dispense trinogometria

Appunti di Trigonometria per il corso di
Matematica di base
di Giovanna Neve
Diploma accademico di primo livello per il corso di
Tecnico di Sala di Registrazione – Conservatorio “C. Pollini” Padova
trigonometria.docx
Indice
1.
Il seno di un angolo ........................................................................................... 3
2.
Il coseno di un angolo ........................................................................................ 4
3.
La tangente di un angolo ................................................................................... 5
4.
Periodicità delle funzioni trigonometriche ........................................................ 6
5.
Risoluzione dei triangoli rettangoli ................................................................... 6
6.
Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche ................................. 8
2/9
trigonometria.docx
1.
Il seno di un angolo
Su un piano cartesiano Oxy si costruisca un cerchio di raggio r col centro sull'origine.
Scelto sulla circonferenza un punto P appartenente al I quadrante, siano OH l'ascissa e PH
l'ordinata del punto P. Il raggio passante per P forma un angolo α col semiasse positivo x.
y
P
verso positivo
misura angoli
r
II
I
x
O
III
H
IV
fig. 1
Si definisce seno dell'angolo α il rapporto tra l'ordinata di P e il raggio del cerchio e si
legge senα. Si ha cioè
PH
senα = PO1
(1)
√2
PH
senα = PO=
1
√2
=
√2
2
P
r
45°
Si vede subito che se, ad esempio, α = 45°, sen α = 2 . Infatti i
questo caso il triangolo PHO è metà di un quadrato di lato PH e
avente r come diagonale. E' noto che la diagonale del quadrato è
data dal prodotto del lato per √2. Cioè
PO = PH√2
da cui:
O
H
fig. 2
Analogamente sarebbe facile dimostrare che
sen 0° = 0
1
Il rapporto tra due grandezze omogenee, come sono due segmenti, è un numero puro, cioè un numero
privo di dimensioni, ovvero di unità di misura. Se invece si esegue ad esempio il rapporto tra uno spazio ed
un tempo (grandezze non omogenee) si ottiene non un numero puro, bensì una grandezza, nel caso
specifico una velocità. E la velocità ha una sua unità di misura (metri al secondo, km all'ora, ecc.). Il
numero puro sottintende, non un'unità di misura, bensì la parola "volte" (es. se il segmento A diviso per il
segmento B dà come risultato 3, significa che B sta 3 volte in A).
Da quanto sopra si deduce che, se si misurano i segmenti in metri oppure in centimetri oppure in millimetri
il seno di un determinato angolo non cambia.
3/9
x
trigonometria.docx
sen 30° = 0,5
sen 60° =
√3
2
sen 90° = 1
Per gli angoli intermedi, di non immediata deduzione, si ricorre alla calcolatrice.
Il radiante è un angolo corrispondente ad un arco lungo come il raggio.
Una circonferenza quanti raggi contiene? Tutti sanno che il rapporto tra circonferenza e
raggio è 2π.
Allora l'angolo giro (360°) misura, in radianti, 2π.
E quindi
TAB. 1
un angolo di
180°
90°
60°
45°
30°
0°
cioè pari a
1/2 di angolo giro
1/4 di angolo giro
1/6 di angolo giro
1/8 di angolo giro
1/12 di angolo giro
misura, in radianti,
π
π/2
π/3
π/4
π/6
0
In generale la relazione tra la misura in gradi e la misura in radianti di un angolo è la
proporzione:
misura in gradi:180= misura in radianti : π
da cui si ricava:
αrad = α° π / 180
(2)
* * *
Per completare il quadro, si osservi che quando α è maggiore di 90°, il punto P si sposta
sui quadranti successivi della circonferenza e fino a 180° l'ordinata PH è sempre positiva.
Quando α supera i 180° le ordinate PH diventano negative e vi rimangono fino a che α
non ha raggiunto i 360°. Per α=360°, come del resto per α=0°, si ha che sen α = 0 perché
PH si riduce a zero.
2.
Il coseno di un angolo
Con riferimento alla fig. 1, si definisce coseno dell'angolo α il rapporto tra l'ascissa di P e
il raggio del cerchio e si legge cosα. Si ha cioè
cosα =
HO
PO
(3)
Con ragionamenti del tutto analoghi a quelli sviluppati sopra si trova che:
4/9
trigonometria.docx
cos 45° =
√2
2
e inoltre che:
cos 0° = 1
cos 30° =
√3
2
cos 60° = 0,5
cos 90° = 0
Anche per il coseno si possono prendere in considerazioni angoli α maggiori di 90° e si
trova che da 90° a 270° il coseno è negativo (a 90° e a 270° il coseno è zero; a 180 è
uguale a -1), mentre oltre i 270° e fino a 360° il coseno è positivo.
Osservando la fig. 1, applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo OHP. Otteniamo:
PH2 + OH2 = PO2
Dividendo membro a membro per PO2 si ottiene:
OH2
+
=1
PO2 PO2
PH2
Ma applicando la (1) e la (3) si trova la relazione fondamentale tra seno e coseno:
sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
3.
(4)
La tangente di un angolo
Con riferimento alla fig. 1, si definisce tangente dell'angolo α il rapporto tra l'ordinata e
l'ascissa di P. Si ha cioè
PH
tangα = OH
(5)
Con riferimento alla fig. 2 si vede che se α = 45°, tang α = 1 perché rapporto tra i due lati
di un quadrato.
Si osservi inoltre che
PH
PH OP
1
sen𝛼
tangα = OH= OP OH = sen𝛼 cos𝛼 = cos𝛼
(6)
5/9
trigonometria.docx
cioè che la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di quell'angolo.
Ciò ci consente subito di scrivere il valore di tangα per i valori più comuni di α:
TAB. 2
α rad sen α cos α tang α
0° 0
0
1
0
30° π/6 1/2
√3
√3
2
3
45° π/4 √2
1
√2
2
2
60° π/3 √3
1/2
√3
2
90° π/2
1
0
no
Si osservi che tang 90° non esiste, essendo il rapporto tra sen 90° (che è 1) e cos 90° (che
è zero); ma un numero diviso per zero non ha significato.2
4.
Periodicità delle funzioni trigonometriche
È facile osservare che le funzioni trigonometriche fin qui esaminate ripetono i loro valori
non appena α ha superato un certo valore.
E precisamente il seno e il coseno al variare di α da 0 a 2π assumono determinati valori;
quando α riprende ad aumentare oltre 2π, il seno e il coseno tornano ad assumere per 2π +
α gli stessi valori che avevano assunto per α. Si dice allora che la periodicità di sen α e di
cos α è 2π.
La tangente, invece, ripete i suoi valori dopo che α ha superato π, cioè tang (π + α) = tang
α. Quindi la periodicità di tang α è π.
5.
Risoluzione dei triangoli rettangoli
Le tre funzioni trigonometriche sopra definite consentono di risolvere semplici problemi
di geometria relativi ai triangoli rettangoli.
2
In quanto non esiste numero che moltiplicato per zero dia 1.
6/9
trigonometria.docx
C
Problema N.1:
Un triangolo rettangolo ABC, retto in B, ha
l'angolo in A di 20° e l'ipotenusa di 10 metri.
Quanto misura il cateto opposto all'angolo A?
10
20°
A
B
Si osservi che questo triangolo è del tutto analogo al triangolo OHP della fig. 1. Se allora
applichiamo a questo triangolo la definizione di seno possiamo scrivere.
PH
senα = PO
da cui si ricava la formula di frequentissimo impiego:
PH = POsen𝛼
(7)
che si può così enunciare:
Il cateto di un triangolo rettangolo è dato dall'ipotenusa moltiplicata per il seno
dell'angolo opposto al cateto da determinare.
Nel nostro caso, visto che, per la (2) 20° sono 20 π /180=0,349066 rad, abbiamo:
BC = AC sen α=10 sen 0,349066 = 10·0,34 = 3,4 m
C
nat
pia
A
no
li
inc
o
40°
Problema N.2:
Un piano inclinato forma con il piano
orizzontale un angolo di 40°. Sapendo che la
misura della sua proiezione sul piano
orizzontale misura 4 metri, quant'è la
lunghezza del piano inclinato?
piano orizzontale
B
Dalla (3) si può ricavare un'altra formula di frequentissimo impiego:
HO = PO cos α
(8)
che si può così enunciare:
Un cateto di un triangolo rettangolo è dato dall'ipotenusa moltiplicata per il coseno
dell'angolo adiacente al cateto da determinare.
Nel nostro caso:
AB=AC cos 40°
4 = AC 0,766
da cui AC = 5,22 metri.
7/9
trigonometria.docx
Problema N 3:
Un albero AC giacente su un piano orizzontale, è visto
da un osservatore posto nel punto B che si trova a 12
metri dal piede dell'albero, con l'occhio per terra, sotto
un angolo di 50°. Quant'è l'altezza dell'albero?
C
h
PH = OH tang α
(9)
50°
Dalla (5) e con riferimento alla fig. (1) si ricava un'altra
formula di frequentissimo impiego:
A
12 m
B
che si può così enunciare:
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente
dell'angolo opposto al cateto da determinare.
Nel nostro caso il cateto da determinare è AC; quello noto è AB e vale 12 metri, l'angolo
opposto ad AC misura 50°.
Quindi:
AC=AB tang 50° = 12 1,19 = 14,3 metri
* * *
Come si vede queste tre formule consentono di "risolvere" un triangolo rettangolo, nel
senso che, noti due elementi (un lato ed un angolo), si possono determinare tutti gli altri.
6.
Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche
Su un asse orizzontale rappresentiamo i valori dell'angolo α in gradi (o in radianti), verso
destra i valori positivi e verso sinistra i valori negativi; su quello verticale rappresentiamo
i valori di sen x, cos x e tang x. Verso l'alto i valori positivi e verso il basso i valori
negativi.
8/9
trigonometria.docx
3
2
1
sen x
cos x
0
0
2
4
6
8
10
12
tang x
-1
-2
-3
x
Fig. 3
Un punto determinato da un valore di x e dal suo corrispondente di sen x (o di cos x, o di
tang x) è un punto del diagramma di sen x (o di cos x, o di tang x).
Come si vede in fig. 3, il diagramma di sen x comincia dal valore zero per x=0, cresce
fino a raggiungere il valore 1 per x=90°, decresce fino a -1, valore raggiunto per α=270°
ed infine ritorna al valore zero raggiunto per x=360°. Per x>360° ripete nuovamente il
ciclo: è per questo che la sinusoide ha periodicità di 360° (cioè 2π).
Il diagramma del coseno ha un andamento simile a quello del seno, solo che si sviluppa in
anticipo di 90° rispetto al seno. Per esempio, il valore massimo viene raggiunto dal
coseno per x=0, mentre dal seno viene raggiunto per x=90°.
Il diagramma della tangente ha un andamento profondamente diverso. Infatti:
1. per x=90° il diagramma non esiste (ricordare la definizione di tang α)
2. a mano a mano che ci si avvicina a 90° da sinistra, i valori di tang x diventano
sempre più grandi;
3. a mano a mano che ci si avvicina a 90° da destra, i valori di tang x diventano
sempre più grandi in valore assoluto, ma negativi;
4. Il diagramma di tang x si ripete ogni 180°; la sua periodicità, cioè, è di 180° (cioè
di π).
9/9