ESEMPIO DI AMPLIFICATORE A MOSFET A SOURCE COMUNE

ESEMPIO DI AMPLIFICATORE A MOSFET
A SOURCE COMUNE CON RESISTENZA DI SOURCE
(Dati uguali all’Esempio di par.8.2.3, Fig.8.43
del testo R.R.Spencer & M.M.Ghausi: Introduction to Electronic Circuit Design)
Calcolare il punto di lavoro del Mosfet M1 di Fig.1, le amplificazioni a media frequenza di tensione Av= vo /vi e di
corrente Ai =il /ii , l’amplificazione di potenza Ap =Wl /Wi e le resistenze di ingresso Ri e di uscita Ro nei punti P1 e P2
indicati. Si trascuri l’effetto di modulazione della lunghezza di canale.
VDD= 15 V
i in
R IN vi
ii Ri
P1
RD
1.5k Ω
R1
500kΩ
C IN
M1
1k Ω
+
vin
-
CO
P2
Ro
I DSS = 0.5 mA
il
K= 0.5 mA/V 2
V th = 1 V
R2
1MΩ
vO
RL
10kΩ
RS
3.5k Ω
Fig.1. Circuito con Mosfet connesso a Source Comune con resistenza di source
Soluzione:
a – schema equivalente completo
Si può sostituire il Mosfet con un suo schema equivalente, ottenendo il circuito di Fig.2, valido sia ai grandi segnali sia
ai piccoli segnali. (Il tracciamento del circuito di Fig.2 è un passo intermedio, mostrato per facilitare la comprensione
degli sviluppi successivi e viene di solito omesso considerandolo sottinteso).
R IN
+
vin
-
C IN
RD
1.5k Ω
CO
1k Ω
RGG
+
VGG
-
333k Ω
G
D
+
v GS
-
+
VDD
-
i D ( v GS )
vO
RL
10kΩ
S
RS
3.5k Ω
v GS =VGS + vgs
i D = I D (VGS) + gmvgs
Fig.2. Schema equivalente completo
Nello schema equivalente del Mosfet, la tensione totale gate-source vGS , si considera la somma della tensione continua
del punto di lavoro VGS , più un termine incrementale ai piccoli segnali vgs . Analogamente, la corrente totale di drain iD
si considera la somma di un termine continuo ID (VGS ), relativo al punto di lavoro e dipendente da VGS , più un termine
ai piccoli segnali gm vgs .
Il partitore, formato da R1 e R2 ed alimentato da VDD , è stato sostituito dal generatore equivalente VGG e dalla
resistenza equivalente RGG . I valori di tali elementi, secondo il teorema di Thèvenin, sono dati da
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-
Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune
VGG = VDD
R2
1 ⋅ 10 6
= 15 ⋅
= 10 V
R1 + R 2
500 ⋅ 103 + 1 ⋅ 10 6
R GG = R 1 // R 2 =
(1)
R1 ⋅ R 2
500 ⋅ 103 ⋅ 1 ⋅ 10 6
=
= 333 kΩ
R 1 + R 2 500 ⋅ 103 + 1 ⋅ 10 6
(2)
In base al principio della sovrapposizione degli effetti, lo schema equivalente completo si può scindere in uno schema
equivalente ai grandi segnali, che consente di determinare il punto di lavoro del sistema ed in particolare del Mosfet, ed
in uno schema equivalente ai piccoli segnali, su cui si calcolano le amplificazioni e le impedenze richieste, che sono
appunto relative al comportamento ai piccoli segnali.
Spesso, e in particolare in questo caso, interessa il comportamento ai piccoli segnali in centro banda, cioè a frequenze
diverse dalla continua ma non troppo alte. In tale caso, di solito, i condensatori impiegati nello schema hanno valori tali
per cui le loro impedenze risultano molto alte in c. continua e abbastanza basse a frequenza di centro banda. Perciò, se
non specificato diversamente, i condensatori si considerano circuiti aperti nel ricavare lo schema ai grandi segnali e
corti circuiti nel ricavare lo schema ai piccoli segnali.
b – studio ai grandi segnali
In base a quanto detto, si osserva che, ai fini della determinazione dello schema ai grandi segnali, la parte di circuito a
monte di CIN , che comprende il generatore di corrente iin e la resistenza RIN , si può ritenere scollegata dal resto del
circuito e senza effetti. Essa viene quindi omessa. Per le stesse ragioni, si elimina la parte di circuito a valle di CO , con
la resistenza RL . Lo schema che si ricava è mostrato in Fig.3.
ID
RGG
+
VGG =10 V
-
333k Ω
VG G
IG
ID
+
VGS
-
RD
1.5k Ω
+
VDD =15 V
VD
D
I D (VGS )
IS
VS
S
RS
3.5k Ω
Fig.3. Schema equivalente ai grandi segnali
per la determinazione del punto di lavoro
Si suppone che il Mosfet sia in condizioni di saturazione (forward active).
Si ricorda anzitutto che, in condizioni di saturazione, la corrente ID di drain di un Mosfet a canale n è funzione della
tensione tra gate e source VGS e della tensione di soglia (threshold) Vth secondo la relazione
2


µ n C′ox W
(VGS − Vth )2 = K (VGS − Vth )2 = IDSS  VGS − 1
(3)
2
L
 Vth

dove µn è la mobilità degli elettroni, C’ox è la capacità per unità di area tra gate e canale dovuta allo strato di ossido, W
è la larghezza del canale e L è la sua lunghezza. Le diverse forme della (3) definiscono implicitamente K=(µn C’ox /2)
(W/L) e IDSS =K Vth2 .
Nel caso di questo esercizio, IDSS =0.5 10-3 A, Vth =1 V e quindi K=IDSS /Vth2 =0.5 10-3 /12 =0.5 10-3 A/V2 .
ID =
Considerando la maglia che va dal gate del Mosfet al source e comprende il generatore VGG , la resistenza RGG , la
tensione gate-source VGS e la resistenza RS , si può scrivere
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-
Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune
VGG − R GGI G − VGS − R S IS = 0
e tenendo conto che IG =0 e che
(4)
I S = ID
(5)
V

ID = IDSS  GS − 1
 Vth

2
(6)
si ha da (4)
2
V

VGG − VGS − R S IDSS  GS − 1 = 0
 Vth

Sviluppando l’equazione (7), dove VGS è incognita, si ottiene
(7)
2
2
R S IDSS VGS
− (2R S IDSS − Vth ) Vth VGS − VGG Vth2 + R S IDSS Vth
=0
(8)
A = R S IDSS = 3.5 ⋅ 103 ⋅ 0.5 ⋅ 10 −3 = 1.75
(9)
Ponendo
(
)
B = −(2R S IDSS − Vth ) Vth = − 2 ⋅ 3.5 ⋅ 10 3 ⋅ 0.5 ⋅ 10 −3 − 1 ⋅ 1 = −2.5
2
C = − VGG Vth2 + R S IDSS Vth
= −10 ⋅ 12 + 3.5 ⋅ 10 3 ⋅ 0.5 ⋅ 10 −3 ⋅ 12 = −8.25
e sostituendo in (8) si ha
2
A VGS
+ B VGS + C = 0
(10)
(11)
(12)
Risolvendo la (12) si ricava
VGS =
− B ± B 2 − 4 A C 2.5 ± 2.52 − 4 ⋅ 1.75 ⋅ (− 8.25) 3
=
=
− 1.751
2A
2 ⋅ 1.75
(13)
La seconde soluzione, che è negativa, viene scartata: con tale valore di VGS infatti il Mosfet sarebbe interdetto. Si
assume quindi VGS =3 V. Sostituendo tale valore nella (4) si ricava
I S = ID =
VGG − VGS
10 − 3
=
= 2 mA
RS
3.5 ⋅ 10 3
(14)
Come si constata dallo schema di Fig.3, si ha
VD = VDD − R DID = 15 − 1.5 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 12 V
(15)
ed essendo IG =0 e quindi VG =VGG , si ha VS =VGG −VGS =10−3=7 V. La tensione drain-source è perciò
VDS = VD − VS = 12 − 7 = 5 V
Si conferma così che il Mosfet si trova in saturazione. Infatti VDS >VGS −Vth =3−1=2 V.
(16)
c – studio ai piccoli segnali
Dallo schema equivalente completo, azzerando i generatori in continua e quindi sostituendo i generatori di
alimentazione positiva e negativa con connessioni a massa, sostituendo i condensatori CIN e CO con corti circuiti e
inserendo tra Gate, Source e Drain lo schema equivalente del Mosfet ai piccoli segnali, si ottiene lo schema equivalente
ai piccoli segnali di Fig.4.
Poiché è noto il punto di lavoro del Mosfet, ed in particolare sono note la tensione gate-source VGS e la corrente di
drain ID , si può determinare la transconduttanza gm (che è un parametro ai piccoli segnali). Come è noto si ha
gm = 2 K ID =
2
Vth
IDSS ID =
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2
1
0.5 ⋅ 10 − 3 ⋅ 2 ⋅ 10 − 3 = 2.0 ⋅ 10 − 3 Siemens
-3
-
(17)
Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune
i in
+
vin
-
R IN
vi
ii
1k Ω
Ri
P1
RGG
333k Ω
vg G
ig
id
+
vgs
-
D vd
gmvgs
is
vs
Ro
P2
RD
1.5k Ω
i rd
vO
il
RL
10kΩ
S
RS
3.5k Ω
Fig.4. Schema equivalente ai piccoli segnali
E’ conveniente trasformare lo schema equivalente ai piccoli segnali, sostituendo il circuito connesso in gate con un
generatore equivalente di Thévenin, e riunendo in un’unica resistenza equivalente R’L le due resistenze RC e RL che,
come mostrato in Fig.4, sono in parallelo tra loro. Si ottiene lo schema equivalente ai piccoli segnali “ridotto” di Fig.5.
Dallo schema di Fig.4 la tensione “a vuoto” v’in, che si ottiene sconnettendo il circuito che comprende RIN , RGG ed il
generatore di tensione vin , vale
.
v ′in = v in ⋅
R GG
333 ⋅ 103
= v in ⋅
= v in ⋅ 0.997
R IN + R GG
1 ⋅ 103 + 333 ⋅ 103
(18)
La resistenza equivalente R’IN si ottiene nello stesso circuito annullando, cioè chiudendo in corto circuito, il generatore
di tensione vin . La R’IN è quindi data dal parallelo di RIN e di RGG
R IN R GG
1 ⋅ 103 ⋅ 333 ⋅ 103
=
= 997 Ω
R IN + R GG 1 ⋅ 103 + 333 ⋅ 103
Come detto, la resistenza equivalente R’L è data da
R ′IN = (R IN // R GG ) =
R ′L = (R D // R L ) =
i'in
RD RL
1.5 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 3
=
= 1.3 kΩ
R D + R L 1.5 ⋅ 10 3 + 10 ⋅ 103
R'IN
997Ω
+
v'in
-
(19)
vg G ig
id
+
vgs
is
vs
(20)
vO
D vd
gmvgs
i' l
R'L
1.3k Ω
S
RS
3.5k Ω
Fig.5. Schema equivalente ai piccoli segnali ridotto
Nello schema ridotto di Fig.5, ricordando che
i d = i s = g m v gs
(21)
ig = 0
(22)
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-
Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune
considerando la maglia che comprende gate, source, v’in , R’IN e RS si può scrivere
v ′in − R ′IN ig − v gs − R S is = 0
(23)
Tenendo conto che, secondo la (22), ig =0, si ha che vg =v’in . Inoltre, dalle (21), (22) e (23) si ricava
v ′in − [1 + gmR S ] v gs = 0
v gs = v ′in
(24)
1
1 + gm R S
(25)
e sostituendo nella (21)
gm
1 + gm R S
Dallo schema si vede anche che i’l =−id e vo =R’L i’l = −R’L id .Perciò
id = is = v ′in
(26)
gmR ′L
(27)
1 + gm R S
Si può definire un’amplificazione di tensione A’v =vo /v’in , riferita allo schema ridotto di Fig.5, che risulta dalla (27)
v o = −R ′L id = − v ′in
vo
gmR ′L
=−
(28)
′
v in
1 + gm R S
L’espressione (28) mostra che A’v ≈R’L /RS se gm >>1/RS . E’ da notare che, per la connessione a source comune,
l’amplificazione di tensione A’v è negativa.
Con i dati del caso in esame, dalla (28) si ricava
A ′v =
gmR ′L
2 ⋅ 10 −3 ⋅ 1.3 ⋅ 103
(29)
=−
= −0.325
1 + gm R S
1 + 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3.5 ⋅ 103
Volendo definire una resistenza di ingresso in gate rg =vg /ig del Mosfet a source comune con resistenza di source,
poiché ig =0, per questa connessione rg =∞. Analogamente si ha che l’amplificazione di corrente, relativa allo schema
ridotto e definita come A’i =i’l /i’in = −id /ig risulta infinita.
A ′v = −
E’ interessante rimarcare che lo schema ridotto di Fig.5 è lo schema tipico della connessione a source comune con
resistenza di source di un Mosfet, e che la formula (29) che dà l’amplificazione di tensione, è la formula classica
riportata in tutte le tabelle.
E’ necessario ora tornare allo schema ai piccoli segnali completo di Fig.4 per calcolare i parametri richiesti, relativi allo
schema completo.
A questo fine è opportuno esprimere le variabili dello schema in funzione del segnale di ingresso vin anziche di v’in .
Sostituendo nelle (26), (25), (27), (28) l’espressione di v’in data dalla (18) si ottiene
id = is = v in ⋅
v gs = v in ⋅
R GG
gm
⋅
R IN + R GG 1 + gmR S
(30)
R GG
1
⋅
R IN + R GG 1 + gmR S
(31)
R GG
R GG
g R′
⋅ m L = v in ⋅
⋅ A ′v
R IN + R GG 1 + gmR S
R IN + R GG
inoltre, essendo vi =vg =v’in dalla (18) si ricava
v o = − v in ⋅
v i = v g = v in ⋅
R GG
R IN + R GG
(32)
(33)
Poiché vi =vg =v’in , l’amplificazione di tensione relativa allo schema completo Av =vo /vi risulta uguale alla A’v
calcolata prima, con la (29), in relazione allo schema ridotto. Infatti è
Av =
vo
v
g R′
= o = A ′v = − m L = −0.325
vi
v ′in
1 + gmR S
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(34)
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Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune
Se si fosse voluta calcolare l’amplificazione complessiva Avt =vo /vin tra il segnale di ingresso e quello di uscita,
includendo l’attenuazione dovuta a RIN , dalla (32) si può ricavare
A vt =
vo
R GG
333 ⋅ 103
=
⋅ A′v = −
⋅ 0.325 = −0.324
v in R IN + R GG
1 ⋅ 103 + 333 ⋅ 103
(35)
Per calcolare l’amplificazione di corrente Ai =il /ii ,si osserva che, essendo nulla la corrente ig entrante nel gate, ii è data
solo dalla corrente in RGG . Questa corrente, a sua volta, dipende dalla tensione vi =vg . Si può dunque scrivere, in base
alla (33)
ii = irgg =
vg
R GG
= v in
1
R IN + R GG
(36)
Da Fig.4 si vede che la corrente id = −i’l si ripartisce tra le resistenze RD e RL . Come è noto, le relative correnti ird e il
stanno in proporzione inversa alle resistenze (infatti, ird =vo /RD , il =vo /RL e id = −(ird +il )). Tenuto conto dei versi, si
può dunque scrivere
il = −id
RD
RD + RL
(37)
Dalle (36) e (37), tenendo conto della (30), l’amplificazione di corrente relativa allo schema completo risulta
Ai =
i
g R
il
i
v
RD
= − l ⋅ d ⋅ in = −
⋅ m GG
ii
− id v in ii
R D + R L 1 + gmR S
(38)
e introducendo i valori numerici
Ai = −
g R
RD
1.5 ⋅ 10 3
2 ⋅ 10 −3 ⋅ 333 ⋅ 103
⋅ m GG = −
⋅
= −10.86
R D + R L 1 + gmR S
1.5 ⋅ 10 3 + 10 ⋅ 10 3 1 + 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3.5 ⋅ 103
(39)
Come si vede, pur essendo nulla la corrente ig entrante nel gate del Mosfet, la corrente ii entrante nello stadio non è
nulla, a causa della presenza del partitore e quindi della resistenza RGG .
Si osserva inoltre che, essendo la corrente ii entrante nello stadio uguale alla iin erogata dal generatore vin (Fig.4),
l’amplificazione di corrente complessiva Ait =il /iin risulta uguale all’amplificazione Ai calcolata rispetto alla corrente
entrante nello stadio.
L’amplificazione di potenza si ricava dalla formule precedenti
Ap =
Wl v o ⋅ il v o il
=
=
⋅ = A v ⋅ A i = (− 0.325) ⋅ (− 10.86 ) = 3.53
Wi
v i ⋅ ii
v i ii
(40)
Per calcolare la resistenza di ingresso Ri nel punto P1 (Fig.4) si suppone di sconnettere tutta la parte esterna, cioè il
generatore di tensione vin e la resistenza RIN , di annullare nel circuito rimanente tutti i generatori indipendenti (non ve
ne sono) e di collegare in P1 un generatore di prova vx . Si ottiene la configurazione di Fig.6.
Dallo schema, tenendo conto che ig =0, la corrente ix iniettata da vx nel punto P1 risulta
ix =
vx
R GG
(41)
Ri =
vx
= R GG = 333 kΩ
ix
(42)
e perciò
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Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune
Ri
P1
vg G
RGG
333k Ω
ix
+
vx
-
ig
id
+
vgs
-
D vd
vO
gmvgs
is
vs
RD
1.5k Ω
i rd
il
10kΩ
S
RS
3.5k Ω
Fig.6. Schema per il calcolo dell’impedenza di ingresso Ri .
Per calcolare la resistenza di uscita Ro nel punto P2 (Fig.4) si suppone di sconnettere tutta la parte esterna, che in questo
caso si riduce alla resistenza di carico RL , di annullare nel circuito rimanente tutti i generatori indipendenti,
cortocircuitando il generatore di segnale vin , e di collegare in P2 un generatore di prova vx . Si ottiene la configurazione
di Fig.7.
R IN
1k Ω
vi
ii
vg G
RGG
333k Ω
ig
id
+
vgs
-
D vd
gmvgs
is
vs
P2
i rd
S
Ro
RD
ix
1.5k Ω
+
vx
-
RS
3.5k Ω
Fig.7. Schema per il calcolo dell’impedenza di uscita R’o
E’ evidente, dallo schema, che ix =ird +id e che vd =vo =vx . Perciò ird =vx /RD .
La corrente id provocata dalla tensione vx applicata al drain è nulla. Infatti, supponendo ad esempio che si abbia una
corrente id positiva, si dovrebbe avere anche una corrente is uguale uscente dal source. Tale corrente provocherebbe in
RS una caduta che porterebbe vs ad un valore positivo. Poiché il gate è connesso a massa attraverso RIN in parallelo a
RGG e con ig =0, si ha vg =0 e quindi la tensione vgs =vg −vs risulterebbe negativa. Ma, per la (21), id =gm vgs e quindi id
dovrebbe essere negativa, il che è in contrasto con quanto supposto inizialmente. Perciò non vi può essere corrente id
positiva. In modo simile si dimostra che non si può avere id negativa causata da vx .
Si conclude che ix =ird +id =irc =vx /RD. L’impedenza di uscita risulta dunque
vx
= R D = 1.5 kΩ
(49)
ix
Si può osservare che, nel caso si fosse dovuto tener conto dell’effetto di modulazione della lunghezza di canale, si
sarebbe dovuta definire una corrispondente resistenza ro in parallelo al generatore di corrente comandato gm vgs nello
schema equivalente ai piccoli segnali del Mosfet. L’effetto di tale resistenza è normalmente trascurabile nel calcolo di
tutti i parametri considerati in questo esercizio, tranne che nella determinazione di Ro. Per quest’ultima, soprattutto con
valori alti di RD e di RL , l’espressione di Ro avrebbe incluso anche l’effetto di ro .
Ro =
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Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune
d – condensatore di by-pass in parallelo a RS
E’ interessante valutare come cambiano le amplificazioni dello schema nel caso, abbastanza frequente, che in parallelo
a RS venga connesso un condensatore CS , come mostrato in Fig.8.
VDD= 15 V
i in
+
vin
-
R IN vi
ii Ri
P1
C IN
R1
500kΩ
RD
1.5k Ω
M1
1k Ω
R2
1MΩ
CS
CO
P2
I DSS = 0.5 mA
K= 0.5 mA/V 2
V th = 1 V
Ro
vO
il
RL
10kΩ
RS
3.5k Ω
Fig.8. Circuito con Mosfet connesso a Source Comune con resistenza di source
avente in parallelo un condensatore di by-pass
Un tale condensatore, come gli altri dello schema, purché di valore adeguato si comporta come un circuito aperto in c.
continua e come un corto circuito a media frequenza. Perciò, lo schema ai grandi segnali che si può derivare da Fig.8 è
uguale a quello di Fig.3, ricavato nel caso che il condensatore CS non vi sia. Di conseguenza, il punto di lavoro, ed in
particolare la corrente ID , rimangono gli stessi.
Ai piccoli segnali, la transconduttanza gm che, secondo la (17), è funzione di ID rimane anch’essa invariata a gm =2
10-3 Siemens.
Invece, nello schema ai piccoli segnali di Fig.4, ed anche in quello ridotto di Fig.5 ed in quelli derivati di Fig.6 e Fig.7,
la resistenza RS risulta cortocircuitata.
Perciò, nelle (29) e (34), che danno le amplificazioni di tensione A’v =Ava , la RS assume valore nullo.
Per l’amplificazione di tensione la (34) diventa
vo
v
g R′
2 ⋅ 10 −3 ⋅ 1.3 ⋅ 103
= o = A ′v = − m L = −
= −2.6
vi
v ′in
1 + gmR S
1 + 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ 0
Per l’amplificazione di corrente, la (39) diventa
Av =
(50)
g R
RD
1.5 ⋅ 10 3
2 ⋅ 10 −3 ⋅ 333 ⋅ 10 3
⋅ m GG = −
⋅
= −86.87
R D + R L 1 + gmR S
1.5 ⋅ 10 3 + 10 ⋅ 10 3 1 + 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3.5 ⋅ 0
e per l’amplificazione di potenza, la (40) diventa
Ai = −
(51)
Wl
= A v ⋅ A i = (− 2.6) ⋅ (− 86.87 ) = 225.9
(52)
Wi
Invece, come si può constatare dalle espressioni (42) di Ri e (49) di Ro , poiché in tali espressioni non figura RS , le
resistenze di ingresso e di uscita rimangono invariate.
Ap =
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-8
-
Esempio di Amplificatore a Mosfet a source comune