y - artemate

DERIVATA PRIMA : y’(xo)
RAPPORTO INCREMENTALE
Rapporto fra
incremento di ordinata
∆y= f(xo +h) - f(xo)
e incremento di ascissa f(x +h)
o
∆x = h
B
A
f(xo)
!y f (x 0 + h) " f (x 0 )
=
!x
h
x+q
y=m
α
∆y
α
∆x
xo
xo+h
SIGNIFICATO GEOMETRICO
- coefficiente angolare m della retta secante AB;
- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
Derivata della FUNZIONE COSTANTE
APPLICANDO LA DEFINIZIONE
y=k
Calcolo prima il Rapporto incrementale R.I.
f(x+h) vuol dire sostituire x+h al posto di x e in questo caso,
poiché non c’è la x, rimane uguale a k: f(x+h) = k
f(x) è uguale alla funzione stessa:
f(x) = k
R.I. =
E’ il LIMITE ( se esiste )
per h che tende a zero
del Rapporto Incrementale
!y
f (x + h) # f (x 0 )
= lim 0
!x"0 !x
h "0
h
lim 0 = 0
h !0
R.I.=
f (x + h) ! f (x) (x + 2xh + h ) ! (x )
=
=
h
h
2
2hx + h
h( 2 x + h)
=
= 2x + h
h
h
2
y’(x)= lim 2 x + h = 2 x + 0 = 2 x
h !0
analogamente ricavo:
2
R.I.=
e
D[x4]=4x3
REGOLA generale: DERIVATA DI UNA POTENZA
y=xn
y’=nxn-1
D[xn]=nxn-1
y=x
f (x + h) ! f (x) (x + h) ! (x)
=
=
h
h
x+h!x h
=
= = 1 Rapporto incrementale
h
h
Calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
y’(x)=
lim1 = 1
DERIVATA
PRIMA
h !0
D[x]=1
La Derivata di y=x è y’=1
DERIVATA DELLA radice quadrata
f (x + h) ! f (x)
=
h
y’(x)= lim
h !0
Rapporto Incrementale
D[x3]=3x2
xo+h
calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h
f(x) è uguale alla funzione stessa : f(x) = x
2
Derivata prima
D[x2]=2x
xo
DERIVATA DELLA FUNZIONE IDENTITA’
R.I.=
f (x) = x 2
xo
α
SIGNIFICATO GEOMETRICO:
- coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A
- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
REGOLA : la derivata della funzione
costante y=k è sempre ZERO
f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2
A
y’(xo) calcolata in x0 è un numero
y’(x) è la “funzione derivata”
Derivata prima
D[k]=0
DERIVATA DELLA FUNZIONE QUADRATICA y = x 2
B
lim
f (x + h) ! f (x) k ! k 0
=
= =0
h
h
h
Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
y’(x)=
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
y=
m
x+
q
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
x+h! x
h
x+h " x 0
=
h
0
f (x) = x
Rapporto incrementale
La forma indeterminata si toglie
razionalizzando il numeratore
lim
( x+h"
h
lim
h
1
1
1
= lim
=
=
h( x + h + x ) h !0 ( x + h + x ) ( x + x ) 2 x
h! 0
h !0
x) ( x + h +
#
( x+h+
DERIVATA della
Radice quadrata
x)
x+h"x
=
x ) h( x + h + x )
D[ x ] =
1
2!
x
=
x
2x
1
DERIVATE di funzioni ELEMENTARI
y=k
y’=0
Derivata della costante isolata
y=x
y’=1
Derivata della funzione identità
y=xn
y’=nxn-1
Derivata della potenza
y= x
y' =
Esercizi SVOLTI : DERIVATE
DI FUNZIONI ELEMENTARI
y ' = 12 x 3 ! 10 x + 4 ! 0
y = 3x ! 5 x + 4 x ! 7
4
2
y = 3 x ! 5x
y = 3 ln x ! 4e x
y'=
3
3 x
3 x !10x
!5 =
!5 =
2x
2x
2 x
1
2 x
1
y' =
x
Derivata[logaritmo a base e]:
inverso dell’argomento
y = 2 cos x ! 8senx y' = !2senx ! 8 cos x
y = ex
y' = e x
Derivata[f.esponenziale]:se stessa
NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza
y = senx
y ' = cos x
Derivata [seno]= è il coseno
y = cos x
y ' = ! senx
Derivata [coseno]= meno il seno
y = ln x
Derivata della radice quadrata
y = 43 x 2
REGOLE DI DERIVAZIONE
y' = f'(x)+ g'(x)
y = 4x
2
2
3
y' = k·f'(x)
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
y' = ----------------------------[g(x)]2
Derivata della Funzione COMPOSTA
y = f(g(x))
y' = f'(g(x))·g’(x)
1- Derivare la funzione f ESTERNA (ricopiando il contenuto g)
2- moltiplicare per la derivata del “CONTENUTO” g
Esempio:
y = (4 x ! 2)
Derivo la funzione
esterna POTENZA
3
Derivo il “CONTENUTO”
cioè la base
y' = 3(4x ! 2) • (4 ! 0) = 12 "(4x ! 2)
2
2
1
x
y' =
y=
x 2 ! 4x
x+5
y' =
(2 x " 4) ! ( x + 5) " ( x 2 " 4 x) ! (1 + 0)
( x + 5) 2
y=
cos x
senx
y' =
" senx ! senx " cos x ! cos x
( senx) 2
Derivata del quoziente di due funzioni
f(x)
y = -------g(x)
1
y = x iln x
Derivata del prodotto di due funzioni
y = f(x)·g(x)
DI FUNZIONI ELEMENTARI
4
2
y = (3x 4 ! 5x 2 )i(x ! 3) y' = (12 x ! 10) " ( x ! 3) + (3x ! 5x ) " (1 ! 0)
Derivata del prodotto di una costante K per una funzione
y = k·f(x)
1
2 "1 8 "
8
8
y'= 4 ! x 3 = x 3 = 1 = 3
3
3
3
x
3x 3
Esercizi SVOLTI : DERIVATE
Derivata della somma di due o più funzioni
y = f(x)+g(x)
3
! 4e x
x
y' =
2 x
! ln x + x !
…proseguire svolgendo i calcoli
Esercizi svolti :
DERIVATA della FUNZIONE COMPOSTA
y = ( x 4 ! 5x 2 ) 4
y' = 4(x 4 ! 5x 2 )3 • (4x 3 ! 10x)
y=
y' =
x 2 + 5x
1
2 x + 5x
2
• (2 x + 5) =
2x + 5
2 x 2 + 5x
1
• (3x 2 ! 4 + 0)
x ! 4x + 6
y = ln( x 3 ! 4 x + 6)
y' =
y = cos( x 3 ! 9 x)
y ' = ! sen( x 3 ! 9 x) • (3 x 2 ! 9)
3
proseguire svolgendo eventuali calcoli
2