MACCHINE-Lezione 2
Elementi di termofluidodinamica
applicata alle macchine
Dr. Paradiso Berardo
Laboratorio Fluidodinamica delle Macchine
Dipartimento di Energia
Politecnico di Milano
Equazioni fondamentali
•
Continuità (conservazione della massa)
•
Conservazione dell’energia
1° Legge della Termodinamica per sistemi aperti
1° Legge della Termodinamica per sistemi chiusi
Formulazione meccanica della conservazione
dell’energia
2a Legge della termodinamica, entropia, entalpia.
•
•
Conservazione della quantità di moto e del momento
della quantità di moto.
Equazioni fondamentali
Equazione di continuità (forma generale)
Si consideri il sistema isolato delimitato da S0 (chiusa agli scambi di materia),
S1 ed S2
m=
∫ ρdΩ
Ω0
Il principio di conservazione della massa afferma:
dm
d
=
dt
dt
d
∂
(
)
ρ
d
Ω
=
ρ
d
Ω
⇒
∫Ω
∫Ω dt
∂t
0
0
∫ ρdΩ + ∫
V
Equazione di continuità (forma generale)
r r
ρ v ⋅ n dS
S1 , S 2
Equazioni fondamentali
Equazione di continuità (forma monodimensionale)
Ipotesi:
1) Flusso stazionario
2) Flusso monodimensionale
V
V
V
Equazioni fondamentali
Equazione di continuità
L’assunzione di monodimensionalità permette di calcolare la portata
volumetrica attraverso la sezione A che è ortogonale alla velocità del flusso nel
seguente modo:
V& = Av
La portata massica è calcolata moltiplicando la portata volumetrica per la
densità:
m& = ρV& = ρAv
Equazioni fondamentali
Equazione di continuità (forma monodimensionale)
Se consideriamo il flusso attraverso un condotto la
cui sezione di ingresso è A1 (velocità v1) e di
uscita è A2 (velocità v2)
Se il flusso è stazionario la quantità di massa all’interno del volume non cambia
con il tempo in un intervallo di tempo, la portata massica entrante attraverso
A1 sarà uguale a quella uscente da A2 e uguale a quella in ogni sezione A del
condotto. La equazione di continuità (conservazione della massa) per flussi 1D
stazionari è:
m& = ρ1 ⋅ A1 ⋅ v1 = ρ 2 ⋅ A2 ⋅ v2 = ρ ⋅ A ⋅ v
Nel caso di Macchine idrauliche, dove la densità ρ è costante (ρ1 = ρ2 = ρ) anche
la portata volumetrica si conserva:
V& = A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2 = A ⋅ v
Equazioni fondamentali
Conservazione dell’energia: 1a legge della termodinamica
In un sistema chiuso la variazione dell’energia interna è la somma del calore e
del lavoro scambiato dal sistema con l’ambiente.
q
Q
∆u = u2 − u1 = q − l
Σ
W
l
U
2
1
La quantità di calore e lavoro scambiato dal
sistema con l’ambiente è generalmente funzione
della trasformazione termodinamica. L’energia
interna è funzione dello stato termodinamico del
2
2
sistema.
∆u = u2 − u1 = ∫ δq − ∫ δl
1
1
du = δq − δl
Equazioni fondamentali
Conservazione dell’energia: 1a legge della termodinamica
il lavoro può essere espresso come:
δl = pdV
δl = pdV + δlw
q
Q
Σ
trasformazione reversibile
trasformazione irreversibile
W
l
quando la trasformazione non è reversibile, vanno considerati i seguenti
aspetti :
1) Quando il lavoro è fornito al sistema (l<0), parte è realmente convertito
in energia meccanica e parte è dissipato (attrito).
2) Quando il lavoro viene fatto dal sistema (l>0) , le dissipazioni di energia
riducono l’effettivo lavoro disponibile all’asse della macchina.
Equazioni fondamentali
Conservazione dell’energia: 1a legge della termodinamica
Combinando le due equazioni
du = δq − δl
δl = pdV − δlw
δq + δlw = pdV + du
oppure
2
q + lw = u2 − u1 + ∫ pdV
1
Conseguenze: si può osservare che le dissipazioni lw (energia di natura meccanica
degradata a energia di agitazione molecolare) sono “viste” dal sistema come calore
entrante.
Equazioni fondamentali
2a legge della termodinamica
Enunciato di Clasius:
“Non è possibile un processo il cui unico risultato sia il trasferimento di calore da
un corpo a bassa temperatura ad un corpo ad alta temperatura.”
Enunciato di Kelvin:
“Non è possibile un processo in cui l'unico risultato è l'assorbimento di calore da
un serbatoio e la sua completa conversione in lavoro..”
La massima efficienza ottenibile da un ciclo termodinamico reversibile
η max
W
T2
=
= 1−
Q1
T1
Q1 Q2
=
T1 T2
∫
δQ
T
=0
Equazioni fondamentali
2a legge della termodinamica
L’entropia è definita come:
2
dq
ds =
T
∆s = ∫
1
δq
T
Effetti della dissipazione
ds =
δq δlw
T
+
T
Tds = δq + δlw
Entropia ed energia interna
du = Tds − pdv = δq + δlw − pdV
Equazioni fondamentali
Entalpia
Definizione: h
= u + pV
•
Questa grandezza è molto importante perchè contiene sia termini di natura
termica (u) sia di natura meccanica (p).
•
E’ utilizzata per descrivere scambi di energia in sistemi aperti.
dh = du + pdV + vdp = Tds − pdV + pdV + vdp
dh = Tds + vdp
Equazioni fondamentali
Fluido di lavoro: liquidi
L’ equazione di stato si riduce a:
ρ = cost
∂u
cL =
∂T
hanno un solo calore specifico (cL)
La variazione di entalpia è:
v = const
dh = du + vdP
2
2
1
1
∆h = h2 − h1 = ∫ cL (T )dT + ∫ vdP = cL (T2 − T1 ) + v( p2 − p1 )
T2
cL (T )
dT = cL ln
∆s = s2 − s1 = ∫
T
T1
T1
T2
variazione di entropia:
Equazioni fondamentali
Sistemi aperti e sistemi chiusi
Q
•
Sistema chiuso: non c’è
scambio di massa tra
l’ambiente attraverso la
superficie Σ che ne
delimita il dominio.
•
Sistema aperto: ci può
essere scambio di massa
con l’ambiente esterno
attraverso la superficie
Σ.
Σ
sistema
ambiente
L
Equazioni fondamentali
Sistema chiuso
Sistema aperto
MCI durante processi di rinnovamento
della carica
MCI durante la combustione
Turbomacchina
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio per sistemi aperti
• Sistema considerato:
Macchina che scambia lavoro (L) e calore (Q) con l’esterno
La portata entra dalla sezione 1 ed esce da 2
q
Q
Σ
L
1
2
W
l
Q
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
q
Q
Convenzioni di segno:
Σ
Lavoro positivo uscente
Calore positivo entrante
W
l
L
1
2
Q
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
Ipotesi
1) flusso monodimensionale: lo stato termodinamico del sistema è lo stesso in
ogni sezione.
pa, Ta, ha,
va, ρa
1
pb, Tb,
h b , v b , ρb
2
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
Ipotesi
2) Il fluido di lavoro è non-reagente e elettricamente inerte
3) Le sole forze di volume agenti sul fluido sono dovute al campo
gravitazionale.
4) Regime stazionario: le proprietà del fluido (T, p, h, ρ, …) e la velocità non
dipendono dal tempo ma solo dallo spazio.
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
La conservazione della massa porta a:
ρ1 ⋅ A1 ⋅V1 = ρ 2 ⋅ A2 ⋅V2
•
A1 ⋅V1 = A2 ⋅V2
L’energia specifica del fluido è la somma di energia termica, cinetica e
gravitazionale:
V2
e=u+
+ gz
2
•
La differenza di energia tra ingresso e uscita deve essere uguale alla somma del
calore e del lavoro scambiato dal sistema
Equazioni fondamentali
•
La differenza di energia tra ingresso e uscita deve essere uguale alla somma del
calore e del lavoro scambiato dal sistema
e2 − e1 = q − ltot
e2 : energia nella sezione di uscita[J/kg]
e1 : energia nella sezione di ingresso[J/kg]
q : lavoro specifico scambiato dal fluido di
lavoro[J/kg]
ltot : lavoro specifico scambiato dal fluido
con l’ambiente.
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
La quantità di lavoro scambiata con l’esterno è somma di due termini:
ltot = l + l pulsione
l è l’energia scambiata con l’esterno ad ex. attraverso un elica
lpulsione: detto lavoro di pulsione è necessario a mantenere il sistema in
stato stazionario.
1) Per spingere la portata nella macchina attraverso la sezione 1
2) Per estrarre portata attraverso la sezione 2
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
Lavoro di pulsione
1
p1
•
2
V1
V2
p2
All’ingresso (1), le forze di pressione agiscono con lo stesso verso del vettore
velocità . Viene fornito lavoro al fluido.
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
Lavoro di pulsione
1
p1
•
2
V1
V2
p2
Allo scarico (2), le forze di pressione sono opposte al flusso. Lavoro è compiuto
dal fluido contro le forze di pressione.
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
Lavoro di pulsione
•
La potenza di pulsione può essere espressa come
L& pulsion = − F1 ⋅ v1 + F2 ⋅ v2
•
Il lavoro di pulsione risulta quindi
l pulsione
L& pulsion
F1 ⋅V1 F2 ⋅V2
p1 A1V1 p2 A2V2
=
=−
+
=−
+
m&
m&
m&
ρ1 A1V2 ρ 2 A2V2
l pulsione = −
p1
ρ1
+
p2
ρ2
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio per sistemi aperti
•
L’ equazione di conservazione dell’energia diventa qindi :
e2 − e1 = q − ltot
p1 p2
V22
V12
u2 +
+ gz2 − u1 +
+ gz1 = q − l − − +
2
2
ρ1 ρ 2
p2 V22
p1 V12
u2 +
+
+ gz2 − u1 + +
+ gz1 = q − l
ρ2 2
ρ1 2
Equazioni fondamentali
Estensione del 1° principio ai sistemi aperti
•
introducendo l’entalpia (h = u + pv = u + p/ρ)
V22
V12
h2 +
+ gz2 − h1 +
+ gz1 = q − l
2
2
l’espressione finale dell’equazione di conservazione dell’energia per un
sistema aperto è ottenuta.
l è la sola energia meccanica scambiata con il fluido, l’altra componente di
lavoro scambiato è contenuto nella variazione di entalpia.
Non viene fatta nessuna ipotesi sulla reversibilità della trasformazione:
questa equazione è valida anche nel caso di dissipazioni
La dissipazione (lw ) non compare in modo esplicito nella equazione
poiché è intrinsecamente presente nel fluido e non influenza gli scambi di
energia con l’ambiente.
Equazioni fondamentali
Formulazione meccanica della conservazione dell’energia
•
L’equazione dell’energia contiene sia termini meccanici che termici.
E’ possibile ricavare una nuova equazione che contiene solo termini
meccanici. Combinando le equazioni:
du = Tds − pdv = δq + δlw − pdv
dh = du + pdv + vdp
•
Si ottiene quindi questa espressione:
dh = δq + δlw + vdp
Equazioni fondamentali
Formulazione meccanica della conservazione dell’energia
•
la variazione di entalpia tra ingresso ed uscita di una macchina può essere
calcolata come:
2
∆h = h2 − h1 = q + lw + ∫ vdp
1
•
q
Q
Combinando questa relazione con l’equazione di
conservazione dell’energia otteniamo:
V22
V12
2
− l − lw =
+ gz 2 −
+ gz1 + ∫ vdp
2
2
1
•
Il lavoro che non è dissipato si trasforma in energia nelle sue tre forme.
Σ
W
l
Equazioni fondamentali
Formulazione meccanica della conservazione dell’energia
•
Le due formulazioni dell’equazione di conservazione dell’energia sono entrambe
utili nello studio delle macchine:
La prima permette di calcolare la quantità di lavoro e calore scambiato con
l’ambiente conoscendo le sole caratteristiche termodinamiche all’ingresso e
all’uscita, senza alcuna informazione circa il tipo di trasformazione avvenuta
all’interno della macchina.
La seconda equazione è molto utile nel caso di fluidi incomprimibili (v = cost)
perché diventa:
V22
V12
− l − lw =
+ gz2 −
+ gz1 + v ⋅ ( p2 − p1 )
2
2
∆u = q + lw
Equazioni fondamentali
Formulazione meccanica della conservazione dell’energia
•
da cui:
V12
p1 V22
p2
l + lw =
+ gz1 + −
+ gz2 +
ρ 2
ρ
2
•
Equazione di Bernoulli (T chiamato trinomio di Bernoulli) :
l + lw = T1 − T2
q
Q
Σ
W
l
Equazioni fondamentali
Formulazione meccanica della conservazione dell’energia
•
Pompa (macchina operatrice, l < 0):
T2 − T1 = −l − lw = gH
2
1
q
Q
Σ
W
l
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione della quantità di moto
•
Si definisce quantità di moto di una massa di fluido m che attraversi con
velocità
r
v
un generico volume di controllo Ω0 il vettore
r
r
Q = mv =
r
∫ ρv dΩ
Ω0
•
dell'impulso stabilisce che la variazione della quantità di moto nell'intervallo di
tempo τ di un sistema materiale di massa m è uguale alla somma degli impulsi
di tutte le forze ad esso applicate
r r
r
∆ Q = I = ∫ Σ i Fi dt
τ
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione della quantità di moto
In un intervallo di tempo infinitesimo:
r
r
d Q = Σ i Fi dt
•
r
r dQ
F=
dt
Conoscendo che dm/dt=0 l’equazione precedente è deducibile dalla seconda
legge della dinamica o legge di Newton
r
r
r
r
dv
d
(m vr ) = d Q = d
F = ma = m
=
dt
dt
dt
dt
r
∫ ρv dΩ
Ω0
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione della quantità di moto
Sviluppando i vari termini otteniamo
r ∂
F =
∂t
r
ρ
v
∫ dΩ +
Ω0
r r r
ρ
v
∫ (v ⋅ n )d S −
S1 , S 2
∫
r
pndS +
S1 , S 2
dove:
•
τ e p sono i moduli delle risultanti degli sforzi
tangenziali e normali agenti sulla superficie
orientata
•
risultante delle forze agenti sulle superfici
bagnate dal fluido
r
∫ τt d S +
S1 , S 2
r
∫ ρgdΩ
Ω0
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione della quantità di moto
Sviluppando i vari termini otteniamo
r ∂
F =
∂t
r
ρ
v
∫ dΩ +
Ω0
r r r
ρ
v
∫ (v ⋅ n )d S −
S1 , S 2
∫
r
pndS +
S1 , S 2
dove:
•
spinta che la superficie di contorno esercita sul
fluido contenuto nel volume di controllo e che,
per il principio d'azione e reazione, è uguale e
contraria alla spinta esercitata dal fluido sulla
superficie di contorno stessa (ad es. le pareti di
un condotto).
r
∫ τt d S +
S1 , S 2
r
∫ ρgdΩ
Ω0
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione della quantità di moto
Sviluppando i vari termini otteniamo
r ∂
F =
∂t
r
ρ
v
∫ dΩ +
Ω0
r r r
ρ
v
∫ (v ⋅ n )d S −
S1 , S 2
∫
r
pndS +
S1 , S 2
dove:
•
l'effetto delle inerzie del sistema alle variazioni
locali nel tempo di densità e velocità, nullo per
regimi permanenti
r
∫ τt d S +
S1 , S 2
r
∫ ρgdΩ
Ω0
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione della quantità di moto
Sviluppando i vari termini otteniamo
r ∂
F =
∂t
r
ρ
v
∫ dΩ +
Ω0
r r r
ρ
v
∫ (v ⋅ n )d S −
S1 , S 2
∫
r
pndS +
S1 , S 2
dove:
•
flusso della quantità di moto del fluido attraverso
il volume di controllo
•
contributo della forza peso
r
∫ τt d S +
S1 , S 2
r
∫ ρgdΩ
Ω0
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione della quantità di moto
In ipotesi di flusso stazionario e in assenza di sforzi viscosi abbiamo
r
F =
r r r
∫ ρ v (v ⋅ n )d S −
S1 , S 2
∫
r
pndS
S1 , S 2
Che diventa in ipotesi di flusso monodimensionale
r
r r
r
r
F = m& (v1 − v 2 ) + p1 S1n1 + p 2 S 2 n2
Equazioni fondamentali
Principio di conservazione del momento della quantità di moto
In ipotesi di flusso stazionario e in assenza di sforzi viscosi abbiamo analogamente
r
M=
r r r r
∫ ρr × v (v ⋅ n )dS −
S1 ,S2
r
r
∫ r × pndS
S1 ,S2
