Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Lezione 11
Equazione di Klein-Gordon
e potenziale di Yukawa
Equazione di Klein-Gordon
• Per preparare lo studio delle proprietà delle interazioni, diamo
una breve occhiata ad una generalizzazione relativistica
dell’equazione di Schrödinger.
• Equazione di Klein-Gordon
– Dalla trattazione relativistica compare un’equazione di continuità
analoga a quella classica
– Che permette di intuire la necessità di introdurre anti-particelle:
• conservazione dei numeri quantici barionico ed elettronico
– Cercando soluzioni statiche mostreremo come un potenziale a breve
range può essere interpretato con lo scambio di una particella
massiva:
– Dal calcolo delle sezioni d’urto si ottengono relazioni per l’intesità
relativa delle forze
• Questa discussione è una forma estesa del cap. 9 del Das-Ferbel
2
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Equazione di Klein-Gordon
• L’equazione di Schrödinger per una particella libera è palesemente non
relativisticamente invariante:
!2 2
∂
−
∇ ψ = i! ψ
2m
∂t
• è stata ricavata dala relazione:
p2
E=
2m
• Effettuando la sostituzione operatoriale:
∂
, p = −i! ∇
∂t
• Per trovare una generalizzazione relativistica, possiamo utilizzare delle
relazioni relativistiche:
– tetra-vettore energia impulso:
( E p)
∂
p
⇒
i!∂
=
i!
ν
ν
– con l’identità operatoriale
∂xν
E = i!
– e la relazione energia momento:
3
p 2 = pν pν = E 2 − p 2 = m 2
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Equazione di Klein-Gordon
• Sostituendo gli operatori nelle relazione energia-impulso, otteniamo
l’equazione di Klein-Gordon:
∂2
2
2
φ
−
∇
φ
+
m
φ =0
2
∂t
– Cerchiamo soluzione nella forma di onde piane:
φ = Ne−ip⋅x
• N è un coefficiente di normalizzazione
– La condizione che deve soddisfare il tetravettore p è:
(−E
2
+ p2 + m2 ) φ = 0
– Per un dato valore del momento, esistono due soluzioni:
E = ± p 2 + m 2 = ±Ep
φ+ = Ne
−iEpt+ip⋅x
• soluzioni con energia negativa: φ− = Ne
+iEpt+ip⋅x
• soluzioni con energia positiva:
4
Ep definita come
sempre positiva
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Corrente di probabilità (Schrödinger)
• Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata:
∂
1 2
∂
1 2 *
ψ+
∇ ψ=0
−i ψ * +
∇ ψ =0
∂t
2m
∂t
2m
• Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ* e ψ:
∂
1
∂
1 * 2
−iψ ψ * +
ψ∇ 2ψ * = 0
iψ * ψ +
ψ ∇ ψ=0
∂t
2m
∂t
2m
i
• Sottraendo le due equazioni:
• Da cui si ricava:
i
iψ *
∂
∂
1 * 2
1
ψ + iψ ψ * +
ψ ∇ ψ−
ψ∇ 2ψ * = 0
∂t
∂t
2m
2m
∂ *
1
ψ ψ) +
∇ (ψ *∇ψ − ψ∇ψ * ) = 0
(
∂t
2m
∂ 2
i
ψ −
∇ (ψ *∇ψ − ψ∇ψ * ) = 0
∂t
2m
• Che si identifica come un’equazione di continuità:
• Se identifichiamo la densità: ρ=|ψ|2
• e la densità di corrente: J=(-i/2m)[ψ*∇ψ-ψ∇ψ*]
5
∂
ρ +∇⋅J = 0
∂t
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Corrente di probabilità (Schrödinger)
• Nel caso particolare di onde piane:
• La densità:
• La corrente:
2
ρ=ψ = N
J=−
ψ = Ne
6
p2
t+ip⋅x
2m
2
i
i
ψ *∇ψ − ψ∇ψ * ) = −
ψ * (ip)ψ − ψ (−ip)ψ * )
(
(
2m
2m
=
• Ovvero:
−i
p
2p 2
2
ψ *ψ + ψψ * ) =
ψ =vψ
(
2m
2m
2
J = vρ = N v
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Corrente di probabilità (Klein-Gordon)
• Ripetiamo lo stesso procedimento con l’equazione di Klein-Gordon:
∂2 *
∂2
2 *
2 *
2
2
φ
−
∇
φ
+
m
φ =0
φ
−
∇
φ
+
m
φ
=
0
2
2
∂t
∂t
• Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per 𝜙* e 𝜙:
∂2
φ 2 φ − φ *∇ 2φ + φ *m 2φ = 0
∂t
*
∂2 *
φ 2 φ − φ∇ 2φ * + φ m 2φ * = 0
∂t
∂2
∂2 * * 2
2 *
• Sottraendo le due equazioni: φ 2 φ − φ 2 φ − φ ∇ φ + φ∇ φ = 0
∂t
∂t
*
• Da cui si ricava:
∂⎛ * ∂
∂ *⎞
φ − φ φ ⎟ − ∇ (φ *∇φ − φ∇φ * ) = 0
⎜φ
∂t ⎝ ∂t
∂t ⎠
• Che si identifica anch’essa come un’equazione di continuità:
⎛ ∂
∂ ⎞
ρ = i ⎜φ * φ − φ φ * ⎟
J = −i (φ * ∇φ − φ∇φ * )
⎝ ∂t
∂t ⎠
• e si può esprimere in maniera covariante
7
∂
ρ +∇⋅J = 0
∂t
Jν = −i (φ *∂ν φ − φ∂ν φ * )
∂ν Jν = 0
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Corrente di probabilità (Klein-Gordon)
φ = Ne−iEt+ip⋅x
• Nel caso particolare di onde piane:
• La densità:
⎛ ∂
*
*
∂ ⎞
ρ = i ⎜φ * φ − φ φ * ⎟ = i (φ * (−iE)φ − φ (iE)φ * ) = E (φ φ + φφ )
⎝ ∂t
∂t ⎠
2
ρ=2 N E
2
• Le soluzioni con energia positiva hanno densità: ρ = 2 N Ep > 0
2
• Le soluzioni con energia negativa hanno densità: ρ = −2 N Ep < 0
• Nella densità compare anche un termine proporzionale a γ
→ effetto relativistico dovuto alla contrazione del termine di volume
• La corrente: J = −i φ * ∇φ − φ∇φ * = −i φ * (ip)φ − φ (−ip)φ * = p φ *φ + φφ *
(
)
(
)
J = 2p N
• Le soluzioni con energia positiva:
• Le soluzioni con energia negativa:
8
(
)
2
J = 2pρ / 2Ep = βρ
J = −2pρ / 2Ep = −βρ
β = p / Ep
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Particelle ed anti-particelle
• Nell’equazione di Klein-Gordon le soluzioni ad energia negativa sorgono perché
l’equazione è del secondo ordine nelle derivate temporali.
• Dirac scrisse un’equazione relativisticamente invariante al primo ordine:
– descrive i fermioni – particelle con spin 1/2
– anche in tal caso si trovano soluzioni con energie negative
• In una formulazione relativistica della meccanica quantistica, queste soluzioni
sono identificabili con le anti-particelle:
– la carica conservata Q = ∫ dV ρ
– è la differenza tra numero di particelle ed antiparticelle
• L’esistenza di anti-particelle entra a forza nella meccanica quantistica
relativistica.
• Esempio: processo di scambio carica: non è possibile distinguere i due processi
p emette un π+ che viene assorbito dal n
p+Δp
p
-Δp
9
-p-Δp
Δp
-p
n emette un π- che viene assorbito dal p
p+Δp
p
-Δp
-p-Δp
Δp
-p
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Particelle ed anti-particelle
• 1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici
Nobel 1936
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Particelle ed anti-particelle
• 1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici
• 1955: produzione di anti-protoni in collisioni p-N
Nobel 1936
11
Nobel 1959
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Particelle ed anti-particelle
• Particelle e rispettive anti-particelle hanno la stessa massa:
– entrambe soddisfano l’equazione E2-p2=m2
• e lo stesso spin.
• Le altre cariche hanno segno opposto:
– elettrone,
– protone,
q=-1
q=+1
µ=+2.79µN
I3=+1/2
positrone,
antiprotone,
q=+1
q=-1
µ=-2.79µN
I3=-1/2
• ...questo vale anche per particelle neutre:
– neutrone,
q=0
µ=-1.91µN
I3=-1/2
antineutrone,
q=0
µ=+1.91µN
I3=+1/2
• In alcuni casi, particelle neutre sono le antiparticelle di sè stesse.
– tipicamente accade per bosoni
– Il caso più notevole è il fotone, γ
– per queste non vale una legge di conservazione del numero di particelle
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Particelle ed anti-particelle
• La conservazione del numero totale di particelle – antiparticelle vale
individualmente per le singole specie.
• Nel caso di simmetrie interne, come lo spin isotopico, la funzione d’onda ha
⎛
⎞
diverse componenti:
φ ( x ) = a ( x ) p + b ( x ) n = ⎜ a(x) ⎟
p = 1 , n = 0
⎝ b(x) ⎠
(0)
(1)
– Le interazioni deboli possono causare spostamenti da una componente all’altra
– La legge di conservazione si applica quindi solo alla funzione d’onda globale, non alle
singole componenti.
– Conservazione del numero barionico:
• numero di nucleoni – numero di anti-nucleoni
• vedremo più avanti che il nome serve ad indicare una classe più ampia di particelle,
i barioni, di cui il nucleone è la particella più leggera
• Interazioni forti ed elettromagnetiche conservano separatamente i numeri di n e p
• Stabilità del protone:
– conseguenza della conservazione del numero barionico è che il p, essendo il barione più
leggero, è stabile.
– il limite inferiore alla vita media del protone è τp>1031 anni
(da confrontarsi con l’età dell’universo 12×109 anni)
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Neutrini ed anti-neutrini
• Abbiamo evidenza che neutrini ed anti-neutrini sono particelle differenti:
– In un reattore nucleare, (anti)neutrini vengono prodotti insieme con eattraverso decadimenti β-: (Z, A) → (Z +1, A) + e− + ν e
– questi possono venire osservati tramite la reazione:
• ν e + p → e+ + n (esperimento di Reines e Cowan)
−
• non si osserva invece: ν e + n → e + p
– Nei processi di fusione, neutrini vengono prodotti insieme con e+
p + p → d + e+ + ν e
– questi sono stati osservati tramite reazioni del tipo:
• ν e + 37 Cl → 37 Ar + e− (esperimento di Davis)
37
37
+
• non si osservano processi analoghi come: ν e + Cl → S + e
• L’interpretazione è molto simile a quanto fatto per i nucleoni:
– dal punto di vista delle interazioni deboli, |e-⟩ e |νe⟩ sono due stati
corrispondenti ad una simmetria interna
– isospin debole: I=1/2, |νe⟩ I3=+1/2, |e-⟩ I3=-1/2
– Conservazione del numero elettronico
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Decadimenti doppio β
• Nella formula di Weiszäcker
2
3
B ( A , Z ) = - a1A + a2A + a3
Z2
A
1
3
+ a4
( A - 2Z )2
A
± a5A -
3
4
• Un nucleo con A pari può essere
– pari-pari a5 < 0
– dispari-dispari a5 > 0
– ci sono due possibili parabole
• I casi del tipo Cd–In-Sn sono molto interessanti
– È possibile un decadimento β doppio
A
ZX
→
A
Z−2 X
Z
+ e− + e− + ν e + ν e
• È di grande interesse la ricerca di decadimenti doppio β senza neutrini
– violazione del numero leptonico
– possibile in modelli teorici in cui un neutrino può trasformarsi in un anti-neutrino
A
A
−
ν e + Z−1A X → Z−2A X + e−
νe → νe
Z X → Z−1 X + e + ν e
•
Figura da: Basdevant, Rich, Spiro – Fundamentals in nuclear physics – Springer 2005
15
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Potenziale di Yukawa
• Possiamo anche cercare soluzioni stazionarie
dell’equazione di Klein-Gordon:
∂
φ =0
∂t
• Queste possono essere non nulle solo in
presenza di una carica sorgente:
−∇ 2φ + m 2φ = ηδ (r)
• Se andiamo nello spazio delle trasformate di
Fourier,
φ! (k) = ∫ dVeik⋅rφ (r)
•
l’equazione diventa un’equazione algebrica:
η
k2 + m2
• dovremmo ora calcolare l’anti-trasformata
• è più facile notare the la funzione ottenuta è
la trasformata di:
k 2φ! + m 2φ! = η
16
Esattamente quello che facciamo
per il campo elettromagnetico:
• campo libero:
∂ν ∂ν φ = 0
• campo elettrostatico
−∇ 2φ = ρ / ε 0
• se ρ = eδ (r)
e
φ=
4πε 0 r
φ! =
e−mr
φ =η
4π r
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Potenziale di Yukawa
• L’equazione di Klein-Gordon descrive una particella libera di
massa m con un formalismo covariante
• Il potenziale di Yukawa corrisponde alla soluzione
dell’equazione di Klein-Gordon in corrispondenza di sorgenti
• Questo porta ad identificare concettualmente le interazione
dovute ad un certo potenziale, con la propagazione di
particelle tra le sorgenti di quel potenziale:
e−mr
φ =η
4π r
– range delle interazioni: 1/m
– nel limite m=0 si ha la forma del potenziale elettromagnetico:
interazioni a lungo range
– predizione dell’esistenza di una particella mediatrice delle
interazioni tra nucleoni: il pione
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Intensità delle interazioni
• Finora abbiamo detto che esiste una gerarchia nell’intensità delle interazioni:
1.
2.
3.
4.
•
interazioni
interazioni
interazioni
interazioni
Vogliamo ora quantificare meglio questa relazione
–
–
–
Usiamo la regola d’oro per calcolare la sezione d’urto di una particella in un
potenziale di Yukawa
la sezione d’urto dipende:
e−mr
V (r) = η
•
dalla costante η
4π r
•
dalla massa m (o dal range 1/m della forza)
–
m=0 per interazione elettromagnetiche e gravitazionali
•
dal momento trasferito q=pi-pf nell’interazione
I valori di η stabiliscono una gerarchia
•
•
•
18
forti
elettromagnetiche
deboli
gravitazionali
interazioni forti ≫ interazioni elettromagnetiche e deboli ≫ gravitazione
la differenza tra interazioni elettromagnetiche e deboli dipende dal range delle
interazioni e diminuisce all’aumentare di q2
Fenomeno che suggerisce l’unificazione elettro-debole
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Scattering su potenziale fisso
• La probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno stato
finale f, causata dall’interazione con un potenziale V, è descritta
dalla regola d’oro di Fermi:
P=
• Dove compaiono:
2π
!
f Ui
2
ρ( Ef
– l’elemento di matrice
f Ui =
– Le funzioni d’onda, sono quelle della
particella libera, normalizzate
sul volume
– con momenti
pi = p 0 0 1
pf = p
(
– la densità di stati finali:
(spazio delle fasi)
19
)
)
ψ(r) ∝
(
∫ drψ *f ( r )U ( r )ψi ( r )
1 −ip⋅r
e
V
sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ
cosθ
)
dN Vp 2f dΩ dp f
ρ( Ef ) =
=
dE f (2π !)3 dE f
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Elemento di matrice su potenziale di Yukawa
• L’elemento di matrice:
f Ui =
∫
drψ *f
1 ip f ⋅r e−mr −ipi ⋅r
η
e
=
( r )U ( r ) ψi ( r ) = ∫ dr e η
V
4π r
4π V
η
=
4π V
i
e−mr − ! ( pi −p f )⋅r
∫ dr r e
e−mr −iq⋅r
∫ dr r e
• dove abbiamo introdotto il momento trasferito q=pi-pf
q= p
(
−sin θ cos ϕ
−sin θ sin ϕ 1 − cosθ
)
q 2 = p 2 2 ( 1 − cosθ ) = p 2 4sin 2 θ 2
20
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Elemento di matrice su potenziale di Yukawa
• Per calcolare l’integrale, usiamo le formule:
1 # −α x1
e
− e−α x2 %&
$
α
∫0
• L’elemento di matrice diventa:
η
f Ui =
4π V
x2
∫x
1
dxe−α x =
+∞
dxe−α x =
1
α
e−mr −iq⋅r
∫ dr r e
– per svolgere l’integrale, possiamo scegliere liberamente l’asse z
– usiamolo diretto lungo q:
−mr
+∞
η
−mr 1
2e
−iqr cosθ = 2 πη
dr
re
dcosθ e−iqr cosθ
=
d
ϕ
dcos
θ
drr
e
∫
∫
∫
−1
4π V 0
4π V
r
η +∞ ⎛ 1 ⎞⎡ −(m−iq)r −(m+iq)r ⎤
η +∞
−mr ⎛ 1 ⎞⎡ iqr
−iqr ⎤
=
−e
=
drre
e
−
e
⎜
⎟
⎦
⎦ 2V ∫ 0 dr⎜⎝ iq ⎟⎠⎣ e
⎝ iqr ⎠⎣
2V ∫ 0
η ⎛ 1 ⎞⎡ 1
1 ⎤
=
−
⎜ ⎟⎢
2V ⎝ iq ⎠⎣ m − iq m + iq ⎥⎦
=
η ⎛ 1 ⎞⎡ 2iq ⎤
⎜ ⎟
2V ⎝ iq ⎠⎢⎣ m 2 + q 2 ⎥⎦
η
1
f Ui =
V m2 + q2
21
η ( !c )3
in unità SI
fUi =
V m2c 4 + q2c2
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Termine di spazio delle fasi
• Dalla relazione tra pf ed Ef:
p f = pi =
2ME =
(caso non relativistico)
dp f
=
dE f
2ME f
M=massa particella incidente
(o massa ridotta del sistema)
M
2E
• Ed il termine di densità di stati finali diventa:
dN Vp 2f dΩ dp f
ρ( Ef ) =
=
dE f (2π !)3 dE f
Vp 2f dΩ M
=
(2π !)3 2E
=
22
=
V 2MEdΩ M
2E
(2π !)3
VM 2ME
dΩ
3
(2π !)
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Sezione d’urto
• La probabilità di transizione per unità di tempo è quindi:
2π η 2
( !c )6
P=
! V 2 ( m 2 c 4 + q 2 c 2 )2
⎛ !c ⎞2 1
P=⎜
⎟
⎝ 2π ⎠ V
VM 2ME
dΩ
(2π !)3
v della particella incidente
2E
η2M 2
dΩ
M m2c2 + q2 2
(
)
• confrontandola con la definizione di sezione d’urto:
Il nostro stato ha
una sola particella:
dn/dt = P
dn
= I o nT dσ
dt
Un bersaglio nel volume V:
la densità è: nT=1/V
Una particella, che percorre lo spessore d
con velocità vα: produce un’intensità:
I0=v/d
• Troviamo la sezione d’urto differenziale:
23
⎛ !c ⎞2
η2M 2
dσ = ⎜
dΩ
⎟
⎝ 2π ⎠ m 2 c 2 + q 2 2
(
)
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Sezione d’urto Coulombiana
• Possiamo confrontare questo risultato con la sezione d’urto
classica di Rutherford:
–
–
–
–
M=mα
η=Z Zαe2/ε0
m=0
q2=(mαvα)24sin2(θ/2)=mαEα8sin2(θ/2)
dσ ⎛ !c ⎞2
η2M 2
=⎜
⎟
dΩ ⎝ 2π ⎠ m 2 c 2 + q 2 2
(
)
2
⎛
⎞2
⎛ η M!c ⎞2 ⎛
⎞2
ZZαα !c
ZZ
e
m
!c
α
α
=⎜
⎟ =⎜
⎟
⎟ =⎜
⎝ 2π q 2 ⎠ ⎝ 2πε 0 mα Eα 8sin 2 ( θ / 2 ) ⎠
⎝ Eα 4sin 2 ( θ / 2 ) ⎠
• Si ottiene esattamente lo stesso risultato:
dσ ⎛ ZZαα !c ⎞2
1
=⎜
⎟
dΩ ⎝ 4Eα ⎠ sin 4 θ 2
• Per interazioni tra cariche unitarie:
24
e2
η = = 4πα ≈ 0.09
ε0
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Sezione d’urto forte
• Nel caso limite in cui q≪mc
– corrisponde ai casi in cui il momento della particella incidente è molto minore di mc
dσ η 2 ⎛ M!c ⎞2 η 2 ⎛ M ⎞2
=
⎜
⎟ =
⎜
⎟
dΩ 4π 2 ⎝ m 2 c 2 ⎠ 4π 2 ⎝ m 2 ⎠
η 2 ⎛ M ⎞2
σ = ⎜ 2⎟
π ⎝m ⎠
• Studiando le interazioni nucleone-nucleone, avevamo visto che a basso
momento:
σ = 4π a 2
– a=lunghezza di scattering:
• app = -17.1±0.2 fm
• ann = -16.6±0.5 fm
• Confrontanto le due relazioni abbiamo:
m2
η = 2π a
M
• Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η
– nelle prossime lezioni vedremo che questa particella esiste realmente
– il pione, mπ~140 MeV
η ≈ 10
25
Il valore esatto dipende dalla
scelta del potenziale/
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Sezione d’urto debole
• L’ipotesi di Fermi consisteva in pratica ad assumere un mediatore
con range 1/m≪1 fm
3
– con le convenzioni utilizzate,
fUi =
η ( !c )
V m2c 4 + q2c2
≈
1
GF ( !c )3
V
• Ovvero, nel limite di momenti ≪ m
GF =
η
m2
• Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η
– questa particella effettivamente è stata scoperta nel 1982
– il bosone vettore W, mW=80.385 GeV
η ≈ 0.07
• L’intensità relativa delle interazioni debole ed elettromagnetica:
⎧ η q2
2
⎪ W
2
<<
1
per
q
<< m
2
f VW i
⎪ 4πα m 2
ηW q
σW
=
=
2
2 ⎨
2
4
πα
σ e.m.
m
+
q
f Ve.m. i
⎪ ηW
2
~
1
per
q
>> m
⎪⎩ 4πα
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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 11
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Interazioni gravitazionali
• Per le interazioni gravitazionali il risultato è
immediato:
– m=0
– η=4πGNM2
η = 4π GN M 2 / (!c) = 12 6.67 ×10−11 (1.67 ×10−27 )2 / (6.6 ×10−34 3 ×108 )
= 11×10−11−54+34−8 = 1.1×10−38
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