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Caratteristica del diodo
Per polarizzazione diretta:



Per polarizzazione inversa:
I oPN  I NP
e|V |



 I o 1  e kT 


Quindi la corrente
convenzionale è :

I  I o e

A
P
N
+ -
K
Simbolo del diodo
I NP  I oPN

 I o 1  e

e|V |
kT
- +
eV
kT

 1

I
V

I  I o e

eV
kT

 1

I
V
• Il diodo si comporta approssimativamente come
una resistenza molto alta per polarizzazione
inversa, e come una resistenza bassa per
polarizzazione diretta.
I
dV
1
Req 

dI
dI
dV
V
Quando si polarizza
I
inversamente con una ddp
molto alta, si arriva al
breakdown: le cariche
vengono accelerate dal
campo elettrico e riescono ad
attraversare il cristallo anche
se è praticamente dielettrico,
perfino ionizzando altri atomi
che incontrano.
-100
-50
Caratteristica
del diodo reale
0.6V
1
2 V
Si genera quindi una forte
corrente, che può portare alla
distruzione del diodo. Alcuni
diodi sono costruiti apposta per
sopportare forti correnti di
breakdown: diodi Zener
Questo andamento della
I
curva caratteristica del diodo
Zener significa che la corrente
può cambiare molto, ma la
tensione ai capi del diodo
rimane praticamente
costante. Questo fenomeno
viene utilizzato quando si ha
bisogno di una tensione di
riferimento.
-100
-50
Caratteristica
del diodo reale
0.6V
1
2
V
Diodo Zener come stabilizzatore di tensione
+
• Consideriamo il circuito a lato, con il verso di
VG tale da polarizzare inversamente lo
Zener. Supponiamo che il diodo Zener abbia
una tensione di breakdown VB.
VG
• Avremo VG=Ri+VZ(i) dove VZ(i) è la
caratteristica dello Zener.
– finchè VG<VB la tensione ai capi dello Zener VZ è
praticamente pari a VG, perché lo Zener
polarizzato inversamente conduce una corrente
piccolissima.
VZ
– Se VG>VB la tensione ai capi dello Zener VZ è
praticamente pari a VB , dato che nella regione di
VB
breakdown la tensione ai capi dello Zener è
costante per qualsiasi corrente.
– Ovviamente non si deve esagerare ad aumentare
VG perché se la corrente aumenta troppo lo
Zener e/o la resistenza si bruciano.
R
VG
VZ
VB
VG
Diodo Zener come stabilizzatore di tensione
+
• Questo circuito può quindi essere utilizzato per
stabilizzare una tensione continua.
• Esistono in commercio diodi Zener con varie
tensioni di breakdown e varie potenze dissipabili.
• Se ad esempio si ha bisogno di una tensione VG
stabile di 12V, si produce una tensione più alta
(ad esempio con un traformatore, un ponte di
diodi ed il filtro RC, producendo ad esempio
VG=15 V con 0.1V di ripple) e poi si usa il circuito a
lato per stabilizzarla, scegliendo uno zener con
VB=12V.
• L’eccesso di tensione rispetto a 12V cadrà sulla
resistenza R: la caratteristica così ripida dello
Zener fa in modo che nel resistore cada una
tensione di 3V con 0.1V di ripple, garantendo 12V
costanti ai capi dello Zener.
R
VG
VZ
Diodo Zener come stabilizzatore di tensione
R
+
• Un circuito di questo genere, comunque non
garantisce che la tensione in uscita VZ rimanga
costante quando si connette un utilizzatore, RC ,
all’uscita.
• Questo succede solo se la corrente che scorre
nel carico è molto inferiore alla corrente che
scorre nello Zener. Altrimenti il partitore tra R e
RC può ridurre la tensione ai capi dello Zener
sotto alla tensione di breakdown, perdendo la
stabilizzazione.
• La corrente massima che scorre nello Zener è
limitata dal fatto che la dissipazione di potenza
nello Zener deve essere inferiore a quella
massima specificata dal costruttore (oltre si
fonderebbe). Deve cioè essere VZi<Wmax .
• Se servono correnti importanti nel carico, si
deve utilizzare un regolatore di tensione, che
utilizza uno Zener solo come riferimento, ma fa
scorrere la corrente in uscita in un transistor.
VG
VZ
RC
Altre applicazioni del diodo Zener
• Il diodo Zener può essere usato come limitatore di segnali.
• Se si vuole che un segnale non superi un certo livello, si fa passare
attraverso una cella costituita da una resistenza e uno Zener con
tensione di breakdown pari al massimo livello di segnale
desiderato.
V(t)
Vin
R
Vin
Z1
Vout
VB1
-0.6V
«clipping»
Vout
t
• E’ un diodo realizzato con una giunzione p-n
molto sottile, in un contenitore trasparente.
• Quando il diodo è polarizzato direttamente gli
elettroni di conduzione si ricombinano con le
lacune, e l’eccesso di energia viene rilasciato
sotto forma di fotoni, che, dato il minimo
spessore della giunzione, possono uscire dal
cristallo. Si assiste così all’emissione di luce, con
lunghezza d’onda
c
ch
 
 E
dove E è la differenza di energia tra gli elettroni e
le lacune.
• Per ottenere colori diversi si usano
semiconduttori di tipo diverso (AlGaAs; GaAlP;
GaAsP; GaN; GaP; ZnSe; InGaN; InGaAlP; SiC)
• Avviene anche il processo inverso: l’arrivo di
fotoni di energia sufficiente sulla giunzione può
produrre una differenza di potenziale, ed il LED
agisce come un fotodiodo (vedi dopo).
Il diodo
LED
Ponte di diodi con diodi LED
+
1
2
+
-
Vin
R
Vout
4
t
3
-
Vout
• Durante la prima semionda
conducono i diodi 1 e 3, perchè
polarizzati direttamente, e quindi si
accendono, mentre i diodi 2 e 4,
polarizzati inversamente, non
conducono e restano spenti.
t
Ponte di diodi con diodi LED
+
1
-
2
+
Vin
R
Vout
4
t
3
-
Vout
• Durante la seconda semionda
conducono i diodi 2 e 4, polarizzati
direttamente, e quindi si accendono,
mentre i diodi 1 e 3, polarizzati
inversamente, non conducono e
restano spenti.
t
Ponte di diodi con diodi LED
Per vedere il fenomeno si
deve impostare una bassa
frequenza del generatore (12 Hz)
Inoltre, siccome la corrente
nei diodi è limitata dalla
resistenza interna del
generatore (RG=50W) e dal
carico RC, si deve scegliere l’
ampiezza della tensione
sinusoidale in modo che non
scorrano più di 15 mA nei
diodi, altrimenti si bruciano.
RG
VG
RC
VG ,max  RG  RC imax  2VLED
dove VLED è la tensione ai capi
del LED usato quando va in
conduzione, dell’ordine di 1V.
Regione di deplezione
• Quando si saldano due cristalli di semiconduttore, uno drogato N e uno drogato P,
si ottiene un diodo a giunzione PN. Il gradiente di concentrazione provoca una
diffusione di lacune da P verso N e di elettroni da N verso P.
• I processi di diffusione non vanno avanti per molto, perchè si forma un doppio
strato di cariche che genera un campo elettrico, che si oppone ad una ulteriore
diffusione. Infatti gli elettroni che da N sono migrati verso P hanno lasciato gli ioni
positivi dai quali sono stati originati nella regione N, mentre le lacune che sono
migrate da P a N hanno lasciato delle cariche negative nella regione P.
P
-
+
+
+
+
+
+
N
0.5mm
• Ma gli elettroni che sono migrati in P hanno trovato lacune disponibili e si sono
ricomobinati, così come le lacune che da P hanno diffuso in N. Si forma così, dove
sono avvenute le ricombinazioni, una regione di deplezione (verde in figura) dove
non ci sono cariche disponibili per la conduzione.
Fotodiodo
• La regione di deplezione è fotosensibile.
• Infatti, se su di essa incide un flusso di fotoni con energia sufficiente (maggiore
dell’energia di legame), ciascun fotone può strappare un elettrone esterno al suo
atomo, creando una coppia elettrone-lacuna.
• Se questo processo avviene nella regione di deplezione, a causa del campo di
doppio strato ivi presente l’elettrone viene attirato verso la regione N (catodo)
mentre la lacuna viene attirata verso la regione P (anodo).
• Si forma così una corrente (fotocorrente), proporzionale al flusso di fotoni
incidente.
P
anodo
-
+
+
+
+
+
N
catodo
• A causa di questo spostamento di cariche, si forma una piccola differenza di
potenziale ai capi del fotodiodo, proporzionale al flusso di fotoni, che può essere
amplificata e misurata (modo fotovoltaico).
• Nota: le celle fotovoltaiche non sono altro che fotodiodi con area molto grande.
Fotodiodo
• Il processo può essere aiutato polarizzando il fotodiodo inversamente (modo
fotoconduttivo)
P
anodo
-
+
+
+
+
+
N
catodo
+
• Il campo elettrico addizionale dovuto alla batteria favorisce lo spostamento degli
elettroni verso il catodo e delle lacune verso l’anodo. Nel circuito scorre una
fotocorrente proporzionale al flusso di fotoni, che può essere amplificata e
misurata.
• Inoltre il campo elettrico addizionale aumenta lo spessore della regione di
deplezione, aumentando l’area sensibile e diminuendo la capacità del fotodiodo,
quindi rendendolo più pronto a seguire le variazioni del flusso incidente di fotoni.
Fotodiodo PIN
• E’ realizzato aggiungendo una zona di cristallo non drogato (intrinseco), e quindi
isolante, tra il cristallo drogato N (pesantemente) e quello drogato P
(pesantemente).
P
anodo
I
N
catodo
• Viene usato in modo fotoconduttivo, con una forte polarizzazione inversa.
• L’area sensibile (I) è molto grande e il campo è forte, per cui questi diodi sono
molto più sensibili alla luce.
• Alcuni usano l’effetto valanga, nel senso che il campo elettrico forte accelera
molto gli elettroni fotoprodotti, che possono raggiungere una energia cinetica
sufficiente da ionizzare altri atomi che incontrano nel loro percorso, generando
elettroni addizionali e quindi moltiplicando la corrente.
Fotodiodi
Fotodiodo al Si
Materiale
Lunghezze d’onda
operative (nm)
Silicio
190–1100
Germanio
400–1700
InGaAs
800–2600
Solfuro di Zinco
<1000–3500
HgCdTe
400–14000
Diodi come rivelatori di radiazione
• I diodi PIN vengono usati anche come
rivelatori di radiazioni ionizzanti (raggi
gamma, X, particelle energetiche), che
passando nella regione I la ionizzano,
producendo coppie elettrone-lacuna e
quindi un impulso di corrente.
• Polarizzati inversamente i diodi PIN hanno
una bassa capacità e sono quindi
abbastanza veloci (ns), e quindi adatti a
misurare impulsi da radiazioni ionizzanti.
Possono sostituire i tubi Geiger in alcune
applicazioni.
• La carica generata è approssimativamente
proporzionale all’energia depositata dalla
particella, che a sua volta dipende
dall’energia della particella. L’istogramma
degli impulsi di corrente permette quindi
di ottenere lo spettro delle energie delle
particelle ionizzanti sotto esame.
8keV : flourescenza X
da un foglio di rame
Segnale di
calibrazione
Esperienza del 13/5/2015
Circuito RLC con segnali sinusoidali
• Lo scopo dell’esperienza è misurare la
risposta dei circuiti RLC visibili a
fianco.
• Dal circuito 1 (uscita ai capi del
resistore) si vuole stimare la
frequenza di risonanza fo e il fattore
di merito Q ;
• Con i circuiti 2 (uscita ai capi del
condensatore) e 3 (uscita ai capi
dell’induttore) si vogliono evidenziare
le extratensioni.
• Si suggeriscono i seguenti valori:
R = 10 W, L = 1 mH con RL=10 W,
C = 47 nF, Rs = 10 W.
• Si accettano (e apprezzano)
comunque scelte diverse, a patto che
producano un fattore di merito
maggiore (e misurabile con la
strumentazione a disposizione).
Misure sul circuito 1
(risonanza, ai capi del resistore)
• Per toccare con mano il fatto che il fattore
di merito del risuonatore dipende dalla
resistenza complessiva del circuito
risonante, si fanno misure sia con il
generatore così com’è (1a), che con una
resistenza di shunt che ne riduce
l’impedenza d’uscita (1b).
• Nel primo caso la resistenza totale del
circuito è pari a
1a
RT  RG  RL  R  70 W
e quindi il fattore di merito aspettato è
1
L
Q
 2.1
R  RL  RG  C
1b
• Nel secondo caso è come avere un
generatore con resistenza interna pari al
parallelo tra RG e RS, e quindi
RT  RGs  RL  R  28 W
Q
1
R  RL  RGs


L
 5.2
C
Misure sul circuito 1
(risonanza, ai capi del resistore)
• Per verificare che con una resistenza di shunt
si può abbassare la resistenza interna del
generatore, si esegue la seguente misura:
• Nel circuito a fianco, con una resistenza di
shunt RS=10W, si misura VAB con e senza
resistenza carico Rc=10W. Combinando le due
misure si ricava la resistenza del generatore
shuntato:
VAB ( Rc )  VAB ( Rc  )
Rc
Rc  RGs

V ( R   ) 
 RGs  Rc  AB c
 1
 VAB ( Rc )

• Con i componenti suggeriti si deve ottenere
RGs 
RG RS
50 10

 8.3 W
RG  RS 50  10
• Nota: il fatto che la resistenza
interna del generatore
shuntato sia uguale al
parallelo tra resistenza interna
e resistenza di shunt si ottiene
facilmente dal teorema di
Thevenin.
Misure sul circuito 1
(risonanza, ai capi del resistore)
• Tornando al circuito RLC, sia nel caso 1a
che nel caso 1b abbiamo il circuito di
figura, con valori della resistenza interna
VG
del generatore di 50W nel caso 1a e di
8.3W nel caso 1b.
• considerando il partitore tra (resistenza
interna del generatore + induttore +
Vout
R

condensatore) e resistore, si scrive subito:
VGen RG  jL  RL  1 / jC   R
1
R
• E’ massimo alla risonanza, quando   o 
e vale  Vout  
V 
LC
 Gen  max RG  RL  R
• Da cui
Vout
1
1


1
Vout ,max 1 
1
L   o 
 jL  1 / jC  1 
j   
R  RG  RL
R  RG  RL C  o  
• E definendo
1
Q
R  RG  RL
L
1

C Rtot
L
C
Vout

Vout,max
1
  
1  jQ   o 
 o  
Misure sul circuito 1
(risonanza, ai capi del resistore)
Vout

Vout,max
1
  
1  jQ   o 
 o  
senza shunt
• Si possono allora misurare i valori
di Vout al variare della frequenza, e
lo sfasamento tra Vout e Vin. Si
ottiene
Vout

Vout ,max
con shunt
1
o 
2 

1  Q   
 o  
  
tan   Q  o 
 o  
2
con shunt
senza shunt
Misure sul circuito 1 (risonanza, ai capi del resistore)
• Dalle misure di ampiezza si ricavano la frequenza di risonanza e i fattori di
merito:
fo
Q
f 2  f1
senza shunt
con shunt
f1’ f1 fo f2 f2'
Misure sul circuito 1 (risonanza, ai capi del resistore)
• Dalle misure di fase si conferma la frequenza di risonanza:
con shunt
senza shunt
fo
Misure sul circuito 2
(extratensioni ai capi del condensatore)
• Considerando il partitore tra
(induttore + resistore) e
condensatore, si scrive subito:
Vout
1 / jC

Vin R  RL  jL  1 / jC
• Calcolando il modulo si ottiene :
Vout

Vin
C
1
R  RL 2  L  1 / C 2
• alla risonanza:
Vout
o  
Vin
o C
o 
1
LC
1
R  RL 
2

LC
1
L


Q
C R  RL  R  RL  C
Q=7.3
Misure sul circuito 2
(extratensioni ai capi del condensatore)
• Considerando il partitore tra
(induttore + resistore) e
condensatore, si scrive subito:
Vout
1 / jC

Vin R  RL  jL  1 / jC
• Calcolando il modulo si ottiene :
Vout

Vin
C
Q=7.3
1
R  RL 2  L  1 / C 2
• alla risonanza:
Vout
o  
Vin
o C
o 
1
LC
1
R  RL 
2

LC
1
L


Q
C R  RL  R  RL  C
Notare che, misurando
Vout/Vin , i valori di RG e
RS non contano.
Ed il fattore di merito
aumenta, rispetto al
circuito 1 in cui si
misurava Vout/Voutmax.
Misure sul circuito 3
(extratensioni ai capi dell’induttore)
• Considerando il partitore tra
(condensatore + resistore) e
induttore, si scrive subito:
Vout
RL  jL

Vin R  RL  jL  1 / jC
• Calcolando il modulo si ottiene :
Vout

Vin
RL2   2 L2
R  RL 2  L  1 / C 2
• alla risonanza: o 
Vout
o  
Vin

RL2  o2 L2
R  RL 
2
1
LC

RL2  L / C
 2  Q 2
R  RL 
2  Q 2  7.3
Misure sul circuito 3
(extratensioni ai capi dell’induttore)
• Considerando il partitore tra
(condensatore + resistore) e
induttore, si scrive subito:
Vout
RL  jL

Vin R  RL  jL  1 / jC
• Calcolando il modulo si ottiene :
Vout

Vin
RL2   2 L2
R  RL 2  L  1 / C 2
• alla risonanza: o 
Vout
o  
Vin

2  Q 2  7.3
RL2  o2 L2
R  RL 
2
1
LC

RL2  L / C
 2  Q 2
R  RL 
A causa della RL l’
altezza del picco è, a
rigore, maggiore di Q.
con i componenti scelti
la differenza è
trascurabile.
Misura Addizionale
(filtro passa-basso RL)
• Prendere l’uscita sul resistore come nel
circuito 1, ma eliminare il condensatore,
connettendo direttamente l’induttore al
resistore. Si ottiene un filtro passa
basso. Infatti:
Vout
R
R
1


Vin R  RL  jL R  RL 1  jL / R  RL 
• Calcolando il modulo si ottiene :
Vout
R
1

Vin
R  RL 1   2 2
• Dove la costante di tempo e la
frequenza di taglio sono:

L
R  RL
 fc 
R  RL
2L
• Per lo sfasamento si ottiene:
tan   
L
 
R  RL
VG
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• Kirchhoff prevederebbe che appena chiuso l’
interruttore scorresse istantaneamente una
corrente I=V/Rtot
• Inoltre, se si lavora con tensioni variabili nel tempo si
assume che la corrente sia in ogni istante la stessa in
tutta la maglia.
1 km
R1
R2
R3
Rn-1
Rn
RL
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• Kirchhoff prevederebbe che appena chiuso l’
interruttore scorresse istantaneamente una
corrente I=V/Rtot
• Inoltre, se si lavora con tensioni variabili nel tempo si
assume che la corrente sia in ogni istante la stessa in
tutta la maglia.
1 km
R1
R2
R3
Rn-1
Rn
RL
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• Evidentemente questo non può essere, perchè
implicherebbe un trasferimento istantaneo dell’
informazione «interruttore chiuso» dall’
interruttore al carico.
• Le informazioni non possono viaggiare a velocità
maggiore di quella della luce.
• La corrente non può arrivare alla RL prima di to+L/c .
Qui c’è la velocità della luce: c=30 cm/ns.
L
R1
R2
L=1 km
R3
Rn-1
Rn
RL
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• Se ipotiziamo che i segnali si propaghino a
velocità dell’ ordine di c, per L=30 cm abbiamo un
ritardo di circa 1 ns.
• Una corrente sinusoidale a f=1 GHz arriverà al
carico RL in ritardo di un intero periodo.
L
R1
R2
L=30 cm
R3
Rn-1
Rn
RL
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• Quindi possiamo trattare con l’ approssimazione
istantanea di Kirchhoff circuiti piccoli e a
frequenze << 1 GHz.
• Altrimenti dovremo utilizzare le equazioni di
Maxwell.
L
R1
R2
L=30 cm
R3
Rn-1
Rn
RL
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
•
•
Esempio comune: la
motherboard di un
computer ha dimensioni
dell’ordine di 20 cm ed il
segnale di clock è a 3-4
GHz.
I progettisti devono
tenere conto del ritardo
nella propagazione dei
segnali dalla CPU ai chip
esterni (ad esempio la
RAM deve essere molto
vicina alla CPU),
altrimenti non si
sincronizza nulla !
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• Consideriamo ora il circuito elementare per
la trasmissione di segnali su lunghe
distanze, la cosiddetta “linea di
trasmissione”.
Linea di trasmissione
ZG
0
x
ZC
L
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• In pratica questa può essere una piattina bifilare,
o il cavo telefonico, o il cavo coassiale RG58 (BNC)
che si usa in laboratorio o per le antenne, una
pista di rame su un circuito stampato ….
Linea di trasmissione
ZG
0
x
ZC
L
Oltre i principi di Kirchhoff – verso una
trattazione elettromagnetica
• Sia VG(t) la tensione del generatore e ZG la
sua impedenza interna.
• Sia ZC l’ impedenza del carico.
Linea di trasmissione
ZG
0
x
ZC
L
Linea di Trasmissione
• Schematizziamo la linea come due conduttori
paralleli, con distanza e sezione costanti e fermi al
passare del tempo (linee uniformi).
• Consideriamo un tratto dx della linea, e
schematizziamolo col circuito equivalente visibile
sotto:
RA
LA
RB
ZG
LB
C
1/G
ZC
dx
0
x
x+dx
L
x
Linea di Trasmissione
• Tra le posizioni x e x+dx tensione e corrente
variano, perchè ci sono cadute di tensione dovute
a R e L, e perdite di corrente dovute a C e G.
• Siccome il tratto di circuito considerato è piccolo,
al suo interno si può usare la trattazione
standard:
RA
LA
RB
ZG
LB
C
1/G
ZC
dx
0
x
x+dx
L
x
Linea di Trasmissione:
cadute di tensione

dVA  VA ( x  dx, t )  VA ( x, t )   RA I ( x, t )  LA I ( x, t )
t

dVB  VB ( x  dx, t )  VB ( x, t )  RB I ( x, t )  LB I ( x, t )
t
RA
LA
I(x,t)
RB
ZG
LB
C
1/G
ZC
I(x,t)
0
x
dx
x+dx
L
x

dVA  VA ( x  dx, t )  VA ( x, t )   RA I ( x, t )  LA
I ( x, t )
t

dVB  VB ( x  dx, t )  VB ( x, t )  RB I ( x, t )  LB
I ( x, t )
t
V ( x  dx)  V ( x) 
 [VA ( x  dx, t )  VB ( x  dx, t )]  [VA ( x, t )  VB ( x, t )]

V ( x  dx)  V ( x)  ( RA  RB ) I ( x, t )  ( LA  LB ) I ( x, t )
t
RA
LA
I(x,t)
RB
ZG
LB
C
1/G
ZC
I(x,t)
0
x
dx
x+dx
L
x
RA  RB
Ru 
dx
LA  LB
Lu 
dx
• Definendo
I(x,t)
RB
ZG
LB
Resistenza per unità
di lunghezza
Induttanza per unità
di lunghezza
C
1/G
ZC
I(x,t)
0
x
dx
x+dx
L
x

V ( x  dx)  V ( x)  ( RA  RB ) I ( x, t )  ( LA  LB ) I ( x, t )
t


V ( x  dx)  V ( x)    Ru dx  Lu dx  I ( x, t )
t 

V ( x, t )

V ( x, t )

   Ru  Lu  I ( x, t ) 
 Zu I ( x, t )
x
t 
x

RA
LA
I(x,t)
RB
ZG
LB
C
1/G
ZC
I(x,t)
0
x
dx
x+dx
L
x
Linea di Trasmissione:
perdite di corrente (1/G è una resistenza)…


dI ( x, t )  GV ( x, t )  Q( x, t )  GV ( x, t )  C V ( x, t )
t
t




I ( x, t )   Gu  Cu V ( x, t )
I ( x, t )  Yu V ( x, t )
x
t 
x

Come prima: Gu e Cu conducibilità e capacità per unità di lunghezza
I(x,t)
RB
ZG
LB
C
1/G
ZC
I(x,t)
0
dx
L
Yu e Zu =Ammettenza e Impedenza della linea per unità di lunghezza
Linea di Trasmissione:
equazioni differenziali e quadrupolo equivalente
 V ( x, t )


 x    Ru  Lu t  I ( x, t )



 I ( x, t )   Gu  Cu  V ( x, t )

 x
t 
 V ( x, t )




Z
I ( x, t )
u
 x
 I ( x, t )

 Yu V ( x, t )
 x
Zu
V(t)
Yu
ZC
ZG
0
x
dx
x+dx
L
x
Linea di Trasmissione:
Per segnali sinusoidali
Z  R  jL
Y  G  jC
Z u dx  Ru  jLu dx

 Yu dx  Gu  jCu dx
Dove Zu e Yu sono impedenza e
ammettenza della linea per unità di lunghezza.
Zu
V(t)
Yu
ZC
ZG
0
x
dx
x+dx
L
x
 V ( x)
 x  Z u I ( x)
 I ( x)

 Yu V ( x)
 x
Equazioni dei
Telegrafisti
  2V ( x)

 Z u 
I ( x)  Z uYuV ( x)

 x 2
x
 2
  I ( x)  Yu   V ( x)  Z uYu I ( x)

x
 x 2
Zu
V(t)
Yu
ZC
ZG
0
x
dx
x+dx
L
x
  2V ( x)
2

Z
Y
V
(
x
)


V ( x)
u u

2
 x
 2
  I ( x)  Z uYu I ( x)   2 I ( x)

 x 2
  2V ( x)
2


V ( x)  0

2
 x
 2
  I ( x)   2 I ( x)  0
2


x

Equazioni dei
Telegrafisti
  Z uYu
2
Zu
V(t)
Yu
ZC
ZG
0
x
dx
x+dx
L
x
  2V ( x)
2


V ( x)  0

2
 x
 2
  I ( x)   2 I ( x)  0

 x 2
la soluzione e' del tipo
Equazioni dei
Telegrafisti
c1e x  c2e x
quindi
 x
 x

V ( x)  A1e  A2e

dove le costanti A1 e A2 contengono le fasi : A1  A1e j1

A2  A2e j2

j
Z 0  Z 0e
definendo
 
    j  Z uYu  Ru  jL Gu  jC 
 x
 x
  (  j  ) x
 (  j ) x

V ( x)  A1e  A2e  A1e
 A2e
Soluzione per V
 x  x

V ( x)  A1e  A2 e 
 (  j ) x   (  j ) x
 A1e
 A2 e

j 1
 A1e
e
e quindi
x
e
 jx

 A2 e

jt
V ( x, t )  Re V ( x)e
 A1e
x
 A2 e
x
j 2
e
x
e
jx

cos t  x  1  Onda progressiva
cos t  x   2  Onda regressiva
V ( x, t )  A1e
 A2 e
x
x
Onda progressiva
cos t  x  1 
cos t  x   2 
Onda regressiva
• L’ ampiezza decresce esponenzialmente con la
distanza, a causa delle dissipazioni R e G
• l’ onda progressiva A1 è grande all’ inizio della
linea e si smorza
• l’ onda regressiva A2 è grande alla fine della linea
e si smorza “rimbalzando indietro”
V ( x, t )  A1e
 A2 e
x
x
Onda progressiva
cos t  x  1 
cos t  x   2 
Onda regressiva
• Vediamo perchè l’ onda A1 è detta progressiva.
• La velocità (di fase) v è la velocità che deve avere un
osservatore viaggiante lungo la linea per vedere sempre la
stessa fase dell’ onda (ad esempio viaggiando a cavalcioni
di una cresta o in fondo a un ventre).
• La condizione di fase costante è
t  x  1  K
dx

0
dt


d
t  x  1   0
dt

v

Velocita’ di fase
positiva per A1
• La soluzione in regime sinusoidale è
V ( x, t )  A1e
 A2 e
x
x
Onda progressiva
cos t  x  1 
cos t  x   2 
Onda regressiva
• Le due onde si propagano nella linea con velocità
di fase
(=Im()=Im(sqrt(ZuYu)))

v

Per l’onda progressiva

v

Per l’onda regressiva
Caso non dissipativo:
• Nel limite di Ru=0 e Gu=0, si calcola facilmente
    j 

 
Z uYu 
Ru  jLu Gu  jCu  
 jLu  jCu   j
Lu Cu
1
   Lu Cu  v 
;   Lu Cu
Lu Cu
V ( x, t )  A1 cos (t  x / v)  1  
 A2 cos (t  x / v)   2 
A1
ZG
0
A2
x
L
ZC
Esempio: Cavo coassiale RG-58
Autoinduzione in un cavo coassiale
Coefficiente di autoinduzione L definito
 da :
Dove  è il flusso di B :

   B  ds
  Li
b
S
Nel caso di un cavo coassiale percorso da corrente
i il campo all’ interno del cavo è tangenziale, e la
sua intensità a distanza r dall’ asse si ricava dal
teorema della circuitazione:
 
mi
 B  dl  mi  B2r  m i  B(r )  2r
Allora si può calcolare il flusso di B attraverso una
superficie rettangolare interna al cavo, lunga l:
b
  b
m i dr
mi b
   B  ds   B(r )ldr  l
l
ln

2 a r
2 a
S
a
E quindi l’ induttanza per unità di lunghezza è
L  m
b
Lu   
ln
l il 2 a
a
r
l
dr
Capacità di un condensatore cilindrico
 
 E  dS  Q /     E 2rl  Q / 
S
E ( r )  Q /(2rl )   /(2r )


Vab   Edr  
dr 
2r
2
a
a
Q
l
2l
b
C
V
b

V

C
2
Cu  
l
b
ln 
a
b
ln 
a
dr

b
a r  2 ln( a )
b
b
S
a

r
l
Esempio: cavo coassiale RG-58
2

 Cu  ln(b / a)


m
Lu  ln(b / a)

2
•

•
•
•

•
1
1
c

v




Cu Lu
m
R

 R  L / C  1 m /  ln(b / a)
u
u
 o
2
Numeri tipici per l’ RG-58:
R=2, v=c/sqrt(2)
Cu=100 pF/m
Ro=50W
v=20cm/ns
=5ns/m
Quindi un cavo di 100m introduce un ritardo di 500 ns.
Caso dissipativo:
    j 


 
Z uYu 
Ru  jLu Gu  jCu 
Lu Cu
Ru Gu
Cu Ru
Lu Gu
2 Lu Cu
 j
 j


Lu Cu
Lu Cu
Lu Cu
Lu Cu
Lu Cu
 Ru Gu 
Ru Gu
   2
 j 

Lu Cu
 Lu Cu 
Caso non distorcente:
 Ru Gu 
Ru Gu
   2
  Lu Cu
 j 

Lu Cu
 Lu Cu 
Quando Ru  Gu cioè le due costanti di tempo sono uguali,
Lu Cu
  LuCu
 Ru

 Lu
2

 Ru
  j 2

 Lu

 Ru

2
    Lu Cu   j 

 Lu

E quindi 
L’ attenuazione non
Ru
Cu
 Ru
 dipende da 
   Lu Cu
Lu
Lu


La solita,

1
    Lu Cu  v  
indipendente


Lu Cu da 
Tutte le onde componenti il segnale
si propagano nello stesso modo: il segnale non viene distorto.
Caso di alte frequenze
Gu  0 e Ru  Lu (e buon isolamento):
per
Ru
 

Ru

jCu jLu 1 
jLu


 j

 jLu Gu  jCu  
Cu Lu
1 j
Ru
 j
Lu
2
Cu
 
 


  j

Ru
 j
Lu

Ru

Cu Lu 1  j
Lu


Ru
Cu Lu 
1

j

2Lu



 





Cu Lu
Lu Cu 
Ru
Ru

2 Ro
Lu
2
Cu
v
1
Lu Cu
Ro 
Lu
Cu
Impedenza della
Linea, ci serve dopo
Soluzione per la corrente
(sinusoidale)
• Dall’ eq. dei telegrafisti
V ( x )
1 V ( x)
 Z u I ( x)  I ( x)  

x
Z u x
1   x  x
  x  x

A1e  A2 e

A1e  A2 e

Z u x
Zu





Z uYu  x  x
A1e  A2 e

Zu



 x  x
1
A1e  A2 e
Zu
Yu

Zu
e' una impedenza Z o  Z o e j 
Yu

Ru  jLu
Gu  jCu


Soluzione
per la corrente

I ( x, t )  Re I ( x )e jt 
 x
 x 
 1
(sinusoidale)
 Re 
A
e

A
e

1
2
j
Z
e
 o

A1 x
I ( x, t ) 
e
cos t  x  1    
Onda progressiva
Zo


Onda regressiva
A2 x

e
cos t  x   2   
Zo
• Da confrontare con:
V ( x, t )  A1e x cos t  x  1 
 A2 e x cos t  x   2 
• Si vede che per ciascuna onda il rapporto tra tensione e
corrente vale Zo. Inoltre c’è uno sfasamento -.
Usando la notazione solita:

Z o  Z o e j 
Ru  jLu

Gu  jCu
Ru  jLu

(Gu  jCu ) /(Gu  jCu )
Gu  jCu
( Ru  jLu )(Gu  jCu )


2
2 2
Gu   Cu
( RuGu   2 Lu Cu )  j ( Lu Gu  Ru Cu )

Gu2   2Cu2
Soluzione per la corrente
(sinusoidale)

1/2
 Im( Z o ) 
 Gu Lu  Ru Cu  
   arctg 
  arctg 

2
 Ru Gu   Lu Cu 
 Re( Z o ) 
• Lo sfasamento è nullo
– Per linea non distorcente Gu Lu  Ru Cu
– Per linea non dissipativa Ru  0 Gu  0
– Per alte frequenze
Ru  Lu Gu  Cu

Ru  jLu
Z o  Z o e j 

• In tutti questi casi Gu  jCu

Lu
Zo 
 Ro
Cu

Zo 
Lu
 Ro
Cu
• Cioè l’ impedenza si riduce a una resistenza.
Lu
 Ro
Cu