a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Limiti di funzioni e continuità
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Successioni test
Siano A ⊂ R e x0 ∈ R.
Diciamo che {xn } è una successione test per x0 in A se
(a) xn ∈ A per ogni n ,
(b) xn → x0 ,
(c) xn 6= x0 per ogni n
Segue da (a) se x0 6∈ A,
in particolare se x0 ∈ {−∞, +∞}
Diciamo che {xn } è una successione test da sinistra per x0 in A se
valgono (a), (b) e
(c− ) xn < x0 per ogni n .
Diciamo che {xn } è una successione test da destra per x0 in A se
valgono (a), (b) e
(c+ ) xn > x0 per ogni n .
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Esempi
n (−1)n
n2
+3
o
è una successione test per 3 in (1, +∞)
n
1o
3 − 2 è una successione test da sinistra per 3 in (1, +∞)
n
n
1o
3 + 2 è una successione test da destra per 3 in (1, +∞)
n
nn − 1o
è una successione test da sinistra per 1 in [0, 1)
n
{n} è una successione test per +∞ in [0, +∞) e in N (da sinistra)
Osservazione
Dati A ⊂ R e x0 ∈ R, non è detto che esistano successioni test
per x0 in A. Esempi:
A = (1, +∞), x0 = 0;
A = (1, 5), x0 = +∞;
A = N, x0 = 3
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Punti di accumulazione
Siano A ⊂ R e x0 ∈ R.
Diciamo che x0 è punto di accumulazione [da sinistra, da destra] di A
se esiste almeno una successione test [da sinistra, da destra] per x0 in
A.
Osservazione
x0 è di accumulazione per A se e solo se è di accumulazione da destra
o da sinistra (alternativa non esclusiva).
Se x0 ∈ A e x0 non è punto di accumulazione di A, diciamo che
x0 è punto isolato di A.
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Esempi (da ricordare!)
1
L’insieme dei punti di accumulazione di un intervallo (limitato o
illimitato, che contiene o meno gli estremi) è formato da tutti i
punti dell’intervallo, estremi inclusi.
I punti interni sono di accumulazione sia da sinistra che da destra;
il primo estremo è di accumulazione solo da destra;
il secondo estremo è di accumulazione solo da sinistra.
2
+∞ [−∞] è punto di accumulazione di A se e solo se
A è illimitato superiormente [inferiormente].
3
L’unico punto di accumulazione di N è +∞;
ogni intero naturale è un punto isolato di N.
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Limiti di funzioni – limiti unilaterali
Siano A ⊆ R e f : A → R. Sia ` ∈ R.
Sia x0 ∈ R un punto di accumulazione da sinistra
destra per A.
Se
per ogni successione test {xn } da sinistra
destra per x0 in A
la successione {f (xn )} tende a ` per n → +∞,
• diciamo che f tende a ` per x che tende a x0 da sinistra
destra ,
• chiamiamo ` il limite sinistro
destro di f per x che tende a x0 ,
lim f (x) = `
• scriviamo
x→x0−
lim+ f (x) = `
x→x0
oppure f (x) → ` per
x → x0−
x → x0+
.
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Limiti di funzioni – limiti bilaterali
Siano A ⊆ R e f : A → R. Sia ` ∈ R.
Sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per A.
Se
per ogni successione test {xn } per x0 in A
la successione {f (xn )} tende a ` per n → +∞,
• diciamo che f tende a ` per x che tende a x0 ,
• chiamiamo ` il limite di f per x che tende a x0 ,
• scriviamo lim f (x) = ` oppure f (x) → ` per x → x0 .
x→x0
Osservazione
Se x0 ∈ R è punto di accumulazione sia da sinistra che da destra per
A, allora per x che tende a x0 la funzione f ha limite bilaterale ` se e
solo se ha limite sinistro e limite destro ed entrambi coincidono con `.
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Osservazione
Nella definizione di limite (unilaterale o bilaterale) non è richiesto che
il punto x0 appartenga al dominio A della funzione f .
Viceversa, si richiede che x0 sia punto di accumulazione per A,
cioè che esista almeno una successione test per x0 in A, ossia che
“ci si possa avvicinare quanto si vuole a x0 rimanendo in A”.
Se un punto x0 non è di accumulazione per il dominio di f , non ha
senso porsi il problema di calcolare il limite di f per x che tende a x0 .
Esempi
Stabilire se ha senso porsi il problema di calcolare il limite delle
seguenti funzioni nei punti indicati:
√
x
ln(3 − x)
− ∞ − 2.5
0
3
+∞
n
3
n!
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Osservazione
Dall’unicità del limite per successioni segue che il limite (unilaterale,
bilaterale) di una funzione, se esiste, è unico.
La seguente terminologia è analoga a quella usata per le successioni:
se ` ∈ R si dice che f converge
se ` = 0 si dice che f è infinitesima
per x che
tende a x0
se ` = +∞ si dice che f diverge positivamente
se ` = −∞ si dice che f diverge negativamente
(da sinistra, da destra, bilateralmente).
Nota: alle volte si usa infinita come sinonimo di divergente.
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Strategia per l’utilizzo della definizione di limite
Per verificare che il limite di f per x che tende a x0 esiste ed è uguale
a `, occorre:
• fissare {xn }, arbitraria successione test per x0 in A,
• considerare la successione immagine {f (xn )},
• provare che la successione {f (xn )} tende a `.
Per verificare che il limite di f per x che tende a x0 non esiste
è sufficiente determinare
• una successione test per x0 in A tale che la successione
immagine non ha limite, oppure
• due diverse successioni test per x0 in A tali che le successioni
immagine hanno limite diverso.
Per verificare che f non ammette limite bilaterale per x che tende a
x0 è sufficiente mostrare che
• almeno uno tra limite sinistro e limite destro non esiste, oppure
• esistono entrambi ma sono diversi tra loro.
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Esempi
1
Sia f (x) = c per ogni x ∈ R (funzione costante).
Per ogni x0 ∈ R si ha lim f (x) = c .
x→x0
2
1
per ogni x ∈ R∗ ; verifichiamo che
x
lim f (x) = lim f (x) = 0,
Sia f (x) =
x→+∞
x→−∞
lim f (x) non esiste.
x→0
3
4
La funzione segno, definita ponendo sign(x) :=
x ∈ R∗ , non ha limite per x che tende a 0.
(
1 se x ∈ Q
Sia f (x) =
0 se x ∈ R \ Q.
x
per ogni
|x|
Per ogni x0 ∈ R, f non ha limite per x che tende a x0 .
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Dai risultati sulle successioni ai risultati sulle funzioni
Dato che il limite di una funzione è definito mediante la nozione
di successione test, a ciascuno dei risultati sui limiti di successioni
corrisponde un analogo risultato per i limiti di funzioni.
Cominciamo con l’enunciare il risultato corrispondente al teorema sulla
regolarità delle successioni monotone.
Teorema (Regolarità delle funzioni monotone)
Sia f una funzione monotona nell’intervallo (a, b).
Allora: f ammette limite (finito o infinito) in ciascun estremo a e b .
Inoltre, se f è crescente in (a, b) si ha
lim f (x) = inf f ,
x→a+
(a,b)
lim f (x) = sup f ;
x→b −
(a,b)
se f è decrescente in (a, b) si ha
lim f (x) = sup f ,
x→a+
(a,b)
lim f (x) = inf f .
x→b −
(a,b)
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Limiti e operazioni algebriche
Teorema (Operazioni con funzioni convergenti)
Siano A ⊆ R, f , g : A → R, x0 ∈ R punto di accumulazione per A.
Supponiamo f (x) → `1 ∈ R e g (x) → `2 ∈ R per x → x0 . Allora:
(f +g )(x) → `1 + `2
regola della somma
(f −g )(x) → `1 − `2
regola della differenza
(λ f )(x) → λ `1
regola del multiplo
(λ ∈ R)
(f g )(x) → `1 `2
regola del prodotto
1
1
(x) →
f
`1
(`1 6= 0)
regola del reciproco
f
`1
(x) →
g
`2
(`2 6= 0)
regola del rapporto
Verifica . . .
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Teorema (Operazioni con funzioni divergenti)
Siano A ⊆ R, f , g : A → R, x0 ∈ R punto di accumulazione per A.
Supponiamo che f e g siano divergenti per x → x0 . Allora:
• Se le due funzioni divergono con lo stesso segno,
la funzione somma f +g diverge con lo stesso segno.
• Se λ 6= 0, la funzione multiplo λ f diverge,
con lo stesso segno di f se λ > 0,
con segno opposto se λ < 0.
• La funzione prodotto f g diverge,
positivamente se le due funzioni divergono con lo stesso segno,
negativamente se le due funzioni divergono con segni opposti.
1
è infinitesima.
• La funzione reciproco
f
Nota: come per le successioni, non c’è una regola relativa
alla differenza di funzioni che divergono con lo stesso segno,
né al rapporto di funzioni divergenti.
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Per semplificare l’esposizione dei prossimi risultati, introduciamo la
nozione di proprietà vera vicino a un punto.
Anzitutto, diamo un nome ad alcuni intervalli particolari:
x0 ∈ R
intorno sferico di x0
(x0 − δ, x0 + δ)
δ>0
intorno destro di x0
[x0 , x0 + δ)
δ>0
intorno sinistro di x0
(x0 − δ, x0 ]
δ>0
x0 = +∞
intorno di +∞
(d, +∞)
d ∈R
x0 = −∞
intorno di −∞
(−∞, d)
d ∈R
Siano A ⊆ R e x0 ∈ R.
Diciamo che una proprietà P(x) è vera in A vicino a x0 se esiste un
intorno I di x0 tale che P(x) è soddisfatta per ogni x in A ∩ I \ {x0 }.
In particolare, se I è un intorno destro [sinistro] di x0 , diciamo che la
proprietà è vera a destra [a sinistra] vicino a x0 .
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Esempi
La proprietà 3 − x 2 > 0 è vera in R vicino a 0.
La proprietà (1 − |x|) x 4 > 0 è vera in R vicino a 0.
La proprietà x −2 < 10−6 è vera in R∗ vicino a +∞ e a −∞.
Proposizione
Sia x0 ∈ R punto di accumulazione per A ⊆ R.
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(a) la proprietà P(x) è vera in A vicino a x0 ,
(b) per ogni successione test {xn } per x0 in A,
la proprietà P(xn ) è vera definitivamente.
Motivazione . . .
Questa proposizione permette di dimostrare agevolmente i teoremi
che seguono utilizzando i corrispondenti risultati per le successioni.
Forniamo i dettagli solo per il teorema di convergenza obbligata.
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Proposizione (Reciproco di una funzione infinitesima)
Siano A ⊆ R, f : A → R, x0 ∈ R punto di accumulazione per A.
Supponiamo f (x) → 0 per x → x0 . Allora:
f ha segno costante
vicino a x0
=⇒
f non ha segno costante
vicino a x0
=⇒
1
diverge,
f
positivamente o negativamente
a seconda del segno di f
1
non ha limite
f
Esempi
1
= +∞,
x→0 x 2
lim
1
non esiste
x→0 x 3
lim
E i limiti destro e sinistro?
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Limiti e relazione d’ordine
Teorema (Permanenza del segno)
Siano f : A ⊆ R → R, x0 ∈ R punto di accumulazione per A, ` ∈ R.
Si supponga f (x) → ` per x → x0 .
(1) `
>0
<0
(2) f (x)
=⇒ f (x)
>0
vicino a x0
<0
≥0
≥0
vicino a x0 =⇒ `
≤0
≤0
vale anche per ` =
+∞
−∞
stessa conclusione anche se
f (x) > 0 oppure f (x) < 0
vicino a x0
Generalizzazione del teorema PS-(2)
Siano f , g : A ⊆ R → R, x0 ∈ R punto di accumulazione per A,
`1 , `2 ∈ R. Allora:
!
f (x) → `1 e g (x) → `2 per x → x0
=⇒ `1 ≤ `2 .
f (x) ≤ g (x) vicino a x0
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Teorema (Confronto, o convergenza obbligata, o dei Carabinieri)
Sia A ⊆ R e sia x0 ∈ R punto di accumulazione per A.
Siano f , g , h : A → R tali che
(a) f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) vicino a x0 in A,
(b) f e h convergono a uno stesso limite ` per x → x0 .
Allora: anche la funzione g converge a ` per x → x0 .
Dimostrazione . . .
Teorema (Divergenza obbligata)
Sia A ⊆ R e sia x0 ∈ R punto di accumulazione per A.
Siano f , g : A → R tali che f (x) ≤ g (x) vicino a x0 .
Allora, per x → x0 :
f diverge positivamente =⇒ g diverge positivamente,
g diverge negativamente =⇒ f diverge negativamente.
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Anche per le funzioni valgono le seguenti generalizzazioni delle regole
algebriche, che si possono dimostrare a partire dagli analoghi risultati
per le successioni oppure applicando direttamente le regole algebriche
e i teoremi di convergenza e divergenza dominata per funzioni.
Ovunque si sottintende x → x0 .
f limitata vicino a x0 , g infinitesima =⇒ f g infinitesima
f limitata vicino a x0 , g divergente
=⇒
f
infinitesima
g
f divergente, g limitata vicino a x0 =⇒ f ± g divergente
f divergente, g convergente e non infinitesima =⇒ f g e f /g
divergenti
f divergente, g infinitesima con segno costante =⇒
f
divergente
g
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Forme di indecisione
Per le funzioni si presentano le medesime forme di indecisione che
per le successioni:
• differenza di funzioni che divergono con segno opposto
(forma +∞ − ∞)
• prodotto di una funzione infinitesima per una divergente
(forma 0 · ∞)
• rapporto di due funzioni divergenti (forma ∞/∞)
• rapporto di due funzioni infinitesime (forma 0/0)
Le forme di indecisione per funzioni vengono in genere risolte
• manipolando algebricamente le espressioni assegnate per
ricondursi a funzioni alle quali sia possibile applicare le regole
algebriche e le loro generalizzazioni,
• applicando strumenti del calcolo differenziale
(regola di de l’Hôpital, polinomi di Taylor).
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Continuità in un punto
Sia f : A ⊆ R → R. Sia x0 ∈ A punto di accumulazione per A.
Si dice che f è continua in x0 se
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Se f non è continua in x0 , diciamo che è discontinua in x0 oppure,
equivalentemente, che x0 è un punto di discontinuità per f .
Significato “pratico” della continuità. . .
Osservazione
A differenza che nella definizione di limite, in quella di continuità si
richiede che x0 , oltre a essere di accumulazione per il dominio di f ,
vi appartenga.
Se x0 non appartiene al dominio di f , non ha senso chiedersi se f
è continua o discontinua in x0 . Per esempio, non è corretto dire che
x0 = 0 è punto di discontinuità per la funzione reciproco f (x) = 1/x .
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Continuità a sinistra e a destra
Sia f : A ⊆ R → R.
Se x0 ∈ A è punto di accumulazione da sinistra per A, si dice che
f è continua a sinistra in x0 se
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0−
Se x0 ∈ A è punto di accumulazione da destra per A, si dice che
f è continua a destra in x0 se
lim+ f (x) = f (x0 ).
x→x0
Esempio
La funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa sono continue
a destra e non a sinistra in x ∈ Z.
Osservazione
Se x0 ∈ A è punto di accumulazione sia da sinistra che da destra
per A, f è continua in x0 se e solo se è continua sia a sinistra che
a destra in x0 .
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Continuità in un insieme
Sia A ⊆ R.
La funzione f si dice continua in A se è (definita e) continua in x ,
per ogni x ∈ A.
In particolare, se A è un intervallo dire che f è continua in A
vuole dire che f è
– continua in tutti i punti dell’intervallo aperto,
– continua a destra nel primo estremo dell’intervallo (se incluso),
– continua a sinistra nel secondo estremo dell’intervallo (se incluso).
Esempi (Catalogo - I)
Le funzioni costanti, la funzione identica e la funzione valore assoluto
sono continue in R.
Verifica . . .
( |x| − |y | ≤ |x − y | ∀x, y ∈ R)
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Punti di discontinuità e loro classificazione
Sia f : A ⊆ R → R e sia x0 ∈ A di accumulazione per A.
Supponiamo che f non sia continua in x0 .
Diciamo che x0 è un punto di discontinuità eliminabile per f se
• f converge per x → x0 ,
• lim f (x) 6= f (x0 ).
x→x0
Diciamo che x0 è un punto di discontinuità a salto finito se
• f converge per x → x0− e per x → x0+ ,
• lim f (x) 6= lim f (x).
x→x0−
x→x0+
Il numero lim f (x) − lim+ f (x) si chiama ampiezza del salto.
−
x→x0
x→x0
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Esempi
La funzione
f (x) =
x 2 se x =
6 0
2 se x = 0
ha una discontinuità eliminabile in x = 0.
Perché “eliminabile”?
In x ∈ Z, la funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa
hanno una discontinuità a salto finito, con salto di ampiezza 1.
In x = 0, la funzione
−1 se x < 0
0 se x = 0
f (x) =
1 se x > 0
ha una discontinuità a salto finito in x = 0, con salto di ampiezza 2.
Osservazione (Funzioni monotone e continuità)
Nei punti interni di un intervallo una funzione monotona presenta
al più discontinuità a salto finito. Perché?
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Osservazione
Siano A ⊆ R un intervallo, x0 ∈ A e f : A \ {x0 } → R.
Supponiamo che:
• f sia continua in A \ {x0 },
• f converga a ` ∈ R per x che tende a x0 .
La funzione f˜ : A → R, definita ponendo
(
f (x) x ∈ A \ {x0 }
f˜(x) =
`
x = x0 ,
è continua in A; essa si chiama prolungamento continuo di f in A.
Esempi
Scrivere il prolungamento continuo in R della funzione potenza con
esponente nullo.
Si può prolungare per continuità la funzione segno?
E la funzione reciproco?
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Osservazione
È utile riuscire a stabilire la continuità di una assegnata funzione senza
ricorrere alla definizione. Infatti, se la funzione f è continua in x0 , in
base alla definizione di continuità abbiamo che
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
In altre parole, per calcolare i limiti nei punti del dominio in cui una
funzione è continua è sufficiente valutare la funzione nei punti.
Obiettivo:
individuare un “catalogo” di funzioni continue nei rispettivi domini.
Strategia:
• stabilire attraverso la definizione che certe funzioni “di base”
sono continue;
• individuare dei procedimenti che permettano di ottenere nuove
funzioni continue a partire da funzioni continue.
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Operazioni con funzioni continue
La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare,
il reciproco, il rapporto di funzioni continue sono funzioni continue
nei rispettivi domini.
Segue dalla definizione di continuità e dal teorema sulle operazioni con
le funzioni convergenti.
Esempi (Catalogo - II)
Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini:
FUNZIONE
MOTIVAZIONE
potenza a esponente naturale
prodotto di funzioni continue vedi pag. 24
funzione polinomiale
combinazione lineare di funzioni continue
funzione razionale
rapporto di funzioni continue
potenza a esponente negativo reciproco di funzione continua
29 / 60
Teorema (Cambiamento di variabile nei limiti)
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un insieme A e sia x0 ∈ R punto di accumulazione per A.
Posto y0 := lim g (x), l’uguaglianza
x→x0
lim f (g (x)) = lim f (y )
x→x0
è valida in uno dei due casi seguenti:
y →y0
(anche in altri casi, che non trattiamo)
(a) y0 ∈ {−∞, +∞};
(b) y0 ∈ R e f continua in y0 .
Nel caso (b) si ha
lim f (g (x)) = f (y0 );
x→x0
in particolare, se g è continua in x0 , si ha
lim f (g (x)) = f (g (x0 )),
x→x0
cioè la funzione composta f ◦g è continua in x0 .
30 / 60
Corollario (Composizione di funzioni continue)
La funzione composta di funzioni, ciascuna continua nel proprio
dominio, è a sua volta continua nel proprio dominio.
Esempi (Catalogo - III)
Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini:
FUNZIONE
MOTIVAZIONE
seno
verifichiamo . . .
coseno
composta di funzioni continue
(cos(x) = sin(x + π/2))
tangente
rapporto di funzioni continue
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Continuità della funzione inversa
Sia A ⊆ R un intervallo e sia f : A → R strettamente monotona e
continua in A. Allora: la funzione inversa f −1 è continua in f (A).
Esempi (Catalogo - IV)
Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini:
FUNZIONE
MOTIVAZIONE
radice n-esima
inversa di funzione strettamente monotona
e continua in un intervallo
potenza a esponente
razionale m/n
composta delle√
funzioni continue
x 7→ x m , x 7→ n x (m ∈ Z, n ∈ N∗ )
arcoseno, arcocoseno,
arcotangente
inverse di funzioni strettamente monotone
e continue in intervalli
esponenziale
verifichiamo . . .
logaritmo
inversa di funzione strettamente monotona
e continua in un intervallo
potenza a esponente reale
composta di funzioni continue (x α = e α ln(x) )
32 / 60
Esercizio
Studiare la continuità delle seguenti funzioni:
f (x) =
x 3 − 2x + 1
x2 + 1
x 3 − 2bxc + 1
x2 + 1
√
3
x 3 − 2x + 1
f (x) =
x2 − 1
f (x) =
f (x) = 2(3x
2 −6x+1)/(x−1)
f (x) = |3x−1 − 6 log2 (x 2 + 1)|
f (x) =
sin(2x) − cos(x)
tan(x)
f (x) = e arctan(x) − ln(2 + arcsin(x + 3))
33 / 60
Limiti agli estremi del dominio di alcune funzioni elementari
FUNZIONE
LIMITI
MOTIVAZIONE
f (x) = ax + b
f (x) = |x|
f (x) = x n
lim f (x) =
x→∓∞
∓∞ a > 0
±∞ a < 0
lim f (x) = +∞
+∞ n pari
lim f (x) =
x→−∞
−∞ n dispari
x→∓∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x) =
1
xn
lim f (x) = 0
+∞ n pari
lim f (x) =
−
−∞ n dispari
x→0
x→∓∞
lim f (x) = +∞
x→0+
regole algebriche
caso precedente
regole algebriche
q
recipr. funz. diverg.
recipr. funz. infinit.
q
(segue)
34 / 60
FUNZIONE
f (x) =
n pari
√
n
LIMITI
x
MOTIVAZIONE
lim f (x) = 0 = f (0)
f continua, già noto
lim f (x) = +∞
funzione inversa, x ↔ y
x→0+
x→+∞
√
f (x) = n x
n dispari
lim f (x) = −∞
q
x→−∞
lim f (x) = +∞
0
x
f (x) = a
lim f (x) =
x→−∞
+∞
+∞
lim f (x) =
x→+∞
0
−∞
f (x) = loga (x)
lim+ f (x) =
+∞
x→0
+∞
lim f (x) =
x→+∞
−∞
q
x→+∞
a>1
a<1
a>1
a<1
a>1
a<1
a>1
a<1
verifica con definizione. . .
q
funzione inversa, x ↔ y
q
(segue)
35 / 60
FUNZIONE
f (x) = sin(x)
f (x) = cos(x)
f (x) = tan(x)
LIMITI
lim f (x) non esiste verifica con definizione. . .
x→∓∞
lim f (x) non esiste
q
lim f (x) non esiste
q
x→∓∞
x→∓∞
lim
f (x) = −∞
lim
f (x) = +∞
x→− π2 +
x→+ π2 −
f (x) = arctan(x)
MOTIVAZIONE
lim f (x) = −
x→−∞
lim f (x) =
x→+∞
π
2
π
2
regole algebriche
q
funzione inversa, x ↔ y
q
f (x) = arcsin(x) ?
f (x) = arccos(x) ?
36 / 60
Esercizio
Calcolare i seguenti limiti:
x +1 1
3
lim arctan
lim
+
2
x→−∞ x 4
x→2
|x − 2|
lim 2(3x
x→1
2 −6x+1)/(x−1)
lim
x→+∞
cos
x +3 x2 − 1
bxc + 3 lim sin 2
x +1
x→2−
Esercizio
1
.
Prolungare per continuità in R la funzione f (x) = x sin
x
37 / 60
Asintoti verticali e orizzontali
Sia x0 ∈ R punto di accumulazione per dom(f ).
Se f diverge per x che tende a x0 da sinistra
destra , diciamo che la retta
di equazione x = x0 è un asintoto verticale da sinistra
destra per f .
Sia x0 ∈ {−∞, +∞} punto di accumulazione per dom(f ).
Se f converge a ` per x che tende a x0 , diciamo che la retta
di equazione y = ` è un asintoto orizzontale per f .
(A sinistra se x0 = −∞, a destra se x0 = +∞.)
Esempi
Individuare gli asintoti orizzontali e verticali delle funzioni elementari.
Interpretazione grafica? Gli asintoti sono “intoccabili”?
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Osservazione
I candidati asintoti verticali per f sono le rette x = x0 con
• x0 ∈ dom(f ) punto di discontinuità di f , oppure
• x0 6∈ dom(f ) estremo finito del dominio.
Giustificare . . .
Esercizio
Determinare gli asintoti verticali e orizzontali delle seguenti funzioni:
f (x) =
3x 2 − 2x + 1
x2 + 1
f (x) =
x + 3x 2
(x − 1)2
f (x) =
x 2 + 2x − 1
x
f (x) = e x + e 1/x
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Funzioni asintoticamente equivalenti
Siano f e g due funzioni definite vicino a x0 ∈ R. Se
lim
x→x0
f (x)
= 1,
g (x)
diciamo che f e g sono asintoticamente equivalenti per x che tende
a x0 e scriviamo
f (x) ∼ g (x) per x → x0 .
Osservazioni
f e g sono asintoticamente equivalenti per x → x0 se e solo se
f (x) = g (x) h(x),
dove h è una funzione che tende a 1 per x → x0 .
Se f e g sono asintoticamente equivalenti per x → x0 , allora sono
entrambe non regolari oppure entrambe regolari per x → x0 ;
in quest’ultimo caso, hanno lo stesso limite per x → x0 .
40 / 60
Esempi
Per x → +∞:
2x 4 − x 3 + 3x 2 ∼ 2x 4
3x 2/5 − x 2/3 + 2x 4/3 ∼ 2x 4/3
Per x → 0:
2x 4 − x 3 + 3x 2 ∼ 3x 2
3x 2/5 − x 2/3 + 2x 4/3 ∼ 3x 2/5
Generalizzando gli esempi precedenti si ottiene la seguente
Proposizione
Una combinazione lineare di potenze di x con esponente positivo
è asintoticamente equivalente
• al monomio con esponente maggiore per x → +∞,
• al monomio con esponente minore per x → 0.
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Proposizione (limiti “notevoli”)
sin(x) ∼ x
ex − 1 ∼ x
arcsin(x) ∼ x
ax − 1 ∼ x ln(a)
tan(x) ∼ x
ln(1 + x) ∼ x
arctan(x) ∼ x
x
loga (1 + x) ∼
ln(a)
1 − cos(x) ∼
x2
2
(1 + x)α − 1 ∼ αx
per x → 0
Verifichiamo le equivalenze della prima colonna . . .
Osservazione
L’affermazione “il rapporto di sin(x) e x tende a 1 per x → 0 perché
sin(x) è asintoticamente equivalente a x ” non è corretta. Perché?
(Analogamente per le altre.)
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Proprietà delle equivalenze asintotiche
Transitività
Per x → x0 :
f (x) ∼ g (x)
!
=⇒ f (x) ∼ h(x)
g (x) ∼ h(x)
Prodotti e rapporti
Per x → x0 :
f1 (x) ∼ f2 (x)
!
f1 (x) g1 (x) ∼ f2 (x) g2 (x)
=⇒ f1 (x)
f2 (x)
∼
g1 (x)
g2 (x)
g1 (x) ∼ g2 (x)
Composizione
h(x) → y0 per x → x0
f (y ) ∼ g (y ) per y → y0
=⇒ f (h(x)) ∼ g (h(x)) per x → x0
f e g continue in y0 (∈ R)
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Esempi
Per x → 0:
Per x → +∞:
Per x → 0+ :
(e x − 1) sin(x) ∼ x 2
√
2x 3 − 3x − 4 x
2
√
∼ x2
3
5
5x + 7 x 2
√
4 1
2x 3 − 3x − 4 x
√
∼− √
3
7 6x
5x + 7 x 2
Per x → −1:
sin((x + 1)3 ) ∼ (x + 1)3
Per x → 0:
ln(1 + tan(x)) ∼ x
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Ordine e parte principale di infinitesimi/infiniti
Sia f una funzione infinitesima/infinita per x → x0 ∈ R.
Supponiamo che esistano c ∈ R∗ e α > 0 tali che f sia
asintoticamente equivalente a uno dei seguenti monomi:
f infinitesima
f infinita
c(x − x0 )α
c
(x − x0 )α
c
xα
c xα
x0 ∈ R
x0 ∈ {−∞, +∞}
con opportune
modifiche
se α 6∈ N
Allora α si chiama ordine di infinitesimo/infinito di f e il monomio
si chiama parte principale di f .
Esempi: “rileggere” le equivalenze delle pagine precedenti.
Osservazione
L’ordine di infinitesimo/infinito, se esiste, è unico; non è detto che
esista. Esempio: f (x) = x(sin(x) + 3) per x → +∞.
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Esercizio
Determinare le parti principali delle seguenti funzioni nei punti indicati:
1
1 − cos(x − 1)
ln 1 −
x →1
4x x4 + 1
x +1
q
5
tan (x − 3)2
x → +∞
x →3
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Confronto tra infiniti e infinitesimi
Supponiamo che le funzioni f e g siano entrambe infinite [entrambe
infinitesime] per x che tende a x0 ∈ R.
Supponiamo che esista
lim
x→x0
f (x)
=: `.
g (x)
Se ` ∈ R∗ , diciamo che f e g sono infiniti [infinitesimi] dello stesso
ordine per x che tende a x0 .
Se ` = 0, diciamo che f è un infinito di ordine inferiore
[infinitesimo di ordine superiore] rispetto a g per x che tende a x0 .
Se ` ∈ {−∞, +∞}, diciamo che f è un infinito di ordine superiore
[infinitesimo di ordine inferiore] rispetto a g per x che tende a x0 .
Se il rapporto f /g non ha limite, diciamo che gli infiniti [infinitesimi]
f e g non sono confrontabili per x che tende a x0 .
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Osservazioni
Due funzioni infinite/infinitesime asintoticamente equivalenti sono
infiniti/infinitesimi dello stesso ordine.
Dire che f è infinito [infinitesimo] di ordine superiore rispetto a g
è equivalente a dire che g è infinito [infinitesimo] di ordine inferiore
rispetto a f .
Esempi
Confrontare le seguenti coppie di infiniti/infinitesimi nei punti indicati:
f (x) = x 2 + x 3
f (x) =
x +1
x3
f (x) = x 2 (sin(x) + 3)
1
f (x) = x sin
x
g (x) = 4x 2 + x 4
g (x) =
1
x2
+∞
0+
g (x) = x 2 + x
+∞
g (x) = x 2 + x
0
0
+∞
0
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Osservazione
↓ “Successioni e serie numeriche”
Siano a > 1, p > 0. Abbiamo verificato che le successioni
n np o
,
an
n an o
,
n!
n n! o
nn
sono infinitesime. Questo ci permette di affermare che:
• la progressione geometrica con ragione maggiore di 1
è un infinito di ordine superiore rispetto alla potenza
con esponente positivo qualsiasi;
• il fattoriale n! è un infinito di ordine superiore rispetto alla
progressione geometrica con ragione maggiore di 1;
• nn è un infinito di ordine superiore rispetto al fattoriale n!
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Osservazione (utile nel calcolo di limiti)
Se f (x) = g (x) + g1 (x) per x → x0 , con
• g1 infinitesimo di ordine superiore rispetto a g , oppure
• g1 infinito di ordine inferiore rispetto a g ,
risulta: f (x) ∼ g (x).
Giustificare . . .
Ne segue che, nel calcolo del limite di un prodotto o di un rapporto,
gli infinitesimi di ordine superiore e gli infiniti di ordine inferiore sono
trascurabili.
Esempi
Calcolare lim+
x→0
x 4 + sin(x)
√
,
tan( x) + x 2
lim
n→+∞
n4 + n!
2n + n 3
Attenzione alle somme (o differenze) di infiniti/infinitesimi
dello stesso ordine!
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Classificazione dell’andamento all’infinito di una funzione
Sia x0 ∈ {−∞, +∞} e supponiamo che f diverga per x → x0 .
lineare
Diciamo che f ha andamento sublineare se f è un infinito
superlineare
dello stesso ordine di x.
di ordine inferiore rispetto a x.
Interpretazione grafica?
di ordine superiore rispetto a x.
In simboli:
f (x)
∈ R∗
x→x0 x
f (x)
lim
=0
x→x0 x
f (x)
lim
= ±∞
x→x0 x
lim
andamento lineare
Es.: f (x) = |x|
andamento sublineare
Es.: f (x) =
andamento superlineare
Es.: f (x) = x n (n ≥ 2)
√
n
x
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Asintoti obliqui
Sia x0 ∈ {−∞, +∞}. Supponiamo che f abbia andamento lineare
f (x)
per x → x0 e poniamo m := lim
.
x→x0 x
Se lim f (x) − mx = q ∈ R, diciamo che la retta di equazione
x→x0
y = mx + q è un asintoto obliquo per f .
Interpretazione grafica?
Esercizio
Classificare (se appropriato) l’andamento all’infinito delle seguenti
funzioni; in caso di andamento lineare, stabilire l’esistenza di asintoti
obliqui.
q
x2 − x + 2
f (x) = 5 x 2 (x − 1)
f (x) =
x2 + 1
√
x3 − x + 2
f (x) = 3x + x
f (x) =
x2 + 1
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Un criterio di convergenza per le serie numeriche
Criterio del confronto asintotico
Siano an , bn > 0 per ogni n ≥ n0 ; supponiamo che entrambe le
successioni siano infinitesime.
Se {an } e {bn } sono infinitesime dello stesso ordine, la serie di
termine an e la serie di termine bn hanno lo stesso carattere.
Se {an } è infinitesimo di ordine superiore rispetto a {bn } e la serie di
termine bn converge, anche la serie di termine an converge.
Se {an } è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a {bn } e la serie
di termine bn diverge, anche la serie di termine an diverge.
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Esercizio
Stabilire il carattere delle seguenti serie mediante il criterio del
confronto asintotico:
+∞
X
n=2
+∞
X
n2
3
n −2
n=1
+∞ X
1
1 − cos
n
n=1
+∞
X
+∞
X
+∞
X
e 1/
√
n
−1
n=1
+∞
X
n=1
n=1
n=1
+∞
X
2n + 1
5
n + 4n + 3
arctan
n+1
n3 + n
sin
n=1
3
n2 ln 1 + √
3
n8
+∞
X
n=1
+∞
X
n=2
r
1
n3
5
−1
1+ 3
n +n
!
n ln(n)
2n3 − n + 1
n sin(n)2
2n3 − n + 1
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Alcune proprietà globali delle funzioni continue su intervalli
Teorema (di Weierstrass)
Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].
Allora: f ammette minimo e massimo globale in [a, b], cioè esistono
x1 , x2 ∈ [a, b] tali che
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 )
per ogni x ∈ [a, b].
Illustriamo il ruolo delle ipotesi mediante qualche esempio:
f (x) =
1
, x ∈ (0, 1]
x
f (x) = x 2 , x ∈ R
f (x) = x − bxc, x ∈ [−1, 5]
f (x) =
1
, x ∈ [1, +∞)
x
f (x) = x 2 , x ∈ [−2, 3]
( 2
x se x ∈ [−2, 0) ∪ (0, 3]
f (x) =
1 se x = 0
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Teorema (dei valori intermedi)
Sia f una funzione continua nell’intervallo A.
Allora f assume tutti i valori compresi tra inf f e sup f , cioè:
∀c ∈ (inf f , sup f ) ∃ x0 ∈ A t.c. f (x0 ) = c.
Interpretazione “grafica” della continuità . . .
Illustriamo il ruolo delle ipotesi mediante esempi . . .
Corollario (Immagine di funzioni continue in intervalli)
L’immagine di una funzione f , continua in un intervallo A,
è l’intervallo di estremi inf f e sup f .
Osservazione
Se f ammette massimo e minimo in A, allora l’immagine di f
è l’intervallo chiuso di estremi min f e max f .
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Esempi
L’immagine della funzione affine f (x) = ax + b (a 6= 0) è R.
L’immagine della funzione potenza a esponente naturale pn (x) = x n
è R se n è dispari, R+ se n è pari.
−→ cf. lucidi-2, pag. 32
L’immagine della funzione esponenziale è (0, +∞).
−→ cf. lucidi-2, pag. 44
L’immagine delle funzioni seno e coseno è [−1, 1].
L’immagine della funzione tangente è R.
−→ cf. lucidi-2, pag. 54
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Caso particolare del teorema dei valori intermedi:
Teorema (degli zeri, o di Bolzano)
Sia f una funzione continua in un intervallo A. Se f assume valori
discordi in A, allora f si annulla in almeno un punto di A.
Più precisamente: se esistono a, b ∈ A tali che f (a) · f (b) < 0, allora
esiste x0 ∈ A, compreso tra a e b , tale che f (x0 ) = 0.
Interpretazione grafica . . .
Osservazione
Nelle ipotesi del teorema degli zeri, f potrebbe annullarsi in due, tre,
addirittura infiniti punti dell’intervallo A.
Esempio: f (x) = cos(x), x ∈ [0, 3π].
Una condizione sufficiente affinché f si annulli esattamente in un
punto è che f sia strettamente monotona in A.
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Risoluzione approssimata di equazioni
Esempio
Consideriamo l’equazione
2x + x = 0,
non risolvibile esplicitamente.
• Proviamo che l’equazione ammette in R un’unica soluzione x0 .
• Verifichiamo che x0 appartiene all’intervallo [−1, 0].
• Determiniamo un intervallo di ampiezza 0.25 che contiene x0 .
È possibile determinare x0 con un errore minore di 10−1 ?
E con un errore minore di 10−2 ? Spiegare . . .
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Condizioni per l’esistenza di radici di un polinomio
Sia P(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 ;
• se n è dispari, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno una
soluzione;
• se n è pari e an · a0 < 0, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno
una soluzione negativa e una positiva.
Esempi
(1) Stabilire se l’equazione P(x) = 0 ammette almeno una soluzione
positiva e/o negativa:
(a) P(x) = 2x 3 − 3x 2 + 1
(b) P(x) = −x 4 + 3x 2 + 1
(c) P(x) = x 4 − 3x 2 + 1
(2) Provare che l’equazione x 3 + x − 4 = 0 ammette un’unica
soluzione in R e calcolarla con un errore inferiore a 10−1 .
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