1 Lagrangiana e Hamiltoniana di una particella carica in campo

1
Lagrangiana e Hamiltoniana di una particella carica
in campo elettromagnetico
~ e magnetico
L’equazione del moto di una particella di massa m e carica q in un campo elettrico E
~ é
B
d
~ + q ~v ∧ B
~
m~v = q E
(1)
dt
c
Determiniano una funzione lagrangiana che ci dia la corretta equazione del moto eq.(1). Le relazioni
tra campi elettrico e magnetico e potenziali sono
~
~ = −∇Φ
~ −1 ∂A
E
c ∂t
~ =∇
~ ∧A
~
B
(2)
~ ed il potenziale scalare, Φ, non sono unici, ma definiti, rispettivamente, a
Il potenziale vettore, A,
meno del gradiente e della derivata temporale di una funzione arbitraria Λ(~x, t) (scelta di gauge).
Infatti definendo
1∂
~0 = A
~ + ∇Λ
~
Λ
(3)
A
Φ0 = Φ −
c ∂t
i campi elettrico e magnetico, definiti dall’eq.(2), rimangono invariati. Sostituendo l’eq.(2) nell’eq.(1)
si ottiene
"
#
1 ∂ ~
~v
d
~
~
~
m~v = q −∇Φ −
A + ∧ (∇ ∧ A)
(4)
dt
c ∂t
c
Si ha (somma sugli indici ripetuti, ∂i =
∂
)
∂xi
~ ∧ A)]
~ i =
[~v ∧ (∇
=
=
=
εijk εkmn vj ∂m An
(δim δjn − δin δjm ) vj ∂m An
vj ∂i Aj − vj ∂j Ai
∂i (vj Aj ) − (vj ∂j ) Ai
(5)
dove abbiamo usato
i 6= j
∂i vj = 0
(6)
L’eq.(5) si scrive in forma vettoriale
~ = ∇(~
~ v · A)
~ − (~v · ∇)
~ A
~
~ ∧ A)
~v ∧ (∇
(7)
Usando l’eq(7) l’eq.(4) si scrive



~
d
~ −1 ∂A
~ + (~v · ∇)
~ A
~ +∇
~ ~v · A
m~v = q −∇Φ

dt
c ∂t
c 
"
#



~
~ −1 dA
~+∇
~ ~v · A
= q −∇Φ

c dt
c 
dove abbiamo usato
d ~
∂ ~
∂ ~ d
∂ ~
~ A
~
A= A
+
A xi = A
+ (~v · ∇)
dt
∂t
∂xi dt
∂t
1
(8)
(9)
Vogliamo scrivere l’eq.(8) nella forma di un’equazione di Eulero-Lagrange (ẋi = vi )
d ∂
∂
L=
L
dt ∂ ẋi
∂xi
(10)
dove L é la lagrangiana. Riscrivendo l’eq.(8) nella forma


~
d
q ~
~ −qΦ + q ~v · A 
m~v + A = ∇
dt
c
c
(11)
la struttura dell’eq.( 10) suggerisce una forma della lagrangiana del tipo
L=
~
mv 2
~v · A
− qΦ + q
2
c
(12)
Verifichiamo che le equazioni di Eulero-Lagrange eq.(10) che si ricavano dall’eq.(12) sono proprie
l’equazioni del moto eq.(1).


~
d
~v · A
d Ai
d ∂  mv 2
=
− qΦ + q
mvi + q
dt ∂ ẋi
2
c
dt
dt c

(13)

~
∂
∂  mv 2
~v · A
∂
q
 = −q
− qΦ + q
Φ + vj
Aj
∂xi
2
c
∂xi
c ∂xi
(14)
Inserendo nel lato destro dell’eq.(13), per la derivata temporale totale di Ai , l’eq.(9) ed uguagliando
l’eq.(13) e l’eq.(14) si trova
∂
1 ∂
q
∂
d
~ Ai )
mvi = q (−
Φ−
Ai ) + ( v j
Aj − (~v · ∇)
dt
∂xi
c ∂t
c
∂xi
(15)
~ , vedi
Il secondo termine del lato destro della precedente equazione é la componente i-ma di ~v ∧ B
eq.(5), quindi abbiamo ricavato per componenti l’eq.(1).
Il momento coniugato o momento canonico alla variabile xi é definito da
pi =
∂
L
∂ ẋi
(16)
Dalla forma della lagrangiana eq.(12) si ha
pi = mvi +
q
Ai
c
−→ p~ = m~v +
q ~
A
c
(17)
La hamiltoniana si ricava dalla lagrangiana dalla relazione
H=
X
pi ẋi − L
(18)
i
Inserendo l’eq.(??) e l’eq.(12) si ottiene
H=
mv 2
+ qΦ
2
2
(19)
~ si sono cancellati. Per ottenere delle equazioni di Hamilton-Jacobi
in cui i termini con A
d
∂
pi = −
H
dt
∂xi
d
∂
xi =
H
dt
∂pi
(20)
che siano le corrette equazioni del moto per una particella carica in campo magnetico e che quindi
~ dobbiamo esprimere m~v in funzione del momento coniugato usando l’eq.(??) e
siano funzioni di B,
quindi la hamiltoniana si scrive
1
H=
2m
q ~
p~ − A
c
2
+ qΦ
(21)
Mostriamo che le equazioni di Hamilton-Jacobi eq.(20) che si ricavano dall’eq.(21) sono esattamente
le equazioni del moto eq.(1)


d
q
q X
∂
∂
p j − Aj
pi =
Aj  − q
Φ
dt
mc
c
∂xi
∂xi
j
1
d
xi = vi =
dt
m
Derivando rispetto al tempo l’eq(23) si ottiene
pi −
q
Ai
c
(22)
d
d2
q d
pi = m 2 xi +
Ai
dt
dt
c dt
(23)
(24)
Inserendo quest’ultima equazione nell’eq.(22) e usando l’eq.(23) si ottiene
m
q d
q X d
∂
d2
∂
xi +
Ai =
xj
Aj − q
Φ
2
dt
c dt
c j dt ∂xi
∂xi
(25)
Mediante l’eq.(9) e l’eq.(2), l’eq.(25) si riscrive
m
d2
q
d
x
=
qE
+
ε
xj Bk
i
i
ijk
dt2
c
dt
(26)
ed é quindi la i-ma componente dell’eq.(1).
Osservazioni
• L’eq.(??) mostra che il momento p~ non é uguale alla quantitá di moto m~v .
• L’eq.(19) mostra che la hamiltoniana si puó scrivere come somma dell’energia cinetica e dell’energia
potenziale elettrostatica in quanto le forze magnetich non fanno lavoro.
3
2
Hamiltoniana quantistica di una particella carica
in campo elettromagnetico
L’operatore autoaggiunto hamiltoniana descrivente una particella quantistica in campo elettromagnetico si scrive quindi
1
q ~ 2
H=
p~ − A
+ qΦ
(27)
2m
c
~ e A(~
~ x, t), Φ(~x, t) sono da considerare come operatori moltiplicativi. Si noti che
dove p~ = −ih̄∇
q ~ 2
q ~ q ~
q ~ 2
= p~ 2 +
A − p~ A
− A p~
p~ − A
c
c
c
c
~ ·A
~ = 0 −→ p~A
~=A
~ p~
∇
(28)
(29)
Studiamo come viene modificata la funzione d’onda, soluzione dell’equazione di Schrödinger per la
~ x, t) e Φ(~x, t)
hamiltoniana eq.(27), al variare della gauge, cioé al variare di A(~
H ψ(~r, t) = ih̄
∂
ψ(~r, t)
∂t
(30)
~ 0 , Φ0 connessi ai potenziali
Scriviamo l’equazione di Schrödinger per il potenziale vettore e scalare A
~ Φ dalla relazione eq.(3)
A,
∂
H 0 ψ 0 (~r, t) = ih̄ ψ 0 (~r, t)
(31)
∂t
Dimostriamo che: la funzione d’onda ψ 0 soluzione dell’equazione (31) é data da ψ 0 = exp iqΛ/h̄c ψ
dove ψ é soluzione dell’equazione (30), cioé
~ Φ −→ A
~ 0 , Φ0 =⇒ ψ −→ ψ 0
A,
(32)
Prova: Scriviamo esplicitamente l’eq.(31)
"
1
2m
q ~0
p~ − A
c
2
#
q ∂
∂
q ∂
+ qΦ −
Λ eiqΛ/h̄c ψ = ih̄ eiqΛ/h̄c ψ −
Λ eiqΛ/h̄c ψ
c ∂t
∂t
c ∂t
(33)
∂
Vediamo subito nella precedente equazione appare a destra e sinistra il termine − qc ∂t
Λ eiqΛ/h̄c ψ, che
quindi puó essere cancellato. Per continuare lo studio dell’eq.(33) é utile usare la seguente identitá
operatoriale
!
!
d
d
d
f (x)
+ g(x) =
+ g(x) −
f (x) ef (x)
(34)
e
dx
dx
dx
che si generalizza facilmente all’operatore gradiente e che scriviamo come
q ~
q ~
q
iqΛ/h̄c
~
~
~
e
−ih̄∇ − A = −ih̄∇ − A − ∇ Λ eiqΛ/h̄c
(35)
c
c
c
Possiamo quindi scrivere il quadrato che appare nel lato sinistro dell’eq.(33) nel seguente modo
q ~
q~
q ~
q~
p~ − A − ∇Λ
p~ − A − ∇Λ eiqΛ/h̄c ψ =
c
c
c
c
q ~
q~
q ~
iqΛ/h̄c
p~ − A − ∇Λ e
p~ − A ψ =
c
c
c q
q
~
~ ψ
eiqΛ/h̄c p~ − A
p~ − A
(36)
c
c
4
Quindi l’eq.(33) si puó riscrivere
"
iqΛ/h̄c
e
1
2m
q ~
p~ − A
c
2
#
+ qΦ ψ = ih̄ eiqΛ/h̄c
∂
ψ
∂t
(37)
Cancellando la funzione esponenziale che appare in entrambi i lati della precedente equazione a
sinistra degli operatori differenziali otteniamo l’eq.(30).
Dall’eq.(17) segue che in presenza di un campo magnetico l’osservabile velocitá ~v non é piú data
da p~/m, ma dalla relazione
p~
q ~
~v =
−
A
(38)
m
mc
quindi il momento cinetico o quantitá di moto non é piú dato da p~. Lo spettro delle osservabili fisiche
non puó dipendere dalla scelta della gauge del potenziale. Da quanto sopra dimostrato é chiaro che
lo spettro di H non dipende dalla gauge. Dimostriamo esplicitamente che lo spettro del momento
cinetico o quantitá di moto m~v é indipendente dalla gauge. Dall’equazione (17) si ha (i = 1, 2, 3, A0i
e Ai soddisfano l’eq.(3))
mvi ψ
0
q
= mvi e
ψ = pi − A0i eiqΛ/h̄c ψ
c
!
!
∂
q 0
∂
q
iqΛ/h̄c
iqΛ/h̄c
= −ih̄
− Ai e
ψ =e
−ih̄
− Ai ψ
∂xi
c
∂xi
c
iqΛ/h̄c
(39)
Al contrario lo spettro di p~ dipende dalla gauge
pi ψ 0 = −ih̄
∂ iqΛ/h̄c
∂ 0
∂ 0
ψ = −ih̄
e
ψ 6= −ih̄
ψ
∂xi
∂xi
∂xi
(40)
Studiamo le relazioni di commutazione delle componenti di ~v
pi
−
m
iqh̄
=
m2 c
[vi , vj ] = [
q
pj
q
pi
q
q
pj
Ai ,
−
Aj ] = [ , −
Aj ] + [−
Ai, ]
mc
m
mc !
m
mc
mc
m
∂
∂
iqh̄
,−
Ai = 2 εijk Bk
∂xi A j
∂xj
mc
(41)
dove abbiamo usato
[pi , pj ] = 0
[Ai , Aj ] = 0
(42)
e l’eq.(2) per il campo magnetico. Si dimostra immediatamente che
[xk , vl ] =
i
δkl
m
(43)
~ = ~r ∧ p~ in presenza di campo magnetico é
Dall’eq.(17) segue anche che il momento angolare L
~ = ~r ∧ m~v . Calcoliamo le relazioni di commutazioni
diverso dal momento della quantitá di moto Λ
~ = ~r ∧ m~v
del momento della quantitá di moto Λ
[Λi , Λj ] = m2 εikl εjmn [xk vl , xm vn ]
ih̄
q
= m2
εikl εjmn −δlm xk vn +
xk xm εlnp Bp + δkn xm vl
m
mc
~
= iεijk h̄(Λk + qxk ~r · B)
5
(44)
dove abbiamo usato l’eq.(43) e l’eq.(41) e
[AB, CD] = A([B, C] D + C [B, D]) + ([A, C] D + C [A, D]) B
(45)
~ = ~r ∧ p~ rimangono invariate. Studiamo
Le relazioni di commutazione del momento angolare L
l’equazione del moto del momento cinetico nella rappresentazione di Heisenberg
m
d
im
∂
vi =
[H, vi ] + m vi
dt
h̄
∂t
(46)
Dall’eq.(17) segue che
q ∂
∂
vi = −
Ai
∂t
c ∂t
Calcoliamo il commutatore usando l’espressione di H data dall’eq.(19)
m
3
m X
[v 2 , vi ] + q [Φ, vi ]
2 k=1 k
m X
q
=
{
vk [vk , vi ] + [vk , vi ] vk } +
[Φ, pi ]
2 k
m
ih̄q X
ih̄q ~
=
{ vk εkij Bj + εkij Bj vk } +
(∇Φ)i
2mc k
m
ih̄q ~
ih̄q
εikj (−vk Bj + Bk vj } +
(∇Φ)i
=
2mc
m
(47)
[H, vi ] =
(48)
dove abbiamo usato
[Φ, Ai ] = 0
(49)
e la convenzione di somma sugli indici ripetuti. Sommando all’eq.(48) l’eq.(47) e passando alla
notazione vettoriale si ha
q
d
~ − (B
~ ∧ ~v )} + q E
~
{(~v ∧ B)
(50)
m ~v =
dt
2c
che é uguale, nel caso di osservabili classiche, all’eq.(1). Si osservi che l’eq.(50) si puó dedurre
dall’eq.(1) usando le regole generali di quantizzazione. Le equazioni del moto degli operatori ~x e p~ si
ricavano facilmente nella rappresentazione di Heisenberg e si ottiene
q
i
1
p i − Ai = v i
ẋi = [H, xi ] =
h̄
m
c
i
q~
∂ ~
1
∂
[H, pi ] = −
~v − A
·
A+q
Φ
h̄
m
c
∂xi
∂xi
ṗi =
(51)
6
(52)
3
Particella carica in campo magnetico costante:
caso quantistico
Consideriamo una particella di massa m e carica q in presenza di un campo magnetico costante ed
~ parallelo all’asse z (B
~ = B~k). La hamiltoniana eq.(21) si scrive
uniforme B
lH =
1
2m
p~ −
q ~
A
c
2
=
m
~v
2
2
(53)
dove le componenti di ~v sono definite dall’eq.(23) e soddisfano le relazioni di commutazione eq.(??).
~ il cui rotore é un campo magnetico costante, puó essere scritto come
Il potenziale vettore A,
~ = − 1 (~x ∧ B)
~
A
2
(54)
In fatti si ha
∂
∂
Ak = (−1/2) [εijk εkmn
xm Bn ]
∂xj
∂xj
= (−1/2) [(δim δjn − δin δjm ) δjm Bn ] = Bi
Bi = εijk
(55)
In seguito useremo o la gauge simmetrica
~ = (−yB/2, xB/2, 0)
A
(56)
o le gauge asimmetriche
~ = (−yB, 0, 0)
A
or
~ = (0, xB, 0)
A
(57)
Le gauge asimmetriche sono ottenute dalla gauge simmetrica rispettivamente con la trasformazione
di gauge generata dalla funzione
B
Λ = ∓ xy
(58)
2
~ ·A
~ = 0. Nella gauge simmetrica l’eq.(53) si scrive:
In entrambi le gauge si ha ∇
H = Hz + Hxy
[Hz , Hxy ] = O
(59)
dove
p2z
(60)
2m
é la hamiltoniana di una particella libera in moto lungo l’asse z, che ometteremo nel seguito, e
Hz =
1
q yB 2
1
q xB 2 m 2
(px +
) +
(py −
) = (vx + vy2 )
(61)
2m
c 2
2m
c 2
2
√ √
√ √
Definendo la frequenza di ciclotrone ω = |q|B/mc, Π = vx m/ ωh̄ e Υ = vy m/ ωh̄ l’eq.(61) si
riscrive
h̄ω
Hxy =
(Π2 + Υ2 )
(62)
2
Hxy =
7
con, usando l’eq.(41),
[Π , Υ] = i
(63)
Quindi la hamiltoniana eq.(62) ha la struttura della hamiltoniana di un oscillatore armonico unidimensionale con autovalori discreti, quantizzati En = h̄ω(n + 1/2) (n ∈ Z+ ), detti livelli di
Landau. Per determinare le autofunzioni é conveniente mettersi nella gauge asimmetrica. L’eq.(61)
si scrive
p2y
q
1
2
(px + yB) +
(64)
Hxy =
2m
c
2m
Siccome
[px , Hxy ] = 0
(65)
esiste una base comune di autofunzioni di px e Hxy e quindi le autofunzioni dell’eq.(64)
Hxy ψn (x, y) = En ψn (x, y)
(66)
si possono scrivere nella forma seguente
ψn (x, y) = φn (y) eikx x
(67)
Nell’eq.(66) abbiamo usato la proprietá che lo spettro della hamiltoniana non dipende dalla gauge.
Inserendo l’eq.(67) nell’eq.(66) si trova
p2
1
q
(h̄kx + yB)2 + y ] φn (y) = En φn (y)
(68)
2m
c
2m
La hamiltoniana dell’eq.(68) é la hamiltoniana di un oscillatore armonico unidimensionale lungo
l’asse y centrato in y0 = −h̄kx c/qB di frequenza ω. Quindi gli autovalori sono En = h̄ω(n + 1/2) e le
autofunzioni sono le autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale nella variabile ξ = y − y0 .
I livelli di energia sono (infinitamente) degeneri perché, ad ogni fissato valore di En , corrispondono
una infinitá di autofunzioni dipendenti dal parametro kx (−∞ < kx < ∞).
Osservazioni
[
• le componenti della velocitá vx e vy cioé le componenti della velocitá nel piano ortogonale alla
direzione del campo magnetico non commutano, vedi eq.(41), quindi sono osservabili complementari e soddisfano l’ineguaglianza
ω
(69)
∆vx ∆vy ≥
2m
• l’energia totale (non quantizzata) é data per per ogni livello di Landau da
kz2
En (kz ) =
+ ω (n + 1/2)
2m
(70)
• la soluzione localizzata (pacchetto d’onda) nel piano xy corrispondente all’energia En (kz ) puó
essere costruita come sovrapposizione delle funzioni d’onda ψn (x, y) date dall’eq.(67)
ikz z
Ψn,kz = e
Z
∞
−∞
Akx eikx x φn,kx (y) dkx
(71)
dove φn,kx (y) sono le autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale spostato eq.(68),
in cui abbiamo esplicitato la dipendenza da kx .
8
4
Relazione tra momento magnetico e momento angolare
~ costante
Consideriamo una particella quantistica, di carica e, in presenza di un campo magnetico B
~
ed uniforme. Scriviamo l’equazione di Schrödinger (27), scrivendo il potenziale vettore A nella forma
data dall’eq.(54)
∂
h̄2 ~ 2
ih̄e ~ ~
e2 ~ 2
ih̄ ψ = −
∇ ψ +
A · ∇ψ +
A ψ
(72)
∂t
2m
mc
2mc2
Sviluppiamo il secondo termine del lato destro dell’eq.(72)
ih̄e
ih̄e ~ ~
~ ·∇
~ = ih̄e (~x ∧ ∇)
~ ·B
~ = − e ~l · B
~
(~x ∧ B)
A·∇=−
mc
2mc
2mc
2mc
(73)
dove abbiamo usato l’identitá vettoriale
~ ·∇
~ = −(~x ∧ ∇)
~ ·B
~
(~x ∧ B)
(74)
Sviluppiamo il terzo termine del lato destro dell’eq.(72), supponendo che il campo magnetico sia
~ = B e~z
diretto lungo l’asse z, B
2
2
e2 ~ 2
e2
~ 2 = e (~x2 B
~ 2 − (~x · B)
~ 2 = e B 2 (x2 + y 2 + z 2 − z 2 )
A
=
(~
x
∧
B)
2mc2
8mc2
8mc2
8mc2
2
e
=
B 2 (x2 + y 2 )
8mc2
(75)
Il termine quadratico nel campo magnetico, eq.(75), (termine diamagnetico) é normalmente trascurabile rispetto al termine lineare nel campo magnetico, eq.(73), (termine paramagnetico), perché
appare moltiplicato per il termine (x2 + y 2 ) che é diverso da zero nella zona in cui la funzione d’onda
ψ é diversa da zero, cioé in una zona di alcuni Å. Trascurando quindi il termine in A2 l’equazione di
Schrödinger eq.(72) si scrive
!
∂
p2
e ~ ~
l·B ψ
(76)
ih̄ ψ =
−
∂t
2m
2mc
che é l’equazione di una particella di massa m e momento magnetico ~µ, proporzionale al momento
~ La quantitá
angolare ~l, in un campo magnetico esterno B.
µB =
eh̄
2mc
(77)
é detta magnetone di Bohr (µB = −0.927·10−20 erg/G = −9.27·10−24 J/T ). I momenti magnetici
sono multipli interi delmagnetone di Bohr.
~µ =
e ~ µB ~
l=
l
2mc
h̄
(78)
Problemi
1) Calcolare l’evoluzione temporale delle variabili vx e vy .
2) Calcolare la funzione d’onda corrispondente (per un valore fissato di kx ) al livello di Landau per
n = 0 nella gauge simmetrica.
9