Esercizi sugli anelli - Dipartimento di Matematica

ALGEBRA 3: ESERCIZI SU SEMISEMPLICITÀ DI ANELLI E MODULI
(1) Calcolare il radicale di Jacobson dell’anello C[x] e mostrare che NON è semisemplice.
(2) Dire se gli anelli Z/(6), Z/(7), Z/(8), Z[i] siano noetheriani, artiniani, semisemplici, e calcolarne il
radicale di Jacobson.
(3) Calcolare il radicale di Jacobson dell’anello C[x]/(xn ).
(4) Siano Ri , i ∈ I anelli con unità. Mostrare che R = ⊕i∈I Ri è un anello con unità se e solo se I è un
insieme finito.
[Sugg.: in un anello con unità 0 6= 1.]
(5) Siano R1 , . . . , Rn anelli con unità, R = R1 ⊕ . . . ⊕ Rn la loro somma diretta. Mostrare che ogni
R-modulo è della forma M1 ⊕ . . . ⊕ Mn , dove Mi è un Ri -modulo e la struttura di R-modulo è
data da
(a1 , . . . , an ).(m1 , . . . , mn ) = (a1 m1 , . . . , an mn ).
Come sono fatti gli R-moduli irriducibili?
Q
(6) Siano Ri , i ∈ I anelli con unità, R = i∈I Ri il loro prodotto diretto. Com’è fatto il radicale
Q di Jacobsonn di R? Costruire un elemento non nilpotente del radicale di Jacobson dell’anello
[Sugg.: usate il fatto, che trovate negli appunti, che a ∈ J(R) se e solo se 1 − xay
n≥1 C[x]/(x ).
è invertibile per ogni x, y ∈ R. Però prima scrivetene una dimostrazione più convincente di quella che
trovate negli appunti!]
(7) Mostrare che il radicale di Jacobson di R/ J(R) è banale.
[Sugg.: usate la corrispondenza di ideali
tra R e R/ J(R).]
(8) Sia R un anello con un solo ideale sinistro massimale m.
• Mostrare che m è anche un ideale destro.
• Mostrare che R/m è un corpo.
• Mostrare che m è un ideale destro massimale.
(9) Sia R un anello semisemplice con un numero finito di ideali sinistri massimali. Mostrare che R è
somma di corpi e di anelli semisemplici finiti.
(10) Mostrare che se R è una K-algebra di dimensione finita, allora J(R) è l’intersezione di tutti
gli ideali bilateri massimali di R.
[Questo è falso in dimensione infinita. Usate il Teorema di
classificazione di Artin-Wedderburn e la corrispondenza di ideali tra un anello e un suo quoziente.]
(11) L’algebra gruppo K C5 è semisemplice se la caratteristica di K è diversa da 5. Descrivere la
struttura di K C5 quando K = Fp , dove p è un primo diverso da 5.
[Sugg.: fattorizzate il
polinomio x5 − 1 su Fp ; il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico.]
(12) Descrivere il radicale di Jacobson di R = F5 C5 , una serie di composizione per l’R-modulo R e
una decomposizione dell’R-modulo R in somma diretta di sottomoduli indecomponibili.
(13) Sia R un anello con 1. Determinare tutti i sottomoduli di U ⊕ V quando:
• U e V sono R-moduli irriducibili non isomorfi;
• U e V sono R-moduli irriducibili isomorfi.
(14) Sia R una K-algebra di dimensione finita, M1 , . . . , Mn R-moduli irriducibili non isomorfi. Mostrare che l’applicazione φ : R → End(M1 ) ⊕ . . . ⊕ End(Mn ) è suriettiva.
(15) Sia V uno spazio vettoriale sul corpo K.
• Mostrare che EndK (V ) non ha ideali non banali, se dimK V < ∞.
• Esibire un ideale non banale di EndK (V ), quando V ha dimensione infinita.
(16) Sia R = C[x]/(x4 − x2 ).
• Calcolare il radicale di Jacobson di R.
• E’ vero che il quoziente R/ J(R) è semisemplice? Se sì, esprimerlo come somma diretta di
algebre semplici; se no, spiegare perché.
• Il quoziente R/ J(R) è un R-modulo di tipo finito: descrivere i quozienti di una serie di
composizione. Sono isomorfi come R-moduli?
(17)
• Qual è il radicale di Jacobson dell’anello A = F2 C6 ?
• E’ vero o falso che A è isomorfo a F2 C2 ⊕F2 C3 ?
• Determinare una serie di composizione per A visto come A-modulo.
• E’ vero che gli elementi di A non contenuti nel suo radicale di Jacobson sono tutti invertibili?
(18) Sia A = C D4 l’algebra gruppo (complessa) del gruppo diedrale con 8 elementi.
• Spiegare per quale motivo A è semisemplice.
• Esprimere A come somma diretta di anelli della forma Matn×n (K), specificando per ciascun
addendo il valore di n e di K.
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ALGEBRA 3
(19)
(20)
(21)
(22)
• Consideriamo ora l’algebra gruppo B = F5 D4 a coefficienti nel campo finito F5 . Se ρ2 6= 1 è
l’elemento centrale di D4 , mostrare che e = 3(1 + ρ2 ) è un idempotente centrale di B, e che
B = eB ⊕ (1 − e)B è una decomposizione in somma diretta di ideali (bilateri) propri.
• Mostrare che B è semisemplice, e descrivere, a meno di isomorfismo, ciascun addendo non
commutativo di una decomposizione di B in somma diretta di ideali (bilateri) semplici. [E’
utile sapere che ogni corpo finito è un campo. Contate la dimensione di ciascun addendo come spazio
vettoriale su F5 . Per il punto precedente, ci sono almeno due addendi diretti.]
Sia R l’insieme delle matrici complesse 2 × 2 triangolari superiori.
• Spiegare per quale motivo R è un anello con unità.
• Calcolare il radicale di Jacobson di R.
• E’ vero che il quoziente R/ J(R) è semisemplice? Se sì, esprimerlo (a meno di isomorfismo)
come somma diretta di algebre semplici; se no, spiegare perché.
• Come sono fatti i moduli irriducibili di R/ J(R)? E’ vero che sono tutti isomorfi come Rmoduli?
• Descrivere una serie di composizione di R visto come R-modulo, o almeno i quozienti irriducibili che vi compaiono (e le loro molteplicità).
Sia A = CZ l’algebra gruppo (complessa) del gruppo ciclico additivo (Z, +).
• Mostrare che A è isomorfo all’anello C[x, x−1 ] dei polinomi di Laurent a coefficienti complessi.
• Determinare se A è semisemplice.
• Costruire esplicitamente un A-modulo non semisemplice di dimensione (complessa) finita.
Mostrate che ogni anello semisemplice è sia noetheriano che artiniano.
[Sugg.: può valere la
pena di individuare un sottocorpo, e di mostrare che l’anello è uno spazio vettoriale di dimensione finita
rispetto a tale corpo.]
Abbiamo detto a lezione che un anello semisemplice a sinistra è semisemplice anche a destra e
viceversa. Un anello semisemplice è quindi noetheriano (risp. artiniano) sia a destra che a sinistra.
Senza l’ipotesi di semisemplicità, le cose sono più complicate. Mostrate che l’anello
R R
a b a, b ∈ R, c ∈ Q
=
0 Q
0 c è noetheriano a sinistra ma non a destra.
[Sugg.: usate pure liberamente che sottomoduli e quozienti di moduli noetheriani/artiniani sono ancora noetheriani/artiniani; e che se un modulo M ha un
sottomodulo N noetheriano/artiniano con quoziente M/N noetheriano/artiniano, allora M è noetheriano/artiniano.]
(23) Sia R un anello semisemplice. Mostrare che un R-modulo M è noetheriano se e solo se è artiniano
se e solo se è di tipo finito.
(24) In questo esercizio, mostriamo che ogni anello artiniano è anche noetheriano. Se J = J(R) indica
il radicale di Jacobson dell’anello artiniano R, sappiamo già che la catena discendente R ⊃ J ⊃
J 2 ⊃ . . . si stabilizza a 0 in un numero finito di passi.
• Mostrare che J n /J n+1 è un R/J-modulo.
• Mostrare che J n /J n+1 è un R/J-modulo semisemplice, e quindi un R-modulo semisemplice.
• Mostrare che J n /J n+1 è un R-modulo di tipo finito.
• Concludere che R è un R-modulo di tipo finito, ed è quindi noetheriano.
Riuscite a mostrare che un anello artiniano a sinistra e noetheriano a destra è anche artiniano a
destra?
[Sugg.: un anello semisemplice a sinistra è semisemplice anche a destra!]
(25) Se R è un campo e A e B sono R-algebre, possiamo definire una struttura di R-algebra sul
prodotto tensoriale A ⊗R B estendendo per linearità la moltiplicazione data da
a1 ⊗ b1 · a2 ⊗ b2 = a1 a2 ⊗ b1 b2 .
Consideriamo allora C = C ⊗R C.
• Qual è la dimensione di C come spazio vettoriale reale?
• Mostrare che ogni elemento di C si esprime in un’unica maniera nella forma 1 ⊗ α + i ⊗ β.
• Trovare tutti gli a ∈ C tali che a2 = 0.
• Calcolare J(C) e spiegare per quale motivo C sia semisemplice.
• Determinare gli elementi idempotenti di C ed esprimere C come somma diretta di ideali
semplici.
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
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