Variazione di una funzione

Variazione di una funzione
a) y
Variazione di x: Δx=x2-x1
Variazione di f: Δf=y2-y1=f(x2)-f(x1)
Δf
x1 Δx
x2
x
In questo caso a una variazione
di x, Δx, corrisponde una “piccola”
variazione di f, Δf
b) y
In questo caso a una variazione di x,
Δx, corrisponde una “grande”
variazione di f, Δf
Δf
x1 Δx
x2
x
 f
Il rapporto incrementale
x
esprime la variazione di f in corrispondenza alla variazione di x
1
Significato geometrico del rapporto incrementale
y
B
 f
 f = x tan 
=tan 
x
Δf
A
θ
x1 Δx
C
x2
x
Il rapporto incrementale e' uguale
alla tangente trigonometrica dello
angolo θ che la retta passante per
i punti A e B forma con l'asse x.
Con riferimento alle figure precedenti:
Piccola variazione → piccolo θ → piccola tgθ
Grande variazione → grande θ → grande tgθ
In generale in tratti diversi della curva f, il rapporto incrementale
varia, quindi abbiamo diversi tgθ
2
Rapporto incrementale variabile
y
B
Δf
f(x0+h)-f(x0)
θ
C
h
A
x0
x0+h
x
y
B
Δf
A
θ
f(x0+h)-f(x0)
h C
x0 x0+h
x
Calcoliamo il rapporto incrementale
partendo da un punto x0 e
aggiungendo una quantita' variabile
h
f  x 0h− f  x 0 
 f
=
x
h
Spostiamo B verso A, allora la retta
congiungente A - B si sposta
cambiando pendenza.
Se A tende a B la retta AB tende
alla retta tangente alla curva in A,
e il rapporto incrementale tende al
coefficiente angolare della retta
tangente
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Derivata di una funzione in un punto
y
B
Δf
f(x0+h)-f(x0)
θ0
A
h
x0
C
x0+h
x
Il rapporto incrementale
f  x 0h− f  x 0 
 f
=
x
h
Per h → 0 diventa
f  x 0 h− f  x 0 
m=lim
=tan 0 
h
h 0
Il limite m, uguale alla tan 0 , risulta diverso da un punto
all'altro della curva, e percio' dipende dall'ascissa x 0: m e' una
funzione di x0 e viene indicata con f '  x 0  o df  x  in x 0, e viene
dx
chiamata derivata della funzione f(x) nel punto x0
4
Derivata di una funzione in un punto - seguito
Il limite per h → 0, quando esiste ed e' finito, del rapporto
incrementale, rappresenta il coefficiente angolare della tangente
nel punto (x0,f(x0)).
Osservazione:
La retta tangente a una curva in un punto e', in generale, unica e
pertanto e' unico il limite f '  x 0  del rapporto incrementale per
h→ 0 indipendentemente dal segno, cioe' sia da sinistra che
destra. Sono quindi uguali derivata destra e derivata sinistra
f  x 0h− f  x 0 
f  x 0h− f  x 0 
lim
lim
h
h
h 0 h 0 +
derivata sinistra
derivata destra
y
Fanno eccezione i punti angolosi
x0
x
5
Derivata di una funzione in un punto- seguito
Prescindendo dal significato geometrico si puo' definire in
generale la derivata di una funzione y=f(x).
Definizione:
Si dice derivata di una funzione y=f(x) nel punto x 0 є D, il limite
y
se esiste ed e' finito, del rapporto incrementale
calcolato
x
per x=x0 al tendere comunque a zero dell'incremento  x
attribuito alla variabile indipendente x in corrispondenza di x0
f  x 0 h− f  x 0 
y
f '  x 0 = lim
=lim
h
 x 0  x
h 0
Calcolo della derivata in un punto:
1. determinare l'incremento Δy
2. calcolare il rapporto incrementale Δy/Δx
3. determinare il limite per Δx → 0 di Δy/Δx
6
Derivata di una funzione in un punto- seguito
Vediamo come si applica la definizione con un esempio.
y= f  x= x
2
 y= f  x 0 h− f  x 0 = x 0 h2 − x 20 =2hx 0 h 2=h2x 0h
 y h2x 0h
=
=2x 0 h
x
h
y
lim
=lim 2x 0 h=2x 0
 x 0  x
h 0
7
La funzione derivata e le derivate successive
Data una funzione f(x) derivabile in ciascun punto di un intervallo
A appartenente al dominio di f(x) si dice che f(x) e' derivabile
nell'intervallo A dando origine a un'altra funzione y'=f'(x)
chiamata funzione derivata di f(x).
La funzione f'(x) definita in un proprio campo di esistenza Σ' puo'
essere a sua volta una funzione continua e derivabile in un intervallo A' dando origine alla derivata della derivata di f(x) chiamata
2
df
 x
derivata seconda di f(x), f”(x) o
dx 2
Allo stesso modo si definisce la derivata terza, quarta, … n-esima
di una funzione.
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Derivate di funzioni fondamentali
Riassumiamo le derivate di funzioni fondamentali che serviranno
in seguito:
dk
1. derivata di una costante:
=0
dx
dx
=1
2. derivata di y=x :
dx 2
3. derivata di y=x2 : dx =2x
n
dx
dx
n−1
n
=nx
4. caso generale, derivata della funzione y=x :
dx
±x
de
±x
±x
=±e
5. derivata y=e :
dx
dsin x 
6. derivata y=sin(x) :
=cos x
dx
dcos  x
7. derivata y=cos(x) :
=−sin  x
dx
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Regole di derivazione
Riportiamo di seguito le regole di derivazione di funzioni
composte.
a. derivata di una somma di funzioni: f  x= f 1  x ± f 2  x
df  x  df 1  x df 2  x
e' la somma delle derivate
=
±
dx
dx
dx
b. derivata di un prodotto di funzioni: f ( x)= f 1 ( x)⋅f 2 ( x)
df 2 ( x)
df ( x) df 1 ( x)
=
⋅ f 2 ( x)+ f 1 ( x)⋅
dx
dx
dx
esempio: f ( x)=k⋅f 2 ( x)
df 2 ( x)
df 2 ( x)
df ( x) dk
= ⋅ f 2 ( x)+ k⋅
=k
dx
dx
dx
dx
10
Regole di derivazione - seguito
c. derivata di un quoziente: f  x= f 1  x 
f 2  x
df 1  x 
df 2  x 
⋅ f 2  x − f 1  x⋅
df  x 
dx
dx
=
2
dx
f 2x
esempio: f  x=tan  x = sin  x
cos x 
dtan x cos  x⋅cos x −sin  x ⋅−sin  x  cos 2  x sin 2  x
1
=
=
=
2
2
2
dx
cos  x
cos  x
cos  x
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Regole di derivazione - seguito
d. derivata di una funzione di funzione: f  x= f  g  x 
df  x df  z  dg  x 
z= g  x
=
⋅
dx
dz
dx
esempi:
f  x= f kx 
f  x=sin  kx
f  x=cos kx 
f  x=e±kx
df  x
df  z 
z=kx
=k
dx
dz
df  x
z=kx
=kcos kx 
dx
df  x
z=kx
=−ksin kx
dx
df  x
z=±kx
=±ke±kx
dx
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Relazione tra funzioni e derivate
y
Data una funzione y=f(x) definita in
un intervallo A si dice che essa e'
crescente in un punto x0 se in un
intorno completo di x0 si ha
f  x 0 − f  x 0  f  x 0∀ 0
x0-ε x0 x +ε x
0
si dimostra che f'(x0)>0
Data una funzione y=f(x) definita in
un intervallo A si dice che essa e'
decrescente in un punto x0 se in un
y
intorno completo di x0 si ha
f  x 0 − f  x 0  f  x 0∀ 0
x0-ε x0 x +ε x
0
si dimostra che f'(x0)<0
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Si dimostra che e' vero anche il viceversa
Massimi e minimi di una funzione
y
f '  x 0 =0
[ x 0 − , x 0 ]
f '  x 0 f(x) crescente
[ x 0, x 0 ]
f '  x 0 f(x) decrescente
f '  x 0 − f '  x 0  f '  x 0 f ' '  x 0 0
x0-ε x0 x +ε
0
x
y
X0 punto di massimo per la funzione
f '  x 0 =0
[ x 0 − , x 0 ] f '  x 0 f(x) decrescente
[ x 0, x 0 ] f '  x 0 f(x) crescente
f '  x 0 − f '  x 0  f '  x 0 f ' '  x 0 0
x0-ε x0 x +ε
0
x
X0 punto di minimo per la funzione
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Massimi e minimi di una funzione - seguito
Condizione necessaria ma non sufficiente affinche' x0 sia punto
di massimo o di minimo e' f'(x0)=0. Occorre inoltre determinare
i segni di f'(x) a sinistra e destra di x0 e quindi occorre risolvere
oltre l'equazione f'(x)=0 le disequazioni f'(x)>0, f'(x)<0
x0
x0
Se il segno di f'(x) non cambia allora il punto e' un punto di flesso.
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Massimi e minimi di una funzione - seguito
Un altro metodo usato per determinare se un punto x0 per cui
f'(x0)=0 e' di massimo o minimo si basa sullo studio di f”(x0):
1. se f”(x0)>0 allora f'(x) in un intorno di x0 cresce, cioe' la
pendenza della curva cresce e la concavita' della funzione
e' rivolta verso l'alto e quindi f(x) ha un minimo
2. se f”(x0)<0 allora f'(x) in un intorno di x0 decresce, cioe' la
pendenza della curva diminuisce e la concavita' della funzione
e' rivolta verso il basso quindi f(x) ha un massimo
3.se f'(x)=0 e f”(x0)=0 in punto x0 non e' ne' di massimo ne' di
minimo, ma si dice che la
funzione ha un punto di flesso.
y
x0
x1
x
16
17
18
19
20
21
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23