Dispensa 1

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE
I ANNO
CORSO DI DISEGNO
A.A. 2009/2010
Dott. Alessia Giuffrida
Cenni di geometria descrittiva
Elementi geometrici fondamentali
punto = ente privo di estensione, la cui immagine è
costituita da un corpo di dimensioni ridottissime; i
punti si indicano in genere con le lettere maiuscole
dell’alfabeto latino.
Un insieme di punti costituisce una figura; essa si
dice PIANA quando tutti i suoi punti stanno su un
piano, in caso contrario si dice SOLIDO
linea = insieme illimitato di punti consecutivi,
che si dispongono nello spazio in successioni di
forme diverse, dette curve (a), spezzate (b),
rette (c), ecc.
retta = insieme illimitato allineato di punti (∞1
elementi), che presenta un’unica dimensione;
le rette si indicano con le lettere minuscole
dell’alfabeto latino.
semiretta una parte di retta limitata dal suo
semiretta:
punto d’origine e infinita dall’altro lato.
segmento una porzione di retta
segmento:
compresa tra due punti
Piano = insieme illimitato di punti
(∞2 elementi), che presenta due
dimensioni.
Il piano è caratterizzato dal fatto
che se due punti distinti di una
retta giacciono sul piano, tutti i
punti della retta stanno sul piano.
I piani si indicano con le lettere
minuscole dell’alfabeto greco.
Semipiano = la porzione di
piano limitata da una retta è
detta.
Poligoni = sono le porzioni di
piano delimitate da linee
spezzate chiuse; i segmenti
della spezzata sono detti lati
del poligono e, quando questi
hanno tutti la stessa lunghezza,
il poligono si dice regolare.
Elementi impropri
Punto improprio:
improprio un punto improprio, o all’infinito, definisce
una direzione (movimento su una retta);
Retta impropria:
impropria una retta impropria, o all’infinito, definisce
una giacitura (movimento su un piano);
Piano improprio:
improprio il piano improprio è il luogo di tutti gli
elementi impropri(rette e punti) dello spazio.
Proprietà delle figure geometriche
per 2 punti passa 1 sola retta
se 2 punti appartengono ad un piano,
la retta che passa per essi appartiene
interamente allo stesso piano
per 3 punti passa 1 solo piano
per un punto qualsiasi di un piano
passano infinite rette appartenenti
allo stesso piano (fascio
fascio di rette)
rette
per una retta passano infiniti
piani (fascio
fascio di piani).
piani
Angoli
Angolo = è ciascuna
porzione in cui viene
suddiviso un piano da 2
rette incidenti
appartenenti ad esso;
il punto di intersezione è
detto vertice dell’angolo;
le semirette definite dal
punto sono dette lati
dell’angolo;
la retta che passa per il
vertice e divide l’angolo in
due parti uguali è detta
bisettrice.
bisettrice
Diedro = ciascuna delle parti in
cui viene suddiviso lo spazio,
da due piani intersecatisi
secondo una retta.
Superficie
Si definisce superficie il luogo geometrico
delle posizioni assunte da una linea, detta
generatrice, nel suo movimento spaziale
lungo un’altra linea, detta direttrice.
Si chiamano generatrici le linee che
descrivono la superficie, direttrici le linee
che guidano il movimento.
Solido
Si definisce solido il luogo dei punti contenuti all’interno di una superficie
chiusa.
Gli strumenti della modellazione tridimensionale
Solidi e superfici possono essere realizzati mediante particolari strumenti che ne
consentono la loro modellazione tridimensionale.
Estrusione: crea superfici o solidi, mediante l’”ispessimento” di un profilo piano,
aperto o chiuso (generatrice); il profilo compie, quindi, un percorso rettilineo
(direttrice), ortogonale al piano su cui esso giace, generando l’oggetto
tridimensionale. Esiste anche la possibilità di estrudere lungo un percorso diverso da
quello rettilineo, ovvero lungo una curva, detta traiettoria, ma è un’operazione poco
controllabile.
Sweep (flusso, movimento): crea superfici o solidi, mediante il movimento di una
linea piana, aperta o chiusa (generatrice), lungo un percorso, 2D o 3 D, aperto o
chiuso (direttrice); il profilo si dispone ortogonalmente alla tangente in ogni punto del
percorso.
Loft: crea superfici o solidi, mediante la definizione di due o più sezioni trasversali
degli stessi, linee piane aperte o chiuse (generatrici), e o di una traiettoria (direttrice)
lungo la quale deve svilupparsi l’oggetto tridimensionale, o di linee guida (direttrici)
all’interno delle quali esso deve mantenersi ed a cui in ogni punti deve poggiarsi.
Rivoluzione: crea superfici o solidi, mediante la rotazione di una linea, aperta o
chiusa (generatrice), attorno ad un asse, esterno ad essa, comunque disposto nello
spazio; la linea, che deve essere piana, durante il suo movimento di rotazione
descrive un infinito numero di circonferenze, ciascuna ortogonale all’asse di
rivoluzione e tangente alla generatrice, che possono essere considerate come
direttrici.
Superfici di estrusione
Esse sono il luogo geometrico dei punti descritti da una linea grafica
(generatrice) che trasla lungo una retta (generatrice).
Solido ottenuto dalla estrusione della modanatura
Le superfici estruse sono molto utilizzate nell’architettura antica, ma anche
in quella moderna e nel settore di produzione dei profilati in acciaio e delle
tubature.
N.B. La superficie cilindrica
può essere generata
dall’estrusione di una
circonferenza lungo una retta
ortogonale al piano cui essa
appartiene.
SUPERFICI SWEPT
Sono superfici di estrusione generalizzate, nelle quali una qualsiasi
generatrice viene fatta scorrere su una qualsiasi direttrice anche sghemba.
Lo sweep è diverso dall'estrusione. Quando si esegue lo sweep di un profilo
lungo un percorso, il profilo viene spostato e allineato seguendo la normale
(perpendicolare) al percorso.
direttrice
generatrice
Esempio di
sweep
SUPERFICI LOFT
Esse sono descritte da una serie quanto si
vuole numerosa di sezioni trasversali u
(generatrici) che vengono interpolate
generando una superficie.
Le sezioni trasversali definiscono il profilo (forma) del solido o della
superficie risultante.
Le sezioni trasversali, in genere curve o linee, possono essere aperte (ad
esempio un arco) o chiuse (ad esempio un cerchio). Eseguendo il LOFT viene
disegnato un solido o una superficie tra le sezioni trasversali.
Superfici loft, usate per descrivere gli scafi delle imbarcazioni, le ali degli
aeroplani e le carrozzerie delle automobili
Superfici spined
Le superfici spined sono sostenute da una direttrice principale detta spine
(colonna vertebrale), cui si appoggiano le generatrici che possono avere
forme diverse. Le generatrici devono appartenere a piani perpendicolari alla
spine.
generatrici
spine
Superfici di interpolazione bidirezionale
Vengono generate interpolando due schiere di generatrici u e direttrici v, che
possono scambiare i propri ruoli. Le curve u e v devono intersecarsi
reciprocamente, per formare una maglia il più possibile regolare.
Superfici Coons
Sono generate dall’algoritmo di Coons, che consente di interpolare quattro
curve contigue.
curva
Superfici proporzionali
Rappresentano la massima generalizzazione delle superfici ottenute facendo
scorrere una curva sull’altra. Le direttrici e le generatrici possono essere due,
una alla partenza e una all’arrivo. La prima generatrice viene traslata sulle
altre due e contemporaneamente deformata gradualmente in modo che
all’arrivo si confonda con la seconda direttrice.
Superfici organiche
Semplificando la teoria di Thompson si può dire che
l’accrescimento delle conchiglie marine segue la curvatura
delle spirali logaritmiche e delle eliche; così è possibile imitare
una di queste forme utilizzando le curve prima studiate.
Superfici rigate:
Le superfici si dicono rigare quando la generatrice è una retta.
Anche il piano può essere definito anche come una superficie rigata, in
cui la direttrice sia una retta e la generatrice si muova su di essa sempre
parallelamente a se stessa.
Si definisce cono: la
superficie rigata
creata da una
generatrice che si
muove lungo una
direttrice, passando
sempre per un punto
fisso, detto vertice.
Si definisce cono
circolare retto quello
che è generato da
una retta che si
muove lungo una
circonferenza ed in
cui la perpendicolare
dal vertice (punto
proprio),al piano su
cui giace la direttrice
passa per il centro di
essa. Quando ciò non
avviene il cono si
dice obliquo
obliquo.
Si definisce
cilindro, un cono
che ha come
vertice un punto
improprio
(vertice
all’infinito).
Se la direttrice è
una
circonferenza e
le generatrici
sono parallele
alla retta
ortogonale al
piano della
direttrice, si
parla di cilindro
circolare retto.
retto
Superfici di rotazione o rivoluzione
La superficie di rotazione si ottiene dalla rotazione di una generatrice g
intorno ad una asse r, detto asse di rotazione della superficie. La generatrice
può essere una curva piana, complanare o meno, rispetto all’asse di
rotazione, o una curva sghemba.
r
g
La superficie sferica: si ottiene
mediante la rotazione di una
semicirconferenza attorno ad una
retta passante per i due estremi del
diametro che la delimita;
semicerchio
sfera
Asse di
rotazione
La superficie torica: si ottiene
dalla rotazione di una
circonferenza attorno ad un asse,
esterno ad essa.
Asse di
rotazione
cerchio
Toro
N.B. Il cono circolare retto: oltre ad essere una superficie rigata, si
può pensare prodotto dalla rotazione di una retta attorno ad un asse,
che la interseca in un punto (o parallelo ad essa, ottenendo il cilindro
circolare retto).
Altri esempi di superfici di rivoluzione
Posizione reciproca tra rette
Due rette si dicono parallele se
non esiste un punto proprio in
comune
Due rette appartenenti allo stesso
piano, si dicono incidenti quando
esiste un punto proprio del piano
appartenente ad entrambe
Due rette, complanari ed incidenti, si
dicono perpendicolari se formano
quattro angoli uguali, che misurano 90°
e vengono detti angoli retti.
Due rette non appartenenti allo
stesso piano, si dicono sghembe.
Posizione reciproca tra piani
Due piani si dicono
incidenti quando esiste
una retta appartenente ad
entrambi.
Due piani si dicono
paralleli se non esiste
una retta propria in
comune.
Posizione relativa tra rette e piani
Una retta appartiene ad un piano se tutti i
punti della retta appartengono al piano
Una retta non appartenente ad un piano, è
secante se ha un punto in comune con
esso.
Una retta è parallela
ad un piano se non ha
alcun punto proprio in
comune col piano,
ovvero è parallela ad
una retta del piano.
Una retta non appartenente al piano è
perpendicolare ad esso se risulta perpendicolare
almeno a due rette del piano.
Distanze
Distanza tra un punto ed una retta :
è il segmento avente per estremi
l’intersezione tra la perpendicolare
alla retta data, passante per il punto,
ed il punto stesso.
Per un punto si può condurre una ed
una sola perpendicolare alla retta:
essa costituisce la distanza minima
tra i due enti geometrici.
Distanza tra un punto ed un piano: è
il segmento avente per estremi
l’intersezione tra la perpendicolare al
piano dato, passante per il punto, ed
il punto stesso.
Circonferenza: è il luogo dei punti di un piano
equidistanti da un punto interno, detto centro.
Cerchio: è l’area interna alla circonferenza.
COSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI
Asse di un segmento dato AB
Dai due estremi del segmento dato,
si tracciano due archi di
circonferenza, aventi raggio
maggiore della metà del segmento
stesso. La retta passante per i punti
di incontro, C e D, dei due archi
rappresenta l’asse
l’asse.
Perpendicolare ad una retta per un suo punto
P
Data una retta generica r e un punto P, appartenente
ad essa, si tracci una semicirconferenza di centro P e di
raggio a piacere; dai punti A e B di intersezione di
questa, con la retta r, si tracciano due archi di circonf.
di raggio maggiore della distanza PA. Unendo
l’intersezione di questi due archi con il punto P, si avrà
la perpendicolare richiesta.
Perpendicolare ad una retta per un punto esterno ad essa
Facendo centro nel punto P, esterno alla retta data
r, si tracci una semicirconferenza di raggio a
piacere, ma tale da intersecare la retta r e, a
partire dai due punti di intersezione, A e B, si
traccino, preferibilmente dalla parte opposta di P,
rispetto ad r, due archi di circonf., di raggio
superiore alla metà del segmento AB. Il punto di
intersezione di questi, unito a P, individua la
perpendicolare.
Perpendicolare ad un segmento per un suo estremo
Si traccia una circonferenza di centro P,
esterna al segmento AC
AC, e di raggio PA.
PA
Tracciando il diametro per il punto B, in cui
interseca AC si ricava il punto D, che unito
ad A determina la perpendicolare cercata
(un angolo iscritto in una circonferenza
infatti è sempre retto).
Parallela ad una retta r per un punto assegnato
a
Per il punto dato A, esterno alla retta
a, si tracci un arco di circonferenza
che intersechi la retta stessa; da B,
con la stessa apertura di compasso, si
delinea l’arco di circonferenza che
interseca la retta a in C; quindi da B
con raggio CA si determina il punto D.
La retta AD è la parallela cercata.
Bisettrice di un angolo
Dato l’angolo di vertice O si vuole
trovare la sua bisettrice. Da O con raggio
a piacere, si manda un arco di circonf. e
dai suoi punti di incontro con i lati
dell’angolo (E ed D), si tracciano con
raggio adeguato, due archi che
determinano il punto F, il quale
congiunto con O, dà la bisettrice
cercata.
COSTRUZIONI DI POLIGONI
Costruzione di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza
Si traccia il diametro verticale e si considera il punto
A come vertice del triangolo cercato; dal punto D si
costruisce l’arco di raggio uguale a quello del cerchio
assegnato, che interseca la circonf. nei punti B e C
che con il punto A costituiscono i vertici del
triangolo.
D
Costruzione di un quadrato inscritto in una
circonferenza
Sulla circonferenza data si tracciano due diametri,
tra loro ortogonali, che la dividono in quattro parti
individuando i vertici A,B,C,D, del quadrato richiesto.
Costruzione di un pentagono inscritto in
una circonferenza
Sulla circonferenza data si traccino due diametri
tra loro ortogonali e si divida il raggio OA in due
parti uguali; dal punto di mezzo B e con apertura
BC, si traccia l’arco di circonferenza, che
individua il punto D sul diametro orizzontale.
Facendo centro in C e con apertura CD, si
determinano i due lati del pentagono CF e CE
sulla circonferenza. A partire dai punti F ed E, si
riportano gli altri lati del pentagono iscritto.
Costruzione di un esagono inscritto in una
circonferenza
Tracciato sulla circonferenza assegnata, ad
esempio, il diametro AB, a partire dagli estremi
di esso, si rappresentano due archi di
circonferenza di raggio uguale a quello della
circonferenza stessa. I 4 punti individuati insieme
ad A e B rappresentano i vertici dell’ esagono.
LE CONICHE
Si definisce cono circolare retto quello che è generato da una retta che si muove
lungo una circonferenza ed in cui la perpendicolare dal vertice (punto proprio),al
piano su cui giace la direttrice passa per il centro di essa.
Considerando una porzione finita di cono circolare, generata dalle semirette definite
dal vertice, le sezioni di esso ottenute mediante piani che assumano diverse posizioni
nello spazio e che non passino per il vertice, generano delle figure piane dette
coniche.
1
2
3
Immagini di un cono sezionato da un piano in tre diverse posizioni
CASO 1: Si ottiene un
l’ellisse quando il piano
seca tutte le generatrici
(se il piano è parallelo al
piano della direttrice, si
ha una circonferenza).
CASO 2: Si ottiene la
parabola quando il
piano seca anche la
direttrice e risulta
parallelo ad una sola
generatrice del cono.
CASO 3: Si ottiene
l’iperbole quando il
piano seca anche la
direttrice e risulta
parallelo a due
generatrici
I RACCORDI
Spesso nel disegno geometrico si ha la necessità di raccordare linee di specie
uguale o diversa con curve, in particolare con archi di circonferenza, in modo
da non avere bruschi cambiamenti di direzione.
Raccordare due o più linee significa unirle graficamente senza che in esse si
abbiano punti di arresto o di discontinuità nei punti di giunzione.
L’arte di raccordare le linee si basa su due principi che fanno parte della
teoria delle tangenti:
-Un arco di cerchio ed una retta sono raccordabili se il centro dell’ arco è
sulla perpendicolare mandata alla retta nel punto di contatto;
- due archi di cerchio si raccordano quando i due centri e il punto di contatto
sono su una linea retta.
Quindi si può affermare che due linee, di specie uguale o diversa, sono
raccordate quando nel loro punto di giunzione esse ammettono la stessa
tangente.
Disegnare il raccordo di raggio r tra due rette perpendicolari
Centrando in O con
raggio r, si tracciano
due archi, che
intersecano le rette a e
b rispettivamente nei
punti T1 e T2. Con la
stessa apertura si centra
in T1 e T2 conducendo
altri due archi che
individuano C. L’arco
TT1 di centro C è il
raccordo richiesto.
T2
Raccordo tra due rette parallele in un punto P
Tracciata per P la
perpendicolare alla
retta a, si individua
su b il punto Q;
quindi si trova O,
punto medio di PQ.
La semicirconferenza
PQ è il raccordo
cercato.
Raccordo di raggio r tra due semirette oblique
Condotte le perpendicolari
alle rette a e b in punti
qualsiasi, si tracciano le
due parallele a’ e b’ a
distanza r; queste si
intersecano in C, da cui si
conducono le normali alle
rette a e b, ottenendo così
i punti T1 e T2. L’arco T1T2
di centro C è il raccordo
cercato.
a’
N.B. Questa costruzione è valida per semirette, sia che esse
formino un angolo acuto che un angolo ottuso.
b’
Circonferenza tangente a tre rette date
Si costruiscono le
bisettrici dei due angoli
formati dalle rette a, b,
r, e si trova la loro
intersezione in O. Da O
si conducono le
perpendicolari alle
rette ottenendo su di
esse rispettivamente
T1, T2 e T3; questi
saranno i punti di
tangenza della
circonferenza di centro
O e raggio
OT1=OT2=OT3
Raccordare una retta e una circonferenza con un arco di raggio r
Si conduce la parallela alla
retta a a distanza r; essa
interseca in O l’arco di
centro C e raggio R+r. Si
individua T1(piede della
perpendicolare da O alla
retta) e T2 (intersezione di
OC con la circonferenza).
L’arco T1T2 di centro O è il
raccordo cercato.
a
Raccordare due circonferenze con arco di raggio r
Si conducono con centri in C1 e C2, due archi, rispettivamente di raggio
R1+r e R2+r; essi determinano come intersezione il punto O. I segmenti
OC1 e OC2 tagliano le due circonferenze rispettivamente in T1 e T2.
L’arco T1T2 di centro O è il raccordo cercato.
Raccordare una circonferenza e un punto P con un arco di raggio r
Immaginando che il
punto P sia una
circonferenza di centro
P e raggio nullo, si
possono ottenere i
raccordi richiesti come
nel caso precedente,
sostituendo ad uno dei
raggi dati il valore
zero.
ARCHI
Si definisce arco da un punto di vita costruttivo, una struttura che limita
superiormente di norma, un’apertura, in grado di portare un
sovraccarico e costituita da elementi che si reggono per mutuo
contrasto. L’arco a sua volta poggia su piedritti.
l= luce o corda
f= freccia
c= chiave
i= intradosso
e= estradosso
pi= piano d’imposta
ARCO A TUTTO SESTO
ARCO A SESTO RIBASSATO
O
E’ l’arco più comune; ha
l’intradosso formato da una
semicirconferenza con centro
sul piano di imposta.
Assegnati i due punti di appoggio A e B e il punto
di chiave C (con freccia minore della metà del
segmento AB), si tracciano la corda AC e la
perpendicolare per il punto medio della corda
stessa; il punto di incontro di questa con la
perpendicolare ad AB condotta da C determina il
centro O dell’arco di circonferenza d’intradosso
A, C, B.
ARCO POLICENTRICO
ARCO OGIVALE
O
Assegnati i punti A e B estremi della corda, e
C, sulla freccia, si determinano i punti O’ e
O’’(di solito alla distanza 1/5 o 1/6 della
corda dei piedritti); si riporta sulla freccia a
partire da C, un segmento pari ad O’A e si
determina il punto D; si unisce poi D con O’ e
si traccia l’asse del segmento O’D fino ad
incontrare la freccia, punto O. I punti O, O’ e
O’’ sono I centri dell’arco cercato.
O1
Fissata la corda AB e la freccia
CD, si congiunge C con A e con
B e si determinano gli assi dei
segmenti ottenuti. I punti di
incontri O e O1 di esse con la
corda sono i centri cercati
LE VOLTE
Abbiamo già descritto le caratteristiche geometriche delle superfici
rigate: ad esse si fa risalire la configurazione geometrica elementare di
alcune strutture, appartenenti alla famiglia delle volte, elementi
costruttivi fondamentali.
Le volte sono utilizzate per realizzare coperture di ambienti, chiusi o in
parte aperti. Esse sono sostenute da elementi verticali, le cui
caratteristiche variano a seconda del tipo di volta (setti portanti, pilastri,
ecc.). Parallelamente a quanto visto per gli archi, il piano che divide gli
elementi portanti verticali dalla superficie voltata è detto piano
d’imposta; il punto, o i punti, o le generatrici appartenenti alla volta e
giacenti alla massima quota sono detti elementi di chiave.
Analizziamo innanzitutto quella che è considerata una “volta semplice”, ovvero la
volta a botte, superficie che ha per generatrice una retta e per direttrice un arco;
se la retta è orizzontale e la direttrice è una semicirconferenza che giace su un
piano ortogonale alla retta generatrice, si ha la volta a botte a tutto sesto.
sesto
volta a botte a
tutto sesto
direttrice
generatrice
volta a botte
rampante
volta a botte a
sesto acuto
generatrice
direttrice
Se la direttrice è un arco ogivale,
si ottiene la volta a botte a sesto
acuto; inoltre, la generatrice può
acuto
non essere ortogonale al piano su
cui giace la direttrice, ma
inclinata, dando luogo alla volta a
botte rampante.
rampante
Staticamente la volta a botte
scarica il suo peso sui due muri di
bordo su cui poggia.
Dall'intersezione di due volte a botte, si generano le volte complesse.
La VOLTA A PADIGLIONE è generata dall'intersezione di due volte a botte,
considerando per ciascuna di esse due FUSI. Essi sono formati dalla superficie data
dalla porzione di rette generatrici compresa tra il piano d'imposta e le curve di
intersezione.
Curve di
intersezione
FUSO
fuso
generatrici
Staticamente la volta a padiglione scarica il suo peso sulla muratura di bordo
su cui poggia.
La VOLTA A CROCIERA è generata dall'intersezione di due volte a botte, considerando
per ciascuna di esse due UNGHIE. Esse sono formate dalla superficie data dalla
porzione di rette generatrici compresa tra la curva direttrice e le curve di
intersezione.
Curve di
intersezione
UNGHIA
unghia
direttrice
generatrici
Staticamente la volta a crociera scarica il suo peso sui pilastri su cui poggia.
Intersezione di due volte a botte di uguale luce
Volte a botte
Elementi risultanti
dall’intersezione delle due
volte a botte
Intersezione di due volte a botte
Vista iposcopica
Vista iposcopica
Anche dalle superfici di
rotazione, hanno origine
alcune conformazioni
geometriche, che danno
vita ad alcuni tipi di
volte:
La cupola
cupola:: è una
copertura in genere a
forma di semisfera, quindi
ottenuta dalla rotazione
di un quarto di
circonferenza, attorno ad
un asse passante per un
suo estremo ed
ortogonale al raggio
passante per l’altro
estremo.
semicerchio
asse di rotazione
sfera
cupola
Se la curva è un semicerchio,
semicerchio la
cupola è una semisfera
semisfera.
Se la curva è un semiellisse,
semiellisse la
cupola è un ellissoide.
semiellisse
asse di rotazione
ellissoide
cupola
Si osserva che essendo la cupola una sup. di rotazione, un generico punto sulla
cupola per effetto di questo movimento descrive una circonferenza, per cui
qualunque sia la forma della generatrice;
Le seziono effettuate con piani orizzontali, paralleli quindi al piano di base,
sono sempre delle circonferenze.
circonferenze
Operando invece dei tagli con piani verticali,
verticali la forma delle sezioni dipende dalla
curva generatrice;
generatrice
Le sezioni sono semicerchi per le cupole semisferiche, semielleissi per le cupole
semiellissodiche.
Staticamente la volta a cupola scarica il suo peso sulla muratura di bordo circolare
su cui poggia.
semisfera
semiellissoide
semiellisse
semicerchio
cerchio
cerchio
La volta torica: è data da una superficie torica, sezionata dal piano
contenente il centro della circonferenza generatrice in tutte le
posizioni da essa assunte durante la rotazione;
Rappresentazione a fil
di ferro
Rappresentazione con
lo spessore
Volta a vela
La volta a vela: si ottiene da una cupola (semisfera), sezionata da quattro piani
ortogonali al piano d’imposta, che abbiano come tracce i lati di un quadrato inscritto
nella circonferenza all’imposta.
Volta a vela
Cupola
Piano di imposta
Piano di sezione