Simulazione Terza Prova Esame di Stato - Quesiti tipologia B
1. Dopo aver fornito la definizione di dominio e codominio di una funzione reale di variabile reale,
presenta lequazione di una funzione razionale intera, di una funzione razionale fratta e di una funzione
irrazionale intera e determina il loro dominio.
Definizione di Dominio - Il dominio (o campo di esistenza), D ⊆ R, per una funzione reale di variabile
reale
y = f(x)
è l’insieme dei valori di x ∈ R (variabile indipendente) tale che l’immagine f(x) esiste o, che è lo stesso,
D ⊆ R è il dominio della funzione
y = f(x)
se, preso x0 ∈ D si ha che il limite
lim f(x)
x→x0
esiste finito.
Definizione di Codominio (o immagine) Il codominio (o immagine), C ⊆ R, per una funzione reale di
variabile reale
y = f(x)
è l’insieme dei valori che y (variabile dipendente) assume per x ∈ D.
Esempio di funzione razionale intera -
y = x4 + 2 x
il dominio D = R.
Esempio di funzione razionale fratta y=
x+3
x2 − 4
il dominio D = {x ∈ R | x , 2, x , −2}.
Esempio di funzione irrazionale intera y=
√
√ il dominio D = x ∈ R | − 2 6 x 6 2 .
p
2 − x2
2. Data la funzione
y=
3−x
x2 − 9
determina
• il dominio;
• le intersezioni con gli assi;
• il segno;
• i limiti agli estremi del dominio;
• le equazioni degli eventuali asintoti;
• il probabile andamento grafico.
• il dominio di una funzione razionale fratta è dato da tutti quei valori di x che non annullano
il denominatore a patto che non si abbia una forma indeterminata. Analizziamo le radici del
denominatore
x2 − 9 = (x − 3) (x + 3) = 0
abbiamo x = 3 e x = −3. Delle due notiamo che x = 3 è anche radice del numeratore e quindi in
corrispondenza di x = 3 la funzione è una forma indeterminata 00 . Si ha quindi
lim
x→3
3−x
3−x
1
1
= lim
= lim −
=−
x2 − 9 x→3 (x − 3) (x + 3) x→3 (x + 3)
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la funzione quindi esiste in corrispondenza di una delle radici del denominatore. Il dominio sarà
allora
D = {x ∈ R | x , −3}
• la funzione
1
3−x
=−
x2 − 9
x+3
non intereseca mai l’asse delle ascisse poichè il numeratore è costante e quindi sempre diverso da
zero. L’intersezione con l’asse delle ordinate si ottiene ponendo a 0 la x e si ha
y=
y=−
1
3
• il segno della funzione di ottiene studiando la disequazione
−
1
>0
x+3
che è equivalente a studiare la disequazione
−(x + 3) > 0, x < −3
per cui la funzione è negativa per x > −3 e positiva per x < −3. Stiamo attenti che per x = −3 la
funzione (e quindi il suo segno) non è definita!
• i limiti agli estremi del dominio
lim
x→+∞
e
3−x
1
= lim −
=0
x2 − 9 x→+∞ x + 3
1
3−x
= lim −
=0
2
x→−∞ x + 3
x→−∞ x − 9
lim
2
• Abbiamo un asintoto verticale per x = −3 (dove la funzione non è definita) ed in particolare (vedere
il segno)
1
3−x
= lim − −
= +∞
lim − 2
x→−3
x→−3 x − 9
x+3
lim
x→−3+
3−x
1
= lim −
= −∞
x2 − 9 x→−3+ x + 3
Abbiamo un asintoto orizzontale per y = 0 (vedere il comportamento della funzione in corrispondenza degli estremi del dominio)
• Il grafico
y
4
2
-6
-4
-3
-2
2
-2
-4
3
x
3. Analizza il seguente grafico e determina: dominio, codominio, intersezioni con gli assi, segno,
intervalli di crescenza e decrescenza, i limiti agli estremi del dominio, le equazioni degli eventuali
asintoti.
y
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
-2
-4
• il dominio è D = {x ∈ R | x , −1};
• il codominio è C = R;
• il segno - la funzione è positiva per −3 < x < −1, negativa per {x < −3} ∪ {x > −1, x , 0};
• la funzione è descrescente per x > 0 e crescente per {x < −1} ∪ {−1 < x < 0};
• i limiti agli estremi del dominio sono
lim f(x) = −∞,
x→+∞
lim f(x) = −∞
x→−∞
• la funzione ha un solo asintoto verticale di equazione x = −1, nessun asintoto orizzontale o obliquo.
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