Giancarlo Zilio
Chi ha paura della matematica?
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Volume X
Elementi di statistica
Introduzione alla trigonometria
Il computer: un approccio ragionato
Algoritmi e diagrammi di flusso
Programmazione in linguaggio Pascal
Calcolo Combinatorio
Calcolo delle Probabilità
Matematica e modelli della realtà
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“Chi ha paura della matematica?”
Volume 1
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I
Buono studio!!!
II
Chi ha paura della matematica?
Matematica gioiosa e solidale
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“Chi ha paura della matematica?”
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III
Chi ha paura della matematica? Volume X
L’INTERO VOLUME X IN UN UNICO FILE PDF è QUI
I FILE PDF CAPITOLO PER CAPITOLO:
Elementi di statistica descrittiva pagg. 2-75
Introduzione alla trigonometria 76-110
Il computer: un approccio ragionato 111-162
Algoritmi 163-177
Programmazione in linguaggio Pascal 178-202
Calcolo combinatorio 203-243
Calcolo delle probabilita’ 244-346
Matematica e modelli della realta’ 347-373
Giochi di Archimede 374-381
L’INDICE NEL DETTAGLIO:
Il ruolo di questo volume X pag. 1
ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA
1. Esempi introduttivi 2
2. Due righe di storia 3
3. Di cosa tratta la statistica; statistica descrittiva e inferenziale 4, 5
- Fenomeno collettivo, popolazione statistica, carattere, modalità, unità statistica
- Tipi di caratteri
- Definizioni di “statistica”
- La statistica nel mondo contemporaneo
- Origine storica del termine
4. Le prime tre fasi di un’indagine statistica; terminologia 6 … 9
- Prima fase: la scelta del “fenomeno collettivo”
- Seconda fase: la rilevazione dei dati
- Terza fase: lo spoglio dei dati
- Frequenza assoluta, relativa, percentuale
- Distribuzioni di frequenza
- Classi di frequenza
- Separatore della parte intera dalla decimale
- Esercizi 8, 9 (Questionario del Curiosone 8)
5. Rappresentazioni grafiche 10 … 15
- Diagrammi a barre, grafici cartesiani, serie storiche
- Cartogrammi
- Esercizi
- Diagrammi a barre e a segmenti
- Ideogrammi, diagrammi a strisce, a torta
- Istogrammi
- Tabelle a doppia entrata
- I tipi di diagramma più “gettonati”
6. Una breve introduzione al “foglio elettronico” 16 … 27
- Microsoft Office, OpenOffice
- Sommaria guida al foglio elettronico
- Diagrammi e grafici col foglio elettronico
- CONTA.SE
- Numeri pseudocasuali
- Esercizi sul foglio elettronico
IV
7. ESERCIZI sulle rappresentazioni grafiche 28 … 33
8. Gli indici di posizione 34 … 43
A) Le medie “ferme”
- Media aritmetica
- Media geometrica
- Media armonica
- Media quadratica
- Generalizzazione del concetto di “media”
- Media per classi, valore centrale
- Proprietà dei vari tipi di media
- RIASSUNTO SCHEMATICO
B) Medie ponderate
C) Le medie “lasche”
- Mediana
- Moda
Un’esercitazione col foglio elettronico: medie, conteggi, istogramma
9. Gli indici di dispersione 44 … 47
- Campo di variabilità
- Scarto assoluto medio
- Varianza
- Scarto quadratico medio (deviazione standard)
- Coefficiente di variazione
RIASSUNTO SCHEMATICO
♫ Tabelle, e poesie
10. ESERCIZI 48 … 55
- sugli indici di posizione
- sugli indici di dispersione
11. Gli errori di misura 56 … 65
- Gaussiana
- Media, scarto quadratico medio
- Scarto quadratico medio “corretto”
- Intervalli di confidenza
- Errore standard della media
- Un bell’esempio: quanto insetticida?
- SD e SEM
- Ancora sulla statistica inferenziale
- How to Lie with Statistics
- Scarto assoluto medio
- Semidispersione
- Il caso della misura unica
- Errori relativi / incertezze relative
- Errori sistematici
- Esercizi
12. Arrotondamenti e cifre significative 66 … 69
- La regola per arrotondare
- Cifre significative
- Arrotondamento di media e incertezza
- Quante cifre lasciare nel risultato di un calcolo su dati incerti
- La “propagazione” degli errori, o meglio: delle “incertezze”
13. RISPOSTE AGLI ESERCIZI 70 … 75
- sui concetti introduttivi
- sulle rappresentazioni grafiche
- sugli indici di posizione
- sugli indici di dispersione
- sugli errori di misura
- su arrotondamenti e cifre significative
V
INTRODUZIONE ALLA TRIGONOMETRIA
1. Seno, coseno e tangente di un angolo: un primo approccio 76 … 81
- Il seno di un angolo acuto
- Come risalire dal valore del seno all’ampiezza dell’angolo
- Il coseno di un angolo acuto
- La tangente di un angolo acuto
2. Misura di un arco di circonferenza in radianti 82, 83, 84
- Un arco si può misurare sia in radianti che in gradi e un angolo sia in gradi che in radianti
- Come si passa, in generale, dai gradi ai radianti e viceversa?
3. Circonferenza goniometrica 85
4. Seno e coseno di un angolo nella circonferenza goniometrica 85, 86, 87
5. Tangente di un angolo nella circonferenza goniometrica 88, 89, 90
6. Poligoni simili (cenni) 90 … 93
7. Periodicità delle funzioni goniometriche 94
8. Calcolatrici e funzioni goniometriche 95
9. Alcune formule utili (angoli di 45°, 30° e 60°) 96, 97, 98
10. Teoremi sui triangoli rettangoli 99, 100
11. Teoremi sui triangoli qualsiasi 100
12. ESERCIZI 101 … 110
- Esempi svolti - Seno, coseno, tangente (e rispettive inverse): triangoli rettangoli
- Orizzonte - Terra e Luna - Pendenza di una strada - Triangoli qualsiasi
- Problemi che richiedono un’equazione - Esercizi da siti in lingua Inglese
- Eratostene e il raggio della Terra - Risorse su Internet - Risposte
IL COMPUTER: UN APPROCCIO RAGIONATO
Indice del paragrafo 111
1. Cos’è un computer? Visione d’insieme 112
2. Il computer funziona secondo una logica binaria! Il bit e il Byte 113-114-115
2a - Computer: macchina binaria
2b - Quante diverse informazioni si possono codificare con 1 Byte?
2c - Un modo rapidissimo ed efficacissimo per indicare un Byte
2d - Le operazioni logiche del microprocessore
3. Tipi di computer 116, 117
4. Cos’è un “programma”? Tipi di programmi ( = software) 118, 119, 120, 121
♪ ESERCIZI 122, 123
5. Componenti principali di un computer 124, 125, 126, 127
6. Le memorie di massa 128, 129
7. I dispositivi di I/O (Input/Output), o di Ingresso/Uscita da 130 a 135
7a - Tastiera, monitor, stampante …
7b - Le porte di Input/Output
7c - Prefissi decimali e prefissi binari
8. I codici ASCII e Unicode 136
9. Il File System 137
10. Analogico e digitale; Internet 138, 139
ECDL (Patente Europea del Computer) 139
♫ ESERCIZI 140, 141
11. Glossario 142 … 162
VI
ALGORITMI
1 - Cos’e’ un “algoritmo” 163
2 - Algoritmi e programmi 164, 165
3 - Diagrammi di flusso; programmazione strutturata 166, 167
4 - Esempi; lo pseudocodice (o “linguaggio di progetto”) 168, 169, 170
5 - Esercizi 171 … 177
PROGRAMMAZIONE IN LINGUAGGIO PASCAL
♫ Introduzione alla programmazione in linguaggio PASCAL 178, 179
1 - Esempio introduttivo 180
2 - Istruzioni di Input-Output e assegnazione 181
3 - a) I principali tipi di variabili numeriche 182 b) Le variabili “stringa” 182
4 - IF… THEN … ELSE … ( = la struttura di selezione) 183
5 - VARIE 184-185
a) Errori frequenti e loro correzione b) Operazioni e simboli matematici
c) L’overflow ( = traboccamento)
d) Come saltare una riga sul monitor, in fase di esecuzione
e) Apostrofo nelle stringhe: che guaio! Il computer lo confonderebbe col simbolo di “fine stringa”!
f) Testo colorato in output g) L’effetto ritardo h) I “commenti” i) La selezione multipla
6 - Numeri casuali (o meglio, “pseudocasuali”) 186
7a - Gli operatori DIV e MOD. Pari? Dispari? Divisibile per …? Divisore di …? 187
7b - Ancora sulle variabili real 187
8 - La struttura iterativa ( = di “iterazione”, cioè “ripetizione”) FOR … DO … 188, 189
9 - Le altre strutture iterative: REPEAT … UNTIL ... e WHILE … DO … 190, 191, 192, 193
10 - Esercizi sulle strutture iterative 194, 195
11 - Esercizi vari 196, 197, 198
12 - Approssimazioni di pi greco 199
13 - Approssimazione delle soluzioni di un’equazione col metodo di bisezione 200, 201
14 - Le basi teoriche dell’Algoritmo di Euclide per il calcolo del M.C.D. 202
CALCOLO COMBINATORIO
1 - STRATEGIE DI PENSIERO
1.1 - Premessa 203
1.2 - Il “primo principio” del C.C. 204, 205
1.3 - Esercizi sul “primo principio” 206
1.4 - Il “secondo principio” del C.C. 207
1.5 - n-uple ordinate e non ordinate 208
1.6 - Il “terzo principio” del C.C. 208, 209
1.7 - Esercizi 210 … 213
2 - IL C.C. IN ASTRATTO E IN FORMULE
2.1 - Le disposizioni 214
2.2 - Le combinazioni 214
2.3 - Il coefficiente binomiale 215
2.4 - Permutazioni 215
2.5 - Esercizi su disposizioni, combinazioni, permutazioni, coefficiente binomiale 216, 217
2.6 - Disposizioni con ripetizione 218
2.7 - Permutazioni di n oggetti non tutti diversi 219
2.8 - Permutazioni cicliche 219
2.9 - Esercizi vari 220 … 223
2.10 - Il binomio di Newton 224, 225
VII
3 - FORMULE, REGOLE E PRINCIPI INTERESSANTI
3.1 - La Formula di Gauss per la somma dei primi n interi positivi 226
3.2 - Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi? 226
3.3 - Regola della somma 227
3.4 - Principio di Inclusione/Esclusione 227
3.5 - Regola del complementare 227
3.6 - Regola del prodotto cartesiano 227
3.7 - Combinazioni con ripetizione 228
3.8 - Esercizi sul Capitolo 3 229
4 - THE PIGEONHOLE PRINCIPLE (PHP) 230, 231, 232, 233
ESERCIZI CONCLUSIVI 234 … 243
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
1 - IL CONCETTO DI PROBABILITA’ TI E’ GIA’ NOTO!
LA “LEGGE EMPIRICA DEL CASO”
1.1 - Casi possibili e casi favorevoli; definizione provvisoria di probabilità 244, 245
♫ Il mazzo di carte da scopa 246
1.2 - La legge empirica del caso 246
1.3 - Proposte di riflessione per la piena comprensione della "legge empirica del caso" 247
2 - INADEGUATEZZA DELLA DEFINIZIONE DATA; LA DEFINIZIONE DI LAPLACE
2.1 - La definizione che abbiamo appena scritto è da buttare? 248
2.2 - La definizione “perfezionata” (di Laplace) 248
2.3 - Nemmeno la definizione "perfezionata" è, a ben guardare, impeccabile 249
2.4 - Il problema dell’equipossibilità 249
3 - DIVERSI APPROCCI ALLA PROBABILITA’
Definizione classica, frequentista, assiomatica, soggettivista 250
4 - TERMINOLOGIA E SIMBOLOGIA; INDICAZIONI METODOLOGICHE; ESEMPI
4.1 - Terminologia specifica 251
4.2 - Indicazioni metodologiche 251
4.3 - Anticipazione: l’evento contrario 251
4.4 - Esempi svolti (sulla definizione di Laplace) 252, 253, 254
4.5 - Esercizi 255 … 261
4.6 - Esercizi su probabilità e frequenza relativa 262
4.7 - Speranza matematica 263 … 267
4.8 - Probabilità soggettiva 268
♫ IL MONDO INFIDO E TRISTE DELLE SCOMMESSE 269
Esercizi sulla probabilità soggettiva 270
4.9 - Curiosità: il “paradosso di Simpson” 271
5 - PROBABILITA’ E CALCOLO COMBINATORIO
5.1 - Applicazioni del C.C. al C.d.P. 272, 273
5.2 - Poker, Lotto, Superenalotto e il CdP da 274 a 283
6 - PROBABILITA' CONDIZIONATA
6.1 - Cosa significa “probabilità condizionata” (o “subordinata”) 284, 285
6.2 - Un secondo impiego della scrittura p(A/B): l’ “evento a due fasi” 286
6.3 - Ricapitolazione 287
VIII
6.4 - Eventi stocasticamente indipendenti 288
6.5 - Esercizi (probabilità condizionata) 288, 289
7 - UNIONE, INTERSEZIONE, COMPLEMENTAZIONE
7.1 - Teorema sulla probabilità dell’evento unione (detto “teorema delle probabilità totali”) 290
7.2 - Teorema sulla probabilità dell’evento intersezione
(detto “teorema delle probabilità composte”) 291
7.3 - Teorema sulla probabilità dell’evento contrario 292
7.4 - Esercizi 293
8 - EVENTI A DUE (O PIU’) FASI
8.1 - Il Teorema relativo agli “eventi a due fasi” 294, 295
8.2 - Dimostrazione del Teorema sugli “eventi a due fasi” 296, 297
Due esempi 298
8.3 - “Regola della somma”; generalizzazione a più di due fasi 298
Esercizi 299
9 - OSSERVAZIONI UNIFICANTI 300
10 - ESERCIZI SVOLTI 301 … 311
11 - IL “PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE” 312, 313, 314
12 - SIMULAZIONE DI EVENTI ALEATORI IN LINGUAGGIO PASCAL 315
13 - ESERCIZI VARI 316, 317, 318, 319
14 - TEOREMA DI BAYES (SULLA "PROBABILITÀ DELLE CAUSE")
14.1 - La “probabilità delle cause”: formula di Bayes 320, 321
14.2 - Esercizi sul Teorema di Bayes 322, 323, 324
14.3 - Ancora sulle “fette di certezza” 325
14.4 - Falsi positivi, falsi negativi 326, 327, 328
15 - ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE 329 … 335; risposte 336 … 344
Un’altra truffa legalizzata: Win For Life 345, 346
MATEMATICA E MODELLI DELLA REALTA’
Modellizzazione; la matematica del cittadino 347, 348, 349
Link 349
Raccolta di prove PISA 350 … 373
GIOCHI DI ARCHIMEDE
Testo dei Giochi di Archimede 2005
Testo dei Giochi di Archimede 2006
Testo dei Giochi di Archimede 2007
Testo dei Giochi di Archimede 2011
374-375
376-377
378-379
380-381
Ultima pagina volume X
IX
>, ≥, <, ≤, ≠
≡
≈
SIMBOLOGIA
⊂
“Maggiore di”, “maggiore o uguale di”, “minore di”, “minore o uguale di”, “diverso da”
“Coincidente con”
“Uguale circa a”, “pressappoco uguale a”
“Equivalente a” (fra superfici)
Per separare, in un numero, la parte intera da quella decimale, si utilizzerà in genere la virgola,
che sarà in certi casi sostituita dal punto (all’anglosassone): ciò avverrà quando verranno
riportati materiali in Inglese, o nei capitoli di Goniometria e Linguaggio Pascal.
Una coppia di graffe può essere impiegata per indicare un insieme.
E l’ordine degli elementi in un insieme è irrilevante: {Roma, Milano} = {Milano, Roma}
Una coppia di tonde può essere utilizzata, oltre che nel simbolo di “intervallo” (vedi),
anche per indicare una coppia ordinata, o più in generale una sequenza ordinata.
Ad esempio, la scrittura ( −5, 4) può rappresentare la coppia ordinata che ha
per 1° elemento −5 e per 2° elemento 4 , ed è (−5, 4) ≠ ( 4, − 5)
“Appartiene a”, “è contenuto in”. Si usa per un elemento rispetto a un insieme. Negazione: ∉
“E’ incluso in”, “è sottoinsieme di”. Si usa per un insieme rispetto a un altro insieme.
“E’ incluso strettamente in”. Questo simbolo compare di rado; serve per mettere in risalto
che un dato sottoinsieme non coincide con l’insieme più grande, non lo riempie del tutto.
∩, ∪, −,
Operazioni fra insiemi: intersezione, unione, differenza insiemistica, complementazione
∧, ∨ ,
∃, ∃!
∀
/ o anche :
Operazioni logiche: “et” (congiunzione), “vel” (disgiunzione), “non” (negazione)
,
.
{
}
(...,...)
∈
⊆
→, ↔
⇒, ⇔
∅, { }
\=
insieme
dei numeri
"reali"
` = insieme dei
numeri "naturali "
] = insieme degli
interi relativi
_=
insieme dei numeri
"razionali "
\−_ =
insieme dei numeri
"irrazionali "
\*, `*, ...
∞
( a, b ) [a, b]
[a, b ) ( a, b]
×
& ⊥
“Esiste” (quantificatore esistenziale); con il punto esclamativo: “esiste uno e un solo”
“Per ogni”, “per qualsiasi”, “qualunque sia” (quantificatore universale)
“Tale che, tali che” (gli stessi simboli, naturalmente, indicano anche frazione o divisione)
Implicazione e biimplicazione “materiale” e, in senso più generale, abbreviazioni di
SE … ALLORA … oppure QUINDI, DI CONSEGUENZA ( → );
SE … ALLORA … E VICEVERSA ( ↔ ).
Ma possono anche indicare semplicemente “corrispondenza”, “rimando”, o “orientamento”.
Implicazione logica, doppia implicazione (o biimplicazione) logica. SE … ALLORA … ( ⇒ ),
SE … ALLORA … E VICEVERSA ( ⇔ ), per qualsiasi valore delle lettere coinvolte.
Entrambi i simboli indicano l’insieme vuoto, l’insieme senza elementi
Comprende sia i numeri interi che quelli con la virgola (tanto i finiti quanto gli illimitati,
periodici o non periodici), sia quelli positivi che quelli negativi (e anche, ovviamente, lo 0).
E’ l’insieme dei numeri che sono rappresentabili su di una “number line”,
ossia su di una retta dotata di “origine”, orientamento e unità di misura.
L’insieme dei numeri reali senza segno (=“assoluti”) si indica invece con \ a .
I numeri “naturali” sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Lo stesso simbolo, ma asteriscato,
è utilizzato per indicare il medesimo insieme, privato dello 0: `* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
] = { ... , − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3, ... }
Dal latino “ratio” che significa “rapporto, quoziente”, i numeri razionali sono
i numeri frazionari o che, comunque, si possono portare sotto forma di frazione,
intesa come “quoziente fra due numeri interi”. Ad esempio, i numeri con la virgola finiti o
illimitati periodici sono razionali, gli illimitati non periodici non lo sono (sono “irrazionali”).
Si intende che il simbolo _ indichi i razionali relativi (sia positivi, che negativi);
il simbolo usato per indicare l’insieme dei razionali assoluti (=senza segno) è _ a .
L’asterisco * indica che dall’insieme va tolto lo 0. Es. \* = {numeri reali non nulli}
Infinito
Intervalli. La parentesi tonda indica che quell’estremo è escluso, la quadra che è incluso.
Ad esempio, [2, 5) indica tutti i numeri reali compresi fra 2 (incluso) e 5 (escluso).
(− ∞, 0) è l’insieme dei numeri reali < 0 (“strettamente negativi”, negativi in senso stretto)
(− ∞, 0] è l’insieme dei numeri reali ≤ 0 (negativi o nulli, negativi in senso lato)
(0, + ∞) è l’insieme dei numeri reali > 0 (“strettamente positivi”, positivi in senso stretto)
[0, + ∞) è l’insieme dei numeri reali ≥ 0 (positivi o nulli, positivi in senso lato)
( − ∞, + ∞ ) = \
Prodotto cartesiano di insiemi; anche per l’ordinaria moltiplicazione, al posto di "⋅ "
“Parallela a”; “perpendicolare a” (fra rette)
X
1
IL RUOLO DI QUESTO VOLUME X
Innanzitutto,
la sua eccentrica titolazione è dovuta a due considerazioni.
♪ Gli argomenti qui trattati si pongono in qualche modo a cavallo fra i volumi 1 e 2,
così come il pareggio (X) è a metà strada
fra la vittoria della squadra che gioca in casa (1)
e quella della squadra ospite (2);
tant’è vero che in una scuola media superiore
e specialmente in un liceo scientifico
andrebbero proposti parte nel primo anno e parte nel secondo.
♫ D’altronde queste pagine sono pensate per poter essere utili
• tanto ad un allievo adolescente,
• quanto a uno studente universitario
che desideri, o che debba, rivedere e approfondire
la sua formazione matematica di base …
[In particolare, i capitoli di Calcolo Combinatorio e Calcolo delle Probabilità vanno ben oltre
ciò che si può realisticamente pensare di svolgere nel Biennio iniziale di una media superiore,
e potrebbero essere ripresi per intero nel successivo Triennio o per la preparazione universitaria,
accontentandosi provvisoriamente di utilizzare
il primo per pochi concetti introduttivi e nient’altro (paragrafo 1),
il secondo limitatamente ai paragrafi 1, 2, 3 e (tolta magari la parte finale) 4]
Per queste ragioni la denominazione “X”,
che da un lato può suggerire una collocazione mediana fra 1 e 2,
dall’altro richiamare un’idea di autonomia,
è sembrata opportuna nonostante sia piuttosto inconsueta.
Ma bando agli indugi …
… entriamo subito nel vivo !!!
Buon lavoro, e buon divertimento !!!
Giancarlo Zilio
2
ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA
1. ESEMPI INTRODUTTIVI:
TRE SITUAZIONI CHE POSSONO PORTARE AD UNA INDAGINE STATISTICA
Esempio a)
Ogni settembre, all’inizio dell’anno scolastico, il professor Curiosi
deve far conoscenza con due classi novelle: la I A e la I B.
A tale scopo, da qualche tempo ormai egli ha preso l’abitudine di somministrare ai ragazzi
sempre il medesimo test di ingresso, calcolando poi il punteggio acquisito da ciascun alunno,
punteggio che può andare da un minimo di 0 a un massimo di 100.
Quest’anno gli esiti, sui 24 studenti di I A e sui 21 di I B, sono stati i seguenti:
I A (24 allievi) 51 62 42 58 60 68 61 68 64 70 71 60 51 62 41 51 36 47 58 73 37 54 63 65
I B (21 allievi) 45 48 51 63 51 60 29 52 47 41 52 50 56 62 57 70 55 64 59 55 67
Se l’è cavata meglio, nel complesso, la I A o la I B?
Il test conferma o no l’impressione,
riportata dal professor Curiosi nel corso delle primissime lezioni,
che in una delle due classi ci sia maggiore omogeneità di rendimento
e nell’altra invece si abbiano parecchi alunni bravi, ma anche parecchi scarsotti?
Se nei 4 anni scolastici precedenti i punteggi erano stati quelli della tabella sottostante:
I A anno scorso
I B anno scorso
I A 2 anni fa
I B 2 anni fa
I A 3 anni fa
I B 3 anni fa
I A 4 anni fa
I B 4 anni fa
52 58 30 39 61 58 56 48 45 27 40 64 68 50 51 47 52 52 58 39
45 77 52 60 75 41 47 71 51 43 59 60 54 55 63 60 35 49 48 65 54 38 48 50 45
50 57 51 54 56 49 40 54 57 47 60 66 68 40 70 56 72 48 40
75 70 55 58 68 78 54 50 58 65 71 54 49 44 46 56 65 45 56 50 42 69 41
54 79 52 60 75 41 47 71 51 43 59 50 54 55 63 60 35 25 26 65 54 25 48
40 74 59 67 62 69 60 69 57 45 56 62 60 59 79 70 60 65 60 88 40 66 48
38 55 67 49 57 45 56 55 69 44 35 48 53 61 69 45 67 54 62 72 47 62 52 46 55
52 56 65 75 55 69 84 70 60 74 76 67 73 74 51 65 55 50 55 73 57 62 23 36 49 42
… questi dati suffragano o non suffragano la lagnanza, consueta in Sala Insegnanti, che
“negli ultimi anni, la preparazione dei ragazzi va sempre più abbassandosi”?
♣
Esempio b)
Negli uffici pubblici di una capitale europea l’assessore competente, dopo alcuni episodi antipatici,
ha deciso di testare l’apprezzamento o meno dei cittadini riguardo al lavoro degli impiegati comunali,
dando a ogni utente la facoltà di compilare il questionario che segue:
Nome dell’impiegato …
Professionalità: (Ottima/Discreta/Sufficiente/Insufficiente/Pessima)
Cortesia: (Ottima/Discreta/Sufficiente/Insufficiente/Pessima)
Capacità di gestire i tempi del lavoro: (Ottima/Discreta/Sufficiente/Insufficiente/Pessima)
Come potrà il nostro assessore rappresentare graficamente questi dati
in modo da poterli discutere col Sindaco in maniera comoda ed efficace?
Esempio c)
Un sondaggio telefonico sulle intenzioni di voto prima delle elezioni comunali
in una città di 84000 abitanti, con 3 candidati sindaco, ha coinvolto 250 persone.
In che misura è attendibile?
3
2. DUE RIGHE DI STORIA
Sebbene un’attività pratica di carattere statistico si possa, volendo, far risalire persino a tempi che precedono
l’invenzione della scrittura, quando già l’uomo tramite tacche su di un bastone era in grado di effettuare conteggi
di persone o animali, per i primi rilevamenti statistici più “in grande” occorre attendere
i Sumeri (in tavolette del IV-III millennio a.C. sono annotati elenchi
di persone e di cose in loro possesso, plausibilmente allo scopo di imporre tributi),
gli Egizi (censimento effettuato intorno al 3000 a.C., anche per valutare
quanti operai si potessero impiegare nelle costruzioni faraoniche),
o la Cina del 2200 a.C. circa, in cui una rovinosa inondazione indusse l’imperatore a registrare circa
cento milioni di esseri umani suoi sudditi, rilevandone pure il mestiere, dichiaratamente ai fini fiscali.
Presso il popolo ebreo vennero effettuati alcuni censimenti, come sappiamo dall’Antico Testamento
(e anche il Nuovo ne menziona uno, ordinato dai Romani, all’epoca della nascita di Gesù …).
Nella Roma antica furono particolarmente frequenti, per ragioni tributarie o militari.
In epoca medievale e rinascimentale si ebbero raccolte di dati su persone, terre e beni
ad opera, tanto per fare qualche esempio, di Carlo Magno, di Guglielmo il Conquistatore,
di Stati come la Repubblica Veneta; e comunque le parrocchie e i monasteri presero l’abitudine di tenere
registri di battesimi, morti, matrimoni e possedimenti.
L’inglese John Graunt (1620-1674) è considerato il primo studioso di Statistica in senso moderno.
Egli raccolse una gran quantità di informazioni cercando di cogliere in esse regolarità e relazioni varie:
E’ vero che nascono più femmine che maschi?
O che il suicidio è più diffuso nelle persone che fanno determinati mestieri?
E’ possibile prevedere l’andamento futuro della numerosità di una popolazione?
Un amico di Graunt, William Petty (1623-1687), introdusse il termine "aritmetica politica",
per indicare "l'arte di ragionare mediante le cifre sulle cose che hanno attinenza col governo".
Fra i grandi nomi che si occuparono di aritmetica politica citiamo Christiaan Huygens (1629-1695).
Il poliedrico Leibniz (1646-1716) si interessò anche a concetti quali “vita media” e “vita probabile”.
L’astronomo inglese Edmond Halley, 1656-1742 (proprio lui, quello della celebre cometa)
è considerato il padre della matematica assicurativa.
Tra coloro che, nel porre le basi della Teoria della Probabilità, apportarono un contributo fondamentale alla
Statistica, citiamo Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754) e Thomas Bayes (1702-1761).
De Moivre, per inciso, predisse pure il giorno in cui sarebbe morto (27 novembre 1754)
in base a un conteggio matematico legato all’aumento progressivo dei propri minuti di sonno …
in questo caso, però, più che di scienza si trattò di “fortuna” … o di autosuggestione …
va beh, parliamo d’altro!
Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Karl Friedrich Gauss (1777-1855), e Pierre-Simon de Laplace
(1749-1827) si occuparono, fra l’altro, del “metodo dei minimi quadrati”.
Al sommo Gauss si devono risultati geniali in molteplici settori della matematica,
fra cui la teoria degli errori di misura (della curva “normale”, o “gaussiana”, parleremo nel nostro corso).
Thomas Robert Malthus (1766-1834) approfondì il tema dell’accrescimento della popolazione umana in un
ambiente dalle risorse limitate, come quello del pianeta Terra - argomento di estremo interesse nel presente.
Il belga Quételet (1796-1874) studiò gli scostamenti degli individui dal modello astratto del cosiddetto
“uomo medio”.
Osservò, fra l’altro, che un più alto tasso di criminalità risulta correlato non tanto alla povertà,
quanto alla disuguaglianza fra le classi sociali.
Francis Galton (1822-1911), cugino di Darwin, applicò la Statistica alla genetica, alla teoria dell’evoluzione,
alla psicometria; introdusse il termine “regressione”, e anche quello di “eugenica” o “eugenetica”
( = come migliorare la specie umana agevolando la riproduzione degli individui con le caratteristiche ottimali).
Purtroppo lo stesso termine si legò, qualche decennio dopo, ai deliri nazisti.
Ronald Fisher (1890-1962) e Karl Pearson (1857-1936) dedicarono il loro ingegno alla
“Statistica Inferenziale”, ossia a quella branca della Statistica che si propone di “inferire” (dedurre)
informazioni su di una intera “popolazione” a partire dallo studio di un “campione” di essa.
Così il chimico inglese W. S. Gosset (1876-1937), dipendente della ditta Guinness produttrice di birra,
si pose il problema di come trattare le informazioni provenienti da campioni piccoli o piccolissimi
e firmò le sue ricerche con lo pseudonimo Student perché la birreria, per salvaguardare
i segreti della produzione, faceva divieto ai suoi impiegati di pubblicare qualsivoglia articolo
(ne sentirai parlare se un giorno dovessi occuparti della “distribuzione t di Student”).
4
3. DI COSA TRATTA LA STATISTICA;
STATISTICA DESCRITTIVA E STATISTICA INFERENZIALE
Un’indagine statistica si occupa di un “FENOMENO COLLETTIVO”
(cioè di un fenomeno che si presenta in una pluralità di soggetti … sovente, in tanti o tantissimi soggetti).
ESEMPI DI FENOMENI COLLETTIVI
La conoscenza delle lingue straniere.
I gusti musicali.
L’età alla quale ci si sposa.
La presenza di animali domestici negli appartamenti.
La lunghezza delle piste ciclabili nelle città.
Se, ad esempio, noi fossimo interessati al fenomeno
“utilizzo del telefonino da parte degli studenti di una data scuola”,
gli studenti di quella scuola sarebbero la nostra “popolazione statistica”,
ogni singolo studente sarebbe una “unità statistica”,
e i “caratteri ” da studiare sarebbero “quanto, quando e come questi ragazzi utilizzano il telefonino”.
Un “fenomeno collettivo” viene preso in esame nell’ambito di una data “POPOLAZIONE STATISTICA”,
della quale si studia una certa caratteristica o “CARATTERE” (NOTA)
andando ad analizzare quali sono le “MODALITÀ” con cui questo carattere si può manifestare e verificando,
in ciascun elemento (= “UNITÀ STATISTICA”) della “popolazione”, quale di tali modalità è presente,
per desumere da tutto ciò conteggi, percentuali, “medie”, “indici di dispersione”, rappresentazioni grafiche.
NOTA: sovente si studiano, “in parallelo”, sulla stessa popolazione statistica, più caratteri di uno stesso fenomeno
ESEMPI
a) Fenomeno collettivo: le caratteristiche fisiche.
Possibili “popolazioni statistiche”:
l’insieme dei residenti in Italia,
o l’insieme dei cittadini di nazionalità italiana,
oppure l’insieme delle donne nate a Stoccolma
Un possibile carattere: il colore degli occhi.
Possibili scelte per le modalità di questo carattere:
oppure:
marrone
marrone
azzurro
non marrone
verde
grigio
E’ una “unità statistica” la singola persona
della quale si rileva il colore degli occhi.
c) Fenomeno collettivo: il costo degli affitti
Una possibile “popolazione statistica”:
l’insieme degli appartamenti in affitto
in una determinata località
Due possibili caratteri:
la cifra risultante dal contratto d’affitto
oppure la cifra complessiva,
compresi gli accordi “in nero”
b) Fenomeno collettivo: il livello di istruzione.
Possibili “popolazioni statistiche”:
l’insieme dei cittadini italiani dai 30 anni ai 40
oppure l’insieme dei Vigili del Fuoco
Un possibile carattere:
l’attestato scolastico più alto conseguito.
Una possibile scelta per le modalità di questo carattere:
licenza elementare
licenza media
diploma di scuola media superiore
laurea
E’ una “unità statistica” la singola persona
di cui constatiamo il grado di istruzione.
(problema: come riuscire a rilevare la “vera” cifra?)
Una possibile scelta per le modalità del carattere:
meno di 300 euro mensili
da 300 a 449 euro
da 450 a 599 euro
dai 600 euro in su
E’ una “unità statistica” il singolo appartamento
per il quale si va ad annotare il costo del relativo affitto.
Come mostra l’esempio c), una “popolazione statistica” non deve essere necessariamente un gruppo di persone!
Un’ulteriore situazione: se interessasse lo studio del numero di piccoli che le coniglie di un dato allevamento
generano nel corso della loro vita, una “unità statistica” sarebbe una coniglia.
OSSERVAZIONI
Una volta deciso il “carattere” di cui ci vogliamo interessare, la scelta delle sue “modalità” non è univoca!
Così come spetta a noi, secondo i nostri interessi o le nostre esigenze, la scelta della “popolazione statistica”.
SINONIMI
“Popolazione statistica” = “popolazione” = “COLLETTIVO statistico” = “collettivo” = “universo”.
Il numero delle unità statistiche si dice anche “NUMEROSITÀ” della popolazione.
5
LE DIVERSE TIPOLOGIE DI CARATTERI
I “caratteri” si distinguono fra
“QUALITATIVI” ( = le cui modalità sono espresse da un aggettivo, da un sostantivo o da un avverbio,
es. il colore dei capelli, il grado di soddisfazione rispetto a un prodotto)
e “QUANTITATIVI” ( = modalità espresse da un numero,
es. il peso o il reddito di una persona, oppure il numero di uova prodotte da una gallina in un mese).
Fra i caratteri “QUALITATIVI”, distinguiamo
quelli “ORDINATI”
e quelli “non ordinati”, o “SCONNESSI”.
Ad es., è “ordinato” il carattere “livello di istruzione”. E’ invece “sconnesso” il carattere “colore dei capelli”.
Fra i caratteri “QUANTITATIVI”, ce ne sono di
“DISCRETI”: quelli che sono descritti da numeri interi,
come ad es. il “numero dei figli” di una donna, o il “numero di esami già superati” da un universitario
e “CONTINUI”: quelli espressi, almeno in linea di principio, da un numero reale … ma, soprattutto,
quelli dei quali interessa non tanto il valore preciso, quanto il fatto se siano compresi in un dato intervallo.
Ad esempio, l’“area di una superficie coltivata”;
ma anche il peso o l’altezza individuali, il tempo che si impiega per percorrere una certa distanza,
la larghezza delle strade, sono da considerarsi caratteri “continui”.
Rifletti: se chiediamo a una persona di darci la sua altezza in cm, e questa ci risponde “171”,
vuol dire che la sua altezza rientra nella fascia fra 170,5 e 171,5 e che quella persona ha scelto l’intero 171
in quanto ha valutato questo valore “tondo” come il più vicino alla “vera” misura, che però intera non sarà ...
DEFINIZIONI DI “STATISTICA”; SUA IMPORTANZA; STATISTICA DESCRITTIVA E INFERENZIALE
Possiamo dire che la statistica è la disciplina che, innanzitutto,
insegna ad esprimere le caratteristiche salienti di un insieme di dati, anche molto vasto, in modo sintetico,
con l’aiuto di numeri dotati di valore “riassuntivo” (le “medie”, gli “indici di dispersione”)
e con il supporto di rappresentazioni grafiche svariate.
La parte più elementare della statistica è la cosiddetta “STATISTICA DESCRITTIVA”.
La statistica descrittiva analizza TUTTE le unità statistiche della popolazione considerata.
La “STATISTICA INFERENZIALE” si occupa invece di estrarre dalla popolazione,
quando questa è troppo vasta per poter essere studiata nella sua interezza,
un sottoinsieme di unità statistiche detto “campione”, che verrà esaminato allo scopo di
dedurre ( = inferire) da questa analisi parziale indicazioni che possano valere per la popolazione intera,
valutando il grado di attendibilità di tali indicazioni.
Ballatori, nel 1980, definì la statistica come
“disciplina che studia i fenomeni collettivi, cioè quei fenomeni per la cui osservazione (descrizione, misura)
è necessaria una massa di osservazioni di fenomeni elementari”.
E Maccacaro, nel 1975, la definì come il “saper parlare di ciò che non si conosce:
o meglio, parlare correttamente di ciò che non si conosce completamente”.
NEL MONDO CONTEMPORANEO una grandissima mole di dati viene quotidianamente rilevata
e messa a disposizione del pubblico. D’altronde l’elaborazione e la rappresentazione grafica dei dati stessi
sono al giorno d’oggi enormemente facilitate e rese veloci dall’utilizzo del computer.
In questo contesto LA STATISTICA ASSUME UN’IMPORTANZA COLOSSALE.
E’ ormai irrinunciabile anche per il profano saper interpretare, per esempio,
l’attendibilità dei sondaggi, o i grafici e gli indici che continuamente giornali e TV ci propongono.
E la scienza non potrebbe progredire senza strumenti statistici in grado
di sintetizzare le informazioni e di effettuare previsioni e valutazioni di affidabilità!
Due esempi soltanto fra i tantissimi possibili:
1) la teoria degli errori di misura;
2) nelle sperimentazioni cliniche di un farmaco su un campione di malati, il “p-value”, valore che esprime
la probabilità che il buon effetto riscontrato sia dovuto al caso, anziché a una reale efficacia del farmaco
(di solito vengono considerati significativi per il test di efficacia valori p < 0, 05 ).
ORIGINE DEL TERMINE “STATISTICA”
Proviene dalla lingua italiana (Ghislini, 1589) e precisamente dalla parola “Stato”,
con riferimento all’utilizzo dei rudimenti di questa disciplina, nel XVI secolo, per studi amministrativi e politici.
6
4. LE PRIME TRE FASI DI UN’INDAGINE STATISTICA; TERMINOLOGIA
PRIMA FASE: LA SCELTA DEL “FENOMENO COLLETTIVO” DA ANALIZZARE,
vale a dire la scelta del “CARATTERE” che si vuole studiare,
e della “POPOLAZIONE” di cui ci si vuole occupare.
Come abbiamo già accennato, a volte interesserebbe una “popolazione” nella sua interezza, ma per motivi di
tempi, di costi, di fattibilità se ne prende solo una parte, un “campione” (basti pensare ai sondaggi elettorali …);
certo, si porrà poi il problema di valutare in che misura l’indagine fatta sul campione possa essere
rappresentativa a riguardo della popolazione intera … di questo si occupa la “statistica inferenziale”.
Si sceglie, per il “carattere”, un insieme di “MODALITÀ”.
Il carattere “sesso” fra i bambini di una scuola elementare si può manifestare in sole due modalità:
Maschile o Femminile, ma sovente c’è invece una certa discrezionalità:
ad esempio, il carattere “soddisfazione dell’utenza rispetto a un certo prodotto” potrebbe essere analizzato
• nelle 3 modalità “Poco soddisfatto/Sufficientemente soddisfatto/Molto soddisfatto”,
• oppure nelle 5 modalità: “Per niente/Poco/Sufficientemente/Molto/Moltissimo”,
• oppure ancora domandando di esprimere la propria soddisfazione con un voto, che so, da 0 a 10.
Le fasi successive dell’indagine statistica sono finalizzate innanzitutto a stabilire ed annotare
in quante, fra le “unità statistiche”, si presenta ciascuna delle “modalità”.
SECONDA FASE: LA RILEVAZIONE DEI DATI
Si può effettuare:
• con l’osservazione o misurazione diretta (ad es. per il colore degli occhi, o per il peso …,
o per rilevare le condizioni di salute di un ammalato al quale sia stato somministrato un dato farmaco, …);
• tramite un’intervista;
• tramite un questionario, che potrà essere:
I) a risposta chiusa; II) a risposta aperta (più laborioso, in questo caso, lo spoglio dei dati, e meno facile
l’interpretazione delle risposte …); III) “semistrutturato” (è un “misto” fra le due tipologie precedenti).
TERZA FASE: LO SPOGLIO DEI DATI
Si conta, per ciascuna delle “modalità” del “carattere”,
quante fra le “unità statistiche” presentano quella modalità.
Si annotano questi conteggi in una tabella che prenderà il nome di “DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA”.
Ad esempio: “Qual è lo sport che pratichi con maggiore divertimento?” (in una popolazione di 480 giovani)
Frequenza assoluta Frequenza relativa (appross.) Freq. rel. percentuale (appross.)
120
0,25
25 %
Calcio
92
0,19
19 %
Pallavolo o Basket
62
0,13
13 %
Footing, Atletica leggera
57
0,12
12 %
Nuoto
100
0,21
21 %
Altro sport
49
0,10
10 %
Nessuno
TOTALE
480
1,00
100 %
A volte si annota solo la “FREQUENZA ASSOLUTA” di ciascuna modalità, ossia il
NUMERO DI UNITÀ STATISTICHE NELLE QUALI QUELLA MODALITÀ SI È PRESENTATA.
Altre volte (come abbiamo fatto nella tabella precedente) si va a calcolare anche la “FREQUENZA RELATIVA”
ossia il rapporto, il quoziente, fra la frequenza assoluta e il numero totale di unità statistiche:
frequenza relativa =
frequenza assoluta
numero delle unità statistiche
La freq. relativa esprime quale parte, quale frazione delle unità statistiche presenta quella determinata modalità.
120 1
= = 0, 25 significa affermare
Dire che la frequenza relativa della modalità “calcio” è stata
480 4
che ¼ dei giovani interpellati ritiene, fra gli sport praticati, il calcio come il più divertente.
Se la frequenza relativa viene poi moltiplicata per 100, si avrà la “FREQUENZA PERCENTUALE”
che ci dice quante unità statistiche su 100 hanno presentato quella modalità:
frequenza relativa percentuale = frequenza relativa ⋅ 100 =
frequenza assoluta
⋅ 100 .
numero delle unità statistiche
Nel nostro esempio, il calcio ha come frequenza percentuale 0,25 ⋅ 100 = 25 : lo predilige il 25% degli interpellati.
7
GLOSSARIO, SINONIMI (felici e meno felici)
Ribadiamo che prende il nome di
DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA
L’INSIEME DELLE COPPIE ORDINATE
(MODALITÀ, FREQUENZA ASSOLUTA);
in altre parole,
LA TABELLA CHE A CIASCUNA MODALITÀ ASSOCIA LA SUA FREQUENZA ASSOLUTA,
ossia il numero delle unità statistiche che presentano quella modalità.
Se il carattere è quantitativo, e le sue modalità - espresse in questo caso da valori numerici sono ripartite per comodità in intervalli, questi intervalli vengono chiamati le
“CLASSI DI FREQUENZA”.
Ad esempio, le modalità del carattere quantitativo
“estensione S in metri quadrati dell’appartamento in cui si risiede”
potrebbero essere riunite, all’atto di compilare la tabella delle coppie (modalità, frequenza),
negli intervalli seguenti:
S < 40 m 2 ;
40 m 2 ≤ S < 60 m 2 ;
60 m 2 ≤ S < 80 m 2 ;
80 m 2 ≤ S < 100 m 2 ;
100 m 2 ≤ S < 120 m 2 ;
120 m 2 ≤ S < 140 m 2 ;
S ≥ 140 m 2
Avremmo allora 7 “classi di frequenza”.
Ovviamente, al momento di scegliere le classi di frequenza dobbiamo fare in modo che
• la loro unione dia tutto l’intervallone delle possibili modalità
• e che, prese due qualsiasi di esse, la loro intersezione sia vuota.
Di una distribuzione di frequenza si dice che è:
• una “SERIE”, se il carattere al quale si riferisce è qualitativo
• una “SERIAZIONE”, se il carattere è quantitativo.
Una distribuzione di frequenza può anche essere chiamata
• “MUTABILE statistica” se il carattere di riferimento è qualitativo
• “VARIABILE statistica” se il carattere di riferimento è quantitativo.
Talvolta gli stessi sostantivi “mutabile”, “variabile”
vengono impiegati con riferimento al carattere più che alla distribuzione.
Questa terminologia
si può benissimo ignorare …
dimenticala pure … tuttavia,
te l’ho citata per avvertirti che
consultando un testo o un sito
di statistica, ci si deve rassegnare
a “digerire” parole che a volte
sembrano fatte apposta
per complicare inutilmente le cose.
Avrai osservato che, in statistica, sovente si hanno più possibilità diverse per dare nomi ai concetti.
A dire il vero, alcuni termini danno l’impressione di non essere molto “azzeccati”,
o di venire impiegati più per mettere in sudditanza psicologica il lettore che per agevolarlo …
In queste lezioni cercheremo sempre di adottare la terminologia a nostro modesto avviso più chiara,
informando lo studente sui possibili sinonimi (almeno, su alcuni fra i tanti).
E’ noto che PER SEPARARE LA PARTE INTERA DA QUELLA DECIMALE in un numero
si può utilizzare la virgola, o in alternativa il punto decimale.
Noi nel nostro corso scegliamo di norma la prima strada - più diffusa in Italia - ma a volte preferiamo invece
la seconda, per motivi vari di opportunità (e un po’ anche per abituare il lettore alla doppia possibilità).
♥ In questo capitolo dedicato alla statistica il separatore sarà la virgola,
anche perché nel capitolo si invita sovente a servirsi di un foglio elettronico
(programma per computer in grado di visualizzare tabelle, effettuare calcoli e tracciare grafici),
e in un foglio elettronico (versione italiana) occorre forzatamente fare uso della virgola, in quanto
un numero scritto con un punto verrebbe interpretato dal programma come finalizzato a indicare un’ora del giorno.
Le FASI SUCCESSIVE dell’indagine statistica, di cui andremo ad occuparci nel seguito, consistono
nella RAPPRESENTAZIONE GRAFICA dei risultati
e nella loro ELABORAZIONE STATISTICA.
8
Ma a questo punto ti direi di fermarti per fare qualche facile (e divertente) esercizio.
ESERCIZI sui concetti introduttivi alla Statistica Descrittiva (risposte a pag. 70)
1) Per ognuno dei seguenti fenomeni collettivi, individua una possibile “popolazione”
e uno o più possibili “caratteri”, poi per ciascun carattere uno o più possibili insiemi di modalità:
a) le caratteristiche fisiche delle persone b) il lavoro c) le abitudini di spesa
d) l’appartamento in cui si vive e) la compagnia degli animali domestici
2) Per ciascuno dei seguenti caratteri, stabilisci se è
qualitativo ordinato, qualitativo sconnesso, quantitativo discreto o quantitativo continuo:
a) l’età alla quale una donna ha avuto il primo figlio
b) la squadra di calcio preferita
c) il numero di sere in cui uno studente esce abitualmente di casa in una settimana
d) il peso del proprio zainetto nell’entrare a scuola la mattina
e) il numero di libri presenti nello zainetto di uno studente all’ingresso a scuola
f) il gradimento di un programma televisivo
g) la nazionalità degli ospiti di un albergo
h) il numero di abitanti di un comune
3) Intervista telefonica a 50 persone che hanno risposto “sì” alla domanda “Possiede un gatto?”
Fra parentesi, il numero di risposte.
L’animale vive in casa o fuori?
□ Solo in casa (14) □ Sia in casa che fuori (24) □ Quasi sempre fuori (12)
Quanto ha speso negli ultimi 30
gg per l’alimentazione del gatto?
□ Meno di 10 euro (25)
Ha fatto ricorso al veterinario
per il gatto negli ultimi 12 mesi?
□ Mai (33)
□ Da 10 € a 20 € (22)
□ Una volta (13)
□ Più di 20 € (3)
□ Più di una volta (4)
a) Qual è la “popolazione statistica” in questo caso? Quale il “fenomeno collettivo”? Quali i suoi “caratteri”?
b) Riconosci, fra i caratteri studiati, quelli “quantitativi” e quelli “qualitativi”
c) Quali sono le “modalità” scelte per ciascun carattere?
d) Il carattere qualitativo considerato è “ordinato” o “sconnesso”?
e) Per il ricorso al veterinario, determina le frequenze: I) assolute II) relative III) percentuali
4) Ottimo per un divertente lavoro di gruppo.
a) Trascrivi il questionario sottostante al computer con un word processor
( = programma di elaborazione testi), ad esempio Word o OpenOffice Writer.
b) Stampa. Fotocopia. Distribuisci.
c) Raccogli i questionari compilati.
d) Con un foglio elettronico (es. Excel o OpenOffice Calc) salva gli esiti in un file.
QUESTIONARIO DEL CURIOSONE
Grazie ♥ se vorrai riempire questo questionario, RIGOROSAMENTE ANONIMO!!!
1) La tua altezza, in cm: …………. 2) Il tuo peso, in kg: ……….. 3) Il tuo numero di scarpe: …………..
4) Il numero dei tuoi fratelli (escluso te; devono avere la stessa tua mamma e papà naturali): …………..
5) Quanti anni aveva tua mamma quando ha avuto il primo figlio? …………..
6) A che ora vai a letto, di solito, quando il giorno dopo devi andare a scuola?
(è ammessa anche la “1/2 ora”, es. 22:30) …………..
7) Quanto prendi di “paghetta” mensilmente? Euro …………..
8) Qual è la tua materia preferita? ……….… 9) Qual è la materia che trovi più antipatica? ………….
10) Dai un giudizio sulla tua scuola attuale (crocia la lettera corrispondente alla risposta):
Pulizia, servizi igienici, stato dell’edificio: a) Scarsissima b) Scarsa c) Sufficiente d) Buona e) Ottima
Preparazione del corpo insegnante: a) Scarsissima b) Scarsa c) Sufficiente d) Buona e) Ottima
Capacità degli insegnanti di capire i ragazzi: a) Scarsissima b) Scarsa c) Sufficiente d) Buona e) Ottima
11) Quanti telefonini hai posseduto fino ad ora? ………… 12) A che età hai avuto il primo? …………..
13) Qual è il massimo numero di cm che hai saltato in alto in palestra? ………….
14) Sei iscritto a Facebook? ………….. 15) Se sì, quanti “amici” hai? (pressappoco!): …………..
Sei maschio o sei femmina? ………….. Anno di nascita: ………….. Classe: …………..
5) Compila la “distribuzione di frequenze” (assolute, relative e percentuali) per qualcuna delle voci
dell’indagine statistica condotta attraverso il “Questionario del curiosone”. Esempi:
9
Altezza, in cm
150 ≤ h < 155
155 ≤ h < 160
…
Totale
Materia più antipatica
matematica
disegno
…
Totale
Frequenza assoluta
1
3
…
30
Freq. relativa (appross.)
0,033
0,1
…
1
Freq. rel. perc. (appross.)
3,3 %
10 %
…
100 %
Frequenza assoluta
6
5
…
30
Freq. relativa (appross.)
0,2
0,17
…
1
Freq. rel. perc. (appross.)
20 %
17 %
…
100 %
6) In un paese di montagna ci sono 40 coppie sposate. Il numero di figli è illustrato dalla seguente tabella.
0
2
1
2
3
1
1
0
2
2
0
0
2
1
2
1 2 1 3 2
2
1
0
2 2 4 0 1 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 1 1
Compila una distribuzione di frequenza, con le frequenze assolute, relative e percentuali.
F. A.
7) E’ stata fatta una indagine di classe:
“Sei soddisfatto della scuola scelta?”
(molto comodo tracciare un’asticella per ogni risposta,
poi barrare con un tratto orizzontale i gruppi di 5!)
Ricostruisci il contenuto delle caselle cancellate.
Moltissimo
Molto
Abbastanza
Poco
Pochissimo
F. R.
F. R. %
20%
///// ///// //
/////
/////
//
8) Si sa che 3 delle 4 possibili modalità di un carattere sono state osservate, su di un universo statistico,
con frequenze relative 0,35; 0,4; 0,2. Determina la frequenza percentuale della modalità rimanente.
9) VERO O FALSO?
a) Una volta fissato un carattere, la scelta delle sue modalità è sempre univocamente determinata.
b) Un carattere è qualitativo quando non ha senso pensare a un ordinamento delle sue modalità.
c) La statistica inferenziale ha come obiettivo innanzitutto di particolarizzare ad un sottoinsieme,
le osservazioni generali riguardanti la popolazione.
d) In medicina, quanto più il p-value è alto, tanto più si può esser persuasi che il farmaco sia “buono”.
e) In una indagine sui costi di una notte in albergo a Roma, 80 euro può essere una unità statistica.
10) Inventa e realizza un’indagine, fra i tuoi compagni di classe, sui seguenti fenomeni collettivi:
a) il tempo di permanenza davanti ad un monitor, la dipendenza dalla tecnologia
b) i mezzi di trasporto posseduti in famiglia e quelli abitualmente adoperati
c) educazione e maleducazione
d) cibo per lo stomaco
e) cibo per la mente
11) Le medie dei voti in pagella in una classe alla fine del primo quadrimestre.
Raggruppa i dati in classi di frequenza; compila la distribuzione di frequenza
6,75
5
5,75
7,88
6,25
4,75
8,13
8,88
7,75
5,25
6,75
6,63
7
6,5
7,63
8
5,5
7,75
8,5
7,5
6,25
6,25
5,63
5
12) N° di giorni in cui un libro è stato trattenuto in prestito dagli utenti di una biblioteca. Raggruppa i dati in
classi di frequenza; compila la distribuz. di frequenza, calcolando anche frequenze relative e percentuali.
7
13
15
12
4
9
10
7
21
9
11
15
9
14
5
10
23
5
28
14
18
16
12
18
15
19
14
21
13
22
22
3
19
16
20
19
7
7
15
26
18
15
12
17
13) Per le modalità di quali, fra i seguenti caratteri, è opportuna una ripartizione in “classi di frequenza”?
a) L’ammontare della paghetta settimanale degli adolescenti
b) Il consumo annuale di acqua di una famiglia
c) Il numero di quotidiani acquistati da un individuo negli ultimi 30 giorni
d) La materia più amata dagli studenti
e) Il numero di televisori in una casa
f) Il massimo numero di centimetri realizzati nel salto in alto in palestra
g) Il voto con cui uno studente è stato promosso in Terza Media (dal 6 al 10)
h) Il voto con cui uno studente ha conseguito il diploma di scuola secondaria (da 60 a 100 e lode)
14) Come si potrebbe verificare se è attendibile il detto “Donne al volante, pericolo costante”?
15) Con riferimento al paragrafo “due righe di storia”, inventa una serie di 7 domande
che possano andar bene per una competizione di classe “maschi contro femmine”. Parta poi la gara!
16) Ricerca su Internet il significato dei seguenti termini legati alla statistica:
contingenza, scala mobile, indice di ascolto, share, demografia, exit poll, polizza vita.
18
12
10
5. RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Di fronte a un insieme di dati,
indipendentemente dall’intenzione o meno di “fare della statistica” ( = calcolare frequenze, medie ecc.),
è sovente assai utile far ricorso a rappresentazioni grafiche,
per agevolare la lettura e l’interpretazione dei dati stessi.
Particolarmente utilizzati sono allo scopo
• I DIAGRAMMI “A BARRE” O “A RETTANGOLI”, DETTI ANCHE “ORTOGRAMMI”
(rettangoli verticali = “colonne”, rettangoli orizzontali = “nastri”)
• E I GRAFICI CARTESIANI.
Il loro impiego porta subito ad una visualizzazione molto efficace del fenomeno …
occorre però che I DATI NON SIANO TROPPO NUMEROSI, ALTRIMENTI “CI SI PERDE”!
Il diagramma qui a sinistra è “a COLONNE”,
quello qui sotto è “a NASTRI”.
Entrambi sono diagrammi “a BARRE”.
In un foglio elettronico però,
viene detto “diagramma a barre”
solo quello che noi abbiamo chiamato “a nastri”.
Che pasticcio, a volte, la terminologia!
Grado
di istruzione
delle persone
presenti
al Bar Sport
in un
determinato
giorno e ora
1 = elementari
2 = medie
3 = diploma
4 = laurea
Per una “SERIE STORICA”,
in cui uno stesso dato
viene rilevato
in tempi successivi,
il grafico cartesiano
può essere preferibile
rispetto al diagramma
a rettangoli,
perché rende meglio l’idea
dell’evolversi del fenomeno:
Permanenza media in una giornata davanti a un monitor
(per i 15 ragazzi dell’Oratorio S. Giuseppe): barre in pila
11
OSSERVAZIONE: le due parole “DIAGRAMMA” e “GRAFICO” sono in una certa misura intercambiabili,
ma in generale sarebbe preferibile limitare l’uso della parola “grafico” ai soli casi in cui le quantità
che vengono messe in relazione fra loro sono tutte espresse da numeri, e non da sostantivi/aggettivi/avverbi.
Tanto con un diagramma a rettangoli, quanto con un grafico cartesiano,
è possibile anche confrontare due o più dati fra loro:
QUANDO I RETTANGOLI
SCENDONO
AL DI SOTTO
DELL’ASSE
ORIZZONTALE,
esprimono un dato negativo:
In un CARTOGRAMMA,
le diverse regioni di una cartina geografica
vengono colorate con tinte più o meno scure
a seconda dell’intensità del fenomeno in esame.
Nel cartogramma qui a fianco:
intensità della popolazione residente
(numero di abitanti per kilometro quadrato,
anno 1997).
Fonte: ISTAT
ESERCIZI
1) Rileva le altezze in cm dei tuoi compagni di classe.
Con un “foglio elettronico”
(Excel o OpenOffice Calc, ad esempio:
trovi una elementare GUIDA al foglio elettronico nelle pagine successive)
visualizza la situazione.
Tieni presente che
a) Excel chiama “Istogrammi” i “diagrammi a colonne” (rettangoli verticali)
e chiama “Barre” i “diagrammi a nastri” (rettangoli orizzontali)
b) OpenOffice Calc chiama rispettivamente “Colonna” un “diagramma a colonne” (rettangoli verticali)
e “Barra” un “diagramma a nastri” (rettangoli orizzontali).
Comunque … niente paura!
In un foglio elettronico, la denominazione è subito accompagnata dalla figura, quindi … è facilissimo capire!
2) Con un “foglio elettronico” (Excel o OpenOffice Calc, ad esempio)
rappresenta la serie storica della popolazione italiana (in milioni di abitanti)
contenuta nella tabella seguente (dati ISTAT):
1901
33,78
1911
36,92
1921
37,86
1931
41,04
1936
42,4
1951
47,52
1961
50,62
1971
54,14
1981
56,56
1991
56,41
12
E veniamo ora a esaminare i principali tipi di rappresentazione grafica che si utilizzano più specificatamente
per illustrare gli esiti di una vera e propria indagine statistica
(c’è un “collettivo statistico”, o “popolazione”, e noi andiamo a rilevare
qual è la frequenza - assoluta, relativa, o percentuale con cui si riscontrano, nella “popolazione”, le varie “modalità” di un determinato “carattere”).
DIAGRAMMA A BARRE ( = rettangoli verticali o orizzontali)
detto anche “DIAGRAMMA A RETTANGOLI” o “ORTOGRAMMA”.
Se le barre sono VERTICALI, si potrà parlare di “DIAGRAMMA A COLONNE”;
se ORIZZONTALI, di “DIAGRAMMA A NASTRI”
(come però abbiamo già fatto notare, NEI “FOGLI ELETTRONICI”
LA TERMINOLOGIA È DIVERSA DA QUESTA. Pazienza, è lo stesso, tanto si capisce ugualmente!)
E’ una figura con rettangoli le cui basi sono fra loro uguali,
e le cui altezze sono proporzionali alle frequenze
(assolute, o relative, o percentuali).
Indagine statistica
sulle 2862 famiglie di un Comune:
numero di componenti
del nucleo familiare
(conviventi nello stesso appartamento)
1
2
3
4
>4
630
802
712
580
138
2862
I rettangoli si possono eventualmente accostare fra loro.
La figura qui sotto mostra una “tabella composta”,
nella quale le modalità di uno stesso carattere sono riferite a più popolazioni.
Notare anche l’aspetto “3D” ( = tridimensionale) del diagramma.
“Trovi interessanti i talk show politici in TV”?
(Risposte in percentuale su un campione di 964
intervistati, suddivisi per livello di istruzione)
DIAGRAMMA A SEGMENTI ( = AD ASTE),
analogo al diagramma a rettangoli, con una delle dimensioni del rettangolo sottilissima.
Partecipazione ad eventi culturali:
percentuale della popolazione
che ha partecipato
ad almeno un evento culturale
del tipo specificato
(teatro, balletto, danza contemporanea,
opera, musica classica,
jazz, galleria d’arte)
nel periodo considerato.
13
IDEOGRAMMA
Figure opportune, legate al contesto,
vengono disegnate in modo che
sia proporzionale al dato da rappresentare
o il loro numero, oppure la loro estensione.
Trattoria “Le cascine”
Trattoria “La pergola”
Nell’ideogramma qui a fianco:
Il consumo annuo di vino in 3 trattorie
(1 bottiglia = 500 litri)
Trattoria “Settefolli”
Attenzione, però:
se è l’estensione della figura quella che conta, è facile sbagliare:
ad esempio, nella figura qui a fianco, tratta da http://macosa.dima.unige.it,
la bottiglia centrale dovrebbe avere una volta e mezza il volume della prima
( 90 = 60 ⋅1,5 ), mentre il realtà, essendo le sue dimensioni 1 volta e mezza,
il volume è 1, 5 ⋅ 1,5 ⋅ 1,5 = 3,375 volte tanto.
L’ideogramma corretto è la terza bottiglia, quella a destra!
Il contributo di 3 muratori
alla piastrellatura di un corridoio
DIAGRAMMA A STRISCE
Ottimo per confrontare le parti con il totale
DIAGRAMMA A TORTA (o “diagramma a settori circolari”)
Un cerchio è suddiviso in tante fette quante sono le modalità del carattere in esame.
L’angolo al centro di una fetta (ossia: di un settore circolare)
è proporzionale alla frequenza, assoluta o relativa o percentuale, della rispettiva modalità.
Come faccio a determinare di quanti gradi x dev’essere una data “fetta”?
Semplice:
Se ad esempio le unità statistiche erano 24, e 10 di esse hanno presentato una certa modalità, allora
10 ⋅ 360°
= 150°
10 : 24 = x° : 360° da cui x° =
24
In generale,
frequenza : numerosità = x° : 360° da cui x° = frequenza assoluta ⋅ 360°
assoluta
numerosità
(ricordiamo che per “numerosità” di una popolazione si intende il numero totale delle unità statistiche).
Si può anche operare (è lo stesso!), per determinare x° , con la frequenza relativa:
somma delle
frequenza : frequenze = x° : 360° da cui x° = frequenza relativa ⋅ 360°
relativa
relative
=1
… oppure con la frequenza percentuale:
somma delle
frequenza : frequenze = x° : 360°
percentuale percentuali
= 100
da cui x° =
frequenza percentuale
⋅ 360°
100
ESEMPIO: la popolazione (compresi i bambini) di un certo comune per stato civile nel 2013, in migliaia
(single, coniugati, separati o divorziati, vedovi). Il fatto che nelle colonne delle frequenze
relative e percentuali la somma non sia esattamente 1 o 100 è dovuto agli arrotondamenti.
single
assoluta
23516
relativa
0,414
percentuale
41,4
angolo
149
coniugati
28185
0,496
49,6
179
sep./div.
854
0,015
1,5
5
vedovi
4224
0,074
7,4
27
TOTALE
56779
1,000
100,0
360
14
ISTOGRAMMA
(utilizzabile, nella versione “per aree” che qui sotto presentiamo, per i caratteri quantitativi continui;
tuttavia, quasi sempre il termine “istogramma” viene inteso piuttosto come sinonimo
di “diagramma a colonne”, il buon vecchio diagramma a colonne con basi delle colonne fra loro uguali.
La raffigurazione “per aree” di cui stiamo per occuparci ha infatti sovente più svantaggi che vantaggi)
Un’azienda vuole illustrare la “ripartizione dei suoi dipendenti per classi di età”.
Poiché le età di 25 anni, di 45, e di 55, sono normalmente associate a scatti di carriera
o comunque appaiono particolarmente adeguate a ripartire i dipendenti in gruppi
in qualche modo omogenei (per atteggiamento mentale, per esperienza lavorativa …),
viene compilata la tabella seguente
(s’intende, in ogni intervallo, il primo estremo incluso e il secondo escluso):
da 20 a 25
33
da 25 a 45
74
da 45 a 55
18
da 55 a 68
4
Le “classi” ( = gli intervalli) sono fra loro differenti come ampiezza, per cui sembra opportuno
che siano pure differenti fra loro (e proporzionali agli intervalli) le suddivisioni dell’asse delle ascisse.
Tuttavia, se a questo punto noi associassimo
a ciascuna classe un rettangolo
di altezza proporzionale alla frequenza …
… questa rappresentazione potrebbe darci
un “colpo d’occhio” distorto sulla situazione,
per almeno due motivi:
a)
la nostra attenzione è portata spontaneamente
a portarsi sull’area di ciascun rettangolo,
piuttosto che sulla sua altezza …
ma da ciò si trarrebbe l’impressione (sbagliata!) che
i dipendenti con almeno 45 anni (i 2 intervalli a destra)
siano più numerosi di quelli con meno di 25 anni;
b)
e inoltre, si potrebbe pensare che l’altezza dell’intervallo
si riferisca a ogni singolo valore che sta
alla base dell’intervallo (quindi, per esempio, che
ci siano 33 dipendenti di 20 anni, 33 di 21, 33 di 22 , …)
Viene allora un’altra idea.
Su ciascun intervallo si costruisce un rettangolo la cui
AREA sia proporzionale alla frequenza di quella classe.
L’altezza del rettangolo si potrà perciò ricavare
dividendo la frequenza per l’ampiezza della classe.
Nel nostro esempio,
abbiamo ricavato l’altezza del primo rettangolo a sinistra
dividendo la frequenza (che era 33 )
per l’ampiezza dell’intervallo (25 − 20 = 5) .
Abbiamo ottenuto 6, 6 ,
quindi il nostro primo rettangolo a sinistra,
avendo base 5 e altezza 6, 6 ,
avrà area uguale alla frequenza ( 33 )
con la quale la modalità “da 20 a 25 anni”
si è manifestata nella nostra popolazione statistica
( = l’insieme dei dipendenti dell’azienda).
Insomma, in un istogramma di questo tipo
le FREQUENZE non sono date dalle altezze
dei rettangoli, bensì dalle loro AREE !
E le altezze dei rettangoli
vengono anche chiamate “densità di frequenza”.
15
QUALCHE OSSERVAZIONE sui diagrammi precedenti.
La prima è banale: abbiamo utilizzato il simbolo
per indicare il fatto che il segmento in gioco
ha una lunghezza che non va d’accordo con le lunghezze degli altri intervalli sull’asse orizzontale:
tale segmento non aveva importanza per il nostro diagramma, ed è stato tagliato per guadagnare spazio.
Inoltre: il riferimento è, in entrambe le figure, “dimetrico”,
cioè con due diverse unità di misura in orizzontale e in verticale.
D’altronde, sono addirittura diverse le due grandezze le cui misure vengono riportate sugli assi:
in entrambi i diagrammi, l’asse orizzontale riporta intervalli di età, mentre sull’asse verticale abbiamo:
♪ nel primo dei due diagrammi, una frequenza assoluta;
♫ nel secondo, una “densità di frequenza”, la cui unità di misura ha la dimensione età −1
E’ importante, quando si suddividono le modalità in intervalli ( = in “classi di frequenza”),
specificare con chiarezza se un estremo dell’intervallo è incluso oppure è escluso.
Noi lo abbiamo fatto dichiarando “s’intende, in ogni intervallo, il primo estremo incluso e il secondo escluso”.
A volte si indica l’inclusione o esclusione di un estremo in modo schematico: fra i simboli utilizzati, c’è
•
oppure
per indicare che il 1° estremo è incluso e il 2° è escluso: x1 ≤ x < x2 , x ∈ [ x1 , x2 )
•
oppure
per indicare il viceversa: x1 < x ≤ x2 , x ∈ ( x1 , x2 ]
o anche solo un trattino ( − ) oppure
per indicare l’inclusione di entrambi gli estremi:
•
x1 ≤ x ≤ x2 , x ∈ [ x1 , x2 ]
Poiché diversi Autori potrebbero effettuare scelte diverse, senza magari esplicitare la loro scelta con chiarezza,
occorre sempre, quando si consulta una fonte, cercare di capire come si è regolato quel libro o quel sito.
Nel caso particolare in cui le ampiezze degli intervalli siano tutte uguali,
un istogramma non differisce da quello che noi avevamo denominato “diagramma a barre” o “ortogramma”.
I “fogli elettronici” EXCEL, OPENOFFICE CALC non fanno istogrammi, ma solo diagrammi a barre …
… che tuttavia chiamano “istogrammi”! E questa abitudine a utilizzare il termine “istogramma”
per indicare quelli che, per la precisione, andrebbero chiamati “diagrammi a barre”, o “ortogrammi”,
o “diagrammi a rettangoli” è comunque entrata nell’uso anche nel linguaggio comune.
Puoi trovare una brevissima introduzione al “foglio elettronico” nelle pagine seguenti.
Va detto che GLI ISTOGRAMMI CON INTERVALLI DI UGUALE AMPIEZZA
(INDISTINGUIBILI QUINDI DAI “DIAGRAMMI A BARRE”)
SONO AMPIAMENTE PREFERIBILI, perché di più immediata interpretazione.
IL PREZZO DA PAGARE È CHE LA BASE DEL RETTANGOLO
PUÒ NON ESSERE PROPORZIONALE ALL’AMPIEZZA DELLA CLASSE,
MA … PAZIENZA!
Riguardo alle rappresentazioni grafiche, citiamo ancora le “TABELLE A DOPPIA ENTRATA”:
ottime per illustrare la distribuzione di due distinti caratteri su di una stessa popolazione.
Ad esempio: indagine, su 303 famiglie, riguardo a reddito annuo lordo, in euro, e numero di autovetture possedute.
<20000
20000 40000
40000 60000
≥ 60000
Totale
0
1
2 o più
Totale
23
5
0
0
28
27
84
70
15
196
0
18
29
32
79
50
107
99
47
303
I TIPI DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA PIU’ … “GETTONATI”
Per i caratteri QUALITATIVI SCONNESSI i diagrammi più utilizzati sono:
• il diagramma a torta (specialmente se le modalità sono poche);
• il diagramma a colonne (che Excel chiama istogramma) o il diagramma a nastri (che Excel chiama barre)
Per i caratteri QUALITATIVI ORDINATI si utilizzano prevalentemente
il diagramma a colonne (che Excel chiama istogramma) o il diagramma a nastri (che Excel chiama barre)
Per i caratteri QUANTITATIVI DISCRETI si utilizza prevalentemente il diagramma ad aste ( = segmenti)
Per i caratteri QUANTITATIVI CONTINUI si utilizza prevalentemente il diagramma a colonne
Per le SERIE STORICHE: grafico cartesiano, diagramma a colonne
Per le SERIE GEOGRAFICHE: cartogramma
16
6. UNA BREVE INTRODUZIONE AL FOGLIO ELETTRONICO
Il “foglio elettronico”
Un “foglio elettronico” (o “foglio di calcolo”; in Inglese, “spreadsheet”)
è un programma per computer che permette di inserire
• numeri,
• o formule,
• o scritte (si dice, in Informatica, “stringhe”),
in una griglia di “celle” (tipo “battaglia navale”), per realizzare
elenchi, tabelle, calcoli e statistiche di vario tipo, e per tracciare diagrammi e grafici.
MICROSOFT OFFICE
E’ una “raccolta” di programmi, riuniti dalla società produttrice Microsoft in un’unica confezione.
Contiene, nella versione “Professional”: Word+Excel+Powerpoint+Publisher+Access+Outlook.
Sono comunque in vendita anche “pacchetti” meno costosi, costituiti da un sottoinsieme dei programmi citati.
Tieni poi sempre presente che le offerte “Education”, riservate a studenti e insegnanti,
sono molto più economiche delle proposte commerciali “normali”.
Il foglio elettronico di Microsoft Office si chiama Excel (leggi: icsèl o - un po’ “italianizzato” - ecsèl)
OPENOFFICE
Una famiglia di programmi simile a Microsoft Office,
composta da programmi che sono di UTILIZZO GRATUITO,
è la famiglia OpenOffice, nata da una iniziativa della software house Sun Microsystems.
Chiunque può legalmente e liberamente scaricare OpenOffice da Internet accedendo al sito
(in lingua Inglese) http://www.openoffice.org/ oppure al sito (in Italiano) http://it.openoffice.org/
Il foglio elettronico di OpenOffice si chiama OpenOffice Calc (l’elaboratore di testi, OpenOffice Writer).
SOMMARIA GUIDA AL FOGLIO ELETTRONICO
Facciamo riferimento per questi brevi cenni a Excel,
ma con OpenOffice Calc il discorso cambia solo in qualche dettaglio.
Se lanciamo il programma,
ci compare un quadro di celle disposte
♪ su righe (1, 2, 3, 4, …)
♫ e su colonne (A, B, C, D, …, Z,
AA, AB, AC, AD, …, AZ,
BA, BB, BC, BD, …).
Ad esempio, qui a fianco, ci siamo posizionati,
cliccando col mouse o adoperando i tasti freccia,
sulla cella B3,
che il foglio elettronico automaticamente ha evidenziato.
Cosa possiamo scrivere, digitando sulla tastiera, in una cella? Possiamo scrivere:
a) un NUMERO, intero o con la virgola (OCCORRE ADOPERARE LA VIRGOLA,
E NON IL PUNTO, COME SEPARATORE DELLA PARTE INTERA DALLA PARTE DECIMALE,
perché un numero scritto col puntino verrebbe interpretato dal programma come se fosse finalizzato
a indicare un’ora della giornata, e ciò porterebbe a tutta una serie di esiti sballati)
b) oppure una SCRITTA (sequenza di caratteri; in Informatica si dice “STRINGA”) di qualsiasi natura
c) o infine una FORMULA, la quale potrà operare sui contenuti di altre celle.
♥ UNA FORMULA, PER ESSERE RICONOSCIUTA COME TALE DAL FOGLIO ELETTRONICO,
DEVE SEMPRE INIZIARE COL SIMBOLO =
17
Facciamo qualche esempio.
Prova a digitare sulla tastiera il numero 58
mentre sei posizionato nella cella A2.
Confermando col tasto “Invio”,
oppure spostandoti col mouse o coi tasti freccia
su di un’altra cella,
il numero 58 diventerà il contenuto di quella cella.
Prova a spostarti (mouse, o tasti freccia) sulla cella D1
e digita la scritta
Ciao ragazzi
Essa diventerà il contenuto della cella D1
non appena avrai confermato col tasto Invio
o ti sarai spostato (mouse, tasti freccia) in un’altra cella.
Adesso vai sulla cella B2 e scrivi
=A2+1
… Bene,
confermando con Invio
o spostandoti in un’altra cella
osserverai che il contenuto di B2 è diventato 59!!!
Fai qualche altro esperimento …
ad esempio,
inserisci in A3 il numero 7
poi in B3 la formula
=A3*A3
(l’asterisco indica moltiplicazione;
invece la divisione si esprime con la barra /).
Bene,
dopo la conferma il contenuto di B3 diventerà 49.
Adesso posizionati in B4 e digita
= B2 − B3
Naturalmente, dopo la conferma,
il contenuto di B4 diverrà 10.
18
Tutto ciò è carinissimo, ed apre la strada a innumerevoli impieghi di straordinaria utilità,
soprattutto perché una cella può essere “incollata” su una o più altre celle,
e quando il “copia e incolla” viene effettuato a partire da una cella che originariamente conteneva una formula
(e ora contiene il numero ottenuto dall’applicazione di tale formula), ciò che viene incollato
non è il contenuto visibile della cella, ossia il numero, ma proprio la formula “sottostante” …
però la formula che verrà riportata nella cella di destinazione non sarà più esattamente quella originaria, bensì …
Calma, FACCIAMO UN ESEMPIO.
Supponi di essere un commerciante, un artigiano o un imprenditore e di avere una lista di prezzi “al netto di IVA”.
Cosa vuol dire? Vuol dire che quando farai pagare effettivamente quella merce o quel servizio al cliente,
il prezzo non sarà più quello lì, perché dovrai aggiungere una percentuale chiamata IVA
(Imposta sul Valore Aggiunto), a carico del cliente stesso.
Per la maggior parte dei beni di mercato, l’IVA era fissata, in Italia, fino all’anno 2010, al 20%.
20
120
Ad esempio, un prezzo senza IVA di euro 130 diventava, se “ivato”, euro 130 +
⋅130 =
⋅130 = 156 .
100
100
L’IVA è presente in tutti i paesi europei. In Italia è stata a lungo al 20% con l’eccezione dei generi alimentari
di prima necessità o dei prodotti di stampa, ivati al 4 %, e di determinati beni e servizi, ivati al 10%.
Nelle altre nazioni si hanno aliquote diverse.
Dopo questa premessa,
immagina di aver stilato con un foglio elettronico
un elenco di prezzi
(celle A2 … A11),
e di voler caricare su di essi l’IVA
(che in questo esempio supponiamo essere del 20 %).
Nella cella B2
scriverai dunque
= A2*120/100 …
Osserva fra l’altro che, confermata la formula
nella cella, la formula stessa, ossia
il “contenuto concettuale” della cella, viene
evidenziato in un’apposita casella in alto …
… dopodiché,
premendo Invio o spostandoti,
col primo prezzo sarai a posto.
A questo punto, si potrebbe temere che facendo un “copia-incolla” della cella B2 sulle celle B3 … B11,
la cosa sia destinata a non funzionare in quanto la formula = A2*120/100 fa riferimento al contenuto di A2,
mentre noi siamo ora interessati a un calcolo del 120 % sui contenuti di A3, A4, …, fino ad A11.
E invece no! Il “miracolo” del foglio elettronico è che,
quando una cella il cui contenuto “concettuale” è una formula viene incollata,
♪ ♥ prima di tutto questo copia-incolla viene applicato non al contenuto effettivo
ma al retrostante contenuto concettuale, appunto.
Insomma, nel nostro esempio, quando incollo la cella B2,
io non incollo il numero 156, bensì la formula “sottostante”
♫ ♥ … e contestualmente, questa formula viene interpretata
con “INDIRIZZAMENTO RELATIVO” e non con “indirizzamento assoluto”.
La formula = A2*120 /100 , che abbiamo scritto in B2,
viene interpretata dal foglio elettronico “in senso relativo”, “dal punto di vista di B2”:
il contenuto
ora, dal punto di vista di B2, = A2*120 /100 significa = della cella *120/100
all ' immediata
sinistra
19
Di conseguenza, quando incolliamo B2 su B3,
la formula che verrà immessa in B3 sarà proprio
il contenuto
= della cella *120/100
all ' immediata
sinistra
ossia (siamo in B3)
= A3*120 /100
che fa perfettamente al caso nostro!!!
… Ragion per cui,
se noi incolliamo B2
su tutta la serie di celle B3 … B11
(e lo possiamo fare anche “in un colpo solo”,
se, dopo aver copiato B2,
prima di incollare
noi trasciniamo il mouse
in modo da selezionare tutte le celle
incolonnate da B3 a B11),
il nostro obiettivo sarà raggiunto.
NOTA: volendo selezionare tutta una zona di celle,
oltre che trascinare col mouse si può anche
tener premuto il tasto MAIUSC
e poi operare coi tasti freccia.
Un altro esempio: LA FORMULA
= B3* B3 ,
SCRITTA IN D4,
significa, dal punto di vista di D4,
“moltiplicare per sé stesso il numero contenuto
nella cella che sta 2 posti a sinistra e 1 posto in alto”…
… quindi, SE VENISSE INCOLLATA SU C5,
DIVENTEREBBE
= A4 * A4
♥ A volte questo meccanismo dell’ “indirizzo relativo” può essere sfruttato per un “effetto domino”.
Supponiamo di voler generare la successione di Fibonacci, nella quale
i primi due termini sono 0 e 1, e ciascuno degli altri termini è costruito come somma dei due precedenti:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89...
Potremo allora scrivere, ad esempio,
0 in A1, 1 in B1, la formula = A1 + B1 in C1, …
… ottenendo, tanto per cominciare,
poi incollare C1 sulla fascia D1 E1 F1 ecc., col risultato desiderato.
20
In certi casi tuttavia l’indirizzamento relativo implicito nelle formule potrebbe esserci d’ostacolo.
L’esempio che segue illustrerà bene questo aspetto, e mostrerà come sia facile fronteggiare la situazione.
Mettiamoci nuovamente nei panni del commerciante o artigiano alle prese con l’IVA al 20%.
Se il Governo dovesse putacaso abbassarla al 18%, a questo punto il file da lui impostato dovrebbe
essere “riprogrammato”: ciascuna delle formule contenenti *120 /100 dovrebbe essere mutata in *118 /100 .
Questo non sarebbe la fine del mondo, ma usualmente i file di foglio elettronico
sono preparati da un esperto e utilizzati poi da utenti che non sono degli specialisti.
Si potrebbe prevedere una casella in alto, ad esempio C1,
che riporti l’aliquota, poniamo 20,
in modo che anche un utente poco smaliziato
possa ovviare al problema semplicemente scrivendo 18,
o comunque la nuova aliquota, al posto di 20,
in quella cella.
Dopodiché anziché scrivere, in B2, la formula
= A2 *120 /100 ,
si scriverebbe
= A2 * (100 + C1) /100 .
E la cosa funzionerebbe per quanto riguarda B2,
producendo il corretto risultato 156 …
… però poi, all’atto del copia-incolla su B3, B4 ecc.,
l’indirizzamento relativo farebbe sì che la formula,
incollata ad esempio in B3, divenga
= A3* (100 + C2) /100
che evidentemente è inservibile
perché in C2 non c’è niente
quindi anziché il desiderato 100+20
il numeratore della frazione
assume il valore 100+0=100.
Fortunatamente i fogli elettronici (Excel, Calc di OpenOffice …) permettono di “inchiodare”
quello che sarebbe un indirizzo relativo, facendolo diventare “assoluto”.
Un indirizzo “assoluto” è cristallizzato, immobile, e rimane inalterato anche di fronte a un copia-incolla.
♥ E’ semplicissimo rendere assoluto un indirizzo:
basta usare il “simbolo del dollaro” $.
Nel nostro caso, dunque,
anziché scrivere in B2 la formula
= A2 * (100 + C1) /100
scriveremo
= A2 * (100 + $C$1) /100
Copiando ora la cella B2
e incollandola in B3, B4, …
A2 si muterà in A3, A4, …
ma al contrario C1 rimarrà fisso,
perché bloccato dal “lucchetto” del “dollaro”.
21
E se ora cambiamo il contenuto di C1,
mettendo ad esempio 18 al posto di 20,
non appena confermiamo il 18,
ecco che il foglio elettronico ricalcola
immediatamente e correttamente tutti i valori.
Si può rendere assoluta
soltanto la colonna, o soltanto la riga:
ad esempio, l’indirizzo contenuto nella formula = $D3
ha la colonna assoluta e la riga relativa;
copiando la formula, e incollandola in un’altra cella,
la colonna resterà la D mentre la riga cambierà.
Invece nella formula = E$10
è assoluta la riga e relativa la colonna.
Per una conoscenza dettagliata del foglio elettronico rimandiamo ai relativi manuali specifici,
o all’ “HELP” interno ( = la Guida in Linea), attivabile cliccando su “?”.
Qui ci limitiamo ad alcune osservazioni di carattere generale.
I NUMERI CON LA VIRGOLA; IL MENU FORMATO
♥ Un numero con la virgola va scritto, appunto, utilizzando la virgola e non il punto come separatore.
Se infatti un numero viene scritto con un puntino al suo interno o alla fine,
viene interpretato dal programma come se indicasse un’ora della giornata.
Se in una cella abbiamo per errore scritto un numero col puntino anziché con la virgola,
ce ne accorgeremo subito perché il foglio elettronico modificherà automaticamente l’aspetto del numero:
ad esempio, un 5.8 viene immediatamente mutato in 5.08 (ore 5 e minuti 8).
C’è poi un altro inconveniente, perché se in quella cella andremo poi a inserire altri numeri,
interi o con la virgola che siano, il foglio elettronico li modificherà, in quanto ormai si è “abituato”
a interpretare tutti i numeri che vengono immessi in quella cella come indicanti un tempo.
A questo inconveniente si può porre rimedio col menu Formato:
Formato/Celle/Numero e poi si sceglie l’opzione che interessa.
• I numeri indicanti ore della giornata possono essere anche utilizzati in operazioni aritmetiche,
e in questo caso il risultato dell’operazione è coerente con la loro interpretazione.
Ad es., 23.00+2.00=1.00
• Il menu Formato permette, fra le tantissime cose, di scegliere il numero di cifre decimali
alle quali vogliamo che il numero in una determinata cella sia arrotondato
COME RESTRINGERE O ALLARGARE UNA COLONNA O UNA RIGA
Si può trascinare col mouse il margine esterno,
nelle posizioni di confine (vedi figura); oppure, il che è comodo
specialmente se la modifica riguarda tutto un gruppo di celle,
si può selezionare quel gruppo trascinando col mouse
e poi andare al menu Formato per scegliere, ad esempio,
Formato/Colonna/Larghezza
SOMMA, MEDIA, ALTRE FUNZIONI “PREDEFINITE”
Per sommare i contenuti di più celle, e porre
la somma in E1, si può scrivere, per esempio (in E1)
= SOMMA(A1:D1) .
♥ Notare i “due punti :” i quali indicano
che si vuole tutta la striscia di celle fra A1 e D1.
Scrivendo invece col “punto e virgola ;”
= SOMMA(A1; D1)
verrebbero sommati i contenuti
soltanto delle celle elencate (le due celle A1 e D1).
E se si scrivesse invece, ad esempio, = SOMMA(B5:E10) , verrebbero sommati
tutti i numeri del rettangolo di celle la cui diagonale ha per estremi B5, E10.
22
Il foglio elettronico è ricchissimo di funzioni predefinite.
Solo qualche esempio:
= MEDIA(A1:D1) per la media,
= DEV.ST.POP(A1:D1) per lo scarto quadratico medio
= MAX(A1:D1) per il massimo …
In Excel,
per cercare
le funzioni disponibili,
basta cliccare sull’icona
che porta il simbolo
di “sommatoria” ...
… mentre in Calc di OpenOffice
l’icona analoga è quella
evidenziata in figura.
SCORCIATOIE
Ci sono anche delle “scorciatoie”.
Ad esempio, volendo sommare i contenuti delle celle
da A1 ad A3 e porre il risultato in A4,
oltre che scrivere, in A4, la formula
= SOMMA (A1:A3)
o la
= SOMMA (A1; A2; A3)
si può, trascinando col mouse,
selezionare la fascia di celle da A1 ad A4;
poi cliccare su Somma …
… ed è fatta!
Allo stesso modo per le altre funzioni …
tanto per citarne una, la media.
IL QUADRATINO IN BASSO A DESTRA
DI UNA CELLA SELEZIONATA
Seleziona ora una cella qualsiasi e vedrai che il foglio
elettronico la evidenzia con un bordo marcato che porta
in basso a destra un quadratino
Bene, trascinando quel quadratino si può realizzare
comodamente il copia-incolla di quella cella su altre.
Nella prima delle due figure qui a fianco,
il contenuto della cella B1 era 14
ed è stato ricopiato tale e quale in C1, D1, E1.
Nella 2a figura, la cella B1 conteneva la formula = A1*A1 :
l’ “effetto domino” ha generato il risultato che puoi vedere.
♥ Le “progressioni aritmetiche”.
Ora scrivi, ad esempio,
5 in A1 e 8 in A2.
Seleziona poi
la coppia di celle A1, A2
e a questo punto …
… trascina verso il basso
il quadratino.
Il foglio elettronico
calcolerà la differenza
8−5 = 3
e proseguirà automaticamente
la sequenza:
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ecc.!
ORDINARE DATI
E’ possibile, ed immediato. Se i dati sono disposti su celle incolonnate una sotto l’altra, basterà cliccare su
per ordinare le righe secondo l’ordine (alfabetico, o numerico) crescente, o decrescente.
23
LE FUNZIONI LOGICHE
La funzione SE
Un insegnante, dopo l’ultima prova scritta dell’anno scolastico,
essendo soddisfatto per l’interesse e l’educazione che la classe ha sempre dimostrato,
decide di alzare al 4 tutti gli studenti con voto inferiore al 4, e di regalare mezzo punto a tutti gli altri.
Vediamo come potrebbe programmare il foglio elettronico nel quale ha archiviato i voti.
La formula
= SE(A1 < 4; 4; A1 + 0, 5)
(che abbiamo scritto in A2 e incollato poi su B2, C2, … R2)
dà al foglio elettronico il comando seguente:
“se il contenuto di A1 è <4, allora in questa cella scrivi 4;
altrimenti, scrivi in questa cella il contenuto di A1 aumentato di 0,5”
La sintassi di una SE è dunque:
SE ( condizione; se vera; se falsa )
C’è anche la possibilità di omettere se falsa .
Puoi provarci, e vedere come si comporta in questo caso il foglio elettronico.
Ricorri comunque, per ogni dubbio, alla Guida in Linea che si attiva cliccando su
E’ possibile anche annidare più SE uno dentro l’altro.
Le funzioni E, O, NON
E ( condizione1; condizione 2; ...) restituisce
VERO se tutte le condizioni sono vere; FALSO se una o più di esse è falsa
O ( condizione1; condizione 2; ...) restituisce
VERO se almeno una delle condizioni è vera; FALSO se sono tutte false
NON ( condizione ) restituisce VERO se condizione è falsa, FALSO se condizione è vera.
In questo esempio,
abbiamo scritto in C1 la formula
= O(A1 > 10; B1 > 10)
che abbiamo poi copiato
e incollato su C2, C3, C4
Ecco qui sotto un foglio elettronico che provvede a selezionare i ragazzi vincitori di una borsa di studio.
L’Istituto ha deciso di premiare gli studenti che al termine della classe Seconda
hanno avuto una pagella con media dei voti maggiore o uguale a 9.
Osserviamo per inciso che
♪ le due stringhe SI’ e NO desiderate
vanno scritte, nella formula,
tra virgolette
♫ le stringhe e i valori appaiono
centrati rispetto alla colonna,
perché si erano preventivamente
selezionate le celle
per poi cliccare su
24
DIAGRAMMI E GRAFICI
Se abbiamo utilizzato un foglio elettronico
per realizzare una tabella di dati,
(come quella della figura qui a fianco,
che si riferisce alle vendite settimanali
di un emporio musicale),
il foglio stesso ci offrirà la possibilità
di tradurre quella tabella in un diagramma,
con passaggi molto intuitivi.
Selezioniamo, trascinando col mouse, la tabella,
e clicchiamo sull’icona
(se non compare, apriamo il menu Inserisci)
Ci troveremo di fronte una finestra tipo la seguente
a partire dalla quale, a colpi di clic, potremo scegliere il tipo di grafico, decidere se includervi valori o percentuali,
e completare il diagramma, controllando passo dopo passo se quello che “esce” è coerente coi nostri desideri.
La pratica diretta ci permetterà di imparare la terminologia e le tante opzioni disponibili.
25
CONTA.SE
La formula = CONTA.SE(A1:A20; “<100”) , digitata in una cella,
restituisce il numero delle celle, nella fascia da A1 ad A20, il cui contenuto è <100.
Notare le virgolette nella sintassi.
Purtroppo la formula “impazzisce” se tentiamo di inserire una condizione composta, tramite una E o una O.
Ma allora, come si potrà procedere, se ad esempio si vogliono contare le celle, nel rettangolo A1:G8,
il cui contenuto è compreso fra 15 e 30 (>15 e <30)?
Beh, si ricorrerà ad un “trucco”, scrivendo
= CONTA.SE(A1:G8; “>15”)− CONTA.SE(A1:G8; “>=30”)
Nell’esempio dato, gli estremi 15 e 30 dell’intervallo avrebbero potuto anche
essere inseriti in due apposite celle, poniamo ad esempio A11 e A12.
Allora la formula avrebbe dovuto essere riscritta come
= CONTA.SE(A1:G8; “>”&A11)− CONTA.SE(A1:G8; “>=”&A12)
NUMERI CASUALI, O MEGLIO: PSEUDOCASUALI
Possiamo pure ordinare a un foglio elettronico di generare numeri casuali, o meglio “pseudocasuali”:
essi infatti hanno l’apparenza della casualità, ma in realtà non sono realmente casuali in quanto
sono costruiti tramite un algoritmo a partire da un valore iniziale, detto “seme”, quello sì – ma solo quello –
da ritenersi casuale (si tratta, di norma, del numero di secondi trascorsi da una certa data del passato).
Digitando in una cella
= CASUALE() [notare la coppia di parentesi senza niente all’interno!]
si genera, in quella cella, un numero casuale con la virgola x che può andare da 0 (incluso) a 1 (escluso):
0 ≤ x <1
Questo numero cambierà ogniqualvolta nel foglio elettronico un dato verrà inserito, o cancellato
(o anche semplicemente se si preme, posizionati in una cella vuota, il tasto CANC;
oppure ancora, premendo il tasto-funzione F9 in alto sulla tastiera); come pure, ad ogni riapertura del file.
• E se volessimo un numero casuale fra 0 (compreso) e 6 (escluso)? Beh, ci basterebbe scrivere
= CASUALE() * 6
• E fra 1 (compreso) e 15 (escluso)?
= CASUALE() *14 + 1
• E se volessimo simulare il lancio di un dado, quindi ci servisse un numero INTERO casuale fra 1 e 6?
In questo caso potremmo ricorrere a una combinazione fra la funzione CASUALE e la funzione INT.
INT tronca un numero all’intero più vicino per difetto, quindi, ad esempio, INT(3,8) = 3
Allora la formula
= INT(CASUALE() * 6 + 1)
ci fornirà per l’appunto un intero che potrà valere, con ugual probabilità, 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Infatti, = CASUALE() * 6 genera un numero con la virgola che può andare da 0 (compreso) a 6 (escluso);
aggiungendo 1 si ottiene un numero con la virgola che può andare da 1 (compreso) a 7 (escluso);
dopodiché la funzione INT, troncando il numero ottenuto, lo fa diventare un intero compreso fra 1 e 6.
• Analogamente, il lancio di una moneta potrà essere simulato da
= INT(CASUALE() * 2)
Il risultato dell’applicazione della formula potrà essere il numero 0, oppure il numero 1:
bene, “0” potrà essere interpretato come “Testa” e “1” come “Croce”, o viceversa.
ESERCIZI sul foglio elettronico
1) Gli anni di nascita delle persone
residenti in un paesino di montagna
decedute nell’anno 2009.
Programma il foglio elettronico in modo
che calcoli l’età (approssimativa) in cui
sono morte e la media delle età raggiunte.
In pratica:
l’utente inserisce i dati nella colonna A;
il foglio elettronico
riempie automaticamente
la colonna B, compresa la cella B12.
2) In C1 il commerciante
inserisce la percentuale
di sconto da concedere,
e in colonna A
i prezzi da scontare.
Occhio alla questione degli
indirizzi relativi e assoluti!
26
3) Ogni studente ha avuto 5 voti. Il foglio elettronico
deve calcolare la media, e pure individuare la
differenza fra il voto massimo e il voto minimo
(funzioni MEDIA, MIN, MAX, delle quali
puoi cercare le caratteristiche
o
)
cliccando su un’icona come
4) Imposta il foglio elettronico in modo che l’utente possa
inserire i valori in A2, B2, … , F2 e il foglio calcoli
automaticamente le somme parziali, giorno per giorno.
5) a) Calcolo delle potenze successive di 2, scrivendo una sola formula da sottoporre poi al copia-incolla:
1 1 1 1
1
1
1
+ + + +
+
+
+ ...
2 4 8 16 32 64 128
si avvicina, come valore, a 1, quanto più è alto il numero degli addendi che si prendono.
b) Utilizza poi il foglio così impostato per verificare che la somma
6) Calcolo del valore di un polinomio di 3° grado, per vari valori di x. Grafico. [Indirizzi relativi e assoluti].
7) E’ bellissima ♥ la formula (di Leibniz):
1 1 1 1 1 1 1
π
− + − + − + − ... = .
1 3 5 7 9 11 13
4
Essa significa che, con la somma algebrica di
tantissimi addendi come quelli a 1° membro,
ci avvicineremo a pi/4.
Sapresti programmare
il foglio elettronico in modo
che fornisca una approssimazione di pi?
♪ Il simbolo pi è sovente utilizzato
al posto della lettera greca π
per indicare il numero
3,14159265358979 …
che interviene nello studio
della circonferenza e del cerchio.
♫ Nel foglio elettronico la funzione
che restituisce pi (o meglio, una sua
approssimazione) è PI.GRECO()
27
8) Questo esercizio è finalizzato a prender confidenza con gli indirizzi “misti”, metà relativi e metà assoluti.
Come riempire la tabella di moltiplicazione sottostante inserendo UNA SOLA FORMULA
della quale si farà poi il copia-incolla?
9) Hai un fratellino o una sorellina che fa le elementari e sta imparando le tabelline? No? Uhm … fa lo stesso.
Programma il foglio elettronico in modo che in prima e seconda colonna
l’istruttore possa inserire coppie di numeri da lui scelti fra 1 e 10,
in terza colonna il bambino scriva quello che ritiene essere il risultato della loro moltiplicazione,
e in quarta colonna esca OK o NO a seconda dei casi. Prevedi:
• 10 operazioni,
• conteggio automatico delle risposte esatte,
• un complimento al bambino se raggiunge o supera il punteggio minimo posto in F1.
NOTA - Si può anche rendere casuale la comparsa dei numeri nelle colonne A e B.
L’unico inconveniente è che quando il bambino risponde … Provaci!
10) Le celle del rettangolo da A1 ad H8
vengono riempite
con numeri con la virgola casuali
da 0 fino a 1 escluso;
si calcola poi
la media di questi 64 numeri.
28
7. ESERCIZI sulle rappresentazioni grafiche
(risposte a pag. 70)
1) La popolazione mondiale, in milioni di abitanti, nel 2009
(dal sito www.statistiques-mondiales.com).
a) Stabilisci, senza accendere il computer,
di quanti gradi dovrebbe essere
ciascun settore circolare in un diagramma a torta.
b) Diagramma a torta, prima “a mano” sul quaderno poi con un foglio elettronico
Africa
America
Asia
Europa
Oceania
Totale
996
923
4228
588
35
6776
2) Percentuale approssimata, in peso, degli elementi chimici sulla crosta terrestre (dati presi da
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu e provenienti da Lutgens and Tarbuck, Essentials of Geology)
Element
Approximate % by weight
Oxygen
46,6
Silicon
27,7
Aluminum
8,1
Iron
5,0
Calcium
3,6
Sodium
2,8
Potassium
2,6
Magnesium
2,1
All others
1,5
a) Determina l’angolo al centro corrispondente a ciascun settore
b) poi traccia sul tuo quaderno il diagramma a torta
c) e infine costruisci lo stesso diagramma con un foglio elettronico, stampa, appiccicalo accanto al tuo.
3) Lo stesso sito http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu riporta anche la seguente tabella, tratta da
Biology, Life on Earth di Teresa e Gerald Audesirk:
Element
Hydrogen
Helium
Carbon
Nitrogen
Oxygen
Sodium
Magnesium
Phosphorus
Sulfur
Chlorine
Potassium
Calcium
Iron
Symbol
H
He
C
N
O
Na
Mg
P
S
Cl
K
Ca
Fe
Atomic Number
1
2
6
7
8
11
12
15
16
17
19
20
26
Percent in Universe
91
9
0,02
0,04
0,06
Trace
Trace
Trace
Trace
Trace
Trace
Trace
Trace
Percent in Earth
0,14
Trace
0,03
Trace
47
2,8
2,1
0,07
0,03
0,01
2,6
3,6
5
Percent in Human Body
9,5
Trace
18,5
3,3
65
0,2
0,1
1
0,3
0,2
0,4
1,5
Trace
Utilizza l’ultima colonna per tracciare un diagramma a torta sulla composizione chimica del corpo umano.
4) Dati da US Geological - I maggiori produttori d’oro nel 2007:
Nazione
Australia
Sud Africa
Cina
Stati Uniti
Peru
Russia
Indonesia
Canada
Tonnellate
280
270
250
240
170
160
120
100
Istogramma (=diagramma a barre verticali), prima sul quaderno e poi al computer con un foglio elettronico.
29
5) Da http://nineplanets.org, alcuni dati sui pianeti del sistema solare.
Planet
Mercury
Venus
Earth
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptune
Pluto
Distance from Sun (1000 km)
57.910
108.200
149.600
227.940
778.330
1.426.940
2.870.990
4.497.070
5.913.520
Radius (Km)
2 439
6 052
6 378
3 397
71 492
60 268
25 559
24 764
1 160
Mass (Kg)
3,30e23 (NOTA)
4,87e24
5,98e24
6,42e23
1,90e27
5,69e26
8,69e25
1,02e26
1,31e22
Discoverer-Date
Herschel - 1781
Galle - 1846
Tombaugh - 1930
Realizza un diagramma a barre orizzontali, con un foglio elettronico, per la colonna del raggio.
23
NOTA: 3,30e23 significa (notazione esponenziale): 3, 30 ⋅10
1865
1905
1935
1965
1985
2002
6) Mortalità infantile in Italia:
numero morti nel primo anno di vita per ogni 1000 nati vivi.
Traccia la “serie storica”.
30,3
27,3
21,6
16,6
13,9
4,1
7) Una volante della polizia si apposta per rilevare la velocità delle macchine che transitano.
Gli esiti di una serie di 60 controlli sono i seguenti (in Km/h):
57
54
56
62
48
61
61
60
54
57
52
58
51
49
56
48
63
51
45
55
68
64
50
56
58
48
61
78
60
53
55
47
67
51
59
56
52
61
52
70
72
53
58
60
74
49
59
55
54
64
50
48
59
55
81
55
54
53
51
52
Suddividi i dati in classi di frequenza, traccia l’istogramma.
8) I punteggi
a) base b) dell’esame scritto c) dell’esame orale
alla prova finale, per una classe di 18 candidati, sono stati i seguenti.
Con un foglio elettronico, costruisci la rappresentazione più opportuna.
a)
b)
c)
15
29
20
18
32
22
24
33
24
25
32
30
21
30
22
17
29
24
19
28
27
16
28
19
20
34
25
9) Un gruppo di ingegneri ha dichiarato
di aver conseguito la laurea specialistica
alle età che sono indicate dall’istogramma qui a fianco.
a) Quante persone sono state intervistate?
b) Quali sono la frequenza assoluta, relativa e percentuale
di coloro che si sono laureati non prima dei 27 anni?
c) Qual è, sul totale, la percentuale di ingegneri
che si è laureata prima dei 26 anni?
21
39
24
23
42
24
20
37
20
16
32
18
18
32
19
18
33
21
22
35
25
25
45
30
24
43
30
30
10) Un insegnante di Educazione Fisica fa effettuare le prove preliminari
ai suoi giovani allievi, e registra nell’istogramma qui riportato
le misure raggiunte nel salto in lungo.
Si domanda la frequenza
assoluta
relativa (arrotondata ai centesimi)
e percentuale (arrotondata alle unità)
di coloro che hanno saltato almeno 3 metri.
La regola per arrotondare è richiamata alla pag. 66 di questo volume.
11) Rappresenta graficamente in modo adeguato
alcuni degli esiti 1) … 15) del “questionario del curiosone” di pag. 8
12) La tabella qui a fianco riporta:
in 2a colonna, i nati in totale (valore medio annuo in migliaia);
in 3a colonna, i nati per 1000 abitanti
(i dati provengono da www.istitutodeglinnocenti.it).
a) Con un foglio elettronico, traccia la serie storica
b) Quante nascite in totale si sono avute, pressappoco, in Italia,
nell’arco di tempo dal 1931 al 1940?
c) Come si concilia il fatto che nella seconda colonna
la differenza relativa dei dati non sia forte
mentre in terza colonna decisamente sì?
1861-70
1891-900
1911-20
1931-40
1951-60
1961-70
1971-80
1981-85
2005
947
1099
972
1008
872
953
791
600
554
37,6
35,0
27,2
23,6
17,9
18,3
14,2
10,6
9,5
13) 4 associazioni A, B, C, D di appassionati hanno contribuito a una mostra di minerali rispettivamente con
45, 72, 18 e 29 pezzi. Traccia sul quaderno, e trova poi il modo di realizzare pure con un foglio elettronico,
, che visualizzi la ripartizione.
un diagramma formato da un’unica striscia orizzontale
14) Da ISTAT, “Italia in cifre”:
Con un foglio elettronico, traccia diversi tipi di diagramma
per illustrare le situazioni e confrontarle fra loro. Esempi:
a) un diagramma a barre verticali che presenti il livello di istruzione nel 2001
b) un diagramma a barre orizzontali che faccia vedere le percentuali dei diplomati nei vari anni
c) un diagramma a torta che evidenzi il livello di istruzione nel 1951
d) un diagramma cartesiano (serie storica) che mostri, in simultanea,
l’evoluzione negli anni del numero di laureati e di analfabeti
15) Richieste analoghe a quelle dell’esercizio precedente per la tabella che segue (dati ISTAT).
31
16) Nelle due filiali che una banca ha recentemente aperto in una cittadina, l’ispettore inviato dalla direzione
centrale organizza un sondaggio sul grado di soddisfazione dei clienti riguardo ai vari servizi.
Viene raccolto il parere di 47 persone nella prima filiale e di 35 nella seconda.
Filiale A
Cortesia ed efficienza degli impiegati
Qualità della consulenza finanziaria
Tempi di attesa allo sportello
Poco
soddisfatto
2
9
2
Sufficientemente
soddisfatto
31
34
23
Molto
soddisfatto
14
4
22
Poco
Sufficientemente
Molto
soddisfatto
soddisfatto
soddisfatto
Cortesia ed efficienza degli impiegati
5
28
2
Qualità della consulenza finanziaria
8
23
4
Tempi di attesa allo sportello
5
27
3
Quale rappresentazione grafica ti sembra più adeguata a illustrare visivamente la situazione
ai fini di un’analisi e di un confronto? Realizzala al computer con un foglio elettronico.
Filiale B
17) Considera la tabella sottostante (ISTAT , “Italia in cifre”, anno 2007) e traduci un suo aspetto
a tua scelta (ad esempio, potresti prendere i totali per settore sull’intera Italia … )
in un ideogramma basato sull’icona qui a fianco
(puoi scegliere se restringere/allargare l’icona, oppure in alternativa riportarla più volte).
18) I seguenti dati provengono dalla WAN, World Association of Newspapers:
numero di copie di quotidiani diffuse giornalmente ogni 1000 abitanti nell’anno 2002.
a) Vuoi scegliere 5 o 6 nazioni nel lungo elenco e tracciare un diagramma a barre?
b) E che ne diresti di un ideogramma a icona singola (rimpicciolita o ingrandita)?
O di un ideogramma con icone ripetute (doppio numero di icone = doppia diffusione del quotidiano)?
1. Norvegia
2. Giappone
3. Finlandia
4. Svezia
5. Svizzera
6. Islanda
7. Regno Unito
8. Germania
9. Danimarca
10. Austria
11. Olanda
12. Lussemburgo
13. Singapore
705
664
544
543
444
393
383
371
371
363
363
339
331
14. Usa
15. Nuova Zelanda
16. Estonia
17. Thailandia
18. Irlanda
19. Slovenia
20. Malesia
21. Rep. Ceca
22. Bulgaria
23. Australia
24. Ungheria
25. Canada
26. Lettonia
274
259
234
234
233
214
209
206
203
202
199
189
184
27. Francia
28. Belgio
29. Russia
30. Turchia
31. Cina
32. Croazia
33. Italia
34. Spagna
35. Costarica
36. Rep. Slovacca
37. Ucraina
38. Filippine
39. Libano
181
175
146
131
130
128
128
120
120
117
105
99
96
40. Cipro
41. Polonia
42. Portogallo
43. Grecia
44. Brasile
45. Argentina
46. India
47. Sud Africa
48. Sri Lanka
49. Indonesia
50. Kenya
94
92
91
81
64
56
48
40
35
31
14
32
19) La più recente serata del sabato sera (intervista-flash ai ragazzi in uscita da una scuola superiore).
Discoteca
Birreria
Cinema
Casa di amici
Altro
43
98
26
57
75
Rappresenta gli esiti del sondaggio
a) con un diagramma a barre
b) con un ideogramma a figure ripetute (magari utilizzando come icona l’omino dell’esercizio 17)
c) con un diagramma costituito da un’unica striscia orizzontale
20) La seguente rappresentazione per ideogrammi è relativa al numero (approssimativo)
di visitatori totali di alcuni musei italiani, nell’anno 2008 (dati dal sito del Touring Club).
Musei Vaticani 4.440.000
Scavi di Pompei 2.250.000
Galleria degli Uffizi 1.550.000
Museo Egizio di Torino 510.000
Acquario di Genova 1.212.000
Guardando solo l’ideogramma e non i numeri,
stabilisci quale è stata all’incirca la percentuale delle visite
all’Acquario di Genova, rispetto alla Galleria degli Uffizi.
21) Determina le percentuali approssimative di voti totalizzate dai tre partiti →
Insieme per il buon governo (angolo di 90°)
Onestà e competenza (approssimativamente 151°)
Siamo con voi (all’incirca 65°)
(ci sono state anche molte schede Bianche o Nulle in questa votazione)
22) Se in totale i ragazzi della scuola sono 324,
e il diagramma qui a fianco ne riporta la ripartizione
fra coloro che, promossi, hanno avuto quest’anno
in pagella finale la media dei voti compresa
fra 6 e 7 (escluso), fra 7 e 8 (escluso),
fra 8 e 9 (escluso), non inferiore a 9,
oppure non sono stati ammessi alla classe successiva,
determinare il numero dei ripetenti e degli eccellenti.
N: Non ammessi
D: 6 ≤ m < 7
C: 7 ≤ m < 8
B: 8 ≤ m < 9
A: m ≥ 9
23) Un bed and breakfast di una località montana ha suddiviso
la sua attività in tre periodi: da marzo a giugno; luglio+agosto; da settembre a novembre.
Per l’anno passato, sono andati persi i dati di ciascun giorno ma rimangono i dati complessivi dei 3 periodi:
598 ospiti da marzo a giugno; 895 in luglio+agosto; 327 da settembre a novembre.
Costruisci un istogramma che illustri la situazione, con
tre intervalli in ascissa proporzionali alle rispettive durate
aree dei rettangoli proporzionali al numero di persone ospitate.
24) Un’azienda, in occasione
del ventennale della sua fondazione,
stila un quadro del numero di dipendenti
ripartendoli per anzianità di servizio.
Vengono distinte 3 categorie:
fino a 2 anni
più di 2 e fino a 5
più di 5 e fino a 20
25
45
48
Disegna un istogramma, nel quale
siano le aree a rappresentare
il numero di dipendenti in una
determinata fascia di anzianità.
25) Illustra la relazione esistente nella tua classe fra numero di scarpe e altezza in centimetri
compilando, tramite un foglio elettronico, una tabella a doppia entrata che porti, per i vari
numeri di scarpe e opportune fasce di altezze, la frequenza, nella tua classe, di quel doppio dato.
33
26) Nel 2010, secondo il CDIAC, Carbon Dioxide Information Analysis Center (http://cdiac.ornl.gov/),
il tristissimo primato dell’emissione di anidride carbonica nell’aria spettava ai 10 paesi seguenti,
per i quali viene specificato anche il numero di tonnellate che si stima abbiano diffuso in quell’anno:
Cina
USA
India
Russia Giappone Germania
Iran
Corea Canada Arabia
8240958 5492170 2069738 1688688 1138432
762543 574667 563126 518475 493726
Poiché questi dati non comprendono gli altri paesi del mondo, che pure contribuiscono all’inquinamento
globale, qui un diagramma a barre è preferibile rispetto a un diagramma a torta. Realizzalo al computer.
… Una delle cose che possiamo fare, per combattere
contro questa folle corsa del mondo all’autodistruzione,
è abituarci al pensiero che
una vita semplice, con una forte autoriduzione dei consumi,
è la sola compatibile con la finitezza delle risorse della Terra,
ed è anche di gran lunga più degna e gioiosa.
http://decrescitafelice.it/
27) La causa primaria della deforestazione dell'Amazzonia sta nell’abbattimento di vasti tratti di foresta
che viene rimpiazzata con coltivazioni destinate al nutrimento degli animali fornitori di carne.
PERCENTUALE
CAUSA DI DEFORESTAZIONE
60-70%
Allevamento di animali e coltivazioni relative
La tabella qui a fianco
Agricoltura di sussistenza e su piccola scala
30-40%
è tratta da Mongabay.com,
Rhett A. Butler Agricoltura commerciale su vasta scala
1-2%
San
Francisco,
CA., 2000-2007
Taglio di alberi per legname, legale e illegale
1-2%
Incendi, miniere, strade, dighe, urbanizzazione
2-4%
Si stima che nel 1977, pur essendo già iniziata l’opera di decimazione, rimanessero circa 3 955 870 km2
di foresta in Amazzonia. La tabella indica i km2 approssimativamente persi negli anni successivi.
1978-1987
21130
1992
13786
1997
13227
2002
1988
21050
1993
14896
1998
17383
2003
1989
17770
1994
14896
1999
17259
2004
1990
13730
1995
29059
2000
18226
2005
1991
11030
1996
18161
2001
18165
2006
Con un foglio elettronico, traccia:
□ un diagramma a torta per le cause della deforestazione amazzonica;
□ una serie storica che rappresenti l’estensione della foresta nel periodo 1977-2006.
21394
25247
27423
18846
14109
RIDURRE IL PIÙ POSSIBILE IL NOSTRO CONSUMO DI CARNE … e in ogni caso acquistarla
esclusivamente se si sa che proviene da piccoli allevamenti in cui gli animali possano muoversi e
socializzare, anziché essere avviliti in anguste gabbiette … Questo, a parere di chi scrive, andrebbe
innanzitutto fatto, come dovere verso il pianeta in cui viviamo e verso i nostri “fratelli più umili”.
Il problema delle risorse divorate dagli incolpevoli animali da allevamento - sfruttati senza pietà e trattati
alla stregua di oggetti anziché di esseri senzienti capaci di provare dolore e terrore - è ENORME.
Se le immense estensioni di terreno utilizzate per il nutrimento degli “animali da carne” fossero convertite
in coltivazioni di ottima frutta, verdura o cereali da destinare all’alimentazione umana,
LA FAME NEL MONDO AVREBBE FINE:
un ettaro coltivato a patate o a riso è infatti in grado di provvedere al nutrimento annuo rispettivamente di
22 e 19 persone, mentre quando lo stesso ettaro è destinato alla produzione di vegetali per l’ingrasso dei
manzi, la carne che se ne ricava può bastare per 1 SOLA persona. Ö
Gli allevamenti inoltre inquinano pesantissimamente, e consumano quantità enormi di acqua. Ö
Una dieta vegetariana oltretutto
è IDEALE PER LA SALUTE!
L’uomo NON è carnivoro “per natura”.
In sintesi, nutrirsi di cadaveri fa male
agli animali, alle popolazioni povere,
all’ambiente e … a sé stessi.
Pitagora, Seneca, Leonardo, Gandhi,
Tolstoj, Einstein, Paul McCartney ...
… Ragione, pietà e spirito nelle parole
dei grandi vegetariani Ö
34
8. GLI INDICI DI POSIZIONE (o “di centralità”)
A) LE MEDIE “FERME”
(una media si dice “ferma” se il suo valore varia senz’altro, qualora uno solo dei termini in gioco cambi).
HO COMINCIATO AD ALLENARMI PER LA MARATONA DI NEW YORK!
Lunedì ho corso per 4 km, martedì per 6,5 km, mercoledì per 8 km, giovedì per 2,5 km, venerdì per 5 km,
sabato per 7,5 km, domenica per 8,5 km.
Quanti km ho percorso in media al giorno?
Una “media” fra più numeri, che esprimono quantità della stessa specie, è un numero avente la proprietà
di essere compreso (“medio” = “che sta in mezzo”) tra il minore e il maggiore dei numeri dati.
La risposta alla nostra domanda NON sarà però, evidentemente,
uno qualsiasi fra i valori compresi tra 2,5 e 8,5
e nemmeno il numero esattamente intermedio fra 2,5 e 8,5 (che sarebbe 5,5)!
Ragioniamo. Noi vogliamo trovare quel numero x tale che,
se in ognuno dei 7 giorni della settimana io avessi corso ogni volta per esattamente x km,
la distanza complessiva percorsa in tutta la settimana sarebbe stata la medesima! Allora
7 x = 4 + 6,5 + 8 + 2,5 + 5 + 7,5 + 8, 5
da cui
4 + 6,5 + 8 + 2,5 + 5 + 7,5 + 8,5 42
x = media dei km = n° di km percorsi mediamente in 1 giorno =
=
=6
7
7
In effetti, se ogni giorno della settimana il mio percorso fosse stato di esattamente 6 km,
complessivamente nella settimana mi sarei allenato per un totale di 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42 km ,
esattamente come è 4 + 6,5 + 8 + 2,5 + 5 + 7,5 + 8,5 = 42 .
E’ ragionevole supporre che la prestazione complessiva di uno studente, che ha preso diversi voti
v1 , v2 , ... , vn ,
possa essere bene rappresentata dal particolare voto v che, se fosse stato preso, sempre quello, tutte le n volte,
avrebbe dato luogo alla stessa somma di voti. Dunque
nv = v1 + v2 + ... + vn
v = media dei voti =
v1 + v2 + ... + vn
n
Ad es., se quello studente ha preso i 5 voti 6 7 7 8 6 , la sua media è stata
6 + 7 + 7 + 8 + 6 34
=
= 6,8 .
5
5
E in effetti, se quello studente avesse invece preso come voti successivi 6,8 6,8 6,8 6,8 6,8
la somma dei suoi voti, ossia la sua “prestazione totale”, sarebbe stata 6,8 + 6,8 + 6,8 + 6,8 + 6,8 = 34
esattamente uguale alla prestazione effettiva totale 6 + 7 + 7 + 8 + 6 = 34
Si dice MEDIA ARITMETICA M fra n numeri x1 , x2 , ... , xn , il numero
M = media aritmetica =
x1 + x2 + ... + xn
.
n
La media aritmetica fra più valori, è uguale alla loro somma, divisa per il numero dei valori stessi;
ed è quel nuovo valore il quale, se sostituito al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco,
ne lascerebbe invariata la somma.
ESERCIZI
1) Verifica che se ho mangiato il minestrone 3 volte in novembre, 8 in dicembre, 8 in gennaio, 5 in febbraio,
e 9 volte in totale gli altri mesi dell’anno, in media è come se l’avessi mangiato 2,75 volte al mese.
2) Calcola la media del numero di scarpe, fra i compagni di classe: a) maschi; b) femmine; c) tutti.
In generale la media c) non coincide con la media delle due medie a) e b) … a meno che …
3) Con riferimento alle classi I A, I B di cui a pagina 2, con un foglio elettronico rappresenta la “serie storica”
delle medie aritmetiche dei punteggi (mettendo, ogni anno, assieme le due classi a formare un unico gruppo).
Le “lagnanze” di cui si parla nella stessa pagina sono giustificate, a giudicare da questa successione di medie?
La “media” di cui ci siamo occupati fin qui è stata la media “aritmetica”
(anche se sovente, per brevità, l’aggettivo viene lasciato sottinteso);
in effetti, ci sono altri tipi di “medie”, oltre a questa, e ora andremo brevemente a illustrarli.
35
Se il COSTO DI UNA MATERIA PRIMA è aumentato:
• del 5% nel 2001 (s’intende: da inizio a fine anno);
• del 6% nel 2002;
• dell’8% nel 2003;
• dell’8% ancora nel 2004;
• e del 4% nel 2005,
a) di quanto è aumentato complessivamente nel quinquennio 2001-2005?
b) E di quanto è aumentato mediamente ogni anno, in questo quinquennio?
Ragioniamo.
a) Se il prezzo all’inizio del 2001 era 100 ,
5 ⎞
• alla fine del 2001 è diventato 100 ⋅ ⎛⎜ 1 +
⎟ = 100 ⋅1,05 = 105
⎝ 100 ⎠
6 ⎞
• alla fine del 2002 è diventato 105 ⋅ ⎛⎜1 +
⎟ = 105 ⋅1,06 = 111,3
⎝ 100 ⎠
8 ⎞
• alla fine del 2003 è diventato 111,3 ⋅ ⎛⎜ 1 +
⎟ = 111,3 ⋅1,08 = 120, 2 (circa )
⎝ 100 ⎠
8 ⎞
• alla fine del 2004 è diventato circa 120, 2 ⋅ ⎛⎜1 +
⎟ = 120, 2 ⋅1,08 = circa 129,8
⎝ 100 ⎠
4 ⎞
• alla fine del 2005 è diventato circa 129,8 ⋅ ⎛⎜ 1 +
⎟ = 129,8 ⋅1,04 = circa 135 ;
⎝ 100 ⎠
è perciò aumentato, questo prezzo, da inizio 2001 a fine 2005, complessivamente intorno al 35%.
b) E mediamente, quanto è aumentato?
Noi cerchiamo in questo momento una percentuale annua x tale che,
se l’aumento fosse stato ogni anno esattamente dell’x%, si sarebbe raggiunto il medesimo prezzo finale.
Quindi
5 ⎞⎛
6 ⎞⎛
8 ⎞⎛
8 ⎞⎛
4 ⎞
x ⎞⎛
x ⎞⎛
x ⎞⎛
x ⎞⎛
x ⎞
⎛
100 ⋅ ⎛⎜1 +
⎟⎜1 +
⎟⎜1 +
⎟⎜1 +
⎟⎜1 +
⎟ = 100 ⋅ ⎜1 + 100 ⎟⎜1 + 100 ⎟⎜1 + 100 ⎟⎜1 + 100 ⎟⎜1 + 100 ⎟
⎝ 100 ⎠⎝ 100 ⎠⎝ 100 ⎠⎝ 100 ⎠⎝ 100 ⎠
⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠
5
⎛1 + x ⎞ = 1,05 ⋅1,06 ⋅1,08 ⋅1,08 ⋅1,04
⎜ 100 ⎟
⎝
⎠
x 5
1+
= 1,05 ⋅1,06 ⋅1,08 ⋅1,08 ⋅1,04
100
1 + p = 5 1,05 ⋅1,06 ⋅1,08 ⋅1,08 ⋅1,04 ≈ 5 1,35 ≈ 1,062 da cui p = 5 1,05 ⋅1,06 ⋅1,08 ⋅1,08 ⋅1,04 − 1 ≈ 0,062 = 6,2%
Vuol dire che, se quel prezzo iniziale fosse aumentato ogni anno del 6,2% , si sarebbe raggiunto,
dopo un quinquennio, lo stesso prezzo finale che si è ottenuto con gli aumenti del 5%, 6%, 8%, 8%, 4%.
Vuoi provare a verificarlo col calcolo?
Presi dunque i valori 1,05 1,06 1,08 1,08 1,04
che davano il numero per cui moltiplicare il prezzo all’inizio dell’anno, onde ottenere il prezzo alla fine,
la “media sul quinquennio” di questi moltiplicatori è la radice quinta del loro prodotto
(e non, come nel caso della media aritmetica, la quinta parte della loro somma)!
Si definisce “MEDIA GEOMETRICA” fra più valori, quel nuovo valore il quale,
se sostituito al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco, ne lascerebbe invariato il prodotto.
Si dimostra facilmente che la media geometrica fra n valori x1 , x2 , ... , xn è data da
MG = media geometrica =
= n x1 ⋅ x2 ⋅ ... ⋅ xn
Infatti, poiché si desidera
che questa media, sostituita
a ciascuno dei valori,
non ne alteri il prodotto:
x1 ⋅ x2 ⋅... ⋅ xn = M G ⋅ M G ⋅... ⋅ M G
M G n = x1 ⋅ x2 ⋅... ⋅ xn
M G = n x1 ⋅ x2 ⋅... ⋅ xn
Come indicazione generale, possiamo dire che la media geometrica
si utilizza quando i dati sono tali che per essi l’ “operazione regina”
è il prodotto, piuttosto che la somma.
Quindi, in un contesto di tassi di interesse bancari,
o di aumento o diminuzione (rara …) dei prezzi,
o di incremento o decremento del PIL, o di tasso di crescita di una popolazione,
dobbiamo aspettarci di incontrare medie geometriche piuttosto che aritmetiche.
Robert
Kennedy
Discorso
sul PIL
(marzo
1968)
36
Facciamo UN ALTRO ESEMPIO DI NATURA DIVERSA, molto significativo.
Se ho percorso in auto un totale di 100 km, la prima metà andando ai 100 km/h
e la metà successiva, dopo aver visto un brutto incidente, agli 80 km/h soltanto,
quale è stata la mia velocità media?
Rispondere che è stata la media aritmetica delle due velocità,
100 + 80
= 90 km/h, sarebbe magari istintivo … ma clamorosamente SBAGLIATO.
quindi
2
Infatti è logico partire dal presupposto che per “velocità media”, in questo contesto, si debba intendere
quella velocità la quale, se mantenuta costante per tutto il tragitto di 100 km,
mi avrebbe permesso di coprirlo nel medesimo tempo.
E quanto tempo ci ho messo a fare i miei 100 km,
andando per 50 km ai 100 all’ora e per 50 km agli 80 all’ora?
Vediamo.
La prima metà del percorso ha richiesto un tempo, in ore, uguale a
s 50 1
=
= = 0,5 (mezz’ora, dunque),
v 100 2
mentre la seconda metà ha richiesto un numero di ore dato da
s 50
=
= 0,625 (0,625 ore, o anche: 37 minuti e mezzo).
v 80
Il tempo totale per coprire il tragitto di 100 km è stato perciò di ore 0,5 + 0,625 = 1,125 ( 1 h 7 ' 30'') .
Ma se una distanza di 100 km venisse percorsa ad andatura costante in ore 1,125
vorrebbe dire che quella velocità costante è di
km/h
s
t
s = vt
s
t=
v
v=
100
≈ km/h 88,9
1,125
Quindi in questo caso per calcolare la “velocità media”
NON si deve fare la “media aritmetica delle due velocità”!
Si deve invece procedere
1) direttamente col ragionamento e col calcolo, come abbiamo fatto noi;
2) oppure (lo si potrebbe dimostrare) calcolando la cosiddetta media armonica delle velocità.
M A = media armonica =
1
1
1
1
+
+ ... +
x1 x2
xn
n
Si definisce “MEDIA ARMONICA” fra n valori, quel nuovo valore il quale, se sostituito
al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco, ne lascerebbe invariata la somma dei reciproci.
Essa coincide col reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori in gioco.
Si può far vedere (vuoi provarci?) che, se una data distanza d viene suddivisa
in n tratti tutti uguali fra loro (ogni tratto ha quindi lunghezza d / n ),
e questi tratti vengono percorsi alle velocità v1 , v2 , ... , vn rispettivamente,
per cui il viaggio richiede un certo tempo totale t ,
allora la “velocità media”, intesa come la velocità costante
alla quale occorrerebbe muoversi per percorrere la stessa distanza d nello stesso tempo t ,
• non dipende dalla distanza d
• ed è data dalla media armonica delle velocità:
v=
1
1 1
1
+ + ... +
v1 v2
vn
n
OSSERVAZIONE
Invece, se noi avessimo un tempo di viaggio fissato t suddiviso in n intervalli di ugual durata t / n ,
e in questi n intervalli uguali di tempo si procedesse alle velocità costanti v1 , v2 , ... , vn ,
percorrendo una determinata distanza totale d ,
la velocità costante alla quale procedere se si desidera, sempre nel tempo t , percorrere la stessa distanza d
v + v + ... + vn
non dipenderebbe da t e sarebbe data dalla media aritmetica delle velocità v ' = 1 2
(dimostralo!)
n
37
Ancora:
Si definisce “MEDIA QUADRATICA” fra più valori, quel nuovo valore il quale,
se sostituito al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco,
ne lascerebbe invariata la somma dei quadrati.
Si dimostra che la media quadratica fra n valori x1 , x2 , ... , xn è data da
M Q = media quadratica =
x12 + x2 2 + ... + xn 2
n
Cercando di trarre le conclusioni da questo tentativo di GENERALIZZAZIONE DEL CONCETTO DI “MEDIA”,
potremo dire (traducendo in forma più semplice una definizione di Oscar Chisini, 1889-1967) che
se si hanno n valori x1 , x2 , ... , xn di una grandezza, si può parlare di “media” ogniqualvolta
si desidera determinare un valore x che, qualora venisse sostituito al posto di ciascuno dei valori dati,
ne lascerebbe invariata, a seconda del tipo di “media”:
• la somma;
• o il prodotto;
• …
• oppure una qualunque determinata loro “funzione”,
ossia grandezza che dipenda, secondo una legge ben definita, dalle grandezze date.
UNA MEDIA
a) … IN PARTE DISTRUGGE, E IN PARTE RIESCE A MANTENERE L’INFORMAZIONE;
b) … E’ UN VALORE “TEORICO”;
c) … E CI DA’ SOLO QUELLO CHE DA LEI SAPPIAMO DI POTERCI ASPETTARE!
a) Una media, di qualsiasi tipo essa sia, cerca di sintetizzare in un singolo numero
un’informazione relativa a una pluralità di dati (sovente, a tantissimi dati).
Evidentemente, essa non può pretendere di condensare in sé
tutto il contenuto informativo insito nell’insieme effettivo dei dati;
passando alla “media” tale contenuto in gran parte va perso …
e tuttavia qualcosa, peraltro di molto importante, rimane.
b) Una media è un valore “TEORICO”, nel senso che ben raramente coincide con uno dei dati in questione
(e, se anche ciò avviene, questo fatto non è comunque particolarmente interessante).
c) Una media “CI DA’ SOLO QUELLO CHE DA LEI CI ASPETTIAMO”,
nel senso che, ad esempio,
• una media aritmetica ci dà quel valore che, se venisse sostituito a ciascuno dei dati,
ne lascerebbe inalterata la somma;
• una media geometrica ci dà quel valore che, se venisse sostituito a ciascuno dei dati,
ne lascerebbe inalterato il prodotto;
• una media armonica ci dà quel valore che, se venisse sostituito a ciascuno dei dati,
ne lascerebbe inalterata la somma dei reciproci;
• eccetera.
LA PIENA COMPRENSIONE DEL SIGNIFICATO DI UNA “MEDIA”,
cioè del tipo di informazione che essa ci dà,
È LEGATA ALLA CONSAPEVOLEZZA DI
“QUAL È LA QUANTITÀ CHE RESTEREBBE INALTERATA
SE AL POSTO DI CIASCUNO DEI DATI
SI SOSTITUISSE LA MEDIA DEI DATI STESSI”
Si dice che la media in esame “CONSERVA”
quella determinata quantità:
ad esempio, la media aritmetica “conserva la somma”,
perché, se venisse sostituita al posto di ciascuno dei dati,
la somma di questi non muterebbe.
38
La media con cui lo studente ha quasi sempre a che fare è la media aritmetica
(quando si dice semplicemente “media”, senza aggettivi, è alla media aritmetica che ci si riferisce).
Per la precisione, nelle pagine precedenti, avremmo dovuto scrivere
“media aritmetica semplice”, “media geometrica semplice”, “media armonica semplice”, …
per distinguere le medie introdotte dalle corrispondenti medie “ponderate”.
Alla media aritmetica “ponderata” faremo cenno fra breve.
In un’indagine statistica, o in un diagramma statistico,
i “dati” di cui fare la “media” sono le “modalità”
(è ovvio che ha senso farne la media soltanto se queste sono espresse numericamente);
ciascuna modalità viene contata tante volte quant’è la sua frequenza nella popolazione statistica in esame.
Ad esempio, nella rilevazione del numero di figli da 0 a 10 anni di un gruppo di 20 famiglie,
la distribuzione di frequenze potrebbe essere
0
1
2
3
7
8
4
1
E in questo caso avrebbe senso fare la media aritmetica del numero dei figli, che sarebbe
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 19
M=
=
= 0,95
20
20
Se i dati sono stati ripartiti in intervalli ossia, come si dice, in “CLASSI DI FREQUENZA”
(ad esempio in una rilevazione di altezze: cm 150 ≤ h < cm 154, 154 ≤ h < 158, 158 ≤ h < 162, ecc. ),
nel calcolo di una media si prende, per ciascuna classe, il cosiddetto “VALORE CENTRALE” della classe,
ossia la semisomma ( = la media) delle estremità dell’intervallo. Esempio:
150 ≤ h < 154 154 ≤ h < 158 158 ≤ h < 162 162 ≤ h < 166 166 ≤ h < 170
2
5
8
10
15
170 ≤ h < 174 174 ≤ h < 178 178 ≤ h < 182 182 ≤ h < 186 186 ≤ h < 190
9
7
5
2
1
M=
152 ⋅ 2 + 156 ⋅ 5 + 160 ⋅ 8 + 164 ⋅10 + 168 ⋅15 + 172 ⋅ 9 + 176 ⋅ 7 + 180 ⋅ 5 + 184 ⋅ 2 + 188 ⋅1 10760
=
= 168,125
2 + 5 + 8 + 10 + 15 + 9 + 7 + 5 + 2 + 1
64
Nell’ultimo esempio anziché sommare un certo numero di addendi uguali
abbiamo moltiplicato ciascun addendo per il numero di volte in cui questo andava considerato;
abbiamo cioè fatto quella che, come vedremo poco più avanti, si chiama una “media PONDERATA”.
E’ evidente che questo metodo del “valore centrale” non fornisce come risultato la media “esatta”,
ma solo un valore approssimato della “vera” media.
La “vera” media, infatti, dovrebbe tenere conto di tutti i singoli valori osservati
(che per comodità sono invece stati riuniti in classi);
ciascun singolo valore dovrebbe essere moltiplicato per la sua brava frequenza,
questi prodotti sommati e infine questa somma divisa per il numero totale dei valori considerati.
L’approssimazione però in genere è molto buona …
Rinunciamo ad ulteriori approfondimenti, ma possiamo comunque fare un “esperimento” pratico.
Riprendiamo la tabella precedente ed entriamo nel dettaglio delle singole osservazioni:
150 ≤ h < 154 154 ≤ h < 158 158 ≤ h < 162 162 ≤ h < 166 166 ≤ h < 170
150
0
154
0
158
1
162
2
166
4
151
0
155
1
159
2
163
2
167
4
152
1
156
2
160
3
164
3
168
3
153
1
157
2
161
2
165
3
169
4
2
5
8
10
15
170 ≤ h < 174
170
3
171
2
172
2
173
2
9
174 ≤ h < 178
174
3
175
1
176
2
177
1
7
178 ≤ h < 182
178
2
179
1
180
0
181
2
5
182 ≤ h < 186
182
1
183
0
184
1
185
0
2
Facendo, questa volta, la “vera” media si ottiene un valore vicino a 167,67
quindi non molto differente da quello ricavato prima.
186 ≤ h < 190
186
0
187
1
188
0
189
0
1
39
PROPRIETA’ DEI VARI TIPI DI MEDIA
x1 + x2 + ... + xn
,
n
i loro “scarti” dalla media sono le differenze fra i dati stessi e la media:
x1 − M ⎫
x2 − M ⎪
scarti dei dati dalla media
... ⎬
⎪
xn − M ⎭
Se i nostri dati sono x1 , x2 , ... , xn , e la loro media aritmetica è M =
Ecco la tabella delle altezze superate, in cm, da 7 atleti ad una gara dilettantistica di salto in alto:
180
180
184
184
184
190
200
Se ne calcoli la media, avrai
180 + 180 + 184 + 184 + 184 + 190 + 200 1302
M=
=
= 186
7
7
Ora scriviamo, sotto ciascuno dei dati, il suo scarto dalla media:
180
−6
180
−6
184
−2
184
−2
184
−2
190
+4
200
+14
Se a questo punto sommiamo algebricamente questi 7 scarti, avremo
−6 − 6 − 2 − 2 − 2 + 4 + 14 = 0
Il fatto che la somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica sia 0 è del tutto generale.
In effetti, se x1 , x2 , ... , xn sono i dati,
e quindi x1 − M , x2 − M , ... , xn − M sono i loro scarti dalla media aritmetica, avremo
somma scarti = ( x1 − M ) + ( x2 − M ) + ... + ( xn − M ) = x1 − M + x2 − M + ... + xn − M =
x + x + ... + xn
= x1 + x2 + ... + xn − ( x1 + x2 + ... + xn ) = 0
= x1 + x2 + ... + xn − nM = x1 + x2 + ... + xn − n ⋅ 1 2
n
PROPRIETÀ: La somma degli scarti dei dati dalla media aritmetica dei dati stessi è sempre uguale a 0.
Un’altra proprietà interessante della media aritmetica è la seguente:
PROPRIETÀ (che non dimostriamo; potresti però verificarla su di un esempio, tramite un foglio elettronico …)
La media aritmetica è quel valore rispetto al quale è minima la somma dei QUADRATI degli scarti.
Vale a dire, se io calcolo la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica,
questa somma sarà certamente minore di ciò che otterrei se, al posto degli scarti dalla media aritmetica M ,
considerassi gli scarti da un qualsiasi altro valore a .
Schematicamente: se x1 , x2 , ... , xn sono i dati, e M è la loro media aritmetica, allora la quantità
( x1 − a )2 + ( x2 − a )2 + ... + ( xn − a )2
è minima nel caso a = M .
RIASSUNTO SCHEMATICO (INDICI DI POSIZIONE: le medie “ferme”)
MEDIA ARITMETICA = M =
x1 + x2 + ... + xn
n
MEDIA GEOMETRICA = M G =
MEDIA QUADRATICA = M Q =
“Conserva” la somma.
EXCEL, OPENOFFICE CALC: = MEDIA()
x1 ⋅ x2 ⋅ ... ⋅ xn
“Conserva” il prodotto
x12 + x2 2 + ... + xn 2
n
“Conserva” la somma dei quadrati
n
1
MEDIA ARMONICA = M A =
1
1
1
+
+ ... +
x1 x2
xn
n
“Conserva” la somma dei reciproci
40
B) MEDIE PONDERATE
Avevamo già fatto qualche anticipazione. Riprendiamo il discorso.
Un test su 80 studenti universitari ha fatto registrare i punteggi della tabella qui a fianco
(accanto a ciascun possibile punteggio, da 1 a 5, è stata annotata la relativa “frequenza”,
ossia il numero di studenti che hanno conseguito quel punteggio).
Qual è stata la media dei punteggi di questo gruppo di studenti?
9
addendi
addendi
14
25
addendi
1
2
3
4
5
9
14
25
22
10
80
22
addendi
addendi
10
1 + ... + 1 + 2 + ... + 2 + 3 + ... + 3 + 4 + ... + 4 + 5 + ... + 5
1 ⋅ 9 + 2 ⋅14 + 3 ⋅ 25 + 4 ⋅ 22 + 5 ⋅10
=
=
80
80
9 + 28 + 75 + 88 + 50 250
=
=
= 3,125
80
80
Si dice “MEDIA PONDERATA” (o “MEDIA PESATA”) una media nella quale
ciascun dato viene moltiplicato per un fattore dato dalla sua frequenza assoluta,
ossia è contato per un numero di volte uguale alla sua frequenza assoluta.
Nell’esempio di cui sopra, il dato “1” ha “peso” 9, il dato “2” ha “peso” 14, ecc.
...
Dunque, in generale, si ha,
Il
simbolo
per una media (aritmetica) ponderata,
∑
n
k = ...
x
⋅
f
∑ k k
Media
x ⋅ f + x ⋅ f + ... + xn ⋅ f n
si chiama “simbolo di sommatoria”.
aritmetica = M = 1 1 2 2
= k =1n
n
f1 + f 2 + ... + f n
ponderata
f
Scrivere
∑ k
∑ xk ⋅ f k
numero totale dei dati
=1
kN
k =1
significa che si vuole eseguire
numero totale
f k = frequenza assoluta del k -esimo dato
dei dati
la somma di tanti addendi xk ⋅ f k ,
( numero di volte in cui compare)
dove k assume:
In questa interpretazione (ma vedi poi il riquadro sottostante),
• il valore 1 (1° addendo),
una “media ponderata” non differisce da una normalissima media.
• poi il valore 2 (2° addendo),
Semplicemente, visto che un dato si è presentato nella rilevazione
• eccetera,
più volte, lo si scrive, per comodità, una volta sola, moltiplicandolo
• fino al valore n .
per la sua frequenza, ossia per il numero di volte in cui compare.
Verifica che se 26 persone hanno donato 5 euro e 14 persone 10 euro, la media dell’offerta è stata di euro 6,75
Calcola la media del voto in condotta, nella pagella più recente, di tutti gli studenti della tua classe
M=
Si parla di “media ponderata” anche quando si vogliono assegnare,
ai dati x1 , x 2 , ... , x n , “PESI” DIVERSI
in quanto i dati vengono ritenuti di diversa “importanza”.
La formula è la stessa, solo che
al posto delle frequenze f1 , f 2 , ... , f n ci sono i “pesi” p1 , p2 , ... , pn
che si è deciso di attribuire ai vari dati; vedi qui a destra →
Un’ALTRA INTERPRETAZIONE
♥ della media ponderata
M=
x1 ⋅ p1 + x2 ⋅ p2 + ... + xn ⋅ pn
p1 + p2 + ... + pn
somma dei pesi
Verifica che se i punteggi ottenuti da uno studente per i tre esercizi A, B, C sono stati rispettivamente 10, 8 e 7,
e ai tre esercizi l’insegnante ha ritenuto di attribuire rispettivamente i “pesi” 2, 3 e 3,
allora il punteggio dato dalla media ponderata risulta essere 8,125.
Verifica poi che se invece i “pesi” fossero 2, 3 e 4, quello studente otterrebbe come punteggio finale 8,
mentre la media aritmetica “semplice” ( = non ponderata) degli stessi punteggi è 8,333…
Se in una doppia prova scritto+orale Anna è stata valutata rispettivamente 7 e 9, e la prof. intende assegnare
peso 3 allo scritto e peso 1 all’orale per fare poi una media ponderata tramite la formula nell’ultimo riquadro,
è come se Anna avesse preso i 4 voti 7, 7, 7 e 9 di cui fare poi la media “semplice” ( = normale): verificalo.
C) LE MEDIE “LASCHE”: MEDIANA E MODA (lasco = allentato, molle, non teso)
(Una media si dice “lasca” se
potrebbe pure restare invariata, qualora cambiasse uno dei termini)
In un test, i punteggi dei 27 studenti sono stati quelli riassunti dalla tabella qui a fianco
(punteggio sulla colonna sinistra, frequenza assoluta di quel punteggio sulla colonna destra).
Se trascriviamo i punteggi uno a uno in ordine crescente, avremo
4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10
Consideriamo ora il punteggio che, nella striscia, occupa la posizione centrale:
4
5
6
7
8
9
10
1
5
7
7
3
3
1
27
41
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
Questo punteggio è 7. Diremo dunque che la “mediana” della distribuzione in esame è 7.
Se poi il “mostro” che ha preso 10 fosse stato assente, la striscia dei punteggi avrebbe contenuto 26 numeri:
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
9
9
9
In questo caso un numero che occupi la posizione centrale … non c’è. In tale eventualità (numero pari di dati)
si assume, convenzionalmente, come mediana la semisomma ( = la media aritmetica)
dei due valori che stanno all’immediata sinistra e all’immediata destra della posizione centrale.
6+7
Nell’esempio considerato, quindi, la mediana sarebbe stata
= 6,5 .
2
Osserviamo che la media aritmetica dei punteggi della classe è
181
171
≈ 6,704 con la presenza del “mostro”,
≈ 6,577 supponendo il “mostro” assente. Dunque:
27
26
La MEDIANA è definita quando si ha un insieme di dati, disposti in ordine crescente.
Si tratta allora del dato che “occupa il posto centrale” ,
nel senso che metà dei dati considerati sta a sinistra e metà a destra della mediana.
Nel caso in cui il numero di questi dati sia pari, un “dato centrale” non esiste
e quindi, convenzionalmente, si assume come mediana la media aritmetica
fra i due dati che stanno immediatamente prima e immediatamente dopo, rispetto alla posizione centrale.
Qualora i dati non siano numerici, ma abbia comunque senso ordinarli
(livelli di istruzione, aggettivi che esprimono un gradimento …)
non ha senso pensare ad una “media” … ma a una mediana, in generale, sì.
Quando è possibile determinare sia la media aritmetica che la mediana, cioè con dati numerici,
la “mediana” ci dà un’informazione diversa rispetto alla “media”.
Abbiamo già visto che la media aritmetica è quel valore che,
se venisse sostituito al posto di ciascuno di dati, ne lascerebbe inalterata la somma;
la mediana ci dice invece qual è il valore “centrale” della successione di dati, nel senso che,
se conosciamo la mediana, possiamo dire che un 50% dei dati è ≤ e l’altro 50% è ≥ della mediana.
La mediana, rispetto alla media aritmetica,
è meno “sensibile” alla presenza di “dati anomali”, cioè di dati “lontani dalla centralità”.
Se nel precedente insieme di punteggi il punteggio più basso fosse stato “2” anziché “4”,
la mediana non sarebbe variata, la media aritmetica sì.
PROPRIETÀ: La mediana, se è un valore numerico,
è quel valore rispetto al quale è minima la somma dei valori assoluti degli scarti.
Vale a dire, se io calcolo la somma dei valori assoluti degli scarti dalla mediana,
questa somma sarà certamente minore di ciò che otterrei se, al posto degli scarti dalla mediana,
considerassi gli scarti da un qualsiasi altro valore. Verificalo empiricamente col foglio elettronico!
E parliamo, infine, di moda.
Per MODA si intende il dato che si è presentato con più frequenza.
La moda potrebbe anche non essere unica!
punt freq
Nell’esempio sopra considerato della classe col suo test,
4
1
ci sarebbero state due “mode”: 6 e 7 (si parla in questo caso di distribuzione “bimodale”).
5
5
Nel caso in cui le modalità sono suddivise in “classi”, più che parlare di “moda”
7
6
è corretto parlare di “CLASSE MODALE” ( = la classe con maggiore frequenza).
7
7
Quando abbia senso parlare tanto di media aritmetica, quanto di mediana, quanto di moda,
8
3
la moda ci dà un’informazione diversa rispetto alla media e alla mediana.
9
3
10
1
E osserviamo che nel caso in cui i dati siano di carattere qualitativo, e non abbia gran senso ordinarli,
non si può parlare né di media né di mediana, mentre la moda è comunque determinabile.
Se ad esempio un certo giorno di Agosto una gelateria ha venduto
12 granite al limone, 15 all’arancia e 7 al cedro, quel giorno la “moda” per le granite è stata “arancia”,
senza che ovviamente si potesse parlare né di media aritmetica né di mediana.
42
UN’ESERCITAZIONE COL FOGLIO ELETTRONICO: MEDIE, CONTEGGI, ISTOGRAMMA
I pesi in kg dei 240 maschi maggiorenni di un villaggio sul fiume Yukon, in Alaska,
sono stati registrati in un foglio elettronico.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
B
70,0
78,6
69,9
83,8
83,6
95,4
82,1
79,8
86,6
89,9
84,5
98,0
81,9
93,1
85,2
80,5
69,1
87,2
75,0
77,9
77,7
89,4
71,2
76,3
84,4
75,6
85,2
76,3
96,5
80,2
C
D
E
F
80,7 83,9 72,7 82,8
93,2 69,4 76,2 61,9
83,2 110,8 99,1 80,4
68,7 87,8 112,2 68,6
70,2 101,9 87,0 88,9
70,4 73,8 91,7 83,6
71,1 81,6 89,2 63,5
76,0 70,9 114,7 99,2
66,6 76,2 92,1 98,4
72,9 75,9 119,2 75,4
56,7 77,5 93,0 101,9
64,9 80,9 98,4 103,5
67,2 68,0 96,2 78,4
73,7 90,9 56,8 69,1
80,6 83,5 74,5 57,0
G
H
83,6
101,8
85,6
73,7
71,0
89,4
90,0
78,8
78,4
89,2
80,3
75,1
90,8
92,2
88,0
69,5
104,3
73,4
64,5
81,5
57,4
76,9
90,0
79,2
76,1
67,0
82,7
79,6
73,4
71,6
I
J
K
L
M
N
O
P
73,8 78,6 73,1 101,2 60,6 80,4 76,4 76,5
88,8 75,8 77,7 94,7 67,4 79,9 77,5 86,9
94,9 72,5 74,3 75,3 61,6 102,9 83,1 99,4
83,3 85,3 68,2 88,5 57,8 65,9 80,9 70,4
96,0 70,8 86,3 72,8 71,8 68,5 73,9 86,1
81,2 94,6 77,5 72,5 63,2 109,4 79,5 57,8
90,9 93,7 76,2 63,7 62,3 84,9 71,7 101,8
63,6 65,2 75,8 98,1 69,3 106,5 80,4 106,3
67,5 101,2 71,6 76,3 61,8 99,5 81,2 103,3
68,6 69,1 72,6 88,3 89,8 53,8 86,6 90,5
72,2 109,7 80,2 78,4 82,3 66,1 85,1 70,5
59,6 66,2 79,8 99,3 91,3 72,2 93,7 97,8
67,1 71,1 80,3 67,7 91,9 77,3 84,0 60,9
60,4 90,8 81,5 70,1 81,5 76,0 72,7 91,2
72,9 77,8 75,0 90,4 98,0 105,6 68,7 84,7
a) Determinare il peso minimo e il peso massimo
b) determinare media e mediana dei pesi
c) contare il numero di persone il cui peso rientra nella fascia da 50 kg a 60 kg (esclusi),
da 60 a 70, ecc., e tracciare un istogramma;
d) determinare la media dei pesi suddivisi in “classi”, assegnando a ogni classe
il peso centrale fra i suoi due estremi, e ricalcolare la media per confrontarla con la media reale.
a) Possiamo posizionarci in una cella libera qualsiasi, ad esempio la A18, e digitare
= min(A1 : P15)
B Osserviamo che dopo aver digitato = min(
E se clicchiamo sulla cella A1 il foglio inserirà automaticamente nella formula il riferimento ad A1.
L
L A questo punto digiteremo i “due punti”: dopodiché potremo cliccare su P15 e infine chiudere la parentesi.
O Comoda alternativa: si può digitare = min( poi TRASCINARE il mouse sul rettangolo da A1 a P15.
L’effetto finale, in A18, sarà
Allo stesso modo, in B18 inseriremo la formula
= max(A1 : P15)
ottenendo
Naturalmente, sarà opportuno inserire in celle
adiacenti, stringhe adeguate che ci aiutino a
ricordare il significato dei numeri ottenuti: ad es.
b) Digitiamo, ad esempio in C18 e in D18, le formule
= media(A1 : P15)
e rispettivamente
= m ediana(A1 : P15) …
… nonché, in C19 e D19, le stringhe opportune,
con l’effetto seguente:
c) Digitiamo in E18:
= conta.se(A1 : P15;" >= 50") − conta.se(A1 : P15;" >= 60")
e ci comparirà così, in E18, il numero di dati compresi fra 50 (incluso) e 60 (escluso):
Procediamo in modo analogo sulle celle F18, G 18 … fino a K18:
43
Ora possiamo selezionare, trascinando col mouse, il rettangolo di celle E17:K18
… cliccare su
e, con qualche passaggio molto intuitivo, ottenere finalmente l’istogramma:
d) Digitiamo, accanto alle frequenze delle classi, il “valore centrale” della classe …
… e avviamoci ora a calcolare una MEDIA PONDERATA. In E20 inseriremo la formula
= E18 * E19
che poi incolleremo, trascinando il quadratino in basso a destra della cella, sulle celle limitrofe F20 … K20
Ora in L18 e in L20 calcoliamo la somma delle frequenze assolute e, risp., la somma dei prodotti …
… per terminare in bellezza con la formula,
inserita in L21:
= L20 / L18
che ci dà la “MEDIA PER CLASSI”,
molto vicina, come possiamo osservare,
alla vera media
precedentemente determinata.
44
9. GLI INDICI DI DISPERSIONE
Ritorniamo alla congettura del professor Curiosi (pagina 2) riguardo alle sue nuove classi I A e I B.
Il professore aveva avuto l’impressione, da una iniziale sommaria conoscenza,
che in una di esse gli studenti fossero “meno omogenei nella preparazione”:
che ci fosse, insomma, un gruppo abbastanza nutrito di allievi molto bravi e un altro gruppo sostanzioso di scarsi.
Nell’altra classe la situazione gli era sembrata diversa, più equilibrata.
Dopodiché il professore aveva somministrato alle due classi il medesimo test di ingresso,
che aveva fatto registrare i punteggi seguenti (M = media):
IA
51 62 42 58 60 68 61 68 64 70 71 60 51 62 41 51 36 47 58 73 37 54 63 65 ( M ≈ 57,2 )
IB
45 48 51 63 51 60 29 52 47 41 52 50 56 62 57 70 55 64 59 55 67
( M = 54 )
Ci domandiamo ora:
esisterà un indicatore statistico adeguato a valutare se il test effettuato conferma l’impressione iniziale?
Un primo indicatore di “dispersione” ( = di “sparpagliamento” dei dati) potrebbe essere
la differenza fra il dato massimo e il dato minimo in ciascuna delle due classi.
Vediamo che
• per la I A questa differenza, detta in statistica “campo di variabilità”, vale 73 − 36 = 37
• mentre in I B vale 70 − 29 = 41 .
campo di variabilità = dato massimo − dato minimo = xMAX − xmin
A giudicare dal “campo di variabilità”, sembrerebbero quindi più disomogenee le prestazioni della I B …
… tuttavia, va osservato che il “campo di variabilità” tiene conto di DUE SOLI valori (quelli estremi)
mentre non risente per nulla di tutti i valori intermedi … la presenza, nella classe, anche di un singolo
caso isolato di alunno molto bravo o molto poco preparato potrebbe allora condizionarlo pesantemente.
Le prestazioni della “massa” degli allievi non influiscono in alcun modo sul calcolo di questo indicatore!
Riflettiamo. Quello che veramente ci interessa è di investigare
in quale delle due classi i valori “sono mediamente più lontani dalla media aritmetica”.
Potremmo allora pensare, per ciascuna classe, di elencare tutti gli “scarti dalla media”.
51
IA
M ≈ 57,2 Scarti −6,2
62
+4,8
42
−15,2
58
+0,8
…
…
45
48
51
63
…
Scarti −9
+9
…
−6
−3
Questo sarebbe un buon inizio, ma poi?
Se ora andassimo a calcolare la media aritmetica di questi scarti, per entrambe le classi otterremmo 0!
E certo! Come sappiamo, infatti, la somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è sempre 0.
IB
M = 54
Sorge allora l’idea di calcolare la media aritmetica … non degli scarti, ma del VALORE ASSOLUTO di questi.
Tale media si dice “scarto medio” o (più correttamente) “scarto assoluto medio”.
scarto medio = media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla media aritmetica =
x − M + x2 − M + ... + xn − M
= 1
(è più corretto dire :" scarto assoluto medio")
n
Così facendo, otteniamo (verificalo con un foglio elettronico!) scarto(IA) ≈ 8,74; scarto(IB) ≈ 7,05 .
Vediamo di trarre qualche conclusione.
Per la I A, abbiamo ottenuto campo di variabilità (IA) = 37 ; scarto assoluto medio (IA) ≈ 8,74
e per la I B campo di variabilità (IB) = 41 ; scarto assoluto medio (IB) ≈ 7,05
♪ La I A ha uno scarto assoluto medio maggiore:
i punteggi sono mediamente più lontani, in questa classe, dalla media aritmetica della classe,
segno della presenza “importante” di fasce di allievi che si allontanano alquanto dalla media
♫ D’altra parte, il campo di variabilità è maggiore per la I B:
di ciò è responsabile il povero alunno che, purtroppo, ha conseguito un punteggio bassissimo (29 punti).
Anziché fare la media dei valori assoluti degli scarti,
avremmo potuto anche elevare ciascuno scarto al quadrato, ottenendo così un valore certamente positivo,
per poi fare la media aritmetica dei QUADRATI degli scarti (detta “varianza”).
45
varianza = media aritmetica dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica =
2
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )
=
n
varianza (IA) ≈ 109,8 ; varianza (IB) ≈ 83,2
In questo modo avremmo avuto
Varianza maggiore comporta maggiore dispersione dei dati rispetto alla media della popolazione:
la varianza, in accordo con lo scarto assoluto medio, indica dunque nella I A la classe più disomogenea.
Son pronto a scommettere che la “varianza” ti appare d’istinto più “antipatica” rispetto allo “scarto assoluto medio”,
che a prima vista sembra assai più semplice e più “spontaneo” da usare, come indice di dispersione.
Tuttavia, ti segnalo che nella pratica si preferisce invece utilizzare la “varianza”, e ancora di più
la sua radice quadrata che è chiamata “scarto quadratico medio”, anziché lo “scarto assoluto medio”.
I motivi per cui la “varianza” ha un rilievo speciale in statistica sono parecchi.
Qui ci limitiamo a citarne soltanto due.
1) La varianza
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
n
è legata alla media aritmetica in modo assai peculiare.
Infatti si può dimostrare che essa è sempre inferiore a qualsivoglia analoga quantità
( x1 − a )2 + ( x2 − a )2 + ... + ( xn − a )
2
nella quale gli scarti vengano calcolati,
n
invece che rispetto alla media aritmetica M, rispetto ad un altro qualsiasi valore a.
Lo “scarto assoluto medio” dal canto suo si ricollega piuttosto ad un altro indice di posizione centrale:
x − a + x2 − a + ... + xn − a
la mediana. In effetti la quantità 1
è minima (come si potrebbe dimostrare)
n
quando il valore a è la mediana, NON la media aritmetica dei dati x1 , x2 , ... , xn .
2) La varianza è il quadrato dello “scarto quadratico medio”, di cui andiamo a parlare qui di seguito,
e lo “scarto quadratico medio” ha un’importanza colossale in svariate questioni,
come la teoria degli errori di misura.
Lo “scarto quadratico medio” o “deviazione standard” è la radice quadrata della varianza:
scarto quadratico medio o deviazione standard = radice quadrata della varianza =
=
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )
n
2
= media quadratica degli scarti
Lo scarto quadratico medio viene generalmente indicato con σ (“sigma”), e la varianza con σ 2 .
Nell’esempio precedentemente considerato dei punteggi delle due classi I A e I B, si ha:
σ 2 (I A) =
σ 2 (I B) =
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2 ( 51 − 57,2)2 + ( 62 − 57,2)2 + ... + ( 65 − 57,2)2
≈
≈ 109,8
( x1 − M )
2
n
24
2
2
2
2
2
+ ( x2 − M ) + ... + ( xn − M )
45 − 54 ) + ( 48 − 54 ) + ... + ( 67 − 54 )
(
=
≈ 83,2
n
21
da cui σ (I A) = σ 2 (I A) ≈ 10,5; σ (I B) = σ 2 (I B) ≈ 9,1
Se i dati provengono da una tabella con le frequenze, evidentemente sarà, dette fi le frequenze (assolute):
σ=
( x1 − M )2 f1 + ( x2 − M )2 f 2 + ... + ( x p − M )
2
fp
f1 + f 2 + ... + f p
Le ragioni per cui lo scarto quadratico medio è preferito alla varianza sono sostanzialmente due.
1) La prima è che, se i dati sono, ad esempio, dei metri, la “varianza” sarebbe espressa in “metri quadrati”,
e lo scarto quadratico medio invece ancora in metri. Insomma,
lo scarto quadratico medio ha il pregio di avere la stessa unità di misura dei dati dei quali proviene.
2) La seconda ragione è il ruolo cruciale dello scarto quadratico medio nella cosiddetta “gaussiana”,
alla quale accenneremo parlando, più avanti, di “errori di misura”.
46
Per il calcolo dello scarto quadratico medio, anziché la formula σ =
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
n
si può anche utilizzare una formula equivalente, più comoda, che è σ =
,
x12 + x2 2 + ... + xn 2
−M2 .
n
Per confrontare due distribuzioni in quanto alla loro “variabilità”, alla loro “dispersione”,
si utilizza un indice che è detto “coefficiente di variazione” (di solito espresso come percentuale,
non calcolabile se la media dei dati è 0, e comunque poco significativo quando la media dei dati è vicina a 0):
coefficiente di variazione =
scarto quadratico medio σ
=
media aritmetica
M
NOTA - Il coefficiente di variazione, essendo il rapporto fra due quantità, σ e M , che sono espresse
nella stessa unità di misura, è un numero puro, senza unità di misura (si dice che è “adimensionale”).
Ad esempio, se si vanno a misurare i pesi dei bambini nati in un certo periodo in un grande ospedale,
e simultaneamente i pesi delle loro mamme, si osserverà certamente una deviazione standard molto inferiore
nell’insieme dei bambini … Per forza! Infatti i bambini appena nati pesano soltanto due-tre o quattro chili …
quindi anche gli scarti dalla media dei loro pesi saranno piccolini!!! Volendo confrontare le due “variabilità”
(quella dei pesi dei neonati con quella dei pesi delle mamme) si farà ricorso allora al coeff. di variazione.
RIASSUNTO SCHEMATICO (INDICI DI DISPERSIONE)
Indicatori di “DISPERSIONE” o di “VARIABILITÀ”: ci dicono
QUANTO, GLOBALMENTE, I DATI SONO LONTANI DALLA LORO MEDIA ARITMETICA M.
Ogni indicatore di dispersione ha la proprietà di essere maggiore
quando i dati si allontanano maggiormente, nel loro complesso, dalla centralità.
CAMPO DI VARIABILITA' =
= dato massimo − dato minimo =
= xMAX − xmin
SCARTO MEDIO = SCARTO ASSOLUTO MEDIO =
= m. aritm. dei val. ass. degli scarti dalla m. aritm. =
x − M + x2 − M + ... + xn − M
= 1
n
VARIANZA =
= σ 2 = m. aritm. dei quadr. degli scarti dalla m. aritm. =
2
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )
=
n
SCARTO QUADR. MEDIO o DEVIAZ. STANDARD =
= σ = radice quadrata della varianza =
=
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
n
= media quadratica degli scarti
=
x 2 + x2 2 + ... + xn 2
Comodissima
= 1
−M2
σ
formula alternativa:
n
COEFF. DI VARIAZ. =
scarto quadratico medio σ
=
media aritmetica
M
E’ un indicatore piuttosto “grezzo”,
perché dipende esclusivamente
dai due valori estremi
ignorando quelli intermedi
EXCEL,
OPENOFFICE:
Sarebbe minimo qualora
al posto della media M
ci fosse, nella formula,
la mediana
EXCEL,
OPENOFFICE:
Ha il difetto
di non essere espressa
nella stessa unità di misura
dei dati
E’ l’indicatore di dispersione
più utilizzato in statistica;
è espresso nella stessa
unità di misura dei dati,
e ha un’importanza decisiva
nella teoria degli errori di misura,
e, in generale, nelle distribuzioni
che tendono a identificarsi
con la cosiddetta “gaussiana”
MAX()−MIN()
MEDIA.DEV()
EXCEL,
OPENOFFICE:
VAR.POP()
(NOTA)
EXCEL,
OPENOFFICE:
DEV.ST.POP()
(NOTA)
E’ un numero puro, senza unità di misura, ottimo
per confrontare fra loro distribuzioni differenti.
NOTA su alcune funzioni statistiche nel foglio elettronico
VAR.POP =
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
, VAR =
n
n −1
VAR è dunque, per il foglio elettronico, la cosiddetta “varianza corretta”, ossia un indicatore statistico
che, calcolato su di un campione, permette di stimare meglio la varianza incognita dell’intera popolazione.
La “varianza corretta” e l’analoga “deviazione standard corretta” si utilizzano quindi in statistica inferenziale …
questo tuttavia è un discorso che, se affrontato seriamente, presenta grande interesse ma anche una certa difficoltà.
47
TM
TF
BM
BF
96,3
96,7
96,9
97
97,1
97,1
97,1
97,2
97,3
97,4
97,4
97,4
97,4
97,5
97,5
97,6
97,6
97,6
97,7
97,8
97,8
97,8
97,8
97,9
97,9
98
98
98
98
98
98
98,1
98,1
98,2
98,2
98,2
98,2
98,3
98,3
98,4
98,4
98,4
98,4
98,5
98,5
98,6
98,6
98,6
98,6
98,6
98,6
98,7
98,7
98,8
98,8
98,8
98,9
99
99
99
99,1
99,2
99,3
99,4
99,5
96,4
96,7
96,8
97,2
97,2
97,4
97,6
97,7
97,7
97,8
97,8
97,8
97,9
97,9
97,9
98
98
98
98
98
98,1
98,2
98,2
98,2
98,2
98,2
98,2
98,3
98,3
98,3
98,4
98,4
98,4
98,4
98,4
98,5
98,6
98,6
98,6
98,6
98,7
98,7
98,7
98,7
98,7
98,7
98,8
98,8
98,8
98,8
98,8
98,8
98,8
98,9
99
99
99,1
99,1
99,2
99,2
99,3
99,4
99,9
100
100,8
58
63
64
64
64
65
66
66
67
67
68
68
68
69
69
70
70
70
70
70
70
71
71
71
71
71
72
72
72
72
73
73
73
73
73
74
74
74
74
75
75
75
75
76
77
77
78
78
78
78
78
78
78
79
80
80
81
81
82
82
82
83
83
84
86
57
57
59
61
61
62
62
64
64
64
65
65
66
66
68
68
68
69
69
69
69
70
71
72
73
73
73
73
73
74
74
75
76
76
77
77
77
77
77
78
78
78
79
79
79
79
79
79
80
80
81
81
81
82
82
83
83
84
84
84
85
86
87
89
89
I dati qui a sinistra sono tratti dal
Journal of the American Medical Association, vol. 268.
Di 130 soggetti, 65 uomini e 65 donne,
rappresentanti un campione casuale della popolazione locale,
sono stati misurati
la temperatura corporea, in gradi Fahrenheit,
e il numero di battiti cardiaci al minuto.
Utilizza un foglio elettronico per calcolare, di ciascuna colonna,
la media
lo scarto quadratico medio o deviazione standard
lo scarto quadratico medio “corretto”
il coefficiente di variazione
(prendi lo sc. q. m. “non corretto” per determinarlo)
Le risposte sono qui in fondo alla pagina, capovolte,
ma tu guardale solo alla fine!
Per trovare altri gruppi di dati reali “grezzi” su cui lavorare,
puoi ad esempio consultare le pagine web
http://www.amstat.org/publications/jse/jse_data_archive.htm
e
http://www2.stetson.edu/~jrasp/data.htm
LA STATISTICA di Trilussa
Sai ched'è la statistica? È 'na cosa
che serve pe' fa' un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.
Ma pe' me la statistica curiosa
è dove c'entra la percentuale,
pe' via che, lì, la media è sempre eguale
puro co' la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d'adesso
risurta che te tocca un pollo all'anno:
e, se nun entra ne le spese tue,
t'entra ne la statistica lo stesso
perchè c'è un antro che ne magna due.
In tutti i casi seguenti
c’è chi mangia 0 polli e chi ne mangia di più:
secondo te, quali situazioni sono
più equilibrate, meno ingiuste?
Prova a calcolare media,
scarto quadratico medio,
coefficiente di variazione …
2 persone:
3 persone:
5 persone:
6 persone:
4 persone:
6 persone:
3 persone:
5 persone:
0 polli, 2 polli
012
01112
001122
0004
000114
024
03336
48
10. - ESERCIZI
Sugli INDICI DI POSIZIONE
(risposte a pag. 71)
A) MEDIA ARITMETICA, MEDIANA, MODA
1) I voti di una verifica sono stati i seguenti. Quanto valgono la media, la moda e la mediana?
7
7,5 8,5 5,5
6
8
7,5 6,5 5,5
8
4
8,5
9
6
4
6,5 6,5 7,5
9
5
4,5
7
2) “Ti ricordi quante erano mediamente le tue ore di studio pomeridiane, l’anno scorso”?
Fu fatta questa domanda a un gruppo di alunni di Prima Liceo, ed essi risposero così:
1
0,5
2
3
1,5
3
3
2
1
1
1,5
3
2,5
1,5
3
2
1
2
1,5
4
1
1,5 2,5
2
0,5
3
Determina media aritmetica, mediana e moda di questi dati.
2
1,5
1,5
2
1,5
3) L’altezza media di 5 pallavoliste professioniste è di m 1,78. Quanto dovrebbe essere alta,
al minimo, una sesta atleta, per far sì che la media raggiunga almeno metri 1,80?
4) Immaginiamo di suddividere un insieme di dati in due parti.
La media (aritmetica) generale coinciderà con la media delle due medie? Tu cosa ne dici?
5) Se in una regione un certo partito ha avuto il 26% dei consensi fra gli aventi diritto al voto
e nella regione limitrofa solo il 16%, riunendo insieme le due regioni che percentuale si otterrebbe?
6) Aldo e Bruno si sono allenati sullo stesso percorso podistico.
Aldo, tutti i giorni feriali della settimana;
Bruno un giorno in meno perché ha perso,
per un impegno, un allenamento.
I tempi di percorrenza sono stati quelli in tabella.
Aldo ha dunque fatto il “record” con 24' 19" .
E riguardo alle medie delle prestazioni, chi è stato il più veloce?
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
Aldo
25' 54"
24' 45"
25' 58"
26' 24"
24' 19"
Bruno
26' 04"
25' 55"
24' 35"
25' 18"
B) MEDIA ARITMETICA PER CLASSI
7) Numero di giorni in cui un libro è stato trattenuto in prestito dagli utenti di una biblioteca scolastica.
7
13
15
12
4
9
10
7
21
9
11
15
9
14
5
10
23
5
28
14
18
16
12
18
15
19
14
21
13
22
22
3
19
16
20
19
7
7
15
26
18
15
12
17
18
12
a) Calcola la media
b) Ricalcola la media dopo aver raggruppato i dati in intervalli (“classi di frequenza”) di 7 giorni
(da 1 a 7; da 8 a 14; da 15 a 21; da 22 a 28 giorni).
Ricorda che, quando i dati sono suddivisi in classi, il valore che si attribuisce a ciascuna classe
è la semisomma degli estremi dell’intervallo. Nel nostro esempio, la classe “da 1 a 7 ” ha frequenza 8
(se fai il conteggio, vedrai che sono 8 gli utenti che hanno trattenuto il libro da 1 a 7 giorni); bene, allora
nel calcolo della media per classi si moltiplicherà per 8 il valore centrale della classe ossia (1+7)/2=4.
La media per classi trovata differisce di molto dalla media “normale”?
8) Ecco qui di seguito la spesa registrata da una delle casse di un supermercato per 100 persone consecutive.
13,65
83,20
12,45
7,05
123,40
22,10
75,25
32,15
95,50
135,45
67,25
31,20
14,70
68,80
72,15
25,50
151,15
39,80
48,45
35,50
19,95
64,10
84,15
30,95
22,85
36,70
61,85
14,40
23,55
82,15
23,60
35,90
41,10
52,80
7,65
23,30
129,25
57,15
18,10
97,25
32,10
45,45
59,65
34,45
47,10
22,50
33,90
97,05
24,55
149,60
19,95
42,50
76,20
84,15
24,5
32,45
23,20
60,35
43,80
25,55
28,10
39,10
45,50
71,05
30,90
28,15
16,25
77,10
36,35
42,15
254,50
100,90
93,15
27,75
9,90
38,45
26,50
20,95
30,40
55,00
36,10
28,90
73,85
48,70
98,95
29,40
35,15
44,20
36,30
22,55
19,95
20,75
66,80
51,05
34,70
40,80
46,05
63,25
89,10
33,80
Con un foglio elettronico:
a) individua la spesa minima e la massima b) calcola la spesa media individuale
c) ordina i dati d) suddividi i dati in classi la cui ampiezza sia 10 euro
e) ricalcola la media “per classi” (si conta il numero di clienti la cui spesa rientra in una data classe,
e si attribuisce come spesa a ciascuno di quei clienti il valore centrale della classe).
La media “esatta” e la media “per classi” così determinate differiscono di molto?
49
Prezzo (in euro)
8, 00 ≤ p < 8, 50
8, 50 ≤ p < 9, 00
9, 00 ≤ p < 9, 50
9, 50 ≤ p < 10, 00
10, 00 ≤ p < 10, 50
10, 50 ≤ p < 11, 00
11, 00 ≤ p < 11, 50
9) I prezzi di un articolo, rilevati in un gruppo di 72
esercizi commerciali italiani, sono stati quelli
riportati nella tabella qui a fianco.
Se ti viene richiesta la media dei prezzi
in questo insieme di negozi,
sei in grado di calcolarla?
Numero punti vendita
2
5
15
24
18
7
1
C) MEDIA ARITMETICA PONDERATA (NELLE DUE INTERPRETAZIONI)
10) I genitori modificano la paghetta settimanale del figlio a seconda del comportamento, e dei voti a scuola.
L’anno passato il ragazzo ha avuto: per 25 settimane 20 euro a settimana, per 18 settimane 10 euro
e per le rimanenti 9 settimane … 0 euro.
Quale è stata la paghetta settimanale media?
11) In occasione del pensionamento di un collega, viene fatta una colletta per acquistare un regalo
e 5 partecipanti donano 20 euro ciascuno, 18 contribuiscono con 10 euro, i rimanenti 23 ci mettono 5 euro.
Calcola media, mediana e moda delle offerte.
13) Un grosso complesso residenziale
ha appartamenti
di varia conformazione.
La tabella indica quanti
fra gli appartamenti
hanno n vani.
Determina la media, la mediana,
la moda del numero di vani.
12) In una colonia estiva i ragazzi hanno le età in tabella.
Età
10
11
12
13
Numero ragazzi
25
28
31
18
Qual è l’età media? L’età mediana? La moda delle età?
4
15
25
20
5
2
n
2
3
4
5
6
7
14) a) Una giovane insegnante con poca esperienza decide di assegnare un punteggio da 0 a 10 a ciascuna
delle 5 parti A, B, C, D, E in cui si articola una prova scritta. Corregge i primi 3 elaborati e annota
i vari giudizi parziali in una griglia, ripromettendosi poi di fare la media su ogni riga:
Studente
Paolo
Serena
Martina
A
8
7
8
B
7
8
9
C
7
8
9
D
7
8
6
E
8
9
7
Le tre correzioni effettuate, però, inducono la professoressa ad un ripensamento, perché
fanno emergere con chiarezza che non sarebbe corretto considerare i 5 quesiti equivalenti fra loro:
alcuni infatti risultano essere ben più impegnativi di altri.
Decide allora di “pesare” in modo diverso le differenti sezioni, e attribuisce i pesi in questo modo:
Parte
A
B
C
D
E
Peso
1
1,5
0,8
2
0,5
Come verranno valutati dunque Paolo, Serena e Martina,
se quello che si vuole è un voto finale da 0 a 10?
E se si desidera un voto finale dal 2 al 10?
b) Realizza un foglio elettronico in cui un insegnante possa inserire, per una verifica con 5 esercizi:
il punteggio (da 0 a puntmax) acquisito in ciascun esercizio; il “peso” attribuito a ogni esercizio;
il voto minimo e il voto massimo previsti. Chiaramente, ne dovrà uscire il voto assegnato.
15) Una ditta che vuole assumere tecnici specializzati
valuta per ciascun candidato: il curriculum iniziale;
gli esiti di un esame scritto; gli esiti di un colloquio orale.
I punteggi sono in decimi; tuttavia, si è deciso di assegnare
peso 1,5 all’esame scritto, ritenuto più indicativo degli
altri due elementi di giudizio, mentre sia al curriculum
che all’esame orale verrà attribuito peso 1.
Ciò premesso, con un foglio elettronico determina le medie
ponderate degli 8 candidati. Qual è la minima fra queste?
Candidato Curriculum Scritto
A
5
7
B
4
6
C
7
5
D
2
8
E
8
7
F
4
6
G
3
5
H
7
9
Orale
7
8
5
9
8
6
4
8
50
D) ALTRI ESERCIZI SU MEDIA ARITMETICA, MEDIANA E MODA
16) Nella classe Seconda A, che ha 22 allievi, la media dei punteggi di un test è stata 7,25.
Nella Seconda B gli allievi sono 28 e la media dei punteggi dello stesso test è risultata essere 7,8.
E’ possibile, con questi dati, calcolare esattamente la media complessiva, ossia la media dei punteggi
ottenibili mettendo insieme in un unico gruppo tutti gli studenti di entrambe le classi?
17) Una squadra di basket, con 10 giocatori fra titolari e riserve, ha la sua brava distribuzione di altezze.
Se il giocatore più alto (m 1,98) viene venduto ad un’altra squadra e il suo posto viene preso
da un giocatore alto addirittura m 2,04, cambieranno media aritmetica e mediana delle altezze?
Supponendo di suddividere le altezze in intervalli di 5 cm, cambierà la classe modale?
18) Al termine della frequentazione di una scuola privata, viene rilasciato un diploma
comprensivo di valutazione finale che può essere un numero intero da 6 a 10.
Se nella storia di quell’istituto scolastico fino ad oggi il 20% dei diplomati è uscito col 6, il 40% col 7,
il 22% con l’8, il 12% col 9 e il 6% col 10, quale è stata la media di tutti i voti?
19) Con gli esiti del “questionario del curiosone” (pag. 8), calcola la media dei dati, laddove abbia significato,
ossia per 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7), 11), 12), 13), 15).
Per 1), ripeti poi il calcolo della media suddividendo le altezze in intervalli (“classi”) di 3 cm
e assumendo come valore, per ogni classe, il “punto di mezzo” di quella classe.
Ad esempio, se una delle classi è formata dalle altezze di cm 170-171-172,
e gli alunni di questa fascia sono 5 con altezze date da 170, 170, 171, 171, 172,
allora il valore centrale è 171 e nella media generale, anziché la somma 170+170+171+171+172,
a numeratore comparirà 171 moltiplicato per 5.
Confronta il valore così ottenuto con la media calcolata precedentemente.
20) Con gli esiti del “questionario del curiosone”, calcola la mediana dei dati, laddove abbia significato,
ossia per 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7), 10), 11), 12), 13), 15)
21) Con gli esiti del “questionario del curiosone”, calcola la moda dei dati, laddove abbia significato,
ossia per 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7), 8), 9), 10), 11), 12), 13), 14), 15).
Per 1), 2) e pure 3), 5), 7), 13), 15), prima di determinare la moda converrà suddividere i dati in intervalli,
o “classi” (esempio: le altezze in intervalli di 2-3 cm, il n° di amici su Facebook in intervalli di 100 … )
22) Una gara ciclistica per dilettanti in 3 tappe è stata vinta
da un atleta che ha fatto registrare i tempi riportati in tabella.
Quale è stata la velocità media dell’atleta nell’intera gara?
23) L’istogramma qui a destra (tracciato con OpenOffice Calc)
è relativo a un gruppo di ingegneri laureatisi a diverse età.
Prima tappa
Seconda tappa
Terza tappa
km
155
94,5
147
tempo
4h 42' 27''
2h 45' 08''
4h 01' 45''
→
Quali sono la media, la mediana e la moda della distribuzione?
24) Con riferimento ai dati, già precedentemente considerati,
e che qui sotto riportiamo,
delle velocità di 60 auto controllate dalla Polizia, si domanda
quali sono la media, la mediana e la moda della distribuzione.
Supponiamo ora di suddividere i dati in classi:
da 45 km/h a 49 estremi inclusi, da 50 a 54, …
Quali sarebbero la moda ( = classe modale),
la classe mediana e la media per classi in questo caso?
57 61 52 48 68 48 55 56 72 49 50 55
54 61 58 63 64 61 47 52 53 59 48 54
56 60 51 51 50 78 67 61 58 55 59 53
62 54 49 45 56 60 51 52 60 54 55 51
48 57 56 55 58 53 59 70 74 64 81 52
Traccia (col foglio elettronico) l’istogramma dei dati suddivisi in classi.
25) Cosa ti aspetti facendo la media degli esiti di tanti lanci di un dado? Lanciane effettivamente uno,
almeno 50-100 volte (può essere un “lavoro di gruppo” … fossero tutti così, i lavori … ☺ )
51
27) Andiamo
a riprendere
i dati registrati
dall’insegnante
di Educazione
Fisica riguardo
alle distanze
saltate in lungo
dai giovani
allievi.
Quali sono
la media,
la mediana
e la moda della
distribuzione?
26) A un gruppo di residenti
in un piccolo paese
è stato chiesto di esprimere
con un punteggio da 1 a 5
il proprio gradimento
per la giunta comunale.
Le risposte si sono ripartite
come illustrato
dall’istogramma
qui a sinistra.
Determina media, mediana
e moda della distribuzione.
28) La tabella sottostante, tratta da Regards sur l'éducation 2008: Les indicateurs de l'OCDE
e relativa però a dati del 2006, mostra un indicatore della preparazione scientifica
posseduta dagli studenti dei paesi aderenti all’organizzazione.
Con un foglio elettronico, ordina i dati e determinane la media e la mediana.
Fai poi comparire accanto a ciascun dato il suo scarto (positivo o negativo) dalla media.
Calcola la somma di questi scarti: cosa ti aspetti che esca?
Australie
527
Allemagne
516
Luxembourg
486
Espagne
Autriche
511
Grèce
473
Mexique
410
Suède
Belgique
510
Hongrie
504
Pays-Bas
525
Suisse
Canada
534
Islande
491
Nouvelle-Zélande 530
Turquie
Rép. chèque 513
Irlande
508
Norvège
487
Royaume-Uni
Danemark
496
Italie
475
Pologne
498
États-Unis
Finlande
563
Japon
531
Portugal
474
France
495
Corée
522
Rép. slovaque 488
488
503
512
424
515
489
29) Una pasticceria domanda alle famiglie dei suoi 3 dipendenti di assaggiare una nuova torta assegnandole
un giudizio di gradimento da 0 a 5. Si decide però di attribuire peso 3 ai giudizi delle mamme, 2 a quelli
dei figli, 1 a quelli dei papà. Se gli assaggiatori si sono espressi come segue, qual è la media finale?
M
4
P
4
F
5
F
4
M
3
P
3
F
4
F
4
F
4
M
3
P
4
F
5
F
4
30) Famiglie residenti in Italia classificate per numero di componenti
(valori assoluti in migliaia e composizioni percentuali) - Dati ISTAT
Numero di componenti
1961
1971
1981
1
10,6
12,9
17,9
2
19,6
22,0
23,6
3
22,4
22,4
22,1
4
20,4
21,2
21,5
5
12,6
11,8
9,5
6 o più
14,4
9,7
5,4
13747
15981
18632
Totale
1991
20,6
24,7
22,2
21,2
7,9
3,4
19909
2001
24,9
27,1
21,6
19,0
5,8
1,7
21811
Si può calcolare la media dei componenti di una famiglia in un dato anno, poniamo nel 1961?
E il numero approssimativo totale dei residenti in un dato anno, poniamo il 2001?
E) ALTRI TIPI DI MEDIA, OLTRE A QUELLA ARITMETICA
31) Per i seguenti dati determina
I) media aritmetica (senza usare né il computer né la calcolatrice)
II) media geometrica (calcolatrice: estrarre, ad es., la radice quinta, è come elevare all’esponente 1/5= 0,2 )
III) media armonica (col computer: foglio elettronico)
IV) media quadratica (col computer: foglio elettronico)
a)
7
5
1
3
4
b)
1
1
1
2
1
1/ 2
1/ 4
c)
1
52
32) Una scatola a forma di parallelepipedo rettangolo ha dimensioni (in cm) 30 X 40 X 50 .
Che spigolo dovrebbe avere un cubo (quindi: un parallelepipedo rettangolo con le 3 dimensioni uguali),
se si desidera che il suo volume sia uguale a quello della scatola?
A quale quantità da noi studiata corrisponde la lunghezza dello spigolo di questo cubo?
33) Il “quesito di Briatore”
Tempo fa, a un noto VIP italiano, facente parte del mondo della Formula 1, venne posto il seguente quesito:
Qual è la velocità media di un’automobile in un circuito,
se metà dei giri sono coperti a 100 km/h e l’altra metà a 300 Km/h?
La risposta di Briatore fu (sorprendentemente, per alcuni) corretta.
Qual è questa risposta esatta? E come è presumibile che ci sia arrivato il VIP?
34) Considera, in un triangolo ABC rettangolo in A, l’altezza AH relativa
all’ipotenusa e le due proiezioni BH e HC dei cateti sull’ipotenusa.
Il II° Teorema di Euclide afferma che vale la proporzione
BH : AH = AH : HC
Ma da ciò segue allora che AH rappresenta la media ………………
dei due segmenti BH e HC.
E a ben guardare, anche la mediana AM relativa all’ipotenusa
può essere considerata come una media in relazione a BH e HC!
E’ noto infatti che la mediana relativa all’ipotenusa in un triangolo rettangolo è metà dell’ipotenusa stessa;
e ciò significa che la mediana AM rappresenta, dei due segmenti BH e HC, la media .……………………
35) L’esercizio 34) può servire a dimostrare geometricamente che dati due numeri positivi,
la loro media geometrica non può mai essere maggiore della loro media aritmetica ( M G ≤ M ) . Perché?
36) Si può dimostrare che se un angolo
è “inscritto in una semicirconferenza” (vedi figura), allora è di 90°. →
Perciò i triangoli ABP, ABP', ABP'', ... in figura sono tutti rettangoli;
Bene, le coppie di cateti hanno “qualcosa” in comune
che ha a che fare con il discorso “medie”.
Che cosa?
37) Percorro in motorino l’anello di 2500 metri intorno al mio isolato,
tenendo il tachimetro sui 30 km/h al primo giro, sui 35 km/h al secondo e sui 45 km/h al terzo.
Qual è la mia velocità media sui tre giri?
38) Percorro in motorino l’anello che circonda il mio isolato,
tenendo il tachimetro sui 30 km/h per 5 minuti, sui 35 km/h per altri 5' e sui 45 km/h per ulteriori 5' .
Qual è la mia velocità media in questo quarto d’ora?
39) Trova la velocità media nei seguenti due casi:
a) Si procede per ½ ora a 1 km all’ora, per ½ ora a 2 km all’ora e infine per un’altra ½ ora a 6 km all’ora
b) Si procede per ½ km a 1 km all’ora, per ½ km a 2 km all’ora e infine per un’altro ½ km a 6 km all’ora
40) Sono un ciclista dilettante, e mi alleno. Ho pedalato ¾ d’ora ai 24 km/h.
A che velocità dovrei procedere i successivi ¾ d’ora,
se desiderassi ottenere una velocità media complessiva di 27 km/h?
41) Sono un ciclista dilettante, e mi alleno. Ho pedalato 1 quarto d’ora ai 24 km/h.
A che velocità dovrei procedere i successivi ¾ d’ora,
se desiderassi ottenere una velocità media complessiva di 27 km/h?
42) Sono un ciclista dilettante, e mi alleno. Ho percorso 6 km ai 24 km/h. A che velocità dovrei
coprire i 6 km restanti, se desiderassi ottenere una velocità media complessiva di 27 km/h?
43) Sono un ciclista dilettante, e mi alleno. Ho percorso 6 km in 1 quarto d’ora. A che velocità dovrei
coprire i successivi 24 km del tragitto, se desiderassi ottenere una velocità media complessiva di 27 km/h?
44) Un “amico” mi ha persuaso a un investimento col quale ho guadagnato il 3% il 1° anno,
ho guadagnato ancora il 5% il 2° anno (NOTA), e ho perso però poi l’8% il 3° anno .
Qual è la mia situazione finanziaria dopo tutto ciò?
NOTA - Quando si dice “guadagno il p%”, occorrerebbe sempre specificare rispetto a che cosa quel p%
deve essere calcolato. In casi come il nostro, quando ci si riferisce a guadagni o perdite anno dopo anno,
si intende che il p% sia da calcolarsi rispetto alla cifra che si possedeva all’inizio dell’anno in questione.
53
45) Con un foglio elettronico, traccia una “serie storica” che illustri l’evolversi di un capitale di 100 euro,
i cui incrementi annui, in un triennio, siano stati rispettivamente del 3%, del 5% e del −8 % .
46) Se un usuraio, dopo aver prestato 100, richiede 150 dopo 2 anni,
è come se avesse applicato il tasso di interesse medio annuo del … ?
47) Nel giro di 2 anni, per via della crisi di una grande azienda, il valore delle sue azioni è dimezzato.
Quale è stata la diminuzione percentuale media annua?
(Suggerimento: se ogni anno la diminuzione in percentuale fosse sempre stata la medesima,
allora, indicando con x questa percentuale, dopo 1 anno il prezzo iniziale p ce lo saremmo ritrovato
moltiplicato per 1 −
x
, dopo due anni per
100
2
⎛ 1 − x ⎞ , da cui l’equazione … )
⎜ 100 ⎟
⎝
⎠
48) Un’azienda meccanica utilizza una vecchia apparecchiatura M1 in grado di produrre 24 pezzi all’ora.
Questa macchina viene lasciata in funzione per un tempo t1 , fino a che ha prodotto k pezzi.
Successivamente viene spenta e al suo posto ne viene sperimentata un’altra, M 2 , di ultima generazione,
che lavora al ritmo di 40 pezzi all’ora. Questa seconda macchina viene lasciata in funzione per un tempo t 2 ,
fino a che ha prodotto anch’essa k pezzi. Quanti pezzi all’ora dovrebbe produrre una 3a macchina M 3 ,
se si desidera che possa fabbricare k pezzi nella media aritmetica
t1 + t2
dei due tempi t1 e t 2 ?
2
La risposta sta in una delle medie da noi studiate?
E terminiamo con due esercizi davvero molto belli, ma difficili.
Essi richiedono qualche nozione di Geometria che nelle scuole superiori italiane
dovrebbe senz’altro essere acquisita entro il primo biennio
(angoli inscritti in semicirconferenze, teoremi di Euclide o anche solo conoscenza delle Similitudini, ecc.).
Dimostra i seguenti enunciati:
49)
Sia AP = a, PB = b . Tracciamo
la semicirconferenza di diametro AB,
poi per P la perpendicolare al diametro
fino a raggiungere la semicirconferenza in C,
quindi il raggio OC,
la distanza PD di P da OC,
la perpendicolare per il centro O al diametro
fino a raggiungere la semicirconferenza in E,
la congiungente PE.
Allora i segmenti OC, PC, DC, PE
sono altrettante medie fra a e b :
OC = media aritmetica;
PC = media geometrica
DC = media armonica;
PE = media quadratica
50)
In un trapezio le due basi misurano a, b .
Allora quattro segmenti,
ciascuno interno al trapezio
e parallelo alle sue due basi,
rappresentano altrettanti tipi di media fra a e b .
I) Il segmento equidistante dalle due basi
ne rappresenta la media aritmetica
II) Il segmento, che ha la proprietà di dividere
il trapezio in due trapezi simili fra loro,
ne rappresenta la media geometrica
III) Il segmento, che ha la proprietà di dividere
il trapezio in due trapezi aventi ugual area,
ne rappresenta la media quadratica
IV) Il segmento che passa
per il punto di intersezione
delle due diagonali
ne rappresenta la media armonica
E da tutto ciò si può trarre che è sempre
(per a, b positivi):
MQ ≥ M ≥ MG ≥ M A
54
Sugli INDICI DI DISPERSIONE
(risposte a pag. 73)
The eight data points have a mean (or average) value of 5:
Da Wikipedia
l’enciclopedia libera
Consider a population consisting of the following eight values: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
1
(2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) = 5
8
To calculate the population standard deviation,
first compute the difference of each data point from the mean, and square the result:
( 2 - 5 )2 = (-3)2 = 9 ( 4 - 5 )2 = (-1)2 = 1 ( 4 - 5 )2 = (-1)2 = 1 ( 4 - 5 )2 = (-1)2 = 1
( 5 - 5 )2 = 02 = 0 ( 5 - 5 )2 = 02 = 0 ( 7 - 5 )2 = 22 = 4 ( 9 - 5 )2 = 42 = 16
1
Next divide the sum of these values by the number of values
and take the square root to give the standard deviation:
8
1) Per ciascuna delle tre serie di dati riportati in tabella determina:
I) campo di variabilità
II) scarto assoluto medio
III) scarto quadratico medio o deviazione standard,
sia con la formula-base
σ=
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
( 9 +1+1+1+ 0 + 0 + 4 +16 ) = 2
a)
7
5
1
3
4
b)
1
1
1
2
1
c)
1
1
2
1
4
n
che con la formula alternativa σ =
x12 + x22 + ... + xn2
−M2
n
IV) coefficiente di variazione
2) Fra le locuzioni “scarto medio”, “scarto assoluto medio” e “scarto medio assoluto”, quale è più corretta?
3) In un campione di persone appartenenti a una riserva indiana viene misurata la lunghezza della spanna,
e si trova una media di 18,0 cm con una deviazione standard di 0,8 cm mentre misurando la lunghezza
del piede si trova una media di 24,2 cm e una deviazione standard di cm 1,1.
Il grado di “dispersione” delle misure è maggiore per la mano o per il piede?
4) Lavoro di gruppo in laboratorio.
Si raccolgono, in un foglio elettronico,
i numeri di scarpe di tutte le femmine della classe;
si fa lo stesso per tutti i maschi.
Poi si fa in modo che il foglio elettronico calcoli,
per ciascuno dei due insiemi di dati:
la media;
il campo di variabilità;
lo scarto quadratico medio;
il coefficiente di variazione.
Cosa dovrebbe guardare chi desiderasse farsi un’idea se siano più omogenee
le “dimensioni” della parte femminile oppure di quella maschile della classe?
5) La tabella che segue registra il numero di anni di permanenza al trono dei regnanti inglesi
da King Athelstan (924-940) a Queen Elizabeth II (in carica il 30/6/2010, data dell’ultimo aggiornamento).
Le durate sono state disposte in ordine crescente, e i dati arrotondati all’intero più vicino.
1
15
38
1
16
39
1
16
44
2
18
50
2
19
56
3
19
58
4
19
60
4
20
64
4
21
5
21
6
22
6
23
7
24
9
24
9
24
9
25
10
26
12
33
a) Calcola, con un foglio elettronico, la media e lo scarto quadratico medio di questi dati.
b) Successivamente, raggruppa i dati in classi di 3 anni (da 1 a 3; da 4 a 6 …),
determina la frequenza di ciascuna classe e calcola nuovamente la media,
prendendo come valore corrispondente a ogni classe il valore centrale di quest’ultima.
Infine, fai lo stesso per classi di 5 anni (da 1 a 5, da 6 a 10 …).
Le medie così calcolate sono prossime fra loro?
13
35
13
35
13
35
13
38
55
6) Considera i seguenti tre insiemi di dati: A) 7 8 6 6 8
B) 9 7 7 5 7
C) 7 8 7 6 7
Si tratta dei voti di matematica presi da tre diversi studenti nel corso dell’anno scolastico.
Potrai verificare che la media è la medesima;
tuttavia, uno di questi ragazzi è stato, per così dire, più “costante” degli altri nelle sue performance.
Di chi si sta parlando: dello studente A, B o C?
7) Quattro padri e quattro figli, appassionati di atletica,
hanno fatto registrare i tempi seguenti in una corsa campestre:
25', 34', 27' e 29' i padri; 36', 45', 47' e 43' i figli.
Nel complesso, hanno avuto prestazioni più disomogenee i padri o i figli?
8) Una software house dispone di due uffici tecnici, uno a Torino e l’altro a Milano,
cui si rivolgono, tramite Internet, i clienti di tutta Italia per consulenze
riguardo a problemi vari inerenti alla installazione e gestione del software.
E’ interessante analizzare l’insieme di dati costituito dal numero di minuti che sono intercorsi,
nei due uffici, fra l’apertura della email che richiedeva l’intervento e la prima email di risposta
finalizzata alla risoluzione del problema, per un campione di 50 interventi consecutivi.
Ufficio torinese:
10 38 36 10 12 14 45 43 42 16 41 37 13 6 11 39 48 39 44 2 9 15
41 8 10 13 12 42 8 10 38 36 41 39 39 16 8 39 39 42 45 43 7 9
Ufficio milanese:
68 72 68 68 65 25 29 75 30 32 36 17 24 77 32 36 64 67 75 21 75 29
28 76 39 33 38 75 37 37 30 80 32 70 28 25 67 70 30 31 72 71 67 78
Che ipotesi si possono fare sul modo di lavorare delle due squadre di tecnici?
7 14 40
39 44 16
73 67 69
67 64 29
9) La tabella sottostante, tratta da Regards sur l'éducation 2008: les indicateurs de l'OCDE
e relativa però a dati del 2006, mostra un indicatore della preparazione scientifica
posseduta dagli studenti dei paesi aderenti all’organizzazione.
Con un foglio elettronico, determina il campo di variabilità di questi dati
sulle competenze scientifiche degli studenti, senza ordinare i dati medesimi.
Determina pure scarto assoluto medio, varianza, scarto quadratico medio, e coefficiente di variazione.
Calcola altresì lo scarto quadratico medio “corretto”, quello
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
che si ottiene con la formula a fianco e che, per n grande,
è molto prossimo allo scarto quadratico medio “non corretto”.
n −1
Australie
Autriche
Belgique
Canada
Rép. chèque
Danemark
Finlande
France
527
511
510
534
513
496
563
495
Allemagne
Grèce
Hongrie
Islande
Irlande
Italie
Japon
Corée
516
473
504
491
508
475
531
522
Luxembourg
Mexique
Pays-Bas
Nouvelle-Zélande
Norvège
Pologne
Portugal
Rép. slovaque
486
410
525
530
487
498
474
488
Espagne
Suède
Suisse
Turquie
Royaume-Uni
États-Unis
488
503
512
424
515
489
10) E sai a cosa si riferiscono questi dati, tratti dalla stessa fonte di prima?
Al numero medio di ore annue obbligatorie passate a scuola da uno studente di 15 anni (nel 2006).
Australie Autriche
R. tch.
Danemark Angleterre Finlande
France Allemagne
Grèce
968
1005
960
900
760
856
1033
900
1117
Hongrie Islande
Irlande
Italie
Norvège
Portugal Espagne
Suède
Turquie
763
888
802
1089
855
826
979
741
810
Richieste come per l’esercizio precedente.
11) Dimostra che σ =
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( xn − M )2
n
( x1 − a )2 + ( x2 − a )2 + ... + ( xn − a )2
=
x12 + x2 2 + ... + xn 2
− M 2 , nel caso n = 2 .
n
è minima quando a= M =
n
Con un foglio elettronico, verifica questo fatto su di un esempio.
12) La quantità
x1 + x2 + ... + xn
.
n
56
11. GLI ERRORI DI MISURA
Prendi un metro da muratore (di quelli pieghevoli, formati da più aste collegate da cerniere, totale 2 m)
e prova a misurare, al centimetro, la lunghezza del corridoio della tua scuola.
Ripeti l’operazione più volte, segnando sempre su di un taccuino il valore ottenuto.
Certamente non otterrai la stessa misura ad ogni prova:
infatti, nel disporre il metro sul pavimento, ti capiterà di non iniziare esattamente dallo stesso punto,
di riportare il metro non sempre con precisione quando devi spostarlo per ricollocarne un’estremità
nella posizione alla quale eri giunto al passo precedente, di piegarlo leggermente, e così via.
Adesso coraggio, perché ho bisogno che tu faccia TANTE misurazioni, diciamo 100
(sono certo che i tuoi compagni di classe si presteranno a collaborare … ognuno potrebbe fare 4-5 misurazioni).
Ora hai a disposizione 100 numeri.
Può darsi che alcuni di questi numeri coincidano, ma in generale saranno invece un poco diversi fra loro.
Considera il minimo e il massimo valore rilevato, e suddividi l’intervallo [ xmin , xMAX ]
in un certo numero di sottointervalli, diciamo otto-dieci
(in generale, se le misure sono n, si consiglia di far sì che il numero di intervalli non superi n ) :
ad esempio, se la minima e la massima delle misure registrate sono state di m 23,92 e di m 24,11,
avremo 24,11− 23,92 = 0,19 e questo intervallo di metri 0,19 (19 cm) potrà portarci a definire
10 sottointervalli di 2 cm ciascuno: [ 23,92; 23,94), [23,94; 23,96), [23,96; 23,98), ... , [24,10; 24,12) .
Ora, per ciascun sottointervallo, conta la rispettiva “frequenza”,
ossia conta il numero di misure, fra le 100 registrate, che cadono in quel sottointervallo;
traccia, con un foglio elettronico, un istogramma con le classi di misura in orizzontale e le frequenze in verticale.
Potrai osservare che le misure “centrali” della distribuzione saranno in linea di massima più frequenti,
e quelle estreme meno. In effetti, nell’atto pratico della misurazione, si commettono sempre errori “casuali”
talvolta in difetto talvolta in eccesso, e se il numero di misurazioni effettuate diventa alto,
l’istogramma tenderà ad assomigliare a una curva “a campana” detta “gaussiana” (F. Gauss, 1777-1855).
Ecco qui di seguito un “fumetto” di possibili configurazioni dell’istogramma delle frequenze
al crescere del numero n di misure effettuate.
2
1
2πσ 2
La Gaussiana è una curva la cui equazione è nientemeno che y =
x− μ ⎞
− 1 ⎛⎜
σ ⎟⎠ , dove:
2
⎝
e
π = 3,14159... (ben noto); e= 2,71828... (numero di Nepéro);
μ , σ sono due numeri fissi che, nel caso in cui la curva abbia a che fare con il problema da noi esaminato,
ossia quello delle misure ripetute di una quantità (affette da errori “casuali” o “statistici”),
sono interpretabili come rispettivamente la media aritmetica e lo scarto quadratico medio
che si otterrebbero facendo un numero colossale ( = tendente all’infinito) di misure.
Trovi la cosa complicata? In effetti, lo è …
Questi studi richiedono nozioni matematiche più avanzate (la teoria delle “distribuzioni di probabilità”)
e non è facile, in una trattazione di carattere non specialistico,
mantenere il discorso su di un livello che sia nel contempo accessibile e rigoroso …
… ma noi ci proviamo ☺.
Se le misurazioni effettuate, affette da errore casuale, sono tante
(di solito, detto n il numero di misure, “tante” significa perlomeno n > 30 ,
ma alcuni Autori scrivono n > 50 o n > 60 , altri n > 100 … e insomma, più sono, meglio è),
allora l’istogramma delle frequenze tende ad assomigliare ad una gaussiana;
e quanto più tale somiglianza sussiste, tanto più,
x + x2 + ... + xn
detta x la media di queste misure x = MEDIA = 1
n
( x1 − x ) + ( x2 − x )
2
e detto s il loro scarto quadratico medio
sono corrette le affermazioni seguenti:
s = S.Q.M. =
n
2
+ ... + ( xn − x )
2
,
57
a) x è un valore prossimo al vero valore della grandezza in questione, dove per “vero” valore
si intende quello che si otterrebbe come media su di un numero enorme di misure
b) circa il 68% delle misure effettuate rientra nell’intervallo ( x − s, x + s )
circa il 95% delle misure effettuate rientra nell’intervallo ( x − 2s, x + 2s )
circa il 99,7% delle misure effettuate rientra nell’intervallo ( x − 3s, x + 3s )
c) se facessi un’ulteriore misura, questa avrebbe
circa il 68% di probabilità di cadere nell’intervallo ( x − s, x + s )
circa il 95% di probabilità di cadere nell’intervallo ( x − 2s, x + 2s )
circa il 99,7% di probabilità di cadere nell’intervallo ( x − 3s, x + 3s )
Di solito, per misurare una grandezza fisica, si effettua un certo numero n di operazioni di misura,
si calcolano la media x e lo scarto quadratico medio s degli n valori così trovati,
poi si scrive che la grandezza in gioco vale
x±s ,
dove per la piena comprensione di questa scrittura occorre tenere presenti le 3 considerazioni a), b), c).
Torniamo soltanto a ribadire alcuni concetti davvero fondamentali.
Affinché le affermazioni precedenti siano corrette, il numero n delle misure deve essere “GRANDE”…
Inoltre LE AFFERMAZIONI CONTENGONO DEGLI AVVERBI “CIRCA”,
NON SOLO PER IL FATTO CHE I VALORI 68%, 95%, 99,7% SONO TUTTI APPROSSIMATI,
MA SOPRATTUTTO PER IL FATTO CHE
SI STA PENSANDO AD UNA CONFIGURAZIONE PROBABILISTICA IDEALE ALLA QUALE
SI TENDE AD AVVICINARSI (SENZA PERO’ RAGGIUNGERLA) AL CRESCERE DI n .
La veridicità di a), b), c) è tanto maggiore quanto più
x (media delle n misure realmente effettuate)
è prossimo a μ (vero valore della grandezza, media su un numero di misure che tende all’infinito)
e quanto più s (s. q. m. delle n misure realmente effettuate) è prossimo a σ (s. q. m. su “infinite” misure);
ed è all’aumentare del numero delle misure che effettivamente x, s tendono a identificarsi con μ , σ !!!
ESEMPIO
Qui sotto riportiamo 96 misure in mm della larghezza della lavagna di un’aula,
rilevate dai 24 studenti, che hanno effettuato 4 misurazioni ciascuno:
2242
2242
2245
2243
2243
2240
2242
2243
2242
2244
2244
2243
2247
2243
2243
2243
2242
2243
2244
2242
2244
2246
2244
2243
2245
2244
2243
2245
2248
2244
2242
2245
2242
2243
2243
2247
2238
2243
2242
2242
2244
2246
2245
2241
2243
2242
2244
2239
2245
2245
2246
2244
2246
2243
2242
2244
2244
2242
2242
2240
2241
2243
2243
2240
2243
2244
2242
2241
2245
2242
2242
2245
2244
2244
2243
2241
2241
2245
2242
2247
2244
2243
2244
2243
2243
2239
2241
2242
2242
2244
2242
2241
2241
2243
2241
2243
Il calcolo ci dà
media = x = 2243,06...; scarto quadratico medio = s = 1,79...
Se ora andiamo a contare il numero di misure che sono comprese nell’intervallo ( x − s, x + s ) ,
vediamo che tali misure sono 21 + 24 + 18 = 63 .
Bene, 63 è assai prossimo al 68% di 96 (che vale circa 65). [vedi NOTA]
Ecco l’istogramma della distribuzione di frequenza,
che in effetti presenta, pur con irregolarità,
il tipico andamento “a campana”.
NOTA - Per la precisione, quello che abbiamo
inizialmente indicato come il 68%
avrebbe potuto essere meglio approssimato
come 68,3%, e il 95% come 95,4%.
Oppure, si sarebbe potuto scrivere 95% ma
sostituendo il fattore 2 con un più preciso 1,96.
Lo diciamo per scrupolo, e tuttavia insistiamo:
non dobbiamo confondere la configurazione
probabilistica ideale, teorica, alla quale
ci si avvicinerebbe se n tendesse a infinito,
con la situazione reale,
che è approssimata bene,
ma non certo alla perfezione, quando n
comincia ad esser >30, o meglio ancora >100.
58
Un’ultima puntualizzazione.
La Statistica Inferenziale insegna che, per meglio stimare lo scarto quadratico medio σ relativo alle
“infinite” misure, è più giusto calcolare lo scarto quadratico medio s del “campione di n misure”
attraverso la formula “corretta” che si ottiene prendendo come denominatore n − 1 anziché n :
( x1 − x ) + ( x2 − x )
2
scarto quadratico medio "corretto" = s =
2
n−1
+ ... + ( xn − x )
2
=
n
⋅s
n−1
E’ pur vero che quando n è grande, scarto quadratico medio “corretto” e “non corretto”
differiscono di pochissimo; e quando n non è grande, la teoria esposta non vale più!
Già per valori di n dell’ordine di qualche decina, la differenza è assai piccola.
Ad esempio, con n = 30 , il fattore n /(n −1) vale 30/ 29 ≈1,017 che è molto vicino a 1!
In EXCEL e in OPENOFFICE CALC
lo scarto quadratico medio “non corretto” è dev.st.pop() mentre quello “corretto” è dev.st()
APPROFONDIMENTO (NON SEMPLICE): INTERVALLI DI CONFIDENZA, ERRORE STANDARD
In realtà, quando andiamo a calcolare la media x e lo scarto quadratico medio s
sulle n misure che abbiamo effettuato, il nostro interesse è puntato, più che a quelle particolari n misure,
al valore “vero” – che ci è sconosciuto – della grandezza in esame.
Ora, abbiamo già detto che quest’ultimo può essere pensato come
“quel valore μ che si otterrebbe come media su di un numero sterminato di misure”.
Ma fino a che punto possiamo ritenere che la media x da noi calcolata sia prossima al “vero” valore μ ?
La “statistica inferenziale” ci insegna che se noi effettuiamo una serie di n misure,
ed n è grande (certi Autori scrivono n > 30 , altri n > 50 o 60 , altri ancora n > 100 ;
… in realtà … quanto stiamo dicendo tende ad essere tanto più veritiero quanto più n è alto),
allora, determinando per queste n misure la media x e lo scarto quadratico medio s ,
il vero valore μ avrà una probabilità
s
s ⎞
, x+
del 68% circa di rientrare nell’intervallo ⎛⎜ x −
⎟
n
n⎠
⎝
s
s ⎞
, x+2
del 95% circa di rientrare nell’intervallo ⎛⎜ x − 2
⎟
n
n⎠
⎝
s
s ⎞
, x+3
del 99,7% circa di rientrare nell’intervallo ⎛⎜ x − 3
⎟
n
n⎠
⎝
anche se per maggiore precisione concettuale, poiché il “vero valore” è … quello che è, è costante,
mentre a variare è invece l’insieme delle n misure e con esso l’intervallo che ne deriva
(è come se noi “estraessimo a sorte un intervallo, per poi domandarci se comprende o no il valore ‘vero’ ”),
bisognerebbe piuttosto partire “dal punto di vista dell’intervallo”, dicendo che
s
s ⎞
, x+
il 68% circa degli intervalli ⎛⎜ x −
⎟
n
n⎠
⎝
costruiti ciascuno facendo n misure e calcolandone i relativi x e s
contiene al suo interno il “vero” valore (e il 32% circa lo lascia invece al suo esterno)
il 95% circa degli intervalli ecc. ecc.
il 99,7% circa degli intervalli ecc. ecc.
Questi intervalli di cui abbiamo parlato vengono chiamati “INTERVALLI DI CONFIDENZA”.
s
s
Ad es., ⎛⎜ x − 3 , x + 3 ⎞⎟ è un “intervallo di confidenza al 99,7%” per il vero valore della grandezza.
n
n⎠
⎝
Osserviamo l’uso del termine “confidenza” ( = fiducia) al posto di “probabilità”.
σ
viene detta “ERRORE STANDARD DELLA MEDIA” (brevemente: “errore standard”),
n
e, se n è grande, così come x è una buona approssimazione per μ , allo stesso modo s
s
σ
è una buona approssimazione per σ e quindi
è una buona approssimazione per
.
n
n
La quantità
59
Il discorso è intrigante, ma complicato. RICAPITOLIAMO LE PREMESSE E LA SIMBOLOGIA.
Stiamo supponendo di ricercare il valore “vero” di una determinata grandezza, tramite una misura, anzi:
tramite una serie di n misure, di cui faremo poi la media.
μ è il vero valore della grandezza. μ è incognito e viene approssimato con la media x delle n misure realizzate.
Se noi avessimo la possibilità di effettuare un numero grandissimissimissimo di misure,
al tendere all’infinito di questo numero, la media delle misure tenderebbe a μ .
Ma noi per forza di cose ci dobbiamo accontentare delle nostre n misure.
n è grande, ma non colossale: prenderemo n almeno maggiore di 30, preferibilmente maggiore di 100 …
tuttavia le nostre misure, pur essendo tante, saranno n e basta.
Calcoleremo dunque la media x e lo scarto quadratico medio s delle nostre n misure.
Bene, avendo preso n piuttosto grande abbiamo fiducia che x sia già una approssimazione piuttosto precisa per μ ,
e che s sia già prossimo a quello che sarebbe lo s. q. m. σ se noi potessimo effettuare “infinite” misure.
Possiamo anzi “quantificare” questa nostra “fiducia”.
⎛
⎝
Se consideriamo, ad esempio, l’intervallo ⎜ x − 2
s
s ⎞
, x+2
⎟,
n
n⎠
la nostra fiducia che questo intervallo contenga μ è all’incirca del 95%, perché la Statistica Inferenziale
insegna che, qualora andassimo a barbosissimamente effettuare 100 serie, o 1000 serie, … , di n misure ciascuna,
calcolando per ognuna di queste il relativo x e il relativo s ,
⎛
⎝
s
s ⎞
, x+2
⎟ così costruiti conterrebbero μ .
n
n⎠
Questo è tanto più vicino al vero quanto più n è grande, ma a partire da n > 30 cominciamo già ad andar benino!
all’incirca il 95% degli intervalli ⎜ x − 2
ESEMPIO
Prendiamo in prestito un esempio dal testo “Essential medical statistics” di B. R. Kirkwood e J. A. C. Sterne,
dove ogni cosa è spiegata con calma, precisione, e ottimi riferimenti concreti (hats off, tanto di cappello!)
In realtà qui si ragiona in un ambito più generale del nostro.
Viene infatti esaminata non una singola grandezza misurata più volte, bensì una “popolazione” limitata
(l’insieme delle 10000 case), nonché un suo “campione” (le 100 case che vengono visitate).
Ma lo stesso discorso fatto per le misure vale, nei suoi tratti essenziali, anche in questo contesto,
perché si può osservare che la quantità di cui ci si sta occupando (la superficie da disinfestare nelle case)
è uno degli svariati fenomeni della realtà che presentano una Gauss-like distribution, vale a dire:
una distribuzione simile alla gaussiana.
Nell’ambito di un piano per l’eradicazione della malaria
si progetta di trattare con insetticida tutte le 10000 case di una certa area rurale.
Problema: quanto insetticida acquistare?
Per deciderlo, si estrae da quelle 10000 case un campione casuale di 100 case,
e le si ispeziona per misurare in ciascuna casa la superficie che richiede di essere bonificata.
In quelle 100 case la superficie media su cui spruzzare l’insetticida
risulta essere di x = 24, 2 m 2 con uno scarto quadratico medio s = 5,9 m 2 .
Non è realistico a questo punto supporre che la superficie media x rilevata nel campione di 100 case
coincida con la media μ della superficie da disinfestare nell’intera “popolazione” delle 10000 case;
tuttavia, è possibile valutare quanto sia da ritenere affidabile la media campionaria x = 24, 2 m 2
s
s 5, 9
se si va a calcolare l’errore standard, approssimabile con
=
=
= 0, 59 ≈ 0, 6 .
100 10 10
A questo punto, infatti, si può dire che l’intervallo (24, 2 ± 0,6) m 2 ha una probabilità del 68% circa
di contenere il valore incognito μ della media di tutta la “popolazione” delle 10000 case;
e che l’intervallo (24, 2 ± 2 ⋅ 0,6) m 2 = (24, 2 ± 1, 2) m 2 ha una probabilità del 95% circa di contenere μ .
Allora l’intervallo (24, 2 ± 1, 2) m 2 è un intervallo di confidenza al 95% per μ ; se quindi ipotizziamo
che questo intervallo contenga μ , abbiamo una probabilità del 95% circa di ipotizzare il vero.
μ dovrebbe perciò, al 95% di “confidenza”, di “fiducia”, non essere superiore a (24, 2 + 1, 2) m2 = 25, 4 m 2
per cui se acquistiamo una quantità di insetticida tale da poter coprire 25, 4 ⋅ 10000 m 2 = 254000 m 2
abbiamo il 95% di probabilità che questo sia sufficiente al bisogno.
Tutto il discorso fatto regge bene perché la numerosità del nostro campione (n = 100) è decisamente alta.
Coraggio, allora: abbiamo stimato quanto insetticida plausibilmente ci serve, andiamo a procurarcelo.
E se volessimo comprare l’insetticida sulla base di una confidenza del 99,7% circa?
Per quanti metri quadrati dovremmo attrezzarci? Fai tu il semplice calcolo: troverai circa 260000 m2 .
60
MEAN ± SD oppure MEAN ± SEM ???
Il ruolo dello scarto quadratico medio (SD, Standard Deviation) e quello dell’errore standard della media
o semplicemente errore standard (SEM, Standard Error of the Mean) non devono essere confusi.
Sovente alcuni risultati, ad esempio in Medicina, vengono scritti con un’incertezza uguale al SEM,
che è sempre per definizione minore della SD, proprio per dare l’idea di una minore variabilità …
ma ciò può essere fonte di fraintendimenti gravi, se il lettore poi confonde questo SEM con la SD.
Cerco di spiegarmi. Supponiamo che una certa caratteristica quantitativa x relativa al sangue umano
venga testata su di un campione di 400 individui presi a caso dalla popolazione generale,
e si trovi che in questi individui la caratteristica in gioco vale 235 ± 42 ,
essendo 235 la media calcolata sui 400 individui osservati, e 42 la SD delle 400 osservazioni.
Supponiamo inoltre che si sappia che la caratteristica studiata si distribuisce nella popolazione
secondo la “campana” di Gauss o comunque una sua buona approssimazione (NOTA ♥)
Bene, se si scrive che la caratteristica in esame è stata osservata, in quel campione di 400 soggetti,
con un valore dato da 235 ± 42 (mean, SD) , allora un medico che legge l’articolo scientifico potrà dire:
in quel campione di 400 persone, pressappoco il 95%
aveva quel valore compreso fra 235 − 2 ⋅ 42 = 151 e 235 + 2 ⋅ 42 = 319 , e siccome quel campione
(essendo abbastanza numeroso) è un’immagine piuttosto fedele dell’intera popolazione,
se si presenta da me un paziente che ha quel valore minore di 151 o maggiore di 319,
sono portato a classificare quel caso come anomalo e tale da richiedere ulteriori indagini cliniche;
se invece in un paziente il valore è esterno all’intervallo 235 ± 2 ⋅ 2,1
(2,1 è il valore approssimato dell’Errore Standard della Media o SEM, che si desume da
una SD di 42 con n = 400 : 42 / 400 = 42 / 20 = 2,1 ), questo non mi preoccuperà affatto!
Piuttosto, l’intervallo 235 ± 2 ⋅ 2,1 è un intervallo di confidenza al 95% per x, nel senso che ha il 95%
di probabilità di contenere il “vero valore” di x, ossia la media dei valori di x nell’intera popolazione.
Quindi
♪ il SEM mi interessa per valutare con quale probabilità un dato intervallo intorno alla media campionaria
contenga la media dell’intera popolazione, ossia per la STIMA DELLA MEDIA INCOGNITA μ ,
♫ mentre la SD mi interessa per quantificare la DISPERSIONE delle rilevazioni NEL MIO CAMPIONE,
considerazioni che poi posso estendere tali e quali all’intera popolazione, perché,
dato il numero elevato di elementi del campione e dato che erano stati estratti casualmente
dalla popolazione, il campione rappresenterà abbastanza fedelmente la popolazione intera.
NOTA IMPORTANTE ♥
Questa richiesta è essenziale, perché
PARECCHI FENOMENI DELLA REALTA’ PRESENTANO UNA
“GAUSS-LIKE DISTRIBUTION”, MA CIÒ NON VALE PER ALTRI!
Ad esempio, hanno una distribuzione più o meno sovrapponibile alla gaussiana
• gli errori di misura, come abbiamo visto (ma, a dire il vero, non proprio sempre)
• le distanze dal centro di un bersaglio per una serie di tiri
• i quozienti di intelligenza
• le altezze degli adulti di una stessa etnìa e sesso
… mentre per la distribuzione dei pesi delle persone la differenza rispetto alla gaussiana è già più marcata.
SINONIMO di “DISTRIBUZIONE GAUSSIANA” è “DISTRIBUZIONE NORMALE”.
Le considerazioni sopra riportate possono rendere una prima idea di alcune fra le questioni di cui si occupa la
STATISTICA INFERENZIALE.
Essa interviene quando si cerca di studiare una caratteristica dell’intera popolazione
tramite osservazioni condotte su di un suo sottoinsieme ( “campione”),
e occorre quantificare il grado di attendibilità di questo procedimento.
Come nei sondaggi elettorali.
Come nelle ricerche farmacologiche, dove si va a confrontare l’evoluzione clinica di due gruppi di malati,
a uno dei quali viene somministrata la sostanza attiva e all’altro, invece, un preparato inerte (il “placebo”).
Come nei test finalizzati a verificare (in un determinato contesto) la bontà di una ipotesi.
La statistica inferenziale considera anche il caso in cui siano disponibili solo piccoli campioni.
Noi però, nei limiti del nostro corso, ci dobbiamo fermare ai pochi cenni dati, senza approfondire oltre.
61
How to Lie with Statistics
E’ un libretto di divulgazione, scritto da Darrell Huff nel lontano 1954, che ha avuto
uno straordinario successo di vendite, e conserva ancor oggi piena attualità.
Aiutandosi con garbate illustrazioni, passa in rassegna i modi attraverso i quali la
pubblicità e la politica manipolano e presentano in modo parziale e distorto le
statistiche, per spingere il consumatore o l’elettore a conclusioni sbagliate.
Il campione con l'errore incorporato
Alle interviste sulle letture abituali probabilmente la gente risponderà mentendo,
almeno parzialmente, perché “confessare” letture frivole o imbarazzanti non fa fare
bella figura. Analogo il discorso per l’igiene personale.
Poi le persone contattate hanno tendenza a dare quelle risposte che pensano possan
far piacere a chi conduce l’intervista: l’autore riferisce, come esempio significativo,
di un’analisi statistica a soggetto politico che aveva avuto esiti radicalmente diversi
scaricabile da qui:
con intervistatori di pelle bianca o rispettivamente nera.
Le persone in una stazione ferroviaria sono rappresentative della popolazione generale?
Probabilmente no: le madri di bambini piccoli, ad esempio, potrebbero scarseggiare in quel campione.
E gli incaricati a svolgere sondaggi per strada potranno tendere a scegliere persone più pulite o più gradevoli,
o chi intuiscono sia più disponibile a rispondere, specie se devono terminare il loro compito in tempi ristretti.
La media ben scelta
Quando si parla di “media”, in realtà ci si sta riferendo a una media aritmetica, a una mediana o a una moda?
Dire che lo stipendio medio annuo dei dipendenti di un’azienda è, poniamo, di 38.500 dollari, può essere comodo
per i dirigenti. Ma questa media, che è l’ordinaria media aritmetica, è comprensiva anche dei compensi
stratosferici dei pochissimi manager strapagati, e i sindacalisti potrebbero invece considerare come stipendio
“medio” la mediana degli stipendi, pari a 20.000 dollari (in pratica: solo metà dei dipendenti percepisce uno
stipendio superiore a 20.000 dollari, l’altra metà inferiore). E’ possibile che dirigenza e sindacati usino dunque il
medesimo termine “media”, in relazione a indicatori ben diversi.
Quei piccoli numeri che non ci sono
E’ purtroppo frequente che si utilizzino (senza segnalarlo), per un’indagine statistica, campioni troppo piccoli per
poter dare risultati attendibili; che si ometta la specificazione del grado di “dispersione” dei dati …
Molto rumore per praticamente nulla
Del tutto inutile confrontare due dati non molto differenti fra loro, senza specificare quale sia l’intervallo di
“incertezza” di questi dati! Oppure: se abbiamo l’elenco completo delle marche di sigarette in commercio,
elencate per grado di pericolosità decrescente ma tutte pressappoco allo stesso livello di tossicità, è insensato e
ingannevole pubblicizzare la marca che sta in fondo all’elenco dicendo che è la “più raccomandabile”!
Il grafico fantasmagorico
“Tagliare” in modo scaltro i grafici, e/o scegliere furbamente le lunghezze dei segmenti che rappresentano date
quantità in orizzontale e in verticale, può favorire forti distorsioni nella percezione di chi osserva.
Il diagramma in basso a sinistra nella pagina mira maliziosamente a suggerire che il numero di copie vendute da
una rivista di politica sia crollato dopo la caduta del governo, mentre si è mantenuto pressoché stabile.
L'immagine monodimensionale
Rappresentare una quantità con ideogrammi ha un’insidia: se due raffigurazioni “in scala” di altezza una doppia
dell’altra vengono utilizzate per illustrare il fatto che un certo valore è raddoppiato, l’osservatore ha comunque
un’impressione diversa: l’area della seconda figura è quadrupla rispetto alla prima, e se anzi le figure vengono
pensate come tridimensionali un raddoppio dell’altezza comporta un volume che è addirittura 8 volte tanto.
Quindi disegni di questo tipo possono essere impiegati per indurre la sensazione di una crescita (o diminuzione)
più forte di quella reale. L’immagine in basso a destra dà un esempio di questo effetto psicologico.
Il numero pseudoconnesso
“Se qualcuno non può dimostrare ciò che
vorrebbe dimostrare, può dimostrare qualcos'altro
e far finta che sia la stessa cosa” …
Tracollo … o sostanziale
stabilità delle vendite?
Il vecchio post hoc ritorna in sella
Se B segue, in ordine di tempo, A, ciò non implica
che A sia causa di B.
Nelle Nuove Ebridi si era convinti che i pidocchi
facessero bene alla salute ☺; in realtà, è ben facile
che una persona ammalata sviluppi la febbre,
e l’aumento di temperatura … scaccia i pidocchi!
Causa ed effetto completamente ribaltati.
Il signore il basso
guadagna… il doppio,
il quadruplo, o 8 volte tanto?
62
ALTRI MODI DI QUANTIFICARE L’INCERTEZZA DELLA MISURA (per la distinzione fra la parola
“errore” - spesso adoperata impropriamente - e la parola “incertezza”, vedi l’importante NOTA a pag. 69)
a) SCARTO ASSOLUTO MEDIO (SCARTO MEDIO, DEVIAZIONE MEDIA, ERRORE MEDIO)
Al posto dello scarto quadratico medio s , si può prendere lo “scarto assoluto medio” δ
x1 − x + x2 − x + ... + xn − x
ossia la media dei valori assoluti degli scarti dalla media: δ =
.
n
Si scriverà allora che la grandezza in esame vale x ± δ
b) SEMIDISPERSIONE (INCERTEZZA ASSOLUTA, ERRORE ASSOLUTO, ERR. MASSIMO)
Effettuate le n misure x1 , x2 , ... , xn e calcolata la media x di queste, si va a determinare
la “semidispersione” (da alcuni detta “incertezza assoluta” o “errore assoluto” o “errore massimo”)
x
−x
cioè la semidifferenza fra la più grande e la più piccola delle misure rilevate: d = MAX min
2
poi si scrive semplicemente che il valore della grandezza in questione è x ± d .
Questo metodo molto elementare della semidispersione viene impiegato più che altro
QUANDO IL NUMERO DELLE MISURE A DISPOSIZIONE È BASSO O MOLTO BASSO.
La semidispersione è sovente indicata col simbolo Δx (naturalmente, se la grandezza è t , si userà Δt !)
Si legge “delta x”; quel Δ è un simbolo utilizzato, in questo e in altri casi, come “operatore di differenza”.
c) IL CASO DELLA MISURA UNICA, AD ES. PERCHE’ LO STRUMENTO E’ POCO SENSIBILE
Quando, infine, lo strumento di misura è poco sensibile, cosicché
gli errori “casuali” o “statistici” non emergono e si rileva dunque sempre la stessa, grossolana, misura;
oppure anche quando l’operazione di misura viene effettuata una sola volta,
si scrive, detta x la misura trovata, che il valore della grandezza è x ± a ,
essendo a l’ampiezza dell’intervallo che corrisponde a due “tacche” consecutive del misuratore
(o la semiampiezza nel caso le tacche siano abbastanza distanziate).
In qualsiasi caso, l’incertezza dichiarata riguardo a una misura
non dovrebbe mai essere inferiore a quella dovuta alla sensibilità dello strumento.
“In generale, la presenza di errori casuali nella misura fa sì che l'errore statistico risulti maggiore
dell'errore strumentale (la sensibilità dello strumento), ma talvolta può accadere il contrario!
Si stabilisce allora che l’incertezza nelle misure è data dal maggiore tra questi due errori”
(prof. Aurelio Agliolo Gallitto, Dipartimento di Fisica, Università di Palermo, http://portale.unipa.it)
Quando poi si è scelto quale tipo di incertezza (si trova spesso scritto, impropriamente: di errore )
si vuol scrivere accanto alla media delle misure, sarebbe bene indicare questa scelta ESPLICITAMENTE!
Vediamo un ESEMPIO.
40 misurazioni del periodo T di oscillazione di un pendolo hanno fatto registrare questi valori (in secondi):
4,80
4,83
4,85
4,82
4,75
4,80
4,84
4,86
4,84
4,83
4,82
4,85
4,79
4,84
4,89
4,83
4,87
4,85
4,86
4,81
4,83
4,86
4,78
4,79
4,82
4,85
4,84
4,83
4,86
4,81
4,87
4,84
4,85
4,88
4,79
4,84
4,87
4,84
4,89
4,88
La media delle misure è stata quindi 4,83625 , arrotondata a 4,84
● la semidispersione è stata 0,07 per cui potremo scrivere, tenendo conto di essa, T = 4,84 ± 0,07
● lo scarto assoluto medio (“errore medio”) è stato 0,0243125 arrotondabile a 0,02 o a 0,024
per cui, tenendo conto di esso, T = 4,84 ± 0,02 o in alternativa T = 4,836 ± 0,024
● lo scarto quadratico medio è stato s = 0,0309586... arrotondato a 0,03 da cui T = 4,84 ± 0,03
(verifica che la percentuale dei valori compresi fra 4,84 − 0,03 e 4,84 + 0,03 non si discosta molto dal 68%!)
●
Come si vede,
l’intervallo, intorno alla media, che si utilizza per esprimere il valore di una grandezza,
dipende dal modo col quale viene espressa l’incertezza;
e la corretta interpretazione della scrittura “ ... ± ... ”
sarà legata alla conoscenza del significato delle varie quantità δ , d , a , s, s / n
… tenendo in debito conto il numero di misure effettuate.
63
ERRORI RELATIVI / INCERTEZZE RELATIVE
( ♥ noiosamente ribadiamolo: è brutta consuetudine della letteratura scientifica scrivere,
tendenzialmente, la parola “errore” anche nei casi in cui il termine corretto sarebbe “incertezza”)
L’ “errore/incertezza relativo/a” è il quoziente, il rapporto, fra un errore/incertezza (di qualsiasi tipo!)
e il valore della grandezza da misurare (valutato tramite la media delle misure rilevate;
se tale valore fosse negativo, si intende di ignorarne il segno, cioè di prenderlo in valore assoluto).
Consideriamo nuovamente le 40 misure del periodo di un pendolo elencate a pag. 62.
● La media delle misure è stata 4,83625 , arrotondata a 4,84
La semidispersione è stata 0, 07 , da cui la possibilità di scrivere T = 4,84 ± 0,07 .
Dunque l’incertezza assoluta viene qui valutata in 0,07 :
0,07
≈ 0,014 .
bene, l’incertezza relativa sarà allora all’incirca di
4,84
In forma percentuale, l’incertezza relativa è (circa) dell’ 1, 4 %
L’errore medio è stato 0,0243125 arrotondato a 0,02 per cui, tenendo conto di esso, T = 4,84 ± 0,02 :
0,02
≈ 0,004 , e l’errore medio relativo percentuale circa dello 0,4%
l’errore medio relativo è (circa)
4,84
● Lo scarto quadratico medio è stato s = 0,0309586... arrotondato a 0,03 da cui T = 4,84 ± 0,03
quindi lo scarto quadratico medio relativo - detto, come sappiamo, “coefficiente di variazione” 0,03
≈ 0,006 , e lo scarto quadratico medio relativo percentuale è all’incirca dello 0, 6%
è (circa)
4,84
●
L’incertezza relativa può essere impiegata per confrontare la precisione di misure di quantità diverse.
Ad esempio, se nella misura dell’altezza di una parete A c’è l’incertezza di 10 cm
mentre nella misura dell’altezza di un’altra parete B l’incertezza è di 20 cm,
non possiamo affermare che la misura di A sia più precisa di quella di B
se non conosciamo quanto valgono, all’incirca, le altezze di A e di B …
Poniamo che A sia una casa a due piani alta pressappoco 6 metri e B un grattacielo di circa 130 metri:
0,10
0,20
≈ 0,017 mentre l’incertezza relativa su B di
≈ 0,0015 (meno della
l’incertezza relativa su A sarà di
6
130
decima parte della precedente!), quindi in questo caso va considerata di gran lunga più precisa la misura di B.
GLI ERRORI “SISTEMATICI”
Nel valutare la misura di una grandezza fisica,
oltre agli errori “CASUALI” (detti anche “ACCIDENTALI” o “STATISTICI”)
(ossia: oltre agli errori legati a circostanze imprevedibili e mai completamente controllabili,
le quali possono influire sul risultato della misura ora per difetto, ora per eccesso),
si possono commettere anche errori cosiddetti SISTEMATICI.
Questi influiscono sempre per difetto o sempre per eccesso sul valore rilevato, e derivano:
dall’inadeguatezza dello strumento di misura (esempi: un orologio che “ritardi”, un termometro che
con la propria temperatura vada a modificare in modo sensibile la temperatura dell’oggetto in esame …)
dall’uso non appropriato di tale strumento (es.: dimenticarsi di “azzerarlo”, quando ciò sia necessario)
da applicazione di leggi sbagliate o metodi sbagliati di indagine
(ad esempio cercare di determinare la profondità di un pozzo lasciandovi cadere una pietra e annotando
dopo quanti secondi si sente “splash”, per poi utilizzare la formula nota che regola spazi e tempi nella
caduta dei gravi … ma senza tener conto che il suono dell’impatto con l’acqua ci mette a sua volta un
certo tempo per salire dal fondo del pozzo alle nostre orecchie).
Gli errori sistematici possono essere individuati ed eliminati o perlomeno minimizzati,
mentre sugli errori accidentali non possiamo far nulla
(a parte, è ovvio, cercare di effettuare l’operazione di misura con tutta l’attenzione di cui siamo capaci);
l’incertezza legata agli errori accidentali è ineliminabile: può solo essere
quantificata coi metodi visti sopra, e ridotta facendo, se possibile, un numero elevato di misure.
Alcuni testi introducono come categoria a sé stante gli “ERRORI DI SENSIBILITA’ ”,
ossia quelli legati alla sensibilità dello strumento.
Se misuro la larghezza di un foglio di carta con un righello le cui tacche più ravvicinate siano quelle dei mm,
a ogni misura sarà comunque associata un’incertezza di 0,5 mm (secondo alcuni, di 1 mm)
Gli errori casuali si presentano solo quando sono maggiori della sensibilità dello strumento!!!
64
ESERCIZI (risposte a pag. 74)
1) Calcola, per il seguente insieme di dati: 0 1 2 2 5
a) la media …………
b) la semidispersione …………..
c) lo scarto assoluto medio ……………
d) la varianza ………… e) lo scarto quadratico medio (arrotondato a 1 cifra dopo la virgola) …………
2) VERO O FALSO?
a) “Scarto quadratico medio” e “deviazione standard” sono sinonimi
b) Se effettuo tantissime misure di una grandezza G,
e calcolo la loro media x e la loro deviazione standard s ,
nello scrivere G = x ± s io intendo che l’intervallo da x − s a x + s
ha una probabilità del 68% circa di contenere il vero valore della grandezza
c) La media x fra un numero elevato n di misure è una buona approssimazione del valore vero μ
della grandezza, e se a questo punto faccio k misure in più e vado a calcolare la media fra tutte
le n + k misure, certamente tale nuova media sarà ancora più vicina al vero valore della grandezza
che si riferisce alle ripetute misurazioni di una quantità fisica,
le altezze dei rettangoli rappresentano le frequenze
d) Nella figura
e)
f)
g)
h)
Nella stessa figura di prima, le basi dei rettangoli rappresentano le classi di misura
Lo scarto quadratico medio “corretto” è minore di quello “non corretto”
La funzione “scarto quadratico medio” (non corretto) si indica, nel foglio elettronico, con dev.st.()
Per dimezzare l’ “errore standard della media” occorre raddoppiare il numero delle misure
3) Sono state rilevate 625 misure. La media di queste è stata x = 152, 4 e lo scarto quadratico medio s = 2,5 .
a) Un intervallo nel quale rientrerà, pressappoco, il 95% delle misure effettuate è quello che va
da …………… a ……………
b) Un intervallo di confidenza al 95% per il vero valore della grandezza in esame
(ossia, un intervallo che ha una probabilità intorno al 95% di contenere il vero valore della grandezza)
è invece quello compreso fra …………… e ……………
4) La media fra 64 misurazioni di una grandezza risulta essere 173,5 e il loro scarto quadratico medio 2,3.
a) Determina un intervallo nel quale dovrebbe rientrare pressappoco il 68% di questi 64 dati
b) Determina un intervallo di confidenza al 68% per il valore della grandezza in esame
5) Misurando 80 volte il tempo di caduta di un grave da una data altezza, in secondi, sono stati trovati i valori:
43,3
42,8
42,8
42,5
42,1
41,2
41,5
44
41
40,9
42,5
44,5
43,3
43,6
43,7
42,4
43,3
42,7
43,3
43,6
43,4
42,5
44,3
42,9
43,4
43
44,2
44,1
43,2
43
44
41,8
41,4
42,3
42,4
42
42,4
42,5
42,9
44,3
41,6
42,2
42,8
42,3
41,7
40,8
43,2
42,8
41,8
43,7
42,4
42,2
43,1
42,2
42,7
44
41,8
42,1
42,7
43,4
43,8
42,1
43
41,3
42,3
42
43,1
42
44,4
42,1
43,4
41,7
42,2
42,8
43,3
42,2
42,1
42
42,8
42
Foglio
elettronico!
a) Esprimi quel tempo come ... ± ... utilizzando la deviazione standard e arrotondando media e dev. standard
a 1 cifra dopo la virgola. Conta il numero di dati tra x − s e x + s e il numero di quelli tra x − 2s e x + 2s .
b) Determina un intervallo di confidenza al 95% (cosa significa?) per il valore della grandezza in esame.
6) Clicca sulla freccia per un altro esercizio di questo tipo, con 400 dati già pronti
7) Si vuole stimare l'età media in cui si presenta una data patologia.
I 400 pazienti seguiti da un famoso centro specializzato hanno contratto la malattia all’età media di 44 anni.
La distribuzione di queste 400 età è Gauss-like, con scarto quadratico medio uguale a 10 anni.
Se ne deduce allora che l’intervallo di età che va da … anni a … anni ha una probabilità valutabile intorno al
95% di contenere l’età media di insorgenza della malattia, qualora venisse calcolata sui malati di tutta Italia.
Si può anche dire che, in quel campione di 400 malati, pressappoco il 95% avrà contratto la malattia
nell’intervallo di età che va da … anni a … anni;
e siccome il campione, piuttosto numeroso, rispecchia la popolazione generale, tale intervallo di età
sarà anche quello entro il quale sviluppa la malattia il 95% circa degli italiani che si ammalano.
8) Dal sito www.regentsprep.org:
Battery lifetime is normally distributed ( = segue la distribuzione normale, cioè gaussiana)
for large samples (sample = campione).
The mean lifetime is 500 days and the standard deviation is 61 days.
What percent of batteries have lifetimes longer than 561 days?
65
9) Supponi che in una grande città sudamericana sia stata rilevata l’altezza di 420 ragazzi quattordicenni,
ottenendo una media di m 1,67 e uno scarto quadratico medio di cm 10.
Allora un intervallo di altezze che ha il 95% di probabilità di contenere l’altezza media di tutti i ragazzi
di quell’età, residenti in quella città, è quello che va da ……. a …….
10) I moderni test per attribuire il cosiddetto “quoziente di intelligenza” (Q.I.) sono progettati in modo che
nella curva, approssimativamente gaussiana, ottenuta disponendo in orizzontale i vari punteggi realizzabili
e in verticale il numero di persone, tutte di una stessa età e , che hanno realizzato quella determinata fascia
di punteggio, la media risulti uguale a 100 e la deviazione standard a 15.
In questo modo, pressoché il 95% delle persone della stessa età avrà un Q.I. che si collocherà fra … e …
11) Per una certa popolazione di rane allo stato naturale, si è visto che la lunghezza
della vita è distribuita normalmente (cioè, segue una distribuzione gaussiana)
con media 10 anni e deviazione standard di 3 anni (www.cli.di.unipi.it).
Quale percentuale di queste rane sopravvive oltre i 16 anni?
12) Sono state effettuate solo 5 misure, che hanno fornito gli esiti seguenti: 85 86,5 85,5 88 86
Se vogliamo esprimere il valore della grandezza con una scrittura del tipo ... ± ... , come faremo?
13) Misurando ripetutamente una grandezza sono stati trovati i valori
2,60 2,59 2,58 2,59 2,59 2,54 2,58.
a) Esprimi quella grandezza come ... ± ... utilizzando la semidispersione.
b) Se scriviamo G = x ± d , dove d è la semidispersione,
in generale siamo sicuri che tutte le osservazioni effettuate rientrino fra x − d e x + d ?
14) In un sito Internet troviamo che la misura di un dato tempo è (3, 27 ± 0,02) s e che la misura di una data
velocità è (24, 4 ± 0,3) (mean ± SD) . Ma nessuna delle due scritture è scientificamente corretta: perché?
15) Stabilisci quale delle due scritture seguenti esprime una misura di velocità più precisa:
(3, 24 ± 0,04) m / s (mean; SD); (40,5 ± 0,5) m / s (mean; SD)
16) Esprimendo un tempo come (8,0 ± 0,2) s , qual è l’incertezza relativa percentuale?
17) Se si prendono i due insiemi di dati seguenti: a) 0 3 3 3 6
b) 0 1 2 3 4 per confrontarli,
onde stabilire se i dati sono più “sparpagliati” nel primo caso o nel secondo, cosa occorrerebbe calcolare?
18) Lo scarto quadratico medio di n misure è risultato uguale a 2,0 e calcolando l’errore standard della media
si è ottenuto 0,1 . Quante misure sono state effettuate? …………
19) La tabella qui a destra riporta, in tre casi, il valore di una misura
con a fianco l’incertezza da cui questo dato è affetto.
Stabilisci quale delle tre misure può essere considerata la più precisa.
a)
b)
c)
1,25
10,0
0,0040
0,05
0,3
0,0001
20) Una ditta produce camomilla in bustine da 5 grammi.
Si vuole controllare che non troppe bustine abbiano un peso sensibilmente diverso dal valore ottimale.
Pesando 40 bustine prodotte consecutivamente da un macchinario, si trovano i seguenti valori in grammi:
4,89 5,21 5,20 4,76 4,78 5,16 4,84 4,78 4,86 4,88
5,04 5,26 4,74 5,14 4,88 4,82 4,80 5,08 5,20 5,18
5,03 5,18 4,81 4,77 5,20 5,19 5,25 4,75 4,77 4,78
4,90 4,80 4,86 5,18 4,85 4,87 5,05 5,21 5,11 4,82
Quali sono la media e la deviazione standard di questo campione?
Se si è osservato che i dati in esame presentano una Gauss-like distribution, delle circa 48000 bustine
prodotte in una giornata lavorativa, quante si può presumere che andranno a pesare non più di 4,60 grammi?
21) SOLO ALCUNE DISTRIBUZIONI SONO GAUSSIANE O GAUSS-LIKE , ALTRE NO!!!
Se consideriamo ad esempio la distribuzione dei pesi delle persone,
o la distribuzione dei tempi di attesa dei clienti in una filiale bancaria,
capiremo che le differenze rispetto alla distribuzione normale sono notevoli.
a) Spiega in che senso queste due distribuzioni, se confrontate con la normale,
presentano una “coda verso destra” nella campana.
Nelle distribuzioni “non normali”
non si ha necessariamente la coincidenza fra media, moda, mediana.
b) Per fare un esempio semplice, quanto valgono media, mediana e moda
nella distribuzione della figura a destra, relativa ai voti dati in una classe
di 21 studenti da un insegnante generosissimo? ……. ….... …....
66
12. ARROTONDAMENTI E CIFRE SIGNIFICATIVE
E’ assai comune nella vita quotidiana fare uso di approssimazioni di un valore “vero”: quando dico
“il mio appartamento è di 70 m 2 ”, oppure “sono le 11 di sera”, o “vado in ferie in un paesino di 200 abitanti”,
io per l’appunto “approssimo”, “arrotondo”, e in tutti questi esempi è evidente che lo faccio perché,
in simili contesti, non ho bisogno di una precisione più elevata.
Ma anche nelle Scienze sperimentali, ad esempio in Fisica, l’approssimazione di valori numerici è la norma.
LA REGOLA PER ARROTONDARE
La REGOLA che si applica per l’arrotondamento di un numero è la seguente.
♪ Se vengono trasformate in “0” tutte le cifre a partire da una certa cifra e verso destra,
quando la prima cifra da trasformare in “0” è 0, 1, 2, 3 o 4,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata;
♫ se invece la prima cifra da trasformare in “0” è 5 (ma vedi NOTA), 6, 7, 8 o 9,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità.
Esempi: l’arrotondamento di 12328 alle centinaia è 12300; quello di 0,1372 ai centesimi è 0,14
NOTA: l’arrotondamento “del banchiere” (banker’s rounding, o round-to-even method)
Se la prima cifra da mutare in 0 è 5, e tale cifra è l’ultima del numero, oppure è seguita solo da zeri,
allora il passaggio al “valore più vicino” potrebbe essere fatto indifferentemente per difetto o per eccesso,
perché ad esempio il numero 1,235 ha la stessa distanza sia da 1,23 che da 1,24;
per questo motivo, nel caso in cui i numeri da sottoporre ad arrotondamento siano tanti,
c’è chi preferisce procedere in modo un poco diverso dalla regola che abbiamo illustrato, ossia:
se la cifra che precede il 5 è pari, la si lascia invariata, mentre se è dispari, la si aumenta di un’unità.
In tal modo le approssimazioni per difetto e per eccesso così effettuate tenderanno a “bilanciarsi”
(sui valori arrotondati secondo questa convenzione, metà circa lo saranno per difetto e metà per eccesso),
e l’insieme di dati risentirà il meno possibile, globalmente, delle modifiche apportate.
Per esempio, volendo arrotondare ai centesimi 3,875 3,645 3,735 3,865
si scriverà rispettivamente 3,88
3,64
3,74
3,86
Col “banker’s rounding”, l’ultima cifra del numero arrotondato sarà sempre pari! (even = pari)
LE CIFRE SIGNIFICATIVE NELLE SCIENZE SPERIMENTALI
Nelle scienze sperimentali è frequentissimo avere a che fare con numeri dei quali
conosciamo con certezza alcune cifre (le prime a sinistra), ma non tutte.
Sono allora “significative” tutte le cifre certe del numero, più la prima cifra incerta.
Questo come idea generale: occhio tuttavia alle specificazioni che seguono.
Tutte le cifre diverse da 0 sono significative. Ad es., la misura di tempo 11,27 s ha 4 cifre significative.
Gli 0 iniziali NON sono significativi. Ad esempio, la lunghezza 0,0000245 m ha 3 cifre significative.
Gli 0 compresi fra cifre non nulle sono significativi.
4,05 m/s è una velocità espressa con 3 cifre significative.
Gli 0 finali vanno scritti soltanto se sono significativi,
cioè corrispondono alla precisione effettivamente raggiungibile dallo strumento di misura.
Mi spiego: cm 15,7 può denotare una misura rilevata con uno strumento che ha la precisione dei millimetri,
mentre cm 15,70 significherà che lo strumento usato è in grado di apprezzare anche i decimi di millimetro.
Ancora:
scrivendo m 1350 per indicare una profondità marina, sottintendo che anche lo 0 finale sia significativo,
ossia dichiaro di aver utilizzato una tecnica di misura che mi permetteva di valutare anche il singolo metro.
Supponiamo invece che già la cifra 5 sia incerta
(cioè, che le misurazioni effettuate non andassero oltre la precisione dei 10 metri):
bene, dovrei allora scrivere 1,35 ⋅103 metri.
Scrivere il numero in NOTAZIONE ESPONENZIALE permette di vedere bene le cifre significative
(sono tutte e sole quelle del moltiplicatore della potenza di 10).
Esempi:
0,000107 = 1,07 ⋅ 10− 4 (3 cifre significative)
5, 4 ⋅ 106 (2 cifre significative)
6
5, 40 ⋅ 10 (3 cifre sign.; scrivendo così, si evidenzia che anche lo 0 è significativo : 4 è certa, 0 è incerto)
67
QUALORA SI SIA FATTO UN CERTO NUMERO DI MISURE PER UNA DATA QUANTITÀ,
IL VALORE DELLA QUANTITÀ IN ESAME SI ESPRIMERÀ FACENDO LA MEDIA x
DELLE MISURE TROVATE, POI SCRIVENDO CHE LA GRANDEZZA IN GIOCO VALE x ± Δx ,
dove quel Δ x è l’INCERTEZZA (di solito si trova scritto impropriamente: l’ERRORE)
che associamo al valore x , incertezza data dalla semidispersione, oppure dallo
scarto quadratico medio o da un suo multiplo, ecc., come abbiamo spiegato nel paragrafo precedente.
Il simbolo Δ (“delta”) è sovente utilizzato, in matematica, per indicare “differenza”.
Ad es., fra due persone che hanno risp. 15 anni e 47 anni, c’è una differenza di età “delta e”: Δe = 47 − 15 = 32 .
Se considero, in Fisica, due istanti di tempo successivi t1 e t2 , nei quali la velocità di un corpo è risp. v1 e v2 ,
allora nell’intervallo di tempo Δt = t2 − t1 l’incremento di velocità (>, < o = 0) è dato da Δv = v2 − v1 .
D’altra parte, sia la media che l’incertezza subiscono sempre un ARROTONDAMENTO. Vediamo come.
Andiamo a riprendere i dati sul periodo del pendolo. Le 40 rilevazioni avevano fornito i valori (in secondi):
4,80
4,83
4,85
4,82
4,75
4,80
4,84
4,86
4,84
4,83
4,82
4,85
4,79
4,84
4,89
4,83
4,87
4,85
4,86
4,81
4,83
4,86
4,78
4,79
4,82
4,85
4,84
4,83
4,86
4,81
4,87
4,84
4,85
4,88
4,79
4,84
4,87
4,84
4,89
4,88
E’ evidente che si era utilizzato un dispositivo in grado di apprezzare i centesimi di secondo.
La media di queste misure è 4,83625 , e lo scarto quadratico medio 0,0309586... . Bene!
Nelle scienze sperimentali di solito si osserva la prassi seguente:
a) L’INCERTEZZA Δ x VIENE SEMPRE ARROTONDATA
IN MODO CHE CONSERVI UNA CIFRA SIGNIFICATIVA SOLTANTO
O AL MASSIMO DUE CIFRE SIGNIFICATIVE SE LA PRIMA DI ESSE È 1 (NOTA)
b) DOPODICHE’ LA MEDIA DELLE MISURE SI ARROTONDA IN MODO CHE LA SUA CIFRA
PIÙ A DESTRA ( = LA CIFRA MENO SIGNIFICATIVA) ABBIA LO STESSO POSTO DECIMALE
DELLA CIFRA MENO SIGNIFICATIVA PRESENTE NELL’INCERTEZZA Δ x
Insomma, vanno bene 25,7 ± 0,3 ; 178 ± 4 ; 8,54 ± 0,07 ;
0,483 ± 0,016 (notare qui la cifra in più nell’incertezza!)
ma non andrebbe bene invece 4,197 ± 0,05 oppure 27 ± 0,4
Di conseguenza, nel caso del pendolo da noi considerato,
a) arrotonderemo l’incertezza: 0,0309586... → 0,03 in modo che conservi una sola cifra non nulla;
b) poi arrotonderemo la media 4,83625 → 4,84 in modo che la sua cifra più a destra abbia
la stessa posizione decimale della cifra più a destra dell’incertezza (nel nostro caso, i centesimi).
E scriveremo in definitiva che il periodo del nostro pendolo è di secondi T = 4,84 ± 0,03 .
Ribadiamolo: 0,03 è qui lo scarto quadratico medio, e il suo significato è di affermare che circa il 68%
delle misure effettuate si trova nell’intervallo che ha centro la media e raggio 0,03 e che … ecc. ecc.
Trovo come media 42,625 e come scarto quadratico medio 0,418 ?
Bene, allora arrotondo lo scarto quadratico medio a 0,4 (in modo che rimanga 1 sola cifra significativa)
e a questo punto arrotondo pure la media a 42,6 scrivendo il valore della grandezza come 42,6 ± 0,4
Trovo come media 528,25 e come scarto quadratico medio 2,781 ?
Bene, allora arrotondo lo scarto quadratico medio a 3 (in modo che rimanga 1 sola cifra significativa)
e a questo punto arrotondo pure la media a 528 scrivendo il valore della grandezza come 528 ± 3
Trovo come media 2,208 e come scarto quadratico medio 0,0331?
Arrotondo allora lo scarto quadratico medio a 0,03 (in modo che rimanga 1 sola cifra significativa)
e a questo punto arrotondo pure la media a 2, 21 scrivendo il valore della grandezza come 2,21± 0,03
Trovo come media 1,5257 e come scarto quadratico medio 0,0143?
Arrotondo lo sc. q. m. a 0,014 (ho deciso di tenere 2 cifre significative perché la prima di esse è 1)
e a questo punto arrotondo pure la media a 1, 526 scrivendo il valore della grandezza come 1,526 ± 0,014
Ho fatto poche misure. La loro media è 10584 e la loro semidispersione è 30 = 3 ⋅10 .
La semidispersione ha già una cifra significativa soltanto: va bene così com’è. Ma allora devo arrotondare
la media alle decine, e scrivere il valore come 10580 ± 30 o meglio come (1058 ± 3) ⋅10
NOTA - Non tutti sono concordi. Noi faremo così, ma alcuni accettano nell’incertezza fino a 2 cifre significative.
Altri suggeriscono di usare due cifre significative se la prima cifra è bassa
(c’è chi dice 1 o 2, c’è chi dice 1, 2, 3 o 4), altrimenti una. In effetti, se la prima cifra è piccola,
eliminare con l’arrotondamento la seconda porterebbe ad una perdita di precisione
ritenuta eccessiva anche per un’incertezza. Ma occorre trovare sempre un buon compromesso
fra una ragionevole precisione, da una parte, e l’immediata leggibilità della scrittura, dall’altra.
68
Supponiamo che un dato sperimentale non venga presentato sotto la forma x ± Δx , ossia che non venga
specificata nessuna incertezza: allora si intende che l’incertezza sia implicita nell’ultima cifra.
Il guaio è che tutto ciò non viene interpretato universalmente allo stesso modo!
Ad esempio, per alcuni 12,3 è da leggersi come 12,3 ± 0,05 ossia 12,25 < x <12,35 ;
per altri, 12,3 va letto come 12,3 ± 0,1 ossia 12,2 < x < 12,4 /
ALTRI ESEMPI
2,47 ± 0,03241 Qui l’incertezza non va bene, va riscritta con una sola cifra significativa: 2,47 ± 0,03
48,57 ± 0,3 Qui è il valore che va riscritto. La scrittura dev’essere corretta in 48,6 ± 0,3 in maniera che
l’ultima cifra della grandezza e l’ultima cifra dell’incertezza abbiano lo stesso posto decimale.
3831,7 ± 20 Non va. L’incertezza è alle decine, quindi il valore va a sua volta arrotondato alle decine:
3830 ± 20 o meglio (383 ± 2) ⋅10
18,79 ± 0,33 L’incertezza non va, dobbiamo ridurla a una sola cifra significativa.
Scriveremo 18,8 ± 0,3 arrotondando anche il valore della grandezza in modo che la sua ultima
cifra a destra abbia ugual posto dell’analoga per l’incertezza.
18,79 ± 0,13 Qui possiamo lasciare l’incertezza così com’è, con 2 cifre significative (quindi la scrittura va bene):
“l’incertezza Δx viene sempre arrotondata in modo che conservi 1 cifra significativa soltanto,
o al massimo due cifre sign. se la prima di esse è 1 (c’è chi dice: se la prima di esse è ‘piccola’)”.
Questa eccezione viene accettata perché, se non si facesse così, in casi simili
l’arrotondamento dell’incertezza sarebbe troppo “pesante” se rapportato con l’incertezza stessa.
ESERCIZIO (risposte a pag. 75)
1) Prendi in esame ciascuna delle seguenti scritture, per stabilire se è corretta o no.
In quest’ultimo caso, apporta le modifiche appropriate.
b) x = 35,73 ± 0,42
c) x = 2,3 ± 0,0531
a) x = 27,88 ± 0,4
f) x = 4532 ± 50
g) x = 91,3 ± 2
e) x = 7,342 ± 0,079
d) x = 3,25 ± 0,14
h) x = 0,50 ± 0,01
QUANTE CIFRE LASCIARE NEL RISULTATO DI UN CALCOLO SU DATI INCERTI?
Quando si fa una ADDIZIONE o una SOTTRAZIONE
fra numeri che derivano da misurazioni affette da incertezza, il risultato dovrà contenere
lo stesso numero di CIFRE DOPO LA VIRGOLA dell’addendo che ne contiene di meno.
Facciamo qualche esempio.
9,57 + 12,3 + 2,001 = 23,871 ma siccome l’addendo con meno cifre dopo la virgola ne contiene 1 sola,
la somma 23,871 dev’essere arrotondata a 23,9
9,57 + 12 + 2,001 = 23,571 però qui l’addendo con meno cifre dopo la virgola non ne ha nessuna
per cui dobbiamo arrotondare la somma ottenuta alle unità e scriverla come 24
3,2 + 8,77 = 11,97 che però dev’essere arrotondato a 12,0
(e il “,0” va conservato perché comunque la cifra 0 dopo la virgola è significativa)
Quando si fa una MOLTIPLICAZIONE o una DIVISIONE
fra numeri che derivano da misurazioni affette da incertezza, il risultato dovrà contenere
lo stesso numero di CIFRE SIGNIFICATIVE del termine che ne contiene di meno.
Esempi.
7, 081⋅ 4,32 = 30,58992
ma per conservare solo 3 cifre significative (quante ne ha il 2° fattore), siamo costretti ad arrotondare a 30,6
7, 4 ⋅1,43 = 10,582
e tuttavia dovremo arrotondare in modo che le cifre significative siano solo 2 … scrivendo perciò 11
58,4:0,023 = 2539,13...
… però il risultato non potrà essere scritto con più di 2 cifre significative (quante ne ha il divisore)
quindi andrebbe arrotondato a 2500, che tuttavia, scritto così, di cifre significative pare averne quattro …
… risolviamo l’inghippo scrivendo il quoziente in notazione esponenziale, come 2,5 ⋅103
4,02 ⋅ 0,49754 = 2,0001108 ma qui occorre fare in modo che nel risultato le cifre significative
siano soltanto tre, come nel primo fattore. Bene: il risultato andrà allora scritto come 2,00
69
ESERCIZIO (risposte a pag. 75)
2) Considera le coppie x, y di dati seguenti. L’ultima cifra a destra è incerta.
a)
x = 9,5
y = 2,37
b)
x = 32,6
y = 43
d)
x = 2,355
y = 3,2
x
E’ richiesto di scrivere col numero corretto di cifre I) x + y II) x − y III) xy IV)
y
LA “PROPAGAZIONE” DEGLI ERRORI, O MEGLIO: DELLE “INCERTEZZE”
NOTA
SULLA
DISTINZIONE
FRA “ERRORE”
E “INCERTEZZA”
c)
x = 54,3
y = 0,24
Cos’è l’ ERRORE? E’ la differenza (presa in valore assoluto)
fra il valore approssimato, o il valore ricavato da una misura, e il valore vero.
Occhio … SI È PURTROPPO AFFERMATA L’INFELICE CONSUETUDINE
DI CHIAMARE SBRIGATIVAMENTE E IMPROPRIAMENTE “ERRORE”
ANCHE CIÒ CHE IN REALTÀ DOVREBBE ESSERE DENOMINATO
“INCERTEZZA”. /
Il termine “INCERTEZZA” denota
in senso stretto,
una “maggiorazione dell’errore”:
se il valore approssimato o rilevato è x , insomma,
e l’incertezza, intesa in questo modo, è k ,
allora il vero valore sarà compreso fra x − k e x + k ;
in un’accezione più generale, il grado di indeterminazione
cui è soggetto il valore che viene attribuito a una data quantità.
Siano a, b due grandezze, e sia G una terza grandezza che derivi da un’operazione aritmetica su a, b . Allora:
L' incertezza della SOMMA G = a + b
è la somma delle incertezze da cui sono affetti gli addendi: ΔG = Δa + Δb se G = a + b
Di solito questa regola viene enunciata impropriamente così / :
L’errore della somma è uguale alla somma degli errori degli addendi
La stessa identica regola vale per la differenza: l' incertezza della DIFFERENZA G = a − b
è la somma delle incertezze da cui sono affetti i termini: ΔG = Δa + Δb se G = a − b
L’incertezza del PRODOTTO G = ca DI UN NUMERO COSTANTE c > 0 PER UNA GRANDEZZA
è il prodotto del numero fisso per l’incertezza della grandezza: ΔG = cΔa se G = ca
L' incertezza relativa (OCCHIO! RELATIVA, questa volta, non assoluta!) del PRODOTTO G = a ⋅ b
ΔG Δa Δb
=
+
se G = a ⋅ b
G
a
b
Di solito questa regola viene enunciata impropriamente così / :
L'errore relativo del prodotto è la somma degli errori relativi dei fattori
Del tutto analoga a quella sul prodotto, e come essa basata sulle incertezze relative,
a
a ΔG Δa Δ b
=
+
se G =
è la regola per il QUOZIENTE G = :
G
a
b
b
b
è la somma delle incertezze relative dei fattori:
Per la POTENZA G = a n :
ΔG
Δa
=n
se G = an
G
a
valida anche se n è frazionario,
ossia con le radici!
3
2
x2 = x 3
1
x = x2
ESERCIZIO (risposte a pag. 75)
3) Considera le coppie x, y di dati seguenti; per ciascun dato è specificata l’incertezza da cui è affetto.
a)
b)
c)
d)
x = 9,5 ± 0,5
x = 32,6 ± 0,4
x = 54,3 ± 0,8
x = 2,355 ± 0,006
y = 2,37 ± 0,03
y = 43 ±1
y = 0,24 ± 0,02
y = 3,2 ± 0,1
Determina le incertezze assoluta e relativa di: I) x + y II) x − y III) xy IV) x / y V) x 4 VI) x
NOTA - In casi come questi, si fanno i calcoli intermedi con la totalità delle cifre; soltanto alla fine si arrotonda.
70
13. RISPOSTE AGLI ESERCIZI
RISPOSTE agli esercizi delle pagg. 8-9 (CONCETTI INTRODUTTIVI)
2) a) quant. discr. b) qual. sconn. c) quant. discr. d) quant. cont. e) quant. discr. f) qual. ord. g) qual. sconn.
h) quant. discr., anche se poi è opportuno che i dati vengano ripartiti in “classi” (es.: meno di 5000 abitanti …)
6) Numero figli
Freq. ass.
Freq. rel.
Freq. perc.
0
8
8/40 = 0,2
20%
…
…
…
…
7) Molto+Abbastanza+Poco+Pochissimo = 12 + 5 + 5 + 2 = 24 ; 24 = 80/100 x (x = n° totale) da cui x = 30
e perciò Moltissimo = 30 – 24 = 6; Freq. rel. (Moltissimo) = 0,2; Freq. rel. (Molto) = 12/30 = 0,4; ecc.
8) La somma delle freq. rel. è sempre 1.
La freq. rel. della modalità rimanente è perciò 1 − 0,35 − 0,4 − 0, 2 = 0,05 che corrisponde a una perc. del 5%.
3e) “Mai”: 33; 0,66; 66%; …
9) a) F b) F c) F d) F e) F
11)
Ad esempio,
per classi
di 1 voto:
Classe di freq.
4≤ x<5
…
Freq. ass.
1
…
12)
Ad esempio,
per classi
di 7 giorni:
Classe di freq.
Da 1 a 7 gg.
…
Freq. ass.
8
…
…e
per classi
di ½ voto:
Freq. rel.
0,17
…
Classe di freq.
4 ≤ x < 4, 5
…
Freq. ass.
0
…
Freq. perc.
17%
…
13) a) Sì b) Sì c) Sì d) No e) No (anche se si potrebbe inserire un rarissimo “4 o più”) f) Sì g) No h) Sì
RISPOSTE agli esercizi delle pagg. da 28 a 33 (RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE)
1) Ad esempio, arrotondando all’intero, α °( Africa ) = 996 / 6776 ⋅ 360° ≈ 53°
2) Ad esempio, arrotondando all’intero, α °(Ossigeno ) = 46, 6 /100 ⋅ 360° ≈ 168°
3) Si potrebbe prevedere una “fetta” unica per tutti gli elementi presenti in percentuale < 1%, o in tracce.
4)
6)
← Serie storica tracciata con Excel 2003
a) scegliendo Dispers. (XY)
b) poi “Dispersione
con coordinate unite da linee”
c) cliccando su “Etichette dati”,
quindi sul quadratino
accanto a “Valori (Y)”
7) Si potrebbe, ad esempio, pensare alle classi:
da 45 km/h compresi a 50 km/h esclusi;
da 50 compresi a 55 esclusi; ecc.
Per contare il numero di dati di ciascuna classe,
puoi ricorrere ad un uso accorto della funzione
CONTA.SE, come spiegato a pag. 25.
8) In questo caso,
la rappresentazione più “espressiva”
è senz’altro quella del tipo “Istogramma in pila” →
71
9) a) 49 b) 7; 0,14 circa; 14% circa
c) circa il 61% 10) 5; 0,19 (con arrotondamento); 19% (circa)
c) perché diminuisce la natalità (fortissima discesa in 3a colonna) ma simultaneamente
la popolazione è in aumento (principalmente in quanto si vive mediamente più a lungo)
2, 5
1212000
20) Guardando solo l’ideogramma,
⋅ 100 ≈ 83% . Coi numeri, più precisamente,
⋅ 100 ≈ 78%
3
1550000
21) Onestà e competenza = 42% circa … 22) 18 eccellenti (media non inferiore a 9) …
23) Ad esempio, il rettangolo più a sinistra ha base 4 e altezza 149,5
12) b) 10 080 000 circa
RISPOSTE agli esercizi delle pagg. da 48 a 53 (INDICI DI POSIZIONE)
1) Media leggerissimamente superiore a 6,7 (6,7045…); due “mode”: 6,5 e 7,5; mediana = 6,75
2) Media leggerissimamente superiore a 1,9 ore (1,903…); mediana = 2; moda = 1,5
1, 78 ⋅ 5 + x
3)
= 1,80; 8, 90 + x = 10,80; x = 1, 90
6
4) In generale, no: non coinciderà. Potrebbe eccezionalmente coincidere in casi particolari:
ad esempio, se i gruppi hanno ugual numero di elementi, coincide.
Dimostra questo fatto per un caso particolare: ad esempio, considerando 6 dati x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 .
Se questo insieme di 6 elementi viene spezzato in 2 gruppi di 3 elementi ciascuno,
oppure in 3 gruppi di 2 elementi ciascuno, la media generale sarà senz’altro uguale alla media delle medie.
5) Non è possibile rispondere basandosi solo su questi dati!
Bisognerebbe infatti sapere quanti sono gli abitanti, o più precisamente gli aventi diritto al voto,
in ciascuna delle due regioni, o almeno qual è il rapporto fra il loro numero nella regione A e nella regione B.
6) Stessa identica media! ( 25' 28" )
7) a) Media ≈ 14, 24 giorni
b) La media per classi di 7 gg. non differisce di molto dalla media “normale”: si trova infatti ≈ 14, 04 gg.
8) a) spesa minima 7,05 euro, spesa massima 254,50 euro b) spesa media individuale ≈ 50, 53 euro
e) La media “esatta” e quella “per classi” di 10 euro differiscono di pochissimo:
facendo la media per classi si trova infatti esattamente 50,50 euro
9) Beh, la media esatta, no, ma la media per “classi”, prendendo per ciascuna classe il suo valore centrale, sì.
E, come abbiamo precedentemente visto su un paio di esempi e come si potrebbe verificare,
la media così calcolata è una buona approssimazione della vera media.
Si ottiene nel nostro caso una media prossima a 9,78 euro.
10) Poco più di 13 euro 11) Media ≈ 8,59 euro (arrotondando ai centesimi); mediana = 7,5; moda = 5
12) Media leggermente sup. a 11,4 anni; mediana = 11; moda = 12 13) Media ≈ 4,2 ; mediana = 4; moda = 4
8 ⋅ 1 + 7 ⋅ 1, 5 + 7 ⋅ 0,8 + 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 0, 5
≈ 7, 26
1 + 1, 5 + 0,8 + 2 + 0, 5
Per Serena e Martina si ottengono, arrotondando sempre a due cifre dopo la virgola, le medie seguenti:
Serena ≈ 7, 91 ; Martina ≈ 7, 62 . Certo, l’insegnante dovrà poi procedere a un arrotondamento ulteriore …
Voto finale dal 2 al 10: si tratta
I) di restringere la fascia da 0 a 10, in modo che al suo posto si abbia una fascia da 0 a 8
4
II) poi di traslare verso l’alto di 2 unità: v ' = v + 2 , dove si determina prima v col metodo precedente.
5
15) mediamin ≈ 4,14
16) Sì, perché conoscendo la media e il numero dei dati è possibile risalire alla somma dei dati.
La somma di tutti i punteggi della II A è 7, 25 ⋅ 22 = 159, 5 e quella dei punteggi di II B è 7,8 ⋅ 28 = 218, 4 .
Quindi la somma dei punteggi riunendo insieme i 2 gruppi è 377, 9 e la media gen. è 377, 9 / 50 = 7, 558
17) Cambierebbe la media aritmetica, ma mediana e classe modale resterebbero inalterate 18) 7,44
14) Voto finale da 0 a 10: ad esempio, Voto Paolo =
22) Sommando i tempi si ottiene 11h 29' 20" , e sommando le distanze 396,5 km. La velocità media
396, 5 km
396, 5 km
[11h 29' 20" = 41360" =
≈
≈ 34, 51 km/h
sull’intero tragitto è perciò
= 41360:3600 h ≈ 11,49 h]
11h 29' 20"
11,49 h
23) Media ≈ 25, 47; mediana = 25; moda = 25
24) Media = 57 km/h; mediana = 55, 5; moda = 55 . Per classi (da 45 km/h a 49, da 50 a 54, …):
2 classi modali, 50 ≤ v ≤ 54 e 55 ≤ v ≤ 59; classe mediana 55 ≤ v ≤ 59; media per classi = 57 km/h
25) Vedrai che uscirà come media un valore molto prossimo a 3,5.
72
26) Media = 3,8; mediana = moda = 4 27) Media ( per classi ) ≈ 2, 60; cl. mediana = cl. modale : 2, 5 ≤ x < 3
29) ≈ 3,9
30) Il problema sta nella genericità di quel “6 O PIÙ”. Supponendo che il “6 o più” sia un 6,
si ottiene nel 1961 una media di 3,48 componenti per famiglia; questa è dunque una stima per difetto.
Per il numero approssimativo totale dei residenti basta moltiplicare il numero medio
di componenti per famiglia per il numero delle famiglie, disponibile sull’ultima riga
(che dà il numero di migliaia di famiglie relativo a quell’anno).
Per il 2001, data la bassa percentuale di famiglie con “6 o più” componenti,
la media calcolata sostituendo quel “6 o più” con 6 è più attendibile rispetto all’analoga per il 1961.
Si ottiene, per il 2001, media ≈ 2, 59 componenti per famiglia e numero totale residenti vicino a 56.500.000.
31) Qui scriveremo i risultati arrotondandoli a 2 cifre decimali (se ne avevano più di 2).
La REGOLA che applicheremo per l’arrotondamento di un numero è la seguente.
♪ Se vengono trasformate in “0” tutte le cifre a partire da una certa cifra e verso destra,
quando la prima cifra da trasformare in “0” è 0, 1, 2, 3 o 4,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata; es. 8,137105 → 8,1
♫ se invece la prima cifra da trasformare in “0” è 5, 6, 7, 8 o 9,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità; es. 8,16 → 8,2
a) M = 4; M G ≈ 3,35; M A ≈ 2,60; M Q ≈ 4,47 ; b) M = 1,2; M G ≈ 1,15; M A ≈ 1,11; M Q ≈ 1,26 ;
c) M ≈ 0,58; M G = 0,5; M A ≈ 0,43; M Q ≈ 0,66
32) x3 = 30 ⋅ 40 ⋅ 50 da cui x = 3 30 ⋅ 40 ⋅ 50 =
3
60000 ≈ 39,15 (media geometrica delle dimensioni).
1
.
33) La risposta esatta è 150 km / h , ossia la media armonica v =
1
1
+
100 300
2
E’ presumibile che il VIP non sia caduto nel tranello di utilizzare la media aritmetica
perché conosceva già la risposta a questo quesito o comunque a quesiti simili; o anche perché,
con la sua intelligenza “pratica”, aveva capito immediatamente che la domanda era stata posta per metterlo
in difficoltà, e quindi la risposta più “banale” (media aritmetica, 200 km/h) non poteva essere quella giusta.
In ogni caso è stato bravo, e probabilmente non ha sfruttato direttamente la formula per la media armonica,
ma ha ragionato in questo modo, dando allo spazio totale un valore “comodo per i calcoli”:
supponiamo che il percorso complessivo sia di 600 km;
per fare i primi 300 ci si mette 3 ore, per fare gli altri 300 ci si impiega 1 ora.
4 ore in totale, 600 km, da cui 600:4 = 150 kilometri all’ora.
34) AH rappresenta la media geometrica di BH e HC, AM la media aritmetica.
35) Perché nel triangolo rettangolo AHM il cateto AH è sempre < dell’ipotenusa AM. Si avrebbe l’uguaglianza
AH = AM se i due segmenti fossero fra loro sovrapposti, il che avviene quando ABC è isoscele.
36) La media quadratica dei cateti. Infatti, per qualunque coppia di cateti, è (Teorema di Pitagora)
PA 2 + PB2 = P'A 2 + P'B2 = P''A 2 + P''B2 = AB = costante .
Quindi è costante, per ogni coppia di cateti a, b, anche la quantità
37) v =
a 2 + b2
a 2 + b2
(media quadr.)
=
2
2
1
3
3 ⋅ 30 ⋅ 35 ⋅ 45
141750
=
=
=
≈ 35, 66 (km/h)
1
1
1
35 ⋅ 45 + 30 ⋅ 45 + 30 ⋅ 35 1575 + 1350 + 1050
3975
+
+
30 35 45
30 ⋅ 35 ⋅ 45
3
E’ la media armonica delle 3 velocità. Osserviamo che la risposta non dipende dalla lunghezza del percorso:
se il circuito fosse stato di 5 km, o di 700 metri, avremmo ottenuto il medesimo risultato.
30 + 35 + 45
38)
km/h ≈ 36,67 km/h (media aritmetica delle tre velocità)
3
Osserviamo che la risposta non dipende dal tempo, nel senso che sostituendo a “5 minuti”
un altro intervallo di tempo qualsiasi, la velocità media rimarrebbe sempre la stessa.
24 + v
Rifletti sul motivo della grande
= 27; 24 + v = 54; v = 30 km/h
39) a) 6 km/h b) 1, 8 km/h differenza
rispetto alla risposta a) ... 40)
2
1
3
s 4 ⋅ 24 + 4 ⋅ v
24 + v + v + v
3
41)
= 27; 24 + 3v = 108; 3v = 84; v = 28 km/h OPPURE : =
= 27; v = 21; v = 28 km/h
4
t
4
1
73
1
42)
2
= 27;
2
48v
= 27;
= 27; 48v = 27v + 24 ⋅ 27; 21v = 648; v ≈ 30,86
v + 24
v + 24
24v
= 27;
1 1
1 1
+
+
24 v
24 v
2
Nel1° tratto di 6 km,
1
= 27; ... v ≈ 27,87
s 6 + 24
6
km
1 1 1 1 1
OPPURE :
=
= 27 ecc.
43) velocità =
= 24 km/h →
+
+
+
+
t 1 24
1
v
v
v
v
24
+
h
4 v
4
5
44) Al termine del terzo anno il posseggo il 99,498% di ciò che possedevo inizialmente:
ci ho quindi perso un pochino (leggermente più dello 0,5%)
46) Il tasso di interesse medio annuo è del 22,4745% circa (approssimazione per leggerissimo eccesso).
In sé questo 22,4745 (approssimato) non rappresenta una media di alcun tipo, ma si può dire che 122,4745
(ammontare del debito dopo 1 anno, se la cifra iniziale era 100) rappresenta la media geometrica fra 100 e 150
2
47)
x ⎞
x
x
x
⎛
p ⎜1 −
= 0,5; −
= 0,5 − 1;
= 1 − 0,5; x = 100 ⋅ (1 − 0,5 ) ≈
⎟ = 0,5 p ; 1 −
100
100
100
⎝ 100 ⎠
≈ 100 ⋅ (1 − 0,707) = 100 ⋅ 0, 293 = 29,3
La perdita di valore media annua è stata circa del 29,3%
48)
k
k
24
+
2
k
40
=
1
1
24
+
1
=
40
2
1
24
+
1
40
=
2
2 ⋅ 24 ⋅ 40
=
= 30 ( media armonica )
40 + 24
64
24 ⋅ 40
2
l sarà di 90°
49) Traccia innanzitutto CA, CB; ACB
perché inscritto in una semicirconferenza;
per Euclide II°, o coi triangoli simili, si ha allora
PC = AP ⋅ PB = ab = M G (a, b) .
Poi: OC = r = AB / 2 = (a + b) / 2 = M (a, b) ;
DC : PC = PC : OC ( PDC simile con OPC ) →
PC2
ab
1
1
→ DC =
=
=
=
= M A (a, b);
OC a + b a + b 1 1
+
2
ab
a b
2
2
…
RISPOSTE agli esercizi delle pagg. 54-55 (INDICI DI DISPERSIONE)
1) a) I) campo di variabilità = 6
b) I) campo di var. = 1
II) scarto ass. medio = 1,6 III) deviaz. st. = 2
IV) coeff. di variaz. = 0,5
II) scarto ass. medio = 0,32 III) deviaz. st. = 0,4 IV) coeff. di variaz. = 1/3
c) I) c. var. = 3/4 II) scarto ass. medio = 5/18 III) dev. st. =
7 / 72 ≈ 0, 3118 IV) coeff. var. ≈ 0,5345
2) Senza dubbio è preferibile “scarto assoluto medio” ( = la media degli scarti, presi in valore assoluto).
“Scarto medio”, per la smania di abbreviare evitando un aggettivo, in realtà pretende che il lettore
questo aggettivo lo tenga presente molto bene, perché la media degli scarti “e-basta” sarebbe 0!
“Scarto medio assoluto”, se presa alla lettera, vorrebbe dire che
calcolo la media degli scarti (ottenendo 0), poi di questa media faccio il valore assoluto: risultato finale 0.
3) Sono pressappoco uguali (coeff. di var.: ≈ 0,044 e ≈ 0,045), con una leggerissima prevalenza per il piede.
4) I due coefficienti di variazione, soprattutto; e anche i due campi di variabilità, rapportati alle rispettive medie.
5) media ≈ 20,85; sc. q. m. ≈ 16,44; media per classi di 3 anni ≈ 20,92; media per cl. di 5 anni ≈ 20,69
6) Il più “regolare” è lo studente C che, a parità di media, ha avuto scarto quadratico medio inferiore
7) I padri, il cui coefficiente di variazione è maggiore, sono stati i più disomogenei
11) Ad esempio una catena dimostrativa potrebbe essere la seguente:
( x1 − M )2 + ( x2 − M )2
x12 − 2Mx1 + M 2 + x22 − 2Mx2 + M 2
x 2 + x22 2M 2 − 2Mx1 − 2Mx2
= 1
+
=
2
2
2
2
x 2 + x22
x 2 + x22
x 2 + x22
x 2 + x22
= 1
+ M 2 − Mx1 − Mx2 = 1
+ M 2 − M ( x1 + x2 ) = 1
+ M 2 − M ⋅ 2M = 1
−M2
2
2
2
2
=
74
RISPOSTE agli esercizi di pag. 64-65 (ERRORI DI MISURA)
0 − 2 + 1− 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 5 − 2 2 +1+ 0 + 0 + 3 6
0+1+2+2+5
5−0
= 2 b)
= 2,5 c)
=
= = 1, 2
5
2
5
5
5
2
2
2
2
2
( 0 − 2 ) + (1 − 2 ) + ( 2 − 2 ) + ( 2 − 2 ) + ( 5 − 2 )
4 + 1 + 0 + 0 + 9 14
d)
e) 2,8 ≈ 1,7
=
=
= 2,8
5
5
5
2) a) V
b) F. Scrivendo G = x ± s , con x media e s scarto quadratico medio,
intendo che pressappoco il 68% delle misure effettuate rientra in quell’intervallo.
s
,
Detto n il numero delle misure eseguite, è invece l’intervallo (molto più piccolo) di estremi x ±
n
quello che ha circa il 68% di probabilità di contenere il vero valore della grandezza in esame
1) a)
c) F (probabilmente, non “certamente”)
d) V
e) V
f) F g) F: dev.st.pop()
h) F: quadruplicarlo
3) a) da 152, 4 − 2 ⋅ 2,5 = 152,4 − 5 = 147, 4 a 152, 4 + 2 ⋅ 2,5 = 152, 4 + 5 = 157, 4
2,5
2,5
b) fra 152, 4 − 2 ⋅
= 152, 4 − 2 ⋅
= 152, 4 − 2 ⋅ 0,1 = 152, 4 − 0, 2 = 152, 2 e 152,4 + 0, 2 = 152,6
25
625
4) a) Tra 171,2 e 175,8
b) Arrotondando 2,3 / 64 = 0,2875 a 0,3 , si ottiene l’intervallo da 173,2 a 173,8
5) a) x ≈ 42,7; s ≈ 0,9 . Quindi scriveremo (42, 7 ± 0, 9) secondi .
Il significato della scrittura è che circa il 68% delle misure dovrebbe essere compreso tra 42, 7 − 0, 9 e
42, 7 + 0, 9 (estremi esclusi). Se vai a contare il numero di valori nell’intervallo (42, 7 − 0, 9 ; 42, 7 + 0, 9)
ossia (41,8 ; 43, 6) ne troverai 53; ora, 53/ 80 = 0,6625 che è prossimo a 0,68 (68%) in accordo con
quanto detto. Invece i valori tra x − 2s e x + 2s , ossia tra 42,7 − 1,8 = 40,9 e 42,7 + 1,8 = 44,5 sono 77
e 77 / 80 = 0,9625 che è vicino al 95% (0,95) della teoria.
b) Il valore di s / n = s / 80 è ≈ 0,1 . Allora un intervallo di confidenza al 95% per il valore
della grandezza è quello di estremi 42, 7 ± 2 ⋅ 0,1 = 42, 7 ± 0, 2 . Ciò significa che tale intervallo (42,5 ; 42,9)
ha una probabilità del 95% circa di contenere il valore sconosciuto del tempo di caduta in esame.
7) da 43 a 45 anni; da 24 a 64 anni 8) Circa il (100% − 68%) / 2 = 16%
9) Un intervallo che ha il 95 % di probabilità di contenere l’altezza media di tutti i ragazzi di quell’età,
residenti in quella città, è quello che va da cm 167 − 2 ⋅ 10 / 420 ≈ 166 a cm 167 + 2 ⋅ 10 / 420 ≈ 168
10) fra 70 e 130 11) 16 = 10 + 2 ⋅ 3 quindi la distanza dalla media è di 2 dev. st.: circa il (100% − 95%) / 2 = 2,5%
12) Quando le misure sono poche, si utilizza preferibilmente la semidispersione d . In questo caso,
d = 1, 5 mentre la media delle misure è 86,2; si scriverà il valore della grandezza come x ± d = 86,2 ± 1,5
13) a) Si ottiene 2, 58 ± 0, 03 con un arrotondamento ai centesimi per x
b) La scrittura 2, 58 ± 0, 03 che utilizza la semidispersione dà un’informazione di facile leggibilità sulla media
delle misure rilevate e sull’intervallo nel quale approssimativamente si sono distribuite, ma osserviamo che
comunque IN GENERE NON TUTTE le misure rientrano nell’intervallo così determinato.
In questo esempio, la misura più piccola è esterna all’intervallo; nel precedente, lo era la misura più grande.
14) La 1a non è corretta perché non viene specificato di che tipo è l’incertezza; nella 2a manca l’unità di misura.
0, 04 1
0, 5
1
15) 1a scrittura : incertezza rel. =
= ; 2a scrittura : incert. rel. =
= . Sono precise allo stesso modo!
3, 24 81
40, 5 81
16) 0, 2 / 8, 0 = 0, 025 . L’incertezza relativa percentuale è del 2,5%
17) I due “coefficienti di variazione” (rapporti fra scarto quadratico medio e media). E’ minore quello del caso a).
18) 2,0 / n = 0,1;
n = 20; n = 400
19) Le rispettive incertezze relative sono: 0,04; 0,03; 0,025. La misura più precisa è dunque la c).
20) La differenza fra 4,97 (media) e 4,60 è 0,37, vicina al doppio dello scarto quadratico medio che è circa 0,18.
Fermo restando che il campione di bustine esaminate è un po’ piccolino ai fini di una stima attendibile delle
condizioni di tutto l’insieme delle bustine prodotte in una giornata, possiamo presumere che sulle ≈ 48000
peserà non più di 4,6 grammi una percentuale prossima alla metà del 5%, che corrisponde a 1200 bustine.
21) a) Distribuzione con
“coda verso destra”
(positively skewed)
Ö
b) media ≈ 7,9; mediana = 8; moda = 9
75
RISPOSTE agli esercizi delle pagg. 68-69 (ARROTONDAMENTI E CIFRE SIGNIFICATIVE)
1)
a) NO. x = 27,9 ± 0,4
e) NO. x = 7,34 ± 0,08
b) NO. x = 35,7 ± 0,4
f) NO. x = 4530 ± 50 = (453 ± 5) ⋅10
c) NO. x = 2,30 ± 0,05
g) NO. x = 91 ± 2
d) SI’
h) SI’
2)
a)
b)
c)
d)
x + y = 11,87 11, 9
x + y = 75, 6 76
x + y = 54, 54 54, 5
x + y = 5, 555 5, 6
x − y = 7,13 7,1
x − y = −10, 4 − 10
x − y = 54, 06 54,1
x − y = −0,845 − 0,8
2
xy = 22,515 23
xy = 1401,8 1400 14 ⋅10
xy = 13, 032 13
xy = 7, 536 7, 5
x / y = 4, 008... 4, 0 x / y = 0, 758... 0, 76
x / y = 226, 25 230 23 ⋅10 x / y = 0, 73593... 0, 74
3) a) I) assoluta: 0, 53 0, 5 relativa: 0, 04465... 0, 04 II) assoluta: 0, 53 0, 5 relativa: 0, 07433... 0, 07
III) relativa: 0, 06528... 0, 07 assoluta: 1, 47 1, 5 IV) relativa: 0, 06528... 0, 07 assoluta: 0, 2617... 0, 3
V) rel.: 0, 21052... 0, 2 ass.: 1714,75 1700 = 1,7 ⋅ 103 VI) rel.: 0, 02631... 0, 03 ass.: 0, 08111... 0, 08
b) I) assoluta: 1, 4 (NOTA 1); relativa: 0, 01851... 0, 02 (NOTA 2)
NOTA 1
Abbiamo detto che nelle scienze sperimentali si solito si osserva la prassi seguente:
L’incertezza Δ x viene sempre arrotondata in modo che conservi una cifra significativa soltanto
O AL MASSIMO DUE CIFRE SIGNIFICATIVE SE LA PRIMA DI ESSE È 1
Avevamo poi specificato che non tutti sono concordi in questo.
Alcuni accettano nell’incertezza fino a due cifre significative; altri suggeriscono di usare
due cifre significative se la prima cifra è bassa (c’è chi dice 1 o 2, c’è chi dice 1, 2, 3 o 4), altrimenti una.
In effetti, se la prima cifra è piccola, eliminare con l’arrotondamento la seconda porterebbe
ad una perdita di precisione ritenuta eccessiva anche per un’incertezza.
Vediamo di spiegarci con un esempio.
Se arrotondo 8, 4 a 8, come si deforma il mio valore?
Di poco, perché cambia di 0,4; e 0,4/8 = 0,05 : cambia quindi del 5%.
Se invece arrotondo 1, 4 a 1, qual è la perdita in precisione? E’ 0, 4/1 = 0,4 che corrisponde addirittura al 40%.
Ecco perché se la prima cifra è piccola
(noi abbiamo scelto di considerare tale solo la cifra 1,
altri fanno rientrare nelle cifre “basse” anche il 2, qualcuno si spinge fino al 3 e al 4)
è ragionevole mantenere 2 cifre significative:
la compattezza del dato ne risente un poco, ma si evita una perdita di precisione “importante” in percentuale.
NOTA 2
E’ vero che la prima cifra significativa dell’incertezza relativa comincia qui con 1,
e che in questo caso avevamo scritto di tenere due cifre significative anziché una,
ma di fronte al valore 0, 01851... non sembra comunque opportuno fare questa scelta (che porterebbe a 0,019),
perché con l’arrotondamento a 0,02 alteriamo di ben poco, in percentuale, il numero 0,01851…
e in compenso otteniamo una leggibilità decisamente maggiore.
In generale si incoraggia a usare il “buon senso” in queste scelte se arrotondare o no, badando,
♪ da una parte, che il valore arrotondato non sia molto diverso, in percentuale,
rispetto al valore originario,
♫ dall’altra alla compattezza e facile leggibilità dell’espressione
e tenendo sempre presente il contesto:
in che modo sono stati rilevati i dati sperimentali?
di che tipo è l’incertezza?
che finalità ha il nostro studio, o a chi è rivolta la nostra esposizione?
II) assoluta: 1, 4 relativa: 0,13461... 0,13 III) relativa: 0, 03552... 0, 04 assoluta: 49,8 50 = 5 ⋅ 10
IV) relativa: 0, 03552... 0, 04 assoluta: 0, 02693... 0, 03
V) rel.: 0, 04907... 0, 05 ass.: 55433, 5616 60000 6 ⋅ 104 VI) rel.: 0, 00613... 0, 006 ass.: 0, 03502... 0, 04
c) I) assoluta: 0,82 0,8 relativa: 0, 01503... 0, 015
II) assoluta: 0,82 0,8 relativa: 0, 01516... 0, 015
III) relativa: 0, 098... 0,1 assoluta: 1, 278 1, 3 IV) relativa: 0, 098... 0,1 assoluta: 22,1875 20 = 2 ⋅10
V) rel.: 0, 05893... 0, 06 ass.: 512329, 6224 500000 5 ⋅ 105 VI) rel.: 0, 00736... 0, 007 ass.: 0, 05428... 0, 05
d) I) assoluta: 0,106 0,11 relativa: 0, 01908... 0, 02 II) assoluta: 0,106 0,11 relativa: 0,12544... 0,13
III) relativa: 0, 03379... 0, 03 assoluta: 0, 2547 0, 3 IV) relativa: 0, 03379... 0, 03 assoluta: 0, 02487... 0, 02
V) relativa: 0, 01019... 0, 01 assoluta: 0, 31346... 0, 3 VI) rel.: 0, 00127... 0, 0013 ass.: 0, 00195... 0, 002
76
INTRODUZIONE ALLA TRIGONOMETRIA
1. SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO: UN PRIMO APPROCCIO
NOTA - In questo capitolo utilizzeremo
♥ il PUNTO, anziché la virgola,
come separatore per i decimali
JJJG JG
Il vettore PQ = v in figura
ha modulo 5;
l’ampiezza dell’angolo α è di 40°.
Quanto misurerà il m
odulo
JJJ
G JG di
PR = v ' ?
Problemi di questo tipo
si presentano di frequente in Fisica.
Fra i tantissimi esempi,
possiamo pensare allo studio
del moto su di un piano inclinato
sotto l’azione della forza di gravità:
è proprio la situazione
a cui si ispira la figura.
Come è ovvio, la risposta dipende strettamente dal fatto
JG che l’angolo α è proprio di 40°.
Se, poniamo, α misurassJGe invece 20° (e la misura di v fosse sempre 5: figura qui a destra),
la risposta cambierebbe: v ' avrebbe, in questo caso, un modulo più piccolino
(osserviamo comunque, Jper
G inciso, che nel passaggio da α = 40° ad α = 20°
il valore del modulo di v ' NON diventerebbe esattamente la metà!). Bene:
chiamiamo “seno” di un angolo acuto α un numero,
che è caratteristico dell’angolo stesso;
il “seno” di α è il numero per cui moltiplicare l’ipotenusa
di un triangolo rettangolo che ha un angolo acuto uguale ad α ,
per ottenere la misura del cateto opposto !!!
Prendi la macchinetta calcolatrice e digita 40 sul display.
Premi ora il tasto sin .
Sul display comparirà il numero cercato, che si scrive " sen α " o " sin α " (leggi: " sen alfa " o " seno di alfa " ):
in questo caso, si tratterà di " sen 40° " , leggi " seno di 40°" .
Esso è 0.6427876 (valore approssimato; salvo casi particolarissimi, i numeri così ottenuti
hanno infinite
cifre decimali, e la macchinetta li arrotonda).
JG
Se ora moltiplichi il modulo di v (cheJGè 5) per sen α = sen 40° = 0.6427876 ,
otterrai 3.2139381 che è il modulo di v ' .
Fai poi la stessa cosa supponendo che l’angolo α misuri 20° .
JG
Otterrai sen 20° = 0.3420201 che è Jdunque
il valore per cui moltiplicare il modulo di v
G
se si desidera ottenere
JG il modulo di v ' , qualora sia α = 20° .
Perciò il modulo di v ' sarà in questo caso 0.3420201 ⋅ 5 = 1.7101008
IL SENO DI UN ANGOLO ACUTO α
sen α = numero per cui moltiplicare l 'ipotenusa di un triangolo rettangolo
che abbia α come angolo acuto, se si vuole ottenere il cateto opposto
CB = AB ⋅ sen α
sen α =
CB cateto opposto
=
AB
ipotenusa
Il seno di un angolo acuto α è quindi uguale al rapporto, al quoziente,
fra il cateto opposto e l’ipotenusa,
in un triangolo rettangolo che abbia α come angolo interno.
Poiché in un triangolo rettangolo ogni cateto è minore dell’ipotenusa,
il seno di un angolo acuto sarà sempre <1.
Osserviamo che se noi teniamo fissa l’ampiezza dell’angolo α ,
ma restringiamo o allarghiamo il triangolo rettangolo,
il rapporto cateto opposto/ipotenusa , ossia il seno, non cambia,
perché se ad esempio il cateto si riduce alla metà, la stessa cosa
avviene anche all’ipotenusa, per cui il loro quoziente rimane inalterato:
CB / AB = C'B' : AB' = C''B'' : AB'' = ...
Per questo la definizione è “ben posta”:
la quantità sen α dipende esclusivamente dall’angolo α ,
e non dal particolare triangolo rettangolo considerato.
sen α oppure sin α
Latino sinus , inglese sine
CB cateto opposto
sen α =
=
AB
ipotenusa
77
Si dice che IL “SENO”
È UNA “FUNZIONE ANGOLARE”.
“Funzione” indica una quantità che
dipende in modo univoco da un’altra.
Nel nostro caso, il valore del seno dipende
in modo univoco dall’ampiezza dell’angolo.
NELLA FUNZIONE “SENO”
• al raddoppiare dell’angolo, il seno NON raddoppia;
• se l’angolo diventa triplo, il seno NON diventa triplo;
• se l’angolo dimezza, il seno NON dimezza …
eccetera.
OCCHIO a non fare confusione.
La scrittura sen α non ha proprio NIENTE A CHE FARE con una moltiplicazione:
non significa “sen” moltiplicato “ α ” … per carità, non avrebbe nessun senso!
Come non avrebbe senso scrivere “sen” e basta. La scrittura sen α significa “il seno di α ”:
α è l’angolo e sen indica la funzione, indica che vogliamo passare dall’ampiezza dell’angolo
a quel numero che ne esprime il “seno”, e del quale ben conosciamo il significato geometrico.
Vediamo se hai capito. Copri con la mano le risposte, che sono riportate immediatamente sotto.
PROBLEMA 1)
Se nel triangolo rettangolo
in figura io conosco
l = 24°
RQ = 4 m , R
e dispongo di una
macchinetta calcolatrice,
potrò determinare
tutti gli altri lati?
PROBLEMA 2)
Se nel triangolo rettangolo
in figura io conosco
l = 57°
FG = 5 cm , E
e dispongo di una
macchinetta calcolatrice,
potrò determinare tutti i lati?
RISPOSTE
1) Sì. PQ = RQ ⋅ sen 24° = 4 ⋅ 0.4067366 = 1.6269466 . RP potrà essere calcolato con Pitagora oppure così:
l = 180° − 90° − 24° = 66° ; RP = RQ ⋅ sen 66° = 4 ⋅ 0.9135454 = 3.6541818
Q
5
5
l = FG → EG = FG =
2) Sì. sen E
=
= 5.961817 , poi EF con Pitagora oppure facendo:
l sen 57° 0.8386705
EG
sen E
l = 180° − 90° − 57° = 33° ; EF = EG ⋅ sen 33° = 5.961817 ⋅ 0.544639 = 3.2470383
G
COME RISALIRE DAL VALORE DEL SENO ALL’AMPIEZZA DELL’ANGOLO
Se nel triangolo rettangolo in figura io conosco
SW = 3 cm , ST = 4 cm
e dispongo di una macchinetta calcolatrice,
potrò determinare le ampiezze degli angoli acuti?
Certamente!
l = ST = 4 = 0.8
Prima, con Pitagora, WT = SW 2 + ST 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 , quindi sen W
WT 5
l
da cui potrò risalire all’ampiezza di W digitando 0.8 con la calcolatrice poi premendo il tasto sin−1 .
Questa in genere nelle macchinette è una “seconda funzione”: per attivarla si premerà prima il tasto 2ndF .
Si trova 53.130102 ovvero una misura in: gradi, decimi di grado, centesimi di grado …
Volendo trasformare in gradi, primi (60-esimi di grado) e secondi (60-esimi di primo), come si può fare?
Si prende la parte dopo il punto decimale ossia 0.130102
e ci si chiede innanzitutto a quanti primi, ossia a quanti 60-esimi di grado, corrisponde:
x
0.130102 =
→ x = 0.130102 ⋅ 60 = 7.80612 quindi 7' + 0.80612' .
60
Ma a quanti secondi ( = 60-esimi di primo) corrispondono ora 0.80612' ?
y
0.80612 =
→ y = 0.80612 ⋅ 60 = 48.3672 cioè 48'' + ancora una frazione di secondo.
60
A questo punto possiamo però accontentarci, e approssimare 53.130102° con 53° 7 ' 48'' .
OSSERVAZIONE - Il tasto, sulla macchinetta, per risalire dal seno all’angolo, è dunque sin −1 ;
comunque quel “ −1 ” in alto a destra non è un esponente, è piuttosto uno PSEUDO-esponente:
non significa “fare il reciproco”, ma “applicare la funzione inversa, quella che fa tornare indietro”.
78
E veniamo ora alla funzione “sorella” del seno: il coseno, e a una “cugina”: la tangente.
IL COSENO DI UN ANGOLO ACUTO α
cos α = numero per cui moltiplicare
l ' ipotenusa di un triangolo rettangolo
che abbia α come angolo acuto,
se si vuole ottenere il cateto adiacente
AC = AB ⋅ cos α
cos α =
AC cateto adiacente
=
AB
ipotenusa
Il coseno di un angolo acuto α è quindi uguale
al rapporto, al quoziente, fra il cateto adiacente e l’ipotenusa,
in un triangolo rettangolo che abbia α come angolo interno.
Poiché in un triangolo rettangolo
ogni cateto è minore dell’ipotenusa,
il coseno di un angolo acuto sarà sempre <1.
cos α =
AC cateto adiacente
=
AB
ipotenusa
Riprendiamo un attimo il problema 1).
Si trattava di determinare i lati del triangolo in figura sapendo che
l = 24°
RQ = 4 m , R
Bene: per calcolare RP, si potrebbe dunque utilizzare il coseno e scrivere
l = RQ ⋅ cos 24° = 4 ⋅ 0.9135454
RP = RQ ⋅ cos R
dove il valore del coseno è stato ricavato tramite una macchinetta calcolatrice,
digitando 24 poi pigiando il tasto cos .
Il tasto, sulla macchinetta, che permette di risalire dal coseno all’angolo, è cos −1
LA TANGENTE DI UN ANGOLO ACUTO α
tg α = numero per cui moltiplicare
il cateto adiacente ad α in un triangolo rettangolo
che abbia α come angolo acuto,
per ottenere il cateto opposto
CB = AC ⋅ tg α
tg α =
cateto opposto
CB
=
AC cateto adiacente
La tangente goniometrica di un angolo acuto α è quindi uguale
al rapporto, al quoziente, fra il cateto opposto e il cateto adiacente,
in un triangolo rettangolo che abbia α come angolo interno.
La tangente goniometrica
(di solito si dice, per abbreviare: “la tangente”)
di un angolo acuto può assumere valori qualsiasi, anche molto grandi.
tg α =
cateto opposto
CB
=
AC cateto adiacente
tg α oppure tan α
Si legge “tangentalfa”
La tangente è legata al seno e al coseno da una semplice relazione:
CB
sen α
CB AB
=
=
tg α =
AC AC
cos α
AB
Riprendiamo il problema 2).
l = 57° . Per calcolare EF, si potrebbe procedere così:
I dati erano: FG = 5 cm , E
l = FG ⋅ tg 33° = 5 ⋅ 0.6494075 = 3.247038
l = 180° − 90° − 57° = 33° ; EF = FG ⋅ tg G
G
Il tasto sulla calcolatrice per ottenere la tangente porta in genere la scritta tan .
5
l = EF ⋅ tg 57° → EF = FG =
In alternativa: FG = EF ⋅ tg E
= 3.247038
tg 57° 1.539865
Il tasto, sulla macchinetta, che permette di risalire dalla tangente all’angolo, è tan −1
OSSERVAZIONE - In questo paragrafo, per semplicità, abbiamo utilizzato sempre il simbolo = anche quando,
per via dei valori approssimati, avremmo dovuto, più rigorosamente, scrivere ≈ che significa “uguale circa”.
79
ESERCIZI (risposte a pag. 81)
1)
I) sen α = ? a)
d)
II) cos α = ? a)
d)
III) tg α = ?
a)
d)
2)
l =?
I) sen R
l =?
II) cos R
l =?
III) tg R
cateto opposto
cateto adiacente
cateto adiacente
ipotenusa
cateto opposto
cateto adiacente
cateto adiacente
ipotenusa
cateto opposto
cateto adiacente
cateto adiacente
ipotenusa
3
4
3
a)
4
3
a)
4
a)
4
3
4
b)
3
4
b)
3
b)
cateto adiacente
cateto opposto
c)
cateto opposto
ipotenusa
ipotenusa
ipotenusa
e)
f)
cateto opposto
cateto adiacente
cateto adiacente
cateto opposto
b)
c)
cateto opposto
ipotenusa
b)
ipotenusa
ipotenusa
f)
cateto opposto
cateto adiacente
cateto adiacente
cateto opposto
b)
c)
cateto opposto
ipotenusa
ipotenusa
ipotenusa
e)
f)
cateto opposto
cateto adiacente
e)
4
5
4
c)
5
4
c)
5
c)
5
4
5
d)
4
5
d)
4
d)
3
5
3
e)
5
3
e)
5
e)
5
3
5
f)
3
5
f)
3
f)
3)
l =? …
I) a) sen B
l = ?…
b) cos B
l = ?…
c) tg B
l =? …
II) a) sen C
l = ?…
b) cos C
l = ?…
c) tg C
4) La tabella seguente riporta i valori di seno, coseno e tangente di alcuni angoli particolari
(arrotondati a 2 cifre decimali: fanno eccezione solo sen 30° e cos 60° che valgono esattamente 0.5).
Utilizzando la tabella, determina i valori approssimati dei segmenti
che nelle varie figure sono indicati col “punto interrogativo”.
α°
sen α
cos α
tg α
10°
0.17
0.98
0.18
20°
0.34
0.94
0.36
30°
0.50
0.87
0.58
40°
0.64
0.77
0.84
50°
0.77
0.64
1.19
60°
0.87
0.50
1.73
70°
0.94
0.34
2.75
80°
0.98
0.17
5.67
Prima di svolgere gli esercizi osserva la tabella:
♪ potrai notare che il seno di un angolo coincide col coseno dell’angolo complementare
(due angoli sono fra loro “complementari” quando sono del tipo α , 90° − α ossia
quando la loro somma è di 90°: ad esempio, un angolo di 20° e uno di 70° sono complementari).
♫ quando l’angolo raddoppia, NON è vero che seno, coseno, tangente raddoppino
(il loro valore è piuttosto vicino al doppio solo quando l’angolo è piccolo,
ma conservando un numero maggiore di cifre decimali,
si potrebbe osservare che nemmeno per gli angoli piccoli
al raddoppiare dell’angolo si ha un valore della funzione esattamente doppio).
a)
b)
c)
80
d)
e)
f)
g)
5) Sapendo che sen α = 0.95 e cos β = 0.92
con una macchinetta calcolatrice determina, arrotondandole al grado,
le misure degli angoli α, β, γ di un triangolo ABC.
6) a) Prova a inserire nella macchinetta calcolatrice il numero 2 e a pigiare poi il tasto
(seconda funzione) sen −1 . Che succede? … Cosa significa tutto ciò?
b) Che valore ti aspetti di ottenere, a “occhio”, se fai invece il calcolo tan −1(2)?
7) TRASFORMARE IN GRADI, PRIMI E SECONDI
UN ANGOLO ESPRESSO IN GRADI, DECIMI DI GRADO, ECCETERA
Esempio:
13.548° = 13° + 0.548°
0.548 ⋅ 60 = 32.88
13.548° = 13° + 32'+ 0.88'
0.88 ⋅ 60 = 52.8
13.548° ≈ 13° 32' 53''
ESERCIZI
a) 19.72°
b) 2.4837°
c) 133.842°
d) 12.12°
e) 38.245°
f) 48.357°
g) 19.88°
8) Con la calcolatrice tascabile, stabilisci quanto misurano gli angoli acuti
dei triangoli rettangoli che corrispondono alle quattro “terne pitagoriche”
a) 5, 12, 13
b) 7, 24, 25
c) 9, 40, 41
d) 48, 55, 73
E’ richiesto di approssimare l’angolo ai gradi e ai PRIMI.
9) TRASFORMARE IN GRADI, DECIMI DI GRADO, ECCETERA,
UN ANGOLO ESPRESSO IN GRADI, PRIMI, SECONDI
Esempio:
32 27 ⎞ ⎛
32 ⋅ 60 + 27 ⎞
° = ⎜ 45 +
° = 45.540833...° ≈ 45.54°
45° 32' 27'' = ⎛⎜ 45 + +
⎟
60 3600 ⎠ ⎝
3600 ⎟⎠
⎝
ESERCIZI
a) 3° 14'
b) 89° 59' 28''
c) 23° 8' 30''
d) 75° 24'
e) 1° 2 ' 3''
f) 123° 47 ' 38''
81
10) Con GeoGebra,
disegna un triangolo rettangolo ( “retta perpendicolare”),
evidenzia l’angolo retto (GeoGebra lo marcherà con un quadratino),
poi evidenzia un angolo acuto e, tramite i rapporti
cateto opposto/ipotenusa,
cateto adiacente/ipotenusa,
cateto opposto/cateto adiacente,
servendoti di “testi dinamici” (vol. 1, Geometria, cap. 4),
visualizza i valori di seno, coseno, tangente di quell’angolo.
Come devi deformare il triangolo se vuoi che si avvicini a 1 il valore del seno/del coseno/della tangente?
RISPOSTE
1) I) b II) d III) a
2) I) c II) e III) b
3) I) a) 5/13 b) 12/13 c) 5/12 II) a) 12/13 b) 5/13 c) 12/5
4) NOTA - Se un calcolo darà come risultato un numero con più di 2 cifre dopo la virgola,
arrotonderemo ai centesimi, seguendo la REGOLA PER GLI ARROTONDAMENTI seguente:
♪ Se vengono trasformate in “0” tutte le cifre a partire da una certa cifra e verso destra,
quando la prima cifra da trasformare in “0” è 0, 1, 2, 3 o 4,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata;
♫ se invece la prima cifra da trasformare in “0” è 5, 6, 7, 8 o 9,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità.
Esempi:
l’arrotondamento di 2.4763 ai centesimi è 2.48; quello di 0.372 sempre ai centesimi è 0.37.
a) AC = 12 ⋅ sen 20° ≈ 12 ⋅ 0.34 = 4.08 AB = 12 ⋅ cos 20° ≈ 12 ⋅ 0.94 = 11.28
b) JL = 25 / sen 30° = 25 / 0.5 = 50 (non abbiamo messo il simbolo ≈ perché il valore 0.5 per sen 30°
è, eccezionalmente, un valore esatto e non approssimato;
inoltre, pure il calcolo 25/0.5 dà esattamente 50)
IJ = JL ⋅ cos 30° ≈ 50 ⋅ 0.87 = 43.5
⎤ dove le differenze fra i valori trovati coi tre metodi
si devono al fatto che nella nostra tabella
⎥
oppure IJ = IL / tg 30° ≈ 25 / 0.58 ≈ 43.10
i valori di seno, coseno e tangente
⎥
l = IL ⋅ tg 60° ≈ 25 ⋅ 1.73 = 43.25⎥
oppure IJ = IL ⋅ tg L
⎦
non sono in generale esatti ma approssimati
c) FE = 60 ⋅ tg 40° ≈ 60 ⋅ 0.84 = 50.4 ED = 60 / cos 40° ≈ 60 / 0.77 ≈ 77.92
d) RQ = 20 ⋅ sen10° ≈ 20 ⋅ 0.17 = 3.4 PQ = 20 ⋅ cos10° ≈ 20 ⋅ 0.98 = 19.6
RS = 20 ⋅ sen 30° = 20 ⋅ 0.50 = 10
PS = 20 ⋅ cos 30° ≈ 20 ⋅ 0.87 = 17.4
PR = 10 / cos 40° ≈ 10 / 0.77 ≈ 12.99
e) RQ = 10 ⋅ tg 40° ≈ 10 ⋅ 0.84 = 8.4
RS ≈ 12.99 ⋅ sen 20° ≈ 12.99 ⋅ 0.34 ≈ 4.42
PS ≈ 12.99 ⋅ cos 20° ≈ 12.99 ⋅ 0.94 ≈ 12.21
f) LN = 5 ⋅ sen 50° ≈ 5 ⋅ 0.77 = 3.85 LM = 5 ⋅ cos 50° ≈ 5 ⋅ 0.64 = 3.2 LK = LM ⋅ sen 50° ≈ ... ≈ 2.46 (NOTA)
MK = LM ⋅ cos 50° ≈ 3.2 ⋅ 0.64 ≈ 2.05 KN = 5 − MK ≈ 5 − 2.05 = 2.95
l = 180° − 90° − 70° = 20°
g) BC = AC ⋅ tg 70° ≈ 3 ⋅ 2.75 = 8.25 BE = BC − 3 ≈ 8.25 − 3 = 5.25 B
DE ≈ 5.25 ⋅ sen 20° ≈ 5.25 ⋅ 0.34 ≈ 1.79 DB ≈ 5.25 ⋅ cos 20° ≈ 5.25 ⋅ 0.94 ≈ 4.94
NOTA - Se a questo punto si ricalcolasse LN come LK/sen 40° ,
uscirebbe una lunghezza leggermente diversa da quella trovata prima.
In questo contesto ci interessa poco, tant’è vero che abbiamo deciso di
approssimare a due cifre decimali anche i seni, i coseni e le tangenti;
ma in generale, in calcoli di questo genere,
è sempre BUONA NORMA
CERCARE DI COINVOLGERE VALORI “BASE”,
E NON VALORI GIÀ CALCOLATI, QUINDI AFFETTI DA APPROSSIMAZIONE.
5) 72°, 23°, 85°
6) a) Messaggio di errore. Non può esistere un angolo il cui seno sia maggiore di 1.
b) Disegna un triangolo rettangolo coi cateti uno doppio dell’altro …
Vedrai che l’angolo acuto maggiore è compreso fra i 60° e i 70° (più precisamente, è di 63° 26' circa)
7) a) 19° 43'12'' b) ≈ 2° 29'1'' c) ≈ 133° 50' 31'' d) 12° 7 ' 12'' e) 38° 14' 42'' f) ≈ 48° 21' 25'' g) 19° 52 ' 48 ''
8) a) ≈ 22° 37' , ≈ 67° 23' b) ≈ 16° 16' , ≈ 73° 44' c) ≈ 12° 41' , ≈ 77° 19' d) ≈ 41° 7' , ≈ 48° 53'
9) a) ≈ 3.23° b) ≈ 89.99° c) ≈ 23.14° d) 75.4° e) ≈ 1.034° f) ≈ 123.794°
82
2. MISURA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA IN RADIANTI
Si dice che un arco di circonferenza è misurato in radianti
quando lo si misura assumendo come unità di misura il raggio della circonferenza stessa.
Vale a dire: per misurare un arco di circonferenza in radianti, si immagina di rettificare questo arco,
poi si misura il segmento così ottenuto, prendendo come unità di misura il raggio.
Ad esempio, la lunghezza di un certo arco in radianti è 2.5 ( = un certo arco misura 2.5 radianti)
se rettificando quell’arco si ottiene un segmento lungo esattamente 2.5 volte il raggio (vedi figura sottostante).
Un arco misura quindi UN radiante quando la lunghezza di quell’arco, supposto rettificato,
è uguale alla lunghezza del raggio della circonferenza.
p
In questa figura, l’arco AB
misura 2.5 radianti:
infatti è esattamente
due volte e mezza il raggio.
NOTA - “Misurare” un segmento s rispetto ad un altro segmento u (unità di misura)
vuol dire stabilire “quante volte” il segmento u che fa da unità di misura è contenuto in s:
e a tale scopo, qualora si conoscano le misure di s e di u rispetto ad un’altra unità di misura u' ,
basterà fare il quoziente fra tali due misure per conoscere la misura di s rispetto a u (Teorema del Rapporto).
Per questo, misurare un arco in radianti equivale a calcolare il quoziente, il rapporto, fra la lunghezza dell’arco
e la lunghezza del raggio della circonferenza, determinate entrambe rispetto a una medesima unità di misura.
In pratica, il Teorema del Rapporto può essere illustrato con l’esempio seguente.
Supponiamo che un pensionato sia abituato a utilizzare il suo bastone per calcolare le lunghezze,
e abbia constatato che la misura del campo da bocce, quando l’unità di misura è il bastone, vale 8.5
(perché “il bastone ci sta esattamente 8 volte e mezzo nel campo da bocce”).
Bene! Allora quel pensionato, qualora andasse a misurare sia il campo da bocce che il bastone in metri,
e facesse poi la divisione fra le due misure in metri ottenute, troverebbe come quoziente proprio 8.5.
UN ARCO SI PUO’ MISURARE SIA IN RADIANTI CHE IN GRADI
E UN ANGOLO SI PUO’ MISURARE SIA IN GRADI CHE IN RADIANTI
In una data circonferenza la lunghezza di un arco
dipende in modo univoco
dall’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente, e viceversa.
Perciò
UN ARCO DI CIRCONFERENZA
SI PUO’ MISURARE SIA IN RADIANTI CHE IN GRADI;
E UN ANGOLO, SIA IN GRADI CHE IN RADIANTI
[Evidentemente, per “misura in radianti di un angolo α ”
si intenderà la misura in radianti dell’arco che α stacca su di una
qualsiasi circonferenza avente il centro nel vertice di α (NOTA)]
Dell’arco in figura,
posso dire
indifferentemente
che misura
0.5 radianti
(perché è lungo
la metà del raggio)
OPPURE 28° 39' (circa),
perché tale è l’ampiezza
dell’angolo al centro corrispondente.
NOTA
E’ intuitivo – e, volendo, dimostrabile –
che la misura ottenuta è del tutto indipendente
dal raggio della circonferenza che viene tracciata,
perché – ad esempio – raddoppiando il raggio
raddoppia anche la lunghezza dell’arco
e allora il rapporto arco/raggio rimane costante.
Se il raggio di una circonferenza è r , l’intera circonferenza misura 2π r :
cioè, 2π moltiplicato il raggio ( = circa 6.28 volte il raggio). Perciò,
se come unità di misura si sceglie proprio il raggio,
la lunghezza dell’intera circonferenza risulta uguale a 2π .
Di conseguenza,
la misura in radianti dell’intera circonferenza, ossia dell’arco
che corrisponde ad un angolo al centro di 360°, è 2π (circa 6.28):
come misura di angolo o di arco, 360° EQUIVALE A 2π RADIANTI .
p
AB
OA
=
q
A
'B'
OA '
=
= misura in radianti di :
p A
q
AB,
'B', α
83
Dunque avremo:
Gradi
360°
Radianti
2π
180° =
1
⋅ 360°
2
90° =
π
1
1
⋅ 360° = ⋅ 180°
4
2
π /2
Possiamo ora proseguire, ricavando ad esempio
1
1 π π NOTA: il simbolo “ = ” non è qui del tutto rigoroso; ci concediamo una licenza!
⋅ =
45° = ⋅ 90° =
Non si tratta, infatti, di una vera uguaglianza, ma piuttosto
NOTA 2 2
2
4
di una corrispondenza fra due misure che sono numericamente diverse
1
1 π π
perché
completamente diverse sono le unità di misura utilizzate:
30° = ⋅ 90° = ⋅ =
3
3 2 6
il grado (ampiezza) a 1° membro, e il radiante (lunghezza) a 2° membro.
1
1
π
π π
60° = ⋅ 180° = ⋅ π =
oppure 60° = 2 ⋅ 30° = 2 ⋅ =
3
3
3
6 3
π 2
π 3
120° = 2 ⋅ 60° = 2 ⋅ = π
135° = 3 ⋅ 45° = 3 ⋅ = π
3 3
4 4
1
1
1
1
5
5 π
5
2
40° = 2 ⋅ 20° = 2 ⋅ ⋅ 180° = 2 ⋅ π = π
75° = ⋅ 150° = ⋅ 5 ⋅ 30° = ⋅ 30° = ⋅ = π
9
9
9
2
2
2
2 6 12
)
(
1
1
π
⋅ 180° =
π=
1° =
180
180
180
111° = 111 ⋅ 1° = 111 ⋅
π
180
=
111
37
180 60
π
Negli esercizi (e in talune applicazioni) compaiono con particolare frequenza gli angoli multipli di 30° e di 45°.
Ecco la tabella dei corrispondenti valori in radianti:
Gradi Rad. Gradi Rad. Gradi Rad. Gradi Rad. Gradi Rad.
Gli angoli che superano i 360°
π
3
0°
0
90°
180°
270°
π
π 360° 2π
sono quelli che
2
2
“vanno oltre il giro completo”.
π
2
7
5
13
Si fa un giro (360°),
30°
120°
π 210°
π 300°
π 390°
π
6
3
6
3
6
poi si prosegue.
π
3
5
7
9
45°
135°
π 225°
π 315°
π 405°
π
Più avanti
4
4
4
4
4
parleremo pure
π
5
4
11
7
di angoli negativi.
60°
150°
π 240°
π 330°
π 420°
π
3
6
3
6
3
D’ora in poi, data la stretta corrispondenza fra “angolo” (pensato come “angolo al centro di una circonferenza”)
e “arco”, parleremo indifferentemente di “angolo” e di “arco”,
trattando questi due concetti come “equivalenti” ed “intercambiabili”.
Di norma, quando si ragiona in “radianti” si preferisce dire “arco”, quando si usano i “gradi”, “angolo”.
Abbiamo visto sopra che l’angolo di 1 grado
misura, in radianti, π/180 ossia circa 0.01745.
Quanto misurerà, in gradi, l’arco di 1 radiante?
Possiamo rispondere mediante la proporzione
1: π = x° :180° da cui
misura in gradi dell'arco di 1 radiante =
180°
180°
=
=
≈ 57.3° = 57°18'
π
3.14159...
La misura trovata, poco più di 57°,
è del tutto “convincente”
dato che l’arco di 1 radiante
è poi l’arco il quale, se rettificato,
darebbe luogo
a un segmento uguale al raggio
(vedi figura qui a fianco,
nella quale è appunto
o = 1 radiante ).
PQ
E COME SI PASSA, IN GENERALE, DAI GRADI AI RADIANTI E VICEVERSA?
DAI GRADI AI RADIANTI
DAI RADIANTI AI GRADI
π ⋅ x°
x°
x ⋅ 180° xrad
xrad : π = x° :180° → xrad =
=
⋅π
=
⋅180°
xrad : π = x° : 180° → x° = rad
180° 180°
π
π
Si prende dunque la misura, es. 72° 32' , la si trasforma
Si prende la misura in radianti, es. 2.493
in “gradi virgola …”: 72° 32' = 72.533333...°
la si divide per π e si moltiplica per 180:
poi si divide per 180 e si moltiplica per π :
2.493
⋅180° = 142.838...°
2.493 radianti →
72.5333...
π
⋅π rad = 1.2659... rad
72° 32' = 72.5333...° =
180
Naturalmente, volendo, questi “gradi virgola …”
La sigla rad viene di norma omessa.
possono poi essere trasformati in gradi, primi e secondi.
84
ESERCIZI
1) a) A partire dal punto W disegna:
♪ in senso antiorario, un arco di 3 radianti
♫ e in senso orario, uno di 0.8 radianti.
b) Quanti radianti misura l’intera circonferenza? Perché?
c) E 1/16 di circonferenza, quanti radianti misura?
2) Ricordando che π corrisponde a 180° (perché? …)
I) trova le misure in gradi dei seguenti angoli espressi in radianti:
5
3
1
3
5
6
π
π e) π f) π g) π
a)
b) π c) π d)
6
4
90
2
3
5
3
II) trova le misure in radianti di un angolo di:
a) 50° b) 36° c) 210° d) 225° e) 20° f) 330° g) 140°
h) 3 radianti
i) 2.2 rad l) 0.8 rad
3) π radianti ↔ 180° da cui la proporzione fondamentale xrad : π = x° : 180° .
...
...
⋅ π ; x° = ⋅ 180°
...
...
II) Trasforma da gradi-primi-secondi a radianti (approssimando a 2 cifre decimali), e viceversa:
a) 141° = ... rad b) 1.2 rad = ... ° c) 14°15' = ( ..... )° = ... rad d) 2, 45 rad = ... °
f) 55° = ... rad
g) 11° 30' = ... rad
h) 95° 20' = ... rad
e) 24° = ... rad
i) 137° 6' = ... rad l) 1, 42 rad = ... ° m) 0.4 rad = ... ° n) 200,5° = ... rad
I) Completa ora le formule: xrad =
4) Data la lunghezza del raggio e l’ampiezza dell’angolo, determina la lunghezza dell’arco
a) r = 3.7 km; α = 48°
b) r = 4 cm; α = 22° 45'
5) Data la lunghezza dell’arco e il raggio, trova l’angolo al centro corrispondente in gradi e in primi.
a) A = 5.4; r = 12
b) A = 0.154; r = 0.245
6) Un arco è lungo cm 4.7, ed è sotteso da un angolo al centro di 23.4°.
Quanto misura il raggio della circonferenza?
7) Un arco è lungo m 0.03, ed è sotteso da un angolo al centro di 2°.
Quanto misura il raggio della circonferenza?
8) In un cerchio di raggio 4.5 metri, quanto è lungo un arco di 2 radianti?
In un cerchio di raggio 4.5 metri, quanto è lungo un arco di 2°?
In un cerchio di raggio 2 m, quanto è lungo un arco di 25° 30' ?
9) In una circonferenza di diametro 4 metri, che angolo al centro corrisponde a un arco lungo 1 metro?
Esprimi la risposta in gradi, primi e secondi.
Puoi trovare altri esercizi di questo tipo, e dei tipi successivi, su
RISPOSTE
Ö
1) a) Vedi figura (il triplo del raggio; 0.8 volte il raggio = gli 8/10 del raggio)
1 π
b) 2π , perché è uguale a 2π volte il raggio c) 2π ⋅ = ≈ 0.39
16 8
2) I) a) 60° b) 150° c) 135° d) 2° e) 270° f) 300° g) 216°
3 ⋅ 180°
h) Proporzione: 3 : π = x° :180° da cui x° =
≈ 171.9°
π
i) 2.2 ⋅ 180° / π ≈ 126.1° l) 0.8 ⋅ 180° / π ≈ 45.8° = 45° 48'
5
π
7
5
π
11
7
π b)
c) π d) π e)
f) π g) π
II) a)
18
6
4
6
9
5
9
x
x°
⋅ π ; x° = rad ⋅180°
π
180°
II) a) 2.46 rad b) 68° 45' 18'' c) 14°15' = 14.25° ≈ 0.25 rad d) 140° 22' 29'' e) 0.42 rad
f) 0.96 rad g) 0.20 rad h) 1.66 rad i) 2.39 rad l) 81° 21' 36'' m) 22° 55' 6'' n) 3.50 rad
4) a) Circa 3.10 km b) Circa 1.59 cm
5) a) ≈ 25° 47' b) ≈ 36° 1'
6) ≈ cm 11.5 7) ≈ m 0.86 8) m 9; ≈ m 0.157; ≈ 0.89 m 9) ≈ 28° 38' 52''
3) I) xrad =
85
3. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Ora andremo a RIDEFINIRE, da un punto di vista ben più generale rispetto al paragrafo 1,
le “funzioni angolari” SENO, COSENO e TANGENTE.
Le definizioni che daremo si riferiranno ad angoli qualsiasi, anche maggiori o uguali a 90°,
anche maggiori di 360°, anche nulli o negativi, e tuttavia saranno perfettamente EQUIVALENTI,
per gli angoli acuti, a quelle con cui abbiamo in precedenza avviato il discorso.
L’equivalenza fra definizioni “vecchie” e definizioni “nuove”
verrà rigorosamente dimostrata in un paragrafo dedicato ai “teoremi sui triangoli rettangoli”.
Lo studio delle funzioni angolari (ossia di quelle quantità, come il seno, il coseno e la tangente,
il cui valore dipende dall’ampiezza di un angolo - o, in modo equivalente, dalla misura di un arco)
viene chiamato “GONIOMETRIA” (in greco, gonos = angolo e metron = misura)
oppure “TRIGONOMETRIA”, termine che è praticamente un sinonimo di “goniometria”
ma mette maggiormente in rilievo il fatto che, molto sovente,
interessa applicare le formule studiate ai tre angoli interni di un triangolo.
Lo strumento concettuale che è posto alla base della goniometria è la “circonferenza goniometrica”.
Cos’è, dunque, la “CIRCONFERENZA GONIOMETRICA”?
E’ una circonferenza
avente il centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani
e (importantissimo!) RAGGIO UGUALE A 1
(cioè, raggio uguale all’unità di misura del sistema di riferimento).
S’intende che sulla circonferenza goniometrica
gli ANGOLI vadano sempre riportati
con vertice nel centro ( = nell’origine)
a partire dal semiasse delle ascisse positive
(che sarà dunque sempre il “primo lato” dell’angolo)
e in SENSO ANTIORARIO
.
Il “primo lato” dell’angolo, ossia il semiasse delle ascisse positive,
viene anche detto “raggio origine” dell’angolo, mentre
il secondo lato (semiretta OP nella figura) è detto “raggio vettore”.
Agli angoli riportati in senso ORARIO si assegna MISURA NEGATIVA:
ad esempio,
l’angolo qui a fianco raffigurato misurerà − 45°
π
(oppure, in radianti, − ).
4
4. SENO E COSENO DI UN ANGOLO NELLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Nella circonferenza goniometrica, consideriamo un certo angolo α
(che di norma sarà compreso fra 0° e 360°, ma potrebbe pure essere negativo, o maggiore di 360°):
cosa intendiamo per “seno di α ( sen α )” e per “coseno di α ( cos α )” ?
Andiamo a considerare il punto P in cui il raggio vettore di α interseca la circonferenza goniometrica:
♪ il SENO di α è, per definizione, l’ORDINATA di P,
♫ mentre il COSENO di α è, per definizione, l’ASCISSA di P.
86
sen α = ordinata di P = misura (con segno) di HP
cos α = ascissa di P = misura (con segno) di OH
La circonferenza goniometrica ha, come abbiamo detto,
centro nell’origine e raggio 1; quindi i suoi punti hanno
• ascissa che può andare da un minimo di −1 a un max di +1 ;
• ordinata che può andare, anch’essa,
da un minimo di −1 a un massimo di +1 .
Pertanto il seno e il coseno di un angolo α
sono sempre compresi fra −1 e +1 :
∀α , − 1 ≤ sen α ≤ 1
− 1 ≤ cos α ≤ 1
Si ha subito (Pitagora) la 1a RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA:
qualunque sia l’angolo α (anche, eventualmente, con α > 360° , o α < 0° ), è sempre
2
2
sen 2 α + cos 2 α = 1 NOTA: sen 2 α , cos 2 α sono scritture abbreviate di: ( sen α ) , ( cos α )
Per α = 0° (0 radianti)
sen α = 0; cos α = 1
(
Nel 1° quadrante , ossia per 0° < α < 90° 0 < α <
π
2
), è
sen α > 0, cos α > 0
… e quando α cresce da 0° a 90°,
sen α cresce (da 0 a 1)
cos α decresce (da 1 a 0)
Per α = 90° (π / 2 radianti)
senα = 1; cosα = 0
Nel 2° quadrante , ossia per 90° < α < 180°
( π2 < α < π ) , è sen α > 0, cosα < 0
… e quando α cresce da 90° a 180°,
sen α decresce (da 1 a 0)
cos α decresce (da 0 a −1)
Per α = 180° (π radianti)
sen α = 0; cos α = −1
(
)
3
Nel 3° quadrante , ossia per 180° < α < 270° π < α < π , è sen α < 0, cos α < 0
2
… e quando α cresce da 180° a 270°,
sen α decresce (da 0 a −1)
cos α cresce (da −1 a 0)
Per α = 270°
( 32π radianti)
senα = −1; cosα = 0
Nel 4° quadrante , ossia per 270° < α < 360°
( 32 π < α < 2π ) , è
sen α < 0, cosα > 0
… e quando α cresce da 270° a 360°,
sen α cresce (da −1 a 0)
cos α cresce (da 0 a 1)
Quando α raggiunge e poi supera i 360°,
i valori di sen α e di cos α
“ripartono come se si ripartisse da 0° ”;
cioè, le funzioni “seno” e “coseno” sono
“periodiche di periodo 360° ”. Ne riparleremo.
Clicca QUI
Ö per una bella figura “dinamica” (GeoGebra) sulla variazione di seno e coseno al variare dell’arco
87
ESERCIZI
1) Nella circonferenza goniometrica in figura
I) scrivi la coppia delle coordinate di ciascuno dei cinque punti evidenziati
7
II) disegna: a) l’angolo di 135°; b) quello che misura π ; c) quello di − 80°
6
III) e disegna inoltre una coppia di angoli fra loro complementari: α e 90° − α
(potrebbero essere, ad esempio, 25° e 65° … )
per constatare un fatto importante, che vale poi per qualsiasi valore di α ,
anche maggiore di 90° o di 180° o di 360°, anche negativo: si ha sempre
sen (90° − α ) = cos α e cos (90° − α ) = sen α
PASSANDO DA UN ANGOLO AL SUO COMPLEMENTARE,
I VALORI DI SENO E COSENO SI SCAMBIANO FRA LORO.
2) Sapendo che sen 43° ≈ 0.68 , cos 43° ≈ 0.73 , riempi i puntini: sen 47° ≈ ... , cos 47° ≈ ...
3) a) Noto il valore sen α del seno di un angolo, ci sono due modi per ricavare cos α . Quali?
b) Determina: il coseno di un angolo ottuso il cui seno vale 0.39
c) Determina il seno di un angolo acuto il cui coseno vale 0.14
4) Quali sono gli angoli, compresi fra 0° e 360°,
a) il cui seno è uguale a 0?
b) il cui coseno è uguale a 0?
c) il cui seno è uguale a 1?
d) il cui coseno è uguale a 1?
e) il cui seno è uguale a −1 ?
f) il cui coseno è uguale a −1 ?
g) il cui seno è uguale al coseno? h) il cui seno è l’opposto del coseno?
i) Se un angolo α compreso fra 0° e 360° ha coseno < 0 , in quale intervallo di ampiezze può trovarsi?
5)
6)
sen 122° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
cos 122° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
sen 180° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
cos 180° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
sen 214° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
cos 214° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
sen 270° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
cos 270° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
sen 355° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
cos 355° è: a) >0 b) <0 c) = 0 d) = +1 e) = −1
Utilizzando una matita e una circonf. goniometrica, individua la risposta corretta:
sen (α + 180°) = ? a) sen α b) cos α c) − sen α d) −cos α
sen (180° − α) = ? a) sen α b) cos α c) − sen α d) −cos α
sen (90° − α) = ?
a) sen α b) cos α c) − sen α d) −cos α
sen (90° + α) = ?
a) sen α b) cos α c) − sen α d) −cos α
sen (−α) = ?
a) sen α b) cos α c) − sen α d) −cos α
cos (180° − α) = ? a) sen α b) cos α c) − sen α d) −cos α
RISPOSTE
l = α, P 'OH
l ' = 90° − α ,
1) III) In effetti, nella figura qui a destra, si ha: POH
PH = sen α, OH = cos α, P'H' = sen (90° − α), OH' = cos (90° − α)
e si può osservare (e dimostrare) che è P 'H ' = OH, OH ' = PH
2) sen 47° = cos (90° − 47°) = cos 43° ≈ 0.73
cos 47° = sen (90° − 47°) = sen 43° ≈ 0.68
3) a) Primo modo: cos α = ± 1 − sen 2 α dove il segno dev ' essere deciso
in base all ' ampiezza dell ' angolo
Secondo modo: con la macchinetta, risalire dal seno all’angolo (tasto sen −1 ), poi calcolare il coseno (cos)
b) ≈ − 0.92 c) ≈ 0.99
4) a) 0°, 180°, 360° b) 90°, 270° c) 90° d) 0° , 360° e) 270°
f) 180° g) 45°, 225° h) 135°, 315° i) 90° < α < 270°
5) sen 122° > 0 , cos 122° < 0 , sen 180° = 0 , cos 180° = −1 , sen 214° < 0 ,
cos 214° < 0 , sen 270° = −1 , cos 270° = 0 , sen 355° < 0 , cos 355° > 0
6) sen (α + 180°) = − sen α , sen (180° − α) = sen α , sen (90° − α) = cos α ,
sen (90° + α) = cos α , sen ( −α) = − sen α , cos (180° − α) = −cos α
88
5. TANGENTE DI UN ANGOLO NELLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Nella circonferenza goniometrica, consideriamo il punto A che sta “all’estrema destra”, di coordinate (1, 0) .
Per A tracciamo la retta “verticale”, ossia quella parallela all’asse y,
e indichiamo con T il punto di intersezione fra tale retta e il raggio vettore di un dato angolo α
(o, eventualmente, il prolungamento del raggio vettore dalla parte dell’origine).
Si dice “tangente di α ” l’ordinata del punto T, ossia la misura (con segno) del segmento AT in figura.
tg α = ordinata di T = misura (con segno) di AT
Clicca QUI Ö
per una bella figura dinamica
(software GeoGebra)
che ti permetterà di osservare
la variazione della tangente goniometrica
al variare dell’angolo.
Per α = 0° (0 radianti)
tg α = 0
Nel 1° quadrante , ossia
(
per 0° < α < 90° 0 < α <
π
si ha tg α > 0
2
),
… e quando α si avvicina a 90°,
mantenendosi però minore di 90°,
tg α diventa altissima,
“tende a + ∞ ”.
Ad esempio, si ha
tg 89.97° ≈ 1909.86
Per α = 90° (π / 2 radianti)
tg α NON ESISTE !
Nel 2° quadrante , ossia
per 90° < α < 180°
( π2 < α < π ) ,
si ha tg α < 0
Il raggio vettore è una semiretta
immersa nel 2° quadrante,
ma la definizione di tangente goniometrica
prevede che si debba sempre considerare
l’intersezione fra la retta verticale per A
e il raggio vettore o, eventualmente
(come in questo caso), il suo prolungamento.
Il raggio vettore, ossia
il secondo lato dell’angolo,
in questo caso coincide col
semiasse delle ordinate positive.
Ma allora il punto T “non si trova”,
perché il raggio vettore
e la retta tratteggiata
sono parallele
e quindi non si incontrano.
Quando α si avvicina a 90°,
mantenendosi però maggiore di 90°
(ossia: decrescendo),
tg α diventa altissima in valore assoluto,
ma negativa in segno:
si dice che “tende a − ∞ ”
Ad es., si ha tg 90.01° ≈ −5729.58
89
Per α = 180° (π radianti)
Nel 3° quadrante , ossia
(
è di nuovo tg α = 0
per 180° < α < 270° π < α <
)
3
π ,
2
ritorna ad essere tg α > 0
Osserva che,
appena l’angolo supera i 180°,
la tangente riprende gli stessi valori
che aveva a partire da 0°.
⎛3
⎞
Per α = 270° ⎜ π radianti ⎟
⎝2
⎠
tg α , nuovamente, NON ESISTE .
Nel 4° quadrante , ossia
3
per 270° < α < 360° π < α < 2π ,
2
ritorna ad essere tg α < 0
(
)
Quando l’angolo α raggiunge e poi supera i 360°, i valori della tangente “ripartono come se si ripartisse da 0° ”.
Ma in fondo vediamo che questo “ricominciare da capo” si ha già quando l’angolo raggiunge e poi supera 180°!
Insomma, la funzione “tangente” è “periodica di periodo 180°”; di questo torneremo a parlare più avanti.
La figura qui a fianco mostra
AT = tg α , HP = sen α , OH = cos α .
I due triangoli OAT, OHP sono simili
(sono entrambi rettangoli,
hanno l’angolo α in comune
e i due angoli acuti di vertici T e P uguali
per differenza rispetto a 180°).
Perciò vale la proporzione AT : OA = HP : OH
la quale si può riscrivere come
tg α :1 = sen α : cos α ossia
tg α =
Due triangoli
con gli angoli
rispettivamente uguali
sono detti “simili”,
e hanno anche
i lati in proporzione.
Breve spiegazione
se volti la pagina.
sen α
.
cos α
L’uguaglianza nel riquadro prende il nome di
2a RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA.
Possiamo a questo punto osservare che la 2a rel. fondamentale della goniometria è coerente col fatto che
la tangente vale 0 per tutti e soli quegli angoli il cui seno è 0, che sono poi: 0°, 180°, 360°
e, andando fuori dai confini del 1° giro, 360° +180° = 540°, 540° +180° = 720°, ... ; − 180°, − 360°, ... ;
più in generale, dunque: per tutti gli angoli che si possono scrivere sotto la forma
k ⋅ 180° , essendo k un intero relativo ( k ∈ );
la tangente non esiste (“va all’infinito”) per tutti e soli quegli angoli il cui coseno è 0 cioè 90°, 270°
e, andando fuori dai confini del 1° giro, 270° + 180° = 450° , 450° + 180° = 630° , ... ; − 90° , − 270° , ...
più in generale, dunque: per tutti gli angoli che si possono scrivere sotto la forma
90° + k ⋅ 180° , essendo k un intero relativo ( k ∈ )
IL TENDERE A INFINITO. Dire, ad es., che la tangente “va all’infinito a 90°”, significa affermare che
quando l’angolo si fa molto vicino a 90°, la rispettiva tangente diventa grandissima in valore assoluto:
per un angolo di pochissimo inferiore a 90°, ossia quando l’angolo tende a 90° “per difetto”
(1° quadrante), la tangente è grandissima in valore assoluto e positiva (“tende a + ∞ ”)
mentre per un angolo appena superiore a 90°, ossia quando l’angolo tende a 90° “per eccesso”
(2° quadrante), la tangente è grandissima in valore assoluto e negativa (“tende a − ∞ ”).
90
ESERCIZI
Sui lati del triangolo OAT nella circonferenza goniometrica in figura,
tg α
1
pianta le seguenti due bandierine:
1)
Invece sui lati di OPH pianta le bandierine:
senα
cos α
1
Ora i due triangoli OHP, OAT sono “simili”: cosa vuol dire?
Scrivi la proporzione fra i loro lati, che porta alla
“ 2a relazione fondamentale della goniometria”.
2) Fra gli angoli compresi fra 0° e 360°,
a) quali sono quelli la cui tangente è < 0 ?
c) quali quelli la cui tangente è uguale a +1 ?
b) quali quelli la cui tangente non esiste?
d) e a −1 ?
3) Cosa si può dire della tangente degli angoli il cui coseno vale 0?
4) Secondo te, a “occhio” (fai un disegno!), l’angolo acuto la cui tangente goniometrica misura 4 è compreso:
a) fra 50° e 60° ? b) fra 60° e 70° ? c) fra 70° e 80°?
Servendoti di una macchinetta calcolatrice, stabilisci la misura di quell’angolo (in gradi e primi),
poi trasformala in radianti (approssimando ai centesimi).
5) Disponendo di una macchinetta calcolatrice, calcola tg 54° senza però mai pigiare il tasto tan .
6) E’ vero che tg (90° − α) =
1
?
tg α
RISPOSTE
2) a) sono gli angoli α tali che 90° < α < 180° e 270° < α < 360° b) 90°, 270° c) 45°, 225° d) 135°, 315°
3) Quando il coseno di un angolo vale 0, la tangente di quell’angolo non esiste.
Questo si vede a partire dalla circonferenza goniometrica, o anche dalla 2a Relazione Fondamentale:
essa ci dice che tg α = sen α / cos α , e quando il denominatore è 0 una frazione non è definita.
4) c) ≈ 75° 58' ; ≈ 1.33 radianti 5) Basta fare sen 54° / cos 54° . Si ottiene ≈ 1.376
6) Sì, è vero. tg (90° − α) = sen (90° − α) / cos (90° − α) = cos α / sen α = 1/(sen α / cos α) = 1/ tg α
6. POLIGONI SIMILI (CENNI)
Due poligoni con lo stesso numero di lati si dicono “simili” se sono uno l’ingrandimento dell’altro.
Se ti sforzi di disegnare due poligoni, ad esempio due quadrilateri,
in modo che uno di essi appaia come l’ingrandimento dell’altro, ti renderai conto che
dovrai innanzitutto disegnarli con gli angoli rispettivamente uguali; … ma ciò non sarà sufficiente:
ci vorrà qualcosa in più, e precisamente dovrai fare in modo che i lati siano in proporzione.
I due poligoni della figura sottostante
hanno gli angoli rispettivamente uguali.
Eppure, evidentemente,
NON sono “uno l’ingrandimento dell’altro”…
… Invece i due poligoni di quest’altra figura,
oltre ad avere gli angoli rispettivamente uguali,
hanno pure i lati proporzionali,
perché ciascun lato del primo poligono
è i 2/3 del lato che gli corrisponde nel secondo poligono.
In questa Figura 2, i due poligoni in gioco appaiono
“uno l’ingrandimento dell’altro”.
91
Dire che “hanno i lati corrispondenti proporzionali” significa dire
che il rapporto fra due lati corrispondenti è lo stesso per ogni coppia di lati corrispondenti.
Con riferimento alla Figura 2, AB : A ' B ' = BC : B ' C ' = CD : C ' D ' = DA : D ' A ' .
Tale rapporto costante si dice “rapporto di similitudine”.
Ad esempio, in Figura 2, il rapporto di similitudine dei due quadrilateri ABCD, A ' B ' C ' D '
(presi in quest’ordine), è 2/3 (prendendoli invece nell’ordine opposto, il rapporto di similitudine sarebbe 3/2)
TRIANGOLI SIMILI
Abbiamo visto che due poligoni si dicono simili se hanno gli angoli risp. uguali e i lati corrisp. proporzionali.
Nel caso dei triangoli, tuttavia, questa definizione si rivela sovrabbondante, perché si può dimostrare
che se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali, allora hanno SENZ’ALTRO anche i lati
corrispondenti proporzionali; cosa che invece non necessariamente accade per i poligoni con più di 3 lati.
Questo enunciato (di cui non diamo qui la dimostrazione) prende il nome di “Primo Criterio di Similitudine”.
TEOREMA (1° Criterio di similitudine) - Se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali,
allora sono simili, cioè hanno anche i lati corrispondenti proporzionali.
LA PROPORZIONALITA’ SI PUO’ “VEDERE” IN DUE MODI
Se abbiamo due triangoli simili,
l’affermazione che
“i lati corrispondenti
sono proporzionali”
può essere interpretata
indifferentemente in due modi,
che si equivalgono perfettamente fra loro.
AB : A 'B' = AC : A 'C'
ma anche AB : AC = A 'B' : A 'C'
Le due proporzioni
qui a fianco
sono equivalenti:
si possono ricavare
l’una dall’altra
applicando
la proprietà
del permutare i medi.
♪ Si può dire che il rapporto tra due lati corrispondenti è costante, cioè che
“un lato (del 1° triangolo) sta al suo corrispondente,
come un altro lato (del 1° triangolo) sta al suo corrispondente”
AB : A 'B' = AC : A 'C '
AB : A 'B' = BC : B'C '
AC : A 'C ' = BC : B'C '
♫ … e si può anche dire che il rapporto di due lati del 1° triangolo è uguale al rapporto
dei due lati corrispondenti del 2° triangolo (presi nello stesso ordine), cioè che
“un lato (del 1° triangolo) sta ad un altro lato (sempre del 1° triangolo)
come il corrispondente del primo sta al corrispondente del secondo”
AB : AC = A 'B' : A 'C '
AB : BC = A 'B' : B'C '
AC : BC = A 'C ' : B'C '
E’ chiaro che ciascuno è liberissimo di “vedere”, di esprimere, la similitudine, nel modo che preferisce!
Il 1° Criterio di Similitudine è un teorema che si applica con grandissima frequenza negli esercizi.
Osserviamo fra l’altro che si può subito concludere che due triangoli dati sono simili
anche soltanto sapendo che hanno DUE angoli rispettivamente uguali,
perché allora (per differenza rispetto a 180°) saranno certo uguali anche gli angoli rimanenti.
COROLLARIO del 1° Criterio di similitudine
Una retta parallela ad un lato di un triangolo
stacca da questo un triangolo simile al dato
“Corollario”= affermazione
che è conseguenza
immediata di un’altra
Figura qui a fianco: basta tener presente che, quando si hanno
due parallele con trasversale, gli angoli corrispondenti sono uguali …
TEOREMA (2° Criterio di similitudine)
Se due triangoli hanno due lati proporzionali e gli angoli compresi uguali, allora sono simili
Quindi possiamo ad es. dire che sono simili due triangoli ABC e PQR tali che: A = P, AB = 5PQ, AC = 5PR
TEOREMA (3° Criterio di similitudine)
Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente proporzionali, allora sono simili
Ad es., se i lati di ABC misurano 6, 8 e 12 e quelli di DEF misurano 9, 12 e 18 (una volta e mezza), allora
ABC e DEF sono simili. Se noi raddoppiamo, o triplichiamo, o dimezziamo, o riduciamo alla 3a parte, … ,
insomma: moltiplichiamo per uno stesso numero k > 0 , tutti e tre i lati di un triangolo,
otterremo in questo modo un triangolo che sarà sicuramente simile a quello di partenza.
92
PROBLEMI CON LE SIMILITUDINI: UN ESEMPIO SVOLTO
In un triangolo rettangolo ABC i due cateti AB e AC misurano rispettivamente 24 cm e 32 cm.
Sull’ipotenusa BC si prende un segmento CP = 15 cm e per P si tracciano:
• la perpendicolare ad AC, fino ad incontrare AC in L
• e la perpendicolare a BC, fino ad incontrare AC in N.
Quanto misurano i tre segmenti PL, PN, PA?
BAC = 90°
AB = 24 cm
AC = 32 cm
CP = 15 cm
PL ⊥ AC
PN ⊥ BC
Ripasso
PROPRIETA' FONDAMENTALE
DELLE PROPORZIONI:
a : b = c : d ⇔ ad = bc
“In una proporzione, il prodotto dei medi
è uguale al prodotto degli estremi;
E, VICEVERSA,
se 4 numeri non nulli sono tali che il prodotto
di due di essi è uguale al prodotto degli altri due,
allora con tali quattro numeri si può costruire
una proporzione, a patto di prendere come medi
(o come estremi) i fattori di uno stesso prodotto”.
Conseguenza:
se il termine incognito è un estremo, sarà uguale
al prodotto dei medi FRATTO l'estremo noto;
se il termine incognito è un medio, sarà uguale
al prodotto degli estremi FRATTO il medio noto
PL = ?
PN = ?
PA = ?
5
Esempio 25 : x = 20 :12
BC
=
Pitagora
AB2 + AC 2 = 242 + 322 = 576 + 1024 = 1600 = 40 cm
PL : PC = AB : BC
(un lato sta a un altro lato
- sempre nello stesso triangolo come il corrispondente del primo
sta al corrispondente del secondo)
PL : 24 = 15 : 40
PL :15 = 24 : 40
PL =
40 5
3
3
= 9 cm
PL =
15 ⋅ 24
3
= 9 cm
40 5
PNC ∼ ABC (rettangoli, C in comune)
PN : AB = PC : AC
(un lato
sta al suo corrispondente,
come un altro lato
sta al suo corrispondente)
oppure
PN : 24 = 15 : 32
PN : PC = AB : AC
(un lato sta a un altro lato
- sempre nello stesso triangolo come il corrispondente del primo
sta al corrispondente del secondo)
PN :15 = 24 : 32
3
24 ⋅ 15 45
=
cm
PN =
4
32 4
PN =
20 4
15 ⋅ 24
32 4
3
=
45
cm
4
NOTA
Nei due triangoli considerati,
i due lati PL ed AB
si corrispondono perché
sono i due cateti minori,
oppure:
perché stanno opposti
allo stesso angolo
In due triangoli simili,
due lati si corrispondono
se stanno opposti ad angoli
uguali (o allo stesso angolo)
NOTA
Nei due triangoli considerati,
i due lati PN ed AB
si corrispondono perché
sono i due cateti minori,
oppure:
perché stanno opposti
allo stesso angolo
Per quanto riguarda PA, lo ricaveremo con Pitagora su APL, dopo aver calcolato AL:
CL = PC 2 − PL2 = 152 − 9 2 = 225 − 81 = 144 = 12 cm
PA =
AL2
+ PL2
=
202
+ 92
= 15
∼
PL : AB = PC : BC
oppure
(un lato
sta al suo corrispondente,
come un altro lato
sta al suo corrispondente)
3
3
Il simbolo
“simile con”
è un serpentello:
LPC ∼ ABC (rettangoli, C in comune)
24 ⋅ 15
x=
25 ⋅ 12
= 400 + 81 =
481 cm
AL = AC − CL = 32 − 12 = 20 cm
93
Nel passaggio da un triangolo a un altro simile,
♥ Lati doppi?
LE AREE stanno fra loro come i QUADRATI
Area
quadrupla!
di due lati omologhi ( = corrispondenti).
Ad esempio: Ogni lato raddoppia ? Allora
• anche IL PERIMETRO raddoppierà,
• ciascuna ALTEZZA raddoppierà,
• ma l’AREA diventerà il quadruplo.
Se poi il lato triplica, l’area diventa 9 volte tanto ( = subisce una moltiplicazione per 32 = 9 ), ecc.
Questo vale, più in generale, per tutte le FIGURE PIANE sottoposte a DILATAZIONE O CONTRAZIONE:
nel passaggio da una figura piana ad un’altra che ne sia la dilatazione o la contrazione “in scala”,
LE AREE STANNO FRA LORO COME IL QUADRATO DEL RAPPORTO DI SCALA.
Nello SPAZIO TRIDIMENSIONALE,
avviene qualcosa del genere ma coi VOLUMI e coi CUBI anziché con le aree e coi quadrati.
Nel passaggio da una figura solida a un’altra che ne sia la DILATAZIONE o la CONTRAZIONE
“in scala”, I VOLUMI STANNO FRA LORO COME IL CUBO DEL RAPPORTO DI SCALA.
Se un solido subisce, ad es., una dilatazione
in modo che ogni misura lineare raddoppi,
il suo volume diventerà 8 volte tanto.
♥ Spigoli doppi? Volume moltiplicato per 8!
Il cubo di lato doppio
richiede 8 cubetti piccoli
per essere riempito.
Quindi il suo volume
è 8 volte il volume del cubetto piccolo.
ESERCIZI (le risposte sono a pag. 98)
1) Un triangolo ABC, rettangolo in A, ha i lati di 9 cm, 12 cm, 15 cm.
Da un punto D preso sul cateto maggiore AC,
in modo che DC = 2AD,
si tracciano:
• la perpendicolare DE a BC;
• la parallela DF ad AB;
• la parallela DG a BC.
Determinare le misure dei tre segmenti DE, DF, DG.
2) La figura mostra due triangoli KWJ, IWH i quali, per avere due
angoli rispettivamente uguali, avranno (per diff. rispetto a 180°)
uguale anche l’angolo rimanente e perciò saranno simili.
Del triangolo KWJ sono note (e indicate in figura) le misure
di tutti e tre i lati; del triangolo IWH si sa solo che HW = 5.5
a) Determina i due lati rimanenti del secondo triangolo
b) Per quale numero si deve moltiplicare l’area del triangolo più
piccolo, se si vuole ottenere quella del triangolo più grande?
3) Ci sono triangoli simili in figura? (da http://www.ies.co.jp/math/)
4) A' B'C' è l’ombra di ABC.
Se LA = 3 e AA' = 1 , qual è
il rapporto fra il perimetro
di A'B'C' e quello di ABC?
E qual è il rapporto fra le aree?
94
7. PERIODICITA’ DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE
I VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO, COSENO E TANGENTE
“SI RIPETONO DOPO UN GIRO COMPLETO”. Insomma:
sulla circonferenza goniometrica, un angolo di 30°
“vale come un angolo di 30° + 360° = 390° ,
o come un angolo di 30° − 360° = −330° ”
dal punto di vista dei valori delle tre funzioni goniometriche.
a) 30°
b) 30° + 360° = 390°
Si prosegue, oltre l’angolo di 30°,
di un altro giro in senso ANTIORARIO …
… e il punto P
ritorna
NELLA STESSA
POSIZIONE
DI PRIMA!
c) 30° − 360° = −330°
Da 30° si toglie,
ruotando in senso ORARIO,
un giro completo
(cioè, tutti i 30° poi altri 330°):
l’effetto è di ripartire
dal semiasse delle ascisse positive
ruotando di 330° in senso ORARIO …
… e il punto P
ritorna
NELLA STESSA
POSIZIONE
DI PRIMA!
Più in generale, prendendo un angolo α ,
e aumentandolo, o anche diminuendolo, di un giro completo ( = 360°)
o di un numero intero di giri completi ( = un multiplo di 360°),
le tre funzioni goniometriche restano inalterate.
PER LA TANGENTE, ADDIRITTURA,
BASTA CHE L’ANGOLO α SUBISCA UN AUMENTO, O UNA DIMINUZIONE,
ANCHE SOLO DI “MEZZO GIRO” ( = 180°)
O DI UN MULTIPLO DI MEZZO GIRO ( = UN MULTIPLO DI 180°),
PERCHÉ TALE FUNZIONE RESTI INVARIATA.
La figura qui a fianco, ad esempio,
mostra che
la tangente non cambia
se l’angolo subisce
un aumento di 180°.
Questo ripetersi del valore di sen α e cos α ,
quando α aumenta o diminuisce di 360° o di un multiplo di 360°,
e questo ripetersi del valore di tg α ,
quando α aumenta o diminuisce di 180° o di un multiplo di 180°,
viene chiamato la “PERIODICITÀ”.
Si dice che
LE FUNZIONI “SENO” E “COSENO” SONO PERIODICHE DI PERIODO 360°,
LA FUNZIONE “TANGENTE” È PERIODICA DI PERIODO 180°.
95
8. CALCOLATRICI E FUNZIONI GONIOMETRICHE
Come fa la calcolatrice tascabile a determinare i valori delle funzioni goniometriche, dirette e inverse?
La matematica mette a disposizione, per calcoli di questo tipo, le formule di Maclaurin.
Colin Maclaurin o Mac Laurin, 1698-1746, fu un matematico scozzese. Eccole, queste fantastiche formule:
3
5
7
sen x = x − x + x − x + ...
3! 5! 7!
2
4
6
x
cos x = 1 − + x − x + ...
2! 4! 6!
3
5
7
tg x = x + x + 2x + 17x + ...
3 15 315
Il “punto esclamativo” indica il cosiddetto
“fattoriale” di un intero: ad esempio,
3! = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 (si legge : "3 fattoriale "); 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120
Queste “somme di infiniti addendi” ( = “serie”) a secondo membro
approssimano il valore esatto con una precisione che cresce
al crescere del numero di addendi presi in considerazione.
Inversa del seno (dal seno y fa tornare all’angolo x espresso in radianti, e compreso fra −
π π
e ):
2 2
y3
y5 1⋅ 3 ⋅ 5 y7
⎛− π ≤ x ≤ π⎞
+
+ ...
x = sin −1( y) = arc sen y = y + 1 + 1 ⋅ 3
⎜ 2
2 3 2⋅4 5 2⋅4⋅6 7
2 ⎟⎠
⎝
Si legge “arco seno di y” (significa, essenzialmente: “il più semplice fra gli archi aventi per seno y ”)
Inversa del coseno:
y3
y5 1⋅ 3 ⋅ 5 y7
x = cos −1( y) = arc cos y = π − arc sen y = π − y − 1 − 1 ⋅ 3
−
− ...
( 0 ≤ x ≤ π)
2
2
2 3 2⋅4 5 2⋅4⋅6 7
y3 y5 y7
⎛− π < x < π⎞
+ − + ...
Inversa della tangente: x = tg −1( y) = arctg y = y −
⎜ 2
3
5
7
2 ⎟⎠
⎝
Per testare la correttezza di queste formule, prova tu stesso a prendere, ad esempio,
la formula per sen x e ad applicarla nel caso dell’angolo di 30°.
Prima di tutto dovrai passare ai radianti ottenendo, per l’angolo in gioco, 0.5236 rad (valore arrotondato).
Poi porrai x = 0.5236 e considererai, ad esempio, i primi 3 termini, eseguendo il calcolo.
Otterrai un valore che in piccola parte dipenderà anche dagli arrotondamenti eseguiti nei vari passaggi dallo
strumento di calcolo di cui ti sei servito, ma che comunque dovrebbe essere vicino a 0.500003193, numero
che differisce di pochissimo da quello che è il VERO seno di 30° ossia, come è noto, esattamente 1/2 = 0.5 .
Prendendo un numero maggiore di termini (e partendo da una misura in radianti affetta da un errore
di arrotondamento più piccolo) il valore ottenuto sarebbe ancora più preciso.
Bene! Certe calcolatrici del passato, quando si digitava la misura di un angolo per poi pigiare il tasto della
funzione sin , facevano proprio questo lavoro, di trasformare eventualmente i gradi in radianti ed eseguire
la rispettiva formula di Maclaurin, con un numero di termini adeguato alla precisione che lo strumento
poteva raggiungere. In realtà, dopo aver introdotto il discorso in questo modo per dare un’idea del modus
operandi di una calcolatrice, dobbiamo dire che gli algoritmi più utilizzati per il calcolo automatico delle
funzioni goniometriche sono altri, soprattutto il metodo CORDIC, di cui non ci possiamo qui occupare.
LE VARIANTI DELLA SIMBOLOGIA (SUI LIBRI, SUI COMPUTER, SULLE CALCOLATRICI)
a) Accade che, su certi libri di testo o sui tasti delle calcolatrici,
si incontrino leggére variazioni dei simboli da noi scelti:
ad esempio, al posto di sen x puoi trovare sin x, al posto di tg x puoi trovare tan x.
A volte, poi, viene usata una parentesi dove noi non l’abbiamo invece messa: sen (x), cos (x) ecc.
Analogamente per le funzioni goniometriche inverse:
Il “ −1 ” fa da PSEUDO-esponente:
• al posto di arc sen puoi trovare arc sin o anche sen −1 o sin −1
non significa qui
“fare il reciproco”, bensì
• al posto di arc cos puoi trovar scritto cos −1
“applicare la funzione inversa”
• al posto di arc tg puoi trovar scritto arc tan o anche tan −1
b) Occhio quando usi la calcolatrice tascabile, alla questione dei radianti e dei gradi!
Se vuoi calcolare, ad esempio, il seno dell’angolo di 2°,
devi controllare che la macchinetta sia impostata sui “gradi” e non sui “radianti”.
C’è comunque sempre un tasto, o una successione di tasti, che consente il
passaggio dall’impostazione “in gradi” a quella “in radianti” e viceversa.
♥ E in ogni caso, tramite la proporzione xrad : π = x° :180°
è ben facile transitare fra la misura di un arco in gradi e la misura dello stesso arco in radianti:
x ⋅180° xrad
dai gradi ai radianti xrad = π ⋅ x° = x° ⋅ π ; dai radianti ai gradi x° = rad
=
⋅180°
180° 180°
π
π
96
9. ALCUNE FORMULE UTILI
I valori delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente) degli angoli multipli di 30° o di 45°
si possono trovare utilizzando le formule qui sotto riportate (facilmente ottenibili con semplici considerazioni
di geometria elementare e utilizzando il T. di Pitagora). Esse permettono, nei cosiddetti “triangoli rettangoli
particolari”(=quelli con gli angoli acuti di 30° e 60°, o di 45°), di ricavare tutti i lati conoscendo uno solo di essi.
In un TRIANGOLO RETTANGOLO CON GLI ANGOLI ACUTI DI 45°
(che può essere visto come la metà di un quadrato):
L’IPOTENUSA E’ UGUALE AL CATETO MOLTIPLICATO 2
IL CATETO E’ UGUALE ALL’IPOTENUSA DIVISO 2
Ricordiamo che
d
2 d 2
⋅
=
2
2 = 1.414213... ≈ 1.4
2 2
noi non abbiamo alterato il valore
d
viene
L’espressione
dell’espressione di partenza d / 2 ,
2
perché l’abbiamo moltiplicata per 1 !
di norma “razionalizzata”: L’abbiamo invece “razionalizzata”,
cioè ci siamo liberati
d
d
2 d 2
=
⋅
=
della radice a denominatore,
2
2
2 2
ritenuta per varie ragioni fastidiosa.
Scrivendo
In un TRIANGOLO RETTANGOLO CON GLI ANGOLI ACUTI DI 30° e 60°
(che può essere visto come la metà di un triangolo equilatero):
IL CATETO MINORE E’ META’ DELL’IPOTENUSA
e quindi l’ipotenusa è il doppio del cateto minore
3 e quindi:
IL CATETO MAGGIORE E’ UGUALE AL MINORE MOLTIPLICATO
il cateto maggiore è uguale a metà ipotenusa moltiplicato 3
mentre il cateto minore è uguale al cateto maggiore diviso 3 )
Ricordiamo che
3 = 1.73205... ≈ 1.7
h
3
=
h
3
3
⋅
=
3
h 3
3
Quanto valgono sen 120° e cos 120°?
Facciamo un disegnino e ricordiamo che il raggio della circonf. goniometrica vale 1.
= 180° − 120° = 60° ) valgono dunque:
I lati del triangolo rett. particolare OPH ( POH
1
1
3 (il cateto maggiore HP).
1 (l’ipotenusa OP); (il cateto minore OH);
2
2
1
1
Allora avremo, tenendo conto dei segni: sen 120° =
3 ; cos 120° = −
2
2
Quanto vale tg ( −30°) ?
Questa volta
il segmento noto è
OA = raggio = 1.
Si trae subito,
tenendo conto che T
ha ordinata negativa,
tg ( −30°) =
3
=−
=−
3
3
1
Quanto valgono
seno e coseno di 135° ?
Il segmento noto è qui
OP = raggio = 1.
Il triangolo rett. POH
ha gli angoli acuti di 45°.
P ha ascissa negativa
e ordinata positiva …
sen 135° =
1
=
2
2
1
=−
2
cos 135° = −
2
2
2
97
La seguente figura mostra i
VALORI DEL SENO E DEL COSENO DI ALCUNI ANGOLI “PARTICOLARI”.
Il coseno
è la 1a
coordinata,
ossia
l’ascissa del punto;
il seno
è la 2a
coordinata,
ossia
l’ordinata.
Tanto per fare
un esempio:
l’angolo di 120°
ha come misura
in radianti
2
π,
3
e,
dato che
il punto associato
è
⎛ 1 3⎞
⎜− 2, 2 ⎟ ,
⎝
⎠
risulta
cos 120° =
2
1
= cos π = −
3
2
sen 120° =
2
3
= sen π =
3
2
ESERCIZI (risposte a pag. 98)
Tenendo coperta la figura qui sopra ☺, determina i valori seguenti:
2) cos 30°
3) tg 30°
4) sen 60°
1) sen 30°
8) cos 45°
9) tg 45°
10) sen120°
7) sen 45°
14) cos150°
15) tg150°
16) sen135°
13) sen150°
20) cos 0°
21) sen 90°
22) cos 90°
19) sen 0°
26) cos 225°
27) tg 225°
28) sen 210°
25) sen 225°
32) cos 240°
33) tg 240°
34) sen 270°
31) sen 240°
38) sen 315°
39) cos 315°
40) sen ( −60°)
37) cos 270°
π
π
2
43) tg π
44) tg −
46) cos π
45) sen
4
6
3
( )
9
4
49) cos π
50) tg 780°
51) sen 630°
52) tg
11
π
6
5)
11)
17)
23)
29)
35)
41)
cos 60°
cos120°
cos135°
sen180°
cos 210°
cos 270°
cos 300°
47) tg
5π
2
7
53) sen π
6
6)
12)
18)
24)
30)
36)
42)
tg 60°
tg120°
tg135°
cos180°
tg 210°
tg 270°
tg 330°
5
4
5
54) cos π
3
48) sen π
Stabilisci quali sono, nell’ambito del primo giro ( 0° ≤ x ≤ 360° ),
le soluzioni delle seguenti equazioni goniometriche (scrivi le soluzioni in gradi).
1
2
59) tg x = −1
56) sen x = −
63) sen x = cos x
64) tg x = − 3
55) sen x =
60) sen x = 0
1
2
1
2
61) cos x = 0
58) cos x = −
65) cos x = 2 / 2
66) sen x + cos x = 0
57) cos x =
62) tg x = 0
1
2
98
RISPOSTE agli esercizi di pag. 97
1)
1
2
1
2
=
2
2
7)
3
2
3)
8)
1
2
=
2
2
9) 1
1
2
14) −
19) 0
20) 1
13)
1
3
=
3
3
2)
25) −
2
2
26) −
31) −
3
2
32) −
3
2
2
2
1
2
2
2
3
3
15) −
11) −
16)
2
2
17) −
1
2
29) −
35) 0
3
34) −1
39)
2
2
40) −
50)
51) −1
1
2
46) −
52) −
6)
1
2
2
2
3
2
1
2
3
3
41)
3
12) − 3
18) −1
24) −1
23) 0
33)
45)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
3
2
28) −
44) −1
3
10)
27) 1
43) 0
2
2
5)
22) 0
38) −
49)
3
2
21) 1
37) 0
1
2
4)
3
2
30)
3
3
non
36) esiste
1
2
42) −
3
3
non
48) −
2
2
47) esiste
53) −
1
2
54)
1
2
x = 30°, x = 150°
x = 210°, x = 330°
x = 60°, x = 300°
x = 120°, x = 240°
x = 135°, x = 315°
x = 0°, x = 180°, x = 360°
x = 90°, x = 270°
x = 0°, x = 180°, x = 360°
x = 45°, x = 225°
x = 120°, x = 300°
x = 45°, x = 315°
x = 135°, x = 315°
Immagine a fianco:
da http://www.regentsprep.org/
RISPOSTE agli esercizi di pag. 93
2
5
25
24
= 1.5625
cm = 4.8 cm, DF = 6 cm, DG = 5 cm
1) DE =
2) a) WI = 4, HI = 7.5 b) per ⎛⎜ ⎞⎟ =
16
5
⎝4⎠
3) Sono simili:
• A e C , perché hanno gli angoli rispettivamente uguali! 1° Criterio di similitudine.
Infatti in A un angolo misura 50° e gli altri due, essendo uguali fra loro in quanto
A è isoscele perché ha due lati entrambi di 2 cm, misureranno (180° − 50°) / 2 = 65° ;
e gli angoli di C misurano 65°, 65°, 180° − 65° − 65° = 50°
• B e D , in quanto hanno due lati proporzionali e gli angoli compresi uguali perché entrambi di 90°:
2° Criterio di similitudine.
• E e F, perché hanno i lati in proporzione: 3° Criterio.
Ciascun lato di F è infatti il doppio del lato che gli corrisponde in E.
4) Il perimetro di A'B'C' è i 4/3 di quello di ABC; l’area di A' B'C' è i 16/9 dell’area di ABC.
99
10. TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Questi teoremi mostrano
che le definizioni
di seno, coseno e tangente
date all’inizio del capitolo,
coi triangoli rettangoli,
vanno d’accordo con
le definizioni successive,
quelle basate sulla
circonferenza goniometrica.
Adotteremo di preferenza, quando possibile,
la SIMBOLOGIA STANDARD
illustrata dalla figura qui a fianco:
• triangolo ABC ,
• lati a, b, c (a opposto al vertice A, ecc.)
l ecc.)
• angoli α , β , γ ( α = A
TEOREMA
In un triangolo rettangolo, il SENO di un angolo acuto
è uguale al rapporto fra il cateto opposto e l’ipotenusa
cateto opposto a
sen α =
=
ipotenusa
c
Dimostrazione
Nel piano su cui giace il triangolo rettangolo ABC,
disegniamo un riferimento cartesiano di origine A,
il cui semiasse delle ascisse positive coincida con la semiretta AC.
Su questo riferimento,
disegniamo poi la circonferenza goniometrica, di raggio 1.
I due triangoli rettangoli ABC, APH sono simili, quindi possiamo scrivere la proporzione
sen α a
=
sen α = a , c. v. d
HP : AP = CB : AB da cui sen α :1 = a : c
1
c
c
CONSEGUENZA IMMEDIATA: a = c ⋅ sen α
cioè cateto = ipotenusa ⋅ seno dell ' angolo opposto
TEOREMA
In un triangolo rettangolo, il COSENO di un angolo acuto
è uguale al rapporto fra il cateto adiacente e l’ipotenusa
cateto adiacente b
cos α =
=
ipotenusa
c
La dimostrazione è analoga alla precedente: poiché i due triangoli rettangoli ABC, APH sono simili avremo
cos α b
AH : AP = AC : AB da cui cos α :1 = b : c
=
cos α = b , c. v. d.
1
c
c
CONSEGUENZA IMMEDIATA: b = c ⋅ cos α cioè cateto = ipotenusa ⋅ coseno dell ' angolo adiacente
TEOREMA
In un triangolo rettangolo, la TANGENTE di un angolo acuto
è uguale al rapporto fra il cateto opposto e il cateto adiacente
cateto opposto a
tg α =
=
cateto adiacente b
Dimostrazione
Questa volta sfruttiamo la similitudine fra ABC e ATL.
LT : AL = CB : AC quindi
tg α a
tg α :1 = a : b
=
tg α = a , c. v. d.
1
b
b
CONSEGUENZA IMMEDIATA: a = b ⋅ tg α ; cateto = altro cateto⋅ tangente dell ' angolo opposto al primo
100
ESERCIZI
1) a)
b)
c)
2) a)
b)
c)
11. TEOREMI SUI TRIANGOLI QUALSIASI
Si potrebbero dimostrare gli interessanti teoremi che seguono, validi per triangoli qualsiasi.
□ Il TEOREMA DEI SENI:
“in un triangolo, è costante il rapporto fra
ciascun lato e il seno dell’angolo opposto”
□ e il TEOREMA DEL COSENO:
in ogni triangolo, valgono le relazioni
scritte nel riquadro qui a destra →
a = b = c
sen α sen β sen γ
a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos α
b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b2 − 2ab cos γ
ESERCIZI
3) Mediante il Teorema dei Seni,
determina gli elementi incogniti del triangolo qui a fianco raffigurato.
b = c
INDICAZIONE: Per ricavare b, si prenderà la formula
sen β sen γ
che coinvolge b e il lato noto c,
per risolverla rispetto a b: b = c ⋅ sen β
sen γ
4) Serviti del Teorema del Coseno per trovare il 3° lato del triangolo in figura.
Successivamente, col T. dei Seni, determina le misure dei seni degli angoli
e infine risali al valore, approssimato ai gradi, degli angoli stessi.
INDICAZIONE: c = a 2 + b2 − 2ab cos γ = ... dopodiché:
a = c ; sen α = sen γ ; sen α = ... , da cui il valore di α .
a
c
sen α sen γ
5) Applicando in modo opportuno i teoremi dei seni e del coseno, “risolvi” i triangoli in figura,
ossia, a partire dai 3 elementi noti, determinane i tre elementi rimanenti.
a)
b)
c)
d)
RISPOSTE
l ≈ 53°8', N
l ≈ 36° 52'
1) a) CA ≈ 9.82 m, AB ≈12.82 m b) CA ≈ 3.76 m, CB ≈ 1.37 m c) LN = 2.52 −1.52 = 2; M
2) a) AB ≈ 16.38 b) DF = FE ≈ 6.10 c) RT = TS ≈ 17.43; RS ≈ 28.56
3) a ≈ 4.1, b ≈ 5.7 4) c ≈ 7, α ≈ 39°, β ≈ 61°
5) a) 50°, ≈ 11.3, ≈ 12.3 b) ≈ 52°, ≈ 68°, ≈ 60° c) 35°, ≈ 24.6, ≈ 16.3 d) ≈ 56°, ≈ 42°, ≈ 4.1
101
12. ESERCIZI
ESEMPI SVOLTI
1) Un bambino sta facendo volare un aquilone,
in una giornata di primavera in cui il vento è molto forte.
La corda è tesa, viene utilizzata per intero,
e forma col suolo un angolo di 50°.
La lunghezza della corda è di 30 metri.
Quanto si è sollevato dal suolo l’aquilone?
FAI SEMPRE UN DISEGNO SCHEMATICO
DELLA SITUAZIONE!
E SUL DISEGNO,
RIPORTA CON CURA I VARI DATI!
l = 30 ⋅ sen 50° ≈ 30 ⋅ 0.77 ≈ 23 m
cateto = ipotenusa ⋅ seno dell ' angolo opposto
h = c ⋅ sen B
NOTA - Data la manifesta approssimazione da cui sono affette le informazioni,
non sarebbe stato per niente logico scrivere il risultato con una precisione maggiore!
Anzi, alla fine andrebbe aggiunto ancora 1 metro circa … l’altezza da terra della mano che regge la corda!
2) Una passerella, che permette di superare un dislivello di 80 cm,
forma un angolo di 20° col suolo. Quanto è lunga la passerella?
d
80
d = p ⋅ sen 20° → p =
≈
≈ 234 cm
sen 20° 0.342
Abbiamo approssimato al risultato del calcolo alle unità
perché una precisione maggiore non avrebbe avuto molto senso:
i dati sono evidentemente affetti da incertezza,
e nella pratica la passerella, quando viene sistemata,
dovrà andare leggermente più in alto degli 80 cm …
3) Si valuta l’altezza di un bell’abete stando
alla finestra di una villa distante 30 metri.
Se l’osservatore ne vede la base e la sommità
rispettivamente secondo
• un angolo di depressione di 8°
• e un angolo di elevazione di 24°,
quant’è alto l’abete?
HB = 30 ⋅ tg 8° ≈ 30 ⋅ 0.14 = 4.2 m
HS = 30 ⋅ tg 24° ≈ 30 ⋅ 0.45 = 13.5 m
Totale: circa 4.2 + 13.5 ≈ 18 metri
PIU’ COMPLICATO: SI APPLICA IL “TEOREMA DEI SENI”
4) Un grattacielo di 120 metri si affaccia su di una grande piazza
al centro della quale sopravvive un’antica chiesetta romanica.
Se la sommità del campanile è vista:
• dalla cima del grattacielo,
secondo un angolo di depressione di 35°
• e dalla base del grattacielo,
secondo un angolo di elevazione di 10°
quanto è alto il campanile?
Consideriamo il triangolo ABC in figura, del quale conosciamo
l = 55°, BAC
l = 80° ,
AB = m 120 , ABC
per determinare, col Teorema dei Seni, la lunghezza di AC.
l
AB ⋅ sen ABC
120 ⋅ sen 55°
AC
AB
=
→ AC =
=
≈ 139 m
l
l
l
sen 45°
sen ABC sen BCA
sen BCA
Dopodichè: C'C = AC ⋅ sen10° ≈ 139 ⋅ 0.174 ≈ 24 m
102
SENO, COSENO, TANGENTE (E RISPETTIVE INVERSE): TRIANGOLI RETTANGOLI
5) Un asse lungo 3 metri è appoggiato a una parete, e forma col pavimento un angolo di 53°.
Determina l’altezza a cui arriva l’asse sulla parete.
6) Per misurare l’altezza di uno scoglio una persona vi sale in cima,
fissa alla roccia il capo di una fune e lancia l’altro capo a un amico sulla spiaggia.
La fune viene tesa e risulta misurare metri 11.8; l’angolo che la fune forma con la spiaggia è di 65°.
Quanto è alto dunque lo scoglio?
7) Se una scala lunga m 2.4, appoggiata al muro, forma col pavimento un angolo di 75°,
quanto dista dalla parete la linea d’appoggio della scala sul pavimento?
8) Se una lunga scala, appoggiata alla facciata di una casa, forma col selciato un angolo di 77°,
e la sua linea d’appoggio dista dalla parete 60 cm, quanto misura la scala?
E a che altezza arriva sulla parete?
9) Il monumentale antico castagno di Melle, in Val Varaita (provincia di Cuneo),
a distanza di 180 metri ha un “angolo di elevazione” è di 10°.
Quanto è alto il castagno?
10) Da un punto delle bianche scogliere di Dover,
alto 100 metri sul mare,
si vede una boa con angolo di depressione di 18°.
Quanto dista la boa dalle scogliere?
11) Dalla cima di una collina sto intravedendo col binocolo un amico, seduto sul cucuzzolo
di un’altra collina 250 metri più alta, sotto un angolo di elevazione di 12°.
Qual è la distanza in linea d’aria fra me e l’amico?
12) Se l’asta di una bandiera, alta metri 8.40, ha un’ombra lunga metri 3.50,
che angolo formano i raggi solari col terreno?
13) La figura mostra schematicamente la sezione di un tetto.
Le travi sono lunghe 6 metri
e la larghezza AB della struttura è di m 10.
Si domanda qual è l’inclinazione in gradi
di ogni trave rispetto all’orizzontalità.
14) Una scala a pioli è appoggiata sul muro esterno
di una casa; la scala è lunga metri 3.25,
e l’altezza che raggiunge sul muro è di metri 3.
Che inclinazione ha la scala?
Qual è la distanza fra la linea d’appoggio
della scala sul selciato e la parete?
15) Un’asta lunga un metro, appoggiata verticalmente
sul terreno piano, vi proietta un’ombra di m 0.6.
Nello stesso istante un palo della luce
proietta un’ombra di 3.3 m.
Quanto è alto il palo della luce?
Che inclinazione ha, in gradi, la luce solare?
16) La IBT, Inclined Bed Therapy,
sostiene che dormire su di un letto inclinato di 5°
(rialzato dalla parte della testa)
porta notevoli benefici alla salute,
specie per gli ammalati di determinate patologie.
Se l’asse del letto è lungo 2 m, di quanto
andrà sollevata la base per applicare la terapia?
17) In un piccolo paese due signore anziane, che abitano in appartamentini situati uno di fronte all’altro,
da parti opposte di una strada larga 4 metri, si fanno consegnare le compere a turno, e si passano poi
le buste con la roba attraverso un cestello fatto scorrere lungo una fune che collega le due finestre.
Sapendo che la finestra più bassa è a 3.5 metri dal livello della strada, e quella più alta a 4.2 metri,
trovare approssimativamente l’angolo di inclinazione della fune rispetto all’orizzontalità.
103
18) Il parroco di una chiesa decide di far realizzare una rampa in modo che le carrozzine dei fedeli disabili
possano affrontare il dislivello di 1 metro e 20 cm, fra la piazza e la porta della chiesa, fino ad oggi
superabile solo attraverso i gradini di una scalinata.
La normativa richiede che la pendenza della rampa non superi gli 8°.
Un muratore del paese si offre di svolgere il lavoro gratuitamente,
ma … che lunghezza dovrebbe avere, al minimo,
la base d’appoggio sul selciato di questa rampa?
19) Un aeroplano è diretto dagli Stati Uniti verso una località nell’Italia del Nord.
Se sta volando sull’oceano a un’altezza di 9500 metri dal suolo, e vede la linea costiera del Portogallo
sotto un angolo di depressione di 15°, quanti km deve ancora viaggiare prima di sorvolare il litorale?
20) Mentre scattavo una foto a Parigi, la cima della Tour Eiffel, che è alta 324 metri,
mi appariva secondo un angolo di elevazione di 60°. A che distanza ero dalla torre?
a) Fra i 150 e i 160 metri? b) Fra i 160 e i 170? c) Fra i 170 e i 180? d) Più di 180 metri?
21) Dalla terrazza (alta 30 metri) alla sommità di un condominio, si osserva una bicicletta avvicinarsi.
Se l’angolo di depressione passa da 10° a 60°, che distanza ha percorso nel frattempo il ciclista?
22) Sulla parete di un grattacielo c’è una vetrata davvero molto alta.
Un geometra in pensione, incuriosito, si posiziona di fronte all’edificio, a una distanza di 50 metri
dalla facciata, e constata che la base della vetrata e la sua sommità vengono viste, da lì,
secondo angoli di elevazione di 23° e di 52° rispettivamente. Quanto misura la vetrata?
23) Quando un corpo si trova su di un piano inclinato, su di esso agisce,
verticalmente, la forza di gravità il cui modulo è dato da F = mg ,
dove m è la massa del corpo, g ≈ 9.8 m / s 2G è l’accelerazione di gravità.
Ora, la forza verticale ha una componente JGn normale ( =perpendicolare)
al
G piano inclinato, e un’altra componente p parallela alla sua superficie.
n viene neutralizzata dalla resistenza del piano stesso
alla
JG deformazione (“reazione vincolare”);
p è responsabile del movimento del corpo, che scivolerà, o rotolerà,
lungo il piano inclinato, restando invece in equilibrio
JG qualora gli venga
JG
applicata una forza uguale e contraria al vettore p . Ma quanto misura il modulo di p ?
mg
a) mg sen α
b) mg cos α
c) mg tg α
d)
e) mg sen (90° − α )
sen α
24) Supponiamo di voler misurare la larghezza di un fiume, senza poterlo attraversare.
Ci porremo sulla riva, in A, proponendoci di determinare
la distanza AB, essendo B un punto sulla riva opposta,
tale che la retta AB sia perpendicolare alla direzione del fiume.
Spostiamoci lateralmente di una certa distanza AC;
sia ad esempio AC = 100 metri. L’angolo in A è di 90°.
Ora misuriamo, con gli strumenti del geometra,
l’angolo che la congiungente CB forma con AC.
l = 35° .
Supponiamo, per fissare le idee, che si abbia ACB
Allora AB misurerà … dillo tu!
25) Osserva la figura qui a destra. Essa si riferisce a ciò che accade
quando un raggio di luce penetra nell’acqua provenendo dall’aria.
Il raggio di luce viene deviato, avvicinandosi alla normale,
cioè alla retta che è perpendicolare alla superficie di separazione aria-acqua.
Una legge, chiamata legge di Snell, regola la relazione fra i due angoli
θi e θ r cosiddetti “di incidenza” e “di rifrazione”, ossia degli angoli
formati con la normale dal raggio incidente e, rispettivamente, rifratto.
Tale legge però non chiama in causa direttamente gli angoli, bensì i loro seni.
sen θi
= costante = nAB dove nAB è detto
Si ha, precisamente,
sen θ r
“indice di rifrazione del mezzo B (in cui la luce entra)
relativo al mezzo A (da cui la luce proviene)”.
Nel caso aria-acqua è nAB ≈ 1.333 . Sapresti ora determinare l’angolo
di rifrazione aria-acqua supposto che l’angolo di incidenza sia di 50°?
104
ORIZZONTE
http://www.schoolsliaison.org.uk
p
La distanza, dall’osservatore AB, della linea dell’orizzonte, è l’arco AT .
E’ fondamentale tener presente, in queste questioni, che
UNA RETTA TANGENTE A UNA CIRCONFERENZA È SEMPRE PERPENDICOLARE
l = 90° )
AL RAGGIO CHE VA AL PUNTO DI CONTATTO ( OTB
la Terra ha forma “quasi” sferica, con raggio lungo circa 6371 km.
p.
Si dice che α è l’ “angolo al centro” che “sottende” l’arco AT
La semiretta OD potrebbe interessare in relazione al problema di stabilire quanto dev’essere alto
un oggetto sulla superficie terrestre, per poter essere visto da un osservatore posto in T, o posto in B.
26) Una scogliera è alta 100 metri sul mare. Quanto dista, in linea d’aria,
per un osservatore seduto sul prato in cima alla scogliera, la linea dell’orizzonte?
Sulla distanza dell’orizzonte: Ö
27) Un faro su di un’isoletta rocciosa dista dalla costa 45 km.
Quanto è alta sul mare, al minimo, la sua lampada, se la può vedere una persona sdraiata sulla spiaggia?
TERRA E LUNA
28) La Terra non ha forma esattamente sferica;
ma supponendola invece una sfera perfetta,
e assumendo come lunghezza del raggio 6371 km,
qual è il cambio di latitudine
in un viaggio di 1000 km verso Sud?
29) Se ci si sposta da Sud verso Nord
di un primo ( = sessantesimo di grado) di latitudine,
supponendo che la Terra sia una sfera perfetta
di raggio uguale a 6371 km, che distanza si percorre?
30) La Luna ha un diametro di circa 3476 km, ed è vista
dalla Terra, a seconda delle fasi della sua orbita,
secondo un angolo che può variare,
ma che si mantiene vicino a 31’.
Se uno studente ha a disposizione questi dati,
che valutazione può dare della distanza Terra-Luna?
Latitudini: Nord = positive; Sud = negative
L’equatore ha latitudine 0,
il polo Nord +90° , il polo Sud −90°
31) Due punti A e B sono sullo stesso meridiano terrestre, uno a Nord e l’altro a Sud dell’equatore,
alle latitudini +1° e −3° rispettivamente. Quanto distano i due punti lungo la superficie terrestre,
supposto di approssimare la Terra ad una sfera perfetta di raggio 6371 km ?
32) La bella Anja risiede presso il circolo polare artico, alla latitudine Nord di 66° (+66°).
L’atletico Zwanga è africano: sta sullo stesso meridiano di Anja, ma alla latitudine Sud di 23° ( −23° ).
Comunicano tramite Internet!
Una sera, Anja racconta di vedere la luna esattamente all’orizzonte;
Zwanga invece riferisce di osservarla proprio sopra la propria testa.
E’ noto che il raggio della Terra è di circa 6371 km.
Si può dare, con questi dati, una valutazione della distanza Terra-Luna?
105
PENDENZA DI UNA STRADA
La “PENDENZA” di un tratto rettilineo di strada
Δy BC
è definita come il quoziente
=
Δx AB
e quindi, in definitiva,
equivale alla tangente goniometrica di un angolo:
Δy
pendenza =
= tg α
Δx
Se si moltiplica per 100 il numero pendenza =
Δy
= tg α , si ottiene la cosiddetta “pendenza percentuale”.
Δx
QUALCHE ESEMPIO
(qui consideriamo il caso rettilineo, ma il succo del discorso si può poi estendere al caso generale,
come specifica la NOTA a fianco della tabella):
Angolo Pendenza Pendenza % NOTA
45°
1
100°
E se la strada non è rettilinea?
Beh, allora ha senso parlare piuttosto di “pendenza media”.
60°
1.73
173%
Questa è definita come rapporto tra
80°
5.67
567%
il dislivello Δy tra il punto di partenza e quello di arrivo
30°
0.58
58%
e la distanza orizzontale Δx .
20°
0.36
36%
Quest’ultima NON è però la distanza effettivamente percorsa,
10°
0.18
18%
bensì è lunghezza della curva che si otterrebbe
90°
infinita
infinita
proiettando il percorso vero e proprio
su di un piano perfettamente orizzontale.
La definizione è identica a quella che si dà in Geometria Analitica
(pendenza, slope, di una retta = coefficiente angolare).
Ma dal punto di vista pratico, per una data strada, come si procederà?
Beh, Δy si determina con uno strumento denominato “altimetro”, dopodiché si può scegliere se
• rilevare Δx con l’ausilio di una mappa
• oppure rilevare Δs con un contachilometri poi calcolare Δx col Teorema di Pitagora.
Tuttavia, c’è anche chi, dopo aver utilizzato il contachilometri per trovare Δs ,
non si “scomoda” a fare il pur semplice calcolo, e assume come valore per la pendenza
Δy
Δy
anziché
.
Δs
Δx
In effetti, se, come avviene per la grandissima maggioranza delle strade,
la pendenza non supera il 20% (circa 11.3°), l’errore che si commette in questo modo è inferiore al 5%;
addirittura, nel caso di pendenze ≤ 10% , l’errore che si commette
prendendo Δy / Δs al posto del più corretto Δy / Δx non va oltre lo 0.5% .
Diciamo quindi che nel concreto è come se qualcuno applicasse la definizione
pendenza = Δy / Δs
anziché
pendenza = Δy / Δx ,
ma per pendenze piccole la differenza fra le due alternative è, ai fini pratici, irrilevante.
33) Determina la pendenza percentuale di un tratto rettilineo di strada che si elevi di un angolo α = 14°
34) Una pendenza è del 7% se calcolata mediante la formula Δy / Δx .
E se invece per il calcolo si utilizzasse la Δy / Δs ?
35) Una pendenza è del 100% se calcolata mediante la formula Δy / Δx .
E se invece per il calcolo si utilizzasse la Δy / Δs ?
36) Un segnale di discesa pericolosa.
Se il contachilometri mi dice che ho percorso 800 metri,
di quanti metri sono sceso in verticale?
106
TRIANGOLI QUALSIASI (TEOREMA DEI SENI, TEOREMA DEL COSENO)
37) Vogliamo misurare la distanza fra due punti C e D
che si trovano entrambi al di là di un fiume;
fiume che una impetuosa corrente ci impedisce di attraversare.
Siano A, B due punti sulla nostra riva,
situati ad una certa distanza AB
che per fissare le idee supponiamo essere di 100 metri.
l DAB,
l DBA,
l CBA
l .
Ora andiamo a misurare i 4 angoli CAB,
Supponiamo ad esempio che sia
l = 80°, DAB
l = 50°, DBA
l = 70°, CBA
l = 40° .
CAB
Applichiamo ORA, al triangolo ABD,
il TEOREMA DEI SENI, introdotto a pag. 100:
in un triangolo, è costante il rapporto
fra un lato e il seno dell’angolo opposto
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
100m
AD
AB
AD
=
≈
quindi
sen
70°
0.87
sen 70° sen ...
da cui potremo ricavare la misura di AD. Si troverà AD = …
Sei in grado ora di ricavare, allo stesso modo, la misura di AC?
Su quale triangolo occorrerà operare? Procedi: troverai AC = …
Andiamo ora a considerare il triangolo CAD.
Di esso conosciamo due lati e l’angolo fra essi compreso,
quindi potremo determinare il lato rimanente con il TEOREMA DEL COSENO (sempre a pag. 100):
in ogni triangolo, è
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Allora avremo CD = AC2 + AD 2 − 2 ⋅ AC ⋅ AD ⋅ cos (80° − 50°) .
Fai il calcolo poi vai a vedere a pag. 110 se la misura trovata è corretta.
38) Supponi di voler misurare l’altezza di una torre,
che si trovi sulla cima di un’altura, e che ti separi dalla torre
un tratto ad inclinazione costante (vedi figura a fianco).
Come fare?
Determina l’altezza della torre quando i dati sono quelli in figura.
39) Questa volta la torre si trova sul piano orizzontale,
ma è inaccessibile per via di un fossato.
Noi d’altra parte desidereremmo determinare sia la sua altezza,
sia la sua distanza HA dall’osservatore posto in A.
Mettiti al lavoro, coi dati della figura.
40) L’osservatore della torre da misurare
si trova su di un piano orizzontale,
mentre la torre è sopraelevata e inaccessibile.
Determina la sua altezza, coi dati della figura
l = 25°, CAH
l = 56°, CDA
l = 40°
BAH
(
)
107
41) Supponiamo che due forze abbiano modulo 8 e 6.5
rispettivamente, e formino un angolo di 37° 30' .
Come determinare il modulo della forza risultante?
Beh, è noto che la risultante di due forze si ottiene
applicando (figura) la “regola del parallelogrammo”,
e allora potremmo considerare ad es. il triangolo ABD,
il cui angolo di vertice B misura evidentemente … ,
per applicargli il “teorema del Coseno”:
AD = AB2 + BD2 − 2AB ⋅ BD ⋅ cos (180° − 37°30')
IN ALTERNATIVA
(ma il procedimento è un po’ più lungo)
si può proiettare il punto D sulla retta AB in E,
l è anch’esso di 37° 30'
e pensare che l’angolo EBD
in quanto …
per cui si avrà
ED = BD ⋅ sen 37° 30' = ...
BE = BD ⋅ cos 37° 30' = ...
Basterà poi applicare il T. di Pitagora al triangolo AED.
Effettua i calcoli, e constata che si ottiene
lo stesso risultato determinato con l’altro metodo.
42) Dalla sommità di un edificio molto elevato
la casa di fronte, che è alta 10 metri,
viene vista in modo tale
che l’angolo di depressione del suo tetto è di 42°
mentre l’angolo di depressione della sua base è di 52°.
Quanto sono distanti i due fabbricati?
E quanto è alto il primo?
43) Un oggetto non identificato nel cielo
è fisso in una posizione P,
e due osservatori A e B sul terreno,
a distanza AB = m 300 ,
lo vedono guardando dalla stessa parte,
l = 48° e B
l = 58° .
sotto le inclinazioni A
Il triangolo PAB sta su di un piano
che è perpendicolare al terreno.
Quanto dista da terra l’oggetto?
44) Un marinaio deve raggiungere
una piccolissima isoletta distante 18 miglia;
ma si addormenta, e intanto la barca procede per 12 miglia
lungo una direzione sfasata di 20° rispetto a quella giusta.
Quanto dista ora la barca dall’isola?
45) Un giocatore di golf colpisce con decisione la pallina,
posta nel punto P, distante 90 metri dalla posizione B della buca;
ma esagera, e il lancio è addirittura di 120 metri …
oltre tutto, la direzione è sbagliata:
15° più a sinistra rispetto alla linea PB.
Quanto dista dopo il lancio la pallina dalla buca?
108
DUE PROBLEMI CHE RICHIEDONO DI IMPOSTARE UN’EQUAZIONE
46) Una torcia elettrica
è appoggiata a terra
orizzontalmente, ed accesa.
Un bambino alto 80 cm
proietta sulla parete,
che dista da lui 2 metri e ½,
un’ombra alta 1 m e 20 cm.
Qual è la distanza della torcia
dai piedi del bambino?
47) Una scala viene appoggiata ad un muro esterno,
in modo da formare col marciapiede un angolo di 64°.
Poi la linea di appoggio sul marciapiede
viene avvicinata di 20 cm al muro,
e allora l’inclinazione della scala aumenta di 4°.
Quanto è lunga la scala?
[Indicazione: Posto AP = BP' = x e BH = y ,
x potrà essere espressa in due modi diversi, da cui …]
ESERCIZI DA SITI IN LINGUA INGLESE
Da www.swtc.edu:
48) The diagram shows the end view of a house.
Calculate the overall height and width of this house.
49) Determine the depth of the machined groove
in this steel block.
50) The Fenelon Place Elevator in Dubuque, IA →
runs on a set of tracks that is 296 ft long
and rises 189 ft from its starting place
to the top of the hill.
What is the angle of the tracks?
Da www.funtrivia.com: TRIGONOMETRY QUIZ
51) In trigonometry, angles are formed by the rotation of a ray
about its endpoint from an initial position to a terminal position.
The measure of an angle can be negative or positive,
depending on the direction of its rotation.
Which direction of rotation returns negative angles:
counter-clockwise or clockwise?
52) The two main trigonometric functions, sine (sin) and cosine (cos)
differ by the addition of the prefix "co" to "cosine".
From where does the "co" derive?
a) Coefficient b) Constant c) Constraint d) Complementary
109
ERATOSTENE E IL RAGGIO DELLA TERRA
Dal sito web http://share2.esd105.wednet.edu
a cura del progetto didattico SHARE (Washington, USA),
prendiamo a prestito, con qualche piccolissimo ritocco e aiuto alla traduzione,
la descrizione del modo in cui Eratostene
(Cirene, odierna Libia, 276 a.C. - Alessandria d’Egitto, 194 a.C.)
riuscì a determinare un’approssimazione della misura del raggio terrestre.
Evidentemente Eratostene partiva dall’ipotesi che la forma della Terra fosse sferica,
idea che non costituiva una novità in quanto già Aristotele (384-322 a.C.) l’aveva sostenuta,
per via dell’osservazione che durante le eclissi di luna sulla superficie lunare appare un’ombra circolare,
e che alcune stelle risultano visibili dall’Egitto ma non lo sono più se ci si sposta più a Nord.
(…) The Earth is a small point
in relation to the heavenly bodies.
From this Eratosthenes reasoned
the Sun's rays strike the Earth
parallel over its entire surface.
Working in Syene
(Siene, l’odierna Assuan)
and Alexandria,
which Eratosthenes assumed
were on the same meridian,
he estimated the distance
between the cities
to be about 5,000 stades (stadi);
a stade is believed to be
about 559 feet approximately one-tenth of a mile.
At summer solstice, at noon,
the Sun cast no shadow in Syene,
but in Alexandria a shadow was visible.
Using a gnomon (a vertical stick),
Eratosthenes measured
the shadow's angle to be
about 1/50 of a circle.
In the diagram, α = β
(alternate interior angles),
and since angle α is 1/50 of a circle
so is angle β .
Since angle β is 1/50 of a circle
and AS = 5000 stades,
the entire circumference is
50 ⋅ 5000 = 250000 stades.
Using this result,
2π r = 250000
250000
≈ 39789 stades ≈ 6779 km
r=
2π
[il reale raggio medio della Terra è di circa 6371 km]
Tuttavia, il discorso sulla precisione delle misure di Eratostene è assai problematico: vedi ad esempio
RISORSE SU INTERNET
Puoi cliccare QUI
Ö
dal sito www.chihapauradellamatematica.org
per una raccolta di utili e gradevoli link su argomenti di Trigonometria.
Ö
110
RISPOSTE
5) h = 3 ⋅ sen 53° ≈ 3 ⋅ 0.80 = 2.4 m
6) h = 11.8 ⋅ sen 65° ≈ 10.7 m ≈ 11 m
7) 2.4 ⋅ cos 75° ≈ m 0.62 ≈ cm 62
8) Circa 267 cm; circa 260 cm
9) 180 ⋅ tg 10° ≈ 32m
10) Il calcolo porta a un valore vicino a 308 metri; diciamo, realisticamente, 300 metri circa
11) Circa 1200 m
12) Intorno a 67° (il calcolo dà circa 67° 23' )
13) Intorno a 34°
14) ≈ 67° ; ≈ m 1.25
15) ≈ m 5.5; ≈ 59° 16) Circa 17.4 cm 17) Intorno a 10° 18) ≈ 8.54 metri 19) Circa 35 km e ½
20) d) 21) Circa 153 m 22) ≈ 43 metri (42.77… prendendo i dati alla lettera; ma non ha molto senso)
23) a) 24) circa 70 metri 25) L’angolo di rifrazione è ≈ 35°
26) Quasi 36 km (il calcolo porta a un numero vicinissimo a 35.7)
27) ≈ 159 metri
28) Circa 9°
29) Circa 1 km e 853 m
30) Qui si fanno i calcoli come se il diametro della Luna fosse “un pezzetto di arco”,
in una circonferenza il cui raggio è la distanza fra l’osservatore e la Luna.
Ci sono inoltre varie approssimazioni nei dati.
Si ottiene in questo modo, come distanza fra l’osservatore e la Luna, un valore vicino a 385500 km.
La reale distanza media tra il centro della Terra e il centro della Luna è stimata in 384400 kilometri.
31) Circa 445 km
32) Il calcolo porta a circa 365000 km (pensando di partire dal centro della Terra).
La differenza rispetto al valore vero (distanza media = 384400 km circa)
si deve alle varie approssimazioni (dei dati e delle osservazioni) che evidentemente sono in gioco.
33) Vicina al 25% 34) 6.98… % (differenza fra i valori davvero trascurabile! L’angolo è piccolo)
35) 70.7… % (qui la differenza fra i valori è notevole: l’angolo è grande)
36) Risposta immediata: di circa 80 m.
La pendenza è comunque “piccola”, e il contesto ci fa capire che quel “10%” è già un’approssimazione:
sarebbe dunque un esercizio puramente teorico stare a calcolare che, se il 10% si intende ricavato con
la formula Δy / Δx , il vero calo di altitudine sarebbe di metri 79.6
37) AD ≈ m108; AC ≈ m 74; CD ≈ m57 38) ≈ m38
39) HC = circa 25 m; HA = circa 10 m
40) BC ha una misura di circa 26-27 metri (il calcolo dà ≈ 26.5)
41) Si trova un valore di circa 13.7 per il modulo della risultante
42) ≈ 26 m; ≈ 34 m
43) L’oggetto si trova a un’altezza di circa 1089 metri … diciamo 1100 metri
44) Circa 7.9 miglia … diciamo 8 miglia
45) La distanza è di circa 40 metri
46)
TA = x
x : 80 = ( x + 250) :120
80( x + 250) = 120 x
80 x + 20000 = 120 x
− 40 x = −20000; 40 x = 20000
x = 500 → TA = 5m
47)
48) h ≈ 20 ft, w ≈ 28 ft
y
20 + y
; x=
da cui
cos 64°
cos 68°
20 + y
y
=
cos 64° cos 68°
20 cos 68° + y cos 68° = y cos 64°; y cos 64° − y cos 68° = 20 cos 68°
y ( cos 64° − cos 68° ) = 20 cos 68°
20 cos 68°
20 ⋅ 0.3746
7.492
y=
≈
=
≈ 117 cm
cos 64° − cos 68° 0.4384 − 0.3746 0.0638
y
117
x=
≈
≈ 312 cm
cos 68° 0.3746
x=
49) ≈ 3.1 inches
50) ≈ 40°
51) cw
52) d
111
IL COMPUTER:
UN APPROCCIO
RAGIONATO
I DATI,
in questo paragrafo “tecnologico”,
sono riferiti all’anno di stampa del volume;
sul sito www.chihapauradellamatematica.org
li troverai aggiornati all’anno in corso
1. Cos’è un computer? Visione d’insieme pag. 112
2. Il computer funziona secondo una logica binaria! Il bit e il Byte
2a - Computer: macchina binaria 113
2b - Quante diverse informazioni si possono codificare con un Byte? 114
2c - Un modo rapidissimo ed efficacissimo per indicare un Byte 114
2d - Le operazioni logiche del microprocessore 115
3. Tipi di computer 116, 117
4. Cos’è un programma? Tipi di programmi (=software) 118, 119, 120, 121
♪ ESERCIZI 122, 123
5. Componenti principali di un computer 124, 125, 126, 127
6. Le memorie di massa 128, 129
7. I dispositivi di I/O (Input/Output), o di Ingresso/Uscita
7a - Tastiera, monitor, stampante … 130, 131, 132, 133
7b - Le porte di Input/Output 134
7c - Prefissi decimali e prefissi binari: qualche precisazione 135
8.
9.
10.
#
♫
I codici ASCII e Unicode 136
Il File System 137
Analogico e digitale; Internet 138, 139
Cos’è l’ECDL, Patente Europea del Computer 139
ESERCIZI 140, 141
11. Glossario 142 … 162
112
1. Cos'è un computer? Visione d’insieme
Un computer è una macchina elettronica,
in grado di eseguire, con rapidità e precisione, istruzioni che le vengono comunicate dall’uomo.
Una sequenza di istruzioni è detta “programma”.
Parlando di computer si deve distinguere fra hardware e software.
Per hardware (hard=duro) si intendono i componenti fisici del computer
(tutto ciò che si può toccare materialmente: circuiti elettronici ed elettrici, cavi, dispositivi vari, …)
Per software (soft=morbido, soffice) si potrebbe intendere, in senso lato,
tutto ciò che non è hardware, ossia
i programmi
i dati
e i documenti (un "documento" è un lavoro realizzato tramite un programma).
Ma nell'uso comune la parola "software" si impiega più che altro per indicare i PROGRAMMI.
I primi computer (anni 1950 - '60 - '70) erano finalizzati esclusivamente al calcolo;
d’altronde, la stessa parola computer deriva dal verbo to compute (=calcolare).
Attualmente, invece, l'impiego prevalente dei computer non consiste più nel calcolo,
bensì nella gestione, conservazione e trasmissione di informazioni.
E la "vecchia" parola "Informatica" (da "Informazione Automatica") tende ad essere sostituita da
Information Technology (IT)
e soprattutto Information and Communication Technology (ICT).
Un’altra caratteristica dei computer attuali è la “multimedialità", ossia la capacità di utilizzare
una pluralità di “media” (=mezzi di comunicazione): testi, immagini, audio, animazioni, filmati.
Esempi tipici: le enciclopedie e le monografie su CD o DVD, o le pagine di Internet.
Questi due esempi si prestano ad illustrare pure il concetto di documento ipertestuale o ipertesto:
un ipertesto è una pagina nella quale alcune parole, immagini o icone (=piccole raffigurazioni)
contengono un “collegamento” o “link”, il quale permette, con un semplice “clic” del mouse,
di passare ad un’altra pagina, o ad un’altra sezione della stessa pagina.
Il computer lavora secondo una logica BINARIA: le istruzioni dei programmi,
e i dati sui quali le istruzioni operano, sono codificati come sequenze di 0 e di 1.
Il “cuore” del computer è la CPU (Central Processing Unit, Unità Centrale di Elaborazione),
costituita da un microprocessore (o, in certi casi, da più microprocessori).
La CPU, tramite le sue microcomponenti elettroniche, è in grado di effettuare sui dati,
codificati in forma binaria, operazioni aritmetiche ed operazioni logiche.
La CPU
a) preleva dalla “memoria di lavoro” o RAM le istruzioni, nell’ordine corretto
b) le esegue, manipolando i dati (pure presi dalla RAM)
c) e riversa poi nuovamente nella RAM, nelle posizioni corrette,
i dati secondari che sono risultato dell’elaborazione.
La RAM (Random Access Memory, o “Memoria ad accesso non sequenziale”) è una memoria
“volatile”, il cui contenuto si perde completamente ogniqualvolta il computer viene spento;
per conservare in modo permanente programmi e documenti occorrono le cosiddette
“memorie di massa”, che sono l’hard disk (HD), la chiavetta USB, il CD, il DVD, e altre.
Un “qualcosa” che è memorizzato in modo permanente su di una memoria di massa,
e contrassegnato da un nome, si chiama file (leggi fail). Un file può contenere:
un testo, un’immagine, un brano musicale, un filmato, dei dati, un programma, …
L’inserimento da parte dell’utente di dati e comandi (INPUT)
e l’emissione, da parte del computer, di “risposte”, anche in forma di immagini o suoni (OUTPUT),
avvengono tramite i dispositivi di input-output (I/O, ingresso/uscita) che sono:
• per l’input, la tastiera, il mouse, la touchpad, ecc;
• per l’output, il monitor, la stampante, le casse acustiche, ecc.
Un computer può essere collegato alla linea telefonica (per mezzo di un modem o di un router)
e tramite questa scambiare dati con altri computer (Internet).
Oltre alla linea telefonica, dove il segnale può viaggiare sul normale cavo ( = “doppino”) oppure
su fibra ottica, è possibile utilizzare onde radio per la trasmissione del flusso di informazioni.
113
2. Il computer funziona secondo una logica binaria! - Il bit e il Byte
2a - COMPUTER: MACCHINA BINARIA
Il funzionamento del computer si basa tutto sulla presenza/assenza di segnali elettrici
all’interno dei milioni e milioni di circuiti che lo compongono.
L’attività del computer consiste essenzialmente nella continua rapidissima combinazione e propagazione
di tutti questi segnali al proprio interno, al ritmo del “clock”
(un orologio interno, che “batte” 2-3 o più miliardi di volte ogni secondo),
e sotto il controllo del microprocessore.
Tutti i dispositivi di memoria rispecchiano un dualismo:
(presente/assente, riflettente/opaco, orario/antiorario ...);
insomma, l'elemento minimo di memoria è sempre un micro-dispositivo
che può trovarsi in UNO E UNO SOLO FRA 2 STATI FISICI BEN DISTINTI.
UN "QUALCOSA" CHE POSSA ASSUMERE SOLTANTO UNO FRA 2 POSSIBILI STATI VIENE DETTO
"BIT" (da Binary digIT, ovvero “cifra binaria”).
I due stati in cui può trovarsi il bit sono convenzionalmente rappresentati con “0” e “1”.
memorie
a
semiconduttore
RAM, ROM, chiavette USB,
memorie FLASH, elementi di memoria
presenti nella CPU (=registri)
BIT = presenza o assenza
di una debole tensione elettrica
memorie
magnetiche
Hard Disk
Floppy Disk (ora non più usato)
BIT = microarea orientata magneticamente
in senso orario oppure antiorario
memorie
ottiche
CD
DVD
BIT = microarea che riflette un raggio laser
oppure al contrario non lo riflette
I bit sono organizzati in gruppi di 8. Una sequenza di 8 bit prende il nome di BYTE (leggi bàit).
Noi scriveremo Byte sempre con la maiuscola, per abituarci al fatto che le abbreviazioni sono B=Byte, b=bit
Dal momento che ogni singolo bit può assumere due stati (0 oppure 1),
un Byte può assumere tutti gli stati da 00000000 a 11111111, con tutte le situazioni intermedie,
per un totale di 28=256 diverse combinazioni (perché 28? Vedi il paragrafo successivo).
Un Byte, ad esempio 01100010, potrà, a seconda del contesto, indicare:
• un dato numerico, ad esempio il numero "98"
• un dato non numerico, ad es. la lettera "b minuscola", oppure il codice di un colore
• il codice di un'istruzione, ad es. l'istruzione di "somma", o di attivazione della stampante
• l'indirizzo (=il numero d'ordine) della cella di memoria dove risiede un certo dato, o istruzione.
Allora, ricapitoliamo:
in un computer, le istruzioni di un programma, e i dati su cui il programma è chiamato a operare,
sono codificati come sequenze di “0” e di “1” (bit), organizzate in gruppi di otto (Byte) e
fisicamente realizzate, nella RAM (memoria di lavoro) o sulle “memorie di massa” (HD, CD, DVD, …),
da dispositivi di natura diversa ma accomunati dal fatto che ciascuno di essi può,
istante per istante, trovarsi in uno e uno solo fra due stati fisici ben distinti.
ll microprocessore è in grado di “MANIPOLARE” queste sequenze di 0 e di 1,
seguendo le istruzioni contenute nei programmi, in modo da realizzare:
• operazioni logiche e aritmetiche;
• la selezione della cella di RAM dalla quale prelevare l’istruzione che è corretto eseguire
in una data fase di un processo, o dalla quale/nella quale prelevare/riversare un dato;
• comandi vari (es. illuminazione con un colore piuttosto che un altro di un dato puntino
sullo schermo, attivazione della stampante, ecc. ecc. ecc.)
I multipli del Byte, usati per misurare la capienza o “capacità” delle varie memorie, sono:
il KiloByte (KB), il MegaByte (MB), il GigaByte (GB), il TeraByte (TB).
10
Fuori dall’ Inform. A volte, in Inform.
PRE
Ogni multiplo è 1024=2 volte il precedente;
10
3
3
CISA
Kilo
1024 = 2
1000 = 10
la scelta di questo numero (anziché 1000=10 )
ZIONI
20
6
si deve al fatto che, per via della logica binaria,
Mega
1.048.576 = 2
1.000.000 = 10
a
30
9
pag. 135 è il 2 e non il 10 il numero "re" dell'informatica.
Giga 1.000.000.000 = 10
1.073.741.824 = 2
Attualmente, le capacità “tipiche” delle varie memorie sono:
RAM
HARD DISK (HD) CHIAVETTA USB
Consigliati almeno 4 GB
Da 500 GB a 1 TB
Da 8 a 32 GB e più
CD
DVD
650–700–800–870 MB
Da 4,7 GB in su
114
2b - QUANTE DIVERSE INFORMAZIONI SI POSSONO CODIFICARE CON UN BYTE?
In altre parole, avendo a disposizione 8 caselle con la possibilità di riempire ciascuna casella
o con “0” o con “1”, quante sequenze fra loro distinte è possibile scrivere?
Facile: ogni Byte può essere interpretato come un numero binario a 8 cifre;
e numeri siffatti possono andare da 0 (00000000) a 255 (11111111).
La risposta è dunque 255+1=256: con un Byte possiamo rappresentare fino a 256 diverse informazioni.
Osserviamo che è 256 = 28 .
Si sarebbe potuto anche ragionare in maniera completamente diversa.
Ecco qui davanti a me la sequenza delle 8 caselle da riempire:
Per la prima casella, ho evidentemente due possibilità: 0 o 1.
a
Comunque io abbia scelto di riempire la 1 casella,
a
per la 2 mi si apre un ventaglio di 2 possibilità: 0 o 1.
Le possibilità, per quanto riguarda le prime 2 caselle,
sono espresse dal diagramma ad albero qui a destra:
4 = 22 possibilità ( 00, 01, 10, 11)
Comunque io abbia scelto il contenuto delle prime 2 caselle,
a
per riempire la 3 mi si apre ancora un ventaglio di 2 possibilità.
Le possibilità, per quanto riguarda le prime 3 caselle,
sono espresse dal diagramma ad albero qui a destra:
8 = 23 possibilità (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111)
Ogni volta che penso a una casella in più, il numero di modi in cui è possibile riempire
la sequenza di caselle considerate raddoppia per via del ventaglio di 2 possibilità che si apre.
A questo punto, è immediato concludere: Byte = 8 caselle = 28 = 256 possibilità .
Domanda: quante informazioni diverse potranno essere codificate utilizzando 2 Byte? E 4 Byte? E 8 Byte?
2c - UN MODO RAPIDISSIMO ED EFFICACISSIMO PER INDICARE UN BYTE
Nel sistema di numerazione ESADECIMALE, ossia in base SEDICI, le cifre sono:
0
1
2
3
zero
uno
due
tre
4
5
quattro cinque
6
7
8
9
A
B
C
D
sei
sette
otto
nove
dieci
undici
dodici
tredici
Ma nel sistema BINARIO i numeri da zero a quindici
sono proprio quelli che sono rappresentabili con una quaterna di cifre 0, 1:
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101
zero
uno
due
tre
quattro cinque
sei
sette
otto
nove
dieci
undici
dodici
tredici
E
F
quattordici quindici
1110
1111
quattordici quindici
E’ quindi possibile “riassumere” una sequenza di quattro bit (detta nibble),
interpretandola come numero binario e passando all’equivalente esadecimale!
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Ma se un nibble può essere “compresso” in una cifra esadecimale,
allora un Byte si potrà comprimere in una COPPIA di cifre esadecimali!!!
Per cui, ad esempio,
il Byte 0110 1110 potrà essere scritto, in breve, come 6E;
Risposta alla domanda del paragrafo 2b :
il Byte 0011 0011 potrà essere scritto, in breve, come 33;
216 = 65 536,
la scrittura A8 potrà indicare il Byte 1010 1000;
32
2 = 4 294 967 296,
la scrittura 74 potrà indicare il Byte 0111 0100;
64
2 =18 446 744 073 709 551616
ecc. ecc.
115
2d - LE OPERAZIONI LOGICHE DEL MICROPROCESSORE
In Logica, il significato dei connettivi ET, VEL, NON, che ora indicheremo, all’inglese, con
AND, OR, NOT, e a cui affiancheremo il connettivo di “OR ESCLUSIVO” o XOR (in pratica, l’ AUT latino),
è descritto dalle seguenti “tavole di verità”:
p
q
p XOR q
p q p AND q
p
q
p OR q
p
NOT p
V V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F V
F
F
V
V
F
V
V
F F
F
F
F
F
F
F
F
Se rappresentiamo “Vero” con 1 e “Falso” con 0, le tavole diventano:
p q p AND q
p
q
p OR q
p
NOT p
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p XOR q
0
1
1
0
e definiscono altrettante vere e proprie “operazioni sui bit”.
Ma mentre delle operazioni and, or, not, xor effettuate sulle proposizioni ci é ben chiaro il significato,
che senso avranno e a quali finalità potranno servire le corrispondenti operazioni sui bit?
La sorprendente risposta è che TUTTO il funzionamento della CPU è sostanzialmente
una manipolazione dei bit, effettuata tramite queste quattro operazioni logiche (e poche altre affini) !!!
Supponiamo ad esempio che la CPU debba sommare due numeri interi.
Preliminarmente, i due interi in gioco saranno stati codificati nel sistema binario, e immagazzinati in RAM.
Ora la CPU li preleva dalla RAM e li colloca, rispettivamente, in due memoriette interne alla CPU stessa
(registri). I due numeri sono in attesa di essere sommati.
Ma quali sono le regole per la somma, quando gli addendi sono codificati in binario? Eccole:
a
1
1
0
0
b
1
0
1
0
somma riporto
1
0
0
1
0
1
0
0
Ti segnalo, dal sito http://richardbowles.tripod.com
a cura di Richard Bowles,
un’interessante
Beginner’s Guide to Digital Electronics
Clicca sulla freccia! Ö
Scopriamo allora che la somma è data da a XOR b, mentre il riporto (carry) è dato da a AND b !!!
E siccome le tecnologie elettroniche consentono di realizzare con facilità microcomponenti
in grado di ricevere in entrata (input) una coppia di bit, e di fornire in uscita (output) un terzo bit,
in maniera da simulare le varie operazioni logiche, ecco che tramite una “porta logica” XOR e una
“porta logica” AND è possibile realizzare il semplice dispositivo elettronico detto semisommatore
(bit 1 = impulso elettrico presente, bit 0 = impulso elettrico assente):
← Qui a sinistra: un semisommatore (half adder)
Sotto: simboli grafici per le varie “porte logiche”
Senza entrare nei particolari, si può comprendere che, disponendo e combinando in modo adeguato
porte logiche appropriate, sarà possibile andare oltre, e realizzare un sommatore completo,
in grado di ricevere in input due sequenze di bit, corrispondenti ad una coppia di numeri binari,
e di fornire come output quella sequenza di bit, che corrisponde alla loro somma.
Ancora: supponiamo che un programma preveda che sia eseguito un dato comando,
nel caso sia verificata ALMENO UNA fra due certe condizioni.
Ovviamente al momento opportuno la CPU attiverà una porta logica OR
la quale riceverà in input una coppia di bit che rappresenteranno le due condizioni
in gioco (11 se entrambe le condizioni sono verificate, altrimenti, a seconda dei casi,
01, 10 oppure 00). Se il bit in output sarà 1, il comando verrà eseguito, altrimenti no.
Sopra: una porta
logica OR
(Richard Bowles)
116
3. Tipi di computer
A. I grandi computer
SUPERCOMPUTER (ad esempio:
)
Potentissimi, velocissimi, costosissimi, sono impiegati
nei grandi laboratori scientifici e militari.
Sopra:
un supercomputer
Sotto:
un mainframe
Supercomputers are used for highly calculation-intensive tasks
such as weather forecasting, climate research
(including research into global warming), molecular modeling
(computing the structures and properties of chemical compounds,
biological macromolecules, polymers, and crystals),
physical simulations (such as simulation of airplanes in wind tunnels,
simulation of the detonation of nuclear weapons,
and research into nuclear fusion), ... and the like.
Military and scientific agencies are heavy users [Wikipedia]
MAINFRAME
Potenti e costosi, sono utilizzati nelle aziende molto grandi
o negli enti governativi.
Parecchi utenti possono essere collegati al mainframe,
tramite i loro terminali.
B. I normali computer, quelli che noi tutti usiamo
PERSONAL COMPUTER (PC)
Sono i computer del tipo più comune. Possono essere
Sopra:
un computer da tavolo
Sotto:
un portatile o notebook
•
“fissi, da tavolo” (si dice anche: “desktop”)
•
oppure portatili (sinonimi: notebook, laptop)
o “ultraportatili” (netbook)
alimentati da batterie la cui autonomia è di qualche ora.
Occhio! Il termine “desktop” è adoperato anche
(anzi, soprattutto) con un significato completamente diverso!
Il significato “software” di “desktop” è:
lo sfondo dello schermo, sul quale poggiano le icone,
che possiamo vedere dopo aver avviato il sistema operativo.
Un’altra osservazione:
per ragioni storiche, quando si parla di quei particolari computer
che sono prodotti dalla ditta Apple, i cosiddetti Macintosh o Mac,
i quali lavorano con un sistema operativo chiamato Mac OS,
NON li si dovrebbe chiamare "PC",
bensì, per l'appunto, "Macintosh" o "Mac".
Sotto:
palme e mare sul
desktop di un desktop.
Tuttavia, quasi tutti utilizzano al giorno d’oggi la sigla PC
per indicare un qualsiasi personal computer,
sia esso un Mac o un non-Mac.
Che pasticcio!
Nel mondo dei computer
la terminologia è in continua e rapida evoluzione,
con parecchi doppi significati e ambiguità che nel nostro corso
cercheremo per quanto possibile di chiarire.
WORKSTATION
Il termine designa un computer ad uso individuale,
ma più potente di un comune personal computer,
di cui si servono specialmente professionisti in ambito lavorativo.
117
C. I più piccolini;
i vari ibridi computer/telefonino …
PALMARE o PDA (Personal Digital Assistant)
TABLET PC
Sono apparecchi a dimensioni ridotte
dotati di “touch screen” (schermo sensibile al tocco),
sul quale si opera
con un’apposita pennina o col movimento delle dita.
Sono veri e propri “computer tascabili”,
con funzionalità avanzate fra le quali
telefono e possibilità di navigazione su Internet.
In certi casi c’è la facoltà di collegare e scollegare una tastiera;
in assenza di questa comparirà una tastiera virtuale
sullo schermo del dispositivo.
Sopra: un palmare
Sotto: un iPad
Smartphone, iPhone, iPod, iPad, …
Ciascuno di questi termini indica
un dispositivo portatile e maneggevole che possiede
alcune caratteristiche di un computer in miniatura,
combinate con funzioni
di telefonino multimediale
o di riproduttore di brani musicali
o di apparecchio in grado di
navigare su Internet e gestire la posta elettronica.
“Smartphone” è termine generico,
gli altri tre si riferiscono in modo specifico
a prodotti del marchio Apple.
D. I “paggetti” di altri computer, ossia i TERMINALI
Sono dispositivi finalizzati all’inserimento e ricezione di dati,
che per funzionare devono essere collegati
ad un computer vero e proprio.
TERMINALI "STUPIDI"
Non hanno alcuna capacità autonoma di calcolo:
sono composti solo da video e tastiera.
Es.: i terminali “self service”, come il Bancomat.
TERMINALI "INTELLIGENTI" o “NETWORK COMPUTERS”
Sono in grado di svolgere in modo autonomo
determinate funzioni, anche se comunque
il loro ruolo essenziale è di restare collegati
con il computer principale o “server”.
Termini che vanno scomparendo:
MINICOMPUTER, MICROCOMPUTER
“Minicomputer” si utilizzava fino ad alcuni anni fa
per indicare un “piccolo mainframe”.
Ma il termine "minicomputer" è ormai in disuso,
“assorbito” da mainframe oppure workstation.
Così pure, è obsoleto il termine “microcomputer”,
sostituito da personal computer o da portatile.
Qui a fianco:
rara
raffigurazione
di un
antico greco
al computer
☺
118
4. Cos’è un “programma” ?
Un programma è una sequenza di istruzioni, che il computer eseguirà,
fedelmente e rapidamente, non appena il programma stesso verrà “mandato in esecuzione”.
Ecco, a titolo di esempio, un programmino per verificare se un dato intero è primo.
program primo; uses crt;
var n, k, contdiv: longint;
begin
clrscr;
writeln ('Dammi un intero n e io te ne elencherò i divisori;');
writeln ('così si vedrà se n è un numero primo oppure no.');
write ('n = '); readln (n);
writeln ('I divisori di ', n, ' sono:');
contdiv:=0;
for k:=1 to n do
if n mod k = 0 then
begin
write (k:8);
contdiv:=contdiv+1;
end;
writeln;
if contdiv=2 then write (n,' è primo')
else write (n,' non è primo');
readln;
end.
Il programma è scritto in un LlNGUAGGIO DI PROGRAMMAZIONE
(qui si tratta del linguaggio Pascal; un mini-corso di linguaggio Pascal è proposto più avanti nel volume);
tuttavia il computer, prima di poterlo eseguire, dovrà tradurlo in “LINGUAGGIO MACCHINA”,
ossia in una (lunga!) sequenza di bit 0 e 1, sequenza che verrà scritta nella memoria di lavoro o RAM.
A questa traduzione in linguaggio macchina provvederà un altro programma, detto “compilatore Pascal”.
[Per taluni linguaggi, tale traduzione avviene invece non “tutta assieme”, bensì “istruzione per istruzione”.
In questi casi, il programma che la effettua viene detto “interprete” anziché “compilatore”]
Numero della cella di RAM
…
4580317
4580318
4580319
4580320
4580321
4580322
…
Contenuto della cella
…
11001010
11100000
11010101
00110010
01011110
11111100
…
Vuoi vedere
questo programma
in esecuzione?
Clicca
sulla freccia
Ö
Al momento dell’esecuzione, il microprocessore
preleverà dalla RAM, successivamente, le varie istruzioni del programma, a partire dalla prima,
le porterà nelle sue “memoriette interne” o “registri”
e le eseguirà rapidamente e fedelmente nell’ordine corretto.
Nella RAM finiscono anche i dati che l’utente è chiamato ad inserire
nel corso dell’esecuzione del programma, in attesa che il microprocessore li prelevi,
li trasferisca nei suoi “registri” interni, e li elabori obbedendo alle istruzioni
(nel caso specifico, il dato è uno solo, ossia l’intero del quale si vuol sapere se è o non è primo).
Il PROGRAMMA SCRITTO IN LINGUAGGIO è anche chiamato “PROGRAMMA SORGENTE”;
il PROGRAMMA TRADOTTO IN LINGUAGGIO MACCHINA, e residente in RAM
(o, se salvato, residente in una memoria di massa) viene detto “PROGRAMMA OGGETTO”.
Un file contenente un programma oggetto viene anche detto “file eseguibile” o anche solo “eseguibile”
119
Evidentemente, l’esempio dato si riferiva ad un programmino semplicissimo.
Anche WORD, per fare un altro esempio di ben altro livello, è un “programma”.
WORD ordina al computer di far comparire sul monitor una data immagine
(il “foglio bianco” sormontato dai “pulsanti” per i vari comandi)
e di reagire nel modo appropriato ogniqualvolta l’utente preme un tasto della tastiera
oppure fa “clic” o “doppio clic” col mouse in una data posizione.
Un programma come WORD è, come si capirà facilmente, estremamente vasto e complicato
(basti pensare che, per ordinare al computer di generare una data immagine sul monitor,
occorre specificare con quale colore si vuole che venga illuminato
ciascuno dei tantissimi “puntini” ( = “pixel”) che compongono lo schermo);
comunque, sempre di “programma” si tratta, ossia di una sequenza di istruzioni
che ordinano al computer di comportarsi in un ben determinato modo,
e di “rispondere” con modalità ben precise a ciò che l’utente compie sulla tastiera o sul mouse.
“Software”
è un “termine collettivo” che indica “i programmi”, “l’insieme dei programmi”.
Lo si trova anche usato – seppure impropriamente – al singolare:
es. “ho acquistato un software per la simulazione del gioco degli scacchi”.
Tipi di programmi (=software)
A. Software di sistema
Si dice “sistema operativo” di un computer quel programma (programmone!!!) o, meglio,
quell’insieme di programmi, che gestiscono il funzionamento generale della macchina
(l’utilizzo della RAM, delle memorie di massa e dei dispositivi di input/output,
la messa in esecuzione - successiva o anche simultanea - dei vari programmi,
l’organizzazione dei file o file system, l’interazione con l’utente, ecc.)
I sistemi operativi più diffusi sono attualmente:
•
•
•
•
WINDOWS (XP, Vista, Windows 7, Windows 8)
MAC OS per i computer Apple
UNIX
LINUX (open source) [NOTA 2]
[NOTA 1]
NOTA 1
WINDOWS è il nome di una famiglia di sistemi operativi sviluppati dalla MICROSOFT,
una software house (società produttrice di software) fondata e guidata da BILL GATES.
La prima versione di Windows (Windows 1.0) risale al 1985; con essa, Microsoft cercava
di imitare la geniale idea dell’INTERFACCIA GRAFICA (GUI, Graphical User Interface)
apparsa per la prima volta sui computer costruiti dalla ditta APPLE di STEVE JOBS e Steve Wozniak
(Lisa uscito nel gennaio 1983 e soprattutto la serie dei Macintosh, a partire dal gennaio 1984).
“Interfaccia grafica” significa che l’utente, per servirsi del computer, non deve necessariamente
essere uno specialista, in quanto i segni grafici che compaiono sul monitor (icone) consentono
un’interazione comoda e intuitiva con la macchina.
Le prime versioni di Windows (fino a Windows 95) sono sostanzialmente progettate intorno ad uno
“zoccolo” costituito dal vecchio sistema operativo MS-DOS (MicroSoft Disk Operating System).
La prima versione di MS-DOS risale al 1981.
MS-DOS era pesante da utilizzare perché la sua interfaccia con l’utente non era di tipo grafico (GUI)
bensì “a linea di comando” (Command Line Interface, CLI).
Ad esempio, per cancellare un file,
non era possibile selezionarlo col mouse (che non esisteva) e premere CANC sulla tastiera,
oppure trascinare col mouse il file dentro al “Cestino” (non esistevano né il mouse, né il Cestino);
occorreva, invece, aver appreso dal manuale d’uso l’esistenza dell’apposito comando
DEL nome_file che andava digitato con la tastiera e poi confermato premendo il tasto “Invio”.
NOTA 2
LINUX è free software (libero, gratuito, senza diritti d’autore)
e open source (a sorgente aperta, nel senso che le sue istruzioni,
nel linguaggio di programmazione in cui è stato scritto, sono di dominio pubblico,
per cui l’utilizzatore molto esperto potrebbe anche apportarvi modifiche migliorative).
120
B. Software applicativo ( = applicativi, applicazioni)
Viene detto software applicativo (o semplicemente "applicativi", "applicazioni")
l'insieme dei programmi che non sono compresi nel sistema operativo,
ma che vengono invece installati dall'utente per svolgere compiti specifici.
Le tipologie principali di applicativi sono:
Programmi per la VIDEOSCRITTURA, o meglio per l’ELABORAZIONE TESTI;
sono anche detti ELABORATORI DI TESTI o WORD PROCESSORS (modulo 3 ECDL)
es. MS WORD (MS indica la software house produttrice MicroSoft), OPENOFFICE WRITER
Programmi detti FOGLI DI CALCOLO o FOGLI ELETTRONICI o SPREADSHEET (mod. 4 ECDL)
es. MS EXCEL (pronuncia: icsèl o – un po’ “italianizzato” – ecsèl), OPENOFFICE CALC
Programmi per l’archiviazione, ordinamento, selezione, ELABORAZIONE DATI
detti anche DATABASE o BASI DI DATI (modulo 5 ECDL)
es. MS ACCESS (pronuncia: ècsess), OPENOFFICE BASE
Programmi per le PRESENTAZIONI (modulo 6 ECDL)
es. MS POWERPOINT , OPENOFFICE IMPRESS
Programmi per il DESKTOP PUBLISHING (=editoria da tavolo)
es. MS PUBLISHER
Programmi per la NAVIGAZIONE IN INTERNET o BROWSERS
es. MS INTERNET EXPLORER; MOZILLA FIREFOX; GOOGLE CHROME; SAFARI; OPERA
Programmi per la ricezione, l’invio, la gestione della POSTA ELETTRONICA
es. MS OUTLOOK, MOZILLA THUNDERBIRD, EUDORA
Programmi per il CAD (Computer Assisted Design)
VIDEOGIOCHI
Programmi ANTIVIRUS
Programmi per la COMPRESSIONE-DECOMPRESSIONE DEI FILE
Programmi per il RITOCCO FOTOGRAFICO es. Adobe Photoshop
LETTORI AUDIO/VIDEO es. Windows Media Player, RealPlayer, QuickTime, iTunes, Winamp
SOFTWARE PER LA MATEMATICA
STRUMENTI DI SVILUPPO SOFTWARE, ossia:
programmi che permettono di scrivere altri programmi
es. AutoCAD
es. Norton, McAfee, Panda
es. Winzip, ZipCentral
es. Mathcad, MathLab, Maple, Cabri, GeoGebra
es. C++ , Delphi
…
Microsoft OFFICE
E’ una “raccolta” di programmi, proposta da Microsoft in un’unica confezione.
Contiene, nella versione più completa: Word (word processor), Excel (foglio di calcolo),
PowerPoint (presentazioni), Publisher (per creare volantini, biglietti da visita, notiziari),
Access (database), Outlook (posta elettronica e rubrica), e altri applicativi.
Sono comunque in vendita anche versioni ridotte, con alcuni soltanto fra i programmi citati.
Le offerte “Education”, riservate a studenti e insegnanti,
sono molto più economiche delle proposte commerciali “normali”.
OpenOffice.org
Una famiglia di programmi simile a Microsoft Office, ma di UTILIZZO GRATUITO,
è OpenOffice.org, nata per iniziativa della software house Sun Microsystems.
Chiunque può legalmente e liberamente scaricare OpenOffice.org da Internet accedendo al sito
(in lingua Inglese) http://www.openoffice.org/ oppure al sito (in Italiano) http://it.openoffice.org/
121
Installazione del Software
L'installazione è la procedura necessaria per inserire un nuovo programma nel computer.
A tale scopo non basterebbe copiare “brutalmente” sull’hard disk i file di cui il programma è composto:
infatti, quando il computer “riceve” un programma nuovo,
affinché questo si integri adeguatamente col sistema operativo occorre una complessa procedura
di “interfacciamento”, che prevede fra l’altro l’aggiornamento di determinati “file di configurazione”.
E a tutto ciò provvede, appunto, la cosiddetta “installazione”.
Ci sono due modi legali per procurarsi un nuovo programma:
1) acquistarlo da un rivenditore, che fornirà il CD o DVD di installazione;
2) scaricarlo (download) da Internet.
1) Per installare il software attraverso un CD o DVD è sufficiente inserire il CD o DVD nel lettore.
Di norma la procedura di installazione si avvia automaticamente;
se ciò non avvenisse, allora occorrerà cercare sul CD o DVD un file “eseguibile”
(si tratta di file il cui nome completo termina sovente con “.exe ”),
che dovrebbe chiamarsi "setup.exe" o "install.exe", o simili, e farlo partire con un doppio clic.
2) L'installazione attraverso il download da Internet è anch’essa molto semplice:
ci sarà, sul sito dal quale si vuole scaricare il programma, una parola o un’icona sulla quale
basterà fare clic o doppio clic. A volte occorre invece fare clic col tasto destro del mouse,
dopodiché apparirà un “menu di scelta rapida” da cui si selezionerà l’opzione “download”.
Se il programma scaricato da Internet è “impacchettato” in un file di tipo .zip
(= file “compresso”, “zippato”, così da occupare meno memoria) allora, dopo averlo scaricato,
occorre prima effettuare la decompressione (unzip) attraverso un programma opportuno
(ad esempio WinZip, applicativo che è “inserito in Windows”, nel senso che la MICROSOFT
lo “regala” a chi acquista il sistema operativo Windows, esattamente come Paint o Wordpad).
Il Copyright (=diritto d’Autore) del software
Il software è (in generale) protetto dai Diritti d’Autore, per cui copiare un programma sul proprio computer
senza averlo regolarmente acquistato è illegale, a meno che si tratti di freeware o di free software o simili.
I due termini freeware e free software NON sono sinonimi.
In sintesi
il FREEWARE (FREE nel senso di “gratuito”)
è software che non si può modificare, che appartiene al suo Autore il quale ne conserva i diritti,
ma ne permette l’utilizzo gratuito e anche la libera distribuzione, purché anch’essa gratuita;
il FREE SOFTWARE (FREE nel senso di “libero”)
è software che si può liberamente utilizzare, distribuire (gratis o anche a pagamento),
e magari (se ne si è capaci) modificare, in quanto è open source, cioè “a sorgente aperta”:
ciò significa che di quel software è a pubblica disposizione il “codice sorgente”, ossia
le istruzioni, in linguaggio di programmazione, con le quali il software stesso è stato scritto.
Il software SHAREWARE si può scaricare e utilizzare per un periodo di prova (15 o 30 giorni),
dopodiché occorre, se si è interessati al prodotto, versare la somma richiesta.
Oggigiorno i pagamenti si possono effettuare comodamente tramite Internet, con una carta di credito.
Dopo il periodo di prova in generale il programma smette automaticamente di funzionare;
tuttavia, anche in caso contrario, resterebbe l’obbligo legale e morale di pagare il dovuto.
Un DEMO (da demonstration) è una versione modificata di un programma non gratuito, che viene privato
di determinate, importanti, funzioni (ad es., non si possono salvare i documenti prodotti col programma).
In questo modo, l’utente può esaminare il programma, e, se ritiene che gli interessi la versione completa,
potrà scaricarla dopo il pagamento del prezzo fissato.
Nell’acquisire del software, dunque, occorre pagare il dovuto, a parte ovviamente i casi di gratuità,
e leggere con attenzione le condizioni che si è tenuti a rispettare.
In generale, per il software distribuito commercialmente vige la regola per cui è permesso
fare una (1 sola) copia di riserva (“copia di backup”) ad uso personale.
122
TEST “TIPO ECDL” (Patente Europea del Computer)
○ pallini = una sola risposta è esatta
quadratini = più di una risposta è esatta
Risposte a pag. 141
1) Un “programma” è una sequenza di
○ A. File
○ B. Dati
○ C. Istruzioni
○ D. Comandi
2) Di un disegno in via di realizzazione
con un’applicazione di grafica,
e residente in RAM, si può dire che è un
○ A. Documento
○ B. File
○ C. Programma
○ D. Software applicativo
3) Nell’acronimo CPU, la traduzione in italiano
della parola che ha per iniziale P è:
○ A. Progettazione
○ B. Memorizzazione
○ C. Programmazione
○ D. Elaborazione
4) Un “file”, quando il computer è spento, si trova
○ A. Nella RAM
○ B. Sull’HD
○ C. Nella CPU
○ D. Nel sistema operativo
5) La parola “Informatica”
può essere sostituita dall’acronimo
A. IT
B. ICT
C. ITC
D. IMT
6) Il termine “ipertesto” è intimamente in relazione con
○ A. Word processor
○ B. Software applicativo
○ C. Icona
○ D. Link
7) Si classifica come “hardware”:
A. Un foglio elettronico
B. Un microprocessore
C. Un modulo di RAM
D. Il link a un sito
8) Quale fra i seguenti termini indica
un computer “fisso”?
○ A. Laptop
○ B. Tablet
○ C. Desktop
○ D. Notebook
9) Fra le seguenti memorie,
qual è quella meno capiente?
○ A. RAM
○ B. Chiavetta USB
○ C. CD
○ D. HD
10) Con una sequenza di 20 bit, quante diverse
informazioni al massimo si potrebbero
rappresentare? (scegli il valore più vicino)
○ A. 1000
○ B. 20 mila
○ C. 1 milione ○ D. 20 milioni
11) Il Byte che ha come scrittura compatta 97 è:
○ A. 11000111
○ B. 10010110
○ C. 10011011
○ D. 10010111
12) Il Byte 11100101 si può rappresentare con:
○ A. C5
○ B. D5
○ C. E5
○ D. F5
13) Nella addizione di due numeri binari, la somma e
il riporto si ottengono rispettivamente attraverso
○ A. Un OR e uno XOR
○ B. Un AND e uno XOR
○ C. Uno XOR e un AND
○ D. Uno XOR e un OR
14) Se a = 0 e b = 1 , cosa si ottiene rispettivamente
dalle due operazioni logiche
• ( a XOR b ) OR ( a AND b)
• ( a AND b ) XOR ( a OR b) ?
○ A. 0 e 0
○ B. 0 e 1
○ C. 1 e 0
○ D. 1 e 1
15) Quale fra i seguenti è un programma
per le “presentazioni”?
○ A. PUBLISHER
○ B. POWERPOINT
○ C. PHOTOSHOP
○ D. REALPLAYER
16) Quale dei seguenti sistemi operativi
è “open source”?
○ A. LINUX
○ B. UNIX
○ C. MS-DOS
○ D. MAC OS
17) A quanti KB corrisponde 1 GB?
○ A. Circa 1000
○ B. Circa 1 milione
○ C. Circa 1 miliardo
○ D. Circa la millesima parte
18) Per “memoria di lavoro” di un computer si intende
○ A. La RAM
○ B. La ROM
○ C. L’HD
○ D. La chiavetta USB che si sta utilizzando
19) Fra le memorie sotto elencate,
riconosci quella “magnetica”:
○ A. RAM
○ B. ROM
○ C. DVD
○ D. HD
20) Fra le memorie sotto elencate,
riconosci quelle “a semiconduttore”:
A. RAM
B. Chiavetta USB
C. DVD
D. HD
123
21) Le memoriette presenti nella CPU si chiamano
○ A. Nibble
○ B. Indirizzi
○ C. Memorie virtuali
○ D. Registri
22) Il primo sistema operativo ad interfaccia grafica:
○ A. Fu prodotto dalla Apple
○ B. Fu prodotto dalla Microsoft
○ C. Si chiamava MS-DOS
○ D. Fu Windows VISTA
23) Il sistema operativo:
○ A. Risiede nella ROM ed è caricato in
RAM quando il computer viene acceso
○ B. E’ il più generale fra i SW applicativi
○ C. Coordina l’esecuzione
dei vari programmi
○ D. E’ in grado di influire
sulla capacità della RAM
24) Il software applicativo:
○ A. E’ utilizzato prevalentemente
dai professionisti
○ B. Fa parte del sistema operativo
○ C. Serve per far svolgere al computer
mansioni specifiche
○ D. Richiede per il suo uso la conoscenza
di un linguaggio di programmazione
25) L’opposto di GUI è:
○ A. CLI
○ B. Interfaccia grafica
○ C. Interfaccia testuale
○ D. PPI
26) Quale dei seguenti termini inglesi ha a che fare
con la parola inglese che significa “cifra”?
○ A. Digitale
○ B. Analogico
○ C. Computer ○ D. Software
27) Il freeware
A. E’ utilizzabile gratuitamente solo
per un certo numero di giorni
B. E’ protetto dal Copyright
C. E’ sempre concesso in uso gratuito
D. Può essere liberamente modificato
28) Il free software
○ A. E’ utilizzabile gratuitamente solo
per un certo numero di giorni
○ B. E’ protetto dal Copyright
○ C. Non può essere commercializzato
○ D. Può essere liberamente modificato
29) Il backup consiste nel:
○ A. Nascondere i file “riservati”
agli utenti non autorizzati
○ B. Fare una copia di dati e programmi,
per poterli recuperare in caso di necessità
○ C. Caricare sul proprio computer il contenuto
di un’altra macchina
○ D. Ripristinare uno stato precedente
del computer
30) Quali dei seguenti accorgimenti possono
rendere più veloce l’attività del computer?
A. Aumentare la ROM
B. Aumentare la RAM
C. Chiudere qualcuna delle applicazioni
in esecuzione
D. Spegnere per un po’ la macchina
quando è rimasta accesa troppo a lungo
31) L’ordine di potenza crescente corretto è:
○ A. Personal-Workstation-Mainframe
○ B. Workstation-Personal-Mainframe
○ C. Personal-Mainframe-Workstation
○ D. Mainframe-Personal-Workstaton
32) Le applicazioni che consentono la navigazione
su Internet si chiamano:
○ A. Browser
○ B. Provider
○ C. Driver
○ D. Server
33) Quale fra queste memorie è “volatile”?
○ A. La chiavetta USB
○ B. Il CD
○ C. La RAM
○ D. Un hard-disk esterno
34) Dove vengono effettuate, dal computer,
le operazioni aritmetiche?
○ A. Nella RAM ○ B. Nella CPU
○ C. Nelle memorie di massa
○ D. Nel clock
35) Individua la parola “intrusa”:
○ A. Freeware
○ B. Open Source
○ C. PDA
○ D. Shareware
36) Quale fra i seguenti non è un sistema operativo?
○ A. Windows XP
○ B. Mac OS
○ C. Microsoft Office
○ D. Unix
37) Quale fra i seguenti software conterrà gli indirizzi
dei cittadini di un grande Comune?
○ A. Foglio elettronico
○ B. Database
○ C. Software di gestione
○ D. Software di presentazione
38) Un “programma oggetto” è
A. Comprensibile dalla CPU
B. Scritto in un linguaggio di programmazione
C. Scritto in “linguaggio macchina”
D. Un programma facente parte del
sistema operativo
39) Il sistema operativo MS-DOS fu messo a punto nel
○ A. 1976
○ B. 1981
○ C. 1986
○ D. 1991
40) In “freeware” e “free software” l’aggettivo “free”
○ A. Ha lo stesso significato
○ B. Significa rispett. “libero” e “gratuito”
○ C. Significa rispett. “gratuito” e “libero”
○ D. Nessuna delle risposte precedenti è esatta
124
5. Componenti principali di un computer
RAM
Random Access Memory,
cioè memoria ad accesso casuale,
o meglio ad accesso “non sequenziale”
E' la "memoria di lavoro", che contiene le istruzioni del programma
che il computer sta eseguendo in quel determinato istante,
e i dati sui quali queste istruzioni devono operare.
NOTA TERMINOLOGICA
Quella che noi in queste pagine
chiamiamo “cella” (1 Byte) di RAM,
altri la chiamano “locazione”.
Alcuni, contrariamente a
quanto abbiamo fatto noi,
impiegano il sostantivo “cella”
per indicare il singolo bit 0 o 1.
La RAM è una memoria temporanea (“volatile”, come si dice) che
si cancella completamente quando il computer viene spento,
o nel caso "salti", per qualsiasi motivo, la corrente elettrica:
se viene a mancare la corrente mentre si sta ancora lavorando,
tutto il lavoro fatto dopo l'ultimo “salvataggio"
(=registrazione permanente su di una memoria non volatile,
ad esempio sull' hard disk) viene irrimediabilmente perduto.
Ecco perché se si sta producendo un documento, è bene salvarlo frequentemente !!!
La RAM è suddivisa in "celle". Ogni cella è "numerata" (cella 0, cella 1, 2, ... , 85937244, ...).
L’aggettivo "random", che va tradotto qui in "non sequenziale", significa che
l'accesso, da parte della CPU, a una qualsiasi cella di RAM
richiede il medesimo tempo, indipendentemente dal numero della cella stessa.
Ossia, il microprocessore, per accedere ad una data cella di RAM, può comunicare direttamente
con quella cella, senza dover passare prima in rassegna le celle che la precedono.
Ogni cella della RAM contiene un Byte, ossia una sequenza di 8 bit.
Un Byte, ad esempio 01100010, potrà, a seconda del contesto, indicare:
• un dato numerico, ad esempio il numero "98"
• un dato non numerico, ad es. la lettera "b minuscola", oppure il codice di un colore
• il codice di un'istruzione, ad es. l'istruzione di "somma", o l'istruzione di attivazione della stampante
• l'indirizzo di una cella di memoria dove andrà letto, o scritto, un certo dato, o istruzione.
Normalmente, per codificare un dato o un’istruzione non è sufficiente un solo Byte; bene, vuol dire
che quel dato o quell’istruzione non occuperà una sola cella, ma più celle (NOTA in alto) consecutive.
Fisicamente, il bit è realizzato, nella RAM, con una tecnologia "a semiconduttore".
Semplificando all'estremo, una microarea della RAM:
• memorizza il bit 1 se presenta una (debole) tensione elettrica
• memorizza il bit 0 se non presenta alcuna tensione elettrica.
La CPU, di cui parleremo fra un attimo, composta da uno o più microprocessori,
a) preleva dalla RAM le istruzioni, e i dati su cui tali istruzioni devono operare;
b) esegue le istruzioni;
c) e riversa nuovamente nella RAM, all'indirizzo corretto,
i dati secondari che sono il risultato dell'elaborazione.
Attualmente si consiglia che la RAM di un personal computer
abbia la capacità di (almeno) 4 GigaByte.
Kilo
Mega
Giga
Fuori dal contesto informatico
3
1000 = 10
6
1.000.000 = 1 milione = 10
9
1.000.000.000 = 1 miliardo = 10
A volte, in Informatica
10
1024 = 2
20
1.048.576 = 2
30
1.073.741.824 = 2
Vedi anche le
precisazioni
sui prefissi
binari
a pag. 135
Se la RAM non è sufficiente per contenere tutti i dati e le istruzioni necessarie,
il computer esegue un'operazione detta swap (baratto: leggi suòp), per cui, per liberare spazio,
una parte del contenuto della RAM viene temporaneamente trasferita sull' hard disk
e recuperata successivamente in caso di necessità.
Questo ovviamente rallenta l’attività del computer; per limitare lo swap occorre aggiungere più RAM.
La RAM è costituita da CHIP (chip=piastrina di silicio su cui sono stampati microcircuiti elettronici)
installati su moduli chiamati SIMM (Single In-line Memory Module) o DIMM (Dual In-line Memory Module).
125
CPU, che sovente equivale a Microprocessore
CPU sta per Central Processing Unit o Unità Centrale di Elaborazione;
è il “cuore” del computer, perché esegue le operazioni aritmetiche e logiche
e, più in generale, controlla tutto il funzionamento della macchina.
Di norma la CPU è realizzata su di un unico circuito integrato,
detto MICROPROCESSORE;
“CPU” e “microprocessore” finiscono dunque per essere sinonimi
in quei casi (frequenti nei personal)
in cui la CPU contiene un singolo microprocessore.
Ma non sempre è così:
una CPU dual core, ad esempio, è formata da due microprocessori.
Un PENTIUM
Oggi i microprocessori più diffusi sui personal computer sono i Pentium e i Core della ditta INTEL.
La stessa casa produce i processori XEON, utilizzati nei server (computer principali in una rete).
Alternative: Celeron (INTEL), Athlon, Opteron, Sempron, Turion (AMD), Motorola, …
La CPU
a) preleva dalla memoria centrale o RAM
le istruzioni del programma attivo nonché i dati su cui le istruzioni devono operare;
b) esegue tali istruzioni, elaborando i dati;
c) e infine immagazzina nuovamente nella RAM i dati secondari, risultato dell'elaborazione.
Più in generale, la CPU sovrintende al funzionamento di tutti i vari dispositivi del computer:
• le memorie (la memoria di lavoro o RAM; le memorie di massa: hard disk, chiavetta, CD, DVD, ... );
• i dispositivi di ingresso-uscita o input-output (I/O): tastiera, mouse, monitor, stampante, …
Nella CPU si distinguono una ALU (Arithmetic Logic Unit) e una CU (Control Unit).
Il funzionamento della CPU è scandito da un dispositivo di temporizzazione, detto “clock”,
che è poi un segnale periodico estremamente regolare,
ottenuto dalle vibrazioni di un cristallo di quarzo sottoposto al passaggio di una corrente elettrica.
Ad ogni battito del clock la CPU compie una "azione elementare"
(che in sostanza porta ad un cambiamento della configurazione di una parte
degli innumerevoli impulsi elettrici che pulsano all'interno del computer).
Attualmente una CPU ha una frequenza di clock intorno ai 2-3 GHz o più
(GigaHertz=miliardi di cicli, ossia di battiti del clock, al secondo).
9
30
Parlando di frequenze, Giga=10 e NON 2 . Vedi le precisazioni sui prefissi binari a pag. 135.
Quindi la "frequenza", misurata in GigaHertz, è un indicatore della velocità operativa della CPU.
D'altra parte, tale velocità operativa dipende non solo dalla frequenza di clock,
ma anche da come è tecnicamente realizzato il microprocessore
(un Pentium, ad esempio, è costruito in modo differente rispetto a un Athlon).
Ecco perché, accanto alla frequenza di clock, di solito si specificano anche altre quantità,
che misurano in modo più accurato l'efficienza della CPU:
• MIPS ( = Million Instructions Per Second )
• FLOPS ( = FLoating point Operations Per Second = Operazioni in virgola mobile per secondo.
Le operazioni “in virgola mobile” sono, in pratica, le operazioni coi numeri non interi )
La seguente tabella riporta alcuni dati sull’evoluzione (fino al 2000) dei microprocessori INTEL:
Modello di
Data di
Numero
Dimensione
Frequenza
N° di bit
nascita di transistor
in micron
dei registri
microprocessore
di clock
8088
1979
29.000
3
5 MHz
16
80286
1982
134.000
1,5
6 MHz
16
80386
1985
275.000
1,5
16 MHz
32
80486
1989
1.200.000
1
25 MHz
32
Pentium
1993
3.100.000
0,8
60 MHz
32
Pentium II
1997
7.500.000
0,35
233 MHz
32
Pentium III
1999
9.500.000
0,25
450 MHz
32
Pentium IV
2000
42.000.000
0,18
2,5 GHz
32
La velocità della CPU (in GHz, o in MIPS) e la capacità della RAM (in GB)
sono i due parametri che influiscono maggiormente sulle prestazioni del computer.
MIPS
0,33
1
5
20
100
~300
~510
~1.700
126
Si chiamano bus (leggi: bas) i canali di collegamento fra la CPU e la RAM,
o fra le diverse parti della CPU, o più in generale fra due diversi dispositivi del computer.
Generalmente il termine è usato al singolare (“il” bus).
Si sente a volte dire che una data CPU “ha un’architettura a 32 bit” . Che significa?
Significa che quella CPU tende, in generale, a gestire le informazioni in blocchi di 32 bit (4 Byte),
e che quindi, almeno in linea di massima,
• i registri (memoriette di servizio interne alla CPU) saranno di 32 bit ciascuno
• e il bus sarà una strada a 32 corsie, su ognuna delle quali viene trasmesso 1 bit.
Si usa anche dire che in quel computer la “word” è di 32 bit
NOTA: in altri casi, la parola “word” ha, in Informatica, il significato di “sequenza di 16 bit”; si usano infatti
i termini: nibble (4 bit), Byte (8 bit), word (16), dword o double word (32), qword o quad word (64)
Le CPU attualmente in uso sono prevalentemente a 64 bit, talvolta ancora a 32.
Cosa significa “quantità di memoria indirizzabile” ?
Il termine indica quanti differenti indirizzi di memoria può gestire una data CPU.
Se l’architettura della CPU è a 32 bit, per esempio, ciò comporta che il registro, interno alla CPU,
in cui vengono via via trascritti gli indirizzi delle celle di RAM alle quali di volta in volta accedere,
è composto da 32 bit; in questo caso si potranno allora indirizzare 232 celle di memoria,
e avendo ogni cella di memoria la dimensione di 1 Byte, si dirà allora che sono indirizzabili
232 Byte di memoria, che poi equivalgono a 4 GigaByte.
Si dice anche, in questo caso, che “la memoria VIRTUALE è di 4 GB”,
perché la memoria RAM FISICA potrà avere capacità inferiore;
tuttavia, la CPU può gestire le informazioni come se avesse effettivamente a disposizione 4 GB di RAM,
perché “ciò che non sta nella RAM rimarrà parcheggiato sull’hard disk”,
in attesa di essere eventualmente trasferito in RAM.
Ricapitoliamo:
si dice “memoria virtuale” una porzione dell’hard disk che viene utilizzata
“per emulare una RAM più capiente della RAM effettiva”.
La memoria virtuale è suddivisa in blocchi o “pagine” (tecnica di paging) e, quando una “pagina”
deve essere effettivamente utilizzata dal microprocessore, viene prima trasferita nella RAM fisica.
Il processo di spostamento di codice binario dalla RAM alla memoria virtuale (su hard disk) e viceversa
viene chiamato swap o swapping (leggi suòp, suòpping : letteralmente scambio, baratto).
Se la memoria RAM è poco capiente, lo swapping è più frequente e questo rallenta l’attività del computer:
infatti il trasferimento di informazioni dalle memorie di massa verso la RAM o viceversa
richiede un tempo molto, ma molto maggiore rispetto al tempo necessario
perché le informazioni passino dalla RAM alla CPU o viceversa.
Ecco perché l’aggiunta di nuova RAM generalmente aumenta la rapidità con cui il computer lavora.
Hard Disk (HD) o Disco rigido o Disco fisso
E’ una memoria permanente (= non è volatile come la RAM), di grande capacità,
nella quale vengono conservati i programmi e i documenti, sotto forma di file.
Si dice file un “pacchetto di informazione” registrato in modo permanente su di
una memoria di massa (HD, chiavetta, CD, DVD, …) e dotato di un nome.
Attualmente un hard disk ha di solito una capacità
che va da 500 GigaByte a 1000 GigaByte = 1 TeraByte.
Osserviamo che (vedi pag. 135)
i costruttori di Hard Disk esprimono le capacità in potenze di 10 e non di 2:
9
30
in questo contesto, dunque, ad esempio, Giga=10 e NON 2 .
Fisicamente, il bit è realizzato, nell' Hard Disk, con una tecnologia "a orientamento magnetico".
Semplificando all'estremo, una microarea dell' HD:
• memorizza il bit 1 se è magneticamente orientata in senso antiorario,
• memorizza il bit 0 se è magneticamente orientata in senso orario.
L’ hard disk è costituito da più dischi sovrapposti, rapidamente rotanti intorno ad un asse comune,
coi quali interagisce una testina di lettura-scrittura.
E’ molto comodo procurarsi, in aggiunta all’ hard disk interno, uno o più hard disk esterni, utili anche per
il backup (archiviazione di riserva di file, per poter recuperare dati e programmi in caso di necessità).
127
Piastra madre
(Motherboard, Mainboard, Scheda madre)
E’ la struttura principale di un personal computer,
e contiene tipicamente:
• la CPU
• il BIOS (vale a dire: la ROM col BIOS);
del BIOS si parla più avanti in questa pagina
• la RAM
• schede di espansione
• porte seriali e parallele
• controller e interfacce per le periferiche.
Nel loro insieme, tutti questi chip residenti nella motherboard vengono denominati “il chipset”.
SCHEDA = circuito stampato = basamento sul quale sono stati impressi (stampati, appunto)
numerosissimi componenti elettronici miniaturizzati.
Memoria ROM
(Read Only Memory = memoria a sola lettura)
Una memoria ROM è una memoria permanente di sola lettura,
il contenuto della quale viene registrato una sola volta
nella fase di fabbricazione del computer,
dopodiché non può essere più modificato.
In realtà, una ROM può in casi eccezionali essere “riscritta”,
ma questa eventualità, rara, è riservata
agli utenti davvero molto esperti e ai professionisti.
Nella ROM vengono registrate le informazioni fisse, come ad esempio
• le istruzioni del programma (boot o bootstrap) che sovrintende all’avviamento dopo l’accensione
• tabelle di conversione di codici
Si dice che le istruzioni contenute nella ROM costituiscono il firmware del computer
(firmware = software per il quale non sono previste modifiche
– se non in circostanze del tutto eccezionali –
che risiede in modo stabile in un dato dispositivo hardware)
Anche le periferiche, come le stampanti, gli hard disk, i lettori e masterizzatori di CD e DVD, … ,
hanno di norma un proprio firmware su di una propria memoria ROM.
BIOS (Basic Input Output System); leggi “bàios”
E’ il software (firmware) di avvio del computer,
che va automaticamente in esecuzione ogniqualvolta il computer stesso viene acceso.
E’ contenuto in una ROM collocata nella motherboard.
A volte, quando si parla di BIOS, si intende indicare
non tanto il software quanto la ROM in cui esso è conservato.
L'operazione di avvio è detta boot (=allacciarsi le scarpe) o bootstrap, e comporta specialmente:
• la verifica e l’attivazione dell’hardware
• il caricamento in RAM dei file principali del sistema operativo.
CACHE (leggi con la “a” di “arancia”: cash)
La memoria cache è una memoria ausiliaria, realizzata con una tecnologia
che consente di ottenere un tempo di accesso molto più breve rispetto alla RAM.
Il ruolo della cache è di rendere ancora più rapido il lavoro del microprocessore:
infatti nella cache vengono copiate quelle parti della RAM che saranno, con maggiore probabilità,
utilizzate nelle fasi immediatamente successive dell'elaborazione.
I computer odierni sono dotati
• di una cache "di 1° livello" (L1), integrata nel microprocessore,
• e di una cache "di 2° livello" (L2), esterna al microprocessore.
128
6. Le memorie di massa
Tutti i supporti su cui si registrano quei dati, documenti e programmi che si vogliono conservare
in modo permanente vengono detti memorie di massa.
Le memorie di massa sono: l’hard disk (HD), il floppy disk (FD), la CHIAVETTA USB, il CD, il DVD, ecc.
Floppy disk (FD) (memoria MAGNETICA, ormai in disuso, che citiamo solo per ragioni “storiche”).
I floppy disk, o semplicemente floppy, impiegati largamente negli anni ‘80 e ’90 del XX secolo,
sono poi stati progressivamente abbandonati, per la bassa capacità e la bassa velocità di lettura/scrittura;
il supporto che attualmente più si avvicina, come ruolo, all’ ”antico” floppy è la “chiavetta USB”.
Capacità di un floppy: 1,44 MB (MB=MegaByte).
I dati, in un floppy, erano registrati in forma MAGNETICA:
la superficie del FD era organizzata secondo “tracce” e “settori”, e presentava tantissime microaree
ciascuna delle quali poteva essere magnetizzata in senso antiorario (bit 1), oppure in senso orario (bit 0).
OSSERVAZIONE 1 – COS’E’ UN DRIVE
Quando si parla di memorie di massa si è portati a usare il termine “drive”.
In senso stretto, un “drive” è un
“dispositivo in grado di leggere/scrivere su di una memoria di massa”.
Tuttavia, in certi casi (ma non in tutti), la memoria di massa stessa
viene in qualche modo confusa col drive, assimilata con esso.
OSSERVAZIONE 2
DRIVE E DRIVER
Qui a destra è spiegato
il termine “DRIVE”: bene,
questo non va confuso
con la parola “DRIVER”
la quale significa invece
“programma con cui
il sistema operativo
gestisce una periferica”.
Il “buco in cui si mettevano i floppy disk” (quando ancora venivano utilizzati)
veniva chiamato il “drive A:”, mentre l’hard disk viene chiamato il “drive C:”
In definitiva: la lettera A: non è più in uso (indicava il floppy disk drive,
che nei computer attuali non c’è più; così pure, non viene utilizzata la B:, che
in computer molto “d’epoca” contrassegnava il lettore per un secondo floppy;
la lettera C: indica l’ hard disk drive principale; se poi sono presenti altri drive,
ad esempio il “buco in cui si mettono i CD”, o un hard disk secondario,
oppure se è stata magari connessa una chiavetta a una porta USB,
il sistema operativo denomina queste unità con le lettere successive
dell’alfabeto: si parlerà allora di “drive”, o “unità”, D:, E:, F:, G:, ...
Chiavetta USB o “pendrive” (memoria A SEMICONDUTTORE di tipo FLASH)
Una chiavetta USB, o penna USB, o pendrive,
è una memoria di massa portatile di piccole dimensioni
il cui nome è dovuto al fatto che si collega al computer
mediante una delle porte USB di cui questo è dotato.
E’ una “memoria FLASH”, ossia:
è una memoria permanente (e non “volatile” come la RAM),
che però, analogamente alla RAM, rientra nella categoria
delle memorie “a semiconduttore”.
Attualmente la sua capacità può andare, di norma, da 8 a 32 GigaByte e più.
Hard disk (HD) (memoria MAGNETICA)
L’ hard disk è costituito da più dischi sovrapposti, rapidamente rotanti intorno
ad un asse comune, coi quali interagisce una testina di lettura-scrittura.
I dati vi sono registrati in forma MAGNETICA
e organizzati secondo tracce, settori, clusters.
I modelli di HD oggi in commercio
hanno capacità, diciamo, da 500 GB
a 1000 GB ( = 1 TeraByte) .
Osserviamo che è abitudine
per i costruttori di HD
descrivere i loro prodotti con
prefissi decimali, non binari.
Quindi, “Giga” e “Tera”
significano qui ESATTAMENTE
1 miliardo (10^9)
e mille miliardi (10^12)
e NON, come altre volte avviene
in Informatica, 2^30 e 2^40.
129
SSD (Solid State Drive) (memoria A SEMICONDUTTORE di tipo FLASH)
E’ un supporto paragonabile a una chiavetta USB di grande capacità,
in grado di svolgere lo stesso ruolo di un hard disk.
Rispetto a un “classico” hard disk magnetico presenta numerosi vantaggi,
fra i quali:
• il consumo di energia assai ridotto, in quanto contrariamente
all’hard disk non è in movimento e non ha una testina di lettura
(ciò lo rende particolarmente adatto ai computer portatili)
• una bassa produzione di calore
• la silenziosità
• una velocità nettamente maggiore sia in lettura che in scrittura
• una maggiore resistenza agli urti.
Gli svantaggi consistono principalmente nel prezzo più elevato.
CD o Compact Disk (si scrive “Disc” nel caso dei CD audio) (memoria OTTICA)
La capacità di un CD è, a seconda dei modelli, di 650 – 700 – 800 – 870 MB
(che nei CD audio corrisponde a 74 – 80 – 90 – 99 minuti di registrazione).
I dati su di un CD sono registrati in forma OTTICA:
♪ in fase di registrazione,
un raggio di luce laser impatta su talune microaree “bruciandole” e rendendole opache (bit 0),
mentre le microaree che vengono “risparmiate” memorizzano il bit 1.
♫ In fase di lettura, un altro raggio laser, di potenza inferiore rispetto al laser di scrittura,
viene inviato sulle microaree e viene riflesso da quelle lucide, non riflesso da quelle opache; e
un dispositivo di ricezione, se è colpito dal raggio riflesso legge il bit 1, se non è colpito il bit 0.
Ciò che abbiamo detto vale per i CD che acquistiamo “vergini” e poi registriamo con un “masterizzatore”;
tuttavia, anche per i CD che contengono già dall’acquisto brani musicali o programmi o dati di vario tipo,
il discorso, pur non essendo identico per quanto riguarda la fase di “scrittura”,
che produce in questo caso “bumps” (cunette) e “pits” (depressioni), è analogo.
C’è chi, invece di dire semplicemente “CD”, dice, come si usava anni fa, “CD ROM”. In realtà
la sigla ROM (Read Only Memory, Memoria a sola lettura), che veniva sempre aggiunta nel periodo
immediatamente successivo all’invenzione di questo supporto, attualmente di solito non è adeguata:
la maggior parte dei CD in circolazione oggigiorno sono registrabili o addirittura riscrivibili.
Se diciamo semplicemente “CD”, siamo a posto in qualsiasi caso.
Il dispositivo col quale è possibile registrare dati su di un CD prende il nome di “masterizzatore”.
I primi masterizzatori, lanciati sul mercato a partire dal 1992, potevano registrare dati su CD
ad una velocità fissa (1x = 150 KBps = 150 KiloByte per secondo) che era la stessa di lettura.
In questo modo per poter registrare 60 minuti di musica si impiegavano proprio 60 minuti.
Con il passare degli anni è stato possibile aumentare tantissimo questa velocità
che può oggi arrivare fino a 52x, cioè 52 volte la “velocità-base”.
La scrittura su CD deve avvenire seguendo un ritmo costante e senza interruzioni:
se, per qualunque motivo, il flusso di dati durante la scrittura rimane bloccato, il CD è da buttare.
Osserviamo che uno dei software per la masterizzazione più diffusi si chiama Nero,
dall’imperatore Nerone, che si dice abbia cercato di dare fuoco a Roma.
In effetti, in lingua Inglese, pensando al modo particolare in cui viene registrato un CD
(tramite - come abbiamo visto - un laser), si usa il verbo “burn” (bruciare), e si dice “to burn a CD”,
dove noi diremmo “registrare” o “masterizzare”.
DVD (Digital Versatile Disk) (memoria OTTICA)
Esteriormente e tecnologicamente un DVD è simile a un CD, ma è più capiente (a partire da 4,7 GB).
I DVD sono usati per immagazzinare dati, programmi, film digitali.
Per leggere i DVD occorre un lettore appropriato (al giorno d’oggi in generale ogni computer
dispone di un lettore/masterizzatore in grado di funzionare sia coi CD che coi DVD).
Il superamento del DVD è il Blu-ray, supporto capace di contenere decine di GB;
ne vengono sviluppati sempre nuovi modelli.
Altre memorie di massa sono:
i dischi magneto-ottici; i nastri magnetici; gli Zip drive; le memory card (e smart card).
130
7. I dispositivi di I/O (Input/Output), o di Ingresso/Uscita
7a - Tastiera, monitor, stampante …
Tastiera (input)
Le tastiere più diffuse sono le cosiddette “QWERTY”. Si tratta di quelle tastiere nelle quali
la prima riga in alto dei tasti alfabetici comincia, appunto, con la sequenza Q-W-E-R-T-Y.
Sulla tastiera i tasti sono divisi in 4 gruppi:
1) Tasti Alfanumerici
Costituiscono il gruppo principale di tasti, e permettono di scrivere:
• le lettere alfabetiche, i numeri, i simboli di punteggiatura
• alcuni simboli speciali come l’asterisco, la famosa “chiocciola” @ usata negli indirizzi e-mail, ecc.
In basso, nel gruppo, troviamo la lunga “barra spaziatrice” per inserire spazi vuoti tra una parola e l’altra.
Il gruppo contiene anche i cosiddetti “tasti modificatori”: Alt (Alternate) e Ctrl (Control)
che vengono utilizzati in combinazione con altri tasti, per funzioni particolari.
Premesso ora che ogni carattere ha il suo bravo codice ASCII, ossia un numero convenzionale
che lo contraddistingue (di questo argomento parla un paragrafo successivo),
se si preme il tasto Alt e (con Alt sempre premuto) si digitano una dopo l’altra
le cifre 1-2-3 sul tastierino numerico situato nella parte destra della tastiera,
ecco che, nel caso ci si trovi in un ambiente compatibile con la videoscrittura,
comparirà sul monitor la parentesi graffa aperta, che ha come codice ASCII proprio il numero 123!
In generale, Alt + il codice ASCII (il codice decimale ASCII) di un simbolo,
DIGITATO SUL TASTIERINO NUMERICO, permette di scrivere quel simbolo.
Osserviamo la parte sinistra della tastiera; a partire dal basso, troviamo:
• il tasto Ctrl, adoperato, come dicevamo, in combinazione con altri tasti
(ad esempio, sono MOLTO USATE le combinazioni Ctrl+C, Ctrl+X, Ctrl+V,
che realizzano, rispettivamente, il comando “Copia”, il comando “Taglia” e il comando “Incolla”;
oppure la DAVVERO UTILE Ctrl+Z, che annulla l’ultima operazione effettuata);
• Il tasto del Maiuscolo Temporaneo (Shift), che porta raffigurata una freccia rivolta verso l’alto
;
• Il tasto del Maiuscolo Fisso (Caps Lock), che può portare raffigurato un lucchetto;
• il tasto di Tabulazione o “Tab”, che reca sovente due frecce orizzontali in opposizione
.
Tab è utilizzato tutte le volte che, partendo da una certa posizione sul monitor,
si vuole passare alla “posizione standard” ( = tabulazione) successiva.
•
Cambiamo zona. Sopra “Invio”, che serve per andare a capo o per confermare un dato o un comando
(RICORDA: al posto di cliccare su OK si può - ed è sovente più comodo e veloce - premere “Invio“)
troviamo un tasto più largo del solito, con una freccia orizzontale che punta verso sinistra:
si chiama backspace, e serve, in videoscrittura, per “tornare indietro cancellando”.
•
Il tasto Alt Gr, a destra della lunga barra spaziatrice, è utilizzato in relazione a quei particolari tasti
che portano indicati 3 simboli alternativi. Facciamo un esempio:
1) produce la ò se premuto da solo,
2) produce la ç se premuto assieme al "Maiuscolo Temporaneo"
il tasto
3) e produce la @ se premuto assieme ad Alt Gr.
2) Tasti Funzione
Sono quelli sulla fila in alto (Esc, F1, F2, ecc.)
Servono per impartire comandi. Il loro effetto può dipendere dal programma attivo in quel momento;
tuttavia, in generale, Esc è un comando di uscita, F1 fa comparire un HELP adeguato al contesto,
F11 è utilizzato per la visualizzazione di un documento “a schermo intero” …
3) Tastierino numerico
E’ costituito dai tasti sul lato destro. Si tratta, principalmente, di una replica dei tasti numerici,
che questa volta sono disposti come in una calcolatrice, per comodità di battitura.
4) Tasti Cursore o tasti-freccia
I tasti di questo gruppo sono collocati fra i tasti alfanumerici e il tastierino numerico.
Essi sono utilizzati per spostarsi all’interno di un documento.
Nella loro zona troviamo anche:
Canc (per cancellare o eliminare) e Fine (per spostarsi alla fine della riga).
131
Mouse (input)
E’ un dispositivo di puntamento.
Il tasto sinistro serve
a) per fare “clic” (selezionare un’opzione o un’immagine o un file, confermare un comando,
collocare il “cursore” o “punto di inserimento” nella posizione del documento desiderata …)
b) per fare “doppio clic” (lanciare un programma, aprire un file, selezionare un’intera parola …)
c) per “trascinare” (tenendo costantemente premuto il tasto sinistro, si sposta il mouse e in questo
modo si riesce a selezionare tutta una sezione di un testo, tutta una regione dello schermo, ecc.)
Il TASTO DESTRO serve per aprire un “MENU DI SCELTA RAPIDA” o “MENU CONTESTUALE”,
che permetterà di scegliere comodamente fra le opzioni possibili, in quella particolare situazione
(il sistema operativo consente, se lo si desidera, di scambiare fra loro i ruoli dei due tasti).
Il tasto a rotella centrale, o scroll, è uno strumento comodissimo per
spostarsi lungo un documento, senza dover ricorrere alla “barra di scorrimento verticale”.
I mouse “tradizionali” portavano una sferetta, i cui movimenti, dovuti al rotolamento sulla superficie della
scrivania, erano tradotti in spostamenti del puntatore sullo schermo. Successivamente si sono affermati
i mouse “ottici” in cui la sfera è sostituita da un raggio laser che impatta sulla superficie della scrivania.
Essi risolvono il problema della sporcizia che tendeva a ostacolare i movimenti della “vecchia” sferetta.
Esistono mouse “wireless”=senza fili: comunicano col computer tramite onde radio o raggi infrarossi.
Scanner Somiglia a una piccola fotocopiatrice; serve per
trasferire all’interno del computer un’immagine o un testo.
(input)
Se si “scannerizza” un testo, questo entrerà nel computer
in “formato immagine” e non in “formato testo”;
vale a dire, sarà come se il testo fosse stato “fotografato”
e non acquisito carattere per carattere.
Ciò purtroppo fa sì che il testo scannerizzato sia “statico”,
nel senso che non sarà possibile modificarlo con un programma di elaborazione testi.
Per ovviare a questo problema, e portare quindi il testo scannerizzato dal formato immagine
ad un formato testo, si potrà utilizzare un programma OCR (Optical Character Recognition).
Altri dispositivi di input sono i seguenti:
Trackball
Touchpad
Tavoletta grafica
Joystick
Trackball Dispositivo di puntamento simile al mouse; funziona muovendo la sferetta col dito.
Usata sui portatili fino a qualche anno fa, attualmente è in genere sostituita dalla touchpad.
Touchpad Dispositivo di puntamento simile al mouse; si utilizza facendo scorrere un dito sulla sua
superficie. La si trova sui computer portatili, dove ha sostituito la ormai antiquata trackball.
Tavoletta grafica Trasforma in un documento o in un file, ciò che si scrive o si disegna sulla tavoletta
(viene utilizzata preferibilmente una penna apposita).
Joystick E’ la classica manopola che serve nei videogiochi per dare al computer comandi appropriati.
Infine, si può dare un input al computer per mezzo del
touchscreen o schermo tattile, se presente: con esso l’utente interagisce tramite le dita o una pennina.
Cosa sono le “porte di Input/Output”?
Sono delle prese, collocate sul telaio (la “scatola”, il “case”) contenente il computer, e destinate a
collegare dispositivi di I/O, chiavette, hard disk esterni … Se ne possono distinguere diverse tipologie:
porta PS2, porta seriale, porta parallela, porta USB, porta Firewire. Vai a pag. 134 per approfondire.
Si sente spesso parlare di “periferiche” di un computer.
Si intende per “periferica” un dispositivo hardware collegato a un computer.
Sono periferiche: la stampante, il monitor, la tastiera, il mouse, il modem … e si considerano “periferiche”
pure l’ hard disk interno e il lettore/masterizzatore di CD e DVD (sebbene siano contenuti nel case).
132
Monitor (output; se è del tipo “touch-screen” consente, eccezionalmente, anche l’input)
A sinistra:
un monitor CRT
(Cathode
Ray
Tube)
A destra:
un monitor LCD
(Liquid
Crystal
Display)
I monitor più diffusi erano fino ai primi anni 2000
quelli a tubo catodico (CRT, Cathode Ray Tube).
Oggi si sono affermati i monitor piatti
a cristalli liquidi (LCD, Liquid Crystal Display)
Gli svantaggi principali dei CRT erano
• le dimensioni ingombranti
• il peso
• il consumo di energia
• e l’emissione non trascurabile di radiazioni.
I vantaggi più rilevanti sono:
• piccolo ingombro di spazio
• leggerezza
• emissione di radiazioni trascurabile
• consumi ridotti
La tecnologia al plasma ha avuto
poco successo per i monitor di computer:
è riservata ai grandi schermi televisivi.
La dimensione di un monitor si misura in “pollici”, lungo la diagonale.
Ad esempio, un monitor di 17 pollici ( 17'' )
è un monitor la cui diagonale è lunga 17 pollici.
1 pollice = 2,54 cm
Il costituente fondamentale dell’immagine sul monitor
è il “puntino illuminato” o PIXEL = PIX Element = Picture Element.
Il monitor consiste di una griglia di pixel (800 x 600, oppure 1024 x 768, oppure …)
nella quale ciascun pixel è illuminato di un determinato colore.
Il colore di ciascun pixel risulta dalla combinazione di 3 sotto-pixel (subpixel),
che forniscono, con intensità variabile, il colore Rosso, il Verde e il Blu (RGB).
I pixel
più in basso
e a destra
appariranno
di color
rosso
brillante
L’immagine risulta quindi da questo mosaico di pixel,
e la “risoluzione” (=nitidezza dell’immagine) è, per un dato monitor, più elevata,
se lo si imposta in modo tale che lavori con una griglia di pixel più fitta.
Invece la risoluzione diminuisce al crescere del dot pitch.
(dot pitch = distanza fra un pixel e il pixel più vicino, diciamo anche:
distanza fra un subpixel e il subpixel dello stesso colore più vicino).
Parametri principali per la qualità di un monitor:
•
la dimensione in pollici (sono diffuse la 15,4” nei portatili e la 15,4” o 17” nei computer fissi)
•
il dot pitch (è soddisfacente, ad esempio, un dot pitch di 0,28 mm o inferiore)
•
il numero totale di pixel o “risoluzione” (es. 640x480; 800x600; 1024x768; 1280x1024)
•
la frequenza di refresh, che indica quante volte al secondo l’immagine viene “rigenerata”.
Il suo valore è espresso in Hz (Hertz).
Più questo valore è elevato, minore è l'effetto di sfarfallio.
Perché l’immagine appaia stabile, la frequenza di refresh deve essere, all’incirca, di almeno 60 Hz,
ossia: il refresh deve avvenire almeno 60 volte ogni secondo.
133
Stampante (output)
a) ad aghi (antiquata …)
La testina di stampa porta una matrice di aghi metallici che impattano su di un nastro inchiostrato,
il quale a sua volta lascia la traccia sulla carta.
Queste stampanti, molto economiche ma rumorose e lente, e povere in quanto alla qualità di stampa,
sono superate ora tecnologicamente dalle inkjet e dalle laser.
Restano impiegate in alcuni registratori di cassa, e dove siano necessarie copie a ricalco.
b) a getto d’inchiostro (inkjet)
Sono le più diffuse: anziché aghi metallici,
la testina di stampa porta dei piccoli fori dai quali l’inchiostro viene sparato sulla carta.
Poco costose all’atto dell’acquisto (costerà poi però parecchio il cambio della cartuccia di inchiostro!),
poco rumorose, ragionevolmente veloci, in grado di produrre stampe di buona qualità.
Lo svantaggio principale è rappresentato, come dicevamo, dal fatto che,
quando una cartuccia per l’inchiostro si esaurisce, il prezzo della cartuccia nuova è elevato;
sicché, per una quantità medio-alta di stampe mensili, sarà più conveniente una stampante laser.
Un altro svantaggio è la solubilità in acqua della traccia di inchiostro.
c) laser
Tecnologia analoga a quella delle fotocopiatrici.
L’inchiostro del toner (un contenitore di fine polvere di inchiostro, che sostituisce qui la cartuccia)
viene depositato inizialmente sul “tamburo” per attrazione elettrostatica
(il laser seleziona le zone, sulla superficie del tamburo, dove si vuole che l’inchiostro aderisca).
Il tamburo va a premere contro la carta, sulla quale deposita l’inchiostro, poi fissato col calore.
Silenziose, molto veloci, in grado di produrre stampe di alta qualità.
Alcuni studi hanno mostrato che una parte delle “laser” in commercio emettono particelle supersottili
potenzialmente dannose alla salute. Si raccomanda di tenere la stanza ventilata!
d) per usi professionali o tipografici
Qui, per ottenere prestazioni perfette, si usano tecnologie più costose (sublimazione, thermal wax …)
e) Un “cugino” delle stampanti è il plotter, dispositivo di output finalizzato in modo specifico al disegno:
mediante una penna, o una testina a getto d’inchiostro, può tracciare linee, e quindi figure,
su fogli anche grandi. Utilizzo: negli studi professionali e nei centri di progettazione.
I principali parametri che caratterizzano una stampante sono:
la risoluzione, cioè il numero massimo di punti stampabili su ogni pollice (dpi: dots per inch)
la velocità di stampa (espressa in numero di pagine in bianco/nero o a colori per minuto: ppm).
A proposito di stampanti e di monitor, vai a vedere, nel GLOSSARIO a pag. 147 del Volume X,
la voce “DPI (punti per pollice) e PPI (pixel per pollice)”
Casse acustiche (output)
Microfono (input)
Macchina fotografica digitale e telecamera digitale (input)
Le fotografie e i filmati digitali possono essere inseriti come file nel computer.
Le videocamere usate per trasmettere filmati attraverso Internet sono dette “webcam”.
Modem (input/output)
Il modem (MOdulatore-DEModulatore) si usa per il collegamento a Internet, collegamento
che consiste nell’invio e nella ricezione di dati attraverso (in questo caso) la linea telefonica.
La velocità di un modem è il numero di bit che il modem è in grado
di trasmettere o di ricevere in un secondo, e si misura di norma in bit per secondo (bps).
Ad es., un vecchio modem agli esordi di Internet (NON stiamo parlando quindi dell’attuale ADSL)
poteva trasmettere e ricevere dati a una velocità massima di 56 Kbps (56mila bit per secondo);
osserva che b abbrevia bit mentre B abbrevierebbe Byte, e vedi pure la precisazione a pag. 135.
Il collegamento ADSL è invece molto più veloce: le velocità commercialmente dichiarate vanno
• fino ad alcuni Mbps in downstream, ossia acquisizione dati
(i “Mega” delle varie pubblicità: c’è chi ne dichiara, con l’utilizzo di fibre ottiche, addirittura 100 … )
• e da un centinaio o qualche centinaio di Kbps in su in upstream, ossia invio dati verso l’esterno.
E’ pur vero che queste sono velocità teoriche, in condizioni ideali; le velocità effettive sono poi inferiori.
Notare che nelle pubblicità si sente dire semplicemente “mega”, ma in questo caso
1 Mega vuol dire 1 Megabit per secondo (1 milione di bit per secondo).
Chiaramente per ottenere il numero di Byte per secondo occorrerebbe dividere per 8 (1 Byte = 8 bit).
134
7b - Le porte di I/O (Input/Output)
Le “porte” sono delle prese, che si trovano nella parte posteriore (a volte anche anteriore) del case, e
servono per connettere le periferiche (il mouse, la tastiera, la stampante, la chiavetta, hard disk esterni …)
Alcune tecnologie classiche
Porta
PS/2
Le porte PS2 sono, o erano, utilizzate
per il collegamento del mouse e della tastiera.
L’usanza era di scegliere colori standard:
il verde per il mouse, il viola per la tastiera.
Porta Seriale
Porta
Parallela
“Seriale” perché i bit vi viaggiano uno dopo l’altro, in serie,
quindi per trasmettere 1 byte occorrono 8 invii successivi.
Vi venivano collegati i vecchi modem a 56 Kbps;
si può utilizzare per collegare un computer
ad altri computer o dispositivi.
Può esservi collegata la stampante.
Si chiama “parallela” perché comunica col computer
mediante più binari paralleli, su ciascuno dei quali
viaggia 1 bit. E’ perciò più veloce rispetto alla seriale.
Due tecnologie recenti
I tre tipi di porte precedentemente elencati stanno attualmente cadendo in disuso, rimpiazzati
dalle nuove tecnologie costituite dalle porte USB, soprattutto, e anche dalle connessioni firewire.
Una porta USB
Porta
USB
può collegare periferiche di tipo diverso quali
mouse, tastiera, scanner, stampanti,
macchine fotografiche digitali,
chiavette, hard disk esterni, ecc;
consente di collegare e scollegare dispositivi anche a
computer acceso (Plug and Play = Collega e Utilizza).
Tuttavia, prima di rimuovere il dispositivo collegato,
è consigliabile disinserirlo cliccando sull’apposita icona
che è comparsa in basso a destra sul monitor nell’istante
in cui la periferica è stata connessa alla porta USB.
Porta
Firewire
Una porta firewire permette di collegare al computer,
o di collegare fra loro, in modo particolarmente veloce,
vari dispositivi come fotocamere digitali, webcam,
hard disk esterni, ecc.
Ecco ad esempio, nella figura qui a fianco,
una connessione firewire per telecamera.
OSSERVAZIONE
Il termine "Firewire" NON va confuso con "Firewall",
il cui significato è invece COMPLETAMENTE DIVERSO!
Un "Firewall" è infatti un sistema software e/o hardware
finalizzato a difendere un computer o una rete
da intrusioni illecite provenienti da Internet.
Fare a meno dei fili (tecnologie “wireless”): il Bluetooth
Bluetooth è una tecnologia a onde radio
che permette lo scambio senza fili (wireless)
di informazioni fra dispositivi (computer fissi,
portatili, palmari, telefonini, fotocamere digitali,
stampanti) che siano vicini fra loro
(la distanza massima di solito è 10 m,
ma può arrivare fino a 100 m,
a seconda delle versioni).
Qui sopra: auricolare Bluetooth
A sinistra: adattatore Bluetooth
135
7c - Prefissi decimali e prefissi binari: qualche PRECISAZIONE
Abbiamo detto che
in un contesto informatico, a volte (non sempre!) i prefissi Kilo, Mega, Giga …
assumono un significato un po’ diverso da quello che loro compete fuori dall’Informatica:
Fuori dall’Informatica
Kilo
1000 = 10
A volte, in Informatica
3
10
1024 = 2
6
20
Mega
1.000.000 = 10
Giga
1.000.000.000 = 10
1.048.576 = 2
9
30
1.073.741.824 = 2
10
Ogni multiplo è 1024=2 volte il precedente;
3
la scelta di questo numero (anziché 1000=10 )
si deve al fatto che, per via della logica binaria,
è il 2 e non il 10 il numero "re" dell'informatica.
Tuttavia, si è ancora in un regime di grande disomogeneità. Mi spiego.
Quando si misura la capacità di una memoria RAM, il contesto è strettamente informatico e quindi,
6
20
ad es., MB (MegaByte) non significa 1.000.000 = 10 Byte, ma significa invece 1.048.576 = 2 Byte.
Quando invece parliamo di “frequenza”
(numero di volte che un dato fenomeno periodico si ripete in un secondo),
anche quando si tratta della frequenza di clock di una CPU,
non abbiamo a che fare con una categoria di stretto carattere informatico,
per cui, ad esempio,
20
6
1 MHz (MegaHertz) non significa 1.048.576 = 2 Hertz, ma significa invece 1.000.000 = 10 Hertz.
Allo stesso modo, quando diciamo che la velocità di un modem si misura in
Kbps o Mbps (migliaia, o milioni, di bit inviati - o ricevuti - ogni secondo),
il contesto non è considerato strettamente informatico (perché il discorso riguarda non il “trattamento”,
ma piuttosto la COMUNICAZIONE delle informazioni) e quindi quei prefissi K (Kilo) o M (Mega)
tornano ad assumere il valore “classico” di potenze di 10 (e non di 2), fermo restando che
le velocità dichiarate sono comunque sempre solo un’approssimazione di quelle reali.
Ancora: abbiamo già detto che è abitudine per i costruttori di HD l’uso di prefissi decimali, non binari.
Perciò “Giga” e “Tera” con riferimento alla capacità in Byte di un hard disk significano
ESATTAMENTE 1 miliardo (10^9) e mille miliardi (10^12) e NON 2^30 e rispettivamente 2^40.
Per cercare di fare un po’ di chiarezza in queste questioni, si è tentato di introdurre i cosiddetti
“prefissi binari” kibi, mebi, gibi …
10
Dunque ad esempio “kibi” andrebbe utilizzato ogni volta che si vuole indicare 2 = 1024
3
mentre andrebbe utilizzato “kilo” soltanto nei casi in cui si vuole indicare 10 = 1000.
Il tutto è riassunto nella tabella seguente
(“SI” sta per “Sistema Internazionale” e corrisponde alle potenze di 10):
Valore Simbolo Nome
Nome
esteso
1.024 210
Ki
1.048.576 220
Mi
mebi megabinary ≈
230
Gi
gibi
1.099.511.627.776 240
Ti
1.073.741.824
1.125.899.906.842.624
≈
Fattore
Errore
SI
kilo
103
+2,4%
mega
106
+4,9%
gigabinary ≈
giga
109
+7,4%
tebi
terabinary
tera
1012
+10,0%
+12,6%
kibi
kilobinary
Equivalente
SI
≈
250
Pi
pebi
petabinary ≈
peta
1015
1.152.921.504.606.846.976 260
Ei
exbi
exabinary
exa
1018
+15,3%
+18,0%
+20,8%
1.180.591.620.717.411.303.424
≈
270
Zi
zibi
zettabinary ≈
zetta
1021
1.208.925.819.614.629.174.706.176 280
Yi
yobi
yottabinary ≈
yotta
1024
Il guaio è che, siccome le nuove proposte non si sono ancora universalmente affermate,
se leggiamo scritto, ad esempio, Mi, siamo certi che si tratta di un prefisso binario,
ma purtroppo se vediamo scritto M l’ambiguità resta, perché,
a meno che in quel testo o in quel sito non sia presente da qualche altra parte pure il prefisso Mi,
come facciamo a sapere se quell’ “M”
♪ è 10^6,
♫ oppure è 2^20 in quanto l’autore del libro o del sito non ha ancora adottato la nuova simbologia?
136
8. I codici ASCII e Unicode
A ogni carattere (alfabetico, numerico, speciale) della tastiera si assegna un codice convenzionale.
La prima codifica universalmente accettata fu la cosiddetta ASCII
(ASCII = American Standard Code for Information Interchange).
Ogni carattere vi veniva rappresentato per mezzo di 1 Byte (=sequenza di 8 bit).
8
Osserviamo che una sequenza di 8 bit consente esattamente 2 =256 combinazioni diverse;
quindi, una codifica a 8 bit può coinvolgere al massimo 256 differenti caratteri, non di più.
La TABELLA ASCII STANDARD
contiene i caratteri,
alfanumerici e speciali,
di uso più comune;
in essa, i caratteri codificati
sono in numero di 128.
Eccone qui a destra una parte.
Se vuoi vedere la tabella completa,
clicca QUI Ö.
Si può ottenere
ogni carattere ASCII
tenendo premuto il tasto Alt
e digitando
il codice decimale
corrispondente
col tastierino numerico.
Per esempio,
si ha la graffa aperta
tenendo premuto il tasto Alt
e contemporaneamente
digitando sul tastierino numerico
la sequenza 1-2-3.
Char
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
Byte
Dec
Hex
0011 0000
48
30
0011 0001
49
31
0011 0010
50
32
0011 0011
51
33
0011 0100
52
34
0011 0101
53
35
Char
[
\
]
^
…
…
Byte
Dec
Hex
0101 1011
91
5B
0101 1100
92
5C
0101 1101
93
5D
0101 1110
94
…
…
…
…
5E
…
0011 0110
54
36
a
0110 0001
97
61
0011 0111
55
37
b
0110 0010
98
62
0011 1000
56
38
c
0110 0011
99
63
0011 1001
57
d
…
100
…
39
…
0110 0100
…
…
…
64
…
@
0100 0000
64
40
{
0111 1011
123
7B
A
0100 0001
65
41
|
0111 1100
124
7C
B
0100 0010
66
42
}
0111 1101
125
7D
C
0100 0011
67
43
~
0111 1110
126
7E
D
…
0100 0100
68
44
127
7F
…
…
…
Del
…
0111 1111
…
…
…
…
Char = carattere, Dec = codice decimale, Hex = codice esadecimale
Si passò poi alla TABELLA ASCII ESTESA,
di cui nacquero (sigh!) diverse versioni,
a seconda dell'area geografica (e non solo).
Ecco qui a destra una piccola parte
della tabella ASCII ESTESA in uso in EUROPA OCCIDENTALE.
Se vuoi vedere la tabella completa, clicca QUI Ö.
Noterai la presenza di caratteri tipici delle lingue europee,
ad esempio le vocali con la dieresi usate in Tedesco,
la "c" con "cediglia" del Francese,
il punto interrogativo rovesciato dello Spagnolo …
Char
ü
é
...
ç
...
¿
...
½
Byte
Dec
Hex
1000 0001
129
81
1000 0010
130
82
…
…
…
1000 0111
135
87
…
…
…
1010 1000
168
A8
…
…
…
1010 1011
171
AB
A partire dal 1991 fu sviluppato un nuovo standard, lo standard UNICODE.
L’idea iniziale era di rappresentare ogni carattere non più con 1, ma con 2 byte.
16
Con 2 byte, ossia con una sequenza di 16 bit, le combinazioni possibili sono 2 =65536.
Si sarebbero così potuti comprendere tutti gli ideogrammi cinesi e giapponesi, tutti i caratteri
dell'alfabeto cirillico, di quello arabo, di quello ebraico, ecc. ... in un codice unico a livello mondiale.
Anche il problema della coesistenza di più tabelle ASCII estese differenti sarebbe stato superato.
L’aumento enorme della capienza delle memorie di massa, che nel frattempo si era verificato,
avrebbe reso poco rilevante la questione della maggiore occupazione di memoria.
Il progetto UNICODE subì negli anni svariati aggiornamenti, ed è tuttora in evoluzione.
Il suo campo d’azione include non solo le varie lingue vive (anche quelle meno diffuse), ma pure:
le lingue morte, simboli di varia natura (es. matematici e chimici), l'alfabeto Braille, ideogrammi ecc.
In definitiva, Unicode prevede oggi una codifica che va a utilizzare fino a 21 bit.
Di tutte queste questioni si occupa l’associazione internazionale Unicode Consortium.
137
9. Il File System
Il file system è il modo con cui il sistema operativo gestisce la collocazione dei dati sulle memorie di massa.
Tutti i sistemi operativi organizzano il contenuto dei dischi in file e cartelle.
Il termine “FILE” deriva da una parola antica che significava “fascicolo, incartamento” e indica un
“qualcosa di registrato permanentemente su una memoria di massa, e caratterizzato da un nome”.
Un file può essere: un programma; un testo; un’immagine; un insieme di dati; un filmato; …
Il termine “CARTELLA” (sinonimi: directory, folder), indica una “raccolta di file”.
Una cartella può contenere una o più sottocartelle, che a loro volta possono contenere delle sottocartelle …
come in un gioco di scatole cinesi.
Ogni sistema operativo a interfaccia grafica (GUI, Graphical User Interface)
rappresenta i file e le cartelle mediante piccole raffigurazioni dette icone.
In Windows, le icone di cartella sono a forma di cartelletta
; le icone di file dipendono dal tipo di file.
In Windows, e in altri sistemi operativi, il nome completo di un file termina con un puntino
seguito da alcuni caratteri aggiuntivi (in genere, 3 o 4 ) che costituiscono la cosiddetta “estensione” del file.
L’estensione identifica in modo univoco (ancor meglio dell’icona) la tipologia, o “formato”, del file.
Esempi rilevanti di “estensioni” sono:
.exe file di programma, o, come anche si dice, file “eseguibile”
.txt file di testo semplice
.doc documento creato con Word (word processor, elaboratore di testi)
.xls documento creato con Excel (spreadsheet, foglio elettronico)
.mdb documento creato con Access (database)
.ppt documento creato con PowerPoint (programma per le presentazioni)
.jpg .gif .bmp immagine
.htm .html pagina Web
.wav .mp3 file audio
.mov .avi .mpg filmato
Due file con lo stesso nome e la stessa estensione non possono trovarsi dentro a una stessa cartella,
ma possono invece esistere in due cartelle diverse (anche se contenute una nell'altra).
Due file con lo stesso nome, ma con estensioni diverse, possono trovarsi nella stessa cartella.
Per spostare un file da una cartella ad un’altra basta trascinarne l’icona col mouse.
Osserviamo che se le due cartelle si trovano in drive diversi,
il trascinamento provocherà una copia (ossia, una duplicazione) anziché uno spostamento.
Copie e spostamenti di file si possono inoltre effettuare coi comandi Copia, Taglia, Incolla, attivabili:
• dal menu Modifica;
• dal menu di scelta rapida, o menu contestuale,
“Copia” (inglese: Copy)
Ctrl+C
che si apre cliccando sul tasto destro del mouse
crea una copia virtuale dell’oggetto selezionato
• da tastiera, con le combinazioni
(che può essere un testo, un’immagine, un file …)
Ctrl+C (Copia); Ctrl+X (Taglia); Ctrl+V (Incolla)
in un’area logica della RAM detta
“gli
appunti” (“clipboard” in Inglese)
Anche al plurale, in Italiano, si scrive e dice “file”
e non “files” come sarebbe invece per un Inglese.
Le parole che la lingua italiana prende a prestito
da un’altra lingua non variano al plurale.
Ctrl+Z annulla l’ultima operazione effettuata
Nei computer Apple,
si premerà il tasto
Command al posto di Ctrl.
“Taglia” (Cut)
Ctrl+X
fa la stessa cosa di “Copia” ma, simultaneamente,
rimuove l’oggetto dalla posizione iniziale
“Incolla” (Paste)
Ctrl+V
riversa il contenuto che in quel momento
gli “appunti” hanno, nella posizione selezionata.
138
10. Analogico e digitale; Internet
ANALOGICO: che varia con CONTINUITA’, assumendo tutta la gamma dei valori intermedi
DIGITALE: che cambia “a scatti”, in modo “discreto”, quindi è rappresentabile con DIGITS (CIFRE)
ESEMPI:
Un orologio ANALOGICO è la meridiana. L’ombra del sole si sposta con continuità.
Un orologio DIGITALE è quello a display.
L’ora segnata dalle cifre sul display cambia a scatti, per esempio di secondo in secondo.
Un termometro ANALOGICO è quello in cui la temperatura è indicata dall’altezza della colonnina.
Tale altezza varia con continuità, assumendo tutti i valori intermedi fra il minimo e il massimo raggiunti.
Un termometro DIGITALE è quello a display.
La temperatura che si legge sul display aumenta, o diminuisce, a scatti di un decimo di grado centigrado.
Un segnale telefonico ANALOGICO è quello “classico” in cui la nostra voce alla cornetta
viene trasformata in un segnale elettrico, che con il variare continuo della sua ampiezza e frequenza
ricalca esattamente il variare continuo della voce. Il segnale elettrico viaggia lungo la linea telefonica,
e al capo opposto del filo viene ritrasformato in segnale acustico.
Un segnale telefonico DIGITALE è quello in cui la voce viene
“campionata”, ossia misurata a intervalli di tempo ravvicinatissimi
e quindi codificata in sequenze di numeri.
Tali sequenze numeriche vengono opportunamente tradotte
in una configurazione di impulsi elettrici, poi trasmessi lungo il filo.
E’ come se lungo il filo viaggiasse una catena di numeri
e non più un segnale variabile con continuità.
Da analogico a digitale
Qui a sinistra,
un’immagine DIGITALE:
si vede bene che
la figura è scomposta
in tantissimi quadratini,
ognuno colorato
in una sua specifica tinta unita.
A destra, una visione d’insieme
del dipinto di
Caspar David Friedrich
da cui il particolare è tratto:
Le bianche scogliere di Rügen,
1818
Internet
è il sistema con cui i computer si collegano gli uni agli altri tramite la linea telefonica
oppure tramite onde radio (collegamento senza fili Wi-Fi o Wi-MAX) o fibre ottiche.
Un “sito Internet” è materialmente memorizzato sull’hard disk di un certo computer
situato in una data località, negli USA oppure in Francia o in Italia o altrove;
quando visitiamo il sito, noi andiamo a prelevare dati da quel computer,
col quale comunichiamo e dal quale riceviamo i dati per mezzo, appunto, della linea telefonica.
Spesso si assumono come sinonimi i due termini Internet e World Wide Web.
Per la precisione, non si tratta di sinonimi: il World Wide Web è, infatti, solo una parte di Internet.
Internet è, globalmente, tutto l’insieme dei protocolli (=modalità standard) di comunicazione,
che permettono scambi di dati attraverso la linea telefonica, o le onde radio.
Questi scambi di dati possono essere, più specificatamente:
•
•
•
•
•
•
il World Wide Web (WWW), ossia la “ragnatela” degli innumerevoli siti
la Posta Elettronica (email o e-mail)
i Gruppi di Discussione (newsgroup)
la messaggeria istantanea
FTP e TELNET (sistemi per lo scambio di file)
…
139
LE DIVERSE POSSIBILI MODALITA’ DI COLLEGAMENTO A INTERNET
a) Collegamento “classico”, a BASSA VELOCITA’, attualmente obsoleto
b) Collegamento ADSL
La comunicazione del computer con la linea telefonica avviene, in questi due casi,
attraverso un dispositivo detto MODEM (dalle parole MOdulatore-DEModulatore),
che va collegato alla linea telefonica stessa tramite una presa apposita.
L’efficienza di un modem si misura contando quanti bit è in grado di inviare/ricevere in un secondo
(bps = bit per secondo: notare la “b” minuscola che indica il “bit”, mentre “B” starebbe per “Byte”).
Il collegamento “lento”, in uso agli esordi di Internet, funzionava con modem fino a 56 Kbps
(56 X 1000 = 56000 bit per secondo; osserviamo per la precisione che in questo contesto, come è spiegato
a pag. 135, “K” vuol dire esattamente 1000 e non 1024, fermo restando che simili velocità sono per forza
di cose approssimative)
La tecnologia ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line)
permette di far funzionare la normale linea telefonica analogica in una modalità particolare,
sfruttando un campo di frequenze più alte di quelle utilizzate per le ordinarie chiamate vocali,
e in modo da far viaggiare i dati in forma DIGITALE e AD ALTA VELOCITA’.
ADSL è una tecnologia asimmetrica, cioè è caratterizzata da due velocità differenti
¾ in trasmissione (upstream): da un centinaio o qualche centinaio di Kbps in su;
¾ e in ricezione (downstream): a seconda delle diverse tipologie di ADSL, fino ad alcuni Mbps
(i “Mega” delle varie pubblicità: c’è chi ne dichiara, con l’utilizzo di fibre ottiche, addirittura 100 …
comunque le velocità massime teoriche raramente sono poi raggiunte nella pratica)
Col collegamento ADSL la linea telefonica per le normali telefonate vocali
sul telefono fisso di casa rimane libera anche durante la connessione.
In effetti, sullo stesso filo “viaggiano” simultaneamente sia la voce sia i dati Internet,
perché si utilizzano, per la trasmissione della voce e dei dati, frequenze differenti.
Per chi vuole dotarsi di un collegamento ADSL, il mercato offre
□ sia contratti “a forfait” o “flat” (si paga un canone di noleggio mensile,
dopodiché si può rimanere su Internet anche 24 ore su 24 senza ulteriore spesa)
□ sia contratti “a tempo di connessione” o “free” (cosi come per il vecchio collegamento
a Internet quando non c’era l’ADSL, si paga per esattamente il tempo in cui si resta collegati).
c) La “banda larga”: FIBRE OTTICHE, Wi-Fi e WiMAX
Il termine ”banda”, in Informatica e nelle telecomunicazioni, indica
la “quantità di dati che possono essere trasferiti nell’unità di tempo”, e la locuzione “banda larga”
si riserva a quelle situazioni in cui avviene uno scambio di dati ad altissime velocità.
Una connessione ad Internet in banda larga può essere basata
• sulle fibre ottiche, che consentono di trasmettere i dati molto più rapidamente dell’ordinario cavo
( = doppino) telefonico
• oppure su tecnologie “wireless”, ossia senza fili, come Wi-Fi o WiMAX, che utilizzano le onde radio
per far viaggiare il segnale; WiMAX ha un raggio d’azione (range) assai più ampio rispetto a Wi-Fi.
E
C
D
L
Si chiama ECDL
(European Computer Driving Licence, ossia Patente Europea del Computer)
un attestato che certifica il possesso di conoscenze e operatività
per quanto riguarda il mondo del computer.
Se una persona lo possiede,
potrà avvalersene
nel momento in cui cerca lavoro,
oppure per evitare di dare esami di Informatica richiesti all’Università.
Per conseguire l’ECDL, occorre superare determinati esami o “moduli”.
Il sito della società (AICA) che organizza questa iniziativa in Italia
Una scelta di siti che offrono quesiti relativi ai vari “moduli” ECDL
Ö
Ö
140
TEST “TIPO ECDL” (Patente Europea del Computer)
○ pallini = una sola risposta è esatta
quadratini = più di una risposta è esatta
Risposte a pag. 141
1) Un testo acquisito con uno scanner
A. E’ modificabile come se fosse stato scritto
con un word processor
B. Diventa modificabile se trattato
con un programma OCR
C. E’ come se fosse una foto fatta ad un testo
D. In generale, contiene tanti byte quanti sono
i caratteri presenti
2) Quale fra le seguenti periferiche
è sia di input che di output?
○ A. Modem
○ B. Mouse
○ C. Scanner ○ D. Altoparlanti
3) Cosa si intende per “swap”?
○ A. La deframmentazione del disco fisso
○ B. Il recupero di spazio sull’hard disk
per eliminazione dei dati superflui
○ C. Uno scambio di codice binario
fra RAM e HD
○ D. La riparazione sull’HD dei file danneggiati
4) Se si aggiunge più RAM, in generale:
A. La velocità operativa del computer
aumenterà
B. Aumenterà la frequenza del clock
C. Si potranno archiviare più file sulle
memorie di massa
D. Sarà possibile eseguire simultaneamente
un numero maggiore di applicazioni
5) Quali fra i seguenti processori NON sono INTEL?
A. Athlon
B. Pentium
C. Core
D. Sempron
6) Supponiamo che il registro degli indirizzi in una
vecchia CPU sia di 2 Byte soltanto. Di quanti Byte
sarà allora la “memoria indirizzabile”?
○ A. 162 ○ B. 28
○ C. 216 ○ D. 816
7) Quale fra i seguenti è “parente” delle stampanti?
○ A. Scanner
○ B. Plotter
○ C. Touchpad
○ D. Firewall
8) “Taglia”, “Incolla” e “Annulla l’ultima operazione”
sono comandi che, da tastiera, corrispondono
rispettivamente alle tre combinazioni:
○ A. Ctrl-Y, Ctrl-Z, Ctrl-V
○ B. Ctrl-X, Ctrl-V, Ctrl-Y
○ C. Ctrl-X, Ctrl-V, Ctrl-Z
○ D. Ctrl-V, Ctrl-X, Ctrl-Z
9) Quali fra le affermazioni seguenti sulla ROM
sono FALSE?
A. Contiene il firmware
B. Contiene il sistema operativo
C. Fa parte di tutti i CD-ROM
D. E’ una memoria di sola lettura
10) Nell’acronimo ADSL quella “A” sta per
○ A. Analogica
○ B. Asincrona
○ C. Asimmetrica
○ D. Abbonamento
11) Una connessione ADSL può essere:
A. Free, cioè a tariffa fissa
B. Flat, cioè a tariffa oraria
C. Free, cioè a tariffa oraria
D. Flat, cioè a tariffa fissa
12) L’ampiezza di un monitor è espressa
○ A. Dalla più grande fra le due dimensioni
○ B. Tramite la lunghezza della diagonale
○ C. Tramite la superficie in pollici quadrati
○ D. In ppi, ossia “pixel per pollice”
13) Quale fra le seguenti è
la quantità di memoria maggiore?
○ A. 100 GigaByte
○ B. 1 Terabyte
○ C. 20000 MegaByte ○ D. 10^12 bit
14) La “memoria virtuale” è
○ A. Una parte della RAM “parcheggiata”
sull’hard disk
○ B. La massima capacità teoricamente
raggiungibile dalla memoria RAM
○ C. La quantità di RAM che si potrebbe
aggiungere, al massimo, in un computer
○ D. Il recupero di file utilizzati in passato
ed erroneamente cancellati
15) L’indicatore di velocità FLOPS ha a che fare
○ A. Con la frequenza del clock
○ B. Col numero di scambi di dati CPU-RAM
per secondo in media
○ C. Con la rapidità di svolgimento
di determinati calcoli matematici
○ D. Con la rapidità con la quale avvengono
gli scambi di dati fra RAM e HD
16) La frequenza del clock si misura in
○ A. GigaHertz
○ B. GigaByte
○ C. Gigabit
○ D. Gigabit per secondo
17) Il BIOS risiede
○ A. Sull’HD
○ C. Nella ROM
○ B. Nella RAM
○ D. Nella CACHE
18) Quale fra le seguenti può essere la misura
di un “dot pitch”?
○ A. 800X600
○ B. 0.28 mm
○ C. 15.4”
○ D. 60 Hz
19) Un collegamento ADSL da “8 mega”
○ A. Consente, teoricamente, di scaricare
fino a 8 MegaByte di dati ogni secondo
○ B. Consente, teoricamente, di scaricare
fino a 8 Megabit di dati ogni secondo
○ C. Consente, teoricamente, di inviare in rete
fino a 8 MegaByte di dati ogni secondo
○ C. Consente, teoricamente, di inviare in rete
fino a 8 Megabit di dati ogni secondo
20) Il codice ASCII:
A. Rappresenta ogni carattere con 8 bit
B. Rappresenta ogni carattere con 16 bit
C. Permette di rappresentare 256 caratteri
D. Permette di rappresentare 65536 caratteri
141
RIEMPI I PUNTINI
……………….
A) (paragrafi da 1 a 4)
CPU è l’acronimo ( = parola costruita con le iniziali di altre parole) di …………….………..…………………...
La “memoria di lavoro” di un computer è nota con la sigla …………... (che è acronimo dell’espressione inglese
….…………………………………….………………......... , tradotta a volte con “memoria ad accesso casuale”,
anche se al posto di “casuale” sarebbe meglio dire “……………………………………………………..……..”).
Una memoria si dice “di massa” se ….……………………………………………………………………………
Memorie “ottiche”: ………………………………………………………; “magnetiche”: …………………..… ;
“a semiconduttore”: ……………………………………………………………………………………………… ;
Un “programma” è una sequenza di ………………………………………….
e l’insieme dei programmi si indica col nome collettivo di ………………………...............
Per “hardware” si intende invece ………………………………………………………………………………….
Il byte che è sintetizzato dalla sigla 4D è …………………………
Con 1 byte si possono rappresentare fino a un massimo di ……………..………… informazioni diverse, mentre
se si utilizza una sequenza di 2 byte (16 bit) il numero di informazioni diverse rappresentabili sale a …………...
Il software concesso in uso gratuitamente solo per un periodo di prova prende il nome di …..…………..... ware.
Nei due termini “free software” e “freeware” l’aggettivo “free” ha due significati differenti, perché
in “free software” significa ……………………….. mentre in “freeware” significa ……………………………..
Che differenza c’è fra “sistema operativo” e “software applicativo”? .....................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………
Sinonimo di “foglio elettronico” è ……………………… ; il database della Microsoft si chiama ……….………
Una raccolta di programmi simile a Microsoft Office, ma gratuita, è …………………………………..
In contrapposizione a CLI (Command Line Interface), si usa l’acronimo ………………..
per indicare quei sistemi operativi che si caratterizzano per una interfaccia grafica con l’utente.
B) (paragrafi da 5 a 10)
Il funzionamento del computer è rallentato se la RAM non è abbastanza capiente: in questo caso, infatti, è più
frequente il cosiddetto ……………………… (letteralmente: “baratto”) che consiste in questo: ……….……….
……………………………………………………………………………………………………………………..
Il termine “drive” significa ……………………………………...............................................................................
Le due sigle ppi e dpi hanno a che fare con monitor e stampanti.
ppi sta per ………………………………………… e dpi invece per ..……………………………………………
A cosa si riferisce, e cosa significa, la sigla QWERTY? ……………………………………………..……………
A cosa serve, sulla tastiera, quel tasto che porta due frecce di versi opposti? …………………………………….
E il tasto Alt Gr? …………………………………………………………………………………………………...
Il termine modem deriva dalla fusione delle parti iniziali di due parole: quali? …………….…..…………….......
C’è una differenza abissale fra i due termini “firewire” e “firewall”: infatti ……………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………...
Qual è il significato della locuzione plug and play? ………………………………………………………………
La differenza 1 mebi − 1 mega è uguale a ……………………………………
Il termine informatico clipboard ha come sinonimo italiano ……………….. e significa ………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………...
La pressione del tasto destro del mouse fa comparire il cosiddetto “menu ………………………………………..”
mentre il tasto a rotella centrale prende anche il nome di “ ……………………………………”.
Una trasmissione di dati “senza fili” viene indicata col termine inglese “……………………………...”.
Il codice ASCII utilizza, per memorizzare ciascun carattere, lo spazio di …………………………………………
Il codice che richiede, per ogni carattere, uno spazio maggiore, si chiama ………………………………….…….
I due aggettivi “analogico” e “digitale” (da “digit”, che si traduce “ ……………. ” ) significano rispettivamente
………………………………………………………………………………………………………………………
Se clicchi QUI Ö
potrai accedere a una scelta di siti
che offrono quiz a risposta multipla
su questi argomenti
(modulo 1 ECDL)
RISPOSTE agli esercizi di pag. 122-123: 1C2A3D4B5AB6D7BC8C9C10C11D12C13C14D15B16A17B18A
19D20AB21D22A23C24C25A26A27BC28D29B30BC31A32A33C34B35C36C37B38AC39B40C
RISPOSTE agli esercizi di pag. 140:
1BC2A3C4AD5AD6C7B8C9BC10C11CD12B13B14A15C16A17C18B19B20AC
142
11. Glossario
32-bit, 64-bit
L’uno o l’altro dei termini si usa con riferimento a un computer, o a una CPU,
che tratta i dati, di norma, in blocchi di 32 bit o rispettivamente di 64 bit
Acrobat
Nome di due famosi programmi, Acrobat Reader (gratuito) e Acrobat Writer,
creati dalla Adobe Systems e in grado di gestire file in formato PDF (vedi)
Acronimo
Parola formata con una o più lettere iniziali di altre parole,
es. RAM = Random Access Memory; FAQ = Frequently Asked Questions;
MODEM = MOdulatore-DEModulatore
ADOBE
Adobe Systems (leggi: adòbi), software house produttrice di Acrobat Reader e Writer
ADSL
Asymmetric Digital Subscriber Line, la più diffusa modalità di collegamento a Internet
Algoritmo
Procedimento per risolvere un problema di carattere generale attraverso
un numero finito di “passi”, ciascuno dei quali sia definito senza ambiguità.
Le istruzioni di un algoritmo devono dunque essere
prive di ambiguità nel loro contenuto e nel loro ordine
concretamente eseguibili
comprensibili da parte dell’esecutore, sia questo un essere umano o una macchina
in numero finito, ed eseguibili in un tempo finito.
AMD
Società costruttrice di microprocessori: Athlon, Sempron, Turion, Opteron, Phenom
Analogico
Che varia in modo “continuo”, assumendo tutti i valori intermedi
fra il minimo e il massimo; il termine contrario è “digitale”
Antivirus
Software che difende dai virus informatici e dal “malware” in genere
APPLE
Società fondata nel 1976 da Steve Jobs insieme con Steve Wozniak, produttrice
di software, di computer, di dispositivi multimediali vari (iPod, iPhone, iPad)
Applet
Questo sostantivo femminile, da application+gadget, indica un programma
che può essere eseguito solo come “ospite” all’interno di un altro programma
ASCII
American Standard Code for Information Interchange;
standard utilizzato per codificare i caratteri alfanumerici e speciali
usando 8 bit, cioè 2 nibble, cioè 2 cifre esadecimali, per carattere.
Esempio:
In esadecimale:
0000 = 0 1000 = 8
0 1 0 0 1 0 11
1001 = 9
0001 = 1
B
4
1010 = A (dieci)
0010
2
=
01001011 = 4B
0011 = 3 1011 = B (undici)
è il codice ASCII
0100 = 4 1100 = C (dodici)
per il carattere "K"
0101 = 5 1101 = D (tredici)
0110 = 6 1110 = E (quattordici)
0111 = 7 1111 = F (quindici)
Assembler
Programma assemblatore:
software che trasforma le istruzioni di un linguaggio assembly in linguaggio macchina
Assembly
Linguaggio assemblatore: è il linguaggio di programmazione più vicino al
“linguaggio macchina”. Consiste in un insieme di codici mnemonici ciascuno dei quali
corrisponde a una singola istruzione del linguaggio macchina di un certo computer.
Ad esempio, nel vecchio processore Intel 8086 (anno 1978) l’istruzione:
“somma i contenuti dei registri ax e bx e poni il risultato nel registro ax”
(ricordiamo che i “registri” sono locazioni di memoria, interne alla CPU)
era scritta, in linguaggio macchina, come
0000001111000011
e il suo equivalente assembly era
add ax, bx
Ogni CPU (o famiglia di CPU) ha un suo linguaggio assembly, diverso dagli altri.
Al posto di “assembly” si dice anche, ma impropriamente, “assembler”.
143
Athlon 64
Tipo di microprocessore, prodotto dalla AMD,
storicamente uno dei primi con architettura a 64 bit
Backdoor
Vedi la voce “malware”
Backup
Archiviazione di riserva di file, per poter recuperare dati e programmi
nel caso si danneggi una memoria di massa.
Questa archiviazione di riserva può esser fatta ad esempio
su CD, su DVD, su di un hard disk esterno, su di una chiavetta USB …
ed è davvero bene effettuarla periodicamente,
almeno per i dati più importanti e che cambiano di continuo, perché non si sa mai:
se quei dati sono salvati su di un solo supporto, e questo dovesse rompersi,
senza una copia di backup sarebbero guai seri !!!
Di solito, nelle aziende, il backup dei dati viene fatto a intervalli di tempo regolari,
ad esempio ogni settimana, o addirittura ogni giorno.
Banda
Quantità di dati che possono essere trasferiti nell’unità di tempo
Banda larga
Termine che sta ad indicare una modalità di trasmissione
particolarmente veloce di informazioni
BIOS
Basic Input Output System. Si pronuncia (solitamente) bàios.
E’ il programma che viene eseguito per primo al momento
dell’accensione.
Risiede su di una ROM che, per estensione, viene sbrigativamente
chiamata anch’essa “BIOS” anziché “la ROM col BIOS”.
Blu-ray
Supporto di memoria ottica prodotto dalla SONY come evoluzione del DVD
Bluetooth
Tecnologia a onde radio che permette lo scambio senza fili (wireless)
di informazioni fra dispositivi (computer fissi, portatili, palmari, telefonini,
stampanti, fotocamere digitali) vicini fra loro (la distanza massima di solito
è 10 metri, ma può arrivare fino a 100 metri, a seconda delle versioni).
bit
Da Binary digIT = cifra binaria
È un “qualcosa” che può assumere uno e uno solo fra due stati distinti,
chiamati convenzionalmente “stato 0” o “stato 1”.
Una sequenza di 4 bit forma un nibble, es. 1001,
una sequenza di 8 bit forma un Byte, es. 01111010.
Le sequenze di bit possono avere il significato di:
• dati numerici o alfabetici;
• istruzioni di un programma;
• numeri indicanti posizioni (“indirizzi”) di celle di memoria
Il “bit”
• nella RAM, in una memoria “flash”, in un “registro” della CPU
è un microdispositivo (flip-flop o transistor)
che può presentare (bit 1) o non presentare (bit 0)
una debolissima tensione elettrica;
• sull’ hard disk è una microarea che può essere magnetizzata
in senso antiorario (bit 1) o in senso orario (bit 0);
• su di un CD o un DVD è una microarea che può essere
riflettente (bit 1) o non riflettente (bit 0);
• nel bus del computer è la presenza (bit 1) o assenza (bit 0) di una microcorrente
bps
bit per secondo, un modo di misurare la velocità di trasmissione dati.
Notare la “b” minuscola, che significa appunto “bit” e non “Byte”.
Browser
Programma che consente la navigazione su Internet.
Esempi: Internet Explorer, Mozilla Firefox, Google Chrome, Safari, Opera
Bus
Insieme di canali lungo i quali viaggiano impulsi elettrici (bit)
per lo scambio di informazioni fra i vari dispositivi che formano un computer.
Viene distinto in bus di indirizzi e bus di dati.
144
Cache
Memoria ausiliaria temporanea, ad accesso particolarmente veloce,
nella quale vengono riversati quei contenuti della memoria principale
che con maggiore probabilità verranno utilizzati negli istanti successivi.
Serve a rendere ancora più rapido il lavoro della CPU,
in quanto l’accesso alla cache è ancora più veloce di quello alla RAM.
La parola, da una persona italiana, dovrebbe essere pronunciata alla francese
(cash, proprio con la “a” di “arancia”), in quanto sembra derivi
dal verbo francese cacher (pron. cascé) = nascondere.
Fra le persone di madrelingua inglese,
c’è chi pronuncia “kash” con la “a” di “arancia”,
e c’è chi pronuncia “kèsh”, con la “è” di “erba”,
e c’è infine chi pronuncia “kèshéi”
(che sarebbe poi la lettura pedissequa di “cache” che un inglese farebbe
se non pensasse all’origine francese del termine)
Case
La scatola, quasi sempre in lamiera metallica, o in plastica,
che contiene le parti principali di un computer. Sinonimo: cabinet.
CD =
= Compact Disk
Memoria di massa di tipo ottico; capacità in genere di 650 o 700 Mb,
ma sono in commercio anche modelli da 800 o da 870 Mb
Celeron
Tipo di microprocessore di fascia economica prodotto dalla Intel
Centrino
Tecnologia messa a punto da Intel, per ottimizzare le prestazioni dei computer portatili
relativamente al complesso dei tre componenti
CPU+chipset+scheda wireless
Chiavetta USB =
= pendrive =
= penna USB
Memoria di massa a semiconduttore, di tipo FLASH, portatile, che ha soppiantato
i vecchi floppy disk e si connette al computer tramite una delle “porte USB”.
Capacità da 8 a 32 GB (o più).
Chip
Termine con più significati, usato, in Informatica,
prevalentemente come sinonimo di “circuito integrato”
Chipset
L’insieme dei chip intercollegati, residenti nella mainboard.
CHKDSK
Abbreviazione di CheckDisk, è un comando di Windows che
esegue il controllo degli errori nel file system dell’hard disk
Circuito integrato
Piastrina costituita da un substrato di materiale semiconduttore, in genere silicio,
sul quale sono realizzati in forma estremamente miniaturizzata
circuiti elettronici costituiti da componenti elettronici elementari
quali transistor, diodi, condensatori, resistori
Client
Risorsa, hardware o software, che accede ai servizi
di un’altra componente dello stesso tipo, detta server.
Es. un computer “secondario” (client) collegato a un computer “principale” (server)
Compilatore
In informatica, è un programma che si occupa di tradurre in linguaggio macchina
un altro programma scritto in un determinato linguaggio di programmazione:
esistono dunque ad esempio
• il compilatore FORTRAN
• il compilatore PASCAL
• il compilatore C
• …
Il compilatore prende quindi la sequenza delle istruzioni,
scritte in linguaggio di programmazione,
e genera come risultato una sequenza di bit (il “programma oggetto”).
Questo “programma oggetto” è pronto per l’esecuzione diretta da parte della CPU.
Tanto per fare un esempio, consideriamo il “programma sorgente”
riportato qui di seguito, che è scritto in linguaggio Pascal.
145
program somma_di_un_numero_non_prefissato_di_addendi;
var somma, a: integer;
begin
writeln ('Introduci i numeri da addizionare');
writeln ('Quando la sequenza sarà finita digita il numero 0');
somma:=0;
repeat
readln(a);
somma:=somma+a;
until a=0;
writeln ('Somma = ', somma);
readln;
end.
Bene: prima di mandarlo in esecuzione,
il computer dovrà sottoporlo all’azione del “compilatore Pascal”,
che lo trasformerà in qualcosa come
01101110 11100011 01010100 11100011 11010111 10100010 00000011 …
dove ogni “0” e ogni “1” significherà di avere un flip-flop
nello stato “0” o rispettivamente nello stato “1”,
in un determinato segmento della RAM.
A questo punto, il programma sarà finalmente eseguibile dalla CPU.
Copyleft
Contrapposto a “copyright”, indica sostanzialmente che l’autore
dell’opera o del software ne lascia libera e gratuita la riproduzione
e in certi casi anche la modifica, fatte salve certe condizioni
Copyright
Diritto d’autore, o meglio: diritto d’autore nel mondo anglosassone e statunitense.
La parola viene comunque spesso utilizzata come sinonimo di
“diritto d’autore”, senza distinzione fra nazioni.
CPU
Central Processing Unit, Unità Centrale di Elaborazione: “cuore” di un computer, che
• preleva dati e istruzioni dalla RAM,
• elabora i dati eseguendo le istruzioni,
• riversa nuovamente in RAM i dati secondari risultato dell’elaborazione.
La CPU di un computer è costituita da uno, o più, microprocessori.
Quindi “CPU” e “microprocessore” sono (praticamente) sinonimi
soltanto in quei casi in cui una CPU sia formata da un singolo microprocessore:
ad esempio, una CPU “dual core” contiene DUE microprocessori,
quindi in quel contesto “CPU” e “microprocessore” NON sono sinonimi.
Cracker
Persona che illegalmente cerca di eludere blocchi imposti da un software,
per scopi di guadagno personale, di stupido “prestigio” o di teppismo
CRT
Cathode Ray Tube, Tubo a Raggi Catodici, indica una tecnologia
- quella “classica” - per la realizzazione di monitor, televisivi o per computer.
Oggi è stata sostituita da altre tecnologie (LCD, plasma).
Default
Impostazione “standard”, fissata per riflettere le esigenze più comuni e frequenti
dell’utente, il quale può però facoltativamente intervenire per modificarla
Deframmentazione Operazione informatica che consiste nel ricongiungere i vari “pezzi” di un file
che per un motivo o per l’altro si trovano, sull’hard disk,
in posizioni distanziate l’una dall’altra, allo scopo di renderli contigui.
Fatto questo lavoro, sarà più veloce da parte del computer l’accesso al file.
Dialer
Vedi la voce “malware”
Digitale
Basato su “digits” = cifre; numerico, discreto.
Il contrario di questo aggettivo è l’aggettivo “analogico” = continuo
Digitale terrestre
Modalità di diffusione del segnale televisivo,
nella quale il segnale stesso viene trasmesso in forma digitale anziché analogica.
146
Diodo
E’ un particolare componente elettronico
Diritto d’autore
L’insieme dei diritti morali ed economici che la legge italiana garantisce
all’autore di un’opera.
In ambito anglosassone-americano si parla di copyright.
Tuttavia, le due locuzioni copyright e diritto d’autore
tendono ad essere utilizzate come sinonimi,
senza riferimento a una nazione in particolare.
La legge sul diritto d’autore italiano risale all’anno 1941 ed è la n. 633/1941.
Stabilisce, fra l’altro, che il diritto di utilizzo economico delle opere di un autore
• si estende agli eredi
• e decade solo dopo 70 anni dalla morte dell’autore stesso.
Disco
magneto-ottico
E’ un particolare tipo di memoria di massa
DNS
Domain Name System,
il servizio che stabilisce la corrispondenza
fra un indirizzo IP, numerico e difficilissimo da ricordare,
e il nome mnemonico del sito Internet ad esso associato.
Ad esempio,
il sito www.grandiideali.org potrebbe corrispondere all’indirizzo IP 181.205.140.3.
Bene, il DNS si occupa di tradurre, al bisogno, una scrittura nell’altra.
Documento
Si può chiamare “documento” un qualcosa
(scritto, immagine, filmato, animazione o altro),
che rappresenti un’informazione e sia in grado di comunicarla.
In un computer, quando un documento viene registrato su di una memoria di massa
diventa un “file di documento”, a volte detto ancora per brevità “documento”.
Quindi, ad esempio, se si traccia un disegno con un programma di grafica,
fintantoché questo disegno è presente solo in RAM
si tratta di un documento e non di un file,
mentre lo stesso disegno, quando verrà poi salvato su hard disk,
diventerà un “file di documento”, espressione verbale che a volte
viene sintetizzata dicendo semplicemente “documento”.
Dominio
In Internet, la parola indica un gruppo di computer e/o di dispositivi
che sono amministrati in modo unitario.
Ogni computer o dispositivo ha un suo codice numerico detto “indirizzo IP”,
e se più computer o dispositivi fanno parte di uno stesso dominio,
allora il loro indirizzo IP ha una parte comune.
Doppino
telefonico
o semplicemente
“doppino”
Coppia di fili di rame sulla quale viaggia il segnale elettrico
corrispondente a una comunicazione telefonica su rete fissa.
L’apparecchio telefonico da cui parte la voce
trasforma le onde sonore in un segnale elettrico che viaggia nel doppino;
l’apparecchio telefonico che riceve la voce
ritrasforma il segnale elettrico proveniente dal doppino in onde sonore.
Dot pitch
Distanza, in un monitor, fra due pixel adiacenti
(diciamo, fra due sub-pixel dello stesso colore vicini).
Quanto più è piccolo il dot pitch,
tanto più l’immagine tende ad essere di buona qualità.
Download
L’atto di “scaricare” da Internet un file,
portandone quindi una copia dal computer remoto sul proprio computer.
147
DPI
punti per pollice
e PPI,
pixel per pollice
DPI = Dots Per Inch,
ossia punti (elementi grafici minimali)
per ogni inch (pollice = 2,54 cm) di lunghezza (nota: NON “pollice quadrato”).
Questa unità di misura si utilizza con riferimento, ad esempio,
ai monitor e alle stampanti, e quanto più il suo valore è alto,
tanto più la risoluzione ( = nitidezza) dell’immagine tende ad essere migliore.
Attenzione, però.
Per “dot” in un contesto di STAMPANTI
si deve intendere “macchiolina di inchiostro”
mentre in un contesto di MONITOR
si deve intendere “pixel”.
Ora, sappiamo che un pixel è suddiviso a sua volta in 3 subpixel,
colorati rispettivamente in Rosso, Verde e Blu (RGB: Red-Green-Blue),
che fanno da “colori primari” in questo contesto;
invece nelle stampanti la macchiolina di inchiostro non è suddivisa,
neanche quando è colorata, in sotto-macchioline,
ma ha un colore che risulta dalla sovrapposizione effettiva,
sulla stessa identica area, dei “colori primari”,
che nel caso delle stampanti sono 4 e precisamente
CMYK (Cian-Magenta-Yellow-blacK):
ognuno di questi 4 colori viene sovrapposto al precedente,
con un procedimento che prevede 4 passate, una per ogni colore.
In realtà, dunque,
sarebbe preferibile usare DPI solo per le stampanti,
mentre per i monitor sarebbe più chiaro PPI (pixel per inch),
visto che nel caso dei monitor per “dot” ( = punto) si intende il pixel,
ma in qualcuno potrebbe nascere il sospetto (infondato)
che per “dot” si intenda invece il subpixel.
Insomma, riepilogando:
nel caso delle stampanti, la sigla dpi è del tutto calzante;
invece nel caso dei monitor si utilizzano, ma impropriamente,
con lo stesso significato, le due sigle ppi e dpi,
mentre sarebbe decisamente preferibile optare per la più chiara ppi.
72 ppi o dpi, 96 ppi o dpi sono risoluzioni tipiche per un monitor odierno.
Osserviamo, per maggiore chiarezza, che
72 pixel in orizzontale con 72 pixel in verticale
formano una griglia di 72 X 72 = 5184 pixel per pollice quadrato.
La risoluzione di un monitor si può anche valutare tenendo conto
di quanti pixel ci sono IN TOTALE
in orizzontale, e, rispettivamente, in verticale:
es. 640x480; 800x600; 1024x768; 1280x1024.
E’ chiaro che in questo caso per stabilire il numero di pixel per pollice
basterà tener conto della larghezza e dell’altezza del monitor.
A tal proposito, ricordiamo che però solitamente
per esprimere la dimensione di un monitor
si fa uso di un numero solo, quello che esprime
la lunghezza in pollici (simbolo: ” ) della diagonale (es. 15,4”; 17”)
Parlando invece di stampanti,
diciamo che una risoluzione da 300 dpi o più
è normale per una stampante dei giorni nostri.
In una stampante laser da 600 dpi abbiamo
600 dots ( = macchioline di inchiostro)
per ogni inch (pollice) di lunghezza
sia in orizzontale che in verticale, quindi
una griglia di 360000 dots per pollice quadrato.
148
Drive
Dispositivo in grado di leggere/scrivere su di una memoria di massa.
Nell’uso comune, il termine “drive” è spesso assimilato a “memoria di massa”.
Esempi
drive C: (hard disk), drive D: (può essere il masterizzatore/lettore di CD/DVD)
Driver
Software che permette al sistema operativo di
“riconoscere” una particolare periferica e “dialogare” con essa.
Esiste un driver diverso per ogni singola periferica inserita.
Dual core
CPU formata da due microprocessori accoppiati
DVD
Digital Versatile Disk:
memoria di massa di tipo ottico, rimovibile,
di capacità variabile a seconda dei modelli, a partire da 4,7 GB
Education
E’ detta “education” un’offerta di software
riservata a studenti e insegnanti, a prezzi molto scontati.
Tantissimi software hanno una “offerta education”: ad esempio, Microsoft Office.
E-mail
Posta elettronica.
Il termine può essere scritto, indifferentemente,
col trattino (e-mail) o senza trattino (email);
in entrambi i casi si pronuncia imeil.
Ergonomia
Studio dell’interazione fra l’individuo e il suo ambiente di lavoro,
per ottimizzare sicurezza, salute, benessere e produttività
Eseguibile
Si dice di un file contenente un programma scritto in “linguaggio macchina”,
cioè come sequenza di bit 0 e 1,
quindi immediatamente eseguibile dal microprocessore.
Sovente un file eseguibile ha estensione “.exe”
Estensione
Sequenza (in genere, terna o quaterna) di caratteri,
che seguono il nome di un file (sono separati da questo da un puntino),
e indicano il “formato” di questo, ossia la tipologia del file
e sovente il programma col quale il file stesso è stato realizzato
File
Insieme, contrassegnato da un nome, di informazioni codificate come sequenza di Byte
e memorizzate in modo permanente su di una memoria di massa.
Un file può contenere: un testo, una immagine, un brano musicale, un filmato,
un programma o segmento di programma, ecc. ecc.
File system
E’ il sistema in cui i file sono immagazzinati e organizzati su di una memoria di massa
Firewall
Un sistema, software e/o hardware,
avente come scopo principale di difendere
un singolo computer o una rete locale di computer
da eventuali indesiderate intrusioni provenienti da Internet
Firewire
Tipo di connessione (“spinotto” e relativa “porta”)
che permette di collegare al computer,
o di collegare fra loro, in modo molto veloce,
vari dispositivi come fotocamere digitali, webcam,
hard disk esterni, ecc.
Non necessariamente deve essere coinvolto un computer:
per es., una connessione firewire potrebbe essere utilizzata
per riversare un filmato su di un hard disk esterno
senza che nel processo debba intervenire una CPU.
I dati possono essere trasferiti secondo due modalità: asincrona e isocrona.
In modalità asincrona, se per caso la linea dall’altra parte del cavo è occupata,
il dato viene automaticamente ri-inviato.
La modalità isocrona consiste nell’invio di dati in flusso continuo e in tempo reale
(si pensi per esempio ad un filmato proveniente da una fotocamera digitale).
149
Firmware
Software che (fatta eccezione per gli utenti davvero molto esperti)
non è modificabile, ed è scritto su di una ROM.
Può essere considerato come qualcosa alla frontiera fra il software e l’hardware.
L’esempio più classico è il BIOS; ma di norma posseggono un proprio firmware
anche gli hard disk, i lettori e i masterizzatori CD e DVD, le stampanti …
FLASH (memoria) Per memoria flash, o flash memory, si intende un tipo di memoria a semiconduttore
non volatile, impiegata nelle chiavette USB (o pendrive), nelle fotocamere digitali,
nei lettori di musica portatili, nei cellulari, nei palmari, nei portatili ecc.
Flip-flop
E’ un particolare componente elettronico.
Può trovarsi in uno e uno solo di due stati fisici differenti (stato “0” e stato “1”)
e mantiene costantemente quello stato fino a quando non interviene
un impulso in input (chiamato trigger) che lo porta a passare allo stato opposto.
Per questo motivo, i flip-flop sono i componenti essenziali
di alcuni tipi di memorie a semiconduttore.
Floppy disk
Memoria di massa rimovibile ora in disuso, della capacità di 1,44 MB.
Foglio elettronico
Detto anche “foglio di calcolo” o “spreadsheet”.
E’ un software che presenta una griglia di celle tipo “battaglia navale”.
Ad esempio, la cella evidenziata in figura è denominata B3.
In ogni cella è possibile inserire:
• un numero,
• una formula,
• una stringa ( = sequenza di caratteri).
I numeri possono essere elaborati per mezzo delle formule,
le quali possono far riferimento ai contenuti delle celle,
attraverso gli “indirizzi” di queste.
Ad esempio, la formula
=A1+B1 (ogni formula deve sempre cominciare con =)
se viene scritta in C1,
farà comparire, nella cella C1,
il risultato della somma dei numeri contenuti nelle due celle A1 e B1.
In figura, 25+12 dà come risultato 37.
I dati contenuti nelle celle possono essere riordinati
(ad esempio, i numeri in ordine crescente o decrescente, le stringhe in ordine alfabetico);
è possibile effettuare conteggi e statistiche
e tracciare grafici e diagrammi di vario tipo.
Esempi di foglio elettronico:
• Microsoft EXCEL
• OpenOffice CALC, che è free software.
Formato
Tipologia di un file, o meglio:
modalità utilizzata per memorizzarlo, o per interpretare il suo contenuto
Free Software
Software libero, può essere copiato e distribuito senza restrizioni,
ed eventualmente anche modificato, in quanto il “codice sorgente”,
ossia la sequenza delle istruzioni in linguaggio in cui il programma stesso è stato scritto,
è reso noto e dichiarato liberamente utilizzabile dall’autore.
FREE nel senso di LIBERO.
Freeware
Software gratuito, ma comunque di proprietà del suo autore,
senza l’autorizzazione del quale non gli si può apportare modifiche;
inoltre, non se ne può fare un uso commerciale.
FREE nel senso di GRATUITO.
150
FTP
File Transfer Protocol.
Protocollo, cioè insieme di regole, che governano l’interscambio di file su Internet.
Attraverso questo protocollo, ad esempio, è possibile per l’autore
di un sito aggiornare quest’ultimo (accedendo, previo inserimento del proprio
nome utente e di una password, al computer remoto sul quale il sito è registrato).
GNU
(si pronuncia con la “g” dura). Progetto per la creazione e diffusione
di software libero all’insegna della gratuità e della collaborazione.
Groupware
Software collaborativo (da group=gruppo) realizzato per facilitare
e rendere più efficace il lavoro cooperativo da parte di gruppi di persone.
Un esempio: Mediawiki, utilizzato dai collaboratori di Wikipedia
per produrre o modificare una pagina.
GUI
Graphical User Interface, Interfaccia Grafica per l’Utente.
E’ il sistema, basato sulle finestre e sulle icone, che i moderni sistemi operativi
mettono a disposizione dell’utente per facilitare il suo compito.
Hacker
Persona che, per una sorta di “sfida intellettuale”,
tenta di aggirare o superare creativamente le limitazioni imposte da un certo software.
Se lo fa a scopo di lucro o di teppismo degenera in un “cracker”.
Hard disk
Detto anche “disco fisso”, è una memoria di massa della capacità
che attualmente va di norma, in un personal computer,
da 500 GigaByte (GB) a 1000 GigaByte ossia 1 TeraByte (TB).
Osserviamo che i costruttori di hard disk esprimono le capacità
in potenze di 10 e non di 2:
in questo contesto, dunque, ad esempio, Giga=10^9 e NON 2^30.
Oltre alla capacità, ci sono altri parametri caratterizzanti un HD:
• il “tempo di accesso” (access time), ossia il tempo medio necessario
affinché un dato, situato in un punto a caso dell’HD, possa essere reperito
• la “velocità di trasferimento” (transfer rate) ossia la quantità di dati
che il computer è in grado di scrivere/leggere sull’HD nell’unità di tempo.
Hardware
La parte fisica del computer,
costituita da
circuiti elettronici ed elettrici, cavi, supporti, dispositivi meccanici.
La parola è contrapposta a software = programmi
Hertz
E’ l’unità di misura della frequenza di un fenomeno periodico,
che cioè si ripete regolarmente nel tempo:
1 hertz significa “1 al secondo”.
Ad esempio, posso dire che se un cuore batte al ritmo di 2 Hertz,
siamo in presenza di un caso di tachicardia (=battito troppo frequente),
perché non è normale che il muscolo cardiaco batta 2 volte ogni secondo.
Host
In Internet, la parola indica un computer contenente dei programmi o dei dati
(per esempio, contenente un sito Internet) accessibili ad altri computer;
in questo contesto, ogni computer che entri in comunicazione con l’host per visionare
o prelevare dati, o per utilizzare programmi, verrà chiamato terminale remoto
Html
HyperText Markup Language.
E’ un linguaggio usato per descrivere la struttura e l’aspetto
dei documenti ipertestuali disponibili su Internet.
Il codice HTML viene letto dal browser, che attraverso di esso è in grado
di far comparire sul monitor la pagina web corrispondente.
Hub
In una rete informatica a stella, un hub (letteralmente in inglese fulcro, mozzo,
elemento centrale) è un dispositivo che si occupa dello smistamento dei dati
Hyjacker
Vedi la voce “malware”
Implementare
Parola al giorno d’oggi molto abusata, che ha i significati principali di
“realizzare nella pratica”, o, a volte, “includere, comprendere”
151
Indirizzi IP
statici e dinamici
(per
Indirizzo IP
vedi la voce
IP address).
I computer collegati a Internet si distinguono in due tipologie: client e server.
I client sono quelli utilizzati dagli utenti:
se in casa hai un computer connesso a Internet, ecco che hai un client Internet.
I server sono invece quei computer più potenti
che ospitano i siti e/o costituiscono i nodi principali della rete.
Gli indirizzi IP “statici”, “fissi”, sono quelli dei server:
essi non cambiano nel tempo.
L’indirizzo IP di un client, invece, è “dinamico” e fissato di volta in volta dal provider:
in questo momento ha un certo valore, ma se mi disconnetto e poi mi riconnetto
l’indirizzo IP che il mio provider aveva assegnato al mio computer
in occasione del collegamento precedente resterà eventualmente disponibile
per un altro computer, mentre al mio verrà assegnato un nuovo indirizzo IP.
Informatica
Da “informazione” e “automatica”, è la scienza che si occupa
del trattamento dell’informazione da parte di macchine automatiche.
INTEL
Società (fondata nel 1968) costruttrice di microprocessori,
come i Pentium, i Celeron, i Core.
Intelligenza
artificiale
E’ la capacità che si tenta di dare a una macchina
di imitare funzioni e caratteristiche della mente umana.
Diciamo che l’umanità dovrebbe prima cercare di evitare che avvenga il viceversa /
Interfaccia
CLI, Command Line Interface.
a linea di comando Era la caratteristica dei “vecchi” computer di poter ricevere comandi dall’utente
esclusivamente tramite istruzioni codificate che questi digitava sulla tastiera.
Nei primi computer, infatti, non c’erano né le icone né il mouse,
che sarebbero comparsi solo in seguito, e avrebbero reso
di gran lunga più agevole la comunicazione fra l’uomo e la macchina.
Ad esempio, con un computer degli anni ’80 dotato del sistema operativo MS-DOS,
che era appunto CLI,
per spostare il file paperino.txt dalla cartella fumetti alla cartella personaggi,
entrambe situate sull’hard disk,
non potevo operare col mouse (che non esisteva) e sulle icone (che non c’erano),
ma dovevo
a) prima spostarmi nella cartella fumetti
digitando il comando
cd fumetti
(“cd” stava per Change Directory, Cambia Cartella)
e premendo “Invio” per confermare
b) quindi digitare con la tastiera
move paperino.txt\personaggi
e premere ancora il tasto “Invio”.
A quel punto il trasferimento del file veniva eseguito.
Interfaccia grafica
GUI, Graphical User Interface
E’ la caratteristica dei computer moderni di interagire con l’utente
mediante le icone e il mouse,
in modo da rendere le procedure semplici, amichevoli (friendly) e intuitive.
Internet
La grande rete costituita da centinaia di milioni di computer
sparsi in tutto il mondo, e fra loro comunicanti
• attraverso la linea telefonica
• o tramite onde radio
• o tramite fibre ottiche.
Una parte di Internet è costituita dal World Wide Web, cioè dall’insieme dei siti;
l’altra parte è formata
• dai servizi di posta elettronica (e-mail)
• dai servizi di trasferimento file, come FTP
• dai servizi di messaggeria istantanea
• ecc.
152
Interprete
In informatica, è un programma che esegue altri programmi istruzione per istruzione.
Un linguaggio “interpretato” è un linguaggio di programmazione
con cui si creano programmi che verranno poi eseguiti da un “interprete”,
ossia da un programma che si prenderà cura di
considerare un’istruzione per volta ed eseguirla,
a differenza di un compilatore che invece
tradurrebbe l’intero programma in linguaggio macchina,
generando così un segmento di codice ( = una sequenza di bit)
pronto per l’esecuzione diretta da parte della CPU.
Il BASIC, il Perl e il Python sono “linguaggi interpretati”:
pertanto non viene creato un file eseguibile che contenga
interamente un programma scritto con uno di questi linguaggi,
ma la loro esecuzione richiede invece un “interprete” che
traduca in linguaggio macchina istruzione dopo istruzione.
Intranet
Rete appartenente ad una azienda o a un’organizzazione,
basata, come Internet, sul protocollo TCP/IP,
ma di uso limitato ai membri/dipendenti dell’organizzazione o dell’azienda,
e comunque alle sole persone autorizzate.
E’ di norma difesa da intrusioni esterne tramite un firewall.
iPad
Tablet prodotto dalla Apple, in grado di
riprodurre contenuti multimediali e di accedere ad Internet
iPod
Lettore di musica digitale prodotto dalla Apple
IP address
Indirizzo IP. IP sta per Internet Protocol.
Un Indirizzo IP è un numero che identifica in modo univoco
ogni singolo computer o dispositivo collegato a Internet.
Tale numero è formato da 32 bit, che di solito sono suddivisi in 4 gruppetti,
separati da punti, da 8 bit ciascuno.
Ora, una sequenza di 8 cifre binarie può essere interpretata come indicante
un numero intero compreso fra 0 e 255,
quindi l’indirizzo stesso potrà essere riscritto, in modo più rapido e comodo,
come una sequenza di 4 numeri in base dieci, ciascuno compreso fra 0 e 255.
Ad esempio, un indirizzo IP potrebbe essere 01111000.11110000.00011101.00000100
che verrebbe riscritto, più brevemente, come 120.240.29.4
Vedi anche “indirizzi IP statici e dinamici”.
Ipertesto
Insieme di documenti o di risorse (es. programmi)
collegati fra loro attraverso “parole chiave” o “zone chiave”:
cliccando sulla parola o sulla zona, compare qualcosa che sta in relazione con essa.
Ad esempio, una pagina web sui minerali
potrebbe contenere la parola chiave pirite (sottolineata),
e allora, cliccando su quella parola,
si passerebbe ad una fotografia di cristalli di pirite,
oppure ad approfondimenti sulla composizione chimica della pirite,
insomma: si passerebbe alla risorsa agganciata, “linkata”, a quella parola chiave.
iPhone
Famiglia di smartphone prodotti dalla Apple
ISDN
Integrated Services Digital Network.
E’ un servizio di telefonia fissa digitale di buona qualità,
in grado di trasportare sia la voce che i dati,
ottenibile tramite abbonamento,
disponibile solo nelle aree allo scopo attrezzate.
Ma negli ultimi anni è caduto progressivamente in disuso.
ISP
o
Provider
Internet Service Provider (o semplicemente provider); struttura commerciale
o organizzazione che offre agli utenti l’accesso a Internet coi relativi servizi.
Alice, Tiscali, Libero Infostrada … sono esempi di provider.
153
iTunes
Programma prodotto dalla Apple, serve a riprodurre e organizzare file multimediali
(brani musicali, filmati),
e consente anche l'acquisto online dei brani e dei filmati attraverso iTunes Store
Java
Linguaggio di programmazione sviluppato dalla Sun Microsystems
Javascript
Linguaggio di programmazione originariamente sviluppato dalla Netscape;
in parte ha delle attinenze col linguaggio Java,
in parte ne differisce in modo sostanziale.
Non bisogna dunque confondere Java con Javascript, sono due linguaggi diversi.
Inizialmente JavaScript era stato chiamato LiveScript,
poi gli si cambiò il nome più che altro per una trovata di marketing.
JScript
E’ una versione di Javascript leggermente variata da Microsoft
Joystick
Periferica di input, a forma di maniglia; si usa specialmente nei videogiochi
LAN
Local Area Network, rete locale di computer,
come ad esempio quella interna di un’azienda,
o quella generalmente presente all’interno di una scuola
Laser
Acronimo di Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation,
ovvero Amplificazione di Luce tramite Emissione Stimolata di Radiazione.
Un “raggio laser” è un raggio luminoso le cui caratteristiche sono
“coerenza”, “alta brillanza”, “monocromatismo” e “monodirezionalità”.
Coerenza
del laser
Monodirezionalità
del laser
Le applicazioni sono svariatissime, ad esempio:
• incisione e saldatura di metalli,
• misura estremamente accurata di distanze e velocità
• chirurgia
• trasporto di informazioni (“fibre ottiche”)
• registrazione di CD e DVD
• …
LCD
Liquid Crystal Display, schermo a cristalli liquidi
Linguaggio di
programmazione
Linguaggio in cui vengono scritte le istruzioni di un algoritmo,
in attesa di essere tradotte in “linguaggio macchina”
da un apposito programma compilatore o interprete o assemblatore.
Fra i tanti linguaggi di programmazione possiamo citare:
il FORTRAN, il COBOL, il BASIC, il C, il C++, il PASCAL, il DELPHI,
il LISP, il JAVA, il JAVASCRIPT, l’ASSEMBLER di ciascun computer …
154
Linguaggio
Linguaggio di programmazione lontano dal “linguaggio macchina”,
di programmazione e più vicino invece alla mentalità e alle strutture simbolico-linguistiche umane.
ad alto livello
Il “linguaggio assembly” o “linguaggio assemblatore” di un particolare computer
è invece una trascrizione pedissequa del linguaggio macchina, istruzione per istruzione,
in un breve codice mnemonico più facilmente comprensibile.
Comunque,
tanto nel caso in cui un programma sia stato scritto in un linguaggio ad alto livello,
quanto nel caso in cui un programma sia stato scritto in un linguaggio assembly,
ci vuole poi un altro programma (“compilatore”, “interprete” o “assemblatore”)
che traduca il programma stesso in linguaggio macchina.
Soltanto a quel punto la CPU potrà eseguirlo.
Tanto per fare un esempio, consideriamo il seguente “programma sorgente”,
scritto in un linguaggio ad alto livello e precisamente in linguaggio Pascal.
program somma_di_un_numero_non_prefissato_di_addendi;
var somma, a: integer;
begin
writeln ('Introduci i numeri da addizionare');
writeln ('Quando la sequenza sarà finita digita il numero 0');
somma:=0;
repeat
readln(a);
somma:=somma+a;
until a=0;
writeln ('Somma = ', somma);
readln;
end.
Ora, prima di mandarlo in esecuzione il computer dovrà sottoporlo all’azione
del “compilatore Pascal”, un programma che si occuperà
di trasformarlo in linguaggio macchina ossia in qualcosa come
01101110 11100011 01010100 11100011 11010111 10100010 00000011 …
dove ogni “0” e ogni “1” significherà di avere un flip-flop
nello stato “0” o rispettivamente nello stato “1”,
in un determinato segmento della RAM.
A questo punto, il programma sarà finalmente eseguibile dalla CPU.
Linguaggio
macchina
Il codice binario, cioè la sequenza di bit,
in cui consiste un programma eseguibile dalla CPU
Linux
Linux (o GNU/Linux) è un sistema operativo disponibile come free software.
E’ “di tipo Unix” e deriva da un “kernel” (= “nucleo”)
realizzato a partire dal 1991 da Linus Torvalds
e integrato con software facente parte del progetto GNU.
Macintosh
Abbreviazione: Mac.
Famiglia di personal computer prodotti dalla Apple a partire dal 1984.
Mainboard
Sinonimi: motherboard, piastra madre e (molto infelice) scheda madre.
E’ la struttura principale di un personal computer, e contiene tipicamente:
• la CPU
• il BIOS (vale a dire: la ROM col BIOS)
• la RAM
• schede di espansione
• porte seriali e parallele
• controller e interfacce per le periferiche
oltre ai relativi supporti.
Nel loro insieme, tutti i chip residenti nella mainboard vengono denominati “il chipset”.
Mainframe
Computer molto potenti utilizzati da grandi aziende e da istituzioni
155
Malware
Da “malicious” e “software”, è un qualsiasi software realizzato con lo scopo
di causare danni al computer su cui viene eseguito. Esempi di malware sono:
a) i virus
Un virus è un programma che si intrufola sul computer all’insaputa del proprietario
“infettando” un file al quale si attacca, e se questo passa, magari attraverso
l’allegato di una e-mail, ad un altro computer, anche quest’ultimo viene infettato.
Un virus comincia a produrre i suoi effetti di fastidio o danneggiamento e
rallentamento dell’attività del computer se il file al quale si è attaccato viene aperto
b) i worm
Contrariamente ai virus, non hanno bisogno di attaccarsi ad uno specifico file;
sono in grado di far sì che il sistema operativo li esegua automaticamente,
e anche di autoreplicarsi autonomamente in modo da intasare il computer, ed
eventualmente passare su Internet, magari attraverso la rubrica degli indirizzi e-mail
c) i trojan
Un trojan horse o semplicemente trojan si presenta sotto l’aspetto di
un programma dall’aspetto utile e “legale”, ma poi, se l’utente lo esegue,
genera effetti di varia gravità (cambiare il desktop, aggiungervi stupide icone,
ma anche, peggio, cancellare dei file). Non è però in grado
di attaccarsi ad altri file (come i virus) o di autoreplicarsi (come i worm)
d) i backdoor
Un backdoor è un programma con cui un malintenzionato si può introdurre
senza autorizzazione nel funzionamento di un computer
e) gli spyware
Riescono a raccogliere informazioni riservate (es. numeri di carte di credito)
dal computer in cui si sono installati, comunicandole poi ad una persona estranea
f) i dialer
Sono programmi in grado
di far collegare il computer ad un numero particolare della linea telefonica,
eventualmente scollegandolo dalla sua “normale” connessione a Internet,
in genere per far pagare all’ignaro utente bollette telefoniche salatissime
g) gli hyjacker
Attaccano il browser, portandolo ad aprire pagine web indesiderate
h) i wabbit (pronuncia uèbbit)
Questi programmi esauriscono le risorse del computer
creando copie di sé stessi (in RAM o su disco) a grande velocità.
Differiscono dai virus in quanto non si attaccano a un file,
differiscono dai worm perché non possono diffondersi dal computer alla rete
ma rimangono nell’ambito del singolo computer
Masterizzatore
Dispositivo in grado di registrare file su di un CD o un DVD, quindi di creare o
duplicare un CD o un DVD, o di modificare dati su di esso se questo è “riscrivibile”.
Memoria flash
E’ una memoria a semiconduttore, permanente e riscrivibile.
E’ impiegata nelle chiavette USB, nelle fotocamere digitali, nei telefoni cellulari …
Memoria virtuale
Si dice “memoria virtuale” una porzione dell’hard disk che viene utilizzata
“per emulare una RAM più capiente della RAM effettiva”.
La memoria virtuale è suddivisa in blocchi o “pagine” (tecnica di paging)
e, quando una “pagina” deve essere effettivamente utilizzata dal microprocessore,
viene prima trasferita nella RAM fisica. Il processo di spostamento di codice binario
dalla memoria virtuale (su hard disk) alla RAM e viceversa viene chiamato swapping
(dall’inglese swap = scambiare, barattare: pronuncia suòp).
Se la memoria RAM è poco capiente,
lo swapping è più frequente e questo rallenta l’attività del computer: infatti
il trasferimento di informazioni dalla RAM verso le memorie di massa o viceversa
richiede un tempo molto, ma molto maggiore rispetto al tempo necessario
perché le informazioni passino dalla RAM alla CPU o viceversa.
Ecco perché l’aggiunta di nuova RAM generalmente aumenta la rapidità
con cui il computer lavora.
156
Memory card
Dispositivo elettronico portatile che immagazzina dati su di una memoria flash.
Minicomputer
Computer di livello intermedio fra una workstation e un mainframe.
Ad esso accedono simultaneamente, dai loro terminali, parecchi utenti.
Si capisce dunque che il termine, oggi pochissimo usato, può essere fuorviante.
Microcomputer
Termine che è pressoché sinonimo di personal computer.
In effetti, oggi è pochissimo usato e soppiantato appunto da “personal computer”.
Microprocessore
Un chip le cui funzioni fondamentali sono di
a) prelevare dati e istruzioni dalla RAM,
b) elaborare i dati eseguendo le istruzioni,
c) e riversare nuovamente in RAM i dati secondari risultato dell’elaborazione.
E’ la parte fondamentale di un computer.
La CPU (Central Processing Unit, Unità Centrale di Elaborazione)
di un computer è costituita da uno, o più, microprocessori.
Quindi “CPU” e “microprocessore” sono (praticamente) sinonimi
soltanto in quei casi in cui una CPU sia formata da un singolo microprocessore:
ad esempio, una CPU “dual core” contiene DUE microprocessori,
quindi in quel contesto “CPU” e “microprocessore” NON sono sinonimi.
MICROSOFT
Casa produttrice di software (software house),
fondata da Bill Gates e Paul Allen nel 1975.
In particolare, ha realizzato il sistema operativo WINDOWS nelle sue varie versioni
e i programmi Word, Excel, Access,… commercializzati
singolarmente o nella suite ( = raccolta) di programmi denominata Microsoft Office
Modem
Dalle parole MODulatore - DEModulatore, è un dispositivo che serve
per mettere in comunicazione un computer (o un fax) con la linea telefonica.
Monitor
Lo schermo del computer (o, ad esempio, del televisore).
E’ una periferica di output (nel caso del touch screen, lo è anche di input).
Può essere costruito con la tecnologia CRT, LCD o plasma
(poco usata quest’ultima per i monitor di computer, più per le TV).
La sua dimensione si misura in pollici, lungo la diagonale.
Il pollice (1 pollice = 2,54 cm) è indicato col doppio apice: 17 ”=17 pollici.
Motherboard
Sinonimi: mainboard, piastra madre e (mal scelto) scheda madre. Vedi “mainboard”.
Mp3
MP3 (Motion Picture Expert Group-1/2 Audio Layer 3)
è un algoritmo di compressione audio che, pur riducendo fortissimamente
la quantità di dati richiesti per memorizzare un brano musicale,
riesce a conservare comunque una buona qualità del suono.
I “piccoli” file MP3 sono perciò molto utilizzati
per archiviare e per trasmettere su Internet brani musicali.
MS-DOS
MicroSoft Disk Operating System
Vecchio sistema operativo sviluppato dalla Microsoft a partire dall’anno 1981.
Era un sistema operativo CLI ( = con interfaccia a linea di comando),
col quale l’utente, per dare dei comandi al computer, doveva digitarli sulla tastiera
secondo una rigida sintassi, visto che non esistevano icone e mouse.
Fu poi soppiantato dalle varie versioni di Windows.
Nastro magnetico
E’ un particolare tipo di memoria di massa
Netiquette
Da Net (Inglese: rete) ed Etiquette (Francese: buona educazione),
è l’insieme delle regole di comportamento che dovrebbero caratterizzare un utente
Internet corretto e rispettoso, quando si mette in comunicazione con altre persone
attraverso newsgroup, mailing list, forum, blog o e-mail.
Nibble
Sequenza di 4 bit (mezzo Byte).
La sequenza può assumere fino a 16 (2^4=16) valori diversi:
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
157
OCR
Optical Character Recognition, Riconoscimento Ottico di Caratteri:
un programma OCR opera sull’immagine di un foglio stampato, acquisita ad esempio
tramite scanner, allo scopo di ottenere un testo vero e proprio, manipolabile
con un elaboratore di testi come Word o OpenOffice Writer o il Blocco Note.
Open source
“A sorgente aperta”.
Questa sigla indica quei software dei quali è a disposizione del pubblico
il “codice sorgente”, ossia la sequenza delle istruzioni,
scritte in linguaggio di programmazione, che costituiscono il programma.
In questo modo, un utente esperto potrebbe anche decidere
di apportare al software modifiche e migliorie.
Operazioni
booleane
Così vengono chiamate le operazioni logiche
AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR, XNOR
quando ci si sta riferendo alle loro applicazioni/interpretazioni in un computer,
e quindi nelle rispettive “tavole di verità” si avrà 1 al posto di V, 0 al posto di F.
Chiamate così in onore del matematico e logico inglese George Boole (1815-1864)
Palmare
Computer che sta sul palmo di una mano
PDA
Personal Digital Assistant, sinonimo di “palmare”
PDF
Portable Document Format,
formato messo a punto per riprodurre l’aspetto
di un documento che contenga testi e immagini
indipendentemente dal particolare programma col quale questo era stato creato,
con la possibilità quindi
di visualizzare il documento perfettamente su qualunque computer
e di poterlo stampare perfettamente, da qualsiasi computer.
Pendrive
Sinonimo di “penna USB” o “chiavetta USB”. Vedi la voce “chiavetta USB”.
Penna USB
Sinonimo di “pendrive” o “chiavetta USB”. Vedi la voce “chiavetta USB”.
Pentium
Famiglia di microprocessori prodotti da Intel a partire dal 1993.
Periferica
Dispositivo hardware collegato a un computer e controllato dal sistema operativo
mediante un programma, detto driver, specifico per quella periferica.
Sono periferiche:
la stampante, il monitor, la tastiera, il mouse, il modem, ecc.
ma anche (seppure si trovino, come posizione, non “in periferia”,
ma all’interno del case), l’hard disk e il lettore/masterizzatore di CD e DVD.
Personal
computer
Computer ad uso personale.
Spesso si usa la sigla PC,
che però in certi contesti, e soprattutto nel passato,
era impiegata esclusivamente per indicare quei personal cosiddetti
“IBM compatibili” (in pratica, che avevano come processore
il pentium o i suoi “antenati” e come sistema operativo Windows o MS-DOS).
Oggi praticamente più nessuno fa una distinzione di questo tipo,
e nell’uso comune la locuzione “personal computer”
e la sigla “PC” sono del tutto equivalenti.
Piastra madre
Sinonimi:
mainboard, motherboard, scheda madre
(l’ultimo sinonimo appare poco “azzeccato”).
Vedi la voce “mainboard”.
158
Pixel
Da PIX ( = picture) ELement.
E’ ciascuno dei piccolissimi elementi che costituiscono una immagine digitale,
la quale, allora, si configura come formata
da una griglia di tantissimi pixel ciascuno dei quali
ha una differente posizione
e può avere un differente colore
nonché una differente intensità di illuminazione.
Ogni pixel a dire il vero ha poi una sua struttura interna,
perché è costituito da tre subpixel accostati,
di colore rispettivamente rosso, verde e blu (RGB, Red Green and Blue).
Variando l’intensità di illuminazione di ciascuno dei tre subpixel,
dato che l’occhio umano “fonde” insieme le loro tre tinte,
si ottiene che il pixel appaia del colore desiderato.
I pixel
più in basso
e a destra
appariranno
di color
rosso
brillante
Vedi anche: dot pitch, dpi, risoluzione.
Plotter
Periferica che permette stampe di grandi dimensioni.
Molto utilizzata in studi di architetti, geometri e ingegneri
e anche in grafica pubblicitaria.
To plot = tracciare
Plug and Play
“Connetti e Fai funzionare”, “Collega e Utilizza”.
Possibilità di collegare un dispositivo anche a computer acceso,
ottenendone il funzionamento immediato.
Pop-up
Finestra che compare improvvisamente;
sovente porta un messaggio pubblicitario,
ed è fastidiosa perché copre parzialmente
il contenuto di un’altra finestra,
che più ci interesserebbe
Porta
Presa nella quale si inserisce uno spinotto
Porta logica
Semplice circuito elettronico che simula una delle operazioni logiche
( = operazioni booleane) AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR, XNOR
Portmanteau
Sinonimo: “parola macedonia”.
E’ una parola ottenuta fondendo o più due parole diverse,
aventi (di norma) una parte comune.
Esempi:
• smog da smoke (fumo) e fog (nebbia);
• cantautore (da cantante+autore);
• postelegrafonico (da postale+telegrafico+telefonico)
PowerPC
Famiglia di microprocessori RISC (Reduced Instruction Set Computer )
prodotta a partire dal 1991 da Apple-IBM-Motorola (AIM).
Sono attualmente impiegati solo per tipologie particolari di computer.
ppi
Pixel Per Inch, pixel per pollice (pollice come lunghezza, NON “pollice quadrato”).
A volte si scrive dpi (dots per inch, punti per pollice) invece del più chiaro ppi.
Per una discussione riguardo al confronto fra le due voci ppi e dpi, vedi dpi.
159
Prefissi binari
Sono nuovi prefissi finalizzati a sciogliere l’ambiguità decimale-binario.
Ad esempio, se da qualche parte io leggo MB, dove B sta per Byte, mi posso chiedere:
M andrà qui inteso come il “Mega” decimale (10^6=1000000),
oppure come il “Mega” binario (2^20=1048576)?
Sono allora stati proposti i prefissi seguenti
(nella tabella, SI significa “Sistema Internazionale” e corrisponde alle potenze di 10):
Valore Simbolo Nome Nome esteso Equivalente SI
1.024 210
Ki
kibi kilobinary ≈
kilo
Fattore SI
103
Errore
+2,4%
1.048.576 220
Mi
mebi megabinary ≈
mega
106
+4,9%
1.073.741.824 230
Gi
gibi
gigabinary ≈
giga
109
+7,4%
1.099.511.627.776 240
Ti
tebi
terabinary ≈
tera
1012
+10,0%
1.125.899.906.842.624 250
Pi
pebi
petabinary ≈
peta
1015
+12,6%
1.152.921.504.606.846.976 260
Ei
exbi
exabinary
≈
exa
1018
+15,3%
1.180.591.620.717.411.303.424 270
Zi
zibi
zettabinary ≈
zetta
1021
+18,0%
1.208.925.819.614.629.174.706.176 280
Yi
yobi
yottabinary ≈
yotta
1024
+20,8%
Il guaio è che, siccome le nuove proposte non si sono ancora universalmente affermate,
se leggiamo scritto, ad esempio, Mi, siamo certi che si tratta di un prefisso binario,
ma purtroppo se vediamo scritto M l’ambiguità resta,
perché, a meno che in quel testo o in quel sito non sia presente da qualche altra parte
pure il prefisso Mi, come facciamo a sapere se quell’M è 10^6, oppure è 2^20
in quanto l’autore del libro o del sito non ha ancora adottato la nuova simbologia?
Privacy
Riservatezza. In Italia, la “legge sulla privacy” risale all’anno 1996 ed è la n. 675/1996
Programma
Sequenza di istruzioni, che corrisponde a un determinato algoritmo,
scritte in un linguaggio di programmazione.
Prima dell’esecuzione le istruzioni andranno tradotte in “linguaggio macchina”
da un apposito altro programma (compilatore o interprete o assemblatore).
Se il programma è già in linguaggio macchina (=sequenza di bit)
allora potrà essere immediatamente eseguito dal microprocessore.
Programma
oggetto
Programma effettivamente eseguibile dalla CPU,
perché scritto in “linguaggio macchina”, cioè come sequenza di bit 0 e 1.
Programma
sorgente
Programma scritto in un linguaggio di programmazione;
prima di poter essere eseguito dalla CPU dovrà essere tradotto in linguaggio macchina,
cioè diventare un “programma oggetto”.
Protocollo
In Informatica e nelle Comunicazioni, è l’insieme delle regole
che governano lo scambio di informazioni fra due entità.
Provider
Vedi la voce ISP, di cui “provider” è sinonimo.
PSTN
Sigla che indica la Rete Telefonica Generale, detta anche RTG: insomma,
la rete telefonica pubblica, alla quale sono connessi i telefoni fissi delle nostre case.
PSTN è acronimo di Public Switched Telephone Network.
RAM
Random Access Memory, detta anche “memoria centrale”. Consigliati 4 GigaByte.
Registro
Locazione di memoria interna al microprocessore.
Questo opera infatti col sistema load-store, il quale prevede che il microprocessore stesso
a) prelevi dalla RAM, portandoli al suo interno in opportuni registri,
i dati su cui un’istruzione deve operare e il codice dell’istruzione stessa;
b) operi sui dati eseguendo l’istruzione;
c) riversi i dati secondari risultato dell’elaborazione in un registro interno;
d) spedisca il contenuto di quest’ultimo in un’opportuna cella di RAM.
Risoluzione
Qualità, nitidezza di una immagine (con riferimento, specialmente, alle immagini digitali,
ma non solo). Per le digitali, si misura in dpi, ppi (vedi dunque queste voci nel glossario).
160
ROM
Read Only Memory: memoria, non volatile, a sola lettura.
In realtà, una ROM può in casi eccezionali essere “riscritta”, ma questa eventualità, rara,
è riservata agli utenti davvero molto esperti e ai professionisti.
Ci sono varie tipologie di ROM, e precisamente:
• PROM (Programmable Read Only Memory),
programmabili dall'utente una sola volta;
• EPROM (Erasable Programmable Read Only Memory),
programmabili e cancellabili mediante esposizione ai raggi UV;
• EAROM (Electrically Alterable Read Only Memory),
programmabili ed elettricamente cancellabili mediante una tensione
elettrica maggiore rispetto a quella del funzionamento normale;
• EEPROM (Electrically Erasable Programmable Read Only Memory),
simili alle EAROM, ma di qualità migliore.
Router
Dispositivo che permette di instradare pacchetti di dati all’interno di una rete
Scanner
Periferica che consente di acquisire immagini
inserendole come documenti e file all’interno del computer.
Può operare su qualunque foglio o superficie piana contenente un’immagine o un testo.
L’immagine o il testo verrà portata in forma digitale (=griglia di pixel) e successivamente
il documento corrispondente potrà essere modificato mediante un programma di
fotoritocco oppure, nel caso di un testo, sottoposto all’azione di un programma OCR
(per il Riconoscimento Ottico di Caratteri), allo scopo di trasformarlo in un testo
vero e proprio, manipolabile con un elaboratore di testi come Word o il Blocco Note.
Scheda madre
Sinonimi: piastra madre, mainboard, motherboard. Vedi la voce “mainboard”.
Semiconduttori
Materiali (come il silicio, il germanio, certi composti del gallio e dell’indio …)
dotati di una resistività intermedia fra quella dei conduttori (es. i metalli)
e quella degli isolanti (es. plastica, ceramica, vetro).
Le loro proprietà, ed eventualmente le proprietà che essi acquisiscono
se “drogati” opportunamente con impurità, fanno sì che con essi si possano realizzare
dispositivi elettronici miniaturizzati come transistor e diodi.
Server
Componente hardware (un computer) o software (un programma)
che fornisce servizi ad altre componenti (dette client) attraverso una rete.
Shareware
Software che è concesso gratuitamente in prova per un certo periodo (di solito 30 giorni),
dopodiché, se si vuole continuare a utilizzarlo, lo si deve acquistare.
La versione di prova può eventualmente avere delle restrizioni
quali ad esempio l’impossibilità di stampare o salvare i file,
e solitamente è tale che al termine del periodo di prova il software,
se nel frattempo non è stato acquistato, smetta di funzionare.
Sistema operativo E’ il programma che sovrintende al funzionamento generale del computer,
alla gestione delle risorse e dei file, all’interfaccia con l’utente,
e nell’ambito del quale vengono eseguiti gli altri programmi.
Esempi: Windows nelle sue varie versioni (Microsoft),
MacOS (Apple), Unix, Linux (il quale ultimo è free software), ecc.
Smart card
Dispositivo, delle dimensioni di una carta di credito,
in grado di memorizzare e di elaborare informazioni (è dotato di un microchip).
Viene utilizzata nelle banche (“moneta elettronica”, carte di credito),
coi telefonini (SIM), come documento di riconoscimento o sanitario, ecc.
Smartphone
Dispositivo portatile che fa sia da telefonino che da gestore di dati personali
Software
Parola collettiva, per indicare “l’insieme dei programmi” (es.: “Il software presente
sul mio computer …”), ma viene anche, se pure impropriamente, usata al singolare:
es. “Ho acquistato un software di simulazione del gioco degli scacchi”
Software house
Società produttrice di software (es. Microsoft, Apple, Adobe … )
Software libero
Vedi la voce “Free software”
161
Spam
Invio di messaggi indesiderati
Spyware
Vedi la voce “malware”
SSD
Solid State Drive. E’ una memoria di massa a semiconduttore di tipo FLASH.
Si può paragonare a una chiavetta USB di grande capacità, in grado di svolgere
lo stesso ruolo di un hard disk, rispetto al quale presenta diversi vantaggi
(consumo di energia assai ridotto - caratteristica che lo rende particolarmente adatto
ai computer portatili - in quanto contrariamente all’hard disk non è in movimento
e non ha una testina di lettura, bassa produzione di calore, silenziosità, velocità
nettamente maggiore sia in lettura che in scrittura, maggiore affidabilità meccanica
e resistenza agli urti). Gli svantaggi consistono principalmente nel prezzo più elevato.
Supercomputer
Computer potentissimo e costosissimo, utilizzato da enti statali o militari
o grandi organizzazioni scientifiche per: previsioni del tempo e ricerche sul clima
(incluse quelle sul riscaldamento globale), analisi molecolari, simulazioni fisiche
(fluidodinamica, esplosioni nucleari, fusione nucleare, meccanica quantistica), astrofisica, ecc.
Il sistema operativo utilizzato è quasi sempre una variante di Unix o di Linux.
Swap
Si pronuncia suòp. Trasferimento, dovuto all’eccessivo intasamento della RAM,
di una parte del contenuto della RAM stessa, nella memoria virtuale su hard disk.
Ciò può avvenire perché si stanno eseguendo troppi programmi
o si sono aperti troppi file contemporaneamente,
oppure perché è in esecuzione un programma che richiede da solo troppa RAM.
Lo swap rallenta di molto il funzionamento del computer;
per limitarlo, occorre accertarsi che la RAM sia abbastanza capiente
per le proprie esigenze e, se non lo è, aggiungerne di nuova.
Tablet
Piccolo computer portatile col quale l’utente interagisce
toccando lo schermo con una pennina oppure con le dita.
TCP/IP
L’insieme delle regole (= protocolli) tramite le quali avviene, in Internet,
la connessione fra computer e il loro interscambio di informazioni.
La sigla è acronimo di Transmission Control Protocol/Internet Protocol
Touchscreen
Schermo col quale l’utente può interagire toccandolo con le dita o una apposita penna.
Utilizzato nei palmari, nei videogiochi,
ma anche in apparecchi a disposizione del pubblico
(ad esempio nelle stazioni ferroviarie).
Transistor
E’ un particolare componente elettronico
Trojan
o trojan horse, o cavallo di Troia: vedi la voce “malware”
Unicode
Mentre lo standard ASCII codifica ciascun carattere alfanumerico o speciale
con 1 Byte ( = 8 bit, 2 nibble, 2 cifre esadecimali),
Unicode inizialmente era stato concepito per passare a una codifica a 2 Byte,
in modo da poter gestire fino a 2^16=65536 caratteri diversi.
Ciò si riteneva essere sufficiente per rappresentare i caratteri impiegati
in tutte le lingue scritte del mondo.
Ora invece lo standard Unicode prevede una codifica a fino 21 bit
così da poter comprendere anche le lingue vive meno diffuse, le lingue morte,
simboli di varia natura (es. matematici e chimici), l'alfabeto Braille, ideogrammi ecc.
Solo una piccola parte delle sequenze teoricamente disponibili è attualmente assegnata.
UNIX
Sistema operativo sviluppato nei laboratori Bell dai primi anni 1970,
è attualmente il sistema operativo più impiegato nei computer molto potenti.
URL
La sequenza di caratteri che costituisce l’ “indirizzo” di un sito, di una pagina di questo
o comunque di un qualsiasi documento o risorsa presente su Internet.
URL è acronimo di Uniform Resource Locator .
Esempi:
l’URL http://www.minerali.it/principale.htm indica una pagina web;
l’URL http://www.cscervino.it/ammin/immagini/601.jpg indica un’immagine.
Ad ogni URL è associato uno e un solo indirizzo IP:
quello del computer che ospita materialmente quel sito, o quella risorsa.
162
USB
Acronimo di Universal Serial Bus, utilizzato per indicare
tanto un particolare tipo di connettore (spinotto)
che serve per collegare una periferica al computer, quanto la relativa porta (=presa)
Virus informatico Vedi la voce “malware”
Von Neumann
(macchina di -)
John von Neumann (1903-1957), matematico e informatico di origine ungherese.
Per “macchina di Von Neumann” si intende
il modello concettuale che sta alla base dell’architettura
di ogni computer, modello formato da
1) unità centrale di elaborazione (CPU)
2) memoria centrale
3) dispositivi di ingresso e uscita (I/O)
4) bus di sistema per i collegamenti
Wabbit
Vedi la voce “malware”
Wi-Fi
Wireless Fidelity. E’ uno standard di
connessione senza fili, basato sulle onde radio.
Wikipedia
Enciclopedia online, con versioni in moltissime lingue diverse, nata da un’organizzazione
senza scopi di lucro: è redatta e aggiornata dagli utenti, in uno spirito collaborativo.
E’ stata accusata di errori ed imprecisioni, che sono senz’altro presenti, ma in quantità
modesta e più che accettabile, di fronte agli indubbi benefici per la diffusione della
conoscenza. Le voci sono controllate dalla comunità, e da un comitato di amministratori.
WiMAX
Worldwide Interoperability for Microwave Access. E’ uno standard di connessione
senza fili, basato sulle onde radio, con un raggio d’azione maggiore rispetto al Wi-Fi.
Windows
Sistema operativo sviluppato dalla Microsoft a partire dal 1985
e prodotto in varie versioni delle quali citiamo solo le seguenti per personal computer:
Windows 1.01 (1985), Windows 2.x (dal 1987), Windows 3.0 (1990),
Windows 3.1x (dal 1992), Window 95 (1995), Windows 98 (1998),
Windows 2000 e Windows ME (2000), Windows XP (2001),
Windows Vista (2007), Windows 7 (2009), Windows 8 (2012)
Wireless
Wireless = senza fili. Sistema di comunicazione fra dispositivi, senza l’uso di cavi,
basato su: onde radio (è il caso più frequente), raggi infrarossi, laser.
Workstation
Modello di computer più potente di un personal computer, e per utilizzo professionale.
World Wide Web La ragnatela (Web) dei siti Internet, estesa a tutto il mondo (World Wide).
Il WWW è solo una parte di Internet: l’altra parte è formata
• dai servizi di posta elettronica (e-mail);
• dai servizi di trasferimento file, come FTP;
• dai servizi di messaggeria istantanea;
• ecc.
Worm
Vedi la voce “malware”
WORM
Acronimo di Write Once Read Many che viene riferito a quelle memorie di massa
aventi la proprietà di poter essere scritte una sola volta e lette molte volte.
163
ALGORITMI
1 - COS’E’ UN “ALGORITMO”
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Compra una confezione di filtri da camomilla
riempi d’acqua una pentola
metti la pentola sul fornello
accendi il fornello
attendi finché l’acqua bolle
spegni il fornello
metti un filtro in una tazza
riempi la tazza con l’acqua della pentola
schiaccia leggermente col cucchiaio il filtro e mescola
finché l’acqua ha assunto un colore giallo uniforme
j) togli il filtro dalla tazza
k) aggiungi un cucchiaino di zucchero e assaggia
finché il liquido è dolce al punto giusto
l) hai terminato
Quello che abbiamo scritto è un algoritmo:
una sequenza di istruzioni, finalizzata a risolvere il problema della preparazione di una camomilla.
a) Leggi il valore di un numero naturale n
b) se n<2 allora
⎡scrivi: "Il numero deve essere maggiore o uguale a 2: ridammelo";
⎢⎣ leggi il valore di n
c) poni k=1
d) ripeti:
⎡se n è divisibile per k allora poni massimodivisoretrovato=k;
⎢⎣ incrementa di un'unità il valore di k
finché k=n
e) se massimodivisoretrovato=1 allora scrivi “Il numero dato è primo”
altrimenti scrivi “Il numero dato non è primo”
f) hai terminato
Quello che abbiamo scritto è un altro algoritmo:
una sequenza di istruzioni, finalizzata a risolvere il problema di stabilire se un dato intero è primo.
COS’È, DUNQUE, IN GENERALE, UN ALGORITMO?
E’ UNA SEQUENZA DI ISTRUZIONI, DI “PASSI”,
IL CUI SCOPO È LA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA.
Le ISTRUZIONI di un algoritmo devono essere
PRIVE DI AMBIGUITÀ nel loro CONTENUTO:
ogni istruzione deve essere interpretabile dall’esecutore in modo univoco;
PRIVE DI AMBIGUITÀ nel loro ORDINE:
per ciascuna istruzione, deve essere chiaro qual è l’istruzione da eseguire dopo;
CONCRETAMENTE ESEGUIBILI;
COMPRENSIBILI DA PARTE DELL’ESECUTORE,
sia questo un essere umano o una macchina:
se un’istruzione non possedesse questo requisito,
occorrerebbe spezzarla in un gruppo di istruzioni più semplici;
IN NUMERO FINITO, ed ESEGUIBILI IN UN TEMPO FINITO.
E il problema risolto deve essere di carattere GENERALE:
ad esempio, non sarebbe un algoritmo una sequenza di istruzioni che fosse capace
esclusivamente di stabilire se è o non è primo un numero particolare, che so … il 41.
Il termine “algoritmo” viene dal nome di un matematico, astronomo, astrologo e geografo persiano del IX secolo:
Al-Khwārizmī. Questi fu l’autore del trattato Kitāb al-djabr wa 'l-muqābala (“sulla ricomposizione e riduzione”),
dal quale trae origine un’altra parola, ancora più fondamentale per la matematica: la parola “algebra”.
E’ pur vero che si ritrovano principi algoritmici anche in più antiche fonti babilonesi, cinesi ed indiane.
164
2 - ALGORITMI E PROGRAMMI
Abbiamo detto che le istruzioni di un algoritmo devono essere concretamente eseguibili e comprensibili
da parte dell’esecutore. Ora, ai giorni nostri, l’esecutore per eccellenza di algoritmi, anche molto complessi,
è il computer, che è precisissimo e rapidissimo nell’eseguire, senza stancarsi e senza protestare,
sequenze di istruzioni che gli vengono assegnate nell’ordine corretto da un “programmatore” umano,
il quale tenga conto delle limitate capacità che il computer possiede.
Esso non è in grado di pensare, o di prendere autonomamente qualsivoglia decisione:
dipende in tutto e per tutto dall’uomo che, attraverso un “programma”, gli ordina, istante per istante, COSA fare.
Essenzialmente, un computer sa soltanto:
Ad esempio:
ASSOCIARE
A UNA LOCAZIONE DI MEMORIA
UN NOME
che la identifichi, come potrebbe essere
n, o num, o massimodivisoretrovato, ecc.
Nella parte preliminare di un programma scritto nel linguaggio
di programmazione PASCAL, dichiarazioni come
VAR num: integer oppure VAR cognome: string[25]
ordinano al computer di riservare locazioni, nella RAM,
destinate a contenere un numero intero o, rispettivamente,
una “stringa” (sequenza di caratteri) con non più di 25 caratteri,
associando a queste “scatolette” i nomi num; cognome
LEGGERE un’informazione
che venga battuta sulla tastiera
( = ricevere un input dalla tastiera),
memorizzando questo input
in una locazione nella RAM
(oppure, interpretare opportunamente
come comandi i movimenti
e i “clic” o “doppio clic” fatti col mouse)
Nel linguaggio di programmazione PASCAL,
l’istruzione READ(num)
ordina al computer,
quando l’utente avrà
digitato sulla tastiera un numero e premuto il tasto Invio,
di memorizzare quel numero nella locazione
della memoria centrale (RAM),
alla quale è stato associato il nome num
SCRIVERE SUL MONITOR,
o MANDARE IN STAMPA,
o SALVARE su di una memoria di massa,
un’informazione
o un’insieme di informazioni
In linguaggio PASCAL, l’istruzione WRITE(num)
ordina al computer di scrivere sul monitor
il valore che in quel momento ha la variabile num,
ossia il contenuto che c’è in quel momento
nella locazione di memoria, nella “scatoletta”,
alla quale è stato associato il nome num
ESEGUIRE CALCOLI
E CONFRONTI FRA NUMERI
In linguaggio PASCAL,
la moltiplicazione viene indicata con un asterisco *,
la divisione con /,
la divisione intera con DIV e il suo resto con MOD,
“maggiore o uguale”, “minore o uguale” si scrivono <=, >=,
“diverso da” si scrive <>
MODIFICARE IL CONTENUTO
DI UNA LOCAZIONE DI MEMORIA
In linguaggio PASCAL, l’istruzione di “ASSEGNAZIONE”
c := a+b (occhio: il simbolo grafico non è =, è :=)
ordina al computer di eseguire la somma dei contenuti
delle locazioni di memoria associate ai nomi a, b
e di depositare il risultato nella locazione di memoria c
(assegnare il valore ottenuto alla variabile c)
controllare
SE è verificata una certa condizione;
IN CASO AFFERMATIVO
eseguire una data istruzione
o blocco di istruzioni,
ALTRIMENTI
eseguire un’altra istruzione o blocco
In linguaggio PASCAL, l’istruzione
(o meglio, l’ “istruzione complessa” o “struttura”)
IF a<b THEN max := b ELSE max := a
ordina al computer di controllare se a<b
(cioè, se il contenuto della casella a nella RAM
ha un valore numerico minore del contenuto della casella b);
in caso affermativo,
il computer dovrà eseguire l’istruzione max := b
(cioè, dovrà assegnare alla variabile max il valore b
ossia dovrà porre nella “scatoletta” max in RAM
lo stesso valore che c’è nella “scatoletta” b),
in caso negativo dovrà eseguire l’istruzione max := a
165
RIPETERE
un’istruzione,
o un gruppo
di istruzioni,
FINCHÉ
sarà verificata
una certa condizione
(CICLO A
CONTROLLO FINALE)
In linguaggio PASCAL, un “pezzo” di programma potrebbe essere il seguente:
readln(a);
k:=0;
REPEAT
k:=k+1;
mult:=a*k;
writeln(mult);
UNTIL k = 5
Questo programma prevede innanzitutto la lettura del numero intero a
(readln è una variante di read, e ordina al computer di andare a capo,
sul monitor, dopo che l’utente ha inserito il valore di a)
e l’ “inizializzazione” della variabile k al valore 0.
Dopodiché, l’istruzione (o meglio, l’ “istruzione complessa” o “struttura”)
REPEAT … UNTIL …
ordina al computer di
RIPETERE il blocco delle tre istruzioni
I) poni nella scatoletta k il valore che c’era prima, aumentato di 1
(incrementa di 1 il valore della variabile k:
“ := ” non indica uguaglianza, indica assegnazione!)
II) poni nella scatoletta mult il valore a*k (l’asterisco sta per moltiplicazione)
III) scrivi sul monitor il contenuto che ha, in quel momento, la scatoletta mult
(writeln è una variante di write, e ordina al computer
di andare a capo dopo che ha scritto sul monitor)
FINCHE’ sarà verificata la condizione k = 5;
quando questa condizione si verificherà, il computer dovrà
uscire dal ciclo ed eseguire le istruzioni successive del programma.
L’esito sarà quello di mandare in output, sul monitor, i primi 5 multipli di a.
Ad esempio, se il valore della variabile a è 9,
il contenuto delle tre “scatolette” a, k e mult, nella RAM,
si evolverà, per effetto del programma, nel modo seguente:
k:=0 k:=k+1
k:=k+1
k:=k+1
k:=k+1
k:=k+1
mult:=a*k mult:=a*k mult:=a*k mult:=a*k mult:=a*k
a
9
9
9
9
9
9
k
0
1
2
3
4
5
mult
9
18
27
36
45
oppure
FINTANTOCHE’
è verificata
una certa condizione,
RIPETERE
un’istruzione, o un
gruppo di istruzioni
(CICLO A
CONTROLLO INIZIALE)
Sempre in linguaggio PASCAL,
la ripetizione (“iterazione”) di un’istruzione o di un blocco di istruzioni
può anche essere comandata da una WHILE … DO …,
come nel pezzo di programma che segue (dove n è un intero):
readln(n);
WHILE n>=0 DO
begin
writeln(n);
n:=n − 1;
end;
Dopo la lettura, da tastiera, del valore di n,
l’istruzione (o meglio, l’ “istruzione complessa” o “struttura”)
WHILE … DO …
ordina al computer di:
scrivere sul monitor il valore di n (e andare a capo);
diminuire di 1 il valore della variabile n;
e CONTINUARE A ESEGUIRE (DO) questa coppia di istruzioni
FINTANTOCHE’ (WHILE) n si mantiene ≥ 0 (>= in PASCAL sta per ≥ );
quando questa condizione non sarà più verificata, uscire dal ciclo.
L’effetto sarà quello di mandare in output,
sul monitor, un “conto alla rovescia” da n fino a 0.
166
3 - DIAGRAMMI DI FLUSSO; PROGRAMMAZIONE STRUTTURATA
Lo schema qui a sinistra,
che abbiamo utilizzato per descrivere il “funzionamento”
di una REPEAT … UNTIL … del linguaggio Pascal,
è un esempio di
DIAGRAMMA DI FLUSSO.
Per “diagramma di flusso”
(o “diagramma a blocchi”; in lingua Inglese: “flow chart”)
si intende dunque
la raffigurazione di un algoritmo
attraverso blocchi, collegati da linee orientate.
Ciascun blocco contiene una istruzione, oppure una condizione.
Per la forma dei “blocchi” si sono affermate certe convenzioni.
Precisamente:
blocco iniziale e finale:
ovale
blocco di I/O
(Input/Output,
Lettura/Scrittura):
parallelogrammo
blocco di elaborazione:
rettangolo
blocco di controllo
o di selezione:
rombo
Molto importante
la cosiddetta assegnazione:
noi indicheremo
l’assegnazione
col simbolo ←
(vedi NOTA qui a destra)
Esempi:
1) assegna alla variabile a
il valore uguale al reciproco
del valore della variabile b
(poni nella “scatoletta” a
il reciproco del contenuto
della “scatoletta” b)
2) assegna alla variabile x
quello che era
il suo valore precedente,
aumentato di 1
(incrementa di 1
il valore della variabile x)
NOTA - Poi, nei vari
linguaggi di programmazione,
quella freccia ←
diventerà un simbolo
specifico per quel linguaggio:
ad esempio, in PASCAL è :=
167
E’ opportuno organizzare il diagramma di flusso per la risoluzione di un dato problema in modo che,
se c’è una “freccia che ritorna indietro”, ossia: se c’è una ripetizione, una ITERAZIONE di istruzioni,
questa iterazione sia governata da una delle due strutture seguenti:
CICLO A CONTROLLO FINALE
CICLO A CONTROLLO INIZIALE
Per evitare cicli infiniti,
fra le “istruzioni”
ce ne dev’essere anche una
che modifica una variabile
presente nella “condizione”.
Per evitare cicli infiniti,
fra le “istruzioni”
ce ne dev’essere anche una
che modifica una variabile
presente nella “condizione”.
Questa struttura
non va bene
in quei casi nei quali
il blocco di istruzioni
potrebbe
non dover essere eseguito
nemmeno una volta.
Questa struttura
si adatta anche
a quei casi nei quali
il blocco di istruzioni
potrebbe
non dover essere eseguito
nemmeno una volta.
In linguaggio PASCAL: REPEAT … UNTIL …
(e si ESCE dal ciclo quando la condizione è VERA).
In linguaggio PASCAL: WHILE … DO …
(e si ESCE dal ciclo quando la condizione è FALSA).
In linguaggio C: DO … WHILE …
(occhio, però:
qui si ESCE dal ciclo quando la condizione è FALSA)
In linguaggio C: WHILE …
(e si ESCE dal ciclo quando la condizione è FALSA)
Conviene invece evitare l’inserimento nel diagramma di flusso di frecce che facciano “salti incondizionati”
da un punto all’altro (istruzioni del tipo “go to”).
Tale uso disordinato di “salti” (chiamato “spaghetti programming”) è infatti considerato controproducente,
sia ai fini del controllo della correttezza dell’algoritmo,
sia per una eventuale successiva traduzione del diagramma in un programma per computer.
D’altra parte un famoso enunciato, il teorema di Bohm-Jacopini (1966), afferma che
qualunque algoritmo si può realizzare con le sole tre strutture di
a) SEQUENZA
b) SELEZIONE
c) ITERAZIONE
(nei rettangoli possiamo trovare singole istruzioni oppure altre strutture degli stessi 3 tipi)
E una “buona” programmazione,
che eviti i “salti incondizionati”
e sia invece basata sul teorema di Bohm-Jacopini
ovvero sulle tre strutture
di sequenza, selezione e iterazione
(ciascuna con una sola uscita,
con possibilità di “nidificarle” una dentro l’altra
ma NON di disporle in modo che si “accavallino”),
è chiamata “programmazione STRUTTURATA”.
La programmazione strutturata
rende più ordinata
la stesura di un programma,
e ne rende più semplici
la lettura e il controllo di correttezza,
nonché
l’eventuale completamento
o utilizzo col ruolo di “sottoprogramma”
(metodi di lavoro top-down o bottom-up).
168
4 - ESEMPI; LO PSEUDOCODICE (O “LINGUAGGIO DI PROGETTO”)
Qui di seguito daremo alcuni esempi di algoritmi costruiti secondo i principi della “programmazione strutturata”.
Accanto a ciascun diagramma di flusso scriveremo anche la corrispondente versione in
pseudocodice (o pseudolinguaggio, o linguaggio di progetto):
si tratta di una specie di “linguaggio di programmazione semplificato”, non standard
(noi ne diamo infatti una nostra versione, non necessariamente coincidente con altre)
a partire dal quale è poi facile tradurre l’algoritmo in un vero e proprio linguaggio comprensibile dal computer,
come ad esempio il linguaggio PASCAL o il linguaggio C o un qualsiasi altro.
… Anche se poi, traducendo lo pseudocodice in vero e proprio linguaggio, occorre tenere conto
delle rigide regole sintattiche di quel linguaggio
delle risorse proprie del linguaggio adottato (tanto per fare un esempio,
la RIPETI … FINCHE’ … , con la quale si ha uscita dal ciclo quando la condizione è verificata,
va realizzata, in linguaggio C, attraverso le parole chiave DO … WHILE …
ma tenendo conto che questa struttura del linguaggio C prevede si esca dal ciclo
quando la condizione diventa FALSA, e non quando diventa vera!
(… Ovviamente, basterà sostituire alla condizione in gioco la sua contraria per sistemare le cose …)
dell’eventuale presenza, in quel linguaggio, di comode varianti. Tanto per fare due esempi:
a) nel linguaggio PASCAL accanto alle due strutture iterative con controllo finale e con controllo iniziale,
abbiamo pure una struttura iterativa “enumerativa” FOR … DO … che ordina al computer
di ripetere l’istruzione, o il blocco di istruzioni, per un numero prefissato di volte
b) sempre in PASCAL, abbiamo anche una struttura di “selezione multipla” (la CASE … OF …)
ESEMPIO 1
Il seguente algoritmo serve per
sommare i primi n interi positivi, ossia eseguire la somma 1 + 2 + 3 + ... + n , con n letto in ingresso
(facciamo finta di non sapere che per questo calcolo c’è l’apposita “formula di Gauss”).
Abbiamo utilizzato la “freccia a sinistra” ← per indicare l’istruzione di assegnazione:
ad esempio, s ← 0 significa “assegna alla variabile s il valore 0” (metti nella “scatoletta” s il valore 0);
k ← k + 1 significa “assegna alla variabile k il valore che essa aveva precedentemente, aumentato di 1”
(incrementa di 1 il valore della variabile k).
In linguaggio Pascal, l’assegnazione viene indicata con := e in linguaggio C con = senza i “puntini”
Osserviamo che la variabile s fa da “accumulatore”: essa ha il ruolo di “somma parziale”,
e via via, a forza di “accumulare” contributi, si porta a diventare la somma di tutti quanti gli addendi.
LINGUAGGIO DI PROGETTO
DIAGRAMMA DI FLUSSO
INIZIO
LEGGI n
s←0
k ←1
RIPETI
{ s ← s+k
k ←k +1
FINCHE’ k>n
SCRIVI s
FINE
}
La coppia
di GRAFFE
ci serve per
evidenziare
che quelle istruzioni
“fanno blocco”,
“vanno insieme”.
Anche
nel linguaggio C
le graffe
vengono utilizzate
con questa funzione.
Invece in
linguaggio PASCAL
al posto delle graffe
si impiegano
(se necessario)
due indicatori
di “inizio blocco”
e “fine blocco”:
BEGIN e END.
169
ESEMPIO 2
L’algoritmo che segue legge un intero >2 in ingresso e stabilisce se è o non è un numero primo.
Ricordiamo che
l’operatore MOD dà il resto della divisione intera (mentre DIV ne dà il quoziente intero);
ad esempio, 47 MOD 5 = 2 perché il resto della divisione intera 47:5 è 2 (mentre 47 DIV 5 = 9).
Se a, b sono due interi, a è divisibile per b se e solo se a MOD b = 0.
La variabile maxdiv immagazzina il “massimo fra i divisori trovati fino a quel momento”
e diventerà alla fine il massimo fra i divisori di n, inferiori ad n.
Se, al termine dell’elaborazione, nella “scatoletta” maxdiv ci sarà un numero >1,
vorrà dire che è stato trovato un divisore diverso sia dall’unità che dal numero n stesso,
per cui se ne concluderà che n non è primo.
Il diagramma di flusso contiene due strutture di selezione:
la prima offre una sola alternativa (SE … ALLORA … senza “altrimenti”),
la seconda ne offre classicamente due (SE … ALLORA … ALTRIMENTI …)
Controlla tu stesso che con questo algoritmo,
se il numero n dato in ingresso non fosse >2,
si rimarrebbe intrappolati in un ciclo senza fine.
DIAGRAMMA DI FLUSSO
LINGUAGGIO DI PROGETTO
INIZIO
LEGGI n
maxdiv ← 1
k←2
RIPETI
{ SE n MOD k = 0 ALLORA maxdiv ← k
k ← k+1
}
FINCHE’ k = n
SE maxdiv > 1 ALLORA
SCRIVI “Non primo”
ALTRIMENTI
SCRIVI “Primo”
FINE
170
ESEMPIO 3
Il seguente algoritmo calcola il fattoriale n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 di un intero n ≥ 1 letto in ingresso.
n, se è maggiore di 1, viene fatto decrescere sempre di un’unità a partire dal valore iniziale,
e una variabile fatt, inizializzata ad n, viene moltiplicata per ogni nuovo valore di n
generando così, via via, il fattoriale desiderato.
Affinché il procedimento funzionasse anche con n = 1,
valore per il quale il decremento di n NON va effettuato nemmeno una volta,
in questo algoritmo abbiamo utilizzato la STRUTTURA ITERATIVA A CONTROLLO INIZIALE,
che in linguaggio di progetto abbiamo tradotto con FINTANTOCHE’ … ESEGUI …
LINGUAGGIO DI PROGETTO
DIAGRAMMA DI FLUSSO
INIZIO
LEGGI n
fatt ← n
FINTANTOCHE’ n > 1 ESEGUI
{ n ←n −1
fatt ← fatt * n
}
SCRIVI fatt
FINE
Nel nostro linguaggio di progetto la moltiplicazione è indicata con l’asterisco *, come nei linguaggi Pascal e C.
ESEMPIO 4
Si leggono in input più numeri positivi, anche eventualmente tantissimi, e se ne stabilisce il massimo.
La fine della sequenza numerica in ingresso viene segnalata comunicando un “numero sentinella”: lo 0.
LINGUAGGIO DI PROGETTO
DIAGRAMMA DI FLUSSO
INIZIO
max ← 0
RIPETI
{ LEGGI n
SE n > max ALLORA max ← n
FINCHE’ n=0
SCRIVI max
FINE
}
171
5 - ESERCIZI (le risposte sono alle pagg. 176 e 177)
Nei seguenti esercizi ti converrà preparare su di un foglio di carta
tante caselle quante sono le variabili in gioco,
per segnare, istruzione dopo istruzione, come cambia (ammesso che cambi)
il contenuto di ciascuna casella.
In tal modo, avrai fatto la cosiddetta “TRACCIA” (inglese: trace) del procedimento.
1) Cosa fa il seguente algoritmo?
(a, b sono due numeri qualsiasi)
2) Cosa metteresti fra virgolette?
(n è un numero naturale)
3) Cosa fa il seguente algoritmo?
(a è un numero naturale, b un numero naturale >0)
4) L’algoritmo che segue
(dove a, b sono due interi positivi)
è un po’ strambo.
Cosa produrrebbe in output,
se l’input fosse a = 10, b = 3?
E in generale,
qual è l’espressione algebrica
contenente a, b (un po’ strana ...)
che corrisponde all’output?
172
5) Cosa fa il seguente algoritmo? (a, b interi positivi)
6) Cosa fa il seguente algoritmo?
(a è un numero reale positivo)
7) Cosa produce in output l’algoritmo che segue?
8) L’algoritmo seguente genera in output il numero
c = 1 − a + a 2 − a 3 + a 4 − ... + (−1) n a n
(a è un reale positivo, n un intero positivo).
Potrebbe essere simpatico mettersi d’accordo
con due compagni/e: scelta una coppia a, n,
ad esempio: a = 5, n = 4 , uno farà la parte di b,
un altro la parte di c, il terzo quella di k.
Buon divertimento.
173
9) Nel seguente algoritmo
m, n sono due interi positivi.
“Traccia” (nel caso m = 7, n = 3 )
m
LEGGI m, n
7
x←0
k←0
FINTANTOCHE’ k<n ESEGUI:
{ k ← k+1
x
x ← x+m }
0 7
SCRIVI x
Qui a fianco, a titolo di esempio,
è riprodotta la “traccia” nel caso m = 7, n = 3
Determina la “traccia” e l’output quando l’input è m = 5, n = 4 .
Quale operazione aritmetica realizza questo algoritmo?
n
3
k
14
21
0
1
2
3
10) L’algoritmo seguente sarebbe finalizzato a scambiare i valori delle due variabili a, b,
cioè a scambiare i contenuti delle due “scatolette” a, b; sennonché … è sbagliato. Non funziona!
Perché?
LEGGI a, b
“Traccia” (nel caso a = 4, b = 5 )
a←b
b←a
a
b
SCRIVI a, b
11) Nell’algoritmo che segue
a, b sono due numeri qualsiasi.
LEGGI a, b
x←a
a←b
b←x
SCRIVI a, b
Qual è l’output per a = 4, b = 5 ?
12) Nel quesito seguente,
a, b sono due interi >0.
LEGGI a, b
k←0
FINTANTOCHE’ a ≥ b ESEGUI
{a ← a−b
k ← k+1}
SCRIVI k
Output per: a = 16, b = 3? a = 12, b = 2?
Quale operazione esegue, in pratica, questo algoritmo?
13) Nel seguente quesito,
a è un numero qualsiasi, n è un intero >0
LEGGI a, n
b←1
k←0
RIPETI
{ k ← k+1
b ← b*a }
FINCHE’ k = n
SCRIVI b
Qual è l’output di questo algoritmo
nel caso a = 5, n =3 ?
E nel caso a = 2, n = 10 ?
Riusciresti a modificare l’algoritmo
in modo che funzioni anche nel caso n = 0 ?
15) n intero positivo
LEGGI n
k←0
RIPETI
{ k ← k+1
SCRIVI “ * ”}
FINCHE’ k = n
Qual è l’effetto di questo algoritmo?
14) a, b, c sono 3 numeri qualsiasi
LEGGI a, b, c
SE b>a ALLORA
a←b
b←x }
{x ← a
SE c>b ALLORA
{ SE c>a ALLORA
{x ← a y ← b a ← c b ← x c ← y}
ALTRIMENTI {x ← b b ← c c ← x} }
SCRIVI a, b, c
Cosa fa questo algoritmo?
(MOLTO istruttivo fare con attenzione la “traccia”
scegliendo la terna a, b, c in più modi differenti!)
16) a, b, c sono 3 numeri qualsiasi
LEGGI a, b, c
SE a<=b ALLORA
{ SE a<=c ALLORA x ← a ALTRIMENTI x ← c }
ALTRIMENTI
{ SE b<=c ALLORA x ← b ALTRIMENTI x ← c }
SCRIVI x
Qual è l’effetto di questo algoritmo?
174
17) Nel seguente quesito, n è un intero >1.
LEGGI n
cont ← 0
RIPETI
{ cont ← cont+1
SE n MOD 2 = 0 ALLORA n ← n DIV 2
ALTRIMENTI n ← 3n+1 }
FINCHE’ n = 1
SCRIVI cont
Output per n = 5? E per n = 6? E per n = 7?
Verifica che per n = 27 il valore finale di cont è 111.
Fra gli interi n da 2 a 20, esiste un valore di n per cui
l’esecuzione del procedimento non ha mai termine?
19) Nel seguente quesito, n è un intero positivo.
LEGGI n
s←0
k←0
RIPETI
{ k ← k+1
s ← s+2k−1 }
FINCHE’ k = n
SCRIVI s
Stabilisci cosa scrive questo algoritmo
quando il numero n in ingresso è 5. E quando n = 8?
18) Nel seguente quesito, n è un intero positivo.
LEGGI a
RIPETI
{ b ← a MOD 10
a ← a DIV 10
SCRIVI b }
FINCHE’ a = 0
Prova ad eseguire l’algoritmo con a = 2345.
In generale, che relazione hanno in numeri
scritti in output, col numero letto in input?
20) Nel seguente quesito, a è un intero positivo.
LEGGI a
cont ← 0
FINTANTOCHE’ a<>1 ESEGUI
{ a ← a DIV 2
cont ← cont+1 }
SCRIVI cont
Stabilisci cosa scrive questo algoritmo
quando il numero a in ingresso è 33.
E quando a è inizialmente uguale a: 1? 1024?
Se si desse in ingresso a = 0, che succederebbe?
a) Scrivi un diagramma di flusso per un algoritmo che risolva i seguenti problemi;
b) traduci anche il diagramma in linguaggio di progetto
21) Leggere in ingresso un numero non prefissato di addendi, e scrivere la somma di tutti questi addendi.
Si intende che la sequenza di addendi sia terminata quando in input viene fornito il “numero sentinella” 0.
22) Leggere in ingresso un intero n, poi una sequenza di n numeri; eseguire il prodotto di questi.
23) Leggere in input una sequenza di numeri positivi qualsiasi, e scriverne il minimo e il massimo.
Servirsi dello 0 come “sentinella” per indicare la fine della sequenza.
OSSERVAZIONE
Non è facile come potrebbe sembrare, scrivere correttamente questo algoritmo: occorre infatti evitare
che la “sentinella” 0, la quale NON fa parte dell’insieme dei numeri, vada a comprometterne gli esiti ...
24) Si chiama “successione di Fibonacci” la sequenza di numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... così costruita:
i primi due numeri della sequenza sono 0 e 1 rispettivamente;
a partire dal 3°, ciascun termine della sequenza è ottenuto sommando i due termini che lo precedono.
Scrivi un algoritmo che, letto in ingresso n (≥ 3) , scriva i primi n termini della successione di Fibonacci.
25) Vengono forniti in input più numeri; la sequenza terminerà quando verrà introdotto il “numero sentinella” 0.
Si desidera fornire in uscita la media aritmetica dei numeri dati.
26) Letto in ingresso un intero n, scriverne i divisori e contarli
(s’intende che l’algoritmo tenga conto anche dei divisori “impropri”, che sono il numero stesso e l’unità).
27) Completa l’algoritmo precedente, in modo che fornisca in uscita anche la scritta
“Il numero è primo” oppure “Il numero non è primo”, a seconda dei casi.
E’ chiaro che la prima circostanza si verifica quando i divisori sono soltanto 2 (l’unità e il numero).
28) Vengono forniti in input più voti (dall’1 al 10); si vogliono contare quelli sufficienti, ossia non inferiori a 6.
29) Scrivi un algoritmo che, letti in ingresso due numeri interi a, b, ne calcoli il minimo comune multiplo.
Ci sono diversi modi alternativi per impostare l’algoritmo;
ad esempio, si può calcolare la successione dei multipli di a ( a, 2a, 3a, 4a, ... ), arrestandosi quando
si perviene ad un numero che risulta multiplo anche di b (cioè, che risulta divisibile per b).
E i successivi multipli di a possono essere generati
I) per somma (mult ← mult + a)
II) oppure tramite moltiplicazione per un intero ( mult ← a * k , con k che assume i valori 1, 2, 3, …)
175
30) Un intero si dice “perfetto” se è uguale alla somma dei suoi divisori, inclusa l’unità ma escluso il num. stesso:
ad esempio 28 è perfetto, perché ha come divisori (a parte sé stesso) 1, 2, 4, 7, 14 , e 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 .
Letto in input un intero n, stabilire se n è un numero “perfetto”.
NOTA - Ricordiamo che b è divisore di a se e solo se a MOD b = 0 (MOD dà il resto della divisione intera)
31) Letto in ingresso un intero positivo n, stabilire se si tratta di un numero primo. Questa volta, però,
è richiesto di ridurre il numero di passi che l’algoritmo dovrà compiere prima di fornire la risposta.
A tale scopo, non si stanno a individuare e contare tutti i divisori di n;
si prova invece a vedere se n è divisibile per 2, poi per 3, ecc., fermandosi quando
a) si trova un divisore
b) oppure il numero che è “candidato” ad essere un divisore di n ha già superato la radice quadrata di n
sqrt(n) (infatti si dimostra che, se in tal caso non sono ancora stati trovati divisori propri, n non potrà
avere alcun divisore proprio; i divisori propri sono quelli diversi dall’unità e dal numero stesso).
NOTA - In un blocco romboidale, la condizione può benissimo contenere connettivi logici come E, O
32) Letti in ingresso due interi positivi a, b, si determinano il quoziente intero e il resto della divisione intera a:b
sottraendo dal numero a il numero b più volte.
33) Una marionetta puntiforme M si trova inizialmente alla distanza di x metri da una parete.
Improvvisamente, comincia a muoversi a scatti, facendo uno scatto al secondo, e ad ogni scatto percorrendo,
in direzione della parete, uno spazio uguale alla META’ della distanza che ancora la separa dalla parete.
Dopo quanti secondi la distanza diventerà minore di 1 milionesimo di millimetro?
Scrivi un algoritmo che risponda a questa domanda.
34) Scrivi un algoritmo che, letti in ingresso due numeri interi non nulli a, b,
ne calcoli il massimo comun divisore con l’efficiente e ingegnoso “algoritmo di Euclide”.
L’Algoritmo di Euclide per il calcolo del Massimo Comun Divisore di due interi
Siano a, b i due interi di cui vogliamo determinare il M.C.D.
Calcoliamo il resto r della divisione intera a : b ,
e a questo punto sostituiamo la coppia ( a, b) con la coppia (b, r ) :
a ← b, b ← r .
Si può dimostrare (pag. 202) che il M.C.D. della “nuova” coppia coincide col M.C.D. della “vecchia”.
Iteriamo ( = ripetiamo) il procedimento per la nuova coppia;
prima o poi, poiché in questo modo il “ b ”, evolvendosi, diventa sempre più piccolo,
si arriverà ad ottenere b = 0 .
Ma a quel punto, essendo M.C.D. (a, 0) = a , il valore che avrà a in quel momento sarà il M.C.D. cercato.
Esempio:
a = 108, b = 84
108 : 84 = 1 col resto di 24 → r = 24
a = 108 84, b = 84 24
84 : 24 = 3 col resto di 12 → r = 12
a = 84 24, b = 24 12
24 :12 = 2 con resto 0 → r = 0
a = 24 12, b = 12 0
Essendo b = 0, il procedimento termina : M .C.D. = a = 12
Schematicamente:
a = 108,
b = 84
r = 24
a = 84,
b = 24
r = 12
a = 24,
b = 12
r =0
a = 12,
b=0
STOP
M.C.D. = 12
35) Viene fornita in ingresso una somma di denaro in euro, con eventualmente decimi e centesimi (es.: 8,47).
L’algoritmo dovrà calcolare il minimo numero di monete necessarie per totalizzare quella cifra,
se si ha a disposizione un numero a piacere di pezzi da: 2 euro, 1 euro; 50, 20, 10, 5, 2 e 1 centesimo.
36) L’offerta promozionale di un negozio prevede il 10% di sconto su tutti gli acquisti, e addirittura,
per spese superiori ai 100 euro, il normale 10% fino a 100 euro, e il 25% di sconto sulla cifra spesa in più.
Quanto pagherà, in seguito all’offerta, una persona che ha comprato merce per x euro?
Scrivi un algoritmo che risponda a questa domanda.
37) Ci sono 8 palline tutte identiche all’apparenza, ma mentre 7 di esse hanno pure ugual peso,
una invece ha peso minore delle altre.
Trova un algoritmo per stabilire quale sia la pallina anomala, tramite 2 pesate con una bilancia a due piatti.
38) Ci sono 9 palline tutte identiche all’apparenza, ma mentre 8 di esse hanno pure ugual peso,
una invece ha peso minore delle altre.
Trova un algoritmo per stabilire quale sia la pallina anomala, tramite 2 pesate con una bilancia a due piatti.
176
RISPOSTE
1) Scrive il massimo fra due numeri letti in ingresso
2) “n è pari” (dalla parte del “Sì”), “n è dispari” (dalla parte del “No”)
3) Moltiplica a per b col metodo delle “somme ripetute”
b
4) 100 000 000 (cento milioni). L’espressione è a 2 (a elevato all’esponente 2 b )
5) Conta “quante volte b sta in a”, ossia determina il quoziente della divisione intera a:b.
In pratica, l’algoritmo equivale all’operazione a DIV b.
6) Approssima per difetto, con 1 cifra dopo la virgola, la radice quadrata di a.
7) La tabellina del 10 (tutte le coppie di interi da 1 a 10, con accanto il risultato della moltiplicazione)
8) Con a = 5, n = 4 , l’output è 521.
9) L’output in questo caso è 20. Esegue la moltiplicazione m*n col metodo delle somme ripetute.
10) E’ sbagliato perché con l’istruzione a ← b il valore originario di a va perso,
in quanto nella “scatoletta” che lo conteneva esso viene “sovrascritto”, viene rimpiazzato dal valore di b.
Quando poi viene eseguita l’istruzione successiva b ← a,
nella “scatoletta” b viene messo il valore “attuale” di a,
ossia il valore presente nella “scatoletta” a al momento in cui l’istruzione viene eseguita.
E tale valore è, come abbiamo visto, quello che era il valore iniziale di b.
In definitiva, se inizialmente era a = 4, b = 5 ,
alla fine, con questo algoritmo, è a = 5, b = 5 .
11) L’output è
5 4.
In pratica, questo algoritmo scambia i contenuti delle “scatolette” a, b;
scambia i valori delle due variabili a, b.
C’è voluta una variabile ausiliaria; altrimenti (vedi esercizio precedente) non sarebbe stato possibile.
12) 5; 6.
Calcola il quoziente intero della divisione intera a:b.
L’algoritmo equivale all’operazione a DIV b.
13) 125; 1024.
E’ chiaro che l’algoritmo calcola la potenza avente base a ed esponente n.
Un modo per modificarlo affinché funzioni correttamente anche con n = 0 potrebbe consistere,
ad esempio, nel sostituire la RIPETI … FINCHE’ … con una FINTANTOCHE’ … ESEGUI … :
LEGGI a, n
b←1
k←0
FINTANTOCHE’ k<n ESEGUI
{ k ← k+1
b ← b*a }
SCRIVI b
14) Scrive in ordine decrescente i 3 numeri letti
15) L’effetto è di scrivere tanti asterischi quant’è il numero letto in ingresso
16) Scrive il minimo fra tre numeri letti in ingresso
17) 5; 8; 16
No, non esiste.
Anzi: fino ad oggi TUTTI gli interi n coi quali si è provato hanno condotto a sequenze terminanti con 1.
E sono stati testati tutti i numeri interi da 2 fino a valori enormi (dell’ordine dei miliardi di miliardi).
Si è quindi portati a credere che per qualsiasi intero n il procedimento abbia termine
(ossia, porti, dopo un numero più o meno elevato di passi, a ottenere 1).
Tuttavia, questa congettura (nota come Congettura di Collatz, o Congettura del 3n+1, o con altri nomi)
alla data attuale non è stata ancora dimostrata.
18) Ne rappresentano le cifre, scritte in ordine invertito
19) 25; 64. In generale, si ottiene il quadrato di n, attraverso la somma dei primi n interi dispari
20) 5; 0; 10; con a=0 si otterrebbe un ciclo infinito, l’esecuzione non avrebbe mai termine.
In generale, con a>0, si ottiene in output l’esponente della potenza di 2 più vicina, per difetto, ad a.
177
22) Ad esempio:
INIZIO
LEGGI n
p←1
k←1
RIPETI
{LEGGI a
p ← p*a
k ← k+1}
FINCHE’ k>n
SCRIVI p
FINE
23) Ad esempio:
oppure:
INIZIO
LEGGI a
min ← a
max ← a
RIPETI
{ SE a<min ALLORA min ← a
ALTRIMENTI
SE a>max ALLORA max ← a
LEGGI a }
FINCHE’ a=0
SCRIVI min, max
FINE
24) Ad esempio:
INIZIO
LEGGI n
contdiv ← 0
k←1
RIPETI
{ SE n MOD k = 0
ALLORA
{ SCRIVI k
contdiv ← contdiv+1}
k ← k+1 }
FINCHE’ k>n
SCRIVI contdiv
FINE
INIZIO
LEGGI a
min ← a
max ← a
RIPETI
{ LEGGI a
SE a<>0 ALLORA
{ SE a<min ALLORA min ← a
ALTRIMENTI
SE a>max ALLORA max ← a } }
FINCHE’ a=0
SCRIVI min, max
FINE
25) Ad esempio:
INIZIO
LEGGI n
a←0
b←1
SCRIVI a, b
i←3
RIPETI
{ c ← a+b
SCRIVI c
a←b
b←c
i ← i+1 }
FINCHE’ i>n
FINE
26) Ad esempio:
NOTA1:
<> significa “diverso da”
NOTA 2:
l’algoritmo funzionerebbe
anche se non si scrivesse
ALTRIMENTI”
INIZIO
somma ← 0
cont ← 0
RIPETI
{ LEGGI numero
cont ← cont+1
somma ← somma+numero }
FINCHE’ numero=0
cont ← cont−1
media ← somma/cont
SCRIVI media
FINE
33) Ad esempio:
INIZIO
LEGGI x
cont ← 0
FINTANTOCHE’ x>=0,000000001
ESEGUI
{ x ← x/2
cont ← cont+1 }
SE cont=0 ALLORA
SCRIVI “la distanza è già inferiore
a 1 milionesimo di mm”
ALTRIMENTI
SCRIVI cont
FINE
37) INIZIO
Pesa due gruppi di 3 palline ciascuno
SE la bilancia resta in equilibrio, ALLORA
{ pesa le due palline rimanenti;
prendi la più leggera }
ALTRIMENTI
{ prendi due palline dal gruppo meno pesante;
SE la bilancia resta in equilibrio,
ALLORA prendi la pallina rimanente
ALTRIMENTI prendi la più leggera }
FINE
34) ALGORITMO
DI EUCLIDE
INIZIO
LEGGI a, b
RIPETI
{ r ← a MOD b
a←b
b←r }
FINCHE’ b=0
SCRIVI a
FINE
CHALLENGE
Un problema veramente TREMENDO
è quello “delle 12 palline”:
“Ci sono 12 palline tutte identiche in apparenza;
ma mentre 11 di esse hanno pure ugual peso,
una invece ha peso diverso dalle altre;
non si sa se questa pallina è più pesante o più leggera.
Trova un algoritmo per stabilire quale sia la pallina
anomala, e se sia più pesante o più leggera delle altre,
tramite 3 pesate con una bilancia a due piatti”.
178
PROGRAMMAZIONE IN LINGUAGGIO PASCAL
♫ INTRODUZIONE ALLA PROGRAMMAZIONE IN LINGUAGGIO PASCAL
Le pagine che seguono insegnano a scrivere un programma in linguaggio Pascal.
In realtà, il Pascal (creato nel 1970) NON è, fra i linguaggi, proprio l’ultima novità.
Tuttavia, te lo propongo caldamente come
linguaggio davvero ideale per iniziare a familiarizzare con la programmazione.
E perché mai?
Perché il Pascal fu creato apposta per facilitare il compito di chi voglia imparare a programmare:
esso infatti concilia l’essenzialità con l’eleganza e la completezza.
Dopo aver appreso – divertendoti – gli elementi fondamentali del Pascal,
potrai facilmente, se i tuoi interessi o i tuoi studi o il tuo lavoro te lo suggeriranno, passare
a occuparti di qualsiasi altro linguaggio. Ma nel frattempo avrai piacevolmente assimilato
un metodo e una mentalità che ti renderanno molto più agevole affrontare cose nuove.
Inoltre realizzare programmi con Pascal è completamente gratuito nella legalità, come vedremo.
Ti è già noto che una volta scritto un programma in un dato linguaggio,
per comunicarlo al computer occorre un altro programma,
che sia capace di prendere il programma da noi scritto e tradurlo in “linguaggio macchina”,
quello a base di 0 e di 1, l’unico che il computer possa effettivamente “comprendere”.
Nel caso del Pascal tale programma si chiama compilatore Pascal
(“compilatore” perché, a differenza di un “interprete”, non traduce le istruzioni una per una,
ma traduce tutto il complesso delle istruzioni, generando un codice binario che viene detto
“il programma oggetto”, può essere salvato in un file, e può essere eseguito da qualsiasi computer).
Bene! Un compilatore Pascal, chiamato Free Pascal, è scaricabile comodamente,
gratuitamente e legalmente (è free software!) dal sito
http://www.freepascal.org/
Collegati, scegli l’opzione Download,
poi, dopo la parola “Binari”, clicca sulla scritta blu
corrispondente al microprocessore e al sistema operativo del TUO computer.
Nella nuova finestra che si apre
clicca sul sito dal quale vuoi scaricare, ad es.
ftp.freepascal.org;
ora clicca sulla scritta blu
che segue le parole “Scarica come installer”.
Uscirà una finestrella grigia;
in essa, clicca su “Salva”
e scegli poi il desktop come destinazione per il file.
Dovrai attendere qualche minuto per il trasferimento del file
dal server remoto al tuo computer.
Terminato il download,
sul tuo desktop comparirà la seguente icona:
Fai doppio clic su di essa e, nella successiva finestrella grigia, clicca con fiducia su “Esegui”.
Segui le istruzioni,
che porteranno alla vera e propria installazione di Free Pascal sul computer.
Alla fine della procedura guidata, ti ritroverai sul desktop un’altra icona, la seguente:
Se ci fai doppio clic sopra, ecco che sei pronto per lavorare!!!
179
… L’hai fatto, vero, il doppio clic?
Bene: sul tuo monitor è ora comparsa una finestra con questo bordo superiore:
Clicca su File, poi su New.
Ecco che ti compare uno spazio di color blu: scrivi il tuo programma
(per rompere il ghiaccio, potresti copiarne uno dalle pagine successive)
poi, quando avrai finito, clicca sul menu Compile.
Fra le opzioni della finestrella che si apre, troverai ancora Compile: clicca su questa opzione.
Apparirà una finestra nella quale sarà richiesto di specificare il nome che intendi assegnare al file
(il nome del file non dovrà obbligatoriamente coincidere con quello del programma).
Scegli il nome, poi clicca su OK per confermarlo, ma …
... tieni presente che il compilatore,
prima di procedere alla traduzione del tuo programma in linguaggio macchina,
andrà a valutare la correttezza sintattica del programma stesso,
e, nel caso rilevi un errore formale, farà comparire sul monitor una finestrella con la scritta:
Compile Failed (Compilazione fallita).
Starà allora a te andare alla caccia degli errori:
occhio, questo sarà forse il compito più noioso,
perché anche una semplice virgola, o punto e virgola, o apice, dimenticato può essere un errore.
Comunque, se hai sbagliato e quindi è spuntata la Compile Failed,
nella parte bassa della finestra ti saranno comparse
anche delle indicazioni, che certamente ti aiuteranno, sulla natura e la posizione dell’errore.
Ad esempio,
“;” expected but “WRITE” found
è il messaggio che ti dice: hai omesso un “punto e virgola” prima di un “WRITE”.
E accanto troverai scritta anche LA RIGA E LA COLONNA in cui l’errore è stato riscontrato!!!
Premi “Invio”, mettiti con pazienza a correggere l’errore, dai di nuovo il comando Compile;
se sono rimasti ancora degli errori, rivedrai il Compile Failed e le indicazioni a fondo pagina,
altrimenti leggerai la scritta:
Compile successful (Compilazione riuscita), Press any key (Premi un tasto qualsiasi).
Tu premi dunque un tasto, ad esempio “Invio”.
A questo punto nella “directory” (=cartella) corrente,
che sarà poi una delle sottocartelle della cartella principale (su hard disk)
nella quale è stato collocato Free Pascal dalla procedura di installazione,
saranno stati creati DUE file, entrambi col nome da te scelto:
♪ uno, di estensione .pas (ma comunque apribile con un elaboratore di testi, ad esempio con Word)
conterrà il testo del programma in linguaggio
(proprio la sequenza di istruzioni da te scritta, il cosiddetto “listato” del programma);
♫ l’altro conterrà invece il programma “compilato”, scritto in linguaggio macchina,
e sarà dunque un file “eseguibile”, di estensione .exe.
Ma nel momento presente tali file non ti interessano molto:
infatti una copia del programma oggetto risiede a questo punto anche nella RAM,
e quando vuoi che il computer lo esegua,
clicca sul menu RUN e in questo scegli l’opzione “Run”.
Il programma va in esecuzione.
Ricorda che, se il programma ti richiede di inserire un dato, ad esempio un numero,
tu dopo averlo digitato sulla tastiera dovrai sempre premere “Invio” per confermare.
Al termine dell’esecuzione dovrai ulteriormente premere “Invio” per tornare al listato delle istruzioni.
Il file .exe creato dal compilatore, invece,
potrebbe essere anche ricopiato su qualsiasi altro computer:
doppiocliccandoci sopra, ecco che il programma si metterebbe a funzionare.
Quindi se hai realizzato un programma interessante, lo puoi anche regalare a qualche tua amica/amico.
Buon divertimento con la programmazione!!!
180
1 - ESEMPIO INTRODUTTIVO
ESEMPIO
program pitagora;
uses crt;
var a, b, c: longint;
begin
clrscr;
writeln (’Inserisci le misure dei lati del triangolo’);
writeln (’Devono essere numeri interi in ordine crescente’);
readln (a); readln (b); readln (c);
if a*a+b*b=c*c then write (’Il triangolo è rettangolo’)
else write (’Il triangolo non è rettangolo’);
readln;
end.
Vuoi vedere
il programma
in esecuzione?
(dopo aver
inserito
ciascun numero,
dovrai premere
“Invio”
per confermare)
Ö
program = parola chiave con cui deve iniziare ogni programma (1)
uses crt = è la chiamata di un programma “di servizio” (2)
var = precede l’elenco delle variabili col rispettivo tipo (longint = lungo intero)
begin = parola chiave che deve precedere il “corpo” del programma
clrscr = istruzione di “pulizia dello schermo”: CLeaR SCReen
OSSERVAZIONI write = scrivi, writeln = scrivi-poi-vai-a-capo (si pronuncia di solito wraitlain)
read = leggi, readln = leggi-poi-dopo-aver-letto-vai-a-capo (pron. ridlain)
if … then … else … = se … allora … altrimenti …
La moltiplicazione, in Pascal, si indica con un asterisco che non si può sottintendere: *
“readln” prima dell’ “end” finale = inserisce una pausa (3)
end = parola chiave che deve chiudere ogni programma
(1) Per il nome di un programma PASCAL si possono utilizzare caratteri alfanumerici
(=alfabetici/numerici), ma sono vietati caratteri di altro tipo, eccetto quello “di sottolineatura”,
che può essere utile quando si vogliono usare più parole,
dato che il nome di un programma non può contenere spazi vuoti:
es. program mese1_e_mese2.
Le stesse regole valgono anche per i nomi di variabili.
Al posto di dire “nome” (di un programma, di una variabile) si preferisce dire “identificatore”.
(2) “uses crt” è la chiamata di un programma “di servizio” senza il quale il nostro programma
non sarebbe in grado di eseguire la successiva istruzione “clrscr” per la pulizia dello schermo.
(3) “readln” prima dell’ “end” finale inserisce una pausa
senza la quale il computer eseguirebbe immediatamente l’ “end” finale
e ritornerebbe quindi subito a mostrare sullo schermo la videata delle istruzioni del programma,
senza che l’utente possa avere il tempo di osservare l’output.
In fase di esecuzione, quando si vorrà che la pausa termini, si premerà “Invio”.
(4) OGNI ISTRUZIONE DEVE SEMPRE TERMINARE COL “PUNTO E VIRGOLA”,
con l’eccezione del “begin” iniziale (per cui il “punto e virgola” è facoltativo)
e dell’ “end” finale, che deve invece essere seguito da un “punto”.
(5) La rientranza verso destra, o “INDENTAZIONE”, di alcune righe del programma
rispetto ad altre, non è obbligatoria ma è utilissima per migliorare la “leggibilità” del programma.
(6) Le istruzioni, le dichiarazioni, gli identificatori di un programma PASCAL possono essere scritti
indifferentemente in minuscolo o usando le maiuscole a piacere: PASCAL interpreta, ad esempio,
“prodotto”, “ProDOTto” e “PRODOTTO” considerandoli come uno stesso identificatore.
Invece quando utilizziamo un’istruzione di scrittura “write” o “writeln”,
e inseriamo una “stringa” (=sequenza di caratteri) entro la coppia di apici,
questa scritta (che potrà contenere caratteri di tipo qualsiasi)
verrà mandata in output esattamente come si presenta, eventuali maiuscole comprese.
181
2 - ISTRUZIONI DI INPUT-OUTPUT E DI ASSEGNAZIONE
INPUT-OUTPUT
Ogni coppia ’ ’ di APICI serve a indicare
write (’Carissima ti bacio ’, x, ’ volte’)
che il computer dovrà scrivere sul monitor
ESATTAMENTE
a) Scrivi la stringa “Carissima ti bacio ”
quella
SEQUENZA
DI CARATTERI
b) poi il valore della variabile x (NOTA)
(=STRINGA)
c) infine la stringa “ volte”
che è contenuta entro gli apici stessi.
NOTA: ossia, il contenuto che ha in quel momento
In ASSENZA DI APICI,
la locazione di memoria (“scatoletta”) x
va invece scritto il VALORE
writeln (’a+b = ’, a+b)
di una variabile (o espressione)
a) Scrivi la stringa “a+b = ”
b) poi il valore dell’espressione a+b (il valore della somma dei contenuti delle “scatolette” a, b)
c) infine, vai a capo col cursore (writeLN e non write)
read (num)
Leggi ciò che l’utente digita sulla tastiera e mettilo nella “scatoletta” num
NOTA: l’utente, dopo aver digitato, dovrà premere il tasto “Invio” sulla tastiera
readln (num) Come prima; alla fine, però, vai a capo col cursore
NOTA: sovente ci permetteremo di scrivere, alla buona, “scatoletta” anziché “locazione di memoria”
ASSEGNAZIONE
Il simbolo dell' "assegnazione" in PASCAL NON è =, bensì è :=
num:=5 Assegna alla variabile num (cioè: metti nella scatoletta num) il valore 5
y:=a+b Assegna alla variabile y (cioè: metti nella scatoletta y)
il valore dato dalla somma dei valori che in quel momento hanno le variabili a, b
(cioè: che in quel momento stanno nelle scatolette a, b)
Assegna alla variabile c (ossia: metti nella scatoletta c)
c:=c+1
il valore che c aveva PRECEDENTEMENTE, aumentato di 1
(quindi, in pratica: incrementa di una unità il valore della variabile c)
:= non indica uguaglianza, indica assegnazione!
ESEMPI
program moltiplicazioni_1;
program moltiplicazioni_2;
program moltiplicazioni_3;
uses crt;
uses crt;
uses crt;
var a, b: longint;
(*questo programma è simile
var a, b: longint;
begin
al precedente, è solo più ricco*)
clrscr;
var a, b, prod: longint;
readln (a);
begin
begin
readln (b);
clrscr;
clrscr;
writeln (a*b);
write (’a = ’);
write (’a = ’);
readln;
readln (a);
readln (a);
end.
write (’b = ’);
write (’b = ’);
OSSERVAZIONI
readln (b);
readln (b);
prod:=a*b;
a*b
write (’a*b = ’);
write (’a*b = ’, a*b);
Il simbolo di moltiplicazione
writeln (prod);
non si può sottintendere
readln;
readln;
all’interno di una
end.
end.
espressione matematica in Pascal,
e si realizza con un asterisco
OSSERVAZIONI
OSSERVAZIONI
readln
(*
*)
Organizzando il nostro programma
Istruzione indispensabile
se si vuole avere tempo
di osservare l’output:
prova a toglierla, fai eseguire
(=dai il “Run”) e vedrai!
clrscr
Prova a toglierlo, dai il Run
per 2 esecuzioni consecutive
e vedi che succede …
Le “parentesi asteriscate”
consentono di inserire un commento
in un punto qualsiasi del programma
write (’a = ’)
ha qui la funzione di mandare in output
una scritta che aiuti l’utente
a capire cosa deve fare.
in questo modo, possiamo evitare
di introdurre la variabile “prod”
Domanda: se anziché scrivere
write (’a*b = ’, a*b)
scrivessimo
write (a, ’*’, b, ’=’, a*b)
come cambierebbe l’output?
182
3 - a) I PRINCIPALI TIPI DI VARIABILI NUMERICHE
b) LE VARIABILI “STRINGA”
a) Alcuni fra i principali tipi di variabili numeriche
FREE PASCAL mette a disposizione parecchi tipi di variabili intere e non intere.
Ma lasciando i tanti possibili approfondimenti all’eventuale iniziativa del lettore, che potrà trovarli ad
es. sul sito www.freepascal.org, diciamo che, avendo necessità di utilizzare una variabile di tipo intero,
la si dichiarerà in genere come VAR integer oppure come VAR longint, tenendo presente che
♪ una variabile di tipo integer può assumere i suoi valori nell’intervallo da −32768 a +32767
♫ e una variabile di tipo longint da −2147483648 a +2147483647 .
♥ E’ di estrema importanza tener conto dell’intervallo di variabilità (range).
Se ad esempio una variabile n in un dato programma PASCAL è stata dichiarata di tipo integer,
e in quel programma compare l’istruzione n:=40000,
oppure la coppia di istruzioni successive n:=32767; n:=n+1, allora sarà un bel guaio!!!
In fase di compilazione o di esecuzione verrà segnalato un errore di “traboccamento” (overflow).
Una variabile numerica a valori non necessariamente interi in generale è dichiarata come VAR real.
Le variabili di tipo real hanno un range che copre, perlomeno, l’intervallo da 1.5 ⋅10− 45 a 3.4 ⋅ 1038
(nel caso del sottotipo single); gli altri sottotipi double e extended hanno un range molto più ampio.
Il numero di byte occupati in memoria può essere di 4, di 8, o di 10. Il programmatore potrà specificare
il sottotipo con una dichiarazione come VAR x: double, oppure non specificarlo scrivendo VAR x: real;
in tal caso, la variabile in gioco è destinata a diventare una single o una double a seconda del processore.
Consulta www.freepascal.org per informazioni più dettagliate; vedi anche il paragrafo 7b a pag. 187.
♥ OCCHIO! - In PASCAL il separatore della parte intera dalla decimale è il PUNTO e non la virgola.
Si ha la possibilità, quando una write o una writeln è riferita ad un numero di tipo intero,
di far sì che il numero occupi, sul monitor, tanti spazi quanti esattamente vogliamo noi.
¾ Ad esempio, se prodotto è una variabile integer o longint, l’istruzione write (prodotto:8)
fa sì che sul monitor compaia il valore che in quel momento la variabile prodotto possiede,
scritto in modo da occupare esattamente 8 posizioni di carattere, e allineato a destra
in tale spazio. In questo contesto, il numero 8 viene detto “ampiezza”.
Se noi mandiamo in output, tramite una write o una writeln, un numero di tipo real, esso ci
apparirà sul monitor in “notazione esponenziale”. Vale a dire, vedremo il numero scritto come
prodotto di un fattore compreso fra 1 (incluso) e 10 (escluso), per una opportuna potenza di 10.
¾ Esempio. Supponiamo che in un dato istante la variabile x, di tipo real, abbia il valore 123.45.
Allora l’istruzione write (x) farebbe comparire sul monitor 1.23450000000000E+002
(che significa 1.2345 moltiplicato per 102 ; “E” sta per “esponente di 10”).
Se vogliamo invece che l’output appaia scritto in notazione non esponenziale, dovremo integrare
l’istruzione write come nell’esempio che segue: write (x:20:12). Tale istruzione avrebbe l’effetto di far
scrivere sul monitor il valore della variabile real x, scritto in notazione NON esponenziale, in modo da
occupare un campo di esattamente 20 caratteri, di cui 12 riservati alle cifre dopo il punto decimale.
¾ Ad esempio, nel caso x =123.45, si avrebbe
123.450000000000 (4 spazi vuoti all’inizio: numero allineato a destra in un campo di 20 caratteri)
NOTA 1 - Lo ribadiamo: i numeri non interi hanno sempre, in PASCAL, il PUNTO e non la virgola
come separatore per le cifre decimali. Anche quando un non-intero viene inserito in input,
in fase di esecuzione di un programma scritto in PASCAL, occorre regolarsi così.
NOTA 2 - L’aggettivo reale è un po’ “sprecato” in questo contesto. Sì, è vero, si tratta di numeri reali,
però, per il fatto di non poter avere infinite cifre decimali, sono senz’altro addirittura razionali.
b) Cenni alle variabili “stringa”
STRINGA = SEQUENZA DI CARATTERI
program esempiosullevariabilistringa; uses crt;
var nome: string [20];
begin
clrscr;
writeln (’Come ti chiami?’);
readln (nome);
if nome=’Mario’ then writeln (’Ti chiami come me!’)
else writeln (’Buona giornata ’, nome);
readln;
end.
var nome: string [20]
“nome” è una variabile stringa.
La “scatoletta” chiamata “nome”
non è destinata a contenere un numero,
bensì una “stringa”,
ossia una sequenza di caratteri.
Il numero [20] entro parentesi quadre
indica che la stringa potrà avere
una lunghezza massima di 20 caratteri.
Il caso particolare string [1] può essere
rimpiazzato dal tipo “carattere” (char).
Esempio: var consonante: char
183
4 - IF … THEN … ELSE … ( = LA STRUTTURA DI SELEZIONE)
Esempio 1: if a*a+b*b=c*c then write (’rettangolo’) else write (’non rettangolo’)
In generale, la struttura (struttura = istruzione che governa altre istruzioni)
IF condizione THEN istruzione 1 (ELSE istruzione 2)
ordina al computer di:
i) controllare se è verificata la condizione;
ii) in caso affermativo, eseguire l’istruzione 1,
in caso negativo eseguire l’istruzione 2
(questa parte con l’ELSE può anche mancare)
Esempio 2:
if a*a+b*b=c*c then
begin
writeln (’Il triangolo è rettangolo, perché la somma’);
writeln (’dei quadrati di due lati uguaglia il quadrato del terzo’);
end
else write (’Il triangolo non è rettangolo’)
Notare in questo es. l’uso degli indicatori di INIZIO BLOCCO (begin) e FINE BLOCCO (end).
Esempio 3:
if media<4 then media:=4
Questa istruzione potrebbe far parte di un programma nel quale un insegnante indulgente
decida di "alzare" al 4, per non infierire, la media di un suo alunno nel caso questa risulti < 4;
in caso contrario, cioè se la media è maggiore o uguale a 4, essa non verrà modificata).
L’esempio ribadisce che l’ELSE non è sempre obbligatorio nell’ambito di una IF.
ATTENZIONE: prima dell’ ELSE non ci vuole mai il “punto-e-virgola” (errore frequente!)
Il compilatore si arresterebbe fornendo il “Syntax error” che segue: “;” expected but “ELSE” found.
program equazioni_strane_1; uses crt;
var a, b, x: real;
begin
clrscr;
writeln (’Risolviamo l’’equazione ax=b’);
write (’a = ’); readln (a); write (’b = ’); readln (b);
IF a<>0 THEN
begin
x:=b/a;
write (’x = ’, x);
end
ELSE
IF b<>0 THEN write (’Eq. Impossibile’)
ELSE write (’Eq. Indeterminata’);
readln;
end.
Questo programma ci dà un esempio di
due IF … THEN … ELSE …
contenute una dentro l’altra, cioè “ANNIDATE”
program equazioni_strane_2; uses crt;
var a, b, x: real;
begin
clrscr;
writeln (’Risolviamo l’’equazione ax=b’); (*NOTA*)
write (’a = ’); readln (a); write (’b = ’); readln (b);
if a<>0 then write (’x = ’, b/a);
if (a=0) AND (b<>0) then write (’Eq. Impossibile’);
if (a=0) AND (b=0) then write (’Eq. Indeterminata’);
readln;
end.
L’uso dell’operatore logico AND ci ha permesso
di scrivere il programma in modo più semplice.
Gli operatori logici in Pascal sono:
AND, OR, NOT, XOR
(XOR = disgiunzione esclusiva:
p XOR q è vera se e solo se
è vera una e una sola delle due condizioni p, q)
Esercizio 1)
Nel 1969 l’uomo è sbarcato per la prima volta sulla Luna.
Scrivi un programma PASCAL che domandi all’utente il suo anno di nascita
e fornisca, a seconda dei casi, l’output:
i)
“Quando l’uomo sbarcò sulla Luna tu avevi … anni” (NOTA)
ii) “Quando l’uomo sbarcò sulla Luna tu non eri ancora nato: saresti nato … anni dopo”
iii) “Caspita, ma sei nato proprio l’anno in cui l’uomo sbarcò sulla Luna!!!”
NOTA
Gli apostrofi
nelle stringhe
vengono
indicati
tramite un
doppio apice:
vedi pag. 185
184
5 - VARIE
a)
ERRORI FREQUENTI E LORO CORREZIONE
OCCHIO! Fra i più frequenti, “tipici” errori formali nella redazione di un programma citiamo i seguenti:
dimenticare il “;” alla fine di una istruzione.
OGNI ISTRUZIONE O DICHIARAZIONE (NOTA)
DEVE OBBLIGATORIAMENTE TERMINARE COL “;” !!!
Uniche eccezioni l’end finale (seguito da un “.”) e, volendo, i vari begin (“;” facoltativo)
Il messaggio di errore che compare è in questo caso:
“;” expected ossia ci si aspettava un “;”
Nel messaggio troviamo pure l’indicazione di “cosa è stato invece trovato (found)”.
NOTA: le “dichiarazioni” sono, ad esempio:
il “program …”, la “uses crt”, la specificazione del tipo per ogni variabile.
QUANDO IL COMPILATORE SEGNALA UN ERRORE,
simultaneamente indica pure
LA RIGA E LA COLONNA IN CUI E’ STATO RISCONTRATO L’ERRORE !!!
… E QUESTO TI AIUTA TANTISSIMO, PER LA CORREZIONE !!!
mettere il “;” prima dell’ELSE di una if … then … else … (in questo caso, non ci vuole!)
Qui il messaggio di errore è:
“;” expected” but “ELSE” found
dimenticare il “.” dopo l’ “end” conclusivo
Messaggio di errore:
“.” expected but “end of file” found
b) OPERAZIONI E SIMBOLI MATEMATICI
somma, sottrazione +, −
moltiplicazione *
divisione /
divisione intera div
OCCHIO!
Il risultato di una “/” va sempre
incasellato in una variabile di tipo reale!
… Altrimenti la compilazione si arresterebbe,
con un messaggio di errore.
Può operare solo con variabili di tipo intero:
integer o longint.
resto della divisione intera mod (può operare solo con variabili di tipo intero!)
radice quadrata sqrt Esempio: y:=sqrt(x)
Volutamente non ne parliamo a questo livello.
Richiedono una conoscenza più avanzata di Free Pascal.
A questo proposito, i vari “HELP” si possono scaricare da
http://www.freepascal.org/down/docs/docs.html
Altre operazioni
(es. potenza …)
Fra l’altro, una potenza ad esponente intero
si può ottenere servendosi della moltiplicazione;
se l’esponente è una variabile intera possiamo ottenere lo scopo
con un programmino, che sarà richiesto a suo tempo come esercizio.
diverso da <>
minore o uguale, maggiore o ug. <=, >=
parte intera di int Esempi: int(4.72) dà come risultato 4; int( − 3.8) dà − 3
Esercizio 2)
Realizza un programma PASCAL che, letto in ingresso un numero x, fornisca in output:
♪ la radice quadrata di x, in notazione NON ESPONENZIALE, se x>=0;
♫ la scritta "Mi spiace, ma non esiste la radice quadrata di un numero negativo" se x<0.
185
c) L’OVERFLOW ( = traboccamento)
Si chiama così la fuoriuscita di una variabile dal suo “range” (=campo di variabilità).
Ad esempio, se abbiamo dichiarato una variabile di tipo integer (range da –32768 a +32767)
e a questa variabile viene attribuito, o direttamente da una istruzione di assegnazione,
o in input, o per l’effetto di un calcolo, un valore fuori dal range (poniamo: il valore 50000),
allora in fase di compilazione o di esecuzione verrà segnalato un errore: il programma non funzionerà.
d) COME SALTARE UNA RIGA SUL MONITOR, IN FASE DI ESECUZIONE
L’istruzione
writeln
provoca l’effetto di spostare il cursore all’inizio della riga successiva;
se il cursore SI TROVA GIA’ all’inizio di una riga vuota,
l’effetto sarà di passare all’inizio della riga successiva a questa, e quindi di saltare una riga.
e) APOSTROFO NELLE STRINGHE: CHE GUAIO!
IL COMPUTER LO CONFONDEREBBE CON IL SIMBOLO DI “FINE STRINGA”!
Come fare, allora? I creatori del PASCAL hanno previsto che si operi come nell’esempio seguente:
write (’L’’amicizia è una cosa stupenda’)
Per realizzare l’apostrofo all’interno di una stringa basterà dunque digitare il doppio apice.
f) TESTO COLORATO IN OUTPUT
L’istruzione per ottenere in output un testo colorato è
textcolor (n),
dove n è il codice del colore desiderato
( 0 ≤ n ≤ 255, ma oltre il 15 si ripete la sequenza di colori precedente).
Ad esempio:
9 = blu, 10 = verde, 11 = azzurro,
12 = rosso, 14 = giallo, 15 = bianco.
Per conoscere le altre corrispondenze codice-colore,
possiamo scrivere un programmino apposito,
ad es. un programma che, letto in input un intero,
lo restituisca in output,
colorato del colore che gli corrisponde →
program codici_dei_vari_colori; uses crt;
var n: integer;
begin
clrscr;
writeln (’Scrivi un intero fra 0 e 15.’);
write (’n = ’); readln (n);
writeln (’Colore corrispondente:’);
textcolor (n); write (n); readln;
end.
g) L’ EFFETTO RITARDO
L’istruzione delay (n), dove n è un numero di tipo intero,
ordina al computer di attendere n “unità di tempo” prima di eseguire l’istruzione successiva.
L’ “unità di tempo” dovrebbe essere in teoria di 1 millesimo di secondo, ma in realtà differisce un po’ da
un computer all’altro. Si faranno delle prove, poi si sceglierà n a seconda dell’effetto che si vuol realizzare.
h) I “COMMENTI”
Nel “listato” (=sequenza delle istruzioni) di un programma si possono scrivere dei “commenti”,
che verranno ignorati nella fase di “compilazione” (=trascrizione in linguaggio macchina).
I commenti devono essere inseriti
fra “parentesi asteriscate”: (* questo è un commento *)
oppure fra parentesi graffe: { questo è un commento }
OSSERVAZIONE - Nel linguaggio C le graffe hanno invece un ruolo completamente diverso: stanno
a indicare inizio blocco e fine blocco (hanno cioè la funzione che in PASCAL compete a BEGIN e END)
i)
LA SELEZIONE MULTIPLA: CASE … OF …
Quando le alternative sono più di due, potrà essere utile la CASE … OF … ,
una struttura di SELEZIONE MULTIPLA illustrata dal seguente esempio:
CASE punteggio OF
0, 1, 2: writeln (’Vai a zappare’);
3, 4: writeln (’Gravemente insufficiente’);
5: writeln (’Insufficiente’);
6, 7, 8, 9, 10: writeln (‘Esame superato’);
END;
186
6 - NUMERI CASUALI (O MEGLIO, “PSEUDOCASUALI”)
Nell’istruzione
bigliettino:=random (25)
bigliettino è una variabile di tipo intero;
l’istruzione le assegna un valore casuale,
o meglio “pseudocasuale” (vedi il riquadro qui a destra)
che potrà essere 0, 1, 2, 3, … , 23, 24.
In generale, in PASCAL, la funzione RANDOM (n)
genera un intero pseudocasuale che potrà valere: 0, 1, 2, … , n−1.
Due esempi significativi:
♪ esito:=random(2)
assegnerà alla variabile esito o il valore 0 o il valore 1
perciò si presta a simulare il lancio di una moneta
(0 si potrà interpretare come “Testa” e 1 come “Croce”, o viceversa)
♫ x:=random(6)+1
assegnerà alla variabile x uno dei valori 1, 2, 3, 4, 5 o 6
perciò si presta a simulare il lancio di un dado.
Invece la funzione RANDOM, usata senza alcun argomento,
genera un numero pseudocasuale di tipo reale,
compreso fra 0 (incluso) e 1 (escluso).
Esempio: l’istruzione y:=random assegna alla variabile y,
che deve essere stata dichiarata di tipo reale,
un valore pseudocasuale ≥ 0 e < 1 .
COSA VUOL DIRE
“PSEUDOCASUALE”
?
L’aggettivo “pseudocasuale”
esprime il fatto che in realtà,
quando il computer produce
tutta una successione
di numeri di questo tipo
uno dopo l’altro,
quello davvero casuale…
… è solo il primo
(detto “il seme”
della sequenza),
perché si basa su di un valore
preso dal clock
nel preciso istante in cui
la procedura viene avviata,
mentre i successivi
vengono calcolati
mediante appositi algoritmi
(scelti in modo tale
da assicurare “l’apparenza”,
ma non dunque la “sostanza”,
della casualità).
IMPORTANTE
Occorre ricordarsi, tutte le volte che in un programma Pascal si utilizza una funzione random,
di premettere, dopo il “begin” e prima dell’istruzione che contiene la RANDOM,
l’istruzione
RANDOMIZE;
essa ordina al computer di
“rendere casuale il seme per la generazione dei numeri pseudocasuali”
(a tale scopo viene impiegato un valore fornito in quell’istante dal clock del sistema)
E’ un po’ come scuotere preventivamente l’urna da cui si estrarranno le palline;
se non lo si fa, la pallina estratta, quando viene posata,
resterà sempre in superficie e continuerà ad essere ripescata.
Esercizio 3)
Il fratellino deve ripassare le operazioni aritmetiche? Scrivi un programma Pascal che operi nel seguente modo:
a) sul monitor deve comparire la stringa: BAMBINO, CHE OPERAZIONE VUOI FARE? + OPPURE * ?
b) a questo punto, evidentemente, il bambino digiterà il simbolo + o in alternativa il simbolo *
e il computer “leggerà” il carattere scelto (NOTA: dovrai allora prevedere una variabile
di tipo STRING[1], oppure di tipo CHAR, la quale renda possibile la lettura del simbolo);
c) poi il computer deve “estrarre” due numeri interi pseudocasuali x, y, ciascuno compreso fra 0 e 10,
e mandare sul monitor i numeri stessi, separati dall’operazione che il bambino aveva scelto;
quindi, ad esempio,
9*7 =
d) Il bambino scrive la sua risposta, il computer ne valuta la correttezza e manda in output la stringa
GIUSTO! oppure SBAGLIATO a seconda dei casi.
Insomma, al termine dell’esecuzione il monitor deve apparire (ad esempio) così:
BAMBINO, CHE OPERAZIONE VUOI FARE? + OPPURE * ?
+
6+8=15
SBAGLIATO
dove, evidentemente, il bambino ha digitato esclusivamente il simbolo + della seconda riga e il numero 15,
mentre tutto il resto lo ha scritto il computer.
187
7a - GLI OPERATORI “DIV” E “MOD”;
PARI? DISPARI? DIVISIBILE PER …? DIVISORE DI …?
GLI OPERATORI “DIV” E “MOD” forniscono il quoziente intero e il resto della divisione intera.
a DIV b dà il QUOZIENTE INTERO, a MOD b dà il RESTO.
a, b devono essere numeri, o variabili, di tipo INTERO (con b diverso da 0). Esempi:
30 DIV 7 = 4 (“30 diviso 7” dà 4; poi c’è anche un resto, ma in questo momento non ci interessa)
30 MOD 7 = 2 (il resto della divisione “30 diviso 7” è 2)
15 DIV 3 = 5; 15 MOD 3 = 0; 4 DIV 7 = 0; 4 MOD 7 = 4
Per fare esercizi, trascrivi e manda in esecuzione per alcune volte il seguente programmino:
program esercizi_sul_div_e_sul_mod; uses crt;
var a, b, x, y, i : integer;
begin
clrscr;
randomize;
a:=random (100); b:=random (10)+1;
write ( a, ’ div ’, b, ’ = ’ ); readln (x); write ( a, ’ mod ’, b, ’ = ’ ); readln (y);
if (x = a div b) and (y = a mod b) then writeln (’OK’)
else
begin
writeln (’NO. Risultati esatti: ’);
writeln ( a, ’ div ’, b, ’ = ’, a div b);
writeln ( a, ’ mod ’, b, ’ = ’ , a mod b);
end;
readln;
end.
PARI? DISPARI? DIVISIBILE PER …? DIVISORE DI …?
if a mod b = 0 … significa (come preferisci):
□ “se a è divisibile per b …”
□ “se a è multiplo di b …”
□ “se b è divisore di a …”
e perciò:
♪ if x mod 2 = 0 … significa: “se x è pari …”
♫ if x mod 2 = 1 … (oppure: if x mod 2 <>0) significa: “se x è dispari …”
NOTA: “diverso da” in PASCAL ha come simbolo <>
7b - ANCORA SULLE VARIABILI REAL: CIFRE SIGNIFICATIVE, UNDERFLOW …
Per le variabili di tipo reale, destinate ad assumere valori numerici non necessariamente interi,
oltre che il discorso sul range ( = intervallo di variabilità) è importante anche quello relativo al
numero massimo di cifre significative supportate.
Lo specchietto seguente è tratto dalla documentazione on-line presente su www.freepascal.org:
Type
Real
Single
Double
Extended
Range
platform dependant
1.5E − 45 .. 3.4E38
5.0E − 324 .. 1.7E308
1.9E − 4932 .. 1.1E4932
Significant digits
???
7-8
15-16
19-20
Size (byte occupati)
4 or 8
4
8
10
E’ evidente che il numero limitato di cifre significative utilizzabili può costringere il computer
ad effettuare delle approssimazioni, a seguito delle quali è possibile che si determinino risultati imperfetti.
Tornando poi ad occuparci del range, osserviamo che nel caso in cui il valore di una variabile numerica
di un determinato “tipo” andasse a superare il massimo del range che compete a quel tipo, si avrebbe
un overflow (traboccamento) e il programma, di norma, si arresterebbe con una segnalazione di errore.
Se al contrario tale valore diventasse (in valore assoluto) troppo piccolo, l’errore sarebbe di underflow
e purtroppo non verrebbe segnalato: il destino dei numeretti “troppo piccoli” è semplicemente di essere
approssimati a 0. E anche da ciò possono derivare alterazioni per i risultati forniti dal programma.
I quali dunque, in determinate situazioni, devono essere interpretati con senso critico, alla luce di quanto detto.
Questo discorso può riguardare ad esempio i programmi per l’approssimazione di π proposti a pagina 199.
188
8 - LA STRUTTURA ITERATIVA ( = di “iterazione”, cioè “ripetizione”) FOR … DO …
La struttura
FOR i:= n1 TO n2 DO istruzione
oppure:
FOR i:= n1 TO n2 DO
BEGIN
istruzione 1;
istruzione 2;
istruzione 3;
…
END;
ordina al computer di:
assegnare il valore n1 alla variabile i (NOTA);
eseguire l'istruzione che segue il DO (oppure, il blocco di istruzioni compreso
fra il BEGIN che segue il DO e l' END successivo);
incrementare di una unità il valore di i;
eseguire nuovamente l'istruzione (o il blocco);
incrementare di un'altra unità i;
eseguire nuovamente l'istruzione (o il blocco);
...
Quando, a forza di incrementi di un'unità, la variabile i assume il valore n2,
viene eseguita per l'ultima volta l'istruzione (o il blocco), poi si esce dal ciclo.
NOTA: ho usato la lettera i per fissare le idee.
Al posto di i si può mettere un qualunque identificatore di variabile intera.
La variabile del ciclo FOR viene detta “variabile di controllo”, e dev’essere sempre di tipo intero.
ESEMPI di programmi con l’uso della FOR … DO …
program somma_dei_numeri_naturali_da_1_fino_a_n; uses crt;
var k, n, somma: longint;
(* in questo programma la variabile k funge da "CONTATORE"
e la variabile somma da "ACCUMULATORE" *)
begin
clrscr;
writeln (’Dammi un numero intero positivo n;’);
writeln (’ti scriverò la somma dei numeri interi da 1 fino ad n.’);
readln (n);
somma:= 0;
for k:= 1 to n do somma:=somma+k;
write (’La somma che ti avevo promesso vale ’, somma);
readln;
end.
program massimo; uses crt;
var a, n, k, max: longint;
(* questo programma riceve in input dei numeri e stabilisce quale è stato il più grande fra i numeri introdotti.
La variabile max svolge il ruolo di "MASSIMO PROVVISORIO";
il suo valore finale corrisponderà al massimo cercato *)
begin
clrscr; writeln (’Quanti numeri vuoi introdurre?’); readln (n);
writeln (’Dammi pure questi ’, n, ’ numeri: ti dirò qual è il massimo’);
max:=0;
for k:= 1 to n do
begin
readln (a);
if a>max then max:=a;
end;
writeln (’Massimo = ’, max);
readln;
end.
189
ESERCIZI
Esercizio 4)
Scrivi un programma che, letto da tastiera un numero intero positivo n,
fornisca in output, su tre colonne:
a) i numeri interi da 1 fino a n;
b) i rispettivi quadrati;
c) le rispettive radici quadrate (in notazione non esponenziale).
Supponendo, per fissare le idee, n = 4, l'output desiderato è:
RADICE QUADRATA
QUADRATO
NUMERO
1.00000
1
1
1.41421
4
2
1.73205
9
3
2.00000
16
4
Esercizio 5)
Letto in input un intero positivo n, si vuole in output il valore della somma
1+1/2+1/3+1/4+ ... +1/n.
Esercizio 6)
Letti in ingresso un numero qualunque a ed un numero intero positivo n,
si vuole in output l' n-esima potenza di a, ossia il numero a n .
E' indispensabile, in questo programma,
una variabile accumulatore,
il cui valore FINALE sarà la potenza desiderata.
Esercizio 7)
Letti in ingresso n numeri (n è fornito in input dall’utente)
in parte positivi e in parte negativi,
che rappresentano gli esiti (in euro) di altrettante partite di poker,
• si conta quanti sono quelli negativi e se ne fa la media aritmetica;
• si conta quanti sono quelli positivi e se ne fa la media aritmetica.
L’output dovrà essere:
Hai perso … volte, perdendo in media … euro ogni volta;
e hai vinto … volte, vincendo in media … euro ogni volta.
In totale, hai (perso oppure vinto) … euro.
Non è evidentemente necessario utilizzare tante variabili diverse
per ciascuno dei numeri in ingresso;
basterà
• una sola variabile per la lettura;
• una variabile accumulatore per la somma dei negativi
e una variabile accumulatore per la somma dei positivi;
• una variabile contatore per i negativi e una variabile contatore per i positivi;
• oltre, naturalmente, alla variabile di controllo della struttura FOR ... DO ...
Esercizio 8)
Scrivi un programma che mandi in output tutti gli interi da 0 a 30,
ciascuno colorato del colore di cui l’intero considerato rappresenta il codice
(vedi paragrafo 5f, “Testo colorato in output”).
190
9 - LE ALTRE STRUTTURE ITERATIVE: REPEAT … UNTIL …
E
WHILE … DO …
Una FOR ... DO ...
comanda la ripetizione di un'istruzione (o di un blocco di istruzioni)
PER UN NUMERO PREFISSATO DI VOLTE.
Pertanto
la FOR…DO…
è utilizzabile solo quando è noto fin dall’inizio
quante volte l’istruzione (o il blocco) andrà ripetuto.
In caso contrario,
si utilizza la
REPEAT … UNTIL … (RIPETI …. FINCHE’)
oppure la
WHILE … DO … (FINTANTOCHE’ … ESEGUI)
Esempio:
program somma_di_un_numero_non_prefissato_di_addendi;
var somma, a: longint;
begin
writeln (’Introduci i numeri da addizionare’);
writeln (’Quando la sequenza sarà finita digita il numero 0’);
somma:=0;
repeat
readln(a);
somma:=somma+a;
until a=0;
writeln (’Somma = ’, somma);
readln;
end.
La struttura REPEAT ... UNTIL ...
ordina alla macchina di:
1. ESEGUIRE il blocco di istruzioni che sta fra la parola REPEAT e la parola UNTIL (NOTA);
2. CONTROLLARE se è verificata o no LA CONDIZIONE che sta dopo la parola UNTIL;
♪ SE tale condizione NON E' VERIFICATA, RIPETERE il ciclo (= ritornare al punto 1),
♫ SE la condizione E' VERIFICATA, USCIRE dal ciclo.
Osserviamo che:
a) il blocco di istruzioni viene certamente eseguito almeno una volta;
b) il controllo se la condizione sia verificata o meno avviene alla fine del ciclo;
c) l' uscita dal ciclo si ha quando la condizione E’ verificata
NOTA: il blocco si può eventualmente ridurre ad una sola istruzione
191
Poiché con una struttura REPEAT ... UNTIL ... il ciclo viene sempre eseguito almeno una volta,
tale struttura NON può essere utilizzata in quei casi in cui è necessario fare in modo che,
se una data variabile assume determinati valori, il ciclo ... non venga mai eseguito!
In tali casi, si utilizza la WHILE ... DO ... (FINTANTOCHE’ … ESEGUI).
Esempio:
program indovina;
var animale: string [20];
begin
writeln (’Caro amico che stai davanti a me,’);
writeln (’io, il computer, sto pensando ad un animale.’);
writeln (’Prova ad indovinare di quale animale si tratta ... ’);
writeln (’(scrivi tutto minuscolo e senza articolo)’);
readln (animale);
while animale <> ’orso’ do
begin
writeln (’Sbagliato. Ritenta!’);
readln (animale);
end;
writeln (’OK, indovinato!’);
readln;
end.
La struttura WHILE ... DO ... ordina alla macchina di:
1. CONTROLLARE se la CONDIZIONE che sta dopo la parola WHILE è verificata oppure no;
2.
♪ SE la condizione E’ VERIFICATA,
ESEGUIRE il blocco di istruzioni compreso fra le parole BEGIN e END (NOTA),
POI, RIPETERE IL CICLO ritornando al punto 1;
♫
SE la condizione NON E' VERIFICATA, USCIRE dal ciclo
Osserviamo che:
a) il blocco di istruzioni può anche non essere eseguito neppure una volta;
b) il controllo se la condizione sia verificata o meno avviene all’inizio;
c) l' uscita dal ciclo si ha quando la condizione NON è verificata
NOTA: il blocco si può eventualmente ridurre ad una sola istruzione; in tal caso sono inutili i BEGIN, END
Spesso accade che una stessa iterazione possa essere realizzata, indifferentemente,
sia con una repeat ... until ... che con una while ... do ...
Esempio: L’utente sceglie un numero intero n compreso fra 1 e 100.
La macchina "estrae a sorte”, ripetutamente, un intero x ( 1≤ x ≤ 100);
si contano i "tentativi” che farà la macchina prima di estrarre proprio n.
program computerindovinatucolrepeat;
var n, tent, x: integer;
begin
write (’n= ’); readln (n);
tent:=0;
randomize;
repeat
x:=random(100)+1; writeln (x);
tent:=tent+1;
until x=n;
write (’numero tentativi = ’, tent);
readln;
end.
program computerindovinatucolwhile;
var n, tent, x: integer;
begin
write (’n= ’); readln (n);
randomize;
x:=random(100)+1; writeln (x);
tent:=1;
while x<>n do
begin
x:=random(100)+1; writeln (x);
tent:=tent+1;
end;
write (’numero tentativi = ’, tent);
readln;
end.
192
SCHEMA RIASSUNTIVO
REPEAT
istruzione 1;
istruzione 2;
istruzione 3;
…
UNTIL condizione
WHILE condizione DO
BEGIN
istruzione 1;
istruzione 2;
istruzione 3;
…
END;
a) il blocco delle istruzioni
viene certamente
eseguito almeno una volta
b) controllo condizione alla fine
c) uscita dal ciclo
quando la condizione E’ verificata
a) il blocco delle istruzioni
potrebbe anche
non essere eseguito nemmeno una volta
b) controllo condizione all’inizio
c) uscita dal ciclo
quando la condizione NON E’ verificata
Ecco, infine, qui di seguito un esempio in cui uno stesso problema di programmazione
(calcolo della somma dei quadrati dei primi n interi positivi, con n letto da tastiera)
può essere risolto, indifferentemente, con TUTTE E TRE le strutture iterative studiate.
In questo spazio, per esercizio, puoi fare
la “TRACCIA” del programma, ossia
scrivere come muta il valore delle variabili,
man mano che le istruzioni vengono eseguite
program alfa; var n, i, sommaquadrati: longint;
begin
write (’n= ’); readln(n); sommaquadrati:=0;
for i:=1 to n do
sommaquadrati:=sommaquadrati+i*i;
write (sommaquadrati); readln;
end.
program beta; var n, i, sommaquadrati: longint;
begin
write (’n= ’); readln (n); sommaquadrati:=0;
i:=1;
repeat
sommaquadrati:=sommaquadrati+i*i;
i:=i+1;
until i>n;
write (sommaquadrati); readln;
end.
program gamma; var n, i, sommaquadrati: longint;
begin
write (’n= ’); readln (n); sommaquadrati:=0;
i:=1;
while i<=n do
begin
sommaquadrati:=sommaquadrati+i*i;
i:=i+1;
end;
write (sommaquadrati); readln;
end.
n
i
sommaquadrati
n
i
sommaquadrati
n
i
sommaquadrati
193
LE “SCATOLETTE DI MEMORIA” E LA “TRACCIA”
Una “variabile”, in un linguaggio di programmazione, è un nome il cui ruolo è di identificare una
locazione di memoria nella quale viene immagazzinato un valore (numerico, o anche non numerico)
che può cambiare man mano che le diverse istruzioni del programma vengono eseguite.
Una variabile si può pensare dunque come una “scatoletta” di memoria,
il cui contenuto può, nel corso dell’esecuzione del programma, mutare.
Seguire l’evoluzione delle varie “scatolette di memoria” durante l’esecuzione
( = fare la cosiddetta “TRACCIA” del programma)
è essenziale per comprendere cosa il programma fa veramente, e quindi anche per capire
se davvero realizza l’obiettivo che ci eravamo prefissi scrivendo la sequenza delle istruzioni:
insomma per riconoscere se, scrivendolo, abbiamo fatto degli errori “di sostanza”.
AD ESEMPIO, facciamo la “traccia”, per un dato input, del precedente “program alfa”:
program alfa; var n, i, sommaquadrati: longint;
begin
write (’n= ’); readln (n);
sommaquadrati:=0;
FOR i:=1 to n DO sommaquadrati:=sommaquadrati+i*i;
write (sommaquadrati); readln;
end.
MONITOR
n=4
R
A
M
n 4
i
sommaquadrati 0
MONITOR
n=4
30
1
0 1
1 2
0 1 5
1 2 3
0 1 5 14
1 2 3 4
0 1 5 14 30
ALTRO ESEMPIO di “traccia” di un programma:
programma per il calcolo del Massimo Comun Divisore con l’Algoritmo di Euclide.
(puoi andare a pag. 202 per una spiegazione dettagliata delle basi teoriche del procedimento).
Siano a, b i due interi di cui vogliamo determinare il M.C.D.
Calcoliamo il resto r della divisione intera a : b ,
e a questo punto sostituiamo la coppia ( a , b) con la coppia (b, r ) .
Iteriamo (=ripetiamo) il procedimento per la nuova coppia;
prima o poi, si arriverà al punto in cui il secondo elemento della coppia si annullerà.
Bene, il valore che avrà in quel momento il primo elemento della coppia sarà il M.C.D. cercato.
program euclide; uses crt;
var a, b, r: longint;
BEGIN
clrscr;
write (’a = ’); readln(a);
write (’b = ’); readln(b);
REPEAT
r:=a mod b;
a:=b;
b:=r;
writeln (a, ’ ’, b);
UNTIL b=0;
writeln (’Il MCD è ’, a);
readln;
END.
Lascio a te il compito
di vedere come varia,
istruzione dopo istruzione,
il contenuto delle tre scatolette
a
b
r
per un dato input scelto dall’utente.
DIAGRAMMA DI FLUSSO →
dell’algoritmo;
ricorda che i blocchi
devono aver forma di
OVALE
INIZIO, FINE
PARALLELOGR. INPUT, OUTPUT
RETTANGOLO ELABORAZIONE
ROMBO
SELEZIONE
194
10 - ESERCIZI SULLE STRUTTURE ITERATIVE
Esercizio 9)
Riprendi il programma
program somma_di_un_numero_non_prefissato_di_addendi
(vedi paragrafo precedente)
e ribattezzalo
program prodotto_di_un_numero_non_prefissato_di_fattori
modificandolo affinché esegua, non più la somma, bensì il prodotto dei numeri letti da tastiera.
Esercizio 10)
Realizza un programma (program margherita), che faccia comparire sullo schermo il seguente output:
1 M'AMA
2 NON M'AMA
3 M'AMA
4 NON M'AMA
……
n ...
essendo n un numero (pseudo)casuale compreso fra 1 e 20.
INDICAZIONI
Puoi usare la struttura iterativa che ritieni più opportuna,
ma successivamente ti invito a rifare il programma altre due volte,
utilizzando, come utile esercizio, le due strutture iterative rimanenti.
Ricordiamo che il “test di parità”
si effettua mediante l’operatore MOD (che dà il resto della divisione intera):
if a mod b = 0 significa: “se a è divisibile per b” e perciò:
if x mod 2 = 0 significa: “se x è pari”
if x mod 2 <> 0 oppure if x mod 2 =1 significa: “se x è dispari”
Sarà opportuno inserire un “ritardo” fra un “petalo” e l’altro.
Vedi a questo proposito, al paragrafo 5g, “L’ effetto ritardo”.
Esercizio 11)
Scrivi un programma che, letta da tastiera una sequenza di numeri qualsiasi,
scriva sullo schermo il minimo ed il massimo fra i numeri introdotti.
Per indicare che la sequenza dei numeri in input è terminata, l’utente digiterà il numero 0 (“sentinella”).
Attenzione!
La “sentinella” 0 segnala la fine della sequenza,
ma non fa parte dell’insieme dei numeri di cui si desidera conoscere il massimo e il minimo.
Occhio perciò a metter giù il programma correttamente.
Converrà preliminarmente far leggere il primo numero della sequenza,
per assegnare come valore iniziale a ciascuna delle due variabili
massimoprovvisorio e minimoprovvisorio,
il valore del numero letto.
Esercizio 12)
Scrivi un programma che si occupi di far fare al fratellino piccolo 10 esercizi sulle tabelline
(un po’ come nell’esercizio 3 del paragrafo 6).
Il computer, di fronte ad una risposta sbagliata,
deve continuare a riproporre la stessa moltiplicazione fino a quando il bambino risponde esattamente.
I fattori per ciascun esercizio dovranno essere (pseudo)casuali
(ciascun fattore potrà andare da 0 a 10).
Il programma dovrà anche contare il numero complessivo di risposte sbagliate.
Esercizio 13)
Letto in ingresso un intero n, il programma ne elenca i divisori e li conta,
includendo anche i divisori “impropri” (che sono il numero stesso e l’unità).
195
Esercizio 13’)
Completare il programma precedente, in modo che fornisca in output anche la scritta
IL NUMERO E’ PRIMO oppure IL NUMERO NON E’ PRIMO, a seconda dei casi.
E’ chiaro che la prima circostanza si verifica quando i divisori sono soltanto 2 (l’unità e il numero).
Esercizio 14)
Letto in ingresso un intero positivo n, stabilire se si tratta di un numero primo.
Questa volta, però, ti chiedo di RIDURRE il numero di passi
che la macchina dovrà compiere prima di fornire la risposta.
A tale scopo, non si stanno a individuare e contare tutti i divisori di n;
si prova invece a vedere se n è divisibile per 2, poi per 3, ecc., fermandosi quando
a) si trova un divisore
b) oppure (operatore logico OR) il numero che è “candidato” ad essere un divisore di n
ha già superato sqrt(n), ossia la radice quadrata di n
(infatti si dimostra che, se in tal caso non sono ancora stati trovati divisori propri, n non potrà
avere alcun divisore proprio; i divisori “propri” sono quelli diversi dall’unità e dal numero stesso).
Esercizio 14’)
Integra il programma precedente per far sì che in output venga fornita
la sequenza di tutti i numeri primi non superiori a MAX, essendo MAX un intero letto in ingresso.
Considera la possibilità di mandare i numeri ordinatamente in output senza andare a capo: ad es., se
utilizzi write(x:8) l’intero x verrà scritto sul monitor allineandolo a destra su di un campo di 8 caratteri.
Tieni conto del fatto che ogni riga della finestra FREE PASCAL contiene esattamente 80 caratteri.
Variante: un programma che scriva la sequenza degli interi, coi soli numeri primi colorati in rosso.
Esercizio 15)
PREMESSA Si dice “fattoriale” di un intero n>0, e lo si indica con n! (leggi: “n fattoriale”),
il prodotto dei fattori interi decrescenti da n fino a 1:
n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 . Ad esempio: 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
Scrivi un programma che, letto in input n, calcoli n!
Esercizio 16)
Gara di testa-e-croce.
Ricordiamo che un'istruzione del tipo moneta:=random(2) ha l'effetto di assegnare
alla variabile "moneta" (di tipo intero) il valore 0 oppure il valore 1, in modo (pseudo)casuale.
Se interpretiamo, ad esempio, il valore 0 come "testa" e il valore 1 come "croce",
avremo così "simulato" il lancio di una moneta.
Si lancia dunque per n volte una moneta (con n letto in ingresso)
e si vuole stabilire quante volte è uscita "testa" (cioè, 0) e quante volte "croce" (cioè, 1).
E’ opportuno far sì che la sequenza di “colpi” compaia in output.
Esercizio 17)
Si lancia un dado più volte; ci si ferma dopo che è uscito per esattamente 100 volte il numero 6.
Si vuole sapere quanti lanci sono stati effettuati in totale.
Esercizio 18)
Scrivi un programma che, letti in ingresso due numeri interi a, b, ne calcoli il minimo comune multiplo.
Ci sono diversi modi alternativi per impostare l’algoritmo;
ad esempio, si può calcolare la successione dei multipli di a ( a, 2a, 3a, 4a, ... ), arrestandosi
quando si perviene ad un numero che risulta multiplo anche di b (cioè, che risulta divisibile per b).
Ricorda che in PASCAL l’asterisco di moltiplicazione NON può essere lasciato sottinteso.
Esercizio 19)
Scrivi un programma che, letti in ingresso due numeri interi a, b, ne calcoli il massimo comun divisore.
Puoi utilizzare diversi metodi alternativi, fra cui l’ “algoritmo di Euclide”. Scegli quello che desideri.
Esercizio 20)
Dato un intero n>1, scomporlo in fattori primi.
Esercizio 21)
Letti in input i due termini a, b di una frazione, ridurre la frazione data ai minimi termini.
Ad esempio, se l’input è
180
2
l’output dovrà essere
450
5
196
11 - ESERCIZI VARI
Può darsi che in certi casi tu trovi opportuno tracciare
il diagramma di flusso dell’algoritmo prima di metterti a scrivere il programma;
in tal caso, ricorda la forma che convenzionalmente si assegna ai vari blocchi:
OVALE per INIZIO/FINE; PARALLELOGRAMMO per INPUT/OUTPUT;
RETTANGOLO per ELABORAZIONE; ROMBO per SELEZIONE.
Iniziare o meno col diagramma di flusso
dipende dalla tua volontà, oltre che dal tipo di esercizio.
Esercizio 22)
Si simula ripetutamente il lancio di un dado, mediante l’istruzione x:=random(6)+1,
e ci si arresta non appena esce il numero 6. Quanti “colpi” sono stati effettuati in totale?
Esercizio 23)
PREMESSA
Un intero si dice “perfetto” se è uguale alla somma dei suoi divisori,
inclusa l’unità ma escluso il numero stesso:
ad esempio 28 è un numero perfetto,
perché ha come divisori (a parte sé stesso) 1, 2, 4, 7, 14, e 1+ 2 + 4 + 7 +14 = 28 .
Letto in input un intero n, stabilire se n è un numero “perfetto”.
Esercizio 24)
Elenco dei numeri perfetti ≤ m, con m letto in ingresso.
Esercizio 25)
Elenco degli interi da a fino a b, con a, b letti in input,
coi numeri PRIMI scritti in rosso, i PERFETTI in verde (textcolor).
Utilizza una opportuna “ampiezza” (vedi paragrafo 3) per collocare i numeri ordinatamente sul monitor:
ad es., write(n:10) fa scrivere l’intero n allineato a destra, in un campo la cui ampiezza è di 10 caratteri.
Esercizio 26)
Il computer “inventa” un intero pseudocasuale non superiore a 100
e invita l’utente a indovinarlo, dandogli 7 tentativi al massimo.
Ogni volta che l’utente “tenta”, il computer gli dice
“più alto…” oppure “più basso…” o “giusto!!!” a seconda dei casi.
Il gioco si deve arrestare quando l’utente indovina,
oppure quando sono stati effettuati i 7 tentativi concessi.
Esercizio 27)
Si lancia un dado finché escano due risultati consecutivi uguali,
e si conta il numero di colpi effettuato.
Esercizio 28)
Programma “fuochi_di_artificio”. Output desiderato:
……..BOOM!
…BOOM!
……BOOM!
…
con 10 “esplosioni”
e un numero pseudocasuale di puntini prima di ogni esplosione.
Ci deve essere un ritardo opportuno fra la comparsa di ciascun puntino e il successivo,
nonché fra una riga e la successiva.
Vogliamo far comparire la scritta BOOM! in colore, anch’esso (pseudo)casuale.
Ricordiamo che a tale scopo si ricorre all’istruzione textcolor (n) dove n è il codice del colore desiderato.
Esercizio 29)
Scrivi un programma che, letti in ingresso due interi positivi y, k, calcoli la somma algebrica
1 − y + y 2 − y 3 + ... ± y k
Ad esempio, se y=2 e k=5, l’output dovrà essere il numero –21.
197
Esercizio 30)
PREMESSA: le equazioni di 2° grado
x1,2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
è la FORMULA RISOLUTIVA DELL’EQUAZIONE
ax 2 + bx + c = 0
Esempio di applicazione della formula:
3x 2 + x − 2 = 0
(a = 3, b = 1, c = −2)
2
−1 ± 1 − 4 ⋅ 3 ⋅ ( −2) −1 ± 1 + 24 −1 ± 25 −1 ± 5
=
=
=
=
x1,2 =
2⋅3
6
6
6
−1 − 5
6
= − = −1
6
6
−1 + 5 4 2
= =
6
6 3
La quantità b 2 − 4ac che sta sotto radice quadrata nella formula risolutiva, è chiamata
“delta” o “discriminante” e indicata col simbolo Δ (la lettera greca “delta” maiuscola).
Sono possibili tre casi:
• se Δ > 0 , l’equazione ha due soluzioni distinte
• se Δ = 0 , l’equazione ha una sola soluzione (si può anche dire che ha “due soluzioni coincidenti”)
• se Δ < 0 , l’equazione non ha nessuna soluzione ( = è impossibile)
Scrivi un programma che,
letti in input i 3 coefficienti a, b, c di un’equazione di 2° grado, ne fornisca le soluzioni.
Converrà far calcolare innanzitutto il delta; poi:
if delta > 0 then … ;
if delta = 0 then … ;
if delta < 0 then …
Le variabili a, b, c, delta dovranno essere di tipo real e si vuole l’output in notazione non esponenziale.
Esercizio 31)
a*x+b*y=c,
Scrivi un programma per la
col metodo di Cramer.
risoluzione di un sistema di 1° grado
a1*x+b1*y=c1
L’utente verrà invitato a inserire semplicemente i 6 numeri a, b, c, a1, b1, c1.
Esercizio 32)
Si chiama “successione di Fibonacci” la sequenza 0 1 1 2 3 5 8 13 21 …
costruita nel modo seguente:
• i primi due numeri della sequenza sono 0 e 1 rispettivamente;
• a partire dal terzo, ciascun termine della sequenza è ottenuto sommando i due termini che lo precedono.
Scrivi un programma che, letto in input n, scriva i primi n termini della successione di Fibonacci.
Esercizio 33)
Un metodo per calcolare la radice cubica di un numero, approssimata per difetto a meno di 0.1
(cioè, con la prima cifra decimale esatta), è il seguente:
i) dato il radicando x, si parte da un valore intero y che sia una approssimazione per difetto di
ii) poi si passa a considerare, via via, i numeri y; y+0.1; y+0.2; y+0.3; …
ciascuno di questi numeri viene elevato al cubo, finché il risultato superi x.
Allora il valore cercato sarà il penultimo fra i numeri considerati.
Ad esempio, data l’operazione 3 70 , si partirà da y = 4 e si farà:
43 = 64 < 70 ; poi 4.13 = 68.921 < 70 ; poi 4.23 = 74.088 > 70 ; quindi il valore cercato è 4.1.
Scrivi un programma che, letti in input il radicando x (la variabile x dovrà essere di tipo real)
e un numero intero, fornito dall’utente, che sia approssimazione per difetto di 3 x ,
determini e mandi in output il valore y = 3 x approssimato per difetto a meno di 0.1.
AVVERTENZA (INTERESSANTE):
può darsi che a volte il valore in output non sia quello corretto.
Ad esempio, con x = 125, l’output anziché essere 5.0 potrà essere inaspettatamente 5.1.
Per comprendere il motivo di questo strano fenomeno, vai a rileggere il paragrafo 7b a pag. 187.
3
x;
198
Esercizio 34)
Un intero n letto in input è sottoposto alla seguente procedura:
• lo si fa diventare 3n + 1 se è dispari;
• lo si fa diventare la metà, ossia n div 2 , se è pari.
Il procedimento viene poi iterato sul nuovo numero ottenuto,
fino ad arrestarsi quando si ottenga il valore 1.
Ad esempio, se n = 7 , in questo modo si genera la sequenza:
22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
I numeri con cui si è provato finora ad innescare questa procedura iterativa si sono tutti “abbattuti a 1”
dopo un numero più o meno alto di passi;
la comunità matematica sta tentando di provare che questo “abbattersi a 1”
deve necessariamente aver luogo per ciascun numero intero,
ma fino ad oggi questa congettura non è ancora stata dimostrata.
Scrivi un programma PASCAL che, letto in input un intero n fornito dall’utente,
mandi in output la successione dei numeri che si ottengono sottoponendo n alla procedura descritta.
L’algoritmo si deve arrestare quando n diventa uguale a 1,
e deve contare il numero di passi che sono stati necessari.
Esercizio 35)
Se tre interi a, b, c sono tali che a 2 + b 2 = c 2 ,
allora si dice che a, b, c costituiscono una “terna pitagorica”.
Utilizzando delle strutture FOR … DO … “annidate”,
dovresti riuscire a scrivere un programma che fornisca in output un elenco di terne pitagoriche;
ad es., tutte le terne pitagoriche nelle quali c sia non superiore ad un numero N scelto dall’utente.
Esercizio 36)
Una terna pitagorica si dice “fondamentale”
se i suoi 3 elementi sono numeri primi fra loro ( = privi di divisori comuni).
Ad esempio, la terna (5, 12, 13) è fondamentale, mentre la (6, 8, 10) non lo è.
Modifica il programma precedente in modo che le terne fondamentali
compaiano, nell’elenco, scritte in rosso: textcolor (12).
Tieni conto del fatto che, in una terna (a, b, c) tale che a 2 + b 2 = c 2 ,
i tre numeri a, b, c sono primi fra loro se e solo se sono primi fra loro due qualsiasi di essi
(sapresti giustificare questa affermazione?)
Esercizio 37)
Si lancia n volte una moneta, con n letto in ingresso.
Si vuole stabilire quale è stato il numero massimo di risultati consecutivi uguali.
Ad esempio, se la successione dei lanci è stata
1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1,
la risposta è “4”.
Esercizio 38)
Per noi esseri umani è facile, letto un numero intero a, calcolare quanto vale la somma delle sue cifre.
Ad esempio, se a = 30227 , la somma delle cifre di a è 14.
Non è invece altrettanto immediato far sì che il computer, dopo aver letto da tastiera un intero a
per effetto di un’istruzione read (a) contenuta in un programma PASCAL,
calcoli il valore della somma delle cifre di a.
Voglio dire:
se si comunicano al computer le cifre del numero UNA PER UNA, allora il problema è banale;
ma se invece si digita alla tastiera IL NUMERO a,
e il computer, eseguendo una read (a), lo acquisisce in memoria "tutto in una volta",
allora far calcolare dal computer la somma delle cifre di a è un po’ più complicato.
Ci vuoi provare?
Esercizio 38’)
Esistono dei numeri naturali, non superiori a 10000, che siano uguali al
CUBO DELLA SOMMA DELLE PROPRIE CIFRE?
In caso affermativo, quali e quanti sono?
Scrivi un programma PASCAL che possa fornire la risposta.
199
12 - APPROSSIMAZIONI DI PI GRECO
Se indichiamo con A n la misura del lato del poligono regolare di n lati,
inscritto nella circonferenza di raggio R,
allora si dimostra che la misura del lato del poligono regolare, inscritto
nella stessa circonferenza, ma avente numero di lati DOPPIO, è dato da
A 2n = 2R 2 − R 4R 2 − A n 2
FORMULA A n → A 2n
Poniamo ora per semplicità R=1; la formula diventa
A 2n = 2 − 4 − A n 2
Se partiamo dall’esagono regolare inscritto ( A 6 = 1 : è noto che il lato
dell’esagono regolare inscritto è uguale al raggio della circonferenza),
applicando ripetutamente questa formula potremo calcolare A12 , A 24 , A 48 ...
Osserviamo ora che i perimetri dei corrispondenti poligoni regolari inscritti
costituiscono approssimazioni per difetto, sempre più precise, della lunghezza della circonferenza.
Ma tale lunghezza è data da 2π ⋅ raggio = 2π (ricordiamo che abbiamo preso R=1),
per cui i SEMIperimetri dei poligoni regolari considerati
costituiranno approssimazioni per difetto, sempre più precise, del numero π .
Esercizio 39)
Scrivi un programma Pascal che, a partire dal lato dell’esagono regolare
inscritto nella circonferenza di raggio R=1 ( A 6 = R = 1 ), calcoli successivamente la misura del lato
del poligono regolare inscritto avente: 12, 24, 48, 96, 192 … lati,
e mandi in output tale misura insieme con la misura del SEMIperimetro del poligono corrispondente.
Tali semiperimetri forniranno una successione di approssimazioni via via più precise, del numero π .
Fai in modo che sia l’utente a stabilire il numero di iterazioni.
ALCUNE FAMOSE E BELLE FORMULE PER IL CALCOLO DEL VALORE DI π
1 1
1
1
1
π2
1 1 1 1 1 1 1
π
+
+
+
+
+
...
=
(Eulero)
− + − + − + − ... =
(Leibniz)
6
12 22 32 42 52
1 3 5 7 9 11 13
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
π
−
+
−
+ ... = π − 3
+
+
+
+
+ ... =
1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 4 ⋅ 7 4 ⋅ 5 ⋅ 9
1 ⋅ 3 5 ⋅ 7 9 ⋅11 13 ⋅15 17 ⋅19
8
( Nilakantha)
(conseguenza della precedente)
2 2 4 4 6 6 8 8
π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ... =
(Wallis)
1 3 3 5 5 7 7 9
2
In questa famiglia di formule, si hanno
• delle “somme infinite”
(nel senso di: “somme di infiniti addendi”)
• o dei “prodotti infiniti”
(nel senso di: “prodotti di infiniti fattori”)
e prendendo un certo numero di termini a partire
da quello iniziale (es.: i primi 5, i primi 100 …)
si ottiene un valore approssimato di π ,
con l’approssimazione che diventa via via più precisa
quanto più si fa alto il numero dei termini considerati.
Esercizio 40) - Vedi NOTA qui a fianco
Scrivi un programma Pascal che fornisca
una approssimazione di π
tramite una a tua scelta
delle formule sopra riportate.
Fai in modo che sia l’utente a stabilire
quanti termini utilizzare.
(
12 1 −
)
1
1
1
+ 2 − 3 + ... = π (Madhava)
3⋅3 3 ⋅5 3 ⋅ 7
NOTA (il computer è COSTRETTO ad approssimare)
Un programma Pascal che calcoli il valore dei primi n
termini in queste formule non potrà comunque, se n è
molto alto, fornire il risultato esatto di quel calcolo, ma
soltanto una sua approssimazione. La ragione è che
una variabile numerica occupa in memoria un numero
prefissato di byte (max 8-10) da cui tutta una serie di
possibili errori di overflow, underflow (arrotondamento
a 0 se il valore è troppo piccolo), “cancellazione”.
C’è poi anche il fatto che il computer lavora in sistema
binario, e nella conversione fra il decimale e il binario
può essere costretto ad altre approssimazioni, dato il
numero limitato di bit utilizzabili. Basti pensare che, ad
esempio, il numero che in base dieci si scrive come 0.1
se viene portato in base due diventa periodico:
0.00011001100110011001100...
Questi problemi sono inerenti alla natura stessa del
computer, quindi vanno valutati anche da chi
programmi in un linguaggio diverso dal Pascal.
Vedi Ö per approfondimenti.
200
13 - APPROSSIMAZIONE DELLE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE
COL METODO DI BISEZIONE
Per descrivere questo bellissimo metodo, partiamo da un esempio.
Sia data l’equazione
x3
−
3x −1 = 0
f ( x)
Innanzitutto, localizziamo approssimativamente le radici (NOTA)
col “metodo grafico”.
NOTA: quando si parla di un’equazione, la parola “radici” è sinonimo di “soluzioni”
L’obiettivo è di “separare” le radici,
ossia di determinare, per ciascuna radice,
un intervallo che contenga quella radice e nessun’altra.
Per fare il grafico, sarà conveniente, nel nostro caso,
trasportare qualche termine a secondo membro,
in modo da aver a che fare con funzioni il più possibile facili da disegnare:
x3 = 3N
x +1
N
f1 ( x) f 2 ( x )
Vediamo così (figura qui a fianco) che l’equazione assegnata ha 3 radici:
− 2 < α < −1 ,
−1 < β < 0 ,
1< γ < 2 .
Consideriamo ora una radice, ad esempio γ , e l’intervallo in cui è stata “separata”:
[ a, b ] = [1, 2 ] .
Per la risoluzione grafica, abbiamo portato l’equazione sotto la forma
f1 ( x ) = f 2 ( x )
ma ora dobbiamo tornare a pensare alla forma iniziale
f ( x) = 0 ossia f1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0
Della funzione f ( x ) = x3 − 3 x − 1 noi non abbiamo tracciato il grafico;
tuttavia, il fatto che le due funzioni f1 ( x ), f 2 ( x )
si sono “scavalcate” nell’intervallo [ a, b ] = [1, 2]
ci dice che la loro differenza f1 ( x ) − f 2 ( x ) = f ( x )
passa, al variare di x da a = 1 fino a b = 2 ,
dalla positività alla negatività o viceversa.
In effetti, se calcoliamo f ( a ) e f (b ) , troviamo valori discordi:
= 1 − 3 − 1 = −3 < 0
f ( a ) = f (1) = ⎡ x3 − 3 x − 1⎤
⎣
⎦ x =1
= 8 − 6 −1 = 1 > 0
f (b) = f (2) = ⎡ x 3 − 3 x − 1⎤
⎣
⎦ x =2
La situazione è perciò quella della figura qui a fianco →
E risolvere l’equazione f ( x ) = 0 equivale a chiedersi in quale ascissa avviene
l’attraversamento dell’asse orizzontale, da parte del grafico della f ( x ) .
Cominciamo a chiederci se questo attraversamento dell’asse orizzontale avviene
nella metà sinistra dell’intervallo, oppure nella metà destra.
A questo scopo, troviamo il punto di mezzo dell’intervallo:
a + b 1+ 2 3
m=
=
= = 1.5
2
2
2
e calcoliamo f ( m ) ossia f (1.5 ) .
Avremo f ( m) = f (1.5 ) = f
()()
3
3
=
2
2
3
− 3⋅
3
27 9
27 − 36 − 8
17
−1 =
− −1 =
=−
2
8 2
8
8
201
17
< 0,
8
la situazione sarà quella illustrata dalla figura qui a destra:
poiché f ( m) è concorde con f ( a ) ,
il grafico della f ( x ) attraverserà l’asse orizzontale
NON nell’intervallo [a, m] bensì nell’ALTRO intervallo [ m, b] .
Insomma, semplicemente confrontando il segno di f ( m) con quello di f ( a ) ,
abbiamo stabilito che la soluzione cercata deve trovarsi nell’intervallo
[ m, b ] = [ 1.5; 2 ] .
Ora, essendo −
Schematizzando: dal “vecchio” intervallo [ a , b] si passa al NUOVO intervallo
[ a, m ] se
[ m, b] se
f ( m ) è DISCORDE con f (a ), cioè se f ( m ) ⋅ f (a ) < 0
f ( m ) è CONCORDE con f (a ), cioè se f ( m ) ⋅ f (a ) > 0
Ora iteriamo ( = ripetiamo) il procedimento su questo nuovo intervallo …
… il nuovo intervallo prende il posto del vecchio!
Otterremo così, per dimezzamenti successivi ( = bisezioni) dell’intervallo iniziale,
nuovi intervalli sempre più piccoli i cui estremi forniranno un’approssimazione per difetto e una per eccesso,
della soluzione cercata, via via sempre più precise.
Eccezionalmente (rarissimo), se dovesse capitare di trovare f ( m) = 0 ,
ci imbatteremmo proprio nella soluzione esatta.
Esercizio 41)
Scriviamo un programma Pascal per risolvere, col metodo di bisezione, l’equazione P(x)=0,
essendo P(x) un polinomio di grado non superiore a 5:
P(x) = c0 x5 + c1x4 + c2 x 3 + c3 x 2 + c4 x + c5 .
Innanzitutto stabiliremo, col metodo grafico, quante sono le soluzioni dell’equazione
c0 x 5 + c1x 4 + c 2 x 3 + c3 x 2 + c4 x + c5 = 0
e le localizzeremo approssimativamente.
Dopodiché, individuato un intervallo [a, b] in cui siamo sicuri che cada una e una sola soluzione
della nostra equazione, affideremo ad un programma Pascal il compito di approssimare tale soluzione
con la precisione da noi desiderata (ad esempio, a meno di 0.0001), applicando, appunto,
il metodo di bisezione ( = dimezzamenti successivi dell’intervallo in cui è localizzata la soluzione).
Il programma dovrà:
I) LEGGERE in input
• i 6 coefficienti c0, c1, c2, c3, c4, c5 del polinomio P(x) = c0 x 5 + c1x 4 + c 2 x 3 + c3 x 2 + c 4 x + c5
• gli estremi a, b dell’intervallo in cui l’utente ha “separato” una e una sola radice ( = soluzione)
dell’equazione c0 x 5 + c1x 4 + c 2 x 3 + c3 x 2 + c4 x + c5 = 0
• e la precisione p con la quale l’utente desidera sia approssimata la soluzione in questione
II) CALCOLARE m = (a+b)/2 e poi SOSTITUIRE l’intervallo [a, b]
♪ con l’intervallo [a, m] se P(m) è discorde rispetto a P(a): P(m)*P(a)<0
♫ con l’intervallo [m, b] in caso contrario;
III) ITERARE il procedimento (calcolo di m = (a+b)/2 e sostituzione di [a, b] con [a, m] oppure [m, b] )
FINO A QUANDO
• ci si imbatta nella soluzione esatta (caso rarissimo)
• OPPURE l’intervallo sia diventato tale che la sua ampiezza sia minore o uguale a p.
IV) Nel primo (eccezionale) caso, l’output dovrà essere
LA SOLUZIONE CERCATA E’ …
mentre nel secondo caso dovrà essere
LA SOLUZIONE CERCATA E’ COMPRESA FRA …
Beh, ho detto “scriviamo” … ma il programmatore sei tu.
Buon lavoro!!!
202
14 - LE BASI TEORICHE DELL’ALGORITMO DI EUCLIDE PER IL CALCOLO DEL M.C.D.
Siano a , b due interi, e sia d un loro divisore comune.
Dico che d è pure divisore del resto che si ottiene effettuando la divisione intera a : b .
Infatti:
la divisione intera a : b produce
un “quoziente intero” q e un resto r ( r < b) ,
legati dalla relazione a = q ⋅ b + r .
Ma se d è un divisore comune per a e b ,
allora d è contenuto
un “numero esatto” di volte sia in a che in b ,
e ciò implica che sia contenuto
un numero esatto di volte pure in r , perché
a = md (m intero)
b = nd (n intero)
IMPLICA
r = a − q ⋅ b = md − qnd = ( m − qn ) d
intero
Per capire meglio, vediamo un esempio specifico.
a = 186, b = 24, d = 6.
6 è divisore comune per 186 e 24.
Mi aspetto dunque che 6 sia pure divisore
del resto che si ottiene
facendo la divisione intera 186 : 24. Vediamo.
186 : 24 = 7 col resto di 18 (186 = 7 ⋅ 24 + 18 ) .
In effetti, 6 è divisore di 18!
E d ' altronde : dato che 6 è contenuto
− un numero esatto di volte nel 186 (31 volte),
− e un numero esatto di volte nel 24 (4 volte)
PER FORZA 6 doveva essere contenuto un numero
esatto di volte nel resto della divisione 186 : 24,
come spiega la catena
18 = 186
= 31 ⋅ 6 − 28 ⋅ 6 = 3O ⋅ 6
− 7 ⋅ 24
intero
4⋅6
31 ⋅ 6
Siano a , b due numeri interi, e sia d un intero, che risulti divisore comune
a uno di questi due numeri (ad esempio, b ) e al resto della divisione intera a : b .
Dico che d è pure divisore dell’altro numero.
La giustificazione generale
è analoga alla precedente.
Anche qui, un esempio gioverà alla comprensione.
a = 68, b = 20
68 : 20 = 3 col resto r = 8 ( 68 = 3 ⋅ 20 + 8 )
d = 4 è divisore comune per b ed r :
è contenuto un numero esatto di volte in b = 20 (5 volte),
e un numero esatto di volte in r = 8 (2 volte)
68 = 3 ⋅ 20
+ 8O = 15 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 = 17
⋅ 4
intero
5⋅4 2⋅4
d = 4 è contenuto un numero esatto di volte in a = 68
Ricapitoliamo.
Ci sono tre interi in gioco, che sono a , b, ed r ( resto di a : b ) .
Abbiamo scoperto che se d è divisore di DUE fra i tre interi considerati,
allora sarà necessariamente divisore anche del terzo.
Dal discorso fatto, ci interessa trarre quanto segue.
Detti a , b due interi, e detto r il resto della divisione intera a : b , allora:
• se d è divisore comune per a , b , allora d è pure divisore comune per b, r
• se d è divisore comune per b, r , allora d è pure divisore comune per a , b
per cui
l’insieme dei divisori comuni della coppia a , b
coincide con l’insieme dei divisori comuni della coppia b, r
quindi si ha pure
M.C.D. ( a , b ) = M.C.D. ( b, r )
Il vantaggio di tutto ciò sta nel fatto che
il calcolo di M.C.D. ( a , b )
può essere sostituito da quello di M.C.D. ( b, r )
che è più facile perché più piccoli sono i numeri in gioco.
E’ sulla base di queste considerazioni che “funziona”
l’ ALGORITMO DI EUCLIDE per la ricerca del M.C.D.
di cui ci siamo occupati alle pagine precedenti.
203
CALCOLO COMBINATORIO
1 - STRATEGIE DI PENSIERO
1.1 - Premessa
Per "calcolo combinatorio" (C.C.) si intende una branca della matematica che studia
i modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato,
con l'obiettivo finale di contare il numero dei possibili raggruppamenti od ordinamenti.
Il C.C. ha fama, presso gli studenti, di essere piuttosto antipatico e “indigesto”.
Perché mai?
A mio avviso, il motivo sta nel fatto che di norma i libri di testo, nel presentarlo,
passano con fretta eccessiva alla trattazione astratta, alla terminologia specifica, alle formule!
Qui si tenterà invece di dare un’introduzione AMICHEVOLE e per quanto possibile rassicurante del C.C.
• In questo paragrafo 1 faremo pochissima teoria e molti esercizi. Utilizzando solamente
♪ un metodo grafico
(il "grafo ad albero", detto anche "diagramma ad albero" o semplicemente "albero")
♫ e tre "principi generali",
saremo in grado,
senza pensare a formule precostituite e senza aver adottato una terminologia particolare,
di risolvere problemi apparentemente complicati - ma, in genere, curiosi e divertenti.
• In tal modo, quando poi nel paragrafo 2 si passerà alle generalizzazioni e alle formule,
il discorso dovrebbe risultare molto più chiaro e comprensibile.
• I paragrafi 3 e 4 metteranno a fuoco un gruppetto di regole interessanti
e si occuperanno di alcuni argomenti complementari.
•
E il conclusivo paragrafo 5 presenterà una bella e varia raccolta di esercizi.
Nel successivo capitolo sul Calcolo delle Probabilità, inoltre,
verrà frequentemente riutilizzato il Calcolo Combinatorio.
In particolare, saranno trattati in quella sede i grandi “giochi iniqui” del Lotto e del Superenalotto.
Immagine dal sito http://www.numericana.com
Immagine dal sito http://faculties.sbu.ac.ir
204
1.2 - Il “primo principio” del C.C.
Problema 1
Quante parole (anche prive di senso: insomma, quante “sequenze”, quante “stringhe”)
di 3 lettere possono essere composte utilizzando solo le cinque vocali? (es.: aoe, iii, uaa ...)
Per rispondere a questa domanda, e soprattutto per acquisire un metodo di ragionamento che ci servirà in tanti
altri problemi di questo tipo, immaginiamo di SCRIVERE effettivamente tutte queste stringhe di tre lettere.
Scriviamole, poi le conteremo.
Evidentemente, per evitare confusione, omissioni o ripetizioni, dovremo seguire un certo ordine, un certo schema
nel "mettere giù" tutte queste stringhe. Per esempio, potremmo stilare un "grafo ad albero" come il seguente:
“Stringa” significa:
“sequenza di caratteri”
Nel tracciare il grafo, si deve considerare innanzitutto il ventaglio di opzioni che si apre per la prima lettera.
Per la prima lettera si hanno 5 possibilità che sono quelle elencate in prima colonna (a, e, i, o, u).
Poi, ad ognuna di queste 5 possibilità,
si possono abbinare 5 possibilità per la seconda lettera della parola.
In totale, per le prime due lettere, abbiamo 5 ⋅ 5 = 25 possibilità (aa, ae, ai, ao, au; ea, …)
E per ognuna di queste 5 ⋅ 5 possibilità per le prime due lettere,
si aprirà un ventaglio di 5 possibilità per la terza lettera,
per cui in definitiva avremo 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 possibilità (aaa, aae, aai, …)
Risposta: le stringhe di 3 lettere costruibili utilizzando solo le vocali sono 125.
205
Problema 2
Quante sono le stringhe di 7 lettere costruibili utilizzando tutte le 21 lettere dell'alfabeto italiano?
Pensiamo ancora ad un "albero" come il precedente.
Ovviamente, non staremo a completarlo!
Vogliamo solo fissare bene in mente le modalità con cui il diagramma potrebbe,
avendo tempo e pazienza, essere compilato.
[grafo ad albero (non è qui, ma è nella tua mente… )]
Risposta:
le stringhe di 7 lettere che si possono costruire con le 21 lettere dell'alfabeto italiano sono 217
(se calcoli questo numero con la macchinetta, troverai che supera 1 miliardo e 800 milioni).
Problema 3
Quante stringhe di 3 lettere possono essere scritte utilizzando solo le cinque vocali,
ma senza ripetizione?
(es.: aoe, uao, aei, … MA NON iii, uaa, eie, …)
E' chiaro che l'albero relativo al problema 1) si modificherà perdendo qualche ramo;
immagina di tracciare il nuovo albero, o, meglio, traccialo realmente, sul tuo quaderno!
Risposta: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
Ricapitoliamo il ragionamento:
abbiamo 5 possibilità per la prima lettera della stringa;
a ciascuna di queste 5 possibilità sono abbinate 4 possibilità per la seconda lettera
(quindi, per le prime due lettere abbiamo 5 ⋅ 4 possibilità);
e per ciascuna di queste 5 ⋅ 4 possibilità si apre un ventaglio di 3 possibilità per la terza lettera.
In definitiva, abbiamo 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 possibili stringhe.
Problema 4
Quante sono le stringhe di 7 lettere costruibili utilizzando tutte le 21 lettere dell'alfabeto italiano,
ma “senza ripetizione”,
cioè col vincolo di non utilizzare una lettera più di una volta nella stessa stringa?
Risposta: 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15
Problema 4'
Quante sono le stringhe di 7 lettere costruibili utilizzando tutte le 21 lettere dell'alfabeto italiano,
ma “senza consecutività”?
(Quindi, “abbcdef” sarebbe vietata, ma andrebbe invece bene “abababa”)
Risposta: 21 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20
La risoluzione "col metodo del diagramma ad albero" dei problemi 1) ... 4') mostra che vale il seguente
PRIMO PRINCIPIO GENERALE DEL CALCOLO COMBINATORIO
Se una scelta può essere fatta in r modi diversi,
per ognuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi
e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte,
una terza scelta può essere effettuata in t modi diversi
ecc.,
allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in
r ⋅ s ⋅ t ⋅ ...
modi diversi
(traduzione dal testo americano "Introduction to Finite Maths" di Kemeny-Snell-Thompson)
206
1.3 - Esercizi sul “primo principio” (risposte alla fine)
5) In una compagnia di quattro amici (Mario, Paolo, Roberto, Walter) bisogna scegliere un capo e un vice.
In quanti modi può essere effettuata la scelta?
Obbligatorio tracciare il diagramma ad albero (per brevità, usare solo le iniziali dei nomi!)
6) Per andare da una città A ad una città B ci sono quattro strade diverse.
In quanti modi è possibile "fare un giro" da A fino a B e ritorno?
E se al ritorno non si vuole ripercorrere la stessa strada dell'andata?
Obbligatorio un diagramma, per ciascuno dei due casi.
7) In un'urna ci sono quattro palline, contrassegnate coi numeri 1, 2, 3, 4.
Se si effettuano tre estrazioni, quanti sono gli esiti possibili, tenendo conto dell’ordine con cui vengono
estratte le palline? (nel senso che, ad es., l’esito 1-2-3 sarà considerato distinto dall’esito 2-1-3)
Considerare separatamente i due casi:
a) dopo aver estratto una pallina, la si reintroduce (si dice: "la si reimbussola") nell'urna
prima di effettuare l'estrazione successiva
b) le estrazioni avvengono una dopo l'altra, ma senza reimbussolamento.
Obbligatorio il diagramma ad albero, sia per il caso a) che per il caso b).
8) In un plotone di 25 militari bisogna scegliere:
a) un addetto alle pulizie b) un addetto alle cucine
In quanti modi è possibile effettuare la scelta?
c) un soldato che monti di sentinella.
9) Un ladro è venuto a sapere che la combinazione di una cassaforte
• è formata da 5 cifre
• non contiene né la cifra 9 né la cifra 8
• non inizia con 0.
Quanti tentativi dovrebbe fare al massimo per esser certo di riuscire ad aprire la cassaforte?
10) Per giocare al “Totocalcio” bisogna scegliere un pronostico (che può essere 1, X o 2)
per ciascuna delle 14 partite sulla schedina. Quante schedine diverse è possibile, teoricamente, compilare?
11) La moglie di un carcerato, per poter parlare col marito anche al di fuori delle ore di colloquio coi parenti,
ha concordato con lui un codice basato sull'uso di quattro bandierine:
una Italiana, una Francese, una Americana e una del WWF.
Un messaggio può consistere nell'esposizione di una singola bandierina,
oppure di due, o tre, o tutte e quattro le bandierine.
Nel caso il messaggio sia costituito da più bandierine, conta anche l'ordine in cui queste si susseguono
da sinistra a destra. Si domanda: quanti messaggi è possibile trasmettere con queste modalità?
12) Sappiamo che in ogni computer la memoria è costituita da tanti "bit",
essendo un "bit" un dispositivo fisico che può assumere due stati differenti.
Indicati convenzionalmente con "0" e "1" tali due stati fisici, diremo, in sostanza,
che un bit è un "qualcosa" che può assumere, di volta in volta, o il valore "0" o il valore "1".
Una sequenza di 8 bit forma il cosiddetto "byte". Ad esempio, 01110110 è un "byte".
a) Quante diverse "informazioni" può contenere un byte?
b) E quante informazioni diverse si potranno memorizzare in una sequenza di 10 byte?
Tenendo conto che 210 = 1024 ≈ 1000, dai un'approssimazione per difetto del numero trovato.
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
5) 4 ⋅ 3 = 12 modi
6) 4 ⋅ 4 = 16 modi;
se però al ritorno non si vuole fare la stessa strada dell’andata, i modi possibili si riducono a 4 ⋅ 3 = 12
7a) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64
7b) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24
8) 25 ⋅ 24 ⋅ 23
11) 4 messaggi con una sola bandierina;
4 ⋅ 3 = 12 messaggi con 2 bandierine;
4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 messaggi con 3 bandierine;
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 messaggi con 4 bandierine.
Totale 4+12+24+24 = 64 possibili messaggi.
12) a) 28 = 256
9) 7 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 28672
10) 314 = 4782969
b) 280 = ( 210 ) = 10248 > 10008 = (103 ) = 1024 = 1 milione di miliardi di miliardi
8
8
207
1.4 - Il “secondo principio” del C.C.
Consideriamo ora il seguente
Problema 13
Se 6 persone si vogliono mettere in fila da sinistra a destra (rispetto al fotografo)
per una foto di gruppo, in quanti modi diversi possono farlo?
Formulazione equivalente:
se 6 persone arrivano contemporaneamente ad uno sportello,
in quanti modi diversi possono mettersi in coda?
Facile:
per scegliere il primo elemento della fila (o della coda), abbiamo 6 possibilità;
in corrispondenza di ciascuna di queste 6 possibilità, abbiamo 5 possibilità per il 2° elemento;
abbinate a queste 6 ⋅ 5 possibilità abbiamo 4 possibilità per il terzo elemento;
per ciascuna di queste 6 ⋅ 5 ⋅ 4 possibilità abbiamo 3 possibilità per il quarto elemento ecc ...
Risposta:
In totale, le 6 persone possono mettersi in fila (o in coda) in
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6! (leggi: "6 fattoriale") modi diversi.
SECONDO PRINCIPIO GENERALE DEL C.C.
(CONSEGUENZA DEL PRIMO)
Dati n oggetti, essi si possono “mettere in fila”
(o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”)
in
n! (leggi: “n fattoriale”)
modi diversi,
dove il simbolo n!
indica il numero
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 .
Infatti,
per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n possibilità;
a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate
(n−1) possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila;
ad ognuna delle n ⋅ ( n − 1) possibilità per i primi due oggetti
corrispondono (n−2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della fila;
... ;
in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati
( = messi in fila, o in coda, o in colonna)
in
(
)
(
n ⋅ n − 1 ⋅ n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
modi diversi.
Problema 14
Quanti sono i possibili anagrammi della parola "mora"
(contando anche quelli che non hanno significato nella lingua italiana)?
Obbligatorio il grafo ad albero.
Risposta:
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4!
208
1.5 - n-uple ordinate e n-uple non ordinate
In tutti i problemi precedentemente considerati si trattava, in sostanza,
di "pescare" da un insieme per "costruire" delle "sequenze di n elementi"
(in una parola: "n-uple")
con l'obiettivo finale di contare il numero di tali n-uple.
Le n-uple andavano pensate "ordinate",
nel senso che occorreva tenere conto dell'ordine con cui gli elementi di una data n-upla si succedevano,
in quanto due n-uple costituite dagli stessi elementi, ma posti in ordine diverso, andavano considerate distinte.
Abbiamo dunque avuto a che fare con coppie ORDINATE, con terne ORDINATE, quaterne ORDINATE, ecc.
Ad esempio:
nel problema 1) andavano considerate distinte le due stringhe aio e oai, ossia le due terne (a, i, o) e (o, a, i);
nell'esercizio 11) andavano considerati distinti i due messaggi AF ed FA, ossia le due coppie (A, F) ed (F, A).
Una sequenza di n elementi si dice, genericamente, n-upla (leggi: “ennupla”)
(per n=2 si parlerà di "coppia", per n=3 di "terna", per n=4 di "quaterna",
per n=5 di "cinquina", per n=6 di "sestina", per n>6 di "sequenza di 7, 8, 9, ... elementi").
Quando in un'n-upla consideriamo "importante" l'ordine in cui gli elementi si susseguono,
parleremo di n-upla "ordinata", e la indicheremo con parentesi tonde:
( x1 , x2 , ... , xn ) .
Quando consideriamo irrilevante l’ordine, parleremo di n-upla "non ordinata" e useremo le graffe:
{x1 , x 2 , ... , xn } .
Per evitare equivoci, ribadiamo:
♪ Due n-uple ordinate vengono considerate distinte anche se hanno gli stessi elementi,
qualora l'ordine di tali elementi cambi dall'una all'altra: (a, o, i) ≠ (a, i, o)
E per indicare che un’n-upla va pensata ORDINATA, si utilizzano le parentesi TONDE.
♫ Invece se due n-uple NON ORDINATE contengono gli stessi elementi,
vengono considerate come un'unica n-upla,
indipendentemente dall'ordine nel quale sono stati scritti gli elementi stessi,
in quanto quest'ordine viene pensato come irrilevante: {a, o, i} = {a, i, o}
E per indicare che un’n-upla va pensata NON ORDINATA,
si utilizzano le parentesi GRAFFE, ovvero l’ordinario simbolo per indicare un insieme:
si sa che in un insieme non conta l’ordine nel quale si sceglie di elencare gli elementi.
1.6 - Il “terzo principio” del C.C.
Problema 15
Una compagnia di 5 ragazzi, Aldo (A), Bruno (B), Carlo (C), Dario (D) ed Ernesto (E),
deve passare una notte in una stanza in cui ci sono solo 2 letti.
In quanti modi è possibile scegliere i due ragazzi che dormiranno nei letti?
(gli altri tre si accontenteranno del sacco a pelo ...)
E' chiaro che in questo caso si tratta di contare il numero di coppie NON ordinate
che è possibile costruire "pescando" dall'insieme {A, B, C, D, E}.
Coppie NON ordinate, perché evidentemente
la scelta {C, E} e la scelta {E, C} andranno considerate "equivalenti", "non distinte",
andranno "contate come una scelta sola"
(supponiamo che i due letti siano identici e non siano uno più comodo dell'altro).
Per risolvere questo facile problema, e, soprattutto, per iniziare a familiarizzare con una "strategia di pensiero"
che ci servirà ogniqualvolta avremo a che fare con "n-uple non ordinate", procediamo nel modo che segue.
Facciamo (o immaginiamo di fare) un grafo che porti a costruire tutte le possibili coppie ORDINATE di ragazzi;
poi, prese due coppie ordinate "equivalenti"
(perché contenenti gli stessi due ragazzi, ma in ordine scambiato),
"le inglobiamo in una sola", "le consideriamo come se fossero una sola".
E' chiaro che il numero di scelte possibili sarà dato da (5 ⋅ 4) / 2 = 10 .
Il "fratto 2" si deve al fatto che "di due coppie equivalenti ne facciamo una sola".
Consideriamo ora quest’altro problema:
209
Problema 16
Supponendo che i ragazzi del problema precedente siano 7 (A, B, C, D, E, F, G)
e i letti 3, in quanti modi può essere effettuata la scelta?
Evidentemente, basterà pensare a tutte le terne ORDINATE di ragazzi,
poi raggruppare le terne equivalenti (=contenenti gli stessi elementi),
perché se più terne contengono gli stessi elementi, noi ne vogliamo "fare una sola".
Ma, presa una terna ordinata, ad esempio: la terna (A, D, E), QUANTE SONO le terne equivalenti ad essa?
Sono tante quanti sono i modi di mettere in fila 3 oggetti fissati, ossia sono 6
(comprendendo anche la terna di partenza): (A, D, E); (A, E, D); (D, A, E); (D, E, A); (E, A, D); (E, D, A).
Pertanto la risposta al problema è il numero (7 ⋅ 6 ⋅ 5) / 6 = 35 .
( ABC ) ( ABD ) ( ABE ) ( ABF ) ( ABG ) ( ACB ) ( ACD ) ( ACE ) ( ACF ) ( ACG ) ( ADB ) ( ADC ) ( ADE ) ( ADF ) ( ADG )
( AEB ) ( AEC ) ( AED ) ( AEF ) ( AEG ) ( AFB ) ( AFC ) ( AFD ) ( AFE ) ( AFG ) ( AGB ) ( AGC ) ( AGD ) ( AGE ) ( AGF )
( BAC ) ( BAD ) ( BAE ) ( BAF ) ( BAG ) ( BCA ) ( BCD ) ( BCE ) ( BCF ) ( BCG ) ( BDA ) ( BDC ) ( BDE ) ( BDF ) ( BDG )
( BEA ) ( BEC ) ( BED ) ( BEF ) ( BEG ) ( BFA ) ( BFC ) ( BFD ) ( BFE ) ( BFG ) ( BGA ) ( BGC ) ( BGD ) ( BGE ) ( BGF )
( CAB ) (CAD) (CAE) (CAF) (CAG) (CBA) (CBD) (CBE) (CBF) (CBG) (CDA) (CDB) (CDE) (CDF) (CDG)
(CEA) (CEB) (CED) (CEF) (CEG) (CFA) (CFB) (CFD) (CFE) (CFG) (CGA) (CGB) (CGD) (CGE) (CGF)
(DAB) (DAC) (DAE) (DAF) (DAG) (DBA) (DBC) (DBE) (DBF) (DBG) (DCA) (DCB) (DCE) (DCF) (DCG)
(DEA) (DEB) (DEC) (DEF) (DEG) (DFA) (DFB) (DFC) (DFE) (DFG) (DGA) (DGB) (DGC) (DGE) (DGF)
(EAB) (EAC) (EAD) (EAF) (EAG) (EBA) (EBC) (EBD) (EBF) (EBG) (ECA) (ECB) (ECD) (ECF) (ECG)
(EDA) (EDB) (EDC) (EDF) (EDG) (EFA) (EFB) (EFC) (EFD) (EFG) (EGA) (EGB) (EGC) (EGD) (EGF)
(FAB) (FAC) (FAD) (FAE) (FAG) (FBA) (FBC) (FBD) (FBE) (FBG) (FCA) (FCB) (FCD) (FCE) (FCG)
(FDA) (FDB) (FDC) (FDE) (FDG) (FEA) (FEB) (FEC) (FED) (FEG) (FGA) (FGB) (FGC) (FGD) (FGE)
(GAB) (GAC) (GAD) (GAE) (GAF) (GBA) (GBC) (GBD) (GBE) (GBF) (GCA) (GCB) (GCD) (GCE) (GCF)
(GDA) (GDB) (GDC) (GDE) (GDF) (GEA) (GEB) (GEC) (GED) (GEF) (GFA) (GFB) (GFC) (GFD) (GFE)
Ricapitoliamo il ragionamento. Qui sopra sono elencate tutte le possibili terne ordinate.
Presa una terna ordinata, essa fa parte di una famiglia di 6 terne ordinate "equivalenti" fra loro
(perché contengono gli stessi elementi, se pure in ordine diverso).
Le terne ordinate equivalenti vengono "contate come una terna sola".
Il totale di 7 ⋅ 6 ⋅ 5 terne ordinate viene così diviso per 6. Quindi, se ci sono 7 ragazzi,
la scelta di quei 3 che dormiranno nei letti potrà essere effettuata in (7 ⋅ 6 ⋅ 5) / 6 = 35 modi.
Problema 17
In una fabbrica con 25 operai, se ne devono sorteggiare 6 per la pulizia dello stabilimento.
Quanti sono i possibili esiti del sorteggio?
Ragioniamo dapprima sulle sestuple ordinate. Queste sono 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 .
Te le immagini, queste sestuple ordinate, tutte scritte una dopo l'altra? Sono veramente tantissime!
Bene. Noi però vogliamo "raggruppare" tutte le sestuple "equivalenti"
(cioè, contenenti gli stessi operai, se pure in ordine diverso) per "farne una sola",
per "farne un gruppo che verrà contato come un'unica sestupla".
MA DATA UNA SESTUPLA, QUANTE SONO LE SESTUPLE ORDINATE
AD ESSA EQUIVALENTI (COMPRESA QUELLA DI PARTENZA)?
EVIDENTEMENTE, SONO TANTE QUANTI I MODI CON CUI, DATI 6 OGGETTI,
QUESTI POSSONO ESSERE ORDINATI (=MESSI IN FILA, O IN CODA).
E il Secondo Principio del Calcolo Combinatorio ci dice che ciò può avvenire in
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6! (leggi: "6 fattoriale") modi diversi.
Pertanto, fissata una sestupla ordinata, essa fa parte di un gruppo di 6! sestuple equivalenti.
Il lungo elenco delle 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 sestuple ordinate di operai può essere così suddiviso in gruppi
ciascuno dei quali contiene 6! sestuple. Ogni gruppo verrà contato come una sola sestupla non ordinata,
25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20
per cui il numero delle sestuple non ordinate di operai sarà
6!
TERZO PRINCIPIO GENERALE DEL C.C. (CONSEGUENZA DEL PRIMO E DEL SECONDO)
Se in un certo problema noi abbiamo considerato inizialmente tutte le n-uple ordinate,
ma in realtà ci interessano le n-uple NON ordinate,
dobbiamo pensare il nostro elenco di n-uple ordinate ripartito in tanti gruppi,
avendo noi posto in ciascun gruppo tutte le n-uple "equivalenti" ad un'n-upla data
(cioè, contenenti gli stessi elementi, se pure in ordine diverso).
Abbiamo così tanti gruppi, ciascuno formato da n! n-uple, e ciascun gruppo va contato
"come se si trattasse di una sola n-upla".
E' chiaro allora che il numero totale delle n-uple ordinate andrà diviso per n!
210
1.7 - Esercizi (risposte alle pagine successive)
18) Una cartoleria ha in vendita 32 biglietti d’auguri tutti differenti, e io devo comprarne 5.
In quanti modi diversi posso effettuare la scelta?
19) In una compagnia di 20 bambini, per carnevale 18 indosseranno costumi da animaletti.
In quanti modi è possibile scegliere quei 18? (pssst: … ragiona da “furbo”!)
20) Quanti sottoinsiemi di 5 elementi contiene un insieme di 10 elementi?
21) Con 9 numeri fissati, possiamo costruire molte "quaterne" e molte "cinquine" .
Pensiamo sia le une che le altre "non ordinate".
a) Sono più numerose le quaterne o le cinquine?
b) E se si pensasse a quaterne e cinquine ordinate?
In questo caso, sarebbero più numerose le quaterne o le cinquine?
22) I) 30 secondi di tempo per dire quante cinquine non ordinate è possibile formare con 6 numeri.
II) Altri 30 secondi per dire quante cinquine ordinate.
23) Dal mio guardaroba di 10 magliette e 8 paia di pantaloni voglio scegliere
3 magliette e altrettante paia di pantaloni per andare in ferie.
In quanti modi diversi posso effettuare la scelta?
24) In una classe di 28 allieve, tutte belle, intelligenti e sportive, bisogna scegliere:
• due rappresentanti di classe;
• una "miss";
• 7 ragazze per la squadra di calcetto femminile.
Stabilire in quanti modi diversi si può effettuare questa scelta
a) se gli incarichi sono incompatibili
b) se gli incarichi sono compatibili
25) Riprendiamo la situazione considerata nel problema 7).
In un'urna ci sono quattro palline, contrassegnate coi numeri 1, 2, 3, 4.
Supponiamo di estrarne 3, ma questa volta CONTEMPORANEAMENTE,
sicché non teniamo più conto dell'ordine di estrazione, ma soltanto di quali palline sono state estratte.
Quanti sono gli esiti possibili di questa estrazione?
26) In un mazzo da scopa ci sono 40 carte. Si mischia.
In quanti possibili ordini diversi possono comparire le carte dopo la mischiata?
27) Se si effettuano 4 lanci di una moneta, quanti sono gli esiti possibili della sequenza di lanci,
tenendo conto anche dell’ordine di uscita delle Teste e delle Croci?
E' richiesto di tracciare il diagramma ad albero.
28) Devo distribuire a 10 bambini 5 mele, 2 banane e 3 pesche, ovviamente un frutto per ciascuno.
In quanti modi diversi posso effettuare la distribuzione?
29) Una ragazza possiede tre astucci di smalto per le unghie, di tre colori differenti.
In quanti modi può tingersi le unghie delle mani,
se vuole fare in modo che ciascun' unghia sia colorata in tinta unita
e non ci siano più di due colori diversi su ciascuna mano?
[E’ una libera traduzione da "Introduction to Finite Maths". Testo originale:
“A young lady has three shades of nail polish to paint her fingernails.
In how many ways can she do this – each nail being one solid color –
if there are no more than two different shades on each hand?”]
30) Dimostra che a Perugia risiedono sicuramente almeno due persone con le stesse iniziali.
31) Ecco un esercizio che richiede tipicamente un diagramma ad albero.
7 persone (3 uomini e 4 donne) desiderano entrare a far parte di un "club" molto esclusivo. La direzione
del "club" acconsente, a patto però di iscrivere soltanto una persona al mese, e soprattutto in modo tale che,
fra i "nuovi acquisti" da quel momento in poi, si contino in totale sempre più donne che uomini.
In quanti modi diversi può avvenire la successione dei sessi nelle iscrizioni?
211
32) In una piccola sala d’aspetto c'è una fila di 5 poltrone.
Se il ragionier Bianchi, la signorina Rossi e il dottor Verdi vogliono sedersi,
in quanti modi diversi si possono disporre?
33) Stabilire in quanti modi possono disporsi, su di una fila di 4 sedie:
I) 1 persona
II) 2 persone
III) 3 persone
IV) 4 persone
V) 5 persone (s'intende, una resterà in piedi)
VI) 6 persone (due forzatamente resteranno in piedi)
OSSERVAZIONE: s’intende di considerare distinte fra loro anche due situazioni nelle quali,
pur essendo le persone che si siedono e le sedie occupate le medesime,
la collocazione delle persone sulle sedie sia differente.
INDICAZIONE:
qualora le persone siano più nelle sedie, uno dei modi per ragionare
(non l’unico: provaci anche diversamente!)
è di immaginare che siano ... le sedie a scegliere le persone.
Così, nel caso V), indicate con 1, 2, 3 e 4 le sedie e con A, B, C, D, E le persone,
diciamo che la sedia 1 ha 5 possibilità di scelta;
in corrispondenza di ciascuna di queste 5 possibilità
ci sono 4 possibilità di scelta per la sedia 2 ecc.
33') Stabilire in quanti modi possono disporsi, su di una fila di k sedie, n persone, distinguendo i casi:
I) n < k
II) n = k
III) n > k
34) Quante sono le possibili schedine di totocalcio (14 partite) con esattamente
5 pronostici "1", 8 pronostici "X" e 1 pronostico "2"?
35)
I) 9 persone vogliono mettersi in fila per una foto di gruppo. In quanti modi diversi si possono disporre?
II) Se vogliono invece fare due file (5 persone accovacciate davanti, le altre 4 in piedi in seconda fila)
il numero delle possibili disposizioni cambia?
III) Se si tratta di 5 maschi e 4 femmine,
coi maschi accovacciati in prima fila e le femmine in piedi in seconda fila,
quante sono le possibili disposizioni? Aumentano o diminuiscono rispetto al caso I) ?
36) Un Liceo prevede per ciascuno studente l’obbligo di iscriversi
ad un minimo di 1 e un massimo di 2 fra 7 gruppi sportivi
(Pallavolo, Calcetto, Atletica, Ginnastica, Nuoto, Ballo, Tiro con l'arco).
I) Se tu sei uno studente di quel Liceo, quante scelte hai teoricamente a disposizione?
II) Se Nuoto e Tiro con l'Arco si svolgono contemporaneamente,
così da non poter essere scelte entrambe dallo stesso studente,
quante risultano le tue possibilità di scelta?
37)
I) Con 5 tessere rettangolari, recanti rispettivamente le 5 lettere A, B, C, D, E,
quante sequenze diverse si possono costruire?
II) E se le 5 tessere recano le lettere A, A, C, D, E, quante sequenze diverse si possono costruire con esse?
III) Rispondere al medesimo quesito nel caso le tessere rechino le lettere A, A, C, C, C
IV) Rispondere al medesimo quesito nel caso le tessere rechino le lettere A, A, C, C, E
38) Le pareti della mia cucina sono ricoperte da 800 piastrelle.
Volendo dipingere esattamente 50 piastrelle in giallo, 100 in rosso e 200 in blu,
lasciando bianche le rimanenti, in quanti modi sarebbe possibile effettuare il lavoro?
39) Nella mia libreria ho: 10 libri di Storia, 6 libri sugli Animali e 7 libri di Matematica. Voglio allinearli
su di uno scaffale, in modo però che i libri di una medesima materia siano tutti vicini fra loro.
In quanti modi diversi posso ordinare i miei 23 libri?
212
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
18) (32 ⋅ 31 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 28) / 5! = 201376
19) In tanti modi, quanti sono i modi con cui è possibile escluderne 2. Quindi: (20 ⋅ 19) / 2 = 190
20) (10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6) / 5! = 252
21a) Sono tante le quaterne non ordinate, quante le cinquine non ordinate.
Infatti, ad ogni quaterna possiamo associare biunivocamente una cinquina (quella dei 5 numeri rimanenti).
Verifica algebrica: n° quaterne non ordinate = (9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6) / 4! = 126
n° cinquine non ordinate = (9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5) / 5! = 126
21b) Sono di più le cinquine ordinate delle quaterne ordinate.
n° quaterne ordinate = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024
n° cinquine ordinate = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 15120
22) I) 6 cinquine non ordinate
(tante quanti sono i modi in cui si può escludere 1 numero dall’insieme dei 6 numeri dati)
II) 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 720 cinquine ordinate
23)
10 ⋅ 9 ⋅ 8 8 ⋅ 7 ⋅ 6
⋅
3!
3!
28 ⋅ 27
25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19
⋅ 26 ⋅
2
7!
28 ⋅ 27
28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22
⋅ 28 ⋅
b) Se gli incarichi sono compatibili:
2
7!
24) a) Se gli incarichi sono incompatibili:
25) Immediatamente: 4 (tanti quanti i modi di escludere una pallina dall’estrazione). Oppure: (4 ⋅ 3 ⋅ 2) / 3! = 4
26) 40! (quaranta fattoriale). Davvero il gioco della scopa può essere molto vario … pur tenendo conto che
due carte con lo stesso “ruolo”, ad esempio: due “Re” che non siano di “denari”, ossia di quadri (il seme
“quadri” ha una funzione un po’ speciale), sono, dal punto di vista del gioco, del tutto “intercambiabili”.
27) 24 = 16
28) Si tratta di scegliere i 5 bambini cui andranno le mele,
poi i 2 (fra i 5 bambini rimanenti) cui andranno le banane;
a questo punto, agli ultimi 3 bambini rimasti daremo le pesche.
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 5 ⋅ 4
⋅
La risposta è:
5!
2
29) Questo problema è piuttosto complesso.
Pensiamo alla sola mano sinistra;
il numero k di possibilità che troveremo dovrà poi essere moltiplicato
per il numero di possibilità relative alla mano destra;
poiché questo secondo numero sarà evidentemente identico al precedente (e cioè k),
in definitiva il numero di possibilità richiesto dal problema sarà k 2
(evidentemente, va pensato come rilevante il fatto che una mano sia “la sinistra” e l’altra “la destra”,
quindi questo risultato NON andrà diviso poi per 2).
1) Posso scegliere di colorare tutte e 5 le dita con lo stesso colore. Ho 3 possibilità.
2) Posso scegliere di colorare 1 dito con un colore e le altre 4 dita con un altro colore.
Per la scelta del singolo dito ho 5 possibilità.
Dopodiché, mi si apre un ventaglio di 3 ⋅ 2 = 6 possibilità per la coppia di colori da usare.
Ho quindi 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30 possibilità.
3) Posso scegliere di colorare 2 dita con un colore e le altre 3 dita con un altro colore.
Per la scelta della coppia di dita ho (5 ⋅ 4) / 2 = 10 possibilità.
Dopodiché, mi si apre un ventaglio di 3 ⋅ 2 = 6 possibilità per la coppia di colori da usare.
Ho quindi 10 ⋅ 6 = 60 possibilità.
1), 2), 3) esauriscono tutta la casistica.
Ho in totale k=3+30+60=93 possibilità per la mano sinistra.
Le possibilità per la coppia di mani sono dunque k 2 = 932 = 8649 .
213
30) Le lettere dell’alfabeto sono 26
(mettendoci anche le varie J, K, X … che ben raramente compaiono nei cognomi italiani).
Dunque il numero di possibilità per le coppie ordinate di iniziali è 26 ⋅ 26 = 676 ,
di gran lunga inferiore al numero di abitanti di una città di media grandezza come Perugia.
E’ vero che ci sono persone con il doppio cognome o con il doppio nome di battesimo;
ma si tratta di casi “rari”.
Anche supponendo, per eccesso, che tali casi anomali costituiscano la metà della popolazione di Perugia,
rimarrebbe pur sempre l’altra metà, ben superiore ai 676 cittadini.
La coppia ordinata di iniziali è quindi costretta a ripetersi.
31) Il diagramma ad albero mostra che, rispettando i vincoli specificati, ci sono solo 5 possibilità.
32) La prima persona sceglie la sua poltrona: 5 possibilità.
A questo punto, la seconda persona sceglie la sua poltrona: 4 possibilità.
Si siede la terza persona: 3 possibilità.
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 possibilità.
Evidentemente, ragioniamo così in quanto consideriamo rilevante l’individualità delle persone,
ossia non guardiamo solo quali sedie vengono occupate, ma “quali” e “da chi”.
D’altronde, almeno dal punto di vista delle persone,
per il ragionier Bianchi avere accanto la signorina Rossi è diverso dall’avere accanto il dottor Verdi.
5⋅4⋅3
Se invece la nostra attenzione cadesse esclusivamente sulle sedie occupate, avremmo
= 10 possibilità.
3!
33) I) 4 modi II) 4 ⋅ 3 = 12 modi III) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 modi IV) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 modi
V) 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 120 modi (anche: la persona che sta in piedi può essere scelta in 5 modi; dopodiché,
le 4 persone che vanno a sedersi potranno farlo in 4! modi: quindi, i modi possibili sono 5 ⋅ 4! = 120 )
6⋅5
modi;
VI) 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 modi (anche: le 2 persone che staranno in piedi possono essere scelte in
2
6⋅5
⋅ 4! = 360 )
le 4 persone che vanno a sedersi potranno farlo in 4! modi: quindi, i modi possibili sono
2
33' ) I) k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2) ⋅ ... ⋅ (k − n + 1) Ordino le persone in un modo qualunque; la prima persona sceglie
la sua sedia, e lo può fare in k modi … poi la seconda persona, ecc.
II) k! = n!
III) n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
34) Scelgo le 5 partite a cui associare il pronostico “1”, poi le 8 a cui associare “X”, e alla restante assocerò “2”.
14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
⋅
Risposta:
5!
8!
Allo stesso numero approderei se pensassi alle 5 da marcare con “1” e poi a quella da marcare con “2”.
14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10
⋅9
Le rimanenti verrebbero marcate con “X”. L’espressione sarebbe più semplice:
5!
14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
⋅
anche se a dire il vero pure quella ottenuta precedentemente
5!
8!
si può immediatamente semplificare:
35) I) 9!
14 ⋅13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
⋅
5!
8!
III) 5! ⋅ 4! ; diminuiscono, rispetto al caso I)
II) No
36) I) 7 + (7 ⋅ 6) / 2 = 28 possibilità.
II) In quel caso ho una possibilità in meno: 27 possibilità.
37) I) 5! = 120
38) Gasp!
II)
5!
= 60
2
III)
5!
= 10
2 ⋅ 3!
IV)
5!
= 30
2⋅ 2
800 ⋅ 799⋅ ... ⋅751 750 ⋅ 749⋅ ... ⋅651 650 ⋅ 649⋅ ... ⋅451
⋅
⋅
… Buon calcolo, io devo andare, ciao!
50 !
100 !
200 !
39) I 10 libri di Storia possono essere ordinati in 10! modi;
i 6 libri sugli Animali in 6! modi e i 7 libri di Matematica in 7! modi.
Poi però devo decidere come ordinare i “gruppi”:
da sinistra a destra Storia-Animali-Matematica oppure Animali-Storia-Matematica oppure…
L’ordinamento dei gruppi può avvenire in 3! = 6 modi.
In totale, posso disporre i miei libri in 10! ⋅ 6! ⋅ 7! ⋅ 3! modi.
214
2 - IL C.C. IN ASTRATTO E IN FORMULE
2.1 - Le disposizioni
Supponiamo di avere n oggetti distinti
(ad esempio: n palline numerate progressivamente da 1 a n, oppure n lettere dell'alfabeto, ... ).
Sia ora k un intero, k ≤ n .
Le k-uple ORDINATE che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti dati
sono anche dette
"le DISPOSIZIONI degli n oggetti dati, presi a k a k"
o anche
"le disposizioni di classe k, di quegli n oggetti".
Il numero di tali k-uple ordinate ( = il numero delle disposizioni di n oggetti, presi a k a k )
si indica con Dn,k
e risulta, utilizzando quello che abbiamo chiamato il Primo Principio Generale del Calcolo Combinatorio,
Dn,k = n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − (k − 1)) = n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
Esempio 1 - Con 10 oggetti distinti, quante quaterne ordinate posso costruire?
Risposta: D10,4 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040
Esempio 2 - Se ho 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere: un portiere, un arbitro e un raccattapalle?
Risposta: D10,3 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720
2.2 - Le combinazioni
Le k-uple NON ORDINATE che si possono costruire utilizzando
(senza ripetizione) k fra n oggetti dati
sono anche dette
"le COMBINAZIONI degli n oggetti dati, presi a k a k"
o anche
"le combinazioni di classe k, di quegli n oggetti".
Il numero di tali k-uple NON ORDINATE ( = il numero delle combinazioni di n oggetti, presi a k a k )
si indica con Cn,k e risulta, utilizzando il Terzo Principio Generale,
Cn,k =
Dn,k
k!
=
n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
n!
=
k!
k !(n − k)!
OSSERVAZIONE
L’ultimo passaggio è stato ottenuto moltiplicando sia sopra che sotto per (n − k)!
Dn,k n ⋅ (n −1) ⋅...⋅ (n − k +1) (n − k)! n ⋅ (n −1) ⋅...⋅ (n − k +1) (n − k) ( n − k −1) ⋅...⋅3 ⋅ 2 ⋅1
n!
Cn,k =
=
⋅
=
⋅
=
k!
k!
(n − k)!
k!
(n − k)!
k!(n − k)!
Tale passaggio è possibile anche per k = n perché
per convenzione, si pone 0! = 1
Esempio 3 - Con 10 oggetti distinti, quante quaterne non ordinate posso costruire?
Risposta: C10,4 = 10! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 210
4! ⋅ 6!
4! ⋅ 6!
4!
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
IDEA-GUIDA
♪ DISPOSIZIONI: c’entra l’ordine
♫ COMBINAZIONI: non c’entra l’ordine
215
2.3 - Il coefficiente binomiale
n!
vengono anche detti (per un motivo che chiariremo) “coefficienti binomiali”,
k!(n − k)!
⎛n⎞
e si suole indicarli col simbolo specifico ⎜ ⎟ che si legge “coefficiente binomiale n su k” .
⎝k⎠
I numeri Cn,k =
⎛ n ⎞ n(n − 1)...(n − k +1) (n − k)! n(n − 1)...(n − k + 1)
n!
⎛n⎞
=
Si ha dunque ⎜ ⎟ =
o anche ⎜ ⎟ =
k!
k!(n − k)!
⎝k⎠
⎝ k ⎠ k !(n − k)!
⎛n⎞
e il fatto che sia ⎜ ⎟ = Cn,k
⎝k⎠
porta alla seguente utilissima idea-guida:
IDEA-GUIDA SUL COEFFICIENTE BINOMIALE
n
Il coefficiente binomiale ⎛⎜ ⎞⎟ risponde alla domanda :
⎝k ⎠
"dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?"
Ricordiamo che stiamo sempre supponendo k ≤ n. In particolare, si ha
Ricordando, poi, la convenzione 0! = 1 , possiamo scrivere anche
⎛n⎞ = n
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎛n⎞ =1
⎜0 ⎟
⎝ ⎠
⎛ n ⎞=n
⎜ n − 1⎟
⎝
⎠
⎛n⎞ =1
⎜n⎟
⎝ ⎠
E’, ovviamente, opportuno semplificare le frazioni con fattoriali prima di svolgere il calcolo …
Esempi:
10!
7!
=
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
= 720;
6!
3!⋅ 3!
=
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
3 ⋅ 2 ⋅1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
= 20
Esempio 4 - Ho un insieme di 7 oggetti distinti. In quanti modi posso sceglierne: a) 3? b) 2? c) 1? d) 6?
Risposte:
(ovvio : sceglierne 6
⎛7⎞ 7⋅6⋅5
⎛7⎞ 7⋅6
⎛7⎞
⎛7⎞
= 35 b) ⎜ ⎟ =
= 21 c) ⎜ ⎟ = 7 (ovvio ...) d) ⎜ ⎟ = 7
a) ⎜ ⎟ =
è come escluderne 1 ...)
3!
⎝ 3⎠
⎝ 2 ⎠ 2!
⎝1⎠
⎝6⎠
La PROPRIETÀ più notevole dei coefficienti binomiali è la seguente: ⎛⎜ n ⎞⎟ = ⎛⎜ n ⎞⎟
k
n−k
⎝ ⎠ ⎝
⎠
L’identità in questione è facile da dimostrare col calcolo (provaci!), e comunque si può subito ragionare così:
⎛ n ⎞ è il numero di modi con cui è possibile, dati n oggetti, sceglierne k; ma sceglierne k equivale
⎜k⎟
⎝ ⎠
n ⎞
a scegliere quegli n − k che si vogliono escludere; e tale ultima scelta si può effettuare in ⎛⎜
⎟ modi.
n
−
⎝ k⎠
2.4 - Permutazioni
Le "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI"
sono tutte le n-uple ordinate costruibili utilizzando, senza ripetizione, quegli oggetti;
il numero delle permutazioni di n oggetti si indica col simbolo Pn e dal Secondo Principio si ha subito:
Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
E’ evidente che Pn = Dn,n :
il numero delle permutazioni di n oggetti coincide col n° delle disposizioni di quegli oggetti, presi a n a n.
IDEA-GUIDA
Permutazioni: modi in cui è possibile permutare l'ordine di n oggetti
(modi in cui è possibile ordinarli, metterli in fila, metterli in colonna)
Esempio 5 - In quanti modi possono 5 persone mettersi in coda davanti ad uno sportello? R.: P5 = 5! = 120
216
2.5 - Esercizi su disposizioni, combinazioni, permutazioni, coefficiente binomiale
Come ribadiremo nel commentare, alla pagina successiva, le soluzioni, si può ragionare
♪ cercando di ricondursi agli “schemi standard” delle disposizioni, combinazioni, permutazioni
♫ oppure semplicemente utilizzando quelle strategie di pensiero generali che abbiamo chiamato
“1°, 2° e 3° principio del calcolo combinatorio”.
Tu in questa rassegna di esercizi cerca magari di arrivare alla risposta in entrambi i modi:
ogni confronto fra modalità equivalenti di approccio è molto istruttivo!
Tieni comunque presente che
(sebbene ognuno di noi abbia una propria tendenza individuale a privilegiare l’una o l’altra modalità)
la seconda sembra essere di norma più efficace.
Essa è anche più generale, perché permette di cavarsela con minore difficoltà
quando il quesito è complicato e non può essere banalmente ricondotto a un caso standard.
E’ tuttavia MOLTO UTILE ricordare sempre che
quando si tratta di “contare il numero dei modi in cui,
dato un insieme di n oggetti, è possibile scegliere k fra questi oggetti”,
n
la risposta è data dal COEFFICIENTE BINOMIALE
.
k
()
40) 4 studenti devono essere interrogati, e bisticciano sull’ordine di “uscita”.
In quanti modi è teoricamente possibile fissare quest’ordine?
41) 4 allievi devono accomodarsi, per un corso di recupero, in un’auletta vuota nella quale ci sono 8 banchi.
In quanti modi si possono disporre nell’aula?
42) Entra il bidello in un’auletta vuota, nella quale ci sono 10 sedie, per prendere, dato che servono
in un’altra aula, 4 di queste sedie. In quanti modi può effettuare la scelta delle sedie da portar via,
non essendo rilevante, ovviamente, l’ordine in cui le preleva?
43) Il mio contratto di lavoro è part-time, e mi richiede di essere in attività solo 3 giorni dal Lunedì al Venerdì.
In quanti diversi modi potrei fissare i 3 giorni lavorativi?
44) Fra 10 foto ne devo scegliere una da appendere in cucina, un’altra in tinello e una terza in camera da letto.
In quanti modi possibili posso effettuare questa tripla scelta?
45) Nadia è di animo tenero: essendosi trasferita in una casa con giardino, si reca al canile municipale,
dove sono ospitati 10 animali, decisa a prenderne in affidamento ben 3. Impietosita dalla vista delle gabbie,
decide di estrarre a sorte, anziché scegliere, i cani da adottare. Quanti sono i possibili esiti dell’estrazione?
46) In una classe di 20 studenti, ci sono solo 4 maschi! Se un bel giorno l’insegnante di Scienze ha deciso
di estrarre coi bigliettini 6 studenti a caso a cui affidare il riordino del laboratorio,
I) quanti sono gli esiti possibili dell’estrazione?
II) fra tutti questi possibili esiti, quanti sono quelli nei quali compare
a) nessun maschio? b) tutti e quattro i maschi? c) uno e un solo maschio? d) almeno un maschio?
47) Sul corridoio di una scuola si affacciano 5 aule, tutte pressappoco della stessa ampiezza,
che verranno occupate dalle 5 classi I A, II A, III A, IV A, V A.
In quanti diversi modi è possibile effettuare l’assegnazione delle aule alle classi?
48) In una classe di 20 allievi, 8 maschi e 12 femmine, dato che nessuno si è offerto di presenziare,
di domenica pomeriggio, alla cerimonia di inaugurazione di un monumento, si decide di estrarre a sorte
una delegazione di 3 maschi e 3 femmine. Quanti esiti diversi potrà avere l’estrazione?
49) Una password dev’essere obbligatoriamente di 4 caratteri, ciascuno dei quali può essere scelto fra le 26
lettere (maiuscole) dell’alfabeto inglese, oppure fra le 10 cifre da 0 a 9. Quante sono le password possibili?
x + 1⎞ ⎛ x −1⎞
x
x
a) ⎛⎜
b) ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟
⎟ = 5⎜ 3 ⎟
4
3
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ x
x ⎤
x +1⎞
w + 2⎞
f) ⎛⎜
g) 3⋅ ⎢⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟⎥ = 5⎛⎜
⎟
⎟ = 28
2
3
2
⎝
⎠
⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠
50) Risolvi le seguenti equazioni:
x
x
e) ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ = 4 x
2
3
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y
y
x
x
c) ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟
d) 7 ⎛⎜ ⎞⎟ = 4 ⎛⎜ ⎞⎟
4
6
3
4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x −1⎞ ⎛ x ⎞ 2 ⎛ x −1⎞
h) ⎛⎜
⎟
⎟ + ⎜ ⎟ = ⋅⎜
⎝ 3 ⎠ ⎝ 4⎠ 3 ⎝ 2 ⎠
( kn ) = kn ⋅ ( kn −−11)
1
n
n
n k
n n− p
c) ( ) =
⋅ n −1
d) ( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ (
e) ( 2k − 1) = ( 2k )
k
k
k
p
p k − p)
n−k ( k )
2 k
51) Dimostra le seguenti identità:
(
) (
)
a) 2k − 1 = 2k − 1
k
k −1
b)
n−k
n−h
(
h ) ( k )
=
f)
n
(h) (kn)
217
RISPOSTE
40) In P4 = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 modi. P4 è il numero delle permutazioni di 4 oggetti,
ossia il numero dei modi in cui è possibile permutare l'ordine di 4 oggetti.
Osserviamo che sarebbero bastate le tecniche generali di pensiero apprese nei paragrafi precedenti,
e in particolare il 2° Principio Generale del Calcolo Combinatorio, per giungere facilmente alla risposta,
anche senza aver mai sentito parlare di “permutazioni”.
41) In D8,4 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 1680 modi. D8,4 è il numero delle disposizioni di 8 oggetti, presi a 4 a 4, ossia
il n° delle quaterne ordinate che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) 4 fra gli 8 oggetti dati.
E’ evidente che qui c’entra l’ordine: non è la stessa cosa, per Anna, trovarsi nel banco numero 3 piuttosto
che nel numero 7, perché magari il banco 3 è proprio davanti alla cattedra mentre il 7 è più “tranquillo” …
Osserviamo che sarebbero bastate le tecniche generali di pensiero apprese nei paragrafi precedenti,
e in particolare il 1° Principio Generale del C. C., per giungere facilmente alla risposta:
Anna può scegliere il suo banco in 8 possibili modi, dopodiché Bruno può scegliere uno dei banchi
rimanenti in 7 possibili modi, Carlo può scegliere il suo in 6 modi, Donatella in 5 modi.
Diagramma ad albero … ventagli successivi di scelte … moltiplicazione 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 .
42) C10, 4 =
46) I)
( )
3
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
10
=
= 210 43)
=
4
4!⋅ 6!
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
( )
3
()
( )
5
10
= 120
= 10 44) D10,3 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 45)
3
3
2
20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15
20
=
= 38760 possibili esiti
6
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
II) a) Tanti quanti sono i gruppi di 6 femmine, ottenibili “pescando” fra le 16 femmine:
b) Tanti quanti sono i gruppi di 2 femmine!
( )=
16
2
16 ⋅ 15
= 120
2 ⋅1
c) Scelgo uno dei 4 maschi, e gli accosto un gruppo di 5 femmine! 4 ⋅
( )=
16
6
8008
(165 ) = ... = 17472
d) Il numero di esiti senza nessun maschio è, come abbiamo visto,
16
= 8008 ; il n° tot. di esiti è 20 = 38760 ; la risp. è dunque 20 − 16 = 38760 − 8008 = 30752
6
6
6
6
( )
( )
47) P5 = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
48) Devo scegliere i 3 maschi, e lo posso fare in
mi si apre un ventaglio di
( )
( )( )
()
()
8
8
modi; per ognuna delle
possibili scelte dei maschi,
3
3
()( )
12
8 12
⋅
.
possibilità per la scelta delle 3 femmine. La risposta è dunque
3
3
3
49) Domanda-trabocchetto! Qui NON SI PUO’ RAGIONARE IN TERMINI DI DISPOSIZIONI!
Infatti nulla vieta che un carattere, alfabetico o numerico, sia ripetuto due o più volte nella sequenza …
Più avanti studieremo a questo proposito le “disposizioni con ripetizione”,
ma non sono comunque necessarie, per rispondere, conoscenze in più rispetto a quelle che già possediamo:
Per la scelta del 1° carattere ho 26 +10 = 36 possibilità, dopodiché mi si apre un ventaglio sempre di 36
possibilità per la scelta del 2° carattere … La risposta al quesito è 364 = 1679616 .
( x +1) ⋅ x ⋅ ( x −1) ⋅ ( x − 2)
( x −1) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 3)
= 5⋅
4!
3!
Abbiamo semplificato per ( x −1)( x − 2); ciò porterebbe a trovare le due soluzioni x = 1, x = 2
⎛ x +1⎞ ⎛ x −1⎞
che però non sono accettabili perché, affinché abbiano senso ⎜
⎟e⎜
⎟ , deve comunque essere x ≥ 4.
⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠
( x +1) ⋅ x
x − 3 ( x +1) ⋅ x 20( x − 3) 2
= 5⋅
x + x = 20 x − 60 x2 −19 x + 60 = 0 ( x − 4)( x −15) = 0 x = 4 ∨ x =15
=
4!
3!
4!
4!
b) x = 5 c) y = 10 d) x = 10 e) x = 5 f) w = 6 g) x = 6 h) x = 4
50) a)
(2k − 1)(2k − 2)...(2k −1 − k +1 ) (2k − 1)(2k − 2)...(2k −1 − (k − 1) +1 )
=
k!
( k − 1)!
(2k − 1)(2k − 2)...⋅ k (2k − 1)(2k − 2)...(k + 1) (2k − 1)(2k − 2)...(k + 1) ⋅ k (2k − 1)(2k − 2)...(k + 1)
=
=
OK
;
(k − 1)!
k!
(k − 1)!
k (k − 1)!
51) a)
218
2.6 - Disposizioni con ripetizione
Si parla di "DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE" di n oggetti, di classe k (anche: “presi a k a k”)
quando uno stesso oggetto, nella k-upla ordinata, può essere ripetuto più di una volta.
<
In questo caso, non deve essere necessariamente k ≤ n : può essere k = n
>
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti, presi a k a k,
si indica col simbolo
D'n, k
ed è immediato dimostrare, col Primo Principio Generale, che si ha
D'n, k = n ⋅ n ⋅ ... ⋅ n = nk
k fattori
Esempio 6
Utilizzando, con possibilità di ripetizione, i 3 simboli A, B, C,
quante stringhe di 5 lettere posso comporre?
(Per “stringa” si intende una “sequenza di caratteri”: esempio BBCAB)
Questo comunque è un “classico” problema nel quale è probabilmente più comodo,
anziché pensare alla terminologia specifica e alle formule,
utilizzare i semplici e spontanei “principi generali” del calcolo combinatorio:
per il primo elemento della stringa ho 3 possibilità, per ciascuna delle quali si apre poi
un ventaglio di 3 possibilità per la scelta del secondo elemento della stringa, ecc.:
Risposta:
D'3,5 = 35
… penso al diagramma ad albero … e scrivo la risposta 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 35
Esempio 7
Quante colonne è possibile teoricamente giocare
nel gioco del totocalcio?
(14 partite, pronostico per ogni partita: 1, o X, o 2)
Risposta
Volendo, è un problema di disposizioni con ripetizione.
Comunque, si ragiona meglio senza formule:
per il primo posto in alto nella colonna ho tre possibilità: 1, X, 2;
per il secondo posto ho ancora 3 possibilità ...
… ecc ...
Dunque: 314 = 4782969
X
X
X
1
2
1
1
X
2
1
X
X
2
1
Un esempio
di “colonna”
del totocalcio.
La versione “moderna”
è a 14 partite;
fino all’anno 2003
le partite in schedina
erano solo tredici
IDEA-GUIDA
Nel trattare questioni e problemi sul Calcolo Combinatorio,
puoi alternare liberamente,
a seconda delle tue preferenze
e a seconda di come di volta in volta ritieni opportuno,
♪ l’APPLICAZIONE DELLE FORMULE
♫ con il RAGIONAMENTO DIRETTO, basato sui Principi Generali appresi.
Esempio 8
Se si lanciano 10 monete
(o anche: se si lancia una moneta 10 volte)
quanti sono gli esiti possibili?
(Ad esempio, un esito potrebbe essere CCTTCTTTCT)
Risposta: 210 = 1024
219
2.7 - Permutazioni di n oggetti non tutti diversi
Possiamo pure pensare alle
"PERMUTAZIONI DI n OGGETTI NON TUTTI DIVERSI".
Presi n oggetti, dei quali m<n uguali fra loro, e gli altri tutti diversi l’uno dall’altro e dai precedenti,
quante n-uple ordinate distinguibili potremo costruire utilizzando quegli n oggetti?
Il numero di tali n-uple si indica con Pn(m) ed è abbastanza facile dimostrare che si ha
P
n!
Pn(m) = n =
m! m!
Per la dimostrazione, è sufficiente utilizzare un artificio che ci è ormai consueto:
quegli m oggetti che sono identici, pensiamoli inizialmente distinti,
poi considereremo "come se fosse una sola n-upla" tutto quel gruppo di n-uple che,
per effetto della indistinguibilità fra gli m oggetti, appaiono identiche;
ma il numero di tali n-uple è, evidentemente, m! (m fattoriale),
perché coincide col numero di modi in cui è possibile permutare l'ordine di quegli m oggetti.
GENERALIZZAZIONE
Siano dati
n oggetti, dei quali m uguali fra loro, r uguali fra loro, s uguali fra loro ... (m+r+s+... = n).
Quante n-uple ordinate distinguibili potremo costruire?
Il numero di tali n-uple si indica col simbolo Pn(m,r,s,...)
e si potrà dimostrare, riadattando la tecnica vista appena sopra, che
Pn(m, r, s, ...) =
n!
m! ⋅ r! ⋅ s! ⋅ ...
Es. 9 - Avendo 3 palline bianche identiche fra loro, 6 rosse identiche fra loro e 5 verdi identiche fra loro,
quante sequenze distinguibili potremo costruire con questi 3+6+5=14 oggetti?
14!
(3,6,5)
R.: P14
=
3! ⋅ 6! ⋅ 5!
2.8 - Permutazioni cicliche
Si può pure parlare di
"PERMUTAZIONI CICLICHE DI n OGGETTI".
Una "permutazione ciclica di n oggetti" è
"uno dei modi in cui tali oggetti possono essere disposti intorno ad un tavolo circolare,
come se fossero giocatori di carte".
coincide, in questo contesto, con ciascuna delle seguenti (giocatori “ruotati”):
E' evidente che
la situazione
per cui
il numero Pn' delle permutazioni cicliche di n oggetti
è uguale al numero delle permutazioni di n oggetti, diviso per n:
P
n!
P'n = n =
= (n − 1)!
n
n
Es. 10 - In quanti modi si possono disporre 5 giocatori di carte intorno a un tavolo?
R.: 4! = 24
220
2.9 - Esercizi vari
Si può ragionare
♪
cercando di ricondursi agli “schemi standard”
delle disposizioni o combinazioni,
con o senza ripetizione, con oggetti tutti diversi o non tutti diversi, semplici o cicliche;
o delle permutazioni …
♫ oppure semplicemente utilizzando quelle strategie di pensiero generali che abbiamo chiamato
“1°, 2° e 3° principio del calcolo combinatorio”.
Tu in questa rassegna di esercizi procedi come ritieni, ma sarebbe istruttivo
tenere presenti, per giungere alla risposta, entrambe le modalità, con un confronto molto istruttivo.
Le RISPOSTE, al termine della rassegna, quasi sempre contengono anche la spiegazione del procedimento.
Osserva, però, che questi esercizi ti saranno tanto più utili, quanto più ti darai da fare
senza cedere alla tentazione di andare a vedere la soluzione bell’e pronta.
Non scoraggiarti se dovessi trovarne qualcuno particolarmente impegnativo: i quesiti difficoltosi sono i più belli,
perché stimolano più degli altri il ragionamento e la capacità di trovare strategie alternative.
52) In una festicciola di compleanno, ci sono 8 coetanei, 4 maschi e 4 femmine.
Si balla il “lento”! In quanti modi diversi si possono formare le coppie?
53) I 25 studenti di una classe devono effettuare una “prova di evacuazione”,
per simulare l’abbandono dell’aula di fronte a un’emergenza.
L’aula ha una sola porta. In quanti ordini diversi potrebbero teoricamente uscire?
54) In una classe di 25 allievi, si estraggono a sorte i 5 che dovranno pulire l’aula dopo la festa di fine anno.
Quanti esiti diversi potrà avere l’estrazione?
55) In una classe di 20 allievi occorre scegliere i 2 studenti che verranno interrogati domani, e i 4 a cui
toccherà l’interrogazione il giorno dopo. In quanti modi diversi è possibile effettuare la doppia scelta?
Distinguere i due casi:
a) non conta l’ordine degli studenti, ma solo quali vengono scelti per un dato giorno;
b) importa anche l’ordine con cui gli studenti vengono estratti, e saranno di conseguenza interrogati.
56) 20 studenti devono essere suddivisi, per una competizione interna alla classe, in due gruppi da 10.
In quanti modi è possibile effettuare la suddivisione?
57) Quante sono le colonne del totocalcio (forma “moderna”, con 14 partite; pronostici possibili, per una partita:
1, X, 2) contenenti esattamente 4 pronostici “1”, 7 “X” e 3 “2”?
58) Due impiegati ben poco volonterosi, dovendo sbrigare una montagna di pratiche arretrate,
decidono che inizieranno solo dopo aver disputato una partita a battaglia navale,
su di uno schema a 7 colonne A, B, C, D, E, F, G e 7 righe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Quante sono le possibili “chiamate”?
59) Per passare dalla località A alla località B ci sono 3 strade diverse,
dopodiché per passare da B a C ci sono altre 3 strade diverse.
Se Piero vuole fare una gita “andata e ritorno” A-B-C-B-A, senza però mai passare
due volte per la stessa strada, in quanti modi differenti può scegliere il tragitto?
60) Sono di più gli anagrammi della parola TOSTO o quelli della parola BABBO??
61) In una classe di 25 allievi, la professoressa di Latino annuncia di voler interrogare, il giorno dopo, 5 persone.
In quanti modi diversi può essere compilata la lista dei malcapitati, tenendo conto anche dell’ordine?
62) Un insieme ha 10 elementi. Quanti sono i suoi sottoinsiemi di 4 elementi?
63) Un insieme ha 10 elementi. Quanti sono complessivamente i suoi sottoinsiemi?
64) Ciascuno dei 10 vincitori coinvolti in una cerimonia di premiazione
stringe la mano, una e una sola volta, a ciascuno degli altri. Quante strette di mano?
65) Un insegnante intende assegnare una verifica ai suoi 24 allievi,
ma vuole suddividerli in 4 gruppi di 6 allievi ciascuno,
per assegnare a ciascun gruppo una versione differente (A, B, C o D) della prova.
In quanti modi diversi può essere effettuata la suddivisione+assegnazione?
221
66) Quante diagonali ha un decagono?
67) In una classe di 25 allievi, 20 sono le femmine e solo 5 i maschi.
Se per le interrogazioni programmate di Chimica si decide che
il gruppo dei maschi debba precedere, per cavalleria, quello delle femmine,
in quanti modi diversi potrà essere redatta la lista dell’ordine complessivo dei nomi?
68) Quanti sono i numeri che hanno 10 cifre, tutte diverse fra loro?
(Tieni presente che “0” non può essere la cifra iniziale!)
69) Quanti sono i numeri di 6 cifre, con esattamente 3 cifre “9” e 3 cifre “8”?
70) Quanti sono i numeri di 6 cifre, tutte non nulle, e uguali a tre a tre? (es. 557577, 144411 …)
71) Quanti sono i divisori di 1000000? (indicazione: 1000000 è il prodotto di una potenza di 2 con una
potenza di 5, e i suoi divisori sono perciò quei prodotti 2α ⋅ 5β ottenibili scegliendo α tra … e β tra … )
72) Stabilisci quanti sono i numeri interi di 4 cifre, che hanno almeno una delle cifre pari.
73) Quanti sono i numeri, di almeno 2 cifre, ma minori di 1000, con le cifre tutte diverse fra loro?
74) Papà, mamma e i 4 figlioli si siedono ad un tavolo circolare.
a) In quanti modi diversi si possono disporre?
b) E se mamma e papà vogliono essere una a fianco dell’altro?
c) E se mamma e papà NON vogliono stare una a lato dell’altro?
75) Se abbiamo 5 rette su di un piano, quanti triangoli possono formare, al massimo?
76) Stabilisci quanti sono i triangoli che hanno per vertici tre dei punti della figura sottostante:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
77) Un “byte” è una sequenza di 8 “bit”.
Un “bit” è una “cifra binaria”, che può valere 0 oppure 1.
Quanti differenti byte è possibile scrivere in modo da avere, in ciascun byte:
a) esattamente due “1”?
b) almeno due “1”?
78) I numeri in base cinque possono avere come cifre solamente 0, 1, 2, 3 oppure 4.
Quanti sono gli interi, in base cinque, aventi esattamente cinque cifre?
(Notare che la cifra iniziale non può essere 0)
79) In un insieme di 25 parlamentari, occorre sceglierne 5 per formare una commissione di inchiesta;
dei 5, uno dovrà fungere da Presidente e un altro da Segretario.
Stabilire un quanti modi può essere effettuata la scelta.
80) Una trattoria permette di scegliere fra 2 primi, 3 secondi, 4 dessert.
In quanti modi diversi è possibile pranzare
a) supponendo di dover prendere tutte e tre le portate?
b) supponendo di poter prendere il dessert o in alternativa rinunciarvi?
c) supponendo di poter prendere tutte e tre le portate, o in alternativa solo due?
81) Se ad una gara a quiz prendono parte 25 persone, e vengono assegnate la medaglia d’oro,
quella d’argento e quella di bronzo, quanti potrebbero teoricamente essere gli esiti della premiazione?
82) Un numero (intero) si dice “palindromo” se rimane invariato, riscrivendolo all’incontrario.
Esempi di numeri palindromi:
404, 7227, 12321, 88, 0, ...
Quanti sono i palindromi
a) con 6 cifre?
b) con 7 cifre?
c) con 8 cifre?
222
RISPOSTE
5
⎛ 25 ⎞
⎛ 20 ⎞ ⎛18 ⎞ 20 ⋅19 ⋅ 18 ⋅17 ⋅ 16 ⋅ 15 = 581400 b) 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 ⋅16 ⋅15
52) 4! = 24 53) 25! 54) ⎜ ⎟ 55) a) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
5
⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2 ⋅1
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
⎝ ⎠
1
⎛ 20 ⎞ 1
56) ⎜ ⎟ ⋅ = 184756 ⋅ = 92378 modi.
10
2
⎝ ⎠ 2
Infatti basta scegliere, sui 20 alunni, i 10 della squadra A, e automaticamente resteranno selezionati, per
esclusione, anche i componenti della B … Sennonché, in questo modo, ogni sottoinsieme di 10 persone
verrebbe individuato 2 volte (una volta come squadra A e un’altra come squadra B, allorquando come
squadra A si scelgono le 10 persone rimanenti), da cui la moltiplicazione per ½ del numero ottenuto.
Se tuttavia ci fosse una qualche “asimmetria”, nel senso che la squadra “A” sia destinata a operare
in condizioni parzialmente diverse dalla “B”, allora la moltiplicazione per ½ andrebbe evitata.
Ma nel nostro caso l’enunciazione del quesito sembra sottintendere che non ci sia differenza fra “A” e “B”,
quindi la presenza di quel fattore ½ appare coerente col testo del problema.
14!
14 10
; oppure: scelgo i 4 posti che verranno occupati dagli “1”, poi ... : ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟
4! ⋅ 7! ⋅ 3!
⎝4⎠ ⎝7⎠
58) 7 ⋅ 7 = 49 59) 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 36
5!
5!
, mentre quelli della parola BABBO sono
.
60) Quelli della parola TOSTO sono in numero di
2!⋅ 2!⋅ 1!
3!⋅ 1!⋅ 1!
Vince TOSTO, che ha più anagrammi.
(4,7,3)
57) P14
=
⎛ 10 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 210
61) 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 62) ⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
64) 10 ⋅ 9 / 2 = 45
⎛ 24 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 6 ⎞
65) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝6⎠
⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞
⎛10 ⎞
63) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ .
0
1
2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝10 ⎠
Ma è noto dalla Teoria degli Insiemi, e lo vedremo
meglio nel cap. 3), che tale numero è uguale a 210 .
dove l’essere l’ultimo fattore uguale a 1 corrisponde al fatto che, una volta fissati
i primi 3 gruppi, il 4° e ultimo resta univocamente determinato per esclusione.
66) 10 ⋅ (10 − 3) / 2 = 10 ⋅ 7 / 2 = 35
67) 5!⋅ 20!
68) 10! − 9!
Da 10!, che è il numero di modi in cui posso mettere in ordine le 10 cifre 0, 1, 2, … , 9,
devo sottrarre il numero delle sequenze di 10 cifre inizianti con 0;
ma queste sono tante, quanti sono i modi in cui è possibile mettere in ordine le 9 cifre 1, 2, 3, … , 9.
Oppure: per la prima cifra ho 9 possibilità di scelta (perché devo escludere lo 0),
poi per la seconda 9 (rientra in gioco lo 0, ma va evitata la ripetizione), poi per la terza 8 …
In questo modo ottengo 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 9 ⋅ 9! possibili sequenze;
e d’altra parte si può constatare che questo risultato “va d’accordo” col precedente, perché
10! − 9! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 − 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ (10 − 1) = 9!⋅ 9
6!
69) 6 che è poi il numero di modi con cui posso scegliere i 3 posti per la cifra 9; oppure P6(3,3) =
3
3! ⋅ 3!
()
()
1
70) 9 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ . Scegliamo una coppia ordinata di cifre non nulle,
3 2
poi scegliamo, sui 6 posti disponibili, quei 3 nei quali collocare la prima fra queste due cifre …
sennonché, così facendo, una stessa situazione verrebbe contata 2 volte, ad esempio:
la scelta di cifre (4, 9), seguita dalla scelta dei primi 3 posti per il 4, determinerebbe la
sequenza 444999, ma anche la scelta di cifre (9, 4), seguita dalla scelta degli ultimi 3 posti per
il 9, porterebbe alla medesima sequenza di cifre!!! … Da cui la moltiplicazione finale per ½.
( 92) ⋅ (63) dato che ( 92) è il numero di modi in cui è possibile scegliere una coppia
6
non ordinata di cifre non nulle, ( ) è il n° di modi in cui si possono scegliere, fra i 6 posti,
3
Anche:
quei 3 che conterranno la minore delle due cifre.
71) Osserviamo che 1000000 = 106 = 26 ⋅ 56 . I divisori di 1000000 sono perciò i numeri della forma 2α ⋅ 5β ,
dove α e β sono due interi, ciascuno dei quali potrà valere 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Si tratta di determinare in quanti modi sia possibile scegliere la coppia (α, β) ;
e la risposta è in 7 ⋅ 7 = 49 modi. Perciò 1000000 ha 49 divisori.
223
72) Le cifre sono 10 in totale, di cui 5 pari (0, 2, 4, 6, 8) e 5 dispari (1, 3, 5, 7, 9).
I numeri con 4 cifre sono complessivamente tanti quant’è il prodotto 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 9000
(il primo fattore 9 è dovuto al fatto che la prima cifra a sinistra non può essere 0;
d’altronde, ragionando in modo diverso, tali numeri sono quelli che vanno
da 1000 compreso fino a 9999 quindi il loro conteggio porta a 9999 − 1000 + 1 = 9000 ).
I numeri di 4 cifre, tutte dispari, sono 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 .
La risposta al quesito si ottiene perciò sottraendo: 9000 − 625 = 8375 .
73) Con 2 cifre: 9 ⋅ 9 = 81 (la prima cifra la posso scegliere in 9 modi, perché non può essere 0;
per ognuno di questi modi, mi si apre un ventaglio di 9 possibilità di scelta per la seconda cifra,
perché questa non dovrà essere uguale alla prima, ma in compenso c’è anche la possibilità che valga 0).
Con 3 cifre: 9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648 numeri. Con 2 o 3 cifre: 648 + 81 = 729 numeri.
74) a) P '6 =
P6
=
6!
= 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
6
6
b) 3!⋅ 4 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 2 = 48 . Infatti:
si siedono i 4 bambini, e, tenuto conto della ciclicità, lo possono fare in 3! modi;
a questo punto il papà ha 4 modi per scegliere fra quale coppia di figli mettere la sua sedia,
e infine la mamma ha soltanto 2 possibilità,
perché, volendo stare accanto al papà, può solo scegliere se stare alla sua destra o alla sua sinistra.
c) 5 !− 3!⋅ 4 ⋅ 2 = 120 − 48 = 72
75) Evidentemente, per massimizzare il numero dei triangoli, non dovranno esserci coppie di rette parallele,
e per il punto di intersezione di due rette non dovrà mai passare una terza retta.
Supponendo dunque che le rette siano scelte in questo modo, ogni retta intersecherà ogni altra retta
in uno e un solo punto e i punti di intersezione saranno in totale tanti quante le coppie di rette, ossia
⎛ 5 ⎞ = 5 ⋅ 4 = 10 .
⎜ 2 ⎟ 2 ⋅1
⎝ ⎠
Ma con 10 vertici, quanti triangoli si hanno?
⎛ 10 ⎞ = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 120 è il numero di terne di vertici,
⎜ 3 ⎟ 3 ⋅ 2 ⋅1
⎝ ⎠
sennonché sarebbe ingenuo dire che ci sono 120 triangoli:
i triangoli sono in realtà di meno, perché bisogna escludere quelle terne di punti che sono allineati fra loro,
e che pertanto non individuano un triangolo.
Su ogni retta abbiamo 4 vertici (corrispondenti ai punti di intersezione di quella retta con le altre 4 rette);
ma le terne costruibili utilizzando 4 vertici sono in numero di 4
(a partire da 4 punti, si ottiene una terna di punti se se ne esclude 1);
su ogni retta, escluderemo dunque 4 terne.
Le rette sono 5: le terne da escludere sono perciò 20.
Il numero totale di triangoli è in definitiva 120 − 20 = 100 .
16 ⋅ 15 ⋅ 14
16
⎛ 16 ⎞
− 44 = 560 − 44 = 516 triangoli. Infatti: ⎛⎜ ⎞⎟ sono tutte le possibili terne
76) ⎜ ⎟ − 10 ⋅ 4 − 4 =
3
3 ⋅ 2 ⋅1
⎝ ⎠
⎝3⎠
non ordinate di punti; dobbiamo però sottrarre le terne di punti allineati, che non generano un triangolo!
Quante sono, dunque, le terne di punti allineati?
Su ciascuna delle 4 righe, su ciascuna delle 4 colonne, su ciascuna delle 2 diagonali,
abbiamo 4 terne di punti allineati. Dobbiamo perciò sottrarre (4 + 4 + 2) ⋅ 4 = 10 ⋅ 4 .
Abbiamo infine altre 4 terne di punti allineati parallelamente alle diagonali: dobbiamo ancora sottrarre 4.
8
77) a) ⎛⎜ ⎞⎟ = 28
⎝ 2⎠
Dal numero totale di possibili byte abbiamo sottratto gli 8 byte
aventi uno e un solo “1” e il singolo byte composto da otto bit “0”.
b) 28 − 8 − 1 = 247
78) 4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2500
⎛ 23 ⎞ oppure ⎛ 25 ⎞ ⋅ 5 ⋅ 4
⎟
⎜5⎟
⎝3⎠
⎝ ⎠
79) 25 ⋅ 24 ⋅ ⎜
80) a) 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 b) 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 opp. 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 24 + 6 = 30 c) 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 = 24 + 6 + 8 + 12 = 50
81) 25 ⋅ 24 ⋅ 23 = 13800
82) a) Con 6 cifre: basta scegliere le prime 3, e lo si può fare in 9 ⋅ 10 ⋅ 10 = 900 modi
b) Con 7 cifre: basta scegliere le prime 4, e lo si può fare in 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 9000 modi
c) Con 8 cifre: basta scegliere le prime 4, e lo si può fare, come prima, in 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 9000 modi
224
2.10 - Il binomio di Newton
Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell' n-esima potenza di un binomio. Essa è:
n ⎛n ⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n
n −k k
(a + b)n = ⎜ ⎟ an + ⎜ ⎟ an −1b + ⎜ ⎟ an − 2b 2 + ... + ⎜
ab
b
∑
+
=
⎟
⎜n⎟
⎜ k ⎟a b
0
1
2
n
1
−
=
k
0
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
n
Il simbolo ∑ si chiama “simbolo di sommatoria”.
k =0
Si legge “sommatoria, per k che va da 0 a n, di …” e “funziona” in questo modo:
si prende l’espressione a destra e in essa si pone k = 0; poi k = 1; poi k = 2; ecc. … fino a k = n.
I termini così ottenuti vengono sommati algebricamente fra loro.
Dimostrazione della formula
(a + b) n = (a + b) ⋅ (a + b) ⋅ ... ⋅ (a + b) dove a secondo membro abbiamo n fattori.
Bene! Si può pensare di effettuare la moltiplicazione
scegliendo, da ciascun fattore (a + b) , o il termine a, o il termine b, in tutti i modi possibili,
per poi sommare algebricamente i prodotti così ottenuti.
Ora, se io scelgo, ad esempio, k volte il fattore b e n − k volte il fattore a , avrò il monomio a n −k b k .
Ma QUANTE VOLTE comparirà, questo monomio, nella somma finale?
Tante volte quanti sono i modi coi quali, fra gli n fattori, posso selezionare quei k dai quali scegliere b .
⎛n⎞
E tali modi sono ⎜ ⎟ . Di qui la formula.
⎝k⎠
Vediamo qualche esempio di applicazione:
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
(a + b)4 = ⎜ ⎟ a 4 + ⎜ ⎟ a 3b + ⎜ ⎟ a 2 b2 + ⎜ ⎟ ab3 + ⎜ ⎟ b4 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
⎝ 4⎠
4⋅3 2 2
4
3
3
4
= 1⋅ a + 4 ⋅ a b +
a b + 4 ⋅ ab + 1 ⋅ b = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b2 + 4ab3 + b4
2!
⎛5⎞
⎛5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5 ⎞
⎛ 5⎞
(a + b)5 = ⎜ ⎟ a 5 + ⎜ ⎟ a 4 b + ⎜ ⎟ a 3b 2 + ⎜ ⎟ a 2 b3 + ⎜ ⎟ ab4 + ⎜ ⎟ b5 =
0
1
2
3
4
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝5⎠
⋅
⋅
⋅
5
4
5
4
3
= 1⋅ a5 + 5 ⋅ a 4b +
a 3b2 +
a 2 b3 + 5 ⋅ ab4 + 1 ⋅ b5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b2 + 10a 2 b3 + 5ab4 + b5
2!
3!
n
E’ interessante come i coefficienti così ricavati per gli sviluppi delle potenze successive di un binomio (a + b)
coincidano con quelli che si possono ottenere con il noto schema chiamato “triangolo di Tartaglia”,
schema derivante da un ragionamento completamente diverso!
Per costruire il Triangolo di Tartaglia,
possiamo immaginarlo come un albero di Natale.
In alto, sul cucuzzolo, ci mettiamo un 1.
Ora scendiamo lungo le pendici dell’albero,
scrivendo (seconda riga) un 1 e poi un altro 1.
Scendiamo ancora: siamo sulla terza riga;
come primo elemento della riga scriviamo un 1;
poi, dato che sopra di noi troviamo una coppia di 1,
scriviamo un 2 (1+1=2).
Terminiamo la riga con un 1.
Abbiamo così costruito
i coefficienti (1, 2, 1) di ( a+b ) .
2
Scendiamo ancora, ed ecco che,
procedendo allo stesso modo,
si generano i coefficienti (1, 3, 3, 1) di ( a+b ) .
E così per le righe successive.
3
( a+b ) 2 = 1 ⋅ a 2 + 2 ⋅ ab + 1 ⋅ b 2
( a+b ) 3 = 1 ⋅ a 3 + 3 ⋅ a 2b + 3 ⋅ ab 2 +1 ⋅ b 3
( a+b ) 4 = 1 ⋅ a4 + 4 ⋅ a 3b + 6 ⋅ a 2b 2 +4 ⋅ ab 3 +1 ⋅ b 4
...
225
ESERCIZI
83) Quanto vale il 3° coefficiente dello sviluppo di (a + b)100 ? E il 4° coefficiente di ( a + 2b)101 ?
84) Scrivi gli sviluppi di ( a + b)6 , ( a + b)7 e ( a − b)10 .
Ricava i coefficienti sia con il binomio di Newton che col Triangolo di Tartaglia.
85) Considera il prodotto notevole ( x + y ) .
a) Di quanti termini consta il suo sviluppo? b) Quanto vale il coefficiente del termine centrale?
c) E i coefficienti dei due termini che precedono e seguono questo?
18
86) Considera il prodotto notevole ( 2 x − 5 y ) .
a) Di quanti termini consta il suo sviluppo?
15
b) Quanto valgono i coefficienti dei due termini centrali?
( x + 3)10
87) Determina il 4° termine dello sviluppo di
11
⎛
y⎞
88) Determina il 7° termine dello sviluppo di ⎜ −2 x + ⎟
2⎠
⎝
89) Determina (senza svolgere i calcoli) l’espressione del coefficiente di a 326 nello sviluppo di
( 5a5 − 2a 2 )
100
90) A partire dalla formula del binomio di Newton
n n
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n
⎛ ⎞ n −k k
+
=
∑
(a + b) n = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n −1b + ⎜ ⎟ a n −2 b 2 + ... + ⎜
ab
b
⎟
⎜n⎟
⎜ ⎟a b
0
1
2
n
1
−
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
k =0 ⎝ k ⎠
dimostra che
n
n
n
n
n
n
n
n
a) ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + ... + ⎛⎜ ⎞⎟ = 2n
b) ⎛⎜ ⎞⎟ − ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ − ... + ( −1) n ⎛⎜ ⎞⎟ = 0
⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠
⎝n⎠
⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠
⎝n⎠
RISPOSTE
⎛100 ⎞ = 4950 ; ⎛101⎞ ⋅ 8 = 1333200 84) (a + b)6 = a 6 + 6a 5b + 15a 4b 2 + 20a 3b3 + 15a 2b 4 + 6ab5 + b6 ; …
83) ⎜
⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ ⎠
⎛18 ⎞ ⎛18 ⎞
⎛18 ⎞
85) a) 19 termini b) ⎜ ⎟ = 48620 c) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 43758 86) a) 16 b) −128700000000 ; +321750000000
9
⎝ ⎠
⎝ 8 ⎠ ⎝10 ⎠
10 ⋅ 9 ⋅ 8 7
⎛n⎞
⎛10 ⎞
⎛10 ⎞
x ⋅ 27 = 3240 x 7
87) 4° termine = ⎜ ⎟ a n −3b3 = ⎜ ⎟ a 7 b3 = ⎜ ⎟ x 7 ⋅ 33 =
3
3
3
⋅
⋅
3
2
1
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
6
1
11⋅10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
1
⎛n⎞
⎛11⎞
⎛11⎞
88) 7° termine = ⎜ ⎟ a n −6b6 = ⎜ ⎟ a5b6 = ⎜ ⎟ ⋅ ( −2 x)5 ⋅ ⎛⎜ y ⎞⎟ =
−32 x5 ⋅ y 6 = −231x5 y 6
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
64
⎝2 ⎠
⎝6 ⎠
⎝6⎠
⎝6⎠
(
89) 5a 5 − 2a 2
)
100
(
)
2 4
⎛100 ⎞ 100 500 ⎛100 ⎞ 99 495
2 ⎛ 100 ⎞ 98 490
=⎜
⎟ ⋅ 5 a + ⎜ 1 ⎟ ⋅ 5 a ⋅ ( −2 ) ⋅ a + ⎜ 2 ⎟ ⋅ 5 a ⋅ ( −2 ) a + ...
0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎠
⎝
497
contiene a
contiene a 494
Quindi,
100 ⎞
nel termine in cui compare il moltiplicatore ⎛⎜
⎟ l’esponente di a è 500,
⎝ 0 ⎠
100 ⎞
• nel termine in cui compare il moltiplicatore ⎛⎜
⎟ è 500 − 3 ,
⎝ 1 ⎠
100 ⎞
• nel termine in cui compare il moltiplicatore ⎛⎜
⎟ è 500 − 6 ,
⎝ 2 ⎠
100 ⎞
• … nel termine in cui compare il moltiplicatore ⎛⎜
⎟ è 500 − 3k .
⎝ k ⎠
Il termine nel quale è presente la potenza a 326 corrisponderà perciò al valore di k determinabile
tramite la seguente equazione: 500 − 3k = 326; − 3k = −174; k = 58
•
100 ⎞
Esso è perciò ⎛⎜
⎟ ⋅ 5a 5
⎝ 58 ⎠
( ) ⋅ ( −2a 2 )
42
58
100 ⎞ 42 58
e il relativo coefficiente numerico è uguale a ⎛⎜
⎟⋅5 ⋅2 .
⎝ 58 ⎠
90) Si tratta semplicemente di svolgere, tramite la formula in questione, le operazioni (1 + 1) n e (1 − 1) n
226
3 - FORMULE, REGOLE E PRINCIPI INTERESSANTI
3.1 - La formula di Gauss per la somma dei primi n interi positivi
Diversi anni fa domandai per gioco al mio amico Ernesto P. se sapeva dirmi di quante partite
(incontro “secco”, niente rivincita) è composto un torneo a 10 squadre.
Nella mia mente mi figuravo il ragionamento che avrebbe condotto a rispondere correttamente:
“tante quante sono le coppie non ordinate costruibili con 10 oggetti, ovvero (10 ⋅ 9) / 2 = 45 ”.
Banale, per chi avesse qualche conoscenza di Calcolo Combinatorio … non era però il caso del buon Ernesto.
Che tuttavia, dopo una breve riflessione, fu in grado di darmi, sorprendendomi alquanto, la risposta esatta;
determinata, comunque, con una strategia completamente diversa dalla mia.
Ernesto aveva considerato la sequenza a → b → c → d → e → f → g → h → i → l e aveva pensato:
“la squadra a gioca con tutte e 9 le squadre scritte alla sua destra;
la squadra b gioca con tutte e 8 le squadre alla sua destra …
dunque si avranno 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 partite”.
L’amico era stato davvero bravo e svelto.
Così io subito, perfidamente, gli riformulai il quesito con riferimento a 100 squadre.
E quando lui obiettò che ci sarebbe voluto molto tempo per svolgere il calcolo 99+98+97+…+3+2+1,
gli feci presente che un bambino di otto anni era stato capace di determinare quella somma in pochi minuti.
Ernesto ci si mise dunque “sotto” con impegno ... dopo un po’, tuttavia, rinunciò per noia.
Non avevo bluffato. Quel bambino era il piccolo Gauss (1777-1855), destinato a diventare uno dei più grandi
matematici della Storia. Nella sua classe il maestro aveva dato da svolgere agli alunni, per farli stare un po’
bravi, la somma 1+2+3+ … +99, e lui ci riuscì in un tempo incredibilmente breve, dopo aver scritto lo schema
S = 1 +
2 +
3 + ................... + 97 + 98 + 99
S = 99 + 98 + 97 + ................... +
3 +
2 + 1
2S = 100 + 100 + 100 + ................... + 100 + 100 + 100 [99 addendi, tutti
uguali a 100]
2S = 99 ⋅100
99 ⋅100 9900
=
= 4950
S=
2
2
Generalizzando il procedimento alla somma 1+2+3+…+n dei primi n interi positivi, avremo
S =
1
2
3
n
+
+
+ ............ + (n − 2) + (n − 1) +
S =
n
3
2
1
+ (n − 1) + (n − 2) + ............ +
+
+
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ............ + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) [n addendi, tutti
uguali a (n + 1)]
2S = n ⋅ (n + 1)
n ⋅ (n + 1)
S=
2
Resta così acquisita l’importante
FORMULA (DI GAUSS)
per la somma dei primi n numeri interi positivi:
1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
2
3.2 - Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi?
Se un insieme I contiene n elementi, quanti elementi ha il suo insieme delle parti P(I)?
Insomma, quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi?
Risposta: 2n
Un modo per provare questo asserto è il seguente.
Immaginiamo di ordinare, in un modo qualsiasi, gli elementi di I: a, b, c, d, ...
Ora, se vogliamo costruire un sottoinsieme di I, potremo passare in rassegna questi elementi “schierati”
come dei soldatini, per scegliere quali inserire nel nostro sottoinsieme e quali invece non inserire.
• Per a abbiamo 2 possibilità: SI’ (inserirlo nel sottoinsieme che stiamo costruendo) o NO (non inserirlo).
• Per b abbiamo 2 possibilità (SI’ o NO) …
• Per c abbiamo 2 possibilità (SI’ o NO) …
• …
In definitiva, la costruzione di un sottoinsieme di I può avvenire in 2n modi diversi.
Pertanto, i sottoinsiemi di I sono in numero di 2n .
Ad esempio, quindi, l’insieme dei 12 Apostoli ha 212 = 4096 sottoinsiemi.
227
3.3 - Regola della somma
Se A e B sono due insiemi finiti DISGIUNTI
( = privi di intersezione = la cui intersezione è l’insieme vuoto = privi di elementi comuni),
allora
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) [ n(A ∪ B) indica il numero degli elementi di A ∪ B , ecc.]
E lo stesso vale se gli insiemi finiti di cui facciamo l’unione sono 3 o più e sono a due a due disgiunti.
3.4 - Principio di Inclusione/Esclusione (PIE)
Se A e B sono due insiemi finiti QUALSIASI, allora
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
In effetti, se per calcolare n(A ∪ B) noi determinassimo la somma n(A) + n(B) , sbaglieremmo in quanto
ci ritroveremmo a CONTARE 2 VOLTE gli elementi di A ∩ B : se un elemento è comune ad A e a B, facendo
n(A) + n(B) lo si conta una prima volta come elemento di A e poi una seconda volta come elemento di B.
Per cui basterà, partendo da n(A) + n(B) , sottrarre n(A ∩ B) , per avere il n° esatto degli elementi di A ∪ B .
Per tre insiemi finiti A, B, C la formula è un po’ più complicata:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) .
Prova tu stesso a cercare la giustificazione di questa uguaglianza!
In generale, per contare il numero degli elementi dell’unione di N insiemi finiti A1 , A 2 , ... , A N , la formula è
n ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A N ) =
=
∑ n( Ai ) −
1≤ i ≤ N
∑
1≤ i < j ≤N
(
)
n Ai ∩ A j +
∑
1≤ i < j< k ≤ N
(
)
n Ai ∩ A j ∩ Ak − ... + (−1) N −1 n ( A1 ∩ ... ∩ A N )
Esempio 1 - Quanti sono i numeri, da 1 a 1 milione, divisibili per 2 o per 3?
Risposta:
A = {numeri da 1 a 1000000 divisibili per 2}
posto B = {numeri da 1 a 1000000 divisibili per 3} , per il PIE avremo
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 500000 + 333333 − 166666 = 666667
3.5 - Regola del complementare
A volte, se ci si trova all’interno di un insieme universo finito U ,
e l’obiettivo è di contare il numero degli elementi di un suo sottoinsieme A,
risulta invece più agevole contare il numero degli elementi del complementare di A, dopodiché si sottrarrà:
n(A) = n(U) − n(A) .
Questo “passaggio al complementare” è particolarmente utile, di norma, quando l’insieme A è definito
come l’insieme degli elementi di U che soddisfano ad ALMENO UNA fra due o più condizioni.
Il complementare A di A sarà infatti, in questo caso, l’insieme degli elementi di U
che non verificano NESSUNA delle condizioni in gioco.
E di norma calcolare il numero degli elementi di questo A sarà più semplice, perché la determinazione diretta
del numero di elementi di A, per via della parola “almeno”, comporterebbe una laboriosa distinzione di casi.
Esempio 2 - Quanti sono i numeri di 3 cifre che presentano almeno una volta la cifra “1” ?
Risposta: n(numeri di 3 cifre che presentano almeno un "1") =
n(numeri di 3 cifre) − n(numeri di 3 cifre che non presentano NESSUN "1") =
= 900 − 8 ⋅ 9 ⋅ 9 = 900 − 648 = 252
3.6 - Regola del prodotto cartesiano
Ricordiamo che il prodotto cartesiano A× B di due insiemi A, B
è l’insieme i cui elementi sono le coppie ordinate ( a, b) nelle quali a ∈ A e b ∈ B .
Bene, il numero degli elementi di A× B , essendo A, B due insiemi finiti,
è semplicemente dato dal risultato della moltiplicazione n(A) ⋅ n(B) .
E la stessa regola si estende al prodotto cartesiano di tre o più insiemi.
Ad esempio, in un torneo andata-e-ritorno con 12 squadre, detto S l’insieme di queste squadre,
l’insieme di tutte le partite coincide sostanzialmente col prodotto cartesiano S × S , PRIVATO però
delle coppie i cui due elementi coincidono (perché evidentemente una squadra non gioca contro sé stessa).
Quindi il numero di partite del torneo è dato da 12 ⋅ 12 − 12 = 144 − 12 = 132
(risultato, questo, che si poteva ricavare anche con altre modalità di ragionamento).
228
3.7 - Combinazioni con ripetizione
Supponiamo di partire da un insieme di n oggetti, con l’intenzione di creare dei gruppi
in ciascuno dei quali siano presenti k oggetti, “pescati” dall’insieme degli n oggetti dati,
con la possibilità, fissato un oggetto, di utilizzarlo nessuna volta, una volta, o anche più volte.
Insomma:
gli oggetti della k-upla, che è pensata NON ordinata, non devono essere necessariamente tutti distinti.
In questo contesto, può essere k < n , k = n , oppure k > n .
Queste k-uple non ordinate saranno chiamate le
“combinazioni con ripetizione, degli n oggetti dati, di classe k”.
Ad esempio, dato l’insieme delle 4 lettere {A, B, C, D} , le loro combinazioni con ripetizione, di classe 3, sono
BCD, ACD, ABD, ABC, AAA, BBB, CCC, DDD,
AAB, AAC, AAD, ABB, BBC, BBD, ACC, BCC, CCD, ADD, BDD, CDD
NOTA - A dire il vero, come affermano M. Falanga e L. Battaia nel loro splendido sito http://www.batmath.it/,
forse sarebbe meglio parlare di “combinazioni, di classe k, di OGGETTI DI n TIPI”,
proprio per suggerire l’idea di “ripetibilità” in un modo psicologicamente più naturale:
l’idea di uno stesso “tipo” che può comparire diverse volte sembra più spontanea
rispetto a quella di un unico oggetto che si ha la possibilità di riutilizzare.
Si può dimostrare (noi qui omettiamo questa dimostrazione, che non è esageratamente difficile,
ma è comunque più elaborata rispetto alle precedenti di questo capitolo) che
n + k − 1⎞
il numero delle combinazioni con ripetizione di classe k di n oggetti è dato da C'n,k = ⎛⎜
⎟
⎝ k ⎠
4 + 3 − 1⎞ ⎛ 6 ⎞ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
= 20 .
Ad esempio, con n = 4 e k = 3 , abbiamo C'4,3 = ⎛⎜
⎟=⎜ ⎟=
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 ⋅ 2 ⋅1
Esempio 1 - In quanti modi è possibile distribuire 12 oggetti identici in 3 scatole A, B, C?
Risposta: Beh, potrei mettere 1 oggetto in A, 5 in B e 6 in C (schematizzando: ABBBBBCCCCCC);
oppure 4 oggetti in A, 8 in B, 0 in C (schematizzando: AAAABBBBBBBB), ecc. ecc. ecc.
Ma allora le possibilità di collocare questi 12 oggetti identici nelle 3 scatole date sono tante,
quante sono le combinazioni con ripetizione di classe 12, di 3 oggetti (le scatole), ossia sono
14!
14 ⋅ 13
3 + 12 − 1⎞ ⎛ 14 ⎞
C'3, 12 = ⎛⎜
=
= 91
⎟ = ⎜ 12 ⎟ =
12
2 ⋅1
⎝
⎠ ⎝ ⎠ 12!⋅ 2!
Esempio 2 - Quante sono le terne ordinate di numeri naturali (con possibilità di ripetizione),
che danno per somma 10?
Risposta: 10 = (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) ;
4
3
10 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) + () ;
O
3
6
4
...
0
Dunque si possono costruire terne ordinate di numeri naturali aventi per somma 10
in tanti modi quante sono le possibilità di collocare 10 oggetti identici in 3 scatole A, B, C.
3 + 10 − 1⎞ ⎛ 12 ⎞
E dall’esercizio precedente si trae che il numero dei modi è C '3, 10 = ⎛⎜
⎟ = ⎜ ⎟ = 66
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
Es. 3 - L’operazione (a + b + c + d + e) 6 ha come risultato un polinomio omogeneo di 6° grado nel quale
ogni termine contiene le 5 lettere a, b, c, d, e (non necessariamente tutte), e nei vari termini compaiono
tutte le possibili combinazioni di esponenti compatibili col vincolo che il termine sia, appunto, di grado 6.
Questo fatto si può comprendere pensando che la potenza (a + b + c + d + e) 6 equivale al prodotto
( a + b + c + d + e)( a + b + c + d + e)( a + b + c + d + e)( a + b + c + d + e)( a + b + c + d + e)( a + b + c + d + e) ,
e quest’ultimo può essere eseguito sommando algebricamente i prodotti di 6 fattori ottenibili prendendo
un termine da ciascuna parentesi, in tutti i modi possibili. Bene … quanti termini avrà questo polinomio?
Risposta: Uno dei termini avrà come parte letterale a bcde = aabcde , un altro a d = aadddd , ecc. ;
insomma: i termini sono tanti, quante le combinazioni con ripetizione di 5 oggetti, di classe 6.
5 + 6 − 1 ⎞ ⎛ 10 ⎞ 10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
Il numero di termini è perciò uguale a C '5, 6 = ⎛⎜
=
= 210
⎟=⎜ ⎟=
⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 6!⋅ 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
2
2 4
229
3.8 - Esercizi sul Capitolo 3
1) Quanto vale la somma 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n dei primi n numeri pari a partire da 2 ?
2) Quanto vale la somma 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) dei primi n numeri dispari ?
3) a) Serviti della figura a fianco per giustificare che 2(1 + 2 + 3 + ... + (n − 1)) + n = n 2
b) Dai poi anche una dimostrazione algebrica della stessa identità.
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4) Di fronte alle 8 proposte di un buffet, posso scegliere
di assaggiarle tutte, oppure solo una parte, o addirittura di stare a digiuno.
Ora … quante possibilità di scelta ho complessivamente?
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5) Cerco di educare bene i miei 12 figli, e ognuno di loro fa almeno uno sport fra Corsa e Palestra.
10 praticano la Corsa e 8 la Palestra. Sapresti dirmi quanti fanno entrambi gli sport?
6) Se in una classe i sufficienti in Matematica sono 14, i sufficienti in Latino sono 16 e in Inglese 18,
e si sa che 24 sono sufficienti in almeno una delle 3 materie e 10 sono sufficienti in tutte e 3, sarà possibile
stabilire con certezza quanti studenti sono sufficienti a) in esattamente 2 materie? b) in almeno due materie?
7) Fra i numeri da 1 a 1000, quanti presentano almeno una cifra uguale a 0?
8) In quanti modi posso piazzare 4 pedine fra loro indistinguibili, su di una scacchiera 4 X 4
come quella nella figura qui a destra, se voglio occupare almeno 1 volta una casella nera?
9) In quanti modi, se ho due tasche e un taschino, posso conservare 10 monete uguali?
10) Avendo 5 caldarroste, in quanti modi diversi le potrei distribuire a 5 bambini?
11) In quanti modi diversi potrei ritirare le mie 10 gomme identiche in 4 cassetti,
se desidero che comunque in ogni cassetto vada a finire almeno una gomma?
RISPOSTE
1)
2)
n(n + 1)
= n(n + 1) = n 2 + n
2
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n − 1) = (2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2 n) − n = n 2 + n − n = n 2 (interessante!)
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) = 2 ⋅
3a)
3b) 2(1 + 2 + 3 + ... + (n − 1)) + n = 2 ⋅
( n − 1)( n −1 +1 )
2
+ n = n 2 −n + n = n2
4) 2 = 256 : tante quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di 8 elementi.
8
5) n(C ∪ P) = n(C) + n(P) − n(C ∩ P) da cui
n(C ∩ P) = n(C) + n(P) − n(C ∪ P) = 10 + 8 − 12 = 6
6a)
n(M ∪ L ∪ I) = n(M) + n(L) + n(I) − n(M ∩ L) − n(M ∩ I) − n(L ∩ I) + n(M ∩ L ∩ I) da cui
24
14
16
18
10
n(M ∩ L) + n(M ∩ I) + n(L ∩ I) = n(M) + n(L) + n(I) + n(M ∩ L ∩ I) − n(M ∪ L ∪ I) = 34
14
16
18
10
24
ma facendo la somma n(M ∩ L) + n(M ∩ I) + n(L ∩ I)
si ottiene il numero di elementi dell’insieme ombreggiato in figura, che è quello a cui
si riferisce il quesito, AUMENTATO di 3 ⋅ n(M ∩ L ∩ I) . La risposta al quesito è perciò 34 − 3 ⋅ 10 = 4 .
6b)
n( almeno 2) = n(esattamente 2) + n(esattamente 3) = 4 + 10 = 14
7)
n( almeno uno "0") = n(totale) − n( nessuno "0") .
Ora, i numeri di 1 cifra senza “zeri” sono 9, quelli di 2 cifre senza “zeri” sono 9 ⋅ 9 = 81 , quelli di 3 cifre
senza “zeri” sono 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 729 . In totale, i numeri da 1 a 1000 senza la cifra “0” sono 9 + 81 + 729 = 819 .
Allora avremo n (almeno uno "0") = 1000 − n(nessuno "0") = 1000 − 819 = 181.
8)
n( almeno una " nera ") = n(totale) − n(tutte "bianche ") = ⎜
9)
3 + 10 − 1 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ 12 ⋅ 11
C '3,10 = ⎛⎜
= 66
⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟=
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⋅1
11)
C '4,6 = ⎛⎜
⎝
4 + 6 − 1⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
=
=
=
= 84
6 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
⎛16 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 16 ⋅15 ⋅14 ⋅13 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5
⎟ − ⎜ ⎟ = 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅1 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 1820 − 70 = 1750
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4⎠
5 + 5 − 1⎞ ⎛ 9 ⎞ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5
= 126
10) C '5,5 = ⎛⎜
⎟=⎜ ⎟=
⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
perché comincio a mettere 4 gomme ognuna in un cassetto
poi mi chiedo in quanti modi sia possibile ripartire
nei 4 cassetti le 6 gomme restanti.
230
4 - THE PIGEONHOLE PRINCIPLE (PHP)
Il “Principio dei Cassetti”, detto anche “Principio di Dirichlet”
(ma noi useremo invece il termine inglese
PIGEONHOLE PRINCIPLE, abbreviato PHP)
afferma questo:
“Se n piccioni devono occupare k buchi, e n>k
(il numero dei piccioni supera il numero dei buchi),
allora almeno uno dei buchi verrà a contenere almeno 2 piccioni”
Nei problemi, i “piccioni” sono oggetti, concreti o astratti (ad es. numeri)
mentre i “buchi” sono proprietà che tali oggetti possono possedere.
L’affermazione è del tutto ovvia;
comunque:
se per assurdo, con n piccioni e k buchi, e n>k,
il numero dei piccioni in ogni buco fosse <2,
allora il numero totale dei piccioni sarebbe
≤ 1
+ 1 + ... +1 = k < n
k volte
Qui abbiamo
10 piccioni ( n = 10 )
in 9 buchi ( k = 9 ).
(Pigeons-in-holes.jpg
by B. McKay;
GNU Free Documentation License)
quindi NON potrebbe essere uguale a n.
Esiste anche una VERSIONE GENERALIZZATA del principio, ossia:
“Se n piccioni devono sistemarsi in k buchi, e n>k
(il numero dei piccioni supera il numero dei buchi),
allora almeno uno dei buchi verrà a contenere almeno n/k piccioni”;
osserviamo che, dovendo il numero dei piccioni essere intero,
questo n/k significa in pratica: “ il più piccolo numero intero non inferiore a n/k ”
Per assurdo: supponiamo di avere n piccioni e k buchi, con n>k;
se il numero dei piccioni in ogni buco fosse <n/k,
allora il numero totale dei piccioni sarebbe
n n
n n
+ + ... + = ⋅ k = n
k
k
k
k
k volte
e NON potrebbe quindi essere uguale a n.
<
Il principio viene associato al nome di Dirichlet, matematico tedesco che lo adoperò nel 1834
sotto il nome di Schubfachprinzip ("principio dei cassetti").
Parecchi problemi, di effettivo interesse applicativo o di carattere “giocoso”, sono risolubili attraverso il PHP.
Non si tratta in genere di problemi di facile risoluzione:
in effetti, di norma è piuttosto spontaneo riconoscere che la risposta a un dato quesito è in qualche modo legata
al PHP, però non è poi così elementare capire quali siano, in quel particolare contesto, i “piccioni” ed i “buchi”.
Facciamo alcuni esempi.
a) Supponiamo che ciascun punto di un piano sia colorato: o di blu, o di rosso. Dimostrare che
in quel piano deve per forza esistere una coppia di punti a distanza uguale a 1, aventi lo stesso colore.
Dimostrazione
Consideriamo, sul piano in questione, un qualunque triangolo equilatero di lato uguale a 1.
Esso ha tre vertici (piccioni!) mentre i colori disponibili (buchi!) sono soltanto 2.
Pertanto, per il PHP, ci dovranno essere (almeno) due fra i vertici, colorati con lo stesso colore.
Tali due vertici sono i punti di cui si domandava di dimostrare l’esistenza.
b) Fra 6 interi, ce ne sono sempre senz’altro almeno 2 la cui differenza è un multiplo di 5: dimostralo!
Dimostrazione
Consideriamo i resti che si ottengono dividendo per 5 ciascuno di quei 6 interi.
Il resto di una divisione per 5 può valere 0, 1, 2, 3 o 4: non ci sono altre possibilità.
Abbiamo dunque solo 5 buchi (i possibili resti), con 6 piccioni (gli interi considerati).
Ci dovranno perciò essere, per il PHP, almeno due piccioni in uno stesso buco,
ossia almeno due interi che, divisi per 5, danno lo stesso resto.
Bene: la differenza fra quei due interi sarà un multiplo di 5, C.V.D.
231
c) Provare che in qualsiasi poliedro esistono sempre due facce aventi lo stesso numero di lati.
Dimostrazione
In un poliedro, ogni faccia “confina” con altre facce:
tante facce, quanti sono i lati della faccia iniziale.
Se in totale le facce di un poliedro sono n,
il numero massimo di facce con cui una data faccia può confinare è n − 1 .
E allora ciò significa che ogni faccia di un poliedro con n facce, non può avere più di n − 1 lati:
potrà avere 3 lati, 4 lati, … ma fino a un massimo di n − 1 lati e non di più: ci sono meno di n possibilità.
Se pensiamo di considerare, per ogni faccia, il numero dei suoi lati,
ossia se trattiamo le facce come “piccioni” e i numeri possibili di lati come “buchi”,
abbiamo più piccioni che buchi e perciò almeno due facce dovranno avere lo stesso numero di lati, C.V.D.
d) 9 persone siedono in una fila di 12 sedie.
Dimostra che nella fila c’è almeno una terna di sedie consecutive occupate.
Dimostrazione
Qui si potrebbe anche trovare il modo di utilizzare il PHP, ma è più semplice ragionare PER ASSURDO.
Se non ci fosse mai una terna di sedie consecutive occupata,
la configurazione in grado di garantire il numero massimo di persone sedute sarebbe
2-vuota-2-vuota-2-vuota-2-vuota oppure vuota-2-vuota-2-vuota-2-vuota-2
per un totale di 8 persone sedute soltanto. Non ci sarebbe posto per la nona persona.
E’ perciò assurdo supporre che non si abbiano mai più di 2 posti consecutivi occupati:
deve esistere per forza una sequenza di 3 o più posti occupati di seguito, C.V.D.
e) Ci sono 200 cestini di noci. E nessun cestino è vuoto, ma si sa pure che nessuno contiene più di 48 noci.
Dimostra che fra questi cestini, ce ne sono almeno 5 con esattamente lo stesso numero di noci.
Dimostrazione
Sfrutteremo la forma generalizzata del PHP. I piccioni sono 200, e i buchi sono 48.
Esiste perciò almeno un buco in cui vanno a finire almeno 200/48 = 4, …
ossia, passando al più piccolo intero non inferiore, almeno 5 piccioni.
Vale a dire: ci sono perlomeno 5 cestini che portano lo stesso numero di noci.
I seguenti due quesiti, decisamente più difficili, sono tratti dal meraviglioso sito
http://www.cut-the-knot.org/
Prima di sbirciare la soluzione, cimentati per conto tuo.
Aspettati, però, una riflessione davvero impegnativa, specie per il secondo!
f) At a party of N people, some pair of people are friends with the same number of people at the party.
Solution 1
A person at the party can have 0 up to N − 1 friends at the party.
However, if someone has 0 friends at the party, then no one at the party has N − 1 friends at the party,
and if someone has N − 1 friends at the party, then no one has 0 friends at the party.
Hence the number of possibilities for the number of friends the N people at the party have
must be less than N.
Hence two people at the party have the same number of friends at the party.
Solution 2
Può essere la tua … oppure: valla a cercare sul sito, nel quale trovi anche una terza risoluzione.
g) Suppose each point of the plane is colored red or blue.
Show that some rectangle has its vertices all the same color.
Draw three horizontal lines.
We'll find a rectangle with vertices on two of these.
The other sides are vertical.
At the intersection with the three horizontal lines,
every vertical line has three candidate points to serve as vertices of the sought rectangle.
Three points may be colored with 2 colors in 8 different ways.
So, if you choose 9 vertical lines, there are bound to be triplets of points colored in the same manner.
Select any two triplets colored in the same way - this gives you vertical sides.
In any triplet, at least two points are of the same color.
Select two such - this gives you horizontal sides.
232
ESERCIZI (alcune risposte e risoluzioni, ma volutamente non tutte, sono al termine della rassegna)
1) Dimostra che fra 400 persone, ce ne sono almeno 2 che festeggiano il compleanno nel medesimo giorno.
2) Al centro di una circonferenza viene piazzato un goniometro a 360°. Si scelgono, sulla circonferenza,
200 punti, corrispondenti ad angoli al centro la cui ampiezza sia di un numero intero di gradi.
Dimostra che, fra questi punti, ce n’è almeno una coppia “agli antipodi”, ossia tale che la loro congiungente
passi per il centro (Indicazione: i “buchi” siano “le coppie di punti agli antipodi” …)
3) Comunque si scelgano 10 punti su di un triangolo equilatero di lato 1, ne esistono sempre almeno 2
la cui distanza è ≤ 1/ 3 (Indicazione: suddividi il triangolo equilatero dato in…)
4) Dati 5 interi, ce ne sono almeno 2 la cui differenza è divisibile per 4.
E in generale, dati n interi, ce ne sono almeno 2 la cui differenza è divisibile per n − 1
5) Gli 85 partecipanti ad un pranzo in trattoria possono scegliere fra 4 possibili primi piatti.
Dimostra che almeno in 22 sceglieranno la medesima portata.
6) Nel gioco della tombola, intervengono gli interi da 1 a 90.
Dimostra che, dopo 46 estrazioni, è certo che almeno due dei numeri usciti siano consecutivi.
7) Dimostra che avendo 100 interi, se ne possono sempre scegliere 15 tali che la differenza
fra due qualsiasi di essi sia divisibile per 7 (Manhattan Mathematical Olympiad 2005)
8) Dimostra che a Milano ci sono sempre, istante per istante,
più persone che hanno esattamente lo stesso numero di capelli in testa.
9) Si scelgono a caso 4 interi. La loro somma è 30.
Allora certamente almeno uno dei 4 numeri è non inferiore a … ?
10) Sto recuperando i vecchi albi a fumetti che avevo accatastato in ordine sparso in soffitta.
Ce ne sono in tutto 120, di cui 40 di “Topolino”, 30 di “Tex”, 28 di “Zagor” e 22 di “Alan Ford”.
Ora mi diverto a pescare a caso gli albi per la lettura.
Quanti ne devo estrarre dal mucchio per essere certo che ce ne siano almeno 2 della stessa serie?
11) Se un test poteva fruttare un punteggio intero da 0 a 10, e 48 studenti lo hanno effettuato, allora il gruppo
più numeroso di studenti che hanno ottenuto ugual punteggio ha al minimo k elementi. Quanto vale k?
12) Ci sono 35 tavoli circolari e 110 sedie vengono disposte intorno ad essi.
Dimostra che ci sarà almeno un tavolo intorno al quale verranno disposte almeno 4 sedie.
13) Su di una circonferenza di raggio unitario vengono scelti 7 punti.
Dimostra che fra questi punti, ce ne sono almeno 2 a distanza <1.
14) Su di una circonferenza di raggio 3, ci sono 19 archi di lunghezza unitaria.
Siamo certi che almeno 2 fra questi archi siano parzialmente sovrapposti?
15) Dimostra che, se n piccioni occupano k buchi, c’è almeno un buco che contiene non più di n/k piccioni.
Da http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/pigeon.shtml,
che propone parecchi esercizi di questo tipo, alcuni dei quali molto impegnativi:
16) Prove that there exist two powers of 3 whose difference is divisible by 1997.
17) In a tournament where each team meets every other team once,
there are always two teams that played the same number of games.
Per procurarti altri problemi
interessanti, ti basta digitare
“Principio dei Cassetti”
o “Pigeonhole Principle”
su Google.
18) DIFFICILE. Vengono scelti a caso 10 interi nell’intervallo da 1 fino a 100. Dimostra che l’insieme di
questi 10 interi deve per forza avere almeno due sottoinsiemi non vuoti, con ugual somma degli elementi.
19) DIFFICILE, estensione dell’esempio g). Se ciascun punto di un piano è colorato, e può esserlo
in rosso, nero, o blu, allora esiste in quel piano un rettangolo i cui vertici sono tutti dello stesso colore.
20) DIFFICILE. 17 parlamentari di una federazione di Stati, nella quale ci sono 3 lingue ufficiali,
interloquiscono fra di loro in modo che ogni coppia di parlamentari dialoga con una e 1 sola di tali lingue.
Dimostra che esistono almeno 3 persone che comunicano fra loro utilizzando la stessa lingua
(riformulazione di un quesito della IMO, International Mathematical Olympiad, 1964)
21) DIFFICILE. In un gruppo di 6 persone, ne esistono sempre (almeno) 3
che si conoscono a due a due, oppure che sono a due a due estranee
(diamo qui per scontato che il “conoscersi” sia sempre simmetrico: se A conosce B, anche B conosce A).
22) DIFFICILE. Dati 52 numeri interi, almeno due di essi sono tali che la loro somma o la loro differenza
è divisibile per 100: dimostra questa affermazione.
23) DIFFICILE, assegnato alla American Mathematical Olympiad 1981.
Supponiamo di avere 27 distinti numeri interi dispari, tutti minori di 100.
Dimostra che fra essi c’è sempre almeno una coppia avente per somma 102.
233
24) DIFFICILE. Ogni insieme di 17 interi contiene 5 interi la cui somma è divisibile per 5: dimostralo.
25) DIFFICILE. Dati 101 interi scelti nell’intervallo da 1 a 200, fra di essi ne esistono senz’altro almeno due
tali che uno sia divisore dell’altro.
Da http://yusuf1505.web.ugm.ac.id/kuliahku/
26) 15 children together gathered 100 nuts. Prove that some pair of children gathered the same number of nuts.
27) Prove that among any set of 51 positive integers less than 100, there is a pair whose sum is 100.
ALCUNE RISPOSTE, E RISOLUZIONI DI ESERCIZI DIFFICILI
9) 8
10) 5
11) 5
14) Sì: la circonferenza è lunga … mentre la somma degli archi …
15) Per assurdo
18) Quanti sono i possibili sottoinsiemi di un insieme di 10 elementi? 2 = 1024 .
E quelli non vuoti? Evidentemente 1023. Quante sono le diverse somme ottenibili prendendo come addendi
da 1 a 10 interi scelti nell’intervallo da 1 a 100? Beh, la somma più piccola vale 1 (questa viene dall’insieme
unitario che ha come elemento il più piccolo dei numeri in gioco), e la somma più grande possibile è invece
10 ⋅11
91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 90 ⋅10 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 900 +
= 955 .
2
Si hanno dunque 955 possibili somme. Ma gli insiemi sono 1023, quindi si hanno più piccioni che buchi.
Almeno un buco dovrà essere occupato da almeno 2 piccioni, vale a dire:
ci saranno certamente 2 insiemi caratterizzati dalla stessa somma.
10
20) Prendiamo una qualsiasi delle 17 persone: chiamiamola per fissare le idee P1.
Essa interloquisce, nell’una o nell’altra delle 3 lingue, con 16 persone, e di conseguenza,
per il PHP generalizzato, dovrà comunicare con almeno 6 di queste attraverso l’uso della stessa lingua L1.
Se 2 fra tali 6 persone comunicano fra di loro sempre con L1,
ecco che quelle 2, insieme con P1, formano il gruppo di 3 cercato.
Altrimenti, tutte le 6 persone comunicheranno fra loro in una delle lingue L2 o L3.
Prendiamo una qualunque di tali 6 persone: chiamiamola P2.
P2, quando comunica con le altre 5 persone,
dovrà per forza rivolgersi con la stessa lingua, diciamo L2, ad almeno 3 di esse.
Se 2 fra queste 3 utilizzano sempre L2 per comunicare fra loro,
ecco che insieme a P2 formano il gruppo di 3 cercato.
Altrimenti, le 3 persone comunicheranno attraverso L3, e formeranno esse stesse il famoso gruppo di 3.
Il quale dunque, in qualsiasi caso, esiste, come volevasi dimostrare.
21) Ci semplifichiamo la vita se illustriamo il problema geometricamente. Rappresentiamo le nostre
6 persone con 6 punti; se 2 persone si conoscono le collegheremo con un segmento, altrimenti no.
Si tratta di dimostrare che esiste sempre un insieme di 3 punti che sono
TUTTI collegati fra loro (triangolo) oppure MAI collegati fra loro.
Prendiamo uno qualsiasi dei 6 punti, chiamandolo P per fissare le idee.
Pensiamo ai 5 punti rimanenti: P potrà, con ciascuno di essi, essere collegato oppure no.
2 possibilità, 5 punti: una di queste possibilità si verificherà per almeno 3 dei 5 punti.
Dunque senz’altro il punto P
a) sarà collegato con almeno 3 dei rimanenti
b) oppure non sarà collegato con almeno 3 dei rimanenti.
Supponiamo che si verifichi l’eventualità a). Allora sono possibili 2 sottocasi:
♪ fra i 3 punti, almeno 2 son collegati fra loro
(e allora, insieme con P, formano una terna di punti a due a due collegati)
♫ oppure nessuno dei 3 punti è collegato con gli altri 2 (e abbiamo così una terna di punti non collegati).
Supponiamo invece che si verifichi l’eventualità b). 2 sottocasi:
♪ fra i 3 punti, almeno 2 non sono collegati fra loro
(e allora, insieme con P, formano una terna di punti a due a due non collegati)
♫ oppure ciascuno dei 3 punti è collegato con gli altri 2 (e abbiamo così una terna di punti collegati).
23) I numeri in questione sono “pescati” dall’insieme {1, 3, 5, ..., 99} .
Possiamo considerare ora tutte le coppie la cui somma è 102, ossia {3, 99}, {5, 97}, {7, 95}, ... , {49, 53}
e aggiungere a questo elenco i due insiemi unitari aventi per elementi ciascuno un “orfanello”: {1} e {51} .
Ecco qui dunque 24+2=26 insiemi. Abbiamo così 26 “buchi” (gli insiemi) e 27 “piccioni” (i numeri iniziali).
Almeno due piccioni devono stare, per il PHP, nello stesso buco, quindi
almeno due fra i nostri numeri devono stare nello stesso insieme e perciò dare per somma 102, C.V.D.
26) Proof by contradiction. Suppose all the children gathered a different number of nuts.
Then the fewest total number is 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 14 = 105 , but this is more than 100, a contradiction.
234
5 - ESERCIZI CONCLUSIVI (risposte alle pagg. 239 … 243)
1)
a) Cosa si intende per “disposizioni di n oggetti, presi a k a k ” ?
b) Scrivi quanto vale il numero D n, k di tali disposizioni e spiega brevemente perché ha questo valore.
2)
a) Cosa si intende per “combinazioni di n oggetti, presi a k a k ” ?
b) Dimostra che il numero Cn, k di tali combinazioni è dato da
n!
k !(n − k )!
3)
Quante sono le permutazioni cicliche di n oggetti? Perché?
4)
n
Scrivi la formula del “binomio di Newton” ( a + b ) = ... e utilizzala per calcolare ( x 2 − 2 )
5
5)
a) Quanti sottoinsiemi ha un insieme di 8 elementi?
b) Può un insieme avere esattamente 4000 sottoinsiemi?
c) Se un insieme ha 32768 sottoinsiemi, quanti elementi ha?
6)
Quanto vale la somma 1001 + 1002 + 1003 + ... + 1999 + 2000 ?
7)
Per il mio compleanno mi hanno regalato 5 libri.
a) In quanti ordini diversi potrei decidere di leggerli?
b) Posso portarli in ferie tutti, o nessuno, o solo in parte.
In quanti modi diversi potrei effettuare la scelta dei libri da portar via?
c) Un amico mi ha chiesto di prestargliene 2. In quanti modi potrei scegliere quali dargli?
8)
Quante possibilità si hanno, se si vuole costruire una password formata da:
una sequenza di 5 lettere minuscole (possibilità di ripetizione di una stessa lettera;
sono utilizzabili le 26 lettere dell’alfabeto anglosassone) …
… seguita da una sequenza di 3 cifre, non necessariamente distinte?
Se invece la password fosse di 8 caratteri, ciascuno dei quali possa essere o una cifra da 0 a 9,
oppure una lettera, o minuscola o maiuscola, con possibilità di ripetere una o più volte uno stesso simbolo,
a quanto salirebbe il numero delle password teoricamente possibili?
9)
In un’assemblea di 100 persone, si devono scegliere un presidente e un segretario.
Stabilisci in quanti modi è possibile effettuare la scelta:
a) se gli incarichi sono compatibili b) se sono incompatibili
10) In un sacchetto ci sono 9 palline, 3 delle quali recano scritto sulla superficie il numero “1”,
altre 3 il numero “2”, le rimanenti 3 il numero “3”.
Si estrae una pallina e si segna la cifra corrispondente.
Senza reimbussolare la pallina estratta,
se ne estrae un’altra, si segna la cifra corrispondente a destra della precedente …
e si prosegue in questo modo fino ad esaurire tutte le palline.
Si costruisce così un numero a 9 cifre.
Quanti numeri distinti è possibile ottenere in questo modo?
11) Quante diagonali ha un poligono di 13 lati? E, in generale, un poligono di n lati?
12) 20 persone si suddividono in 5 gruppi da 4 persone; ogni gruppo fa il girotondo.
Ciò è molto bello, ma tu dimmi: in quanti modi diversi è possibile organizzare questo insieme di girotondi?
13) Quanti sono i numeri, da 1 a 1000000 estremi inclusi, che sono multipli
a) di 8 o di 9? b) di 8 o di 10? c) di 8 o di 56?
14) Quanti sono i quadrati perfetti nell’intervallo da 100000 fino a 500000?
15) Ciascuno dei 200 allievi di un campus universitario è iscritto a 1 o più fra i seguenti gruppi sportivi:
Atletica, Basket, Pallavolo.
a) Sapendo che gli iscritti ad Atletica sono in totale 100, a Basket 80, e a Pallavolo 60, non è possibile
determinare con certezza il numero di coloro che sono iscritti a tutti e 3 i gruppi simultaneamente!
Perché?
b) Se si sapesse inoltre che n(A ∩ B) = n (A ∩ P) = n(B ∩ P) = 15 ,
a questo punto si riuscirebbe a stabilire n(A ∩ B ∩ P) ?
16) Quanti, fra i numeri naturali con non più di 3 cifre, hanno
a) tutte le cifre dispari? b) tutte le cifre pari? c) almeno una cifra pari?
235
17) Quanti, fra i numeri naturali con minimo 2 e massimo 3 cifre, hanno
a) tutte le cifre uguali fra loro?
b) tutte le cifre diverse fra loro?
c) non tutte le cifre uguali fra loro?
18) Per il gioco degli scacchi
si utilizza una scacchiera con 64 caselle.
Ora, la “torre” si può muovere soltanto
orizzontalmente o verticalmente.
In quanti modi
è possibile collocare
una coppia di torri,
una bianca e una nera,
su di una scacchiera vuota,
in modo che nessuna “minacci” l’altra?
19) Un pallone da calcio è formato da un certo numero di pezze di cuoio,
di cui 12 di forma pentagonale e le rimanenti di forma esagonale.
Sapresti determinare il numero di queste ultime?
Indicazione:
il numero di vertici può essere contato in due modi differenti,
che però dovranno portare al medesimo risultato.
In effetti tale numero totale di vertici:
• da una parte, coincide col numero totale dei vertici di pentagono;
• dall’altra, ha a che fare anche col numero degli esagoni,
perché a ben guardare ogni vertice è comune a due esagoni.
Detto dunque x il numero incognito degli esagoni, vale l’uguaglianza …
da cui si può ricavare x.
20) Devo fare i compiti di ben 4 materie diverse, e non so in che ordine affrontarle. Quante possibilità avrei?
21) Conta il numero di anagrammi della parola “pappagalla”
22) Anna vuol mettere una serie di anelli alla sua mano destra, uno per dito.
Stabilisci in quanti modi diversi può indossare gli anelli Anna
a) nell’ipotesi che abbia 3 anelli fra loro differenti
b) nell’ipotesi che abbia 3 anelli, tutti fra loro identici
c) nell’ipotesi che abbia 5 anelli, tutti differenti fra loro
d) nell’ipotesi che abbia 5 anelli, 3 identici fra loro, e 2 identici fra loro ma diversi dai precedenti.
23) I numeri in base due possono avere come cifre soltanto 0 oppure 1.
Quanti sono gli interi, in base due, aventi al massimo sei cifre?
(Notare che, se il numero ha più di una cifra, la cifra iniziale non può essere 0).
24) Una comitiva di famigliole fa una bella escursione in montagna.
Su di un sentiero nel quale è possibile procedere solo in fila indiana,
in quanti ordini differenti è possibile disporsi se i mariti sono 5, altrettante le mogli, i bambini 8,
e si desidera che il gruppo degli uomini sia in testa, i bambini in mezzo e in fondo le donne a sorvegliare?
25) Ho comprato un vassoietto di paste: 3 bignole, 4 meringhe, 5 sfoglie.
Adesso me le sbafo, una dopo l’altra. Quante possibilità ho per l’ordine dei sapori?
(Qui si suppone che le paste di uno stesso tipo siano indistinguibili fra loro).
26) Serena vuole pitturarsi le unghie dei piedi. Ha a disposizione 2 colori soltanto: rosa e azzurro.
a) Ogni unghia andrà colorata; si potrà utilizzare un solo colore, o entrambi.
Stabilire in quanti modi diversi potrà avvenire la colorazione.
b) E se Serena volesse colorare esattamente 5 unghie in rosa e le rimanenti in azzurro,
quante possibilità avrebbe?
236
27) a) In quanti modi posso disporre 15 libri su di uno scaffale, se 5 sono di Matematica,
5 di Fisica e 5 di Scienze e io desidero che i libri di una stessa materia siano vicini fra loro?
b) E se invece avessi la situazione seguente:
5 libri identici fra loro, altri 5 identici fra loro ma diversi dai precedenti, e ancora altri 5
identici fra loro ma diversi da tutti gli altri, potendo disporre i libri in un ordine qualsiasi,
senza vincolo alcuno, quante configurazioni fra loro distinguibili potrei ottenere?
28) Stabilisci in quanti modi si possono disporre intorno ad un tavolo circolare 8 ragazzi e 2 insegnanti, se
a) i due insegnanti vogliono sedersi uno accanto all’altro
b) i due insegnanti non vogliono sedersi uno accanto all’altro
28' ) Stabilisci in quanti modi si possono disporre intorno ad un tavolo circolare 8 ragazzi e 4 insegnanti, se
a) i quattro insegnanti vogliono sedersi uno accanto all’altro
b) nessun insegnante vuole sedersi a fianco di un altro insegnante
29) 16 alunni in gita scolastica saliranno su di un’alta cupola alla quale si accede esclusivamente tramite
un ascensore con 4 posti. In quanti modi sarebbe teoricamente possibile suddividere la classe nei 4 gruppi
da 4 persone, tenendo conto anche dell’ordine in cui l’ascensore sarà utilizzato dai diversi gruppi?
30) Quanti sono gli interi di 4 cifre, le cui cifre da sinistra a destra decrescono (es. 8540)?
31) Quanti sono i numeri, da 1 a 1000, che non sono divisibili né per 12 né per 18?
32) Un numero di targa automobilistica italiano è formato
da una coppia di lettere, seguita da una terna di cifre,
a sua volta ancora seguita da una coppia di lettere.
Si è deciso che possano essere utilizzate le lettere dell’alfabeto inglese, ma non tutte:
sono vietate la I, la O, la Q e la U per la facilità di confusione di questi simboli con altri.
Restano dunque a disposizione 22 lettere, mentre le cifre dei tre numeri possono andare ciascuna da 0 a 9.
Ciò premesso, quante diverse targhe sono teoricamente possibili con queste regole?
⎛n⎞
⎛ n − 1⎞
33) Dimostra che a) k ⎜ ⎟ = n ⎜
⎟
⎝k ⎠
⎝ k − 1⎠
() () ()
()
n + 2 n + 3 n + ... + n n = n ⋅ 2n−1
2
3
n
b) 1
( IMPEGNATIVO. Utilizza l ' es. precedente, e una identità nota )
34) Quanti triangoli vedi nella figura qui a fianco?
2
Se la tua risposta coincide con la soluzione dell’equazione ( x − 4 ) + 9 = x ( x − 3) , hai detto bene.
… E in quest’altra?
Beh, ci sarà voluto un attimo in più, ma suppongo che tu abbia risposto ancora correttamente:
Il numero richiesto è uguale alla soluzione dell’equazione x / 2 − 1 = x / 4 + (3/ 2)2 .
Ora, aumentando il numero delle suddivisioni dei lati del triangolo equilatero grande,
stabilire quanti triangoli si vedono nella figura è sempre più laborioso.
Ci riusciresti, nei casi seguenti?
Prima di andare a vedere le risposte a pagina 242, datti da fare per il tempo necessario!
237
Da Stefano Barbero e Nadir Murru, dell’Università di Torino:
35) La cassaforte di Zio Paperone ha una combinazione costituita da 10 cifre comprese tra 0 e 9.
Quante possibili combinazioni ha a disposizione Zio Paperone contro i Bassotti?
Quante diventerebbero le combinazioni possibili, se decidesse di evitare cifre consecutive uguali?
36) Qui, Quo e Qua decidono di allenare una squadra di calcio con i compagni di scuola.
Se possono scegliere tra 26 compagni fra cui ci sono 4 portieri, 5 difensori, 8 centrocampisti e 9 attaccanti,
quante formazioni possibili con 1 portiere, 3 difensori, 4 centrocampisti e 3 attaccanti possono formare?
Se Qui, Quo e Qua volessero giocare in ogni formazione, quante sarebbero le formazioni possibili
sapendo che Qui è un difensore, Quo un centrocampista e Qua un attaccante?
37) Amelia, la fattucchiera che ammalia, è inferocita con il suo corvo Gennarino, perché ha strappato
inavvertitamente la pagina con la parola magica per conquistare il decino di Zio Paperone.
Purtroppo sono rimaste solo lettere sparpagliate e illeggibili. Amelia si ricorda che la parola magica
aveva 10 lettere tutte fra loro distinte del nostro alfabeto di 21 simboli, iniziava con una vocale
e a ogni vocale seguiva una sola consonante. Quante possibili parole magiche può ricostruire Amelia?
38) Pippo, Topolino e Minnie vanno al cinema e decidono di sedersi in una fila vuota da 8 posti.
In quanti modi distinti possono sedersi i tre amici?
Se Minnie e Topolino vogliono stare vicini quante diventano le disposizioni possibili?
39) Pietro Gambadilegno vuole indicare con una crocetta sulla carta di Topolinia i suoi prossimi 5 obiettivi.
Sapendo che a Topolinia ci sono 6 banche e 4 gioiellerie, quante saranno le possibili scelte?
Se Pietro, volendo fare un regalo alla sua Trudy, decide di includere certamente almeno 2 gioiellerie,
quante diventano le scelte possibili in questo caso?
40) Pico De Paperis deve ricostruire un geroglifico della tribù dei Sainent ormai eroso dal tempo.
Da un antico e polveroso volume deduce che questo geroglifico è costituito da tre simboli non
necessariamente distinti e che i geroglifici dei Sainent costituiti da tre simboli possono dare luogo
ad almeno 340 significati diversi.
Qual è il numero minimo di simboli usati dai Sainent?
Se i simboli dei Sainent fossero solo 5 quanto dovrebbe essere la lunghezza minima di un geroglifico
per codificare con simboli (anche ripetuti) almeno 3000 parole distinte di questo arguto popolo?
41) In quanti modi diversi si potevano sedere Artù e i 12 cavalieri della tavola rotonda?
42) In una gelateria che ha 10 qualità di gelato, Pierino vuole comprarsi un cono con 3 palline.
a) Quante diverse combinazioni può scegliere, se vuole che i gusti delle tre palline siano tutti diversi?
b) E se vuole tre gusti diversi, fra i quali almeno uno tra cioccolato e pistacchio?
c) Infine, in quanti modi Pierino potrebbe farsi servire un cono con tre palline di gelato,
di gusti non necessariamente diversi?
43) In un prato fiorito ci sono 10 fiori. In quanti modi diversi 5 api si possono disporre sui fiori?
44) In una squadra di calcio in campo (escluso il portiere)
ci sono 10 calciatori e 6 sono in panchina (escluso il portiere di riserva).
L'allenatore ha clamorosamente sbagliato formazione iniziale
e a fine primo tempo vuole effettuare delle sostituzioni (senza coinvolgere i portieri).
Sapendo che ha a disposizione 3 cambi e li vuole effettuare tutti, quante possibili scelte diverse può fare?
45) In un Liceo ogni classe ha una squadra di calcetto, e incontra ogni altra classe una sola volta.
Se le partite sono in totale 105, quante sono le classi?
46) a) Una classe di Liceo ha 27 alunni, che non sono tutte femmine; tuttavia, presi due alunni qualsiasi,
fra essi c’è certamente almeno una femmina. Si domanda quanti sono i maschi in quella classe.
b) Una classe di Liceo ha 27 alunni, che non sono tutte femmine; tuttavia, presi tre alunni qualsiasi,
fra essi c’è certamente almeno una femmina. Si domanda quanti sono i maschi in quella classe.
47) Con quanti zeri termina il risultato
a) della somma 1 + 2 + 3 + ... + 99 ?
b) della moltiplicazione 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 99 ?
48) Nell’asilo di un paesino di montagna ci sono 8 bambini, e fra questi c’è una coppia di gemelli.
Ora, le maestre intendono far giocare i bambini in due squadrette di 4, ma non vogliono che i gemelli
facciano parte della stessa squadra, per favorirne la socializzazione con gli altri piccoli.
In quanti modi diversi è possibile teoricamente suddividere i bambini in squadre?
238
49) Un gruppo di pensionati, 5 uomini e 5 donne, frequenta al Circolo Anziani un corso di ballo e uno di Inglese.
a) Per il corso di ballo, in quanti modi si possono teoricamente formare le coppie?
Per il corso di Inglese, in aula ci sono 5 banchi doppi, e l’insegnante chiede che in ognuno di essi
si sistemino un uomo e una donna, con la donna a destra dell’uomo.
b) In quanti modi diversi è possibile che i banchi vengano occupati?
c) E se il vincolo “donna a destra dell’uomo” non ci fosse?
50) Se per i 6 alunni insufficienti in Italiano la professoressa organizza un’ultima verifica di recupero,
che consiste in un tema di letteratura per il quale sono proposte quattro tracce alternative,
stabilisci in quanti modi diversi possono, teoricamente, i ragazzi scegliere l’argomento del tema.
51) a) Stabilisci quanti lati ha un poligono che possiede 170 diagonali.
b) Alla cerimonia di inizio di un torneo di scherma, i partecipanti si stringono la mano in tutti i modi possibili.
Tuttavia, poiché due fra gli schermidori non sono ancora arrivati per un ritardo dei treni,
le strette di mano sono 21 in meno di quelle che avrebbero dovuto teoricamente essere.
Quanti atleti sono iscritti alla competizione?
PROBLEMI ASSEGNATI ALL’ESAME DI STATO DEL LICEO SCIENTIFICO
52) Dimostrare che si ha (formula di Stifel)
⎛ n ⎞ = ⎛ n − 1⎞ + ⎛ n − 1 ⎞
⎜ k ⎟ ⎜ k ⎟ ⎜ k − 1⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0
(2001, Tradizionale)
53) Si consideri una data estrazione in una determinata ruota del Lotto.
Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90
(2003, Tradizionale)
54) Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno)
nel campionato italiano a 18 squadre?
(2003, PNI)
55) Considerati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c} , quante sono le applicazioni (=le funzioni) di A in B?
(2004, Tradizionale e PNI)
NOTA: ricordiamo che una “funzione” di A in B è una corrispondenza tale che
ad ogni elemento di A corrisponda uno e un solo elemento di B
56) Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano:
un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando
il numero dei chicchi, fino alla sessantaquattresima casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38 g,
calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.
(2006, Tradizionale e PNI)
57) Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b) n è uguale a 2 n per ogni n ∈ `
(2006, Tradizionale e PNI)
⎛ n⎞
⎛ n − 2⎞
58) Si risolva l’equazione 4 ⎜ ⎟ = 15⎜
⎟
⎝ 4⎠
⎝ 3 ⎠
(2007, Tradizionale)
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
59) Se ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?
(2008, Tradizionale)
⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
(NOTA:
le progressioni aritmetiche sono quelle successioni nelle quali la differenza fra due termini consecutivi
è costante: ad esempio, 1 4 7 10 13 16 19 … è una progressione aritmetica
perché fra un termine e il successivo la differenza è sempre 3).
⎛ n ⎞ = ⎛ n ⎞ ⋅ n − k con n e k naturali e n > k
60) Si dimostri l’identità ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ k + 1⎠ ⎝ k ⎠ k + 1
(2009, Tradizionale e anche PNI)
61) In una scatola di legno sono contenute alcune matite colorate. Per ogni colore vi è lo stesso numero di matite.
Per avere la certezza di prendere una matita blu, naturalmente senza poter sceglierla, bisogna estrarne 25,
e per esser certi di prendere tutte le matite di uno stesso colore bisogna invece estrarne 29.
Quante matite ci sono nella scatola?
(dalla divertente, pulita e istruttiva Settimana Enigmistica)
Cercando su Internet è possibile trovare, evidentemente, tanti altri bei problemi!
239
RISPOSTE
1a) Sono le k-uple ordinate, costruibili utilizzando senza ripetizione k fra quegli n oggetti.
1b) D n, k = n( n − 1)...( n − k + 1)
perché, nel costruire una k-upla partendo da un insieme di n oggetti dati,
per la scelta del primo oggetto ho n possibilità,
per ciascuna delle quali mi si apre un ventaglio di (n − 1) possibilità per la scelta del secondo oggetto, ecc.
Devo avere in totale k fattori, quindi mi fermo a (n − k + 1) ;
se mi fermassi a (n − k ) sbaglierei, perché ci sarebbe un fattore in più.
2a) Sono le k-uple non ordinate, costruibili utilizzando senza ripetizione k fra quegli n oggetti.
2b) La dimostrazione è in due fasi.
Prima di tutto, avremo C n, k =
D n, k
perché (Terzo principio del Calcolo Combinatorio)
k!
se ho contato il numero D n,k delle k-uple ordinate,
allora il numero C n,k delle k-uple non ordinate si otterrà semplicemente dividendo per k !
A questo punto, moltiplicando sia “sopra” che “sotto” per (n − k )! , avremo la tesi. Insomma:
D n, k n ⋅ (n −1) ⋅...⋅ ( n − k +1) ( n − k )! n ⋅ ( n −1) ⋅...⋅ ( n − k +1) ( n − k ) ( n − k −1) ⋅...⋅ 3⋅ 2 ⋅1
n!
C n, k =
=
⋅
=
⋅
=
k!
k!
k!
k !( n − k)!
(n − k )!
(n − k )!
3) n!/ n = (n − 1)! Si parte infatti dal numero n! di modi in cui è possibile mettere in ordine quegli oggetti,
poi si pensa che ognuna di queste n-uple fa parte di un gruppo di n n-uple fra loro equivalenti per rotazione
n
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n
⎛n⎞
4) (a + b) n = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n−1b + ⎜ ⎟ a n − 2b 2 + ... + ⎜
ab + ⎜ ⎟ b = ∑ ⎜ ⎟ a n −k b k
⎟
n
n
0
1
2
1
−
k =0 ⎝ k ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
5 ⎛5⎞
5 ⎛5⎞
4
3
2
5
2 ⎛ 5⎞
3 ⎛5 ⎞
4 ⎛ 5⎞
⎛5⎞
x 2 − 2 = ⎜ ⎟ x 2 + ⎜ ⎟ x 2 ( −2) + ⎜ ⎟ x 2 ( −2) + ⎜ ⎟ x 2 ( −2 ) + ⎜ ⎟ ⋅ x 2 ⋅ ( −2 ) + ⎜ ⎟ ( −2) =
0
1
2
3
4
5
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= x10 + 5 x8 ⋅ ( −2 ) + 10 x6 ⋅ 4 + 10 x 4 ⋅ ( −8) + 5 x 2 ⋅16 − 32 = x10 − 10 x8 + 40 x 6 − 80 x 4 + 80 x 2 − 32
(
)
( )
( )
( )
( )
5) a) 28 = 256
b) No, perché il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi è 2n , ma 4000 non è una potenza di 2
c) 15, perché 32768 = 215
6) 1001 + 1002 + 1003 + ... + 1999 + 2000 = (1 + 2 + 3 + ... + 1999 + 2000) − (1 + 2 + 3 + ... + 999 + 1000) =
Formula 2000 ⋅ 2001 1000 ⋅ 1001
=
−
= 1000 ⋅ 2001 − 500 ⋅ 1001 = 500 ⋅ (4002 − 1001) = 500 ⋅ 3001 = 1500500
di GAUSS
2
2
oppure: 1001 + 1002 + 1003 + ... + 1999 + 2000 = (1000 + 1000 + ... + 1000) + (1 + 2 + ... + 999 + 1000) =
1000 addendi
= 1000 ⋅ 1000 +
1000 ⋅1001
= 1000000 + 500 ⋅ 1001 = 1000000 + 500500 = 1500500
2
()
7) a) 5! b) In tanti modi quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di 5 elementi, ossia 25 = 32 c) 5 = 10
2
5
3
8
8) 26 ⋅ 10 ; 62
9) a) 100 ⋅ 100 = 10000
b) 100 ⋅ 99 = 9900
OSSERVAZIONE: non bisogna dividere per 2, perché importa l’ordine, quindi le coppie sono ordinate:
la scelta Tizio=Presidente, Caio=Segretario non equivale alla scelta Caio=Presidente, Tizio=Segretario
9!
= 1680
3! ⋅ 3! ⋅ 3!
9 6⎞
oppure ⎛⎜ ⎞⎛
⎟⎜ ⎟ (sui 9 posti a disposizione, scelgo quei tre in cui suppongo compaiano gli “1”; poi fra i
⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠
6 posti restanti scelgo i tre posti per i “2”; i posti che restano verranno occupati dai “3”)
10) P9(3,3,3) =
240
11) Tante quanti sono i modi di collegare ciascuno dei 13 vertici coi 10 vertici ottenuti ignorando
quello da cui si parte e anche il precedente e il successivo … però a ben guardare in questo modo
una stessa diagonale verrebbe ri-disegnata 2 volte, quindi il numero così ottenuto andrà poi diviso per 2.
La risposta esatta è perciò (13 ⋅ 10) / 2 = 65 diagonali.
Ragionamento alternativo: le diagonali sono tante quante le coppie non ordinate di vertici distinti,
salvo poi sottrarre dal computo i 13 lati. Quindi: (13 ⋅ 12) / 2 − 13 = 65
n(n − 3)
In generale, un poligono di n lati possiede
diagonali.
2
12) Difficilotto.
Innanzitutto, immaginiamo di scegliere le 4 persone che costituiranno, diciamo così, il Primo gruppo
20
possibilità.
(poi, tuttavia, l’ordine dei gruppi non conterà). Per questa scelta, abbiamo
4
()
( )
16
possibilità, e così via.
4
Perciò possiamo suddividere le 20 persone nei 5 gruppi di 4 persone ciascuno
20 16 12 8 4
⋅
⋅
⋅
⋅
4
4
4
4 4
in
modi, dove la divisione per 5! si deve al fatto che abbiamo pensato,
5!
per comodità psicologica, di costituire un Primo Gruppo, poi un Secondo gruppo, ecc.,
ma poi i gruppi così formati non hanno “dignità” differenziate e quindi non conta l’ordine.
A questo punto, per costituire il secondo gruppo, abbiamo
( )( )( )( )( )
Ma adesso i componenti di ogni singolo gruppo si mettono a fare il girotondo!
Quindi i componenti di ciascun gruppo si possono disporre, dandosi la mano e mettendosi in cerchio,
in 3! = 6 modi, tanti quante sono le permutazioni cicliche di 4 oggetti.
Perciò il numero di “configurazioni” sarà uguale al numeraccio determinato precedentemente
(che era poi il numero dei modi in cui le 20 persone potevano ripartirsi in 5 gruppi da 4 persone),
MOLTIPLICATO per 3! per tante volte quanti sono i gruppi.
Si ottiene così il numero
⎛ 20 ⎞ ⋅ ⎛ 16 ⎞ ⋅ ⎛ 12 ⎞ ⋅ ⎛ 8 ⎞ ⋅ ⎛ 4 ⎞
⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅ 3! ⋅ 3! ⋅ 3! ⋅ 3! ⋅ 3!
5!
che è la risposta esatta al quesito.
13) a) Quanti sono i multipli di 8 minori o uguali di 1000000?
1000000 : 8 = 125000; 8 ⋅ 1 = 8, 8 ⋅ 2 = 16, ... , 8 ⋅ 125000 = 1000000 quindi sono 125000.
Quanti sono i multipli di 9 minori o uguali di 1000000?
1000000 : 9 = 111111,...; 9 ⋅1 = 9, 9 ⋅ 2 = 18, ... , 9 ⋅ 111111 = 999999 quindi sono 111111
Quanti sono i numeri interi ≤ 1000000 che sono multipli simultaneamente sia di 8 che di 9?
Beh, si tratta dei multipli di 72!
1000000 : 72 = 13888,...; 72 ⋅1 = 72, 72 ⋅ 2 = 144, ... , 72 ⋅ 13888 = 999936 quindi sono 13888
Ora, n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = 125000 + 111111 − 13888 = 222223 .
b) n( multipli di 8 minori o uguali di 1000000) = 125000
n( multipli di 10 minori o uguali di 1000000) = 100000
n( multipli sia di 8 che di 10 che sono ≤ 1000000) =
= n( multipli di 40 minori o uguali di 1000000) = 25000
n( multipli di 8 o di 10 minori o uguali di 1000000) = 125000+100000 − 25000 = 200000
c) Un intero è multiplo di 8 o in alternativa di 56 se e solo se è multiplo di 56.
E poiché 1000000:56 = 17857, … la risposta al quesito è 17857.
14)
100000 = 316,...;
500000 = 707,...;
316 2 < 100000, 317 2 > 100000
707 2 < 500000, 7082 > 500000 .
La risposta è : 707 − 316 = 391 .
241
15) a) Perché le situazioni possono essere ben differenti!
… oppure:
Ad esempio si potrebbe avere
ecc. ecc. ecc.
b) Sì:
n(A ∪ B ∪ P) = n(A) + n(B) + n(P) − n(A ∩ B) − n(A ∩ P) − n(B ∩ P) + n(A ∩ B ∩ P)
200 = 100 + 80 + 60 − 15 − 15 − 15 + n(A ∩ B ∩ P)
200 = 195 + n(A ∩ B ∩ P)
n(A ∩ B ∩ P) = 5
16) a) 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 + 25 + 125 = 155
b) 5 + 4 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 + 20 + 100 = 125
c) n( almeno una pari ) = numero totale − n(tutte dispari ) = 1000 − 155 = 845
(NOTA: in totale sono 1000 (0, 1, 2, … , 999)
b) 9 ⋅ 9 + 9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 81 + 648 = 729 c) 990 − 18 = 972
18) 64 ⋅ (64 − 15) = 3136
x⋅6
19) Detto x il numero degli esagoni, 12 ⋅ 5 =
da cui x = 20
20) 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
2
5
10!
5!
⎛ 5⎞
(4,3, 2,1)
21) P10
22) a) 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 b) ⎜⎛ ⎟⎞ = 10 c) 5! = 120 d) P5(3,2) =
=
= 10 opp. ⎜ ⎟ = 10
4!⋅ 3!⋅ 2!⋅ 1!
3!⋅ 2!
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
17) a) 9 + 9 = 18
23) 2 + 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 64
oppure: possono andare da (0) 2 (zero) a (111111) 2 (sessantatre) quindi sono in totale 64.
12!
(3, 4,5)
24) 5!⋅ 8!⋅ 5! 25) P12
=
3! ⋅ 4! ⋅ 5!
26) a) Basta scegliere quali dita colorare in rosa! Le altre, per esclusione, verranno colorate in azzurro.
Ora, questa scelta può essere effettuata in tanti modi, quanti sono i sottoinsiemi di un insieme
di 10 elementi, ossia in 210 = 1024 modi. Osserviamo che l’insieme vuoto corrisponde alla
colorazione in azzurro di tutte le dita, l’insieme di 10 elementi corrisponde alla “tinta unica” rosa.
⎛ 10 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 252
b) ⎜ ⎟ =
⎝ 5 ⎠ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
27) a) 5!⋅ 5!⋅ 5!⋅ 3!
(5,5,5)
b) P15
=
15!
5! ⋅ 5! ⋅ 5!
8!
= 7! = 5040 modi.
8
A questo punto si accomodano i due insegnanti, e lo possono fare
sedendosi in uno qualsiasi dei 8 spazi fra gli 8 ragazzi seduti.
Poiché però il professore A può decidere se sedersi a sinistra oppure a destra di B,
le possibilità di scelta finiscono per essere 16 e non 8.
In definitiva, 5040 ⋅ 16 = 80640 modi.
28) a) Si accomodano gli 8 ragazzi, e lo possono fare in
b) Se invece, dopo che si sono sistemati i ragazzi (e lo possono fare, come abbiamo visto, in 5040 modi)
i due insegnanti NON vogliono sedere uno a fianco dell’altro, A sceglierà uno degli 8 possibili spazi
e successivamente B uno dei 7 spazi rimanenti, per un totale di 8 ⋅ 7 = 56
possibilità di scelta per gli insegnanti e 5040 ⋅ 56 = 282240 possibili tavolate.
OSSERVIAMO che è 282240 + 80640 = 362880 = 9!
che è poi il numero possibile di tavolate, senza alcun vincolo nella disposizione.
242
8!
= 7! = 5040 modi.
8
A questo punto si accomodano i 4 insegnanti, e lo possono fare sedendosi in uno qualsiasi
degli 8 spazi fra gli 8 ragazzi seduti, e disponendosi in uno fra i 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 ordini possibili.
In definitiva, 7 !⋅ 8 ⋅ 4! modi.
8!
b) Si accomodano gli 8 ragazzi, e lo possono fare in
= 7! = 5040 modi.
8
A questo punto si accomodano i 4 insegnanti.
Ci sono 8 spazi a disposizione (ciascuno spazio è fra due ragazzi consecutivi)
e il primo insegnante può scegliere uno qualsiasi di questi 8,
il secondo uno qualsiasi degli altri 7, ecc. per un totale di 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 possibilità.
In definitiva, la risposta al quesito è: 7!⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 modi.
OSSERVAZIONE
Qui, sommando 7!⋅ 8 ⋅ 4! con 7 !⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 , NON si otterrebbe 11! ossia il numero
di tutte le possibili tavolate senza alcun vincolo. E certo, perché le due situazioni
♪ “i 4 insegnanti tutti vicini”
♫ “nessuno fra i 4 insegnanti vicino ad un altro insegnante”
NON esauriscono tutti i casi possibili.
28' ) a) Si accomodano gli 8 ragazzi, e lo possono fare in
⎛ 16 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 4 ⎞
29) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ (si scelgono i 4 del gruppo che salirà per primo, poi ...)
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
30) Sono tanti quanti sono i modi di scegliere 4 elementi dall’insieme {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
⎛ 10 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 210 .
(per poi disporli in ordine decrescente). La risposta è dunque ⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
31) I numeri, da 1 a 1000, divisibili o per 12 o per 18, sono 83 + 55 − 27 = 111 .
Perciò quelli che non sono divisibili né per 12 né per 18 saranno 1000 − 111 = 889 .
32) 234.256.000
(n −1) ⋅ (n − 2) ⋅... ⋅ ((n −1) − (k −1) + 1)
(n −1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n −1 − k +1 + 1)
⎛ n −1⎞
=
33a) n ⎜
= n⋅
⎟ = n⋅
1
k
−
(
k
−
1)!
(k −1)!
⎝
⎠
n ⋅ (n −1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
n ⋅ (n −1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
n ⋅ (n −1) ⋅ (n − 2) ⋅... ⋅ (n − k + 1)
⎛n⎞
=
=k⋅
=k⋅
= k⎜ ⎟
k ⋅ (k −1)!
k!
(k −1)!
⎝k ⎠
⎛n⎞
⎛ n − 1⎞
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛n⎞
n
33b) Si utilizzano le identità k ⎜ ⎟ = n ⎜
⎟ e ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 2 tramite la catena
1
−
k
k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛n⎞
⎛ n − 1⎞
⎛ n − 1⎞
⎛ n − 1⎞
⎛ n − 1⎞
⎜ 1 ⎟ + 2 ⎜ 2 ⎟ + 3 ⎜ 3 ⎟ + ... + n ⎜ n ⎟ = n ⎜ 0 ⎟ + n ⎜ 1 ⎟ + n ⎜ 2 ⎟ + ... + n ⎜ n − 1⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
n
1
⎡⎛ n − 1 ⎞ ⎛ n − 1 ⎞ ⎛ n − 1 ⎞
−
⎤
⎛
⎞
n −1
= n ⎢⎜
⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n − 1⎟ ⎥ = n ⋅ 2
0
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣⎝
34) n = 6 → 78 triangoli
n = 8 → 170 triangoli
Ti invito a completare la tabella sottostante, tratta dal sito http://www.threes.com.
Essa potrebbe servire ad avviare una riflessione molto impegnativa, ma interessante:
in che relazione sta il numero di triangoli equilateri che si ottengono per un certo valore di n,
col numero dei triangoli che si avevano per il valore precedente n − 1 ?
Ancora: esisterà una formula che a partire da n possa permettere di calcolare il numero di triangoli?
SEI AVVISATO ☺: l’argomento è parecchio avvincente, ma non è affatto semplice.
Dopo averci meditato a sufficienza per conto tuo, potresti trovare approfondimenti sul web
se ad esempio imposti una ricerca con la chiave “How many triangles?”
b
l
f
n
s
T
1
1
0
0
0
1
b = Number of triangles in the base
2
4
1
0
0
5
l = Number of little triangles
3
9
3
1
0
13
f = Next largest triangle (contains 4)
4
16
7
3
1
27
n = Next largest triangle (contains 9)
5
25
48
?
?
?
s = Next largest triangle (contains 16)
6
36
78
?
?
?
T = Total number of triangles
7
49
118
?
?
?
8
64
?
?
? 170
243
⎛5⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 9⎞
⎛ 5 ⎞ ⎛8⎞ ⎛ 9 ⎞
35) 1010 ; 10 ⋅ 99 36) 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟; 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ 37) 5!⋅16 ⋅15 ⋅14 ⋅13 ⋅12 38) 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336; 7 ⋅ 2 ⋅ 6 = 84
⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞
39) ⎜ ⎟; ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝5⎠ ⎝ 4⎠ ⎝1⎠
⎛10 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 120
42) a) ⎜ ⎟ =
⎝ 3 ⎠ 3 ⋅ 2 ⋅1
8⋅7 ⋅6
⎛10 ⎞ ⎛ 8 ⎞
= 120 − 56 = 64
b) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 120 −
3
3
3 ⋅ 2 ⋅1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
45) 15
46) a) 1 b) 1 o 2
⎛8⎞ − ⎛ 6⎞ − ⎛6⎞
⎜ 4⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟
6⎞
⎛
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 20
48) ⎜ ⎟ = 20 oppure
2
⎝ 3⎠
50) In 4096 modi
51a)
41)
13!
= 12!
13
c) 220
Evidentemente, contiamo il numero di modi
in cui possono essere scelti 5 fiori su quei 10;
non ci interessa quale particolare ape va su di un determinato fiore.
⎛10 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 252
43) ⎜ ⎟ =
⎝ 5 ⎠ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
⎛ 10 ⎞ ⎛ 6 ⎞
44) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠
40) n 3 ≥ 340 da cui n = 7 ; 5k ≥ 3000 da cui k = 5
47) a) 1 b) 22
49) a) 5! b) 5!⋅5! c) 5!⋅5!⋅ 25
( n − 2)( n − 3) n( n − 1)
n( n − 3)
=
− 21 da cui: 12 atleti
= 170 da cui: 20 lati 51b)
2
2
2
52) Tenendo conto di ovvie identità tipo k ! = k ( k − 1)! avremo
⎛ n −1⎞ ⎛ n −1⎞
⎜ k ⎟ + ⎜ k −1⎟ =
⎝
⎠ ⎝
⎠
(n −1)(n − 2) ... ( n −1 − k +1 ) (n −1)(n − 2) ... (n −1 − (k −1) +1 )
=
+
=
k!
(k −1)!
(n −1)(n − 2) ... ( n − k ) (n −1)( n − 2) ... (n − k +1)
=
+
=
(k −1)!
k!
raccogliendo
(n −1)(n − 2) ... ( n − k ) + k ⋅ (n −1)( n − 2) ... (n − k +1)
=
=
k!
il prodotto
( n−1)( n−2)...( n−k +1)
(n −1)(n − 2) ... ( n − k +1)(n −k +k ) n(n −1)(n − 2) ... ( n − k +1) ⎛ n ⎞
=
= ⎜ ⎟ C.V.D.
k!
k!
⎝k ⎠
oppure
⎛ n −1⎞ ⎛ n −1⎞
⎜ k ⎟ + ⎜ k −1⎟ =
⎝
⎠ ⎝
⎠
( n −1)!
( n −1)!
(n −1)!
( n −1)!
=
=
+
=
+
k !( n −1− k )! (k −1)!(n −1− (k −1))! k !(n −1− k )! ( k −1)!(n −1 − k +1 )!
( n − k )(n −1)! + k ( n −1)!
( n −1)!
(n −1)!
=
+
=
=
k !( n − k −1)! (k −1)!(n − k )!
k !(n − k )!
( n −1)!( n −k +k ) n( n −1)!
n!
⎛ n⎞
=
=
=
=
C.V.D.
k !(n − k )!
k !(n − k )! k !( n − k )! ⎜⎝ k ⎟⎠
=
53) 109736
54) 306
4
55) 3 = 81
264 − 1
2 −1
Si tratta ora di calcolare il numero 264 −1 ≈ 264 , moltiplicando il quale per 38 ⋅10 − 9 si risponde al quesito;
ora, se si approssima 210 = 1024 con 1000 = 103 , il calcolo è molto agevole e si ottiene un valore
superiore a 600 miliardi di tonnellate; tuttavia, il risultato esatto è addirittura > 700 miliardi di tonnellate.
56) n° chicchi = 1 + 2 + 4 + ... + 263 =
57) Basta
considerare
lo sviluppo
n
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
(a + b)n = ∑ ⎜ ⎟ a n −k b k = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n−1b + ⎜ ⎟ a n −2b 2 + ... + ⎜ ⎟ b n
k
⎝ 0⎠
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝ n⎠
k =0 ⎝ ⎠
58) n = 6, n = 10
59) n = 7
61) 32
e pensare
al caso part.
a = b =1
244
PROBABILITA’
1 - IL CONCETTO DI PROBABILITA’ TI E’ GIA’ NOTO!
LA “LEGGE EMPIRICA DEL CASO”
1.1 - Casi possibili e casi favorevoli; definizione provvisoria di probabilità
A. Qui davanti a me ho un’urna contenente 2 palline bianche e 98 nere.
Mi metto una benda sugli occhi, scuoto per bene e ripetutamente l’urna, ed estraggo una pallina.
I. E' più probabile che venga fuori una bianca o una nera?
II. E se nell’urna ci fossero 40 bianche e 60 nere?
B. In un'urna voglio introdurre 100 palline.
Quante bianche e quante nere dovrò mettere nell'urna se desidero
che sia uguale la probabilità di estrarre una bianca o una nera?
C. Sono in piedi davanti al bancone del bar.
A un certo punto entra un signore e vedendolo il barista mi fa:
"Non ne sono certo, ma è molto probabile che ordini una spremuta".
I. Secondo te, cosa ha indotto il barista a parlare in questo modo?
II. Che differenza c'è fra questo esempio e i precedenti?
Vai ora pure a controllare in fondo alla pagina se le risposte che hai dato sono esatte! …
… Bravo! … Dunque ai quesiti proposti sei stato in grado di rispondere facilmente e senza esitazioni!!!
Eppure la definizione di “probabilità” … noi non l’abbiamo ancora data!!!
Ma tu già avevi nella tua mente ben chiara l’idea che
valutare la “probabilità” di un evento legato al “caso”
significa
valutare la maggiore, o minore, “facilità” che l’evento in questione si verifichi.
Questo dimostra allora che il concetto di probabilità TI E’ GIA’ NOTO,
è un concetto che ogni persona dotata di ragione spontaneamente possiede
(indipendentemente dal fatto che l'abbia o non l’abbia già incontrato nel suo percorso scolastico)
e, quindi, che non ci stiamo occupando di INTRODURRE tale concetto, ma solo di PRECISARLO.
Con riferimento al quesito A, hai saputo dire con sicurezza quale, fra due possibili eventi, era "il più probabile";
il problema B ti ha proposto una situazione in cui i due eventi in gioco dovevano avere "la stessa probabilità".
Ora però ci proponiamo di essere più precisi,
ossia ci proponiamo di QUANTIFICARE, di MISURARE, attraverso un valore NUMERICO,
la probabilità che accada un determinato evento.
Lo svizzero Jakob Bernoulli, nella sua "Ars Conjectandi" (uscita postuma nel 1713)
scrive che
" Probabilitas enim est gradus certitudinis, et ab hac differt ut pars a toto "
"La probabilità infatti è il grado della certezza,
e da questa ( = dalla certezza) differisce come la parte differisce dal tutto".
RISPOSTE AI QUESITI A, B, C
A. I. Evidentemente, è molto più probabile (non è certo, ma è probabilissimo) che esca una nera
II. E’ anche questa volta più probabile che esca una nera.
Rispetto alla situazione precedente, però, la probabilità di uscita di una nera è nettamente diminuita.
B. 50 bianche e 50 nere
C. I. Il barista è indotto a parlare in questo modo perché, dall’esperienza passata, ha potuto constatare
che, almeno negli ultimi tempi, quando quel signore entrava nel bar ordinava quasi sempre,
o almeno la grande maggioranza delle volte, una spremuta.
II. La differenza fra l’ultimo esempio e i precedenti consiste in questo:
mentre negli esempi di prima la valutazione di probabilità si poteva fare “a priori”,
cioè senza bisogno di effettuare nessuna estrazione preliminare,
invece qui è soltanto DOPO aver osservato il comportamento del cliente
per un numero abbastanza elevato di giorni che il barista ha potuto formulare la previsione.
245
Altri spunti di riflessione
A. Se ho in un’urna 2 B e 98 N sono "quasi certo" che dall'estrazione uscirà una N;
la probabilità di estrazione di una N è "altissima" − il "grado di certezza" è "altissimo".
Se ho 40 B e 60 N, la probabilità di estrazione di una N è più bassa;
possiamo dire che il "grado di certezza" è diminuito.
E' evidente che, di fronte ad un'urna con 100 palline in totale − alcune Bianche, altre Nere −
la probabilità di estrarre una Nera è proporzionale al numero di palline Nere presenti nell'urna.
B. Supponiamo ora che fra i 20 alunni di una classe venga estratto, a sorte, un premio.
Nessuno dei 20 alunni è certo di vincere: ciascuno, però, possiede "un pezzettino" di certezza ...
quanto misura, quanto vale questo "pezzettino"?
Beh, è ragionevole dire che ciascun alunno possiede 1/20 della "torta" della certezza.
Supponiamo poi che le 7 femmine della classe dicano:
"Se verrà estratta una qualsiasi di noi 7, regaleremo il premio alla bidella". A questo punto, la bidella
si "impadronisce" di 7 "pezzettini" di certezza da 1/20, quindi "possiede i 7/20 dell'intera certezza".
C. Immaginiamo che una comitiva di amici un po' pazzi abbia promesso a Chiara un regalo
per il suo compleanno, ma solo a condizione che da un'urna,
contenente 100 palline di cui 90 verdi, venga estratta una pallina verde.
E' ovvio che Chiara, in questo modo, non è certa di ricevere il regalo; però ne è "quasi" certa,
perché il numero 90 (casi favorevoli) è prossimo al numero 100 (casi possibili).
Chiara non possiede interamente la certezza di ricevere il regalo, ma ...
possiede 90 pezzettini da 1/100 di certezza: possiede i 90/100 della certezza.
Ed è altrettanto ovvio che se si dimezzasse sia il numero delle palline verdi (portandolo a 45)
che il numero totale delle palline (portandolo a 50), la probabilità di ricevere il regalo non cambierebbe:
d'altronde, in questo modo Chiara si troverebbe a possedere i 45/50 della certezza,
cioè una "fetta" della "torta della certezza", esattamente uguale a 90/100.
Sarebbe in fondo la stessa cosa prendere semplicemente 10 palline, di cui 9 verdi: 90/100 = 45/50 = 9/10 .
A questo punto, è ora di trarre le conclusioni.
Evidentemente nella QUANTIFICAZIONE, nella MISURAZIONE della probabilità,
c'entra sia il numero dei casi favorevoli che il numero dei casi possibili;
dimezzando, o raddoppiando, sia il n° dei casi favorevoli che il n° dei possibili, la probabilità resta invariata;
a parità di casi possibili, la probabilità è direttamente proporzionale al numero dei casi favorevoli.
La certezza si può pensare come una "torta" divisa in tante fettine uguali quanti sono i casi possibili;
la probabilità di un evento corrisponde a tante "fettine" di certezza
quanti sono i casi favorevoli all'evento stesso.
Queste considerazioni portano a concludere che il modo più spontaneo, più naturale,
di "misurare" la probabilità di un evento, è quello di calcolare il rapporto
numero casi favorevoli
.
numero casi possibili
DEFINIZIONE (attenzione: PROVVISORIA, perché andrà poi perfezionata)
numero casi favorevoli
Dicesi "probabilità" di un evento, il rapporto p =
numero casi possibili
La probabilità di un dato evento è dunque sempre compresa fra 0 e 1
(il numero dei casi favorevoli non può ovviamente superare il numero dei casi possibili); precisamente,
la probabilità è uguale a 0 se e solo se l’evento è impossibile, è uguale a 1 se e solo se l’evento è certo.
ESERCIZI
1) Se si lancia un dado, la probabilità di ottenere “5” è …..
2) Se si estrae una carta da un mazzo da scopa (NOTA), la probabilità che sia una figura è …..
NOTA - In un mazzo da scopa abbiamo 40 carte:
4 assi, 4 re, 4 donne, 4 fanti, 4 “sette”, 4 “sei”, 4 “cinque”, 4 “quattro”, 4 “tre”, 4 “due”.
Ogni gruppo di 4 è formato da carte di diverso “seme”:
una di cuori, una di quadri, una di fiori, una di picche.
La pagina successiva riporta uno schema del mazzo da scopa.
3) Un'urna contiene 327 palline, contrassegnate dai numeri 1, 2, 3, ... , 327.
Pescando a occhi chiusi, qual è la probabilità di estrarre un numero pari? E un numero dispari?
RISPOSTE: 1) 1/6
2) 12/40 = 3/10
3) 163/327; 164/327
246
IL MAZZO DA SCOPA (40 carte: K = King, Re; Q = Queen, Donna; J = Jack, Fante)
A K Q J 7 6 5 4 3 2
Cuori ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
Quadri ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
Paul
Cézanne,
Fiori ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
Les
Picche ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠
4 Assi: Come Quando Fuori Piove
• 1 Asso di Cuori, Rosso
• 1 Asso di Quadri, Rosso
• 1 Asso di Fiori, Nero
• 1 Asso di Picche, Nero
4 K: K di Cuori, K di Quadri, K di Fiori, K di Picche
4 Q: …
…
NOTA: i Quadri sono anche detti “Ori”, o “Denari”
Joueurs
de
Cartes,
dipinto
fra il
1890
e il
1895
1.2 - La legge empirica del caso
La definizione cui siamo pervenuti ha un interessantissimo riscontro "sperimentale" (a tutti noto!).
Consideriamo un'urna contenente 10 palline, di cui 3 rosse.
La probabilità di estrarre dall'urna una pallina rossa è 3/10.
Bene: supponiamo di effettuare moltissime estrazioni, diciamo 10000 estrazioni
(sempre rimettendo la pallina nell'urna, dopo ogni estrazione, cioè, come si dice, “reimbussolando” la pallina).
Teniamo conto del numero di palline rosse estratte.
Vedremo che il rapporto
numero di palline rosse estratte
numero di estrazioni
si avvicinerà molto al valore 3/10 = 0,3.
In generale:
Si constata che, QUANDO SI RIPETE PER "MOLTE" VOLTE una prova,
la FREQUENZA RELATIVA di un esito, cioè il rapporto
numero di prove che hanno avuto quell'esito
numero totale di prove
si avvicina "molto" alla PROBABILITÀ A PRIORI di quell'esito,
calcolata tramite il rapporto
numero casi favorevoli
.
numero casi possibili
A questa "legge", la cui validità è rilevabile sperimentalmente, si è attribuito il nome di
"LEGGE EMPIRICA DEL CASO".
OSSERVAZIONE TERMINOLOGICA
Si trova scritto in alcuni testi che la "legge empirica del caso"
è anche nota col nome di "legge dei grandi numeri".
Questa affermazione NON è corretta,
perché in realtà si tratta di due enunciati concettualmente molto diversi:
• la "legge dei grandi numeri", detta anche "Teorema di Bernoulli", è, appunto, un teorema
(cioè un'affermazione dimostrabile):
per comprendere l’enunciato di questo Teorema occorrono
nozioni più avanzate di Calcolo delle Probabilità.
[A dire il vero, sono state formulate DIVERSE “leggi dei grandi numeri”,
che si collocano a diversi gradi di “generalità”].
• La "legge empirica del caso" è, invece, tutt'altro che un teorema:
diciamo che è una “verità rilevabile sperimentalmente”,
ma su questo si potrebbe in realtà discutere per giornate intere.
247
1.3 - Proposte di riflessione per la piena comprensione della "legge empirica del caso"
A. Se lanci 1000 volte una moneta, quante volte ti aspetti che esca "testa" e quante volte "croce"?
B. Se lanci 1000 volte una moneta ed esce 400 volte "testa", ne deduci che la moneta è truccata?
C. Supponiamo di avere un mazzo di carte da scopa
(40 carte, di cui 10 di cuori, 10 di quadri, 10 di fiori, 10 di picche),
e di pescare per 1000 volte una carta, ogni volta reinserendola nel mazzo e mischiando
prima di andare a ripescare.
Supponiamo che al termine delle 1000 estrazioni sia uscita per 261 volte una carta di cuori.
"Cuori" è quindi uscito con frequenza relativa 261/1000,
vicina alla "probabilità a priori" che vale 10/40, ossia 1/4, ossia 250/1000.
Se ora effettuiamo altre 9000 estrazioni, portando il totale a 10000, ti domando:
è possibile che la frequenza relativa SI ALLONTANI dalla "probabilità a priori"?
E' possibile, per esempio, che in queste 10000 estrazioni il seme "cuori" esca 2630 volte?
(la frequenza relativa sarebbe 2630/10000 = 263/1000, che rispetto a 261/1000 è più lontana da 250/1000)
D. Si sa che in una scatola ci sono 10 palline, alcune bianche e altre nere.
Non si sa però quante sono le bianche e quante le nere.
Le palline sono tutte indistinguibili fra loro al tatto, in quanto differiscono esclusivamente per il colore.
Se una persona può estrarre dalla scatola una sola pallina per volta, guardarne il colore,
poi rimetterla nella scatola e (dopo aver scosso la scatola per mischiare le palline)
effettuare un'altra estrazione, e così via,
potrà quella persona stabilire quante fra le dieci palline sono bianche e quante nere?
E. Ripensiamo alla precedente situazione D).
Supponiamo che NON si sappia quante sono in totale le palline nella scatola.
Vale a dire: sappiamo che sono alcune bianche e alcune nere, ma non sappiamo
quante sono le bianche, quante sono le nere, e nemmeno, questa volta, quante sono le palline in totale.
Con tante estrazioni successive di un'unica pallina, con successivo "re-imbussolamento",
COSA si può venire a sapere riguardo alle palline?
RISPOSTE
A. Circa 500 volte Testa e circa 500 volte Croce.
Mi aspetto che il numero di Teste e il numero di Croci non si discostino di molto da 500.
Infatti, 1000 lanci sono già “tanti” e quindi, per la legge empirica del caso,
la frequenza relativa dovrebbe avvicinarsi alla probabilità a priori che è ½ per T e ½ per C.
B. Lo sospetterei fortissimamente. Mi pare che il numero di lanci (1000) sia già così elevato da “forzare”,
per una questione di “simmetria del caso”, il numero di Teste a non discostarsi COSI’ TANTO da 500.
Ritengo estremamente improbabile, anche se non impossibile teoricamente, che il numero di Teste sia così basso.
O la moneta è truccata, o è si è verificata una circostanza estremamente rara, eccezionale.
C. Sì, è possibile, anche se “raro”, eccezionale”, “molto improbabile”.
La “legge empirica del caso” non afferma che il “tendere” della frequenza relativa alla probabilità “a priori”,
quando il numero di prove si fa molto elevato, sia privo di “oscillazioni”.
La circostanza prospettata appare tuttavia estremamente poco probabile,
perché 10000 è un numero di estrazioni molto grande, e molto maggiore del già “grande” valore 1000.
D. Sì. Basta che questa persona effettui un gran numero di estrazioni con reimmissione ( = reimbussolamento),
rilevando la frequenza, per esempio, delle bianche.
Per la legge empirica del caso, la frequenza relativa tenderà ad approssimare la probabilità a priori,
che a sua volta sarà uguale a n° bianche/n° totale = n° bianche/10.
Ad esempio, effettuando 1000 prove aleatorie, la frequenza assoluta delle bianche sarà quasi certamente
molto vicina a uno dei valori 100, 200, 300, 400, … , 900 (a seconda che le Bianche siano 1, 2, 3, 4, … , 9).
A partire dalla frequenza, sarà quindi possibile inferire il numero delle Bianche, con rischio di errore quasi nullo.
Infatti, da una parte, è estremamente improbabile che la frequenza assoluta si discosti molto
da una delle “frequenze attese” 100, 200, …
(ad es., con 1000 prove, sarebbe un evento quasi incredibile che la frequenza risultasse uguale, poniamo, a 149);
dall’altra, sarebbe ancora più inverosimile, raro, eccezionale, che, rilevata ad es. una frequenza di Bianche
uguale a 412, prossima cioè a 400, il numero delle bianche non fosse 4 ma 5, o 3, o ancora diverso.
E. Si potranno conoscere, approssimativamente, i tre rapporti
n° bianche /n° totale, n° nere /n° totale, n° bianche/n° nere.
248
2 - INADEGUATEZZA DELLA DEFINIZIONE DATA;
LA DEFINIZIONE DI LAPLACE
2.1 - La definizione che abbiamo appena scritto è da buttare?
Accanto alla definizione di probabilità come rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili,
ho scritto un aggettivo limitativo: provvisoria.
Per qual motivo la definizione data va considerata solo provvisoria?
Cerchiamo di comprenderlo considerando i due esempi seguenti.
A. Al posto di lanciare la classica moneta, lanciamo invece un tronco di cono, considerando che esca
“testa” quando il solido si ferma con la base più larga verso l’alto, “croce” nel caso contrario
(e annullando il lancio se per caso il tronco dovesse rimanere in equilibrio sulla superficie laterale).
Su quale esito ci converrebbe scommettere?
Immaginiamo che la posta in palio sia alta: rifletteremmo a dovere prima di scegliere, vero?
Certamente la forma particolare di questa “moneta” atipica farà sì che sia
“più facile”, “più probabile”, uno dei due esiti rispetto all’altro.
D’altra parte, la "definizione provvisoria" porterebbe alla seguente analisi:
• casi favorevoli all'uscita di "testa" = 1;
• casi favorevoli all'uscita di "croce" = 1;
• casi possibili = 2
DA CUI
probabilità dell'evento "esce testa" = 1/2; probabilità dell'evento "esce croce" = 1/2.
… Uguale probabilità, dunque … !?!
Eh no, proprio NON CI SIAMO: qui la “definizione provvisoria” senza dubbio fallisce.
B. Lancio una moneta; se esce Testa, mi viene consegnata un'urna U1
in cui ci sono una pallina Nera e una Rossa: da quest'urna estraggo una pallina;
se invece esce Croce, mi viene consegnata una diversa urna U2
in cui vi sono 3 palline Verdi e 1 Gialla; da quest'urna estraggo una pallina.
E’ più probabile che la pallina estratta sia Gialla o sia Rossa?
Applicando la "definizione provvisoria" si troverebbe uguale probabilità
(si può, per esempio, pensare che i casi possibili siano TN, TR, CV1 , CV2 , CV3 , CG );
invece, basta riflettere un attimo per concludere che
la pallina Rossa ha probabilità maggiore di essere estratta, rispetto a quella Gialla.
(Non sei convinto? Prova a pensare ad un'urna U2 contenente 99 palline Verdi e 1 Gialla!
… L'evento "esce una Gialla" sarebbe evidentemente "eccezionale",
mentre l'evento "esce una Rossa" sarebbe piuttosto "ordinario", ti pare?)
PER QUAL MOTIVO la "definizione provvisoria" non è risultata valida
ai fini di una valutazione corretta della probabilità nei due esempi di cui sopra?
2.2 - La definizione “perfezionata” (di Laplace)
Queste riflessioni ci portano evidentemente a sostituire la definizione inizialmente posta
con quest’altra, data da Pierre Simon de Laplace nel suo "Théorie Analytique des Probabilités" del 1812:
"... la probabilité d'un évenement est le rapport du nombre des cas qui lui sont favorables
au nombre de tous les cas possibles, LORSQUE RIEN NE PORTE A CROIRE
QUE L'UN DE CES CAS DOIT ARRIVER PLUTOT QUE LES AUTRES"
ovvero:
"... la probabilità di un evento è il rapporto
fra il numero dei casi favorevoli all'evento stesso ed il numero dei casi possibili,
QUALORA NULLA PORTI A RITENERE CHE UN CASO
TENDA A VERIFICARSI PIU' FACILMENTE DEGLI ALTRI"
(purché, cioè, i casi possibili siano "UGUALMENTE POSSIBILI").
DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA' (dovuta a Laplace, 1812)
numero casi favorevoli
Dicesi probabilità di un evento il rapporto
numero casi possibili
QUALORA TUTTI I CASI POSSANO ESSERE CONSIDERATI
♥ "EQUIPOSSIBILI";
cioè, qualora non ci siano casi che tendano a verificarsi "più facilmente" di altri.
LA DEFINIZIONE
PERFEZIONATA
249
2.3 - Nemmeno la definizione "perfezionata" è, a ben guardare, impeccabile /
Siamo tuttavia costretti ad ammettere che il nostro sforzo di giungere ad una definizione
completa e rigorosa di "probabilità" NON si è concluso in modo veramente soddisfacente.
La "definizione" cui siamo alla fine pervenuti … è, ahimè, grossolanamente deficitaria,
perché mancante di una regola, di un criterio, che permetta di stabilire
QUANDO si possa parlare di casi "ugualmente facili (o probabili)" e quando invece no.
E poiché non si riesce ad enunciare una regola siffatta in termini che evitino "circoli viziosi"
e che siano a) sufficientemente generali, da una parte; b) e sufficientemente dettagliati, dall’altra,
la decisione se due casi siano da considerare o meno equipossibili
è, alla fin dei conti, lasciata alla nostra valutazione soggettiva.
Laplace stesso ammette, a questo proposito, che
"la juste appréciation des divers cas est un des points les plus délicats de l'analyse des hazards"
cioè che
"la corretta valutazione dei diversi casi
- in sostanza, la valutazione se siano o meno "equipossibili" è uno dei punti più delicati dell'analisi degli eventi casuali".
Tuttavia, si constata che,
pur essendo la valutazione di equipossibilità lasciata alla discrezionalità individuale,
considerazioni di simmetria condotte e discusse con attenzione
portano a valutazioni unanimemente condivise.
Una buona guida a proposito è (nonostante si tratti di un’indicazione piuttosto vaga)
il “PRINCIPIO DI RAGIONE INSUFFICIENTE” o “PRINCIPIO DI INDIFFERENZA”:
“due esiti sono equipossibili se non c’è nessuna ragione perché si debba ritenere il contrario”
2.4 - Il problema dell’equipossibilità
Due esempi per sottolineare l’importanza di analizzare con cura se i casi considerati siano equipossibili.
Ragiona con la tua testa, coprendo inizialmente la parte inferiore della pagina, su cui si trovano le risposte.
A. Un tale mi dice:
“Lanciando due monete, la probabilità che esca "testa" su entrambe è 1/3.
Infatti, i casi possibili sono: 1) due "teste" 2) due "croci" 3) una "testa" e una "croce".
Di questi tre casi possibili, uno solo è favorevole, quindi, appunto, p(2 Teste) = 1/3”
E’ corretta questa affermazione?
B. Ho qui 3 cartoncini rettangolari;
● uno ha entrambe le facce rosse,
● un altro ha entrambe le facce bianche,
● il terzo ha una faccia bianca e la faccia opposta rossa.
Metto i cartoncini in un cassetto, ti chiamo …
… e tu, senza guardare, estrai un cartoncino dal cassetto e lo posi sul tavolo.
Supponiamo a questo punto che la faccia in evidenza sia rossa.
Qual è la probabilità che la faccia coperta sia bianca?
RISPOSTE
A. Un’analisi attenta mostra che i tre casi prospettati non sono equipossibili.
L’insieme dei casi equipossibili è (T, T) (T, C) (C, T) (C, C)
(per facilitare il ragionamento giova pensare a un qualcosa che psicologicamente
ci porti a non dimenticare l’individualità di ciascuna moneta:
ad esempio, possiamo pensare che una moneta sia da 2 euro e l’altra da 1 euro).
Quindi l’affermazione non è corretta, e la risposta esatta è invece p(2 Teste) = 1/4
B.
Verrebbe forse spontaneo rispondere 1/2, ma la risposta giusta è invece 1/3. Infatti …
primo cartoncino:
R1, R2 (una faccia rossa, l’altra ancora rossa).
secondo cartoncino:
B1, B2
terzo cartoncino:
B3, R3
La faccia rossa che io vedo potrebbe essere, con ugual facilità, R1, o R2, o R3.
E di questi 3 casi EQUIPOSSIBILI uno solo (R3) è favorevole all’evento: “la faccia nascosta è bianca”.
250
3 - DIVERSI APPROCCI ALLA PROBABILITA’
In Matematica ci sono 4 modi alternativi di porre la definizione di probabilità:
a) definizione CLASSICA
b) definizione FREQUENTISTA
c) definizione ASSIOMATICA
d) definizione SOGGETTIVISTA
a) Def. CLASSICA:
n° casi favorevoli
n° casi possibili
sotto l’ipotesi che i casi possibili siano valutati tutti “EQUIpossibili”, o “equiprobabili”.
probabilità =
Quest’ultima valutazione è individuale e legata sostanzialmente a considerazioni di “simmetria”
non inquadrabili, purtroppo, in un criterio che si riesca a definire in termini rigorosi e generali.
Tuttavia, dopo un’attenta analisi e discussione, la “equipossibilità” o la “non equipossibilità”
dei casi in esame dovrebbe sempre emergere in modo chiaro, ed essere unanimemente condivisa,
sulla base del cosiddetto “PRINCIPIO DI RAGIONE INSUFFICIENTE”, o “Principio di Indifferenza”:
“due casi sono equipossibili se non c’è nessuna ragione perché si debba ritenere il contrario”.
b) Def. FREQUENTISTA (o “statistica”):
n° prove favorevoli all'evento
,
n° totale di prove effettuate
calcolata, s’intende, dopo aver effettuato un numero “sufficientemente elevato” di prove.
probabilità = frequenza relativa =
Questo tipo di valutazione di probabilità è in genere destinato, per sua natura,
a contenere un (se pur piccolo) errore di approssimazione. Il numero n di prove è da giudicarsi
“sufficientemente elevato” se la frequenza relativa, allorquando ci si avvicina a n prove, tende a
rimanere pressoché stabile, in quanto si osserva che le sue variazioni si fanno molto ma molto piccole.
c) Def. ASSIOMATICA (Kolmogorov, 1933):
non si preoccupa di stabilire “cos’è” la probabilità,
ma solo di definirla implicitamente tramite una famiglia di assiomi.
d) Def. SOGGETTIVISTA (De Finetti e altri, 1931):
¾ INTERPRETAZIONE 1)
La probabilità “soggettiva” di un evento è a/b se un soggetto “coerente” G è disposto a pagare subito
la somma a per ricevere in futuro la somma b (con un guadagno netto, quindi, uguale a b − a )
nel caso l’evento si verifichi.
“Coerente” significa che lo stesso soggetto G deve essere disposto in qualsiasi momento
a scambiarsi di ruolo con l’altro giocatore G' …
Ma cosa fa l’altro giocatore? Riceve tanto per cominciare la somma a, ed è disposto a pagare b
se l’evento si verifica: quindi anche G, per essere coerente, deve essere disposto a incassare subito la somma a
per pagare in un futuro la somma b (con una perdita uguale in valore assoluto a b − a ) se l’evento si verifica.
¾ INTERPRETAZIONE 2)
Anche, in modo del tutto equivalente: la probabilità di un evento E è uguale a s/S
se per me è del tutto indifferente l’offerta, da parte di un benefattore,
♪ di una somma s certa, che mi viene pagata in ogni caso
♫ oppure in alternativa di una somma S, che però mi verrà data solo se l’evento E si verificherà.
Il taglio di queste lezioni è classico-frequentistico al medesimo tempo.
Infatti abbiamo posto la definizione di tipo “classico”, e accettato l’asserto “sperimentale”
chiamato “LEGGE EMPIRICA DEL CASO”, di cui ci serviremo per passare, quando opportuno,
da una “visione classica” a una “visione frequentista”:
“Quando si ripete per ‘molte’ volte una prova, la frequenza relativa di un esito, cioè il rapporto
(n° di prove che hanno avuto quell’esito)/(n° totale di prove)
si avvicina ‘molto’ alla probabilità a priori di quell'esito, calcolata tramite il rapporto
(n° casi favorevoli)/(n° casi possibili)”
Nella risoluzione dei problemi sulla probabilità, è assai proficuo, a parere di chi scrive, utilizzare
per certi problemi una visione classica, per altri una visione frequentista, per altri entrambe.
L’approccio matematico “puro” alla teoria della probabilità sarebbe quello assiomatico,
che con ogni evidenza è didatticamente improponibile ai fini di una prima presentazione dell’argomento.
251
4 - TERMINOLOGIA, SIMBOLOGIA; INDICAZIONI METODOLOGICHE; ESEMPI
4.1 - Terminologia specifica
• L' "insieme dei casi possibili" viene anche chiamato
"insieme universo", o "spazio degli eventi", o talvolta "spazio campionario".
• Un sottoinsieme dell'insieme universo viene chiamato "evento".
• Un "evento" unitario (costituito cioè da un solo caso) viene detto "evento elementare".
Facciamo un esempio.
Se la "prova" cui ci riferiamo è il "lancio di un dado", l' "insieme dei casi possibili" è U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
Un "evento" potrebbe essere il seguente: E = "esce un numero dispari".
Tale "evento" coincide, sostanzialmente, con l'insieme {1, 3, 5} (figura a destra)
Ecco un altro "evento": "esce un numero primo". Tale evento si identifica con l'insieme {2, 3, 5} .
Altro evento ancora: "esce il 6". Si tratta di un "evento elementare", che coincide con l'insieme unitario {6} .
Poiché il numero dei casi favorevoli può andare da 0
ad un valore che comunque non può superare il numero dei casi possibili,
numero casi favorevoli
la probabilità p(A) =
numero casi possibili
(se c’è “equipossibilità” fra i casi)
di un evento A, è sempre compresa fra 0 e 1:
0 ≤ p(A) ≤ 1 ;
p(A) = 0 se e solo se l’evento A è IMPOSSIBILE, p(A) = 1 se e solo se l’evento A è CERTO.
Osserviamo per inciso che questa limitazione del valore della probabilità
fra il confine inferiore 0 ( = impossibilità) e il confine superiore 1 ( = certezza)
vale qualunque sia l’approccio scelto (classico, frequentista, assiomatico, soggettivista).
4.2 - Indicazioni metodologiche
L’indimenticabile professor Pascal Dupont dell’Università di Torino, nella sua opera
"Primo incontro con la Probabilità" (SEI, 1985), suggerisce che di fronte ad un problema di CdP
la prima cosa da fare è di concentrarsi bene sull'insieme dei casi possibili (spazio degli eventi). Precisamente:
a. Letto il testo del problema, concepiamo in cosa consiste la "prova",
analizzando bene tutte le modalità della medesima
b. Pensiamo ora di eseguire la prova e sforziamoci di immaginare
uno qualsiasi dei risultati che possono verificarsi eseguendo la prova
c. Concepiamo, "costruiamo" quindi, l' "insieme universo" di tutti i possibili risultati,
l' "insieme dei casi possibili", lo "spazio degli eventi"
d. Analizziamo con cura se gli eventi considerati si realizzano "pari facilitate".
4.3 - Anticipazione: l’evento contrario
La somma della probabilità di un evento A con quella dell’evento contrario A
è sempre uguale a 1:
p(A) + p(A) = 1 e quindi p(A) = 1 − p(A) , p(A) = 1 − p(A)
Ciò si deve sostanzialmente al fatto che un evento e il suo contrario, nel loro insieme, riempiono tutta la “torta”
della certezza, che vale 1. Comunque una dimostrazione più accurata di questo enunciato, che anticipiamo
qui per via della sua grandissima utilità, si trova a pag. 292. Puoi andare a vederla, se vuoi, anche subito:
è davvero semplice e richiede solamente la definizione laplaciana di probabilità su cui ci basiamo, nient’altro.
252
4.4 - Esempi svolti (sulla definizione di Laplace)
C’è la risoluzione commentata di ciascun problema appena sotto il testo,
♪ ma se tu la coprissi …
♫ … e ci provassi innanzitutto per conto tuo …
… COME SAREBBE UTILE!!!
Esempio 1
Che probabilità c’è, estraendo una carta da un mazzo da scopa, che si tratti
a) del “settebello” ( = il 7 di quadri)?
b) di un “7”?
c) di una carta di “denari” ( = di quadri)?
d) di una figura rossa?
e) di una carta dal “2” al “6”?
Risoluzione
Casi possibili = 40; sono evidentemente tutti “equipossibili”.
a) 1 solo caso favorevole; p = 1/40 b) 4 casi favorevoli; p = 4/40 = 1/10 c) 10 casi fav.; p = 10/40 = 1/4
d) 6 casi favorevoli; p = 6/40 = 0,15 = 15% e) 20 casi favorevoli; p = 20/40 = 1/2 = 0,5 = 50%
Esempio 2
Si sceglie a caso una pagina di un libro.
Che probabilità c’è che la prima vocale che si incontra leggendo sia la “e”?
Risoluzione
Sarebbe ingenuo, ed errato, rispondere “1/5”. I casi “a”, “e”, “i”, “o”, “u” NON sono infatti equipossibili,
data la diversa frequenza con cui le varie vocali compaiono nel linguaggio.
La domanda resta senza risposta, a meno di effettuare una ricerca statistica che ci porterebbe sul terreno della
“probabilità a posteriori”.
Esempio 3
Si lanciano due dadi. Qual è la probabilità che esca lo stesso numero su entrambi?
Risoluzione
Posto D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,
l’insieme dei casi possibili sarà il prodotto cartesiano D × D
( = l’insieme delle coppie ordinate aventi come primo elemento un elemento
preso da D e come secondo elemento ancora un elemento preso da D)
e avrà perciò 36 elementi;
i casi favorevoli sono 6 e cioè (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).
Quindi: p (stesso numero sui due dadi) = 6 / 36 = 1/ 6 .
Osserviamo che l’insieme universo si può rappresentare molto bene,
in questo problema, con una tabella a doppia entrata (qui a destra)
oppure con un grafo (qui sotto):
1
1 F
2
3
4
5
6
•
•
•
•
•
2
3
• •
F •
• F
• •
• •
• •
4
5
6
• • •
• • •
• • •
F • •
• F •
• • F
Esempio 4
Che probabilità c’è, avendo a disposizione due mazzi da scopa,
se si estrae una carta da ciascuno di essi, di pescare due figure?
Risoluzione
Casi possibili = 40 ⋅ 40 = 1600 (esempio: il K di Cuori dal 1° mazzo e il 5 di Fiori dal 2° …);
casi favorevoli 12 ⋅12 = 144 . p = 144/1600 = 9/100 = 0,09 .
Nozioni appena un po’ più avanzate di CdP permetterebbero di procedere ancora più semplicemente.
253
Esempio 5
Prima di lanciare una coppia di dadi, dei bambini scommettono sulla somma dei punteggi
che si otterranno. Fermo restando che i piccoli dovrebbero avere altri giochi,
altrimenti si ritroveranno a vent’anni stanchi di vivere e pieni di debiti,
qual è il risultato più probabile di una prova aleatoria come questa?
Risoluzione
La somma minima che si può ottenere è 2:
essa si ottiene in 1 solo caso, quando esce 1 sia sul dado “blu” che sul dado “rosso”.
Invece, ad esempio, la somma 3 si può ottenere in 2 modi: (1, 2) e (2, 1).
L’uso delle parentesi tonde nel prospetto sottostante indica che pensiamo la coppia come ordinata:
il primo numero esprime l’esito sul dado “blu”, il secondo sul dado “rosso”. Complessivamente:
p (2) = 1/36
2 (1,1)
p(3) = 2/36
3 (1,2) (2,1)
1 2 3 4 5
p(4) = 3/36
4 (1,3) (3,1) (2,2)
1 2 3 4 5 6
p(5) = 4/36
5 (1,4) (4,1) (2,3) (3,2)
2 3 4 5 6 7
p(6) = 5/36
6 (1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3)
7 (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)
p(7) = 6/ 36
3 4 5 6 7 8
8 (2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4)
p(8) = 5/36
4 5 6 7 8 9
p (9) = 4/36
9 (3,6) (6,3) (4,5) (5,4)
p (10) = 3/36
10 (4,6) (6,4) (5,5)
5 6 7 8 9 10
p (11) = 2/36
11 (5,6) (6,5)
6 7 8 9 10 11
p(12) = 1/36
12 (6,6)
6
7
8
9
10
11
12
La somma che si può ottenere in più modi è 7 (6 modi). La sua probabilità è p(7) = 6/36 = 1/ 6
Esempio 6
Lanciando successivamente per 10 volte una moneta, stabilire che probabilità c’è di ottenere:
a) tutte Teste b) Testa le prime 4 volte, Croce le rimanenti
Risoluzione
Per entrambi i quesiti, i casi possibili sono tanti quante le sequenze di 10 simboli,
ciascuno dei quali può valere T o C; ad esempio, un caso possibile è TTTCCTCTTC.
Perciò abbiamo 210 = 1024 casi possibili.
Pensando ad un diagramma ad albero si capisce bene per qual motivo il numero di casi possibili è 1024.
Avendo a disposizione 10 caselle con la possibilità di riempire ciascuna casella o con “T” o con “C”, quante
sequenze fra loro distinte è possibile scrivere? Ecco qui davanti a me la sequenza delle 10 caselle da riempire:
Per la prima casella, ho evidentemente due possibilità: T o C.
Comunque io abbia scelto di riempire la 1a casella,
per la 2a mi si apre un ventaglio di 2 possibilità: T o C.
Le possibilità, per quanto riguarda le prime 2 caselle,
sono espresse dal diagramma ad albero qui a destra:
4 = 22 possibilità (TT, TC, CT, CC)
Comunque io abbia scelto il contenuto delle prime 2 caselle,
per riempire la 3a mi si apre ancora un ventaglio di 2 possibilità.
Le possibilità, per quanto riguarda le prime 3 caselle,
sono espresse dal diagramma ad albero qui a destra:
8 = 23 possibilità
(TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC)
Ogni volta che penso a una casella in più, il numero di modi
in cui è possibile riempire la sequenza di caselle considerate
raddoppia per via del ventaglio di 2 possibilità che si apre !!!
A questo punto, è evidente che: 10 caselle → 210 = 1024 possibilità .
a) Il caso favorevole è 1 solo: TTTTTTTTTT. La probabilità richiesta è p(tutte T) = 1/1024 = 0,0009765
b) Il caso favorevole è 1 solo: TTTTCCCCCC. La probabilità richiesta è p(TTTTCCCCCC) = 1/1024.
254
Esempio 7
Avevo in tasca 5 monete, 2 da 1 euro e 3 da 2 euro. Pesco dalla tasca, prendendo le prime 2
che mi capitano fra le dita. Calcola la probabilità che queste formino un totale di
a) 4 euro
b) 2 euro
c) 1 euro
Risoluzione
Possiamo schematizzare così:
M1
1 euro
M2
1
M3
2
M4
2
M5
2
Per tutti e tre i quesiti l’insieme dei casi possibili è
(notare l’uso delle parentesi graffe e non tonde intorno a ogni coppia, per indicare che
la coppia viene qui pensata senza che abbia importanza l’ordine dei due elementi):
{ {M1 , M 2 }; {M1 , M3}; {M1 , M 4 }; {M1 , M5};
{M 2 , M3}; {M 2 , M 4 }; {M 2 , M5};
{M3 , M 4 }; {M3 , M5};
{M 4 , M5} }
Possiamo valutare tutti e 10 questi casi come equipossibili: non c’è ragione per l’ipotesi contraria.
Ora, considerando le somme dei valori delle coppie di monete, avremo
{M1, M 2} 2 euro
{M1, M3} 3 euro
{M1, M 4} 3 euro
{M1, M5} 3 euro
{M 2 , M3} 3 euro
{M 2 , M 4 } 3 euro
{M 2 , M5} 3 euro
{M3 , M 4} 4 euro
{M3 , M5} 4 euro
{M 4 , M5} 4 euro
Avremo dunque:
a) p =
3
10
b) p =
1
10
c) p = 0 (evento impossibile)
Esempio 8
In una scuola, il 25% degli studenti segue un corso di Computer e il 30% un corso di Musica.
Il 24% dei partecipanti a Computer fa anche Musica; in 120 fanno Musica, ma non Computer.
a) Preso a caso uno studente, che probabilità c’è che faccia Computer ma non Musica?
b) Preso a caso uno studente che faccia Musica, che probabilità c’è che frequenti anche Computer?
Risoluzione
Converrà innanzitutto rappresentare la situazione con un diagramma di Venn:
24 25
6
C∩M:
⋅
=
100 100 100
quindi coloro che fanno sia Computer che Musica sono il 6% del totale
e dunque sono la 5a parte di quelli che fanno Musica (30% del totale).
Perciò quei 120 in M − C saranno i 4/5 degli elementi di M: da cui
4
M = 120 → M = 150
5
(osserviamo che, in modo disinvolto ma efficace dal punto di vista “pratico”,
stiamo usando una stessa lettera per indicare
tanto un insieme quanto il numero dei suoi elementi)
Allora possiamo con semplici passaggi determinare
il numero di studenti che stanno nei vari insiemi,
compreso il numero totale di studenti della scuola,
che risulta essere di 500.
Per dar risposta ai due quesiti basta osservare il diagramma:
95 19
30 1
a) p =
=
= 19% b) p =
= = 0,2 = 20%
500 100
150 5
255
4.5 - ESERCIZI (risposte alla fine della rassegna)
1) Lanciando un dado,
che probabilità c’è che esca
a) un multiplo di 3?
b) un numero diverso da 6?
c) un numero primo?
COSA DOBBIAMO DOMANDARCI SEMPRE:
● Qual è l’insieme dei casi possibili?
● C’è “equipossibilità”?
● Quanti sono, questi casi (equi)possibili?
● E quanti sono invece i casi favorevoli?
DUNQUE probabilità =
n° casi favorevoli
n° casi (equi)possibili
2) In una classe vi sono 18 ragazzi e 9 ragazze. Se viene estratto coi bigliettini un cognome
a caso per la prima interrogazione di Storia, che probabilità c’è che si tratti di un maschio?
3) Un amico ha acquistato 100 biglietti di una lotteria nazionale.
Ha poi saputo che i biglietti stampati sono 20 milioni, e sono stati venduti tutti.
Che probabilità ha di vincere il 1° premio?
4) Si gioca alla tombola (numeri interi da 1 a 90).
Che probabilità c’è che il primo estratto sia
a) un multiplo di 13?
b) un quadrato perfetto?
c) uno dei numeri che sono divisibili per 10 o per 12?
d) un numero minore di 91?
e) un numero divisibile per 91?
5) Se il nome di una ragazza inizia con una vocale, che probabilità c’è che questa sia “A”?
6) Se si “pesca” a caso un intero da 1 a 20, stabilisci che probabilità c’è che sia divisibile:
a) sia per 2 che per 3 b) per 2 e/o per 3.
7) Da un mazzo da scopa (40 carte) se ne pesca 1. Se mi dicono che NON è il “settebello” (7 di denari),
che probabilità c’è che la carta sia comunque di denari? [“Denari” = “Ori” = “Quadri”]
8) Si estrae a sorte un numero di 2 cifre, poi si lancia una moneta
e se esce “Testa” se ne prende la prima cifra, altrimenti la seconda.
Che probabilità c’è di ottenere in questo modo
a) un “9”?
b) uno “0”?
9) Lancio un dado a 8 facce, numerate da 1 a 8, della forma illustrata in figura.
Che probabilità c’è che si presenti sulla faccia in alto un multiplo di 3?
→
10) Riempi i puntini:
Se un evento è certo, detta p la sua probabilità, è p = …
Se un evento è impossibile, detta p la sua probabilità, è p = …
La probabilità di un evento è sempre compresa fra un minimo di … e un massimo di …
e il primo di questi valori si ha soltanto nel caso in cui l’evento sia …
mentre il secondo valore si ha soltanto nel caso in cui l’evento sia …
11) La probabilità dell’evento “lanciando un dado, esce un numero minore di 7” è … perché l’evento è … ;
sempre lanciando un dado, la probabilità dell’evento “esce un numero maggiore di 7” è …
perché questo evento è …
12) In un cassetto ci sono 4 fazzoletti bianchi e 3 scozzesi.
a) Qual è la probabilità che estraendone uno a caso, esso sia bianco?
b) Qual è la probabilità che, estraendo 4 fazzoletti a caso, almeno 1 di essi sia bianco?
13) In un’urna ci sono 2 palline Bianche, 2 Rosse e 2 Nere.
a) Qual è la probabilità che, estraendo 1 pallina, essa sia Nera?
b) Se si estrae una pallina e questa risulta Nera, estraendone poi una seconda,
senza aver rimesso la prima nell’urna, che probabilità c’è che sia Nera anch’essa?
14) Sul bancone di un bar, sono rimaste 10 brioches esternamente identiche,
ma 2 di esse hanno il cioccolato dentro, l’unico ripieno che non mi piace.
Presa una brioche a caso, che probabilità c’è che sia di mio gradimento?
15) Qual è la probabilità che il 1° estratto nella prossima estrazione alla ruota di Napoli sia un numero primo?
256
16) E’ corretto dire che, se si lancia un dado, i casi possibili sono 2:
“numero pari” o “numero dispari”, quindi, ad esempio, p ( pari ) = 1/ 2 ?
17) Una piccola pesca di beneficenza ha 240 biglietti, numerati da 1 a 240; io sono in possesso del numero 120.
Viene estratto il numero cui spetta il 1° premio.
Io domando se quel numero è di 3 cifre, e mi rispondono “sì”.
Domando se queste cifre sono tutte minori di 3, e mi rispondono “sì”.
Chiedo infine se le cifre sono tutte minori di 2 e mi rispondono “no”.
Con queste informazioni, che probabilità ho di aver vinto il 1° premio?
18) I 10 articoli di una vetrina hanno tutti prezzi diversi.
Che probabilità ho, scegliendone 1 a caso, che sia il più a buon mercato?
Che probabilità ho, scegliendone 2 a caso, che uno sia più caro dell’altro?
19) Ho giocato il 49 sulla ruota del Lotto di Napoli.
Che probabilità c’è che esca come primo numero estratto?
… Mi dicono ora che il primo estratto sulla ruota di Napoli è stato un multiplo di 7, ma non è stato il 7.
Che probabilità c’è che si tratti proprio del 49?
20) Mettiti d’accordo con un gruppetto di amici. Suddividetevi in coppie (almeno 5 coppie).
In ciascuna coppia, uno dei due mischia le carte di un mazzo da scopa, e l’altro estrae a caso una carta;
questo, lo si fa per 200 volte complessivamente, sempre reinserendo la carta nel mazzo dopo l’estrazione.
Si tratta di annotare quante volte complessivamente esce “cuori”
per verificare, alla fine, se la “legge empirica del caso” appare rispettata.
21) Come per l’esercizio/attività precedente, soltanto che invece di estrarre una carta si lanciano due dadi
e si fa la somma dei punteggi ottenuti (per le probabilità a priori dei vari esiti vedi l’Esempio 5 di pag. 253)
22) L’insieme universo dei casi equipossibili quando si valuta la probabilità
che “lanciando due monete, escano due croci”, è:
a) {T, C, T, C} b) {T, C} c) {TT, TC, CT, CC} d) nessuno dei precedenti
23) Quanti sono i casi possibili quando si lancia una moneta
a) 3 volte di seguito? b) 4 volte di seguito? c) 8 volte di seguito?
24) Si lanciano in aria due monete. Che probabilità c’è che esca “Testa” su entrambe?
25) a) Calcola la probabilità che lanciando simultaneamente 2 monete gli esiti siano uguali.
b) E se le monete fossero 3, quale sarebbe la probabilità che gli esiti siano tutti uguali? c) E se fossero 4?
26) Si lancia per due volte una moneta. Che probabilità c’è di ottenere “Testa” almeno una volta?
27) Si lanciano 3 monete. Un caso possibile è, ad esempio, TTC.
Che probabilità c’è di non ottenere mai “Testa”?
a) 1/4 b) 1/6 c) 1/8 d) 1/9
28) Se si lanciano 3 monete, che probabilità c’è che esca una volta “Testa” e le rimanenti “Croce”?
29) Si lanciano 3 monete. Che probabilità c’è di ottenere almeno una “Testa”? a) 8/9 b) 7/8 c) 3/4 d) 2/3
30) Si lanciano 3 monete. Che probabilità c’è di ottenere almeno due “Teste”? a) 3/4 b) 2/3 c) 1/2 d) 1/3
31) Si lancia una moneta per 4 volte consecutive. Che probabilità c’è che
a) non si abbiano mai 2 esiti successivi uguali? b) si abbiano almeno 2 esiti successivi uguali?
32) Se si lancia una puntina da disegno, essa potrà fermarsi sul tavolo (o sul pavimento)
con la punta in su o con la punta in giù. Qual è la probabilità di ciascuno dei due eventi?
33) Il numero 58, sulla ruota del Lotto di Napoli, non è mai uscito nelle precedenti 150 estrazioni. Invece il 59
è uscito nell’estrazione più recente. Conviene di più giocare il 58 o il 59 nell’estrazione di questa sera?
34) Nel gioco del Superenalotto, c’è qualche sestina che è più conveniente giocare?
35) Se so che un’amica è nata a Giugno, e anch’io sono nato a Giugno,
che probabilità c’è che il nostro compleanno cada nello stesso giorno?
36) Una classe di 20 studenti ha i banchi doppi: ogni banco, insomma, è condiviso da due studenti.
I posti a sedere vengono sorteggiati.
Giuseppe e Luca si detestano. Che probabilità c’è che l’estrazione li condanni a esser compagni di banco?
37) La probabilità di essersi ammalati di scarlattina prima di iniziare le scuole elementari
è valutata, in Italia, intorno al 35%. All’inizio dell’anno scolastico, in una Prima elementare
con 240 alunni, quanti saranno coloro che hanno già fatto la scarlattina?
257
38) Lanciando due dadi, l’insieme dei casi possibili può essere
rappresentato tramite lo schema riportato qui a fianco.
Tre casi possibili sono, ad esempio: (4, 6); (3, 3); (6, 4).
Ora, nello schema, indica con una crocetta l’insieme dei casi
favorevoli all’evento “la somma dei due punteggi usciti è 4”.
Che probabilità ha l’evento in questione?
a) 1/6 b) 1/12 c) 3 d) 1/9
39) a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, l’esito del lancio sia un “doppio 1”
Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, su uno di questi esca “1” e sull’altro “6”
Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, su uno di essi esca un numero pari e sull’altro un dispari
Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, la faccia “1” si presenti una e una sola volta
Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, la faccia “1” si presenti almeno una volta
40) Lanciando 1000 volte una coppia di dadi, quante volte ci aspettiamo che esca lo stesso numero su entrambi?
41) Il 20% dei residenti in un comune è pensionato, e il 10% è laureato.
Però soltanto il 5% dei pensionati, in quel comune, è laureato.
Se si estrae a caso il nome di un abitante, che probabilità c’è che sia:
I) pensionato e laureato
II) né pensionato, né laureato
III) pensionato, ma non laureato IV) laureato, ma non pensionato
V) pensionato o in alternativa laureato
42) Il 70% degli iscritti ad un club sono maschi; delle femmine, quest’anno il 20%
ha lasciato al club una donazione, mentre solo il 10% dei maschi lo ha fatto.
a) Preso un iscritto a caso, determinare la probabilità che abbia lasciato una donazione al club.
b) Preso a caso un membro che abbia lasciato una donazione, determinare la probabilità che sia maschio.
43) Alla Roulette Francese possono uscire i numeri 0, 1, 2, 3, ... , 36
e giocare “Pair” significa puntare su tutti i numeri >0 pari,
mentre giocare “Manque” equivale a puntare sui numeri da 1 fino a 18.
Nello schema a fianco, scrivi all’interno di ciascuno dei 4 territori
quanti sono gli elementi dell’insieme corrispondente.
Se metto un gettone su Pair e un altro su Manque, che probabilità ho di
I) vincere su entrambe le giocate?
II) vincere su almeno una giocata?
III) perdere su entrambe le giocate? IV) vincere su esattamente 1 giocata?
44) Il 30% delle famiglie di un paese ha un cane; di queste il 40% ha pure un gatto.
Fra tutte le famiglie che possiedono un gatto, il 24% possiede anche un cane.
Estratta a sorte una famiglia in quel paese, determinare la probabilità
che possegga almeno un animale domestico fra cane e gatto.
Lo “0” in matematica
fa parte dei
numeri pari,
alla roulette invece
è convenzionalmente
considerato “neutro”.
45) In una fabbrica ci sono due macchine:
A, che produce pezzi di cui il 5% è difettoso, e B, i cui pezzi sono addirittura difettosi al 10%.
Se ho qui davanti a me un certo numero di pezzi, e so che i 2/5 di essi provengono dalla macchina A mentre
i rimanenti dalla macchina B, potrò determinare la probabilità che uno di essi, scelto a caso, sia buono?
E la probabilità che un pezzo preso a caso, qualora risulti buono, provenga dalla macchina A?
46) Consideriamo un insieme di 1200 famiglie in ognuna delle quali ci siano esattamente 2 figli.
Supponiamo altresì che la probabilità di nascer maschio sia esattamente uguale a quella di nascer femmina
(anche se nella realtà c’è un piccolissima differenza).
I) in quante, pressappoco, fra queste famiglie, ci sarà almeno una figlia femmina? a) 600 b) 800 c) 900
II) in quante, pressappoco, fra queste famiglie, il secondogenito è una femmina? a) 400 b) 600 c) 800
47) Quattro fratelli - Anna, Bruno, Carlo e Dario - hanno preso questa mattina i voti seguenti: 4, 5, 7, 9.
Determina la probabilità che la mamma, convocando due di essi a caso,
trovi la media dei loro due voti insufficiente (<6).
48) Ci sono 4 carte, una con entrambe le facce Blu, una con entrambe le facce Rosse,
le due rimanenti ciascuna con una faccia Blu e l’altra Rossa.
Un mio amico le mette in un cassetto.
Io estraggo con gli occhi bendati una carta, poi mi viene tolta la benda e io vedo il colore di una faccia.
Che probabilità c’è che anche l’altra abbia lo stesso colore?
258
49) Sul ripiano della reception dell’hotel ci sono tre chiavi, fra cui quelle delle stanze di Aldo e di Bruno.
Se Aldo e Bruno scegliessero a caso, senza guardare, che probabilità ci sarebbe che
a) becchino entrambi la chiave giusta?
b) almeno uno dei due becchi la chiave giusta?
c) nessuno dei due becchi la chiave giusta?
50) Un’urna contiene un certo numero x di palline bianche e il numero doppio 2x di palline nere.
Se si aggiungessero altre 3 palline bianche, la probabilità di estrarre una “bianca” raddoppierebbe.
Quanto vale x ?
51) Un’urna contiene 120 palline; se ne estrae una, se ne osserva il colore,
poi la si reimmette nell’urna e se ne estrae un’altra.
Ripetendo la prova per 400 volte, per 52 volte la pallina risulta blu.
Quante palline blu contiene l’urna?
52) Una moneta è regolare, un’altra è scandalosamente truccata perché porta due “Teste”.
Vengono poste in un sacchetto, poi ne si pesca una a caso, la si lancia ed … esce “Testa”.
Che probabilità c’è che la moneta pescata sia quella truccata?
53) Se tre persone sono in attesa a uno sportello, che probabilità c’è che il loro ordine nella coda
coincida con l’ordine alfabetico dei cognomi?
a) 1/27 b) 1/9 c) 1/8 d) 1/6
54) Un’urna contiene 3 palline Rosa e 2 Azzurre.
Se se ne estrae una e poi, SENZA aver “reimbussolato”
( = reintrodotto nell’urna) la pallina estratta, se ne estrae una seconda.
Si vuole valutare la probabilità che le due palline estratte siano di colore diverso.
I) Perché non è giusto dire che i casi equipossibili sono RR, RA, AR, AA?
II) Dette R1, R 2 , R3 , A1, A2 le palline, uno dei casi equipossibili
è ad esempio A 2 R1 , che considereremo distinto da R1A 2 .
Quanti sono in totale i casi equipossibili?
III) Quanti sono in totale i casi favorevoli all’evento “colore diverso”?
IV) Se si fanno 500 prove, quante volte ci aspettiamo pressappoco
che si verifichi l’evento “colore diverso”?
55) Un’urna contiene
quattro biglie numerate:
1, 2, 3, 4.
Le si estrae dall’urna
una dopo l’altra.
Che probabilità c’è che in questo modo
le palline vengano estratte nello
stesso ordine del numero che portano?
a) 1/64 b) 1/27
c) 1/24 d) 1/16
Per contare il numero dei casi possibili
(un caso possibile è, ad esempio,
2-4-3-1)
puoi ricorrere, se lo conosci,
al “Calcolo Combinatorio”,
oppure pensare a un
“diagramma ad albero”.
Per il 1° numero uscito
c’è un ventaglio di 4 possibilità;
per ognuna di queste 4 possibilità,
si apre un ventaglio di 3 possibilità
per il 2° numero; ecc.
56) In un’urna, ci sono 3 palline Bianche e 2 Nere. Viene estratta una pallina, che viene messa da parte
(NON viene, cioè, “reimbussolata” che significherebbe “rimessa nell’urna”); poi dall’urna con una
pallina in meno viene estratta una seconda pallina. Valutare la probabilità che le due palline estratte siano
a) entrambe bianche b) entrambe nere c) di colore diverso
57) In un’urna, ci sono 3 palline Bianche e 2 Nere. Viene estratta una pallina, che viene poi
rimessa nell’urna ( = “reimbussolata”); viene quindi fatta un’altra estrazione.
Valutare la probabilità che le due palline estratte siano
a) entrambe bianche b) entrambe nere c) di colore diverso
58) Un’urna contiene 5 palline numerate 1, 2, 3, 4, 5. Se ne pesca una e la si mette da parte, poi si sommano
i numeri letti sulle altre. Che probabilità c’è, così facendo, di ottenere un numero
a) pari? b) dispari? c) maggiore di 10? d) maggiore di 14?
259
59) La “probabilità” di un evento è un numero che misura la facilità che quell’evento ha di verificarsi,
in una prova “(1)” ossia “il cui esito sia casuale”.
Essa è data dal rapporto, cioè dal (2), fra il numero dei casi (3) a quell’evento, e il numero dei casi (4),
purché però i casi in questione tendano a verificarsi con la stessa “facilità”, cioè siano fra loro “(5)”.
La probabilità può dunque andare da un minimo di (6), quando l’evento è (7),
a un massimo di (8) quando invece l’evento è (9).
L’insieme dei casi possibili si dice “insieme universo”, o “spazio degli eventi”, o “spazio (10)”.
Una legge sperimentale afferma che, quando si fa un numero elevato di prove
in ciascuna delle quali potrebbe verificarsi, con probabilità p, un dato evento,
allora il rapporto fra il n° di prove in cui quell’evento si è verificato, e il n° totale delle prove effettuate,
tende ad avvicinarsi a p: questo enunciato prende il nome di “legge (11) del (12).
3
11
1
2
8
4
6
5
12
10
7
9
RISPOSTE
1) a) 1/3 b) 5/6 c) 1/2
2) p (maschio) = 18/(18 + 9) = 18/ 27 = 2/3
3) 100 / 20 000 000 = 1/ 200 000 = 0,000005
4) a) 1/15 b) 1/10 c) 1/6 d) 1 e) 0
5) I 5 casi sono tutt’altro che equipossibili. Non si può rispondere, se non eventualmente
dopo aver effettuato una indagine statistica accurata sulla popolazione femminile locale.
7) 9/ 39 = 3/13
6) a) p (sia per 2 che per 3) = 3/ 20 b) p (per 2 e / o per 3) = 13/ 20
8) I numeri di 2 cifre sono 90: si hanno 90 “prime cifre” e 90 “seconde cifre”, per un totale di 180 cifre.
Ora, le modalità della prova aleatoria assicurano che ognuna di queste 180 cifre può essere ottenuta
con la stessa facilità (è proprio così … pensaci bene!).
Ma delle 180 cifre in questione, 19 sono “9” e 9 sono “0”. Perciò p (9) = 19/180; p (0) = 9/180 = 1/ 20
9) Non si può rispondere se non attraverso una visione “statistica”, lanciando per moltissime volte quel dado
per determinare il rapporto fra il numero di lanci nei quali è uscito un multiplo di 3, e il n° totale di lanci.
Infatti il dado non presenta una simmetria tale che si possano ritenere equipossibili tutti e 8 gli esiti.
10) p = 1; p = 0; fra un minimo di 0 e un massimo di 1; impossibile; certo
11) 1; certo; 0; impossibile
12) a) 4/7 b) E’ uguale a 1, perché l’evento è certo 13) a) 2/6 = 1/3 b) 1/5 14) 8/10 = 4/5 15) 24/90 = 4/15
16) E’ corretto, perché una semplicissima analisi porta a stabilire che i due casi (ciascuno dei quali, volendo,
è composto di 3 sottocasi …) sono equipossibili. Non altrettanto si potrebbe invece dire, ad esempio,
per il lancio di una puntina da disegno: anche qui avremmo due casi, ma non equipossibili.
17) 1/14 18) 1/10; 1 19) 1/90; 1/11 22) c
23) a) TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC quindi 8 = 23 b) 16 = 24 c) 28 = 256
24) I casi possibili sono 4: TT, TC, CT, CC, e sono tutti equipossibili. Il caso favorevole è 1 solo.
p = 1/ 4 = 0, 25 = 25%
25) a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8
26) Casi possibili: TT, TC, CT, CC. Casi favorevoli a “almeno 1 Testa”: TT, TC, CT. p = 3/4
27) Casi possibili: TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC.
Casi favorevoli a “mai Testa”: 1 solo (CCC). p = 1/8 .
28) Casi possibili: 8 (TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC).
Casi favorevoli: 3 (TCC, CTC, CCT). p = 3/8 .
29) Casi possibili: TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC.
Casi favorevoli a “almeno 1 Testa”: TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT. p = 7/8 .
30) Casi possibili: TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC.
Casi favorevoli a “almeno 2 Teste”: TTT, TTC, TCT, CTT. p = 4/8 = 1/2 .
260
31) a) I casi possibili sono 16 (tutti fra loro equipossibili):
TTTT, TTTC, TTCT, TTCC, TCTT, TCTC, TCCT, TCCC, CTTT, CTTC, CTCT, CTCC, CCTT, CCTC, CCCT, CCCC.
I casi favorevoli sono 2: TCTC e CTCT. La probabilità richiesta è 2/16 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.
b) I casi favorevoli sono 14 (16 meno i 2 di cui al punto a)). La probabilità richiesta è 14/16 = 7/8.
32) I due casi “punta in su” e “punta in giù” non sono, evidentemente, equipossibili.
Le probabilità richieste potranno essere valutate solamente a posteriori, dopo aver effettuato un numero
elevato di lanci: si porrà p = numero lanci che hanno avuto quell 'esito / numero totale lanci
33) E’ del tutto indifferente. L’urna “non ha memoria”, la “facilità” di uscita di un dato numero in un’estrazione
non è in alcun modo condizionata dagli esiti delle estrazioni precedenti.
La probabilità di uscita del 58 o del 59 sarà identica, nell’estrazione di questa sera.
Certo, PRIMA della lunghissima sequenza di non-uscite del 58, si sarebbe potuto affermare:
“è estremamente poco probabile che il 58 non esca mai nelle prossime 150 o 151 estrazioni”.
Ma DOPO che l’evento “raro” della non-uscita per 150 volte di fila si è verificato, “si ricomincia da capo”:
la probabilità di uscita del 58 alla prossima estrazione è uguale a quella che il 58 ha avuto, o avrà,
di essere estratto, in una qualsivoglia determinata estrazione nel passato o nel futuro.
34) Ogni sestina fissata ha la stessa probabilità, bassissima, di uscire.
Però, in caso di vincita, il montepremi viene suddiviso in parti uguali fra tutti coloro che hanno indovinato.
Quindi, forse, le sestine più “regolari”, come ad esempio la 1 2 3 4 5 6 o la 10 20 30 40 50 60 oppure la
11 22 33 44 55 66, POTREBBERO essere più convenienti, in quanto si può ipotizzare che tendano a essere
giocate più raramente. Infatti la mente umana in genere è portata erroneamente a ritenerle meno probabili
di quelle più “disordinate”, soltanto per il fatto (irrilevante per il comportamento dell’urna) che la loro
“individualità” salta agli occhi in modo più marcato, mentre ciò non accade, ad esempio, per una sestina
come 22 35 47 59 81 86 .
D’altra parte, occorrerebbe anche valutare l’eventualità che il medesimo ragionamento
venga effettuato da più persone … nella misura in cui ciò dovesse avvenire, giocare tali sestine “regolari”
finirebbe per perdere la convenienza di cui si parlava, e anzi risultare controproducente.
Consiglio: non giocare al Superenalotto, o al limite giocare solo 1 euro (possibilmente con un “socio” ☺ ).
35) 1/30
36) Dal punto di vista probabilistico, evidentemente nulla cambia se si suppone che Giuseppe e Luca
siano rispettivamente il primo e il secondo a cui viene attribuito, per estrazione, il posto.
Ad ogni posto si assegna dunque un numero (da 1 a 20), e si preparano i bigliettini.
Si siede per primo Giuseppe, al posto per lui sorteggiato.
Rimangono 19 sedie libere, fra le quali 1 sola è quella accanto a Giuseppe.
La probabilità che Luca si sieda accanto a Giuseppe è dunque uguale a 1/19
(ossia alla probabilità che, sui 19 biglietti rimanenti dopo la prima estrazione,
venga estratto proprio quello che corrisponde alla sedia accanto a quella dove sta Giuseppe).
37) Intorno al 35% di 240, che è poi 84; chiaramente, la stima è approssimativa!
1 2 3 4 5 6
38) p = 3/36 = 1/12. La somma dei punteggi è 4 nei casi indicati in figura: →
x
1
39) a) 1/36 b) 1/18 c) 1/2 d) 5/18 e) 11/36
x
40) La probabilità dell’evento “esce lo stesso numero su entrambi i dadi” è 1/6. 2
3 x
• I casi possibili sono infatti 36 (1 sul dado “rosso” e 1 sul “blu”, 1 sul
“rosso” e 2 sul “blu”, ecc. ecc.) e quelli favorevoli 6, ma 6/ 36 = 1/ 6 ;
4
• oppure: il primo dado che atterra, potrà mostrare un punto qualsiasi,
5
dopodiché c’è una possibilità su 6 che anche il secondo dado
6
mostri proprio quel punto.
Se una coppia di dadi viene lanciata 1000 volte (1000 è già un numero piuttosto elevato,
quindi dovrebbero essere evidenti le implicazioni della “legge empirica del caso”),
la frequenza di uscita di una coppia di esiti uguali si aggirerà intorno a 1/6 ⋅1000 = 166,66... per cui
ci aspettiamo di osservare questo evento un numero di volte che non si discosti troppo da tale valore.
41) I)
II)
III)
IV)
V)
1/100
71/100
19/100
9/100
29/100
42)
a) 13%
b) 7 /13 ≈ 54%
Nel diagramma
qui a fianco
abbiamo “finto”
che gli abitanti della città
siano esattamente 100.
43) I)
II)
III)
IV)
9/37
27/37
10/37
18/37
44) 68%
261
45) Sì, approssimativamente.
Si può fare un diagramma di Venn,
pensando per fissare le idee a 100 pezzi (figura qui a destra) …
Si trova p (buono) = 92 /100 = 92% .
Anche: detto n il numero totale di pezzi che ho davanti a me,
il numero di pezzi prodotti da A
2
3
sarà n e il numero di quelli prodotti da B sarà n . I pezzi difettosi saranno in totale
5
5
2
5 3 10
1
3
4
2
2
23
n⋅
+ n⋅
= n + n = n = n (all’incirca) e quelli buoni saranno quindi n − n = n .
5 100 5 100 50
50
50
25
25
25
23
n 23
La probabilità, pescando a caso un pezzo, di trovarlo buono, si aggirerà intorno a 25 =
= 0,92 = 92%
n
25
La risposta alla seconda domanda è 38 / 92 = 19 / 46 ≈ 41% .
46) I) p(almeno una figlia femmina) = ¾. Quindi, per la Legge Empirica del Caso,
n° famiglie con almeno 1 figlia femmina 3
x
3
≈ →
≈ → x ≈ 900
n° totale famiglie
4
1200 4
II) p(secondogenito femmina) = ½. Quindi, per la Legge Empirica del Caso,
n° famiglie con figlio secondogenito femmina 1
x
1
≈ →
≈ → x ≈ 600
2
1200 2
n° totale famiglie
47) 1/3
48) 1/2
49) a) Indichiamo le 3 chiavi con A, B, C, dove A è la chiave di Aldo e B quella di Bruno.
Sceglie Aldo, sceglie Bruno, la chiave non scelta resta dov’era.
I casi possibili (equipossibili) sono: ABC (unico caso favorevole); ACB; BAC; BCA; CAB; CBA
e la probabilità richiesta è 1/6.
b) 1/2 c) 1/2
x+3
x
x+3
x
2
2( x + 1)
x+3
x+3
x + 3 = 2x + 2 → x =1
= 2⋅
= 2⋅
=
=
50)
x + 2x + 3
x + 2x
3x + 3
3( x + 1) 3 3( x + 1) 3( x + 1)
3x
51) 52 / 400 = 0,13 e 0,13 ⋅120 = 15, 6 . Il numero delle palline blu nell’urna sarà di 15 o 16
o comunque non eccessivamente distante da questi valori.
52) 2/3. Se non ne sei del tutto convinto, pensa: su 1000 lanci, pressappoco 250 volte uscirebbe l’unica croce C,
circa 250 la testa T1 sul retro della croce, circa 250 volte la testa T2 della moneta con due teste, e circa 250
volte l’altra faccia T3 della stessa moneta. Per 750 volte all’incirca, comparirebbe una testa, e per circa 500
di queste 750 volte essa proverrebbe dalla moneta contraffatta.
53) 1/6
54) I) Perché non sono equipossibili! Essendoci 3 palline Rosa e 2 sole Azzurre, il caso AA, per esempio,
si verifica meno facilmente del caso RR II) 20 III) 12 IV) pressappoco 300
55) 1/24
56) I casi possibili (equipossibili!) sono in numero di 5 ⋅ 4 = 20 :
B1+B2 B1+B3 B1+N1 B1+N2 B2+B1 B2+B3 B2+N1 B2+N2
B3+B1 B3+B2 B3+N1 B3+N2 N1+B1 N1+B2 N1+B3 N1+N2
N2+B1 N2+B2 N2+B3 N2+N1
a) i casi favorevoli sono 3 ⋅ 2 = 6 . La probabilità è p (2 Bianche) = 6/ 20 = 3/10 = 0,3
b) i casi favorevoli sono 2 ⋅1 = 2 . La probabilità è p (2 Nere) = 2/ 20 = 1/10 = 0,1
c) i casi favorevoli sono 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 12 . La probabilità è p (colori diversi) = 12/ 20 = 6/10 = 0,6
57) I casi possibili (equipossibili!) sono in numero di 5 ⋅ 5 = 25 :
B1+B1 B1+B2 B1+B3 B1+N1 B1+N2
B2+B1 B2+B2 B2+B3 B2+N1 B2+N2
B3+B1 B3+B2 B3+B3 B3+N1 B3+N2
N1+B1 N1+B2 N1+B3 N1+N1 N1+N2
N2+B1 N2+B2 N2+B3 N2+N1 N2+N2
a) i casi favorevoli sono 3 ⋅ 3 = 9 . La probabilità è p (2 Bianche) = 9/ 25 = 0,36
b) i casi favorevoli sono 2 ⋅ 2 = 4 . La probabilità è p (2 Nere) = 4/ 25 = 0,16
c) i casi favorevoli sono 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 12 . La probabilità è p (colori diversi) = 12/ 25 = 0,48 .
58) Casi equipossibili: 2 + 3 + 4 + 5 = 14, 1 + 3 + 4 + 5 = 13, 1 + 2 + 4 + 5 = 12, 1 + 2 + 3 + 5 = 11, 1 + 2 + 3 + 4 = 10
p(somma pari = 3/5); p(somma dispari) = 2/5 p(somma maggiore di 10) = 4/5; p(somma maggiore di 14) = 0
59) (1) aleatoria (2) quoziente (3) favorevoli (4) possibili (5) equipossibili (6) zero
(7) impossibile (8) uno (9) certo (10) campionario (11) empirica (12) caso
262
4.6 - Esercizi su probabilità e frequenza relativa
1) Se si lancia un pezzo di legno intagliato a forma di tronco di cono, quanti sono i casi possibili quando
il tronco cade a terra e si ferma? Come si potrebbe valutare la probabilità di ciascun esito?
2) Lanciando 1000 volte una moneta truccata, il rapporto teste/croci è risultato uguale a 0,7762 circa.
Quante “teste” e quante “croci” sono uscite?
Che probabilità c’è di ottenere, con un ulteriore lancio, “testa”?
3) I “Giochi di Archimede” sono competizioni matematiche nelle quali lo studente è chiamato a rispondere
a un set di 20 quesiti (pensando alla gara junior, quella per i più giovani).
Per ciascun quesito sono elencate 5 possibili risposte A, B, C, D, E delle quali una e una sola è corretta.
E’ previsto di assegnare 5 punti a ogni risposta giusta, 0 a ogni risposta sbagliata, e 1 a ogni risposta non data.
Un pelandrone che non si degnasse neppure di leggere il testo delle domande, tenderebbe a fare più punti
non rispondendo mai oppure crociando a casaccio una risposta per ogni domanda?
4) Un tale mi propone il seguente gioco: “Lanciamo un dado, per un numero di volte che deciderò io.
Se uscirà 1 o 2 più volte di quante volte sarà uscito 3, 4, 5 o 6, ti darò 100 euro, altrimenti mi darai tu 5 euro”.
Mi conviene accettare?
5) Si sa che un sacco contiene 120 palline, in parte azzurre, in parte gialle, in parte rosa;
si estraggono una dopo l’altra, con reimbussolamento, 3 palline, e risultano tutte e 3 di colori diversi.
a) Cosa si può ipotizzare sul numero totale di palline dei tre colori?
b) E se si facessero 400 estrazioni ottenendo 90 azzurre, 196 gialle, e 114 rosa?
6) Se si lancia 1000 volte una coppia di monete, quante volte ci si aspetta pressappoco che mostrino 2 “Teste”?
7) Utilizza il foglio elettronico per simulare 300 lanci di una coppia di dadi.
Per ogni singolo lancio simulato, il foglio elettronico dovrà calcolare la somma dei due punteggi.
E per ogni somma ottenibile (da 2 fino a 12), dovrà determinare la frequenza assoluta e la frequenza relativa.
Tu confronterai infine quest’ultima con la probabilità a priori.
Tieni comunque presente che i numeri “casuali” generati dal computer non sono veramente casuali,
ma sono piuttosto pseudocasuali, ossia hanno l’apparenza della casualità.
Per motivi di impaginazione, una scheda sui numeri pseudocasuali nel foglio elettronico è riportata a pag. 266.
8) Si può dare per scontato che sia uguale la probabilità di nascer maschio e di nascer femmina?
9) In Inglese si parla, ad esempio, di “3:5 (three to five) odds in favor”, in relazione a un evento,
per affermare che quell’evento si verifica mediamente 3 volte per ogni 5 volte che non si verifica.
Analogamente, dire che le “odds against” per un evento sono 4:1 significa sostenere
che in media l’evento NON si presenta 4 volte per ogni volta che si presenta.
Ciò premesso, nel lancio di un dado, quante sono le “odds in favor” per l’uscita della faccia 3?
Se un evento è tale che ha x : y “odds against”, qual è la sua probabilità?
RISPOSTE
1) 3: faccia circolare maggiore in alto, faccia circolare minore in alto, tronco appoggiato sulla superficie laterale.
La probabilità di ciascuno dei tre esiti si può valutare soltanto lanciando il tronco tantissime volte e annotando
la frequenza relativa di ognuno dei tre esiti.
2) 437 teste, 563 croci; valutabile in 43,7% circa
3) E’ indifferente. Rispondendo a caso, la probabilità di azzeccare la risposta giusta a una domanda fissata è 1/5
per cui, sulle 20 domande, possiamo aspettarci intorno a 4 risposte esatte per un totale di circa 4 ⋅ 5 = 20 punti;
non rispondendo, si totalizzano 20 ⋅1 = 20 punti.
4) No, perché certamente l’avversario deciderà che il dado vada lanciato tantissime volte …
e con tantissimi lanci, è praticamente certo che la circostanza a me favorevole non si verificherà.
5) a) Praticamente non si può ipotizzare nulla: 3 estrazioni sono decisamente troppo poche.
Sembrerebbero suggerire un certo “equilibrio” fra il numero delle azzurre, delle gialle e delle rosa,
ma fino a un certo punto: davvero, 3 estrazioni sono pochine.
b) 400 è già un buon numero. Le frequenze relative sono
a = 90 / 400 = 0, 225; g = 196 / 400 = 0, 49; r = 114 / 400 = 0, 285
e portano a presupporre che il numero complessivo delle azzurre, delle gialle e delle rosa sia in proporzione;
quindi la composizione dell’urna potrebbe essere di 27 azzurre, 59 gialle e 34 rosa … o pressappoco.
6) Un numero di volte non molto distante da 250. Infatti la probabilità dell’evento è 1/4.
7) Somme possibili: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Probab.: 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
8) No. Non è detto che i due casi siano equipossibili. In effetti, si osserva, in tutte le parti del globo,
una leggera prevalenza delle nascite maschili rispetto a quelle femminili.
9) 1:5; p = y /( x + y )
263
4.7 - Speranza matematica
Per il discorso che vogliamo iniziare è essenziale tener presente cosa afferma la “legge empirica del caso”:
quando si ripete per "molte" volte una prova aleatoria ( = legata al caso),
la frequenza relativa di un esito, cioè il rapporto
numero di prove che hanno avuto quell'esito
,
fr =
numero totale di prove
si avvicina "molto" alla probabilità a priori di quell'esito, calcolata tramite il rapporto
numero casi favorevoli
.
p=
numero casi possibili
numero di prove che hanno avuto quell'esito
≈p
numero totale di prove
Insomma, è
fr =
da cui
numero di prove che hanno avuto quell'esito ≈ p ⋅ numero totale di prove
Supponiamo ad esempio di estrarre una carta da un mazzo da scopa.
numero casi favorevoli
10 1
La probabilità che sia di “cuori”, calcolata come p =
, è p=
= .
40 4
numero casi possibili
Ma allora, se ripetiamo l’estrazione per molte volte, diciamo ad esempio per 2000 volte,
sempre reinserendo la carta estratta nel mazzo e mischiando prima di effettuare un’altra estrazione,
il numero di volte in cui uscirà “cuori” si aggirerà intorno a, non differirà troppo da
1
p ⋅ numero totale di prove = ⋅ 2000 = 500 .
4
E andiamo ora a parlare di “speranza matematica”.
Ci conviene partire immaginando dapprima un gioco che nella realtà è davvero molto raro:
un gioco nel quale si possa soltanto vincere e non si possa mai perdere.
Armandoci di fantasia, supponiamo ad esempio che ci sia una famiglia con 4 figlioli, molto, ma molto povera.
Soldi ce ne sono davvero pochissimi!
Tuttavia, la mamma vuole dare qualche vizietto ai suoi piccoli, e anche scherzare un poco con loro.
Si decide, ogni sera dopo cena, di estrarre una pallina da una scatola contenente 10 palline numerate da 1 a 10.
Se uscirà una delle palline dalla 1 alla 4, il figlio corrispondente (ordinandoli dal più grande al più giovane)
vincerà 2 euro, che potrà ad esempio investire in un succulento gelato … altrimenti, nessuno avrà niente.
Cosa ci aspettiamo che accada protraendo il gioco per molto tempo, diciamo per 300 giorni?
Ad ogni estrazione, per ciascun ragazzo, la probabilità di aggiudicarsi i 2 euro sarà di 1/10 (le palline sono 10).
Allora, per quanto ricordato all’inizio riguardo alla legge empirica del caso,
1
ognuno dei 4 ragazzi vincerà i suoi 2 euro per un numero di volte pressappoco uguale a
⋅ 300 = 30 .
10
1 ⋅300
10
E quindi, in quei 300 giorni, più o meno, ciascuno si aspetta di incassare 30 ⋅ 2 = 60 euro.
In media, qual è l’aspettativa giornaliera di ognuno dei figli?
1
⋅300
10
30 ⋅ 2
1
= ⋅ 2 = 0, 20
300
10
Questo esempio ci fa capire che se moltiplichiamo la probabilità (nel nostro caso, 1/10) di una vittoria in
una singola “prova aleatoria” per la cifra (2 euro, per i nostri ragazzi) che si spera di vincere nella prova,
otteniamo quella somma di danaro che in media si vincerebbe ad ogni prova,
qualora si facesse un numero molto alto di prove.
L’aspettativa giornaliera è di vincere euro
Bene! Definiamo “speranza matematica” o “valore atteso”
(in Inglese: mathematical expectation, expected value) di una certa vincita S,
il prodotto della vincita stessa per la probabilità che essa ha di realizzarsi in una singola prova:
E = speranza matematica = pS
La “speranza matematica” è la vincita che mediamente si avrebbe in una singola prova,
se si effettuasse un numero elevato di prove.
264
Nella realtà concreta, ben raramente ci viene offerto di poter vincere qualcosa senza la possibilità di perdere.
Le situazioni più frequenti sono quelle in cui si hanno due contendenti … ma aiutiamoci con un altro esempio.
Supponiamo che una macchinetta mangiasoldi sia programmata per comportarsi nel modo seguente.
Ad ogni giocata, si può vincere (e ciò avviene con probabilità 1/10 : ossia, si vince mediamente
una volta ogni 10 giocate; insomma, su di un gran numero di giocate, il numero di vincite non si discosta molto
dal numero delle giocate, diviso per 10); oppure si può perdere, con probabilità che sarà uguale a 1 − 1/10 = 9/10
(sappiamo che la somma della probabilità di un evento con la probabilità dell’evento contrario è sempre 1).
Ogni giocata costa 1 euro, ossia, quando si perde, si perde la puntata di 1 euro. Quando si vince, il guadagno netto
è di 5 euro (il giocatore incassa 6 euro, quindi gli viene restituito l’euro della puntata, più 5 euro di vincita netta).
Domanda: se faccio 1000 giocate, cosa posso aspettarmi all’incirca, da un gioco di questo tipo?
Ragioniamo:
1
poiché ad ogni giocata la prob. di vincere è 1/10, con le 1000 giocate vincerò pressappoco
⋅1000 = 100 volte.
10
E poiché in caso di vincita il guadagno netto è di 5 euro, la vincita sarà in totale, all’incirca, di 100 ⋅ 5 = 500 euro.
9
Nel frattempo, però, avrò perso per circa
⋅1000 = 900 volte;
10
per una perdita complessiva che si aggirerà intorno a 900 ⋅1 = 900 euro.
− 900 = − 400 euro.
In totale, il mio bilancio finale dovrebbe collocarsi intorno ai 500
N
N
1 ⋅1000⋅5 9
⋅1000⋅( −1)
10
10
− 400
= − 0,40 :
1000
ossia mi avrà generato una perdita di 40 centesimi (bel pesciolino che sono!).
E ciò significa che in media, ogni giocata mi avrà portato euro
Proviamo a generalizzare.
Se in una singola prova si può verificare uno e uno solo fra più eventi incompatibili E1 , E 2 , ... , E k
di rispettive probabilità p1 , p2 , ... , pk , e tali eventi mi apportano rispettivamente una somma di denaro,
positiva o negativa, S1 , S 2 , ... , S k , allora, in n prove, se n è grande, E 1 si verificherà all’incirca
n ⋅ p1 volte, E 2 circa n ⋅ p2 volte, ecc., per cui la somma di denaro che me ne verrà si aggirerà intorno a
n ⋅ p1 ⋅ S1 + n ⋅ p2 ⋅ S 2 + ... + n ⋅ pk ⋅ S k = n ⋅ ( p1 ⋅ S1 + p2 ⋅ S 2 + ... + pk ⋅ S k ) .
In media, in ogni singola prova avrò vinto o perso la somma
n ⋅ ( p1 ⋅ S1 + p2 ⋅ S2 + ... + pk ⋅ Sk )
= p1 ⋅ S1 + p2 ⋅ S2 + ... + pk ⋅ Sk .
n
Bene: la quantità E = p1 ⋅ S1 + p2 ⋅ S2 + ... + pk ⋅ Sk viene detta
la mia SPERANZA MATEMATICA (mathematical expectation) in quel gioco,
ed esprime, dunque, quello che posso aspettarmi mediamente ad ogni prova,
se ripeto per molte volte una prova di questo tipo.
ESEMPIO
Mi viene proposto il gioco seguente: si prende un mazzo di carte da scopa, e se ne estrae una a caso.
Se è una figura vinco 70 centesimi, se non è una figura ma è una carta di fiori o di picche ne vinco 50,
soltanto se è il “settebello” (7 di quadri) perdo 16 euro. Qual è la speranza matematica del gioco?
Giocando molte volte, a lungo andare finirei per vincere o per rimetterci?
12 3
14
7
1
p ( figura ) =
= ; p ( non figura, di fiori o picche) =
=
; p ( settebello) =
40 10
40 20
40
3
7
1 13 (comunque è inutile calcolarla,
p (una delle altre carte) = 1 − − − =
10 20 40 40 perché tanto poi verrà moltiplicata per 0)
7
1
13
3
speranza matematica = ⋅ 0, 70 + ⋅ 0, 50 + ⋅ (−16) + ⋅ 0 = 0, 21 + 0,175 − 0, 4 + 0 = −0, 015
20
40
40
10
La speranza matematica, che mi dice quanto devo mediamente aspettarmi, pressappoco,
da una singola prova, se effettuo un numero elevato di prove, è negativa, seppure di poco.
Devo attendermi, se mi ostino a giocare moltissime partite, di finire in perdita. Ad esempio,
in 10000 partite, dovrei ritrovarmi pressappoco a quota − 0,015 ⋅10000 = −150 euro . …Pressappoco, s’intende!
265
Un GIOCO si dice “EQUO” se la speranza matematica di ogni giocatore è 0.
Ad esempio, se A e B prendono un mazzo di carte da scopa ed estraggono una carta, con l’accordo che A:
vince 6 euro se esce “cuori”, vince 3 euro se esce “quadri”, ne perde 5 se esce “fiori” e ne perde 4 con “picche”,
la speranza matematica di A sarà
1
1
1
1
speranza matematica del giocatore A = ⋅ 6 + ⋅ 3 + ⋅ ( −5) + ⋅ ( − 4) = 0
4
4
4
4
mentre ovviamente quella di B avrà il valore opposto e quindi sarà anch’essa nulla. Questo gioco è equo:
A e B, se effettuassero un numero molto elevato di partite, non si ritroverebbero molto lontani dalla parità.
Nei “giochi organizzati” (Lotto, Casinò, lotterie …) chi vuole concorrere paga una somma iniziale S0
(la puntata al Lotto o al Casinò, il costo del biglietto della lotteria …) sperando in una vincita S ,
che sarà allora una vincita “lorda”, in quanto il “netto” si otterrà sottraendole la somma S0 inizialmente investita.
Vediamo come si può riscrivere la formula per la speranza matematica in questa situazione “classica”.
Sia p la probabilità di vittoria. La probabilità di perdere varrà allora (evento contrario) 1 − p . E avremo:
speranza matematica = p ⋅ ( S − S0 ) + (1 − p ) ⋅ (− S0 ) = pS − pS0 − S0 + pS0 =
= pS − S0
S = vincita lorda; S0 = somma che si paga per giocare
ATTENZIONE! In questa formula specifica per i giochi organizzati compare la vincita LORDA,
mentre nella formula generale p1 ⋅ S1 + p2 ⋅ S 2 + ... + pk ⋅ S k
le somme indicate vanno intese come vincite, o perdite, NETTE.
ESEMPIO
Alla roulette, ci sono 37 numeri su cui puntare (da 0 a 36).
Se si punta su di un numero singolo, in caso di vincita viene consegnato al giocatore un premio
uguale alla somma giocata, moltiplicata per 36 (quindi, la vincita netta è uguale a 35 volte la posta giocata).
Quanto vale la speranza matematica (supponendo di puntare 1 euro)?
1
36
1
speranza matematica = pS − S0 = ⋅ 36 − 1 = − 1 = − ≈ − 0,027
37
37
37
La speranza matematica è quindi negativa. Il gioco NON è equo. Sarebbe equo se in caso di vincita
venisse consegnato al giocatore un premio lordo uguale a 37 volte la puntata, anziché solo 36.
Però il gioco non è nemmeno troppo “disonesto”: se la speranza matematica, per la puntata di 1 euro, è uguale
a circa − 0,027 , vuol dire che di quell’euro mediamente a ogni puntata è come se il giocatore ne recuperasse
1 − 0,027 = 0,973 quindi il 97,3% ; il guadagno del “banco” si limita mediamente al 2,7% di ogni puntata.
Il Lotto, ad esempio, è molto più rapace nei confronti del giocatore.
Supponiamo si punti sul “numero secco” o “ambata”.
La probabilità di vincere è p = 1/18 ; in caso di vincita, lo Stato paga però soltanto 11,232 volte la puntata
(e da questa vincita “lorda” occorre poi sottrarre la puntata stessa per ottenere la vincita netta).
1
Allora la speranza matematica è pS − S0 = ⋅11,232 S0 − S0 = − 0,376 S0 .
18
Per le altre combinazioni del Lotto il discorso cambia poco (nel caso dell’ambo) o peggiora di molto (terno, ecc.).
Il Casinò comunque è più pericoloso, perché il poter effettuare immediatamente nuove puntate, circondati da
altri giocatori assatanati, in un ambiente dal fascino perverso, e il ricevere immediatamente l’eventuale premio,
tutto ciò fa sì che il giocatore si senta spinto a continuare a rischiare, anche in caso di vincita,
fino a quando, per gli alti e bassi della sorte, si ritrova a perdere tutto quello che ha in tasca.
La persona intelligente si tiene BEN LONTANA dal
gioco d’azzardo!
Ancora qualche osservazione sui “giochi organizzati”, quelli nei quali è
speranza matematica = pS − S0 , con S = vincita lorda; S0 = somma che si paga per giocare
In questi casi, il gioco è equo se è pS − S0 = 0 , ossia se
la posta S0 da pagare per partecipare è uguale alla speranza matematica pS della vincita lorda: S0 = pS .
S
S
1
L’uguaglianza precedente si potrebbe pure riscrivere come S = 0 : questo rapporto 0 = S0 ⋅
p
p
p
è dunque il valore che dovrebbe avere la vincita lorda in un gioco equo nel quale la probabilità di vincere sia p .
Ad esempio, se, come nella puntata sul “numero secco” al Casinò, si avesse una probabilità di 1/37 di vincere,
affinché il gioco sia equo la vincita lorda dovrebbe essere 37 volte la posta.
266
Nella stragrande maggioranza dei casi è invece pS − S0 < 0 , ossia S0 > pS ,
e per valutare quanto il gioco sia sfavorevole al concorrente potremo calcolare il rapporto
pS
<1
S0
fra speranza matematica della vincita lorda e posta in gioco:
quanto più tale rapporto è basso, tanto più il gioco sarà disonesto nei riguardi del concorrente;
quanto più tale rapporto sarà invece alto, ossia vicino (per difetto) a 1, tanto più il gioco sarà clemente.
Avevamo osservato che la puntata sul numero singolo al Casinò non è, in sé, troppo rovinosa per il giocatore;
1
⋅ 36S0 36
pS
37
= ≈ 0,973 che è un valore assai prossimo a 1.
, troviamo qui
e in effetti, se andiamo a calcolare
S0
37
S0
Tale valore ci dice “quale parte della sua puntata recupera, mediamente, il giocatore, a ogni giocata”.
Tradotta il percentuale, è più espressiva: 0,973 = 97,3% per cui il giocatore di Casinò, quando punta
sul numero singolo, mediamente a ogni puntata riesce a trattenere per sé il 97,3% della somma investita.
Il rimanente 2,7% lo incamera senza pietà il Casinò. Il quale, tramite questa e le altre tipologie di puntata
alla roulette, e tramite gli altri svariati suoi giochi, alle spese dei merli fa sontuosi guadagni.
pS speranza matematica della vincita lorda
Il rapporto
è chiamato da alcuni “indice di equità”.
=
S0
somma puntata
A seconda che sia <1, =1, o >1 il gioco è da ritenersi svantaggioso, equo oppure vantaggioso.
Evidentemente, l’ultimo caso nei “giochi organizzati” non si verifica mai, o meglio: si verifica solo
se ci mettiamo dal punto di vista dello Stato nel Lotto e similari, o del Casinò nella roulette e similari:
insomma, se il giocatore al quale pensiamo è l’organizzatore del gioco: lui sì, che ne trae un lauto vantaggio!
I NUMERI CASUALI (O MEGLIO: PSEUDOCASUALI) E IL FOGLIO ELETTRONICO
E’ possibile ordinare a un foglio elettronico di generare numeri casuali, o meglio “PSEUDOcasuali”:
essi infatti hanno l’apparenza della casualità, ma in realtà non sono realmente casuali in quanto
sono costruiti tramite un algoritmo a partire da un valore iniziale, detto “seme”, quello sì - ma solo quello da ritenersi casuale (si tratta, di norma, del numero di secondi trascorsi da una certa data del passato).
Digitando in una cella
= CASUALE() [notare la coppia di parentesi senza niente all’interno!]
si genera, in quella cella, un numero casuale con la virgola x che può andare da 0 (incluso) a 1 (escluso):
0 ≤ x <1
Questo numero cambierà ogniqualvolta nel foglio elettronico un dato verrà inserito, o cancellato
(o anche semplicemente se si preme, posizionati in una cella vuota, il tasto CANC;
oppure ancora, premendo il tasto-funzione F9 in alto sulla tastiera);
come pure, ad ogni riapertura del file.
E volendo un numero casuale fra 0 (compreso) e 6 (escluso)?
Beh, basterebbe scrivere
= CASUALE() * 6
E fra 1 (compreso) e 15 (escluso)?
= CASUALE() *14 + 1
E se volessimo simulare il lancio di un dado, quindi ci servisse un numero INTERO casuale fra 1 e 6?
In questo caso potremmo ricorrere a una combinazione fra la funzione CASUALE e la funzione INT.
INT tronca un numero all’intero più vicino per difetto, quindi, ad esempio, INT(3,8) = 3
Allora la formula
= INT(CASUALE() * 6 + 1)
ci fornirà per l’appunto un intero che potrà valere, con ugual probabilità, 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Infatti, = CASUALE() * 6 genera un numero con la virgola che può andare da 0 (compreso) a 6 (escluso);
aggiungendo 1 si ottiene un numero con la virgola che può andare da 1 (compreso) a 7 (escluso);
dopodiché la funzione INT, troncando il numero ottenuto, lo fa diventare un intero compreso fra 1 e 6.
Analogamente, il lancio di una moneta potrà essere simulato da
= INT(CASUALE() * 2)
Il risultato dell’applicazione della formula potrà essere il numero 0, oppure il numero 1:
bene, “0” potrà essere interpretato come “Testa” e “1” come “Croce”, o viceversa.
Anche i vari linguaggi di programmazione permettono di generare numeri pseudocasuali:
per il linguaggio PASCAL, puoi consultare a questo proposito la pagina 186.
267
ESERCIZI sulla speranza matematica
1) Alla “roulette francese” ci sono 37 numeri (0, 1, 2, … , 36). Quelli da 1 a 36 sono colorati metà in rosso,
metà in nero. Lo 0, invece, non è considerato né “rosso” né “nero”. Se si punta sul rosso, o sul nero,
insomma sul “colore”, e si indovina, si viene compensati con una vincita netta uguale alla somma puntata;
se, avendo giocato il “colore”, esce “zero”, la regola è piuttosto complicata e può variare da Casinò a Casinò.
Certe case da gioco consentono in questo caso al giocatore di riavere indietro metà della somma puntata.
Calcolare, se così stanno le cose, la speranza matematica di una giocata di 1 euro sul “rosso” o sul “nero”.
2) Per ringraziarmi dell’aiuto prestato nei compiti di matematica, i compagni di classe mi offrono un premio
in euro uguale al quadrato del numero che otterrò dal lancio di un dado.
Se preferissi commutare questa offerta in una cifra certa, quanti euro potrei domandare loro?
3) Se si gioca un “terno” al Lotto, in caso di vincita lo Stato versa al giocatore la somma giocata, moltiplicata
per 4500. D’altra parte, si può dimostrare che la probabilità di indovinare, se si gioca un terno, è 1/11748.
Calcolare la speranza matematica del gioco, se si puntano 10 euro.
4) Mi viene proposto il seguente gioco: si lanciano due monete, e se esce: Testa su entrambe, vinco 20 euro;
Croce su entrambe, vinco 10 euro; esiti differenti, perdo 15 euro. Mi conviene accettare?
5) Completa la tabella seguente:
Giocata
Vincita lorda (coefficiente)
Estratto semplice
11,232
Ambo
250
Terno
4500
Quaterna
120000
Cinquina
6000000
Probabilità p
1/18
1/400,5
1/11748
1/511038
1/43949268
Sper. mat. (%)
Indice di eq. (%)
6) I) Calcola la speranza matematica:
a) dell’esito del lancio di un dado
b) del punteggio ottenuto lanciando 2 dadi e sommando
c) del punteggio ottenuto lanciando due dadi e moltiplicando
II) Se lancio una coppia di dadi per 1000 volte, e ogni volta annoto il prodotto dei due numeri ottenuti,
quanto varrà all’incirca la somma di questi prodotti?
7) Un amico mi sfida al gioco seguente:
si estrae una carta da un mazzo da scopa, e se è 1 asso gli do io 10 euro, altrimenti mi dà 1 euro lui.
Calcolare la mia speranza matematica in questo gioco.
Se accettassi ed effettuassi 1000 partite, quanto mi aspetto di guadagnare o perdere?
8) Se un benefattore mi offre in regalo 30 euro certi, o, in alternativa, 180 euro ma solo se lanciando un dado
uscirà “6”, verifica che in entrambi i casi la mia speranza matematica sarebbe la medesima.
RISPOSTE
18
18 ⎛ 1 ⎞ 1
1
≈ − 0, 0135
=−
1) 1 ⋅ + (−1) ⋅ + ⎜ − ⎟ ⋅
37
37 ⎝ 2 ⎠ 37
74
2)
1
1
1
1
1
1
1
⋅1+ ⋅ 4 + ⋅ 9 + ⋅16 + ⋅ 25 + ⋅ 36 = ⋅ 91 ≈ 15 euro
6
6
6
6
6
6
6
1
⋅ 45000 − 10 = − 6,16956...
11748
1
1
1
1
1
1
4) p (TT) = ; p (CC) = ; p (TC ∨ CT) =
sper. mat. = ⋅ 20 + ⋅10 + ⋅ ( −15) = 0
4
4
2
4
4
2
Il gioco è equo: alla lunga, si può perdere o si può vincere,
ma comunque con sbalzi limitati rispetto alla situazione finanziaria iniziale.
5) Speranze matematiche (arrotondate ai centesimi): −37,60% −37,58% −61,70% −76,52% −86,35%
Indici di equità: 62,40% 62,42% 38,30% 23,48% 13,65%
3) Con la formula semplificata: sper . mat. =
6) I) a) 3,5 b) 7 c) 12,25
II) Non dovrebbe discostarsi molto da 12,25 ⋅1000 = 12250
4
1
9
1
9
1
= ; p(non asso) = . La mia speranza matematica nel gioco è
⋅ (−10) + ⋅1 = −
40 10
10
10
10
10
e, se giocassi 1000 partite, mi aspetto di perdere una cifra intorno ai 100 euro.
7) p (asso) =
scelta b)
scelta a) 1
⋅ 180
8) 1 ⋅ 30 =
O
6
O
prob. vincita
vincita
prob.
268
4.8 - Probabilità soggettiva
Nella vita di tutti i giorni chiunque, più o meno consapevolmente, effettua valutazioni di probabilità senza ricorrere
NÉ al calcolo del rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili, NÉ all’osservazione di una frequenza.
Pensiamo ad esempio a una partita di calcio fra due squadre improvvisate all’oratorio:
non ha alcun senso pensare ad un insieme di casi equipossibili, ma non ha neppure senso una visione statistica,
visto che quelle due particolari squadrette non si sono mai incontrate in precedenza!
Però bene o male conosciamo l’abilità dei singoli giocatori, per cui un’idea della probabilità ce la potremo fare.
Che probabilità c’è che le azioni di una data ditta non diminuiscano di valore nei prossimi 6 mesi?
Quanto è probabile che la cuginetta Anna si separi dal fidanzato entro la fine di quest’anno?
Nel passare in rassegna, al paragrafo 3, i vari tipi di “probabilità”,
avevamo presentato brevemente la probabilità “soggettiva” nel modo che riportiamo qui di seguito.
INTERPRETAZIONE 1)
La probabilità “soggettiva” di un evento è a/b se un soggetto “coerente” G è disposto a pagare subito la somma a
per ricevere in futuro la somma b (con un guadagno netto, quindi, uguale a b − a ) nel caso che l’evento si verifichi.
“Coerente” significa che lo stesso soggetto G deve essere disposto in qualsiasi momento a scambiarsi di ruolo con
l’altro giocatore G ' … Ma cosa fa l’altro giocatore? Riceve tanto per cominciare la somma a, ed è disposto a pagare b
se l’evento si verifica: quindi anche G, per essere coerente, deve essere disposto a incassare subito la somma a
per pagare in un futuro la somma b (con una perdita uguale in valore assoluto a b − a ) se l’evento si verifica.
INTERPRETAZIONE 2)
Anche, in modo del tutto equivalente:
la probabilità di un evento E è uguale a s/S se per me è del tutto indifferente l’offerta, da parte di un benefattore,
♪ di una somma s certa, che mi viene pagata in ogni caso
♫ oppure in alternativa di una somma S, che però mi verrà data solo se l’evento E si verificherà.
Cerchiamo di chiarire meglio il discorso facendo degli esempi.
Dunque io valuto soggettivamente uguale a 1/4 la probabilità di un evento se sono disposto a pagare 1 euro,
per incassare 4 euro nel caso l’evento si verifichi (in questo caso mi verrebbe restituito il mio euro, e me ne
verrebbero pagati altri 3 di vincita netta); però sarei anche disposto a mutare la mia scommessa nella seguente:
incasso 1 euro, ma lo restituirò e in più pagherò 3 euro (in totale: sborserò 4 euro) se l’evento si verificherà.
Ma allora valutare soggettivamente in 1/4 la probabilità di un evento vuol dire, in fondo,
ritenere che la facilità di verificarsi di quell’evento sia paragonabile alla facilità che si avrebbe
di estrarre una pallina Rossa da un’urna contenente 1 Rossa e 3 Nere, per un totale di 4 palline:
anche di fronte a quest’urna, infatti, sarebbe equo offrirsi di pagare subito la somma di 1 euro nella prospettiva
di incassare 4 euro (con un guadagno netto di 3) qualora, estraendo una pallina, esca una Rossa
(infatti, su 1000 estrazioni con reimbussolamento, è previsto di pescare una Rossa all’incirca 250 volte,
vincendo dunque 750 euro netti, e una Nera 750 volte circa, perdendo circa 750 euro: si resterà pressappoco alla pari).
Posso anche vederla in questo modo: valutare uguale a 1/4 la probabilità dell’evento significa che
se un (improbabile! ☺ ) benefattore mi offre di regalarmi 4 euro nel caso l’evento si verifichi, io posso dirgli:
guarda, pagami 1 euro comunque vadano le cose, e siamo a posto.
Immagina, anche in questa ottica, di effettuare 1000 prove:
vedrai che la tua situazione finanziaria non varierebbe di molto se tu facessi una scelta piuttosto che l’altra.
Su 1000 prove, se fai la scelta a) (il benefattore ti dà 4 euro ogni volta che l’evento si verifica),
vincerai pressappoco 250 volte con un guadagno netto di 250 ⋅ 4 = 1000 euro.
E se fai la scelta b) (1 euro per ogni prova, qualunque sia l’esito) il tuo guadagno netto sarà di 1000 ⋅1 = 1000 euro.
Nulla cambia.
Osserva anche questo: la scelta a) e la scelta b) hanno la stessa “speranza matematica”! (vedi paragrafo precedente).
scelta a) scelta b) 1
⋅ 4 = 1 ⋅ 1 .
Infatti
O
O
O
4
O
vincita prob. vincita
prob. netta
netta
Verifica tu stesso che nell’interpretazione 1), in cui non compare il fantomatico e leggendario benefattore
ma ci sono due contendenti, i giocatori G e G ' , la speranza matematica di ciascun giocatore è 0.
Qualcuno potrebbe obiettare: “Ma che senso ha chiamare in causa la speranza matematica, quando l’evento di cui
ci si sta occupando non è un evento ripetibile?”… Giusto; tuttavia, se consideriamo il fatto che assegnare, per esempio,
probabilità soggettiva 1/4 ad un evento, significa assegnargli lo stesso grado di “facilità” che avrebbe l’estrazione
di una pallina Rossa da un’urna con 1 sola Rossa e 4 palline in totale, ecco che il concetto di “speranza matematica”
torna ad avere un senso; e in effetti, può aiutarci a decidere rapidamente sull’equivalenza o meno di due situazioni.
269
IL MONDO
INFIDO E TRISTE
DELLE SCOMMESSE
… Come sono furbo!
Quest’anno ho perso solo 10000 euro!
Un altro ne avrebbe persi minimo 20000!
Cosa vuol dire, in una scommessa sulle corse di cavalli, che Fulmine è dato 5 contro 3?
Vuol dire che la probabilità di Fulmine vincente è valutata, soggettivamente, uguale alla probabilità che
si avrebbe di estrarre una pallina Rossa da un’urna con 5 palline Rosse e 3 Nere, per un totale di 8 palline.
Quindi
parlare di "vittoria di Fulmine data 5 CONTRO 3"
equivale ad attribuire a Fulmine una probabilità di vincere di
5
5
= = 62,5%
5+3 8
come se ci fosse 1 urna con 5 palline Rosse e 3 nere (8 in totale)
e si ritenesse la probabilità di vittoria di Fulmine uguale
alla probabilità di estrarre una pallina Rossa da quest'urna.
In casi come quello dell’es. precedente si suole anche dire che la “quotazione” di Fulmine è 5/3 (5 su 3, 5 contro 3).
Attenzione, però!
“Quotazione” r non vuol dire “probabilità” p: per passare dalla “quotazione” (5/3 nell’esempio dato) alla “probabilità”,
si deve applicare la formula p = r /(r + 1) (dimostralo!). La “quotazione” è una specie di … “probabilità relativa”.
L’avverbio “contro”, nelle scommesse, è utilizzato anche quando si specifica quanto si incasserebbe, a fronte
di una data puntata (solitamente si prende la puntata unitaria: 1 euro), nel caso l’evento pronosticato si verifichi.
Ad esempio, nei paesi europei ad esclusione della Gran Bretagna, si parla di pagare “4 contro 1” un evento
per indicare che “il banco”, ossia l’organizzazione che gestisce le scommesse, se lo scommettitore punta
1 euro su di un evento, promette di pagargli una somma LORDA di 4 euro nel caso l’evento si verifichi
(somma lorda: quindi il giocatore incasserebbe 4 euro ma al netto vincerebbe 4 − 1 = 3 euro).
il "Partito della Pagnotta" vincente alle elezioni
è pagato 200 CONTRO 1 se chi punta 1 sulla vittoria di quel partito
ne incassa 200 (guadagno netto 200 − 1=199) se l'evento si realizza
Le QUOTAZIONI ALLE SCOMMESSE (= le quote che vengono pagate dal banco per ogni euro pagato
dallo scommettitore) sono espresse in modo differente nelle varie zone geografiche.
Nell’EUROPA CONTINENTALE, ad es., la consuetudine è di indicare la quota sotto forma di numero,
intero o decimale, che esprime la vincita LORDA di chi ha puntato 1 sull’evento.
Cosicché, se la quota è 1,5 e Tizio ha puntato 1 euro, la somma che il banco verserà a Tizio nel caso indovini è 1,5
e il guadagno netto di Tizio è 0,5.
Naturalmente, se Tizio avesse puntato 100 euro, ne incasserebbe 1,5 ⋅100 = 150 con un guadagno netto di 50, ecc.
In GRAN BRETAGNA, si usa una frazione che porta a numeratore il guadagno NETTO e a denominatore
la puntata, cosicché, ad esempio, il Partito della Pagnotta dell’esempio precedente verrebbe quotato 199/1,
e una quota 1/5 significherebbe che se lo scommettitore punta 5 euro, in caso di vincita guadagnerà 1 euro netto
(= gli verranno restituiti i 5 euro sborsati, e in più gli verrà dato 1 euro, per un totale lordo di 6 euro).
Negli STATI UNITI l’abitudine è di utilizzare numeri negativi o positivi:
un numero negativo indica la puntata necessaria per conseguire un guadagno NETTO di 100,
un numero positivo indica il guadagno NETTO che corrisponde a una puntata uguale a 100.
Naturalmente il “banco”, se ritiene, in base alle sue documentatissime informazioni e sofisticate valutazioni,
che un evento abbia, ad esempio, 1 probabilità su 5 di verificarsi, non si dichiarerà mai disponibile a pagare
quella che sarebbe la quota “equa”, ossia un premio lordo di 5 quando il giocatore punta 1:
prometterà invece di versare un lordo di 4, o di 3,5 ad esempio, in modo che, sul gran numero di scommesse
e tenuto conto anche delle puntate sull’evento contrario, gli scommettitori globalmente ci rimettano
e il banco stesso invece prosperi, alla faccia dei pesciolini e pescioloni.
Il comportamento di una persona intelligente è identico tanto nell’Europa continentale,
quanto nel Regno Unito o negli USA o altrove: egli, semplicemente, non scommette nulla: euro 0,00.
Un giocatore perde sempre. Perde denaro, dignità e tempo.
E se vince, tesse intorno a sé una tela di ragno.
Mosè Maimonide, Sha' are ha-Musar
I tratti essenziali di ogni gioco: la simmetria, le leggi arbitrarie, il tedio.
Jorge Luis Borges, Esame dell'opera di Herbert Quain
270
ESERCIZI sulla probabilità “soggettiva”
1) Una giovane attrice con delle gambe stupende decide di assicurarle, e la compagnia le chiede di pagare
un premio di 30000 euro, garantendole un rimborso di 2000000 di euro nel caso le gambe vengano rovinate
- entro i prossimi 5 anni - da un incidente o altro (ferimento, malattia …)
Tenendo conto del fatto che la compagnia di assicurazioni vuole anche guadagnarci,
se ne può dedurre che ha valutato la probabilità di un danno alle gambe come inferiore a … ???
2) Un amico mi offre di scommettere sulla vittoria di una squadra di calcio locale: se la squadra vincerà,
lui mi pagherà 50 euro, mentre richiede che io gli paghi 20 euro in caso di pareggio o sconfitta.
Tenendo conto del fatto che l’amico mi vuole fregare, che valore si deve ritenere che abbia
soggettivamente attribuito alla probabilità di vittoria per quella squadra?
3) Un tappo di plastica non è perfettamente simmetrico: può darsi dunque che tenda, se lanciato,
a fermarsi più facilmente con la parte cava verso l’alto … o con la parte convessa verso l’alto, chissà!
Come faccio a stabilire qual è l’esito più probabile del lancio del tappo?
Se ritengo equa una scommessa nella quale si tratta di lanciare un tappo e pagare 35 centesimi
nel caso il tappo si fermi con la parte cava verso l’alto, per vincerne 65 in caso contrario,
che probabilità sto assegnando all’evento “parte cava verso l’alto”?
4) Ho lanciato per 500 volte una puntina da disegno, poi mi sono stufato … ma ho osservato che per 190 volte
questa si è fermata con la punta verso l’alto. Ora, dovendo organizzare una scommessa equa sul lancio della
puntina da disegno, se chi parteggia per l’esito più probabile vuole vincere 5 euro netti,
quanto gli imporrò di pagare qualora si verifichi invece l’esito più difficile?
5) Di fronte ad una competizione fra i tre cavalli Dinamite, Tornado e Orazio,
ritengo, soggettivamente, che Dinamite abbia il doppio delle probabilità di vincere rispetto a Tornado,
e 2 volte e mezza le probabilità di Orazio.
Sai dirmi, quindi, che probabilità sto assegnando alla vittoria di ciascuno?
6) a) Sono un esperto e smaliziato giocatore di flipper, e quello installato al bar Sport non ha segreti per me.
Ritengo sia equo sfidare gli amici a una scommessa sotto queste condizioni:
se faccio almeno 100000 punti in una partita, vinco 5 euro, altrimenti ne pago 20
(equo nel senso che, ripetendo la sfida molte volte, non mi aspetto né di perdere né di vincere molto).
In questo modo, quale probabilità implicitamente attribuisco al mio fare 100000 punti in una partita?
b) In generale, se ritengo equo, qualora si verifichi un evento E, di vincere una somma x, accettando di
perdere una somma y qualora E non si verifichi, qual è la mia valutazione della probabilità dell’evento E?
7) Trasforma l’espressione della quota di una scommessa a seconda delle usanze dei vari paesi:
Italiana
3,5
Inglese
Americana
5/8
−75 opp. + …
Italiana
10 contro 1
… contro …
… contro …
Inglese
7/3
Americana
− … opp. +100
8) Se la quota (italiana) di una scommessa è 1,80 quanto devo puntare per vincere 20 euro netti se mi va bene?
In generale, se la quota (italiana) di una scommessa è q, quale dev’essere la mia puntata x
se voglio una vincita netta y in caso di successo? E se punto z, quanto vincerò al netto?
RISPOSTE
1) inferiore a 1,5% 2) <2/7 3) Lanciando tantissime volte e calcolando la freq. rel. di ciascun esito. 0,65 = 65%
4) 190 : 500 = 0,38 per cui posso attribuire all’evento “punta verso l’alto” una probabilità del 38% circa.
Ora, il gioco è equo se questo esito “punta verso l’alto”, che è il più difficile, viene pagato 8,16 euro circa.
5) Detta p la probabilità che attribuisco a Dinamite, si avrà
p p
10
10
5
4
= 1 da cui p = ; perciò pD = , pT = , pO =
p+ +
2 2,5
19
19
19
19
y
4
6) a) = 0,8 = 80% b)
x+ y
5
7)
Italiana
3,5
1,625
2,333
Inglese
5/2
5/8
4/3
Americana
− 40 oppure +250
−160 oppure +62,5
−75 opp. +133,333
Italiana
10 contro 1
10 contro 3
2 contro 1
Inglese
Americana
9/1
−11,111 oppure +900
7/3
− 42,857 oppure +233,333
1/1
− 100 opp. +100
y
8) per vincere un netto di 20, devo puntare 25; per vincere y netti, punto x =
; se punto z, vinco z (q − 1) netti
q −1
271
4.9 - Curiosità: il “paradosso di Simpson”
Vado pazzo per le caramelle al Limone; quelle alla Menta, invece, non so perché, mi danno un po’ di nausea.
Ora, in una stanza (S1) ci sono due urne, una Bianca (B1) e una Nera (N1),
tali che la Bianca contiene 1 caramella al Limone e 2 caramelle alla Menta,
mentre la Nera contiene 3 caramelle al Limone e 9 caramelle alla Menta.
In un’altra stanza (S2) vi sono poi altre due urne, una Bianca (B2) e una Nera (N2),
tali che la Bianca contiene 1 caramella al Limone e 10 caramelle alla Menta,
mentre la Nera contiene 1 caramella al Limone e 11 caramelle alla Menta.
Verifica che
♪ in qualunque stanza io entri, con la possibilità di scegliere un’urna e da questa pescare una caramella,
per assecondare i miei gusti mi converrebbe sempre optare per l’urna Bianca presente in quella stanza;
♫ mentre, stranamente, se si mettessero insieme i contenuti delle due urne Bianche, creando così
una terza urna Bianca B3, e allo stesso modo si facesse con le due Nere generando una nuova urna Nera N3,
dovendo scegliere fra B3 ed N3 mi converrebbe questa volta prendere l’urna Nera!
Questo fatto inaspettato che si presenta a volte nelle applicazioni della Statistica, ad esempio in medicina,
o nelle scienze sociali, prende il nome di “paradosso di Simpson” (reversal paradox, amalgamation paradox, …)
e ad esso si riferisce il riquadro che segue, per il quale ringrazio l’Autore Thomas Michael Müller/Vismara.
PARADOSSI DI STATISTICA: IL PARADOSSO DI SIMPSON
Immaginiamo che la nota rivista italiana Lankelot (letteratura e sogni) si trovi ad affrontare una scabrosa situazione.
Un imprenditore, interessato ad affossare la rivista, pubblica una serie di attacchi contro il direttore, Franchi.
In particolare lo accusa di discriminazione contro le donne. Afferma infatti che nell’ultimo anno la rivista
ha ricevuto 1200 articoli passati al vaglio dei reviewer di Lankelot. 600 sono stati scritti da uomini e 600 da donne.
Tra i 600 sottoposti da uomini, ne sono stati accettati 350, vale a dire il 58,3%;
dei 600 sottoposti da donne, ne sono stati accettati soltanto 250, vale a dire il 41,7%.
L’imprenditore scrive, in un rovente articolo, che si tratta di un chiaro caso di discriminazione.
Franchi, comprensibilmente nervoso, controlla i dati: tutto vero, l’imprenditore non mente.
Allora si rivolge, piuttosto arrabbiato, ai responsabili delle varie sezioni di Lankelot, vale a dire
Arti (cinema e musica), Letteratura e Scienze, per avere una spiegazione, e scovare il responsabile della figuraccia.
Dalla sezione Scienze, Mat risponde che sono stati proposti 400 articoli: 200 scritti da uomini e 200 da donne.
Ne sono stati accettati la metà per gli uomini e la metà per le donne (100 e 100), vale a dire il 50% del totale.
Nessuna discriminazione quindi.
Dalla sezione Arti, Federico risponde che sono stati sottoposti 400 articoli, 300 scritti da uomini, e 100 da donne.
Sono stati accettati 225 articoli di uomini (il 75 %) e 75 articoli scritti da donne (il 75 %).
Anche qui, nessuna discriminazione.
Infine, arrivano i dati di Marina: la sezione Letteratura ha ricevuto 400 articoli, 300 scritti da donne, 100 da uomini.
Sono stati accettati 75 articoli scritti da donne (il 25%) e 25 articoli scritti da uomini (il 25%).
Nemmeno qui si ravvisano irregolarità.
Franchi a questo punto è imbarazzato e conta i dati:
- sono stati proposti in totale 1200 articoli (400 per ogni sezione).
- Sono stati proposti 600 articoli, sia per gli uomini (200+300+100) che per le donne (200+100+300)
- Sono stati accettati 100+225+25 = 350 articoli scritti da uomini. 350 su 600 significa il 58,3%
- Sono stati accettati 100+75+75 = 250 articoli di donne, vale a dire il 41,7%
Quindi l’imprenditore non mente (anzi, è in buona fede), Franchi non ci capisce più niente,
e i responsabili delle sezioni nemmeno. Cosa succede quindi?
Succede che siamo in pieno nel PARADOSSO DI SIMPSON.
Poco conosciuto persino dagli statistici, il paradosso di Simpson permette a certe condizioni
situazioni in cui il comportamento di sottogruppi è diverso dal comportamento complessivo.
Il nostro esempio, per dirne una, inverte una situazione perfettamente paritaria a livello di singole sezioni,
in una situazione globale in cui le donne sono discriminate. Potrebbe anche accadere di peggio: avremmo potuto
avere una situazione in cui gli uomini sono sfavoriti a livello delle singole sezioni, ma le donne sfavorite in totale.
Il nostro caso può essere letto così: benché donne e uomini siano trattati in modo uguale, le donne hanno scelto
in maggioranza la sezione con i criteri di selezione più duri. Ecco quindi l’origine del paradosso.
Francois Bavaud e Patricia Roux, dell’Università di Losanna, nel loro lavoro sul Swiss Journal of Psychology,
“The means inversion paradox: when the whole is inverted relatively to each of its parts”,
presentano 5 casi reali di paradosso di inversione. Ad esempio:
• il tasso di ammissione postgraduate all’università della California è più basso per le donne,
ma in ogni singola facoltà la situazione è invertita (le donne scelgono facoltà meno permeabili)
• In ogni regione della Francia, il consumo di patate è più alto tra i contadini, che tra i non-contadini,
ma la tendenza è invertita nel complesso. Molti contadini vivono in regioni dove si mangiano poche patate.
(…) Il paradosso può avere luogo anche con sotto-sottocategorie rispetto alle sottocategorie, e così di seguito. (…)
272
5 - PROBABILITA’ E CALCOLO COMBINATORIO
5.1 - Applicazioni del Calcolo Combinatorio al Calcolo delle Probabilità
Esempio 9
Lanciando per 10 volte di seguito una moneta, che probabilità c’è di ottenere esattamente 4 Teste?
Risoluzione
I casi possibili sono 210 = 1024 (è evidente che sono tutti equipossibili).
I casi favorevoli sono tanti quante le sequenze di 10 simboli, ciascuno dei quali possa essere T o C,
contenenti esattamente 4 T. Per determinare il numero di tali sequenze, possiamo pensare al numero di modi
in cui, in uno schema come il seguente, costituito da una successione di 10 caselle vuote:
, noi possiamo scegliere quelle 4 nelle quali collocare T.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
10
=
Tale scelta può essere effettuata in ⎛⎜ ⎞⎟ =
modi possibili.
4
⋅ 6! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
4!
⎝ ⎠
( )
10
4
La probabilità richiesta è perciò p ("esattamente 4 T") =
= 0, 205...
1024
ESERCIZI (con applicazione del Calcolo Combinatorio)
1) Da un mazzo da scopa (40 carte) se ne pescano 4.
Determina la probabilità che fra di esse ci sia il “settebello” (7 di denari, ossia di quadri).
2) In un cassetto ci sono 4 fazzoletti bianchi e 3 scozzesi.
Qual è la probabilità, pescandone 2 a caso, che siano dello stesso colore?
3) In un’urna ci sono 2 palline Bianche, 2 Rosse e 2 Nere.
Qual è la probabilità, estraendone 3, che siano tutte di colori diversi?
4) Sul bancone del bar sono rimaste 10 brioches esternamente identiche,
ma una di esse ha il cioccolato dentro, l’unico ripieno che non mi piace.
Prese 3 brioches a caso, che probabilità c’è che fra di esse ci sia quella che non mi garba?
5) Avevo in tasca 20 monete, 10 da 2 euro e 10 da 1 euro. Se tirando fuori il fazzoletto
me ne son cadute 5, calcola la probabilità che le monete per terra siano tutte dello stesso valore.
6) Calcola la probabilità che lanciando simultaneamente 10 monete escano:
a) tutte “Croci” b) almeno una “Testa” c) esattamente una “Testa” d) tante “teste” quante “croci”
7) I 10 articoli di una vetrina hanno tutti prezzi diversi.
Che probabilità ho, scegliendone 3 a caso, che siano i 3 più a buon mercato?
8) In un’aula per una classe di 20 studenti, 15 maschi e 5 femmine, c’è un banco triplo.
Se i posti vengono sorteggiati, che probabilità c’è che nel banco triplo vadano a finire tre femmine?
9) In una delle versioni più comuni del gioco della scopa, dopo aver mischiato il mazzo di 40 carte e servito 9
carte a ciascuno dei 4 giocatori, le ultime 4 carte vengono rovesciate sul tavolo. Calcolare la probabilità che
a) queste carte siano tutte figure
b) nessuna di queste carte sia una figura
c) almeno una di queste carte sia una figura d) queste 4 carte siano tutte di “quadri”
e) fra queste 4 carte ci sia l’ “Asso bello” (=asso di quadri)
f) fra queste 4 carte ci siano l’ “Asso bello” (=asso di quadri) e il “Settebello” (7 di quadri)
g) fra queste 4 carte ci siano esattamente 2 assi (INDICAZIONE: immagina di scegliere 2 fra i 4 assi;
in quanti modi puoi effettuare questa scelta? Poi ti si apre un ventaglio di possibilità per le 2 carte
da scegliere, fra i 36 non-assi, per completare la quaterna … quante possibilità hai? Quindi …)
h) fra queste 4 carte ci siano esattamente 3 assi
i) queste 4 carte siano una di “Cuori”, una di “Quadri”, una di “Fiori” e una di “Picche”
j) queste 4 carte siano 2 assi e due Figure
k) queste 4 carte siano tutte di valore diverso
l) fra queste 4 carte ci siano almeno 2 assi
10) In una delle versioni più comuni del gioco della scopa, dopo aver mischiato si servono 9 carte a ciascuno
dei giocatori. Calcolare la probabilità per un giocatore fissato, di avere fra le sue 9 carte
a) tutti gli Assi
b) tutti gli Assi e il “Settebello” (=7 di quadri)
d) l’ “Asso bello” e il “Settebello”
c) l’ “Asso bello” (asso di quadri)
f) almeno 1 asso
e) 1 e 1 solo asso
h) almeno 2 assi
g) esattamente 2 assi
273
RISPOSTE
( )
( )
40
39
. Numero casi favorevoli =
(tanti quante sono le quaterne
4
3
ottenibili prendendo il “settebello” e accostandogli 3 carte qualsiasi fra le 39 rimanenti). p = 1/10
1) Numero casi possibili =
()
()
() ()
()
()
3
2
7
4
3
6
3) N° casi poss. =
. N° casi fav. =
+
. p=
. N° casi fav. = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 . p =
2
2
2
3
7
5
3
10
9
20
10
10
5) N° c.p. =
. N° casi fav. =
. p=
4) N° casi poss. =
. N° c. f. =
+
. p = 0, 0325...
3
2
5
5
5
10
1
6a) Numero casi possibili = 210 = 1024 . Numero casi favorevoli = 1. p (tutte C) =
1024
1023
6b) N° casi possibili = 210 = 1024 . N° casi favorevoli = 1024 − 1 = 1023 . p (almeno una T) =
tutte
1024
2) N° casi poss. =
( )
()()
croci
Come abbiamo anticipato,
la somma fra la probabilità di un evento e quella dell’evento contrario è sempre uguale a 1.
Allora p (almeno una T) = 1 − p (tutte C) = 1 − 1/1024 = 1023/1024
OPPURE
COSI’:
6c) Numero casi possibili = 210 = 1024 . Numero casi favorevoli = 10 . p = 10 /1024
()
10
(tanti quanti sono i modi in cui,
5
fra i 10 lanci, è possibile scegliere quei 5 nei quali si suppone esca “Testa”). p = 252 /1024 = 0, 246...
6d) Numero casi possibili = 210 = 1024 . Numero casi favorevoli =
7) N° casi poss. =
()
10
. N° casi fav. =1. p = 1/120
3
()
( )
( )−( )
( )
( )( )
( )
12
4
=
9) a) p =
40
4
3
12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
4
( )
( )
( )
8) N° casi poss. =
28
4
b) p =
= 0, 224...
40
4
99
= 0, 0054...
=
18278
13
()
20
5
. N° casi fav. =
. p = 1/114
3
3
40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
40
28
10
39
38
oppure
4
4
4
3
2
1
1
28
40
c) p =
f) p =
≈ 0, 776 1 − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ d) p =
≈ 0, 0023 e) p =
=
=
4
4
10
130
40
40
40
40
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(evento contrario)
4
4
4
4
4 36
4 36
10 10 10 10
4 12
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2
2
3
1
1
1
1
1
2
2
g) p =
h) p =
j) p =
= 0, 00157... i) p =
= 0, 0043...
40
40
40
40
4
4
4
4
( fra i 10
40 ⋅ 36 ⋅ 32 ⋅ 28 una carta qualsiasi... poi una qualsiasi
10 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4
delle 36 che non hanno lo stesso valore ...
valori,
4
4!
= 0,588... ne scelgo 4 opp. p =
k) p =
... ma devo dividere per 4! dato che
40
40
e per ognuno
in questo modo una stessa quaterna
4
4
1 carta delle 4)
di carte verrebbe considerata più volte
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )−( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
()( )
( ) ( )+( ) ( )+( ) ( )
( )
( )
40 ⎡ 36
4 36 ⎤
4 36
4 36
4
−⎢
+
⋅
⋅
+
⋅
+
4
4
1
3 ⎥⎦
2
2
3
1
4
3925
⎣
l) p =
=
= 0, 0429... opp. p =
91390
40
40
4
4
10a) p =
36
5
4⋅
10e) p =
36
8
40
9
40
9
10b) p =
10f) p =
35
4
40
9
36
9
40
9
40
9
10c) p =
39
8
40
9
4 36
⋅
2
7
opp. ... 10g) p =
40
9
10d) p =
10h) p =
38
7
4 36
⋅
2 7
40
9
4 36
⋅
3 6
40
9
4 36
⋅
4 5
274
5.2 - Poker, Lotto, Superenalotto e il Calcolo delle Probabilità
☼ E’ richiesto di conoscere il
CALCOLO COMBINATORIO!
Il POKER e il calcolo delle probabilità
UNA SOMMARIA DESCRIZIONE DI ALCUNI ASPETTI DEL POKER (VERSIONE ITALIANA)
Il mazzo da poker è (in Italia) costituito da 32 carte, di 8 “valori” diversi:
4 assi (di Cuori, di Quadri, Fiori, di Picche: i 4 “semi” Come Quando Fuori Piove),
4 re (K = King), 4 donne (Q = Queen), 4 fanti (J = Jack), 4 dieci, 4 nove, 4 otto e 4 sette.
Valori: →
Semi: ↓
Cuori
A
K
Q
J
10
9
8
7
♥
♥
♥
♥
♥
♥
♥
♥
Quadri
♦
♣
♠
♦
♣
♠
♦
♣
♠
♦
♣
♠
♦
♣
♠
♦
♣
♠
♦
♣
♠
♦
♣
♠
Fiori
Picche
Dopo aver mischiato, si distribuiscono 5 carte a ciascun giocatore.
Non conta, ai fini del gioco, l’ordine con cui il giocatore riceve le sue 5 carte.
Un giocatore ha in mano un “tris” se le sue carte sono: 3 di un valore e 2 di valori diversi,
fra loro e dal valore precedente. Ad esempio, 3 re, 1 nove e 1 asso costituiscono un “tris”.
Un giocatore ha in mano un “poker” se fra le sue carte ci sono tutte quelle di un “valore”
(più una quinta carta qualsiasi); ad esempio, 4 donne e 1 sette costituiscono un “poker”.
Un giocatore ha in mano un “full” se le sue carte sono: 3 di un “valore” e 2 di un altro “valore”;
ad esempio, 3 re e 2 assi formano un “full” (detto “full di re”),
così pure 3 assi e 2 re (“full d’assi”), o 3 sette e 2 donne …
Un giocatore ha in mano una “coppia” se le sue carte sono:
2 di un valore e le altre 3 tutte di valori diversi, fra loro e dal valore precedente.
Ad esempio, 2 fanti, un asso, un dieci e un nove costituiscono una “coppia”.
Un giocatore ha in mano una “doppia coppia” se le sue carte sono:
2 di un valore, 2 di un altro valore e la rimanente di un valore diverso dai primi due.
Ad esempio, due re, due sette, e un nove, costituiscono una “doppia coppia” (“doppia al re coi sette”).
Un giocatore ha in mano un “colore” se le sue carte sono tutte dello stesso “seme” (es. tutte di cuori)
Un giocatore ha in mano una “scala” se le sue carte sono (purché non tutte dello stesso seme)
A K Q J 10; K Q J 10 9; Q J 10 9 8; J 10 9 8 7 oppure 10 9 8 7 A
Un giocatore ha una “scala reale” se le sue carte formano una scala e sono tutte dello stesso seme.
Esempio 10: PROBABILITÀ DEI VARI GIOCHI “SERVITI” A POKER
Calcolare la probabilità, quando un giocatore di poker riceve le proprie 5 carte, che si trovi in mano:
a) una coppia d’assi (s’intende, qui e per i quesiti successivi: e nessun gioco superiore)
b) una coppia c) una doppia coppia d) un tris e) una scala
f) un full g) un colore h) un poker i) una scala reale
Risoluzione
a) I casi possibili sono tanti quante le cinquine non ordinate costruibili col mazzo di 32 carte:
(325) =
201376
I casi favorevoli si possono contare ragionando in due modi.
I) Sono tanti quante le cinquine costruibili utilizzando II) Oppure: sono tanti quanti sono i modi in cui
2 assi qualsiasi, insieme con 3 altre carte,
possiamo scegliere 2 fra i 4 assi,
che non siano assi e che non formino alcuna coppia.
poi 3 fra i 7 valori K, Q, J, 10, 9, 8, 7
Il loro numero è perciò
e infine una carta per ciascuno dei 3 valori scelti:
28
⋅
24
⋅
20
4 7
4
⋅
⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 13440
⋅
= 13440
2 3
2
3!
( )( )
()
La probabilità cercata è dunque:
13440
13440
p (coppia di assi servita) =
=
≈ 0, 067 (6, 7%)
201376
32
5
( )
275
b) Poiché i casi possibili sono evidentemente 8 volte quelli del caso a), avremo
13440
p (coppia) = 8 ⋅ p (coppia di assi) = 8 ⋅
≈ 0, 534 (53, 4%)
201376
c) I casi possibili sono tanti quante le cinquine non ordinate costruibili utilizzando le 32 carte del poker, ossia
⎛ 32 ⎞
⎜ 5 ⎟ = 201376 .
⎝ ⎠
I casi favorevoli sono tanti quante le cinquine costruibili nel modo seguente:
8 modi),
fra gli 8 valori A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7 se ne scelgono 2 (e questa scelta potrà essere effettuata in
2
poi ad ognuna di queste possibili scelte si fa seguire la scelta di 2 fra le 4 carte del valore più basso,
8 ⋅ 4 ⋅ 4 possibilità di scelta);
e di 2 fra le 4 carte del valore più alto (fin qui,
2 2 2
()
( )( )( )
dopodiché, per ognuna di queste
( 82) ⋅ ( 24) ⋅ ( 24) scelte, si apre un ventaglio di
8 − 2 = 6 possibilità di scelta
per il valore della carta rimanente della cinquina, e ancora di 4 possibilità di scelta per la specifica carta.
8 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 4 casi favorevoli: la probabilità cercata è dunque
[NOTA]
2 2 2
In alternativa: fra gli 8 valori
8 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅6⋅ 4
A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7
2 2 2
24192
p(doppia coppia) =
=
≈ 0,120 = 12% [NOTA] se ne scelgono
32
201376
un primo e poi un secondo
5
(e questa scelta potrà essere
effettuata in 8 ⋅ 7 modi), quindi
⎛ 32 ⎞
d) I casi possibili sono sempre in numero di ⎜ ⎟ = 201376 .
ad ognuna di queste possibili scelte
⎝5⎠
si fa seguire la scelta
I casi favorevoli sono tanti quanti sono i modi di scegliere
di 2 fra le 4 carte del primo valore
un valore fra gli 8 disponibili, poi 3 fra le 4 carte di quel valore,
e di 2 fra le 4 carte del secondo;
poi 1 coppia di valori fra i 7 valori non utilizzati e infine, per
si hanno dunque apparentemente
il valore più basso fra i due 1 carta, per l’altro valore pure 1 carta.
8⋅7⋅ 4 ⋅ 4
2 2
8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 4 ⋅ 4 = 10752 casi favorevoli: la probab. cercata è dunque
3 2
possibilità di scelta, ma questo
numero va poi diviso per 2 perché,
8⋅ 4 ⋅ 7 ⋅4⋅4
3 2
10752
a ben guardare, così facendo
p (tris) =
=
≈ 0, 053 (5, 3%)
32
ogni quaterna di carte
201376
5
verrebbe contata 2 volte …
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )
()()
( )( )
( )
⎛ 32 ⎞
e) I casi possibili sono sempre in numero di ⎜ ⎟ = 201376 .
⎝5⎠
I casi favorevoli si possono contare ragionando così: si immagina di scegliere una qualsiasi fra le 5 sequenze
A K Q J 10; K Q J 10 9; Q J 10 9 8; J 10 9 8 7 oppure 10 9 8 7 A,
dopodiché una carta per ciascuno dei 5 valori che da cui è formata la sequenza …
… purché però le carte scelte non siano tutte dello stesso seme,
caso in cui si avrebbe una prestigiosa “scala reale” anziché una semplice “scala”.
Dunque:
5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 5120 − 20
5100
p (scala) =
=
=
≈ 0, 025 (2, 5%)
32
201376
201376
5
ESERCIZI
1) Prova tu a determinare la probabilità, nel gioco del poker, di trovarsi servito:
f) un full g) un colore h) un poker i) una scala reale (risposte a pagina 282)
( )
2) E’ vero che nel poker a 52 carte (A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2)
il “colore servito” è più probabile del “full servito”? (risposta a pagina 282)
3) Calcola almeno alcune fra le probabilità dell’esempio 10) nell’ipotesi che si giochi con 52 carte.
Puoi poi andare a controllare le risposte a pagina 283.
276
Il LOTTO e il calcolo delle probabilità
COME SI GIOCA AL LOTTO
Si sceglie una “ruota” (es. la ruota di Napoli);
su quella ruota è possibile giocare, scegliendo fra i numeri 1, 2, 3, 4, … , 89, 90:
• la cinquina (5 numeri),
• la quaterna (4 numeri),
• il terno (3 numeri),
• l’ambo (2 numeri),
• oppure l’ “estratto semplice” detto anche “ambata” (1 numero solo).
Su quella “ruota” verranno estratti cinque numeri: sarà la “CINQUINA VINCENTE”.
Supponiamo, per fissare le idee, che la cinquina vincente sulla ruota prescelta sia
57 22 10 88 41
Se io ho giocato, tanto per dire, l’ “ambo” 41 10, ho vinto. Se avessi giocato il 41 15 avrei perso.
Insomma, per vincere, devono uscire, sulla ruota da me prescelta,
TUTTI i numeri della combinazione che ho giocato, nessuno escluso.
NON conta l’ordine nel quale i numeri vengono giocati, o vengono estratti.
Esempio 11: PROBABILITÀ DI SUCCESSO DELLE VARIE GIOCATE AL LOTTO
Calcolare le probabilità di azzeccare
a) l’ “estratto semplice”
b) l’ambo
c) il terno
d) la quaterna
e) la cinquina
al gioco del Lotto.
Risoluzione
a) L’ESTRATTO SEMPLICE O “AMBATA”: qual è la probabilità di azzeccarlo?
Io gioco un numero, ad esempio il 44, e “spero che esca”. I casi possibili sono
le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, … , 90, cioè 90
5 = 43949268
e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44.
( )
( )
Ma queste sono tante quante le quaterne costruibili utilizzando gli 89 numeri rimanenti, cioè 89 .
4
89
(
4) 1
=
La probabilità richiesta è pertanto
90
( 5 ) 18
b) L’ AMBO: qual è la probabilità di azzeccarlo?
Io gioco 2 numeri, ad esempio il 44 e il 55, e “spero che escano”.
( )
I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, … , 90, cioè 90
5
e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44 e il 55.
Esse sono tante quante le terne costruibili utilizzando gli 88 numeri rimanenti, cioè 88 .
3
( )
⎛ 88 ⎞
⎜3⎟
2
La probabilità richiesta è pertanto ⎝ ⎠ =
≈ 0, 0025
801
⎛ 90 ⎞
⎜5⎟
⎝ ⎠
277
c) IL TERNO: qual è la probabilità di azzeccarlo?
Vuoi un suggerimento? Come utile ESERCIZIO,
cerca di rispondere per conto tuo, non limitarti a leggere!!!
Io gioco 3 numeri, ad esempio il 44, il 55 e il 66, e “spero che escano”.
( )
I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, … , 90, cioè 90
5
e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44, il 55 e il 66.
Esse sono tante quante le coppie costruibili utilizzando gli 87 numeri rimanenti, cioè 87 .
2
La probabilità richiesta è pertanto
( )
1
≈ 0, 000085
(872 ) (905 ) = 11748
d) LA QUATERNA: qual è la probabilità di azzeccarla?
Determinala tu … la risposta è nel prospetto qui sotto, la risoluzione si trova a pagina 283
e) LA CINQUINA: qual è la probabilità di azzeccarla?
Determinala tu … la risposta è nel prospetto qui sotto, la risoluzione si trova a pagina 283
Notare come il lotto sia un gioco MOLTO "iniquo"!
A fronte delle probabilità sopra calcolate, lo Stato restituisce soltanto:
• per l' "estratto semplice": 11,232 volte la cifra giocata;
• per l'ambo 250 volte,
• per il terno 4500 volte,
• per la quaterna 120000 volte,
• per la cinquina 6000000 di volte.
Quando gioco
la combinazione:
estratto
semplice
ambo
terno
quaterna
cinquina
ho una probabilità di vincere di
ma, in caso di vincita,
mi viene pagata soltanto una cifra
uguale alla posta giocata
moltiplicata per
1/18 (quindi, diciamo che se giocassi
ripetutamente, a lungo andare vincerei
in media all’incirca 1 volta ogni 18 giocate)
2/801 (circa 1/400)
1/11748
1/511038
1/43949268
11,232
250
4500
120000
6000000
LOTTO = GIOCO INIQUO!
Ha senso giocare solo se si giocano piccolissime somme di denaro su combinazioni difficili,
con la quasi certezza di perdere ma con la remota speranza di vincere grosse cifre.
L’emozione di un sogno milionario può giustificare
una MINIMA cifra giocata, e quasi certamente persa.
Lo Stato desidera ardentemente (e cinicamente)
che le persone continuino a versare
quell’“imposta spontanea” che è il gioco del Lotto.
E così gli ingenui si privano dei loro sudati denari /
attraverso lo specchio per le allodole dei “giochi iniqui” →
Se clicchi QUI Ö potrai divertirti con una
SIMULAZIONE DEL GIOCO DEL LOTTO SU DATI REALI.
Un foglio elettronico ti darà la possibilità di immedesimarti in una persona che
si sia intestardita a fare tantissime giocate, sulla ruota di Bari, dal 1939 fino al 2010.
Prova pure fin che vuoi, tanto è una simulazione e non ci rimetti niente!
ALLA FINE, POTRAI RENDERTI CONTO
DI QUANTO HAI RISPARMIATO … NON GIOCANDO.
278
Il SUPERENALOTTO e il calcolo delle probabilità
COME SI GIOCA AL SUPERENALOTTO
Si giocano 6 numeri, scegliendoli fra
1, 2, 3, 4, … , 89, 90
e si spera che i 6 numeri scelti coincidano, tutti o in parte,
coi numeri della sestina che verrà estratta: la “SESTINA VINCENTE”
(in essa è del tutto irrilevante l’ordine di estrazione;
viene poi estratto un settimo numero, il cosiddetto “numero jolly”).
Supponiamo, per fissare le idee, che l’esito dell’estrazione sia
56 21 11 89 35 18 + “numero jolly” 40
Se io ho giocato, tanto per dire, la sestina 4 18 29 56 81 89, ho fatto “tre”.
Se avessi giocato la sestina 11 18 21 35 39 56, avrei fatto “cinque”.
Se avessi giocato la sestina 11 18 21 35 40 56, avrei fatto “cinque+1”.
BEN DIVERSO, dunque, il discorso, rispetto al gioco del Lotto!
Esempio 12
Calcolare la probabilità di fare
“6”; “5”; “4”; “3”; “5+1”
giocando una determinata sestina al Superenalotto
Risoluzione
a) IL “6”: qual è la probabilità di fare “6” al Superenalotto?
Io gioco una sestina, ad esempio 10, 20, 30, 40, 50, 60, e “spero che esca”.
I casi possibili sono le sestine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, … , 90, cioè
90 = 622614630
6
e si ha 1 solo caso favorevole.
1
La probabilità richiesta è pertanto
= 1/ 622614630
⎛ 90 ⎞
⎜6⎟
⎝ ⎠
( )
b) IL “5”: qual è la probabilità di fare “5”?
Io gioco una sestina, ad esempio 10, 20, 30, 40, 50, 60,
e “spero che nella sestina vincente ci siano 5 fra i miei 6 numeri”.
( )
I casi possibili sono le sestine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, … , 90, cioè 90
6
mentre i casi favorevoli sono tanti quante le sestine costruibili utilizzando
5 fra i miei 6 numeri, insieme con 1 degli 84 numeri che non ho giocato.
6
Esse sono ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ 84 = 6 ⋅ 84
⎝5⎠
La probabilità richiesta è pertanto
6 ⋅ 84
≈ 0, 0000008 .
90
6
( )
OSSERVAZIONE
Per la precisione, la probabilità da noi appena calcolata non tiene conto del famoso “7° estratto”,
quello che può permettere, a chi abbia fatto “5”, di realizzare eventualmente il cosiddetto “5+1”.
Il valore da noi determinato rappresenta perciò la probabilità di fare “5 oppure 5+1”,
e la probabilità di fare “5-e-basta” andrà ricalcolata sottraendo, da tale valore,
la piccolissima probabilità di fare “5+1” (di cui ci occuperemo alla fine di questo paragrafo).
279
c) IL “4”: qual è la probabilità di fare “4”?
Vuoi un suggerimento?
Per utile ESERCIZIO, prosegui ora per conto tuo, non limitarti a leggere!!!
Io gioco una sestina, ad esempio 10, 20, 30, 40, 50, 60,
e “spero che nella sestina vincente ci siano 4 fra i miei numeri”.
( )
I casi possibili sono le sestine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, … , 90, cioè 90 ;
6
i casi favorevoli sono tanti quante le sestine costruibili utilizzando
6 84
4 fra i miei 6 numeri, insieme con 2 degli 84 numeri rimanenti. Esse sono ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ .
⎝ 4⎠ ⎝ 2 ⎠
6
Infatti ⎛⎜ ⎞⎟ è il numero dei modi in cui, fra i miei 6 numeri, posso sceglierne 4,
⎝ 4⎠
84
e ⎛⎜ ⎞⎟ è il numero dei modi in cui, fra gli 84 numeri che non ho giocato, posso sceglierne 2.
⎝2⎠
⎛ 6 ⎞ ⋅ ⎛ 84 ⎞
⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟
La probabilità richiesta è pertanto ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≈ 0,000084 .
⎛ 90 ⎞
⎜6⎟
⎝ ⎠
d) IL “3”: qual è la probabilità di fare “3”?
Pensaci, poi vai a vedere il risultato a pagina 283.
Come si è visto,
la struttura combinatorio-probabilistica del Superenalotto
è completamente diversa da quella del Lotto.
Ad esempio, un “tre” al Superenalotto
non ha assolutamente nulla a che fare con un “terno al Lotto”:
si tratta di situazioni del tutto diverse.
In quanto all’equità o iniquità del Superenalotto,
la valutazione è un po’ più elaborata rispetto a quella fatta per il Lotto,
in quanto il premio in caso di vincita non si ottiene, come nel caso del Lotto,
moltiplicando la cifra impegnata per un dato fattore
(dipendente dal tipo di combinazione giocata),
ma è invece il frutto della ripartizione di un “monte-premi”
- variabile di settimana in settimana fra i vari giocatori che hanno azzeccato le varie combinazioni.
Lo studente, a questo punto, potrà facilmente approfondire la questione
giungendo a concludere come prima:
Può aver senso giocare solo se si giocano piccolissime cifre,
con la quasi certezza di perdere ma con la remota speranza di vincere milioni di euro.
Lo “sfizio” di avere in tasca 1 possibilità su 622 milioni
di aggiudicarsi il favoloso jack-pot
può valere (forse) la piccola cifra della giocata.
Ma chi gioca centinaia o anche solo decine di euro
al Superenalotto,
così come al Lotto,
incrementa soltanto le entrate di quella che è stata chiamata,
con tutte le ragioni, la “TASSA SUGLI IMBECILLI”.
Ferma restando questa raccomandazione,
le due pagine successive sono dedicate a studiare la probabilità di azzeccare il “5+1”.
280
e) IL “5+1”: qual è la probabilità di realizzarlo?
Andiamo ora a valutare la PROBABILITÀ DI AZZECCARE IL “5+1”.
In questo caso, i casi possibili non sono più costituiti da sestine, ma
(ci concediamo una licenza linguistica, inventando un vocabolo che nel dizionario italiano non c’è)
da … “settimine”!
In relazione al “5+1”, infatti, interessano:
non solo i 6 numeri estratti per primi, per i quali non è rilevante l’ordine di estrazione
ma anche, questa volta, il 7° numero estratto, il cosiddetto “numero jolly”,
quello che può consentire, a chi abbia eventualmente fatto “5”, di realizzare il “5+1”.
Spieghiamoci nel dettaglio.
Avevamo già fatto un esempio:
se i primi 6 numeri estratti sono
56 21 11 89 35 18
e il 7° numero estratto, il famoso “numero jolly”, è
40,
allora una persona che abbia giocato la sestina
11 18 21 35 40 56
realizza il “5+1”
perché 5 fra i 6 numeri giocati stanno anche nella sestina vincente,
e inoltre il rimanente, pur non stando nella sestina vincente, coincide col “numero-jolly”.
I casi possibili, dicevamo, non sono delle sestine ma delle “settimine”.
Sono però “settimine” strane, perché non sono
né “completamente ordinate” né “completamente non ordinate”.
Le settimine a cui dobbiamo pensare sono composte da:
6 elementi di cui non conta l’ordine ma solo l’individualità;
più un settimo elemento (il “jolly”),
di cui conta invece il fatto che è proprio il settimo numero estratto.
In definitiva, le settimine POSSIBILI, quante sono?
Quanti sono i possibili esiti dell’estrazione dei fatidici 6+1 numeri?
Questi esiti sono tanti quanti sono i modi di scegliere (non importa l’ordine)
6 numeri fra i 90 disponibili,
PIU’ un settimo numero fra gli 84 rimanenti.
E questa doppia scelta può essere effettuata in 90 ⋅ 84 modi.
6
( )
Dunque il numero delle settimine possibili è ( 90 ) ⋅ 84 .
6
E quante sono ora le settimine a me FAVOREVOLI in vista del “5+1”,
se ho compilato una schedina scegliendo 6 particolari numeri di mio gradimento?
Con la mia giocata, io farò “5+1” se uscirà una “settimina” composta:
da 6 termini iniziali (quelli di cui non importa l’ordine) costituiti
da 5 fra i 6 numeri da me scelti,
insieme con un numero che sta fra gli 84 numeri da me NON scelti
e da un numero finale, coincidente col numero rimanente della mia sestina.
Ma di settimine siffatte ce ne sono
()
6
⋅ 84 ⋅ 1 .
5
Pertanto la probabilità di fare “5+1” è data dal numero
⎛ 6 ⎞ ⋅ 84 ⋅ 1
⎜5⎟
6
6
p ("5 + 1") = ⎝ ⎠
=
=
≈ 0, 00000001
⎛ 90 ⎞ ⋅ 84 ⎛ 90 ⎞ 622614630
⎜6⎟
⎜6⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
281
In alternativa,
possiamo cambiare completamente punto di vista e immaginare
(tanto nulla cambierebbe, evidentemente, per quanto concerne le probabilità) che la “settimina”
composta dai 6 numeri vincenti (dei quali non conta l’ordine di estrazione) + il numero jolly
sia già stata estratta, ma tenuta segreta. Essa è quella che è; si trova lì, in un cassetto.
Noi a questo punto giochiamo una sestina, quindi
i casi possibili diventano … le sestine che NOI possiamo divertirci a inventare,
90
il cui numero è ovviamente ⎛⎜ ⎞⎟ = 622614630
⎝6⎠
e i casi favorevoli al “5+1” diventano quelle sestine ricavabili prendendo la settimina segreta,
togliendole un numero qualsiasi dal gruppo dei primi 6
e sostituendolo col “numero jolly”, ossia con l’ultimo termine della settimina.
6
6
=
≈ 0, 00000001
I casi favorevoli sono allora 6, e la probabilità è p ("5 + 1") =
⎛ 90 ⎞ 622614630
⎜6⎟
⎝ ⎠
Questo modo alternativo di procedere appare molto più semplice del precedente,
ma richiede, appunto, di cambiare completamente prospettiva:
♪ mentre quando si erano valutate le probabilità di totalizzare “6”, “5”, “4” e “3”
si pensava ai casi possibili e ai casi favorevoli ponendosi idealmente
ACCANTO ALL’URNA,
ossia si pensava alle
SESTINE CHE POTEVANO ESSERE ESTRATTE
♫ invece qui si pensa ai casi possibili e ai casi favorevoli ponendosi idealmente
ACCANTO ALLA PERSONA CHE SCRIVE SULLA SCHEDINA,
vale a dire si pensa alle
SESTINE CHE POSSONO ESSERE GIOCATE.
RAGIONARE IN MODI ALTERNATIVI
Ecco un altro esempio di problema sul C.C. per il quale esistono due possibilità di approccio differenti.
Se fra i 40 biglietti di una lotteria organizzata per gioco da una compagnia di ragazzini 7 sono vincenti,
e una persona acquista 2 biglietti, che probabilità c’è che siano entrambi vincenti?
♪
Se mi pongo dal punto di vista della persona che compra i biglietti,
immaginando che i 7 vincenti siano già stati estratti, o comunque fissati, fin dall’inizio, avrò che
( )
e i casi favorevoli saranno le coppie di biglietti costruibili utilizzando i soli 7 biglietti vincenti, ossia ( 7 ) .
2
7
7⋅6
(
2)
7
7⋅ 6
Ragionando in questo modo, ottengo p =
=
≈ 0,027
= 2! =
40 ⋅ 39
260
40
40 ⋅ 39
( 2 ) 2!
i casi equipossibili sono tanti, quante le possibilità, fra i 40 biglietti esistenti, di sceglierne 2, quindi 40
2
3
20
13
♫ Se invece mi pongo idealmente “accanto all’urna”, pensando che l’estrazione dei vincenti avvenga
dopo che i biglietti sono stati venduti (è evidente che la probabilità in esame rimarrebbe la stessa di prima!)
allora potrò dire, da quest’altra prospettiva, che i casi possibili sono 40 mentre i casi favorevoli
7
sono tanti quanti i gruppi di 7 biglietti ottenibili prendendo i 2 biglietti che la persona possiede,
e accostando loro 5 qualsiasi fra i 38 biglietti rimanenti: ora, tali gruppi sono in numero di 38 , da cui
5
( )
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
38
38 ⋅ 37 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ 34
7!
(
)
5
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
5!
p=
=
=
= 5! =
40 ⋅ 39
40
⋅
39
40
40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ 34
(7)
7!
( )
3
7⋅ 6
7
=
≈ 0,027
260
20 40 ⋅ 39 13
282
RISPOSTE agli esercizi di pag. 275
1) Prova tu a determinare la probabilità, nel gioco del poker, di trovarsi servito:
f) un full g) un colore h) un poker i) una scala reale
8⋅ 4 ⋅7 ⋅ 4
3
2
1344
1f) probabilità del “full” servito a poker (32 carte): p (full) =
=
≈ 0,0067 (0,67%)
32
201376
5
per escludere
le scale reali
8
4⋅
− 4 ⋅ 5 ⋅1 ⋅1 ⋅1 ⋅1 ⋅1
5
1g) probabilità del “colore” servito a poker (32 carte): p (colore) =
≈ 0, 0010 (0,1%)
32
5
() ()
( )
()
( )
8 ⋅ ( 4) ⋅ 7 ⋅ ( 4)
4
1
224
1h) probabilità del “poker” servito a poker (32 carte): p (poker) =
=
≈ 0, 0011 (0,11%)
32
201376
(5)
1i) prob. della “scala reale” servita a poker (32 carte): p (sc. r.) = 4 ⋅
5 ⋅1⋅1⋅1⋅1⋅1
20
≈ 0,0001 (0,01%)
=
32
201376
5
( )
2) E’ vero che nel poker a 52 carte il colore servito” è più probabile del “full servito”?
Sì, è vero:
13 4 12 4
1 3 1 2
3744
p (full servito nel po ker con 52 carte) =
=
≈ 0,0014 (0,14%)
52
2598960
5
per escludere le 10
possibili scale reali
di ciascun
seme
13
− 4 ⋅10
4
5
5148 − 40
5108
=
=
≈ 0,002 (0,2%)
p(colore servito nel po ker con 52 carte) =
52
2598960 2598960
5
( )( )( )( )
( )
()
( )
SCHEMA RIASSUNTIVO delle probabilità dei vari giochi “serviti” al poker con 32 carte:
Punto”servito”
Coppia
Doppia coppia
Tris
Probabilità di avere
quel punto “servito”
(valore approssimato)
Numero casi favorevoli
8⋅
( 42)
⋅
28 ⋅ 24 ⋅ 20
3!
= 107520 opp. 8 ⋅
( 42) (73)
⋅
⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 107520
( 82) ⋅ ( 42) ⋅ ( 42) ⋅ 6 ⋅ 4 = 24192
8 ( 4 ) ⋅ ( 7 ) ⋅ 4 ⋅ 4 = 10752
3 2
⋅
53%
12%
5, 3%
Scala (non reale)
5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 = 5100
2,5%
Full
8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 4 = 1344
3
2
0, 67%
Colore
(ma non scala reale)
4 ⋅ 8 − 4 ⋅ 5 = 204
5
0,1%
Poker
8 ⋅ 7 ⋅ 4 = 224
0,11%
Scala reale
4 ⋅ 5 = 20
0, 01%
() ()
()
283
OSSERVAZIONE
Le probabilità di cui ci stiamo occupando sono quelle del punto “SERVITO”,
ossia di avere quella determinata configurazione di carte ALL’INIZIO,
quando il mazziere, dopo aver mischiato, distribuisce (“serve”) 5 carte a ciascuno dei giocatori.
Un discorso più complicato sarebbe quello di determinare la probabilità che un giocatore
si ritrovi un determinato punto (per fare un esempio, il “full”) ALLA FINE,
dopo aver eventualmente cambiato alcune delle sue carte,
come il gioco del poker consente (una sola volta) di fare.
In tale discorso entrerebbero però in gioco considerazioni molto più complesse e di varia natura,
di cui non intendiamo in queste pagine occuparci.
3) Calcola almeno alcune fra le probabilità dei vari punteggi serviti nel poker giocato con 52 carte
Le probabilità di un gioco “servito” nel poker con 52 carte ( n ° casi possibili = 52 = 2598960 ):
5
( )
Punto (servito)
Numero casi favorevoli
Probabilità (valore approssimato)
Coppia
1098240
42, 26%
Doppia coppia
123552
4, 75%
Tris
54912
2,11%
Scala
10200
0, 39%
Full
3744
0,144%
Colore
5108
0,1965%
Poker
624
0, 024%
Scala reale
40
0, 00154%
RISOLUZIONE degli esercizi di pag. 277
probabilità della QUATERNA AL LOTTO =
=
86
90
5
( )
=
1
511038
≈ 0, 000002
RISPOSTA all’esercizio di pag. 279
probabilità della CINQUINA AL LOTTO =
=
1
1
=
≈ 0, 000000023
90
43949268
5
( )
( )( )
( )
6 84
⋅
3
3
probabilità del "TRE" AL SUPERENALOTTO =
≈ 0, 003
90
6
In America alone, problem gambling affects more than 15 million people.
More than 3 million of these are considered severe problem gamblers,
otherwise known as gambling addicts or pathological gamblers.
Problem gambling can strain your relationships,
interfere with responsibilities at home and work,
and lead to financial catastrophe.
It may even lead you to do things you never thought possible,
like stealing money to gamble or taking money meant for your children. …
Gambling addiction, also known as compulsive gambling, is a type of impulse-control disorder.
Compulsive gamblers can’t control the impulse to gamble,
even when they know their gambling is hurting themselves or their loved ones.
Gambling is all they can think about and all they want to do, no matter the consequences.
(dal sito www.helpguide.org, anno 2010)
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Ö
284
6 - PROBABILITA' CONDIZIONATA
6.1 - Cosa significa “probabilità condizionata” (o “subordinata”)
Esempio 1
Prima di lanciare un dado,
io so che la probabilità di ottenere un determinato esito, ad esempio "5", è 1/6.
Ma se io lancio il dado, non guardo che numero esce,
e una persona che ha visto mi riferisce che è uscito un numero dispari,
a questo punto come valuterò la probabilità che l'esito del lancio sia stato il numero "5"?
Evidentemente la probabilità, per effetto del "surplus di informazione", salirà a 1/3!
Ciò è dovuto al fatto che l'informazione acquisita mi porta a "rinnovare" l’insieme universo:
dall’iniziale U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} esso diventa U' = {1, 3, 5} .
In generale:
se U è lo spazio degli eventi, e A, B sono due suoi sottoinsiemi, cioè due eventi
(vedi figura sottostante),
si dice " probabilità dell'evento A, CONDIZIONATA al verificarsi dell'evento B "
la probabilità di A valutata nell'insieme universo B.
Tale probabilità si indica con p(A/B) (leggi: probabilità di "A condizionato a B").
Se indichiamo col simbolo n(X)
il numero degli elementi di un insieme X,
sarà quindi:
p(A / B) = n(A ∩ B) / n(B)
e, nel caso particolare che A sia sottoinsieme di B,
p(A / B) = n(A) / n(B)
Nel caso dell’esempio inizialmente proposto, potremo scrivere:
p(“5”/dispari) = 1/3 (leggi: la probabilità che l’esito sia 5, condizionata al fatto che l’esito sia dispari, è 1/3).
Il concetto è molto rilevante, e può presentarsi sotto diversi aspetti. Facciamo altri esempi.
Esempio 2
Nel mio Liceo ci sono 200 ragazze, 80 delle quali sono bionde;
so anche che ha gli occhi azzurri il 75% delle bionde ( = 60 ragazze),
e il 10% delle non-bionde ( = 12 ragazze).
Io, in confidenza, adoro le bionde, specialmente quando hanno pure gli occhi azzurri.
Se come premio per una gara ho vinto un bacio da parte di una ragazza estratta a sorte
fra le studentesse del Liceo,
1. che probabilità c'è che la ragazza sorteggiata sia Bionda?
2. che probabilità c'è che abbia gli occhi Azzurri?
3. che probabilità c'è che sia una Bionda con gli occhi Azzurri?
4. se qualcuno mi confida che la ragazza sorteggiata è Bionda,
che probabilità c'è che abbia gli occhi Azzurri?
5. se, invece, vengo a sapere che la ragazza sorteggiata ha gli occhi Azzurri,
qual è la probabilità che sia Bionda?
NOTA
Sappiamo che U − B
si può anche indicare con B
( = “il complementare di B”)
285
Risoluzione
Posto
A = “la ragazza estratta ha gli occhi azzurri”,
B = “la ragazza estratta è bionda”,
avremo
A ∩ B = “la ragazza estratta è bionda e ha gli occhi azzurri”
e potremo scrivere:
1. p ( B ) = 80 / 200
2. p ( A ) = 72 / 200
3. p ( A ∩ B ) = 60 / 200
Fin qui si trattava di calcolare probabilità "normali".
I punti successivi, invece, si riferiscono a probabilità “condizionate":
4. p ( A / B ) = 60 / 80
5. p ( B / A ) = 60 / 72
Si potrebbe dire che
"la probabilità p(A/B) dell'evento A, condizionata al verificarsi di B"
è
"la probabilità che si sia verificato o si verifichi l'evento A,
valutata sapendo o supponendo che si verifichi o si sia verificato B".
Notare che non necessariamente l'evento A dev'essere successivo, in senso temporale, all'evento B.
Per illustrare quest’ultima puntualizzazione relativa all’ordine temporale,
mi sembra significativo il seguente ulteriore esempio.
Esempio 3
Gli almanacchi del calcio contengono i dati relativi a tutte le partite
di tutti i campionati nazionali italiani di serie A fin qui disputati.
Che probabilità sussiste, per una squadra che ha vinto una partita,
di aver vinto anche il primo tempo?
Per spiegarmi meglio, poniamo che mi sia stata proposta la seguente scommessa:
prendiamo una partita a caso di un campionato a caso
(estraiamo a sorte sia il campionato che la partita, insomma).
Se la partita estratta è terminata in pareggio, non la consideriamo neppure e ne estraiamo un'altra.
Se invece la partita è terminata con la vittoria di una delle due squadre,
mi viene proposto di puntare 100 euro per riceverne 150 se la squadra che ha vinto
aveva terminato in vantaggio il primo tempo.
Mi conviene accettare una simile scommessa?
Evidentemente, per saperlo dovrei conoscere la probabilità p (P/F) , cioè la probabilità
che una squadra abbia vinto il Primo tempo (P), se ha poi vinto alla Fine della partita (F).
E valuterò tale probabilità andando a contare il numero n di partite
che sono terminate con la vittoria di una delle due squadre,
il numero k di volte in cui la squadra vincitrice della partita considerata aveva vinto anche il relativo 1° tempo,
per porre infine, in una visione “frequentista”, p (P/F) = k/n .
Ancora:
Esempio 4
Butto un dado FINCHE' non esce un numero superiore a 3.
(Vale a dire: se esce 1, 2 o 3, la prova non mi interessa,
faccio come se non fosse stata effettuata e quindi la ripeto.
Se esce 4, o 5, o 6, la prova è "valida").
Con queste modalità, che probabilità c'è di ottenere un numero pari?
Evidentemente, la risposta è: 2/3.
E’ stata valutata la
"probabilità che dal lancio di un dado esca un numero pari, condizionata all'uscita di un numero superiore a 3".
286
6.2 - Un secondo impiego della scrittura p(A/B): l’ “evento a due fasi”
Il simbolo p(A/B), e la relativa locuzione
“probabilità di A, condizionata al verificarsi di B”
sono però anche usati in un altro contesto:
quello delle cosiddette
“prove a più fasi”,
ossia
“prove costituite dalla successione o dall’abbinamento di due, o più, prove parziali”.
Esempio 5
Lancio un dado.
Se esce 1 pesco una pallina da un'urna U1
che contiene 3 palline nere (N) e 2 rosse (R).
Se esce un numero diverso da 1 pesco invece da un'urna U2
contenente 2 palline verdi (V) e 1 rossa (R).
Se io domandassi
“Qual è la probabilità di estrarre una pallina Rossa?”,
la risposta a questa domanda, allo stato delle nostre conoscenze, non sarebbe affatto facile.
Io invece per ora voglio chiederti:
“qual è la probabilità di estrarre una pallina Rossa, se dal lancio del dado è uscito 1?”
Semplicissimo: ovviamente, tale probabilità è 2/5.
Potremo scrivere p(R/ “1”) = 2/5 che si leggerà:
la probabilità che la pallina esca Rossa,
sotto l’ipotesi che dal lancio del dado esca o sia uscito il numero 1,
è 2/5.
287
6.3 - Ricapitolazione
Il simbolo
p(A/B)
si legge
"probabilità dell'evento A, CONDIZIONATA (alcuni preferiscono dire: SUBORDINATA)
al verificarsi dell'evento B".
Ciò significa:
"probabilità dell'evento A, nell'ipotesi che si sia verificato o che si verifichi l'evento B"
Ci possono essere DUE tipi di situazioni:
1) A, B sono due sottoinsiemi dello stesso insieme universo U,
nel qual caso p(A/B) deve essere pensata come la "probabilità di A,
se ci limitiamo a considerare i casi in cui si verificherà, o in cui si è verificato, B".
Ciò corrisponde ad una
“restrizione dell'insieme universo”,
che per il calcolo di p (A) è U,
mentre per il calcolo di p (A/B) è B.
Esempio
Lanciando un dado, la probabilità che esca “5” è 1/6.
Ma qual è la probabilità che esca “5”, sotto l'ipotesi che esca un numero dispari
(cioè: se sappiamo che è uscito un numero dispari;
o, equivalentemente, se decidiamo che,
in caso di uscita di un numero pari, la prova debba essere ignorata e ripetuta)?
Risposta: p("5"/ dispari) = 1/ 3
2) Ci stiamo occupando di un "esperimento" costituito da due "prove parziali"
(l'esito della 1a prova parziale potrà eventualmente condizionare le modalità di svolgimento della 2a ).
• A e B NON sono due sottoinsiemi dello stesso insieme universo U.
• A è un insieme di esiti della seconda prova parziale,
• B è un insieme di esiti della prima prova parziale.
Allora p(A/B) deve essere pensata come la
"probabilità che si verifichi A, supposto che si sia verificato B nella prima prova parziale".
Esempio
Lancio un dado. Se esce 1 pesco una pallina da un'urna U1 che contiene 3 palline nere (N) e 2 rosse (R).
Se esce un numero diverso da 1 pesco invece da un'urna U2 contenente 2 palline verdi (V) e 1 rossa (R).
Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa, se dal lancio del dado è uscito 1?
Risposta:
p(rossa /"1") = 2/ 5
Altro esempio
Un’urna contiene 7 palline, 3 Rosse e 4 Nere. Si estraggono, una dopo l’altra, due palline.
Valutare la probabilità che la seconda estratta sia Rossa, nell’ipotesi che la prima sia Rossa.
Distinguere i DUE CASI:
a) la prima pallina viene messa da parte ( = NON la si “reimbussola”, NON la si reinserisce nell’urna)
b) la prima pallina viene “reimbussolata”
Risposte: a) p(2a R /1a R) = 2/ 6 = 1/ 3
b) p(2a R /1a R) = 3/ 7 (in questo caso l’urna non cambia fra la 1a e la 2a estrazione!)
288
6.4 - Eventi stocasticamente indipendenti
Esempio 6
Da un mazzo di carte da scopa si estrae una carta.
La probabilità che sia di "cuori" è 10/40 = 1/4.
Se so che la carta estratta è una figura, la probabilità che si tratti di una carta di cuori rimane 1/4.
C = "esce una carta di cuori"; F = "esce una figura";
p(C) = 1/4; ma anche p(C/F) = 1/4.
Quindi, in questo caso, p (C/F) = p (C) : il verificarsi di F non modifica la probabilità del verificarsi di C.
Quando, dati due eventi,
il verificarsi di uno di essi non modifica la probabilità del verificarsi dell'altro,
si dice che i due eventi sono "stocasticamente indipendenti":
A, B stocasticamente indipendenti
SE E SOLO SE
1) p(A/B) = p(A)
2) p(B/A) = p(B)
Si può dimostrare che ogniqualvolta p(A/B) = p(A) è anche p(B/A) = p(B) e viceversa;
insomma, delle due condizioni che definiscono l’indipendenza stocastica,
una (qualsiasi) è conseguenza dell’altra.
6.5 - Esercizi (probabilità condizionata)
Qualche bell’esercizio sul concetto di “probabilità condizionata” e di “eventi stocasticamente indipendenti”.
Trovi le risposte commentate di seguito alla rassegna.
1) Da un mazzo di carte da scopa (40 carte), si estrae una carta.
a) Che probabilità c'è che sia un "re"?
b) Se vengo a sapere che la carta estratta è una figura,
che valutazione darò della probabilità che si tratti di un “re”?
2) Si estraggono, successivamente, e senza reimbussolamento, 2 palline da un'urna
che contiene 3 Nere e 2 Rosse.
a) Se la prima estratta è R, che probabilità sussiste che la seconda sia pure R?
b) Prima di estrarre la prima pallina, come avremmo valutato la probabilità che,
alla fine della prova, la seconda estratta risultasse una Rossa?
3) Si lancia un dado due volte.
a) Qual è la probabilità che la somma dei punti fatti sia maggiore di 10,
ammesso che uno di questi punti sia 6?
b) Qual è la probabilità che la somma dei punti fatti sia maggiore di 10,
ammesso che il punto ottenuto col primo lancio sia 6?
c) Qual è la probabilità che la somma dei punti fatti sia maggiore di 10,
ammesso che il punto ottenuto col secondo lancio sia 6?
4) In una certa gara le probabilità di vincere dei quattro concorrenti A, B, C, D
sono state valutate rispettivamente in: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4
(qui sconfiniamo piuttosto in una concezione "soggettivistica" della probabilità:
è ovvio che non si sono considerati "casi favorevoli" e "casi possibili",
ma si è cercato di quantificare, con ragionamenti e confronti,
le possibilità di ciascun concorrente di vincere quella gara.
Insomma, si è concluso che le capacità e le condizioni fisiche e psicologiche dei concorrenti
sembrano tali da equiparare la gara all'estrazione di una pallina da un'urna contenente 10 palline,
di cui 1 reca il simbolo "A", 2 recano il simbolo "B", 3 il simbolo "C" e 4 il simbolo "D").
Ora, se il concorrente D si ritira, come verranno ricalcolate le probabilità di A, B, C?
5) Immagina di lanciare tre volte una moneta e considera gli eventi:
A = "si presenta la stessa faccia in tutti e tre i lanci"
B = "si presenta Testa in almeno due lanci"
Dimostra che A, B sono due eventi stocasticamente indipendenti.
6) I due eventi “lanciando una coppia di dadi, esce una somma dispari” e
“lanciando una coppia di dadi, si presenta almeno una volta la faccia ‘1’ ”
sono stocasticamente indipendenti?
289
RISPOSTE:
1a) p(K = King = re) = 4/40 = 1/10
1b) p (K/F) = 4/12 = 1/3
Quindi i due eventi “K, esce un re” e “F, esce una figura” NON sono stocasticamente indipendenti.
2a) p (2a Rossa/1a Rossa) = 1/4
2b) p (2a Rossa) = 2/5
A questa risposta 2b), oltre che contando
il numero dei casi equipossibili (coppie ordinate di palline distinte: 5 ⋅ 4 = 20 )
e quello dei casi favorevoli (che sono 3 ⋅ 2 + 2 ⋅1 = 8 : … non sei convinto? Fai un diagramma ad albero!),
si potrebbe pervenire con estrema semplicità nel modo seguente.
Possiamo pensare di chiudere gli occhi e pescare, anziché 2 soltanto,
TUTTE E 5 le palline, una dopo l’altra, disponendole in fila.
Evidentemente, la probabilità richiesta dal quesito 2b coincide con la probabilità
che la seconda pallina della fila sia una Rossa.
Ma non c’è motivo per cui tale probabilità differisca dalla probabilità
di trovare una Rossa in un posto prefissato qualsiasi, ad esempio il 1° posto.
E tale probabilità è, evidentemente, 2/5.
3a) 3/11 3b) 1/3 3c) 1/3
4) Probabilisticamente, è esattamente come avere 10 palline,
1 delle quali reca il simbolo “A”, 2 delle quali “B”, 3 delle quali “C”,
mentre le rimanenti 4 palline portano il simbolo “D”.
Ora, se le 4 palline recanti “D” vengono eliminate restano le rimanenti 6 palline …
Le probabilità richieste sono:
probabilità 1/6 per la vittoria di A, 2/6 per la vittoria di B e 3/6 per la vittoria di C.
Possiamo anche scrivere così:
1
2 1
3 1
p (A / D) = , p (B / D) = = , p (C / D) = =
6 2
6
6 3
dove abbiamo usato disinvoltamente il simbolo D
per schematizzare “non D” nel senso di “D ritirato”
5) La nostra tesi è: p(A/B) = p(A) o, indifferentemente, p(B/A) = p(B).
• p (A/B) = p ("stessa faccia in tutti e 3"/"Testa in almeno 2").
Ora, l’ipotesi che esca Testa in almeno 2 lanci ci porta all’insieme universo “ristretto”
{TTT, TTC, TCT, CTT}
nell’ambito del quale l’evento “stessa faccia in tutti e 3” si verifica nel solo caso TTT. Perciò
p (A/B) = 1/4 .
• Calcoliamo ora p(A).
n° casi possibili = 23 = 8; n° casi favorevoli = 2
quindi
p(A) = 2/8=1/4 .
Ma allora
p(A/B) = p(A) = 1/4
e la tesi è dimostrata.
6) Fra i 36 casi possibili nel lancio di due dadi,
quelli nei quali la somma degli esiti è dispari sono 18, per cui
p ( somma dispari ) = 18/36 = 1/ 2
mentre quelli in cui compare almeno una volta la faccia “1” sono i seguenti:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
ossia sono 11, in 6 dei quali la somma è dispari.
Perciò
p ( somma dispari / almeno un 1) = 6/11 .
Essendo
p ( somma dispari / almeno un 1) ≠ p ( somma dispari ) ,
i due eventi NON sono statisticamente indipendenti.
290
7 - UNIONE, INTERSEZIONE, COMPLEMENTAZIONE
A questo punto siamo in grado di dimostrare, senza grandi difficoltà, alcuni teoremi basilari sul CdP.
E' importante tenere presente fin d'ora che per la risoluzione di alcuni problemi di CdP,
l'applicazione dei teoremi che stiamo per stabilire risulta realmente utile;
in altri casi, invece, tale applicazione è possibile ma del tutto superflua
perché è più semplice valutare la probabilità dell'evento "per via diretta",
contando cioè i casi possibili e i casi favorevoli
(naturalmente, sempre con la massima attenzione nel controllare
se i casi cui ci stiamo riferendo sono realmente tutti “equipossibili”).
7.1 - Teorema sulla probabilità dell’evento unione (detto “teorema delle probabilità totali”)
Sia U l’insieme universo dei casi equipossibili,
e siano
A ⊆ U, B ⊆ U.
Semplici considerazioni sul numero degli elementi
dei vari insiemi che compaiono nella figura,
nella quale l’insieme A ∪ B è quello ombreggiato,
consentono di scrivere:
n(A ∪ B) n(A) + n(B) − n(A ∩ B) n(A) n(B) n(A ∩ B)
=
=
+
−
= p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
n(U)
n(U)
n(U) n(U)
n(U)
Dunque avremo:
p(A ∪ B) =
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) (TEOREMA DELLE PROBABILITA’ TOTALI)
Se A, B sono “incompatibili” (cioè, se l’intersezione fra A e B è vuota) la formula diventa semplicemente:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) (TEOR. DELLE PROBABILITA’ TOTALI PER EVENTI INCOMPATIBILI)
Esempio
In una classe di 24 alunni, 10 sono insufficienti in Matematica, 14 in Latino,
6 sia in Matematica che in Latino (che strage!).
Preso un alunno a caso, che probabilità c'è che sia insufficiente
in almeno una delle due materie Matematica e Latino?
Primo modo di risolvere
(col teorema delle probabilità totali):
p ( M ∪ L ) = p(M) + p(L) − p (M ∩ L) = 10 / 24 + 14 / 24 − 6 / 24 = 18 / 24
Secondo modo di risolvere
(senza applicare alcun teorema,
molto spontaneamente e semplicemente):
(
p M ∪ L ) = n ( M ∪ L ) / n(U) = (4 + 6 + 8) / 24 = 18 / 24
Ammetto tranquillamente che l’esempio fornito è molto banale,
nel senso che in questo caso applicare il teorema è, sì, possibile,
ma si rivela completamente superfluo,
perché risulta molto più semplice contare direttamente
il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili.
Per incontrare esempi in cui si veda un'effettiva utilità del teorema sopra stabilito,
occorre far riferimento a situazioni più complicate,
che incontreremo presto proseguendo nella trattazione del CdP.
L'estensione del Teorema delle Probabilità Totali al caso di tre eventi A, B, C è la seguente:
p(A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A ∩ B) − p(A ∩ C) − p(B ∩ C) + p(A ∩ B ∩ C)
che diventa semplicemente
p(A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + p(C) se A, B, C sono a due a due incompatibili
291
7.2 - Teorema sulla probabilità dell’evento intersezione
(detto “teorema delle probabilità composte”)
Sia U l’insieme universo dei casi equipossibili, e siano A ⊆ U, B ⊆ U.
Avremo
n(A ∩ B) n(A) n(A ∩ B)
p (A ∩ B) =
=
⋅
= p (A) ⋅ p (B / A)
n(U)
n(U)
n(A)
E in modo del tutto analogo si potrebbe ottenere
p (A ∩ B) = p (B) ⋅ p (A / B)
Resta così dimostrato il notevole
TEOREMA DELLE PROBABILITA’ COMPOSTE:
p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B / A) oppure p(A ∩ B) = p(B) ⋅ p(A / B)
Se A, B sono stocasticamente indipendenti la formula diventa semplicemente
p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B) TEOREMA DELLE PROB. COMPOSTE PER EVENTI INDIPENDENTI
Esempio
Due macchine M1 ed M2 di un'officina producono complessivamente
200 copie all’ora di un certo articolo.
La macchina M1 è più veloce perché produce 150 pezzi all’ora,
ma di questi mediamente il 12% è di scarto;
la produzione della M2 è invece soltanto di 50 pezzi all'ora, ma lo scarto è irrisorio: solo il 3%.
I pezzi prodotti sono stati immagazzinati tutti insieme,
cosicché non ci è possibile stabilire quali provengano dalla M1 e quali dalla M2.
Se preleviamo un pezzo a caso dal magazzino,
qual è la probabilità che provenga dalla macchina M2 e sia di scarto?
1° modo di risolvere (col teorema delle probabilità composte)
Poniamo
M2 = "il pezzo prelevato proviene dalla macchina M2"
S = "il pezzo prelevato è di scarto".
50 3
3
⋅
=
Avremo: p(M2 ∩ S) = p(M2) ⋅ p(S/ M2) =
200 100 400
2° modo di risolvere (senza teoremi, con visione “frequentista”)
Dopo 100 ore di produzione, la situazione del magazzino
sarà, pressappoco, quella illustrata nella figura.
Osservandola si ha subito p (M2 ∩ S) = 150 / 20000 = 3/ 400
Una CONSEGUENZA IMPORTANTE DEL TEOREMA DELLE PROBABILITA’ COMPOSTE è:
♥
p(A / B) =
p(A ∩ B)
p(B)
Questa formula viene utilizzata sovente, in Calcolo delle Probabilità.
Esempio
a) Se, lanciando due dadi, la somma dei punteggi ottenuti è 8,
calcolare la probabilità che uno dei due esiti sia stato “6”.
b) Quanto varrebbe la probabilità richiesta se al posto di una somma uguale a 8
considerassimo una somma uguale a 9, 10, 11 rispettivamente?
a) Casi possibili : (4, 4); (3, 5); (5, 3); (2, 6); (6, 2); casi favorevoli : (2, 6); (6, 2);
2
p (6 ∩ somma 8) 36 2
=
=
oppure: p(6/ somma 8) =
p( somma 8)
5 5
36
b) Per il 9 : p = 1/ 2; per il 10 : p = 2 / 3; per l' 11: p = 1
p = 2/5
292
7.3 - Teorema sulla probabilità dell’evento contrario
Sia U l’insieme universo dei casi equipossibili, e sia A ⊆ U .
Utilizzando il simbolo di “soprallineatura” che, com’è noto,
può essere impiegato coi due significati (strettamente correlati) di
• NEGAZIONE (in Logica)
• COMPLEMENTAZIONE (in Teoria degli Insiemi)
possiamo indicare con A l’evento contrario dell’evento A
(ossia quell’evento che si verifica se e solo se NON si verifica A).
La scrittura A verrà letta “non A” se interpretata dal punto di vista logico,
mentre verrà letta “il complementare di A”
(ma si può dire tranquillamente “non A” pure in questo caso)
se interpretata in chiave insiemistica.
Abbiamo
p (A) =
n(A) n(U) − n(A) n(U) n(A)
n(A)
=
=
−
= 1−
= 1 − p (A)
n(U)
n(U)
n(U) n(U)
n(U)
e resta così dimostrato un enunciato semplice ma spesso estremamente utile negli esercizi,
che avevamo già anticipato nelle pagine precedenti, ovvero il
TEOREMA SULLA PROBABILITA’ DELL’EVENTO CONTRARIO:
p(A) = 1 − p(A)
p(A) = 1 − p(A)
p(A) + p(A) = 1
PIU’ IN GENERALE,
qualora sia X ⊆ Y , si ha p ( Y − X ) = p ( Y ) − p ( X )
(la semplicissima dimostrazione è analoga a quella sul Teorema dell’Evento Contrario)
Esempio
Si lancia successivamente per 10 volte una moneta,
e si vuole sapere la probabilità che esca almeno una volta "testa".
Questo problema si risolve molto più agevolmente se si considera l' "evento contrario":
"non esce mai testa", ossia: "esce sempre croce".
E' molto facile stabilire la probabilità di questo evento contrario;
c'è infatti un unico caso favorevole ossia (C, C, C, C, C, C, C, C, C, C) sui 210 = 1024 casi possibili.
Quindi avremo
p (esce sempre "Croce") = 1/1024
da cui, in virtù del teorema sopra dimostrato,
p (esce almeno una volta "Testa ") = 1 − p (esce sempre "Croce") = 1 − 1/1024 = 1023 /1024
IDEA-GUIDA
In generale, in moltissimi quesiti di CdP in cui compare la parola “almeno”,
è conveniente passare all’evento contrario.
La parola “almeno” è una “parola-spia” in CdP:
essa ci deve sempre indurre a riflettere se sia conveniente utilizzare
il Teorema dell'Evento Contrario …
e quasi sempre la convenienza c’è.
293
7.4 - ESERCIZI
1) In uno “spazio degli eventi” U, un evento E1 ha probabilità 0,25 di verificarsi.
Un secondo evento E 2 si verifica con probabilità 0,48.
I due eventi non possono verificarsi simultaneamente: uno esclude l’altro, sono incompatibili.
Determinare la probabilità degli eventi:
a) E1 ∪ E 2 b) E1 ∩ E 2 c) E1 d) E 2 e) E1 ∪ E 2 f) E1 ∩ E 2
2) In uno “spazio degli eventi” U, un evento E1 ha probabilità 0,25 di verificarsi.
Un secondo evento E 2 si verifica con probabilità 0,48.
I due eventi sono compatibili: c’è una probabilità uguale a 0,1 che si verifichino simultaneamente.
I) Determinare la probabilità degli eventi: a) E1 ∪ E 2 b) E1 ∩ E 2 c) E1 ∪ E 2 d) E1 ∩ E 2
II) Nel caso si verifichi E1 , la probabilità che si verifichi anche E 2 cambia o resta invariata?
III) Nel caso si verifichi E 2 , che probabilità c’è che si verifichi anche E1 ?
3) In uno “spazio degli eventi” U, un evento E1 ha probabilità 0,5 di verificarsi.
Un secondo evento E 2 si verifica con probabilità 0,7;
ma qualora si verifichi E1 , la probabilità di E 2 scende a 0,4.
Determinare la probabilità che E1 ed E 2 si verifichino simultaneamente.
4) A, B, C sono tre eventi, in uno stesso “insieme universo” U.
Conoscendo p (A) = 0,3; p(B) = 0,4; p (C) = 0,5; p(A ∩ B) = p(A ∩ C) = p(B ∩ C) = 0,08
e sapendo che almeno uno dei tre eventi si deve certamente verificare, determina qual è
a) la probabilità che i tre eventi A, B, C si verifichino tutti e tre simultaneamente
b) la probabilità che si verifichino sia A che B, ma non C
5) Si lanciano due dadi. Ricordando che la probabilità che la somma dei due punteggi dia 8 è uguale a 5/36,
determinare la probabilità dell’evento: “i due esiti sono uguali fra loro, oppure danno per somma 8”
6) Ricordando che nel lancio di due dadi, la probabilità massima per la somma dei due punteggi è 7 ( p = 6/36 )
mentre le probabilità che la somma dei due punteggi valga 6 oppure 8 sono entrambe uguali a 5/36,
determinare la probabilità che tale somma non valga né 6, né 7, né 8.
7) In un banco di beneficenza coi biglietti numerati da 100 a 999, sono vincenti i biglietti che portano
un multiplo di 12, oppure un numero che abbia “0” come terza cifra, nonché tutti i numeri maggiori di 900.
Se acquisto un biglietto, che probabilità ho di perdere?
RISPOSTE
1) a) p(E1 ∪ E 2 ) = p (E1 ) + p(E 2 ) = 0, 25 + 0, 48 = 0,73 (eventi incompatibili !) b) p (E1 ∩ E 2 ) = 0
c) p E1 = 1 − p (E1 ) = 1 − 0, 25 = 0,75 d ) p E 2 = 1 − p (E 2 ) = 1 − 0, 48 = 0,52
( )
( )
e) p ( E1 ∪ E 2 ) = p ( E1 ∩ E 2 ) = 1 − p (E1 ∩ E 2 ) = 1 − 0 = 1 (leggi di De Morgan)
f ) p ( E1 ∩ E 2 ) = p ( E1 ∪ E 2 ) = 1 − p (E1 ∪ E 2 ) = 1 − 0,73 = 0, 27 (leggi di De Morgan)
2) I) a) p (E1 ∪ E 2 ) = p (E1 ) + p (E 2 ) − p (E1 ∩ E 2 ) = 0, 25 + 0, 48 − 0,10 = 0,63 b) p (E1 ∩ E 2 ) = 0,1
c) p E1 ∪ E 2 = p E1 ∩ E 2 = 1 − p (E1 ∩ E 2 ) = 1 − 0,1 = 0,9 (leggi di De Morgan)
d) p E1 ∩ E 2 = p E1 ∪ E 2 = 1 − p (E1 ∪ E 2 ) = 1 − 0,63 = 0,37 (leggi di De Morgan)
p (E 2 ∩ E1 ) p(E1 ∩ E 2 ) 0,1
p (E1 ∩ E 2 ) 0,1
=
=
= 0, 4 . Cambia! III) p (E1 / E 2 ) =
=
≈ 0, 2
II) p (E 2 / E1 ) =
p (E1 )
p (E1 )
0, 25
p(E 2 )
0, 48
3) p (E1 ∩ E 2 ) = p (E1 ) ⋅ p (E 2 / E1 ) = 0,5 ⋅ 0, 4 = 0, 2
(
(
) (
) (
)
)
4) a) 1 = p (A ∪ B ∪ C) = p (A) + p (B) + p (C) − p (A ∩ B) − p (A ∩ C) − p (B ∩ C) + p (A ∩ B ∩ C) da cui
p (A ∩ B ∩ C) = p (A ∪ B ∪ C) − p (A) − p (B) − p (C) + p (A ∩ B) + p (A ∩ C) + p (B ∩ C) = ... = 0, 04
b) p((A ∩ B) − C) = p((A ∩ B) − (A ∩ B ∩ C)) = 0, 08 − 0, 04 = 0, 04 (NOTA : dato che A ∩ B ∩ C ⊆ A ∩ B)
NOTA
5) p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B) = 6 / 36 + 5 / 36 − 1/ 36 = 10 / 36 6) p = 1 − (6 / 36 + 5 / 36 + 5 / 36) = 20 / 36
7) M = {multipli di 12 fra 100 e 999}; Z = {numeri fra 100 e 999 con ultima cifra 0}; G = {numeri fra 901 e 999}
75
90
99
15
8
9
1
p(M) =
; p(Z) =
; p(G) =
; p(M ∩ Z) =
; p(M ∩ G) =
; p(Z ∩ G) =
; p(M ∩ Z ∩ G) =
900
900
900
900
900
900
900
p(vincere) = p(M ∪ Z ∪ G) = p(M) + p(Z) + p(G) − p(M ∩ Z) − p(M ∩ G) − p(Z ∩ G) + p(M ∩ Z ∩ G) =
75 90 99 15
8
9
1 233
233 667
=
+
+
−
−
−
+
=
; p( perdere) = p(M ∪ Z ∪ G) = 1 − p(M ∪ Z ∪ G) = 1 −
=
900 900 900 900 900 900 900 900
900 900
8 - EVENTI A DUE (O PIU’) FASI
294
8.1 - Il Teorema relativo agli “eventi a due fasi”
Esempio
Lancio un dado.
Se esce 1 pesco una pallina da un'urna U1 che contiene 3 palline Nere e 2 Rosse.
Se esce un numero diverso da 1 pesco invece da un'urna U2 contenente 2 palline Verdi e 1 Rossa.
Si chiede: con una "prova" di questo tipo, qual è la probabilità di estrarre una pallina
a) Nera?
b) Rossa?
c) Verde?
La difficoltà di questo problema sta nel fatto che i casi
(1, N1 ) (1, N 2 ) (1, N3 ) (1, R1 ) (1, R 2 ) ( non1, V1 )
NON sono equipossibili !!!
( non1, V2 ) ( non1, R 3 )
Viene subito in mente di passare al nuovo insieme di casi
(1, N1 ) (1, N 2 ) (1, N3 ) (1, R1 ) (1, R 2 )
( 2, V1 )
( 3, V1 )
( 4, V1 )
( 5, V1 )
( 6, V1 )
( 2, V2 )
( 3, V2 )
( 4, V2 )
( 5, V2 )
( 6, V2 )
( 2, R 3 )
( 3, R 3 )
( 4, R 3 )
( 5, R 3 )
( 6, R 3 )
ma nemmeno questi sarebbero equipossibili !!!
Riusciamo però a ottenere un “set” di casi equipossibili se applichiamo il seguente artificio:
supponiamo di avere, nell’urna U1, 15 palline anziché 5: 9 Nere, 6 Rosse
e nell’urna U2, 15 palline anziché 3: 10 Verdi, 5 Rosse.
La nuova prova sarà probabilisticamente equivalente alla precedente (giusto? ne sei convinto?)
ma questa volta i casi
(i 6 ⋅ 15 = 90 casi ! )
saranno tutti equipossibili !!!
295
Avremo dunque
p(N) = 9/90 = 1/10
p(R) = 31/90
p(V) = 50/90 = 5/9
cosicché, osservando il seguente diagramma, siamo condotti ad una scoperta assai interessante:
Insomma, per quanto riguarda la prova aleatoria a due fasi da noi considerata,
la probabilità di percorrere un “cammino”
(pensiamo ad esempio al cammino “1 dal dado E POI pallina Nera dall’urna”)
risulta calcolabile mediante un prodotto di due probabilità:
le probabilità dei singoli segmenti che costituiscono il cammino
Osserviamo che la seconda di queste due probabilità è una probabilità “condizionata”
(ad esempio, il fattore 2/5 che compare nel diagramma è la
“probabilità che esca Rossa dall’urna, SUPPOSTO CHE fosse uscito 1 dal lancio del dado).
In effetti è possibile dimostrare che questo fatto è di validità del tutto generale, ossia che sussiste il seguente
TEOREMA SULLA PROBABILITA' DI UN EVENTO,
COSTITUITO DALLA SUCCESSIONE O DALL'ABBINAMENTO DI DUE "EVENTI PARZIALI"
(IN BREVE: PROBABILITA' DI UN "EVENTO A DUE FASI")
Se una prova aleatoria si articola in due parti o fasi,
cosicché l'evento di cui vogliamo valutare la probabilità si possa pensare costituito
dalla successione, o comunque dall'abbinamento, di due "eventi parziali" A, B
(evento “A e poi B”),
allora:
p(A e poi B) = p(A) ⋅ p(B/A)
cioè:
la probabilità di “A e poi B” è uguale al prodotto
della probabilità di A
per la probabilità di B, supposto che si sia verificato A.
La dimostrazione generale di questo enunciato, che è riportata più avanti, consiste nella generalizzazione
di quanto fatto in relazione all’esempio introduttivo, che ha portato alla “scoperta” del Teorema.
Nel caso A, B siano stocasticamente indipendenti,
cioè tali che il verificarsi dell'uno non modifichi la probabilità del verificarsi dell'altro, allora
p(A e poi B) = p(A) ⋅ p(B)
In un grafo ad albero, quanto detto si può tradurre nella seguente comodissima REGOLA:
♥ LA PROBABILITÀ DI UN CAMMINO È UGUALE AL PRODOTTO
DELLE PROBABILITÀ DEI SINGOLI TRATTI CHE COSTITUISCONO IL CAMMINO
(s'intende che se un segmento rappresenta un “ramo secondario”,
la probabilità di percorrerlo è da intendersi come probabilità condizionata, cioè come
probabilità di percorrere quel tratto, supponendo di essere già giunti all'inizio del segmento stesso).
296
8.2 - Dimostrazione del Teorema sugli “eventi a due fasi”
Il procedimento dimostrativo consiste nella generalizzazione
di quanto fatto nell’esempio introduttivo: passaggio ad una
prova modificata, probabilisticamente equivalente a quella di partenza,
con lo scopo di ricondursi ad un insieme di casi tutti equipossibili.
Il grafo sottostante mostra la struttura di una generica prova aleatoria a due fasi;
A, A', B, C, D, E, F rappresentano generici eventi.
Di ciascun evento è specificata la probabilità (eventualmente, "probabilità condizionata").
Per semplicità, ho supposto che si abbiano 2 esiti possibili per la prima fase (o "prima prova parziale")
e 2+3 esiti possibili per la seconda fase ( = "seconda prova parziale").
E' chiaro però che la dimostrazione sarebbe facilmente generalizzabile a situazioni diverse,
comunque complicate.
Il fatto che le probabilità p (A) e p (A') siano espresse da due frazioni con lo stesso denominatore n
non è restrittivo, voglio dire: non riflette un caso particolare,
perché comunque, se i due denominatori di p (A) e p (A') fossero diversi,
io potrei sempre ridurre tali due frazioni al minimo comun denominatore.
Analogo discorso vale per le cinque probabilità p (B/ A), p (C / A), p (D / A'), p (E / A'), p (F/ A') :
le suppongo espresse da cinque frazioni con lo stesso denominatore m
(se così non fosse, potrei sempre ricondurmi a questa situazione portando le cinque frazioni al m.c.d.).
Osserviamo che, per ovvi motivi, i numeri interi a, a ', b, c, d , e, f sono tali da realizzare le uguaglianze
a + a ' = n, b + c = m, d + e + f = m .
Si tratta dunque di dimostrare (TESI) che p (A e poi B) = p (A) ⋅ p (B / A) ,
tanto per prendere un’uguaglianza qualsiasi fra le 5 dello stesso tipo.
Poiché gli esiti possibili della prima fase sono:
A con probabilità a / n e A' con probabilità a '/ n ,
possiamo concepire la prima fase come estrazione di una pallina da un'urna contenente n palline,
su a delle quali ci sia la scritta "A" e sulle rimanenti a ' la scritta " A' ".
E analogamente per la seconda fase.
Quindi la nostra "prova a due fasi" potrà, in definitiva, essere considerata equivalente,
dal punto di vista delle valutazioni di probabilità, alla prova descritta come segue:
• si estrae una pallina da un'urna contenente n = a + a ' palline,
su a delle quali compare la scritta "A" mentre sulle rimanenti a ' palline compare la scritta " A' "
• se l'esito di questa estrazione è "A", allora si pesca da un'urna con la seguente composizione:
o m palline in totale;
o b palline con la scritta "B",
o c palline con la scritta "C"
• se invece l’esito della prima estrazione è " A' ", allora si va a pescare da un'urna diversa, contenente:
o m palline in totale;
o d palline con la scritta "D",
o e palline con la scritta "E",
o f palline con la scritta “F”.
297
(Sei convinto del fatto che la prova originaria
e la "prova modificata", quella con le urne e le palline,
sono probabilisticamente equivalenti?
Solo se la tua risposta è affermativa puoi accettare il presente procedimento dimostrativo ...)
Dunque:
i casi possibili sono
a ⋅ ( b + c ) + a '⋅ ( d + e + f ) = a ⋅ m + a '⋅ m = ( a + a ') ⋅ m = n ⋅ m
Essi appaiono tutti equipossibili (ne sei convinto?)
I casi favorevoli al verificarsi dell'evento “A e poi B” sono a ⋅ b .
La probabilità dell'evento “A e poi B” è data dal rapporto
n° casi favorevoli
n° casi possibili
quindi
p(A e poi B) =
a⋅b a b
= ⋅ = p(A) ⋅ p(B / A)
n⋅ m n m
come volevasi dimostrare.
298
Esempio 1
Da un’urna con 5 palline Rosse e 10 Nere si estraggono, una dopo l’altra e senza reimbussolamento,
due palline; determinare la probabilità che siano entrambe Rosse.
5 4 2
Si tratta di un EVENTO “A DUE FASI”, per cui p(A e poi B) = p(A) ⋅ p(B/A) = ⋅ =
15 14 21
4
perché, se dall’urna è stata estratta una pallina Rossa, rimangono 14 palline, di cui 4 Rosse.
E’ p (B/A) =
14
5⋅4
2
Si poteva procedere anche contando i casi possibili: 15 ⋅14 e i favorevoli: 5 ⋅ 4 , da cui p =
=
15 ⋅14 21
Conoscendo, poi, il Calcolo Combinatorio,
⎛ 5⎞
5⋅ 4
si sarebbe potuto ragionare pensando a coppie non ordinate di palline,
⎜ 2⎟
2
⎝
⎠
perché, evidentemente, la probabilità di pescare 2 Rosse non cambia se, p =
= 2 ⋅1 =
⋅
15
14
21
⎛15 ⎞
anziché pescare una pallina dopo l’altra senza reimbussolare,
⎜2⎟
2 ⋅1
si pescano in un colpo solo, simultaneamente, 2 palline!
⎝ ⎠
Esempio 2
Se sia la professoressa di Latino che quella di Matematica pescheranno quest’oggi coi bigliettini
per determinare il primo studente da interrogare in una classe di 20,
che probabilità c’è per la timida Marinella di essere lei la vittima in entrambi i casi?
Pensandolo come un EVENTO “A DUE FASI”, con la fase A e la fase B indipendenti fra loro, si avrà
1 1
1
p (A e poi B) = p (A) ⋅ p(B) = ⋅ =
20 20 400
Si può anche rispondere pensando direttamente al rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili:
1
1 dove 20 ⋅ 20 è il numero delle coppie ordinate che si possono ottenere dall'insieme dei
p=
=
20 ⋅ 20 400 20 studenti (supponendo che il 2° elemento della coppia possa anche coincidere col 1°)
8.3 - “Regola della somma”; generalizzazione a più di due fasi
REGOLA DELLA SOMMA PER LE PROVE A DUE FASI:
in una "prova a due fasi", la probabilità dell'evento che si verifica se e solo se si verifica
l’uno o l’altro di due eventi INCOMPATIBILI è la somma delle rispettive probabilità.
Ne omettiamo la dimostrazione (che si effettuerebbe tramite una “prova modificata” tipo quella di pag. 296).
NOTA - Osserviamo che un enunciato analogo a questa “regola della somma” era stato stabilito già in precedenza
(teorema sulla probabilità dell’evento unione, o “teorema delle probabilità totali”);
tuttavia, in quella circostanza si faceva riferimento ad uno spazio di eventi elementari equipossibili,
mentre nelle "prove a due fasi" di cui ci stiamo occupando al presente, non abbiamo più tale condizione,
che si recupera soltanto nel momento in cui si sostituisce la "prova originaria" con la "modificata".
Di qui l'esigenza di una dimostrazione autonoma.
Esempio
Come es. di applicazione di questa "regola della somma", riferiamoci ancora al dado e all’urna di pag. 294.
Se venisse richiesta la "probabilità di estrarre una pallina Rossa", questa potrebbe essere calcolata come
1 2 5 1 1
5
31
p("1 e poi R") + p ("non 1 e poi R") = ⋅ + ⋅ =
+
=
6 5 6 3 15 18 90
GENERALIZZAZIONE A PIU’ DI DUE FASI
Il teorema sugli eventi a due fasi si può facilmente generalizzare al caso di eventi "a più fasi":
p(A1 e poi A2 e poi A3 e poi ...) = p(A1) ⋅ p(A2 / A1) ⋅ p(A3 /(A2 e poi A1)) ⋅ ...
La “regola della somma” continua a valere anche nel caso in cui le fasi siano più di due.
Esempio
Probabilità, estraendo 3 palline di seguito da un’urna con 4 Rosse e 4 Nere, che siano tutte e tre Rosse?
4 3 2 1
Vedendolo come EVENTO “A TRE FASI”: p(R e poi R e poi R) = ⋅ ⋅ =
.
8 7 6 14
In alternativa, se si conosce il Calcolo Combinatorio, dato che la probabilità resterebbe uguale
8 = ... = 1
se pensassimo di estrarre le 3 palline non una dopo l’altra, ma simultaneamente: p = 4
3
3
14
() ()
299
ESERCIZI
1a) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3 palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si estrae a sorte l’urna da scegliere, e da questa si estrae una pallina.
Determinare la probabilità di ottenere, in questo modo, a) una Rossa b) una Verde
1b) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3 palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si estrae una pallina da U1, e la si butta in U2; si estrae poi una pallina da U2.
Determinare la probabilità di ottenere, in questo modo, alla fine: a) una Rossa b) una Verde
1c) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3 palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si estrae una pallina da U2, e la si butta in U1; si estrae poi una pallina da U1.
Determinare la probabilità di ottenere, in questo modo, alla fine: a) una Rossa b) una Verde
1d) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3 palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si estrae una pallina da U1, la si mette da parte, e si versano le palline restanti nell’altra urna, da cui si estrae
una pallina. Determinare la probabilità di ottenere, in questo modo, alla fine: a) una Rossa b) una Verde
2) Se da un’urna contenente 1 pallina Rossa e 6 palline Verdi si estraggono 4 palline una dopo l’altra,
determinare la probabilità che siano tutte Verdi.
3) Si estraggono tre carte da un mazzo da scopa. Determinare la probabilità che siano tre “ori” (=denari, quadri)
4) In una classe con 8 ragazzi e 12 ragazze, la professoressa di Latino estrarrà a sorte, uno dopo l’altro,
3 “volontari” per le interrogazioni. Calcolare la probabilità che il primo sia un maschio seguito da 2 femmine.
5) Si lancia un dado per quattro volte di seguito e si domanda la probabilità che esca “4” almeno una volta.
6) Si lancia un dado per quattro volte di seguito e si domanda la probabilità che esca “4” una e una sola volta.
RISPOSTE
1a) p (R) = p (U1 e poi R) + p (U2 e poi R) = p (U1) ⋅ p(R / U1) + p(U2) ⋅ p(R / U2) =
1 3 1 1 13
22
= ⋅ + ⋅ = ; p(V) = 1 − p(R) =
2 5 2 7 35
35
1b) p(R) = p(R e poi R) + p(V e poi R) = p(R da U1) ⋅ p(R da U2/R da U1) + p(V da U1) ⋅ p(R da U2/V da U1) =
3 2 2 1 3 1
4 1
4
= ⋅ + ⋅ = + = = ; p(V) = 1 − p(R) =
5 8 5 8 20 20 20 5
5
1c) p(R) = p(R e poi R) + p(V e poi R) = p(R da U2) ⋅ p(R da U1/R da U2) + p(V da U2) ⋅ p(R da U1/V da U2) =
1 4 6 3 2 3 11
10
= ⋅ + ⋅ = + = ; p(V) = 1 − p(R) =
7 6 7 6 21 7 21
21
3 3 2 4 17
38
1d) p(R) = p(R e poi R) + p(V e poi R) = ⋅ + ⋅ = ; p(V) = 1 − p(R) =
5 11 5 11 55
55
6 5 4 3 3
6⋅5⋅ 4⋅3 3
=
2) p = ⋅ ⋅ ⋅ = oppure, col Calcolo Combinatorio, pensando alle quaterne ordinate, p =
7 6 5 4 7
7 ⋅6⋅5⋅ 4 7
Si può anche immaginare di estrarre le palline
⎛ 6⎞ 6⋅5⋅ 4⋅3
⎜ 4⎟
tutte assieme anziché in successione;
⎝ ⎠ = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 3
la probabilità che risultino tutte Verdi non cambierebbe; p =
⎛ 7⎞ 7 ⋅6⋅5⋅ 4 7
in questo caso, le quaterne verrebbero pensate NON ordinate →
⎜ 4⎟
⎝ ⎠ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
3)
Pensare di estrarle simultaneamente o una dopo l’altra è indifferente
10 9 8
dal punto di vista della probabilità. Se pensiamo a tre estrazioni successive p = ⋅ ⋅ ≈ 0,012
40 39 38
potremo applicare il teorema dell’evento a più fasi e avremo: →
10 ⋅ 9 ⋅ 8
⎛10 ⎞
⎜ ⎟
Pensando invece all’estrazione di 3 carte simultaneamente, p = ⎝ 3 ⎠ = 3 ⋅ 2 ⋅1 ≈ 0,012
col Calcolo Combinatorio otterremo: →
⎛ 40 ⎞ 40 ⋅ 39 ⋅ 38
⎜3⎟
3 ⋅ 2 ⋅1
⎝ ⎠
8 12 11 44
8 ⋅12 ⋅11
≈ 0,15 . Col Calcolo Combinatorio: p =
4) Come evento a tre fasi: p(MFF) = ⋅ ⋅ =
20 19 18 285
20 ⋅19 ⋅18
5 5 5 5
625
≈ 0,52
5) p("4" almeno una volta) = 1 − p (mai "4") = 1 − ⋅ ⋅ ⋅ = 1 −
6 6 6 6
1296
3
1 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1
1 ⎛ 5 ⎞ 125
6) p = p (4444) + p (4444) + p (4444) + p (4444) = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 4 ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ =
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 ⎝ 6 ⎠ 324
300
9 - OSSERVAZIONI UNIFICANTI
Il Teorema sugli Eventi a Due Fasi porta a una formula, p(A e poi B) = p(A) ⋅ p(B / A) ,
che richiama quella relativa al Teorema delle Probabilità Composte: p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B / A) .
Se consideriamo il fatto che “ ∩ ” viene spesso letto “ET” ( ∧ ), per il fatto che
l’intersezione insiemistica ( ∩ ) è strettissimamente legata alla congiunzione logica ( ∧ ),
possiamo in definitiva scrivere la TERNA DI FORMULE
I) p(A e poi B) = p(A) ⋅ p(B / A)
II) p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B / A)
III) p(A ∧ B) = p(A) ⋅ p(B / A)
dove L’ULTIMA CONDENSA LE PRIME DUE, nel senso che quell’ “ ∧ ”
potrà essere interpretato, a seconda dei casi, come “ ∩ ” oppure come “e poi”.
p( A ∩ B)
Anche la relazione p(A/B) =
(pag. 291) si può riscrivere con il simbolo ∧ :
p(B )
p(A ∧ B)
p(B)
e in essa “ ∧ ” potrà essere interpretato come indicante intersezione (“ ∩ ”)
oppure successione temporale (“A e poi B” o “B e poi A” a seconda dei casi).
così facendo, essa diventa p(A/B) =
Per l'occasione, tengo a segnalare che parecchi libri di testo, occupandosi di calcolo delle probabilità,
tendono a IDENTIFICARE i due teoremi
I. p (A e poi B) = p (A) ⋅ p (B/A)
II. p (A ∩ B) = p (A) ⋅ p (B/A)
mentre in realtà si tratta di teoremi BEN DISTINTI !
E sovente viene dimostrato II), mentre I) non viene nemmeno citato, perché confuso con l’altro!!!
E’ infatti facile leggere un “e poi” semplicemente come “e”, quindi interpretare (erroneamente!)
quella congiunzione “e” come indicante “intersezione” e non “abbinamento”.
Purtroppo quasi tutti i testi mostrano una certa superficialità a questo proposito.
Ma nel caso “A e poi B”, come si fa a parlare di “intersezione”
quando A, B NON sono sottoinsiemi di uno stesso insieme universo?!?!
E’ vero che la confusione concettuale in cui rimane appiattita la maggior parte dei testi
non ha poi conseguenze pratiche, in quanto il risultato finale è poi fortuitamente esatto
in virtù dell’analogia fra I), II) e III); ma l’impostazione è comunque sbagliata!
Va detto che a volte la situazione “A e poi B” può essere ricondotta ad “ A ∩ B ”.
Ad esempio, consideriamo il problema: si estraggono due palline (senza reimbussolamento)
da un’urna contenente 4 Bianche e 3 Nere; che probabilità c’è che siano entrambe Nere?
Qui potremo, indifferentemente, pensare
• all’evento a due fasi “A e poi B” avendo noi posto
A = “Siamo alla 1a estrazione; esce una Nera”
B = “Siamo alla 2a estrazione, nell’urna non c’è più la pallina estratta precedentemente; esce una Nera”
• o all’intersezione fra i due eventi:
E1 = “esce una pallina Nera alla prima estrazione e una pallina di colore qualsiasi alla seconda”
E2 = “esce una pallina di colore qualsiasi alla prima estrazione e una pallina Nera alla seconda”
(osserviamo che E1, E2 sono due insiemi di coppie ordinate!)
Ma non sempre ciò è realizzabile …
… Ad esempio, prendendo il problema del dado e delle urne di pagina 294, con riferimento, per fissare le idee,
all’uscita di una Nera, se tentassimo di interpretarlo in un’ottica di intersezione non ci riusciremmo, perché
senza il ricorso alla “prova modificata” non si ha un insieme universo in cui i casi siano fra loro equipossibili.
Analogamente a quanto osservato riguardo al connettivo “et”,
possiamo ancora rilevare che il legame fra l’operazione insiemistica di unione ( ∪ )
e il connettivo logico di disgiunzione (VEL, ∨ ) consente di dare al
Teorema delle Probabilità Totali una qualsiasi delle due formulazioni alternative:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
p(A ∨ B) = p(A) + p(B) − p(A ∧ B)
e in particolare, se A e B sono incompatibili,
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
e in particolare, se A e B sono incompatibili,
p(A ∨ B) = p(A) + p(B)
Nella successiva rassegna di esercizi svolti 1 … 18, emergono ripetutamente le tematiche di questo paragrafo.
301
10 - ESERCIZI SVOLTI
Esercizio 1
La probabilità che un tiratore A colpisca il bersaglio è 1/2, la probabilità che lo colpisca B è 1/5.
Se A e B sparano contemporaneamente contro il bersaglio, che probabilità c’è che questo venga colpito?
Risoluzione
p = p (A ∨ B) = p (A) + p(B) − p(A ∧ B) = p(A) + p (B) − p (A) ⋅ p(B / A)
= p (A) + p (B) − p (A) ⋅ p (B) =
1 1 1 1 1 1 1
6 3
+ − ⋅ = + − =
=
2 5 2 5 2 5 10 10 5
=
NOTA
NOTA
A, B sono indipendenti
e quindi
p(B/A) = p(B)
Per inquadrare il problema in modo da sentirci effettivamente autorizzati ad applicare i Teoremi studiati,
possiamo osservare che mediamente ogni 1000 prove (dove per “prova” si deve intendere “doppio tiro”),
500 volte colpisce il bersaglio A, 200 volte B.
Supponiamo che qualcuno registri gli esiti di una sequenza di 1000 “doppi tiri”
e scriva ogni singolo esito (che potrà essere: “nessuno”; “solo A”; “solo B”; “sia A che B”) su di un bigliettino:
si avranno quindi 1000 bigliettini.
Pescando un bigliettino a caso, ci chiediamo che probabilità c’è di trovarvi scritto almeno uno dei due nomi A o B.
Tracciamo un diagramma di Venn che rappresenti questo insieme di 1000 bigliettini con i suoi sottoinsiemi:
comprenderemo in modo realmente efficace la situazione probabilistica considerata. Dunque:
E’ evidente che abbiamo posto circa 500 bigliettini nell’insieme A,
per il fatto che il tiratore A fa centro con probabilità 1/2, quindi su 1000 tentativi ne azzeccherà pressappoco 500.
Analogamente è immediato comprendere come l’insieme B debba avere (all’incirca) 1 / 5 ⋅ 1000 = 200 elementi.
Potrai chiederti invece come mai abbiamo collocato proprio 100 bigliettini in A ∩ B .
Se ti rispondessi che questo viene dalla relazione
p (A ∩ B) = p (A) ⋅ p(B / A)
la quale poi, data l’indipendenza stocastica fra gli eventi A e B
(supponiamo che le prestazioni di un tiratore non influenzino quelle dell’altro), diventa
p (A ∩ B) = p (A) ⋅ p(B) ,
non sarei, immagino, convincente come conto invece di esserlo col ragionamento seguente.
Rifletti su questo fatto:
il tiratore A va a segno mediamente 1 volta su 2, giusto?
Bene! Consideriamo esclusivamente quei circa 200 “doppi tiri” in cui è andato a segno B.
Nell’ambito di questi circa 200 “doppi tiri”, i centri di A saranno pressappoco la metà, quindi circa 100.
Perciò A e B fanno centro entrambi simultaneamente per circa 100 volte.
D’altronde, se, simmetricamente, noi confiniamo la nostra attenzione
esclusivamente sui (circa) 500 “doppi tiri” in cui ha centrato il bersaglio A,
cosa possiamo dire riguardo alla prestazione di B nell’ambito di questo gruppo di prove?
Sappiamo che B, quando tira, ci azzecca in media 1 volta su 5, quindi, fra le 500 prove considerate,
avrà fatto centro pressappoco 1/ 5 ⋅ 500 = 100 volte.
E allora effettivamente sarà
n(A ∩ B) = 100 (più correttamente: circa 100)
I rimanenti numeri che figurano nel diagramma di Venn sono stati poi ricavati per differenza:
n(A − B) = 500 − 100 = 400
n(B − A) = 200 − 100 = 100
n(A ∪ B) = 1000 − 400 − 100 − 100 = 400
A questo punto, la semplice osservazione del diagramma consente di calcolare, con visione “frequentista”,
la probabilità richiesta:
p(bersaglio colpito) =
400 + 100 + 100 600 3
=
=
1000
1000 5
302
Esercizio 2
Supponiamo che da indagini statistiche si tragga
1
1
, per un cane .
4
3
che la probabilità per un gatto di vivere 12 anni è
Se posseggo un cagnetto e un gattino appena nati, stabilire in tal caso qual è la probabilità che:
a) siano entrambi vivi fra 12 anni;
b) almeno uno sia vivo fra 12 anni;
c) nessuno dei due sia vivo fra 12 anni
Risoluzione
Poniamo
C = “il cane sarà vivo fra 12 anni”,
G = “il gatto sarà vivo fra 12 anni”.
Avremo:
1 1 1
⋅ =
3 4 12
(probabilità composte per eventi indipendenti)
a) p (C ∧ G) = p (C) ⋅ p (G) =
b) p (C ∨ G) = p (C) + p (G) − p (C ∧ G) =
1
+
1
−
1
=
1
3 4 12 2
(probabilità totali per eventi compatibili; probabilità composte per eventi indipendenti)
c) p (C ∧ G) = p (C ∨ G) = 1 − p (C ∨ G) = 1 −
1
=
1
2 2
dove abbiamo sfruttato le importantissime FORMULE DI DE MORGAN,
le quali, come dovrebbe essere noto,
hanno una versione “insiemistica” e una versione “logica”
e che qui di seguito andiamo a ripassare:
FORMULE DI DE MORGAN
A ∪ B = A ∩ B in Insiemistica, A ∨ B = A ∧ B in Logica
A ∩ B = A ∪ B in Insiemistica, A ∧ B = A ∨ B in Logica
dove la soprallineatura
significa “complementazione”, ossia “passaggio all’insieme complementare”, in Insiemistica
e significa “negazione” in Logica.
Osserviamo che nelle versioni “logiche” delle formule il simbolo “ = ” va letto “logicamente equivalente”.
Risoluzione alternativa dello stesso problema del Cane e del Gatto, parte c):
p (C ∧ G) = p (C) ⋅ p (G) =
2 3 1
⋅ =
3 4 2
dove abbiamo tenuto conto che
1 2
p (C) = 1 − p (C) = 1 − =
3 3
e
1 3
p (G) = 1 − p (G) = 1 − =
4 4
e abbiamo potuto scrivere semplicemente p (G) anziché p(G / C)
perché abbiamo ipotizzato l’indipendenza stocastica degli eventi
(sebbene a rigore ciò non sia necessariamente vero perché comunque gli animali sono molto sensibili).
303
Esercizio 3
Se si sa che
p(A) =
1
,
2
p(B) =
calcolare:
1) p(A ∪ B)
1
3
e
p(A ∩ B) =
2) p(A / B)
3) p(B / A)
1
4
( A ⊆ U, B ⊆ U) ,
4) p(A ∩ B)
5) p(A / B)
6) p(A / B)
Risoluzione
1) p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B) =
1 1 1 7
+ − =
2 3 4 12
1
p (A ∩ B) 4 3
= =
2) p (A / B) =
p (B)
1 4
3
1
p (B ∩ A) 4 1
= =
3) p (B / A) =
p (A)
1 2
2
4) p (A ∩ B) = p (B − A) = p (B − (A ∩ B)) = p (B) − p (A ∩ B) =
1 1 1
− =
3 4 12
dove abbiamo utilizzato l’ovvia catena A ∩ B = B − A = B − (A ∩ B)
(verificala con un diagramma di Venn!)
e abbiamo poi effettuato una sottrazione di due probabilità perché, evidentemente,
p (B − (A ∩ B)) =
n(B − (A ∩ B))
n(U)
=
n(B) − n(A ∩ B)
n(U)
=
n(B)
n(U)
−
n(A ∩ B)
n(U)
= p (B) − p (A ∩ B)
D’altronde, parlando, a pagina 292, di “evento contrario”,
avevamo messo in rilievo che, in generale,
ogniqualvolta è X ⊆ Y (e, appunto, A ∩ B ⊆ B ),
si ha sempre p(Y − X) = p(Y) − p(X) .
Attenzione: se ci fossimo limitati a scrivere
p(A ∩ B) = p(B − A),
saremmo rimasti bloccati in un VICOLO CIECO,
in quanto NON avremmo poi potuto continuare scrivendo p (B − A) = p (B) − p (A)
perché, non essendo A sottoinsieme di B, NON vale la relazione n(B − A) = n(B) − n(A) .
1
p (A ∩ B) 12 1
5) p (A / B) =
=
=
1
4
p (B)
3
6) p (A / B) =
p (A ∩ B)
p (B)
=
p (A ∪ B)
p (B)
7
5
1 − p (A ∪ B) 1 − 12 12 5
=
=
=
=
1 − p (B)
1
2 8
1−
3
3
Per capire bene questo Esercizio 3),
o eventualmente per svolgerlo con un procedimento alternativo,
è efficacissima una VISIONE FREQUENTISTA.
Ad esempio, un diagramma di Venn compatibile coi dati
1
1
1
p(A) = , p(B) =
e p(A ∩ B) =
2
3
4
è quello riportato qui a fianco,
dal quale è immediato trarre le risposte
ai precedenti quesiti 1) … 6).
304
Esercizio 4
Da un'urna contenente 7 palline numerate
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
si estraggono, UNA DOPO L’ALTRA E SENZA REIMBUSSOLAMENTO, due palline.
Calcola la probabilità che portino entrambe un numero pari,
a) interpretando la "prova" come un "evento a due fasi" ed applicando il teorema relativo
b) mediante (se conosci il Calcolo Combinatorio) il rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili
Risoluzione
a) Interpretando la prova come un evento a due fasi, avremo:
p(" entrambe pari ") = p("1a estratta pari " E POI "2a estratta pari ") =
= p("1a estratta pari ") ⋅ p ("2a estratta pari " / "1a estratta pari ") =
3 2 1
= ⋅ =
7 6 7
b) I casi possibili sono
7 ⋅ 6 = 42
(osserviamo che quelle parole “una dopo l’altra”
ci invitano senz’altro a pensare a coppie ORDINATE di palline: PRIMA estratta, SECONDA estratta).
I casi favorevoli all’uscita di una coppia di numeri pari sono 3 ⋅ 2 = 6 .
La probabilità cercata è perciò
6 1
=
42 7
… Quale dei due metodi preferisci?
Esercizio 5
Da un'urna contenente 7 palline numerate 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
si estraggono, CONTEMPORANEAMENTE, due palline.
Calcolare la probabilità che portino entrambe un numero pari.
Risoluzione
a)
E’ vero che il quesito dice che le due palline vengono estratte “contemporaneamente”,
ma la probabilità richiesta (che siano cioè entrambe pari) evidentemente non varia
se pensiamo di estrarre prima una pallina e poi un’altra
(in modo da poter parlare di “prima estratta” e di “seconda estratta”).
Se preferisci, potremmo pensare di
estrarle contemporaneamente, ma di guardare prima una pallina, poi l’altra.
In questo modo, avendo noi riconosciuto che le situazioni dei due problemi 4) e 5)
sono probabilisticamente del tutto equivalenti,
è lecito risolvere esattamente come si è fatto per il problema 4).
1
Quindi si ha subito p = .
7
b)
(puoi applicare questo secondo metodo se conosci il Calcolo Combinatorio)
Oppure, volendo, si potrebbe pensare alle coppie NON ORDINATE di palline.
7
Si individua così un insieme universo di ⎛⎜ ⎞⎟ = 21 casi EQUIpossibili.
⎝ 2⎠
⎛ 3⎞
⎜ 2⎟
3⎞
⎝ ⎠= 3 =1
⎛
p
=
E poiché i casi favorevoli sono ⎜ ⎟ = 3 , se ne trae subito
2
⎝ ⎠
⎛ 7 ⎞ 21 7
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
305
Esercizio 6
Da un'urna contenente 7 palline numerate 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 si estraggono,
UNA DOPO L’ALTRA E CON REIMBUSSOLAMENTO, due palline.
Calcolare la probabilità che portino entrambe un numero pari,
a) mediante il rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili
b) interpretando la "prova" come un "evento a due fasi" ed applicando il teorema relativo.
… Sarebbe possibile, in questo caso, ragionare in termini di coppie non ordinate?
Risoluzione
a) Questa volta, per via del reimbussolamento, i casi possibili sono
7 ⋅ 7 = 49 .
E i casi favorevoli all’uscita di una coppia di numeri pari sono
3⋅3 = 9 .
La probabilità cercata è perciò
9 / 49.
b) Interpretando la prova come un evento a due fasi, avremo:
3 3 9
p (entrambe pari ) = p(1a pari E POI 2a pari) = p(1a pari ) ⋅ p (2a pari /1a pari) = ⋅ =
7 7 49
Osserviamo che in questo caso
p (2a pari /1a pari ) = p (2a pari ) = p (1a pari )
perché i due eventi sono indipendenti.
c) Assolutamente no.
A parte il fatto che comunque l’enunciato del problema
invita a pensare ad una successione temporale,
ragionare in termini di coppie non ordinate porterebbe qui
ad un universo di casi NON EQUIPOSSIBILI!!!
Infatti, ad esempio, i due casi
{1, 1}
e
{1, 2} (l'uso delle graffe indica coppie non ordinate)
NON sono affatto equipossibili in quanto il primo si può verificare solo se la prima pallina estratta
porta il numero 1 e la seconda pallina estratta pure (una sola modalità),
mentre il secondo si verifica “con più facilità”, in quanto si può verificare
tanto se la prima pallina porta “1” e la seconda “2”,
quanto se la prima pallina porta “2” e la seconda “1” (due modalità).
Non sei convinto di questo discorso?
Prova ad esempio a pensare di lanciare due volte di seguito una moneta.
I casi
{T, T} (due teste)
{C, C} (due croci)
{T, C} (una testa e una croce)
NON sono equipossibili!
Per persuaderti di questo, mettiti con pazienza a fare una sequenza di 400 doppi lanci
(eventualmente, chiedi la collaborazione di qualche amico/a!):
vedrai che il numero di volte in cui esce “doppia testa” si aggirerà intorno alle 100,
“doppia croce” pure intorno alle 100, “una testa e una croce” intorno alle 200 volte.
Sono invece equipossibili i casi (coppie ordinate):
(T, T) (testa al primo lancio, testa al secondo)
(T, C) (testa al primo lancio, croce al secondo)
(C, T) (croce al primo lancio, testa al secondo)
(C, C) (croce al primo lancio, croce al secondo)
306
Esercizio 7
Da un'urna contenente 19 palline numerate 1, 2, 3, … , 19 si estraggono,
UNA DOPO L’ALTRA E SENZA REIMBUSSOLAMENTO, 4 palline.
Calcolare la probabilità che portino tutte un numero pari.
Risoluzione
a) Interpretando la prova come un evento a più fasi, avremo:
p (tutte e 4 pari ) =
= p (1a pari E POI 2a pari E POI 3a pari E POI 4a pari ) =
= p (1a pari ) ⋅ p (2a pari /1a pari ) ⋅ p (3a pari /"1a pari ∧ 2a pari ") ⋅ p (4a pari /"1a pari ∧ 2a pari ∧ 3a pari ") =
9 8 7 6
21
= ⋅ ⋅ ⋅ =
19 18 17 16 646
b)
(questo secondo metodo richiede semplicissimi elementi di Calcolo Combinatorio)
Per il conteggio del numero di casi favorevoli ed equipossibili, avremo che:
• i casi possibili sono 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16;
• i casi favorevoli all'uscita di una quaterna ordinata di numeri pari sono 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6.
La probabilità cercata è perciò
9 ⋅8⋅ 7 ⋅ 6
21
=
19 ⋅18 ⋅17 ⋅16 646
c)
(puoi applicare questo terzo metodo se conosci il Calcolo Combinatorio)
C’è anche l’alternativa di ragionare in termini di quaterne non ordinate,
pensando di estrarre le quattro palline contemporaneamente.
In effetti il problema, riformulato in questo modo, è probabilisticamente equivalente
a quello in cui si pensa ad estrazioni successive.
Che io estragga 4 palline una dopo l’altra (senza reimbussolamento),
oppure che io prenda “una manciata di 4 palline”, la “facilità” (o piuttosto, diremmo, la difficoltà!)
di trovarmi fra le mani 4 palline tutte pari è sempre la stessa.
19
I casi possibili, se pensiamo alle quaterne non ordinate, sono
.
4
( )
()
I casi favorevoli all'uscita di una quaterna non ordinata di numeri pari sono 9 .
4
()
( )
9
9 ⋅8⋅ 7 ⋅ 6
4
9⋅8⋅7 ⋅ 6
21
4!
=
=
=
.
La probabilità cercata è perciò
19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 646
19
4
4!
Esercizio 8
Lanciando 6 dadi, qual è la probabilità di ottenere su tutti un multiplo di 3?
Risoluzione
Fra i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 ci sono 2 multipli di 3: il 3 e il 6.
Quindi, in un singolo lancio, la probabilità di uscita di un multiplo di 3 è
2 1
= .
6 3
Allora avremo:
p (tutti multipli di 3) = p ( multiplo di 3 al 1° lancio) ⋅ p( multiplo di 3 al 2° lancio) ⋅ ... =
1 1 1 1 1 1 1
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6 ≈ 0, 00137
3 3 3 3 3 3 3
Ovviamente qui ciascun evento è indipendente dai rimanenti.
Anche a questo quesito si sarebbe potuto rispondere senza pensare all’ “evento a più fasi”,
ma applicando invece direttamente la definizione p = n° casi favorevoli / n° casi possibili:
n ° casi favorevoli = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 26 , n ° casi possibili = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 66
307
Esercizio 9
Due urne contengono:
• U1, 3 palline Bianche (B) e 2 Nere (N);
• U2, 3 palline Bianche e 1 Nera.
Si estrae una pallina da U1, e le rimanenti palline di U1 vengono versate in U2,
da cui si estrae poi una seconda pallina.
Che probabilità c'è di ottenere 2 palline di diverso colore?
Risoluzione
Psst … in confidenza … vuoi un consiglio da amico?
SCHEMATIZZA SEMPRE un problema prima di risolverlo!
Dunque:
U1: 5 (3B, 2N)
Ora possiamo cominciare.
U2 : 4 (3B, 1N)
NOTA
p ( diverso colore) =
= p (B e poi N) + p (N e poi B) =
= p (B) ⋅ p (N / B) + p (N) ⋅ p (B / N) = ...
NOTA
Applicando la Regola della somma
… prima di proseguire, osserviamo che ad esempio,
il simbolo p(N/B) ha il significato di
“probabilità che esca N alla seconda estrazione, supposto che sia uscita B alla prima estrazione”:
ma se è uscita Bianca alla prima estrazione,
si va a pescare in un’urna che contiene tutte le palline della U2 iniziale,
più tutte le palline della U1 iniziale tranne quella Bianca che è stata estratta,
quindi 8 palline, di cui 3+2=5 Bianche e 1+2 = 3 Nere,
per cui la probabilità di estrarre una Nera risulta uguale a 3/8 …
… e con considerazioni analoghe si calcolerà p(B/N) …
3 3 2 6 21
= ⋅ + ⋅ =
5 8 5 8 40
Esercizio 10
Un'urna contiene 2 R e 10 N. In un'altra urna ci sono 3 R e 2 N. Si estrae una pallina da ciascuna urna.
Qual è la probabilità che le due palline estratte siano entrambe R ?
Risoluzione
p (" Rossa da U1"∧ " Rossa da U2") = p (" Rossa da U1") ⋅ p (" Rossa da U2") =
2 3 1
⋅ =
12 5 10
Osserviamo che gli eventi sono indipendenti quindi anziché p (" Rossa da U2"/" Rossa da U1")
abbiamo potuto scrivere semplicemente p (" Rossa da U2").
Esercizio 11
Un'urna U1 contiene 2 R e 1 N, in una seconda urna U2 ci sono 1 R e 4 N.
Si sceglie un’urna a occhi bendati, e da quest’urna si estrae una pallina.
Determinare la probabilità di ottenere, in questo modo, una R.
Risoluzione
p (R) = p (U1
e poi
possiamo
usare anche
un "∧" con questo
significato
"esteso"
di "e poi":
p (U1 ∧ R)
R) + p (U2
e poi
R) =
possiamo
usare anche
un "∧" con questo
significato
"esteso"
di "e poi":
p (U2 ∧ R)
= p (U1) ⋅ p (R / U1) + p (U2) ⋅ p (R / U2) =
1 2 1 1 1 1 13
⋅ + ⋅ = +
=
2 3 2 5 3 10 30
308
Esercizio 12
Ci sono 20 biglietti in una minuscola lotteria che una compagnia di bambini
ha organizzato per gioco, e a 7 di essi sono abbinati altrettanti piccoli premi.
Pierino compra 4 biglietti. Che probabilità c’è che siano tutti vincenti?
Risoluzione
p (tutti e 4 vincenti ) = p (1° vincente) ⋅ p (2° vincente /1° vincente) ⋅ ... =
7 6 5 4
7
⋅ ⋅ ⋅ =
20 19 18 17 969
(Prosegui la lettura se hai studiato il Calcolo Combinatorio)
Si potrebbe anche ragionare tramite il rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili, e addirittura in DUE MODI.
♪
Dal punto di vista dell’estrazione dei 7 biglietti vincenti (supponendo che questa abbia luogo
successivamente all’acquisto dei biglietti), i casi possibili sono 20
7
e i casi favorevoli sono tanti quanti i gruppi di 7 biglietti ottenibili prendendo i 4 biglietti che Pierino possiede,
e accostando loro 3 qualsiasi fra i 16 biglietti rimanenti: ora, tali gruppi sono in numero di 16 , da cui
3
( )
16
7!
16 ⋅15 ⋅14
(
3)
7⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
7
3!
3!
=
=
p=
=
=
⋅
⋅
⋅
20
19
18
17
969
20 ⋅19 ⋅ 18 ⋅17
(207) 20 ⋅19 ⋅18 ⋅177!⋅ 16 ⋅15 ⋅14
( )
3
♫ Dal punto di vista di Pierino che acquista i biglietti (supponiamo che i vincenti siano già stati estratti,
e l’esito dell’estrazione tenuto segreto: nulla cambia, per quanto riguarda le probabilità di vincere!)
( )
i casi equipossibili sono tanti, quante le possibilità, fra i 20 biglietti esistenti, di sceglierne 4, quindi 20
4
()
mentre i casi favorevoli saranno le quaterne di biglietti costruibili utilizzando i soli 7 biglietti vincenti, ossia 7 .
4
Ragionando in questo modo, si ha
7 ⋅6⋅5⋅ 4
7
(
4)
7⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
7
4!
=
=
=
p=
(204) 20 ⋅194!⋅18 ⋅17 20 ⋅19 ⋅ 18 ⋅17 969
3
Possiamo anche domandarci se sia possibile, volendo, utilizzare la probabilità dell’ “evento a più fasi”
ma da una prospettiva diversa, ossia: “Pierino ha già comprato i suoi 4 biglietti, ora vengono estratti i 7 biglietti
vincenti, valutiamo la probabilità che tutti e 4 i biglietti in possesso di Pierino compaiano fra i 7 estratti”.
La risposta è affermativa, ma c’è una complicazione per quanto riguarda il conteggio dei casi favorevoli:
quando vengono estratti i 7 biglietti, fra i quali supponiamo ci siano tutti e 4 quelli in mano a Pierino,
ci sono parecchie possibilità affinché la circostanza fortunata si verifichi, in quanto i biglietti di Pierino potrebbero
essere estratti alle posizioni numero 1, 2, 3 e 4 ma anche alle posizioni 2, 4, 5 e 7, oppure 1, 3, 4 e 6, ecc. ecc.
Incominciamo con l’osservare che, come è evidente, la probabilità che i 4 biglietti di Pierino escano tutti,
quando vengono estratti i 7, sarà uguale alla probabilità che questi 4 biglietti escano alle prime 4 estrazioni,
moltiplicata per il numero dei modi in cui è possibile, in una sequenza di 7 estrazioni, sceglierne 4. Riflettiamo:
non c’è ragione alcuna affinché la probabilità che, ad esempio, nelle 7 estrazioni, i biglietti di Pierino escano alle
posizioni 1, 2, 3 e 4 sia diversa dalla probabilità che escano in altre 4 posizioni fissate, che so, la 2, da 3, la 5 e la 7 …
⎛7⎞ 7⋅6⋅5
Ma in quanti modi, su 7 posizioni di estrazione, ne possiamo scegliere 3? In ⎜ ⎟ =
= 35 modi. Allora avremo
3!
⎝ 3⎠
7
⎛7⎞ 4 3 2 1 7⋅6⋅5 4 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
p = ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
3! 20 19 18 17 969
⎝ 3 ⎠ 20 19 18 17
Esercizio 13
Al banco di beneficenza restano ancora invenduti 10 biglietti, di cui so che 4 sono vincenti
(sono rimasti infatti 4 premi: un quaderno, uno strofinaccio, un Mon Cheri e un kit per bolle di sapone).
Se acquisto proprio 4 biglietti, che probabilità c’è che siano vincenti:
a) tutti e 4; b) esattamente 3; c) esattamente 2; d) esattamente 1; e) nessuno
309
Risoluzione
4 3 2 1
1
⋅ ⋅ ⋅ =
10 9 8 7 210
a)
p (tutti e 4 vincenti ) = p (1° vincente) ⋅ p (2° vincente /1° vincente) ⋅ ... =
b)
p (3 vincenti ) =
= p (1° vincente ∧ 2° vincente ∧ 3° vincente ∧ 4° perdente) +
+ p (1° vincente ∧ 2° vincente ∧ 3° perdente ∧ 4° vincente) +
+ p (1° vincente ∧ 2° perdente ∧ 3° vincente ∧ 4° vincente) +
+ p (1° perdente ∧ 2° vincente ∧ 3° vincente ∧ 4° vincente) =
4 3 2 6 4 3 6 2 4 6 3 2 6 4 3 2
4⋅3⋅ 2⋅6
4
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 4⋅
=
10 9 8 7 10 9 8 7 10 9 8 7 10 9 8 7
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 35
Si sarebbe comunque dovuto intuire che le quattro probabilità sommate DOVEVANO essere uguali.
Io acquisto 4 biglietti, e la probabilità che ce ne sia uno e uno solo perdente non dipende,
evidentemente, dall’ordine in cui io li ricevo materialmente, o li apro. Quindi, ad esempio,
la probabilità che sia perdente solo il primo biglietto aperto (e tutti gli altri vincenti)
DEVE coincidere con la probabilità che sia perdente solo il secondo biglietto aperto, ecc. ecc.
(Prosegui la lettura se hai studiato il Calcolo Combinatorio)
… Ma … un attimo … ! Non era meglio ragionare in termini di casi equipossibili e casi favorevoli?
Se si conosce il Calcolo Combinatorio, la risposta è senz’altro affermativa!!!
( )
Dunque: i casi possibili sono tante quante le quaterne non ordinate di biglietti che posso comprare, ossia 10 .
4
E i casi favorevoli ad avere 3 biglietti vincenti sono tanti quante sono
le possibilità di scegliere 3 biglietti tra i 4 vincenti: 4 = 4 possibilità
3
per poi abbinarli con 1 fra i biglietti perdenti (6 possibilità). Abbiamo perciò 4 ⋅ 6 = 24 casi favorevoli.
n° casi favorevoli
4
trovato per altra via.
e verifica che coincide con il valore
Calcola ora il rapporto
n° casi possibili
35
()
Prova ora tu a dare risposta ai quesiti c), d), e): dovrai ottenere c) 3/7 d) 8/21 e) 1/14
Esercizio 14
In una famiglia con quattro figli, che probabilità sussiste che i maschi siano esattamente due?
(Supponiamo, per semplicità, che le probabilità di nascere maschio o femmina siano entrambe uguali
a 1/2. Nella realtà si ha una leggera prevalenza delle nascite maschili rispetto a quelle femminili)
Risoluzione
p = p (MMFF) + p (MFMF) + p (MFFM) + p (FMMF) + p (FMFM) + p (FFMM) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 6⋅ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
16 8
(Prosegui la lettura se hai studiato il Calcolo Combinatorio)
Si poteva anche risolvere semplicemente tramite il rapporto casi favorevoli/casi possibili:
i casi equipossibili sono tanti quante le quaterne ordinate costruibili utilizzando i due simboli M, F
e quindi sono 24 = 16 (volendo, sono tanti quante le disposizioni con ripetizione di 2 oggetti, di classe 4).
Osserviamo per inciso che pensare alle quaterne ORDINATE è indispensabile:
se non si tenesse conto dell’ordine, e si scrivesse che i casi possibili sono:
0 maschi; esattamente 1 maschio; esattamente 2 maschi; esattamente 3 maschi; 4 maschi
si perverrebbe ad un insieme di casi NON equipossibili !!!
(confronta con quanto si è detto in fondo a pagina 305 riguardo al doppio lancio di una moneta)
I casi favorevoli sono tanti quante le quaterne ordinate costruibili utilizzando
i due simboli M, F col vincolo di utilizzare per esattamente 2 volte il simbolo M.
Per contarli, possiamo pensare di avere a disposizione una sequenza ordinata di 4 caselle,
Prima casella
Seconda casella
Terza casella
Quarta casella
e di dover scegliere quelle due in cui scrivere M (nelle rimanenti scriveremo F).
6 3
Ma questa scelta la possiamo effettuare in 4 = 6 modi. 6 casi favorevoli, dunque, e in definitiva p =
= .
2
16 8
()
310
Esercizio 15
Di 6 persone, si sa che sono nate tutte a Giugno.
Che probabilità c’è che almeno due di esse festeggino il compleanno lo stesso giorno?
Risoluzione
Sarà
p (" almeno 2 sono nate lo stesso giorno ") = 1 − p (" nessuna è nata lo stesso giorno di un ' altra ")
Indicate con A, B, C, D, E, F le 6 persone, affinché si verifichi l’evento
“nessuna è nata lo stesso giorno di un’altra”,
qualunque sia il giorno in cui è nata A,
B non dovrà essere nata in quel giorno,
C non dovrà essere nata né nello stesso giorno di A, né in quello di B,
ecc.
Insomma:
29 28 27 26 25
p (" nessuna è nata lo stesso giorno di un ' altra ") = 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
30 30 30 30 30
e dunque
29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25
p (" almeno 2 sono nate lo stesso giorno ") = 1 −
≈ 0, 414
305
La probabilità cercata è già abbastanza vicina a 1/2… dì la verità, te lo aspettavi?
Esercizio 16
Per 3 diversi test di ingresso universitari, le statistiche dicono che le probabilità di promozione
sono rispettivamente: 0,4 ; 0,7 ; 0,8.
Se si va a pescare uno studente a caso per ciascuno dei 3 test, valuta qual è:
a) la probabilità che tutti e tre abbiano superato la prova;
b) la probabilità che almeno uno l’abbia superata;
c) la probabilità che uno e uno solo l’abbia superata.
Risoluzione
Simbologia: A = il primo studente ha passato il test, ecc.
a)
p (A ∧ B ∧ C) = p (A) ⋅ p (B) ⋅ p (C) = 0, 224 (gli eventi sono indipendenti).
b)
p (" almeno uno promosso ") = 1 − p (" nessun promosso ") =
= 1 − p A ∧ B ∧ C = 1 − 0, 6 ⋅ 0, 3 ⋅ 0, 2 = 1 − 0, 036 = 0, 964
c)
p(" uno e un solo promosso ") = p (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) =
= 0, 4 ⋅ 0,3 ⋅ 0, 2 + 0, 6 ⋅ 0, 7 ⋅ 0, 2 + 0,6 ⋅ 0,3 ⋅ 0,8 = 0, 252
(
)
(
Simbologia:
A = A non ha superato il test, ecc.
)
Esercizio 17
In uno scatolone ci sono 10 dispositivi elettronici,
dei quali 2 sono della marca M1, 3 della marca M2 e 5 della marca M3.
Tuttavia non è possibile, per nessun dispositivo, riconoscere di che marca sia.
Statisticamente, i dispositivi M1 sono “buoni” nell’ 80% dei casi (quindi con probabilità 0,8),
gli M2 nel 75% dei casi e gli M3 nel 50% dei casi.
Mi chiedo qual è la probabilità che, prendendo un dispositivo a caso, esso risulti funzionante.
Risoluzione
Prima schematizzo!!!
M1 M2 M3
2
3
5
80% 75% 50%
10 in totale
probabilità di funzionamento
311
p (OK) = p ((M1 ∧ OK) ∨ (M2 ∧ OK) ∨ (M3 ∧ OK)) =
= p (M1 ∧ OK) + p (M2 ∧ OK) + p (M3 ∧ OK) =
= p (M1) ⋅ p (OK / M1) + p (M2) ⋅ p (OK / M2) + p (M3) ⋅ p (OK / M3) =
2
3
5
= ⋅ 0,8 + ⋅ 0, 75 + ⋅ 0, 5 = 0, 635
10
10
10
L’ideale, in questo caso, è una rappresentazione “ad albero”:
La mia prova aleatoria
(pescaggio di un dispositivo)
non si articola in due fasi dal punto di vista TEMPORALE,
ma dal punto di vista LOGICO, sì
(o, perlomeno, come tale la posso “vedere”):
I. mi chiedo con che probabilità il dispositivo pescato
proviene da M1, da M2, da M3;
II. posto che provenga da Mk,
mi chiedo con che probabilità sarà buono o difettoso.
Esercizio 18
Paolo prende la sufficienza con probabilità 1/2, Monica con probabilità 1/3.
Se almeno uno ha preso la sufficienza, che probabilità c'è che Paolo l’abbia presa?
a) Risoluzione tramite la formula p(A / B) =
p(A ∧ B)
p(B)
E' richiesta p (P /(P ∨ M)) .
Utilizzando la formula p (A / B) =
Ma
p (P ∧ (P ∨ M)) = p (P) =
p (A ∧ B)
p (P ∧ (P ∨ M))
si ha p (P /(P ∨ M)) =
.
p (B)
p (P ∨ M)
1
,
2
mentre
p (P ∨ M) = p (P) + p (M) − p (P ∧ M) =
da cui:
p ( P / (P ∨ M) ) =
1 1 1 1 1 1 1 2
+ − ⋅ = + − = ,
2 3 2 3 2 3 6 3
1/ 2 3
=
2/3 4
b) Risoluzione con visione frequentista
(per schematizzare, niente di meglio di un diagramma di Venn!)
Su 600 verifiche,
Paolo avrà preso la sufficienza circa 300 volte, Monica circa 200 volte;
l’avranno presa entrambi nella stessa verifica circa 100 volte,
1 1 1
1
perché p (P ∧ M) = p (P) ⋅ p(M) = ⋅ =
e ⋅ 600 = 100
6
2 3 6
(d’altronde, poiché Paolo prende la sufficienza
mediamente una volta su 2,
se si vanno a considerare
esclusivamente quelle circa 200 prove nelle quali ha preso la sufficienza Monica,
all’incirca per 100 volte l’avrà presa anche Paolo).
Quindi le volte in cui almeno uno avrà preso la sufficienza saranno circa
300+200 –100 = 400
oppure, indifferentemente,
200+100+100 = 400.
Su queste 400 volte, sono all’incirca 300 le volte in cui Paolo risulta sufficiente.
Di qui la risposta p =
300 3
= .
400 4
312
11 - IL “PROBLEMA
DELLE PROVE RIPETUTE”
☼ E’ richiesto di conoscere il
CALCOLO COMBINATORIO!
a) Lanciando un dado 5 volte di seguito,
che probabilità c’è che esca PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia “1”?
b) Generalizzazione: il “PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE”.
CONSIDERIAMO UN EVENTO ELEMENTARE
(nell’esempio: l’uscita della faccia “1” dal lancio di un dado)
CHE ABBIA UNA DATA PROBABILITÀ p DI VERIFICARSI IN UNA SINGOLA PROVA
(nel nostro caso, è p = 1/6).
Ci chiediamo:
SE SI EFFETTUANO n PROVE, CHE PROBABILITÀ C’È CHE QUELL’EVENTO
SI VERIFICHI PER ESATTAMENTE k VOLTE
(0 ≤ k ≤ n) ?
RISOLUZIONE di a)
L’evento
“lanciando 5 volte un dado, esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1”
può verificarsi in parecchie modalità diverse:
•
•
•
•
ad esempio, si verifica qualora “1” esca ai primi 3 lanci, e poi non esca più ai successivi 2 lanci;
oppure, si verifica qualora “1” esca esclusivamente agli ultimi 3 lanci (ma non esca ai primi 2);
oppure ancora, si verifica qualora “1” esca al secondo, al terzo e al quinto lancio, ma non agli altri lanci;
ecc. ecc.
Fissiamo la nostra attenzione su UNA di queste modalità.
Ad esempio, cominciamo col chiederci:
•
lanciando un dado 5 volte di seguito,
che probabilità c’è che la faccia “1” esca ai primi 3 lanci, e poi non esca più?
Facile rispondere: pensando all’ “evento a più fasi” e tenendo conto del fatto che l’esito di un lancio
non è condizionato in alcun modo dall’esito del lancio precedente, abbiamo:
p(1 1 1 1 1) =
= p(1 al 1° lancio) ⋅ p(1 al 2° lancio) ⋅ p(1 al 3° lancio) ⋅ p( NON 1 al 4° lancio) ⋅ p( NON 1 al 5° lancio) =
3
1 1 1 5 5 ⎛1⎞ ⎛5⎞
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
6 6 6 6 6 ⎝6⎠ ⎝6⎠
2
Consideriamo ora UN’ALTRA fra le possibili modalità.
Ad esempio,
• lanciando un dado 5 volte di seguito,
che probabilità c’è che la faccia “1” esca esclusivamente agli ultimi 3 lanci (ma non esca ai primi 2)?
Avremo
p(1 1 1 1 1) =
= p( NON 1 al 1° lancio) ⋅ p( NON 1 al 2° lancio) ⋅ p(1 al 3° lancio) ⋅ p(1 al 4° lancio) ⋅ p(1 al 5° lancio) =
3
5 5 1 1 1 ⎛1⎞ ⎛5⎞
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
6 6 6 6 6 ⎝6⎠ ⎝6⎠
2
E pensiamo ancora ad UN’ALTRA modalità.
• Lanciando un dado 5 volte di seguito,
che probabilità c’è che “1” esca al secondo, al terzo e al quinto lancio, ma non agli altri lanci?
p (1 1 1 1 1 )=
= p ( NON 1 al 1° lancio) ⋅ p (1 al 2° lancio ) ⋅ p (1 al 3° lancio) ⋅ p ( NON 1 al 4° lancio) ⋅ p (1 al 5° lancio ) =
3
5 1 1 5 1 ⎛1⎞ ⎛5⎞
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
6 6 6 6 6 ⎝6⎠ ⎝6⎠
2
313
Abbiamo perfettamente capito, a questo punto, che CIASCUNA delle tante modalità con cui l’evento
“su 5 lanci, esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1” si può verificare,
ha probabilità data dal prodotto
3
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝6⎠
⎛5⎞
⋅⎜ ⎟
⎝6⎠
2
Ora, in virtù del teorema sulle probabilità totali per eventi incompatibili, abbiamo:
p(su 5 lanci , esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1 )=
= p ( ("1" esce le prime 3 volte) ∨ ("1" esce le ultime 3 volte) ∨ ("1" esce la seconda, la terza e la quinta volta) ∨ ...) =
= p ("1" esce le prime 3 volte) + p ("1" esce le ultime 3 volte) + p ("1" esce la seconda, la terza e la quinta volta ) + ... =
⎛1⎞
= ⎜ ⎟
⎝6⎠
3
⎛5⎞
⋅⎜ ⎟
⎝6⎠
2
⎛1⎞
+ ⎜ ⎟
⎝6⎠
3
⎛5⎞
⋅⎜ ⎟
⎝6⎠
2
⎛1⎞
+ ⎜ ⎟
⎝6⎠
3
⎛5⎞
⋅⎜ ⎟
⎝6⎠
2
+ ...
⎛1⎞
Per calcolare la probabilità cercata, dobbiamo dunque sommare tanti addendi, ciascuno uguale a ⎜ ⎟
⎝6⎠
3
2
⎛5⎞
⋅⎜ ⎟ .
⎝6⎠
La questione è: QUANTI SONO questi addendi?
Beh … sono TANTI QUANTE LE MODALITA’ CON CUI L’EVENTO
“esce per esattamente 3 volte la faccia 1”
SI PUO’ PRESENTARE.
E l’evento “esce per esattamente 3 volte la faccia 1” si può presentare in tante modalità,
quanti sono i modi in cui, sui 5 lanci, possiamo fissare quei 3 nei quali immaginiamo esca “1”.
Ora, è ben noto che fra 5 oggetti (nel nostro caso: i 5 lanci) noi ne possiamo selezionare 3
⎛ 5⎞
(nel nostro caso: quei 3 lanci nei quali immaginiamo esca "1") in ⎜ ⎟ modi.
⎝ 3⎠
⎛n⎞
Ricordiamo infatti che il coefficiente binomiale ⎜ ⎟
⎝k ⎠
è quel numero che risponde alla domanda: “ dati n oggetti, in quanti modi se ne possono scegliere k? ”
Dunque avremo:
p( su 5 lanci, esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1) =
3
2
3
2
3
2
3
2
⎛5⎞ 1
1
1
5
1
5
5
5
= ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ + ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ + ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ + ....... = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞
6⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠
6
6
⎝
⎝3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 5⎞
⎜⎜ ⎟⎟ addendi
⎝ 3⎠
GENERALIZZAZIONE
Generalizzando, possiamo enunciare e risolvere, in astratto, il
“PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE”
Consideriamo un evento elementare
(nell’esempio precedente: l’uscita della faccia “1” dal lancio di un dado)
che abbia una data probabilità p di verificarsi IN UNA SINGOLA PROVA
(nel nostro esempio del dado, sarebbe p = 1/6).
Ci chiediamo:
SE SI EFFETTUANO n PROVE, CHE PROBABILITÀ C’È
CHE QUELL’EVENTO SI VERIFICHI PER ESATTAMENTE k VOLTE ( 0 ≤ k ≤ n ) ?
RISPOSTA:
la probabilità cercata è data da
⎛ n ⎞ k n− k
⎜k⎟ p q
⎝ ⎠
avendo posto, per comodità,
q = 1− p .
314
Se andiamo adesso a rivisitare l’esercizio 14) di pagina 309,
scopriremo che può anche essere risolto, volendo, con l’appena stabilita “formula delle prove ripetute” …
In una famiglia con quattro figli, che probabilità sussiste che i maschi siano esattamente due?
1
In una singola “prova”, abbiamo:
p ( maschio) =
2
2
4 1
1
per cui, effettuando 4 “prove”, sarà: p(esattamente 2 maschi) = ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛1 − ⎟⎞
2
2
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠
4−2
2
2
1
4⋅3 1 1 3
⎛ 4⎞ 1
= ⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ =
⋅ ⋅ =
2
2
2
2! 4 4 8
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
SCHEDA RIASSUNTIVA sul “PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE”
Supponiamo di effettuare n prove,
in ciascuna delle quali potrà presentarsi oppure non presentarsi un dato evento E.
Indichiamo con p la probabilità che E si presenti in una singola prova; porremo poi
q = 1− p ,
e di conseguenza q indicherà la probabilità dell’evento contrario E in una singola prova.
Bene! Dato ora un intero k, con 0 ≤ k ≤ n , vogliamo determinare la probabilità pk
che l’evento E si verifichi esattamente k volte nel corso nelle n prove.
Risoluzione
L’evento E si presenta esattamente k volte nel corso delle n prove
se e solo se, in quelle n prove, E si presenta k volte e il suo evento contrario E si presenta n−k volte.
Il “presentarsi dell’evento E esattamente k volte nelle n prove” può avvenire secondo parecchie modalità.
Ad esempio, l’evento:
“lanciando 5 volte una moneta, esce Testa esattamente 3 volte”
si può presentare secondo le modalità:
TTTCC TTCCT TCCTT CCTTT CTCTT TCTCT TTCTC CTTCT TCTTC CTTTC.
Consideriamo una sola di queste modalità: per fissare le idee, potremmo pensare alla modalità
“E si presenta le prime k volte, E le ultime n − k volte”.
La probabilità di questa modalità fissata è evidentemente p k q n−k
(teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti).
Ma noi non dobbiamo considerare una sola, bensì tutte le modalità con le quali E si può presentare
per esattamente k volte sulle n prove; e tali modalità sono tante quante le possibilità di scegliere,
dall’insieme delle n prove, quelle k nelle quali supponiamo che si verifichi E.
n
Tali modalità sono in numero di
e di conseguenza avremo
k
()
⎛ n⎞
pk = ⎜ ⎟ p k q n− k
⎝k⎠
Es. 1: lanciando un dado per 10 volte, che probabilità c’è che esca il “6” esattamente per 3 volte?
3
7
10 1
5
Risposta: p3 = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟
3
6
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠
Es. 2: lanciando una moneta per 10 volte, che probabilità c’è che esca “Testa” esattamente per 5 volte?
5
5
10 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛
Risposta: p5 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
ESERCIZI
1) C’è un’urna con 5 palline, 2 rosse e 3 nere. Si estrae una pallina, se ne guarda il colore, la si reimbussola.
Si fa questo per 5 volte. Che probabilità c’è che, così facendo, si peschi 2 volte una rossa e 3 volte una nera?
2) Se si prende 1 persona a caso, la probabilità che sia nata il giorno di domenica è 1/7.
Se invece si prendono 3 persone a caso, la probabilità che 1 e 1 sola di esse sia nata di domenica qual è?
3) Lanciando un dado per 6 volte, con che probabilità uscirà per esattamente 3 volte un multiplo di 3?
RISPOSTE
2
3
1
2
3
3
3
6
1 36 108
2
⎛ 3⎞ 1
⎛5⎞ 2
⎛6⎞ 1
1) ⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ = 34,56% 2) ⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ = 3 ⋅ ⋅
=
≈ 31,5% 3) ⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 22%
1
2
3
7
7
7
49
343
5
5
3
3⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
315
12 - SIMULAZIONE DI EVENTI ALEATORI IN LINGUAGGIO PASCAL
In PASCAL la funzione RANDOM(n) , essendo n di tipo intero,
restituisce un intero pseudocasuale che potrà valere: 0, 1, 2, ... , n − 1 . Quindi, ad esempio,
esito:=random(2) si presta a simulare il lancio di una moneta
(0 potrà essere interpretato come “Testa” e 1 come “Croce”, o viceversa);
x:=random(6)+1 assegnerà alla variabile x uno dei valori: 1, 2, 3, 4, 5 o 6
simulando così il lancio di un dado.
Invece la funzione RANDOM, usata senza alcun argomento (senza, quindi, la coppia di parentesi successiva),
restituisce un numero pseudocasuale di tipo reale, compreso fra 0 (incluso) e 1 (escluso). Ad esempio
x:=random assegna alla variabile x, che deve essere stata dichiarata di tipo reale,
un valore pseudocasuale “con la virgola” (=punto decimale) compreso fra 0 e 1: 0 ≤ x < 1 .
E’ importante ricordarsi che quando in un programma Pascal si utilizza una RANDOM,
occorre premettere, all’inizio del programma, l’istruzione RANDOMIZE;
essa ordina al computer di “rendere casuale il seme del generatore di numeri pseudocasuali”.
E’ un po’ come scuotere preventivamente l’urna da cui si estrarranno le palline; se non lo si fa,
la pallina estratta, quando viene posata, resterà sempre in superficie e continuerà ad essere ripescata.
Esempio
Lancio una moneta; se esce Testa, mi viene consegnata un'urna U1 in cui ci sono una pallina Nera (N)
e una Rossa (R): da quest'urna estraggo una pallina; se invece esce Croce, mi viene consegnata una diversa
urna U2 in cui vi sono 3 palline Verdi (V1, V2, V3) e 1 Gialla (G); da quest'urna estraggo una pallina.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina Gialla? E una Rossa? (Questo quesito si trova a pagina 248)
Scrivi un programma Pascal che utilizzi la funzione RANDOM (n) in modo tale da simulare
la prova aleatoria considerata nel problema, ripeterla un gran numero di volte e calcolare i rapporti
n° di volte in cui è uscita G / n° di prove effettuate; n° di volte in cui è uscita R / n° di prove effettuate.
program probab; uses crt;
var r, g, i, k, u, p: integer;
begin
clrscr;
randomize;
writeln ('Quante prove vuoi effettuare?'); readln (k);
r:=0; g:=0;
for i:=1 to k do
begin
u:=random(2)+1;
if u=1 then begin p:=random(2); if p=0 then r:=r+1; end;
if u=2 then begin p:=random(4); if p=0 then g:=g+1; end;
end;
writeln ('Probabilità a posteriori uscita di una Rossa ', r/k:5:7);
writeln ('Probabilità a posteriori uscita di una Gialla ', g/k:5:7);
readln;
end.
ESERCIZI
1) Scrivi un programma Pascal che simuli il lancio di una coppia di dadi, per un numero di volte fornito
in input dall’utente. Il programma dovrà calcolare ogni volta la somma dei due punteggi ottenuti nel
“doppio lancio”, e alla fine la frequenza relativa di ciascuna delle somme (2, 3, …, 12) così ottenute.
Lancia il programma ripetutamente, e confronta le frequenze relative con le rispettive “probabilità a priori”.
2) Nascono 4 figli, in una famiglia. Che probabilità c’è che si tratti di 2 maschi e 2 femmine? (n° 14, pag. 309).
Saresti capace di scrivere un programma Pascal che simuli un numero elevato di “quadruple nascite”,
per calcolare la frequenza relativa dell’evento “2 maschi e 2 femmine”?
3) La probabilità che un tiratore A colpisca il bersaglio è 1/2, la probabilità che lo colpisca B è 1/5. Se A e B
sparano contemporaneamente contro il bersaglio, che probabilità c’è che questo venga colpito? (n°1, p. 301)
Scrivi un programma Pascal adeguato a valutare la probabilità richiesta.
4) Aldo e Bruno si sfidano a scopa, stabilendo che il vincitore sarà chi totalizzerà per primo 3 partite.
Posto che in una singola partita abbiano la stessa probabilità (1/2, dunque) di vittoria, se dopo 3 partite
ha vinto 2 volte Aldo e 1 volta Bruno, che probabilità rimangono a Bruno di essere il vincitore della sfida?
Scrivi un programma Pascal che risponda a questo interrogativo, simulando un numero elevato
(scelto dall’utente) di sfide di questo tipo.
13 - ESERCIZI VARI
316
☼ Può essere utile, o necessario, il CALCOLO COMBINATORIO!
1) Lanciando un dado e simultaneamente una moneta,
che probabilità c’è di ottenere 1 col dado e Testa con la moneta?
2) Se si lanciano 3 dadi, qual è la probabilità che non compaia mai la faccia “6”?
3) Se si lanciano n dadi, qual è la probabilità che compaia almeno una volta un multiplo di 3?
4) Si lanciano simultaneamente 2 monete e 2 dadi. Determinare la probabilità che gli esiti siano tutti differenti.
5) Se un medico specialista riceve dal Lunedì al Venerdì, su prenotazione, 8 pazienti al giorno,
prendendo nella lista dei 40 pazienti di questa settimana i primi 3 in ordine alfabetico,
che probabilità c’è che gli appuntamenti per queste persone siano tutti in giorni diversi?
6) Un insegnante anticonformista sistema la classe in circolo intorno alla cattedra,
sorteggiando i posti a sedere. Se il timido Alessandro spera nel suo intimo di avere in sorte
un posto a fianco di Martina, e la classe è di 20 alunni, che probabilità c’è che realizzi il suo sogno?
7) 5 compagni di scuola si divertono a ricostruire il giorno della settimana in cui sono nati.
a) Che probabilità c’è che siano nati tutti nel fine settimana (ossia, di Sabato o di Domenica)?
b) Che probabilità c’è che siano nati in 5 giorni della settimana tutti diversi fra loro?
c) Che probabilità c’è che esattamente 2 di loro siano nati di Domenica?
d) Che probabilità c’è che almeno 2 di loro siano nati di Domenica?
e) Che probabilità c’è che almeno 2 di loro siano nati nello stesso giorno della settimana?
f) Che probabilità c’è che 3 siano nati di Martedì e 2 di Venerdì?
8) Un banco di beneficenza ha ancora 10 biglietti invenduti, di cui 3 sono vincenti.
Determina la probabilità che, comprando 3 biglietti, almeno uno di questi sia vincente.
9) Da rilevazioni statistiche, si trae che in una determinata nazione la probabilità che una famiglia
possegga un computer “da tavolo” è del 50%, la probabilità che possegga un portatile è del 20%,
mentre è del 10% la probabilità che disponga di entrambi.
Determinare la probabilità, per una famiglia, in quella nazione, di
a) possedere un computer di almeno un tipo
b) non possedere alcun computer.
c) I due eventi “possedere un computer fisso” e “possedere un portatile”
sono stocasticamente indipendenti?
10) Una piccola lotteria di paese ha emesso 100 biglietti, di cui 5 vincenti.
Stabilisci che probabilità ha una persona di possedere almeno un biglietto vincente, se ne ha acquistati
a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 e) 20 f) 95 g) 96
11) Calcolare la probabilità che, lanciando una coppia di dadi (per meglio fissare le idee,
potresti pensarli di colori diversi: ad esempio, uno rosso e uno blu), si ottenga:
a) 3 su entrambi
b) 3 sul dado blu e non su quello rosso
c) 3 sul dado blu
d) uno e un solo “3”
e) nessun “3”
f) almeno un “3”
12) In una partita di 50 ventilatori, 4 sono difettosi.
Se una persona ne acquista 2, determina la probabilità che siano entrambi ben funzionanti.
13) Se fra i 20 soldati della compagnia in cui militano Aldo e Bruno ne vengono estratti 5
per il turno di guardia, che probabilità c’è che
a) Aldo e Bruno vengano estratti entrambi?
b) non venga estratto né Aldo né Bruno?
c) venga estratto uno e uno solo dei due?
d) venga estratto almeno uno dei due?
14) Se per una verifica orale vengono estratti 4 nomi in una classe con 10 maschi e 10 femmine,
determina la probabilità che siano
a) tanti maschi quante femmine b) più maschi che femmine c) più femmine che maschi
15) Lanciando 2 dadi, a quanto ammonta la probabilità di ottenere due numeri uno divisibile per l’altro?
317
16) Un cretino ha iniettato del purgante in 2 fra le 7 confezioni di latte,
che il negoziante ha poi disposto sullo scaffale per la vendita.
Se una signora ne acquista 3 confezioni, determinare la probabilità di portar via
a) almeno una confezione alterata
b) entrambe le confezioni alterate
17) Un paese di pianura non ha, in novembre, un clima particolarmente fortunato.
Una statistica effettuata dagli abitanti mostra che ogni giorno
piove, in ore serali, con probabilità del 50%
e c’è nebbia al mattino con probabilità del 40%
Inoltre si è visto che mediamente, 3 giorni su 10 si ha tanto la nebbia mattutina quanto la pioggia serale.
a) Supposto che ci sia nebbia al mattino, che probabilità c’è che poi piova alla sera?
p(A ∧ B)
per la quale ti invito a rileggere
)
(indicazione: applica la formula p(A / B) =
p(B) l'osservazione nel 1° riquadro a pag. 300
b) Se piove alla sera, che probabilità c’è che ci sia stata nebbia al mattino?
Qual è la probabilità che in un dato giorno almeno uno dei due fenomeni sia
c) presente? d) assente?
e) I due eventi “pioggia di sera”, “nebbia al mattino” sono stocasticamente indipendenti?
18) Supponiamo di giocare al Totocalcio nella versione “classica” a 13 partite.
Supponiamo anche di decidere “a caso” che pronostico assegnare a ogni singola partita,
senza valutare quindi la “forza” delle squadre in campo.
Giocando una singola colonna, determina quale sarà la probabilità di realizzare
a) 13
b) 0
c) 12
d) 10
e) esattamente k punti su 13 (0 ≤ k ≤ 13) .
19) Supponiamo di aver giocato al Totocalcio (quello “classico”, con 13 partite).
Se veniamo a sapere che la colonna vincente ha 4 “1”, 4 “2” e 5 “X”,
e ci ricordiamo di aver giocato una colonna compilata a caso,
ma nella quale avevamo messo proprio 4 “1”, 4 “2” e 5 “X”,
che probabilità abbiamo di aver fatto “13” con quella giocata?
20) Un’urna A contiene 6 palline Rosse e 3 palline Nere, un’altra urna B ne contiene 3 Rosse e 6 Nere.
Si estrae una pallina da A e la si mette in B; a questo punto si estrae una pallina anche da B.
Determinare la probabilità che le due palline siano:
a) entrambe Rosse
b) entrambe Nere
c) di colore diverso
d) almeno una Rossa
21) Un’urna A contiene 6 palline Rosse e 3 palline Nere, un’altra urna B ne contiene 3 Rosse e 6 Nere.
Si estrae una pallina da A e la si mette in B; a questo punto si estrae una pallina anche da B
e la si rimette in A. Infine, si estrae una pallina da A.
Determinare la probabilità che questa sia
a) Rossa b) Nera
22) Si può comunicare con un certo ente pubblico per mezzo di 3 linee telefoniche a scelta.
Tuttavia, le statistiche dicono che per il primo tentativo di telefonata
il 1° numero viene scelto dal 50% degli utenti, il secondo dal 30% e il terzo dal 20% soltanto.
Prese 3 persone a caso fra quelle che hanno tentato di mettersi in contatto questa mattina
con l’ente pubblico, che probabilità c’è che abbiano scelto, per il primo tentativo,
a) tutte lo stesso numero?
b) numeri tutti diversi?
c) numeri non tutti uguali?
23) Un tale gioca sempre lo stesso numero al lotto, per 10 estrazioni consecutive
(sappiamo che la probabilità di azzeccare il numero singolo in una estrazione fissata, è uguale a 1/18).
Che probabilità ha qual tale di
a) non vincere mai?
b) vincere almeno una volta?
c) vincere una e una sola volta?
d) vincere esattamente 2 volte?
318
RISPOSTE
1)
1 1 1 anche, cf 1⋅1
⋅ = ;
=
6 2 12 volendo : cp 6 ⋅ 2
⎛2⎞
3) 1 − ⎜ ⎟
⎝3⎠
n
1 5 5
4) 1⋅ ⋅1⋅ =
2 6 12
3
3
5
anche, cf 5
2) ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 58%;
= 3
volendo : cp 6
⎝6⎠
5) 1⋅
32 24
⋅ ≈ 52%
39 38
Ovviamente, per molti quesiti
c’è la possibilità di arrivare
alla risposta in più modi diversi.
Ricorda sempre, fra l’altro,
che in presenza della parola “almeno”
è spesso conveniente utilizzare
l’evento contrario
6) 2/19.
Dal punto di vista probabilistico, evidentemente nulla cambia se si suppone che Martina e Alessandro
siano rispettivamente la prima e la seconda persona a cui viene assegnato, per estrazione, il posto.
Ad ogni posto si abbina dunque un numero (da 1 a 20), e si preparano i bigliettini.
Si estrae poi un numero, e al posto corrispondente va a sedersi Martina.
Fra i 19 bigliettini rimanenti, se ne estrae uno e si manda a sedere Alessandro al posto corrispondente.
Ora, l’evento felice per Alessandro ha come casi favorevoli i due bigliettini che indicano i 2 posti
a sinistra o a destra di quello dove si è accomodata Martina.
5
6 5 4 3
2
5 1 1 6 6 6
7) a) ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0,0019 b) 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 15% c) ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 13%
7
7
7
7
7
⎝ ⎠
⎝ 2⎠ 7 7 7 7 7
6 5 4 3
6 6 6 6 6
1 6 6 6 6
d) 1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 15% e) 1 − 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 85%
7 7 7 7
7 7 7 7 7
7 7 7 7 7
(
)
5 1
1
f) ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0,06% ; infatti ( 5) è il numero dei modi in cui, sulle 5 persone, si possono
3 scegliere quelle 3 che si supporranno nate di Martedì
3
7
7
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2
7 6 5
7 17
=
8) 1 − ⋅ ⋅ = 1 −
10 9 8
24 24
()
( )
7
7 ⋅6⋅5
3
7 17
oppure: 1 −
= 1 − 3! = 1 −
=
10 ⋅ 9 ⋅ 8
24 24
10
3
3!
9) p(T ∨ P) = p(T) + p(P) − p(T ∧ P) = 0,5 + 0,2 − 0,1 = 0,6 = 60%; p(nessuno) = 1 − p(T ∨ P) = 1 − 0,6 = 0,4 = 40%
(oppure, si poteva rispondere disegnando un diagramma di Venn).
p (T ∧ P) 0,1
p (T) = 0,5; p (T/P) =
=
= 0,5 = p (T) per cui i due eventi sono stocasticamente indipendenti
p (P)
0,2
10)
a)
5
= 0,05
100
⎛ 95 ⎞
⎜2⎟
b) 1 − ⎝ ⎠ ≈ 0,1
⎛100 ⎞
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
oppure
(è lo
stesso!)
⎛ 98 ⎞
⎜5⎟
1 − ⎝ ⎠ ≈ 0,1
⎛100 ⎞
⎜ 5 ⎟
⎝
⎠
Nel 1° MODO,
si pensa ai casi possibili e favorevoli
dal punto di vista dei 2 biglietti comprati;
nel 2° MODO,
dal punto di vista dei 5 biglietti estratti.
⎛ 95 ⎞
⎛ 95 ⎞
⎛ 90 ⎞
⎜5⎟
⎜ 10 ⎟
⎜5⎟
c) 1 − ⎝ ⎠ ≈ 0,23
d) 1 − ⎝ ⎠ ≈ 0,42 oppure (è lo stesso!) 1 − ⎝ ⎠ ≈ 0,42 .
⎛100 ⎞
⎛100 ⎞
⎛100 ⎞
⎜ 5 ⎟
⎜ 10 ⎟
⎜ 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
95
80
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ 20 ⎟
⎜5⎟
1
1
⎝
⎠
≈ 0,999999987 oppure 1 −
g) 1
≈ 0,68 oppure 1 − ⎝ ⎠
f) 1 −
e) 1 −
⎛100 ⎞
⎛100 ⎞
⎛100 ⎞
⎛100 ⎞
⎜ 95 ⎟
⎜ 5 ⎟
⎜ 20 ⎟
⎜ 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
46 45
11) a) 1/36 b) 5/36 c) 1/6 d) 5/18 e) 25/36 f) 11/36
12)
⋅ ≈ 84,5% , oppure: 46
2
50 49
( ) (502 )
⎛18 ⎞
⎜3⎟
13) a) ⎝ ⎠
⎛ 20 ⎞
⎜5⎟
⎝ ⎠
(le cinquine non ordinate contenenti sia Aldo che Bruno
sono tante, quante sono le possibilità
di completare la cinquina abbinando ad Aldo+Bruno
3 soldati scelti a piacere fra i 18 rimanenti)
⎛10 ⎞⎛10 ⎞ 10 ⋅ 9 10 ⋅ 9
⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟
⋅
14) p (tanti m. quante f .) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ = 2 ⋅1 2 ⋅1 ≈ 0,418;
20 ⋅19 ⋅18 ⋅17
⎛ 20 ⎞
⎜4⎟
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
⎝ ⎠
⎛18 ⎞
⎛18 ⎞ ⎛18 ⎞
⎛18 ⎞
⎜5⎟
⎜ 4 ⎟+⎜ 4 ⎟
⎜5⎟
b) ⎝ ⎠ c) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d) 1 − ⎝ ⎠
⎛ 20 ⎞
⎛ 20 ⎞
⎛ 20 ⎞
⎜5⎟
⎜5⎟
⎜5⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
p ( m > f ) = p ( f > m) ≈
1 − 0,418
= 0,291
2
319
(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2,2); (2, 4); (2, 6);
(3,1); (3, 3); (3, 6); (4,1); (4, 2); (4, 4); (5,1); (5, 5); (6,1); (6, 2); (6, 3); (6, 6)
e la probabilità richiesta è 22 / 36 = 11/18
15) I casi favorevoli sono:
()
()
5
3
16) a) 1 −
= 1−
7
3
5⋅ 4⋅3
3 ⋅ 2 ⋅1 = 5
7⋅6⋅5 7
3 ⋅ 2 ⋅1
()
()
5
1
5
1
b)
=
=
7⋅6⋅5 7
7
3
3 ⋅ 2 ⋅1
Il numero di terne di confezioni, contenenti entrambe
5
quelle alterate, è uguale a
= 5 perché coincide col
1
numero di modi in cui è possibile completare la terna,
abbinando alle 2 confezioni alterate una di quelle “sane”
()
17) P = " in un dato giorno c ' è pioggia alla sera "; N = " in un dato giorno c ' è nebbia al mattino "
p (P ∧ N) 0, 30
p (N ∧ P) 0, 30
=
= 0, 75 = 75%
b) p (N / P) =
=
= 0, 60 = 60%
p (N)
0, 40
p (P)
0, 50
c) p ( almeno uno presente) = p (P ∨ N) = p (P) + p (N) − p (P ∧ N) = 0, 50 + 0, 40 − 0, 30 = 0, 60 = 60%
d) p ( almeno uno assente) = 1 − p (entrambi presenti ) = 1 − 0, 30 = 0, 70 = 70%
e) p (P) = 50% mentre p (P / N) = 75%:
non essendo p (P) = p (P / N), i due eventi P ed N non sono stocasticamente indipendenti
a) p (P / N) =
Un diagramma di Venn
può essere utile in questo contesto:
18) a)
()
1
3
13
b)
()
2
3
12
13
c)
Il pronostico sbagliato,
2 ⎛1⎞
13 ⋅ ⋅ ⎜ ⎟
può essere uno qualsiasi dei 13 ...
3 ⎝ 3⎠
Volendo, si può pensare
al " problema delle
prove ripetute"...
⎛13⎞ 3 ⎛13⎞ 3
10
3
⎜10 ⎟ ⋅ 2 ⎜ 3 ⎟ ⋅ 2
⎛13⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎠
⎠
opp. ⎝ 13
= ⎝ 13
d) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
10
3
3
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
3
13− k
k
13 1
2
e) ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟
k
3
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝3⎠
⎛ n° casi fav. ⎞ 13 ⋅ 2
Oppure ⎜
⎟:
⎝ n° casi poss. ⎠ 313
⎛13 ⎞ 13− k ⎛ 13 ⎞ 13− k
⎜ k ⎟⋅2
⎜13 − k ⎟ ⋅ 2
⎝
⎠
⎠
opp.
=⎝
13
13
3
3
13 9 13 ⋅12 ⋅11⋅10 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
19) n° casi poss. = n° colonne con esattamente 4 "1", 4 "2", 5 "X" = ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ =
⋅
= 90090
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4⎠
1
n° casi favorevoli = 1 da cui p =
90090
6 4 4
3 7 7
20) p(RR) = p(R da A) ⋅ p(R da B/ R da A) = ⋅ = ; p(NN) = p(N da A) ⋅ p(N da B/ N da A) = ⋅ =
9 10 15
9 10 30
4 7
1
6 6 3 3 1
7 23
p(colori diversi) = 1 −
+
= oppure ⋅ + ⋅ = ; p(almeno una Rossa) = 1 − p(NN) = 1 − =
15 30 2
9 10 9 10 2
30 30
(
)
21) p (R) = p (RRR) + p (RNR) + p (NRR) + p (NNR) =
p (N) = 1 −
19 11
=
30 30
6 4 6 6 6 5 3 3 7 3 7 6
19
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ... =
9 10 9 9 10 9 9 10 9 9 10 9
30
50 50 50 30 30 30 20 20 20
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
= 16%
100 100 100 100 100 100 100 100 100
b) p (tutti diversi ) = p (ABC) + p (ACB) + p (BAC) + p (BCA) + p (CAB) + p (CBA) =
50 30 20 50 20 30 30 50 20
50 30 20
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+ ... = 6 ⋅
⋅
⋅
= 18%
100 100 100 100 100 100 100 100 100
100 100 100
c) p ( non tutti uguali ) = 1 − p (tutti uguali ) = 100% − 16% = 84%
22) a)
10
17
23) a) ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 18 ⎠
10
⎛ 17 ⎞
≈ 0,56 b) 1 − ⎜ ⎟
⎝ 18 ⎠
9
≈ 1 − 0,56 = 0, 44 c) 10 ⋅
2
8
1 ⎛ 17 ⎞
⎛10 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 17 ⎞
⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0,33 d) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0,088
18 ⎝ 18 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 18 ⎠ ⎝ 18 ⎠
320
14 - TEOREMA DI BAYES (SULLA "PROBABILITÀ DELLE CAUSE")
14.1 - La "probabilità delle cause": formula di Bayes
In un paese scandinavo il 70% delle ragazze ha i capelli Biondi, il 20% li ha Rossi, il 10% Mori.
Risulta poi che ha gli occhi Scuri il 10% delle Bionde, il 25% delle Rosse, il 50% delle More.
Se la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite Internet mi fa sapere che ha gli occhi Scuri,
che probabilità c’è che sia Bionda?
In un bar ci sono due macchinette mangiasoldi A e B.
Effettuando una singola giocata su A si vince con probabilità 1/2
(in altre parole: si vince mediamente 1 volta su 2, o, se preferisci, all'incirca 500 volte su 1000),
mentre giocando su B si vince con probabilità 1/4.
Supponiamo di non sapere quale sia la macchinetta A e quale la B;
se ne scegliamo una a caso, giochiamo una sola volta, e vinciamo,
che probabilità c'è che la macchinetta scelta sia stata A?
Ecco due tipici problemi di “probabilità delle cause”.
Per tali problemi, esistono più tecniche di risoluzione; ad esempio, sono molto belle ed efficaci
quelle che si basano su di una “visione frequentista”, o sull’idea delle “fette di certezza”.
Comunque, in un problema di “probabilità delle cause” la risorsa più utile è senz’altro la formula di Bayes.
TEOREMA DI BAYES (sulla "probabilità delle cause")
Supponiamo che in una singola prova possa verificarsi
uno e uno solo fra più possibili eventi H1 , H 2 , ... , H n
(indichiamo con p(H i ) la probabilità che si verifichi H i ),
e che, qualora si verifichi l'evento H i ,
ci sia una ben determinata probabilità p(E/H i )
che si verifichi un dato evento E.
Insomma, gli eventi H1 , H 2 , ... , H n
costituiscono le possibili CAUSE dell’evento E;
tali cause sono:
• fra loro INCOMPATIBILI
( = non è possibile che si verifichino contemporaneamente due eventi Hi , H j , se i ≠ j )
•
ed "ESAUSTIVE" ( = nessuna altra causa, al di fuori delle H1 , ... , H n , può generare l’evento E).
Allora, se si verifica l'evento E, la probabilità che esso
sia stato provocato dalla causa H i è data dalla formula
p(H i / E) =
p(H i ) ⋅ p(E/ H i )
=
p(H1 ) ⋅ p(E/ H1 ) + p(H 2 ) ⋅ p(E/ H 2 ) + ... + p(H n ) ⋅ p(E/ H n )
∑
p(H i ) ⋅ p(E/ H i )
n
p(H i ) ⋅ p(E/ H i )
i =1
OSSERVAZIONE CHE AIUTA MOLTO A RICORDARE LA FORMULA
Il denominatore si ottiene riscrivendo il numeratore,
e poi scrivendo gli altri addendi analoghi, che si ottengono “facendo variare le cause”.
Dimostrazione (con riferimento alla figura):
p (Hi ∩ E)
=
p (E)
p (H i ∩ E)
=
p ((H1 ∩ E) ∪ (H 2 ∩ E) ∪ ... ∪ (H n ∩ E))
p (Hi ) ⋅ p (E / H i )
=
=
p (H1 ∩ E) + p (H 2 ∩ E) + ... + p (H n ∩ E)
p (H i ) ⋅ p (E / Hi )
=
p (H1 ) ⋅ p (E / H1 ) + p (H 2 ) ⋅ p (E / H 2 ) + ... + p (H n ) ⋅ p (E / H n )
p (Hi / E) =
321
Giustificazioni dei passaggi nella dimostrazione:
nel primo passaggio abbiamo applicato una nota formula ricavata dal Teorema delle Probabilità Composte:
p (A ∩ B)
p (A / B) =
p (B)
nel secondo passaggio, un’ovvia relazione insiemistica
nel terzo passaggio,
• il Teorema delle Probabilità Composte a numeratore
• e il Teorema delle Probabilità Totali per eventi incompatibili a denominatore
nel quarto passaggio, nuovamente il Teorema delle Probabilità Composte
OSSERVAZIONI
La dimostrazione data si riferisce a situazioni in cui possiamo porci
in un insieme universo di casi equipossibili,
quindi si adatterebbe perfettamente al primo dei due esempi da cui abbiamo preso le mosse
(le ragazze scandinave),
in quanto il secondo esempio
(le macchinette mangiasoldi)
è piuttosto una “prova a due fasi”, nella quale i casi non sono equipossibili,
a meno di passare ad una opportuna
“prova modificata, probabilisticamente equivalente a quella di partenza”.
Bene!
Si può tuttavia dimostrare che
♥ IL TEOREMA DI BAYES VALE ANCHE CON RIFERIMENTO AGLI “EVENTI A DUE FASI”.
Basterà, a tale scopo, semplicemente sostituire, nei passaggi formali della nostra dimostrazione,
il simbolo di ∩ con una congiunzione “ ∧ ” da intendersi come indicante
successione temporale o comunque “accostamento, abbinamento” di eventi;
oppure, si potrà ricorrere ad una opportuna
“prova modificata, probabilisticamente equivalente a quella data”,
analogamente a quanto già fatto nel paragrafo 8.2.
Si comprende poi facilmente che
♥ LA FORMULA DEL TEOREMA DI BAYES RIMANE VALIDA
PURE SE GLI EVENTI H1 , H 2 , ... , H n
NON VENGONO INTERPRETATI COME "CAUSE" DI E, MA SEMPLICEMENTE
COME EVENTI CHE POSSONO ESSERE "CONCOMITANTI" CON E.
ESEMPIO
In una certa facoltà universitaria, è obbligatorio sostenere un esame di Lingua Straniera.
Ogni studente può scegliere fra:
Inglese, Francese, Spagnolo, Tedesco.
Le statistiche dicono che le probabilità di scelta sono rispettivamente:
0,4
0,3
0,2
0,1
D'altra parte, per la diversa difficoltà dei corsi e severità degli insegnanti,
le probabilità di riportare la massima votazione (30 trentesimi)
variano da lingua a lingua e sono rispettivamente:
0,1
0,2
0,3
0,9
Supponiamo di sapere che un certo studente ha riportato 30 trentesimi nell'esame di Lingua.
Che probabilità c'è che la materia d'esame sia stata Inglese?
Risoluzione
p(Inglese /"30") =
p(I) ⋅ p("30"/ I)
=
p(I) ⋅ p("30"/ I) + p(F) ⋅ p("30"/ F) + p(S) ⋅ p("30"/ S) + p(T) ⋅ p("30"/ T)
0,4 ⋅ 0,1
0,04
0,04 4
=
=
=
=
= 0,16
0, 4 ⋅ 0,1 + 0,3 ⋅ 0,2 + 0, 2 ⋅ 0,3 + 0,1 ⋅ 0,9 0,04 + 0,06 + 0,06 + 0,09 0,25 25
=
322
14.2 - Esercizi svolti (Teorema di Bayes)
Riprendiamo ora i problemi da cui avevamo preso spunto e risolviamoli.
In un paese scandinavo il 70% delle ragazze ha i capelli Biondi, il 20% li ha Rossi, il 10% Mori.
Risulta poi che ha gli occhi Scuri il 10% delle Bionde, il 25% delle Rosse, il 50% delle More.
Se la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite Internet mi fa sapere che ha gli occhi Scuri,
che probabilità c’è che sia Bionda?
B
R
M
70%
20%
10% della popolazione femminile
10%
25%
50% occhi Scuri
Risoluzione con la Formula di Bayes:
p (B) = 0,7
p (R) = 0,2
p (M) = 0,1
p (S/ B) = 0,1 p(S/ R) = 0,25
p(S/ M) = 0,5
p (B) ⋅ p (S/ B)
=
p (B) ⋅ p (S/ B) + p (R) ⋅ p (S/ R) + p (M) ⋅ p (S/ M)
0,7 ⋅ 0,1
=
=
0,7 ⋅ 0,1 + 0, 2 ⋅ 0, 25 + 0,1 ⋅ 0,5
0,07
0,07
=
=
≈ 0, 41 = 41%
0,07 + 0,05 + 0,05 0,17
p (B / S) =
In un bar ci sono due macchinette mangiasoldi A e B.
Effettuando una singola giocata su A si vince con probabilità 1/2
(in altre parole: si vince mediamente 1 volta su 2, o, se preferisci, all'incirca 500 volte su 1000),
mentre giocando su B si vince con probabilità 1/4.
Supponiamo di non sapere quale sia la macchinetta A e quale la B;
se ne scegliamo una a caso, giochiamo una sola volta, e vinciamo,
che probabilità c'è che la macchinetta scelta sia stata A?
DIVERSI METODI O STILI DI RISOLUZIONE
1) Con la formula di Bayes
p (A) ⋅ p (V / A)
p (A / V) =
=
p (A) ⋅ p (V / A) + p (B) ⋅ p (V / B)
1 1
1
1
⋅
2
2
2
4
=
=
= 4=
1 1 1 1 1 1 3 3
⋅ + ⋅
+
2 2 2 4 4 8 8
2) Pensando semplicemente ad un’applicazione della formula p(X / Y) =
p(X ∧ Y)
p(Y)
1 1
⋅
p(A ∧ V)
p(A) ⋅ p(V/ A)
p(A) ⋅ p(V/ A)
2 2 = ... = 2
p(A/ "Vittoria") =
=
=
=
p(V)
p(A ∧ V) + p(B ∧ V) p(A) ⋅ p(V/ A) + p(B) ⋅ p(V/ B) 1 1 1 1
3
⋅ + ⋅
2 2 2 4
3) Con visione "frequentista"
Supponiamo di effettuare un numero elevato di giocate, diciamo 8000 giocate.
Pressappoco 4000 volte
la scelta casuale della macchinetta cadrà su A,
e pressappoco 4000 volte su B (legge empirica del caso).
Delle circa 4000 volte che avremo giocato su A,
vinceremo circa 2000 volte,
mentre delle circa 4000 volte che avremo giocato su B vinceremo circa 1000 volte.
Avremo perciò vinto 3000 volte circa. E di queste, pressappoco 2000 volte dovremo ringraziare A.
2000 2
= .
Perciò la probabilità richiesta ( = probabilità che, avendo noi vinto, si debba ringraziare A) è
3000 3
323
4) Pensando alle “fette di certezza”
Nella “torta della certezza”, di “peso” 1,
la “fetta di certezza” relativa a V
1 1 3
“pesa”, complessivamente, + = .
4 8 8
Di questa fetta da 3/8,
la parte che compete all’evento “A, poi V” ha peso 1/4.
1/ 4 2
Il rapporto tra le due fette è quindi
= .
3/ 8 3
UN ULTERIORE, BELL’ESEMPIO: GLI ARCIERI
a) Se quattro arcieri A, B, C, D scoccano la loro freccia contemporaneamente
e hanno probabilità, rispettivamente, 1/2, 1/3, 1/4 e 1/5 di colpire il bersaglio (NOTA)
che probabilità c’è che dopo il tiro simultaneo risulti conficcata nel bersaglio esattamente 1 freccia?
NOTA: si tratta, evidentemente, di valutazioni approssimative, di tipo soggettivo/frequentista
b) Se dopo il tiro simultaneo risulta conficcata nel bersaglio 1 e 1 sola freccia,
che probabilità c’è che si tratti di quella dell’arciere A?
Risoluzione di a)
p (A) = 1/ 2
p (B) = 1/3 p (C) = 1/ 4
p (D) = 1/5
p (" esattamente 1 freccia ") = p (A B C D) + p ( A B C D) + p (A B C D) + p (A B C D) =
1 2 3 4 1 1 3 4 1 2 1 4 1 2 3 1 24 + 12 + 8 + 6
50
5
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
=
=
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5
120
120 12
Risoluzione di b)
Possiamo risolvere questo quesito b) ricorrendo, formalmente,
p(X ∧ Y)
1) alla formula p(X / Y) =
p(Y)
2) oppure alla formula di Bayes.
I due procedimenti non differiscono molto né riguardo al principio ispiratore
(sempre di “cause”, o piuttosto, in questo caso, di “eventi concomitanti”, o di “fette di certezza”, si tratta),
né riguardo alla difficoltà nei calcoli (che sono anzi del tutto identici).
Dunque, vediamo.
p(X ∧ Y)
1) con la formula p(X / Y) =
p(Y)
p ( A ∧ (1 e 1 sola) )
p(ABCD)
=
=
p ( 1 e 1 sola )
p(ABCD) + p(ABCD) + p(ABCD) + p(ABCD)
1 2 3 4
24
⋅ ⋅ ⋅
24
2
3
4
5
120
=
=
= = 48%
1 2 3 4 1 1 3 4 1 2 1 4 1 2 3 1
24 12
8
6
50
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
+
+
+
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5
120 120 120 120
p(A/ 1 e 1 sola) =
2) con la formula di Bayes
p(A/ 1 e 1 sola) =
p(A) ⋅ p(1 e 1 sola / A)
=
p(A) ⋅ p(1 e 1 sola / A) + p(B) ⋅ p(1 e 1 sola / B) + p(C) ⋅ p(1 e 1 sola /C) + p(D) ⋅ p(1 e 1 sola / D)
p(A) ⋅ p(BCD)
=
=
p(A) ⋅ p(BCD) + p(B) ⋅ p(ACD) + p(C) ⋅ p(ABD) + p(D) ⋅ p(ABC)
1 ⎛ 2 3 4⎞
24
⋅ ⋅ ⋅
2 ⎜⎝ 3 4 5 ⎟⎠
24
120
=
= = 48%
=
50
1 ⎛ 2 3 4 ⎞ 1 ⎛ 1 3 4 ⎞ 1 ⎛ 1 2 4 ⎞ 1 ⎛ 1 2 3 ⎞ 24 + 12 + 8 + 6
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
2 ⎜⎝ 3 4 5 ⎟⎠ 3 ⎜⎝ 2 4 5 ⎟⎠ 4 ⎜⎝ 2 3 5 ⎟⎠ 5 ⎜⎝ 2 3 4 ⎟⎠ 120 120 120 120
NOTA : abbiamo scritto semplicemente p(1 e 1 sola / A) = p (BCD) anziché p(1 e 1 sola / A) = p(BCD/A)
per il fatto che le prestazioni di B, C e D in un dato tiro non sono condizionate dall'esito di A
=
324
ESERCIZI sul Teorema di Bayes
1) In un’urna U1 ci sono 2 palline Rosse e 1 Verde; in U2, 1 Rossa e 3 Blu; in U3, 2 Rosse e 3 Verdi.
Se si pesca da un’urna a caso non conoscendo di che urna si tratta, e la pallina estratta risulta Rossa,
valutare la probabilità che l’urna di provenienza sia U3.
2) Le statistiche di un tribunale di provincia, relative ai processi ultimati nei trascorsi 15 anni, evidenziano che,
fra gli accusati di un reato penale, il 24% era stato trattenuto in custodia cautelare (=carcerazione preventiva),
gli altri lasciati a piede libero in attesa del processo.
Dei sottoposti a carcerazione preventiva, l’80% aveva poi avuto una sentenza di condanna definitiva,
mentre fra gli altri soltanto il 64% erano stati riconosciuti colpevoli.
Determina, per un condannato di reato penale preso a caso, la probabilità di aver subito la custodia cautelare.
3) In un club di tifosi, i maschi sono il 75% e la metà di loro fuma. Fra le femmine, invece, fuma solo il 25%.
Che probabilità c’è per una persona presa a caso fra gli iscritti, di essere fumatore/fumatrice?
E presa a caso una persona che fuma in quel club, che probabilità c’è che si tratti di una donna?
4) Fra i fumatori di una certa città, il 60% acquista la marca “Bravo Furbo”, e fra questi l’80% sono maschi.
Fra coloro che non comprano le sigarette “Bravo Furbo”, la maggioranza (75%) è di femmine.
Presa una fumatrice a caso in quella città, che probabilità c’è che acquisti le “Bravo Furbo”?
5) In un paese asiatico, la probabilità che una radiolina della marca A sia difettosa è bassa: 0,1%.
La marca B, unica concorrente di A in quella nazione, fa ancora meglio: probabilità dello 0,05%.
Sul mercato, tuttavia, la marca A risulta prevalere, col 60% degli acquisti, perché la linea dei suoi prodotti è
più carina. Che probabilità ha una radiolina perfettamente funzionante presa a caso, di essere della marca A?
6) Imposta un foglio elettronico in modo che l’utente
possa inserire le probabilità relative ad un problema
risolubile tramite la formula di Bayes
(con n = 2 e anche con n = 3 )
e gli venga calcolata la risposta.
I dati
vanno
introdotti
nelle celle
ombreggiate
Dal sito http://classweb.gmu.edu della George Mason University di Washington, USA,
ecco due bei quesiti, uno sull’educazione dei figli e un altro sugli incidenti stradali.
7) In una certa nazione è noto che il 20% delle madri suole sculacciare i figli indisciplinati. L’85% delle madri
che applicano questa pratica fanno uso di Valium, contro il 25% soltanto delle madri che non sculacciano.
Questi dati sono tali da far supporre che il Valium induca le madri a sculacciare i loro figli? Discutine.
8) Una compagnia di assicurazioni auto prevede per i guidatori giovani una polizza più alta, in quanto
questo gruppo tende ad avere un numero maggiore di incidenti. La compagnia distingue le età in 3 gruppi:
A (sotto i 25 anni, 22% di tutti i suoi assicurati), B (25-39 anni, 43%), C (da 40 anni in su).
I dati mostrano che in media ogni anno le percentuali di assicurati che hanno un incidente sono:
11% per il gruppo A, 3% per il B, 2% per il C.
a) Che percentuale di assicurati ci si attende abbia un incidente nei prossimi 12 mesi?
b) Se un assicurato X ha appena avuto un incidente, che probabilità c’è che abbia meno di 25 anni?
RISPOSTE
p(U3) ⋅ p(R / U3)
1/3⋅ 2/5
24
=
= ... = ≈ 30%
79
p(U1) ⋅ p(R / U1) + p(U2) ⋅ p(R / U2) + p(U3) ⋅ p(R / U3) 1/3⋅ 2/3 +1/3 ⋅1/ 4 +1/3⋅ 2/5
p(CC) ⋅ p(cond / CC)
0,24 ⋅ 0,80
0,192
=
=
≈ 0,283
2) p (CC/ cond) =
0,24
⋅
0,80
+
0,76
⋅
0,64
0,6784
p(CC) ⋅ p(cond / CC) + p (CC) ⋅ p(cond / CC)
3) Il 43,75%; intorno al 14% 4) Il calcolo dà un valore prossimo al 28,6% 5) Circa il 60%
p (S) ⋅ p (V /S)
0,20 ⋅ 0,85
0,17
0,17
=
≈ 0,46
7) p (S/ V) =
=
=
p (S) ⋅ p (V /S) + p (S) ⋅ p(V /S) 0,20 ⋅ 0,85 + 0,80 ⋅ 0,25 0,17 + 0,20 0,37
1) p(U3/ R) =
p (S) ⋅ p(V /S)
0,20 ⋅ 0,15
0,03
0,03
=
=
=
≈ 0,05
p (S) ⋅ p (V /S) + p (S) ⋅ p(V /S) 0,20 ⋅ 0,15 + 0,80 ⋅ 0,75 0,03 + 0,60 0,63
Dai dati emerge che se una donna assume Valium, è senz’altro molto più incline a sculacciare i propri figli,
ma… attenzione! … Sarà il Valium in sé a favorire questo comportamento, o piuttosto la depressione di cui
plausibilmente soffrono queste donne, dato che fanno uso di Valium?
22 11
43 3
35 2
242 + 129 + 70
441
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
≈ 4, 4%
8a)
100 100 100 100 100 100
10000
10000
p (A) ⋅ p (I / A)
0, 22 ⋅ 0,11
8b) p (A / I) =
=
≈ 55%
p (A) ⋅ p (I / A) + p(B) ⋅ p (I / B) + p(C) ⋅ p (I / C) 0, 22 ⋅ 0,11 + 0, 43 ⋅ 0,03 + 0,35 ⋅ 0,02
p (S/ V) =
325
14.3 - Ancora sulle “fette di certezza”
Volevo infine ritornare ancora un attimo sull’idea delle “fette di certezza”.
Un giorno sulla mailing list “matfis”, frequentata da insegnanti italiani di Matematica e Fisica
interessati a scambi di idee e di esperienze didattiche, comparve la seguente e-mail:
“Non riesco a risolvere questo problema (tratto dal testo Format SPE di Maraschini-Palma).
Ringrazio chi vorrà cimentarsi e comunicare la soluzione ottenuta ed il procedimento adottato”.
Si hanno due urne così composte:
U1 contiene 10 palline nere e 5 palline bianche,
U2 contiene 8 palline nere e 10 palline bianche.
Si lancia un dado e
se escono i numeri 1 o 2 si estrae una pallina dalla 1a urna,
altrimenti se ne estrae una dalla seconda.
Se questa prima pallina estratta è nera, la si rimette nell'urna
e si estrae un'altra pallina dall'urna che non conteneva la prima.
a) Rappresenta la situazione con un grafo ad albero
b) Nell'ipotesi che l'ultima pallina estratta,
cioè la pallina visibile fuori dall'urna, sia bianca,
calcola la probabilità che essa provenga dalla prima urna.
Diversi insegnanti risposero al messaggio proponendo loro risoluzioni del problema;
non fu facilissimo né immediato pervenire ad un accordo sullo svolgimento corretto…
il che indica chiaramente l’obiettiva difficoltà di problematiche di questo tipo.
Noi ora, con il nostro diagramma ad albero e l’idea vincente delle “fette di certezza”,
troveremo abbastanza rapidamente il risultato esatto.
Dunque: i cammini che terminano con B sono quattro, e vengono percorsi con probabilità, rispettivamente, uguali a
2/6 ⋅ 10/15 ⋅ 10/18;
2/6 ⋅ 5/15;
4/6 ⋅ 8/18 ⋅ 5/15;
4/6 ⋅ 10/18 .
Essi costituiscono quindi quella parte della “torta” della certezza (posta uguale a 1) che è espressa dalla somma
2/6 ⋅ 10/15 ⋅ 10/18 + 2/6 ⋅ 5/15 + 4/6 ⋅ 8/18 ⋅ 5/15 + 4/6 ⋅ 10/18 .
Fra i cammini considerati, quelli nei quali la pallina Bianca estratta risulta provenire dall’urna U1 sono soltanto due:
il secondo cammino ed il terzo, ossia quei cammini che vengono percorsi con probabilità, rispettivamente,
2/6 ⋅ 5/15 e 4/6 ⋅ 8/18 ⋅ 5/15 .
Pertanto questi due cammini si spartiscono una “fetta” di certezza uguale a
2/6 ⋅ 5/15 + 4/6 ⋅ 8/18 ⋅ 5/15 .
Rapportando questa fetta di certezza con la fetta di certezza occupata dai quattro cammini che terminano con B,
si perviene alla risposta al quesito:
2 5 4 8 5
⋅ + ⋅ ⋅
17
6 15 6 18 15
= ... =
2 10 10 2 5 4 8 5 4 10
57
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
6 15 18 6 15 6 18 15 6 18
Ci tengo comunque a sottolineare che l’idea delle “fette di certezza”
non è nient’altro che un modo “carino” di manipolare la probabilità “condizionata”
(con l’annesso discorso della “restrizione dell’insieme universo”)!
1
4
Se io per esempio dico che osservando il diagramma qui a fianco ( p(A ∩ B) = , p(B) =
posso desumere immediatamente la relazione p(A / B) =
1
)
3
1/ 4 3
= , io affermo ciò perché
1/ 3 4
I) nella mia mente ho una “fetta di certezza” che “pesa” 1/ 4 (quella di A ∩ B )
e un’altra “fetta di certezza” che “pesa” 1/ 3
(quella di B, nell’ambito del quale voglio rimanere perché, se mi interessa p(A/B), è B il mio insieme universo)
1/ 4
quindi, per andare a valutare quanto “pesa” A nell’ambito di B, mi viene spontaneo calcolare il quoziente
;
1/ 3
II) ma anche e soprattutto perché so (l’ho dimostrato!) che sussiste la relazione
p (A / B) =
p (A ∧ B)
!!!
p (B)
… Come d’altronde, a ben guardare, nel quesito sulle urne e le palline dal quale abbiamo preso le mosse,
la frazione che ci ha portato al risultato 17/57 coincide con quella frazione che avremmo ottenuto
pensando di applicare il TEOREMA DI BAYES. Controlla tu stesso che è davvero così! p (U1/ Bianca) = ...
326
14.4 - Falsi positivi, falsi negativi
TEST DIAGNOSTICI: FALSI POSITIVI, FALSI NEGATIVI
Nella vita purtroppo capita (ad alcuni più sovente che ad altri) di essere sottoposti ad esami medici:
che siano del sangue, o radiologici, o di qualsivoglia tipo, essi generalmente sono finalizzati a
verificare se si è affetti o meno da una data patologia.
Se risulto “POSITIVO” all’esame vuol dire che PROBABILMENTE SONO MALATO.
Per la maggior parte dei test clinici, questo “probabilmente” non vuol dire “sicuramente”:
potrei infatti essere un “FALSO POSITIVO”,
ossia potrebbe capitare che l’esame indichi erroneamente che sono malato mentre in realtà non lo sono.
Se risulto “NEGATIVO” all’esame vuol dire che PROBABILMENTE SONO SANO;
tuttavia, in genere, questo “probabilmente” non è una sicurezza completa;
potrei infatti essere un “FALSO NEGATIVO”,
ossia potrebbe capitare che l’esame indichi erroneamente che sono sano mentre in realtà sono malato.
In medicina di solito si indaga sulla possibile presenza di una patologia mediante un test preliminare, poco
costoso e/o poco “invasivo”, per trarne una prima indicazione sulla probabilità che la malattia ci sia o non ci sia;
eventualmente, se lo ritiene opportuno, il medico potrà poi prescrivere indagini più accurate e specialistiche,
le quali dovrebbero stabilire con certezza pressoché assoluta la verità.
Tutto ciò si può riassumere nella tabella seguente:
Condizione reale
Malati
Sani
Esito del test preliminare
Positivo
Negativo
Veri Positivi (VP)
Falsi Negativi (FN)
Falsi Positivi (FP)
Veri Negativi (VN)
Un test diagnostico è “buono”, è “affidabile”,
nella misura in cui tende, in presenza di malattia, a fornire esito “positivo”,
e nella misura in cui tende, in assenza di malattia, a fornire esito “negativo”.
Questi due aspetti della bontà di un test
(rilevare effettivamente la malattia, se questa è presente, non rilevarla se questa è assente)
vengono chiamati rispettivamente la sua “sensibilità” e la sua “specificità”.
SENSIBILITA' di un test = probabilità che questo risulti positivo, nel caso si sia malati = p(T + / M)
SPECIFICITA' di un test = probabilità che questo risulti negativo, nel caso si sia sani = p (T − / S)
La sensibilità e la specificità di un test si stabiliscono tramite studi molto approfonditi nell’ambito dei quali
la presenza o assenza della malattia in ognuno dei soggetti partecipanti all’indagine vengono riconosciute
con sicurezza perché a tal fine si fa uso di metodi più generali e/o più sofisticati rispetto al test stesso.
Le cosiddette ricerche “epidemiologiche”, poi, permettono di determinare, in una data popolazione,
la “PREVALENZA” della malattia, ossia la percentuale della popolazione che ne è portatrice,
o, il che è lo stesso, la probabilità, per un soggetto “pescato” a caso nella popolazione, di essere malato.
PREVALENZA di una malattia in una popolazione =
= percentuale di malati sul totale della popolazione =
= probabilità, per un individuo preso a caso nella popolazione, di essere malato =
= p (M) =
numero malati
numero totale di individui nella popolazione
Si dice “VALORE PREDITTIVO POSITIVO” di un test la probabilità,
per un individuo che si è sottoposto al test e ha avuto esito positivo, di avere realmente la malattia:
VALORE PREDITTIVO POSITIVO di un test (V.P.P.) = prob., se il test è positivo, di essere davvero malati
V.P.P. = p(M / T+) =
Bayes
n° malati fra i positivi
p(M) ⋅ p(T+ / M)
opp. V.P.P. = p(M/ T+) =
p(M) ⋅ p(T+ / M) + p(S) ⋅ p(T+ / S)
n° positivi
Si dice “VALORE PREDITTIVO NEGATIVO” di un test la probabilità,
per un individuo che si è sottoposto al test e ha avuto esito NEGATIVO, di essere realmente sano:
VALORE PREDITTIVO NEGATIVO di un test (V.P.N.) = prob., se il test è negativo, di essere davvero sani
Bayes
n° sani fra i negativi
p(S) ⋅ p(T − / S)
opp. V.P.N. = p(S/ T −) =
V.P.N. = p(S/ T −) =
n° negativi
p(S) ⋅ p(T − / S) + p(M) ⋅ p(T − / M)
327
ESEMPIO 1 (PRELIMINARE: si fanno conteggi su un gran numero di persone,
poi da questi conteggi si traggono valutazioni di probabilità)
Da studi epidemiologici si sa che una data malattia è presente nel 4% della popolazione considerata.
Ora, un determinato test (ancora in fase sperimentale … pochissimo costoso, ma anche assai poco affidabile!)
♪ se praticato su di una persona effettivamente malata,
produce esito positivo nel 90% dei casi (Veri Positivi) e negativo nel rimanente 10% (Falsi Negativi)
♫ se praticato su di una persona sana,
produce esito negativo nel 95% dei casi (Veri Negativi) e positivo nel rimanente 5% (Falsi Positivi)
Se si prendono10000 persone a caso nella popolazione, e le si sottopone tutte e 10000 al test,
a) quanti pressappoco saranno davvero i Malati?
b) quanti pressappoco saranno davvero i Sani?
c) quanti saranno i Veri Positivi al test?
d) quanti saranno i Falsi Negativi al test?
e) quanti saranno i Falsi Positivi al test?
f) quanti saranno i Veri Negativi al test?
g) quanti saranno in totale i Positivi al test?
h) quanti saranno in totale i Negativi al test?
i) per un Malato, qual è la probab. di essere Positivo?
j) per un Malato, qual è la probab. di essere Negativo?
k) per un Sano, qual è la probab. di essere Negativo?
l) per un Sano, qual è la probab. di essere Positivo?
m) per un Positivo, qual è la probab. di essere Malato? n) per un Negativo, qual è la probab. di essere Malato?
o) per un Negativo, qual è la probab. di essere Sano?
p) per un Positivo, qual è la probab. di essere Sano?
RISPOSTE:
a) M = 10000 ⋅ 4 /100 = 400
90
= 360
c) VP = 400 ⋅
100
5
= 480
e) FP = 9600 ⋅
100
g) P = VP + FP = 360 + 480 = 840
VP 360
( già lo si
=
= 0, 90
i) p (T + / M) =
sapeva )
M 400
VN 9120
( già lo si
=
= 0, 95
sapeva )
S
9600
VP 360
m) p (M / T + ) =
=
≈ 0, 4286
P 840
k) p (T − / S) =
V.P.P.
o) p (S / T − ) =
V.P.N.
VN 9120
=
≈ 0, 9956
N
9160
b) S = 10000 − 400 = 9600
10
= 40 (oppure : 400 − 360 = 40)
d) FN = 400 ⋅
100
95
= 9120
f) VN = 9600 ⋅
100
h) N = VN + FN = 9120 + 40 = 9160
( già lo si
j) p (T − / M) = 1 − 0, 90 = 0,10
sapeva )
l) p (T + / S) = 1 − 0, 95 = 0, 05
n) p (M / T − ) =
p) p (S / T + ) =
( già lo si
sapeva )
FN
40
=
≈ 0, 0044
N 9160
FP 480
=
≈ 0, 5714
P 840
OSSERVAZIONE
Le probabilità di cui ai punti m), n), o), p) si sarebbero potute calcolare anche applicando il Teorema di Bayes:
p (M) ⋅ p (T + / M)
0,04 ⋅ 0,90
0,036
0,036
m) p (M / T + ) =
=
=
=
≈ 0,4286
+
+
p (M) ⋅ p (T / M) + p (S) ⋅ p (T / S) 0,04 ⋅ 0,90 + 0,96 ⋅ 0,05 0,036 + 0,048 0,084
V.P.P.
p (M) ⋅ p (T − / M)
0,04 ⋅ 0,10
0,004
0,004
=
=
=
≈ 0,0044
−
−
p (M) ⋅ p (T / M) + p (S) ⋅ p (T / S) 0,04 ⋅ 0,10 + 0,96 ⋅ 0,95 0,004 + 0,912 0,916
p (S) ⋅ p (T − / S)
0,96 ⋅ 0,95
0,912
0,912
o) p (S/ T − ) =
=
=
=
≈ 0,9956
−
−
p (S) ⋅ p (T / S) + p (M) ⋅ p (T / M) 0,96 ⋅ 0,95 + 0,04 ⋅ 0,10 0,912 + 0,004 0,916
n) p (M / T − ) =
V.P.N.
m) p (S/ T + ) =
p (S) ⋅ p (T + / S)
0,96 ⋅ 0,05
0,048
0,048
=
=
=
≈ 0,5714
p (S) ⋅ p (T + / S) + p (M) ⋅ p(T + / M) 0,96 ⋅ 0,05 + 0,04 ⋅ 0,90 0,048 + 0,036 0,084
ESERCIZI
1) Una patologia virale infetta il 3% della popolazione di un dato territorio. Il test diagnostico più diffuso,
su 100 persone sane che si sottopongono al test, mediamente diagnostica per errore 2 falsi positivi;
e in compenso su 100 malati che si sottopongono al test, mediamente diagnostica per errore 2 falsi negativi.
a) Se una persona ha avuto esito positivo al test, che probabilità c’è che sia davvero malata?
b) E se ha avuto esito negativo al test, che probabilità c’è che sia davvero immune?
c) Se la percentuale dei malati nella popolazione raddoppiasse, come cambierebbero tali due probabilità?
328
2) Un test per la gravidanza è ancora in fase sperimentale.
incinte
non incinte
Negli studi per perfezionarlo, fino ad ora si sono sottoposte
positive
424
10
al test 912 donne, delle quali la metà davvero incinte e la metà no,
negative
32
446
coi risultati raccolti nella tabella qui a fianco.
Si domanda: se il test venisse commercializzato così com’è,
a) una donna davvero incinta, che probabilità avrebbe, pressappoco, di risultare positiva?
b) E una donna che risultasse positiva, che probabilità avrebbe di essere davvero incinta?
c) Se una donna risultasse negativa, che probabilità avrebbe di essere invece incinta?
3) Imposta un foglio elettronico in modo che l’utente possa inserire le probabilità relative ad un problema
sui test diagnostici e gli venga calcolata la risposta.
Utilizzalo poi per fare simulazioni, variando prevalenza, sensibilità e specificità.
4) Supponiamo che, per un test diagnostico, la probabilità di risultare positivi se malati sia del 96%
e la probabilità di risultare negativi se si è sani sia del 98%.
Supponiamo di somministrare il test a tappeto in una popolazione di 10000 individui.
Allora il numero di falsi positivi e di falsi negativi dipende dalla prevalenza della malattia nella popolazione,
ossia dalla percentuale di popolazione affetta dalla malattia.
Calcola il numero atteso di falsi positivi e di falsi negativi sotto l’ipotesi
a) che la prevalenza della patologia sia del 5% b) che la prevalenza della patologia sia dell’1%.
T−
2280
27
2307
T+
5
124
129
La tabella qui a fianco è stata riempita sperimentando un nuovo test
diagnostico su 2436 persone (i veri malati sono stati riconosciuti
attraverso indagini più costose e accurate).
Quanti falsi positivi ci sono stati? Quanti falsi negativi?
In che percentuale (arrotondando all’intero) si può valutare il V.P.P.
(= Valore Predittivo Positivo) di questo test? E in che percentuale
(sempre arrotondando all’intero) il V.P.N. (Valore Predittivo Negativo)?
6) Una accurata ricerca clinica ha mostrato che un determinato virus è presente nel 2% della popolazione.
Il test più diffuso per rilevare la presenza del virus (pericoloso soltanto qualora la persona abbia il sistema
immunitario compromesso) ha una “sensibilità” del 97% e una “specificità” del 999 per 1000.
Calcolare il “V.P.P.” (= Valore Predittivo Positivo) del test.
7) Se la specificità di un test è 1, cosa si può dire del Valore Predittivo Positivo di quel test?
5)
M−
M+
2285
151
2436
Il seguente problema, preso dal sito http://www.ufl.edu/ della University of Florida,
ha un risultato che forse non ci si aspetta, ma di cui, riflettendo, si comprende bene la ragione!
8) Per un test diagnostico, sono uguali al 95% tanto la sensibilità quanto la specificità.
La prevalenza della malattia nella popolazione è dell’1%.
Una persona viene selezionata a caso nella popolazione, e sottoposta al test.
Se putacaso questa persona risulta positiva, che probabilità ha di essere davvero malata?
RISPOSTE
p (M) ⋅ p(T + / M)
0,03 ⋅ 0,98
=
≈ 60%
p (M) ⋅ p (T + / M) + p (S) ⋅ p (T + /S) 0,03 ⋅ 0,98 + 0,97 ⋅ 0,02
p(S) ⋅ p(T− /S)
0,97 ⋅ 0,98
=
≈ 99,9% (il calcolo dà 0,999369...)
b) p(S/T − ) =
p(S) ⋅ p(T− /S) + p(M) ⋅ p(T − / M) 0,97 ⋅ 0,98 + 0,03 ⋅ 0,02
1) a) p (M / T + ) =
c) Se la percentuale dei malati nella popolazione raddoppiasse, la 1a percentuale diventerebbe del 76% circa
e la 2a , pur diminuendo leggerissimamente, sarebbe ancora vicina al 99,9% (il calcolo dà 0,998699…)
2) Arrotondando all’unità: a) ≈ 93% b) ≈ 98% c) ≈ 7% 4) a) 190; 20 b) 198; 4
5) 5; 27; 96%; 99%
p(V) ⋅ p(T + / V)
0,02 ⋅ 0,97
6) V.P.P. = p(V / T + ) =
=
≈ 95% 7) che è anch’esso =1
+
+
0,02
0,97
⋅
+ 0,98 ⋅ 0,001
p(V) ⋅ p(T / V) + p(V) ⋅ p(T / V)
8) ≈ 16% . Perché così bassa? Logico: i sani nella popolazione sono tanti, e il 5% dei sani, se testato, risulta
falsamente positivo, quindi se la persona - estratta a caso fra tutta la popolazione - riporta dal test
esito positivo, è più facile che si tratti di un falso positivo che di un malato … Meno male!
329
15 - ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE
☼ Per parecchi di essi è richiesto di conoscere
il CALCOLO COMBINATORIO … o comunque
il CC è una delle possibili strade per rispondere
1) In una piccola classe di 15 allievi ne vengono estratti 4 per un’interrogazione. Panico. La probabilità
che tanto Aldo quanto Bruno (entrambi impreparati) la facciano franca, è maggiore o minore di 1/2?
2) Da un mazzo di 52 carte (per ciascuno dei 4 semi: A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 )
se ne pescano, dopo aver mischiato, due. Che probabilità c’è di ottenere un “blackjack”
( = ossia, che una carta sia un asso e l’altra abbia valore 10 quindi sia un 10 o una figura)?
3) Un bosco di montagna ospita un gruppetto di 12 cerbiatti.
5 animali vengono catturati, marchiati con un segno di riconoscimento e poi lasciati nuovamente liberi.
Se dopo un po’ di giorni se ne ricatturano 3, che probabilità c’è che
a) tutti e tre portino il marchio? b) almeno uno porti il marchio?
4) Si lancia una moneta per 10 volte consecutive. Che probabilità c’è che si abbiano almeno 2 esiti diversi fra loro?
5) In un’urna, ci sono 30 palline Bianche e 20 Nere. Viene estratta una pallina, che viene messa da parte.
Dall’urna con una pallina in meno viene estratta una seconda pallina.
Valutare la probabilità che le due palline estratte siano
a) entrambe bianche b) entrambe nere c) di colore diverso
6) In un’urna, ci sono 30 palline Bianche e 20 Nere. Viene estratta una pallina, che viene poi rimessa nell’urna.
Viene quindi fatta un’altra estrazione. Valutare la probabilità che le due palline estratte siano
a) entrambe bianche b) entrambe nere c) di colore diverso
7) La “tabella di vita” seguente si riferisce a un campione di 1000 elefanti di mare (Mirounga angustirostri)
dell’isola di Año Nuevo (California), e riporta il numero di sopravvissuti all’età x (Clinton-Leboeuf, 1993).
x ( anni )
numero di sopravvissuti all ' età x
x ( anni )
numero di sopravvissuti all ' età x
0
1000
8
104
1
490
9
69
2
396
10
41
3
324
11
14
4
283
12
11
5
264
13
8
6
202
14
2
7
139
15
0
Si domanda, per un elefante marino, come può essere valutata la probabilità di
a) raggiungere i 5 anni di età b) raggiungere i 10 anni c) vivere non meno di 10 anni
8) Si sono iscritte ad una Università 104 matricole, dopo il superamento di un impegnativo test di ingresso.
Tuttavia, viste le risultanze del test, 24 fra questi studenti sono chiamati a frequentare un corso
di recupero di Computer, 18 uno di Inglese; e i 2/3 di questi ultimi dovranno seguire pure Computer.
Si domanda qual è la probabilità che uno studente scelto a caso fra quei 104
non sia tenuto a partecipare a nessuno dei due corsi.
9) Se un giocatore di poker ha un tris d’assi in mano, che probabilità c’è che fra questi ci sia l’asso di cuori?
10) Gli iscritti a un club sono per i 3/5 maschi e per i 2/5 femmine.
Il 30% dei maschi beve alcoolici, contro il 10% soltanto delle più intelligenti femmine.
Per un maschio preso a caso, la probabilità di essere astemio qual è?
E per un astemio a caso, qual è la probabilità di essere maschio?
11) Nel mio astuccio tengo 5 penne biro, ma 2 non funzionano … sì, sono d’accordo, dovrei buttarle via,
ma intanto mi domando: se pescassi 2 penne a caso, che probabilità avrei che siano entrambe buone?
12) Gastone Paperone, quell’odioso fortunello, aveva comprato 3 biglietti alla lotteria della
festa del quartiere. Erano stati messi in vendita 1000 biglietti, e l’ultimo giorno della festa
furono estratti a sorte i 5 vincenti …
bene, tanto per cambiare, proprio tutti e tre i biglietti di Gastone risultarono vincenti! Quack! /
a) Che probabilità c’era che accadesse una circostanza così favorevole all’antipatico pennuto?
Anche Paperino aveva acquistato 10 biglietti, ma purtroppo nessuno di essi risultò vincente.
b) Che probabilità c’era per Paperino di non riuscire a beccare neppure uno dei premi?
c) Se dopo l’estrazione di ciascuno dei primi 3 biglietti vincenti, si sente Gastone esultare
perché ha vinto tutte e tre le volte … che probabilità ha in questo momento Paperino
di possedere almeno un biglietto vincente?
330
13) Ci sono 2 urne, U1 con 1 pallina Rossa e 4 Nere e U2 con 3 R e 1 N.
E’ maggiore la probabilità di pescare una Rossa:
a) scegliendo un’urna a caso e pescando?
b) o mettendo insieme, in un’urna sola, il contenuto delle due urne, e pescando?
14) Una popolazione di batteri è formata per il 10% da individui resistenti all’azione di un dato antibiotico,
per il 90% da individui non resistenti. Si valuta che ciascuno di questi ultimi abbia probabilità 0,01 (1%)
di sopravvivere più di 24 ore alla terapia con quell’antibiotico, mentre per i batteri del ceppo “resistente”
tale probabilità sale allo 0,2.
a) Preso a caso un batterio, che probabilità c’è che sopravviva più di 24 ore alla somministrazione
dell’antibiotico?
b) E se un batterio è sopravvissuto, che probabilità c’è che sia del tipo “resistente”?
15) Supponi che nella tabella seguente (compilata a partire da rilevazioni statistiche in una determinata nazione)
q x indichi la probabilità, per una persona di sesso maschile di x anni, di morire prima di compiere x+1 anni.
q85
0,130
q86
0,140
q87
0,151
q88
0,163
q89
0,175
Sapresti calcolare la probabilità, per un uomo di quella nazione che ha appena compiuto gli 85 anni,
di festeggiare il novantesimo compleanno?
16) Con 8 lanci di una moneta, determina la probabilità che esca Testa:
a) le prime 3 volte (poi, un esito qualsiasi) b) le prime 3 volte soltanto (poi, sempre croce)
c) esattamente 3 volte d) meno di 3 volte e) almeno 3 volte
17) Se una coppia ha un numero pari di figli, determina la probabilità che siano tanti maschi quante femmine,
supponendo che la probabilità di nascere maschio oppure femmina sia esattamente ½ (anche se non è
precisamente vero: nella realtà, le nascite maschili sono un pochino più frequenti di quelle femminili)
e ipotizzando che il numero dei figli sia: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
18) Ci sono 2 urne, U1 con 1 pallina Rossa e 4 Nere e U2 con 3 R e 1 N.
Se si sceglie un’urna a caso, si pesca una pallina e questa risulta Rossa,
stabilisci qual è la probabilità che l’urna di provenienza sia U1.
19) Se una persona sale deliberatamente sull’autobus senza biglietto (e si espone così al rischio di pagare
una multa), supponendo che il biglietto costi 2 euro e 50 centesimi, e la contravvenzione in caso di controllo
sia di 80 euro, è un po’ come se quella persona attribuisse al passaggio del controllore una certa probabilità!
Quale, in percentuale?
20) Un insegnante di matematica assegna a ciascuno dei 24 ragazzi di una classe un’equazione diversa, scritta
su un bigliettino. Poi si fa restituire i bigliettini, chiama uno degli studenti alla lavagna e gli fa correggere
3 esercizi pescandoli a caso fra quelli già assegnati.
Che probabilità c’è, in percentuale, che uno di questi coincida con quello che l’alunno ha già eseguito?
21) Un’urna contiene 9 palline numerate da 1 a 9. Se ne pescano, una dopo l’altra e senza reimbussolamento, due.
Qual è la probabilità che moltiplicando i due numeri corrispondenti, il prodotto sia maggiore di 50?
22) Un’urna contiene n palline Bianche, n Rosse, n Verdi.
a) Calcolare la probabilità che, pescando simultaneamente 2 palline, esse siano dello stesso colore.
b) Calcolare la probabilità che, estraendo una pallina, reinserendola nell’urna,
poi estraendo una seconda pallina, esse risultino dello stesso colore.
23) Un’urna contiene 9 palline numerate progressivamente da 1 a 9. Estraendone 5, e sommando
i numeri che portano, che probabilità c’è di ottenere un risultato a) pari? b) dispari?
24) Si lanciano 4 dadi a forma di tetraedro regolare e ci si chiede con quali probabilità:
a) gli esiti saranno tutti diversi fra loro b) gli esiti saranno tutti uguali fra loro
c) usciranno due, e due soltanto, delle quattro facce 1, 2, 3, 4
25) Ho messo 5 paia di vecchie scarpe, alla rinfusa, in uno scatolone, che ho poi scosso più volte con energia.
a) Se adesso vado a pescare 5 scarpe a casaccio, che probabilità c’è che fra queste ci sia almeno un paio?
b) E se di scarpe ne pescassi 4? c) E se ne pescassi 3?
d) E se ne pescassi 6?
331
26) Sul ripiano della reception dell’hotel ci sono 10 chiavi,
fra cui quelle delle stanze di Aldo, Bruno, Carlo e Dario.
Se i quattro scegliessero a caso, senza guardare, che probabilità ci sarebbe che
a) becchino ciascuno la chiave giusta?
b) becchino, nel complesso, le 4 chiavi giuste, salvo poi doversele eventualmente scambiare fra loro?
27) Lanciando 10 volte una moneta, qual è la probabilità di ottenere più Teste che Croci?
E se le monete fossero 9?
28) Si effettuano 5 lanci successivi di una moneta.
Determinare la probabilità che esca Testa a) almeno 2 volte di seguito b) almeno 3 volte di seguito
29) Si lanciano 5 dadi. Che probabilità c’è che almeno 2 mostrino la stessa faccia?
30) Si lanciano 5 dadi. Che probabilità c’è che almeno 3 mostrino la stessa faccia?
31) Si lanciano 5 monete. Si attribuisce a ogni uscita di “Testa” 1 punto, a ogni uscita di “Croce” 2 punti.
Calcolare le probabilità di totalizzare, in questo modo, i vari punteggi possibili.
32) Si lanciano 10 dadi a forma di tetraedro regolare (ciascuno ha 4 facce, numerate 1, 2, 3, 4)
e ci si chiede qual è la probabilità che l’esito “4” si presenti almeno 3 volte.
33) Ci sono due monete, una regolare e l’altra truccata.
Lanciando la moneta truccata si ottiene “Testa” con probabilità del 60%.
Si sceglie una moneta a caso e la si lancia per 3 volte di seguito.
Nel caso si siano ottenute tutte “Teste”, che probabilità c’è che la moneta scelta sia stata quella truccata?
34) I DUE GIOCHI DEL CAVALIERE DI MERÉ
Nell’anno 1654 un accanito giocatore d’azzardo, il Cavaliere di Meré, si rivolse al filosofo e matematico
Blaise Pascal perché lo aiutasse a far luce su due questioni che lo arrovellavano.
LA PRIMA era questa.
Come mai, si domandava il Cavaliere, se punto sull’uscita di un 6 con 4 lanci di un dado,
mi rendo conto, nella pratica del gioco, che non ho le stesse probabilità di vincere
che avrei puntando sull’uscita di un doppio 6 con 24 lanci di 2 dadi?
Il gentiluomo riteneva che le due probabilità dovessero essere uguali,
perché faceva nella sua mente il ragionamento che segue:
la probabilità che esca 6 lanciando un singolo dado è 1/6;
ma allora, lanciando 4 dadi, la probabilità di uscita del 6 dovrebbe essere 4 ⋅1/ 6 = 4/ 6 = 2/3 ;
e allo stesso modo, poiché nel lancio di una coppia di dadi la probabilità di un “doppio 6” è 1/36,
lanciando i due dadi per 24 volte questa probabilità dovrebbe valere 24 ⋅1/ 36 che è ancora uguale a 2/3.
a) Sapresti spiegare per qual motivo il ragionamento del Cavaliere era sbagliato?
b) E sapresti ricalcolare in modo corretto le due probabilità in esame?
LA SECONDA questione era relativa a un “problema delle poste”.
Supponiamo che due giocatori A e B disputino una sequenza di partite,
in ciascuna delle quali ognuno ha la stessa probabilità di vincere dell’altro.
L’accordo è di assegnare la vittoria a colui che si aggiudica per primo 3 partite.
La posta in gioco è di 64 monete.
Come andrà suddivisa equamente tale posta se A e B interrompono il gioco
quando A è in vantaggio 2 a 1 su B?
c) Rispondi tu al Cavaliere
d) E se il punteggio parziale fosse di 2 a 0 per A, come andrebbe suddivisa la posta?
35) IL PROBLEMA DI PEPYS E NEWTON
Nel 1693 Samuel Pepys pose a Isaac Newton il problema seguente:
è più probabile ottenere
a) almeno un 6 lanciando 6 dadi?
b) o almeno due 6 lanciando 12 dadi?
c) o almeno tre 6 lanciando 18 dadi?
… Tu, che risposta daresti?
(serviti di un foglio elettronico per i calcoli!)
332
36) Se si estraggono due palline da un’urna contenente b + n palline, di cui b Bianche ed n Nere,
2bn
dimostra che la probabilità che escano due palline di colori diversi è uguale a
.
(b + n)(b + n −1)
E quale sarà la probabilità che escano due palline dello stesso colore??
37) Il “classico” problema dell’ubriacone
Immaginiamo la situazione seguente:
un ubriaco rientra con grande fatica a casa, ma non ricorda più quale sia la chiave e, trovandosi nelle tasche
ben 5 chiavi simili, tutte senza etichetta, tenta prima con una, poi con un’altra …
Si desidera stabilire quanti tentativi dovrebbe effettuare affinché la probabilità
di azzeccare la chiave giusta vada a superare ½, nell’ipotesi
a) che l’ubriaco metta da parte la chiave usata dopo ogni tentativo,
quindi non riprovi più con quella le volte successive
b) che il suo stato sia così disastroso da far sì che dopo ogni tentativo tutte e 5 le chiavi caschino a terra
mescolandosi, e costringendolo, ahimè, a … ricominciare daccapo.
38) (Serviti di un foglio elettronico per i calcoli!)
a) Supponiamo di prendere un mazzo da scopa (40 carte),
e di pescare una carta dopo l’altra, senza reinserimenti nel mazzo.
Ci domandiamo:
quante pescate occorre fare affinché la probabilità di pescare una Donna superi ½?
b) Prendi un mazzo da scopa (40 carte), e metti da parte le sole 10 carte di cuori.
Ora mischia queste ultime e pesca una carta dopo l’altra, senza rimetterla nel mazzetto dopo l’estrazione.
1) Quanti tentativi sono necessari affinché la probabilità di pescare la Donna di Cuori superi ½?
2) E se invece si rimettesse la carta nel mazzetto da dieci dopo ogni estrazione, quale sarebbe la risposta?
39) Qual è la probabilità, lanciando una coppia di dadi, che esca almeno un 6 o almeno un 1?
40) Qual è la probabilità, lanciando tre dadi, che esca almeno un 6 o almeno un 1?
41) Qual è la probabilità, lanciando tre dadi, che esca almeno un 6 e almeno un 1?
42) Se si lancia un tappino di plastica, la probabilità che cada fermandosi con la parte cava verso l’alto
è diversa dalla probabilità che la parte cava risulti invece rivolta verso il basso
(tali probabilità possono essere valutate annotando le frequenze relative su un numero elevato di lanci).
Ma dette a e b queste due probabilità, qualunque esse siano, si può dimostrare che, lanciando per due volte
di seguito il tappo, è più facile che escano due risultati fra loro uguali piuttosto che due risultati differenti.
Non è banale, questa dimostrazione! Ci riusciresti?
43) Che probabilità c’è che, fra le 5 carte che il mazziere serve a un giocatore di poker, ci sia almeno una coppia?
(“Almeno” vuol dire che ci potrà essere una singola coppia o anche un gioco superiore, che contenga
una coppia, ossia una doppia coppia, un tris, un full o un poker. Tuttavia, si può rispondere
anche senza sommare le probabilità della coppia, della doppia coppia, del tris, del full e del poker …)
44) Una ditta possiede 3 macchine per la produzione delle sue penne biro.
La macchina M1 è più veloce, ma anche meno precisa;
infatti mediamente 1 penna su 200 che esce da questa è difettosa.
Da M2 esce all’incirca 1 penna difettosa su 250, e da M3 una difettosa su 300.
Le penne vengono distribuite ai negozianti in scatole da 50 pezzi (fabbricati da una medesima macchina).
Dicevamo che M1 era la più veloce: in effetti, su 4 scatole prodotte dalla fabbrica,
2 contengono penne prodotte da M1, 1 da M2, 1 da M3.
Ciò premesso, valutare la probabilità
a) che una penna estratta da una scatola appena arrivata dalla fabbrica al negozio
(non si sa se proveniente da M1, o da M2, o da M3), sia priva di difetti
b) che nella scatola da 50 ci sia almeno una penna difettosa (serviti di un foglio elettronico per i calcoli)
45) Se lancio 10 monete finché vengano almeno 8 "teste" (cioè: annullo il lancio e lo ripeto se non sono uscite
almeno 8 "teste"), che probabilità ho di ottenere "testa" su tutte e 10 le monete?
46) Si estraggono 4 carte, simultaneamente, da un mazzo;
la probabilità che siano tutti “ori” ( = quadri) sarà maggiore se il mazzo è di 40 carte, o se è di 52 carte?
Cerca di arrivarci col ragionamento, poi calcola effettivamente le due probabilità.
47) Stesso quesito di prima, supponendo di reinserire ogni carta nel mazzo e mischiare prima di estrarne un’altra.
333
48) Si estraggono 4 carte, simultaneamente, da un mazzo; la probabilità che siano di semi tutti diversi
sarà maggiore se il mazzo è di 40 carte, o se è di 52 carte?
Cerca di arrivarci col ragionamento, poi calcola effettivamente le due probabilità.
49) Stesso quesito precedente supponendo di reinserire ogni carta nel mazzo e mischiare,
prima di estrarne un’altra.
50) Lanciando 3 dadi, che probabilità c’è che la somma dei punteggi dia a) 18? b) 9?
51) Ci sono 2 urne, U1 con 1 R e 4 N e U2 con 3 R e 1 N. Se si sceglie un’urna a caso,
si pescano da essa 3 palline e le si mette nell’altra urna, poi da questa si estrae una pallina,
stabilisci qual è la probabilità che quest’ultima sia Rossa.
52) Conoscendo p (A / B) = 0,4 ; p (A / B) = 0,3 ; p (B/ A) = 0,5 , determinare p (A) e p (B)
(indicazione: porre p (A) = x, p (B) = y e considerare che deve essere
p (A) = p (A ∧ B) + p (A ∧ B) = ...
p (A ∧ B) =
p (A) ⋅ p (B/A)
p (B) ⋅ p (A/B)
53) In una certa stazione salgono 3 persone sul treno. Questo treno effettuerà altre 5 fermate in totale.
Calcolare la probabilità che le 3 persone, che non si conoscono, scendano tutte alla stessa fermata.
Per gentile concessione dei proff. Aristide San Martini e Marco Perone Pacifico dell’Università di Roma:
54) a) Supponiamo che ogni confezione di detersivo “LAVO” contenga un tagliando
su cui è stampata una delle quattro lettere che compongono il suo nome.
Se si raccolgono 4 tagliandi con tutte le lettere del nome si riceve una confezione gratis.
Se tutte le lettere hanno la stessa probabilità di essere contenute in una confezione, qual è la
probabilità che comprando quattro confezioni del detersivo si riesca ad avere una confezione gratis?
b) In realtà, l’aver aperto una confezione con una certa lettera influisce sulla probabilità
che la confezione acquistata successivamente contenga una lettera diversa da quella.
L’aumento di probabilità è in relazione col numero totale delle confezioni:
se queste sono tantissime, l’incremento di probabilità è impercettibile, del tutto trascurabile,
mentre se le confezioni fossero poche, tale incremento “si sentirebbe”.
Supponi ad esempio che le confezioni di detersivo siano in totale 20 solamente,
di cui 5 recanti la lettera L, 5 la A, 5 la V, 5 la O.
Vai ora a ricalcolare la probabilità richiesta e vedrai che giungerai ad un valore ben diverso.
E se le confezioni fossero solo 8 in totale?
55) Una persona scrive 3 lettere, prende 3 buste fra loro identiche,
inserisce ogni lettera in una busta,
… e distrattamente chiude le buste con la colla prima di scrivere gli indirizzi.
Se ora questi 3 indirizzi li scrivesse a caso, che probabilità ci sarebbe
che almeno una delle 3 lettere giunga correttamente a destinazione?
56) Un’urna contiene 3 palline Rosse e 7 Nere.
Si gioca in questo modo:
due giocatori, X e Y, estraggono una pallina a turno
(prima X, poi Y, poi di nuovo X, ecc.).
La pallina NON viene reinserita nell’urna dopo l’estrazione.
Vince chi estrae per primo una pallina Rossa.
Calcolare la probabilità che X (il primo a pescare) vinca il gioco.
57)
Paradosso dei compleanni
Consideriamo un gruppo di n persone.
Supponendo, per semplicità, che nessuna di esse sia nata il 29 febbraio,
determinare la probabilità che almeno 2 festeggino il compleanno nello stesso giorno,
e successivamente servirsi del foglio elettronico per stabilire
qual è il minimo valore di n per cui tale probabilità supera ½.
334
Il cortese professor Lucio Torelli, dell’Università degli Studi di Trieste,
ci autorizza a utilizzare i suoi problemi seguenti:
58) Un neon su due, in media, si brucia entro un periodo di sei mesi se lasciato acceso ininterrottamente.
Viene montato un neon su ciascuno degli otto pianerottoli di un palazzo.
Qual è la probabilità che nessun neon si sia bruciato dopo sei mesi?
Qual è la probabilità che si siano bruciati tutti e otto i neon dopo sei mesi?
In media quanti neon mi aspetto che si bruceranno in tale periodo?
59) Supponi che il 30% di pazienti punti con un ago infetto dal virus dell'epatite B sviluppi realmente la malattia.
Supponi ora di selezionare in maniera arbitraria 5 individui dalla popolazione di tali pazienti.
Qual è la probabilità che nessuno di questi 5 sviluppi la malattia?
Qual è la probabilità che la malattia si sviluppi nella maggioranza dei casi?
Su 50 di tali pazienti, in quanti casi - pressappoco - mi aspetto che si sviluppi la malattia?
60) La tavola di contingenza considera la presenza (M+) o l’assenza ( M − ) di una certa malattia in maschi
(M) e femmine (F). Gli eventi “femmina” (F) e “presenza di malattia” (M+) sono indipendenti?
M
F
M+
56
114
170
M−
123
87
210
179
201
380
61) Sia data la seguente tavola di contingenza, relativa a un certo test diagnostico:
T−
T+
66,9%
21,1%
88,0%
1,5%
10,5%
12,0%
68,4%
31,6% 100,0%
Su una popolazione di 1328 persone, quanti veri positivi mi aspetto?
Quanto vale il valore predittivo negativo (V.P.N.) del test?
M−
M+
62) Di un test diagnostico è nota la specificità = 90% e si sa che la prevalenza della malattia è del 5%.
Quanti falsi positivi, in percentuale, mi aspetto, se sottopongo al test un gruppo di persone prese a caso
nella popolazione?
Col consenso dell’Autore Dario Palladino (Università di Genova),
riporto due bellissimi esercizi tratti dal testo
“pigreco”, di Palladino - Scotto - Frixione, edizioni Principato:
63) Una principessa deve scegliere lo sposo fra tre pretendenti che non conosce
e che le vengono presentati uno alla volta. Se ne rifiuta uno, non può più sceglierlo.
Adotta la seguente strategia:
rifiuta comunque il primo; sceglie il secondo solo se è più bello del primo; altrimenti sceglie il terzo.
Verificare che la sua probabilità di scegliere il più bello è 1/2, contro 1/3 che otterrebbe scegliendo a caso.
64) a) Un quiz è formato da 72 domande alle quali bisogna rispondere sì o no e si decide di assegnare
la sufficienza a chi, presumibilmente, sa rispondere alla metà di esse.
Tenuto conto che gli esaminati, per le domande su cui non sono preparati, tirano a indovinare,
quante risposte esatte devono dare per meritare la sufficienza?
b) Un quiz è formato da 72 domande alle quali bisogna rispondere sì o no.
Un esaminando dà 43 risposte esatte. A quante domande si può presumere che sapesse rispondere?
1
Indicazione: detto x il numero delle domande a cui sa rispondere, si ottiene l’equazione: x + ⋅ (...) = 43
2
Da “Fifty challenging problems in probability with solutions”
di Frederick Mosteller, Courier Dover Publications:
65) A drawer contains red socks and black socks.
When two socks are drawn at random, the probability that both are red is 1/2.
How small can the number of socks in the drawer be?
335
GRAZIE a Stefano Barbero e Nadir Murru (Università di Torino), per questi loro garbati problemi:
66) A Paperopoli le bevande che vanno per la maggiore sono la Papercola, la Rockepsi e la Duckanta
e si sa che l'85% della popolazione consuma abitualmente tali bevande.
Dai sondaggi di Paperone e di Rockerduck possessori rispettivamente della Papercola e della Rockepsi,
risultano le seguenti percentuali per il consumo di bevande tra i paperopolesi:
60% consumatori di Papercola di cui il 50 % consuma anche Rockepsi;
50% consumatori di Rockepsi di cui il 40% consuma anche Duckanta;
40% consumatori di Duckanta di cui il 50% consuma anche Papercola.
Qual è la probabilità che un paperopolese scelto a caso sia un consumatore di tutte e tre le bevande?
67) Le industrie Dormiben sottopongono a un test di qualità le produzioni di materassi
dei loro stabilimenti di Ocopoli e Paperopoli.
E' noto che il 5% dei materassi prodotti a Ocopoli e il 10% di quelli prodotti a Paperopoli risultano scomodi
e che il 40% dei materassi da testare proviene da Ocopoli.
Il pigro Ciccio Papero viene scelto come collaudatore.
a) Qual è la probabilità che si trovi scomodo su un materasso scelto a caso?
b) Qual è la probabilità che tale materasso scomodo provenga da Paperopoli?
c) Qual è il numero minimo di materassi da sottoporre al test affinché la probabilità
che Ciccio ne trovi scomodo almeno uno superi il 50%?
68) Uno stagno è pieno di rospi di sottospecie diverse. Tutti si nutrono di insetti (mosche o zanzare),
e una ricerca per una tesi di laurea ha stabilito che il 60% mangia mosche e il 50% zanzare.
Catturando un rospo a caso, qual è la probabilità che questo si nutra sia di mosche che di zanzare?
69) Pierino è molto goloso di caramelle al limone e all’arancia; detesta invece quelle alla menta.
In un sacchetto ci sono 12 caramelle alla menta, 5 al limone e 4 all’arancia.
Se pesca senza guardare 2 caramelle, qual è la probabilità che ce ne sia almeno una che gli piaccia?
E che gli piacciano tutte e due?
70) In un’aiuola con 8 rose, 4 di queste son bianche e 4 rosse;
se 4 api si posano senza preferenze su questi fiori, qual è la probabilità che si tratti di 2 bianchi e 2 rossi?
E qual è la probabilità che i fiori siano invece i 4 rossi?
PROBLEMI ASSEGNATI ALL’ESAME DI STATO DEL LICEO SCIENTIFICO:
71) Un test d’esame consta di dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere
l’unica risposta corretta fra quattro alternative.
Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risposte risultino corrette?
(2011, P.N.I.)
72) Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze.
Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?
(2001, PNI)
73) Tre scatole A, B e C contengono lampadine prodotte da una certa fabbrica, di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose
e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.
Qual è la probabilità che essa sia difettosa? (2003, PNI)
74) Qual è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi?
Se la prova viene ripetuta, qual è la probabilità di avere due 10 in sei “doppi lanci”?
E qual è la probabilità di avere almeno due 10 in sei “doppi lanci”?
(2005, PNI)
75) Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥ 0,99 di colpirlo almeno una volta?
(2006, PNI)
76) In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti.
Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse?
(2008, PNI)
Ti appassionano, questi esercizi?
Ne vorresti altri?
Su Internet c’è solo l’imbarazzo della scelta!
Ad esempio, clicca QUI Ö o QUI Ö
o in alternativa cerca liberamente con un motore di ricerca,
anche con parole chiave inglesi (probability exercises, probability problems …)
336
RISPOSTE
oppure
13 ⋅12 ⋅11⋅10
> 52%
15 ⋅14 ⋅13 ⋅12
[quaterne ordinate]
oppure
(134) > 52% [quaterne
non ordinate]
(154)
4 16 16 4
⋅ + ⋅ ≈ 4,8%
2) 52 51 52 51
oppure
[evento a due fasi ]
4 ⋅16 + 16 ⋅ 4
≈ 4,8%
52 ⋅ 51
[coppie ordinate]
oppure
[coppie
4 ⋅16
≈ 4,8% non
52
ordinate]
2
13 12 11 10
⋅ ⋅ ⋅ > 52%
1) 15 14 13 12
[evento a più fasi]
⎛ 5⎞
⎜ 3⎟ 1
5 4 3
1
oppure …
3) a) ⎝ ⎠ =
oppure
⋅ ⋅ =
22
12
11
10
22
12
⎛ ⎞
⎜3⎟
⎝ ⎠
4) p = 1 −
( )
⎛7⎞
⎜ 3⎟
37
7 6 5
b) 1 − ⎝ ⎠ =
oppure …
oppure 1 − ⋅ ⋅
44
12
11 10
12
⎛ ⎞
⎜3⎟
⎝ ⎠
⎡⎛ 1 ⎞10 ⎛ 1 ⎞10 ⎤ 511
2
511
=
(anche: p = 1 − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ =
)
512
1024 512
⎝2⎠
⎝2⎠
⎣
⎦
5) a)
30 29 87
⋅
=
50 49 245
b)
20 19 38
⋅
=
50 49 245
c)
30 20 20 30 24
38 ⎞ 24
⎛ 87
⋅ + ⋅
=
oppure 1 − ⎜
+
⎟=
50 49 50 49 49
⎝ 245 245 ⎠ 49
6) a)
30 30 9
⋅
=
50 50 25
b)
20 20 4
⋅
=
50 50 25
c)
30 20 20 30 12
4 ⎞ 12
⎛ 9
⋅ + ⋅
=
oppure 1 − ⎜ + ⎟ =
50 50 50 50 25
25
25
⎝
⎠ 25
7) a)
264
= 26,4%
1000
b)
41
= 4,1%
1000
c)
41
= 4,1%
1000
8) Si risponde tracciando un diagramma di Venn, oppure scrivendo:
2
n(C ∪ I) = n(C) + n(I) − n(C ∩ I) = 24 + 18 − ⋅18 = 30;
3
30
30 74
p (C ∪ I) =
; p (C ∩ I) = p(C ∪ I) = 1 − p(C ∪ I) = 1 −
=
≈ 71%
104
104 104
⎛ 3⎞
⎜ 2⎟
3
9) p = ⎝ ⎠ =
⎛ 4⎞ 4
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
(che i casi equipossibili siano 4
e quelli favorevoli 3
lo si capisce, comunque,
anche senza scomodare
il Calcolo Combinatorio)
NOTA
oppure
1
3
p =1−
=
⎛ 4⎞ 4
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
NOTA:
probabilità di avere
l’unico tris d’assi
senza l’asso di cuori
10) p(astemio / maschio) = 1 − p(bevitore / maschio) = 1 − 0,30 = 0, 70 = 70%
3 70
oppure con un semplice
⋅
p(m) ⋅ p(a / m)
21
5
100
p(maschio / astemio) =
=
=
≈ 54% diagramma di Venn ...
p(m) ⋅ p(a / m) + p( f ) ⋅ p(a / f ) 3 70 2 90 39
⋅
+ ⋅
5 100 5 100
⎛ 3⎞
⎜ 2⎟
3 2 3
3
11) ⋅ =
oppure ⎝ ⎠ =
10
5 4 10
⎛ 5⎞
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
12)
⎛ 997 ⎞
997 ⋅996
[le cinquine, contenenti i 3 biglietti di Gastone,
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
2
1
⋅
a)
=
≈ 0,00000006
sono tante quante le coppie costruibili prendendo,
⎛1000 ⎞ 1000⋅999⋅998⋅997 ⋅996
per
completare la cinquina, 2 fra i 997 biglietti rimanenti]
⎜ 5 ⎟
5⋅ 4⋅3⋅ 2⋅1
⎝
⎠
opp., pensando che i 5 numeri vincenti fossero già stati estratti (e tenuti segreti) prima della messa in vendita dei 1000:
⎛ 5⎞
5⋅ 4 ⋅ 3
⎜ 3⎟
5
4 3
⎝ ⎠ =
3⋅ 2⋅1
≈ 0,00000006 o
⋅
⋅
≈ 0,00000006
1000 999 998
⎛1000 ⎞ 1000⋅999⋅998
⎜ 3 ⎟
3⋅ 2⋅1
⎝
⎠
337
990
(
5 )
990 989 988 987 986
b)
≈ 0,95 = 95% oppure
⋅
⋅
⋅
⋅
≈ 0,95
1000 999 998 997 996
1000
(5)
oppure (dal punto di vista dei 10 acquisti di Paperino,
pensando che i 5 numeri vincenti fossero già stati estratti − e tenuti segreti − prima della messa in vendita dei 1000):
995
10
995 994 993 992 991 990 989 988 987 986
≈ 0,95 o anche
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
≈ 0,95
1000 999 998 997 996 995 994 993 992 991
1000
10
Beh, Paperino non è stato, questa volta, particolarmente sfortunato …
( )
( )
⎛ 987 ⎞
987 ⋅ 986
⎜ 2 ⎟
987 986
⎝
⎠
c) 1 −
⋅
≈ 0,02 = 2% oppure 1−
= 1 − 2 ⋅1 ≈ 0,02 oppure ...
997 996
997 ⋅ 996
⎛ 997 ⎞
⎜ 2 ⎟
2 ⋅1
⎝
⎠
13) a)
1 1 1 3 19
⋅ + ⋅ = = 0,475
2 5 2 4 40
b)
4
= 0,444...
9
14) a) p (S) = p (S ∧ R) + p (S ∧ R) = p (R) ⋅ p (S/ R) + p (R) ⋅ p (S/ R) = 0,10 ⋅ 0,2 + 0,90 ⋅ 0,01 = 0,029 = 2,9%
b) p (R /S) =
p (R) ⋅ p (S/ R)
p (R) ⋅ p (S/ R) + p (R) ⋅ p (S/ R)
=
0,10 ⋅ 0,2
≈ 69%
0,10 ⋅ 0,2 + 0,90 ⋅ 0,01
15) Arrotondando, 44%.
E’ vero che le condizioni generali della medicina, dell’alimentazione, della esposizione a patologie, ecc.
cambiano, sia pure leggermente, nel tempo, quindi questa valutazione di probabilità, che presuppone
uno “sguardo in avanti” di 5 anni nel futuro, non può per sua natura essere pienamente adeguata.
Comunque vadano le cose, è però vicinissima alla realtà: 5 anni sono davvero pochi.
L’informazione va tuttavia correttamente interpretata. Essa significa che, preso un gran numero di persone
di quella nazione che hanno appena compiuto gli 85 anni, all’incirca il 44% festeggerà il 90° compleanno.
Se invece il nonno di Pierino compie oggi 85 anni, la probabilità che lui, proprio lui, sopravviva fino a 90 anni,
va più correttamente valutata tenendo conto delle condizioni di salute note di quella determinata persona!
16) a)
8
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
2 2 2 8
b)
1 1 1 1 1 1 1 1 ⎛1⎞
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
256
⎝ ⎠
Testa
le prime
3 volte
1 1 1 1
17) a) ⋅ + ⋅
2 2 2 2
oppure
M F F M
Croce
le altre
volte
8
MM
2 1
MF •
= = 0,5 FM
•
4 2
FF
4
8
8 1
7
c) ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ =
3
2
3
2
⎝ ⎠⎝ ⎠
6
8
8
8 1
8 1
1
37
d) ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ =
⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 256
37 219
=
e) 1 −
256 256
8
6 3
20 5
70 35
⎛ 4⎞ 1
⎛ 6⎞ 1
⎛8⎞ 1
b) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ = = = 0,375 c) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ = = = 0,3125 d) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ =
=
= 0,2734375
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 16 8
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 64 16
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 256 128
1 1
1
⋅
p(U1) ⋅ p (R/U1)
4
2
5
=
= 5 =
18) p (U1/ R) =
p(U1) ⋅ p (R/U1)+p (U2) ⋅ p(R/U2) 1 1 1 3 1 3 19
⋅ + ⋅
+
2 5 2 4 5 4
19) ≤ 3,125%
21)
1 1
⋅ +
9 8
O
6 al 1°
tiro
23
(
2) 1
20)
= = 12,5%
24 8
(3)
1
2
1 2
⋅ +
⋅ +
9
8
9 8
O
O
7 al 1°
tiro
8 al 1°
tiro
(Le terne non ordinate di esercizi,
contenenti l’esercizio che lo studente ha già svolto,
sono tante quante le coppie non ordinate costruibili
utilizzando 2 dei 23 esercizi rimanenti)
1
1 3
⋅ =
9
9
8
O
9 al 1°
tiro
(anche, ovviamente, con la conta
dei casi possibili e dei favorevoli)
338
n
3 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ 3 ⋅ n(n − 1)
2
n −1
2
=
22) a) ⎝ ⎠ =
−
3
n
(3
n
1)
3
n −1
⎛ 3n ⎞
⎜2⎟
2
⎝ ⎠
Si può anche pensare di estrarle una dopo l’altra anziché simultaneamente
(la probabilità richiesta, infatti, non cambierebbe!).
Si estrae una pallina; qualunque sia l’esito, restano
n − 1 palline dello stesso colore della prima estratta,
e 3n − 1 palline in totale.
Dunque la probabilità, all’estrazione successiva, di pescare
1
n −1
b)
una pallina dello stesso colore di quella estratta per prima, è
3
3n − 1
9
23) a) Il numero dei casi possibili è
.
5
Fra i numeri interi da 1 a 9 ce ne sono 5 Dispari (1, 3, 5, 7, 9) e 4 Pari (2, 4, 6, 8).
L’evento “somma pari” si verifica quando, delle 5 palline estratte,
portano un numero dispari 2 palline, oppure 4 palline.
5 4
Allora il numero dei casi favorevoli è
⋅
+ 5 ⋅ 4 = 40 + 20 = 60
2 3
4 1
perché le cinquine di palline con 2 dispari si ottengono abbinando
a 2 palline scelte fra le 5 dispari, 3 palline scelte fra le 4 pari,
mentre le cinquine di palline con 4 dispari si ottengono abbinando
a 4 palline scelte fra le 5 dispari, 1 pallina scelta fra le 4 pari.
60
60 10
La probabilità richiesta è dunque p ( somma pari ) =
=
=
126 21
9
5
()
( )( ) ( )( )
()
10 11
=
21 21
3 2 1
4!
1 1 1
4
24) a) 1⋅ ⋅ ⋅ oppure 4 b) 1⋅ ⋅ ⋅ oppure 4
4 4 4
4
4
4
4
4
⎛ 4⎞ 4
⎜ 2⎟ ⋅ 2 − 2
4⎞ ⎛ 2 2 2 2
1 1 1 1 ⎞ 21
⎛
⎝
c) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ =
oppure ⎠ 4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
64
⎝ ⎠ ⎝
⎠
4
b) p ( somma dispari ) = 1 −
(
5
8 6 4 2
2
25) a) 1 − 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ opp. 1 −
9 8 7 6
⎛10 ⎞
⎜5⎟
⎝ ⎠
)
NOTA: i termini preceduti dal segno " − " servono
per escludere i casi di esiti tutti uguali
⎛ 5 ⎞ ⋅ 24
⎜ 4⎟
8 6 4
b) 1 − 1⋅ ⋅ ⋅ opp. 1 − ⎝ ⎠
9 8 7
⎛10 ⎞
⎜4⎟
⎝ ⎠
⎛ 5 ⎞ ⋅ 23
⎜ 3⎟
8 6
c) 1 − 1⋅ ⋅ opp. 1 − ⎝ ⎠
9 8
⎛10 ⎞
⎜3⎟
⎝ ⎠
d) 1
26) a) Numero casi possibili = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 . Numero casi favorevoli =1. p = 1/ 5040
1 1 1 1
Oppure: p = ⋅ ⋅ ⋅
(sceglie uno dei quattro, poi un altro, ecc.)
10 9 8 7
1
10
; numero casi favorevoli =1. p =
b) Quaterne non ordinate: numero casi possibili =
4
210
( )
6
4
7
3
8
2
9
10
⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞
27) p(T > C) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 6 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 7 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 8 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 2 ⎠ 2 ⎝10 ⎠⎝ 2 ⎠
10
⎡⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞
1
193
=
= ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥ ⋅ ⎜ ⎟ = (210 + 120 + 45 + 10 + 1) ⋅
6
7
8
9
10
1024
512
2
⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠
5
⎛10 ⎞ 1
1 − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎛ ⎟⎞
5
2
1 − p(T = C)
oppure
: p(T > C) =
= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(molto meglio!)
2
2
5
10
1
1
⋅ ⎜⎛ ⎟⎞ 1 − 252 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 2⎠ =
⎝ 2⎠
2
=
