Matematica per le scienze sociali
Elementi di base
Francesco Lagona
University of Roma Tre
F. Lagona
([email protected])
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Outline
1
Struttura del corso
2
Algebra booleana
3
Algebra degli insiemi
4
insiemi numerici
Struttura del corso
Matematica per le scienze sociali
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F. Lagona
ELEMENTI DI BASE (Algebra degli insiemi - Operatori logici Insiemi numerici ed operazioni)
ALGEBRA ELEMENTARE (Potenze - Polinomi - Prodotti notevoli)
EQUAZIONI (Nozione di soluzione - Equazioni e disequazioni di
primo e secondo grado - Sistemi di equazioni e di disequazioni)
GEOMETRIA ANALITICA (Coordinate cartesiane nel piano Distanza tra due punti - Equazioni della retta - Le funzioni potenza)
FUNZIONI, LIMITI E DERIVATE (Funzioni reali - Funzioni
esponenziali e logaritmiche)
LIMITI (Limiti di una successione e serie - Limiti di una funzione
reale)
DERIVATE (Derivate: nozione e calcolo - Studio di una funzione - Il
concetto di primitiva e di integrale)
ALGEBRA LINEARE (Vettori e matrici)
ALGEBRA LINEARE (Matrici: rango, inversa, soluzione di sistemi
lineari)
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Algebra booleana
George Boole
G. Boole (1815-1864),
matematico inglese
inventore del metodo
algebrico nella soluzione
di problemi di logica
lavori principali: The
Mathematical Analysis
of Logic (1847), The
Laws of Thought (1854)
il suo lavoro pionieristico
ha influenzato la logica
(Russell) e l’elettronica
(Shannon)
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Algebra booleana
variabili e operatori booleani
variabile booleana: una variabile binaria associata con un’espressione
E che può essere vera o falsa:
(
x=
0
1
E falsa
E vera
operatori booleani (logici):
NOT
negazione logica (x̄ )
AND
prodotto logico (xy )
OR
somma logica (x + y )
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Algebra booleana
negazione
tavola della verità:
x
1
0
x̄
0
1
proprietà:
x̄¯ =x
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Algebra booleana
prodotto
tavola della verità:
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
xy
0
0
0
1
proprietà:
x 0 =0
x 1 =x
xx =x
x x̄ =0
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Algebra booleana
somma
tavola della verità:
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x +y
0
1
1
1
proprietà:
x + 0 =x
x + 1 =1
x + x =x
x + x̄ =1
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Algebra booleana
proprietà
idempotenza
elemento nullo
proprietà commutativa
proprietà associativa
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x +x =x
xx = x
x +1=1
x0 = 0
x +y =y +x
xy = yx
x + (y + z) = (x + y ) + z = x + y + z
x (yz) = (xy )z = xyz
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Algebra booleana
Altri teoremi
Distributività :
xy + xz =x (y + z)
(x + y )(x + z) =x + yz
Assorbimento:
x + (xy ) =x
x (x + y ) =x
(x + y )y =xy
xy + y =x + y
De Morgan:
xy =x̄ + ȳ
x + y =x̄ ȳ
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Algebra booleana
Altri teoremi
Nell’algebra booleana non vale la legge di cancellazione:
x +y =x +z ;y =z
infatti
x
0
0
0
0
1
1
1
1
F. Lagona
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
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x+y
0
0
1
1
1
1
1
1
x+z
0
1
0
1
1
1
1
1
x+y=x+z
1
0
0
1
1
1
1
1
y=z
1
0
0
1
1
0
0
1
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Algebra degli insiemi
Da Boole agli insiemi
L’algebra degli insiemi è un’algebra di Boole, dove usiamo le variabili
logiche per definire insiemi
Esempio: l’insieme dei numeri 1,2,3 può essere definito elencando i
suoi elementi
A = {1, 2, 3}
oppure definendo prima
l’insieme dei numeri naturali Ω = {1, 2, 3, . . .} e la variabile logica
(
0 a>3
x (a) =
1 a≤3
e poi
A = {a ∈ Ω : x (a) = 1}
dove ∈ vuol dire appartiene a e i due punti stanno per tale che
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Algebra degli insiemi
Insiemi
dati due oggetti, a e b , supponiamo di essere in grado di affermare se
essi sono uguali o distinti: a = b o a 6= b
tutti gli oggetti distinti sono gli elementi di un insieme ambiente Ω,
che possiamo indicare con l’espressione
Ω = {a, b, c, . . .}
sia a un elemento di Ω
un insieme è un sottoinsieme di Ω, A ⊂ Ω, se tutti i suoi elementi
appartengono ad Ω
può essere definito come
A ={a ∈ Ω : x (a) = 1}
(
x (a) =
0
1
a∈
/A
a∈A
A ⊂ B indica che A è un sottoinsieme di B
se A ⊂ B e B ⊂ A, allora A = B
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Algebra degli insiemi
Sottoinsiemi e implicazioni
A⊂B
sia Ω l’insieme degli individui
x (a) = avere un’altezza maggiore di 180 cm
y (a) = avere un’altezza maggiore di 170 cm
A = {a ∈ Ω : x (a) = 1}
B = {a ∈ Ω : y (a) = 1}
B
A
A⊂B
x =1⇒y =1
nei teoremi dimostriamo relazioni di
inclusione !
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Algebra degli insiemi
Intersezione e unione
A∩B
A
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A∪B
B
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A
B
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Algebra degli insiemi
Complemento (negazione) e differenza
Ac = Ā = Ω − A
A ∩ B̄ = A ∩ B c = A − B
A
A
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B
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Algebra degli insiemi
Da Boole agli insiemi
l’algebra degli insiemi è un’algebra di Boole dove
le variabili logiche x descrivono sottoinsiemi A di un insieme ambiente
Ω
il prodotto logico è l’operazione di intersezione fra insiemi
la somma logica è l’operazione di unione fra insiemi
il valore 1 (elemento neutro rispetto al prodotto) è sostituito da Ω
(elemento neutro rispetto all’intersezione)
A∩Ω=A
il valore 0 (elemento neutro rispetto alla somma) è sostituito
dall’insieme vuoto (elemento neutro rispetto all’unione)
A∪∅=A
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Algebra degli insiemi
alcune proprietà degli insiemi
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) = AB ∪ AC
(A ∪ B) ∩ (C ∪ D) =(A ∩ C ) ∪ (A ∩ D) ∪ (B ∩ C ) ∪ (B ∩ D)
=AC ∪ AD ∪ BC ∪ BD
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )
A ∪ B =(A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A)
=(A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ Ac )
=AB c ∪ AB ∪ BAc
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
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insiemi numerici
numeri naturali
N = {1, 2, 3, . . .}
formalizza il concetto di conteggio
l’insieme è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione
a, b ∈ N ⇒ a + b ∈ N
ab ∈ N
non è chiuso rispetto alle operazioni di sottrazione, divisione,
estrazione di radice
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insiemi numerici
numeri interi
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
nasce dall’esigenza di definire il concetto di opposto (necessario ad
esempio quando vogliamo sommare debiti e crediti)
l’insieme è chiuso rispetto all’addizione, alla moltiplicazione e alla
sottrazione
a, b ∈ Z ⇒ a + b ∈ Z, ab ∈ Z, a − b ∈ Z
non è chiuso rispetto alle operazioni di divisione, estrazione di radice
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insiemi numerici
numeri razionali
intuitivamente, l’insieme dei numeri razionali è l’insieme delle frazioni
Q={
p
: p, q ∈ Z, q 6= 0}
q
l’insieme è chiuso rispetto all’addizione, alla moltiplicazione, alla
sottrazione e alla divisione
non è chiuso rispetto alle operazioni di estrazione di radice (esistono
segmenti la cui lunghezza non è un numero razionale)
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insiemi numerici
numeri razionali
i numeri razionali sono sempre esprimibili come frazioni di numeri
interi
possono essere classificati in tre gruppi:
numeri decimali limitati:
1.25 =
5
125
=
100
4
numeri decimali periodici semplici:
33 − 3
30
10
=
=
9
9
3
1345
−
13
1332
148
¯ =
13.4545454545454545 . . . = 13.45
=
=
99
99
11
numeri decimali periodici misti:
3.33333 . . . = 3.3̄ =
7.2955555555555 . . . = 7.295̄ =
7295 − 729
6566
3283
=
=
900
900
450
i numeri decimali che non rientrano in queste categorie sono detti
numeri irrazionali
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insiemi numerici
numeri reali
nascono dall’esigenza di associare un numero alla lunghezza di un
segmento (in generale servono a misurare le grandezze fisiche)
intuitivamente, l’insieme dei numeri reali R si ottiene completando i
numeri razionali con i numeri irrazionali
i numeri irrazionali sono quelli con forma decimale infinita non
periodica, che non possono essere scritti sotto forma di frazione di
due numeri interi
l’insieme R è chiuso rispetto all’addizione, alla moltiplicazione, alla
sottrazione, alla divisione e all’estrazione di radice
alcuni celebri numeri irrazionali:
√
2
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π
e
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