prima raccolta

Questionario per gli esami di maturità
PRIMA SERIE
1. Determinate il cono retto di massimo volume inscritto in una sfera di raggio R.
2. Verificate che la somma dei cubi di due numeri reali di assegnato prodotto p > 0 è minima
quando i due numeri sono uguali.
3. Calcolate le misure dei lati di un triangolo rettangolo ABC in funzione della proiezione del
cateto minore AB sull’ipotenusa e dell’angolo β ad essa adiacente.
4. Quale triangolo ABC, avente AC = b,
AB = c ha area massima?
5. Assegnata la sfera di raggio r determinate il rapporto tra il volume del cubo circoscritto e il
volume del cubo inscritto.
Soluzioni
1) Indicando con x la distanza tra il centro della sfera e il centro del cerchio di base del cono si ha:
r = R2 − x2
V ( x) =
π
3
(R
2
− x2
) ( R + x)
π
 −2 x ( R + x ) + R 2 − x 2 
3
da cui, ponendo V '( x) > 0, si ricava: 3 x 2 + 2 Rx − R 2 < 0
R
x<
3
R/3
V '( x) =
Il cono ha volume massimo per x =
2)
posto
S = x3 + y 3 con
 p
S = x3 +  
x
3
S '( x) = 3x 2 − 3
p3
x4
R
4
, ovvero quando la sua altezza è h = R
3
3
p = xy > 0
si ha:
x6 − p3 > 0
p
Quindi, la somma è minima per
x=
p
y=
e
p
=
p
p
3)
A
β
B
C
m H
posto BH = m si ha:
m
AB =
;
cos β
AC = AB tg β =
m
m senβ
tg β =
cos β
cos 2 β
2
l = AC senβ = m sen β = m tg 2 β ;
CH = AC cos C
cos 2 β
1
bc senα
e
2
sen α = sen π − ( β + γ )  = sen ( β + γ )
1
A = bc sen ( β + γ )
2
4) Essendo
BC = m + m tg 2 β
A=
osserviamo che l’area è massima quando β + γ =
π
2
ossia quando il triangolo è rettangolo.
5) Lo spigolo del cubo circoscritto alla sfera è lc = 2r per cui Vc = 8r 3 .
Ricordando che la diagonale di un cubo è data da d = l 3 ed osservando che il diametro della sfera
è uguale alla diagonale del cubo inscritto, si ha:
8r 3
2r = li 3 ;
Vi = li 3 =
3 3
Vc
Quindi
= 3 3.
Vi