PRIMO TEOREMA - LiceoScacchiBari.it

PRIMO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO
Si dimostra che in un triangolo qualsiasi ogni angolo esterno è maggiore di ciascun
angolo interno ad esso non adiacente.
Hp
Th
ABC triangolo qualsiasi
ACˆ D  BAˆ C
B<C <D
ACˆ D  ABˆ C
Dimostriamo la prima tesi eseguendo una costruzione sul triangolo ABC.
Sia M il punto medio di AC, congiungi B con M e prolunga il segmento BM dalla parte di
M di un segmento MN congruente a BM, congiungi C con N.
La semiretta CN risulta interna all’angolo ACˆ D pertanto
ACˆD  ACˆN ( 1 )
Considera i due triangoli ABM e CMN essi hanno:
1.
AM  CM
per costruzione
2.
BM  MN
per costruzione
3.
BMˆ A  CMˆ N perché opposti al vertice
I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza,
deduci che BAˆ C  ACˆ N perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti
(2)
dai due risultati ottenuti hai la tesi infatti :
ACˆ D  ACˆ N  BAˆ C  ACˆ D  BAˆ C
Dimostriamo ora la seconda tesi, eseguendo una nuova costruzione sul triangolo ABC.
Sia L il punto medio di BC, congiungi A con L e prolunga il segmento AL dalla parte di L
di un segmento LE congruente a LA, congiungi C con E.
Considera i triangoli ABL e ECL essi hanno:
1.
AL  LE
per costruzione
2.
BL  LC
per costruzione
3.
BLˆ A  CLˆ A perché opposti al vertice
I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza, deduci che
ABˆ C  LCˆE perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.
L’angolo LCE è opposto al vertice dell’angolo FCD che a sua volta è minore dell’angolo
ACD essendone una parte, quindi, per la proprietà transitiva, l’angolo ABC è minore
dell’angolo esterno ACD, resta cosi provata anche la seconda tesi.
A
F
B
L
E
C
D