Buone vacanze !!

COMPITI DI MATEMATICA PER LE VACANZE ESTIVE
Prof. Antonio Cerullo
Classe 1°A a.s. 2013/2014
ALGEBRA
Libro di algebra: Matematica C3 Algebra 1 (manuale completo per il primo anno della secondaria di secondo grado)***
link:
http://www.matematicamente.it/staticfiles/matematica-C3/algebra1_5ed_ridotto.pdf
Polinomi
pagina 204 da 10.2 a 10.8
Prodotti notevoli
pagina 208 da 10.27 a 10.31
Equazioni intere di primo grado
pagine 254-255: da 13.33 a 13.35
Problemi di primo grado
pagine 264-266-267: 14.13, 14.14, 14.15, 14.42, 14.43, 14.44, 14.57
Scomposizioni
pagina 308 da 17.21 a 17.24
Frazioni algebriche
pagina 328 da 19.7 a 19.8, pagina 332 : 19.32, 19.33 e 19.35
Equazioni di altro tipo
pagine 352-353-354 da 20.1 a 20.4, da 20.15 a 20.17, da 20.34 a 20.36
Se ci sono dubbi nello svolgimento di alcuni esercizi, nella teoria di ogni capitolo sono riportati gli esercizi guidati
più semplici e sono riportate anche le formule necessarie (per esempio quelle dei prodotti notevoli); in caso di
ulteriore difficoltà consultare i quaderni con gli appunti.
GEOMETRIA
Libro di geometria: Matematica C3 Geometria Razionale (manuale di geometria per il biennio della scuola secondaria di secondo grado)***
link: http://www.matematicamente.it/staticfiles/matematica-C3/MatematicaC3-Geometria-Razionale-3ed-stampa.pdf
Congruenza nei triangoli
pagine 64-65-66 esercizi 54, 68, 76, 94, 98
Rette parallele
pagina 84-85-86-87-88 esercizi 21, 26, 66, 78, 84, 105, 109, 110
Quadrilateri
pagina 98-99-100 esercizi 20, 49, 50, 51, 60, 61, 62, 63, 64
***Un estratto dai due manuali delle sole pagine contenenti gli esercizi li trovate in :
Sito Liceo Russell -> Servizi online -> E-learning -> Claroline ver. 1.10.1 -> Matematica -> 1A -> Documenti e link
Buone vacanze !!
MATEMATICA C3
ALGEBRA 1
Testo per il primo biennio
della Scuola Superiore di II grado
Matematicamente.it
5◦ Edizione - 2014
vi
Indice
7.8
7.9
I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . .
7.9.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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III Calcolo Letterale
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153
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Espressioni letterali e valori numerici
8.1 Lettere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Lettere per esprimere formule . . . . . . . .
8.1.2 Lettere per descrivere schemi di calcolo . .
8.1.3 Lettere per esprimere proprietà . . . . . . .
8.2 Il valore numerico di un’espressione letterale . . .
8.3 Condizione di esistenza di un’espressione letterale
8.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . .
8.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Monomi
9.1 L’insieme dei monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Valore di un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Moltiplicazione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Proprietà della moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Potenza di un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Divisione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Addizione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Addizione di due monomi simili . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Addizione di monomi non simili . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Espressioni con i monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi
9.8.1 Massimo Comune Divisore . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.2 Minimo comune multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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206
10 Polinomi
10.1 Definizioni fondamentali . . . . . . . . . . .
10.2 Somma algebrica di polinomi . . . . . . . .
10.3 Prodotto di un polinomio per un monomio
10.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio
10.5 Prodotto di polinomi . . . . . . . . . . . . .
10.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . .
10.6.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . .
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Indice
vii
10.6.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11 Prodotti notevoli
11.1 Quadrato di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Quadrato di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza
11.4 Cubo di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Potenza n-esima di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . .
11.6.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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220
223
12 Divisione tra due polinomi
12.1 Polinomi in una sola variabile . . . .
12.2 Polinomi in più variabili . . . . . . .
12.3 Regola di Ruffini . . . . . . . . . . .
12.3.1 Calcolo del resto . . . . . . .
12.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi
12.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . .
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IV Equazioni
239
13 Identità, equazioni, equivalenza
13.1 Identità ed equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Ricerca dell’insieme soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Prinicipi di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado . .
13.3 Equazioni a coefficienti frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1
13.3.2 Equazioni in cui l’incognita scompare . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3 Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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264
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268
270
14 Problemi di I grado in un’incognita
14.1 Un po’ di storia e qualche aneddoto
14.1.1 Risoluzione dei problemi . .
14.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Problemi con i numeri . . . .
14.2.2 Problemi dalla realtà . . . . .
14.2.3 Problemi di geometria . . . .
14.2.4 Risposte . . . . . . . . . . . .
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viii
V
Indice
Scomposizione e Frazioni
273
15 Scomposizione in fattori
15.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori . . . .
15.2 Raccoglimento totale a fattore comune . .
15.3 Raccoglimento parziale a fattore comune
15.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . .
15.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . .
16 Riconoscimento di prodotti notevoli
16.1 Quadrato di un binomio . . . . . . .
16.2 Quadrato di un polinomio . . . . . .
16.3 Cubo di un binomio . . . . . . . . . .
16.4 Differenza di due quadrati . . . . . .
16.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi
16.5.2 Risposte . . . . . . . . . . . .
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290
294
17 Altre tecniche di scomposizione
17.1 Trinomi particolari . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Scomposizione con la regola Ruffini . . . .
17.3 Somma e differenza di due cubi . . . . . . .
17.4 Scomposizione mediante metodi combinati
17.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . .
17.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . .
17.5.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . .
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295
295
297
299
300
305
305
307
313
18 MCD e mcm tra polinomi
18.1 Divisore comune e multiplo comune
18.2 Massimo Comun Divisore . . . . . .
18.3 Minimo comune multiplo . . . . . .
18.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi
18.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . .
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315
315
315
316
317
317
318
19 Frazioni algebriche
19.1 Definizione di frazione algebrica . . . . . . . . . . . . .
19.2 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica . . .
19.3 Semplificazione di una frazione algebrica . . . . . . . .
19.4 Moltiplicazione di frazioni algebriche . . . . . . . . . .
19.5 Potenza di una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . .
19.5.1 Casi particolari dell’esponente . . . . . . . . . .
19.6 Divisione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . .
19.7 Addizione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . .
19.7.1 Proprietà della addizione tra frazioni algebriche
19.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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319
319
320
321
322
323
323
324
325
325
327
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Indice
ix
19.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
19.8.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
VI Algebra di Primo Grado
341
20 Equazioni
20.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado . . . . . . .
20.2 Equazioni numeriche frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Equazioni letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1 Equazioni con due parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2 Equazioni letterali, caso in cui il denominatore contiene il parametro
20.3.3 Equazioni letterali frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4 Equazioni letterali e formule inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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343
343
344
345
347
348
349
350
352
352
361
21 Disequazioni
21.1 Intervalli sulla retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Disequazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.1 Ricerca dell’insieme soluzione di una disequazione
21.2.2 Problemi con le disequazioni . . . . . . . . . . . . .
21.3 Sistemi di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.4 Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo . . .
21.5 Disequazioni frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . .
21.6.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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365
365
367
368
370
371
375
378
381
381
391
22 Sistemi di equazioni
22.1 Equazione lineare in due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.1.1 Rappresentazione di un’equazione lineare sul piano cartesiano
22.2 Definizione di sistema di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.1 Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema . . .
22.2.2 Metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.3 Metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.4 Metodo di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.5 Metodo di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.6 Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni . . . . . . . . .
22.2.7 Il metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Sistemi fratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4 Sistemi letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.5 Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite . . . . . . . . . . . . . .
22.6 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili . . . . . . . . . . . .
22.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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393
393
394
395
396
397
399
400
402
403
405
407
409
411
413
415
415
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204
Capitolo 10. Polinomi
10.6
Esercizi
10.6.1
Esercizi dei singoli paragrafi
10.1 - Definizioni fondamentali
10.1. Riduci in forma normale il seguente
polinomio:
5a3 − 4ab − 1 + 2a3 + 2ab − a − 3a3 .
á il polinomio è ordinato rispetto alla a?
á è completo?
á è omogeneo?
Svolgimento: Evidenziamo i termini simili e 10.6. Scrivere un polinomio di terzo grado
nelle variabili a e b che sia omogeneo.
sommiamoli tra di loro:
5a3 − 4ab + 1 + 2a3 + 2ab − a − 3a3
in modo da ottenere . . . Il termine noto è . . .
10.2. Il grado di:
a ) x2 y2 − 3y3 + 5yx − 6y2 x3 rispetto alla
lettera y è . . , il grado complessivo è . .
b ) 5a2 − b + 4ab rispetto alla lettera b è , il
grado complessivo è . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7. Scrivere un polinomio di quarto grado
nelle variabili x e y che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze decrescenti della
seconda indeterminata.
10.8. Scrivere un polinomio di quinto grado
nelle variabili r e s che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze crescenti della prima
indeterminata.
10.3. Stabilire quali dei seguenti polinomi
10.9. Scrivere un polinomio di quarto grado
sono omogenei:
nelle variabili z e w che sia omogeneo e ordi3
2
2
4
a ) x y + 2y x − 4x ;
nato secondo le potenze crescenti della prima
b ) 2x + 3 − xy;
indeterminata e decrescenti della seconda.
c ) 2x3 y3 − y4 x2 + 5x6 .
10.10. Scrivere un polinomio di sesto grado
10.4. Individuare quali dei seguenti polino- nelle variabili x, y e z che sia completo e ormi sono ordinati rispetto alla lettera x con dinato secondo le potenze decrescenti della
potenze crescenti:
seconda variabile.
1
a ) 2 − x2 + x;
2
2
b ) − x + 3x2 + 5x3 ;
3
1
7
c ) 3x4 − x3 + 2x2 − x + .
2
8
10.5. Relativamente al polinomio b2 + a4 +
a3 + a2 :
á Il grado massimo è . . . . Il grado rispetto
alla lettera a è . . . Rispetto alla lettera b
è ...
10.11. Calcola il valore numerico dei polinomi
per i valori a fianco indicati.
x2 + x per x = −1;
2x2 − 3x + 1 per x = 0;
3x2 − 2x − 1 per x = 2;
3x3 − 2x + x per x = −2;
3
1
1
1
e ) a + b − ab per a = − , b = 3;
4
2
6
2
1
1 2
f ) 4x − 6y + x per x = −5, y = .
5
2
a)
b)
c)
d)
10.2 - Somma algebrica di polinomi
10.12. Calcolare la somma dei due polinomi: 2x2 + 5 − 3y2 x, x2 − xy + 2 − y2 x + y3 .
208
d)
Capitolo 10. Polinomi
1
xy
3
x − y2
1
1
1
1
x2 − y − 3x − xy (3y) − x x3 y + xy2 .
2
9
3
4
10.27 (∗ ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.
1
1
1
1
1 x x − y2
x2 + y − 5x − xy (4y) − x x3 y + xy2
2
2
10
2
2
1
1 1
− x2 x2 + y + xy2 + xy y2 + 2x3 + xy .
2
2
4
10.28 (∗ ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.
3 9 2
9 2
2
3
9 2
a − 2b
a + 2b
a + 4b2 −
a − a2
a − 5b2
3
2
4
4 4
4
+ 5ab
3 2 4 2
a + b .
4
3
10.29 (∗ ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.
1
1
1 2
1
27 3 61 2
x + 2y
x − 2y
x − 4y2 − x
x − xy
2
2
4
4
4
3
37
141 4
x .
− 16 y4 + x4 − x2 y2 +
12
8
10.30 (∗ ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.
2 2 27 2
3
2
9 2
4
2
9 2 1
x
y − x − −
x− y
x + xy + y2 + x2
y + y
3
8
2
3
4
3
3
4
3
2 + y x2 + 4y2 − 9xy .
9
10.31 (∗ ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.
"
2 2 # 2
1
2
1
2
1
3
2
2
1
ab + xy
ab − xy −
ab −
xy
ax + ax
a− y
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
1
3
2
1
3
1
2
−x
ax + xy − x2 y2 (ax − 2) + a2 b2
ax − 1 + x2 y + a .
2
4
9
4
2
4
3
10.32 (∗ ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.
3
3
1
1
1
1
4
25
2
8
9
ab − a2 −
ab + a b −
a− a· a
− ab − − ab
− b
6
3
4
2
2
6
5
3
3
3
8
1
1
+ a a − 5b − 9a3 b + a2 b .
3
6
10.33 (∗ ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.
1 2
3 2
7
1
1
7
1
x + 2x −
x y − xy + y3 : − y 2x − xy
− x2
5
2
4
8
2
10
6
1
3
1
+ x2 y − x
x − x2 y − x3 − xy2 .
3
5
12
Sezione 10.6. Esercizi
209
10.34. Se A = x − 1, B = 2x + 2, C = x2 − 1 determina
c ) A + B · C;
d ) A · B · C;
a ) A + B + C;
b ) A · B − C;
e ) 2AC − 2BC;
f ) (A + B) · C.
10.35 (∗ ). Operazioni tra polinomi con esponenti letterali.
a ) an+1 − an+2 + an+3 : a1+n ;
b ) 1 + an+1 1 − an−1 ;
c ) 16an+1 bn+2 − 2a2n bn+3 + 5an+2bn+1 : (2an bn );
d ) an+1 − an+2 + an+3
an+1 − an ;
n+1
n
n+1
n+2
n−1
e) a −a
+a
an+1 − an ;
n
n+1
n+2
f) a +a
+ a
a
− a ;
g ) an+2 + an+1 an+1+ an+2 ;
h ) 1 + an+1 an+1 − 2 ; n a2n+2 + a2n ;
i ) an+1 − an an+1
+
a
1 n
1 n 3 2n
1 n 1
−
j)
x − x
x −
x − 1 (xn + x).
2
2
3
2
3
10.36. Se si raddoppiano i lati di un rettangolo, 10.39. Come varia l’area di un cerchio se si
come varia il suo perimetro?
triplica il suo raggio?
di un rettangolo
10.37. Se si raddoppiano i lati di un triangolo 10.40. Determinare l’area
3 2
1
a
avente
come
dimensioni
2 e 4 a b.
rettangolo, come varia la sua area?
10.41. Determinare la superficie laterale di
10.38. Se si raddoppiano gli spigoli a, b, e c di un cilindro avente raggio di base x2 y e
un parallelepipedo, come varia il suo volume? altezza 1 xy2 .
5
10.6.3
Risposte
10.14. d) −x2 + x +
e)
2
− a2
−
29 2
15 a ,
7
5
24 ab + 2 b.
10.21. a) −a, b) −9b, c) −18b,
2
2
d) 6a2 − 63
2 a b, e) 2x − 9x − 3.
10.26. a) a4 − 12 a3 b − 13 a4 b + a3 ,
b) 32 x3 y + x2 y2 − 6xy3 + 83 y4 ,
c) 21 b3 , d) 16 xy4 − 14 x2 y2 .
10.27. 0.
10.28. −16b4 −
10.29. 0.
27 2
16 a .
10.30. − 32 x2 y2 .
10.31. a2 x − axy.
10.32. − 79 a4 b + 32 a2 b2 − 3ab.
10.33.
1 4
2x
+
7 3
60 x y.
10.35. a) 1 − a + a2 ,
b) 1 − an−1 + an+1 − a2 n,
c) 8ab2 − an b3 + 25 a2 b,
d) a2n+4 − 2a2n+3 + 2a2n+2 − a2n+1 ,
e) a2n+3 − a2n+2 − a2n−1 + a2n ,
f) −a2 n + a2n+3 ,
g) a2n+4 + 2a2n+3 + a2n+2 ,
i) a2n+2 − an+1 − 2, h) a4n+4 − a4n ,
7 2n
j) 12
x + 43 xn − 12 x3n − 31 xn+1 + x.
254
Capitolo 13. Identità, equazioni, equivalenza
13.29. Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
a ) 2x + 2 = 2x + 3;
b)
x+2
x+1
=
;
2
2
2x + 1
= x + 1;
2
1
x 1
d ) + = 3x − ;
2 4
2
c)
e ) πx = 0;
f ) 2πx = π.
13.30. Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
a ) 0, 12x = 0, 1;
d ) 892x − 892 = 893x − 892;
1
2
b ) − x − 0, 3 = − x − 0, 15;
2
5
c ) 892x − 892 = 892x − 892;
e ) 348x − 347 = 340x − 347;
f ) 340x + 740 = 8942 + 340x.
13.31. Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
a ) 2x + 3 = 2x + 4;
c ) 2(x + 3) = 2x + 5;
e ) 3x + 6 = 6x + 6;
b ) 2x + 3 = 2x + 3;
d ) 2(x + 4) = 2x + 8;
f ) −2x + 3 = −2x + 4.
13.32. Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
x 1
x 1
+ = − ;
2 4
4 2
x 1
x 1
b) + = − ;
2 4
2 2
x 1
x 1
c) + = 3 − ;
2 4
2 2
a)
1
1
x
+
=
;
200 100
200
e ) 1000x − 100 = 2000x − 200;
d)
f ) 100x − 1000 = −1000x + 100.
13.33 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
a ) x − 5(1 − x) = 5 + 5x;
d ) 4(x − 2) − 3(x + 2) = 2(x − 1);
b ) 2(x − 5) − (1 − x) = 3x;
e)
c ) 3(2 + x) = 5(1 + x) − 3(2 − x);
x + 1000 x + 1000
+
= 1;
3
4
2x + 1
x−4
f)
=
.
5
3
13.34 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
x+1 x−1
1
+
=
;
2
5
10
x 1
x x
b) − =
− ;
3 2
4 6
x
c ) 8x − = 2x + 11;
6
a)
1
= 4(x − 2) + 1;
7
x 537x
e ) 537x + 537 −
= 0;
4
7
2x + 3
f)
= x − 1.
5
d ) 3(x − 1) −
Sezione 13.4. Esercizi
255
13.35 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
x x
x
− −1 = ;
2 6
3
4 − x 3 − 4x
b)
+
= 3;
5
2
x+3
c)
= 3x − 2;
2
a)
d)
x + 0, 25
= 1, 75 − 0, 3x;
5
1
e ) 3(x − 2) − 4(5 − x) = 3x 1 −
;
3
f ) 4(2x − 1) + 5 = 1 − 2(−3x − 6).
13.36 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
1
3
(x + 1) − (1 − x) = x + 2;
2
3
1
1
b ) (x + 5) − x = (3 − x);
2
2
a)
1
c ) (x + 3)2 = (x − 2)(x + 2) + x;
3
(x + 1)2 2 + 3x
(x − 1)2
−
=
;
4
2
4
1
+ x = 3x − 2;
e) 2 x−
3
3
x
2
1
f) x+
− x.
= 5
x−
2
4
3
2
d)
13.37 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
1
1
= 2(x − 1)2 − ;
4
2
1
1
b ) (x − 2)(x + 5) + = x2 − ;
4
2
1
1
1
x−
= x2 + ;
c) x−
2
2
2
a ) (2x − 3)(5 + x) +
d ) (x + 1)2 = (x − 1)2 ;
(1 − x)2 x2 − 1
−
= 1;
2
2
(x + 1)2
1
f)
= (x2 − 1).
3
3
e)
13.38 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
a ) 4(x + 1) − 3x(1 − x) = (x + 1)(x − 1) + 4 + 2x2 ;
2 2
1−x
· (x + 1) = 1 − x2 +
x −1 ;
b)
3
3
c ) (x + 1)2 = x2 − 1;
d ) (x + 1)3 = (x + 2)3 − 3x(x + 3);
1
1
5
1
2
e) x
x − 1 + x 1 + x = x(x + 3);
3
3
3
3
3
1
1
1
3
f)
3x +
− (1 − x) + 2
x − 1 = − x + 1.
2
3
3
2
13.39 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.
3
3
x+3
1 x
a ) 3 + 2x −
+1 − x = x+
;
2 2
4
4
2
1 x+2
1
x+1
1
x−2
2−x
b)
− x+
+
+ x=
− x+
;
2
2
2
2
4
4
3
1 2
1 2
1
c) 2 x−
+ x+
= (x + 1)(3x − 1) − 5x − ;
2
2
2
258
Capitolo 13. Identità, equazioni, equivalenza
13.49. L’insieme soluzione dell’equazione 2 · (x + 1) = 5 · (x − 1) − 11 è:
11
A I. S. = −6
B I. S. = 6
C I. S. =
D
3
I. S. =
1
6
13.50. Per ogni equazione, individua quali tra gli elementi dell’insieme indicato a fianco sono
soluzioni:
x+5 1
27
;
a)
+ = 0,
Q = 1, −5, 7, −
2
5
5
3
b ) x − x = 4,
Q = 1, −1, 0, 16 ;
4
1 1
c ) x(x + 1) + 4 = 5 − 2x + x2 ,
Q = −9, 3, , − .
3 3
13.4.2
Risposte
13.14 a) x = 2, b) x =
d) x = − 32 .
13.15 a) x =
d) Impossibile.
3
5,
1
3,
c) x =
b) x = 0,
2
11 ,
c) x = 5,
13.16 a) Indeterminata, b) x = − 61 ,
c) Impossibile, d) x = −2.
13.17 a) Indeterminata, b) x =
determinata.
5
2,
13.36 a) x = 1, b) Impossibile,
c) x = − 39
d) x = −2, e) Impossibile,
17 ,
.
f) x = 30
7
37
13.37 a) x = 65
c) x = − 14 ,
44 , b) x = 12 ,
d) x = 0, e) x = 0, f) x = −1.
13.38 a) x = −1, b) Indeterminata,
c) x = −1,
d) Impossibile,
e) x = 0,
f) x = 23
.
28
c) In13.39 a) x = 4, b) x = − 52 , c) x = − 98 ,
d) x = 13
e) Impossibile, f) x = 2.
3 ,
13.33 a) x = 10, b) Impossibile,
3
13.40 a) x = 1, b) x = 26
, c) x =
c) x = 75 , d) x = −12, e) x = − 6988
7 ,
23
17
d)
x
=
−1,
e)
x
=
,
f)
x
=
− 25
f) x = − 7 .
20
7 .
13.34 a) x = − 27 , b) x = 2,
d) x = 27
e) x = 0, f) x = 38 .
7 ,
c) x =
66
35 ,
7
13.35 a) Impossibile, b) x = − 22
,
7
51
26
c) x = 5 , d) x = 16 , e) x = 5 , f) x = 6.
19
7 ,
13.41 a) Indeterminata, b) x = 63
23 ,
7
9000
c) x = 2 , d) x = 173 , e) x = −6,
f) x = 2.
13.42 a) x = − 20
c) x = − 37 ,
3 , b) x = −2,
d) x = 27 , e) x = 12, f) x = − 15 .
264
Capitolo 14. Problemi di I grado in un’incognita
Gli esercizi indicati con († ) sono tratti da Matematica 1, Dipartimento di Matematica, ITIS
V. Volterra, San Donà di Piave, Versione [11-12][S-A11], pg. 90; licenza CC,BY-NC-BD, per
gentile concessione dei professori che hanno redatto il libro. Il libro è scaricabile da http:
//www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M1_1112.pdf
14.2
Esercizi
14.2.1
Problemi con i numeri
14.1 (∗ ). Determina due numeri, sapendo che 14.10 (∗ ). Se a 52 sottraiamo un numero, ottela loro somma vale 70 e il secondo supera di 16 niamo il numero stesso aumentato di 23 . Di
il doppio del primo.
quale numero si tratta?
14.2 (∗ ). Determina due numeri, sapendo che 14.11 (∗ ). Se ad un numero sottraiamo 34
il secondo supera di 17 il triplo del primo e e sommiamo 75, otteniamo 200. Qual è il
numero?
che la loro somma è 101.
∗
14.3 (∗ ). Determinare due numeri dispari con- 14.12 ( ). Se alla terza parte di un nusecutivi sapendo che il minore supera di 10 mero sommiamo 45 e poi sottraiamo 15,
otteniamo 45. Qual è il numero?
i 37 del maggiore.
∗
14.4 (∗ ). Sommando 15 al doppio di un nume- 14.13 ( ). Se ad un numero sommiamo il dopro si ottengono i 72 del numero stesso. Qual è pio del suo consecutivo otteniamo 77. Qual è
il numero?
il numero?
14.14 (∗ ). Se alla terza parte di un numero
14.5. Determinare due numeri consecutivi sasommiamo la sua metà, otteniamo il numero
2
pendo che i 49 del maggiore superano di 8 i 13
aumentato di 2. Qual è il numero?
del minore.
14.15 (∗ ). Il doppio di un numero equivale al14.6 (∗ ). Se ad un numero sommiamo il la metà del suo consecutivo più 1. Qual è il
suo doppio, il suo triplo, il suo quintuplo numero?
e sottraiamo 21, otteniamo 100. Qual è il
14.16 (∗ ). Un numero è uguale al suo
numero?
consecutivo meno 1. Trova il numero.
14.7 (∗ ). Trova il prodotto tra due numeri,
∗
sapendo che: se al primo numero sottraia- 14.17 ( ). La somma tra un numero e il suo
mo 50 otteniamo 50 meno il primo numero; consecutivo è uguale al numero aumentato
se al doppio del secondo aggiungiamo il suo di 2. Trova il numero.
consecutivo, otteniamo 151.
14.18 (∗ ). La somma tra un numero ed il suo
1
14.8 (∗ ). Se a 25
sottraiamo un numero, otte- consecutivo aumentato di 1 è uguale a 18.
niamo la quinta parte del numero stesso. Qual Qual è il numero?
è questo numero?
14.19. La somma tra un numero e lo stesso
numero aumentato di 3 è uguale a 17. Qual è
14.9 (∗ ). Carlo ha 152 caramelle e vuole diviil numero?
derle con le sue due sorelline. Quante caramelle resteranno a Carlo se le ha distribuite 14.20 (∗ ). La terza parte di un numero auin modo che ogni sorellina ne abbia la metà mentata di 3 è uguale a 27.
Trova il
delle sue?
numero.
266
Capitolo 14. Problemi di I grado in un’incognita
14.50 (∗ ). Ubaldo, per recarsi in palestra, passa sui mezzi di trasporto 20 minuti, tuttavia il
tempo totale per completare il tragitto è maggiore a causa dei tempi di attesa. Sappiamo
3
che Ubaldo utilizza 3 mezzi, impiega i 10
del
3
tempo totale per l’autobus, i 5 del tempo tota14.43 (∗ ). L’età di Antonio è i 38 di quella della le per la metropolitana e 10 minuti per il treno.
sua professoressa. Sapendo che tra 16 anni Quanti minuti è costretto ad aspettare i mezzi
l’età della professoressa sarà doppia di quella di trasporto? (poni x il tempo di attesa)
di Antonio, quanti anni ha la professoressa?
14.51 (∗ ). Anna pesa un terzo di Gina e Gina
14.44 (∗ ). Policrate, tiranno di Samos, doman- pesa la metà di Alfredo. Se la somma dei tre
da a Pitagora il numero dei suoi allievi. Pita- pesi è 200 kg, quanto pesa Anna?
14.42. Un rubinetto, se aperto, riempie una
vasca in 5 ore; un altro rubinetto riempie la
stessa vasca in 7 ore. Se vengono aperti contemporaneamente, quanto tempo ci vorrà per
riempire 16 della vasca?
gora risponde che: ” la metà studia le belle
scienze matematiche; l’eterna Natura è oggetto dei lavori di un quarto; un settimo si esercita al silenzio e alla meditazione; vi sono inoltre tre donne”. Quanti allievi aveva Pitagora?
(”Matematica dilettevole e curiosa”)
14.45. Trovare un numero di due cifre sapendo che la cifra delle decine è inferiore di 3
rispetto alla cifra delle unità e sapendo che
invertendo l’ordine delle cifre e sottraendo
il numero stesso, si ottiene 27. (”Algebra
riceativa”)
14.46. Al cinema ”Matematico” hanno deciso
di aumentare il biglietto del 10%; il numero
degli spettatori è calato, però, del 10%. È stato
un affare?
14.47. A mezzogiorno le lancette dei minuti e
delle ore sono sovrapposte. Quando saranno
di nuovo sovrapposte?
14.52. In una partita a dama dopo i primi 10
minuti sulla scacchiera restano ancora 18 pedine. Dopo altri 10 minuti un giocatore perde 4
pedine nere e l’altro 6 pedine bianche ed entrambi rimangono con lo stesso numero di
pedine. Calcolate quante pedine aveva ogni
giocatore dopo i primi 10 minuti di gioco.
14.53 (∗ ). Due numeri naturali sono tali che la
loro somma è 16 e il primo, aumentato di 1, è
il doppio del secondo diminuito di 3. Trovare
i due numeri.
14.54. Un dvd recoder ha due modalità di registrazione: SP e LP. Con la seconda modalità
è possibile registrare il doppio rispetto alla
modalità SP. Con un dvd dato per 2 ore in SP,
come è possibile registrare un film della durata di 3 ore e un quarto? Se voglio registrare
il più possibile in SP (di qualità migliore rispetto all’altra) quando devo necessariamente
passare all’altra modalità LP?
14.55 (∗ ). Tizio si reca al casinò e gioca tutti
i soldi che ha; dopo la prima giocata, perde
la metà dei suoi soldi. Gli vengono prestati
e 2 e gioca ancora una volta tutti i suoi soldi; questa volta vince e i suoi averi vengono
quadruplicati. Torna a casa con e 100. Con
14.49 (∗ ). In un supermercato si vendono le
quanti soldi era arrivato al casinò?
uova in due diverse confezioni, che ne contengono rispettivamente 10 e 12. In un giorno è 14.56 (∗ ). I sette nani mangiano in tutto 127
stato venduto un numero di contenitori da 12 bignè; sapendo che il secondo ne ha mangiauova doppio di quelli da 10, per un totale ti il doppio del primo, il terzo il doppio del
di 544 uova. Quanti contenitori da 10 uova secondo e così via, quanti bignè ha mangiato
sono stati venduti?
ciascuno di loro?
14.48. Con due qualità di caffè da 3 e/ kg e 5
e/ kg si vuole ottenere un quintale di miscela
da 3, 25 e/ kg. Quanti kg della prima e quanti
della seconda qualità occorre prendere?
Sezione 14.2. Esercizi
14.57 (∗ ). Babbo Natale vuole mettere in fila
le sue renne in modo tale che ogni fila abbia
lo stesso numero di renne. Se le mette in fila
per quattro le file sono due di meno rispetto
al caso in cui le mette in fila per tre. Quante
sono le renne?
267
e 21000 depositando i soldi calcolati al punto
precedente?
14.66 (∗ ). Si devono distribuire e 140800 fra 11
persone che hanno vinto un concorso. Alcune
di esse rinunciano alla vincita e quindi la somma viene distribuita tra le persone rimanenti.
14.58 (∗ ). Cinque fratelli si devono spartire Sapendo che ad ognuna di esse sono stati dati
un’eredità di e180000 in modo tale che ciascu- e 4800 euro in più, quante sono le persone
no ottenga e 8000 in più del fratello immedia- che hanno rinunciato al premio?
tamente minore. Quanto otterrà il fratello più
14.67 (∗ ). Un treno parte da una stazione e
piccolo?
viaggia alla velocità costante di 120 km/h. Do14.59 (∗ ). Giovanni ha tre anni in più di Maria. po 80 minuti parte un secondo treno dalla stesSette anni fa la somma delle loro età era 19. sa stazione e nella stessa direzione alla veloQuale età hanno attualmente?
cità di 150 km/h. Dopo quanti km il secondo
raggiungerà il primo?
14.60 (∗ ). Lucio ha acquistato un paio di jeans
e una maglietta spendendo complessivamen- 14.68 (∗ ). Un padre ha 32 anni, il figlio 5. Dote e 518. Calcolare il costo dei jeans e quello po quanti anni l’età del padre sarà 10 volte
della maglietta, sapendo che i jeans costano maggiore di quella del figlio? Si interpreti il
e 88 più della maglietta.
risultato ottenuto.
14.61 (∗ ). Francesca ha il triplo dell’età di
Anna. Fra sette anni Francesca avrà il doppio dell’età di Anna. Quali sono le loro età
attualmente?
14.69 (∗ ). Uno studente compra 4 penne, 12
quaderni e 7 libri per un totale di e 180. Sapendo che un libro costa quanto 8 penne e che 16
quaderni costano quanto 5 libri, determinare
14.62 (∗ ). In una fattoria ci sono tra polli e co- il costo dei singoli oggetti.
nigli 40 animali con 126 zampe. Quanti sono i 14.70 (∗ ). Un mercante va ad una fiera, riesce
conigli?
a raddoppiare il proprio capitale e vi spen14.63 (∗ ). Due anni fa ho comprato un appartamento. Ho pagato alla consegna 13 del suo
prezzo, dopo un anno 34 della rimanenza; oggi
ho saldato il debito sborsando e 40500. Qual
è stato il prezzo dell’appartamento?
de e 500; ad una seconda fiera triplica il suo
avere e spende e 900; ad una terza poi quadruplica il suo denaro e spende e 1200. Dopo ciò
gli sono rimasti e 800. Quanto era all’inizio il
suo capitale?
14.64 (∗ ). Un ciclista pedala in una direzione
a 30 km/h, un marciatore parte a piedi dallo
stesso punto e alla stessa ora e va nella direzione contraria a 6 km/h. Dopo quanto tempo
saranno lontani 150 km?
14.71 (∗ ). L’epitaffio di Diofanto. ”Viandante!
Qui furono sepolti i resti di Diofanto. E i numeri possono mostrare, oh, miracolo! Quanto
lunga fu la sua vita, la cui sesta parte costituì
la sua felice infanzia. Aveva trascorso ormai
la dodicesima parte della sua vita, quando di
peli si coprì la guancia. E la settima parte della
sua esistenza trascorse in un matrimonio senza figli. Passò ancora un quinquiennio e gli fu
fonte di gioia la nascita del suo primogenito,
che donò il suo corpo, la sua bella esistenza
alla terra, la quale durò solo la metà di quella
14.65 (∗ ). Un banca mi offre il 2% di interesse
su quanto depositato all’inizio dell’anno. Alla
fine dell’anno vado a ritirare i soldi depositati più l’interesse: se ritiro e 20400, quanto
avevo depositato all’inizio? Quanto dovrebbe
essere la percentuale di interesse per ricevere
270
14.2.4
Capitolo 14. Problemi di I grado in un’incognita
Risposte
14.1.
18; 52.
14.27. 46.
14.2.
21; 80.
14.28. 5; 7.
14.3.
19; 21.
14.29. 56.
14.4.
10.
14.31. 8.
14.6.
11.
14.33. Indeterminato.
14.7.
2500.
14.34. 2.
14.8.
1
30 .
14.36. 426.
14.9.
76.
14.37. 216; 360.
14.10.
11
12 .
14.38. 24; 25.
14.11. 159.
14.39. 10.
14.12. 45.
14.40. 36; 24; 18.
14.13. 25.
14.41. 16.
14.14. −12.
14.43. 64.
14.15. 1.
14.44. 28.
14.16. Indeterminato.
14.49. 16.
14.17. 1.
14.50. 80 0 .
14.18. 8.
14.51. 20 kg.
14.20. 72.
14.53. Impossibile.
14.21. 72; 8.
14.55. e 46.
14.22. 60; 60; 60.
14.56. 1, 2, 4, 6, 16, . . .
14.23. 12.
14.57. 24.
308
Capitolo 17. Altre tecniche di scomposizione
17.21 (∗ ). Scomponi in fattori.
a)
b)
c)
d)
e)
8a3 − 18 b3 ;
4a3 + 8a2 − a − 2;
x3 − x4 + 8 − 8x;
4xy + 4xz − 3ya − 3za − yh − zh;
x6 − 81x2 ;
f)
g)
h)
i)
j)
54a3 b − 2b4 ;
−12xyz + 9ya + 6x3 a − 8x4 z;
y2 + ay − 6a2 ;
2x3 + 4x − 3x2 − 6;
(x2 − 7x + 10)2 − x2 + 10x − 25.
f)
g)
h)
i)
j)
8x3 − 14x2 + 7x − 1;
x4 − 3x3 − 10x2 + 24x;
81a4 − 64a2 b2 ;
4x3 + 8x2 + x − 3;
2a4 b3 c − 8a2 bc5 .
f)
g)
h)
i)
j)
x3 − 6x2 y + 12xy2 − 8y3 ;
3x5 + 12x4 − 21x3 − 66x2 + 72x;
32a3 x2 y − 48a3 xy2 + 4b3 x2 y − 6b3 xy2 ;
x5 + 3x4 − xy4 − 3y4 ;
48a5 bx + 16a5 by − 6a2 b4 x − 2a2 b4 y.
f)
g)
h)
i)
j)
x4 − 4x2 − 45;
−3a7 x2 + 9a5 x4 − 9a3 x6 + 3ax8 ;
x3 − 13x2 + 35x + 49;
4ab3 c2 + 20ab3 − 3abc2 − 15ab;
6a6 b3 − 12a4 b5 + 6a2 b7 .
17.22 (∗ ). Scomponi in fattori.
a)
b)
c)
d)
e)
4 2
2
a − b2 + a + b;
9
3
x2 − 6x + 9 − (y2 − 2y + 1);
16a4 x2 − 8a2 b2 x2 + b4 x2 ;
4(x − 1)2 − 4y(x − 1) + y2 ;
4a4 b − 4a3 b2 + 6a3 b3 − 6a2 b4 ;
17.23 (∗ ). Scomponi in fattori.
a)
b)
c)
d)
e)
x3 + 2x2 − x − 2;
20x3 − 45x;
18p3 q2 x − 2pq4 x + 18p3 q2 y − 2pq4 y;
20a6 − 16a3 c − 25a4 b + 20abc;
2a7 − 6a4 x2 + 6a4 b2 − 18ab2 x2 ;
17.24 (∗ ). Scomponi in fattori.
a)
b)
c)
d)
e)
x2 (x4 − 18x2 + 81) − x6 + 729;
x5 − 2x2 − x + 2;
x8 − y8 − 2x6 y2 + 2x2 y6 ;
16ab − 81a5 b9 ;
6x7 + 2x6 − 16x5 + 8x4 ;
17.25 (∗ ). Scomponi in fattori.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y3 − 5y2 − 24y;
x2 + 4xy − 6x + 4y2 − 12y + 9;
2x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 2;
x2 − y2 + 2ay − a2 ;
(3 − a)2 + (5 + a) · (a − 3);
3x3 − x − 1 + 3x2 ;
1
g ) x3 y2 − x2 y3 + xy4 ;
4
x3
6
5
h ) −27x + 9x − x4 + ;
27
i ) 4x2 − 9y2 − 6yz2 − z4 ;
1
3
j ) a4 b2 − a3 b3 + 23 a2 b4 − ab5 .
8
4
17.26 (∗ ). Scomponi in fattori.
a ) a2 + 4ab + 4b2 − x2 + 2xy − y2 ;
b ) a4 b − 2a3 b2 + 4a3 bc + a2 b3 − 4a2 b2 c + 4a2 bc2 ;
1
c ) 3a4 − 3a3 x + a2 x2 − ax3 ;
9
Sezione 17.5. Esercizi
17.5.3
17.9.
313
Risposte
a) (x + 1)(2x − 5),
b) (y + z)(3y − 5),
e) (x − 3) (2x + 3).
17.13. a) (x + 1)(x + 3) (x − 3), b) (m − 1)(m + 1) (m + 2), c) (a + 1)(a − 2) (a + 2),
d) (a + 1) (3a − 2), e) (a − 2)(3a + 1) (2a + 3), f) (x − 1)(x − 2)2 , g) (t + 2)(t − 2) (3t − 1),
h) (x − 3)(x − 1)(x + 2)(3x +
7), i) (y + 2)(y − 2) y2 + y + 1 ,
j) (t + 2)(t − 4) t2 + 2t + 4 .
17.14. a) (x + 2)(x + 3)(x + 5) 2x2 − 4x + 3 , b) (x + 2)(x − 3)(x − 1) x2 + x + 3 ,
2
2 − 4x − 3),
c) (x − 1)2 (x + 2)2 , d) (a + 1)(a − 2)(a + 3)(a
+ a + 1), e) 2(x + 2)(x + 3)(x + 5)(2x
2
2
f) (2x − 1)(3x − 2), g) (3x − 2) x + x + 1 , h) (2x + 1) x + 1 , i) (3x − 1) x + 3 .
17.15. a) (a2 + 1)(a2 + 2)(a2 + 3),
b) (xn − 1)(2xn + 3),
c) (x − a) x2 − 2a .
2
17.19. a) (x + y) (x − y + 2), b) 5 21 + x2 y , c) (y − 1) (y − 3), d) (y + 1) (3 − y),
e) (x − 1) (4x − y), f) 13 (a + b) (a − b), g) (x + 1) (3x + k), h) x(x − 1) (x − 3),
i) (x − 2) (4x + 1), j) 6 (x − 2y)2 .
2 2 , d) a(9 − 4ab)(9 + 4ab),
17.20. a) (x − 2) (x − a), b) (x + 4) (2x − 3), c) 14 a − 2b
e) (a − 15)(a + 5), f) (a + b)(x − 3y), g) (x + 1) x2 + 1 x2 − x + 1 ,
1
1
y 3x2 y2 + 2 3x2 y2 − 2 , i) (a + b)2 (5 − x), j) 36
(2x + 3b) (2x − 3b).
h) 100
17.21. a) 2a − 21 b 4a2 + ab
+ 14 b2 , b) (a + 2) (2a + 1) (2a − 1),
c) (1 − x) (x + 2) x2 − 2x + 4 , d) (y + z)(4x − 3a − h), e) x2 (x + 3)(x − 3) x2 + 9 ,
3
2
2
f) 2b(3a −
b) 9a + 3ab + b 2, g) (3a − 4xz) 2x + 3y , h) (y − 2a) (y + 3a),
2
i) x + 2 (2x − 3), j) (x − 5) (x − 1)(x − 3).
17.22. a) 23 a + b 23 a − b + 1 , b) (x − 4 + y)(x − 2 − y), c) x2 (2a − b)2 (2a + b)2 ,
d) (2x − 2 − y)2 , e) 2a2 b(2a + 3b2 )(a − b), f) (x − 1)(2x − 1)(4x − 1),
g) x(x − 2)(x + 3)(x − 4), h) a2 (9a − 8b)(9a + 8b), i) (2x + 3)(2x − 1)(x + 1),
j) 2a2 bc(ab − 2c2 )(ab + 2c2 ).
17.23. a) (x − 1)(x + 2)(x + 1), b) 5x(2x − 3)(2x + 3), c) 2pq2 (3p − q)(3p + q)(x + y),
d) a(4a2 − 5b)(5a3 − 4c), e) 2a(a3 + 3b2 )(a3 − 3x2 ), f) (x − 2y)3 ,
g) 3x(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4), h) 2xy(2a + b)(2x − 3y)(4a2 − 2ab + b2 ),
i) (x + 3)(x − y)(x + y)(x2 + y2 ), j) 2a2 b(2a − b)(3x + y)(4a2 + 2ab + b2 ).
17.24. a) −9(x + 3)(x − 3)(2x2 + 9), b) (x + 1)(x − 1)2 (x2 + x + 2),
c) (x − y)3 (x + y)3 (x2 + y2 ), d) ab(2 − 3ab2 )(2 + 3ab2 )(4 + 9a2 b4 ),
e) 2x4 (x − 1)(x + 2)(3x − 2), f) (x − 3)(x + 3)(x2 + 5), g) 3ax2 (x − a)3 (x + a)3 ,
h) (x + 1)(x − 7)2 , i) ab(4b2 − 3)(c2 + 5), j) 6a2 b3 (a − b)2 (a + b)2 .
328
Capitolo 19. Frazioni algebriche
19.7 (∗ ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza.
2x2 − x − 1
;
3x2 − x − 2
2
2x − 5x + 2
b)
;
2x2 − 7x + 6
a)
−2x + 2 + ax − a
;
x2 − 2x + 1
4x3 − 4x4 + 8x − 8x2
f)
.
1 − x2
a3 + a2 + a + 1
;
ax + x + 2a + 2
2
x + 5x + 6
d) 2
;
x + 6x + 9
e)
c)
19.8 (∗ ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza.
2x2 − 3x + 1
;
2x2 − 5x + 3
x2 + x − 2
;
b) 2
x + 2x − 3
a)
x2 − 2x + 1
;
− 3x2 + 3x − 1
6a2 b3 − 9a3 b2
;
d)
2ab − 3a2 − 2b + 3a
c)
x2 + 7x + 12
;
x2 − 9
x3 − 1
.
f) 4
x + 2x3 + x2 − 1
e)
x3
19.9 (∗ ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza.
2x2 + 3x − 2
;
2x2 + x − 6
3
2
x −x +x−1
;
b)
2x2 − x − 1
a)
2x2 − 4xy
;
ax − 2ay + 2x − 4y
5
5
3
5
8a b − 4a b
d)
;
2a3 − a − 1 + 2a2
2x2 − x − 3
;
3x2 + 2x − 1
3
2
x + x − 2x − 2
.
f) 3
x + x2 + 2x + 2
c)
e)
19.10 (∗ ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza.
−2a − a2
;
2b + ab + 4 + 2a
x2 + 3x − 28
;
b) 2
x + 2x − 24
a)
2x3 − 7x2 + 7x − 2
;
2x3 − 5x2 + x + 2
a2 + a
d)
;
ab + b + a + 1
x2 − x − 6
;
x2 + 2x − 15
x3 + x2 − 2x − 2
f)
.
x2 + 2x + 1
c)
e)
19.11 (∗ ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza.
−a2 − a
;
ab + b + a + 1
2x2 − x − 3
b)
;
x3 + 1
a)
4x + 4y
;
6x + 6y + 2ax + 2ay
3
2
x −x +x−1
d) 3
;
x − 3x2 + 3x − 1
c)
e)
f)
x2 − xy
;
− 2xy + ax2 − axy
x3 − 8
.
2
x2 + 4 − 4x2
2x2
19.12 (∗ ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza.
2x2 − x − 1
;
2x2 + x
x2 + 2xy + y2 − 1
b) 2
;
x + y2 + 1 + 2xy − 2x − 2y
a)
c)
d)
2x3 − x − 1
;
−x
ax2 − ax + x2
x6 − 1
x4 − 1
.
19.4 - Moltiplicazione di frazioni algebriche
19.13 (∗ ). Determinate i seguenti prodotti, indicando sempre le condizioni di esistenza.
3x − 6y 2x2 y2 + xy3
·
;
5xy3
4y2 − x2
x4 − 5x2 + 4
x
b)
· 3
;
x2 − 1
x − 4x
a)
4x − 2a 3a − 3x
·
;
x−a
a − 2x
2
3
−1 − 2a − a a − 3a2 + 3a − 1
d)
·
.
1 + a2 − 2a a4 + 2a3 − 2a − 1
c)
332
Capitolo 19. Frazioni algebriche
19.32 (∗ ). Semplifica le seguenti espressioni.
2
1
a −1
1
+
;
a)
a−1 a+1
2a
1
1 a2 − 1
b)
+
;
a − 1 a + 1 2a
a + b 2a − b a − b
c) 1−
;
−
a−b a+b
a
x2 + 2x + 1 x3 − 1 2 − 8x2
d)
−
+ 2
.
x−1
1 − x2
4x − 1
19.33 (∗ ). Semplifica le seguenti espressioni.
1
1
1
+
+
;
x − 1 x2 − 2x + 1 x3 − 3x2 + 3x − 1
3
2
x +1
3x − 4x + 1
1−x
−
+
;
b)
2
2
(x − 1)
(x + 1)
1 − x2
a)
1
2x + 2 6x + 1
x+2
;
+
+
−
2 − 3x
2x
3x − 2 3x2 − 2x
3x
3
9
d) 2
−
+
.
x − 2xy + y2 x − y 2y − 2x
c)
19.34. Semplifica le seguenti espressioni.
6x
3
1
+
−
;
x2 − 4 2 − x x + 2
2
x
1
b) 4
−
;
x + x2 + 1 x2 + x + 1
a)
(x − 1)2
x−1
−
;
3
2
x − 3x + 3x − 1 (1 − x)3
1
x
−
.
d)
2
1−x
2x − 1 − x
c)
19.35 (∗ ). Semplifica le seguenti espressioni.
24x
x+1
18(x − 1)
+
−
;
x2 + 3x − 4 x2 − 3x + 2 x2 + 2x − 8
2
2
4
b) 2
−
−
;
x − 9x + 20 25 − x2 x2 + x − 20
a)
4ay − 4a2
y−a
1
− 2
+
;
3
3
y + 2a y − 2ay + 4a2
y + 8a
8x − 12
5x
20x
d)
.
−
−
4x2 − 12x + 9 2x2 + 3x 9 − 4x2
c)
19.36 (∗ ). Semplifica le seguenti espressioni.
x2 − 2x + 3
x−2
1
a)
+ 2
−
;
x3 + 1
x −x+1 x+1
2
2
t − 1 4z − 1
24z − 4t − 2t2 z
b)
+
−
;
4 + t2 2z + 1 2t2 z + t2 + 8z + 4
x2
x−y
x y
+ −2 : 1− 2 +
;
c)
y x
x
y
2
x+a x−a
x−a
d)
−
: 1−
.
x−a x+a
x+a
19.37. Semplifica le seguenti espressioni.
x2 − 4
x2 − 5x + 6
x3 − x
x3 − 8
− 2
+ 3
− 2
;
2
− 4x + 4 x − 4x + 4 x − 2x − x + 2 x − 4x + 4
2x2 − 5x − 3
2x3 − x − 1
;
b)
− 2
ax − 3a + x − 3 ax − ax + x2 − x
b+1
1
a+1−b
c) 2
− + 2
;
a + ab + a a a + 2a + 1 − b2
4
2
2
2
x −x a
x + ax
2xa2 + a3
d)
:
·
.
4x2 a2 + 4xa3 + a4
2x2 a + xa2 x2 − ax
a)
x2
19.38 (∗ ). Semplifica le seguenti espressioni.
a)
1
1
1
−
−
;
2
2
2
xy + yz − y − xz zx + zy − xy − z
xy − x − yz + xz
338
19.8.2
Capitolo 19. Frazioni algebriche
Risposte
x2 +3x−4
,
2
19.5.
a)
x−3
x+3 ,
b) 21 ,
19.6.
a)
2−a
x−1 ,
b)
19.7.
a)
2x+1
3x+2 ,
b)
2x−1
2x−3 ,
19.8.
a)
2x−1
2x−3 ,
b)
x+2
x+3 ,
19.9.
a)
2x−1
2x−3 ,
b)
x2 +1
2x+1 ,
c)
2x
a+2 ,
d)
4a3 b5
a+1 ,
−a
b+2 ,
b)
x+7
x+6 ,
c)
2x−1
2x+1 ,
d)
a
b+1 ,
19.10. a)
3a−2b
2a+1 ,
a
19.11. a) − b+1
,
19.12.
a)
x−1
x ,
x+a
a+1 ,
c)
b)
b)
d)
a−b
b+c ,
e)
x
a+2 ,
f) 12 .
a2 +1
x+2 ,
d)
x+2
x+3 ,
e)
a−2
x−1 ,
f)
4x(x2 +2)
x+1 .
3a2 b2
a−1 ,
e)
x+4
x−3 ,
f)
x−1
.
x2 +x−1
2x−3
,
x2 −x+1
x+y+1
x+y−1 ,
c)
−3(2x+y)
,
5y2 (x+2y)
b) 1,
19.14.
a)
−2(a−5)
,
5a2 (a2 +4)
x
b) −5 y
5,
19.15.
a) a + 1,
19.19.
a)
(x−2)2
,
x2 −9
19.20.
a)
y+1
y+2 ,
19.28.
a)
x+y−1
,
x2 y2
b)
7
6x ,
19.29. a) − x21−x ,
b)
2x+1
,
x2 −4
a−3
2a+6 ,
b)
19.30. a)
a+b+1
(a−1)(b+1) ,
19.31. a)
2x2 −5x+3
,
x3
19.32. a) 1,
19.33.
a)
b)
b)
b)
b)
c)
4
f)
e)
x2 −2
.
x2 +2
x2 −2
x+1 .
1
a+2 ,
2
+1
d) x x+x
2 +1 .
d) x1 .
1
2x+1 ,
d)
d)
d)
2
x−2 ,
x2 +1
x−3 .
d)
−3(x+3)
x(2x+3) ,
c)
b2
a(b−a) ,
d)
d)
c)
e) 1,
f) x.
x
.
(x−1)2
c) − 13 ,
−x3 −x2 +x−1
,
x2 −1
x−1
x+1 .
2
a(a−2) ,
3a+1
,
2a2 −a−1
c)
x+2
x+5 ,
f)
d) 2.
c) − 51 ,
2
x(1−x) ,
a2 +1
2a(a−1) ,
x2 −x+1
,
(x−1)3
c)
1
a,
e)
2x−3
3x−1 ,
x2 +1
,
(x−1)2
d)
x+1
x−1 ,
c)
1
2(x−2) ,
c)
e)
1
.
d) − a+1
c) 6,
x+a 2
x+1 ,
b)
2
a+3 ,
2x2 +2x+1
x(a+1) ,
8
c)
d)
c)
19.13. a)
b) x,
a−1
.
3a2 +1
f)
d)
1
x−1 ,
c)
5
3+a ,
4
a+3 ,
c)
c)
e)
d)
x(x+1)
.
x3 −1
x2 −x−7
x+2 .
x3 +3x−2
x−1 .
3x+2
x ,
d)
3(5y−3x)
.
2(x−y)2
f)
x−2
.
x2 +4−2x
Sezione 19.8. Esercizi
339
19.35. a)
7(x+1)
(x+4)(x−1) ,
19.36. a)
x2 −2x
,
x3 +1
19.38. a)
2
(x−y)(y−z) ,
19.39. a)
10
x−3 ,
b)
2(1−x)
x+2 ,
19.40. a)
y
y+1 ,
b)
1
1−a ,
19.41. a)
1
x+2 ,
b)
x6 +x5 −x4 −x3 +18x2 −2
,
2x(x−1)(x+1)2
19.43. a)
(a+1)2
,
a
19.44. a) 36b2 ,
b)
3−2t2
,
t2 +4
b)
b)
b)
22
(x+5)(x−5)(x−4) ,
b)
15−x
x+2 ,
c)
8x2
2x−1 ,
b)
x+2
6x(x−1) ,
19.46. a)
6x−5
,
3(x−2)2
b)
45x−19
9(1−x) ,
19.47. a)
a(4a−1)
,
2
19.48. a)
−x4 +14x3 +35x2 +380x
,
25
b)
19.49. a) (a + 3 − b)2 ,
3−2x
2x+3 ,
b) −6(x + 1)2 ,
19.51. a)
1
5a−2 ,
b) 3,
19.52. a)
5x3 −28
,
2x(x−2)2
19.53. a)
x
a,
19.59. a)
x2n
xn +yn ,
b)
1
a−1 ,
b)
x+3
x−2 ,
c)
b)
3x
a,
d)
a−1
.
a2 +a
c)
d)
−1
2a(a−1)(a−2) ,
c) −1,
c)
d) 2(x − 3).
4x+111
d) − 6(x+3)(x−3)
.
d) x(2a + 1).
c)
x+a+3
a(x+a) ,
b
b−1 ,
d) −x.
c) a + x + 1,
d)
d)
d) 2.
a2 +3a−8
a+4 .
x2
(x+a)(x−a) .
c) 3x − 13,
d)
7
x−2 .
x+3
x−3 .
(x−a)(2x−a)
,
x+a
y
x−y ,
c)
1
x+2y ,
c)
a(a−1)
a−x .
2x+3
3(x−2)(x−1) .
d)
−8x2 +a2 +1
,
(a−1)2
ax
a−3 ,
d)
4(2x−1)
.
(x−1)2
8(x+2)
(1−x)(x−3)(x−5) ,
b)
8−3b
a−2 ,
x(a+x)
a(x−a) .
4x−3
x−4 ,
14x+3
3(x−1) ,
b)
c)
c)
c)
9
2x−3 .
1
a−2 .
2a−1
a−1 ,
c)
19.50. a)
19.54. a) 4(x − 2),
d)
(x−2)2 (2x2 +3x+2)
,
8x5
−2
,
x2 (x+2)
d)
d) 21 .
x+1
2x ,
c)
d)
c) ab,
c) −1,
19.45. a)
b)
x−y
x+y ,
c)
a
,
y2 −2ay+4a2
c)
1
a.
d)
x
x+y ,
e)
b
x−3b .
352
Capitolo 20. Equazioni
20.5
Esercizi
20.5.1
Esercizi dei singoli paragrafi
20.1 - Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado
20.1 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) x2 + 2x = 0;
b ) x2 + 2x − 9x − 18 = 0;
c ) 2x2 − 2x − 4 = 0;
d ) 4x2 + 16x + 16 = 0.
20.2 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) x2 − 3x − 10 = 0;
b ) x2 + 4x − 12 = 0;
c ) 3x2 − 6x − 9 = 0;
d ) x2 + 5x − 14 = 0.
20.3 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) −3x2 − 9x + 30 = 0;
3
3
b ) − x2 + x + 63 = 0;
2
2
c ) 7x2 + 14x − 168 = 0;
7
d ) x2 + 7x − 168 = 0.
2
20.4 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) x4 − 16x2 = 0;
b ) 2x3 + 2x2 − 20x + 16 = 0;
c ) −2x3 + 6x + 4 = 0;
d ) −x6 + 7x5 − 10x4 = 0.
20.5 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) x3 − 3x2 − 13x + 15 = 0;
b ) x2 + 10x − 24 = 0;
c ) 2x3 − 2x2 − 24x = 0;
d ) x4 − 5x2 + 4 = 0.
20.6 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) −x3 − 5x2 − x − 5 = 0;
3
3
b ) x3 − x = 0;
4
4
c ) −4x4 − 28x3 + 32x2 = 0;
6
6
54
54
d ) − x3 − x2 + x +
= 0.
5
5
5
5
20.7 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) −4x3 + 20x2 + 164x − 180 = 0;
b ) 5x3 + 5x2 − 80x − 80 = 0;
c ) −3x3 + 18x2 + 3x − 18 = 0;
d ) 4x3 + 8x2 − 16x − 32 = 0.
20.8 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) x3 + 11x2 + 26x + 16 = 0;
b ) 2x3 + 6x2 − 32x − 96 = 0;
c ) 2x3 + 16x2 − 2x − 16 = 0;
d ) −2x3 + 14x2 − 8x + 56 = 0.
Sezione 20.5. Esercizi
353
20.9 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) 2x3 + 12x2 + 18x + 108 = 0;
b ) x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = 0;
c ) −2x3 − 12x2 + 18x + 28 = 0;
d ) −5x4 + 125x2 + 10x3 − 10x − 120 = 0.
20.10 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
7 4 161 2
140
x −
x − 21x +
= 0;
6
6
3
2
5
4
b ) (x − 6x + 8)(x − 3x + 2x3 ) = 0;
a)
c ) 25 − 4x2
4
(3x − 2)2 = 0;
d ) (x − 4)3 2x3 − 4x2 − 8x + 16
9
= 0.
20.11 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) (x3 − x)(x5 − 9x3 )(x2 + 25) = 0;
b ) x5 + 3x4 − 11x3 − 27x2 + 10x + 24 = 0;
c ) 2x2 − x − 1 = 0;
d ) 3x2 + 5x − 2 = 0.
20.12 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) 6x2 + x − 2 = 0;
b ) 2x3 − x2 − 2x + 1 = 0;
c ) 3x3 − x2 − 8x − 4 = 0;
d ) 8x3 + 6x2 − 5x − 3 = 0.
20.13 (∗ ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) 6x3 + x2 − 10x + 3 = 0;
b ) 4x4 − 8x3 − 13x2 + 2x + 3 = 0;
c ) 8x4 − 10x3 − 29x2 + 40x − 12 = 0;
d ) −12x3 + 68x2 − 41x + 5 = 0.
20.14 (∗ ). Risolvere la seguente equazione riconducendola a una equazione di primo grado.
(x4 + 3x3 − 3x2 − 11x − 6)(4x6 − 216x3 + 2916) = 0;
20.2 - Equazioni numeriche frazionarie
20.15 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
1
2
=
;
x+1
x+2
1
b)
= 2;
x−1
a)
1
= 0;
x+1
2x − 4
d)
= 0.
x−2
c) 1−
20.16 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
x
1
−
= 1;
x+1 x−1
1
x
b)
=
;
x−3
3−x
a)
x−1
5
=−
;
x+2
x2 − 4
3
2
d)
=
.
x+1
x+1
c)
354
Capitolo 20. Equazioni
20.17 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
1
4
−
= 0;
3 − x 2x − 6
x2 − 1
b)
− 1 = 2x + 1;
x−1
a)
1
x
=
;
x+2
x2 − 4
3
1
2 − 2x
d) − 2 =
.
x x
x3
c)
20.18 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
x−1
x−2
=
;
x−1
x−2
x+3
b)
= x + 3;
x+1
a)
3x + 1
= 1;
3x2 + x
6+x
x2
d)
=
.
x−3
x−3
c)
20.19 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
2
3
1
+
= 2
;
x−2 x+1
x −x−2
5
6
3x − 1
b)
−
= 2
;
x−2 x+1
x −x−2
a)
1
x
−
= 0;
1−x x−1
x+1
x
d)
−
= 0.
x−1 1+x
c)
20.20 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
2x + 1 4x2 + 1
+
= 2;
2x − 1 4x2 − 1
1
2
1
b)
+ + 2
= 0;
x−1 x x −x
a)
x−1
2
;
=
2 − 2x
− 2x + 1
2
x + 5x + 6
d ) 4 − x2 =
− 1.
x+2
c)
x2
20.21 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
2
1
5
+
=
;
5x + 1 2x − 1
1 − 2x
1
2
3
b)
+
= 2
;
x−2 x+1
x −x−2
a)
30
3
= 0;
+
− 25 5 − x
x−1
1
1 − x2
d) 1+
=
+ 2
.
x+1
x−2 x −x−2
c)
x2
20.22 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
3x
5x
1−x
+
=
;
6 − 2x 10 − 5x
4 − 2x
18x2 − 9x − 45 6x + 1 21x − 1
b)
−
+
= 0;
9x − 3 18x + 6
4 − 36x2
a) −
1
1
x+3
−
= 2
;
x+3 2−x
x +x−6
1 + 2x 1 − 2x
6 − 8x2
d)
+
=
.
1 − 2x 1 + 2x
1 − 4x2
c)
20.23 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
3x
6x
3x2
+ 2
=
;
2
x−2 x − 4x + 4
(x
− 2)
4
1
b ) (4x + 6)
−
= 0;
x+1 x−1
a)
5x
2
5
−
=
;
18x − 90
3x2 − 18x + 15 3x − 3
(x − 4)(x + 3)
d ) (x − 4)(x + 3) =
.
x−2
c)
356
Capitolo 20. Equazioni
20.31 (∗ ). Quale numero occorre aggiungere a numeratore e denominatore della frazione due
settimi perchè essa triplichi di valore?
20.32. Due amici A e B partono con le loro automobili nello stesso istante da due località
diverse; A fa un viaggio di 100 Km a una certa velocità, B fa un viaggio di 132 Km ad una
velocità che supera quella dell’amico di 20 Km/h. I due amici arrivano nello stesso istante
all’appuntamento. Qual è la velocità di A?
B
A
100 km
32 km
Traccia di soluzione:
á se A e B partono insieme e arrivano insieme significa che hanno impiegato lo stesso
tempo per fare il proprio viaggio;
á il tempo è dato dal rapporto tra lo spazio percorso e la velocità;
á la velocità di A è l’incognita del problema: la indichiamo con x;
á l’equazione risolvente è
110
132
=
.
x
x + 20
Prosegui nella risoluzione.
20.33. Per percorrere 480 Km un treno impiega 3 ore di più di quanto impiegherebbe un aereo
a percorrere 1920 Km. L’aereo viaggia ad una velocità media che è 8 volte quella del treno.
Qual è la velocità del treno?
20.3 - Equazioni letterali
20.34 (∗ ). Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell’incognita x.
a ) 1 + 2x = a + 1 − 2x;
7
b ) 2x − = ax − 5;
2
c ) b2 x = 2b + bx;
d ) ax + 2 = x + 3.
20.35 (∗ ). Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell’incognita x.
a ) k(x + 2) = k + 2;
b ) (b + 1)(x + 1) = 0;
c ) k2 x + 2k = x + 2;
d ) (a − 1)(x + 1) = x + 1.
20.36. Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell’incognita x.
a ) ax + x − 2a2 − 2ax = 0;
b ) 3ax − 2a = x · (1 − 2a) + a · (x − 1);
c ) x(3 − 5a) + 2(a − 1) = (a − 1)(a + 1);
d ) x + 2a · (x − 2a) + 1 = 0.
Sezione 20.5. Esercizi
361
20.65. Equazione di stato dei gas perfetti:
pV = nRT .
Ricava le formule per calcolare: V = . . . . . . . . . . . . ,
t = .............
20.66. Rendimento del ciclo di Carnot:
η = 1−
T1
.
T2
Ricava le formule per calcolare: T1 = . . . . . . . . . . . . ,
T2 = . . . . . . . . . . . . .
20.67. Legge di Stevino:
PB = PA + ρ · g · (zA − zB ).
Ricava le formule per calcolare: ρ = . . . . . . . . . . . . ,
zA = . . . . . . . . . . . . ,
zB = . . . . . . . . . . . . .
20.68. Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta.
2−a
x
a
b) y = 2−
x
a) y =
x = ..., a = ...;
x = ..., a = ...;
2
−a
x
2−a
d) y = −
x
c) y =
x = ..., a = ...;
x = ..., a = ....
20.69. Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta.
2x + 1
2k − 1
=
2x − 1
k+1
b ) (m − 1)x = m − 3
a)
k = ...;
m = ...;
2
a−1
+
=0
x+2 a+1
d ) (a + 1)(b − 1)x = 0
c)
a = ...;
b = ....
20.70 (∗ ). Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta.
x
x−b
b
+
= 2
a+b a−b
a − b2
1
2x
bx
−
b)
+ 2
=0
2
a+b a −b
a−b
a)
20.5.2
20.1.
a = ..., x = ...;
a = ..., b = ....
Risposte
a) {0, −2}, b) {−2, +9}, c) {2, −1},d) {−2}. 20.5. a) {1, +5, −3}, b) {2, −12},
c) {0, −3, +4}, d) {1, −1, +2, −2}.
20.2. a) {5, −2}, b) {2, −6}, c) {3, −1},
d) {2, −7}.
20.6. a) {−5}, b) {0, +1, −1}, c) {0, +1, −8},
d) {−1, +3, −3}.
20.3 a) {2, −5}, b) {7, −6}, c) {4, −6}, d) {6, −8}. 20.7. a) {1, +9, −5}, b) {−1, +4, −4},
c) {1, −1, +6}, d) {2, −2}.
20.4. a) {0, +4, −4}, b) {1, +2, −4},
c) {2, −1}, d) {0, +2, +5}.
20.8. a) {−1, −2, −8},
c) {1, −1, −8}, d) {7}.
b) {4, −4, −3},
362
Capitolo 20. Equazioni
20.9. a) {−6}, b) {1, +2, +3, +4},
c) {−1, +2, −7}, d) {1, −1, −4, +6}.
20.10. a) {1, −2, +5, −4},
b) {0, +1, +2, +4}, c) 25 , − 52 , 32 ,
d) {4, +2, −2}.
20.13. a) 1, 13 , − 23 , b) 3, −1, 12 , − 12 ,
c) 2, −2, 34 , 21 , d) 5, 12 , 16 .
20.14. {−1, +2, +3, −3}.
20.16. a) {0},
20.17.
a) ∅,
20.18. a)
b) {−1},
b) {−1},
3
2 ,
20.19. a) ∅,
b)
c) {0},
c)
c) ∅,
b) {0, −3},
9
2 ,
d) ∅.
11 6 ,
d) ∅.
d) {2, −1}.
c) {1},
c) {−1},
20.21.
a)
2
25 ,
20.22.
a)
3
4 ,
b)
1
3 ,
b) ∅,
b)
c) ∅,
7
3 ,
d) {1, −2}.
c) ∅,
d) − 13 .
c) ∅,
d) ∅.
b) − 23 , 53 ,
c) {−5},
20.24. a) R − − 23 , 2 , b) {1}, c) − 32 ,
d) {1}.
20.12. a) 12 , − 32 , b) 1, −1, 12 ,
c) −1, 2, − 23 , d) −1, − 12 , 34 .
20.15. a) {−3},
a) {−1},
20.23. a) R − {2},
d) {4, −3, 3}.
20.11. a) {0, +1, −1, +3, −3},
b) {1, −1, −2, +3, −4}, c) 1, − 21 ,
d) −2, 13 .
b) 32 ,
20.20.
d) {−2}.
d) − 13 .
20.25.
a)
1
2 ,
b) {2, 3},
20.26. a) {−5, +1},
3
.
d) − 16
20.27. a) R − {−3},
d) − 34 .
20.28. a)
d) − 26
25 ,
c) − 23 ,
b) 2, − 14 , −2 ,
b)
3
2 ,
c)
d) {2}.
c) ∅,
35 3 ,
5
4
− 3 , c) {4},
3 , b)
e) 12
,
f) {−30}.
5
20.30.
x = 21
20.31.
x = 28
3
b) a = 2 → ∅; a 6= 2 → 2(a−2)
,
2 1 c) b = 0 → R; b = 1 → ∅; b 6= 0 ∧ b 6= 1 → b−1 , d) a = 1 → ∅; a 6= 1 → a−1
.
20.34. a) ∀a ∈ R →
a
4 ,
20.35. a) k = 0 → ∅; k 6= 0 → 2−k
, b) b = −1 → R; b 6= −1 → {−1},
k
2 , d) a = 2 → R; a 6= 2 → {−1}.
c) k = 1 → R; k = −1 → ∅; k 6= 1 ∧ k 6= −1 → − k+1
20.37. a) a = 1 → R; a 6= 1 → {0}, b) k = 0 → ∅; k 6= 0 → k2 ,
10 c) a = 0 → R; a = 3 → ∅; a 6= 0 ∧ a 6= 3 → 3−a
, d) a = 0 → R; a 6= 0 → 32 (a − 2) .
20.38. a) a = 3 → R; a 6= 3 → {2}, b) a = 2 → R; a = 1 → ∅; a 6= 2 ∧ a 6= 1 →
1 c) a = 2 → ∅; a = −2 → R; a 6= −2 ∧ a 6= 2 → a−2
,
d) m = 1 ∨ m = −1 → R; m 6= 1 ∧ m 6= −1 → ∅.
1
a−1
,
Matematica C3 – Geometria Razionale
Manuale di geometria per il biennio della scuola secondaria di secondo grado
terza edizione
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Antonio Bernardo
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Autori
Angela D’Amato
Antonio Bernardo
Cristina Mocchetti
Lucia Rapella
Gemma Fiorito
Hanno collaborato
Francesco Camia
Erasmo Modica
Germano Pettarin
Nicola Chiriano
Luciano Sarra
Paolo Baggiani
Vittorio Patriarca
Giuseppe Pipino
Anna Battaglini-Frank
Dorotea Jacona
Eugenio Medaglia
Laura Todisco
Alberto Brudaglio
Luca Frangella
Alessandro Paolini
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Terza edizione, 2014
Dati tecnici per l'adozione del libro a scuola:
Titolo: Matematica C3, Geometria razionale
Codice ISBN: 9788896354650
Editore: Matematicamente.it
Anno di edizione: 2014
Prezzo: 0,00
Formato: ebook (PDF + ODT)
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Geometria Razionale - Indice
INDICE
CAPITOLO 1: NOZIONI FONDAMENTALI
►1. Introduzione alla geometria razionale......................................................................................6
►2. Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni.....................................................7
►3. Gli enti fondamentali della geometria...................................................................................14
►4. Prime definizioni: segmenti e angoli.....................................................................................19
►5. Confronto e operazioni fra segmenti e angoli........................................................................24
►6. La misura...............................................................................................................................32
►7. Poligoni e poligonale.............................................................................................................36
►8. ESERCIZI..............................................................................................................................39
CAPITOLO 2: CONGRUENZA NEI TRIANGOLI
►1. Definizioni relative ai triangoli..............................................................................................52
►2. Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli............................................................53
►3. Teoremi del triangolo isoscele...............................................................................................56
►4. Terzo criterio di congruenza dei triangoli..............................................................................59
►5. Congruenza dei poligoni........................................................................................................60
►6. ESERCIZI..............................................................................................................................61
CAPITOLO 3: RETTE PARALLELE
►1. Primo teorema dell’angolo esterno .....................................................................................................68
►2. Rette perpendicolari ............................................................................................................................69
►3. Rette parallele .....................................................................................................................................70
►4. Somma degli angoli interni di un triangolo.........................................................................................73
►5. Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli.....................................................................74
►6. Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo ..................................................................................77
►7. ESERCIZI............................................................................................................................................81
CAPITOLO 4: QUADRILATERI
►1. Generalità sui quadrilateri ...................................................................................................................90
►2. Trapezio e deltoide ..............................................................................................................................91
►3. Proprietà dei parallelogrammi .............................................................................................................92
►4. Parallelogrammi particolari .................................................................................................................94
►5. Corrispondenza di Talete .....................................................................................................................95
►6. Conseguenze della corrispondenza di Talete ......................................................................................97
►7. ESERCIZI............................................................................................................................................97
CAPITOLO 5: CIRCONFERENZA
►1. Luoghi geometrici..............................................................................................................................102
►2. Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà.....................................................................104
►3. Posizioni relative fra rette e circonferenze.........................................................................................108
►4. Angoli nelle circonferenze.................................................................................................................111
►5. Proprietà dei segmenti di tangenza....................................................................................................115
►6. Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza..........................................................................116
►7. Punti notevoli di un triangolo.............................................................................................................117
►8. Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti..................................................................................120
►9. Poligoni regolari.................................................................................................................................122
►10. ESERCIZI........................................................................................................................................124
CAPITOLO 6: PROPORZIONALITÀ E SIMILITUDINE
►1. La misura.............................................................................................................................130
►2. Proporzionalità tra grandezze..............................................................................................133
►3. Teorema di Talete, caso generale.........................................................................................137
►4. Avere la stessa forma...........................................................................................................140
►5. La similitudine nei triangoli.................................................................................................141
3
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Esercizi sui criteri di congruenza dei triangoli e sui triangoli isosceli.
53 Due triangoli sono congruenti se hanno
segmento BG congruente a CF. Dimostra che i triana) tre lati congruenti
VF
b) tre angoli congruenti
VF
c) due lati e l’angolo compreso congruenti
VF
d) due angoli e il lato in comune congruenti
VF
e) un lato e l’angolo opposto congruenti
VF
54 Prolunga nello stesso verso i lati di un triangolo equilatero di tre segmenti tra loro congruenti.
Dimostra che il triangolo ottenuto congiungendo gli
estremi dei segmenti aggiunti è equilatero.
55 Due triangoli equilateri sono congruenti se
hanno lo stesso perimetro.
56 Dimostra che due triangoli equilateri che
hanno in comune la base sono congruenti.
57 Se in due triangoli sono congruenti due coppie
di lati e la mediana relativa ad uno di essi, allora i due
triangoli sono congruenti.
58 Se in due triangoli sono congruenti due coppie
di lati e la bisettrice relativa ad uno di essi, allora i
due triangoli sono congruenti.
59 Due triangoli isosceli sono congruenti se
hanno rispettivamente congruenti la base e un altro
lato.
60 Se due triangoli hanno congruenti due lati e la
mediana relativa a uno di essi allora sono congruenti.
61 In un triangolo se la bisettrice di un angolo è
anche meddiana allora il triangolo è isoscele.
62 In un triangolo isoscele ABC di base BC e
vertice A prendi un punto D sul lato AB e un punto E
sul lato AC, in modo che BD ≅ EC , unisci C con D
e B con E, sia {F }= BE∩DC , dimostra che i
triangoli BFA e CFA sono congruenti.
63 Dimostra che, prolungando i lati congruenti
AB e AC di un triangolo isoscele di due segmenti
congruenti rispettivamente AP e AQ, si ha che
BQ = PC .
64 In un triangolo isoscele ABC di base BC e
vertice A, prolunga il lato AB di un segmento BD e il
lato AC di un segmento CE in modo che BD ≅ CE
, prolunga la base BC di un segmento BG, dalla parte
di B, e di un segmento CF dalla parte di C, in modo
che BG ≅ CF . Dimostra che sono congruenti i
triangoli ADG e AEF.
65 In un triangolo scaleno ABC sia AC>BC.
Prolunga BC, dalla parte di C, di un segmento CD
congruente ad AC e prolunga AC, dalla parte di C, si
un segmento CE congruente a BC. Detto H il punto di
intersezione della retta per AB con la retta per DE,
dimostra che AH ≅ DH .
66 In un triangolo isoscele ABC di base BC e
vertice A, prolunga il lato AB di un segmento BD e il
lato AC di un segmento CE in modo che BD ≅ CE .
Unisci D con C e prolunga il segmento DC, dalla
parte di C di un segmento CF. Unisci E con B e
prolunga il segmento EB dalla parte di B di un
64
goli AGD e AFE sono congruenti.
b
67 Dato il triangolo convesso non piatto a O
si prenda un punto A sul lato Oa e un punto B sul lato
Ob, in modo che OA ≅ OB . Sia M il punto medio di
OA e N il punto medio di OB, congiungi A con N e B
con M, indica con P in punto di intersezione. Dimostra che sono congruenti i triangoli OBC e OAD e i
triangolo AOP OPB.
68 Nel triangolo isoscele ABC di base AB e
vertice C, prendi un punto D sulla bisettrice CH
dell’angolo al vertice C, indica con E il punto di
intersezione della retta AD con BC e F il punto di
intersezione di BD con AC. Dimostra che i triangoli
FDA e EDB sono congruenti.
69 Siano ABC e ABD due triangoli isosceli
aventi la base AB in comune e i vertici C e D situati
da parti opposte rispetto ad AB. Dimostrare che
D ≅ D C
B .
AC
70 Sia P un punto interno al triangolo isoscele
ABC di base AB e sia AP = PB . Si dimostri che
CP appartiene alla bisettrice dell’angolo in C.
71 Due triangoli equilateri ABC e DBC hanno la
base BC in comune e i vertici A e D situati da parti
opposte rispetto alla base BC. Dimostra che i due
triangoli sono congruenti.
72 Siano ABC e A’B’C’ due triangoli congruenti.
Si fissino su AC un punto P e su A’C’ un punto P’
tali che AP ≅ A ' P ' . Si fissino su BC un punto Q e
su B’C’ un punto Q’ tali che BQ ≅ B ' Q ' . Si dimostri che PQ ≅ P ' Q ' .
73 Nel triangolo generico ABC sia AK la bisettrice dell'angolo in A. Sul prolungamento dei lati AB
e AC, rispettivamente dalla parte di B e dalla parte di
C, individua due punti D ed E, tali che AD sia
congruente ad AE. Dimostra che DK è congruente a
KE.
74 Due triangoli, che hanno un lato congruente e
hanno congruenti anche i due angoli esterni al triangolo aventi per vertici gli estremi del lato congruente,
sono congruenti.
75 Dato il triangolo ABC e un punto O esterno al
triangolo, si unisca O con A, con B e con C. Si
prolunghi ciascun segmento, dalla parte di O, dei
segmenti OA ' = OA , OB ' = OB , OC ' = OC
Dimostra che ABC = A' B ' C ' .
76 Siano LMN i punti medi dei lati del triangolo
isoscele ABC, dimostra che anche LMN è isoscele.
77 Siano MN i punti medi dei lati congruenti AB
e AC del triangolo isoscele ABC, dimostra che le
mediane AM e AN sono congruenti.
B e B O
C due angoli consecutivi
78 Siano A O
B .
congruenti, sia OM la bisettrice dell’angolo A O
Sulle semirette OC, OB, OM e OA si prendano
rispettivamente i segmenti tutti congruenti tra di loro
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OC’,
OB’,
OM’,
OA’.
Dimostrare
che
A' M '≅ M ' B ' , A ' B'≅ B 'C ' .
 B , sui
79 Sia OM la bisettrice dell’angolo A O
 B si prendano i punti P e Q
lato dell’angolo A O
tali che OP ≅ OQ . Sia C un punto qualsiasi della
bisettrice OM. Dimostra che CP ≅ CQ .
80 Sia P un punto interno al triangolo isoscele
ABC, di base AB. Dimostra che se P A C = P B C
allora P si trova sulla bisettrice dell'angolo in A.
81 Traccia la bisettrice a dell'angolo in A del
triangolo ABC con AB>AC. Sulla bisettrice a indiAD = AB e
vidua due punti D ed E tali che
AE = AC . Dimostra che i triangoli ACD e ABE
sono congruenti.
82 In un triangolo ABC con AB>AC disegna la
bisettrice AD dell'angolo in A. Dal punto D disegna
una semiretta che taglia il triangolo ABC e forma con
 C . Questa semiAD un angolo congruente a A D
retta incontra AB in E. Dimostra che CD e DE sono
congruenti.
83 Sia ABC triangolo isoscele di base BC,
prolunga i lati AB dalla parte di B e AC dalla parte di
C. Traccia la bisettrice b dell'angolo esterno in B e la
bisettrice c dell'angolo esterno in C. Queste bisettrici
incontrano i prolungamenti dei lati, precisamente c
incontra il prolungamento di AB in E e b incontra il
prolungamento di AC in D. Dimostra che
EC = BD . Sia F il punto di intersezione di EC con
BD, dimostra che AF è la bisettrice dell'angolo in A.
84 Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C.
Sul prolungamento di AB si prenda D dalla parte di A
ed E dalla parte di B, in modo che AD = BE .
Dimostra che CDE è isoscele.
85 Sia ABC un triangolo qualsiasi, e sia AL la
bisettrice dell'angolo in A. Da L si conduca la perpendicolare ad AL, essa incontra la retta AB in D e la
retta AC in E. Dimostra che ADE è isoscele.
86
In un triangolo qualsiasi ABC, si
prolunghi il lato AB dalla parte di B di un
segmento BD congruente ad AB e si prolunghi il
lato BC dalla parte di B di un segmento BE
congruente a BC. Detto M il punto medio di AC
e N il punto medio di ED, dimostra che B appartiene alla retta per MN (è sufficiente dimostrare
che l'angolo MBN è piatto).
87 Si prolunghino i lati congruenti AC e BC di un
triangolo isoscele, rispettivametne di due segmenti
congruenti AD e BE. Detto F il punto di intersezione
di AE con DB, dimostra che FC è bisettrice dell'angolo in C.
88 Sulla bisettrice c di un angolo a O b prendi
un punto P e traccia da esso le perpendicolari ai lati a
e b dell'angolo che incontrano rispettivamente in A e
in B i suddetti lati. Dimostra che OA =OB
.

65
89 In un triangolo isoscele di base BC traccia due
semirette aventi origine rispettivamente in B e in C e
che incontrano AB in D e AC in E. Dimostra che se
le semirette si incontrano in un punto della mediana
AM relativa alla base BC allora AD = AE .
90 ABC è un triangolo isoscele con AC
congruente a BC; M punto medio di AB, L punto
medio di AC, N punto medio di BC. Sulla mediana
CM prendi un punto K in modo che KM<CK. Sia P il
punto di intersezione di NK con AB e Q il punto di
intersezione di LK con AB. Dimostra che KPQ è un
triangolo isosscele.
91 Dato il triangolo isoscele ABC di base BC e
angolo in A acuto traccia le altezze BL e CK relative
ai lati obliqui. Prolunga BL di un segmento LD
congruente a metà BL e prolunga CK di un segmento
EK congrunete a metà KC. Sia F il punto di intersezione di EB con DC, dimsotra che DEF è un triangolo
isoscele.
92 Sugli assi dei lati di un triangolo equilatero si
prendono tre punti interni al triangolo equidistanti dai
vertici del triangolo, dimostra che il triangolo che ha
per vertici questi tre punti è anch'esso equilatero.
93 Sui lati AB, BC, CA di un triangolo equilatero
si prendono tre punti P, Q, R in modo che AP, BQ e
CR siano congruenti tra di loro. Unisci i punti P, Q, R
con i vertici opposti. Dimostra che questi segmenti si
incontrano in tre punti che sono vertici di un triangolo
equilatero.
94 Sia ABCDE un pentangolo regolare, ossia con
tutti i lati congruenti e tutti gli angoli interni
congruenti. Dal vertice A traccia le due diagonali AD
e AC. Il pentagono resta così diviso in tre triangoli.
Individua i due triangoli congruenti e dimostra che
sono congruenti.
triangoli ABC e A'B'C' hanno
 = A'
 . Sui
AB = A' B ' , AC = A' C ' , A
lati AC e A'C', esternamente ai triangoli
costruisci i triangoli ADC e A'D'C' in modo che
AD = A' D ' e DC = D' C ' . Dimostra che
sono congruenti i quadrilateri ABCD e A'B'C'D'.
96 Dati i pentagoni congruenti ABCDE e
FGHIL traccia le diagonali che uniscono le
coppie di punti corrispondenti A, D e F, I. Dimostra che sono congruenti i quadrilateri ABCD e
FGHI.
97 Un quadrilatero ABCD ha i lati a due a
AD = DC
due congruenti, precisamente
e
AB = BC . Dimostra che la diagonale DB è
bisettrice dell'angolo in D. Preso un qualsiasi
punto P sulla diagonale BD dimostra anche che
BD è bisettrice dell'angolo APC.
95
I
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Quesiti dalle prove INVALSI
98 In un triangolo isoscele l’angolo al vertice è metà dell’angolo alla base. Quanto misurano gli angoli
del triangolo?
A. 72°, 72°, 36°
B. 30°, 60°, 90°
C. 36°, 36°, 72°
D. 90°, 45°, 45°
(Prove invalsi 2005)
99 Osserva la figura. Se AB ≠ AC e BH=HC, che cosa rappresenta
il segmento AH nel triangolo ABC?
A. Una altezza.
B. Una mediana.
C. Una bisettrice.
D. Un asse.
(Prove invalsi 2006)
100 Da un triangolo equilatero MNO di lato 6 cm viene tagliato via un triangolo equilatero di vertice in
O e lato 2 cm. Il perimetro del quadrilatero rimanente è…
A. 12 cm
B. 14 cm
C. 16 cm
D. 18 cm
E. 20 cm
(Prove invalsi 2003)
66
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Dimostra le seguenti affermazioni.
21 Date due rette parallele tagliate da una trasversale, le bisettrici di due angoli corrispondenti (o
alterni interni o alterni esterni) sono parallele.
22 Date due rette parallele tagliate da una trasversale, le bisettrici di due angoli coniugati interni (o
coniugati esterni) sono perpendicolari.
23 Nel triangolo isoscele ABC traccia una parallela alla base AB, che incontra i lati obliqui in D ed
E, dimostra che anche DCE è un triangolo isoscele.
24 Se due rette r e s sono incidenti allora lo sono
anche due qualsiasi rette u e v, con u parallela a r e v
parallela a s.
25 Sia M il punto medio del segmento AB. Sia r
una retta che incontra AB in M. Sulla retta r da parti
opposte rispetto a M prendi due punti C e D in modo
che AC // BD . Dimostra che AC ≅ BD .
26 Dal vertice C di un triangolo isoscele ABC
conduci la parallela alla base AB. Dimostra che tale
parallela è bisettrice dell’angolo esterno in C al triangolo.
27 Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Sia
r la semiretta di origine C bisettrice dell’angolo
formato dal prolungamento di BC e dal lato AC.
Dimostra che la retta per AB è parallela a r.
28 Dato il triangolo isoscele ABC di base AB e
vertice C, prolunga la base AB dalla parte di A di un
segmento AD. Sia E un punto interno all’angolo
AD ≅C 
A B . Dimostra
D
A C in modo che E 
che EA // CB .
29 Da ciascun vertice di un triangolo ABC traccia
la parallela al lato opposto. Detti D, E, F i punti di
intersezione delle parallele dimostra che il triangolo
DEF ha gli angoli ordinatamente congruenti a quelli
di ABC.
30 Sia AD la bisettrice dell’angolo in A del triangolo ABC. Dal punto D traccia la parallela al lato
AB, essa incontra il lato AC in E. Dimostra che il
triangolo EDC ha gli angoli ordinatamente congruenti
a quelli di ABC. Dimostra anche che ADE è un triangolo isoscele.
31 In un triangolo ABC rettangolo in A traccia
l’altezza AH relativa all’ipotenusa. Dimostra che il
triangolo ABH ha gli angoli congruenti a quelli di
ABC.
32 Sulla base BC di un triangolo isoscele ABC
prendi un punto D e traccia da esso la perpendicolare
p alla base. La suddetta perpendicolare incontra il lato
AB in E e il lato AC in F. Dimostra che il triangolo
AFE è isoscele.
33 In un triangolo ABC traccia la bisettrice AD
dell’angolo in A. Da un punto N del lato AC traccia
la parallela alla bisettrice AD, essa incontra che retta
per AB in E e la retta per BC in F. Dimostra che AEN
è un triangolo isoscele. Dimostra che ADC e NFC
hanno angoli congruenti.
34 In un triangolo ABC sia E il punto di intersezione della bisettrice dell’angolo in B con il lato AC,
Sia D un punto del lato AB tale che DE ≅ DB .
Dimostra che DE è parallelo a BC.
35 In un triangolo ABC traccia le bisettrici agli
angoli nei vertici B e C. Sia D il punto di intersezione
delle bisettrici. Da D traccia la parallela al lato BC e
indica con E ed F i punti di intersezione di questa
parallela con i lati rispettivamente AB e AC. Dimostra che FE ≅ EBFC .
36 Dato il triangolo ABC prolunga il lato AB
dalla parte di A di un segmento AD congruente ad
AB, prolunga poi il lato AC dalla parte di A di un
segmento AE congruente ad AC. Dimostra che DE è
parallelo a BC.
37 Sia AM la mediana di un triangolo ABC. Si
prolunghi AM dalla parte di M di un segmento MD
congruente ad AM. Dimostra che CD è parallelo ad
AB.
38 Due rette parallele tagliate da una trasversale
formano otto angoli, uno di essi è 1/3 dell’angolo
retto. Determina le misure degli altri angoli.
39 Siano α e β due angoli alterni interni formati
da due rette parallele tagliate da una trasversale,
dimostra che la bisettrice di α è parallela alla bisettrice di β.
40 Siano α e β due angoli corrispondenti formati
da due rette parallele tagliate da una trasversale,
dimostra che la bisettrice di α è perpendicolare alla
bisettrice di β.
41 Disegna due segmenti AB e CD disposti in
modo che si incontrino nel loro punto medio comune
M. Congiungi A con D e B con C, dimostra che AD è
parallelo a CB.
b e la sua
42 Disegna un angolo acuto a O
bisettrice c. Disegna su c un punto P, disegna poi
l’asse del segmento OP. Indica con Q e R i punti di
intersezione dell’asse rispettivamente con la semiretta
a e la semiretta b. Dimostra che OQ è parallelo a RP.
b e la sua
43 Disegna un angolo convesso a O
bisettrice c. Disegna su c un punto P, disegna poi le
perpendicolari PR e PQ rispettivamente alle semirette
a e b. Dimostra che c è asse del segmento QR.
44 Sia ABC un triangolo equilatero. Traccia una
parallela al lato AB che incontra il lato BC in D e AC
in E. Dimostra che anche il triangolo CDE è equilatero.
84
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4. Somma degli angoli interni di un triangolo
45 Vero o Falso?
(a) La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a un angolo esterno
(b) La somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente a 3 angoli piatti
(c) La somma degli angoli esterni di un pentagono è congruente a 5 angoli piatti
(d) La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a due angoli retti
(e) Un triangolo isoscele non può avere un angolo ottuso
5. Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli
46 Vero o Falso?
Un triangolo rettangolo ha due angolo complementari
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno almeno un lato congruente
Due triangoli rettangoli che hanno un cateto in comune sono congruenti
Due triangoli rettangoli che hanno l’ipotenusa in comune sono congruenti
Due triangoli rettangoli isosceli sono sempre congruenti
Due triangoli rettangoli isosceli che hanno un lato in comune sono congruenti
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari
Dimostra le seguenti affermazioni.
47 Dimostra che in triangolo rettangolo gli angoli
diversi dall'angolo retto sono acuti.
48 Dimostra che non può esistere un triangolo
rettangolo equilatero.
49 Due triangoli isosceli sono congruenti se
hanno congruenti la base e l’angolo al vertice.
50 In un triangolo isoscele, le altezze relative ai
lati congruenti sono congruenti.
51 Due triangoli rettangoli sono congruenti se
hanno congruenti un cateto e l’altezza relativa all’ipotenusa.
52 Due triangoli rettangoli sono congruenti se
hanno congruenti un cateto e la mediana relativa ad
esso.
53 Due triangoli rettangoli sono congruenti se
hanno congruenti un angolo acuto e la sua bisettrice.
54 Se due triangoli hanno congruenti due coppie
di lati e le mediane relative ai lati rimanenti, allora
sono congruenti.
55 Dimostra che, in un triangolo isoscele, la
bisettrice dell’angolo adiacente all’angolo al vertice è
parallela alla base.
56 Dimostra che sono congruenti due triangoli
isosceli che hanno gli angoli al vertice congruenti e
congruenti le altezze relative a uno dei lati obliqui.
57 In un triangolo qualsiasi ABC si prenda un
qualsiasi punto del lato AB e da esso si tracci la
parallela r alla bisettrice dell'angolo interno in C.
Detto P il punto di intersezione di r con AC e Q il
punto di intersezione di r con BC, dimsotra che
PC = QC .
58 Sia D il punto d'intersezione delle bisettrici
degli angoli in A e in B di un triangolo qualsiasi
ABC. Per D disegna la parallela al lato AB, indica
con E e F le intersezioni di questa parallela rispettivamente con il lati AC e BC. Dimostra che
EF = AE BF .
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
59 Dimostra che, se per i vertici di un triangolo si
conducono le parallele ai lati opposti, queste parallele
determinano, assieme al triangolo dato, quattro triangoli congruenti.
60 Dimostra che in un triangolo isoscele la
congiungente i punti medi dei lati congruenti è parallela alla base del triangolo.
61 Dimostrare che, in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo in due
triangoli rettangolo che hanno tra loro e col triangolo
di partenza gli angoli ordinatamente congruenti.
62 Dato un triangolo ABC, si prolunghi il lato
CA dalla parte di A, si tracci la bisettrice dell’angolo
interno di vertice A e si conduca da B la parallela a
tale bisettrice, che incontri il prolungamento di CA
nel punto D. Dimostrare che il triangolo ADB è
isoscele.
63 Dato un angolo convesso aÔb traccia la sua
bisettrice c. Per un punto P della bisettrice traccia la
perpendicolare alla bisettrice stessa. Chiama A e B i
punto di intersezione della perpendicolare con i lati a
e b dell’angolo convesso. Dimostra che P è punto
medio di AB.
64 Dato il triangolo isoscele ABC, di base AB,
sul prolungamento dell’altezza relativa ad AB prendi
un punto P. Traccia la retta per PA e per PB. Dimostra che l’angolo formato dalle rette PA e CA è
congruente all’angolo formato dalle rette per PB e
CB.
65 Nel triangolo isoscele ABC di vertice A e lati
congruenti AB e AC, traccia le bisettrici degli angoli
alla base. Sia D il loro punto di intersezione. Dimostra che anche il triangolo DBC è isoscele.
66 Dato un triangolo qualsiasi ABC dimostra che
la bisettrice dell’angolo interno in A è perpendicolare
alla bisettrice di uno degli angoli esterni in A.
85
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67 Prolunga la mediana M del triangolo ABC di golo AC e BC rispettivamente in E e in F. Dimostra
un segmento MD. Dimostra che se AM ≅ MD
allora BD è parallela a CA..
68 Sia AM la mediana di un triangolo ABC.
Dimostra che se ABM è isoscele il triangolo ABC è
rettangolo e viceversa se il triangolo ABC è rettangolo in A allora ABM è isoscele.
69 Una retta t incontra due rette a e b rispettivamente in A e B. Dal punto medio M di AB traccia
una retta che interseca a e b rispettivamente in C e D.
Dimostra che se M è punto medio di CD allora a e b
sono parallele.
70 Nel triangolo isoscele ABC prolunga la base
AB di un segmento BD congruente a BC. Dimostra
che l’angolo in C esterno al triangolo ADC è il triplo
dell’angolo ADC.
71 Dato il triangolo ABC traccia la retta r perpendicolare ad AB passante per B, la retta s perpendicolare ad AB passante per A, la retta t perpendicolare ad
AC passante per C. Detto D il punto di intersezione
tra r e t, E il punto di intersezione tra s e t, dimostra
 E è un angolo retto.
che
D
AC C 
B EB C
72 Nel triangolo ABC traccia la media CM e il
suo prolungamento MD a piacere. Da A conduci la
perpendicolare alla mediana che la incontra in E, da
B conduci un’altra perpendicolare alla mediana che la
incontra in F. Dimostra che i triangoli AEM e BFM
sono congruenti.
73 Sul prolungamento della base AB di un triangolo isoscele individua un punto D qualsiasi dalla
parte di B. Traccia la perpendicolare per D a questo
prolungamento, essa incontra i lati obliqui del trian-
che il triangolo CEF è isoscele.
74 Siano r e s due rette incidenti in un punto O.
Su r prendi da parte opposta rispetto ad O i punti A e
B tali che AO ≅ OB . Su s prendi da parte opposta
rispetto ad O i punti C e D tali che CO ≅ OD .
Quale delle seguenti coppie di rette sono parallele?
Dimostralo. CA // BD ; CB // AD
75 Sia ABC un triangolo acutangolo. Nel semipiano di origine AB che non contiene C individua un
 A . Dimostra
punto D in modo che B 
A D≅ C B
che CA // AD . Nell’ipotesi in cui AD ≅CB
dimostra che anche AC // BD .
76 Calcola la misura degli angoli di un triangolo
ABC sapendo che l'angolo A interno è 3/5 dell'angolo
esterno A e che l'angolo B è la metà di A.
77 Sia data una stella a 5 punte inscritta in una
circonferenza. Quanto vale la somma degli angoli con
vertice nelle punte della stella?
(I Giochi di Archimede 2003)
78 Nella figura, quanto misura l'angolo α?
6. Diseguaglianze tra gli elementi di un triangolo
79 Vero Falso?
a. Esiste un triangolo i cui lati misurano 10cm, 3cm, 15cm
b. Un triangolo isoscele può essere ottusangolo
c. Dati tre segmenti di cui almeno uno maggiore degli altri è sempre possibile
che ha lati congruenti ai tre segmenti dati
d. Dai tre segmenti di cui due uguali e uno maggiore degli altri due è sempre
triangolo isoscele che ha lati congruenti ai tre segmenti dati
e. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è minore della somma dei due cateti
f. Un triangolo di perimetro 100cm non può avere un lato di 60cm
g. Un triangolo isoscele può essere ottusangolo
h. In un triangolo l’angolo che si oppone al lato maggiore è acuto
i. In un triangolo rettangolo i cateti sono sempre congruenti
j. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa può essere congruente ad un cateto
k. Un triangolo può avere due lati disuguali e due angoli uguali
l. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa può essere congruente a un cateto
m. Un triangolo può avere due angoli uguali e due lati disuguali
86
V
F
V
F
costruire un triangolo
V
F
possibile costruire un
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
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Dimostra le seguenti affermazioni
80 Sono dati due triangoli ABC e DEF di cui si sa
 , BC ≅ ED . Dimostra che
 
che B
A , 
F D
AC EF .
81 Dimostra che in ogni triangolo rettangolo
l’ipotenusa è maggiore di ciascun cateto.
82 Dimostra che in ogni triangolo rettangolo
l’ipotenusa è maggiore della semisomma dei cateti.
83 In un triangolo ottusangolo il lato opposto
all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri
due lati.
84 Dimostra che in un triangolo il doppio di un
lato è minore del perimetro del triangolo.
85 Dimostra che in un triangolo il doppio di una
qualsiasi altezza è minore del perimetro del triangolo.
86 Dimostra che in un poligono convesso una
qualunque diagonale è minore del semiperimetro
87 Se in un triangolo due mediane sono
congruenti, il triangolo è isoscele.
88 Se due lati di un triangolo sono diseguali, la
mediana uscente dal loro vertice comune forma con il
lato opposto angoli diseguali ed è maggiore quello
dalla parte del lato maggiore.
89 In un triangolo ogni lato è minore del semiperimetro.
90 In un triangolo l’altezza è minore della semisomma dei due lati che hanno un vertice in comune
con essa.
91 In un triangolo la mediana è minore della
semisomma dei due lati che hanno un vertice in
comune con essa.
92 In un triangolo ABC traccia la bisettrice BE
dell’angolo in B. Dimostra che AB>AE. (Per la
dimostrazione utilizza il teorema dell’angolo
esterno).
93 Nel triangolo ABC traccia la mediana AM.
Dimostra che se AC è maggiore di AB allora l’angolo
AMC è maggiore dell’angolo AMB.
94 Nel triangolo ABC prendi un punto D interno
al triangolo. Dimostra che il perimetro del triangolo
ADB è minore del perimetro del triangolo ABC.
(Prolunga il lato AD fino a incontrare il lato BC in E.
Ragionando opportunamente sui triangolo che si
vengono a formare dimostra che AD+DB<AC+CB).
95 Esternamente al triangolo ABC prendi un
punto D. Congiungi D con A, con B e con C. Dimostra che il perimetro di ABC è minore del doppio
della somma delle distanze di D dai tre vertici del
triangolo.
96 Nel triangolo ABC traccia la mediana AM
relativa al lato BC, dimostra che AM è minore della
semisomma degli altri due lati AB e BC. (Prolunga la
mediana di segmento congruente alla mediana
stessa.)
97 In ogni triangolo la somma delle mediane è
minore del perimetro e maggiore del semiperimetro.
98 Dimostra che in un triangolo acutangolo la
somma delle altezze è minore del perimetro e
maggiore del semiperimetro.
99 Dato un triangolo ABC in cui AB<AC traccia
l’altezza AH relativa alla base BC. Dimostra che l’angolo HAC è maggiore dell’angolo HAB.
100 Dato il triangolo isoscele ABC unisci il
vertice A con un punto D della base BC, dimostra che
AD è minore di ciascuno dei due lati congruenti AB e
AC.
101 Dimostra in un poligono convesso una
qualunque diagonale è minore del semiperimetro.
102 In un triangolo ABC si ha che AB>AC. Si
tracci la bisettrice AD dell’angolo in A, si dimostri
che A 
D B A 
DC .
103 Due triangoli rettangoli hanno un cateto in
comune, l’angolo opposto al cateto in comune è
maggiore nel primo triangolo, dimostra che l’ipotenusa del primo triangolo è minore dell’ipotenusa del
secondo triangolo.
104 Dimostra che in ogni triangolo la somma dei
tre lati è sempre maggiore del doppio di un lato.
105 Sia AM la mediana di un triangolo genrico
ABC.
Dimostra
che
se
AB>AC
allora


A M C A M B .
106 Disegnare un punto D interno a un triangolo

 C B AC
ABC qualsiasi, dimostra che B E
.
107 Sui lati AB, BC, CA di un triangolo ABC
qualsiasi scegli a caso tre punti, rispettivamente D, E,
F. Dimostra che il perimetro di ABC è maggiore del
perimetro di DEF.
108 Un quadrilatero ABCD si compone di un
triangolo isoscele ABC di base BC e un triangolo
rettangolo isoscele ACD con l'angolo retto in C.
Dimostra che se l'angolo in A del triangolo isoscele è
acuto allora BC<CD, se l'angolo in A del triangolo
isoscele è ottuso CD<BC.
87
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Quesiti dalle prove INVALSI
109 Le rette r ed s sono tagliate dalla trasversale t. Quale delle
seguenti condizioni permette di stabilire, per qualunque posizione di t,
che r ed s sono parallele?
Gli angoli…
A. 1 e 5 sono supplementari.
B. 2 e 8 sono uguali.
C. 3 e 7 sono supplementari.
D. 4 e 7 sono uguali.
(Prove invalsi 2004)
110 r e s sono due rette parallele tagliate da una trasversale t.
Quale tra le seguenti proposizioni è vera qualunque sia la posizione di t?
Gli angoli α e β sono…
A. supplementari
B. uguali
C. complementari
D. corrispondenti.
(Prove invalsi 2006)
111 Per un triangolo ottusangolo qualsiasi, quale delle seguenti affermazioni è vera?
A. La somma dei suoi due angoli più piccoli è minore dell’angolo più grande.
B. Il punto di incontro degli assi dei lati è certamente interno al triangolo.
C. Il triangolo è necessariamente isoscele.
D. Il triangolo può essere rettangolo.
(Prove invalsi 2006)
112 In un triangolo, le misure dei lati sono a, b, c, con a = b < c. Detti α, β, γ gli angoli interni del triangolo, rispettivamente opposti ai lati a, b, c, quale delle seguenti affermazioni è vera?
A. α = γ
B. β = γ
C. γ > α
D. α > β
(Prove invalsi 2004)
113 Un triangolo ha un lato di 6cm e uno di 10cm. Quale tra le seguenti non può essere la misura della
lunghezza del terzo lato?
A. 6,5 cm
B. 10 cm
C. 15,5 cm
D. 17 cm
(Prove invalsi 20010)
88
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Dimostra le seguenti proprietà.
3 Due parallelogrammi sono congruenti se hanno
19 Dimostra che in un parallelogramma ABCD i
congruenti due lati consecutivi e l’angolo compreso.
4 Due rettangoli sono congruenti se hanno
congruenti due lati consecutivi.
5 Due rombi sono congruenti se hanno congruenti
le due diagonali.
6 Le diagonali di un trapezio isoscele si dividono
in parti rispettivamente congruenti.
7 In un trapezio isoscele, la retta che congiunge i
punti medi delle basi è perpendicolare alle basi stesse,
ed interseca le rette dei lati obliqui nel loro punto
d’intersezione.
8 Se un trapezio ha tre lati congruenti, le diagonali sono bisettrici degli angoli adiacenti alla base
maggiore.
9 Dimostra che un rombo è diviso da una sua
diagonale in due triangoli isosceli congruenti.
10 In un triangolo ABC prolunga la mediana AM
di un segmento MD congruente ad AM. Dimostra che
il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.
11 Sia ABCD un parallelogramma, siano M, N,
O, P i punti medi dei lati. Dimostra che MNOP è un
parallelogramma.
12 Nel parallelogramma ABCD prolunga di
segmenti congruenti ciascun lato e sempre nello
stesso senso. Dimostra che i nuovi vertici che si
ottengono formano un parallelogramma.
13 Nel parallelogramma ABCD si prendono sui
lati opposti AB e CD i punti E ed F tali che AE sia
congruente a CF. Dimostra che anche AECF è un
parallelogramma.
14 Di un triangolo ABC prolunga i lati AB e CB
rispettivamente di due segmenti BD e BE tali che
AB ≅ BD e CB ≅ BE . Dimostra che ACDE è un
parallelogramma.
15 Unendo i punti medi di due lati opposti di un
parallelogramma si ottengono due parallelogrammi.
16 Sulle diagonali AC e BD di un parallelogramma prendi i punti A’ e C’ su AC in modo che
AA ' ≅ CC ' su BD prendi i punti B’ e D’ in modo
che BB ' ≅ DD ' . Dimostra che A’B’C’D’ è un
parallelogramma.
17 Dato un parallelogramma ABCD prolunga il
lati nel seguente modo: CD di un segmento DE, DA
di un segmento DF, AB di un segmento BG, BC di un
segmento
CH.
Dimostra
che
se
DE ≅ AF ≅ BG ≅ CH allora EFGH è anche un
parallelogramma.
18 Dato un segmento AB, sia M il suo punto
medio. Manda rispettivamente da A e da B le rette r e
s parallele tra di loro. Dal punto M traccia una
trasversale t alle due rette che incontra r in C e s in D.
Dimostra che CADB è un parallelogramma.
due vertici opposti A e C sono equidistanti dalla
diagonale BD.
20 Prolunga la mediana AM di un triangolo
isoscele di vertice A di un segmento MD congruente
ad AM, dimostra che ABCD è un rombo.
21 Nel parallelogramma ABCD sia M il punto
medio di AB e N il punto medio di DC. Sia P il punto
di intersezione di AN con DM e Q il punto di intersezione di CM con BN. Dimostra che PNAM è un
rombo.
22 Dimostra che se un rombo ha le diagonali
congruenti allora è un quadrato.
23 Dimostra che congiungendo i punti medi dei
lati di un rettangolo si ottiene un rombo.
24 Dato un parallelogramma ABCD, siano H e K
due punti della diagonale AC in modo che DH e BK
siano perpendicolari ad AC. Dimostra che AH è
congruente a KC.
25 Sia ABCD un trapezio di basi BC e AD. Sia r
la bisettrice all’angolo in A e s la bisettrice all’angolo
in B. Dimostra che r e s sono perpendicolari.
26 Nel parallelogramma ABCD prolunga il lato
AB del segmento AE e il lato DC del segmento CF
congruente ad AE. Dimostra che anche EBFD è un
parallelogramma.
27 In un trapezio ABCD la diagonale AC è
congruente alla base maggiore AB. Sia M il punto
medio del lato obliquo BC. Prolunga AM di un
segmento ME congruente ad Am. Dimostra che
ABEC è un rombo.
28 Nel trapezio isoscele ABCD con la base
maggiore doppia della base minore unisci il punto
medio M di AB con gli estremi della base DC. Dimostra che AMCD è un parallelogramma.
29 Nel trapezio isoscele ABCD i punti M e N
sono rispettivamente i punti medi delle basi AB e
DC. Dimostra che MNCB è un trapezio rettangolo.
30 Siano M e N i punti medi dei lati obliqui di un
trapezio isoscele, dimostra che BCMN è un trapezio
isoscele.
31 Nel triangolo isoscele ABC siano BH e BK le
perpendicolari ai lati obliqui AC e AB. Dimostra che
BCHK è un trapezio isoscele.
32 Dimostra che le proiezioni dei lati obliqui di
un trapezio isoscele sulla base maggiore sono
congruenti.
33 Nel triangolo isoscele ABC, di base BC
traccia le bisettrici agli angoli adiacenti alla base.
Detti D ed E i punti di incontro di dette bisettrici
rispettivamente con AC e AB, dimostra che EBCD è
un trapezio isoscele.
98
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34 Dimostra che in un trapezio isoscele che ha la
46 Dato un triangolo qualunque ABC, si consi-
base maggiore doppia della minore, le diagonali sono
anche bisettrici degli angoli adiacenti alla base
maggiore.
35 In un trapezio, il segmento che unisce i punti
medi dei lati obliqui è parallelo alle basi e congruente
alla loro semisomma.
36 Dato un qualsiasi quadrilatero ABCD, il
quadrilatero non intrecciato avente come vertici i
punti medi dei lati di ABCD è un parallelogramma.
37 Il quadrilatero avente come vertici i punti
medi dei lati di un trapezio isoscele è un rombo.
38 Dimostrare che, in un trapezio, il segmento
che congiunge i punti medi dei lati non paralleli è
uguale alla semisomma delle basi.
39 Dato un parallelogramma ABCD, si consideri
M il punto medio del lato AB, si congiunga il vertice
D con il punto M, si congiunga il vertice A con il
punto medio N del segmento DM. Dimostrare che la
retta AN divide la diagonale DB del parallelogramma
in due parti di cui una è il doppio dell’altra.
40 Dato un triangolo qualunque ABC, si consideri M il punto medio del lato AB, si consideri il
segmento parallelo al lato BC che parte da M ed
incontra il lato AC nel punto N, si prolunghi questo
segmento di un segmento ND uguale ad MN. Dimostrare che il quadrilatero MDCB è un parallelogramma.
41 Dato un quadrato (ABCD) di centro O. Siano
H e K due punti sulla diagonale AC simmetrici
rispetto ad O. Dimostra che il quadrilatero (BHDK) è
un rombo.
42 Dimostrare che un trapezio è isoscele se il
punto medio della sua base maggiore è equi-distante
dagli estremi della base minore.
43 In un trapezio isoscele ABCD (con base
maggiore AB e lati obliqui congruenti BC e AD) sia
M il punto medio della base maggiore; prolungare
MC e MD rispettivamente dei segmenti CE e DF fra
loro congruenti. Dimostrare che il quadrilatero ABEF
è un trapezio isoscele.
44 Nel parallelogramma ABCD si traccino da A e
da B le perpendicolari alla diagonale BD; siano
rispettivamente E ed F i punti di intersezione delle
perpendicolari con la diagonale. Dimostra che DE è
congruente a FB e che AFCE è un parallelogramma.
45 Dato un parallelogramma ABCD, si consideri
M il punto medio del lato AB, si congiunga il vertice
D con il punto M, si congiunga il vertice A con il
punto medio N del segmento DM. Dimostrare che la
retta AN divide la diagonale DB del parallelogramma
in due parti di cui una è il doppio dell’altra. 3.
deri M il punto medio del lato AB, si consideri il
segmento parallelo al lato BC che parte da M ed
incontra il lato AC nel punto N, si prolunghi questo
segmento di un segmento ND uguale ad MN. Dimostrare che il quadrilatero MDCB è un parallelogramma.
47 Dato un quadrato ABCD di centro O, siano H
e K due punti sulla diagonale AC simmetrici rispetto
ad O. Dimostra che il quadrilatero BHDK è un
rombo.
48 Le diagonali di un trapezio isoscele, dividono
il trapezio in quattro triangoli, dei quali due triangoli
sono isosceli e aventi gli angoli ordinatamente
congruenti, mentre gli altri due triangoli sono
congruenti.
49 Dimostra che il quadrilatero che si ottiene
congiungendo i punti medi dei lati di un quadrilatero
qualunque è un parallelogramma.
50 Che tipo di quadrilatero si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di un rombo?
51 Che tipo di quadrilatero si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di un rettangolo?
52 Dimostra che in un parallelogramma due
vertici opposti sono equidistanti dalla diagonale
avente per estremi gli altri due vertici.
53 In un parallelogramma ABCD sia M il punto
medio di AB e N il punto medio di DC. Dimostra che
DMBN è un parallelogramma.
54 Dimostra che se in un parallelogramma le
bisettrici di due angoli consecutivi si incontrano in un
punto del lato opposto allora il parallelogramma ha
un lato che è il doppio dell'altro.
55 Nel trapezio isoscele ABCD le bisettrici degli
angoli alla base maggiore DC si incontrano in un
punto E sulla base minore, dimostrare che E è punto
medio della base minore.
56 Dimostra che un parallelogramma che ha tutte
le altezze congruenti è un rombo.
57 In un trapezio le bisettrici degli angoli adiacenti alla base minore si intersecano in un punto della
base maggiore. Dimostra che la base maggiore è
congruente alla somma dei lati obliqui.
58 Disegna un trapezio isoscele con le diagonali
perpendicolari. Dimostrare che il quadrilatero
formato dai punti medi dei lati del trapezio è un
quadrato.
59 Sia AD bisettrice del triangolo ABC. Da D
traccia le parallele ai lati AB e BC, detto E il punto di
intersezione del lato AC con la parallela ad AB ed F
il punto di intersezione del lato AB con la parallela ad
AC, dimostra che AEDF è un rombo.
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Quesiti dalle prove INVALSI
60 Il quadrilatero seguente è simmetrico rispetto alla retta AC.
Sapendo che BÂC = 30°, CDA = 70°, quanto vale BĈD?
A. 140°
B. 150°
C. 160°
D. 165°
E. Le informazioni sono insufficienti.
(Prove INVALSI 2003)
61 Quale fra le seguenti proprietà è falsa per tutti i parallelogrammi?
A. I lati opposti sono uguali.
B. Gli angoli adiacenti sono supplementari.
C. Gli angoli opposti sono supplementari.
D. I lati opposti sono paralleli.
E. Le diagonali si dimezzano scambievolmente.
(Prove INVALSI 2003)
62 Quale tra le seguenti affermazioni riferite ad un parallelogramma qualsiasi è FALSA?
A. I lati opposti sono paralleli.
B. Le diagonali sono uguali.
C. Gli angoli opposti sono uguali.
D. Ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali.
(Prove INVALSI 2004)
63 Quale tra le seguenti affermazioni relative ad un rombo è FALSA?
A. Non ha i lati opposti paralleli.
B. Ha tutti i lati uguali.
C. Ha gli angoli opposti uguali
D. Ha le diagonali perpendicolari.
(Prove INVALSI 2005)
64 Quale fra le seguenti condizioni è sufficiente affinché un quadrilatero sia un rettangolo?
A. I lati opposti siano uguali e un angolo sia retto.
B. Le diagonali si dividano a metà.
C. I lati opposti siano paralleli.
D. Le diagonali siano uguali e un angolo sia retto.
(Prove INVALSI 2005)
65 Quale fra le seguenti affermazioni è FALSA se riferita ad un parallelogramma qualsiasi?
A. I lati opposti sono uguali.
B. Gli angoli opposti sono uguali.
C. Ogni diagonale lo divide in due triangoli uguali.
D. Le diagonali sono uguali.
(Prove INVALSI 2005)
66 Quale fra le seguenti affermazioni è vera?
Il quadrilatero avente i vertici nei punti medi dei lati di…
A. un rettangolo qualsiasi è sempre un quadrato
B. un trapezio isoscele qualsiasi è un rettangolo
C. un quadrilatero qualsiasi è un parallelogramma
D. un quadrato è un rombo, ma non un quadrato.
(Prove INVALSI 2006)
67 Quale fra le seguenti affermazioni è falsa?
A. Ogni rettangolo è anche un rombo
B. Ogni rettangolo è anche un parallelogramma
C. Ogni quadrato è anche un rombo
D. Ogni rettangolo ha le diagonali uguali.
(Prove INVALSI 2007)
68 È dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente.
Alberto afferma: “Di sicuro si tratta di un quadrato”.
Barbara afferma: “Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rombo”.
Carla afferma: “Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rettangolo”.
Daniele afferma: “Si tratta certamente di un quadrilatero a forma di aquilone”.
Chi ha ragione?
A. Alberto.
B. Barbara.
C. Carla.
D. Daniele.
(Prove INVALSI 2007)
100