L.Lecci\Compito 1D-PNI\ 24 maggio 2004
Liceo Scientifico G. Stampacchia
Tricase
1
Tempo a disposizione
120 minuti
Oggetto: compito in classe 1D
Argomenti: Teorema del resto- Divisione fra polinomi e fattorizzazione - Equazioni numeriche e
letterali di primo grado- Problema di primo grado numerico ad un’incognita – Problema geometrico
di primo grado- Problemi di geometria sintetica - Sistemi di equazioni di primo grado – Informatica.
Soluzione
Algebra
Es_1) (m) Considerato il polinomio
P ( x) = 8ax 3 − 4ax 2 + 2(1 − a) x + a − 1 ,
dopo aver determinato il valore del parametro a per il quale la divisione P( x) : ( x + 2)
è esatta, scomporre in fattori il corrispondente polinomio P(x).
Es_2)(m) Risolvere e discutere la seguente equazione letterale nell’incognita x
mx + 2
mx 2
− 2
=0
x − 2 x − 4x + 4
Es_3)(m) Problema numerico di primo grado.
Determinare i due numeri naturali pari consecutivi tali che i tre mezzi del minore superano di 2 i
cinque quarti del maggiore.
Es_4) (m)Risolvere i seguenti sistemi di equazioni
9
3
x − y − x + y = 0
2 x + y = 2 + a
4.2
4.1
(a − 1) x + (a + 2) y = 4 − a
x − 2 y − 4 y = −8
2
5
Geometria
Problema_1
Si consideri un triangolo scaleno ABC con AB>AC e si prenda su AB il punto C′ in modo che AC′
≅ AC e sulla semiretta del lato AC il punto B′ in modo che si abbia AB′≅AB. Dimostrare che il
quadrilatero BB′CC′ è un trapezio isoscele.
Problema_2 (m)
Nel quadrilatero convesso ABCD per le ampiezze degli angoli interni è noto che:
3
Bˆ = Aˆ , Cˆ = Bˆ , Dˆ = Bˆ + Cˆ − Aˆ .
2
Determinare le ampiezze degli angoli interni del quadrilatero e classificare il poligono.
1)
2)
Si supponga che CD≅AD e si tracci la bisettrice dell’angolo interno D̂ ; sia E il punto in
cui tale semiretta incontra il lato AB.
Determinare le ampiezze degli angoli dei triangoli ADE, DEC, ECB.
2.1
Dimostrare che la diagonale AC taglia il segmento DE nel suo punto medio.
2.2
Costruire la figura geometrica relativa al problema in modo che abbia le proprietà
2.3
indicate.
Informatica
Costruire un programma in T.P. che risolve il seguente problema:
L’utente deve dare in input due numeri naturali A, B con A≤ 100 e B≤ 1000 ed il programma deve
stampare tutti i multipli di A che non superano il numero B.
L’output fornito deve presentare i multipli di A disposti su righe contenenti 10 numeri ed indicare
quanti multipli sono stati stampati.
N.B. Nel programma si deve prevedere il controllo per la qualità dei numeri A e B inseriti; se i dati
non rispettano i criteri indicati si deve segnalare un messaggio di errore per l’utente e consentire la
reimmissione di dati adeguati.
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Soluzione
Algebra
Es_1)
P ( x) = 8ax 3 − 4ax 2 + 2(1 − a) x + a − 1
(1)
Valore del parametro a
Ricordiamo che nella divisione tra polinomi del tipo P ( x) : ( x + α ) , in virtù del teorema del resto, il
resto R della stessa può essere determinato senza eseguire la divisione e risulta:
R=P(-α). Ciò premesso, calcoliamo il resto della divisione proposta. Si ha:
R = P(−2) = 8a(−2)3 − 4a (−2) 2 + 2(1 − a)(−2) + a − 1 = −75a − 5
Poiché si vuole che la divisione sia esatta dovrà essere nullo il resto trovato e dunque il parametro a
deve essere soluzione dell’equazione
1
−75a − 5 = 0 ⇔ a = −
15
Sostituendo questo valore al parametro nel polinomio P(x), dopo semplici operazioni si ha:
8
4
32
16
P ( x) = − x3 + x 2 + x −
15
15
15
15
Scomposizione in fattori di P(x)
Osserviamo preliminarmente che il polinomio P(x) si può scrivere nella forma
4
P ( x) = − (2 x3 − x 2 − 8 x + 4)
15
Per scomporre in fattori il polinomio (2 x3 − x 2 − 8 x + 4) si può procedere velocemente tramite
raccoglimenti parziali e successivamente tener conto del caso notevole della differenza di due
quadrati. Riportiamo di seguito i passaggi.
4
4
4
P ( x) = − x 2 (2 x − 1) − 4(2 x − 1) = − ( x 2 − 4)(2 x − 1) ⇒ P ( x) = − ( x + 2)( x − 2)(2 x − 1)
15
15
15
Es_2)
L’equazione in esame è razionale fratta e presenta il parametro m. Per la risoluzione è necessario
precisare il dominio di definizione, cioè per quali valori dell’incognita x ha senso, e di ciò si dovrà
tener conto nell’individuazione dell’eventuale soluzione.
Si riconosce immediatamente che il denominatore della seconda frazione è lo sviluppo del quadrato
(x-2)2 e quindi l’equazione si può porre nella forma
mx + 2
mx 2
(2.1)
−
=0
x − 2 ( x − 2) 2
Il primo membro ha senso per ogni valore reale x ≠ 2. L’equazione si può trasformare nella
seguente forma equivalente
(mx + 2)( x − 2) − mx 2 = 0
(mx + 2)( x − 2) − mx 2
=0⇔
(2.2)
( x − 2) 2
x ≠ 2
Dopo aver eseguito i prodotti e semplificato l’espressione si ricava
(m − 1) x = −2
(2.3)
2
. Occorre però
Quest’equazione ammette soluzione se (m-1) ≠ 0, cioè se m ≠ 1 ed è x =
1− m
discutere l’accettabilità del valore trovato come soluzione dell’equazione di partenza, verificare,
2
≠ 2 . Ebbene, poiché con m ≠ 1 si ha:
quindi, che sia x =
1− m
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3
2
= 2 ⇔ m = 0 deduciamo che per m=0 il valore trovato non è accettabile come soluzione
1− m
dell’equazione (2.1) perché coincide proprio con il valore 2 (che non appartiene al dominio di
definizione) e quindi non
Discussione dell’equazione ( m − 1) x = −2 , con x ≠ 2
essendoci altra soluzione
Caso
Risultato
l’equazione è impossibile.
Se m=0
L’equazione è impossibile perché si ricava
Se m=1 l’equazione (2.3) si
x=2 che non è accettabile come soluzione.
riduce alla forma
Se m=1
L’equazione si riduce alla forma 0x= -2
0x= -2
che non è soddisfatta da alcun valore di x,
che è impossibile.
dunque l’equazione è impossibile.
Se m ≠ 0 ed m ≠ 1 l’equazione
Se (m ≠ 0) e (m ≠ 1) L’equazione è determinata e la soluzione è
è determinata e la soluzione è:
2
x=
2
x=
.
1− m
1− m
Es_3) Problema numerico di primo
Formalizziamo il problema. Indichiamo con x il minore dei due numeri naturali pari richiesti; il
successivo è x+2. La condizione cui devono verificare i due numeri porta alla seguente equazione:
3
5
x = ( x + 2) + 2
2
4
Liberando l’equazione dai denominatori otteniamo
6 x = 5 x + 10 + 8 ⇒ x = 18
I due numeri richiesti sono pertanto 18 e 18+2=20.
Es_4) Risoluzione dei sistemi
4.1
9
3
x − y − x + y = 0
x − 2 y − 4 y = −8
2
5
La prima equazione è razionale fratta e per la sua esistenza è necessario imporre le due
condizioni
x − y ≠ 0, x + y ≠ 0 .
Ciò premesso si riducono le due equazioni alla forma normale:
3( x + y ) − 9( x − y ) = 0
−6 x + 12 y = 0
x = 2 y
x = 20
⇔
⇔
⇒
5( x − 2 y ) − 8 y = −80
5 x − 18 y = −80
8 y = 80 y = 10
La coppia dei valori trovati verifica le due condizioni di esistenza, quindi si accetta come
soluzione del sistema.
4.2
2 x + y = 2 + a
(a − 1) x + (a + 2) y = 4 − a
Il sistema è letterale e le due equazioni, intere, sono già ridotte alla forma normale. Il
metodo che meglio consente di risolvere e discutere il sistema è quello di Cramer. Lo
applichiamo.
Calcoliamo i tre determinati.
2
1
D=
= 2(a + 2) − (a − 1) = a + 5 ;
a −1 a + 2
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2+a
1
= (a + 2) 2 − (4 − a ) = a (a + 5) ;
4−a a+2
2
2+a
Dy =
= 2(4 − a ) − (a − 1)(2 + a ) = −(a + 5)(a − 2)
a −1 4 − a
Discussione
Se risulta D≠0, quindi per a≠-5, il sistema è determinato e la soluzione è:
D
D
a(a + 5)
−(a + 5)(a − 2)
x= x =
=a;
y= y =
= 2−a
D
a+5
D
a+5
Per a = -5 ⇒ D=0, Dx=0, Dy=0 e perciò il sistema è indeterminato, ammette cioè infinite
soluzioni. Per ricavare la forma algebrica delle soluzioni poniamo a = -5 nelle equazioni
del sistema ⇒
2 x + y = 2 − 5
2 x + y = −3
2 x + y = −3
⇔
⇔
(−5 − 1) x + (−5 + 2) y = 4 − (−5)
−6 x − 3 y = 9
2 x + y = −3
Come si vede le due equazioni che compongono il sistema sono coincidenti e quindi per
determinare le soluzioni del sistema basta considerare una delle due.
Le infinite soluzioni si possono ottenere fissando arbitrariamente il valore di una delle due
incognite e determinando il valore della seconda in funzione di quello della prima. Per
esempio, ponendo x =α ⇒ y=-3-2α. Le infinite soluzioni del sistema sono allora le coppie
ordinate (α;-3-2α), con α∈R.
Dx =
4
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Geometria
Problema_1
Facciamo riferimento alla Fig.1
Per dimostrare la tesi che il quadrilatero B B′C C′ è un
trapezio isoscele occorre provare che ha due lati paralleli
e che i lati obliqui sono tra loro congruenti, oppure che
sono tra loro congruenti gli angoli adiacenti a ciascuna
base.
Ebbene, per costruzione sappiamo che AC′≅ AC e che
AB′≅ AB, dunque i due triangoli ACC′, ABB′ sono
isosceli rispettivamente sulle basi CC′, BB′; poiché i due
triangoli hanno in comune l’angolo nel vertice A,
ricordando che la somma degli angoli interni di un
triangolo misura 180°, deduciamo che hanno la stessa
ampiezza anche gli angoli alle due basi CC′, BB′. A questo punto, considerando i due angoli AC′C,
ABB′ possiamo osservare che formano una coppia di angoli corrispondenti rispetto alle rette delle
basi CC′, BB′ tagliate dalla trasversale AB e pertanto sono paralleli i segmenti CC′, BB′, dunque il
quadrilatero CC′BB′ è un trapezio.
Osserviamo ancora che sussiste la seguente catena di congruenze
C′B≅AB-A C′≅AB′-AC≅C B′
e quindi il trapezio ha anche i lati obliqui congruenti, perciò è isoscele.
Problema_2
1) Facciamo riferimento alla figura Fig.2a
In virtù delle ipotesi sulle ampiezze degli angoli
3
Bˆ = Aˆ , Cˆ = Bˆ , Dˆ = Bˆ + Cˆ − Aˆ ,
2
indicando brevemente con x l’ampiezza dell’angolo nel
vertice A si ha
3
3
3
3
 = x , Bˆ = x , Cˆ = x , Dˆ = x + x − x = 2 x
2
2
2
2
e ricordando che la somma degli angoli interni di un
quadrilatero convesso è due angoli piatti possiamo
impostare l’equazione nell’incognita x:
3
3
x + x + x + 2 x = 360°
2
2
che risolta fornisce x=60°. Le ampiezze degli angoli del
quadrilatero sono allora:
3
Aˆ = 60° , Bˆ = Cˆ = ⋅ 60° = 90° , Dˆ = 2 ⋅ 60° = 120°
2
Classificazione del poligono
Il quadrilatero ha due angoli consecutivi retti, Bˆ = Cˆ = 90°
per cui i lati AB, DC sono paralleli tra loro perché
perpendicolari allo stesso lato BC e quindi il quadrilatero è
un trapezio rettangolo.
2)
2.1 Ampiezze degli angoli dei triangoli ADE, DCE, ECB.
Triangolo ADE
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ˆ misura 60°; inoltre sapendo che DE è bisettrice dell’angolo ADC che misura
L’angolo DAE
ˆ =60° e quindi anche il terzo angolo AED
ˆ misura 60° ⇒ il
120° si deduce che ADE
triangolo ADE è equilatero.
Triangolo DCE
Sappiamo per ipotesi che DC ≅ AD e che dall’essere equilatero il triangolo ADE si ha
anche DE ≅ AD ; per transitività ricaviamo che il triangolo DCE è isoscele sulla base CE.
ˆ = 60° scaturisce che il triangolo è addirittura equilatero
Osservato ora che CDE
ˆ = 60° .
⇒ DCE
Triangolo ECB
Questo triangolo ha l’angolo retto nel vertice B ed inoltre risulta
ˆ = BCD
ˆ − DCE
ˆ = 90° − 60° = 30°
BCE
ˆ misura 60°.
Pertanto il terzo angolo BEC
2.2
Dimostrare che la diagonale AC taglia il segmento DE nel suo punto medio
Avendo acquisito che sono equilateri i due triangoli ADE, DEC, si deduce che i segmenti DC ed
AE, paralleli tra loro, sono anche congruenti e quindi il quadrilatero ADCE è un parallelogramma
(esso è addirittura un rombo perché ha due lati consecutivi congruenti). Osservato che AC e DE
sono le diagonali del parallelogramma ADEC e ricordando che in un parallelogramma le diagonali
si tagliano scambievolmente a metà si deduce che il punto M in cui AC taglia DE è il punto medio
di quest’ultimo segmento.
2.3 La figura Fig.2b rappresenta un quadrilatero con le caratteristiche geometriche descritte nel
testo.
Informatica
Riportiamo la codifica di una soluzione del problema proposto.
Program Mult_A_B;
Uses Crt;
Var A,B,I,ContaM:Integer;
Begin
Clrscr;
Write(' Inserisci due numeri naturali A e B positivi, con A<=100 e B<=1000;');
Writeln('il programma stampa tutti i multipli di A che non superano B.');
Repeat
Write(' A= '); Readln(A);
If (A>100) Or (A<=0) Then
Write(' il numero non è accettabile;inseriscine un altro. 0<A<=100 ');
Until (A>0) and (A<=100);
Repeat
Write(' B= '); Readln(B);
If (B>1000) Or (B<=0) Then
Write(' il numero non è accettabile;inseriscine un altro. 0<B<=1000');
Until (B>0) and (B<=1000);
If (A>B) Then Writeln('Non esistono multipli di ', A,' non superiori a ', B)
Else Begin
Textcolor(14);Writeln(' Multipli di ', A,' che non superano ',B);
ContaM:=0;I:=0;
Repeat
I:=I+1;
If (A*I<=B) Then
Begin
Write(A*I:3,' ');
ContaM:=ContaM+1; (* contatore dei multipli stampati*)
If (ContaM Mod 10) = 0 Then Writeln;
(* Su ogni riga si scrivono massimo 10 multipli.*);
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End;
Until (A*I>B);
Writeln; Textcolor(2);
Writeln(' Sono stati stampati ',ContaM,' multipli di ',A);
End;
Repeat Until Keypressed;
End.
7
