ESERCIZI SU DIVISIBILITA` NEI NATURALI (1)

ESERCIZI SU DIVISIBILITA’ NEI NATURALI
(1) Sia R la relazione binaria su N definita da:
aRb
⇔
M CD(a, b) = 1
Si ha:
V F
V F
V F
R è riflessiva;
R è simmetrica;
R è transitiva.
(2) Siano a, b, c numeri naturali. Si ha:
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
se
se
se
se
se
se
se
se
se
se
a|b + c allora a|b oppure a|c;
a|b oppure a|c allora a|b + c;
a|b e a|c allora a|b + c;
a|c e b|c allora ab|c;
a|c e b|c allora ab|c2 ;
ab|c allora a|c e b|c;
a|c e b|c allora a + b|c;
a|c allora a|cn , per ogni n ∈ N;
a|c allora an |cn , per ogni n ∈ N;
a|c allora an |c, per ogni n ∈ N.
(3) Nel risolvere questo esercizio, ricordarsi che se p è primo e p|ab allora
p|a oppure p|b.
Sia p un numero primo, a, b due numeri naturali tali che p2 |ab . Si
ha:
V F
V F
V F
p|a oppure p|b;
p2 |a oppure p2 |b;
p2 |a2 oppure p2 |b2 .
(4) Siano a, b due numeri naturali a, b ≥ 1, e sia M CD(a, b) il loro
massimo comun divisore e mcm(a, b) il loro minimo comune multiplo.
Si ha:
V F
V F
V F
M CD(a, b)|mcm(a, b);
mcm(a, b)|M CD(a, b);
Se M CD(a, b) = 1 allora mcm(a, b) = a · b.
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(5) Trovare il massimo comun divisore di 36 e 56 urilizzando la fattorizzazione unica in primi e l’algoritmo di Euclide. Esprimere tale
massimo comun divisore come combinazione lineare di 36 e 56.
Due numeri a, b si dicono relativamente primi se M CD(a, b) = 1,
cioè l’unico numero che divide sia a che b è 1. Ad esempio, 9 e 14
sono relativamente primi.
(6) Dimostrare che 43 e 16 sono relativamente primi utilizzando l’algoritmo di Euclide. Esprimere il numero 1 come combinazione lineare
di 43 e 16.
(7) Dati a, b interi, supponiamo che 1 sia combinazione lineare di a e b.
Dimostrare che M CD(a, b) = 1
(suggerimento se d è un divisore comune di a, b allora d divide ogni
combinazione lineare di a e b, quindi d divide . . . ).
(8) Utilizzare l’esercizio precedente per dimostrare che M CD(n, n+1) =
1, per ogni n ∈ N.
(9) Dati a, b interi non entrambi nulli, dimostrare che M CD(a, b) = 1
allora ogni numero intero si può scrivere come combinazione lineare
di a e b.
(10) Siano a, b numeri naturali e n ≥ 1. Dimostrare che, se M CD(a, n) =
1 e M CD(b, n) = 1 allora M CD(ab, n) = 1. (suggerimento: fare
una dimostrazione per assurdo, ricordando che se un primo divide
un prodotto, allora deve dividere uno dei fattori).
(11) Calcolare il numero dei divisori di un numero n se la fattorizzazione
in primi distinti di n è
n = pα1 1 . . . pαk k .
(12) Se a, b sono numeri naturali con la seguente fattorizzazione in numeri
primi distinti:
a = pα1 1 . . . pαk k
b = pβ1 1 . . . pβk k ,
qual è la fattorizzazione del numero a × b?
(13) Dimostrare che
a · b = M CD(a, b) · mcm(a, b).
(Suggerimento, utilizzare l’esercizio precedente).
(14) Siano a > 0, b > 0 e c > 0; dimostrare che, se a|c, b|c e M CD(a, b) =
1, allora ab|c
(dare due dimostrazioni: una utilizzando l’identità di Bezout, l’altra utilizzando io Teorema della fattorizzazione unica in prodotto di
primi,)
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(15) Dimostrare che, se b, c sono numeri interi relativamente primi e d =
M CD(b − c, b + c), allora d = 1 oppure d = 2.
(16) Se q è un numero razionale tale che sia 18q che 25q sono interi,
allora q è un intero. (Suggerimento: scrivere q = m
n con m, n interi
relativamente primi (cioè: (m, n) = 1); dalle ipotesi segue che n|18m
e n|25m, quindi. . . ).
(17) Determinare i numeri naturali n per cui n2 − 1 è primo.
(18) Se p è un numero primo e k un numero naturale, dimostrare che
vale, per ogni a con 1 ≤ a ≤ pk :
M CD(a, pk ) 6= 1 ⇔ a è un multiplo di p.
Dedurre qundi che i numeri a con 1 ≤ a ≤ pk e M CD(a, pk ) 6= 1
sono pk−1 .
Dedurre infine che il numero dei numeri più piccoli di pk e relativamente primi con pk è pk − pk−1 .