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Scomposizione numerica in fattori primi, m.c.m. ed M.C.D.
Cosa è un numero primo?
Un numero è primo se si può dividere solo per 1 e per se stesso per ottenere resto 0.
Sono primi i seguenti numeri: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Cosa vuol dire che un numero (chiamiamolo “a”) è divisibile per un altro (chiamiamolo “b”)?
Un numero “a” è divisibile per “b” se nella divisione a:b il resto è 0; in tal caso si dice anche che
b è un divisore di a
Cosa vuol dire “scomporre un numero in fattori primi”?
Scomporre un numero in fattori primi significa uguagliarlo al prodotto di soli numeri primi.
Es.: 15 = 3∙5
(sia 3 che 5 sono numeri primi)
2
Es.: 18 = 3 ∙2
(non posso scrivere 9∙2 perché 9 non è primo)
Come si fa a scomporre un numero in fattori primi?
Bisogna per prima cosa applicare i criteri di divisibilità per capire quali siano i suoi divisori:
∗
Se un numero è pari ⇒ è divisibile per 2 (es.: 4, 6, 8, 354,…)
∗
Se un numero finisce con 0 o con 5 ⇒ è divisibile per 5 (es.: 15, 40, 75, 3600,…)
Se la somma delle cifre di un numero è un multiplo di 3 ⇒ è divisibile per 3
Es.: 75: la somma delle cifre è:
7+5=12
che è multiplo di 3
Es.: 213
la somma delle cifre è:
2+1+3=6
che è multiplo di 3
∗ Se la somma delle cifre di posto pari di un numero e la somma di posto dispari ha
∗
differenza 0 o un multiplo di 11 ⇒ è divisibile per 11
Es.: 7601:
la somma delle cifre di posto pari è:
0+7=7
la somma delle cifre di posto dispari è:
1+6=7
quindi la loro differenza è:
7-7= 0
Es.: 1309:
la somma delle cifre di posto pari è:
0+1=1
la somma delle cifre di posto dispari è:
9+3=12
quindi la loro differenza è:
12-1= 11
Per la divisibilità con gli altri numeri primi non esistono criteri.
Es.: 360 :
è divisibile per 2 perché è pari
è divisibile per 3 perché la somma delle cifre è 3+6=9 che è multiplo di 3
è divisibile per 5 perché finisce con 0
ma non è divisibile per 11
In pratica: per trovare i fattori primi che compongono un numero dato si procede nel modo
seguente:
1. Trovare un fattore primo con cui è divisibile utilizzando uno dei criteri
2. Si esegue la divisione del numero con il numero primo trovato
3. Si ripete il procedimento sul quoziente ottenuto fino a che il quoziente è 1
Es.:
360 2
180 2
90
2
Quozienti
Divisori primi
45
5
9
3
3
3
1
Cosa è l’m.c.m. fra due o più numeri?
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il più piccolo numero che risulta
multiplo di tutti i numeri considerati.
Es.: consideriamo 5 e 3;
i numeri 5, 10, 15, 20, 25, 30, … sono multipli di 5;
i numeri 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, … sono multipli di 3.
I multipli comuni sono dunque: 15, 30, 45, …;
15 è il più piccolo fra loro, cioè 15 è l’m.c.m. fra 5 e 3.
Calcolo pratico del m.c.m.:
1. si scompongono tutti i numeri in fattori primi,
2. si prendono tutti i fattori comuni e non con il più alto esponente.
Es.: 15 = 3∙5;
18 = 32∙2
⇒
m.c.m. = 2∙32∙5
Cosa è l’M.C.D. fra due o più numeri?
Il massimo comune divisore (M.C.D.) fra due o più numeri è il più grande numero che risulta
divisore di tutti i numeri considerati.
Es.: consideriamo 15 e 6;
i numeri 1, 3, 5 e 15 sono divisori di 15;
i numeri 1, 2, 3 e 6 sono divisori di 6.
I divisori comuni sono dunque: 1 e 3;
il 3 è il più grande fra loro, cioè 3 è l’M.C.D. fra 15 e 6.
Calcolo pratico del M.C.D.:
1. si scompongono tutti i numeri in fattori primi,
2. si prendono tutti i fattori comuni con il più piccolo esponente.
Es.: 15 = 3∙5;
18 = 32∙2
⇒
M.C.D. = 3
ESERCIZI
Libro Tonolini 1A pag. 25: studia n° 5-6-7-8-9- ed esegui i relativi esercizi
Libro Tonolini 1A pag. 63: es n° 21