INDICETORI DI TENDENZA CENTRALE E DI DISPERSIONE

INDICETORI DI TENDENZA CENTRALE E DI DISPERSIONE
MODA: l'unico modo che è tipicamente indicato per sintetizzare dati qualitativi.
 Il valore della X che presenta frequenza più elevata.
 Se si anno i dati suddivisi in classi la moda è rappresentata dall' Xc della classe con più alta frequenza.
MEDIA ARITMETICA: si ottiene sommando tutti i valori i X e dividendo per il numero di osservazioni. Si indica di
solito con X oppure con m.
 Per dati non raggruppati:
X=X
N
 Per dati distribuiti in frequenza:

X = X*f
N
Per dati raggruppati n classi:
X = Xc*f
N
MEDIANA: la mediana e quel valore che divide la distribuzione in due parti uguali:

Per dati non raggruppati:
1. Ordinare in senso crescente i valori;
2. Calcolare la posizione occupata dalla mediana, cioè dove si trova la metà della distribuzione:
PosMe = (N+1)/2
3. Cercare, nella distribuzione ordinata il valore di X che occupa la posizione.

Per dati in distribuzione di frequenza:
1. Si calcola la PosMedia = (N+1)/2;
2. Si calcola la colonna delle fcum;
3. Si cerca in quest'ultima colonna il valore fcum che contiene PosMe;
4. Si vede a quale valore di x corrisponde la fcum individuata.

Per dati raggruppati in classi:
1. Si calcola PosMe che per n abbastanza grande : PosMe=N/2;
2. Si cerca nella colonna delle fcum quella che contiene PosMe;
3. Si individua la classe corrispondente;
4. Si calcola il valore preciso: con la formula generica (1a)applicata alla mediana
Mediana = XllLimRealinf + (PosMe - fllcum della classe precedente) * (ampll ampiezza classe)
Fi
QUANTILI
Si tratta di indici di posizione all'interno di una distribuzione simili alla mediana i più usati sono:



QUARTILI: sono i tre valori che dividono la distribuzione in quattro parti, ciascuna con il 25% de soggetti (1/4
di N);
1. PosQ1 = [(N+1)/4]*1; PosQ1 = [(N+1)/4]*2; PosQ1 = [(N+1)/4]*3;
2. Si prende il valore di X alla posizione risultante per ogni PosQi.
N.B. In caso di distribuzione in frequenza si usa la formula 1a .
DECILI : Sono i 9 valori che dividono la distribuzione in dieci parti, ciascuna con il 10% dei soggetti;
1. PosD1=[(N/10)*1]; PosD2=[(N/10)*2]…………. PosD9=[(N/10)*9];
2. Si prende il valore di X alla posizione risultante per ogni PosDi
N.B. In caso di distribuzione in frequenza si usa la formula 1a .
PERCENTILI: sono i 99 valori (P1,P2,……..P99) che dividono la distribuzione in 100 parti, ciascuna con lo 1%
dei soggetti.
1. PosP1=[(N/100)*1]; PosP2=[(N/100)*2]…………. PosP99=[(N/100)*99];
2. Si prende il valore di X alla posizione risultante per ogni PosPi
N.B. In caso di distribuzione in frequenza si usa la formula 1a .
MISURE DI DISPERSIONE
Si tratta di misurare quanto i dati si disperdono intorno alla media.
Misure di variabilità o dispersione:
1. Scostamento dalla media o scarto (X- media ), se si sommano e si dividono per n si ottiene la
media degli scostamenti ma visto che per definizione di X, verrebbe sempre 0 si eleva, quindi,
al quadrato ciascuno scostamento ottenendo così la Devianza che è la somma degli scarti al
quadrato. Dividendo la devianza per n si avrà la media degli scarti al quadrato cioè la Varianza.
2. La varianza per come è strutturata non può mai essere negativa.
3. Ora estraendo la radice quadrata della varianza si otterra lo scarto quadrtico medio,
s = X- media2
N
Formula abbreviata
Si dimostra che le due formule sono equivalenti
s = X 2 f
- media 2
N
N.B Se si ha una distribuzione in frequenza s = X- media2 fi
N
Se si ha una distribuzione in classi
s=
Xc- media2 fi
N
ASIMMETRIA E CURTOSI
Asimmetria:
Quanto una distribuzione si discosta da una forma simmetrica. La simmetria di distribuzione si misura con un
indice che tiene conto dei valori di media , mediana e s.q.m..
As = 3 (media - Mediana)
S
Asimmetria (-) media < mediana < moda e le frequenze più elevate si trovano per i valori di X più alti.
Asimmetria (-) moda < mediana < media e le frequenze più elevate si trovano per i valori di X più alti.
Curtosi
Indica la misura in cui la distribuzione si allontana dalla forma a "campana "(distribuzione normale che ha
curtosi = 0);
Se s è piccolo, la distribuzione è più appuntita, perché i punteggi X sono più raggruppati intorno alla media "code corte"
si dice Leptocurtica e il valore è negativo.
Se s è grande, la distribuzione è più "schiacciata" perchè i punteggi sono più distanti dalla media "code lunghe" si dice
Platicurtica e il valore è positivo.
Curtosi =  [(Xi -media)/s]4
N
MISURE DI DISPERSIONE
La standardizzazione delle misure serve a ad avere un'idea chiara della posizione che assume il
soggetto all'interno del gruppo di cui fa parte.
Cioè riferire la misura ad una scala standard di cui sono noti i parametri.
La più usata i psicologia è la scala standard e si indica con z, che ha media = 0 e scarto =1
La formula Z= (Xi - media) / s
Z esprime il punteggio in termini di distanza dalla media rapportandola però all scarto che assume così il
ruolo di unità di misura. Z esprime la posizione del soggetto al di sopra o al di sotto della media, in termini di
s.q.m..
Scala T
La scala T può assumere valori positivi più o meno da 10 a 90 e ha media =50 e s=10;
La formula T= 50 + 10 ( z )
Scala sten (standard ten)
Attraverso una trasformazione lineare di z consente di ottenere 10 categorie standardizzate di
punteggi e ha medi = 5.5 e s=2;
La formula sten = 5.5 + 2 * z
Scala stanine (standard nine)
Attraverso una trasformazione lineare di z consente di ottenere 9 categorie standardizzate di punteggi
e ha media=5 e s=2;
La formula stanine = 5 + 2 * z