanto la sua conchiglia, proveniente dai commerci con le Indie orientali,
fosse ben nota ed usata in oreficeria già nel secolo XVII.
Il nautilus si presenta come una grossa conchiglia (anche oltre i 20 cm di diametro a sezione di spirale
logaritmica) con l’apertura rivolta verso l’alto in cui vive un corpo molle con una grossa testa
La conchiglia ha una superficie liscia e bianca con screziature rosso arancio, è sottile e liscia, avvolta
dorsalmente su uno stesso piano . Altre specie presentano una conchiglia madreperlacea o di colore bianco
brillante.
Il nicchio è concamerato, presenta cioè un canale che collega i vari compartimenti e permette al gas azotato
ivi contenuto di passare attraverso i setti trasversali che delimitano le camere, favorendo il galleggiamento
dell’animale, nella sua tipica posizione verticale, tramite opportune regolazioni di pressione. I setti, inoltre,
sostengono strutturalmente la conchiglia quando l’animale si immerge a grandi profondità ed è sottoposto a
pressioni notevoli. Il nautilus, intervenendo sulle varie percentuali di liquido e gas nei vari setti, effettua una
grande escursione batimetrica (di profondità) tra il giorno (dove si sposta a profondità di 500 metri) e la notte
(dove si avvicina alla superficie dell’oceano).
All’interno del nicchio sono presenti circa 34-36 zone divise da pareti di madreperla, chiamate setti, che
aumentano di numero con l’aumentare dell’età: sono le camere che il corpo dell’animale occupa a mano a
mano che aumenta di dimensione. Solo l’ultimo e più esterno dei setti è occupato costantemente dalle parti
molli dell’organismo, dotato di circa 90 tentacoli privi di ventose, di un becco corneo, una radula ed un
imbuto ottenuto dalla modificazione del tubo.
17 Febbraio 2014
31 / 34
17 Febbraio 2014
32 / 34
Trai solidi Platonici il dodecaedro e l’icosaedro sono identificati
da una terna di rettangoli mutuamente ortogonali di proporzioni
auree.
17 Febbraio 2014
33 / 34
17 Febbraio 2014
34 / 34
