Particella carica in campo elettromagnetico

Lagrangiana e Hamiltoniana di una particella carica
in campo elettromagnetico
~ e magnetico
L’equazione del moto di una particella di massa m e carica q in un campo elettrico E
~
B é
d
~ + q ~v ∧ B
~
m~v = q E
(1)
dt
c
~ ed il campo magnetico B
~ hanno le
NOTA -Nel sistema CGS, che usiamo qui, il campo elettrico E
stesse dimensioni. Determiniano una funzione lagrangiana che ci dia la corretta equazione del moto
eq.(1). Le relazioni tra campi elettrico e magnetico e potenziali sono
~
~ = −∇Φ
~ −1 ∂A
E
c ∂t
~ =∇
~ ∧A
~
B
(2)
~ e scalare Φ non sono unici. Infatti dati A
~ e Φ, mediante la
Sappiamo che i potenziali vettore A
~ 0 e scalare
trasformazione di gauge dipendente dalla funzione Λ(~r, t), definire i nuovi i potenziali A
~eΦ
Φ0 ottenuti da A
~0
A
−→
Φ0
−→
~0 ≡ A
~ + ∇Λ
~
A
1 ∂
Λ
Φ≡Φ−
c ∂t
(3)
che lasciano i campi elettrico e magnetico invariati. Infatti, essendo il rotore di un gradiente sempre
~ é invariato e per il campo elettrico si ha
nullo, segue immediatamente che B
!
~ 0 = −∇Φ
~ 0−1 ∂A
~ 0 = −∇
~ Φ − 1 ∂ Λ − 1 ∂ (A
~ + ∇Λ)
~
E
c ∂t
c ∂t
c ∂t
!
1
1 ∂ ~ 1 ∂ ~
∂
~ + ∇
~
~
= −∇Φ
Λ −
A−
(∇Λ) = E
c
∂t
c ∂t
c ∂t
(4)
La scelta di un particolare potenziale vettore e scalare é detta scelta di gauge. Mentre le equazioni
del moto e tutte le osservabili fisiche non dipendono dalla scelta di gauge, la lagrangiana e la hamiltoniana dipendono dalla gauge. Sostituendo l’eq.(2) nell’eq.(1) si ottiene
"
#
d
~ −1 ∂A
~ + ~v ∧ (∇
~ ∧ A)
~
m~v = q −∇Φ
dt
c ∂t
c
Si ha (somma sugli indici ripetuti, ∂i =
(5)
∂
)
∂xi
~ ∧ A)]
~ i =
[~v ∧ (∇
=
=
=
εijk εkmn vj ∂m An
(δim δjn − δin δjm ) vj ∂m An
vj ∂i Aj − vj ∂j Ai
∂i (vj Aj ) − (vj ∂j ) Ai
(6)
dove abbiamo usato
(i 6= j)
∂i vj = 0
1
(7)
L’eq.(6) si scrive in forma vettoriale
~ ∧ A)
~ = ∇(~
~ v · A)
~ − (~v · ∇)
~ A
~
~v ∧ (∇
(8)
Usando l’eq(8) l’eq.(5) si scrive



~
d
~ −1 ∂A
~ + (~v · ∇)
~ A
~ +∇
~ ~v · A
m~v = q −∇Φ

dt
c ∂t
c 
"
#



~
~ −1 dA
~+∇
~ ~v · A
= q −∇Φ

c dt
c 
dove abbiamo usato
(9)
d ~
∂ ~
∂ ~
∂ ~ d
~ A
~
A= A
+
A xi = A
+ (~v · ∇)
dt
∂t
∂xi dt
∂t
(10)
Vogliamo scrivere l’eq.(9) nella forma di un’equazione di Eulero-Lagrange (ẋi = vi )
∂
d ∂
L=
L
dt ∂ ẋi
∂xi
(11)
dove L é la lagrangiana. Riscrivendo l’eq.(9) nella forma


~
d
q ~
~ −qΦ + q ~v · A 
m~v + A
=∇
dt
c
c
(12)
la struttura dell’eq.( 11) suggerisce una forma della lagrangiana del tipo
L=
~
mv 2
~v · A
− qΦ + q
2
c
(13)
Verifichiamo che le equazioni di Eulero-Lagrange eq.(11) che si ricavano dall’eq.(13) sono proprie
l’equazioni del moto eq.(1).


~
d ∂  mv 2
~v · A
d
d Ai
=
− qΦ + q
mvi + q
dt ∂ ẋi
2
c
dt
dt c

(14)

~
∂  mv 2
~v · A
∂
q
∂
 = −q
− qΦ + q
Φ + vj
Aj
∂xi
2
c
∂xi
c ∂xi
(15)
Inserendo nel lato destro dell’eq.(14) per la derivata temporale totale di Ai l’eq.(10) ed uguagliando
l’eq.(14) e l’eq.(15) si trova
∂
1 ∂
q
∂
d
~ Ai )
mvi = q (−
Φ−
Ai ) + ( v j
Aj − (~v · ∇)
dt
∂xi
c ∂t
c
∂xi
(16)
~ , vedi
Il secondo termine del lato destro della precedente equazione é la componente i-ma di ~v ∧ B
eq.(6), quindi abbiamo ricavato per componenti l’ eq.(1).
2
Il momento coniugato o momento canonico alla variabile xi é definito da
pi =
∂
L
∂ ẋi
(17)
Dalla forma della lagrangiana eq.(13) si ha
q
q ~
pi = mvi + Ai
−→ p~ = m~v + A
c
c
La hamiltoniana si ricava dalla lagrangiana dalla relazione
H=
X
pi ẋi − L
(18)
(19)
i
Inserendo l’eq.(18) e l’eq.(13) si ottiene
H=
mv 2
+ qΦ
2
(20)
~ si sono cancellati. Per ottenere delle equazioni di Hamilton-Jacobi
in cui i termini con A
d
∂
pi = −
H
dt
∂xi
∂
d
xi =
H
dt
∂pi
(21)
che siano le corrette equazioni del moto per una particella carica in campo magnetico e che quindi
~ dobbiamo esprimere m~v in funzione del momento coniugato usando l’eq.(18) e
siano funzioni di B,
quindi la hamiltoniana si scrive
q ~ 2
1
p~ − A
+ qΦ
(22)
H=
2m
c
Mostriamo che le equazioni di Hamilton-Jacobi eq.(21) che si ricavano dall’eq.(22) sono esattamente
le equazioni del moto eq.(1)


∂
d
q X
q
∂
pi =
Aj  − q
Φ
p j − Aj
dt
mc
c
∂xi
∂xi
j
d
1
xi = vi =
dt
m
Derivando rispetto al tempo l’eq(24) si ottiene
q
p i − Ai
c
(23)
d2
q d
d
pi = m 2 xi +
Ai
dt
dt
c dt
Inserendo quest’ultima equazione nell’eq.(23) e usando l’eq.(24) si ottiene
d2
q d
q X d
∂
∂
m 2 xi +
Ai =
xj
Aj − q
Φ
dt
c dt
c j dt ∂xi
∂xi
(24)
(25)
(26)
Mediante l’eq.(10) e l’eq.(2), l’eq.(26) si riscrive
d2
q
d
m 2 xi = qEi + εijk xj Bk
dt
c
dt
ed é quindi la i-ma componente dell’eq.(1).
Osservazioni
3
(27)
• L’eq.(18) mostra che il momento p~ non é uguale alla quantitá di moto m~v . L’eq.(22) si puó
scrivere come
m
(28)
H = ~v 2 + qΦ
2
cioé come somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale elettrostatica in quanto le forze
magnetiche non fanno lavoro.
~ = ~r ∧ p~ in presenza di campo magnetico é
• Dall’eq.(18) segue anche che il momento angolare L
~ = ~r ∧ m~v .
diverso dal momento della quantitá di moto Λ
Particella carica in campo magnetico costante:
caso quantistico
Consideriamo una particella di massa m e carica q in presenza di un campo magnetico costante
~ parallelo all’asse z (B
~ = B~k). La hamiltoniana eq.(22) si scrive ( h̄ = 1)
ed uniforme B
H=
1
2m
q ~
A
c
p~ −
2
=
m
~v
2
2
(29)
dove le componenti di ~v sono definite dall’eq.(24) e soddisfano le relazioni di commutazione eq.(46).
~ il cui rotore é un campo magnetico costante, puó essere scritto come
Il potenziale vettore A,
~ = − 1 (~r ∧ B)
~
A
2
(30)
In fatti si ha
∂
∂
Ak = (−1/2) [εijk εkmn
xm Bn ]
∂xj
∂xj
= (−1/2) [(δim δjn − δin δjm ) δjm Bn ] = Bi
Bi = εijk
(31)
In seguito useremo o la gauge simmetrica
~ = (−yB/2, xB/2, 0)
A
(32)
o la gauge asimmetrica
~ = (−yB, 0, 0)
A
or
~ = (0, xB, 0)
A
(33)
~ ·A
~ = 0. Nella gauge simmetrica l’eq.(29) si scrive:
In entrambi le gauge si ha ∇
H = Hz + Hxy
[Hz , Hxy ] = O
(34)
dove
p2z
(35)
2m
é la hamiltoniana di una particella libera in moto lungo l’asse z, che ometteremo nel seguito, e
Hz =
Hxy =
q yB 2
1
q xB 2 m 2
1
(px +
) +
(py −
) = (vx + vy2 )
2m
c 2
2m
c 2
2
4
(36)
√ √
√ √
Definendo la frequenza di ciclotrone ω = |q|B/mc, Π = vx m/ ω e Υ = vy m/ ω l’eq.(36) si
riscrive
ω
(37)
Hxy = (Π2 + Υ2 )
2
con, usando l’eq.(46),
[Π , Υ] = i
(38)
Quindi la hamiltoniana eq.(37) ha la struttura della hamiltoniana di un oscillatore armonico unidimensionale con autovalori discreti, quantizzati En = ω(n+1/2) ( n ∈ Z+ ), detti livelli di Landau.
Per determinare le autofunzioni é conveniente mettersi nella gauge asimmetrica. L’eq.(36) si scrive
Hxy
p2y
1
q
2
=
(px + yB) +
2m
c
2m
(39)
Siccome
[px , Hxy ] = 0
(40)
esiste una base comune di autofunzioni di px e Hxy e quindi le autofunzioni dell’eq.(39)
Hxy ψn (x, y) = En ψn (x, y)
(41)
si possono scrivere nella forma seguente
ψn (x, y) = φn (y) eikx x
(42)
Nell’eq.(41) abbiamo usato la proprietá che lo spettro della hamiltoniana non dipende dalla gauge.
Inserendo l’eq.(42) nell’eq.(41) si trova
p2
1
q
(kx + yB)2 + y ] φn (y) = En φn (y)
(43)
2m
c
2m
La hamiltoniana dell’eq.(43) é la hamiltoniana di un oscillatore armonico unidimensionale lungo
l’asse y centrato in y0 = −kx c/qB di frequenza ω. Quindi gli autovalori sono En = ω(n + 1/2) e le
autofunzioni sono le autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale nella variabile ξ = y − y0 .
I livelli di energia sono (infinitamente) degeneri perché, ad ogni fissato valore di En , corrispondono
una infinitá di autofunzioni dipendenti dal parametro kx (−∞ < kx < ∞).
~ = ~r ∧ m~v (h̄ = 1)
Calcoliamo le relazioni di commutazioni del momento della quantitá di moto Λ
[
[Λi , Λj ] = m2 εikl εjmn [xk vl , xm vn ]
q
i
εikl εjmn −δlm xk vn +
xk xm εlnp Bp + δkn xm vl
= m2
m
mc
~
= iεijk (Λk + qxk ~r · B)
dove abbiamo usato
i
δkl
m
(45)
iq
εijk Bk
m2 c
(46)
[xk , vl ] =
[vi , vj ] =
(44)
e
[AB, CD] = A([B, C] D + C [B, D]) + ([A, C] D + C [A, D]) B
~ = ~r ∧ p~ rimangono invariate.
Le relazioni di commutazione del momento angolare L
Osservazioni
5
(47)
• le componenti della velocitá vx e vy cioé le componenti della velocitá nel piano ortogonale alla
direzione del campo magnetico non commutano, vedi eq.(46), quindi sono osservabili complementari e soddisfano l’ineguaglianza
∆vx ∆vy ≥
ω
2m
(48)
• l’energia totale (non quantizzata) é data per per ogni livello di Landau da
kz2
+ ω (n + 1/2)
2m
En (kz ) =
(49)
• la soluzione localizzata (pacchetto d’onda) nel piano xy corrispondente all’energia En (kz ) puó
essere costruita come sovrapposizione delle funzioni d’onda ψn (x, y) date dall’eq.(42)
ikz z
Ψn,kz = e
Z
∞
−∞
Akx eikx x φn,kx (y) dkx
(50)
dove φn,kx (y) sono le autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale spostato eq.(43),
in cui abbiamo esplicitato la dipendenza da kx .
Problemi
1) Calcolare l’evoluzione temporale delle variabili vx e vy .
2) Calcolare la funzione d’onda corrispondente (per un valore fissato di kx ) al livello di Landau per
n = 0 nella gauge simmetrica.
6