Matematica per le scienze sociali
Derivata e integrale
Francesco Lagona
University of Roma Tre
F. Lagona
([email protected])
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Outline
1
Derivata
2
Applicazioni delle derivate
3
Integrale
Derivata
2
f
3
4
rapporto incrementale
f(x + h)
1
f(x)
0
∆x(h)
h
−2
F. Lagona
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−1
0
1
2
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Derivata
derivata
consideriamo una funzione reale di variabile reale f (x)
consideriamo il rapporto incrementale in punto x del dominio di f
∆x (h)
f (x + h) − f (x)
=
h
h
la derivata di f in x è il limite
f ′ (x) =
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∆x (h)
∂f (x)
= lim
h→0
∂x
h
f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
h
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Derivata
esempio
calcoliamo la derivata di f (x) = x 2 in un punto x
si ha
(x + h)2 − x 2
h(2x + h)
∆x (x)
=
=
= 2x + h
h
h
h
quindi
f (x + h) − f (x)
= lim (2x + h) = 2x
h→0
h→0
h
lim
ovvero
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∂x 2
= 2x
∂x
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Derivata
alcune derivate elementari
∂x p
∂x
∂log(x)
∂x
∂e x
∂x
∂ax
∂x
∂x x
∂x
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=px p−1
=
1
x
=e x
=ax log a
=x x (1 + log(x))
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Derivata
calcolo delle derivate
derivata della somma
∂f (x) ∂g(x)
∂(f (x) + g(x))
=
+
∂x
∂x
∂x
derivata del prodotto
∂(f (x)g(x))
∂f (x)
∂g(x)
=
g(x) +
f (x)
∂x
∂x
∂x
derivata del rapporto
∂(f (x)/g(x))
=
∂x
∂f (x )
∂x g(x)
)
− ∂g(x
∂x f (x)
g(x)2
derivata di una funzione composta
∂(g(f (x)))
∂g(f (x)) ∂f (x)
=
∂x
∂f (x)
∂x
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Derivata
derivate di ordine superiore
funzione
f (x) = 3x 3 − 2x
derivata prima
f ′ (x) =
∂f (x)
= 9x 2 − 2
∂x
derivata seconda
f ′′ (x) =
∂f ′ (x)
= 18x
∂x
derivata terza
f (3) (x) =
∂f ′′ (x)
= 18
∂x
f (4) (x) =
∂f (2) (x)
=0
∂x
derivata quarta
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Applicazioni delle derivate
0
−2
f
2
4
applicazione delle derivate
−4
f(x)
f’(x)
f’’(x)
−1.0
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−0.5
0.0
0.5
1.0
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Applicazioni delle derivate
punti critici
i punti critici di una funzione sono le radici x0 dell’equazione
f ′ (x) = 0
essi indicano:
un punto di massimo, se f ′′ (x0 ) < 0
un punto di minimo, se f ′′ (x0 ) > 0
il segno della derivata seconda indica la concavità di f :
nei punti in cui f ′′ (x ) > 0 la funzione f è convessa
nei punti in cui f ′′ (x ) < 0 la funzione f è concava
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Integrale
0.0
b
a
b
⌠ f(x)dx
⌡a
−1.0
−0.5
f
0.5
1.0
area e integrale
−1.0
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−0.5
0.0
0.5
1.0
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Integrale
1.0
0.5
f
0.0
−0.5
−1.0
−1.0
−0.5
f
0.0
0.5
1.0
integrale di Riemann
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−1.0
−0.5
x
0.0
0.5
1.0
x
Ai : base dell’i-mo rettangolo
ξi : punto della base dell’i-mo rettangolo
f (ξi ): altezza dell’i-mo rettangolo
Z
a
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b
f (x)dx = lim
n→∞
n
X
f (ξi )Ai
i=1
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Integrale
f
0
1
2
3
4
teorema della media
−2
−1
0
1
2
x
esiste un punto c ∈ [a, b] tale che
Z
b
f (x)dx = f (c)(b − a)
a
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Integrale
la funzione F (x)
F(x)=x^2/2+x
F
1
f
1
f
1
2
2
2
3
3
4
f(x)=x+1
3
f(x)=x+1
0
0
x
−1
−1
0
x
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
x
1
x
F (x) =
Z
2
−2
−1
0
1
2
x
x
f (t)dt
a
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Integrale
primitiva
una funzione F (x) si chiama primitiva di f (x) se
F ′ (x) = f (x)
se F (x) è una primitiva di f (x), allora lo è anche
F (x) + C
vogliamo dimostrare che la funzione
F (x) =
Z
x
f (t)dt
a
è una primitiva di f (x)
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Integrale
primitiva
sia
∆x (h) = F (x +h) = F (x) =
Z
x +h
f (t)dt −
Z
x
f (t)dt =
a
a
Z
x +h
f (t)dt
x
allora il rapporto incrementale
∆x (h)
=
h
R x +h
x
f (t)dt
h
per il teorema della media, esiste un punto c ∈ [x, x + h] tale che
R x +h
x
f (c)h
f (t)dt
=
h
h
quindi
′
F (x) = lim
h→0
R x +h
x
f (t)dt
= f (x)
h
ovvero F (x) è una primitiva di f (x)
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Integrale
calcolo di un’area
l’area
Z
x2
f (x)dx =
Z
x2
f (x)dx −
a
a
x1
Z
x1
f (x)dx = F (x2 ) − F (x1 )
esempio
f (x) =x 2
F (x) =
Z
2
x 2 dx =F (2) − F (1) =
1
F. Lagona
x3
3
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23 13
7
−
=
3
3
3
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Integrale
alcune primitive elementari
f (x)
xp
1
x
ex
ax
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F (x)
+C
log(x) + C
ex + C
ax
log a + C
x p+1
p+1
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