Equazioni letterali fratte

Equazioni letterali fratte di II° grado
Un’equazione letterale fratta è un’equazione fratta che contiene, oltre la lettera che rappresenta l’incognita
dell’equazione, altre lettere, dette parametri, che rappresentano numeri ben determinati, cioè aventi
valore costante ma non indicato.
La risoluzione di un’equazione letterale fratta, detta discussione, consiste nel determinare come variano le
sue soluzioni al variare dei valori assunti dai parametri che in essa compaiono.
Per risolvere un’equazione letterale fratta occorre:
1. Scomporre in fattori i denominatori e calcolare il m.c.m.
2. Determinare le condizioni di esistenza, cioè quei valori dei parametri che fanno perdere di significato
l’equazione (per tali valori non ha senso risolvere l’equazione)
3. Determinare le condizioni di accettabilità delle incognite. Tali condizioni sono utilizzate nella fase
finale della discussione per stabilire l’accettabilità delle soluzioni trovate.
4. Ridurre l’equazione a forma normale e studiare i vari casi:
equazione che si riduce a I° grado
equazione completa con ∆> 0
equazione completa con ∆= 0
equazione completa con ∆< 0
5. Discutere le soluzioni trovate confrontandole con le condizioni di accettabilità delle incognite (punto3)
6. Effettuare il riepilogo finale.
Matematica
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1
Esempio 1
− − +
=0
−
−
L’equazione si può scrivere:
− − −
=0
−
−
Condizione di accettabilità: ≠ .
Moltiplicando per il . . . = − ≠ 0
− − − = 0 ;
si ha:
B = −(b − a )
A =1
C = ab
Essendo A = 1 l’equazione non è mai di I° grado.
∆ = − + 4 = + − 2 + 4 = + + 2 = + ∆ > 0 per + ≠ 0 cioè ≠ −
, =
∓√∆
=
∓
+2
∙
=
∓
+
=
=
=
= −
=
= − è accettabile se essa è diversa da b, cioè se ≠ −
= non è accettabile perché non soddisfa la condizione di accettabilità discussa all’inizio.
∆ = 0 per = − ⇒ , =
∓√∆
=
∓√
∙
=
=
non è accettabile perché non soddisfa la
condizione di accettabilità discussa all’inizio.
Riepilogando:
Valore del parametro
a = −b
a ≠ −b
Matematica
Tipo di equazione
Equazione impossibile
Equazione completa con ∆ > 0
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Soluzioni
x1 = −a
2
Esempio 2
2
=
−
Condizione di esistenza: ≠ 0 . Per = 0 l’equazione perde significato
Condizione di accettabilità: ∀ ∈ #
Riduzione a forma normale:
moltiplicando per: ≠ 0 si ha: = − 2 ;
1 − + 2 = 0
Discussione:
Per 1 − = 0 cioè: = −1 oppure = 1 si ha: 2 = 0 ; = 0 .
=0
Per 1 − ≠ 0 si ha: ∙ %
1 − + 2& = 0 ; = ' ∆= 4 > 0 ∀ ∈ #
Riepilogando:
Valore del parametro
=0
= −1
≠0
oppure = 1
e ≠ −1 e
Matematica
≠1
Tipo di Equazione
Soluzioni
Equazione che perde significato
Equazione di I° grado determinata
=0
Equazione determinata con ∆> 0
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= 0
e
= ' 3
Esempio 3
− = ∙
− Condizione di esistenza: ≠ 0 . Per = 0 l’equazione perde significato
Condizione di accettabilità: ≠ 0 e ≠ .
− = − − = − Riduzione a forma normale:
moltiplicando per: − ≠ 0
− ( = − ( ;
si ha: − = − ;
− ( − + ( = 0 ; − − ( − ( = 0 ;
=0
∙ %
− − ( − ( & = 0
− − ( − ( = 0
Discussione:
Per la condizione di accettabilità posta all’inizio, la soluzione = 0 non è accettabile.
Nella seconda equazione: − − ( − ( = 0;
Se − = 0 ; cioè se: Se = ∓
⇒
0 ∙ = 0 equazione indeterminata.
Se − ≠ 0 ; cioè se: Se ≠ ∓
⇒
= ' ' =
Tale soluzione è accettabile se: + ≠ 0
+ ≠ 0 ,-./-;
+ ≠ ;
) )
e
*' ' +*' ' +
' '
= + + ≠ .-/ℎè ≠ 0 34567634- 56 -,6,8-47 - 9:6456 4ℎ- + ≠ 0 .
≠ 0 ;
≠0
Riepilogando:
Valore del parametro
=0
≠0
≠0
∧ = ∓
∧ ≠ ∓
Matematica
Tipo di Equazione
Equazione che perde significato
Equazione indeterminata
Equazione determinata
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Soluzioni
= + 4
Esempio 4
1
1 1
1
+ = +
+1 < <+1
Condizione di esistenza: < ≠ 0 e < ≠ −1 . Per < = 0 e < = −1 l’equazione perde significato.
Condizione di accettabilità: ≠ 0 e ≠ −1 .
Riduzione a forma normale:
moltiplicando per: <
+ 1
< + 1 ≠ 0 si ha:
<
< + 1 + <
< + 1
+ 1 = < + 1
+ 1 + <
+ 1 ;
< + < + < + < + < + < = < + < + + + < + < ;
< +< + < + < − < − − − < = 0 ;
2< + < + < − 2< − − = 0
2< + 1 − 2< − 1 − < + < = 0
= = 2< + 1
−
2< + 1 + 2< − 1 + < + < = 0 ;
> = −
2< − 1
= = 0 (equazione di I° grado) per < = − ⇒ − @ − 1A − @( − A = 0 ;
∆= 2< − 1 + 4
2< + 1
< + < = 2< + 2< + 1
? = −
< + <
+(=0;
= −
∆> 0 per 2< + 2< + 1 ≠ 0 ; ma essa è sempre diversa da zero poiché non si annulla mai.
Pertanto sotto le condizioni di esistenza, < ≠ 0 e < ≠ −1 , si ottengono le soluzioni:
− ∓ √∆ 2< − 1 ∓ 2< + 2< + 1 2< − 1 ∓ 2< + 2< + 1
=
=
=
2
2 ∙ 2< + 1
2 ∙ 2< + 1
2< − 1 − 2< − 2< − 1
−2 − 2<
1+<
=
=
=−
2 ∙ 2< + 1
2 ∙ 2< + 1
2< + 1
=
2< − 1 + 2< + 2< + 1
4< + 2<
2<
2< + 1
=
=
=
=<
2 ∙ 2< + 1
2 ∙ 2< + 1 2 ∙ 2< + 1
Tali soluzioni sono accettabili se verificano le condizioni di accettabilità: ≠ 0 e ≠ −1 . Cioè:
1+<
< ≠ −1
−
≠ 0;
1+< ≠0;
< ≠ −1
2< + 1
1+<
<≠0
−
≠ −1 ;
1 + < ≠ 2< + 1 ;
<≠0
2< + 1
, =
Ma tali valori sono già stati esclusi in precedenza nella condizione di esistenza, pertanto l’equazione risulta
sempre determinata nel dominio delle incognite ( ≠ 0 e ≠ −1) .
∆= 0 per nessun valore di k
∆< 0 per nessun valore di k
Riepilogando:
Valore del parametro
<=0
< = −
<≠0
∨
Tipo di equazione
< = −1
Equazione che perde significato
Equazione di I° grado
∧
Matematica
< ≠ −1 ∧
Soluzioni
< ≠ −
Equazione completa con ∆ > 0
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= −
C
= − C
e
= <
5
Esercizio 414.75
D + 2
D − 3 + 10D
+
=
D−
D+
D − Condizione di accettabilità: D ≠ − e D ≠ .
Moltiplicando per il . . . = D − ≠ 0
si ha:
D + + 2
D − = 3 + 10D ;
D + + 2D + 2
D + − 2D − 3 − 10D = 0 ;
D + + 2D + 2D + 2 − 4D − 3 − 10D = 0 ;
3D − 12D = 0 ;
3D
D − 4 = 0 ;
D=0
D = 4
⇒
La soluzione D = 0 è accettabile se: 0 ≠ − e 0 ≠ cioè se ≠ 0
La soluzione D = 4 è accettabile se: 4 ≠ − e 4 ≠ cioè se ≠ 0
Valore del parametro
Tipo di Equazione
=0
Equazione impossibile
≠0
Equazione spuria
Soluzioni
D = 0 ∧ D = 4
Esercizio 414.76
3
15
+
=
−2 +1
4
Condizione di accettabilità: ≠ 2 e ≠ −1 .
Moltiplicando per il . . . = 4
− 2
+ 1 ≠ 0 si ottiene:
4
+ 1 + 12
− 2 = 15
− 2
+ 1
4 + 4 + 12 − 24 = 15
− − 2
4 + 4 + 12 − 24 − 15 + 15 + 30 = 0
−11 + 31 + 6 = 0
11 − 31 − 6 = 0
Se = 0 ⇒
0 = 0
equazione è indeterminata.
Se ≠ 0 dividendo per a si ottiene:
11 − 31 − 6 = 0
, =
∓√∆
=
H∓√IJJ(
∙
=
H∓√K
Valore del parametro
Matematica
=
H∓HK
=
=
=
HHK
HHK
=
(
JJ
= − -886L-
= = 3
a=0
Tipo di Equazione
Equazione indeterminata
a≠0
Equazione Completa con ∆ > 0
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-886LSoluzioni
x1 = −
2
e x2 = 3
11
6
Esercizio 414.77
−
1
−
=
−1
Condizione di esistenza: ≠ 0 . Per = 0 l’equazione perde significato.
Condizione di accettabilità: ≠ 0 e ≠ 1 .
Moltiplicando per il . . . = − 1 ≠ 0 si ottiene:
− − 1 − = − 1
− − + − − + = 0
1 − + − 2 − 1 + = 0
A = 0 Equazione di I°: 1 − a2 = 0 ;
a = −1
⇒
a = +1
(1 + 2 − 1)x − 1 = 0
(1 − 2 − 1)x + 1 = 0
1
2
1
x=
2
x=
2x − 1 = 0
− 2x + 1 = 0
∆ = − 2 − 1 − 4
1 − = ( + 4 + 1 − 4H − 2 + 4 − 4 + 4H =
= ( + 2 + 1 = + 1
Il discriminante ∆ > 0 ∀ M #.
, =
− ∓ √∆ −2 + 2 + 1 ∓ 2 + 12 −2 + 2 + 1 ∓ 2 + 1
=
=
=
2
2 ∙ 1 − 2 2 ∙ 1 − 2 −2 + 2 + 1 − 2 − 1
−22 + 2
1 − =
2 ∙ 1 − 2 2 ∙ 1 − 2 1 − 1 + 1 + −2 + 2 + 1 + 2 + 1
2 + 2
1+
1
=
=
=
=
2
2
2 ∙ 1 − 2 ∙ 1 − 1 − 1 + 1 − =
La soluzione =
=
è accettabile se:
La soluzione = è accettabile se:
=
≠ 0 cioè se ≠ 0 .
≠1; ≠1+ ;
La soluzione = è accettabile se:
≠0; 1≠0;
La soluzione = è accettabile se:
≠ 1 ; 1 ≠ 1 − ; cioè se ≠ 0 .
vera ∀ ∈ # .
vera ∀ ∈ # .
Riepilogando:
Valore del parametro
=0
Matematica
∧
Soluzioni
Equazione che perde significato
= ±1
≠0
Tipo di Equazione
≠ ∓1
1
2
Equazione di I° grado
x=
Equazione Completa con ∆ > 0
x1 = a
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1+ a
∧ x 2 = 1−1a
7