Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Lezione 5
Simmetrie e leggi di conservazione
Simmetrie in meccanica classica
• Un sistema classico è descritto dal suo insieme di coordinate:
– formalismo lagrangiano
! = T −U
L(q, q)
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂q! ∂q
– formalismo hamiltoniano
H (q, p) = T +U
q! =
∂H
∂H
, p! = −
∂p
∂q
• Simmetrie sono trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la
lagrangiana (o l’hamiltoniana) del sistema.
– Trasformazioni continue
• Traslazioni
• Rotazioni
x → x + x0
• In forma differenziale
x → Rx
x → x + δω × x
• Traslazione
temporale
t → t + t0
t → t + δt
x → x + δx
– Trasformazioni discrete
• Parità:
2
x → −x
• Inversione temporale
t → −t
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Simmetrie in meccanica classica
• Esempi:
– T ed U indipendenti dal tempo:
• simmetria per traslazione ed invarianza temporale
– Moto di una particella in un campo centrale:
1
L(x, x! ) = mx! 2 −U(| x |)
2
• simmetria per rotazioni e parità
– Sistema di due particelle interagenti tra loro
1
1
L(ra , rb , r!a , r!b ) = ma r!a2 + mb r!b2 −U(ra − rb )
2
2
• simmetria per traslazioni
• e per rotazioni e parità se U dipende solo da |ra-rb|
3
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Teorema di Noether
• Introduciamo le parentesi di Poisson:
{F, G} =
∂F ∂G ∂F ∂G
−
∂q ∂p ∂p ∂q
• La derivata rispetto al tempo di una quantità g(p,q) è
{g, H } =
∂g ∂H ∂g ∂H
∂g
∂g
−
= q! + p! = g!
∂q ∂p ∂p ∂q
∂q
∂p
• Se per una data trasformazione definiamo un g in modo tale che δ H = {g, H }
• per una simmetria abbiamo che: δ H = {g, H } = 0
• Se per trasformazioni infinitesimali possiamo scrivere g=εG, G è detto
generatore della trasformazione e:
G! = {G, H } = 0
• Alla simmetria posso associare una quantità conservata.
Teorema di Noether
4
(più noto nel formalismo lagrangiano)
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Simmetrie formalismo hamiltoniano
• Esempi:
=0
– Traslazione
δH =
∂H
∂(δ x ⋅ p) ∂H
∂(δ x ⋅ p) ∂H ∂(δ x ⋅ p) ∂H
δx =
=
−
= − {δ x ⋅ p, H }
∂x
∂p ∂x
∂p ∂x
∂x ∂p
G=p
– Rotazioni
δH =
∂H
∂H
(δω × x) + (δω × p) = ∂ (p ⋅ (δω × x)) ∂H + ∂ ( x ⋅ (δω × p)) ∂H
∂x
∂p
∂p
∂x
∂x
∂p
=
∂ (δω ⋅ (x × p)) ∂H ∂ (δω ⋅ (p × x)) ∂H
∂ (δω ⋅ (x × p)) ∂H ∂ (δω ⋅ (x × p)) ∂H
+
=
−
∂p
∂x
∂x
∂p
∂p
∂x
∂x
∂p
= − {δω ⋅ (x × p), H }
G = x×p
5
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Simmetrie in meccanica quantistica
• In meccanica quantistica le considerazioni sono analoghe al caso
classico, sostituendo le parentesi di Poisson con il commutatore.
• L’evoluzione temporale del valore di aspettazione di una variabile Q è
data dal suo commutatore con l’Hamiltoniana:
d
1
Q =
[Q, H ]
dt
i!
• In particolare Q è una quantità conservata se e soltanto se: [Q, H ] = 0
• L’applicazione di una trasformazione U, lascia invariata l’Hamiltoniana
se:
−1
UHU = H
UH = HU
[U, H ] = 0
• In generale se una trasformazione infinitesima si può scrivere:
U = exp (−iεG )
G è una quantità conservata.
6
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Trasformazioni e generatori
• Consideriamo una traslazione:
ψ( x) → ψ( x −ε)
d
1 2 d2
1 3 d3
1 4 d4
= ψ( x)−ε ψ( x)+ ε
ψ(x)− ε
ψ(x)+ ε
ψ ( x ) +…
dx
2 dx 2
6 dx 3
24 dx 4
⎛ p
= ψ ( x ) −ε⎜i x
⎝ !
⎞
1 2 ⎛ p x ⎞2
1 3 ⎛ px ⎞3
1 4 ⎛ p x ⎞4
⎟ψ ( x ) + ε ⎜ i ⎟ ψ ( x ) − ε ⎜ i ⎟ ψ ( x ) + ε ⎜ i ⎟ ψ ( x ) +…
⎠
2 ⎝ ! ⎠
6 ⎝ ! ⎠
24 ⎝ ! ⎠
– dove abbiamo usato l’operatore di momento px = −i!
• La serie è quella di un’esponenziale:
d
dx
⎛
p ⎞
ψ ( x − ε ) = Uψ ( x ) = exp ⎜ −iε x ⎟ψ ( x )
⎝
! ⎠
• Si può quindi definire il generatore delle traslazioni:
• e se l’Hamiltoniana è invariante per traslazioni
G=
px
!
[ px , H ] = 0
7
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Simmetrie e autovalori
• Dalla relazione di commutazione segue che se ψ è autostato di H, anche Gψ lo è:
H (Gψ ) = (HG)ψ = (GH )ψ = Eψ Gψ
• Se ψ è unico, allora necessariamente deve anche essere autostato di G: Gψ = ηGψ
• Se un certo livello energetico ha n autostati degeneri, ψ1, ψ2, ... ψn,
– Il trasformato di un autostato deve potersi esprimere come sovrapposizione
lineare degli altri:
Gψi = ∑ Gm,iψ m
Gm,i = ψ m | G | ψi
m=1,…n
– Diagonalizzando la matrice Gm,i, si può creare una base di autostati sia di G
che di H.
Gli autovalori di G possono venire usati per classificare gli autostati di H
• Esempio:
– Particella in potenziale a simmetria sferica:
sono conservati L2 e Lx, Ly, Lz, (generatori delle rotazioni).
– Gli autovalori di H, En,l dipendono da L2, con degenerazione n=2l+1
– Tipicamente si scelgono come base autofunzioni:
– che sono i 2l+1 autostati di Lz con autovalore mħ
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ψ n,l,m =
un,l (r)
Yl,m (θ , ϕ )
r
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Simmetrie discrete
• Oltre alle trasformazioni continue, in meccanica quantistica
hanno particolare importanze le trasformazioni discrete:
– Parità P
r ⎯P⎯
→ −r
– Inversione temporale T
t ⎯T⎯
→ −t
– Coniugazione di carica C
• scambio di particelle con antiparticelle
• non ha un analogo classico
• Tutte hanno la proprietà: P2=T2=C2=1
– I possibili autovalori sono solo 1 e -1
9
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Parità
• Grandezze vettoriali possono comportarsi diversamente per
trasformazioni i parità:
– Vettori polari: cambiano segno per parità
• il vettore di coordinate cambia segno per definizione di
trasformazione di parità;
• allo stesso modo la velocità
• ed il vettore di momento
– Vettori assiali: non cambiano segno per parità
• il momento angolare
• lo spin.
• Analogamente esistono:
– grandezze scalari: non cambiano segno per parità
• r2, p2/2m, L2, L⋅S
– grandezze pseudoscalari: cambiano segno per parità
• p⋅S
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Parità e momento angolare
• Nel caso di una particella in un campo centrale:
ψ n,l,m =
un,l (r)
Yl,m (θ , ϕ )
r
• Le funzioni Ylm(θ,φ) sono tali che:
⎡ u (r)
⎤ u (r)
u (r)
P ⎢ n,l Yl,m (θ , ϕ )⎥ = n,l Yl,m (π − θ , ϕ + π ) = (−1)l n,l Yl,m (θ , ϕ )
r
⎣ r
⎦
r
• In aggiunta possiamo assumere che una particella abbia una parità
intrinseca, così come ha un momento angolare intrinseco.
• Per cui
l
Pψ n,l,m = ηψ (−1) ψ n,l,m
• Nel caso di due particelle ed interazione a simmetria sferica, il problemà
è esattamente analogo a quello di particella singola, a patto di prendere
la massa ridotta:
Pψ n,l,m = η1η2 (−1)l ψ n,l,m
• Una volta definita la parità di una particella si possono ricavare le altre
parità relative a partire da questa.
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Parità del campo elettromagnetico
P(E) = −E
• Il campo elettrico E è un vettore polare:
• Il campo magnetico B è un vettore assiale: P(B) = B
• Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di parità:
-1 -1
+1
-1 +1
ρ
∇⋅E =
∇⋅B = 0
ε0
∂B
∂E
∇×E+
= 0 ∇ × B − µ 0ε 0
= µ0 J
∂t
∂t
-1 -1
+1
-1 +1
-1
-1
• Le interazioni elettromagnetiche conservano la parità.
• L’interazione del campo elettromagnetico è di natura polare:
– Forza elettromagnetica: F = q ( E + v × B )
1
– Densità di quantità di moto (vettore di Poynting): S = µ E × B
0
Il fotone ha parità negativa.
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Violazione della parità
• Abbiamo appena detta che le interazioni elettromagnetiche
conservano la parità.
• È sperimentalmente osservato che questo vale anche per le
interazioni forti.
• Non è così per le interazioni deboli
• L’osservazione sperimentale si basa sulla misura del valore di
aspettazione di un’osservabile pseudoscalare S:
S ⎯P⎯
→ −S
• Se P è una simmetria, il valore di aspettazione prima e dopo
l’applicazione della trasformazione deve coincidere:
S ⎯P⎯
→ −S = − S
• quindi se P è una simmetria:
S =− S =0
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Esperimento di Wu et al.
•
•
Lo spin dei nuclei del 60Co è allineato al campo
magnetico esterno B.
Critico raggiungere basse temperature (10-3 K):
–
•
polarizzazione = tanh ( B ⋅ µ / kT )
Violazione di parità tramite osservazione di una
correlazione on B degli elettroni emessi:
rivelatore
fotoni
rivelatore
elettroni
B
non dipende dal segno di B
B̂ ⋅ p̂e ≠ 0
dipende dal segno di B
rivelatore
fotoni
60Co
β
60Ni*
γ
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Elicità del neutrino (Goldhaber 1958)
• Successivamente fu osservata l’elicità degli
elettroni: p̂e ⋅ Ŝe = −β
• Diventa importante poter verificare anche
• Catena di decadimento:
Eu152m
–
– cattura elettronica
ê
– Sm152* (1-)
– emissione γ
ê
– Sm152 (0+)
hν
p̂ν ⋅ Ŝν
ν
152m
Eu
Sm152*
(0-)
mz(Sm)=0,-hν
Q=840 keV
Eγ*=960 keV
• Fotoni emessi lungo la direzione di volo del
nucleo:
Sm152
γ
γ
hγ=-hν
Sm152
hγ=hν
– Hanno la stessa elicità del neutrino
– Sono più energetici
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Apparato sperimentale
• Riassorbimento dei gamma soppresso:
– Righe di emissione ed assorbimento
leggermente spostate
– Emissione: parte dell’energia portata dal
nucleo di rinculo:
Eγ = Eγ* ( 1 − Eγ* / 2M (Sm)c 2 )
– Assorbimeno: parte dell’energia va al
nucleo per conservare il momento
Eγ = Eγ* ( 1 + Eγ* / 2M (Sm)c 2 )
• L’effetto doppler del nucleo in
movimento può compensare la distanza
tra le righe.
– Solo i fotoni emessi nella direzione di
volo del Sm interagiscono con lo
“scatterer”
• Polarimetro
– Il ferro magnetizzato trasmette meglio
fotoni con spin parallelo a quello degli
elettroni
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Elicità del neutrino: risultati
• Invertendo il campo
magnetico:
– Canali A e C non mostrano
cambiamento di rate
– Variazione osservata in B:
N− − N+
= 0.017 ± 0.003
1 N +N
+)
2( −
(dopo aver sottratto il fondo non
risonante)
δ=
– Atteso per elicità 100%:
δ = 0.025
• <hν>=-(68±14)%
– Tenuto conto di effetti
depolarizzanti, compatibile
con 100% nel decadimento
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Violazione della parità
• Il fatto che i neutrini abbiano un’elicità definita presenta una
violazione massimale della parità:
P(ν h=−1 ) = ν h=+1
• che non esiste.
• Analogamente, le antiparticelle tendono ad avere elicità positiva:
p̂e+ ⋅ Ŝe+ = +β
p̂ν ⋅ Ŝν = +1
P(ν h=+1 ) = ν h=−1
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Coniugazione di carica
• L’operatore di coniugazione di carica C scambia particelle con le
rispettive antiparticelle.
−
+
+
−
– Es.: C(e ) = e C(e ) = e
– Tutti i numeri quantici vengono invertiti
– Es.:
n : numero barionico = +1, µ = −1.91µ N
C(n) = n : numero barionico = −1, µ = +1.91µ N
• Come per la Parità si ha che:
– C2=1 ⇒ autovalori possibili ηC=±1
– Solo gli stati completamente neutri possono essere autostati di C
• C del fotone:
– C inverte le cariche del sistema: tutti i campi E e B cambiano di
segno.
C(γ ) = −γ
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Positronio
• Stato legato elettrone-positrone
• Equazione di Schrödinger identica a
quella dell’atomo di idrogeno
– unica differenza la massa ridotta:
µ=
me ⋅ me me
=
me + me
2
↑
– Ci sono quattro possibili configurazioni di spin
– Si combinano in:
• un tripletto con S=1, Sz=+1,0,-1
• un singoletto con S=0
↑↑
↓
↑
↓
1
↑↓ + ↓↑
2
1
2
↓↓
−
• Parità:
ηP = ηe−ηe+ (−1)l
– scambio della posizione relativa delle particelle
– parità intrinseca
S+1
η
=
η
(−1)
C
P
• Coniugazione di carica
– lo scambio di particelle corrisponde alla trasformazione di parità
– in aggiunta scambio anche degli spin: -1 per S=0, +1 per S=1
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Positronio
• Lo stato fondamentale ha l=0
– Stato di singoletto: para-positronio 1s0
– Stato di tripletto: orto-positronio 3s1
– I due stati hanno la stessa parità
ηP = ηe−ηe+
• anche se i livelli differiscono di 8×10-4 eV
non si può transire elettromagneticamente: emissione di un γ cambia parità ηγ=-1
– Ma opposta coniugazione di carica
ηC = ηP (−1)S+1
• Il para-positronio decade in 125 ns in uno stato con 2γ: ηC=+1
• L’orto-positronio decade in 140 µs in uno stato con 3γ: ηC=-1
– ηP=ηe+ηe-=-1: parità di fermione ed antifermione sono opposte
• Risultato, al pari di g=2, predetto dalla meccanica quantistica relativistica
• Verificato direttamente dallo studio della correlazione tra le polarizzazioni ε1 e ε2
dei fotoni uscenti dal decadimento del parapositronio, discrimando i casi:
ψ (2γ ) ∝ ε1 ⋅ ε 2 η2γ = +1
Termine scalare
21
ψ (2γ ) ∝ ( ε1 × ε 2 ) ⋅ k η2γ = −1
Termine pseudo-scalare
momento del fotone
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Violazione della coniugazione di carica
• Nelle interazioni deboli viene anche violata C
• Sempre nel caso del neutrino:
C(ν h=−1 ) = ν h=−1
• che non esiste.
• Tuttavia funziona la trasformazione composta:
CP(ν h=−1 ) = C(ν h=+1 ) = ν h=+1
– CP risulta una simmetria più fondamentale di C e P separatamente
– vedremo che anch’essa sarà violata dalle interazioni deboli, ma ad
un livello molto minore.
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Inversione temporale
• Classicamente l’operatore di inversione temporale T: t→-t
• La versione quantistica è tale che:
T ψ ( r, t ) = ψ * ( r, −t )
i!
– Partendo dall’equazione di Schrödinger:
∂ψ ( r, t )
= H ψ ( r, t )
∂t
– Facendone il coniugato:
∂ψ * ( r, t )
−i!
= H ψ * ( r, t )
∂t
– E poi l’inversione t→-t
∂ψ * ( r, −t )
i!
= H ψ * ( r, −t )
∂t
– ψ*(r,-t) è solutione dell’equazione di Schrödinger con la stessa energia di
ψ(r,t) se THT-1=H
• Sotto T cambiano segno v, p=mv,i L=r×p, S
(p⋅r−Et)
i
− (p⋅r−Et)
e !
→
ψ (p) = e !
→ ψ (p) =
T ψ (p) =
– Es.: particella libera:
– Es.: momento angolare: Yl,m (θ , ϕ ) ∝ eimϕ ⎯T⎯
→ e−imϕ = Yl,−m (θ , ϕ )
23
*
i
(−p⋅r−Et)
e!
= ψ (−p)
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Principio del bilancio dettagliato
• Una conseguenza significativa dell’invarianza temporale è
l’invarianza dell’elemento di matrice:
f Ui =
∫ drψ *f ( r )U ( r )ψi ( r )
⎯T⎯
→ ∫ drψ f ( r )U ( r ) ψi* ( r ) = i U f
• nelle probabilità di transizione:
2π
f Ui
!
2π
P( f → i) =
iU f
!
P(i → f ) =
2
ρ( Ef
2
ρ ( Ei )
)
– Se vale l’invarianze per inversione temporale: |<f|U|i>|=|<i|U|f>|
– la differenza di probabilità è dovuta solamente ai termini di densità di stati.
• In una situazione di equilibrio:
dN f
= N i P(i → f ) − N f P( f → i) = 0
dt
N i P( f → i) ρ (Ei )
=
=
N f P(i → f ) ρ (E f )
Principio del bilancio dettagliato.
24
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Invarianza di crossing
• Il principio del bilancio dettagliato viene spesso applicato insieme
all’invarianza di crossing:
– reazioni derivate spostando una particella da stato iniziale a stato finale (o
viceversa) e trasformandola in antiparticella.
– Se A + B → C + D ha elemento di matrice: M (p A , p B , pC , p D )
funzione dei momenti delle particelle.
– Allora:
•
•
•
•
A → B + C + D → M (p A , −p B , pC , p D )
A + D → B + C → M (p A , −p B , pC , −p D )
A + C → B + D → M (p A , −p B , −pC , p D )
B + C → A + D → M (−p A , p B , −pC , p D )
... e tutte le altre permutazioni
• Il tasso delle reazioni è poi determinato dal termine di densità di stati.
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Decadimento β inverso
• (anti)neutrini vengono prodotti dai decadimenti β±
A
A
−
– ZA X → Z−1A X ʹ + e+ + ν
Z X → Z+1 X ʹ + e + ν
– dove il Q-valore della reazione è Q=M(A,Z)-M(A,Z±1)-me Masse nucleari!
• I processi di interazione si ottengono applicando:
A
+
A
– inversione temporale:
Z−1 X ʹ + e + ν → Z X
A
−
Z+1 X ʹ + e
+ ν → ZA X
A
A
−
A
A
+
– crossing:
Z−1 X ʹ + ν → Z X + e
Z+1 X ʹ + ν → Z X + e
• L’elemento di matrice del decadimento β:
GF (!c)3
GF ( !c )3
*
f HW i =
∫ dr ψ A,Z+1(r) ( OX )ψ A,Z (r) = V M fi
V
V
– si applica anche al decadimento β inverso
2
2
2 5
G M
mc
– dall’espressione della larghezza di decadimento: Γ = ! = F fi ( e ) f ( Z,Q )
τ
2π 3
(!c)6
2π 3
2
f HW i = Γ 2
! T $ p !
T $! Q − T $
V (mec 2 )5 f (Z,Q)
f ( Z,Q ) = ∫
d#
&
#1+
&#
& F ( Z,T )
Q/mec 2
0
26
2
e
e
2
" mec % mec "
e
e
2
mec 2 %" mec %
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e
Decadimento β inverso
• Calcoliamo la sezione d’urto del decadimento β inverso.
– L’espressione per il tasso di transizione:
λ=
2π
!
f HW i
2
ρ( Ef
)
– Il termine di densità di stati, se
trascuriamo la piccola quantità di
energia portata via dal nucleo:
dN V × 4π pe2 dpe
ρ (E f ) =
=
=1
dE f
(2π !)3 dE f
V × 4π pe Ee dEe
V × 4πβe Ee2
( pc)d ( pc)=EdE
⎯ ⎯⎯⎯⎯
→
=
(2π !)3 c 2 dE f
(2π !c)3
– dove: Ee=Eν-Q-me
– dalla condizione Ee≥me, abbiamo
l’energia di soglia del neutrino:
Eν>Q+2me
– Esercizio: dimostrare che la relazione
relativistica corretta è:
⎡
Q + 2me ⎤
Eν ≥ ( Q + 2me )⎢1 +
⎥
⎣
27
2M (A, Z ± 1) ⎦
• Tasso di transizione:
=0 alla soglia
2π (!c)6
2 π 3!
V × 4πβe Ee2
λ=
! V 2 (mec 2 )5 τ f (Z,Q) (2π !c)3
(!c)3
βe Ee2
= 2π
V (mec 2 )5 τ f (Z,Q)
2
• Confrontando con la relazione per
la sezione d’urto:
Fascio di una
particella:
dn/dt = λ
dn
= I o nT dσ
dt
Un bersaglio
nel volume V:
nT=1/V
Un (anti)neutrino percorre lo
spessore d con velocità c: I0=c/d
βe Ee2
!
2
σ = 2π
(!c)
(mec 2 )5 f (Z,Q) τ
2
Rapporto delle
densità di stati.
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Teorema CPT
• Abbiamo visto che C e P sono violate dalle interazioni deboli.
– tali simmetrie non sono simmetrie fondamentali della natura
• Si può invece dimostrare che:
– Una teoria quantistica:
• invariante per trasformazioni di Lorenz
• locale
• con Hamiltoniana hermitiana
– deve essere invariante rispetto al prodotto delle tre trasformazioni C,
P, T
• Conseguenze della simmetria CPT:
– particelle ed antiparticelle devono avere la stessa massa
– particelle ed anti-particelle devono avere la stessa vita media totale
• Verifiche di tale simmetria si effettuano:
– nelle proprietà di particelle
– nella ricerca di violazioni all’invarianza per trasformazioni di Lorentz
– arxiv:0801:0287 per una rassegna dello stato sperimentale
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Appendice
FORMULE PER SCATTERING
COMPTON POLARIZZATO
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Scattering Compton polarizzato
•
(
Nel sistema di riferimento in cui l’elettrone
è in quiete:
E0 , k = E0 ,0,0, E0
) (
)
e
2
dσ 1 2 " E %
= r $ ' Φ0 + Φ1 + Φ 2
dΩ 2 e $# E0 '&
(
•
•
dove re è il raggio classico dell’elettrone:
e2
1
re =
= 2.8 fm
4πε 0 me c 2
•
Φ1 = − sin 2 θ cos 2φ
Polarizzazione lineare:
φ angolo azimutale tra direzione di
scattering e polarizzazione del fotone.
30
e
(
)
E, k! =
)
( E, E sin θ cos φ , E sin θ sin φ , E cosθ )
(
E0 + me − E, k − k!
)
1− cosθ
Φ 2 = −ξ
ζ ⋅ k cosθ + k!
me
E E0
+
− sin 2 θ
E0 E
è la sezione d’urto non polarizzata
(
γ
e l’energia E del fotone uscente è collegata
all’angolo di emissione θ dalla relazione:
E
1
=
E0 1 + ( E0 / me )(1 − cos θ )
Φ0 =
•
γ
)
me , 0
(
•
)
Polarizzazione longitudinale
• ξ=±1 elicità del fotone
• ζ=vettore di spin dell’elettrone (ζ2=1)
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