Prove scritte del 28/01/09 e del 22/04/09

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
PROVA SCRITTA DEL 28/1/2009
PRIMA PARTE
Esercizio 1.
Un treno arriva in ritardo nel 70% dei casi quando nevica e nel 5% dei casi quando non nevica. Indicati
con R e N, rispettivamente, gli eventi {il treno arriva in Ritardo} e {Nevica},
(1.1) si stabilisca se gli eventi R e N sono incompatibili, motivando la risposta;
(1.2) si stabilisca se gli eventi R e N sono indipendenti, motivando la risposta.
Sapendo che la probabilità che nevichi è pari a 0.4,
(1.3) si calcoli la probabilità che il treno arrivi in ritardo, motivando la risposta;
(1.4) si calcolino P(R∩N) e P(R∪N), motivando le risposte;
(1.5) si calcoli la probabilità che nevichi dato che il treno non è arrivato in ritardo, motivando la
risposta.
Quesito.
Se gli eventi A, B e C hanno probabilità non nulla di verificarsi e sono a due a due incompatibili, allora
non possono essere indipendenti? (In caso di risposta affermativa, si dimostri l’asserto; in caso contrario,
si proponga un contro-esempio).
Esercizio 2.
Si consideri un’urna contenente 100 palline, delle quali 2 verdi e 98 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 10 estratto
con reinserimento.
(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. X (con particolare riferimento al valore dei parametri che
la caratterizzano) e si calcoli P(0.72 < X < 1.14).
(2.2) Si determinino il numero atteso di palline verdi estratte e la varianza di X, motivando le risposte.
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 50 estratto
con reinserimento.
(2.3) Si calcoli la probabilità di estrarre almeno 2 palline verdi mediante un’opportuna approssimazione
di Poisson per Y e si enunci la proprietà che giustifica tale approssimazione.
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 10 estratto
senza reinserimento.
(2.4) Si specifichi la distribuzione della v.c. Z (con particolare riferimento al valore dei parametri che
la caratterizzano) e si calcoli P(0.14 < Z < 1.72).
(2.5) Si calcoli la probabilità che le 10 palline estratte senza reinserimento siano tutte dello stesso
colore.
SECONDA PARTE
Esercizio 3
(3.1) Si verifichi che
ϕ ( x, y ) =
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
1
e
−
(
1 2
x +y
2
)
(x reale, y > 0)
8π
rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).
Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
Si stabilisca se le v.c. X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le
risposte.
Si determinino E(XY) e Var(X + Y), motivando le risposte.
Si calcolino P(X > 1 | Y < 1) e P(Y < 1 | X > 1), motivando le risposte.
TRACCIA DELLE SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL 19/2/2008
PRIMA PARTE
Esercizio 1
R = {il treno arriva in ritardo}, N = {nevica}; P(R | N) = 0.7, P(R |N) = 0.05.
(1.6) R e N non sono incompatibili [se lo fossero, P(R | N) = 0];
(1.7) R e N non sono indipendenti [se lo fossero, P(R | N) = P(R |N)];
P(N) = 0.4:
(1.8) P(R) = P(R | N) P(N) + P(R |N) P(N ) = (0.7)(0.4)+(0.05)(0.6) = 0.28 + 0.03 = 0.31;
(1.9) P(R∩N) = P(R | N) P(N) = 0.28;
P(R∪N) = P(R) + P(N) − P(R∩N) = 0.31 + 0.4 − 0.28 = 0.43;
(1.10) P(N |R) = P(R | N) P(N) / P(R ) = [1 − P(R | N)] P(N) / [1 − P(R)]
= (0.3) (0.4) / (0.69) = 0.1739.
Esercizio 2
Si consideri un’urna contenente 100 palline, delle quali 2 verdi e 98 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 10 estratto
con reinserimento.
(2.6) X ha distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 10 e θ = 0.02;
P(0.72 < X < 1.14) = P(X = 1) = 10 (0.021) (0.989) = (0.2) (0.8337) = 0.1667.
(2.7) E(X) = nθ = 0.2 e Var(X) = nθ(1−θ) = 0.196 […].
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 50 estratto
con reinserimento.
(2.3) P(Y ≥ 2) = 1 − P(Y = 0) − P(Y = 1) ≅ 1 – 0.7358 = 0.2642,
essendo Y ≈ Poisson(λ) con λ = nθ = 1 e
P(Y = 0) ≅ e-λ = 0.3679, P(Y = 1) ≅ e-λ λ = 0.3679; […].
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 10 estratto
senza reinserimento.
(2.4) Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 10, K = 2 e N = 100;
 2  98  100 
 = 0.1818.
P(0.14 < Z < 1.72) = P(Z = 1) =    
1  9  10 
 2  98  100 
 = 0.8091.
(2.5) P(Z = 0) =    
 0 10  10 
SECONDA PARTE
Esercizio 3
(3.2)
ϕ ( x, y ) ≥ 0 e
+∞+∞
∫ ∫ ϕ (x, y )dxdy = 1 .
−∞ 0
(3.3)
Le funzioni di densità delle v.c. marginali sono date da:
+∞
1
1 −2 x2
φ(x ) = ∫ ϕ(x, y )dy =
e
(x reale) e
2π
0
(3.4)
(3.5)
(3.5)
+∞
1
1 −2y
e
(y > 0).
∫− ∞
2
X e Y sono indipendenti, ma non identicamente distribuite […].
E(XY) = E(X) E(Y) = 0 e
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 1 + 4 = 5, per l’indipendenza tra X e Y.
P(X>1 | Y<1) = P(X>1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587 e
P(Y<1 | X>1) = P(Y<1) = 1 − e-0.5 = 1 − 0.6065 = 0.3935, per l’indipendenza tra X e Y.
ψ(y ) =
ϕ(x , y )dx =
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
PROVA SCRITTA DEL 22/4/2009
PRIMA PARTE
Esercizio 1
In una linea di trasmissione che impiega l’alfabeto Morse (composto da due soli simboli, chiamati
“punto” e “linea”), il rapporto tra la probabilità che sia inviata una “linea” e la probabilità che sia inviato
un “punto” è pari a 4/3.
(1.11) Si calcolino la probabilità che sia inviato un “punto” e la probabilità che sia inviata una “linea”.
Si supponga che la linea di trasmissione sia disturbata in modo che “punto” e “linea” siano ricevuti
scambiati con probabilità 1/10 (valore che, dunque, rappresenta la probabilità di ricevere un simbolo dato
che ne è stato inviato un altro).
(1.12) Si calcoli la probabilità di ricevere un “punto”, motivando la risposta.
(1.13) Si stabilisca se gli eventi “ricevere un punto” e “inviare una linea” sono incompatibili e/o
indipendenti, motivando la risposta.
(1.14) Se si riceve un “punto”, qual è la probabilità che sia stato inviato un “punto”? Se, invece, si riceve
una “linea”, qual è la probabilità che sia stata inviata una “linea”?
(1.15) Si enunci e si dimostri il teorema di Bayes nel caso in cui si abbiano n possibili cause C1,…,Cn
di un effetto E.
SECONDA PARTE
Esercizio 2
Il 50.5% dei batteri presenti in una porzione dell’alta stratosfera terrestre appartengono alla specie B1, il
49.4% alla specie B2 e il restante 0.1% alla specie B3.
Sia Xi il numero dei batteri appartenenti alla specie Bi (i = 1,2,3) presenti in un campione di numerosità
n estratto con reinserimento.
(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. bidimensionale (X1,X2) con particolare riferimento al
valore dei parametri che la caratterizzano e si calcoli P(X1 = 5 , X2 = 5) per n = 10.
(2.2) Si determinino le distribuzioni delle v.c. X1 e X2 e si stabilisca se sono indipendenti.
(2.3) Si definisca la convergenza in distribuzione e si enunci il Teorema Centrale del Limite.
(2.4) Si stabilisca se le ipotesi del teorema enunciato sono soddisfatte e si fornisca un’opportuna
approssimazione Normale per X1 nel caso in cui n = 100.
(2.5) Sulla base dell’approssimazione Normale fornita, si calcolino P(49 ≤ X1 < 59) e il quantile di
ordine 0.025, spiegando il significato di tale quantile.
Esercizio 3
(3.6)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Siano
(3.9)
1 − 2 (x 2 + y 2 − 2 y +1)
e
(x e y reali) rappresenta la funzione di
2π
densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).
Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.
Si determini la distribuzione della v.c. differenza D = Y − X, motivando la risposta con un
opportuno teorema, e si calcoli P(0.5 < D < 1.3).
Q1,…,Qn v.c. indipendenti e distribuite come Q = X2 e sia Sn = Q1 + … + Qn.
Si determinino la distribuzione della v.c. S3 e il limite a cui Sn / n converge in probabilità,
motivando le risposte con opportuni teoremi.
Si verifichi che la funzione ϕ ( x, y ) =
1
Quesito
Si enunci e si dimostri la proprietà riproduttiva della v.c. Binomiale.
TRACCIA DELLE SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL 22/4/2009
PRIMA PARTE
Esercizio 1
Sapendo che 4/3 = P(inviata linea) / P(inviato punto) = [1 − P(inviato punto)] / P(inviato punto), si ha 4
P(inviato punto) = 3 – 3 P(inviato punto), ovvero
(1.16) P(inviato punto) = 3/7 = 0.43;
P(inviata linea) = 1 – P(inviato punto) = 1 – 3/7 = 4/7 = 0.57.
Si supponga, inoltre, che P(ricevuto punto | inviata linea) = 1/10 = P(ricevuta linea | inviato punto).
(1.17) P(ricevuto punto)
= P(ricevuto punto | inviato punto) P(inviato punto)
+ P(ricevuto punto | inviata linea) P(inviata linea)
= (9/10) (3/7) + (1/10) (4/7) = 31/70 = 0.4429
per la legge delle alternative.
(1.18) Gli eventi “ricevere un punto” e “inviare una linea” non sono incompatibili e non sono
indipendenti […].
(1.19) P(inviato punto | ricevuto punto)
= P(ricevuto punto | inviato punto) P(inviato punto) / P(ricevuto punto)
= (9/10) (3/7) / (31/70) = 27/31 = 0.8710
e analogamente,
P(inviata linea | ricevuta linea)
= P(ricevuta linea | inviata linea) P(inviata linea) / P(ricevuta linea)
= (9/10) (4/7) / (39/70) = 36/39 = 0.9231.
(1.5) Enunciato.
In un qualsiasi spazio probabilistico, se E è un evento con probabilità non nulla e {C n } è una
famiglia finita e disgiunta di eventi con probabilità non nulla tali che E ⊆ U C n , allora ∀m
P(C m | E ) =
n
P(E | C m )P(C m )
.
∑ P(E | C n )P(C n )
n
Dimostrazione.
Dalla definizione di probabilità condizionata, dalla formula della probabilità composta e dalla
legge delle alternative […] deriva che ∀m
P(C m ∩ E ) P(E | C m )P(C m )
P(E | C m )P(C m )
.
P(C m | E ) =
=
=
P (E )
P (E )
∑ P(E | C n )P(C n )
n
SECONDA PARTE
Esercizio 2
(2.6) (X1,X2) ~ Trinomiale(n,p,q) con p = 0.505 e q = 0.494; per n = 10 si ha
10!
3628800
P( X 1 = 5, X 2 = 5) =
0.505 5 0.494 5 0.0010 =
0.0328 ⋅ 0.0294 = 252 ⋅ 0.00096
5!5!1!
120 ⋅ 120
= 0.24
(2.7) X1 ~ Binomiale(n,p) e X2 ~ Binomiale(n,q) non sono indipendenti […].
(2.8) […].
(2.9) Le ipotesi del TCL sono soddisfatte […];
X1 ≈ N(µ,σ2) con µ = np = 50.5 e σ2 = np(1−p) = 24.9975 per n = 100.
(2.10) P(49 ≤ X1 < 59) ≅ P(-0.3 ≤ Z < 1.7) = 0.9554 − 0.3821 = 0.5733;
da 0.025 = P(X ≤ x) ≅ P[Z ≤ (x−50.5) / 4.9997] si ottiene -1.96 = z0.025 ≅ (x−50.5) / 4.9997
ovvero x ≅ 40.7 […].
Esercizio 3
(3.1) ϕ(x,y) >0 e ∫∫ ϕ(x,y) dxdy =1 […].
(3.2) X ∼ N(0,1) e Y ∼ N(1,1) […].
(3.3) X e Y sono indipendenti, ma non sono identicamente distribuite […].
(3.4) Y − X ∼ N(1,2) per la proprietà riproduttiva della Normale;
P(0.5 < Y − X < 1.3) = P(-0.35 < Z < 0.21) = 0.5832 − 0.3632 = 0.22.
(3.5) Essendo Q = X2 ~ χ21, Sn = Q1 + … + Qn ~ χ2n per la proprietà riproduttiva della v.c. χ2;
Sn / n converge in probabilità a E(Q) = 1 per la LGN.
Quesito
Enunciato.
Se X1,…, Xm sono v.c. indipendenti con distribuzioni Binomiali di parametri ni e θ (i = 1,…,m), allora
m
m
i =1
i =1
la v.c. S = ∑ X i ha distribuzione Binomiale di parametri n = ∑ ni e θ.
Dimostrazione.
( )
GS (t) = E e
tS
 t ∑ Xi  m
= E e i=1  = ∏ E e tX i

 i =1
m
( )
m
(
per l’indipendenza di X1, …, Xm
= ∏ 1 − θ (1 − e t )
i =1
)
ni
(
= 1 − θ (1 − e t )
)
n
m
con n = ∑ ni ,
i =1
m
che rappresenta la f.g.m. di una v.c. Binomiale con parametri n = ∑ ni e θ.
i =1