Sistemi di Misura e Monitoraggio
Espressione e valutazione
dell’incertezza di misura
“To measure is to know”
(Lord Kelvin)
1
La misura di una grandezza X è
costituita da un numero x, da una
incertezza u(x) e da una unità di
misura [U]
( x ± u(x) ) [U]
2
Perché esprimere un’incertezza?
E’ necessario fornire una indicazione quantitativa
della qualità del risultato.
Senza tale indicazione non è possibile confrontare:
• risultati fra di loro
• risultati con riferimenti assegnati da specifiche e
norme
Procedura per caratterizzare la qualità
del risultato di una misurazione, cioè per
esprimerne l’incertezza
3
Possiamo ottenere il
valore vero del misurando
come risultato di una
misura?
NO!!
4
In un processo di misura agiscono cinque elementi
principali:
il misurando
il campione
il metodo
lo strumento
l’operatore
5
Ognuno di questi elementi contribuisce a rendere
non determinabile il valore “vero”.
Misurando: conoscenza parziale, modello matematico
incompleto, modifica del suo stato da parte del processo di
misura
Campione: è solo una approssimazione della unità di
misura.
Metodo: sfrutta in generale un principio fisico senza
considerarne l’interazione con altri fenomeni.
6
Strumento: il suo funzionamento differisce da quello
ideale per la non idealità dei suoi componenti, sensibilità
alle condizioni ambientali, età9.
Operatore: la lettura corretta degli strumenti, la corretta
interpretazione dei risultati, la realizzazione del circuito di
misura9 dipendono fortemente dalla capacità e dalla
esperienza dell’operatore.
Per tacere del resto del mondo: temperatura,
interferenze elettromagnetiche, 9.
7
Conseguenza:
Ripetendo il processo di misura, anche senza
cambiare le condizioni di misura, si ottengono
risultati differenti (dispersione dei risultati).
Sono infatti certamente presenti delle grandezze di influenza
sconosciute che non sono controllabili.
8
Cause:
Sistematiche: ripetendo la misura agiscono
allo stesso modo
Casuali: ripetendo la misura agiscono in
modo differente e, complessivamente,
tendono a compensarsi
9
Morale
Il semplice “numero” non fornisce una
informazione completa sul misurando. E’
necessario indicare quanto è incompleta
questa informazione. In altre parole, occorre
indicare la qualità della misura effettuata.
10
Come esprimerla?
Fino a qualche anno fa la “bontà” di una
misura veniva espressa attraverso il
concetto di “errore” (Gauss, inizi del XIX
secolo).
Sia X la grandezza da misurare, x il valore
misurato e xv il valore vero.
L’errore assoluto ∆X è dato da:
∆X = x - xv
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Problemone
Come è possibile riferirsi a un “valore vero”
se questo non è ricavabile dal processo di
misura? Se lo si conoscesse non si
farebbero misure9
Parlare di errore è quindi
concettualmente sbagliato
12
Teoria dell’incertezza
Nell’ottobre 1980 il Bureau International de Poids et
Measures (BIPM) convocò un gruppo di lavoro allo scopo
di revisionare le modalità di valutazione della qualità di una
misura.
Nel 1993 la International Organization for Standardization
(ISO) emana la “Guide to the expression of Uncertainty in
Measurement” (GUM). Partecipano: IEC (International
Electrotechnical Commission), BIPM, OIML (Organisation
Internationale de Metrologie Legal), IUPAC (International
Union of Pure and Applied Chemistry), IUPAP (International
Union of Pure and Applied Physics), IFCC (Internation
Federation of Clinical Chemistry).
13
Nel 1995 viene pubblicata la seconda edizione della GUM
Nel 1999 la GUM viene integralmente adottata nella
normativa europea come norma sperimentale ENV 13005.
Nel 2000 il CEI la pubblica in Italia
Dal 2004 circola una bozza di un supplemento alla GUM
riguardante metodi numerici per la valutazione
dell’incertezza.
14
Incertezza di misura
Il concetto di incertezza è stato introdotto allo scopo
di definire un parametro che dia una valutazione
quantitativa della qualità di una misura.
“parametro che, associato al risultato di
una misura, caratterizza la dispersione dei
valori che ragionevolmente possono
essere attribuiti al misurando”
15
Il metodo per valutare ed esprimere l’incertezza di misura deve essere:
• UNIVERSALE – deve essere applicabile a tutti i tipi di
misurazione e di dati di ingresso usati nelle misurazioni.
La grandezza usata per esprimere l’incertezza deve essere:
• INTERNAMENTE COERENTE – deve essere derivabile
direttamente dalle componenti che vi contribuiscono, indipendente
dal modo in cui queste vengono raggruppate e dalla scomposizione
delle componenti in sottocomponenti.
• TRASFERIBILE – l’incertezza valutata per un risultato deve
essere direttamente utilizzabile come componente nella valutazione
dell’incertezza di un’altra misurazione nella quale intervenga il
risultato.
16
La GUM stabilisce regole generali per la valutazione e
l’espressione dell’incertezza di misura piuttosto che istruzioni
dettagliate o finalizzate ad una specifica tecnologia.
controllo e garanzia della qualità nella produzione
conformità a leggi o regolamenti
ricerca nella scienza e nell’ingegneria
taratura campioni e strumenti, prove allo scopo di
mantenere la riferibilità ai campioni nazionali
sviluppare e mantenere i campioni di riferimento
nazionali e internazionali
17
Si considerino tutte le componenti note di errore
note o ipotizzate e le si correggano
Resta comunque un dubbio su come il risultato
rappresenti il valore della quantità misurata:
gli effetti casuali si possono ridurre effettuando una
media di più misure ma resta una incertezza dovuta al
numero limitato di osservazioni
gli effetti sistematici possono essere compensati nel
limite della conoscenza della correzione stessa.
Il risultato di una misurazione è ancora solamente
una stima del valore del misurando a causa di
quanto sopra.
18
Il risultato di una misura viene considerato
come una variabile aleatoria (v.a.)
Come ogni v.a., essa sarà caratterizzata da
una certa distribuzione di probabilità
Lo scarto tipo di tale distribuzione viene
assunto a rappresentare l’incertezza di misura
e chiamato incertezza tipo (standard
uncertainty)
19
L’incertezza come intervallo di confidenza
L’incertezza definisce quindi un intervallo di
confidenza, cioè un intervallo all’interno del quale
cadono, con un dato livello di confidenza, gran parte
dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando.
Il livello di confidenza corrispondente dipende dal
tipo di distribuzione di probabilità
x-u(x)
x
x+u(x)
x
20
Esempio
Nel caso di una distribuzione Normale (gaussiana)
l’intervallo xmedio ± σ corrisponde a un livello di
confidenza (probabilità) del 68.3%
xmedio±σ
21
Un caso notevole
2
(
a
−
a
)
1
σ2 = 2
12
σ=
a1
a 2 − a1
2 3
a2
a2
σ =
3
2
-a
a
σ=
a
3
22
Valutazione dell’incertezza di misura
Si distinguono due tipi di incertezza:
Incertezze di tipo A
Incertezze di tipo B
Tale classificazione riguarda la metodologia con la
quale esse sono valutate e non le loro
caratteristiche.
23
Incertezze di tipo A
Si definiscono incertezze di tipo A quelle che
vengono valutate mediante l’applicazione di
tecniche statistiche, cioè a partire dalla distribuzione
statistica dei risultati di un numero significativo di
misure.
Il misurando viene stimato dalla media della
distribuzione. L’incertezza tipo viene stimata dallo
scarto tipo sperimentale della media.
24
s ( qk )
u ( x i ) = s ( xi ) =
N
qk è la k-esima occorrenza della osservazione q della
variabile aleatoria xi.
N è il numero di occorrenze
Si può dimostrare (teorema del limite centrale) che
s(qk)/√N è la miglior stima dello scarto tipo del valore
medio.
25
Incertezze di tipo B
Si definiscono incertezze di tipo B quelle che
vengono valutate mediante l’applicazione di
tecniche NON statistiche. In questo tipo di analisi la
distribuzione di probabilità viene ipotizzata sulla
base dell’esperienza o di altre informazioni. E’ il
caso delle specifiche di uno strumento.
Anche in questo caso l’incertezza viene espressa
dallo scarto tipo.
26
Osservazione
• Nella valutazione di tipo A misurando e
incertezza vengono stimati attraverso
distribuzioni di frequenza che stimano
distribuzioni di probabilità
• Nella valutazione di tipo B la distribuzione di
probabilità viene ipotizzata.
27
Definizioni e simboli della GUM
Incertezza tipo u(x) (standard uncertainty):
incertezza del risultato x espressa come scarto
tipo
Incertezza estesa U(x) (expanded uncertainty):
grandezza che definisce, attorno al risultato, un
intervallo che si ritiene contenga gran parte della
distribuzione dei valori che possono essere
ragionevolmente attribuiti all’incertezza.
28
Per poter associare all’incertezza una certa
probabilità occorre conoscere o ipotizzare la
distribuzione di probabilità.
Fattore di copertura K (coverage factor): fattore
numerico utilizzato come moltiplicatore
dell’incertezza tipo per ottenere l’incertezza
estesa.
29
c%
50
68,27
80
90
95
99
99,73
k
0,6745
1
1,285
1.645
1,98
2,576
3
30
Scrittura dell’incertezza
L’incertezza di misura viene scritta normalmente in
una delle due seguenti forme:
in valore assoluto (stessa unità di misura del
misurando)
in valore relativo (grandezza adimensionale, può
essere espressa in p.u., percento, permille,
ppm,9)
31
Numero di cifre significative
Il numero di cifre significative di una grandezza si
ottiene contando, da sinistra verso destra, tutte le
cifre a partire dalla prima cifra diversa da zero,
indipendentemente dalla posizione della virgola.
32
Esempi
1.405
4 cifre
1000.01 6 cifre
4
1 cifra
0.3
1 cifra
0.02
1 cifra
0.025 2 cifre
4.0
2 cifre
33
Convenzione sulle cifre significative
Incertezza assoluta 1 cifra
Incertezza relativa 2 cifre
Esempio
u(R) = 2.5278 Ω 3 Ω
u(I)%=u(I)/I100=1.21324% 1.2%
34
Incertezza nelle misure dirette
Il valore del misurando viene determinato mediante
strumenti appositamente costruiti e tarati. Ad
esempio voltmetri, ampermetri, wattmetri,
frequenzimetri, 9
L’incertezza è calcolata in base alle specifiche fornite
dal costruttore dello strumento.
35
La GUM dice:
in mancanza di ulteriori informazioni fornite dal
costruttore, si assume che i contributi all’incertezza
siano rappresentabili da distribuzioni rettangolari a
valor medio nullo ed estremi dati dalle specifiche
fornite dal costruttore stesso.
36
Negli strumenti elettromeccanici le specifiche sono
espresse da un unico indice, chiamato indice di
classe c.
L’indice di classe è espresso come una percentuale
del fondo scala incertezza assoluta costante lungo
tutta la scala.
37
Infatti:
voltmetro classe 0.5, fondo scala 200 V.
Ogni lettura è affetta da una incertezza assoluta
massima costante pari a 0.5200/100/√3 = 0.58 V
L’incertezza relativa aumenta man mano che ci
allontana dal fondo scala.
38
Negli strumenti digitali, invece, le specifiche di
accuratezza sono normalmente espresse da due
indici: uno (ad. es. “α”) fornisce una incertezza
costante in valore relativo e l’altro (ad es. “β”) una
costante in valore assoluto.
α percentuale della lettura
β percentuale del fondo scala
39
Esempio
Voltmetro classe 2, 150 V fondo scala.
Ipotesi: distribuzione uniforme σ=
a
3
U=84 V
u(U)=2/100/ 3 150 = 1.732 V = 2 V
u(U)%=u(U)100/U= 2.061%= 2.1%
U = (84 ± 2) V oppure (84 V ± 2.1%)
40
Esempio
Udc=8.43467 V; Ufs=10 V; α=0.0035%; β=0.0005%
Ipotesi: distribuzione uniforme 1 8.43467
10
0
.
0035
0
.
0005
u(U ) =
+
3 100
100
2
σ=
a
3
2
= 0.00019931 V
U=(8.4347 ± 0.0002) V
41
Esempio
Uac= 227.461 V; Ufs=750 V; f = 50 Hz; α=0.06%;
β=0.03%
Ipotesi: distribuzione uniforme a
σ=
3
2
2
227.461
1
750
u (U ) =
0.06 +
0.03 = 0.208698 V
100
3
100
U =(227.5 ± 0.2) V
42
Osservazione
Il numero di cifre fornite dallo strumento è
sovrabbondante rispetto all’incertezza.
43
Incertezza nelle misure indirette
Il valore del misurando viene determinato sfruttando
relazioni esistenti con grandezze misurate
direttamente.
Sia il risultato y di una misura dipendente da N
misure xi, 1 ≤ i ≤ N, secondo la funzione:
y = f(x1,x2,9,xi,9,xN)
44
Siano note le incertezze tipo u(xi) di ciascun xi.
L’incertezza uc(y) su y è detta incertezza tipo
combinata (combined standard uncertainty):
“incertezza tipo del risultato di una misura allorquando il
risultato è ottenuto mediante i valori di un certo numero di
altre grandezze; essa è uguale alla radice quadrata positiva
di una somma di termini che sono le varianze o le covarianze
di quelle grandezze, pesate secondo la variazione del
risultato della misura al variare di esse”. (ISO GUM)
L’incertezza estesa viene poi valutata a partire
dall’incertezza combinata.
45
Il modo in cui viene valutata uc(y) dipende dal
grado di correlazione fra le grandezze di ingresso.
Grandezze scorrelate
∂f
i =1 ∂x i
N
uc (y ) =
∑
2
⋅ u 2 ( x i ) =
N
∑
c i2 ⋅ u 2 ( x i )
i =1
I termini ci sono detti coefficienti di sensibilità
46
Esempio
Misura di potenza apparente S attraverso misure di
U ed I con strumenti diversi.
U = 223 V, u(U) = 1 V; I = 4.5 A, u(I) = 0.1A
S = UI = 1003.5 VA
∂S
∂S
=I
=U
∂U
∂I
u c (S ) = I 2 u 2 (U ) + U 2 u 2 (I ) = 22.75 VA
S = (1.00 ± 0.02) kVA
47
Grandezze correlate
∂f
u c ( y ) = ∑
i =1 ∂x i
N
2
N −1 N
∂f
∂f
⋅ u 2 ( x i ) + 2 ∑ ∑
⋅
⋅ u( x i , x j )
∂x j
i =1 j = i +1 ∂x i
dove u(xi,xj) = u(xj,xi) è la covarianza fra xi e xj
48
Coefficiente di correlazione
Il grado di correlazione fra xi e xj è espresso dal
coefficiente di correlazione r:
r (xi , x j ) =
u( x i , x j )
u( x i ) ⋅ u( x j )
E’ sempre 0 ≤ r ≤ 1
r = 0 grandezze indipendenti
r = 1 grandezze totalmente correlate
49
Pertanto l’espressione dell’incertezza combinata per
grandezze correlate può essere così riscritta:
∂f
u c ( y ) = ∑
i =1 ∂x i
N
2
N −1 N
∂f
∂f
2
⋅ u ( x i ) + 2 ∑ ∑
⋅
⋅ r ( x i , x j ) ⋅ u( x i ) ⋅ u( x j )
∂x j
i =1 j = i +1 ∂x i
Se r = 1, uc(y) è l’espressione di un quadrato
Se r = 0, assume l’espressione scritta per il
caso non correlato.
50
Esempio
Stesso caso di prima ma si ipotizzi di usare lo stesso
strumento r = 1.
uc (S) = I 2u2(U) + U2u2 (I) + 2 ⋅ I ⋅ U ⋅ u(U) ⋅ u(I) = I ⋅ u(U) + U ⋅ u(I) = 26.8 VA
S = (1.00 ± 0.03) kVA
51
Tutto bene se9
i. Trascurabile non linearità di f
ii. Disponibilità dell’espressione analitica di f
iii. Assenza di discontinuità in f
iv. Piccoli valori dei contributi all’incertezza
52
Bibliografia
“Guide to the expression of Uncertainty in
Measurement”, ISO, International Standardization
Organization, Geneva, Switzerland, 1995.
UNI CEI ENV 13005: “Guida all’espressione
dell’incertezza di misura”, 2000.
53
