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Segnali e Sistemi
• Un segnale è una qualsiasi grandezza che
evolve nel tempo.
• Sono funzioni che hanno come dominio il
tempo e codominio l’insieme di tutti i valori
che può assumere la grandezza
• I sistemi trasformano uno o più segnali in
ingresso in uno o più segnali in uscita.
– Operatore che trasforma una funzione del tempo
in una funzione del tempo
Proprietà dei sistemi ed
operatori
• Linearità
• Invarianza temporale
• Causalità
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Proprietà dei sistemi ed
operatori
• Un sistema è causale se i segnali
d’uscita precedenti a tO non dipendono
dai valori assunti dopo tO
• I sistemi sono generalmente tempo
varianti e non-lineari. La ipotesi di
sistemi lineari e temporalmente
invariabili è utilizzabile in prima
approssimazione.
Circuiti Elettronici
• Una rete elettrica è un sistema costituito da
componenti connessi
– resistori, condensatori, induttori, generatori
tensione e corrente, diodi, transistori,…
• Un circuito con N nodi ed R rami con L
generatori di tensione ed M generatori di
corrente associa alle tensioni e correnti di
ingresso le tensioni di tutti i nodi e le correnti
di tutti i rami
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Bipoli
• I componenti circuitali si
possono classificare in base al
numero dei terminali
• I più semplici sono i BIPOLI
• Lo stato di un bipolo è
caratterizzato da due
grandezze: tensione e
corrente
Versi coordinati di tensione e
corrente
• I versi di tensione e corrente vanno
scelti in modo che il prodotto
sia pari alla potenza assorbita
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Relazione costitutiva del bipolo
• relazione tra corrente che attraversa e
tensione ai capi
• se la conoscenza di v consente di ricavare i
• La conoscenza di i consente di ricavare v
relazione costitutiva
• I generale i bipoli definiscono sia Z che
W
– eccezione: generatori di corrente e
tensione
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Proprietà del bipolo
• Le proprietà del bipolo dipendono dalle
proprietà degli operatori Z e W
– in particolare:
• linearità
• invarianza temporale
• causalità
Bipoli istantanei
• corrente e tensione sono determinabili,
univocamente, nel medesimo istante
– istantaneo: corrente e tensione dipendono solo dai valori al
tempo t.
• La relazione tensione corrente è una funzione
rappresentata in un piano (v,i)
– caratteristiche di trasferimento del bipolo
• Sono causali e tempo invarianti
• Lineari se:
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Bipolo non istantaneo
•
•
un bipolo non istantaneo è detto “con
memoria” perché per determinare v o
i al tempo t O occorre conoscere i valori
tempi precedenti.
“sistemi dinamici”
Bipoli ideali:
generatore ideale di Tensione
• relazione costitutiva
– dove f non dipende da altre grandezze
elettriche del circuito
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Generatori ideali di tensione
• Fisicamente non realizzabili
V1
V2
Forza elettromotrice (fem)
• Il moto delle cariche in un circuito
chiuso è determinato da forze di natura
non elettrica
– la fem è un trasduttore di energia
• es. pila (chimica elettrica)
• Il campo elettrico non può muovere
cariche su un circuito chiuso
r r
E dl 0
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Bipoli ideali:
generatore ideale di Corrente
• relazione costitutiva
– dove f non dipende da altre grandezze
elettriche del circuito
Generatori ideali di Corrente
• Fisicamente non realizzabili
I1
I2
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Resistore Ideale
• relazione costitutiva
• unità:
Ohm
• bipolo lineare, istantaneo, tempo
invariante
• potenza assorbita (eff. Joule):
Condensatore Ideale
• relazione costitutiva
• unità F: Farad ([F]=[ -1 s])
• bipolo lineare, tempo-invariante, con
memoria
• V=cost.
I=0.
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Condensatore Ideale
• elemento inerziale:
– si oppone alle variazioni della tensione ai
suoi capi
I<Imax
La limitazione sulla massima corrente
erogata limita la variazione della tensione.
Condensatore Ideale
• può assorbire e cedere energia ma non
dissipare.
• Energia immagazzinata:
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Condensatore Ideale
• calcolo energia:
Condensatore Ideale
• calcolo energia:
– considerando v=0 a t=tO
• a cui corrisponde E=0
• Densità di volume
– condensatore piano
Campo elettrico
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Induttanza Ideale
• relazione costitutiva
• unità H: Henry ([H]=[ s])
• bipolo lineare, tempo-invariante, con memoria
• I=cost.
V=0.
Induttanza Ideale
• elemento inerziale:
– si oppone alle variazioni della tensione ai
suoi capi
V<Vmax
La limitazione sulla massima tensione
erogata limita la variazione della
corrente.
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Induttanza Ideale
• può assorbire e cedere energia ma non
dissipare.
• Energia immagazzinata:
Induttanza Ideale
• calcolo energia:
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Induttanza Ideale
• calcolo energia:
– considerando i=0 a t=t O
• a cui corrisponde E=0
• Densità di volume
– interna alle spire
Calcolo energia per volume
n B S n
H S
i n
H
l
n
H S n
Si n
S n2
L
i
i
i
l
l
i2
S n2 i 2
l H
EL L
V Sl ; i
2
l
2
n
EL
n2
l
2
V l 2 H2
2 n2
EL
V
1
2
H
2
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Linearizzazione di bipoli istantanei
• Un generico bipolo istantaneo non-lineare
può essere linearizzato attorno ad un punto
di lavoro (vo ,io )
caso della tensione
Circuito equivalente di Thevenin
Linearizzazione di bipoli istantanei
• Un generico bipolo istantaneo non-lineare può
essere linearizzato attorno ad un punto di
lavoro (vo ,io)
caso della corrente
Circuito equivalente di Norton
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Generatori di tensione reali
• Circuito equivalente di Thevenin
– VO: generatore ideale, R resistenza interna
Generatori di Corrente reali
• Circuito equivalente di Norton
– IO: generatore ideale, R resistenza interna
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Resistore reale
• La relazione ideale (legge di Ohm) vale
nei metalli fino a che l’effetto Joule non
introduce deviazioni dalla linearità.
• Dipendenza di R dal materiale ( ) e
dalla geometria (l,s).
Resistore reale
• circuito equivalente
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Condensatore Reale
• circuito equivalente
perdita del dielettrico
contatti
Induttore Reale
• Circuito Equivalente
– R: resistenza del filo
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Induzione Elettromagnetica
– In un circuito elettrico, ogni volta che varia
il flusso magnetico concatenato, si
manifesta un fem indotta
vi
d
dt
legge di Lenz: la fem indotta è tale
da opporsi alla corrente che genera il
flusso magnetico
Autoinduzione
• ogni circuito elettrico, percorso da corrente,
determina un campo magnetico le cui linee di forza
sono sempre concatenate col circuito stesso.
• Se la corrente varia nel tempo, varia nel tempo il
flusso magnetico concatenato, quindi si genera un
fem indotta.
L i
• L: coefficiente di autoinduzione: induttanza
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fem di autoinduzione
d
L di;
vi
d
dt
L
vi
di
dt
L
di
dt
R i
vi
espressione di L
• solenoide: avvolgimento su un nucleo di
permeabilità magnetica
B S
n
H I
l
l
S
n
c
L
n
c
I
H S;
n2 S
I
l
n2 S
l
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circuito RC uscita su R
VA
VA
2
1
Vo
VB
1
1
C
Vo
2
R
2
1
2
t
1
Vu
Vu
Vo
• Inerzia del condensatore: non
cambia la v istantaneamente
t
-Vo
Vu = VB- V A
circuito RC uscita su R
2
1
C
R
Vo
Vu
vu
R i;
Vo
1
C
dVo
dt
di
i
t
i dt R i;
0
0
1
i
C
1
dt
RC
• i o corrente iniziale
– il condensatore non potendo
cambiare istantaneamente
carica (quindi V) all’inizio è
come un corto circuito
i
vu
di
;
dt
i
ln
iO
R
iO e
R i
t
RC
R
;
iO
Vo
e
R
t
;
RC
Vo
R
t
RC
Vo e
t
RC
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Il condensatore blocca la componente DC
VA
Vo
valor medio diverso da 0
t
Vu
Vo
valor medio uguale a da 0
t
-Vo
circuito differenziatore
• nell’ipotesi in cui R e C siano piccoli:
vu
R i;
Vo
1
C
t
i dt R i;
0
dVo
dt
1
di
i R ;
C
dt
dVo
i C
;
dt
dV o
vu R C
dt
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circuito RC uscita su C
VA
Vo
R
2
1
1
VA
Vo
C
2
1
1
2
2
t
1
Vu
Vu
VB
Vo
• Inerzia del condensatore: non
cambia la v istantaneamente
t
Vu = VA- V B
circuito RC uscita su C
vu
vc
1
C
Vo
2
Vo
R
1
C
VA V
u
di
i
vu
i dt;
0
t
i dt R i;
0
1
dt
RC
i
VB
t
1
C
iO e
1
C
t
0
t
RC
ln
;
Vo
e
R
vu V o 1 e
dVo
dt
i
iO
iO
t
RC
0
1
i
C
R
di
;
dt
t
;
RC
Vo
R
dt
Vo
RC 1 e
RC
t
RC
t
RC
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circuito integratore
• nell’ipotesi in cui R e C siano grandi:
t
1
C
vu
i dt ;
0
t
1
C
Vo
i dt R i;
0
dVo 1
di
i R ;
dt
C
dt
Vo
i
;
R
t
1
vu
V o dt
RC 0
circuito RL uscita su R
VA
L
Vo
1
R
1
Vu
2
1
Vo
2
1
2
1
t
Vu
vu
Vo
vu
R i;
di
L
dt
V
R o
R
Vo
R i
1 e
i
Rt
L
Vo
R
Vo
Vo
e
R
1 e
R
L
R
L
t
t
t
24