FUNZIONI CONTINUE E SEMICONTINUE

Capitolo 5
FUNZIONI CONTINUE E
SEMICONTINUE
5.1
DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETA’
Siano E ed F due spazi metrici con metriche d e δ; sia f una applicazione di E in F .
Definizione 5.1.1. Si dice che f è continua nel punto x◦ ∈ E se ∀ ε > 0 esiste un η > 0 tale che
x∈A
e
d(x, x◦ ) ≤ η =⇒ δ(f (x), f (x◦ )) ≤ ε .
(5.1)
Ciò è equivalente a dire che f è continua in x◦ se per ogni sfera I(f (x◦ ), ε) in F esiste una sfera
I(x◦ , η) in E tale che
x ∈ I(x◦ , ε) =⇒ f (x) ∈ I(f (x◦ ), ε)
(5.2)
oppure:
per ogni intorno U di f (x◦ ) in F , esiste un intorno V di x◦ in E tale che
x ∈ V =⇒ f (x) ∈ U .
(5.3)
La prima definizione di continuità fa intervenire essenzialmente la metrica, la terza definizione
invece fa intervenire soltanto la nozione di intorno e mostra come la continuità sia una proprietà
topologica.
Se l’applicazione f non è continua in x◦ si dice che f è discontinua in x◦ . Se f è continua in
ogni punto di E dice che f è continua in E.
Si dimostrano facilmente le seguenti proposizioni:
(I) f è continua nel punto x◦ ∈ E se e solo se ogni intorno U di f (x◦ ) ha come immagine inversa
f −1 (U ) un intorno di x◦ .
(II) f è continua in E se e solo se ogni aperto A ⊂ F ha come immagine inversa f −1 (A) un
aperto di E.
Dimostrazione di (I) Supponiamo f continua in x◦ allora per ogni intorno U di f (x◦ ) esiste un
intorno V di x◦ tale che f (V ) ⊂ U . Quindi f −1 (U ) ⊃ V e pertanto f −1 (U ) è intorno di x◦ . Il
viceversa è ovvio.
Dimostrazione di (II) Sia A un aperto di F e sia f continua in A. Consideriamo f −1 (A);
dire che questo insieme è aperto equivale a dire che se f (x) ∈ A esiste una sfera I(x, ε) tale che
f (I(x, ε)) ⊂ A.
Poiché A è aperto e quindi intorno di f (x), per definizione di continuità in x, esiste una sfera
I(x, ε) tale che f (I(x, ε) ⊂ A.
Viceversa, supponiamo che
A aperto di F
f −1 (A) aperto di E.
=⇒
99
100
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
Fissiamo un punto x◦ in E e una sfera I(f (x◦ ), ε) aperta. La immagine inversa f −1 (I(f (x◦ ), ε))
sarà un aperto che contiene x◦ e quindi un intorno di x◦ . Quindi f è continua in x◦ .
Potrà succedere che f non sia definita su tutto E ma soltanto su un sottoinsieme A ⊂ E. Poiché
un sottoinsieme di E è uno spazio metrico con la distanza indotta da E, le definizioni precedenti
restano valide pur di sostituire gli intorni di x◦ in E con gli intorni di x◦ in A. In concreto: una
funzione f : A → F è continua in x◦ ∈ A se per ogni intorno U di f (x◦ ) in F esiste un intorno
V di x◦ in E tale che
x∈V ∩A
=⇒
f (x) ∈ U .
(5.4)
Un punto x◦ ∈ A può essere un punto isolato di A oppure un punto di accumulazione per A .
Nel primo caso ogni funzione f : A → F è continua in x◦ perché è possibile scegliere un intorno
V di x◦ tale che V ∩ A = {x◦ } e quindi
f (V ∩ A) = {f (x◦ )} ⊂ U
per ogni intorno U di f (x◦ ).
Se invece x◦ è un punto di accumulazione per A, confrontando la definizione di continuità in x◦
con la definizione di limite per x → x◦ , si constata facilmente che
(i) f è continua in x◦ se e solo se lim◦ f (x) = f (x◦ ).
x→x
(ii) f converge per x che tende a x◦ e ha per limite L se e solo se la funzione f˜

per x ∈ A − {x◦ }
 f (x)
˜
f (x) =

L
per x = x◦
è continua nel punto x◦ .
Siano E, F , G tre spazi metrici, sia f una applicazione di E in F e g una applicazione di F in
G.
Teorema 5.1.2. Se f è continua nel punto x◦ ∈ E e g è continua nel punto y ◦ = f (x◦ ) ∈ F
allora h = g ◦f è continua nel punto x◦ .
Dimostrazione Sia U un intorno di g(y ◦ ) in G; poiché g è continua in y ◦ , esiste un intorno W
di y ◦ in F tale che
y ∈ W =⇒ g(y) ∈ U .
(5.5)
D’altra parte f è continua in x◦ e quindi esiste un intorno V di x◦ in E tale che
x∈V
=⇒ f (x) ∈ W .
(5.6)
Da (5.5) e (5.6) segue che
x∈V
=⇒ g(f (x)) ∈ U .
Quindi h = g ◦f è continua in x◦ .
Corollario 5.1.3. Se f è continua in E e g è continua in F allora l’applicazione composta h = g ◦f
è continua in E.
***
Consideriamo il caso particolare in cui E = F = R, cioè il caso in cui f è una funzione reale di
una variabile reale. Supponiamo che f sia definita su un insieme A ⊂ R e che x◦ ∈ A.
In accordo con la definizione data precedentemente, f è continua nel punto x◦ se per ogni ε > 0
esiste un δ > 0 tale che
x∈A e
|x − x◦ | < δ =⇒ |f (x) − f (x◦ )| < ε .
(5.7)
Se x◦ è un punto di accumulazione per A, f è continua in x◦ se e solo se lim◦ f (x) = f (x◦ ).
x→x
Questa osservazione è importante perché permette di dedurre molte proprietà delle funzioni reali
continue dai teoremi relativi alle funzioni reali convergenti che abbiamo dimostrato a suo tempo.
Per esemplificare elenchiamone alcune:
5.1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETA’
101
Teorema 5.1.4. Se la funzione f : A → R è continua nel punto x◦ ∈ A e se f (x◦ ) 6= 0, esiste un
intorno V di x◦ tale che
segno di f (x) = segno di f (x◦ )
∀x ∈ V ∩ A .
(5.8)
◦
Teorema 5.1.5. Se f e g sono funzioni reali definite in A e continue nel punto x ∈ A allora
f +g ,
fg,
con λ ∈ R
λf
sono funzioni continue in x◦ . Se è g 6= 0 in A anche
f
è continua in x◦ .
g
Teorema 5.1.6. Se f : A → R è continua in x◦ ∈ A anche |f | è continua in x◦ .
Teorema 5.1.7. Se f e g sono funzioni reali definite in A e continue in x◦ anche
f ∨g
f ∧g
e
◦
sono continue in x .
Teorema 5.1.8. Se f : A → R è continua in x◦ ∈ A e se B è sottoinsieme di A il quale contiene
x◦ allora f|B è continua in x◦ .
Teorema 5.1.9. Se f : A → R è continua in x◦ ∈ A, f è limitata in un intorno di x◦ .
I teoremi 5.1.5 e 5.1.7 assicurano che il sottoinsieme di RA costituito dalle funzioni continue
nel punto x◦ ∈ A è una sottoalgebra di RA e un reticolo.
Esempi:
(I) La funzione f : R → R, f (x) = x è continua in ogni punto di R. Infatti ∀ x◦ ∈ R
lim = x◦ .
x→x◦
(II) Una funzione costante è continua, quindi è continua anche la funzione
f (x) = 3 x2 + 2 .
f : R→R,
Infatti x → x è continua quindi x → x2 = x · x è continua, quindi x → 3 x2 è continua, quindi
x → 3 x2 + 2 è continua.
Più in generale sono funzioni continue su R i polinomi in x.
(III) Le funzioni f , g, h definite in [−1, 1] nel seguente modo


se x 6= 0
se x ≥ 0
 1
 1
f (x) =
g(x) =


0
se x = 0
−1
se x < 0

1


x
h(x) =


0
sono tutte e tre discontinue nel punto x = 0.
h
f
g
1
−1
−1
0
1
−1
0
−1
1
0
1
se x 6= 0
se x = 0
102
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
(IV) Le funzioni x → sen x e x → cos x, definite su R, sono continue in ogni punto di R
Infatti si ha la maggiorazione
0 ≤ | sen x| ≤ |x|
◦
Quindi, se x è un punto fissato di R, risulta
x − x◦ x + x◦
x − x◦ ◦
| sen x − sen x◦ | = 2 cos
≤
2
sen
2 = |x − x |
2
2 x − x◦ x + x◦
x − x◦ ◦
≤
2
| cos x − cos x◦ | = 2 sen
sen
2 = |x − x |
2
2 Ne segue che
lim (sen x − sen x◦ )
x→x◦
◦
lim (cos x − cos x )
x→x◦
=
0
=
0
Definizione 5.1.10. Una funzione reale f definita su un insieme A ⊂ R si dice semicontinua
superiormente (inferiormente) nel punto x◦ se ∀ ε > 0 esiste un intorno V di x◦ tale che ∀ x ∈ V ∩A
f (x) < f (x◦ ) + ε
[f (x) > f (x◦ ) − ε] .
(5.9)
Si dice che f è semicontinua superiormente (inferiormente) in A se è semicontinua superiormente
(inferiormente) in ogni punto di A.
Riferendoci all’esempio III, la funzione f è semicontinua inferiormente nel punto 0, la funzione
g è semicontinua superiormente nel punto 0, la funzione h non è né semicontinua superiormente
né semicontinua inferiormente nel punto 0.
Appare quindi chiaro che una funzione discontinua in un punto x◦ non è necessariamente
semicontinua. E’ altresı̀ evidente che f : A → R è continua nel punto x◦ ∈ A se e solo se f è
semicontinua tanto superiormente che inferiormente in x◦ . Si dimostrano facilmente le seguenti
proposizioni nelle quali si suppone che x◦ sia di accumulazione per A:
(I) f è semicontinua superiormente in x◦ se e solo se
lim00 f (x) ≤ f (x◦ )
x→x◦
(II) f è semicontinua inferiormente in x◦ se e solo se
lim0
x→x◦
5.2
f (x) ≥ f (x◦ ) .
TEOREMI SULLE FUNZIONI REALI CONTINUE E
SEMICONTINUE
Un insieme A della retta reale si chiama connesso se
a, b ∈ A
=⇒
[a, b] ⊂ A .
(5.10)
In altri termini, se A contiene i punti a e b allora A contiene tutto l’intervallo chiuso [a, b]. Gli
insiemi connessi della retta reale sono (oltre a R) gli intervalli e le semirette.
Indichiamo con C◦ (A) l’insieme delle funzioni reali definite in A e continue in A. C◦ (A) è uno
spazio vettoriale reale, un’algebra e un reticolo.
Teorema 5.2.1. Se A è un sottoinsieme connesso di R e f ∈ C◦ (A) l’immagine f (A) è connessa.
5.2. TEOREMI SULLE FUNZIONI REALI CONTINUE E SEMICONTINUE
103
Dimostrazione Siano h e k due elementi di f (A), per fissare le idee h < k; dobbiamo dimostrare
che
h<λ<k
=⇒
λ ∈ f (A) .
(5.11)
Esistono due elementi a e b appartenenti ad A tali che
h = f (a)
e
k = f (b) .
Supponiamo a < b. Poiché A è connesso, l’intervallo chiuso [a, b] è contenuto in A. Poniamo
E = {x : x ∈ [a, b] , f (x) < λ} .
L’insieme E non è vuoto perché a ∈ E. Sia
x◦ = sup E .
Evidentemente x◦ ∈ [a, b]
1
(5.12)
quindi f è definita e continua in x◦ . Affermiamo che
f (x◦ ) = λ .
(5.13)
Se fosse f (x◦ ) < λ allora sarebbe x◦ < b e, per la continuità di f in x◦ , esisterebbe un intervallo
[x◦ , x◦ + δ] ⊂ [a, b], con δ > 0, tale che
∀ x ∈ [x◦ , x◦ + δ] .
f (x) < λ
Ciò è assurdo perché contraddice la (5.12).
Analogamente, se fosse f (x) > λ, sarebbe x◦ > a e, per la continuità di f in x◦ , esisterebbe un
intervallo [x◦ − δ, x◦ ] ⊂ [a, b], con δ > 0, tale che
∀ x ∈ [x◦ − δ, x◦ ] .
f (x) > λ
Anche questo è assurdo perché contraddice la (5.12). Quindi (5.13) è vera.
Dal teorema ora dimostrato si deducono alcuni semplici corollari:
Corollario 5.2.2. Sia f una funzione reale definita e continua sull’intervallo [a, b]. Se
f (a) f (b) < 0
esiste almeno un x ∈ (a, b) tale che
(5.14)
2
f (x) = 0 .
Infatti l’ipotesi (5.14) equivale a dire che f assume valori di segno opposto in a e b. Supponiamo
ad esempio f (a) < 0 < f (b). Per il teorema 5.2.1 è [f (a), f (b)] ⊂ f ([a, b]) e quindi 0 ∈ f ([a, b]).
Corollario 5.2.3. Sia A connesso, f ∈ C◦ (A), inf f < 0 e sup f > 0.
A
3
Esiste almeno un punto
A
x ∈ A in cui f (x) = 0.
Infatti, per definizione di estremo superiore e inferiore, esistono due punti x1 e x2 ∈ A tali che
f (x1 ) < 0 < f (x2 ) .
Poiché A è connesso, l’intervallo di estremi x1 e x2 appartiene ad A e siamo ricondotti alla situazione
del corollario 5.2.2.
Corollario 5.2.4. Sia A connesso e f ∈ C◦ (A). Allora
inf f < λ < sup f
A
1 Perché
=⇒
A
x◦ è aderente ad [a, b] e questo intervallo è chiuso.
< 0 =⇒ 0 ∈ f ([a, b]).
2 f (a) f (b)
3 In
particolare potrebbe essere inf f = −∞ e sup f = +∞.
A
A
λ ∈ f (A) .
(5.15)
104
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
In altri termini f assume tutti i valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo
inferiore in A. Infatti devono esistere almeno due punti x1 e x2 di A tali che
inf f ≤ f (x1 ) < λ < f (x2 ) ≤ sup f .
A
A
Poiché A è connesso, f (A) è connesso e quindi
[f (x1 ), f (x2 )] ⊂ f (A) .
In particolare λ ∈ f (A).
Teorema 5.2.5. Se A è un sottoinsieme compatto di R e f ∈ C◦ (A) allora f (A) è compatto.
Dimostrazione Sia n → yn una successione reale a valori in f (A). Dobbiamo dimostrare che da
questa successione se ne può estrarre una convergente a un elemento di f (A) (cfr. paragrafo 12,
cap. IV). Esiste una successione {xn } in A tale che
∀n ∈ N
f (xn ) = yn
A è compatto, quindi da {xn } si può estrarre una successione {x∗n } convergente a un elemento x◦
di A
lim x∗n = x◦ .
n→∞
A questo punto interviene l’ipotesi che f sia continua in A (in particolare in x◦ ) per cui
lim f (x∗n ) = f (x◦ ) ∈ f (A) .
n→∞
Il teorema è dimostrato in quanto {f (x∗n )} è una successione estratta da {yn }.
Teorema 5.2.6. (di Weierstrass) Se A è un sottoinsieme compatto di R e f ∈ C◦ (A) allora f
assume in A un valore massimo e un valore minimo. 4
Dimostrazione Dal teorema 5.2.5 sappiamo che f (A) è compatto e quindi è limitato e chiuso.
Allora
−∞ < inf f ≤ sup f < +∞ .
A
A
D’altra parte inf f e inf f sono punti aderenti a f (A) e quindi appartengono a f (A) in quanto f (A)
A
A
è chiuso.
Il teorema di Weierstrass costituisce una proprietà molto importante delle funzioni continue.
E’ facile vedere con esempi che se si toglie l’ipotesi che A sia compatto il teorema 5.2.6 può non
essere vero. 5 Si considerino ad esempio queste due funzioni
π π
.
(1) f : x → tang x definita e continua sull’intervallo limitato ma aperto − ,
2 2
(2) g : x → x definita e continua sull’insieme chiuso, ma non limitato, [0, +∞).
f
0
g
0
4 Ciò
significa che esistono almeno due punti x◦ , y ◦ ∈ A tali che
f (x◦ ) = sup f ,
A
f (y ◦ ) = inf f
A
5 Ciò significa che si possono trovare funzioni continue per le quali il teorema è ancora vero e funzioni continue
per le quali il teorema non è vero.
5.2. TEOREMI SULLE FUNZIONI REALI CONTINUE E SEMICONTINUE
105
La prima funzione non ha né massimo né minimo, la seconda ha minimo ma non ha massimo.
Per le funzioni semicontinue si può dimostrare un teorema di Weierstrass in una forma più
debole.
Teorema 5.2.7. Se A è un sottoinsieme compatto di R e f è una funzione reale semicontinua
superiormente in A allora
sup f ∈ f (A) . 6
(5.16)
A
Dimostrazione Sia L = sup f .
L ∈ R e L è un punto aderente a f (A) (nella topologia di R).
A
Quindi esiste una successione n → yn a valori in f (A) tale che
lim yn = L .
(5.17)
n→∞
Sia {xn } una successione in A scelta in modo che f (xn ) = yn per ogni n ∈ N. A è compatto
quindi da {xn } si può estrarre una sucessione {x∗n } la quale converge a un elemento x◦ ∈ A
lim x∗n = x◦
n→∞
{f (x∗n )} è una successione estratta da {yn } e quindi per (5.17)
lim f (x∗n ) = L .
(5.18)
n→∞
La funzione f è semicontinua superiormente in x◦ quindi, fissato ε > 0, esiste un intorno U di x◦
tale che
f (x) < f (x◦ ) + ε
∀x ∈ U ∩ A .
Poiché gli x∗n appartengono, definitivamente, ad U risulta definitivamente
f (x∗n ) < f (x◦ ) + ε .
(5.19)
Da (5.18) e (5.19) segue che
f (x◦ ) ≤ L ≤ f (x◦ ) + ε .
Per l’ arbitrarietà di ε
L = f (x◦ ) .
Ragionando in modo del tutto analogo si dimostra che
Teorema 5.2.8. Se A è compatto e f : A → R è semicontinua inferiormente in A allora
inf f ∈ A .
(5.20)
A
E’ facile provare con esempi che una funzione semicontinua superiormente (inferiormente) su un
compatto A può non avere minimo (massimo) in A. Si considerino ad esempio queste due funzioni:
0
f : [0, 1] → R ,
6 In

1

 1−
x
f (x) =


0
se x 6= 0
se x = 0
altre parole, f è limitata superiormente ed ha un valore massimo in A.
f
106
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ

1


−1
x
g(x) =


0
g : [0, 1] → R ,
g
se x 6= 0
se x = 0
0
L’intervallo [0, 1] è un compatto; f è semicontinua superiormente e ha massimo 0 ma non ha
minimo; g è semicontinua inferiormente e ha minimo 0 ma non ha massimo.
5.3
FUNZIONI INVERTIBILI CON INVERSA CONTINUA
Siano A e B due sottoinsiemi di R e sia f una funzione biunivoca di A su B. In questa ipotesi f
è invertibile. La funzione f −1 è biunivoca e applica B su A. Il problema che ci poniamo è questo:
f continua su A
=⇒
f −1 continua su B ?
(5.21)
Dimostreremo che la risposta è affermativa in questi due casi:
A connesso
A compatto.
E’ facile costruire esempi di funzioni, definite su un insieme A non connesso e non compatto,
le quali sono continue su A e invertibili ma l’inversa non è continua su B = f (A).
Consideriamo l’insieme A = [0, 1] ∪ (2, 3] che non è connesso e non è compatto e consideriamo la
funzione f : A → [0, 2] definita in questo modo
f (x) =

 x

x−1
se x ∈ [0, 1]
se x ∈ (2, 3]
1
0
f è continua su A, è invertibile, ma la funzione inversa f
1.
Nel seguito, A, B, . . . , sono sempre sottoinsiemi di R.
−1
1
2
3
: [0, 2] → A non è continua nel punto
Lemma 5.3.1. Sia f : A → B una funzione continua e bigettiva. Se A è connesso f è monotona
in senso stretto.
Dimostrazione Se f non è monotona in senso stretto esistono tre punti x1 , x2 , x3 ∈ A, x1 <
x2 < x3 , tali che
f (x1 ) ≤ f (x2 ) ,
f (x2 ) ≥ f (x3 )
(5.22)
oppure
f (x1 ) ≥ f (x2 ) ,
f (x2 ) ≤ f (x3 ) .
(5.23)
Supponiamo che valga (5.22). Non può essere f (x1 ) = f (x2 ) né f (x2 ) = f (x3 ) in quanto f è
iniettiva, quindi la situazione è questa
f (x1 ) < f (x2 ) ,
f (x3 ) < f (x2 ) .
5.3. FUNZIONI INVERTIBILI CON INVERSA CONTINUA
107
Poiché A è connesso, [x1 , x2 ] ⊂ A e [x2 , x3 ] ⊂ A; inoltre f assume in [x1 , x2 ] tutti i valori compresi
tra f (x1 ) e f (x2 ) ed f assume in [x2 , x3 ] tutti i valori compresi tra f (x2 ) e f (x3 ).
Poniamo
M = max{f (x1 ), f (x3 )} .
Se λ è un numero reale che verifica la relazione
M < λ < f (x2 )
deve esistere un elemento ξ ∈ (x1 , x2 ) tale che f (ξ) = λ e deve esistere un elemento η ∈ (x2 , x3 )
tale che f (η) = λ. Ma ciò è assurdo perché f non sarebbe invertibile. In modo analogo si dimostra
che è assurda la situazione (5.23).
Lemma 5.3.2. Se f : A → B è invertibile e crescente (decrescente) anche f −1 : B → A è
crescente (decrescente).
La dimostrazione è evidente e si lascia al lettore.
E’ ormai facile dimostrare il seguente
Teorema 5.3.3. Se A è connesso e f : A → B è continua e invertibile anche f −1 : B → A è
continua.
Dimostrazione f −1 è monotona in senso stretto. Supponiamo che sia crescente. Sia y ◦ = f (x◦ )
un punto di B; poiché B è connesso (teor. 5.2.1) si ha una di queste possibilità
y ◦ è interno a B
y◦ ≤ y
∀y ∈ B
◦
y ≥y
∀y ∈ B .
(5.24)
(5.25)
(5.26)
Supponiamo che y ◦ sia interno a B. Dai teoremi relativi al limite di funzioni monotone, si deduce
che
lim◦ f −1 (y) ≤ f −1 (y ◦ ) ≤ lim◦ f −1 (y) .
y→y−
y→y+
Affermiamo che in questa relazione, anziché ≤ , vale il segno = . Con ciò la tesi è dimostrata.
Supponiamo, per assurdo, che sia
lim f −1 (y) = λ < f −1 (y ◦ ) = x◦ .
◦
y→y−
Allora l’intervallo (λ, x◦ ) non appartiene ad A.
7
D’altra parte, scelto un y ∗ < y ◦ , si ha
x∗ = f −1 (y ∗ ) < λ < x◦
e quindi, poiché A è connesso, [x∗ , x◦ ] deve appartenere ad A. Similmente se, per assurdo,
x◦ = f −1 (y ◦ ) < λ = lim◦ f −1 (y)
y→y
l’intervallo (x◦ , λ) non appartiene ad A
8
; d’altra parte, scelto y ∗ > y ◦ si ha
x∗ = f −1 (y ∗ ) > λ > x◦
e quindi, poiché A è connesso, [x◦ , x∗ ] deve appartenere ad A.
In modo analogo (anzi più semplice) si ragiona se valgono le (5.25) e (5.26) e in modo analogo
si ragiona se f −1 è decrescente anziché crescente.
7
y ≤ y ◦ =⇒ x = f −1 (y) ≤ λ y ≥ y ◦ =⇒ x = f −1 (y) ≥ λ.
≤ y ◦ =⇒ x = f −1 (y) ≤ f −1 (y ◦ ) = x◦ y ≥ y ◦ =⇒ x = f −1 (y) ≥ λ.
8y
108
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
Esempio In virtù del teorema precedente sono continue le funzioni (cfr. cap.IV, paragrafo 1,
es. 4):
h π πi
x → arcsen x ,
[−1, 1] → − ,
2 2
x → arccos x ,
[−1, 1] → [0, π]
x → arctang x ,
π π
R→ − ,
2 2
Teorema 5.3.4. Se A è compatto e f : A → B è continua e invertibile anche f −1 : B → A è
continua.
Dimostrazione Sia y ◦ un punto di B. Se y ◦ è un punto isolato di B non c’è nulla da dimostrare,
se invece y ◦ è un punto di accumulazione per B proviamo che
lim f −1 (y) = f −1 (y ◦ ) .
y→y ◦
Per far questo utilizziamo il teorema 4.12.6 del cap. IV. Sia {yn } una successione reale a valori in
B − {y ◦ } la quale converge a y ◦
lim yn = y ◦ .
(5.27)
n→∞
Poniamo
xn = f −1 (yn ) ,
x◦ = f −1 (y ◦ ) ,
Si deve dimostrare che
lim xn = x◦ .
(5.28)
n→∞
Ragioniamo per assurdo; supponiamo che (5.28) non sia vera, allora esiste un intorno V di x◦
tale che, ∀ ν ∈ N, esiste almeno un n > ν per cui xn 6∈ V . Quindi da {xn } si può estrarre una
successione {x∗n } tale che
x∗n 6∈ V
∀n ∈ N .
(5.29)
Poiché A è compatto possiamo supporre che {x∗n } converga a un punto x◦∗ ∈ A. 9 Per (5.29) risulta
x◦∗ 6= x◦ . Tenuto conto che f è continua in x◦ si ha
lim f (x∗n ) = f (x◦ ) = y ◦
n→∞
(5.30)
D’altra parte {yn∗ } = {f (x∗n )} è una successione estratta da {yn } e quindi per l’ipotesi (5.27)
lim f (x∗n ) = y ◦ .
(5.31)
n→∞
Da (5.30) e (5.31) segue che
y ◦ = y∗◦ .
Ma ciò è assurdo perché x◦∗ 6= x◦ e f è iniettiva.
5.4
FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE
Sia A un sottoinsieme di R e f : A → R una funzione continue in A. Per ogni ε > 0 e per ogni
x ∈ A esiste un numero δ(x, ε) > 0 tale che
y∈A e
|y − x| < δ(x, ε)
=⇒
|f (y) − f (x)| < ε .
(5.32)
Fissato ε > 0, la funzione δ(x, ε) non è univocamente determinata in quanto se δ rende vera la
proposizione (5.32) per ogni δ 0 che verifichi la relazione 0 < δ 0 < δ la proposizione (5.32) è ancora
vera.
9 Se {x∗ } non converge si può estrarre una sottosuccessione {x∗∗ } la quale converge e allora si ragiona su
n
n
quest’ultima successione.
5.4. FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE
109
Il quesito che ci poniamo è questo: ∀ ε > 0 è possibile scegliere la funzione positiva x → δ(x, ε)
in modo che essa sia costante su A? In altre parole: ∀ ε > 0 esiste almeno una funzione positiva
x → δ(x, ε) che rende vera la proposizione (5.32) ed è tale che
inf δ(x, ε) > 0 ?
(5.33)
A
Si vede facilmente con esempi che per certe funzioni la cosa è possibile e per altre non è possibile.
Si consideri la funzione f : R → R, f (x) = x; f è continua su R inoltre ∀ ε > 0 e ∀ x ∈ R
|y − x| < ε =⇒ |f (x) − f (y)| = |x − y| < ε .
Quindi, per ogni ε > 0, si può scegliere la funzione x → δ(x, ε) = ε costante. Si consideri invece la
funzione g : R → R, g(x) = x2 . Anche questa funzione è continua su R; fissato ε > 0 supponiamo
che esista un δ(ε) > 0 tale che ∀ x ∈ R
|x − y| < δ(ε) =⇒ |x − y| · |x + y| < ε .
Posto x − y = h, si avrebbe
|h| < 0δ(ε) =⇒ |h| · |h + 2 x| < ε
∀x ∈ R .
Ciò è assurdo perché
lim |h| · |h + 2 x| = +∞ .
x→+∞
Definizione 5.4.1. Una funzione reale f : A → R si dice uniformemente continua in A se ∀ ε > 0
esiste un δ(ε) > 0 tale che per ogni coppia di punti x, y ∈ A che verificano la relazione |x−y| < δ(ε)
risulta |f (x) − f (y)| < ε. In simboli
x, y ∈ A
e
|x − y| < δ(ε)
=⇒
|f (x) − f (y)| < ε .
(5.34)
Una funzione uniformemente continua su A è anche continua su A mentre il viceversa non è vero
come si può dedurre dall’esempio dato pocanzi.
Si possono dare delle condizioni sufficienti a garantire la uniforme continuità.
Una funzione f : A → R si dice hölderiana di ordine α > 0 in A se esiste una costante positiva
M tale che
|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|α
∀ x, y ∈ A .
(5.35)
Se f è hölderiana in A allora f è uniformemente continua in A. La dimostrazione è immediata:
∀ ε > 0 scegliamo
ε α1
,
δ(ε) =
M
ne viene che
x, y ∈ A e
|x − y| < δ(ε)
=⇒
|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|α ≤ M δ α (ε) = ε .
Assai importante è il seguente teorema di Heine:
Teorema 5.4.2. Se A è un insieme compatto, ogni funzione f : A → R continua in A è anche
uniformemente continua.
Dimostrazione Ragioniamo per assurdo. Supponiamo che f non sia uniformemente continua in
A; allora esiste un ε > 0 tale che, comunque si scelga δ > 0, si può trovare una coppia di punti x,
y ∈ A per cui
|x − y| < δ
e |f (x) − f (y)| > ε .
In particolare, scelto δ =
1
, esiste per ogni n ∈ N una coppia di punti xn , yn ∈ A tali che
n
|xn − yn | <
1
n
e
|f (xn ) − f (yn )| > ε .
(5.36)
110
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
Poiché A è compatto dalla successione {xn } si può estrarre una successione {xnk } la quale converge
a un elemento x◦ ∈ A
lim xnk = x◦ .
(5.37)
k→∞
La condizione
|xnk − ynk | <
1
nk
∀k ∈ N
assicura che anche {ynk } converge a x◦ quando k → +∞
10
lim ynk = x◦ .
(5.38)
k→∞
Da (5.37) e (5.38) e dalla continuità di f in x◦ segue che
lim |f (xnk ) − f (ynk )| = 0
k→∞
e questo è incompatibile con il fatto che
|f (xnk ) − f (ynk )| > ε
Esempi.
(I) La funzione x → f (x) =
1
definita per x ∈ (0, 1] è continua ma non uniformemente continua.
x
1
0
1
(II) La funzione x → sen 2 x, x ∈ [−π, π], è uniformemente continua perché è continua e [−π, π]
è un insieme compatto.
π
−π
10 Si
osservi che nk → +∞ per k → +∞.
5.4. FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE
111
(III) La funzione x → f (x) = x2 definita per x ∈ (−1, 1) è uniformemente continua nonostante
che (−1, 1) non sia compatto.
−1
1
Le funzioni uniformemente continue hanno questa interessante proprietà di prolungabilità.
Teorema 5.4.3. Sia f : A → R una funzione uniformemente continua in A. Esiste una e una
sola funzione f ∗ , definita su A, la quale è uniformemente continua ed è un prolungamento di f . 11
Dimostrazione Sia x◦ un punto di A; esiste una successione {xn } a valori in A tale che
lim xn = x◦ .
n→∞
Affermiamo che la successione {f (xn )} è una successione di Cauchy. Infatti, fissato ε > 0 esiste un
δ(ε) > 0 tale che
x, y ∈ A e
|x − y| < δ(ε)
=⇒
|f (x) − f (y)| < ε .
(5.39)
D’altra parte, in corrispondenza di δ(ε), esiste un ν ∈ N tale che
|xn − xm | < δ(ε)
∀ n, m > ν .
Conclusione: per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N tale che
|f (xn ) − f (xm )| < ε
∀ n, m > ν .
Ne segue che la successione reale {f (xn )} è una successione di Cauchy e quindi è convergente.
Poniamo
f ∗ (x◦ ) = lim f (xn ) .
(5.40)
n→∞
Osserviamo che se {yn } è un’altra successione a valori in A la quale converge a x◦ allora
lim f (yn ) = lim f (xn ) = f ∗ (x◦ ) .
n→∞
n→∞
Infatti {xn − yn } è infinitesima e quindi esiste un 3∈ N tale che
|xn − yn | < δ(ε)
∀n > ν
(5.41)
Da (5.40) e (5.41) segue che
|f (xn ) − f (yn )| < ε
∀n > ν
quindi {f (xn ) − f (yn )} è una successione infinitesima. Il numero f ∗ (x◦ ), definito come in (5.40),
non dipende quindi dalla scelta della particolare successione {xn } convergente a x◦ . Se x◦ ∈ A tra
tutte le successioni {xn } che convergono a x◦ c’è in particolare la successione costante n → x◦ ,
∀ n ∈ N, e quindi
x◦ ∈ A
=⇒
f ∗ (x◦ ) = f (x◦ ) .
11 Ciò
significa che f|∗
A
= f.
112
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
Abbiamo cosı̀ definito in A una funzione f ∗ la quale prolunga f . Si tratta di far vedere che f ∗ è
uniformemente continua in A.
Per ogni ε > 0 esiste un δ(ε) > 0 tale che
x, y ∈ A e
|x − y| < δ(ε)
|f ∗ (x) − f ∗ (y)| = |f (x) − f (y)| < ε
=⇒
(5.42)
Se, più in generale, x, y è una coppia di elementi di A che verifica la condizione |x − y| < δ(ε)
consideriamo due successioni {xn } e {yn }, a valori in A, convergenti rispettivamente a x e a y;
{xn − yn } converge a x − y e poiché |x − y| < δ(ε) esiste un ν ∈ N tale che |xn − yn | < ∀ n > ν.
Quindi, per (5.42),
x, y ∈ A e
|x − y| < δ(ε)
=⇒
|f (xn ) − f (yn )| < ε
∀ nν .
Ne segue che
x, y ∈ A e
|x − y| < δ(ε)
=⇒
lim |f (xn ) − f (yn )| = |f ∗ (x) − f ∗ (y)| ≤ ε .
n→∞
Quindi f ∗ è uniformemente continua in A.
f ∗ è l’unico prolungamento continuo di f : supponiamo che f ∗∗ sia un altro prolungamento continuo
di f . Sia x◦ un punto di A e {xn } una successione a valori in A la quale converge a x◦ . Allora
f ∗ (xn ) = f ∗∗ (xn ) = f (xn ) ,
∀n ∈ N
e quindi
f ∗ (x◦ ) = lim f ∗ (xn ) = lim f ∗∗ (xn ) = f ∗∗ (x◦ ) .
n→∞
n→∞
Corollario 5.4.4. Se A è limitato e f : A → R è uniformemente continua allora f (A) è
limitato. 12
Dimostrazione Indichiamo con f ∗ il prolungamento continuo di f ad A che è compatto; quindi
f ∗ (A) è limitato. Ne segue che anche f (A) è limitato perché f (a) ⊂ f ∗ (A).
Si osservi che il corollario non è più vero se f è solo continua (cfr. es. I).
5.5
FUNZIONI ESPONENZIALI E FUNZIONI LOGARITMICHE
Indichiamo con R+
∗ l’insieme dei numeri reali positivi
R+
∗ = {x ; x ∈ R ,
x > 0} .
Teorema 5.5.1. Per ogni numero reale a > 0 e diverso da 1, esiste una e una sola funzione
f : R → R+
∗ continua e strettamente monotona tale che
f (x + y) = f (x) · f (y)
f (1) = a .
∀ x, y ∈ R
(5.43)
(5.44)
La funzione f , la cui esistenza è provata dal teorema 5.5.1 si chiama funzione esponenziale di
base a e si indica con il simbolo
x → ax .
Noi proveremo che x → ax è crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
12 Cioè
f è limitata in A.
5.5. FUNZIONI ESPONENZIALI E FUNZIONI LOGARITMICHE
y = ax
y = ax
1
1
0
a>1
113
0
0<a<1
Quindi la funzione x → ax è invertibile e la sua inversa è continua per il teorema 5.3.3. Questa
funzione inversa si chiama logaritmo di base a e si indica con il simbolo 13
x → loga x .
Anche il logaritmo è crescente se a > 1 ed è decrescente se 0 < a < 1. Inoltre da (5.43) e (5.44)
segue che
∀ x, y ∈ R+
∗
loga x y = loga x + loga y
loga a = 1 .
y = loga x
0
(5.45)
(5.46)
y = loga x
1
0
a>1
1
0<a<1
Ricordiamo che la potenza an , n ∈ Z, viene definita questo modo
a0
an
n
a
= 1
= a · an−1
1
=
−n
a
se n > 0
se n < 0 .
Inoltre ∀ p ∈ Z e q intero positivo si pone
p
aq =
dove
√
q
√
q
ap
è la radice aritmetica q-esima.
Lemma 5.5.2. Una funzione f : R → R la quale verifica le condizioni (5.43) e (5.44) è
necessariamente positiva.
Infatti, per (5.43), se f si annulla in un punto x ∈ R, f si annulla identicamente su R. Poiché
questo non può essere a causa di (5.44), concludiamo che è
f (x) 6= 0
∀x ∈ R .
D’altra parte
f (x) = f
x
2
+
h x i2
x
= f
.
2
2
Quindi
f (x) > 0 ,
13 Scriveremo
più semplicemente log x in luogo di loge x.
∀x ∈ R .
114
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
Lemma 5.5.3. Se f : R → R verifica le condizioni (5.43) e (5.44) allora
f (0) = 1
e
f (−x) =
1
,
f (x)
∀x ∈ R .
(5.47)
Infatti, fissato x ∈ R, si ha
f (x) = f (0 + x) = f (0)f (x) .
(5.48)
Poiché f (x) 6= 0, da (5.48) segue che f (0) = 1. Di conseguenza, ∀ x ∈ R
f (x) f (−x) = f (x − x) = f (0) = 1
e quindi f (−x) =
1
.
f (x)
Lemma 5.5.4. Se a è un numero reale positivo
1
lim a n = 1 .
(5.49)
n→∞
Supponiamo a 6= 1. Si ha, definitivamente, la doppia maggiorazione
1≤a≤n
e quindi
1
1
1 ≤ an ≤ nn .
Poiché
lim
n→∞
√
n
(5.50)
n = 1
dalla (5.50) segue la (5.49).
Se invece 0 < a < 1 ci si riconduce al caso precedente osservando che
1
>1
a
1
e
an =
1
n1
1
a
per cui
1
lim a n =
n→∞
1
n1 = 1 .
1
lim
n→∞ a
L’insieme dei numeri razionali Q si può identificare con il sottoinsieme di R costituito dai numeri
x che hanno questa proprietà: esiste un intero p e un intero positivo q tali che
x = p : q =
p
.
q
(5.51)
Ovviamente la coppia di interi (p, q) per cui vale la (5.51) non è unica. Se x ∈ Q e (p, q) è una
p
coppia di interi (q > 0) tale che x = , si pone
q
p
ax = a q .
Poiché
p0
p
p
p0
= 0 ⇐⇒ p q 0 = q p0 =⇒ a q = a q0 ,
q
q
la potenza ax è ben definita.
La funzione x → ax , x ∈ Q, verifica le condizioni (5.43) e (5.44); inoltre è crescente se a > 1 ed
è decrescente se 0 < a < 1. Questa funzione è anche continua su Q. Per dimostrare ciò basta far
vedere che, ∀ x◦ ∈ Q,
◦
lim◦ ax = lim◦ ax = ax .
x→x+
x→x−
5.5. FUNZIONI ESPONENZIALI E FUNZIONI LOGARITMICHE
115
Questi limiti destro e sinistro esistono perché x → ax è monotona; per calcolare il valore di questi
limiti basta calcolare i limiti
◦
lim ax
1
+n
◦
lim ax
e
n→∞
1
−n
n→∞
Tenuto conto del lemma 5.5.4, si ha che
◦
lim ax
1
+n
n→∞
◦
lim ax
1
−n
n→∞
◦
= ax
◦
◦
1
lim a n = ax
n→∞
= ax ·
1
lim a
◦
1
n
= ax .
n→∞
Viceversa, se f : R → R è una funzione continua la quale verifica le condizioni (5.43) e (5.44)
necessariamente la restrizione f|Q coincide con la funzione x → ax , x ∈ Q.
Incominciamo col far vedere che se x è reale e p ∈ Z allora
p
f (p x) = [f (x)] .
(5.52)
Infatti, se p > 0, da (5.43) segue che
p
f (p x) = f (x + x + . . . + x) = [f (x)] .
Se p = 0, per il lemma 5.5.3,
0
f (0) = 1 = [f (x)] .
Se p < 0, per il lemma 5.5.3,
f (p x) =
1
1
=
= f (x)p .
f ((−p) x
f (x)(−p)
Inoltre se q è un intero positivo si ha
q
q
1
=f
=a
f
q
q
e quindi
1
1
f
= aq .
q
(5.53)
Da (5.52) e (5.53) segue che ∀ p ∈ Z e q intero positivo
p h i
p
1 p
p
1
f
= f
= aq = aq
q
q
Da questa osservazione e dal fatto che Q è denso in R segue che se esiste una funzione continua
f : R → R la quale verifica le condizioni (5.43) e (5.44) allora f è necessariamente unica.
Per dimostrare che f esiste, dopo quanto si è detto sopra, basta far vedere che la funzione
x → ax , x ∈ Q, ha un prolungamento continuo f : R → R. Incominciamo col dimostrare che,
∀ n ∈ N,la funzione x → ax , x ∈ Q, è uniformemente continua sull’intervallo [−n, n] ∩ Q.
Supponiamo a > 1. Per la continuità di x → ax , x ∈ Q, risulta
lim ax = a0 = 1 .
x→0
Quindi, fissato ε > 0, esiste un δ(ε) > 0 tale che
x ∈ Q ∩ [−n, n] ,
|x| < δ(ε)
=⇒
|ax − 1| < εa−n .e che c’entra a−n ?
Ne segue che, per ogni coppia di numeri razionali x1 , x2 (x1 > x2 ) appartenenti all’ intervallo
[−n, n],
ε
|x1 − x2 | < δ(ε) =⇒ |ax1 − ax2 | = ax2 ax1 −x2 − 1 < an · n = ε .
a
116
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
Se 0 < a < 1 si ragiona in modo del tutto analogo: per ogni ε > 0 si sceglie δ(ε) in modo che
x ∈ Q ∩ [−n, n] ,
|x| < δ(ε)
=⇒
|ax − 1| < εan .
Provato questo fatto non resta che utilizzare il teorema 5.4.3: ∀ n ∈ N, la funzione x → ax ,
x ∈ [−n, n] ∩ Q, si prolunga in uno e in un sol modo mediante una funzione fn uniformemente
continua su [−n, n] ∩ Q = [−n, n]. 14 Dall’unicità del prolungamento segue che se m, n ∈ N e
m > n allora
fm (x) = fn (x) ,
∀ x ∈ [−n, n] .
Poiché ∪n [−n, n] = R, mediante il procedimento di prolungamento ora descritto, resta definita una
funzione continua f : R → R tale che
f (x) = ax ,
∀x ∈ Q
cioè resta definito un prolungamento continuo a tutto R della funzione x → ax , x ∈ Q.
Questa funzione f è monotona come x → ax , x ∈ Q, e verifica le condizioni (5.43) e (5.44). Ne
segue, per il lemma 5.5.2, che f applica R in R+
∗.
Osservazione 1 Se a = 1 l’unica funzione f : R → R+
∗ , continua, la quale verifica le condizioni
(5.43) e (5.44) è la funzione che vale costantemente 1
∀x ∈ R .
f (x) = 1 ,
Infatti, ripetendo i ragionamenti precedenti, la funzione f deve valere 1x = 1 per ogni x razionale
e quindi ha valore 1 su tutto R.
Questa funzione non è invertibi1e, pertanto non esiste la funzione logaritmica di base 1.
Osservazione 2
Se a è positivo, per ogni x, y ∈ R risulta
y
[ax ] = ax y .
(5.54)
Questa relazione è banale se a = 1 oppure se x = 0. Supponiamo a 6= 1 e x 6= 0. In tal caso è
ax > 0 e diverso da 1. Fissato x consideriamo le funzioni di y
y
y → f (y) = [ax ]
,
y → ax y
f e g sono funzioni R → R+
∗ continue e strettamente monotone inoltre ∀ y1 , y2 ∈ R
f (y1 + y2 )
f (1)
= f (y1 ) f (y2 )
= ax
quindi, per il teorema 5.5.1, f = g.
Esercizio 1
Se a > 1, allora lim ax = +∞ e lim ax = 0. Se 0 < a < 1 allora lim ax = 0
x→+∞
e lim ax = +∞.
x→−∞
x→+∞
x→−∞
I limiti sopra scritti esistono per la monotonia della funzione x → ax ; per calcolarli basta calcolare
il limite delle successioni {an } e {a−n } in quanto {n} è una successione reale che tende a +∞ e
{−n} è una successione reale che tende a −∞.
Supponiamo a > 1. Allora
an = (1 + (a − 1))n > 1 + n (a − 1) ,
∀n ∈ N
questa maggiorazione si prova facilmente. per induzione. Poiché
lim {1 + n (a − 1)} = +∞
n→∞
dalla (5.55) segue che lim an = +∞. Di conseguenza
n→∞
lim a−n =
n→∞
1
= 0.
lim an
n→∞
Se 0 < a < 1 allora
14 Si
1
e ci si riconduce banalmente ai casi precedenti.
a
ricordi che Q è denso in R.
(5.55)
5.5. FUNZIONI ESPONENZIALI E FUNZIONI LOGARITMICHE
Esercizio 2
117
Per ogni x ∈ R, a > 0, b > 0 e 6= 1 risulta
ax = bx logb a
(5.56)
Infatti
a = blogb a
e quindi, per (5.54),
Esercizio 3
x
ax = blogb a
= bx logb a .
Per ogni x ∈ R+
∗ e per ogni a, b > 0 e diversi da 1 risulta
loga x = logb x · loga b .
(5.57)
loga bx = x loga b
(5.58)
Infatti da (5.56) segue che
e quindi
loga x = loga blogb x = logb x · loga b .
x
x
1
1
= lim
1+
= e.
Esercizio 4
lim
1+
x→−∞
x→+∞
x
x
x
1
La funzione x → 1 +
è definita in {x : |x| > 1} e questo insieme ha come punti di
x
accumulazione (in R) +∞ e −∞. Indichiamo con g e h due funzioni reali definite in R+
∗ in questo
modo
[x]
1
g(x) =
1+
[x] + 1
[x]+1
1
h(x) =
1+
[x]
dove [x] è la parte intera di x, cioè il massimo intero n tale che n ≤ x. Per ogni x ∈ R+
∗ risulta
[x] ≤ x < [x] + 1 e quindi
x
1
< h(x) ,
∀ x ∈ R+
(5.59)
g(x) < 1 +
∗
x
Ricordiamo inoltre che
lim
n→∞
1
1+
n
n
= e
e quindi
lim g(x)
x→+∞
=
lim
n→∞
1+
1
n+1
n
=
lim
1+
n→∞
1
n+1
n+1 1+
1
n+1
−1
= e
(5.60)
lim h(x)
x→+∞
=
lim
n→∞
1
1+
n
n+1
=
lim
n→∞
Dalle (5.59) e (5.60) segue che
lim
x→+∞
1+
1
x
1
1+
n
n 1
1+
n
= e.
x
= e
In modo analogo si ragiona per calcolare il limite per x → −∞.
Esercizio 5
1
La funzione x → (1 + x) x è definita per x ∈ (−1, 1) − {0}. Risulta
1
lim (1 + x) x = e .
x→0
(5.61)
118
CAPITOLO 5. CONTINUITÀ
Consideriamo le funzioni
1
,
x
y
1
,
y → F (y) = 1 +
y
x → g(x) =
x ∈ (−1, 1) − {0}
|y| > 1 .
Possiamo considerare la funzione composta F ◦ g: si verifica banalmente che
1
∀ x ∈ (−1, 1) − {0}
F (g(x)) = (1 + x) x ,
inoltre
lim g(x) = −∞
lim g(x) = +∞ ,
x→0−
x→0+
Quindi
1
lim (1 + x) x
x→0+
lim (1 + x)
1
x
x→0−
Esercizio 6
=
lim F (g(x)) = lim F (y) = e
y→+∞
x→0+
=
lim F (g(x)) = lim F (y) = e
y→−∞
x→0−
Sia a > 0; consideriamo la funzione
ax − 1
definita per x ∈ R − {0}. Risulta
x
ax − 1
= log a .
x→0
x
(5.62)
lim
Se a = 1 la (5.62) è ovvia; supponiamo allora a > 0 e diverso da 1. Consideriamo queste due
funzioni
x → g(x) = ax − 1 ,
x ∈ R − {0}
y
y → F (y) =
,
y ∈ (−1, +∞) − {0} = R∗∗ .
loga (1 + y)
g applica R − 0 su R∗∗ e quindi possiamo considerare la funzione composta F ◦ g. Si verifica
banalmente che
ax − 1
F (g(x)) =
∀ x ∈ R − {0}
x
Si hanno inoltre questi fatti:
(i1 ) lim g(x) = 0;
x→0
(i2 ) g(x) è diversa da 0 in un intorno di x = 0.
(i3 ) lim F (y) = log a .
y→0
Ne segue che F ◦ g converge per x → 0 e che
ax − 1
= lim F (g(x)) = lim F (y) = log a
x→0
x→0
y→0
x
lim
Rimane solo da verificare la (i3 ):
lim F (y) = lim
y→0
y→0
1
h
loga (1 + y)
1
y
1
i =
loga lim (1 + y)
y→0
***
1
y
=
1
= log a .
loga e