Scomposizione numerica in fattori primi, m.c.m. ed M.C.D. Cosa è un numero primo? Un numero è primo se si può dividere solo per 1 e per se stesso per ottenere resto 0. Sono primi i seguenti numeri: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cosa vuol dire che un numero (chiamiamolo “a”) è divisibile per un altro (chiamiamolo “b”)? Un numero “a” è divisibile per “b” se nella divisione a:b il resto è 0; in tal caso si dice anche che b è un divisore di a Cosa vuol dire “scomporre un numero in fattori primi”? Scomporre un numero in fattori primi significa uguagliarlo al prodotto di soli numeri primi. Es.: 15 = 3∙5 (sia 3 che 5 sono numeri primi) 2 Es.: 18 = 3 ∙2 (non posso scrivere 9∙2 perché 9 non è primo) Come si fa a scomporre un numero in fattori primi? Bisogna per prima cosa applicare i criteri di divisibilità per capire quali siano i suoi divisori: ∗ Se un numero è pari ⇒ è divisibile per 2 (es.: 4, 6, 8, 354,…) ∗ Se un numero finisce con 0 o con 5 ⇒ è divisibile per 5 (es.: 15, 40, 75, 3600,…) Se la somma delle cifre di un numero è un multiplo di 3 ⇒ è divisibile per 3 Es.: 75: la somma delle cifre è: 7+5=12 che è multiplo di 3 Es.: 213 la somma delle cifre è: 2+1+3=6 che è multiplo di 3 ∗ Se la somma delle cifre di posto pari di un numero e la somma di posto dispari ha ∗ differenza 0 o un multiplo di 11 ⇒ è divisibile per 11 Es.: 7601: la somma delle cifre di posto pari è: 0+7=7 la somma delle cifre di posto dispari è: 1+6=7 quindi la loro differenza è: 7-7= 0 Es.: 1309: la somma delle cifre di posto pari è: 0+1=1 la somma delle cifre di posto dispari è: 9+3=12 quindi la loro differenza è: 12-1= 11 Per la divisibilità con gli altri numeri primi non esistono criteri. Es.: 360 : è divisibile per 2 perché è pari è divisibile per 3 perché la somma delle cifre è 3+6=9 che è multiplo di 3 è divisibile per 5 perché finisce con 0 ma non è divisibile per 11 In pratica: per trovare i fattori primi che compongono un numero dato si procede nel modo seguente: 1. Trovare un fattore primo con cui è divisibile utilizzando uno dei criteri 2. Si esegue la divisione del numero con il numero primo trovato 3. Si ripete il procedimento sul quoziente ottenuto fino a che il quoziente è 1 Es.: 360 2 180 2 90 2 Quozienti Divisori primi 45 5 9 3 3 3 1 Cosa è l’m.c.m. fra due o più numeri? Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il più piccolo numero che risulta multiplo di tutti i numeri considerati. Es.: consideriamo 5 e 3; i numeri 5, 10, 15, 20, 25, 30, … sono multipli di 5; i numeri 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, … sono multipli di 3. I multipli comuni sono dunque: 15, 30, 45, …; 15 è il più piccolo fra loro, cioè 15 è l’m.c.m. fra 5 e 3. Calcolo pratico del m.c.m.: 1. si scompongono tutti i numeri in fattori primi, 2. si prendono tutti i fattori comuni e non con il più alto esponente. Es.: 15 = 3∙5; 18 = 32∙2 ⇒ m.c.m. = 2∙32∙5 Cosa è l’M.C.D. fra due o più numeri? Il massimo comune divisore (M.C.D.) fra due o più numeri è il più grande numero che risulta divisore di tutti i numeri considerati. Es.: consideriamo 15 e 6; i numeri 1, 3, 5 e 15 sono divisori di 15; i numeri 1, 2, 3 e 6 sono divisori di 6. I divisori comuni sono dunque: 1 e 3; il 3 è il più grande fra loro, cioè 3 è l’M.C.D. fra 15 e 6. Calcolo pratico del M.C.D.: 1. si scompongono tutti i numeri in fattori primi, 2. si prendono tutti i fattori comuni con il più piccolo esponente. Es.: 15 = 3∙5; 18 = 32∙2 ⇒ M.C.D. = 3 ESERCIZI Libro Tonolini 1A pag. 25: studia n° 5-6-7-8-9- ed esegui i relativi esercizi Libro Tonolini 1A pag. 63: es n° 21