Acceleratori

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Lezione 10
Acceleratori
Acceleratori
•  Gli acceleratoti sono, insieme ai rivelatori, una delle componenti essenziali per la
sperimentazione in fisica nucleare e subnucleare.
–  Per esplorare dimensioni x, è necessario avere sonde con lunghezza d’onda λ=ħ/p<x
–  L’acceleratore attuale più potente, Large Hadron Collider, p~1 TeV/c, x~10-4 fm
•  I grandi acceleratori sono delle infrastrutture collocate in laboratori che fungono
da centri ricerca aperti a più esperimenti.
•  La fisica degli acceleratori è una settore di ricerca ormai completamente
autonomo e con applicazioni ben al di là della fisica subatomica.
•  Toccheremo solo alcuni aspetti:
–  L’accelerazione ad alta energia richiede campi elettromagnetici variabili:
ciclotrone e sincrotrone
–  Perché si possa produrre un fascio di particelle è necessario che il meccanismo di
accelerazione sia “stabile”:
stabilità di fase e oscillazioni di betatrone
–  Negli esperimenti particelle di un fascio possono venire fatte interagire con un
bersaglio o con un altro fascio:
esperimenti a bersaglio fisso o collisori.
–  Concetto di luminosità
2
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Acceleratori elettrostatici
•  Gli acceleratori più semplici si basano su una
differenza di potenziale elettrostatica.
•  Sono limitati ad energie di ~10 MeV
–  massima differenza di potenziale elettrostatico
che si riesce a mantenere.
•  Cockroft-Walton
•  Van der Graaf
•  Tandem
3
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Moto in un campo magnetico
• 
L’equazione del moto di una particella
carica in un campo magnetico è
• 
l’equazione del moto diventa pertanto
dv
= v × Ωv
dt
dp
= ev × B
dt
• 
• 
in relatività ristretta la quantità di moto
si può scrivere come pc = ε v/c con
–  ε l’energia della particella
–  v la sua velocità
l’equazione del moto diventa
• 
dp 1 dε
ε dv
= 2 v+ 2
= ev × B
dt c dt
c dt
• 
• 
dε
=0
dt
ritroviamo il risultato che il campo
magnetico non fa lavoro e l’energia si
conserva
4
nel caso non relativistico: T=cost.
nel caso relativistico: T=1/γ
Per trovare il raggio della circonferenza
2π R
= v → R = vT = v
T
Ωv
2π
vε
p
βε
=
pc
R=
R
=
eB
eBc 2
moltiplicando per v si ottiene ( v è perpendicolare a dv e a v×B )
• 
eB 2
c
ε
cioè la velocità precessa con velocità
angolare Ωv
se v è perpendicolare a B la traiettoria
della particella è una circonferenza percorsa in un tempo T = 2π/Ωv
– 
– 
• 
Ωv =
• 
esprimendo il momento in GeV, il raggio in
metri e il campo magnetico in Tesla
p = 0.299792458 R B
p = 0.3R B
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Ciclotrone
•  Incrementi graduali dell’energia attraverso multipli passaggi
attraverso la stessa differenza di potenziale.
V (t) = cos(Ωvt)
Lawrence con il primo
ciclotrone, 1932
• 
• 
Campo magnetico per forzare
traiettorie cicliche.
Potenziale risonante:
Ωv =
eB
me
–  frequenza di ciclotrone
• 
5
Adatto per velocità non
relativistiche:
–  richiede frequenza
variabile ~1/γ
–  Costo del magnete ~R2~p2
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Sincrotrone
•  Cavità a radiofrequenza
forniscono il campo elettrico accelerante:
–  E = 1-10 MV/m
–  f = 100-500 MHz
–  Tempo necessario per
percorrere l’anello deve
essere un multiplo esatto
del periodo di oscillazione del campo elettrico
T=1/f.
–  acceleratore sincrono
•  Raggio di curvatura definito
per costruzione:
–  il campo magnetico prodotto dai dipoli varia seguendo l’energia del fascio.
•  Sezioni rette tra gli archi per
inserire rivelatori o linee di fascio.
6
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Sincrotrone: LHC
Cavità acceleratrici LHC
Magneti LHC
15 m
7
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Sincrotrone: LEAR
8
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
CERN accelerator complex
9
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Sincrotrone
•  Consideriamo come esempio LHC:
–  Frequenza delle cavità:
f=400.8 MHz,
periodo 1/f=2.495×10-9 s
–  Circonferenza: C=26.659 km,
periodo di rotazione
T=C/c=88.92 ×10-6 s
–  In un giro la cavità effettua un numero di oscillazioni:
T⋅f = 88.92×10-6 s 400.8×106 s-1= 35641
–  Per un energia dei fasci di 7 TeV serve un campo magnetico:
B=p / 0.3 R = 7×103 2π/0.3 C = 5.5 T
–  I fasci possono circolare anche per 12 ore: 0.48 ×109 rivoluzioni
La stabilità è un aspetto critico!
10
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Sincrotrone
•  Traiettoria di riferimento:
–  particella sincrona
–  moto esattamente circolare
–  con periodo giusto rispetto all’RF
•  Stabilità rispetto a
divergenza e posizione
–  Oscillazioni di betatrone
•  Stabilità rispetto alla
sincronia con RF
–  Stabilità di fase
11
S
N
z
N
S
x
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Oscillazione di betatrone
• 
– 
– 
• 
– 
– 
12
Lasciate propagare liberamente, tenderebbero ad allargarsi.
Devo mantenerle focalizzate.
N
S
S
N
y
Lenti magnetiche:
– 
– 
– 
• 
x
Le particelle di un fascio hanno una loro divergenza:
Magneti quadrupolari
Campo magnetico crescente con la distanza dall’orbita di equilibrio:
Danno un impulso tanto maggiore quanto più la particella è lontana
dall’orbita di equilibrio
Problema:
•  Se convergente in una direzione, divergente nell’altra.
•  Vanno sempre a coppie:
convergente+divergente = convergente
Le particelle compiono oscillazioni attorno all’orbita di equilibrio:
Queste oscillazioni trasversali sono dette oscillazioni di betatrone.
By
x
Bx
y
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Oscillazioni di betatrone
•  Per fare un’analisi più quantitativa del x
processo, introduciamo nel piano
dx
x! =
trasverso le coordinate curvilinee:
dℓ
x′=ℓ⋅dx/dℓ
x
•  ℓ = lunghezza lungo la traiettoria di riferimento della particella sincrona,
corrispondene al valore nominale di p e R nel campo dipolare B.
x = 0 x! = 0
•  Per tale traiettoria:
•  Per una particella su una traiettoria passante per il punto
x(ℓ = 0) = x0
ℓ
" = 0) = x"0
x(ℓ
•  se sente solo il campo di dipolo B, avrà dopo una distanza L coordinate:
x(ℓ = L) = x0 + Lx"0
" = L) = x"0
x(ℓ
⎛ x(L) ⎞ ⎛ 1 L ⎞⎛ x(0) ⎞
⎟⎟ = ⎜
⎟⎟
•  In forma matriciale: ⎜⎜
⎟⎜⎜
!
!
⎝ x(L)
⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝ x(0)
⎠
•  Stesso procedimento possiamo fare per la y
13
ℓ
y
y′=ℓ⋅dy/dℓ
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Oscillazioni di betatrone
x
•  Una particella che passa ad un distanza x dal centro di un
quadrupolo, sente un campo magnetico proporzionale a x:
By =
dBy
x
dx
N
S
S
N
y
•  e percorrendo il quadrupolo di lunghezza
impulso trasverso:
piccola(*)
d riceve un
dBy
d
dx
dB d
Δp
Δx! = x = −x y
p
dx p
By
Δpx = Fx Δt = − ( qvBy ) ( d / v ) = −qBy d = −qx
v~vℓ
•  che corrisponde ad una variazione:
x
Bx
•  Al passaggio attraverso il quadrupolo abbiamo:
⎛ x ⎞
⎜
⎟
⎝ x! ⎠after
(*)
14
⎛
⎞ ⎛
⎞
xbefore
1
0
⎜
⎟ ⎜
⎟⎛ x ⎞
=⎜
=
dB
dBy d ⎟ ⎜
y d
⎟⎜ ! ⎟
−q
1
!
x
−
x
q
before
before
⎟⎝ x ⎠before
⎜
⎟ ⎜
dx
p
dx
p
⎝
⎠
⎝
⎠
y
piccola: sulla lunghezza d del quadrupolo possiamo trascurare la divergenza dx!
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Oscillazioni di betatrone
x
•  Ripetendo lo stesso discorso per la componente y:
Δpy = Fy Δt = ( qvBx ) ( d / v ) = qBx d = qy
v~vℓ
•  che corrisponde
⎛
⎛ y ⎞
⎜
⎜
⎟
=
⎜
⎜ y! ⎟
⎝
⎠after ⎜
⎝
S
S
N
By
⎞
⎟
⎟
⎠before
x
Bx
dBx dBy
=
dy
dx
•  e possiamo definire una lunghezza focale:
15
N
y
Δpy
dB d
!
Δ
y
=
= yq x
ad una variazione:
p
dy p
⎞ ⎛
ybefore
1
0 ⎞⎛
⎟ ⎜
⎟ y
=
dB d ⎟ ⎜ dBx d
⎟⎜⎜ y!
q
1
!ybefore + ybefore q x
⎟⎝
dy p
dy p ⎟⎠ ⎜⎝
⎠
•  Per un quadrupolo abbiamo
(*)
dBx
d
dy
f =
p
q ( dBy / dx ) d
y
piccola: sulla lunghezza d del quadrupolo possiamo trascurare la divergenza dx!
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Oscillazioni di betatrone
•  Se f>0 allora il quadrupolo risulta focalizzante in x e defocalizzante in y:
⎛ 1
⎛ x ⎞
= ⎜⎜
⎜
⎟
⎝ x! ⎠after ⎝ −1 f
⎞⎛ x ⎞
⎟⎟⎜
⎟
!
x
⎝
⎠before
⎠
0
1
⎛ x ⎞ quadruplo ⎛ 1
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜⎜
⎝ 0 ⎠
⎝ −1 f
⎛ y ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
= ⎜⎜
⎜ y! ⎟
⎝
⎠after ⎝ 1 f
0
1
⎞⎛ x ⎞ ⎛
⎞
x
⎟⎟⎜
⎟⎟
⎟ = ⎜⎜
−x
/
f
⎠
⎠⎝ 0 ⎠ ⎝
⎞⎛ y ⎞
⎟
⎟⎟⎜⎜
⎟
!
y
⎠⎝
⎠before
⎛ y ⎞ quadruplo ⎛ 1
⎜⎜
⎟⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜⎜
⎝ 0 ⎠
⎝ 1 f
16
0
1
f
0
1
⎛ y
⎞⎛ y ⎞
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎠⎝ 0 ⎠
⎝ y/ f
f
⎞
⎟
⎟
⎠
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Oscillazioni di betatrone
•  Combinando quadrupoli con diversa orientazione in una cella insieme a dei dipoli:
–  Focus+Drift+Defocus+Drift
•  Matrice di trasformazione:
⎛ x ⎞
⎛ 1 L ⎞⎛ 1
=⎜
⎜
⎟
⎟⎜⎜
!
0
1
x
⎠⎝ 1 f
⎝
⎠after ⎝
⎛ x ⎞
⎜
⎟
⎝ x! ⎠after
0
1
⎞⎛ 1 L ⎞⎛ 1
⎟⎟⎜
⎟⎜⎜
0
1
⎠⎝ −1 f
⎠⎝
⎛
2
L
L
⎜ 1− −
f f2
⎜
=⎜
L
⎜
−
⎜
f2
⎝
0
1
⎞⎛ x ⎞
⎟⎟⎜
⎟
!
x
⎠before
⎠⎝
L2 ⎞⎟
2L +
f ⎟⎛ x ⎞
⎟
⎟⎜
L ⎟⎝ x! ⎠before
1+
f ⎟⎠
•  Risolvendo l’equazione agli autovalori si ottiene che, per L<2f, gli autovalori sono:
⎛
L2 ⎞
L2 ⎛
L2 ⎞
λ± = − ⎜ 1 − 2 ⎟ ± i 2 ⎜ 1 − 2 ⎟
f ⎝ 4f ⎠
⎝ 2f ⎠
λ±
2
=1
•  Gli autovettori cambiano solo di una fase:
oscillazioni stabili
17
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Betatrone
•  Il Betatrone è un acceleratore
per elettroni di moderata
energia.
•  La forza elettromotrice è
generata facendo variare il flusso
nel campo magnetico tra i poli
del magnete.
•  Effetto focalizzante del campo
magnetico ai bordi.
18
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Stabilità di fase
• 
Una particella circola con energia costante se, quando
passa per la cavità a radio-frequenza RF, trova un campo
elettrico che compensa l’energia persa in un giro.
Il periodo deve essere un multiplo del periodo dell’RF:
T0 =
• 
Una particella più energetica:
– 
– 
– 
– 
• 
19
Raggio R maggiore
Impiega più tempo
Arriva più tardi
Sente un campo inferiore: perde energia
Una particella meno energetica:
– 
– 
– 
– 
• 
2π R0
2π
1
=
p0 = N
c
0.3Bc
f
RF
• 
Raggio R minore
Impiega meno tempo
Arriva più presto
Sente un campo maggiore: guadagna energia
L’orbita di equilibrio è stabile!
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Radiazione di sincrotrone
•  Particelle cariche in moto circolare
uniforme subiscono un accelerazione
centripeta:
a ! β 2c
v2
=β=
a=
R
c
R
•  La potenza emessa da una carica
accelerata è data dalla formula di
Lienard-Larmor:
! !"
e 2 6 ⎡ !" 2
P=
γ β − β×β
6πε 0 c ⎢⎣
(
2⎤
) ⎥⎦
•  Se la particolarizziamo al caso di moto
circolare:
a⊥v
!
e2 6 ⎡
2 ⎤ "2
P=
γ 1 − β ⎦β
6πε 0 c ⎣
1/γ2
e 2 4 !" 2
=
γ β
6πε 0 c
e2 4 β 4c 2
e 2 ⎛ p ⎞4 c
=
γ
=
⎜ ⎟
6πε 0 c
6πε 0 ⎝ m ⎠ R 2
R2
20
•  In particolare l’energia persa in un
giro è:
2π R
e2 ⎛ p ⎞
ΔE = P
=
⎜ ⎟
c
3ε 0 R ⎝ m ⎠
•  Questa energia compensata con
quella fornita dalla RF
Esempio:
•  LEP (Large Electron-Positron collider)
era un acceleratore per elettroni
nello stesso tunnel di LHC: R=4.2 km
•  Ha prodotto fasci fino ad un’energia
di 100 GeV:
–  γ=2×105
4π !c 4
α γ
•  Energia persa per giro: ΔE =
3
R
−15
=
4π 1 200 MeV ⋅10 m
(2 ×10 5 )4
3
3 137
4.3 ×10 m
= 22.8 ×10 2 MeV = 2.3GeV
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Radiazione di sincrotrone
•  La potenza richiesta alle cavità RF pone dei limiti alla costruzionie di
acceleratori di elettroni di grande energia.
•  Piuttosto applicazione di acceleratori dedicati alla produzione di luce di
sincrotrone:
4 !c 3
γ
–  sorgenti X intense e collimate !ω =
R
5 3
Booster
Linac
Sale
sperimentali
21
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Bersaglio fisso e collisori
•  Gli acceleratori vengono utilizzati con due modalità di funzionamento
–  fascio estratto: esperimenti a bersaglio fisso
–  collider: collisione di fasci
•  La modalità con fascio estratto è la più semplice da utilizzare
•  La differenza principale fra le due modalità è la massima energia
disponibile per produrre nuove particelle
–  fondamentale nella scoperta di nuovi fenomeni
•  Vediamo qual’è l’energia minima che deve avere un protone per produrre
una particella di massa MX
–  In una collisione di un protone fascio con un nucleone bersaglio si ha
p + N → Nʹ + X
–  dove N′ è un nucleone o insieme di nucleoni, necessario alla conservazione di
numeri quantici (carica, numero barionico,…)
–  dalla cinematica
2
2
s = ( p p + pN ) = ( pN ʹ + pX )
•  La soglia per la produzione corrisponde al valore di s per il quale nel
centro di massa la particelle N′ e la particella X sono a riposo
–  L’energia è stata usata solo per produrre massa (zero energia cinetica)
22
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Bersaglio fisso e collisori
•  Il valore di s corrispondente è
s = ( mN ʹ + M X )2
•  Per un esperimento a bersaglio fisso si ha
2
s = ( p p + pN ) = m 2p + mN2 + 2mN E p
–  l’energia minima per la produzione della massa MX è pertanto
Ep =
( mN ʹ + M X )2 − m 2p − mN2
M X2
Ep ∼
2m p
2mN
•  Per un esperimento con fasci in collisione simmetrici, si ha
–  N=p e EN=Ep:
pp =
(
Ep
pp
),
pN =
(
Ep
−p p
)
2
2
2
s = ( p p + pN ) = ( E p + E N ) = 4E p
–  l’energia minima per la produzione della massa MX è pertanto
mN ʹ + M X
M
Ep ∼ X
2
2
•  Con i fasci in collisione, a parità di energia del fascio, si producono
energie nel centro di massa più elevate
Ep =
23
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Luminosità
•  In un collisore due fasci di particelle sono fatti circolare in direzione
opposta e fatti collidere in opportune regiore (punti di intersezione) dove
sono installati i rivelatori
•  I fasci sono raggruppati in pacchetti (bunch):
–  n1 e n2 sono il numero di particelle nei bunch dei due fasci di area (sezione) S
–  La frequenza delle collisioni dei due bunches è f
•  Se σ è la sezione d’urto di un dato processo,
il numero di eventi di quel processo prodotti
al secondo è
dN
n
= n1 f 2 σ
dt
S
In un esperimento a bersaglio fisso:
•  dN/dt = I nTd σ
•  I = intensità del fascio
dell’acceleratore
•  nTd = densità superficiale del
bersaglio
n2
•  Luminosità Integrata
L
=
n
f
1
•  Si definisce Luminosità
S
•  Si misura in cm-2s-1
•  In un dato esperimento il numero
di eventi prodotti è
N=
24
∫ dN =
∫ n1 f
n2
σ dt = σ
S
∫ L dt
∫ L dt
•  La luminosità integrata è l’inverso di una
sezione d’urto; si misura in nb-1, pb-1…
•  Se in un esperimento, si misurano N
eventi, nota la luminosità integrata la
sezione d’urto è
σ = N / ∫ L dt
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10
A. Andreazza - a.a. 2015/16