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Simulazione Terza Prova Esame di Stato - Quesiti tipologia B
1. Dopo aver fornito la definizione di dominio e codominio di una funzione reale di variabile reale,
presenta lequazione di una funzione razionale intera, di una funzione razionale fratta e di una funzione
irrazionale intera e determina il loro dominio.
Definizione di Dominio - Il dominio (o campo di esistenza), D ⊆ R, per una funzione reale di variabile
reale
y = f(x)
è l’insieme dei valori di x ∈ R (variabile indipendente) tale che l’immagine f(x) esiste o, che è lo stesso,
D ⊆ R è il dominio della funzione
y = f(x)
se, preso x0 ∈ D si ha che il limite
lim f(x)
x→x0
esiste finito.
Definizione di Codominio (o immagine) Il codominio (o immagine), C ⊆ R, per una funzione reale di
variabile reale
y = f(x)
è l’insieme dei valori che y (variabile dipendente) assume per x ∈ D.
Esempio di funzione razionale intera -
y = x4 + 2 x
il dominio D = R.
Esempio di funzione razionale fratta y=
x+3
x2 − 4
il dominio D = {x ∈ R | x , 2, x , −2}.
Esempio di funzione irrazionale intera y=
√
√ il dominio D = x ∈ R | − 2 6 x 6 2 .
p
2 − x2
2. Data la funzione
y=
x+1
x2 − 1
determina
• il dominio;
• le intersezioni con gli assi;
• il segno;
• i limiti agli estremi del dominio;
• le equazioni degli eventuali asintoti;
• il probabile andamento grafico.
• il dominio di una funzione razionale fratta è dato da tutti quei valori di x che non annullano
il denominatore a patto che non si abbia una forma indeterminata. Analizziamo le radici del
denominatore
x2 − 1 = (x − 1) (x + 1) = 0
abbiamo x = 1 e x = −1. Delle due notiamo che x = −1 è anche radice del numeratore e quindi in
corrispondenza di x = −1 la funzione è una forma indeterminata 00 . Si ha quindi
x+1
x+1
1
1
= lim
= lim
=−
2
x→−1 x − 1
x→−1 (x − 1) (x + 1)
x→−1 (x − 1)
2
lim
la funzione quindi esiste in corrispondenza di una delle radici del denominatore. Il dominio sarà
allora
D = {x ∈ R | x , 1}
• la funzione
1
x+1
=
x2 − 1
x−1
non intereseca mai l’asse delle ascisse poichè il numeratore è costante e quindi sempre diverso da
zero. L’intersezione con l’asse delle ordinate si ottiene ponendo a 0 la x e si ha
y=
y = −1
• il segno della funzione di ottiene studiando la disequazione
1
>0
x−1
che è equivalente a studiare la disequazione
x − 1 > 0, x > 1
per cui la funzione è negativa per x < 1 e positiva per x > 1. Stiamo attenti che per x = 1 la
funzione (e quindi il suo segno) non è definita!
• i limiti agli estremi del dominio
x+1
1
= lim
=0
2
x→+∞ x − 1
x→+∞ x − 1
lim
e
1
x+1
= lim
=0
2
x→−∞ x − 1
x→−∞ x − 1
lim
2
• Abbiamo un asintoto verticale per x = 1 (dove la funzione non è definita) ed in particolare (vedere
il segno)
1
x+1
= lim−
= −∞
lim− 2
x→1 x − 1
x→1 x − 1
x+1
1
lim+ 2
= lim+
= +∞
x→1 x − 1
x→1 x − 1
Abbiamo un asintoto orizzontale per y = 0 (vedere il comportamento della funzione in corrispondenza degli estremi del dominio)
• Il grafico
y
3
2
1
-3
-2
1
-1
-1
-2
-3
3
2
3
x
3. Analizza il seguente grafico e determina: dominio, codominio, intersezioni con gli assi, segno,
intervalli di crescenza e decrescenza, i limiti agli estremi del dominio, le equazioni degli eventuali
asintoti.
y
3
2
1
-3
-2
1
-1
2
3
x
-1
-2
-3
• il dominio è D = {x ∈ R | x , 0};
• il codominio è C = R;
• il segno - la funzione è positiva per {x < −1} ∪ {x > 0}, negativa per −1 < x < 0;
• la funzione è descrescente per {x < 0} ∪ {0 < x < 1} e crescente per x > 1;
• i limiti agli estremi del dominio sono
lim f(x) = +∞,
x→+∞
lim f(x) = +∞
x→−∞
• la funzione ha un solo asintoto verticale di equazione x = 0, nessun asintoto orizzontale o obliquo.
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