Dadi, astragali
e giochi aleatori: la Matematica dell’incerto e del probabile.
di Mario Abundo
1.1 Determinismo e indeterminismo
Se lanciamo un dado, possiamo tirare ad indovinare quale faccia uscirà, ma non siamo in grado di
predire il risultato; così, se lanciamo in aria una moneta, non siamo in grado di dire con certezza se
uscirà Testa o Croce. Infatti, non tutti i fenomeni che osserviamo sono esattamente predicibili. E’
chiaro che se invece studiamo il moto di una pallina lasciata cadere da una data altezza sotto
l’azione della gravità terrestre, possiamo dire con certezza che essa cadrà verso il basso, seguendo
una traiettoria rettilinea (trascurando l’azione del vento); inoltre è possibile calcolare la velocità
della pallina in ogni istante, fino al momento dell’impatto col terreno. Nel caso della pallina,
abbiamo a che fare con un fenomeno deterministico, nel caso del dado o della moneta, con un
fenomeno casuale o aleatorio. I fenomeni casuali sono modellizzati e studiati dal “Calcolo delle
Probabilità”, che è quella parte della Matematica che studia “ l’incertezza”.
Viene detto aleatorio un fenomeno in cui lo stato del sistema sotto osservazione non è una quantità
predicibile esattamente (come accade per i fenomeni deterministici), ma è aleatoria, cioè dipende
dal caso; in tal caso si dice che l’evoluzione del fenomeno è non deterministica.
Consideriamo, ad esempio, i fenomeni meteorologici (circolazione dei venti, formazione di nubi,
etc.); questi sono non deterministici e vanno modellizzati e studiati come fenomeni stocastici, cioè
utilizzando la Matematica del probabile. Infatti, se i fenomeni meteorologici fossero deterministici,
non parleremmo di previsioni del tempo, ma di anticipazioni certe.
La maggior parte dei fenomeni che avvengono nell’Universo sono guidati da processi stocastici
e il volerli approssimare con processi deterministici costituirebbe una forzatura. I processi
stocastici intervengono nella descrizione di numerosi fenomeni non deterministici, nell’ambito dei
più disparati campi d’indagine: in Fisica, in Biologia, in Medicina, in Ecologia, in Meteorologia, in
Economia, in Teoria dell’Informazione, in Linguistica, nelle Scienze Sociali, in Cosmologia, e
perfino in Giurisprudenza, per citarne solo alcuni.
Praticamente, tutti i fenomeni dell’Universo sono non deterministici: essi vanno studiati utilizzando
la Matematica dell’incertezza.
Abbiamo sottolineato nel testo tutte le parole meno usuali; per saperne di più sul loro significato e
possibilmente sulla loro origine linguistica (etimologia), si guardi alla fine della sezione nella parte di
approfondimento.
Verifica della comprensione
Quale dei seguenti fenomeni è deterministico e quale non deterministico?
1) La caduta di una pallina dalla torre di Pisa.
2) La faccia che esce tirando in aria una moneta da 1 euro.
3) I materiali con cui risultano realizzate 10 monete da 1 euro e 15 banconote da 5 euro che
ricadono per terra, dopo essere state lanciate in aria.
4) La quantità di pioggia in millimetri che cadrà nel prossimo gennaio a Roma.
5) Il cavallo che vincerà una certa corsa.
6) Il colore delle nuove foglie che metterà la nostra piantina di geranio.
7) Il colore di una foglia scelta a caso dall’albero di fronte la casa di Marco.
8) Il numero estratto pescando una pallina da un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5.
9) Il numero estratto pescando una pallina da un’urna contenente 7 palline numerate tutte col
numero 2.
1) Il moto della pallina è un moto naturalmente accelerato dovuto alla gravità terrestre: esso è completamente
deterministico.
2) Potendo uscire Testa o Croce, il fenomeno è non deterministico.
3) Le monete da 1 euro sono tutte composte da una lega metallica nota, e le banconote sono tutte di carta
filigranata, perciò il fenomeno è deterministico.
4) La quantità di pioggia che cadrà in Roma non è conosciuta, è aleatoria: il fenomeno è non deterministico.
5) È un fenomeno non deterministico.
6) Le foglie appena nate di una pianta di geranio sono verdi, per cui il fenomeno è esattamente predicibile, e quindi
deterministico.
7) Il colore delle foglie dell’albero considerato dipende dalla stagione considerata, ma anche se fosse nota la
stagione, per esempio l’autunno, alcune foglie potrebbero essere rosse, altre verdi, altre ancora gialle. Il colore di
una particolare foglia sarebbe casuale ed il fenomeno è quindi non deterministico.
8) Vi sono esattamente 5 possibilità diverse di pescare un numero da 1 a 5; il fenomeno è non deterministico.
9) Può essere pescata solamente una pallina numerata con il 2; il fenomeno è deterministico.
1.2 Le origini del Calcolo delle Probabilità
Lo sviluppo del Calcolo delle Probabilità si fa generalmente risalire alle corrispondenze epistolari
tra Pascal e Fermat della metà del 1600, ma alcuni problemi riguardanti giochi d’azzardo erano già
stati studiati precedentemente. Ad esempio, Luca Pacioli aveva trattato un problema di probabilità
nel suo libro “Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proporzionalità”, stampato a Venezia
nel 1494, anche se trovò una soluzione errata. Alla fine del 1500, inizi del 600, Gerolamo Cardano
e Galileo Galilei si cimentarono nella soluzione di alcuni problemi di calcolo delle probabilità legati
al gioco dei dadi. Il concetto di fenomeno casuale è però molto antico; esso risale agli antichi
filosofi materialisti greci, ad es., è trattato nel “De rerum natura” di Lucrezio. La casualità è ripresa
anche nella “Fisica” da Aristotele.
Occorre arrivare alla seconda metà del 1600 quando l’esigenza di risolvere numerosi problemi
scaturiti dai giochi d’azzardo diede origine al moderno Calcolo delle Probabilità. A quell’epoca il
Cavalier de Meré (1610-85), accanito giocatore d’azzardo, pose a Blaise Pascal (1623-62) diversi
problemi legati al gioco dei dadi che egli non era riuscito a risolvere. Pascal, in una nutrita
corrispondenza con Pierre de Fermat (1601-63) arrivò a risolvere tali problemi. In seguito, si
interessarono di probabilità anche l’astronomo e fisico Christiaan. Huygens (1629-95) e Jacobus
Bernoulli, capostipite di una famosa famiglia di matematici svizzeri, nella “Ars coniectandi”
(1713). Ma il Calcolo delle Probabilità deve la sua sistemazione teorica soprattutto a PierreSimone de Laplace (1749-1827) con la sue opera “Theorie analityque des probabilities” del 1812,
diretta a matematici di professione, ed il suo trattato di divulgazione “Essay philosophic sur la
probabilité” del 1814.
Nel corso dell’800 si ebbe l’apporto di tanti altri matematici come Simeon-Denis Poisson (17811840) e Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Nel 900, infine, il Calcolo delle Probabilità ha avuto uno
sviluppo travolgente e costituisce una delle parti trainanti della Matematica moderna.
1.3 Il gioco dei dadi
Nel Calcolo delle probabilità è usato continuamente il termine aleatorio. Questa espressione deriva
dalla famosa frase pronunciata da Giulio Cesare dopo aver attraversato il fiume Rubicone: “ alea
iacta est” (= il dado è tratto). Nell’antichità, in alternativa al dado che noi conosciamo oggi, veniva
tirato in aria un oggetto dalla forma non perfettamente regolare, l’astragalo (vedi la scheda di
approfondimento). Il dado classico è a forma di cubo; il cubo è soltanto uno dei 5 poliedri regolari
esistenti: il tetraedro (con 4 facce), l’esaedro (cubo, con 6 facce),l’ottaedro (con 8 facce), il
dodecaedro (con 12 facce), e l’icosaedro (con 20 facce) .
il tetraedro
il tetraedro
il dodecaedro
l’esaedro
l’esaedro
l’icosaedro
l’ottaedro
I 5 solidi regolari
(disegni attribuiti a
Leonardo da Vinci
per illustrare
l’opera De Divina
Proportione di
L. Pacioli ,1503)
l’ottaedro
Luca Pacioli
Im
il dodecaedro
Luca Pacioli
l’icosaedro
Immaginiamo di giocare con un dado avente la forma di uno dei 5 poliedri regolari . Possiamo
allora osservare che
1) La regolarità del “dado” garantisce che le varie facce hanno la stessa “possibilità” di apparire
nei vari lanci. A proposito, è interessante notare che nel caso del tetraedro, la faccia “apparsa”,
cioè il risultato del lancio, deve essere in realtà intesa come faccia “scomparsa”, visto che essa è
appoggiata al piano, cioè coperta.
2) Proponiamo il seguente gioco ad un ragazzo ed una ragazza: il primo sceglie uno dei 5 poliedri
regolari, del quale dovrà indovinare la faccia uscita; l’altra tira in aria il solido. Dopo qualche
prova, il primo si convincerà facilmente che è più facile vincere, se egli sceglierà che venga
tirato il tetraedro, piuttosto che l’ottaedro, ad esempio. Infatti, il tetraedro ha solo quattro facce,
numerate con 1, 2, 3 e 4 mentre l’ottaedro ne ha otto. Così le possibilità di indovinare la faccia
uscita, sono maggiori per il primo solido che per il secondo. Nel caso del tetraedro, c’è una 1
possibilità su 4 di vincere, per l’ottaedro 1 possibilità su 8. In generale, tirando due solidi, sarà
più facile indovinare la faccia uscita, tirando il solido col minor numero di facce.
La minore o maggiore facilità di vincere a questo gioco, consistente nel lancio di uno dei 5 “dadi”,
può essere assunta come valutazione della probabilità che esca una data faccia. Il concetto di
probabilità verrà definito e studiato nel prossimo paragrafo. Qui ci accontentiamo di ossevare che,
ad esempio, per il tetraedro la probabilità di vincere è 1/4 , mentre per il dado classico (cubo o
esaedro) tale probabilità scende a 1/6 < 1/4 .
Se volessimo infine realizzare un “dado a 2 facce”, potremmo ricorrere ad una moneta. Infatti, un
solido regolare con 2 facce non esiste (perche?). Se si lancia in aria una moneta non truccata, una
valutazione della possibilità di vincere, puntando sull’ uscita di Testa, è 1/ 2. Analogamente la
probabilità che esca Croce è 1/ 2.
1.4 Un gioco aleatorio per stimare il numero π (l’ago di Buffon)
E’ noto che il numero π = 3.14… rappresenta il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e la
lunghezza del suo diametro. Descriviamo qui un gioco aleatorio, per stimare sperimentalmente π,
immaginando di non conoscerne il valore (in realtà che esistesse una relazione tra la lunghezza del
diametro e quella della circonferenza, era già noto ai Babilonesi ed agli antichi Egiziani, ma una
accurata approssimazione di π fu ottenuta solo dai Greci antichi).
Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza a. Un
ago di lunghezza l (con l < a) si getta a caso sul piano. Si vince se l’ago si dispone in modo che esso
incroci una delle linee, come riportato nelle figure sotto:
a
si vince
non si vince
Si può verificare che la possibilità di vincere a questo gioco diminuisce al crescere di a ed aumenta
al crescere di l. In analogia al gioco del dado, possiamo interpretare la valutazione della possibilità
che l’ago vada a disporsi “a cavallo” di una linea, come probabilità di vincere. Si può dimostrare,
con passaggi matematici elementari (ma non semplici !) che tale probabilità è p = 2l / a π . In
realtà, se tiriamo l’ago n volte e contiamo il numero m delle volte che esso finisce su una delle
linee, troveremo approssimativamente che la proporzione m/n non varia apprezzabilmente per n
sufficientemente grande. Il valore di m/n può essere assunto come valutazione della probabilità di
vincere.
Dunque, si ha m/n ≈ 2l / aπ , da cui si ottiene π ≈ 2l n/ ma ; questa relazione fornisce una
valutazione sperimentale del valore di π. In passato, sono stati eseguiti numerosi esperimenti che
utilizzano la tecnica dell’ago.
studioso
Wolf
Smith
Fox
Lazzarini
anno
1850
1855
1894
1901
n. dei lanci
5000
3204
1120
3408
valore sperim.
3.1596
3.1553
3.1419
3.1415
(da B.V. Gnedenko : “Teoria della Probabilità” Editori Riuniti, 1979)
Possiamo osservare come i valori trovati in questi esperimenti siano molto vicini al valore reale di π
(la sua approssimazione con 9 cifre decimali esatte è 3.141592654 ).
1.5 Scheda di approfondimento: gli astragali
L’astragalo è un osso breve a forma di cubo che si trova nell’articolazione del piede di alcuni
mammiferi (precisamente nel tarso) ed ha 4 lati facilmente distinguibili per la loro forma. Ad
esempio, nel bue e nella pecora, questo ossicino è particolarmente regolare e quindi è adatto per
simulare un “dado a 4 facce”, dove, contrariamente al caso del tetraedro, le facce non sono tutte
uguali, ma sono differenziate l’una rispetto all’altra. Anticamente, era molto diffuso l’uso
dell’astragalo come strumento di gioco; in Bulgaria ne sono stati rinvenuti alcuni esemplari che
sono stati datati al IV millennio a.C. Successivamente, l’uso di questi ossicini si diffuse in
Mesopotamia e poi in Egitto, nel periodo della XIX dinastia (1300-1200 a.C.).
L’astragalo veniva gettato per terra, e il risultato del lancio era dato dalla faccia rivolta verso l’alto.
Si trattava di un gesto rituale che veniva utilizzato per giocare, ma anche per fare previsioni sul
futuro; per questo motivo gli astragali facevano parte del corredo funerario ed erano spesso portati
in dono alle divinità e lasciati in offerta nei luoghi di culto. Molto probabilmente, questi piccoli ossi
venivano utilizzati all’inizio come strumento di gioco a sé stante, e non per decidere di quanti passi
muovere una pedina (come ad esempio nel tradizionale gioco dell’oca, a noi noto). Ad ognuna delle
4 facce veniva attribuito un punteggio: 1 (monas), 3 (trias), 4 (tetras), 6(hexas), e le facce opposte
avevano per somma 7, come nei classici dadi cubici.
Veniva assegnato un nome ad ogni lato, come anche ad ognuna delle combinazioni ottenibili
lanciando tre o quattro astragali. Sembra che molti giochi si basassero più sull’ottenimento di certe
combinazioni, che sulla effettiva somma dei punti, realizzando così meccanismi d’azzardo che
resero gli astragali molto popolari. Per esempio, il colpo di Afrodite era costituito da 4 facce diverse
ed era il più ambito, mentre il colpo del cane (le 4 facce di valore più basso) era il tiro peggiore.
1.6 Dizionarietto
predicibile
che può essere predetto, detto di evento che può essere annunciato in anticipo,
prima che accada.
deterministico
che può essere determinato esattamente a partire dall’osservazione e dalle leggi
fisiche
aleatorio
che dipende dalla sorte, dal caso
stocastico
dal greco στοχαστικοζ = congetturabile, che si può ipotizzare
processo stocastico
sistema che si evolve secondo un comportamento stocastico
filosofi materialisti greci
tra essi ricordiamo Leucippo e Democrito che elaborarono una
concezione materialistica della realtà secondo la quale tutto è spiegato
partendo dagli indivisibili atomi materiali
alea
dal latino alea = dado
astragalo
osso breve a forma di cubo che si trova nell’articolazione del piede di alcuni
mammiferi (precisamente nel tarso)
poliedro regolare solido formato da facce costituite da poligoni regolari, cioè con i lati tutti uguali
